เอกสาร เรื่อง เซต

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักคณิตศาสตร์ ชาวเยอรมัน ชื่อ เกออร์ก คันทอร์(Georg Cantor) เป็นผู้ริเริ่มใช้คําว่า “เซต” จากนั้น นักคณิตศาสตร์จึงเริ่มใช้กันอย่างแพร่หลาย โดยความรู้เรื่องเซตสามารถนํามาเชื่อมโยงใน คณิตศาสตร์หลาย ๆ เรื่อง เช่น ฟังก์ชัน ความ น่าจะเป็น เป็นต้น วิวัฒนาการของเซต (The Evolution of Set)

ในวิชาคณิตศาสตร์ใช้คําว่า “เซต” ในการกล่าวถึง กลุ่มของสิ่งของต่าง ๆ และเมื่อกล่าวถึงกลุ่มใดแล้วสามารถ ทราบได้แน่นอนว่าสิ่งใดอยู่ในกลุ่ม และสิ่งใดไม่อยู่ในกลุ่ม เช่น มโนทัศน์เบื้องต้นเรื่องเซต เซตของชื่อวันในสัปดาห์ เซตของจํานวนนับที่น้อยกว่า 5

มโนทัศน์เบื้องต้นเรื่องเซต และเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า สมาชิก (Elements) เช่น เซตของชื่อวันในสัปดาห์มีสมาชิก ตัว ได้แก่ เซตของจํานวนนับที่น้อยกว่า 5 มีสมาชิก ตัว ได้แก่

Quiz!! ให้พิจารณาว่ากลุ่มของสิ่งใดต่อไปนี้เป็นเซต จํานวนเต็มบวกที่มีสองหลัก จํานวนเต็มลบ คนที่สวยที่สุดในระดับชั้น ม.4

ให้นักเรียนยกตัวอย่างเซตจากสิ่งรอบตัว นักเรียนพร้อมทั้งบอกสมาชิก และจํานวนสมาชิก ของเซต โดยพิมพ์คําตอบลงในโพสต์ที่ครูกําหนด ในกลุ่ม facebook โดยห้ามซํ้ากับของเพื่อน

ตัวอย่าง

วิธีการ เขียนเซต

วิธีการเขียนเซต วิธีการเขียนเซต มี2 แบบ 1. แบบแจกแจงสมาชิก 2. แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก 1. เขียนชื่อเซตด0วยอักษรภาษาอังกฤษตัวพิมพ=ใหญA 2. เครื่องหมายเทAากับ ( = ) 3. เขียนสมาชิกของเซตลงในเครื่องหมายวงเล็บปNกกา { } 4. สมาชิกแตAละตัวขั้นด0วยเครื่องหมายจุลภาค ( , ) ตัวอยAาง เซตของพยัญชนะในภาษาอังกฤษ ตัวอยAาง เซตของจำนวนคี่บวกที่น0อยกวAา 10

ครั้งเดียวก็เกินพอ!! การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก หากเซตนั้นมีสมาชิกซ้ำกัน เราจะเขียนสมาชิกนั้นเพียงแคAครั้งเดียว เชAน ตัวอยAาง ให0 C เปYนเซตของเลขโดดที่อยูAในจำนวน 1211 จะได0วAา

2. การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก จะเปYนการเขียนในรูปของตัวแปร เชAน x, y หรือ z แล0วบรรยายลักษณะของตัวแปรนั้น ตัวอยAาง A = {จันทร=, อังคาร, พุธ, พฤหัส, ศุกร=, เสาร=, อาทิตย=}

ใช0สัญลักษณ= n(ชื่อเซต) เชAน ให0G เปYนเซตของชื่อวันในสัปดาห= จะได0วAา G = {จันทร=, อังคาร, พุธ, พฤหัส, ศุกร=, เสาร=, อาทิตย=} จำนวนสมาชิกของเซต G เทAากับ เขียนแทนด0วย การบอกจํานวนสมาชิก

Quiz!! จากภาพให(นักเรียนเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก

Quiz!! จากภาพให(นักเรียนเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

Quiz!! ให(นักเรียนเขียนเซตต=อไปนี้แบบแจกแจงสมาชิก 1. เซตของตัวอักษรภาษาอังกฤษสี่ตัวสุดท0าย 2. เซตของจำนวนเต็มลบที่มีคAามากกวAา -5

Quiz!! ให(นักเรียนเขียนเซตต=อไปนี้แบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก 1. D = { 2, 4, 6, 8 }

การเป็นสมาชิก ของเซต

การเป็นสมาชิกของเซต ตัวอย&าง กำหนดให0 A = {2, 5} จะเห็นว&า 2 และ 5 ต&างก็เป?นสมาชิกของเซต A คำว$า “เป#นสมาชิกของ” หรือ “อยู0ใน” เขียนแทนด5วยสัญลักษณ= เช$น 2 เป็นสมาชิกของเซต A หรือ 2 อยู่ใน A เขียนแทนด้วย

การเป็นสมาชิกของเซต และจะเห็นว&า 7 ไม&เป?นสมาชิกของเซต A คำว$า “ไม0เป#นสมาชิกของ” หรือ “ไม0อยู0ใน” เขียนแทนด5วยสัญลักษณ= เช$น 7 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A หรือ 7 ไม่อยู่ใน A เขียนแทนด้วย

ตัวอย่างการเป็นสมาชิกของเซต ให#นักเรียนเติมสัญลักษณ3การเป6นสมาชิก (∈) หรือไม>เป6นสมาชิก (∉) ให#ถูกต#อง เมื่อกำหนดให# A = {-7, -2, 0, 5, 8} 1. -7 A 4. 0 A 2. 7 A 5. 8 A 3. -8 A

ตัวอย่างการเป็นสมาชิกของเซต นักเรียนพิจารณาว&าข0อความต&อไปนี้ถูกหรือผิด เมื่อกำหนดให0 A = {2, 3, {4, 5} , 6, 7, {8, 9, 10}, 11} 1. 2 ∈ A 4. {5} ∉ A 2. 4 ∉ A 5. { } ∉ A 3. {4, 5} ∈ A 6. 4, 5 ∈ A

เซตว่าง เซตจํากัด และเซตอนันต์

เซตว่าง (empty set หรือ null set) ตัวอย&าง A = {x | x เป?นจำนวนเต็มที่อยู&ระหว&าง 0 กับ 1} เขียนเป?นเซตแบบแจกแจงสมาชิก จะได0 เซตที่ไม$มีสมาชิก เรียกว$า “เซตว0าง” เซตว$าง เขียนแทนด5วยสัญลักษณ= หรือ อ$านว$า

ตัวอย่างเซตว่าง B = {x | x เปVนจำนวนนับ และ x + 1 = x} จะได5ว$า C = {x | x เปVนจำนวนเต็มบวกที่อยู$ระหว$าง 1 และ 2} จะได5ว$า

เซตจํากัด (finite sets) เซตที่มีจำนวนสมาชิกเปVนจำนวนเต็มบวกใด ๆ หรือศูนย= เรียกว$า “เซตจำกัด” ตัวอย$างของเซตจำกัด เช$น • {1, 2, 3, 4, ... , 20} • เซตของชื่อจังหวัดในประเทศไทยที่มีคำว$า “นคร” ข้อสังเกต : เซตว่างเป็นเซตจํากัด

เซตอนันต์ (infinite sets) เซตที่ไม$ใช$เซตจำกัด หรือเซตที่ไม$สามารถบอกจำนวนสมาชิกได5 เรียกว$า “เซตอนันต:” ตัวอย$างของเซตอนันต= เช$น • {1, 2, 3, 4, ... } • เซตของจำนวนเต็มที่หารด5วยสองลงตัว

ตัวอย่างเซตว่าง เซตจํากัด และเซตอนันต์ 1. A = {x | x เปVนจำนวนนับ} ตอบ ..................................... 2. B = {2, 4, 6, … , 500} ตอบ ..................................... 3. C = {x | x เปVนจำนวนเต็มบวก และ x + 6 = x} ตอบ ..................................... 4. D = {x | x เปVนจำนวนนับ และ x + 3 = 20} ตอบ ..................................... ตัวอย่างต่อไปนี้ เซตใดเป็นเซตว่าง เซตจํากัด หรือเซตอนันต์

เอกภพ สัมพัทธ์

เซตของจํานวนที่มักจะกล่าวถึงเสมอ และใช้กันทั่ว ๆ ไป มีดังนี้ I หรือ Z เป*นเซตของจำนวนเต็ม หรือ I + เป*นเซตของจำนวนเต็มบวก หรือ I - เป*นเซตของจำนวนเต็มลบ หรือ I 0 เป*นเซตของจำนวนเต็มศูนย;หรือ N เป*นเซตของจำนวนนับ หรือ R เป*นเซตของจำนวนจริง

เอกภพสัมพัทธ์ ในการเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก จะต้อง กําหนดเซตขึ้นมาเซตหนึ่ง เรียกว่า “เอกภพสัมพัทธ์” โดยมีข้อตกลงว่า เมื่อกล่าวถึงสมาชิกของเซตใด ๆ จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นที่นอกเหนือจากสมาชิก ในเอกภพสัมพัทธ์นั้น เอกภพสัมพัทธ์ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์

ตัวอย่างเอกภพสัมพัทธ์ A = {x | x2 = 4} กําหนดให้U คือเซตของจํานวนจริง เขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก จะได้ กําหนดให้U คือเซตของจํานวนเต็มบวก เขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก จะได้

การเขียนเอกภพสัมพัทธ์ เอกภพสัมพัทธ์อาจเขียนกําหนดไว้ก่อนหรือ สามารถเขียนกําหนดลงไปในเซตได้เลย เช่น A = { x ∈ N | x2 = 16 } จะได้ว่า อ่านว่า A เป็นเซตซึ่งมีสมาชิกเป็นจํานวนนับ โดยที่ x2 = 16

แบบฝึกหัด จงเขียนเซตต่อไปนี้ในรูปสัญลักษณ์ และ เขียนเซต แบบแจกแจงสมาชิก 1. เซตที่มีสมาชิกเป็นจํานวนเต็มลบที่มากกว่า 5 ตอบ เขียนในรูปสัญลักษณ์จะได้ .............................................................. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก จะได้ ......................................................... 2. เซตของจํานวนเต็มที่น้อยกว่า 10 ตอบ เขียนในรูปสัญลักษณ์จะได้ .............................................................. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก จะได้ .........................................................

แบบฝึกหัด จงเขียนเซตต่อไปนี้ในรูปสัญลักษณ์และ เขียนเซต แบบแจกแจงสมาชิก 3. เซตของจํานวนนับตั้งแต่ 2 ถึง 6 ตอบ เขียนในรูปสัญลักษณ์จะได้ .............................................................. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก จะได้......................................................... 4. เซตของจํานวนจริงที่อยู่ระหว่าง 1 ถึง 2 ตอบ เขียนในรูปสัญลักษณ์จะได้ .............................................................. เขียนแบบแจกแจงสมาชิก จะได้ .........................................................

เซตที่เท่ากัน

เซตที่เท่ากัน (equal sets หรือ identical sets) บทนิยาม เซต A เท่ากับ เซต B หมายถึง สมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกของเซต B และสมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A เขียนแทนด้วย เช่น กําหนดให้A = {0, 1, 2, 3} และ B = {1, 3, 0, 2} จะเห็นว่าเซต A และ เซต B มีสมาชิกเหมือนกันทุกตัว ดังนั้น

เซตที่เท่ากัน (equal sets หรือ identical sets) เซต A ไม่เท่ากับ เซต B หมายความว่า มีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต A ที่ไม่ใช่สมาชิกของเซต B หรือมีสมาชิกอย่างน้อยหนึ่งตัวของเซต B ที่ไม่ใช่สมาชิกของ เซต A เขียนแทนด้วย เช่น กําหนดให้A = {1, 2, 3} และ B = {1, 2} จะเห็นว่า ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าเซตในข้อใดบ้างที่เท่ากันและ เซตในข้อใดบ้างที่ไม่เท่ากัน 1) A = {1, 2, 3} B = {3, 2, 1} ตอบ

ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าเซตในข้อใดบ้างที่เท่ากันและ เซตในข้อใดบ้างที่ไม่เท่ากัน 2) C = {p, o, s, t} D = {s, t, o, p} ตอบ

ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าเซตในข้อใดบ้างที่เท่ากันและ เซตในข้อใดบ้างที่ไม่เท่ากัน 3) E = {x | x เป:นจำนวนเฉพาะที่นFอยกวIา 10} F = {1, 3, 5, 7, 9} ตอบ

ตัวอย่างที่ 2 ให้A = {x | x เป็นจํานวนคู่} , B = {x | x เป็นจํานวนคี่บวก และ C = {1, 3, 5, 7, … } จงพิจารณาว่าเซตคู่ใดบ้างเท่ากัน และเซตคู่ใดบ้างไม่เท่ากัน วิธีทำ เขียนเซต A และ B แบบแจกแจงสมาชิก ได=ดังนี้ A = B = จะได= A B B C A C

ตัวอย่างที่ 3 ให้ S = {2, 4, 6, … , 16} , T = {x | x เป็นจํานวนคู่บวกที่น้อยกว่า 20} จงพิจารณาว่าเซต S เท่ากับ เซต T หรือไม่ วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 4 ให้ A = {x | x เป็นพยัญชนะในคําว่า “กรรมการ”} B = {x | x เป็นพยัญชนะในคําว่า “มรรคา”} C = {x | x เป็นพยัญชนะในคําว่า “มกราคม”} D = {x | x เป็นพยัญชนะในคําว่า “รากไม้”} จงพิจารณาว่าเซตคู่ใดบ้างที่เท่ากัน ตอบ

การบ้าน!!!!! ให้นักเรียนทําแบบฝึกหัด 1.1ก หน้า 11 ข้อ 7 ใหญ่ ข้อ 1) – 3) (ลอกโจทย์ด้วยนะคะ) ทําลงในสมุด แล้วโพสต์ส่งในกลุ่ม ภายในวันพุธที่ 16 มิ.ย. เวลา 15.00 น.

แผนภาพเวนน์ (Venn Diagram)

แผนภาพเวนน์(Venn Diagram) การเขียนแผนภาพแสดงเซตจะช่วยให้ความคิด เกี่ยวกับเซตชัดเจนขึ้น การเขียนแผนภาพเวนน์ 1. แทน U ด้วย รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใด ๆ 2. แทนเซตอื่น ๆ ที่เป็นสับเซตของ U ด้วยวงกลม วงรี หรือรูปปิดใด ๆ

รูปแบบของแผนภาพเวนน์ ให้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ และ A , B แทนเซตใด ๆ ที่เป็นสับเซตของ U แบบที่ 1 เซต A และ เซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกันเลย เรียกเซตที่ไม่มีสมาชิกร่วมกันว่า

รูปแบบของแผนภาพเวนน์ ให้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ และ A , B แทนเซตใด ๆ ที่เป็นสับเซตของ U แบบที่ 2 เซต A และ เซต B มีสมาชิกบางส่วนร่วมกัน นั่นคือ

รูปแบบของแผนภาพเวนน์ ให้ U แทนเอกภพสัมพัทธ์ และ A , B แทนเซตใด ๆ ที่เป็นสับเซตของ U แบบที่ 3 สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A นั่นคือ