การสั่นสะเทือน

การสันสะเทือน

VIBRATION

ร ศ . ด ร . พ ร พ ร ร ณ ส กุ ล คู
ส า ข า วิ ช า อ น า มั ย สิ ง แ ว ด ล้ อ ม อ า ชี ว อ น า มั ย แ ล ะ ค ว า ม ป ล อ ด ภั ย

ค ณ ะ ส า ธ า ร ณ สุ ข ศ า ส ต ร์ ม ห า วิ ท ย า ลั ย ข อ น แ ก่ น



คำนำ

รายงานฉบับนี้เป็นเนื้อหาที่เก่ียวข้องกับการส่ันสะเทือนเพ่ือการเรียนรู้ โดยมีวัตถุประสงค์เพ่ือศึกษาหาความรู้
ท่ีได้จากเร่ืองการส่ันสะเทือน ท้ังน้ีในรายงานฉบับนี้มีเนื้อหาซึ่งประกอบด้วยความรู้เกี่ยวกับที่มา และ
ความหมายของการสน่ั สะเทอื น ตลอดจนทฤษฎตี า่ งๆ เพ่อื ให้เกดิ ความเขา้ ใจกนั อยา่ งทัว่ ถึง

ผู้จัดทาได้เลือกหัวข้อน้ีในการทารายงาน เน่ืองจากเป็นเรื่องท่ีน่าาสนใจ เป็นเรื่องใกล้ตัวในการ
ประกอบวิชาชีพ รวมทั้งแสดงให้เห็นถึงการส่ันสะเทือนในรูปแบบต่างๆ และอันตรายที่เกิดจจาก
แรงสั่นสะเทือน หวังว่ารายงานฉบับนี้จะให้ความรู้ และเป็นประโยชน์แก่ผู้อ่านทุกๆ ท่าน หากมีข้อเสนอแนะ
ประการใด ผู้จดั ทาขอรบั ไวด้ ว้ ยความขอบพระคุณยิง่

ผู้จดั ทา
รศ.ดร.พรพรรณ สกุลคู

สำรบัญ

เร่ือง หนำ้
1. เบอ้ื งต้นเกยี่ วกับการส่ันสะเทอื น 2

1.1 การส่ันสะเทือน 2

1.2 ที่มาของการสนั่ สะเทือน (Vibration Source) 2

2. การวิเคราะหก์ ารสนั่ สะเทือน 3

3. ทฤษฎกี ารสน่ั สะเทอื น 4

3.1 การเคล่อื นทข่ี องการส่นั สะเทือน 4

3.2 พลศาสตรข์ องเครื่องจักร 7

4. รูปแบบของการสัน่ สะเทือน (Vibration Type) 9

4.1 การส่ันสะเทือนโดยอิสระ (Free Body Vibration) 9

4.1.1 บทนา 9

4.1.2 สมการการเคล่ือนที่ของการส่นั แบบอสิ ระ 9

4.1.3 การสนั่ แบบอิสระของระบบท่ีไม่มตี ัวหน่วงการสั่นสะเทือน 11

4.1.4 การสั่นแบบอสิ ระของระบบที่มีตัวหน่วงการส่ันสะเทือน 13

4.1.5 Logarithmic decrement 13

4.1.6 สภาพสมดลุ และเสถยี รภาพของระบบ 14

4.1.7 การออกแบบระบบการส่ันสะเทือน 16

4.1.8 สรุป 16

4.2 การสั่นสะเทือนแบบขบกันหรอื เคลอื่ นท่ผี ่าน (Meshing or Passing Vibration) 17

4.3 การสน่ั สะเทือนจากแรงเสยี ดทาน (Frictional Vibration) 18

5. การสั่นสะเทือนแบบบังคับ 18

5.1 บทนา 18

PART A: Force vibration 20

5.2 การสน่ั สะเทือนแบบบังคับทไ่ี ม่มตี วั หนว่ งการสนั่ สะเทือน 20

5.2.1 สมการการเคลอ่ื นที่ของการสนั่ สะเทือนแบบบังคบั ที่ไม่มีตัวหนว่ งการสนั่ สะเทือนและผลเฉลย 20

5.2.2 เงอื่ นไขคา่ เร่ิมตน้ กบั การสั่นสะเทอื นแบบบงั คบั สาหรับระบบท่ีไมม่ ีตวั หนว่ งการส่นั สะเทือน 22

5.2.4 บที (Beat) 25

5.2.5 การสัน่ พ้อง (Resonance) 27

5.3 การสน่ั สะเทือนแบบบงั คับทีม่ ตี วั หนว่ งการสั่นสะเทอื น 29
5.3.1 สมการการเคลื่อนที่ของการสน่ั สะเทือนแบบบังคับที่มีตัวหนว่ งการสน่ั สะเทือนและผลเฉลย 29
5.3.2 ผลตอบสนองในสภาวะคงตวั ท่ีความถี่แรงกระตุ้นต่างๆ 32
5.3.3 การวิเคราะหด์ ้วยวธิ ีการ Frequency response 34
37
PART B: Applications 37
5.4 การส่นั สะเทือนจากความไม่สมดลุ จากการหมนุ (Rotating unbalance) 39
5.5 การสน่ั สะเทือนจากการสั่นสะเทอื นของพ้นื (Base excitation) 41
5.6 อุปกรณว์ ดั การสนั่ สะเทือน 43
5.7 สรุป 44
44
6. การสั่นสะเทอื นของระบบท่ีมอี งศาอิสระมากกวา่ หน่ึง 44
6.1 บทนา 50
6.2 การสน่ั สะเทือนอยา่ งอิสระของระบบทไ่ี มม่ ีตัวหน่วงการส่นั สะเทอื น 51
6.3 การส่นั สะเทือนแบบบงั คับของระบบที่ไม่มีตวั หน่วงการสนั่ สะเทือน 51
6.4 การวเิ คราะห์โดยวิธโี มดลั 53
6.4.1 หลกั การของการวิเคราะหโ์ มดัล 57
6.4.2 คณุ สมบัตคิ วามต้ังฉาก 58
6.5 Rigid body mode 59
6.6 การวิเคราะหโ์ มดลั ในระบบทม่ี คี วามหน่วง 60
6.6 สรุป 60

7. อันตรายจากการสั่นสะเทือน
7.1 วธิ ีการป้องกันอันตรายจากแรงสน่ั สะเทือน

สำรบญั ภำพ หนำ้
4
เรือ่ ง 6
รปู ท่ี 1 องค์ประกอบของการส่นั สะเทือน 7
รูปท่ี 2 การเคลื่อนทแี่ บบฮาร์โมนกิ 2 คา่ โดยทม่ี ีมุมเฟสตา่ งกนั 13
รปู ท่ี 3 การเคล่ือนทแ่ี บบไมเ่ ป็นฮารโ์ มนกิ (Non-harmonic Motion) 15
รูปที่ 4 กราฟการสน่ั สะเทือนแบบอิสระของระบบที่ไม่มตี วั หนว่ งการส่ันสะเทือน 16
รูปท่ี 5 ระบบอยา่ งงา่ ยทป่ี ระกอบดว้ ยมวล สปริง และตัวหนว่ งการส่นั สะเทือน 17
รปู ท่ี 6 Logarithmic decrement 18
รปู ที่ 7 สภาพสมดลุ ท่ีมเี สถียรภาพ และไม่มีเสถียรภาพ 19
รูปท่ี 8 การเคลื่อนท่ขี องระบบทไี่ ม่มเี สถียรภาพ 20
รปู ท่ี 9 การสัน่ สะเทือนโดยอิสระ (Free Body Vibration)ของชิ้นสว่ นตา่ ง ๆ ของเครื่องจกั ร 21
รูปท่ี 10 การส่ันสะเทือนแบบขนกนั หรอื เคลื่อนทผี่ ่าน 22
รปู ท่ี 11 ตัวอยา่ งพลังงานภายนอกท่ีใส่เขา้ ในระบบการสั่นสะเทือน 23
รปู ท่ี 12 ตัวอยา่ งพลังงานภายนอกที่ใส่เข้าในระบบการสน่ั สะเทือน
รูปท่ี 13 ระบบการสน่ั สะเทือนที่มแี รงกระตุ้นแบบฮาร์โมนิกกระทากบั ระบบ 25

รปู ท่ี 14 การสนั่ สะเทอื นของระบบซงึ่ เปน็ ผลรวมจาก Xh(t)และ Xp(t) 26
27
รปู ที่ 15 ผลของความถ่ีการกระตนุ้ ตอ่ ลักษณะการส่นั สะเทือนของระบบ 28
รูปที่ 16 การสั่นสะเทือนท่ีเฟสของการกระตนุ้ ตรงกับเฟสของการสนั่ สะเทือน 29
รปู ท่ี 17 การสน่ั สะเทือนท่เี ฟสของการกระตุ้นตรงกนั ข้ามกับเฟสของการสัน่ สะเทือน 30
รปู ท่ี 18 สญั ญาณบีท 32
รปู ท่ี 19 การเกดิ บีช 32
รปู ที่ 20 การสั่นพ้องเม่อื เงื่อนไขค่าเร่มิ ตน้ เป็นศูนย์ 34
รปู ท่ี 21 ระบบการสนั่ สะเทือนแบบบงั คบั ที่มตี วั หนว่ งการส่ันสะเทอื น 35
รูปท่ี 22 มุมเฟสของการสั่นสะเทือนแบบบังคับ
รูปที่ 23 ตวั อย่างกราฟแสดงการสั่นสะเทือนแบบบงั คับของระบบท่ีเป็น 36
38
Under damped motion 42
รูปท่ี 24 ความสัมพันธ์ของขนาดการส่นั สะเทือนที่ความถี่แรงกระตุ้นต่างๆ 44
รูปท่ี 25 ความสัมพนั ธข์ องมมุ เฟสท่ีความถ่ีแรงกระตุน้ ต่างๆ 45
รูปที่ 26 แบบจาลองการสน่ั สะเทือนจากความไมส่ มดลุ และ FBD 46
รูปท่ี 27 ผลตอบสนองเชิงความถี่ของปญั หาการสั่นสะเทือนจากความไมส่ มดุล 47
รปู ท่ี 28 แบบจาลองการสนั่ สะเทือนจากการสน่ั สะเทือนของพื้น และ FBD 51
รูปที่ 29 ความสัมพันธร์ ะหว่างค่า Displacement transmissibility ทคี่ วามถตี่ า่ งๆ 52
รูปที่ 30 แผนผังแสดงหลกั การอปุ กรณ์วัดการส่นั สะเทือน
รปู ที่ 31 ระบบท่ีมอี งศาอสิ ระเทา่ กบั 2 และแผนผงั วตั ถุอสิ ระ (Free Body Diagram, FBD)
รูปที่ 32 การเคลื่อนท่ีแบบ Synchronous motion ของระบบที่มีองศาอิสระเท่ากับสอง

รปู ที่ 33 Mode shape ของการส่ันสะเทือน 55
รปู ที่ 34 สรุปขั้นตอนการวิเคราะหป์ ัญหาการส่นั สะเทือนอย่างอิสระ 57

ของระบบท่ีมีองศาอิสระมากกว่าหนง่ึ และไม่มตี ัวหนว่ งการสัน่ สะเทือน 59
รปู ท่ี 35 ระบบพกิ ดั กบั สมการการเคลอื่ นท่ี 60
รูปที่ 36 หลกั การวเิ คราะห์โมดลั 64
รปู ท่ี 37 ข้ันตอนการวเิ คราะหโ์ มดัล 65
รูปที่ 38 ตัวอยา่ งระบบท่ีมี Mode shape หนึง่ เปน็ Rigid body mode

กำรสน่ั สะเทอื น
(Vibration)

การส่ันสะเทือนคือ การเคล่ือนท่ีของมวลทุกทิศทุกทางในตาเเหน่งอยู่กับที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
โครงสร้างเคร่ืองจักร ช้ินส่วนอุปกรณ์ ที่ติดต้ังทางานอยู่ในโรงงานท่ัวๆไป เช่น การหมุนของเพลาในบูช หรือ
แบร่ิงกาบ จะหมุนท่ีจุดศูนย์กลางของบูช,แบริ่ง ถ้าเเบร่ิงสึกหรอจะทาให้มีระยะห่างมาก การเคลื่อนที่ของ
เพลาในทุกทิศทางก็มากเช่นกัน ทาให้เกิดการส่ันสะเทือน หรือ การเคลื่อนท่ีกลับของแบริ่งแท่นรองรับ โดย
การสน่ั สะเทือนสามารถเขียนได้ในรูปแบบสมการคือ = แรง x การเคลือ่ นท่ี

การส่นั สะเทอื น (Vibration) ในความหมายกค็ อื การสัน่ หรอื การแกว่งของวัตถหุ รือชิน้ ส่วนต่าง ๆ เมอ่ื
เปรียบเทียบกับจุดท่ีใช้อ้างอิง เช่น การส่ันสะเทือนของเครื่องจักรเม่ือเปรียบเทียบกับฐานของเครื่อง หรือการ
ส่ันสะเทือนของตลับลูกปืน (Bearing) เมื่อเทียบกับตัวเรือน (Cage or Housing) การสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้น
อย่างรุนแรงจะสามารถทาให้เครื่องจักรเกิดความเสียหายได้ โดยการแตกหักหรือล้าตัวซึ่งความเสียหายที่
เกิดขึ้นจะมากน้อย เร็วหรือช้าก็จะขึ้นอยู่กับขนาดและทิศทางของแรงที่เกิดจากการสั่นสะเทือน เมื่อเทียบกับ
ขนาดโครงสร้างและคุณสมบัตทิ างฟิสิกส์ของวสั ดนุ ้นั ๆความส่ันสะเทือนเป็นการเคล่ือนที่ทางไดนามกิ ส์ ซง่ึ เป็น
ผลมาจากการส่งแรงกระตนุ้ ไปยงั มวล โดยการวดั ความสั่นสะเทอื นจะช่วยให้

1. ป้องกันการบาดเจ็บของบุคลากรท่ีทางานควบคุมเครื่องจักรในบริเวณน้ัน หากเครื่องจักรมีการ
ส่ันสะเทือนมากเกินกว่าท่ีจะทนได้ ส่วนประกอบของเคร่ืองจักรจะกระทบกันเองอย่างรุนแรง หรือหลุดแตก
ออกมาทาให้ผู้ทที่ างานอยู่ในบรเิ วณน้นั เกดิ การบาดเจบ็ หรอื ถึงขน้ั เสยี ชีวิตได้

2. ลดต้นทุนค่าใช้จ่ายในการซ่อมแซม หากการทางานของเครื่องจักรสะดุดหยุดลงอันเนื่องมาจาก
ความสน่ั สะเทือนเกินระดับท่เี ครือ่ งสามารถทางานได้

3. หลีกเล่ียงการเปล่ียนส่วนประกอบของเคร่ืองจักรท่ีมีต้นทุนสูง หรือในบางคร้ังอาจไม่สามารถ
ซ่อมแซมได้ ตอ้ งมีการเปลย่ี นชดุ ใหม่ทัง้ หมด

2

1. เบือ้ งต้นเกี่ยวกับกำรส่ันสะเทอื น
การวิเคราะห์การสั่นสะเทือนได้ถูกนามาใช้ในการหาความถ่ี และยังสามารถนามาใช้ได้ดีสาหรับการ

วนิ จิ ฉยั หาสาเหตุของความผิดปกติของเครื่องจักรอุปกรณ์ต่างๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเครื่องจักรอุปกรณ์เชิงกลใน
งานอุตสาหกรรมท่ัวไป ซ่ึงต้องมีการนาเทคนิคมาใช้อย่างเหมาะสมและถูกต้อง แต่การนาเทคนิคไปใช้ให้เกิด
ประโยชน์นั้นจะต้องทาความเข้าใจถึงหลักการและทฤษฎีท่ีเก่ียวข้องเสยี ก่อน

1.1 กำรสน่ั สะเทือน
การสน่ั สะเทือน (Vibration) คือการเคล่อื นท่ขี องวัตถุรอบๆจุดสมดุลในชว่ งเวลาหนึ่งของการเคลือ่ นท่ี
ไม่ว่าการเคลื่อนท่ีรอบจุดสมดุลนั้นเกิดข้ึนในแบบการเคลื่อนที่ซ้าไปซ้ามา หรือจะเป็นการแกว่ง (Oscillation)
รอบจุดสมดลุ ก็ตาม ลกั ษณะทางกายภาพของปรากฏการณ์การสน่ั สะเทือนจะเก่ียวข้องกับการเปลี่ยนรปู ไปมา
ของพลังงาน สาหรับระบบที่มีการสั่นสะเทือนนั้นมีองค์ประกอบสาคัญคือ องค์ประกอบที่สะสมพลังงานศักย์
องคป์ ระกอบทีส่ ะสมพลังงานจลน์ และองคป์ ระกอบทห่ี น่วงให้พลังงานของระบบลดลง ซงึ่ การเปล่ยี นรูปไปมา
ของพลังงาน จะทาให้เกิดการเคลื่อนท่ีและการเคลื่อนท่ีนี้จะก่อให้เกิดการสั่นสะเทือนข้ึน กล่าวคือ เมื่อมีการ
สะสมพลังงานศักยข์ ้ึนในระบบ พลังงานนีจ้ ะถกู เปลีย่ นเป็นพลังงานจลน์ ซง่ึ อยู่ในลกั ษณะการเคลอื่ นที่ของมวล
ในระบบ และการเคล่ือนท่ีนจี้ ะก่อให้เกิดการสะสมพลังงานศักย์ขึ้นอกี เป็นเช่นนไี้ ปเร่ือยๆ ส่วนองคป์ ระกอบที่
หนว่ งพลังงานของระบบนั้น กจ็ ะเปลี่ยนพลังงานศักย์และพลังงานจลน์ของระบบให้อยู่ในรูปอน่ื เช่น เสยี งหรือ
ความร้อน เป็นต้น จนในที่สุดพลังงานของระบบหมดไป นอกเสียจากว่ามีส่ิงใดสิ่งหน่ึงมากกระทาหรือกระตุ้น
ให้การส่ันสะเทอื นยังคงมอี ยู่
1.2 ที่มำของกำรส่ันสะเทือน (Vibration Source)

โดยปกติแล้วการทางานของช้ินส่วนของเคร่ืองจักรหรือเคร่ืองจักรนั้นย่อมมีการส่ันสะเทือน เป็น
ธรรมชาติของมันอยู่แล้ว ถ้าระดับการส่ันสะเทือนน้ันไม่มากหรืออยู่ในเกณฑ์ปกติก็ถือว่าเป็นเรื่องธรรมดา แต่
ถ้าการส่ันสะเทือนมากเกินไปก็อาจส่งผลให้ช้ินส่วนตลอดจนเคร่ืองจักรนั้น ๆ มีอายุการใช้งานท่ีสั้นลง เราจึง
ต้องหาสาเหตุและที่มาของการส่ันสะเทือนนั้นเพ่ือทาการแก้ไขให้การส่ัน สะเทือนน้ันอยู่ในระดับปกติ ซ่ึงการ
สั่นสะเทือนน้ันมาจากหลายสาเหตุ เช่น

1. ความไมส่ มดลุ ในการหมุน (Unbalance)จะเกดิ ขึ้นเม่ือจดุ ศูนย์กลางของการหมุนและจุดศนู ย์กลาง
ของมวลไม่อยู่ในจุด ๆ เดียวกัน เช่น การไม่สมดุลหรือการแกว่งของเพลาท่ีคดงอหรือชารุด การไม่สมดุลของ
ใบพดั ล่อช่วยแรง ช้ินส่วนท่เี คลอื่ นท่ีในแนวรศั มหี รือในรูปวงกลม

2. ความไม่ได้ศูนย์(Misalignment) ระหว่างเพลาของมอเตอร์และปั้มหรือเพลาของต้นกาลังกับเพลา
ของเครื่องจกั ร

3. การหลดุ หลวมของชิน้ ส่วนต่างๆ ของเคร่ืองจักร
4. การท่แี บริง่ หรือบชู เกดิ การชารดุ สกึ หรอหรือขาดการหล่อลืน่
5. แทน่ เครือ่ งหรือจุดจบั ยดึ ของเครือ่ งจักรไม่แนน่ หรือไมแ่ ข็งแรง

สาหรับความเสียหายท่ีเกิดจากการสัน่ สะเทือนนั้นจะเกิดเนื่องจากแรงท่ีเกิดจากการเคลอื่ นที่ของวตั ถุ
ท่สี นั่ สะเทือนน้ัน ๆ โดยที่แรงทเ่ี กิดขึ้นจะเป็นไปตามกฎข้อที่สองของนิวตัน (2nd Newton Laws)

3

ดังสมการ

= .........(1)

โดยท่ี F คือ แรงกระทาท่ีเกดิ ข้นึ (N)
m คอื มวลของวัตถหุ รือระบบทเ่ี คลื่อนท่ี (kg)
a คือ อัตราเร่งท่ีเกิดขึ้นกบั วตั ถุหรือระบบท่ีเกิดการเคลื่อนท่ี (m/s2)

สาหรบั การเคลอ่ื นท่เี ชิงมุมนน้ั ความไม่สมดุลของชนิ้ ส่วนทห่ี มนุ กจ็ ะเป็นต้นเหตุให้เกิดการ
สั่นสะเทือน โดยแรงทีเ่ กิดจากการส่ันสะเทือนจะเป็นไปตามสมการ

= 2 ………(2)

โดยท่ี F คือ แรงกระทาที่เกิดขึ้นเน่ืองจากความไม่สมดุลในการหมนุ (N)
mr คอื มวลของวัตถุหรือระบบที่เคลื่อนที่โดยการหมนุ (kg)
r คอื ระยะห่างระหว่างมวลทไี่ ม่สมดุล, mr จากศูนย์กลางการหมุน (m)
คือ ความเร็วเชงิ มุม (2πNs) (m/s) โดยท่ี Ns=รอบ/วนิ าที

2. กำรวเิ ครำะห์กำรสน่ั สะเทือน

การวิเคราะหก์ ารส่นั สะเทือนสามารถกระทาไดโ้ ดยการสรา้ งแบบจาลองทางคณิตศาสตรข์ นึ้ แลว้ นาผลเฉลยทาง
คณิตศาสตรม์ าพจิ ารณา

องคป์ ระกอบพืน้ ฐานแบบง่ายที่สดุ จะประกอบดว้ ยมวลสปริงตวั หน่วงและตัวกระตุน้ ดงั รูปที่ 2-1 พลงั งานที่
เกิดขนึ้ ในระบบจะผา่ นเขา้ ไดโ้ ดยอาศยั ตวั กระตนุ้ ซง่ึ ผา่ นเขา้ ระบบในรูปของแรง F (t) ทีก่ ระทาที่มวลของระบบหลงั จากนนั้
ก็จะสะสมอยทู่ ม่ี วลและสปรงิ พลงั งานนจี้ ะถกู กระจาย (Dissipated) และดดู ซมึ โดยตวั หนว่ งเม่ือมกี ารเคลอ่ื นท่ีเกิดขนึ้ พลงั
งานทกี่ ระจา่ ยเขา้ ไปที่ตวั หนว่ งจะเปลยี่ นเป็นพลงั งานความรอ้ นในทีส่ ดุ

ระบบในลกั ษณะนจี้ ะเป็นระบบที่เรยี กวา่ ระบบเชิงเสน้ (Linear System) คณุ สมบตั ทิ สี่ าคญั ของความเป็นระบบ
เชิงเสน้ คอื หลกั การทบั ซอ้ น (Superposition Principle) ตวั อยา่ งของการใชป้ ระโยชนข์ องหลกั การนเี้ ชน่ ในการศกึ ษาการ
ส่นั สะเทือนของระบบท่ีมีแรงกระตุน้ กระทาต่อระบบพรอ้ ม ๆ กันสองชุดดว้ ยกันจะสามารถทาไดโ้ ดยการศึกษาการ
ส่นั สะเทือนของแต่ละแรงกระตนุ้ แลว้ จึงนาเอาผลของแรงกระตนุ้ ทงั้ สองมารวมกนั เป็นผลลพั ธ์สดุ ทา้ ยนอกจากนีค้ ่าของ
มวลค่าคงท่ีของสปรงิ และค่าคงท่ีของตวั หนว่ งก็จะมีคา่ คงท่ีเพ่ือเป็นการสะดวกในการศกึ ษาระยะแรกอีกดว้ ยผลของการ
กาหนดใหพ้ ารามิเตอร์ (Parameters) ทงั้ สามนีม้ ีคา่ คงทก่ี ็จะทาใหส้ มการเชิงอนพุ นั ธข์ องการเคลอื่ นทีข่ องระบบเป็นแบบ
Linear Ordinary Differential Equation เท่มี คี า่ สมั ประสทิ ธิ์เป็นคา่ คงท่ี (Constant Coefficient)

4

รปู ที่ 1 องคป์ ระกอบของการสนั่ สะเทอื น
ท่มี า : http://www.lib.kps.ku.ac.th/SpecialProject/Food_Engineering/2541/Bs/SayumpornRp/chapter2.pdf

3. ทฤษฎกี ำรส่นั สะเทือน

3.1 กำรเคล่ือนที่ของกำรส่ันสะเทือน

รูปแบบการเคล่ือนท่ีของการสั่นสะเทือนมีลักษณะการเคล่ือนที่แบบคาบเวลา (Periodic Motion)
หรือมลี กั ษณะการเคลอ่ื นทแ่ี บบซา้ ๆ ในช่วงคาบเวลาคงทคี่ ่าหน่งึ (T) หรอื 1รอบ

ซ่ึงการเคล่ือนที่สามารถแบ่งออกได้เป็น 2ลักษณะคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิก(Harmonic
Motion) การเคล่ือนท่ีแบบคาบเวลา (Periodic Motion) หรือมีลักษณะการเคลื่อนท่ีแบบคาบเวลาที่มีความ
ซับซอ้ นน้อยและงา่ ยแกก่ ารทาความเข้าใจมากทส่ี ดุ การเคลอ่ื น

ลักษณะการเคลอื่ นท่ซี ้าไปซา้ มาเหมือนกนั ทุกคาบ การเคล่อื นท่แี บบฮาร์โมนิกสามารถแสดงในรปู
ของฟังกช์ ันทางคณิตศาสตร์แทนความสัมพันธ์ระหว่างการขจัด (x) และเวลา (t) ดงั นี้

( ) = 0 sin( ) ..........(1)
โดยที่ X0 คือ ค่าการขจัดสงู สุดหรือแอมพลิจูด

คือ ความถเ่ี ชงิ มมุ (Radians per Second)

= 1



เม่อื T คอื คาบเวลา มีหนว่ ยเป็นวนิ าทต่ี ่อรอบ(Sec) หรือเวลาท่ีใช้ในการเคลือ่ นท1่ี รอบ ซงึ่ ส่วนกลบั
คอื ความถ่ี (f ) มีหน่วยเป็นรอบตอ่ วินาที (Cycle per Second; cps) หรอื เฮรติ ซ์ (Hertz; Hz)

5

นอกจากนั้นยังสามารถวัดความถ่ีของการสั่นได้อีกวิธีหนึ่งคือ การวัดความถ่ีเชิงมุม (Cycle

Frequency; ) ซึง่ มหี น่วยเป็นเรเดียนต่อวนิ าที(Radian per Second ) ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนท่ีคบ 1

รอบของการสั่น ( ) จะเกิดขึ้นเมื่อมีมุมรวมกันเท่ากับ 360 องศา หรือ 2 เรเดียน ที่จุดดังกล่าวจะสามารถ

อธิบายไดด้ ้วยสมการดงั นี้

= 2 = 2 ...........(2)



สาหรับเคร่ืองจักรแบบหมุน ความถ่สี ่วนใหญ่จะแสดงด้วยค่าการสั่นสะเทือนต่อนาท(ี Vibrations per
Minute; vpm) หรือ

= ...........(3)



โดยความหมายแล้วความเร็วเป็นอนุพันธ์ลาดับท่ี1ของการขจัดเทียบกับเวลา ซ่ึงสาหรับการเคล่ือนท่ี
แบบฮาร์โมนกิ แล้ว สมการของการขจดั แสดงได้ดงั สมการที่ (1) ซึง่ เมอื่ หาอนพุ ันธ์ลาดับท่ี 1 ของสมการนี้เทียบ
กบั เวลา แสดงได้ดงั ตอ่ ไปน้ี

= = ̇ = 0 cos( ) ..........(4)


จากสมการ 4 จะพบว่าความเรว็ มีลักษณะความสมั พนั ธ์แบบฮาร์โมนกิ ด้วยทงั้ น้ีการขจัดต้องมลี ักษณะ

เป็นฮารโ์ มนิก และมีคา่ สูงสดุ หรอื ค่าแอมพลจิ ดู เท่ากบั − 0 ในทานองเดยี วกนั ความเร่งเป็นอนุพันธ์ลาดับ
ท่ี 2 ของการขจดั เมอ่ื เทียบกับเวลา แสดงได้ดงั น้ี

= 2 = ̈ = − 2 0 sin( ) ..........(5)
2

สมการท่ี 5 มีลักษณะเป็นฮาร์โมนิก เช่น กันโดยมีค่าการขจัดสูงสุดหรือค่าแอมพลิจูดเท่ากับ 2 0
หากพิจารณาความถี่ท่ี 2 โดยให้มีสมการของความถ่ีค่าแรกเป็น 1 = sin( ) และสมการความถี่ค่าท่ี 2
เป็น 2 = sin( + ) ดังแสดงในรูปที่ 5 ซึ่งแกนนอนจะแทนด้วยค่า แทนค่า ในสมการของ X2
คือค่ามุมเฟส (Phase Angle) ค่าเฟสที่แตกต่างกันของการส่ันท้ังสองค่าน้ี ทาให้การสั่นท้ังสองไม่สามารถมีค่า
แอมพลจิ ูดที่เวลาเดียวกันได้โดยที่การสั่นค่าหน่ึงจะอยู่หา่ งจาการสั่นอีกค่าหนึ่งเท่ากบั / วนิ าที ท้ังน้ีการสั่น
ทงั้ สองคา่ นตี้ ้องมีความถ่ีเท่ากัน ดังน้ันอาจกล่าวได้วา่ มุมเฟสจะมีความหมายเพียงกรณีของการสน่ั สะเทือน

6

รูปท่ี 2 การเคล่ือนทีแ่ บบฮาร์โมนิก 2 ค่าโดยทีม่ ีมมุ เฟสต่างกัน
ทีม่ า : https://core.ac.uk/download/pdf/70941156.pdf

กำรเคล่อื นทแ่ี บบไม่เป็นฮำร์โมนิก (Non-harmonic Motion)
สาหรับเครื่องจักรอุปกรณ์ส่วนใหญ่ปกติแล้วจะมีแหล่งที่มาของการส่ันสะเทือนหลายๆที่ ดังรูปแบบ
ของการส่ัน เม่อื พจิ ารณาจากความสัมพันธ์ระหว่างการขจดั และเวลาส่วนใหญ่จึงมลี ักษณะแบบการเคล่ือนที่ไม่
เป็นฮาร์โมนิก ในขณะที่ทุกๆการเคลื่อนท่ีแบบฮาร์โมนิกจะมีลักษณะเป็นคาบเวลา แต่ทุกๆการเคล่ือนท่ีที่มี
ลักษณะเป็นคาบเวลาไม่เป็นการเคล่อื นที่แบบฮาร์โมนกิ เสมอไป ซึง่ เป็นการเคลือ่ นทแี่ บบไม่เป็นฮาร์โมนิกที่เกิด
จากการรวมกันของการเคลื่อนที่ในลักษณะเป็นคลื่นไซน์(Sine Wave) สองคลื่นที่มีความถี่ต่างกันดังแสดงใน
รูป 3 โดยท่ีคลื่นแรกคือเส้นประท่ีมีค่าแอมพลิจูด a และคล่ืนที่ 2 คือเส้นประที่มีค่าแอมพลิจูด b ซึ่งเส้นโค้ง
ดงั กล่าวจะสามารถแทนได้ดว้ ยสมการดงั นี้

1 = sin( 1 ) ..........(6)
2 = sin( 2 ) ..........(7)
รูปท่ี 3 แสดงการการเคลื่อนทแี่ บบส่ันรวมแทนได้ดว้ ยเส้นทึบทเ่ี กดิ จากการรวมกนั ของเส้นประทง้ั สอง
ซ่งึ สามารถแสดงด้วยสมการดังนี้
= 1 + 2 = sin( 1 ) + sin( 2 ) ..........(8)

7

รูปที่ 3 การเคล่ือนทแ่ี บบไม่เปน็ ฮารโ์ มนิก (Non-harmonic Motion)
ที่มา : https://core.ac.uk/download/pdf/70941156.pdf

สาหรบั ฟงั กช์ นั แบบคาบเวลาใดๆ สามารถเขียนแทนได้ดว้ ยฟงั กช์ ันไซน์ในลกั ษณะอนุกรมกัน โดยมี
ค่าความถี่ทค่ี ่า , 2 , 3 , … ตามลาดบั ดังแสดงดงั นี้

( ) = 0 + 1 sin( + 1) + 2 sin( + 2) + 3 sin( + 3) + ⋯

ส่ันสะเทือนท่ัวไป ค่า 2 ,3 ,... จะเป็นการอ้างอิงถึงค่าลาดับท่ีฮาร์มอนิกของความถ่ีหลกั (Primary
Frequency; ) ในรูปแบบเฉพาะของการส่ันส่วนใหญ่ ค่าความถ่ีหลักของวัตถุจะมีค่าเป็นหน่ึงเท่าของค่า
ความเรว็ ใช้งาน (Running Speed) ของขบวนเครือ่ งจักร (Machine-train) ซ่ึงจะแทนดว้ ย 1X หรือ 1

นอกจากนั้นรูปแบบลักษณะเฉพาะดังกล่าวอาจมีค่าปรากฏท่ีตาแหน่งฮาร์โมนิกอื่นๆ เช่น ที่สองเท่า
(2X ) สามเท่า (2X ) หรือตาแหน่งอ่ืนๆ ของค่าความเร็วที่ใช้งานหลัก (Primary Running Speed) ซึ่งการ
ประยุกตด์ ังกล่าวเป็นพื้นฐานท่ีสาคญั สาหรบั การวิเคราะห์การสั่นสะเทือน

3.2 พลศำสตร์ของเครื่องจักร
เหตุผลสาคัญที่ทาให้รูปแบบการส่ันของเครื่องจักรมีความหลากหลายแตกต่างกันนั้นมีสาเหตุมาจาก
การเคลอื่ นที่แบบพลศาสตร์ของเครื่องจกั ร (Machine Dynamics) โดยการเคลอ่ื นท่ีน้ีจะขน้ึ อยู่กับมวล (Mass)
ความแข็งของสปริง (Stiffness) ความหน่วง (Damping) และลาดับข้ันความเป็นอิสระของการเคลื่อนท่ี
(Degree of freedom) แต่อย่างไรก็ตามยังจาเป็นต้องมีความระมัดระวังในการวิเคราะห์อยู่ เพราะรูปแบบ
ของการสน่ั สะเทือนที่เกิดจากเครือ่ งจักรนน้ั อาจจะแปรผันไปตามปัจจยั ของตาแหน่งหรือปัจจยั แวดล้อมอ่ืนๆใน
การวัดไดอ้ กี ดว้ ย
1. มวล (Mass) มวลเปน็ คุณสมบตั ิของวัตถใุ นการอธบิ ายว่ามีปรมิ าณเนื้อวัสดมุ ากเพยี งใด ณ เวลาน้นั
แต่สาหรับหลักการของพลศาสตร์แล้ว มวลจะอธิบายถึงความสามารถของวัตถุในการต้านแรงภายนอกท่ีมา
กระทาได้มากน้อยเพียงใด หรืออาจกล่าวได้ว่า ย่ิงวัตถุมีมวลมากก็ต้องใช่แรงปริมาณมากในการทาให้วัตถุ

8

เคลื่อนที่ การวิเคราะห์การสั่นสะเทือนถ้าเคร่ืองจักรมีมวลมากและสูญเสียสภาวะสมดุลแล้วปริมาณการ
สัน่ สะเทอื นกจ็ ะมากตามไปด้วย

2. ความแข็งของสปริง (Stiffness) ความแข็งของสปริงน้ีเป็นคุณสมบัติของวัตถุที่คล้ายคุณสมบัติของ
สปริง คือบอกถึงระดับความสามารถของวัตถุในการต้านแรงท่ีมากระทาซ่ึงจะส่งผลให้ตัววัตถุเกิดการ
เปล่ียนแปลงระยะทางหรือมิติรูปร่าง หน่วยของความมั่นคงแข็งแรงมักจะกาหนดเป็นํน้าหนักต่อระยะทาง
(kg/m) เครื่องจักรส่วนใหญ่มักจะมีคุณสมบัติความแข็งของสปริงในแกนของเพลา (Shaft Stiffness or
Longitudinal Stiffness) ความแข็งของสปริงในแนวแกนตั้ง(Vertical Stiffness) ความแข็งของสปริงใน
แนวแกนนอน (Horizontal Stiffness) ในเคร่ืองจักรต่างๆยิ่งค่าความแข็งของสปริงมีค่าน้อยลงค่าการ
สน่ั สะเทอื นจะยิง่ มากข้ึน

3. ความหน่วง (Damping) ความหน่วงเป็นคุณสมบัตทิ ่ีแสดงถึงสภาพการต้านการเคลอ่ื นที่มีผลทาให้
ความเร็วของการส่ันลดลง โดยทั่วไปแล้วจะหมายถึงแรงต้านการเคลื่อนที่ที่เกิดจากการกระทาของของเหลว
หรือก๊าซ และการเสียดสีสัมผัสของวัตถุอื่น หน่วยของความหน่วงโดยมากจะกาหนดเป็นน้าหนักต่อระยะทาง
ต่อเวลา (kg/m/sec)

4. ลาดับข้ันความเป็นอิสระของการวิเคราะห์การสั่นสะเทือน (Degree of Freedom of Vibration
Analysis) ลาดับข้ันความเป็นอิสระจะเป็นค่าท่ีบอกให้ทราบว่าเครื่องจักรกลดังกล่าวมีทิศทางการเคล่ือนที่
ได้มากน้อยเพียงใด ยิ่งมีค่ามากยิ่งสามารถเคล่ือนที่ได้หลายทิศทาง ย่ิงไปกว่านั้นจะพบว่านคุณสมบัติของมวล
ความแขง็ ของสปรงิ และความหน่วงจะมีความสัมพันธ์แตกต่างกนั สาหรบั แต่ละทิศทางของการเคล่ือนท่ี ดังน้นั
ยิ่งช้ินส่วนภายในเครื่องจักรมีลาดับขั้นความอิสระมากขึ้นเท่าน้ันเพ่ือทาความเข้าใจถึงอิทธิพลของลาดับข้ัน
ความเป็นอิสระในการวิเคราะห์การสั่นสะเทือน จึงต้องทาการศึกษาตัวอย่างรูปแบบของการสั่นสะเทือนและ
จานวนลาดับขั้นความอิสระ มีเครื่องจักรกลจานวนเพียงเล็กน้อยเท่าน้ันที่เป็นระบบหน่ึงข้ันความเป็นอิสระ
ส่วนใหญ่จะเป็นระบบหลายลาดับข้ันความเป็นอิสระ ซึ่งในระบบสมการของการสั่นจะมีความถี่ธรรมชาติและ
รปู แบบของการเคลื่อนทห่ี ลายค่าข้นึ อยู่กบั จานวนลาดับขนั้ ความอิสระท่ีพบของเครอ่ื งจักรกล

9

4. รูปแบบของกำรสั่นสะเทอื น (Vibration Type)
การสั่นสะเทือนแบง่ ออกไดเ้ ป็น 3 รปู แบบด้วยกันตามลักษณะและองคป์ ระกอบ คือ

4.1 กำรส่นั สะเทือนโดยอิสระ (Free Body Vibration)

4.1.1 บทนำ
การส่ันสะเทอื นแบบอสิ ระ (Free vibration) หมายถึงการส่นั สะเทอื นทเี่ กดิ ขึ้นเน่ืองจากมี
แรง หรือแรงบิดมารบกวนสภาวะสมดุลในตอนแรกทาให้เร่ิมส่ันสะเทือน แต่ขณะที่สั่นสะเทือนเป็นการส่ัน
อยา่ งอิสระไมม่ แี รงหรือแรงบิดภายนอกใดมากระทาตอ่ ระบบเลย ตัวอย่างของการสั่นสะเทอื นแบบอิสระ ไดแ้ ก่
การส่นั ของลูกต้มุ นาฬิกา การแกวง่ ของชงิ ชา้ เป็นตน้ (ในตวั อยา่ งเหล่านจ้ี ะพจิ ารณาให้แรงต้านทานอากาศ ซง่ึ
กระทาตลอดเวลาที่วัตถุสั่นสะเทือนมีค่าน้อย และละไว้จากการวิเคราะห์) สาหรับในบทน้ีจะกล่าวถึงการ
ส่นั สะเทอื นแบบอสิ ระของระบบท่ีมีองศาความเป็นอสิ ระเท่ากับหนึ่งเท่านั้น สาหรบั ปญหาการสั่นสะเทือนท่ีมี ั
องศาความเป็นอิสระมากกว่าหน่ึงน้ันจะกล่าวถึงในบทต่อๆ ไป โดยจะเร่ิมจากสมการการเคล่ือนท่ีของการ
ส่ันสะเทือนแบบอิสระ รูปแบบผลเฉลยของสมการอนุพันธ์ที่เกี่ยวข้อง และจะได้กล่าวถึงลักษณะการ
สั่นสะเทอื นแบบอิสระของระบบที่มตี ัวหนว่ งการส่ันสะเทือน และไม่มีการส่ันสะเทือนต่อไป

4.1.2 สมกำรกำรเคล่ือนท่ีของกำรสัน่ แบบอิสระ
จะได้ว่าสมการการเคลอ่ื นท่ีของระบบการสัน่ สะเทือนใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรปู อย่างง่าย
ได้ดงั สมการ

̈( ) + ̇( ) + ( ) = ( ) ..........(1)

โดยทางด้านซ้ายมือของสมการจะเป็นส่วนท่ีแสดงถึงลักษณะของระบบ ซ่ึงประกอบด้วยข้อมูลของ
มวล ตัวหน่วงการสนั่ สะเทอื น และค่าคงทข่ี องสปรงิ ส่วนทางด้านขวามอื จะแสดงถงึ แรง (หรือแรงบดิ )ภายนอก
ท่ีกระทากับระบบ สาหรับการสั่นอย่างอิสระ เน่ืองจากไม่มีแรงภายนอกกระทาต่อระบบขณะส่ันทางด้าน
ขวามอื จงึ มคี า่ เป็นศูนย์ ดังนน้ั สมการ (1) จะกลายเป็น

̈( ) + ̇( ) + ( ) = 0 …...….(2)

ลกั ษณะการสน่ั สะเทือนของระบบจะสามารถทราบได้โดยการแกส้ มการอนุพนั ธ์ (2) ในหวั ข้อต่อไปจะ
ทบทวนถงึ ผลเฉลยของสมการอนพุ นั ธ์ท่ีมีรูปแบบเช่นเดยี วกบั สมการที่ (2)

ทบทวนกำรแกส้ มกำรอนพุ นั ธ์อันดับสอง
พจิ ารณาสมการอนพุ นั ธ์อันดับสองท่มี ีรปู แบบเชน่ เดยี วกับสมการ (2) ดงั แสดงในสมการ

1 2 + 2 + 3 = 0 ..........(3)
2

10

การแก้สมการ (3) ในขัน้ แรกจะต้องหาผลเฉลยของสมการช่วย (Auxiliary equation)

เสียกอ่ น โดยสมการช่วยจะเป็นสมการพหุนามทม่ี ีสัมประสิทธิเหมือนสมการท่ี (3) และแทนอนุพนั ธ์อนั ดบั สอง

( 2 2 ) ด้วยแปรกาลงั สอง (r 2) แทนอนพุ ันธ์อนั ดับหนึง่ ( ) ด้วยตัวแปรกําลังหนงึ่ ( r ) และแทนตัวแปร



y ในสมการที่ (3) ด้วยหน่ึง ดังแสดงในสมการ

1 2 + 2 + 3 = 0 ..........(4)

ให้ r1 และ r2 เป็นคาตอบของสมการช่วย (4) คา่ ของ r1 และ r2 มโี อกาสเป็นไปได้ 3 กรณีคือ
1) r1 และ r2 เป็นจานวนจรงิ ทม่ี คี ่าไมเ่ ทา่ กนั 2) r1 และ r2 เป็นจานวนจรงิ ทมี่ ีคา่ เทา่ กัน และ 3) r1 และ r2 เป็น
จานวนเชิงซ้อน สาหรับคาตอบของสมการอนุพันธ์ (3) ก็จะมีรูปแบบแตกต่างกัน 3 รูปแบบ ตามรูปแบบ
คาตอบ r1 และ r2 ของสมการช่วยดงั น้ี

กรณที ่ี 1: r1 และ r2 เป็นจานวนจรงิ ทม่ี คี ่าไม่เทา่ กนั ( r1 ≠ r2 ) ..........(5)
ในกรณีนี้จะได้คาตอบของสมการอนุพนั ธ์ (3) เป็น

= 1 1 + 2 2

โดย C1 และ C2 เป็นค่าคงท่ี

กรณีที่ 2: r1 และ r2 เป็นจานวนจริงที่มคี ่าเทา่ กัน ( r1 = r2 )

ในกรณนี จ้ี ะได้คาตอบของสมการอนุพันธ์ (3) เป็น

= ( 1 + 2 ) 1 ..........(6)
โดย C1 และ C2 เป็นคา่ คงท่ี

กรณีที่ 3: r1 และ r2 เปน็ จานวนเชงิ ซ้อน

ให้ 1 = + เนื่องจากคาตอบเป็นจานวนเชงิ ซ้อน จะได้วา่ จะได้ว่าคอนจเู กตของ r1 จะเปน็ คาตอบด้วย
ดังนั้น 2 = − ในกรณนี จ้ี ะได้คาตอบของสมการอนพุ นั ธ์ (3) เป็น

= 1 ( + ) + 2 ( − ) ..........(7)
โดย C1 และ C2 เป็นค่าคงที่

จากสมการเอกลกั ษณข์ องออยเลอร์ = cos + sin

แทนในสมการ (7) และจัดรูปจะได้

= ( 1 cos( ) + 2 sin( ))..........(8)
= sin( + )
..........(9)

หรอื

โดย A1,A2 หรอื A, เป็นคา่ คงท่ี
รูปแบบของสมการผลลัพธ์ต่างๆ ข้างต้น จะแสดงรูปแบบต่างๆ ของการเคลื่อนท่ีของระบบการ

สั่นสะเทอื น ดังจะกลา่ วถึงการส่ันสะเทือนแบบตา่ งๆ ในหัวขอ้ ต่อๆ ไป

11

4.1.3 กำรสนั่ แบบอิสระของระบบทีไ่ ม่มตี ัวหนว่ งกำรสน่ั สะเทอื น
จากรปู แบบสมการของการสั่นอย่างอิสระในสมการที่ (2) หากไม่มตี วั หน่วงการสน่ั สะเทือน
จะเขยี นไดเ้ ป็น

̈( ) + ( ) = 0 ..........(10)

ลักษณะการสนั่ สะเทอื นในกรณนี หี้ าได้จากการแก้สมการอนพุ นั ธ์ (10) ในกรณนี ส้ี มการช่วยคอื

2 + = 0 ..........(11)

ซงึ่ จะได้คาตอบของสมการชว่ ยเปน็ ± (√ / )

เนื่องจากค่าความแข็งสปริง k และมวล m เป็นจานวนบวกเสมอ ดังนั้นคาตอบของสมการ (11) จึง
เป็นจานวนจินตภาพเสมอ จากสมการที่ (8) และ (9) จะได้ว่าคาตอบของสมการอนุพันธ์ (10) ซึ่งแสดงถึงการ
เคล่อื นทข่ี องระบบการสน่ั ทไี่ ม่มีตัวหนว่ งการสน่ั สะเทือน แสดงไดด้ งั สมการ

= 1 cos (√ ) + 2 sin (√ ) ..........(12)

หรือ = sin (√ + φ) ..........(13)



โดย A1,A2 หรือ A, φ เป็นค่าคงท่ีท่ีซ่ึงได้จากเง่ือนไขค่าเร่ิมต้น (initial condition) ของการ
สนั่ สะเทอื น เช่น ตอนเริ่มสัน่ ตาแหน่งของมวล x อยทู่ ใ่ี ด หรือมวลเคล่อื นท่ีด้วยความเรว็ เทา่ ใด การหาค่าคงที่
เหลา่ น้ีจะ กลา่ วถึงในหวั ข้อต่อๆ ไป สาหรับในสมการท่ี (13) ตวั แปร A แสดงถงึ ขนาดของการสนั่ สะเทอื น สว่ น
φ แสดงถึงเฟสของการสน่ั สะเทือน

รูปท่ี 4 แสดงกราฟการส่ันสะเทือนของระบบท่ีไม่มีตัวหน่วงการสั่นสะเทือน ซ่ึงเขียนตามรูปแบบ
สมการที่ (13) เน่ืองจากรูปแบบของสมการเป็นฟังก์ชั่นไซน์ ดังน้ันการส่ันสะเทือนจะเกิดข้ึนตลอด โดย ขนาด
การส่ันสะเทือนจะมีค่าเท่ากับ A และจะไม่ลดลง ในทางกายภาพอาจอธิบายได้ว่า การไม่มีตัวหน่วงการ
สนั่ สะเทือนทาให้ไมม่ ีการสญู เสียพลังงานออกจากระบบ พลงั งานการส่นั สะเทือนในระบบจึงคงท่ี ขนาดการสั่น
จึงไมล่ ดลง สว่ นตาแหนง่ บนกราฟไซน์ทีแ่ สดงจุดเริ่มต้นของการสนั่ สะเทือนสมั พนั ธ์กบั ตัวแปร φ นอกจากนยี้ ัง
จะเหน็ วา่ คาบการส่นั สะเทอื น τ จะมคี วามสมั พันธก์ บั คา่ ความแขง็ สปริงและมวลดังสมการ

12

รูปท่ี 4 กราฟการสน่ั สะเทือนแบบอสิ ระของระบบที่ไม่มตี ัวหน่วงการสน่ั สะเทือน
ท่ีมา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch3_Free%20vibration.pdf

= 2 ..........(14)

√ /

แต่จากที่คาบการส่ันสะเทือน τ มีความสัมพันธ์กับความถี่การส่ันสะเทือน f (frequency) และ

ความเร็วเชิงมุมของการสั่น ω (angular velocity of the cyclic motion หรือ circular frequency) ดัง

สมการ

= 1 = 2



ดงั นนั้ จะไดว้ ่า = √ / ..........(15)

จะเห็นว่าความเร็วเชิงมุมการสั่น ความถี่การสั่น หรือคาบการสั่นสะเทือนในกรณีการส่ันอย่างอิสระ
นั้นจะข้ึนอยู่กับค่าความแข็งของสปริง k และมวล m ของระบบเท่านั้น ไม่ข้ึนกับสภาวะเร่ิมต้นของการ
สั่นสะเทือนเลย พิจารณาตัวอย่างระบบที่มมี วลและสปริงเพียงสองส่วนประกอบเท่านั้น ระบบน้ีก็จะมี ความถี่
การสั่นสะเทือนอยู่ค่าหนึ่งซ่ึงสัมพันธ์กับค่าความแข็งสปริงและมวล ถึงแม้ว่าจะยืดสปริงหรือกดสปริง ในตอน
เริ่มต้นเพ่ือปล่อยให้สปริงส่ันแตกต่างกันอย่างไร ระบบนี้ก็ยังสั่นท่ีความถ่ีเท่าเดิมซึ่งคานวณได้ตาม สมการที่
(15) เสมอไมส่ ามารถเปลีย่ นแปลงได้ เน่ืองจากค่าความถ่นี เี้ ป็นสมบัติของระบบการสัน่ สะเทอื น จงึ เรยี กความถ่ี
น้ีว่า ความถี่ธรรมชาติ (natural frequency) และเขียนโดยใช้ตัวอักษร n ห้อยท้ายตัวแปรไว้ ดังนั้นสมการที่
(15) จงึ อาจเขยี นไดว้ ่า

= √ / ..........(16)

13

และ = 1 √ / ..........(17)
2

จากท่ีกลา่ วมาขา้ งตน้ อาจสรปุ การอธิบายความหมายของความถี่ธรรมชาติได้ว่า ความถธ่ี รรมชาติ
เป็นความถก่ี ารสัน่ ของระบบท่ไี ม่มตี วั หน่วงการส่นั สะเทือน ที่ปลอ่ ยให้เกิดการสั่นอยา่ งอสิ ระ หรอื อาจกลา่ ว
อีกอยา่ งว่า ถา้ ให้ระบบทีไ่ มม่ ีตัวหนว่ งการสัน่ สะเทอื นสน่ั อย่างอสิ ระแล้ว ระบบนัน้ จะสนั่ ดว้ ยความถ่เี ท่ากบั
ความถธ่ี รรมชาติ

4.1.4 กำรสนั่ แบบอสิ ระของระบบท่ีมตี วั หน่วงกำรส่ันสะเทือน
ในหัวข้อที่ 2.1.3 ไดก้ ล่าวถึงการสนั่ แบบอสิ ระของระบบที่ไมม่ ีตัวหนว่ งการสัน่ สะเทือน ซึง่ จะ
พบว่าในระบบเหล่าน้ันขนาดของการส่ันสะเทือนจะมีขนาดคงที่ไม่ลดลง เนื่องจากไม่มีการสูญเสียพลังงานใน
ระบบเลย อย่างไรก็ตามในระบบจริงแล้ว จะมีการสูญเสียพลังงานเนื่องจากสาเหตุต่างๆ เช่น จากแรงเ สียด
ทานแรงต้านทานการเคลื่อนที่ของของไหล การสูญเสียพลังงานในการเสียรูปของวัสดุ เป็นต้น ดังนั้นการ
จาลองระบบการสั่นสะเทือนจึงมักจะต้องรวมตัวหน่วงการส่ันสะเทือนเข้าไปด้วย รูปท่ี 5 แสดงระบบการ
ส่ันสะเทือนอย่างง่าย ซ่ึงประกอบด้วยมวล สปริง และตัวหน่วงการสั่นสะเทือน สมการการเคล่ือนที่ของระบบ
การส่ันสะเทือนนีค้ ือ

̈( ) + ̇( ) + ( ) = 0 ..........(18)

ในการแกส้ มการอนุพนั ธท์ ่ี (18) เพื่อหาสมการแสดงการสัน่ สะเทือนนน้ั สามารถเขียนสมการชว่ ยไดเ้ ปน็

2 + + = 0 ..........(19)

คาตอบของสมการช่วย (18) คือ 1,2 = − ±√ 2−4 ..........(20)
2

รปู ที่ 5 ระบบอย่างงา่ ยทีป่ ระกอบด้วยมวล สปรงิ และตวั หน่วงการส่นั สะเทือน
ท่ีมา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch3_Free%20vibration.pdf

4.1.5 Logarithmic decrement
ในระบบการส่ันสะเทือนที่ประกอบด้วยมวล m ค่าความแข็งสปริง k และค่าสัมประสิทธิ
ความหนว่ ง c น้ัน ค่า m และ k ท่จี ะนามาใช้ในแบบจาลองการสั่นสะเทือนนั้นมักจะหาได้ง่าย สาหรบั มวล m
อาจใชก้ าร ชง่ั ดว้ ยตาชง่ั หรืออาจใชก้ ารทดสอบหาความสมั พนั ธ์ระหว่างแรงกระทากบั ระยะที่เสียรูปไปในกรณี
ของค่า k อย่างไรก็ตามค่าสัมประสิทธิความหน่วงมักจะหา ์ ค่าได้ยาก โดยท่ัวไปมักจะประมาณจากลักษณะ
การ ส่ันสะเทือนของระบบ ในหัวนี้จะกล่าวถึงวิธีการหน่ึงที่ใช้ประมาณค่า c ของระบบท่ีมีความสัมประสิทธ์ิ

14

ความหน่วงน้อย และเป็น under damped motion ซึ่งเป็นระบบท่ีพบได้มากในโครงสร้างทางวิศวกรรม
ทั่วไป หลักการที่ใช้เป็นการพิจารณาการลดลงของขนาดการสั่นสะเทือนของระบบ หรือที่เรียกกันว่า
Logarithmic decrement

รปู ท่ี 6 Logarithmic decrement
ทม่ี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch3_Free%20vibration.pdf

พิจารณากราฟแสดงการสัน่ สะเทือนของระบบแสดงในรูปท่ี 6 จากรปู จะนยิ าม Logarithmic
decrement δ ดงั น้ี

= ln ( ) ..........(1)
( + )

โดย x(t) คอื ขนาดการส่นั สะเทือนทต่ี าแหน่ง t ใดๆ
T คอื คาบการส่ันสะเทือน
x(t + T) คือขนาดการสนั่ สะเทือนทีเ่ วลาผา่ นไป 1 คาบนบั จากเวลา t
ตามนิยามจะใช้ขนาดการส่ันสะเทือนท่ีเวลา t ใดๆ ก็ได้ แต่เพื่อความสะดวกในการกาหนดจุด จึง

มักจะเลือกจดุ ยอดเป็นตาแหน่ง t เชน่ ในรูปท่ี 6 หากใหต้ าแหน่ง t1 เป็นตาแหน่ง t แลว้ ตาแหนง่ t2 ก็จะ เป็น
ตาแหน่ง t + T

4.1.6 สภำพสมดลุ และเสถียรภำพของระบบ
4.1.6.1 สภำพสมดุล
สภาพสมดุลหมายถึงสภาวะที่ระบบทางกลอยู่ในสภาพเดิมไม่เปล่ียนแปลง ซ่ึงจะ

เกิดข้ึนเม่ือไม่มีแรง ลัพธ์ภายนอกมารบกวน เนื่องจากในสภาวะสมดุล มวลไม่มีความเร่ง และความเร็ว ดังนั้น
การหาสภาพ สมดลุ จึงทาได้โดยกาหนดให้ ̈ = ̇ = 0 หรอื ̈ = ̇ = 0

15

4.1.6.2 เสถียรภำพของระบบ
ระบบทางกลที่อยู่ในสภาพสมดุลจะถือว่าเป็นสภาพสมดุลท่ีมีเสถียรภาพ เม่ือระบบ
นั้นส่ันด้วยขนาดการสั่นสะเทือนท่ีคงท่รี อบตาแหน่งสมดุลเดิม หรือสามารถกลับคืนสสู่ ภาวะสมดุลเดิมได้ หาก
มีแรงภายนอกมากระทา รปู ที่ 7 แสดงตัวอยา่ งระบบที่ประกอบดว้ ยลูกตุ้ม เช่นเดยี วกบั ระบบในตวั อยา่ งที่ 3-x
จากรูปจะเห็นว่าสมดุลท่ีเกิดท่ีมุม 0 องศา เป็นสภาพสมดุลที่มีเสถียรภาพ เนื่องจากเม่ือมีแรงภายนอกมา
กระทาให้ระบบมีการเคล่ือนท่ี ระบบจะสั่นรอบจุดสมดุลเดิม (หากพิจารณาว่าไม่มีตัวหน่วงการส่ันสะเทือนใน
ระบบ)หรือส่ันรอบจุดสมดุลเดิมด้วยขนาดที่น้อยลงเร่ือยๆ จนหยุดสั่นท่ีจุดสมดุลเดิม (หากพิจารณาว่ามีตั ว
หน่วงการสั่นสะเทือน) เม่ือเปรียบเทียบกับท่ีมุม 180 องศา จะพบว่าท่ีมุม 180 องศา เป็นสภาพสมดุลท่ีไม่มี
เสถียรภาพ เนื่องจากเม่ือมีแรงมากระทาแล้ว ระบบจะเกิดการเคล่ือนท่ีไปที่ตาแหน่งอื่น และไม่สามารถ
กลบั คนื สู่สภาพสมดลุ เดิมไดอ้ ีก

รูปท่ี 7 สภาพสมดุลทีม่ ีเสถียรภาพ และไมม่ ีเสถียรภาพ
ที่มา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch3_Free%20vibration.pdf

เมื่อพิจารณาสมการการเคลื่อนทีข่ องระบบการส่นั สะเทือนโดยท่วั ไป ซ่งึ แสดงโดยสมการ (1) ดงั นี้

̈( ) + ̇( ) + ( ) = 0 ..........(1)

เน่ืองจากสัมประสิทธิของเทอม ̈( ), ̇( ) และ ( ) มีค่าเป็นบวกทั้งหมด (ค่ามวล
mสัมประสิทธิการหน่วง c และค่าความแข็งสปริง k มีค่าเป็นบวกเสมอ) ดังนั้นคาตอบของสมการอนุพันธ์ (1)
จะแสดงลักษณะการส่ันสะเทือน ซึ่งอาจจะเป็นแบบ Under damped motion, Critically damped
motionหรือ Over damped motion ดังท่ีได้กล่าวไว้ในหัวข้อท่ี 4 จะพบว่าไม่ว่าจะเป็นในกรณีใดก็ตาม
ระบบจะหยุดสัน่ ท่สี มดุลเดิมท่ี x = 0 เสมอ ดังน้ันระบบท่ีแสดงข้างตน้ จึงเป็นระบบทม่ี เี สถยี รภาพ

อยา่ งไรกต็ ามหากสร้างสมการการเคลอ่ื นท่ใี นรูปแบบเชน่ เดียวกับสมการท่ี (1) แล้วแต่

สัมประสิทธ์ิของเทอม ̈( ), ̇( ) และ ( ) ในสมการไม่เป็นบวก (หรือลบ) ท้ังหมด เมอื่ แก้สมการด้วย
วธิ กี ารทแ่ี สดงในหัวข้อที่ 4 แล้ว จะพบว่าสว่ นจริงของคาตอบของสมการช่วย จะมีค่าเป็นบวก ซ่ึงแสดงให้เห็น
วา่ เม่อื เวลา t เพม่ิ มากขน้ึ ขนาดการสั่นสะเทือนก็จะเพิ่มมากขึ้น ดังแสดงตัวอยา่ งในรูปที่ 8

16

ดังนนั้ จึงสรปุ ไดว้ า่ ระบบทีม่ ีค่าสมั ประสิทธ์ของเทอม ̈( ), ̇( ) และ ( ) ในสมการ
ไมเ่ ปน็ บวก (หรือลบ) ท้งั หมด เป็นระบบที่ไมม่ เี สถยี รภาพ

รูป 8 การเคลอื่ นท่ีของระบบที่ไม่มีเสถยี รภาพ
ทม่ี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch3_Free%20vibration.pdf

4.1.7 กำรออกแบบระบบกำรส่ันสะเทอื น
การออกแบบระบบการสั่นสะเทือนทาได้โดยเลือกส่วนประกอบของระบบการส่ันสะเทือน
เช่น มวล ความแข็งสปริง และค่าความหน่วง เพื่อให้เกิดลักษณะการสั่นสะเทือนท่ีต้องการ เช่น ต้องการให้
ระบบสั่น แบบ Under-damped motion, Over-damped motion หรือ Critically damped motion
หรือจะเป็นการ ออกแบบเพื่อควบคุมให้ความถี่ธรรมชาติอยู่ในช่วงท่ีต้องการ โดยการเลือกขนาดมวล หรือ
ความแข็งสปรงิ เป็นตน้
4.1.8 สรุป
ในบทนี้กล่าวถึงการส่ันสะเทือนอย่างอิสระ โดยเร่ิมจากระบบที่ไม่มีตัวหน่วงการสั่นสะเทือน
ซ่ึงใน ระบบน้ีการสั่นจะสั่นด้วยความถ่ีเท่ากับความถ่ีธรรมชาติของระบบ และขนาดการสั่นสะเทือนจะไม่ลด
นอ้ ยลง เน่อื งจากไมม่ กี ารสูญเสยี พลังงานออกจากระบบ หลังจากนนั้ จึงอธบิ ายถึงการสัน่ สะเทือนของระบบท่ีมี
ตัว หน่วงการสั่นสะเทือน ลักษณะการเคล่ือนที่ของระบบท่ีมีตัวหน่วงน้ีจะแบ่งออกเป็น 3 กรณีขึ้นกับขนาด
ของ สัมประสิทธ์ิการหน่วง ได้แก่ 1) ระบบที่มีขนาดตัวหน่วงน้อยจะส่ันกลับไปกลับมา ด้วยความถี่เท่ากับ
ความถี่ ธรรมชาติของระบบที่มีตัวหน่วงการสั่นสะเทือน และมีขนาดลดน้อยลงเรื่อยๆ จนหยุดสั่น หรือท่ี
เรียกว่า Under damped motion 2) ระบบที่มีสัมประสิทธ์ิการหน่วงเท่ากับค่าสัมประสิทธ์ิ การหน่วงค่า
วิกฤต หรือทํ่ี เรียกว่า Critically damped motion ในระบบนี้ขนาดการเคลื่อนท่ีจะค่อยๆ ลดลงจนหยุดการ
เคล่ือนที่ โดยไม่ มีการส่ันสะเทือน และ 3) ระบบท่ีมีสัมประสิทธ์ิการหน่วงมากหรือที่เรียกว่า Over damped
motion ระบบ แบบนี้ก็จะไม่เกิดการสั่นสะเทือนเช่นเดียวกับระบบท่ีมสี ัมประสทิ ธ์ิความหนว่ งเท่ากับค่าวิกฤต
โดยขนาด การเคล่ือนที่จะลงลงจนหยุดน่ิงเม่ือเวลาผ่านไปช่วงเวลาหนึ่ง ในบทน้ียังได้กล่าวถึงการพิจารณา
สภาพ สมดุล และเสถียรภาพของระบบ ซึ่งสามารถรู้ได้โดยทันทีจากรูปแบบสมการการเคล่ือนท่ี ความเข้าใจ
ผลของส่วนประกอบต่างๆ ต่อลักษณะการส่ันสะเทือนทาให้สามารถออกแบบขนาดของ ส่วนประกอบต่างๆ
เพอื่ ใหร้ ะบบมลี กั ษณะการสั่นสะเทือนตามท่ีต้องการ เช่น สามารถออกแบบให้ระบบส่ัน แบบ Over-damped
motion, Critically damped motion หรือ Under-damped motion หรือออกแบบให้ ระบบมีความถ่ี
ธรรมชาตติ ามท่ีตอ้ งการได้

17

รปู ท่ี 9 การสน่ั สะเทือนโดยอิสระ (Free Body Vibration) ของชนิ้ ส่วนตา่ ง ๆ ของเคร่ืองจักร
ท่มี า : http://www.thailandindustry.com/indust_newweb/articles_preview.php?cid=11387

4.2 กำรส่นั สะเทือนแบบขบกันหรอื เคลือ่ นทผี่ ่ำน (Meshing or Passing Vibration)
การสั่นสะเทือนแบบขบกันหรือเคล่ือนท่ีผ่าน (Meshing or Passing Vibration) คือ การส่ันสะเทือน
ของช้ินส่วนของเครื่องจกรที่เกิดขึ้นอย่างต่อเน่ืองเม่ือเปรียบเทียบกับจุดอ้างอิงจุดใดจุดหนึ่งท่ีชิ้นส่วนที่เรา
วิเคราะห์การส่ันสะเทือนหมนุ หรือเคลอ่ื นท่ีผา่ น เช่น การสั่นสะเทือนของเฟอื ง ทข่ี บกนั และหมนุ ไปเรื่อยๆ โดย
ในตอนที่ฟันแต่ละฟันขบและจากกันก็จะมีการสั่นสะเทอื นเกิดขน้ึ หรือการสนสะเทือนของใบพัดของพัดลมดงั
รูปท่ี 10

รปู ท่ี 10 การสั่นสะเทือนแบบขนกันหรือเคล่อื นทผ่ี า่ น
ทม่ี า : http://www.thailandindustry.com/indust_newweb/articles_preview.php?cid=11387

18

4.3 กำรส่ันสะเทือนจำกแรงเสียดทำน (Frictional Vibration)
คือการส่ันสะเทือนที่เกิดข้ึนจากแรงเสียดทานในการหมุนหรือเคลื่อนทํี่ของชิ้นส่วนต่างๆ ของ
เครื่องจักร เช่น การหมุนของเคล่ือนที่ของเม็ดลูกปืนหรือตลับลูกปืน การเคล่ือนท่ีและไถล (Slide) ของบูชท่ี
รองรับการหมุนของช้ินส่วนเคร่ืองจักร
5. กำรสั่นสะเทือนแบบบงั คับ
5.1 บทนำ
การสั่นสะเทือนแบบบังคับ (Force vibration) เป็นการสั่นสะเทือนซ่ึงเกิดเนื่องจากพลังงานภายนอก
กระทากับระบบระหว่างการส่ันสะเทือน โดยพลังงานภายนอกท่ีกระทาน้ันอาจจะอยู่ในรูปของแรง แรงบิด
หรืออาจเป็นการขจัดเพ่ือบังคับให้เกิดการส่ันก็ได้ รูปท่ี 11 แสดงตัวอย่างของพลังงานภายนอกที่ใส่ให้กับ
ระบบ โดยในรูปทางด้านซ้ายพลังงานภายนอกอยู่ในรูปแรงกระทา โดยแรงเกิดจากการเคลื่อนท่ีข้ึนลงของ
กระบอกสูบ และแรงเหว่ียงของข้อเหวี่ยง (Crank) และก้านส่ง (Connecting rod) ขณะทางาน สาหรับรูป
ทางด้านขวา พลังงานภายนอกอยู่ในรูปการใส่การขจัด โดยในรูปแสดงแบบจาลองระบบการส่ันสะเทือนของ
รถยนต์ซึ่งเคล่ือนท่ีบนถนนขรุขระ ความขรุขระของถนนเปรียบเสมือนการใส่การขจัดเพื่อบังคับให้ตัวรถ
เคล่ือนทีข่ นึ้ -ลง ตามคาบความขรขุ ระของถนน

รปู ที่ 11 ตวั อยา่ งพลงั งานภายนอกที่ใสเ่ ขา้ ในระบบการส่นั สะเทือน
ที่มา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

19

รปู ท่ี 12 ตวั อย่างพลังงานภายนอกที่ใสเ่ ขา้ ในระบบการสัน่ สะเทือน
ทม่ี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

รูปที่ 12 แสดงรูปแบบของพลังงานภายนอกแบบตา่ งๆท่ีใส่ให้กับระบบ ได้แก่ 1) พลังงานแบบฮาร์โม
นิก หรือพลังงานที่มีการแปรผันเป็นลักษณะฟังก์ชั่นไซน์ 2) พลังงานที่เป็นคาบรูปแบบใดๆ 3) พลังงานจากกา
กระแทก หรอื พลั ซ์ (Pulse) และ 4) พลงั งานรูปแบบใดๆ และไมม่ คี วามสมั พนั ธเ์ ปน็ คาบ

สาหรับเครื่องจักรกลท่ีใช้ในงานทางวิศวกรรมจานวนมากน้ันจะมีการทางานเป็นคาบ โดยพลังงานที่
กระตุ้นให้ระบบสั่น อาจจะมาจากการทางานของเคร่ืองยนต์ หรือมอเตอร์ต้นกาลัง หรือมาจากกลไกการ
ทางานท่ีมีลักษณะเป็นคาบ เช่น ชุดเฟือง หรือลูกเบี้ยว หรืออาจเกิดมาจากความผิดปกติของเคร่ืองจักรหมุน
เช่น ความไม่สมดุลของเคร่ืองยนต์ ความเสียหายภายในตลับลูกปืน เป็นต้น ลักษณะพลังงานกระตุ้นของ
ช้ินส่วนกลเหล่าน้ีจะสอดคล้องกับที่แสดงในรูปท่ี 12(2) อย่างไรก็ตามในการแก้ปญหาเหล่าน้ีน้ัน จาเป็นท่ี
จะต้องเข้าใจลักษณะการสั่นสะเทือนท่ีเป็นคาบแบบฮาร์โมนิกในรูปท่ี 12(1) เสียก่อน ซึ่งใน Part A ของบทน้ี
จะกลา่ วถงึ หลกั ในการวิเคราะหป์ ัญหาการสน่ั สะเทือนเน่ืองจากการกระตุน้ แบบฮาร์โมนิก หลังจากน้นั ใน
Part B จะได้กล่าวถึงวิธีการประยุกต์ใช้หลักการใน Part A กับปัญหาทางวิศวกรรมบางปัญหา เช่น การ
สนั่ สะเทอื นจากความไมส่ มดลุ การกระตนุ้ จากการสน่ั สะเทือนของพ้ืน หรอื การประยุกตใ์ ชห้ ลักการน้ีในการวัด
การส่ันสะเทือน ส่วนการส่ันสะเทือนเน่ืองจากการกระตุ้นลักษณะเป็นคาบรูปแบบใดๆ และการส่ันสะเทือน
จากการกระตุ้นแบบพัลซ์ ซ่ึงมักเกิดจากการกระแทกและการสั่นสะเทือนเน่ืองจากการกระตุ้นแบบใดๆ จะ
กล่าวถึงในบทต่อๆ ไป

20

PART A: Force vibration

5.2 กำรส่ันสะเทือนแบบบังคบั ทไ่ี มม่ ีตัวหน่วงกำรสน่ั สะเทือน

5.2.1 สมกำรกำรเคล่ือนท่ีของกำรส่นั สะเทือนแบบบังคับที่ไม่มตี วั หน่วงกำรสนั่ สะเทือน

และผลเฉลย

รูปที่ 13 แสดงระบบการสั่นสะเทือนอย่างง่ายท่ีไม่มีตัวหน่วงการส่ันสะเทือน และมีแรง

กระตุ้นแบบ ฮาร์โมนิกกระทากับระบบ และแผนผังแรงที่กระทากับมวล m สาหรับระบบในรูปจะสามารถ

เขยี นสมการ การเคลอื่ นทไี่ ด้ดงั สมการ

̈( ) + ( ) = 0 cos ..........(1)
หรอื ̈ ( ) + 2 ( ) = 0 cos ..........(2)

รปู ที่ 13 ระบบการส่นั สะเทือนท่มี ีแรงกระตนุ้ แบบฮาร์โมนิกกระทากับระบบ
ทีม่ า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

คาตอบหรือผลเฉลย x(t) ของสมการ (1) และสมการที่ (2) ซ่งึ แสดงลักษณะการส่นั สะเทือนของระบบ
สามารถแบง่ ออกได้เปน็ สองส่วน ดังแสดงด้วยสมการ

( ) = ℎ( ) + ( ) ..........(3)

โดย ℎ( ) เรยี กวา่ Homogeneous solution เปน็ คาตอบของสมการ ̈( ) + ( ) = 0

ℎ( ) เรียกวา่ Particular solution เปน็ คาตอบของสมการ ̈( ) + ( ) = 0 cos

ถึงแม้ว่า Xh(t) จะไม่ใช่คาตอบของสมการการเคล่ือนที่ (1) แต่ ( ) = ℎ( ) + ( ) ก็เป็น
คาตอบของสมการ (1) เช่นเดียวกับ Xp(t) ดังจะเห็นได้จากเมื่อแทนค่า x(t) ในสมการ (3) ลงใน สมการ (1)
แลว้ ก็จะทาให้สมการ (1) เป็นจริงเชน่ กัน และเม่ือเปรยี บเทยี บ x(t) กบั Xp(t) แล้ว จะ พบวา่ x(t) เป็นคาตอบ
ในรปู ทส่ี มบูรณ์กว่า สาหรับความหมายทางกายภาพของคาตอบทั้งสองส่วนจะ อธิบายถงึ ในหวั ขอ้ ถดั ๆ ไป

เน่อื งจาก Xh(t) เป็นคาตอบของสมการ ̈( ) + ( ) = 0 ซง่ึ เปน็ สมการแสดงการสนั่ สะเทือน
อย่างอสิ ระ ดงั น้ัน Xh(t) จงึ มรี ูปแบบเชน่ เดียวกับการส่นั สะเทือนแบบอิสระของระบบท่ีไม่มีตัวหน่วงกาi
สน่ั สะเทอื น ดงั แสดงดว้ ยสมการ

21

ℎ( ) = 1 sin + 2 cos ...........(4)

หรอื ℎ( ) = sin( + ) ..........(5)

สาหรบั Xp(t) ซ่ึงเป็นคาตอบของสมการ (1) นั้น จากการสงั เกตพฤติกรรมการส่ันสะเทอื นของวัตถุเมื่อ

มีการกระตุ้นท่ีความถี่ ω มากระทาแล้ว วัตถุน้ันจะส่ันที่ความถี่ ω ด้วย และเน่ืองจากการกระตุ้น อยู่ในรูป
ของฟังก์ช่ัน cosine ลักษณะคาตอบของสมการจึงต้องเป็นฟังก์ชั่น cosine ด้วย ถึงจะทาให้เม่ือแทนคาตอบ
Xp(t) เข้าไปในสมการ (1) สมการจึงเป็นจริง ด้วยเหตุผลดังกล่าว จึงได้ว่า Xp(t) ซ่ึงแสดงถึงลักษณะการ
สน่ั สะเทอื นจะสามารถเขียนได้ในรปู ของสมการ

( ) = cos ..........(6)

โดย X เปน็ ขนาดของ Xp(t) ซงึ่ สามารถหาไดโ้ ดยการแทนค่า Xp(t) ลงในสมการ (1) เมอ่ื แทน Xp(t) ลง
ในสมการ (1) จะได้

− 2 cos + cos = 0 cos

= 0 ..........(7)
− 2

ดงั น้ันคา่ Xp(t) คือ ( ) = 0 cos ..........(8)
− 2

เมอ่ื รวมคาตอบทัง้ สองสว่ นเข้าด้วยกัน จะไดล้ กั ษณะการสั่นสะเทือนเมอื่ มีการกระตุ้นด้วยความถี่ ω
มากระทากับระบบดังสมการ

( ) = ℎ( ) + ( ) = 1 sin + 2 cos + 0 cos ..........(9)
− 2

โดยค่าคงท่ี A1 และ A2 สามารถหาได้จากเงอ่ื นไขค่าเริ่มตน้

สาหรับสมการที่ (14) แสดงให้เห็นว่าเม่อื ให้การกระตุ้นท่ีความถี่ ω กบั ระบบ ระบบจะส่นั ท่ีความถ่ี

สองความถ่ี ไดแ้ ก่ ความถี่ธรรมชาติ ωn และความถ่ีทีเ่ ทา่ กับความถ่ที ี่มากระตนุ้ กระตุน้ ω โดยขนาดของ การ
สน่ั ทเี่ ท่ากับความถี่ทมี่ ากระตุ้น ω จะขึน้ อยู่กบั ขนาดของการกระตุน้ และสมบตั ิของระบบ ได้แก่ ความแขง็

สปริงและมวล ส่วนขนาดของการส่ันที่ความถธ่ี รรมชาติ ωn จะขึน้ กบั สภาวะเร่ิมตน้ ของการสัน่ เทา่ นน้ั รูปท่ี 14
แสดงถึงลกั ษณะการสัน่ สะเทือนของระบบ x ซงึ่ แสดงในรปู ดา้ นล่าง การส่ันสะเทือนน้เี ป็นผลรวมของ Xh(t)
และ Xp(t) ที่แสดงในรูปด้านบนทง้ั สองรปู ตามลาดบั

22

รปู ท่ี 14 การสั่นสะเทอื นของระบบซงึ่ เปน็ ผลรวมจาก Xh(t) และ Xp(t)
ท่ีมา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

5.2.2 เง่ือนไขคำ่ เร่มิ ต้นกบั กำรส่นั สะเทือนแบบบังคับสำหรับระบบท่ไี ม่มีตวั หน่วงกำร
สนั่ สะเทอื น

ขนาดของการส่ันสะเทือนเน่ืองจากการกระตุ้นภายนอก Xp(t) จะข้ึนอยู่กับขนาดของการ
กระตนุ้ และสมบตั ิของระบบ อย่างไรกต็ ามขนาดการส่ันสะเทือน Xh(t) จะขน้ึ กับเง่ือนไขเร่ิมต้นการสนั่ สะเทือน
ดังแสดงดว้ ยเทอมค่าคงที่ A1 และ A2 ในสมการ (9) ค่าคงนี้เหลา่ น้สี ามารถหาได้ดงั วิธีแสดงในตวั อย่างต่อไปนี้

สมมตุ ใิ หเ้ ง่อื นไขเร่มิ ตน้ เปน็ ดงั น้ี

เง่อื นไขท่ี 1 เมือ่ เริม่ ตน้ สัน่ สะเทือน วตั ถอุ ยทู่ ีต่ าแหนง่ X0 หรือ ( = 0) = 0
เง่ือนไขท่ี 2 เมอ่ื เริ่มตน้ สัน่ สะเทือน วตั ถุมคี วามเรว็ V0 หรอื ̇( = 0) = ̇0 = 0
จะสงั เกตวา่ คา่ คงท่ีท่ีไม่ทราบคา่ ในสมการที่ (9) มที ้ังหมด 2 ตวั ดงั น้ันจงึ จาเป็นต้องใช้เงื่อนไขค่าเร่ิมต้น 2 ตวั

ในการแกป้ ญั หาน้ี แทนเง่ือนไขท่ี 1 ลงในสมการ (9) จะได้

0 = 2 + 0
− 2
0
ดงั นน้ั 2 = 0 − − 2 ..........(10)

ความเรว็ การเคลื่อนท่หี าได้โดยหาอนพุ นั ธข์ องสมการท่ี (9) ดงั นี้

̇ ( ) = 1 cos − 2 2 sin − 0 sin ..........(11)
− 2

แทนเง่อื นไขท่ี 2 ลงในสมการ (11) จะได้

̇0 = 0 = 1

ดังน้นั 1 = 0 ..........(12)


แทนค่า A1 และ A2 ทีห่ าได้ในสมการ (9) จะได้สมการแสดงการเคลื่อนทีด่ ังนี้

( ) = 0 sin + ( 0 − − 0 2) cos + 0 cos 23
− 2
..........(13)

สมการท่ี (13) อาจเขยี นในอกี รปู หนงึ่ ไดด้ งั น้ี

..........(14)

รูปที่ 15 แสดงตัวอย่างผลของความถ่ีของการกระตุ้นต่อลักษณะการสั่นสะเทือนของระบบ
โดย ระบบในรูปมีความถี่ธรรมชาติ 1 Hz ระบบถูกกระตุ้นด้วยแรงที่มีขนาดเท่ากันแต่ความถ่ีของการกระตุ้น
ต่างกัน และมีเง่ือนไขเริ่มต้นการส่ันเหมือนกัน โดยความถี่ที่กระตุ้นในตัวอย่างเป็นความถี่ที่น้อยกว่าความถี่
ธรรมชาติ ความถ่ีใกล้เคียงกับความถ่ีธรรมชาติและความถี่มากกว่าความถี่ธรรมชาติ จากรูปจะเห็นว่าถึงแม้
ขนาดการกระตนุ้ จะมีค่าเท่าเดมิ ทุกๆกรณี แต่หากมคี วามถ่ีการกระตุ้นที่แตกตา่ งกนั แล้ว ระบบกจ็ ะส่นั สะเทือน
ต่างกนั ได้

รูปท่ี 15 ผลของความถ่ีการกระตุน้ ตอ่ ลักษณะการส่นั สะเทือนของระบบ
ทมี่ า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf
.

5.2.3 เฟสของกำรสน่ั สะเทือน
เฟสของการสน่ั สะเทือน (Phase of the vibration response) แสดงถึงจงั หวะของ
การสั่นสะเทือน สาหรับการสั่นสะเทือนที่เป็นแบบฮาร์โมนิกนั้น เฟสมักจะบอกด้วยมุม หน่วยเป็นองศาหรือ
เรเดยี น โดยในการสนั่ สะเทือนแบบบงั คบั น้ัน เฟสจะหมายถึงความแตกต่างกนั ของจังหวะการกระตนุ้ ภายนอก
กับจังหวะ การส่ันสะเทือนของระบบ ตัวอย่างเช่น ระบบในรูปท่ี 15 ได้รับการกระตุ้นแบบฮาร์โมนิก หากใน
ขณะนนั้ แรงกระตุน้ มที ิศทางไปทางขวา และมวลก็เคลือ่ นท่ีไปทางขวาดว้ ยพร้อมๆ กัน จะเรียกว่าเฟสของการ
กระตุ้นกับเฟสการส่ันสะเทือนตรงกัน หรือความต่างเฟส 0° แต่ถ้าหากในขณะน้ันแรงกระตุ้นมีทิศทางไป
ทางขวา แต่มวลเคลื่อนที่ไปทางซ้ายตรงกันข้ามกันพอดี จะเรียกกรณีน้ีว่าเฟสของการกระตุ้นตรงข้ามกับ เฟส
ของการสั่นสะเทือน หรือความต่างเฟส 180° ความต่างเฟสอาจจะมีค่าใดๆ ก็ได้ข้ึนกับว่าจังหวะการ กระตุ้น
กับจังหวะการสั่นสะเทือนแตกต่างกันเท่าใด พิจารณาเทอมท่ี 3 ของสมการ (4-14) ซ่ึงแสดงการสั่นสะเทือน
Xp เนอื่ งจากแรงภายนอก 0( ) ซ่ึง เขยี นในรปู ของแรงตอ่ มวล 0( ) ดงั น้ี

24

..........(15)
..........(16)
จากสมการที่ (15) และ (16) จะเห็นว่าหากความถ่ีของแรงกระตุ้นมีค่าน้อยกว่าความถี่
ธรรมชาติ ของระบบแล้ว สัมประสิทธิ์ของเทอม cosωt ของท้ังสองสมการจะมีค่าเป็นบวก (หรือลบ)
เหมือนกัน ซึง่ แปลความได้ว่าจังหวะของแรงและการส่นั สะเทือนตรงกันหรอื เฟสตรงกนั แตห่ ากความถข่ี องแรง
กระตุ้นมากกว่าความถ่ีธรรมชาติ สัมประสิทธ์ิของเทอม cosωt จะมีค่าเป็นบวกลบต่างกัน ซึ่งแสดงให้เห็นว่า
จงั หวะของแรงและการสัน่ สะเทอื นตรงกนั ข้ามกนั หรอื เฟสต่างกนั 180° หรืออาจเรียกวา่ เฟสตรงข้ามกัน

รูปท่ี 16 การสั่นสะเทอื นทเี่ ฟสของการกระตุ้นตรงกับเฟสของการสัน่ สะเทือน
ที่มา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

รูปท่ี 16 แสดงตัวอย่างการสั่นสะเทือนเม่ือความถ่ีธรรมชาติมีค่ามากกว่าความถี่ท่ีมากระตุ้น กรณีนี้
จึงได้ว่าเฟสของการสั่นสะเทือนจะตรงกับเฟสของแรงกระตุ้น ซึ่งจะเห็นได้จากกราฟของ Xp ซ่ึงมีเฟสตรงกับ
เฟสของการกระตนุ้ f กราฟทัง้ สองมีค่ามากและน้อยในจังหวะเดยี วกัน สาหรบั รปู ด้านล่างแสดงกราฟ ระหว่าง
ค่า X ซ่ึงเปน็ ผลรวมของ Xh และ Xp เมือ่ เทียบกับคา่ f

รูปท่ี 17 แสดงตัวอย่างการส่ันสะเทือนเมื่อความถ่ีธรรมชาติมีค่าน้อยกว่าความถี่ท่ีมากระตุ้นเฟส การ
สั่นสะเทือนในกรณีน้ีจึงตรงข้ามกับเฟสของแรงกระตุ้น ซึ่งจะเห็นได้จากกราฟของ Xp และ f ที่มีค่ามากและ
น้อยตรงกันข้ามกัน เมื่อตัวหนึ่งมีค่ามากอีกตัวหนึ่งจะมีค่าน้อย เม่ือตัวหนึ่งมีค่าน้อยอีกตัวหน่ึงจะมีค่ามาก รูป
ด้านล่างแสดงกราฟระหวา่ งคา่ X ซึง่ เปน็ ผลรวมของ Xh และ Xp เม่ือเทียบกับค่า f

25

รูปที่ 17 การส่นั สะเทอื นที่เฟสของการกระตุ้นตรงกนั ขา้ มกับเฟสของการสั่นสะเทือน
ที่มา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

5.2.4 บที (Beat)
พิจารณาสมการแสดงการสัน่ สะเทอื นแบบบังคบั ในสมการท่ี (14) ซึ่งแสดงอกี ครั้ง

ด้านล่าง

..........(17)
ในกรณที ่เี งื่อนไขเริ่มตน้ สัน่ เป็นศูนย์ คือ X0 = 0 และ V0 = 0 (กรณีนีเ้ ง่ือนไขเร่ิมตน้ เปน็ ศูนยท์ ั้ง สอง
ตัวได้ ซึง่ แสดงถึงในขณะทีร่ ะบบหยุดนงิ่ มีแรงกระทาภายนอกให้วัตถุเร่ิมสัน่ ) จะสามารถเขยี นสมการท่ี (17)
ไดด้ ังน้ี

..........(18)

หากความถ่ีธรรมชาติ ωn มีค่าใกล้เคียงกับความถ่ีท่ีมากระตุ้น ω สมการท่ี (18) สามารถเขียนเป็น
กราฟการสั่นสะเทือนได้ดังรูปที่ 18 จากรูปจะพบว่าคาบการส่ันสะเทือนจะสามารถแบ่งออกได้เป็นสองส่วน
ได้แกค่ าบการส่นั สะเทอื น T1 ซงึ่ เป็นคาบการเปลี่ยนแปลงขนาดของกรอบ (envelope) ของสัญญาณและคาบ
การส่ันสะเทือน T2 ซ่ึงเป็นคาบของการเปลี่ยนแปลงย่อยๆ โดยค่าของ T1 และ T2 สอดคล้องกับความถี่ใน
เทอมฟงั กช์ นั่ ไซนท์ ่แี สดงในสมการท่ี (18) และสามารถหาไดจ้ ากสมการ

26

รูปที่ 18 สัญญาณบีท
ทม่ี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

..........(19)
..........(20)
การเปลี่ยนแปลงในลักษณะนี้อาจเรียกอีกอย่างว่า Amplitude Modulation (AM) ซ่งึ หลักการน้ีมีใช้
ในการส่งสัญญาณวิทยุในระยะทางไม่ไกลมากนัก นอกจากคาบเวลา T1 และ T2 ข้างต้นแล้ว ลักษณะสัญญาณ
น้ียังสามารถพิจารณาว่าเป็นสัญญาณคาบ โดยมีคาบของสัญญาณเท่ากับ Tb ดังแสดงในรูปที่ 18 และเขียนได้
ตามสมการ

.........(24)

เรียกคาบสญั ญาณน้วี ่าคาบของบีท ส่วนความถที่ ีส่ มั พนั ธ์กบั คาบในสมการ (21) เรียกวา่ ความถี่บที
ดังแสดงดว้ ยสมการ

..........(22)
รูปท่ี 19 แสดงการเกิดสัญญาณบีทจากสัญญาณ Xh และ Xp ที่มีความถี่ใกล้เคียงกัน จากรูปจะพบว่า
ส่วนของสัญญาณบีทที่มีขนาดมาก (ส่วนท่ีแสดงด้วยเส้นสีแดง) เกิดมาจากการเสริมกันของสัญญาณ Xh และ
Xp ช่วงท่ีมีเฟสตรงกันและส่วนที่มีขนาดน้อยในสัญญาณบีท (ส่วนท่ีแสดงด้วยเส้นสีเขียว) เกิดจากการหักล้าง
กันของสัญญาณ Xh และXp ชว่ งท่มี เี ฟสตา่ งกนั

27

รูปท่ี 19 การเกิดบชี
ที่มา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

5.2.5 กำรสั่นพ้อง (Resonance)
เมือ่ ความถ่ีของการกระตุ้น ซ่ึงอาจอยูใ่ นรูปแรง แรงบดิ หรอื การกระตุ้นโดยการขจัด
มีค่าเท่ากับ ความถ่ีธรรมชาติของระบบ ขนาดของการสั่นสะเทือนจะมีค่ามาก หากพิจารณาค่า Xp ในสมการ
(8) จะได้ ว่าส่วนของขนาดจะมีค่ามากจนถึงอนันต์ อย่างไรก็ตามในระบบจริงเมื่อให้การกระตุ้นที่ความถี่
ธรรมชาติ ขนาดการส่ันสะเทือนไม่ได้สูงจนเท่ากับอนันต์ในทันที แต่ขนาดการส่ันสะเทือนจะค่อยๆ เพ่ิมสูงข้ึน
ดังนั้น สมการท่ี (8) จึงไม่อาจแทนพฤตกิ รรมการสั่นสะเทือนท่ตี าแหนง่ สัน่ พ้องได้อยา่ งถกู ต้อง และค่าอนนั ต์ใน
สมการคณิตศาสตร์น้ัน ในความเป็นจริงก็จะไม่เกิดเหตุการณ์เช่นน้ัน เน่ืองจากขนาดการส่ันสะเทือนจะค่อยๆ
สูงขน้ึ จนเม่ือเกนิ กว่าค่าความแขง็ แรงของวสั ดุยืดหยุ่นจะรับไว้ได้ระบบกจ็ ะพังลง ในกรณกี ารส่ันพ้องสมการซ่ึง
แสดงคา่ Xp สามารถเขยี นไดด้ ังน้ี

..........(23)

โดย X คือตัวแปรท่ีแสดงความรวดเร็วในการเพิ่มข้ึนของขนาดการสน่ั สะเทือน ส่วนความถ่ี ω = ωn
จากสมการที่ (23) จะได้

และ ..........(24)
คา่ X หาได้โดยการแทนคา่ Xp และ ̈ ลงในสมการการเคล่ือนที่ (2) (หรือสมการ (1)) ดังนั้นจะได้

เพราะฉะนน้ั ..........(25)

ดังนั้น ..........(26)

เมื่อรวมการสัน่ สะเทือนท้ังหมด ซ่งึ เป็นผลมาจาก Xh ในสมการ (4) และ Xp ในสมการ (26) จะได้

28

..........(27)

โดยความถ่ี ω = ωn

หากกาหนดเง่ือนค่าเร่ิมต้นให้ (0) = 0 และ ̇(0) = 0 จะสามารถหาค่าคงที่ A1 และ A2 ได้ดังน้ี
จากสมการ (27) ความเร็วของการเคล่ือนทห่ี าได้จาก

แทนเงอื่ นไขค่าเริ่มตน้ ลงในสมการท่ี (27) และ (28) จะได้ ..........(28)
..........(29)
และ
หรอื
แทนค่าคงทีล่ งในสมการแสดงการสั่นสะเทือนท่ีตาแหนง่ ส่นั พ้อง (27) จะได้

รูปท่ี (20) แสดงการส่ันพอ้ ง เมื่อเงือ่ นไขเริ่มต้นสั่นเปน็ ศูนย์ ( X0 = 0 และ V0 = 0 )

รูปท่ี 20 การสั่นพ้องเม่อื เงือ่ นไขคา่ เริม่ ต้นเปน็ ศูนย์
ท่ีมา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

29

5.3 กำรสัน่ สะเทือนแบบบังคบั ทีม่ ีตัวหน่วงกำรส่ันสะเทือน

5.3.1 สมกำรกำรเคล่ือนทีข่ องกำรส่ันสะเทือนแบบบังคบั ที่มตี ัวหน่วงกำรสน่ั สะเทือนและ
ผลเฉลย

รูปที่ 21 แสดงระบบการส่ันสะเทือนที่มีตัวหน่วงการสั่นสะเทือน และถูกกระทาด้วยแรง
กระตุ้นแบบฮาร์โมนกิ สาหรับระบบในรปู จะสามารถเขียนสมการการเคลอื่ นที่ไดด้ ังสมการ

..........(30)

หรอื ..........(31)
คาตอบหรือผลเฉลย X(t) ของสมการ (30) และสมการท่ี (31) ซ่ึงแสดงลักษณะการส่ันสะเทือนของ ระบบ
สามารถแบ่งออกได้เปน็ สองส่วน เช่นเดียวกบั กรณีระบบทีไ่ ม่มีตัวหนว่ ง ดงั แสดงดว้ ยสมการ

..........(32)

โดย Xh(t) คือ Homogeneous solution เปน็ คาตอบของสมการ
Xp(t) คอื Particular solution เปน็ คาตอบของสมการ

รูปที่ 21 ระบบการสน่ั สะเทือนแบบบังคับท่ีมีตวั หนว่ งการส่ันสะเทือน

ทมี่ า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

เน่อื งจาก Xh(t) เปน็ คาตอบของสมการ ซึง่ เปน็ สมการเดยี วกับสมการท่ี

แสดงการส่ันสะเทือนอย่างอิสระ ดังนั้นคาตอบจึงเป็นเช่นเดียวกับคาตอบของการส่ันสะเทือนอย่างอิสระท่ี

แสดงไว้ในบทก่อนหน้า โดยคาตอบสามารถแบ่งออกได้เป็น 3 กรณี ตามคา่ ของอัตราสว่ นการหนว่ ง ของระบบ

ดังนี้

1. กรณที อ่ี ตั ราส่วนการหนว่ งมคี ่าระหวา่ ง 0-1 (0 < ζ < 1) หรอื Under damped motion

เม่อื ..........(33)
และ A และ φ เป็นค่าคงทีท่ ่ีข้นึ อยกู่ ับเงอื่ นไขเริ่มตน้ การส่ัน ..........(34)
2. กรณที ่อี ัตราสว่ นการหน่วงมคี ่าเท่ากบั 1 ( ζ = 1) หรือ Critically damped motion

..........(35)

เมื่อ a1 และ a2 เปน็ คา่ คงทีท่ ่ีขนึ้ อยกู่ ับเงือ่ นไขเริ่มตน้ การส่ัน
3. กรณีทีอ่ ัตราสว่ นการหนว่ งมคี า่ มากกว่า 1 ( ζ > 1) หรือ Over damped motion

..........(36)

เมอ่ื a1 และ a2 เป็นคา่ คงทท่ี ่ีขนึ้ อยูก่ ับเง่ือนไขเร่ิมตน้ การส่ัน

30

สาหรับ Xp(t) ซ่ึงเป็นคาตอบของสมการ (30) หรือ (31) น้ัน ก็สามารถหาได้จากการสังเกตพฤติกรรม
การส่ันสะเทือนหรือจากการแก้สมการอนุพันธ์ เช่นเดียวกับกรณีของการส่ันท่ีไม่มีตัวหน่วงการ สั่นสะเทือน
เน่ืองจากวัตถุเมื่อมีการกระตุ้นที่ความถี่ ω มากระทาแล้ว วัตถุน้ันจะส่ันที่ความถี่ ω ด้วย และเน่ืองจากการ
กระตนุ้ อย่ใู นรูปของฟังกช์ ่ัน cosine ลักษณะคาตอบของสมการจึงต้องเป็นฟังก์ช่นั sine หรือ cosine ด้วย ถงึ
จะทาให้เม่ือแทนคาตอบ Xp(t) เข้าไปในสมการ (31) แล้วสมการจึงมีโอกาสเป็นจริงได้ ด้วยเหตุผลดังกล่าวจึง
ไดว้ า่ Xp(t) จะสามารถเขียนได้ในรูปของสมการ

..........(37)
หรือ ..........(38)

เน่ืองจาก Xp(t) เป็นคาตอบของสมการ (31) ค่าคงท่ี X และ θ (หรอื As และ Bs ) สามารถหาได้โดย
แทน Xp(t) ในสมการ (38) (หรือสมการ (37)) ลงในสมการ (31) ดงั นี้

ให้ ดังรูปที่ 22 จะได้

..........(39)

รปู ที่ 22 มุมเฟสของการสั่นสะเทือนแบบบังคับ
ทม่ี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf
จากสมการท่ี (39) สมการจะเปน็ จริงไดเ้ ม่ือ
หรอื ..........(40)

31

และ ..........(41)
จากสมการท่ี (38), (40) และ (41) ทาให้สามารถเขียน Xp(t) ไดด้ ังสมการ

..........(42)

เม่ือรวมคาตอบทั้งสองส่วนคือ Xh(t) จากสมการ (33) หรือ (35) หรือ (36) กบั Xp(t) จาก สมการ
(42) เข้าดว้ ยกันจะได้ ผลเฉลยซึ่งแสดงถึงลักษณะการสน่ั สะเทือน X(t) ตัวอยา่ งของลักษณะการสั่นสะเทือน
แบบบังคบั ของระบบทีเ่ ปน็ แบบ Under damped motion แสดงดังสมการ

..........(43)

ตัวอย่างกราฟการส่ันสะเทือนของสมการที่ (43) แสดงในรูปท่ี 23 จากสมการที่ (43) และรูปท่ี 23 จะได้ว่า
ส่วน Xh(t) จะมีค่าลดลง และหายไปเม่ือเวลาผ่านไปนานเพียงพอ แต่ส่วน Xp(t) จะคงอยู่ตราบที่ยังมีแรง
ภายนอก F0 มากระทา ดงั นั้นการสัน่ สะเทอื น X(t) ในชว่ งแรกจงึ มีผลจากท้งั Xh(t) และ Xp(t) แต่เมือ่ เวลาผ่าน
ไป X(t) จะมคี า่ เทา่ กบั Xp(t)

รูปที่ 23 ตัวอยา่ งกราฟแสดงการสนั่ สะเทือนแบบบังคบั ของระบบทีเ่ ป็น Under damped motion
ทม่ี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

เน่ืองจากส่วน Xh(t) (ไม่ว่าจะเป็นระบบ Under damped motion, Critically damped motion
หรือ Over damped motion) จะมีผลเพียงแค่ช่วงต้นๆ ของการสั่นเท่าน้ัน จึงมีช่ือเรียกว่าผลตอบสนอง
ช่ัวขณะ (Transient response) ส่วน Xp(t) ท่ีมีผลตลอดตราบท่ียังมีแรงภายนอกกระทามีชื่อเรียกว่า
ผลตอบสนองในสภาวะคงตัว (Steady state response) ในปัญหาการส่ันแบบบังคับโดยทั่วๆ ไปมักจะสนใจ
สว่ นของ ผลตอบสนองในสภาวะคงตัวเน่ืองจาก ผลตอบสนองชั่วขณะจะหายไปในเวลาไมน่ านหลังจากเร่ิมเกิด
การสัน่ สะเทือน

32

5.3.2 ผลตอบสนองในสภำวะคงตวั ทค่ี วำมถี่แรงกระตนุ้ ต่ำงๆ
ขนาดของการสน่ั สะเทือนในสภาวะคงตัวแสดงดงั สมการ (40) และนามาแสดงอีก

คร้ังในทน่ี ี้

..........(40)
จากสมการที่ (40) จะเห็นว่าขนาดการสน่ั สะเทอื น X ข้นึ อยู่กบั ทง้ั ลักษณะของระบบ
การสั่นสะเทือน (ได้แก่ค่า m, c, k ซ่ึงแสดงออกโดยตัวแปร ωn และ ζ ) และลักษณะของแรงที่กระทาทั้ง

ขนาด ( 0f ) และ ความถ่ขี องแรงกระทา (ω ) สมการท่ี (4-40) สามารถจัดรปู ได้ดังสมการ

..........(44)

โดย r = ω/ωn

รูปท่ี 24 แสดงความสมั พนั ธท์ แี่ สดงในสมการท่ี (44) โดยสมมุติใหร้ ะบบการสั่นสะเทอื นระบบ หน่งึ ถูก
กระทาดว้ ยแรงขนาดคงท่ี แกนต้ังแสดงเทอมไรม้ ติ ิทางด้านซา้ ยของสมการซ่งึ สัมพนั ธ์กบั ขนาดการ ส่นั สะเทือน
สว่ นแกนนอนแสดงเทอมไร้มิติ r ซ่ึงสัมพันธ์กับความถี่ของแรงกระตุ้น

รปู ที่ 24 ความสมั พันธ์ของขนาดการส่ันสะเทือนที่ความถ่ีแรงกระตนุ้ ต่างๆ
ท่มี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

จากรูปจะเห็นว่าถึงแม้ระบบการส่ันสะเทือนจะถูกกระตุ้นด้วยแรงขนาดคงที่ แต่ถ้าหากความถ่ีของ
แรงกระตุ้นแตกต่างกัน ก็จะทาให้ขนาดของการสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้นแตกต่างกันได้โดยหากระบบถูกกระตุ้นที่
ความถ่ีต่าๆ ขนาดการสน่ั สะเทือนท่ีเกิดข้นึ จะใกล้เคียงกับค่าการเสยี รูปเมื่อระบบถูกแรงขนาดเท่ากันนี้ กระทา
ในสภาวะสมดุล (Static deformation) ขนาดการสั่นสะเทือนจะเพ่ิมมากข้ึนหากความถ่ีการกระตุ้นเพ่ิมมาก
ขนึ้ และการสัน่ สะเทือนจะมขี นาดมาก เมอ่ื ระบบถกู กระตนุ้ ดว้ ยแรงท่ีมคี วามถ่ีใกล้เคยี งกับความถี่ธรรมชาติ

33

(r = 1) ปรากฏการณ์ที่ระบบถูกกระตุ้นด้วยแรงท่ีมีความถี่เท่ากับความถี่ธรรมชาติ จะเรียกว่า การเกิดการสั่น
พอ้ ง (resonance) และเมอ่ื เพ่มิ ความถี่การส่นั สะเทือนให้มากกว่าความถธ่ี รรมชาติ ขนาด ของการส่ันสะเทือน
จะลดลง

เม่ือพิจารณาถึงผลของอัตราส่วนการหน่วงต่อขนาดการส่ันสะเทือนจะพบว่า ยิ่งขนาดของอัตราส่วน
การหน่วงมาก ขนาดการสั่นสะเทือนเมื่อระบบถูกแรงท่ีมีความถ่ีใกล้เคียงความถี่ธรรมชาตกิ ระทาจะมีคา่ ลดลง
นอกจากน้ียังพบว่าความถ่ีแรงกระตุ้นที่ทาให้เกิดขนาดการส่ันสะเทือนมากที่สุดจะลดลงและห่างจาก ความถ่ี
ธรรมชาตมิ ากขน้ึ เมื่อระบบมีอัตราส่วนความหน่วงมากขึ้น

การหาความถี่ของแรงกระตุ้นที่จะทาให้ขนาดการสั่นสะเทือนมากท่ีสุด สามารถหาได้โดยวิธีการหา
จุดสูงสุดของฟังก์ช่ันโดยทั่วไป จากความรู้ในวิชาแคลคูลัสจะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นจะมีค่าเท่ากับศูนย์ที่
ตาแหน่งสงู สดุ ของฟังกช์ ัน่ ในกรณนี ้ีจะได้

...........(45)

เม่ือแก้สมการที่ (45) จะได้

หรือ ..........(46)
จากสมการท่ี (46) จะเห็นได้ว่าตาแหน่งท่ีเกิดการส่ันสะเทือนมากท่ีสุด ไม่ตรงกับท้ังความถี่ธรรมชาติ

ωn และความถี่ธรรมชาติของระบบที่มีตัวหน่วง ωd แต่มีค่าน้อยกว่า อย่างไรก็ตามระบบโดยทั่วไปมักมี
อัตราส่วนการหน่วงน้อย (เช่น โครงสร้างท่ีไม่ได้มี Damper ประกอบอยู่) ดังนั้นตาแหน่งท่ีขนาดการ
ส่นั สะเทือนมคี า่ มากที่สุด จึงมักเกดิ เมอื่ แรงกระตนุ้ มีความถ่ีใกล้เคยี งกบั ความถ่ธี รรมชาติ

สาหรับขนาดของการสั่นสะเทือนมากที่สุดนั้น สามารถหาได้โดยแทนค่า r หรือ ωn จากสมการที่
(46) ลงในสมการท่ี (44) โดยขนาดการส่นั สะเทือนท่มี ากท่สี ุดมคี ่าเทา่ กับ

...........(47)

สาหรับความสัมพันธ์ของมุมเฟสท่ีความถี่ต่างๆ หาได้จากสมการ (41) ซ่ึงสามารถจัดรูปสมการได้ ดัง
สมการ

..........(48)

34

รปู ที่ 25 ความสมั พนั ธ์ของมมุ เฟสที่ความถ่แี รงกระตุ้นต่างๆ
ท่มี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

รูปที่ 25 แสดงความสัมพันธ์ของมุมเฟสทคี่ วามถี่ของการกระตุ้นตา่ งๆ ตามสมการท่ี (4-48) เนือ่ งจาก
แรงกระตุ้นในระบบการส่ันสะเทือนนี้เท่ากับ F0cosωt (สมการ (30)) ส่วนลักษณะการส่ันสะเทือนแสดงด้วย
สมการ Xp(t) = X cos(ωt −θ) (สมการ (38)) ดังนั้นความต่างเฟส θ จึงแสดงจังหวะท่ีแตกต่างกันของแรง
กระทากับผลลพั ธ์การส่นั สะเทือน ทานองเดยี วกับที่อธิบายไว้ในหวั ข้อท่ี 5.3 ในบทนีแ้ ละอาจจะพจิ ารณาง่ายๆ
ได้ว่าหากแรงกระทากับระบบและทิศทางการส่ันสะเทือนค่อนข้างไป ในทางเดียวกันแล้วจะได้ว่ามุมเฟสจะ
ค่อนข้างตรงกัน (ใกล้กับ 0°) แต่หากทิศทางการสั่นสะเทือนตรง ค่อนข้างจะตรงกันข้ามกับทิศของแรงกระทา
แล้ว จะไดว้ ่ามุมเฟสจะคอ่ นขา้ งตรงข้ามกัน (ใกลก้ บั 180°)

จากรูปท่ี 25 จะพบว่าเม่ือให้แรงกระตุ้นท่ีความถี่ต่าๆ มุมเฟสจะมีค่าใกล้ 0° ซ่ึงหมายถึงระบบจะสั่น
โดยมีจังหวะใกล้เคียงกับจังหวะของแรงกระตุ้น เมื่อความถ่ีของแรงกระตุ้นเพ่ิมขึ้น จะพบว่ามุมเฟสซึ่งแสดงถึง
จังหวะการสั่นของระบบจะต่างกับแรงกระตุ้นมากขึ้น และมุมเฟสจะมีค่าเท่ากับ 90° ( π 2 rad) เม่ือความถ่ี
แรงกระตุ้นเท่ากับความถี่ธรรมชาติของระบบ และหากให้แรงกระตุ้นที่ความถ่ีสูงกว่าความถ่ีธรรมชาติมากๆ
มุมเฟสจะมีค่าเทา่ กับ 180° (π rad)

เมื่อพิจารณาถึงผลของความหน่วง จะพบว่าถ้าความหน่วงน้อยการเปลี่ยนแปลงของเฟสเมื่อกระตุ้น
ด้วยความถี่ท่ีห่างจากความถี่ธรรมชาติจะน้อย แต่จะมีการเปลี่ยนแปลงของเฟสอย่างรวดเร็วเม่ือกระตุ้นท่ี
ความถ่ีใกล้เคียงกับความถี่ธรรมชาติ (r ≈ 1) แต่ถ้าหากความหน่วงของระบบมีค่ามากขึ้นการเปลี่ยนแปลงของ
เฟสจะคอ่ ยๆ สมา่ เสมอขึน้

5.3.3 กำรวเิ ครำะห์ดว้ ยวธิ ีกำร Frequency response
วิธีการ Frequency response เป็นวิธีการหน่ึงที่ใช้หาคาตอบหรือผลเฉลยการ
ส่ันสะเทือนของระบบ เช่นเดียวกับวิธีการท่ีกล่าวไปในหัวข้อที่ผ่านมา วิธีการนี้ทาได้โดยประยุกต์ใช้สูตรของ

35

ออยเลอร์ (Euler’s formula) และแนวคิดของวิธีการ superposition โดยสูตรของออยเลอร์สามารถแสดงได้
ดงั สมการ

..........(49)
โดย 2 = 1

พจิ ารณาสมการการเคลื่อนทข่ี องระบบการสนั่ สะเทือนพ้นื ฐาน ดังแสดงในสมการ (30) และนามาเขียนใหมด่ ังน้ี

..........(50)
หากเปล่ียนด้านขวามือของสมการให้อยู่ในรูป 0 และคาตอบของสมการเปล่ียนจาก x(t) เป็น z(t) จะ
ได้

..........(51)
หรือ ..........(52)

จะเหน็ ว่าสมการท่ี (52) จะคลา้ ยคลงึ กบั สมการ (50) เพียงแตเ่ พ่มิ เทอม 0( sin ) ซ่งึ เป็น สว่ น
จินตภาพเข้ามาเท่านั้น เน่ืองจากสมการ (52) เป็นสมการแบบเชิงเส้น จึงสามารถใช้แนวคิดของการ
superposition ได้ดังนั้นคาตอบของสมการ z(t) (ซึ่งเป็นจานวนเชิงซ้อน เพราะด้านขวามือเป็นจานวน
เชงิ ซอ้ น) จงึ เป็นผลรวมของคาตอบของสมการ (50) ซ่ึงก็คือ x(t) (ซ่ึงเป็นจานวนจริง) และคาตอบของสมการที่
มรี ปู แบบเชน่ เดยี วกบั สมการ (50) แตด่ า้ นขวามอื เปน็ 0( sin ) ดงั แสดงในสมการ

..........(53)

เน่ืองจากด้านขวามือของสมการ (53) เป็นจานวนจินตภาพ ดังนั้นคาตอบ y(t) ของสมการนี้จึงเป็น
จานวนจนิ ตภาพด้วย

วิธีการหาคาตอบโดยวิธี Frequency response จะไม่หาคาตอบของสมการที่ (50) โดยตรงแต่จะหา
คาตอบของสมการ (51) แทน โดยคาตอบ Xp(t) ที่ต้องการจะเป็นส่วนจริงของคาตอบ z(t) ของ สมการ (51)
ดังสมการ

..........(54)

พิจารณาสมการที่ (51) เน่ืองจากด้านขวามือของสมการเป็นฟังก์ชั่น exponential ดังนั้นคาตอบ z(t) จึงต้อง
อยูใ่ นรปู แบบ exponential ด้วย เพอื่ ท่ีเมอ่ื แทนค่าเข้าในสมการ (51) แล้ว จะสามารถทาใหส้ มการเปน็ จริงได้
ดว้ ยเหตุนี้ z(t) จึงสามารถเขียนได้ดงั สมการ

..........(55)

โดยที่ค่าคงท่ี Z เป็นจานวนเชิงซอ้ น
การหาค่า Z ทาไดโ้ ดยแทนคา่ z(t) ซงึ่ เปน็ คาตอบของสมการ (51) ลงในสมการท่ี (51) ดงั นี้

36

หรอื ..........(56)

โดย ..........(57)
จะเหน็ วา่ H (jω) เปน็ อตั ราส่วนเชงิ ซ้อนระหวา่ ง Z ซ่ึงอาจจะพิจารณาว่าเปน็ การส่นั สะเทอื นหรือการ

ตอบสนองของระบบ (output) กับขนาดแรงขาเข้าซึ่งกระตุ้นให้เกิดการส่ัน F0 (input) โดยท่ี H (jω) เป็น
ฟังก์ช่ันของความถี่ด้วย ดังน้ัน H (jω) จึงมีช่ือเรียกว่า Complex frequency response function จาก
สมการท่ี (56) เขียนจานวนเชงิ ซ้อนสว่ นให้อย่ใู นรปู เชงิ ขั้วจะได้

โดย ..........(58)
และจาก ( ) = จะได้ ..........(59)

..........(60)

เนื่องจาก xp(t) = Re(z) ดงั นั้น

..........(61)

หรือ ..........(62)

โดย θ หาได้จากสมการท่ี (59) สมการท่ี (61) สามารถเขยี นในรูปของความถธ่ี รรมชาติ อตั ราสว่ นการหน่วง ไดด้ ังแสดงใน
สมการที่ (42) และนามาเขยี นใหม่อีกครัง้ ดังนี้

..........(63)

37

จะเห็นว่าการคานวณท้ังสองวิธีไม่ว่าจะใช้การแก้สมการอนุพันธ์และพื้นฐานทางตรีโกณมิติ หรือใช้
วิธีการวิเคราะห์ด้วยวิธี Frequency response ซึ่งใช้พื้นฐานเกี่ยวกับจานวนเชิงซ้อน จะได้ผลลัพธ์
เชน่ เดียวกัน

PART B: Applications
5.4 กำรส่ันสะเทือนจำกควำมไมส่ มดลุ จำกกำรหมนุ (Rotating unbalance)
เครื่องจักรกลจานวนมากทางานโดยการหมุน เช่น เคร่ืองยนต์ต้นกาลัง มอเตอร์ ป๊ัม กังหัน เครื่องซัก

ผา้ ลอ้ รถยนต์ เป็นตน้ ในการหมุนน้ัน หากชนิ้ สว่ นมีความไม่สมดุลจะเกดิ แรงหนีศูนยก์ ลางข้นึ แรงนจ้ี ะ เพม่ิ ขึ้น
อยา่ งมากในชิน้ สว่ นท่หี มุนด้วยความเรว็ รอบสูง และเปน็ ต้นเหตุสาคญั ของปัญหาการสั่นสะเทือน ในหวั ข้อนี้จะ
กล่าวถึงการสร้างแบบจาลองเพ่ือจาลองการเกิดการสั่นสะเทือนจากความไม่สมดุล วิธีการสร้าง สมการการ
เคลื่อนที่ รวมถึงการแกส้ มการตามลาดบั

ปัญหาการส่ันสะเทือนจากความไม่สมดุล สามารถจาลองได้ด้วยแบบจาลองดังแสดงในรูปท่ี 26 (ก)
โดยกล่องสี่เหลี่ยมมวล m แทนเคร่ืองจักรที่เกิดความไม่สมดุล (มวลนี้รวมมวลที่ไม่สมดุลอยู่ด้วย) โดยมวลนี้
ถูกรองรับด้วยสปริง และตัวหน่วงการสั่นสะเทือน เช่นเดียวกับระบบการส่ันสะเทือนโดยทั่วไป ส่วนความไม่
สมดุลจากการหมุนสามารถแทนได้ด้วยมวล m0 ซึ่งหมุนรอบแกนกลางของเคร่ืองจักร โดยตาแหน่งทีมีมวลไม่
สมดลุ ติดอยเู่ กดิ ทีต่ าแหน่งหา่ งจากจุดหมนุ e (วัดตามแนวรัศม)ี ส่วนความเรว็ รอบการหมุนคือ ω

รูปที่ 26 แบบจาลองการสน่ั สะเทือนจากความไมส่ มดลุ และ FBD
ท่มี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

รูปที่ 26 (ข) แสดง FBD ของระบบในรูป 26 (ก) เนื่องจากในท่ีน้ีจะพิจารณาระบบท่ีเป็น 1 dof ซ่ึงมี
การสั่นสะเทือนในแนวด่ิงเท่านั้น รูป FBD น้ีจึงแสดงเฉพาะแรงในแนวด่ิง FBD1 แสดง FBD ของมวล ที่ไม่
สมดุล m0 แรง Fr เป็นแรงคู่ปฏิกิริยาที่เคร่ืองจักรกระทากับส่วนท่ีไม่สมดุล ส่วน FBD2 แสดงส่วนของ
เคร่ืองจักรโดยไม่รวมมวลท่ีไม่สมดุล แรงท่ีกระทากับเคร่ืองจักรประกอบด้วยแรง Fr ซ่ึงเป็นผลจากส่วนที่ไม่
สมดุลและทาให้เคร่ืองจักรเกิดการสั่นสะเทือน และแรงเน่ืองจากสปริงและตัวหน่วงการสั่นสะเทือน พิกัดท่ี
บอกการเคลื่อนที่ของเครื่องจักรคือ x(t) ส่วนการเคลื่อนที่ของมวลท่ีไม่สมดุล m0 มีผลมาจากทั้งการเคลื่อนท่ี
ของเครอ่ื งจกั รและการเคล่ือนท่ีของส่วนที่ไม่สมดลุ ดังนัน้ การเคลอื่ นทข่ี องมวล m0 จึงเทา่ กับ x(t) + xr(t) จาก
FBD1 จะเขียนสมการแสดงการเคล่ือนทไี่ ด้ดงั น้ี

38

..........(64)

สว่ นจาก FBD2 จะได้สมการดงั น้ี

..........(65)
สาหรับคา่ xr จะสามารถหาได้จากสมการ

..........(66)
จากความสมั พนั ธ์ในสมการที่ (64)-(66) จะไดส้ มการการเคลือ่ นทข่ี องการสัน่ สะเทือนจากการหมนุ ทไ่ี มส่ มดลุ
ดงั สมการ

..........(67)
สมการที่ (67) หรือ (68) อยใู่ นรูปแบบของสมการการสน่ั สะเทือนแบบบังคบั โดยท่วั ไป และสามารถใชว้ ธิ ตี ่างๆ
ทไ่ี ด้กล่าวมาแล้วหาคาตอบได้

กาหนดให้ ( ) = x(t) = Im[z(t)] และเขียนสมการการเคล่ือนที่ใหอ้ ยใู่ นรปู เชงิ ซ้อนจะได้

..........(68)

เมื่อแทนค่า z(t) ลงในสมการการเคล่ือนทีใ่ นรูปแบบเชิงซอ้ น จะได้

เมอ่ื r = ωr/ωn และให้การตอบสนองเชงิ ความถ่ี จะได้
และ ..........(69)
..........(70)

โดย

เม่ือเขียนกราฟระหว่างขนาดการตอบสนองเชิงความถ่ี H ( ω) กับอัตราส่วนความถ่ี r จะได้ดังรูปที่
27 จากกราฟจะพบว่า เม่ือความเร็วรอบการทางานของเคร่ืองจักรน้อย ขนาดของการสั่นสะเทือนจาก ความ
ไม่สมดุลจะมีคา่ น้อย (เขา้ ใกล้ 0) ขนาดของการสน่ั สะเทือนจะมคี า่ เพ่ิมมากขนึ้ เมือ่ ความเรว็ รอบการ ทางานเข้า
ใกล้กับความถ่ีธรรมชาติของระบบ = / = 1 และเม่ือความเร็วรอบการทางานมีค่ามากกว่า
ความถ่ีธรรมชาติมากๆ ค่า H (ω) จะมีค่าเข้าใกล้ 1 การเพ่ิมตัวหน่วงการสั่นสะเทือนจะทาให้ขนาดการ
สัน่ สะเทือนลดลง

39

รูปท่ี 27 ผลตอบสนองเชงิ ความถขี่ องปญั หาการส่นั สะเทือนจากความไมส่ มดุล
ท่มี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

5.5 กำรส่ันสะเทือนจำกกำรสัน่ สะเทอื นของพืน้ (Base excitation)
ในหัวข้อน้ีจะกล่าวถึงการสั่นสะเทือนซ่ึงเกิดขึ้นจากการกระตุ้นจากการส่ันสะเทือนของพื้น ตัวอย่าง
ของปัญหาการสั่นสะเทือนจากการส่ันของพ้ืน เช่น 1) เคร่ืองจักรกลที่สนใจวางอยู่ในบริเวณท่ีพ้ืนมีการ
ส่ันสะเทือน ซึ่งการส่ันของพื้นอาจเกิดจากเคร่ืองจักรขนาดใหญ่อ่ืนๆ ท่ีวางอยู่ในบริเวณเดียวกัน 2) การ
ส่ันสะเทือนของรถเม่ือแล่นอยู่บนถนนท่ีขรุขระ การส่ันสะเทือนจากพื้นจะทาให้ตัวรถสั่นสะเทือน ดังนั้น
รถยนต์จงึ ต้องมกี ารออกแบบระบบรองรบั (Suspension system) เพอ่ื ลดการสนั่ สะเทอื นและเพมิ่ เสถยี รภาพ
ในการขบั ขี่ 3) การส่ันสะเทอื นของอาคารเนอ่ื งจากแผน่ ดินไหว
การสั่นสะเทือนจากพื้นสามารถสร้างแบบจาลองได้ดังแสดงในรูปท่ี 28 (ก) ในส่วนของมวล m ซ่ึง
แทนระบบหรือเครื่องจักรที่สนใจ จะเป็นเช่นเดียวกับแบบจาลองระบบการสน่ั สะเทือนท่ีได้กลา่ วถึงในหัวข้อที่
ผ่านๆ มา ซ่ึงประกอบด้วยมวล สปริง และตัวหน่วงการสั่นสะเทือน สาหรับการส่ันสะเทือนของฐานจาลอง
ด้วยการเคล่ือนท่ีของฐาน y(t) ส่วนรูปท่ี 28(ข) แสดง FBD ของระบบในรูปซ้ายมือ สังเกตว่าแรงจากสปริง
และแรงจากตัวหน่วงการสั่นสะเทือนจะข้ึนอยู่กับระยะสัมพัทธ์ และความเร็วสัมพัทธ์ระหว่างมวลกับพ้ืน ดัง
สมการ = ( − ) และ = ( ̇ − ̇ ) ตามลาดับ (สมมุติให้ระยะการเคลื่อนที่ x ของมวล m
มากกว่า การเคล่ือนท่ี y ของพื้น) จาก FBD จะสามารถสร้างสมการเพ่ืออธิบายการเคลื่อนที่ของการ
ส่ันสะเทือนจาก การสนั่ ของพื้นได้ดงั น้ี

..........(71)
หากใหก้ ารสนั่ ของพื้นเปน็ แบบฮาร์โมนิกจะได้ ( ) = cos เม่อื แทนลงในสมการ (71) จะได้

...........(72)

40

รูปท่ี 28 แบบจาลองการสัน่ สะเทือนจากการสนั่ สะเทือนของพ้นื และ FBD
ทมี่ า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

จะเห็นว่าสมการ (71) เป็นสมการการส่ันสะเทือนแบบบังคับ ซ่ึงถูกกระตุ้นด้วยแรง 2 แรงที่ความถี่
เดียวกัน แต่มีเฟสและขนาดแตกต่างกัน การแก้สมการอาจใชว้ ิธตี ่างๆ ดังที่ได้อธิบายมาก่อนหน้าโดยพิจารณา
แรงทีละแรง และใช้หลักการ Superposition เพ่ือหาคาตอบ ในท่ีนี้จะใช้วิธีการ Frequency response
แสดงดงั ต่อไปน้ี

กาหนดให้
จากสมการท่ี (71) เขยี นสมการในรปู ของความถ่ีธรรมชาตแิ ละอัตราสว่ นการหนว่ งจะได้

เขียนสมการให้อย่ใู นรปู เชิงซอ้ น จะได้

..........(73)

เมอ่ื = / และใหก้ ารตอบสนองเชิงความถี่ จะได้

และ
เนื่องจาก x(t) = Re[z(t)] ดังน้นั

..........(74)

และ ..........(75)
อัตราส่วนระหว่างขนาดการเคลื่อนที่ของวัตถุ X (Output displacement) กับขนาดการเคลื่อนท่ี

ของพื้น Y (Input displacement) ดังแสดงในสมการ (75) มีช่ือเรียกว่า Displacement transmissibility
อัตราสว่ นนแ้ี สดงใหเ้ หน็ ว่าวตั ถุจะเคลือ่ นทีไ่ ปเทา่ ไรเมื่อให้การกระตุ้นโดยการสน่ั ของพืน้ ที่ความถตี่ า่ งๆ

41

รูปท่ี 29 แสดงความสัมพันธ์ของ Displacement transmissibility ที่ความถ่ีต่างๆ จะเห็นว่าถ้าพ้ืน
ส่ันด้วยความถี่ต่าๆ การส่ันของมวลจะมีขนาดเท่ากับการสั่นของพื้น และเม่ือความถี่ของการสั่นสะเทือนของ
พ้ืนเพ่ิมข้ึนจนเข้าใกล้ความถ่ีธรรมชาติแล้ว ขนาดของการสั่นสะเทือนจะเพิ่มขึ้นอย่างมาก แต่เมื่อความถี่การ
ส่ันของพื้นเพิ่มข้ึนอีก จนอัตราส่วน √ เกินกว่า 2 แล้ว การส่ันสะเทือนของมวลที่สนใจจะมีขนาดลดลง
สาหรับผลของอัตราส่วนการหน่วงจะพบว่า เมื่ออัตราส่วนการหน่วงเพิ่มจะทาให้ขนาดการส่ันสะเทือนลดลง
หากการส่ันเกิดที่ความถ่ีต่า (อัตราส่วน √ น้อยกว่า 2 ) และการเพิ่มอัตราส่วนการหน่วงจะส่งผลให้ขนาด
ลดลงอย่างมากหากการสั่นของพื้นเกิดใกล้กับช่วงความถี่ธรรมชาติ แต่หากการส่ันของพื้นเกิดที่ความถ่ีสูง
(อตั ราส่วน √ มากกว่า 2 ) แลว้ การเพมิ่ อัตราสว่ นการหนว่ งกลับทาให้ขนาดของการส่ันสะเทือนเพ่ิมข้นึ

ความรู้เกี่ยวกับการสั่นสะเทือนเนื่องจากการสั่นของพื้นที่กล่าวถึงในหัวข้อนี้ จะเป็นประโยชน์อย่าง
มากในการออกแบบระบบให้ได้รับผลการสั่นสะเทือนจากการส่ันของพ้ืนน้อยๆ ท้ังในแง่ของขนาดการ
สั่นสะเทอื น และแรงที่ส่งผา่ นรายละเอยี ดของการออกแบบเพ่ือควบคมุ ขนาดการส่ันสะเทือนน้ี

รปู ท่ี 29 ความสมั พันธร์ ะหวา่ งค่า Displacement transmissibility ทค่ี วามถี่ตา่ งๆ
ที่มา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

5.6 อุปกรณ์วัดกำรส่ันสะเทือน
ในหัวข้อที่ผ่านมา ได้อธิบายถึงการส่ันสะเทือนซึ่งถูกกระตุ้นจากการส่ันสะเทือนของพ้ืน สาหรับใน
หัวข้อนี้จะกล่าวถึงการใช้หลักการทานองเดียวกันในการสร้างอุปกรณ์วัดการสั่นสะเทือน ซึ่งอาจวัดเป็นการ
ขจัดในการส่ันสะเทือน หรืออาจเป็นการวัดความเรง่ การส่ันสะเทือน รูปท่ี 30 (ก) แสดงโครงสร้างพ้ืนฐานของ
อปุ กรณว์ ัดการสนั่ สะเทือน ซ่งึ ประกอบด้วย มวล สปริง และตัวหน่วงการส่ันสะเทือนอยู่ภายในฝาครอบ ซง่ึ ติด
อยู่กับชิ้นส่วนส่ันสะเทือนที่ต้องการวัดขนาด โดย x แสดงการเคล่ือนท่ีของมวล m ที่อยู่ภายใน ส่วน y แสดง
ถึงขนาดการสั่นสะเทือนท่ีต้องการวัด ระยะท่ีอ่านค่าได้คือระยะสัมพัทธ์ระหว่างการเคล่ือนที่ของมวล x กับ
ขนาดการส่นั สะเทือน y เนอื่ งจากหลกั การที่ใชเ้ ป็นเช่นเดยี วกับการสั่นสะเทือนจากการสั่นของพื้น ดงั นัน้ FBD

42

ท่ีแสดงในรูปที่ 30 (ข) จึงเป็นเช่นเดียวกับ FBD ในปัญหาการส่ันสะเทือนของพื้นในหัวข้อก่อนหน้า และ
สามารถเขยี นสมการการเคล่อื นทไ่ี ด้เชน่ เดยี วกนั ดงั สมการ (71) ท่ียกมาเขยี นซ้าอกี ครั้งดังน้ี

..........(71)

รปู ท่ี 30 แผนผังแสดงหลักการอุปกรณว์ ัดการสนั่ สะเทือน
ทม่ี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch4_Force%20vibration.pdf

เน่อื งจากระยะที่อา่ นได้เป็นระยะสมั พัทธ์ กาหนดให้ w(t) = x(t) − y(t) และแทนลงในสมการท่ี (71) และ จดั
รูปจะได้ดังสมการ

..........(76)

กาหนดใหก้ ารสั่นสะเทือนท่ีต้องการวดั เป็นการส่นั แบบฮาร์โมนกิ จะได้ ( ) = cos
สมการที่ (76) สามารถเขียนใหอ้ ย่ใู นรปู ของความถธ่ี รรมชาติ และอตั ราสว่ นการหนว่ งได้ดงั น้ี

..........(76)

การหาคาตอบของสมการท่ี (76) ทาไดท้ านองเดยี วกับปญหาการส่นั สะเทือนจากการส่นั ของพื้น ดงั นี้

กาหนดให้ จะสามารถเขียนสมการ

(76) ในรปู สมการเชงิ ซ้อนได้ดังนี้

เมอ่ื = / และให้การตอบสนองเชิงความถี่ จะได้

และ ..........(77)
เนอ่ื งจาก w(t) = Re[z(t)] ดงั นัน้ ..........(78)

และ

โดยอัตราส่วน W/Y = |T(ω)| แสดงถึงขนาดการส่ันสะเทือนที่อ่านค่าได้ (การขจัดสัมพัทธ์ W) เทียบ
กับการส่ันสะเทือนของช้ินส่วนท่ีต้องการวัดการสั่นสะเทือน Y และมีชื่อเรียกว่า Displacement
transmissibility (ช่ือเดียวกับหัวข้อการส่ันสะเทือนจากการส่ันของฐาน แต่ค่าไม่เท่ากัน เนื่องจากในหัวข้อ

43

กอ่ นหน้าพจิ ารณาระยะ Output ทส่ี นใจเปน็ ระยะสมั บูรณ์ X แตใ่ นหัวขอ้ นีจ้ ะพิจารณา Output เป็นการขจัด
สัมพัทธ์ W) หลักการพื้นฐานท่ีกล่าวมานี้จะนาไปใช้กับอุปกรณ์วัดการขจัดการส่ันสะเทือน (Seismometer)
และอปุ กรณ์วัดความเรง่ การส่นั สะเทือน (Accelerometer)

5.7 สรปุ
ในบทนี้กล่าวถึงการสั่นสะเทือนท่ีมีการกระตุ้นภายนอกบังคับให้เกิดการสั่นสะเทือน ใน Part A ซ่ึง
เป็นส่วนที่เกี่ยวกับทฤษฎีจะเร่ิมโดยพิจารณาจากระบบที่ไม่มีตัวหน่วงการส่ันสะเทือน และระบบที่มีตัวหน่วง
การสั่นสะเทือนตามลาดับ ในระบบท่ีมีการกระตุ้นภายนอก ลักษณะการส่ันสะเทือนจะประกอบด้วยผลการ
ส่ันสะเทือนชั่วขณะ และผลการสั่นสะเทือนในสภาวะคงตัว สาหรับผลการส่ันสะเทือนช่ัวขณะจะข้ึนอยู่กับ
พารามิเตอร์ของระบบการส่ันสะเทือนอันได้แก่ มวล ค่าความแข็งสปริง และค่าสัมประสิทธิ์ความหน่วง โดย
การส่ันสะเทือนในส่วนนี้จะมีขนาดลดลงและหายไปเมื่อเวลาผ่านไปนานพอ ส่วนผลการส่ันสะเทือนในสภาวะ
คงตัวจะข้ึนอยู่กับขนาดและความถ่ีของการกระตุ้น โดยการส่ันสะเทือนจะเกิดท่ีความถี่เดียวกับความถี่การ
กระตุ้นเสมอ และการสั่นสะเทือนนี้จะคงอยู่ตลอดตราบท่ียังมีแรงกระตุ้นกระทาอยู่ และเม่ือมีการกระตุ้นท่ี
ความถ่ีที่ใกล้กับความถี่ธรรมชาติของระบบ ระบบจะเกิดการสั่นสะเทือนอย่างรุนแรงที่เรียกว่าการสั่นพ้อง
สาหรับมุมเฟสของการสั่นสะเทือนซ่ึงแสดงถึงความแตกต่างระหว่างจังหวะของการสั่นสะเทือนและ แรง
กระตุ้นนน้ั จะมเี ปลย่ี นแปลงจาก 0° ซง่ึ หมายถงึ แรงกระตนุ้ และการส่ันเกิดในจังหวะและทิศทางเดียวกนั ไปถึง
180° ซึ่งแสดงถึงทิศทางท่ีตรงกันข้ามกันของแรงกระตุ้นกับการสั่นสะเทือน เม่ือความถี่ของการกระตุ้นมีค่า
มากขึ้น สาหรับใน Part B จะแสดงถึงตัวอย่างการใช้ความรู้เก่ียวกับการสั่นสะเทือนแบบบังคับ ในปัญหาทาง
วิศวกรรม ได้แก่ การสั่นสะเทือนจากความไม่สมดุลของการหมุน การสั่นสะเทือนซ่ึงเกิดจาก การสั่นของพื้น
และการประยุกต์ใช้ในอุปกรณ์วัดการสั่นสะเทือน อันได้แก่ Seismometer ซึ่งเป็นอุปกรณ์วัด การขจัด และ
Accelerometer ซง่ึ เป็นอปุ กรณ์วัดความเร่งของการสั่นสะเทือน