การสั่นสะเทือน

44

6. กำรส่นั สะเทือนของระบบทม่ี ีองศำอสิ ระมำกกว่ำหนึง่

6.1 บทนำ

ในบทที่ผ่านมาระบบท่ีนามาวิเคราะห์การส่ันสะเทือนจะเป็นระบบท่ีมีองศาอิสระ (Degree of

freedom) เท่ากับหน่ึงทั้งหมด อย่างไรก็ตามปัญหาท่ีพบโดยท่ัวไปแล้วจะมีความซับซ้อนกว่าน้ันมาก การ

สร้างแบบจาลองการส่ันสะเทือนเพ่ืออธิบายลักษณะการส่ันสะเทือนในหลายๆ คร้ัง จึงต้องสร้างให้มีจานวน

องศาอสิ ระมากกว่าหนง่ึ เพื่อใหผ้ ลลพั ธ์ท่ีคานวณได้มีความใกลเ้ คียงกับความเป็นจรงิ มากย่ิงขึ้น สาหรับในบทน้ี

จะกล่าวถงึ วธิ กี ารวิเคราะหป์ ัญหาการสน่ั สะเทือนของระบบที่มี งศาอิสระมากกวา่ หนงึ่ โดยขอบเขตของปัญหา

ท่ีวิเคราะห์จะแสดงดังตารางท่ี 6-1 โดยวิธีการวิเคราะห์ปญหาจะแบ่งออกเป็น 2 วิธีได้แก่ 1) วิธีหาผลเฉลย

โดยตรง และ 2) การวิเคราะห์โดยวิธีโมดัล โดยในส่วนแรกของบทจะกล่าวถึงวิธีโดยตรงก่อน และจะกล่าวถึง

วิธีโมดัลในลาดับถัดไป สาหรบั ระบบท่ีพจิ ารณาน้ันจะเนน้ ไปท่ีระบบที่ไม่มีตัวหน่วงการ สั่นสะเทอื นซ่งึ สามารถ

วิเคราะห์ได้โดยง่ายและในหลายๆ คร้ังก็สามารถใช้ผลที่ได้ประมาณลักษณะการสั่นในระบบที่มีตัวหน่วงขนาด

น้อยๆ ได้เป็นอย่างดี อย่างไรก็ตามในส่วนท้ายของบทก็จะมีกล่าวถึงการวิเคราะห์ในระบบที่มีตัวหน่วง และ

ลักษณะเฉพาะของตัวหนว่ งทที่ าให้สามารถวิเคราะห์ดว้ ยวิธีโมดลั ไดด้ ว้ ย

ตารางท่ี 6-1 ขอบเขตของปัญหาทจี่ ะกล่าวถึงในบทที่ 6

Free Vibration Forced Vibration

Undamped 1. Direct 1.Direct (harmonic excitation)
2. Modal Analysis 2. Modal Analysis

Damped 1. Modal Analysis (only some 1. Modal Analysis (only some

systems) systems)

6.2 กำรสัน่ สะเทือนอย่ำงอิสระของระบบทีไ่ ม่มตี วั หนว่ งกำรสนั่ สะเทือน
หัวข้อนี้จะกล่าวถึงการหาการสั่นสะเทือนของระบบท่ีไม่มีตัวหน่วงการสั่นสะเทือน โดยวิธีการ
วเิ คราะหโ์ ดยตรง สาหรับตัวอยา่ งของปญหาทจี่ ะยกเพื่ออธบิ ายจะเปน็ ปัญหาทม่ี ีองศาอิสระเท่ากับ 2 เน่อื งจาก
มีความซับซ้อนน้อยสามารถเข้าใจได้โดยง่าย อย่างไรก็ตามวิธีการนี้ก็สามารถประยุกต์ใช้ได้กับระบบท่ีมีองศา
อสิ ระสงู ขน้ึ ไปไดเ้ ช่นกนั
พิจารณาระบบที่มอี งศาอสิ ระเท่ากบั 2 ดงั แสดงในรูปท่ี 31

รปู ท่ี 31 ระบบท่มี อี งศาอสิ ระเทา่ กับ 2 และแผนผงั วตั ถุอิสระ (Free Body Diagram, FBD)

ที่มา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch6%20Response%20of%20MDOF%20systems.pdf

45

จากรปู และ แผนผังวัตถุอิสระ (FBD) จะสามารถเขยี นสมการการเคลอ่ื นท่ีของมวลแตล่ ะก้อนไดด้ ังนี้

สมการทัง้ สองสามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรูปเมตริกซ์ไดด้ งั สมการ

..........(1)
โดยสมการ (1) อาจจะเขียนแบบย่อได้เปน็

..........(2)
โดยตวั อกั ษรตัวหนาในสมการจะหมายถึงเมตริกซห์ รือเวคเตอร์ และ

M คอื เมตริกซ์ของมวล (inertia of mass matrix) มีมิติ (n×n) ในทนี่ ้คี ือ (2×2)
K คือเมตริกซ์ของความแขง็ เกรง็ (stiffness matrix) มีมติ ิ (n×n) ในที่นี้คือ (2×2)
F คือเวคเตอร์ของแรงภายนอกที่กระทา (external force vector) มมี ิติ (n×1) ในทีน่ ี้คือ (2×1)
x คือเวคเตอรบ์ อกตาแหนง่ (position vector) มมี ติ ิ (n×1) ในทนี่ ีค้ ือ (2×1)

จากการสังเกตลักษณะการส่ันสะเทือนอย่างอิสระของระบบท่ีมีองศาอิสระมากกว่าหน่ึงพบว่า การ
ส่ันสะเทือนจะเป็นแบบ Synchronous motion ซ่ึงหมายถึงระบบพิกัดที่ใช้บอกตาแหน่งของระบบน้ันทุกๆ
ตัว จะเคลื่อนที่ไปพร้อมๆกัน ซึ่งก็คือผ่านจุดสมดุลและผ่านจุดที่มีขนาดการสั่นสูงท่ีสุดพร้อมๆกัน และ
อัตราส่วนขนาดของพิกัดแต่ละตัวจะมีค่าเท่ากันตลอดเวลา เพื่อให้สามารถเข้าใจได้ชัดเจนย่ิงข้ึน พิจารณา
ระบบทมี่ อี งศาอิสระเท่ากบั สอง ดงั แสดงในรปู ที่ 32 ดงั นี้

1. ในตัวอย่างนี้ระบบพิกดั ท่ีใช้อธบิ ายการเคลื่อนท่ี คือระยะที่วัดจากจุดสมดุล X1 และ X2 ซ่ึงใน ทีน่ ี้
แสดงถึงการเคลือ่ นที่ของมวลแต่ละก้อนตามลาดบั

2. จะเห็นว่ามวลท้ังสองก้อนจะเคลื่อนท่ีผ่านจุดท่ีมีขนาดการสั่นสูงท่ีสุดพร้อมๆ กัน และผ่านจุด
สมดลุ พร้อมๆ กัน ไมว่ า่ เคล่ือนที่ในกรณีท่ี 1 หรอื 2 ก็ตาม

3. อัตราส่วนของขนาดของพิกัด X1/X2 จะมีค่าคงท่ีเสมอไม่ว่าจะพิจารณาท่ีตาแหน่งใดก็ตาม การ
สั่นสะเทือนเม่ือไม่มีตัวหน่วงการส่ันสะเทือนจะเป็นแบบฮาร์โมนิก เช่นเดียวกับระบบที่มีองศา
อิสระเท่ากับหนึ่ง ดังนั้นรูปแบบสมการที่ใช้อธิบายลักษณะการส่ันสะเทือนจึงสามารถเขียนใหอ้ ยู่
ในรูป ในกรณีของระบบที่มีองศาอิสระมากกว่า
หนึ่ง เน่ืองจากการสั่นจะเป็นแบบ Synchronous motion มวลทั้งสองก้อนจึงต้องเคล่ือนที่ไป
พรอ้ มๆ กัน มีความถ่ีในการสัน่ เท่ากัน และมีมุมเฟสเท่ากัน ดว้ ยเหตุนี้การสั่นสะเทือนของมวลแต่
ละกอ้ นในตวั อย่างจึงสามารถเขียนไดด้ ว้ ยสมการ
..........(3)
..........(4)

46

รปู ท่ี 32 การเคล่ือนท่ีแบบ Synchronous motion ของระบบทีม่ ีองศาอิสระเทา่ กบั สอง

ท่ีมา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch6%20Response%20of%20MDOF%20systems.pdf

ย้อนกลบั ไปยงั ระบบในรูปที่ 31 เนื่องจากลกั ษณะการสน่ั เปน็ ไปตามคา่ x1 และ x2 ในสมการ (3) และ
(4) หรอื อาจกล่าวไดว้ ่า x1 และ x2 เป็นคาตอบของสมการ EOM (1) ดังน้นั เมอ่ื แทนคา่ ลงใน สมการ (1) สมการ
จงึ เป็นจรงิ ดงั นี้

..........(5)

รูปแบบปัญหาที่อยู่ในรูปแบบสมการ (6-5) มีช่ือเรียกว่า Eigen value problem สมการที่ (5) จะเป็นจริง
เสมอ เมอื่ คา่ ดเี ทอรม์ ิแนนตข์ องเมตรกิ ซ์มคี า่ เท่ากับ 0 ดงั น้นั จะได้

..........(6)

สมการที่ (6) มีชอื่ เรยี กวา่ Characteristic equation (CHE) จากสมการน้จี ะได้

..........(7)

เมื่อแก้สมการ (7) จะได้

และ ..........(8)

47

คา่ ω2 นีเ้ รียกว่า Eigen value สว่ นคา่ ω แสดงถึงความถ่ีการส่ันสะเทือน ค่า ω นต้ี ้องเป็นบวก

เสมอ คา่ ω ทเ่ี ป็นลบไมม่ ีความหมายทางกายภาพ สาหรบั ค่า ω ทีเ่ ป็นบวก ตัวท่ีมีค่าน้อยกวา่ จะ กาหนดให้
เปน็ ω1 ส่วนตัวท่มี ากกว่าจะกาหนดให้เปน็ ω2 หากระบบมอี งศาอสิ ระมากกว่าน้ี กจ็ ะเรยี งลาดบั จากน้อยไป
มากเชน่ เดียวกับในตวั อยา่ งนี้

จากการคานวณข้างต้นพบว่า การส่ันสะเทือนของระบบจะมีความถี่เท่ากับ ω1 หรือ ω2 เสมอไม่ว่า
จะให้เง่ือนไขค่าเริ่มต้นอย่างไร ดังน้ันค่านี้จึงเป็นค่าความถ่ีธรรมชาติของระบบ จานวนของความถี่ธรรมชาติ
จะเทา่ กับจานวนองศาความเป็นอสิ ระของระบบ ในกรณีระบบทม่ี ีองศาอสิ ระเทา่ กบั หนึ่งจะมคี วามถ่ี ธรรมชาติ
เพียงค่าเดียว ส่วนระบบที่มีสององศาอิสระจะมีความถี่ธรรมชาติ 2 ตัว ในทานองเดียวกันหาก ระบบมีองศา
อิสระเทา่ กบั n กจ็ ะมจี านวนความถ่ธี รรมชาตเิ ท่ากับ n เช่นกนั

จากสมการที่ (5) จะได้ความสัมพันธ์ระหว่างอัตราส่วนของ A1 และ A2 ซึ่งเป็นขนาดของการ
ส่ันสะเทอื นตามสมการ (3) และ (4) ออกมาดังนี้

..........(9)

ในกรณที ี่ ω =ω1 จะได้อตั ราสว่ นของ A1 และ A2 ดังนี้

..........(10)

ในกรณที ่ี ω =ω2 จะไดอ้ ตั ราส่วนของ A1 และ A2 ดังนี้

..........(11)

อัตราส่วน A1/A2 แสดงถึงรูปร่างการสั่นสะเทือนของระบบ หรือ mode shape ดังแสดงตัวอย่างใน
รูปที่ 33 ในกรณี ω =ω1 ค่า (A1/A2)=0.731 ค่าที่เป็นบวกแสดงให้เห็นว่ามวลทั้งสองก้อนจะเคลื่อนท่ีไป
ทิศทางเดียวกัน โดยหากมวลก้อนที่ 2 เคลื่อนท่ีได้ 1 หน่วยแล้ว มวลก้อนท่ี 1 จะเคลื่อนท่ีได้ 0.731 หน่วย
เสมอ คา่ อตั ราส่วนในกรณีท่ี ω =ω1 น้ีเรียกว่า The first mode shape สว่ นกรณี ω =ω2
ค่า (A1/A2)= -2.73 ค่าท่ีเป็นลบแสดงว่ามวลทั้งสองก้อนเคลื่อนท่ีในทิศทางตรงกันข้ามกัน โดยหากมวลก้อนที่
2 เคลื่อนท่ีในทิศทางบวกเป็นระยะ 1 หน่วยแล้ว มวลก้อนท่ี 1 ก็จะเคล่ือนที่ในทิศทางลบ(ตรงกัน ข้าม) ด้วย
ขนาด 2.73 หนว่ ย Mode shape ในกรณีนี้เรยี กว่า The second mode shape

Mode shape ท่ีได้กล่าวมาข้างต้นอาจเขียนแสดงด้วยเวคเตอร์ φ1(x) หรือ φ2(x) ดังแสดงใน
รูปท่ี 33 และมีช่ือเรียกว่า Eigen vector เนื่องจาก Mode shape เป็นอัตราส่วนดังน้ันจึงอาจแสดงค่าใน
เวคเตอร์ เป็นเท่าไรก็ได้ เพียงแต่ให้อัตราส่วนคงเดิม อย่างไรก็ตามโดยท่ัวไปนิยมจัดให้ค่าในเวคเตอร์ตัวใดตัว
หนึ่งมี ค่าเทา่ กับ 1 เวคเตอร์

48

รปู ท่ี 33 Mode shape ของการส่ันสะเทือน

ทมี่ า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch6%20Response%20of%20MDOF%20systems.pdf

ถึงแม้ว่าจะสามารถหาอัตราส่วนของขนาดการส่ันสะเทือนของมวลทั้งสองก้อนได้ แต่เนื่องจากขนาด
การส่ันสะเทือนจะข้ึนอยู่กับค่าเงื่อนไขเร่ิมต้นของระบบด้วย ดังนั้นจึงยังไม่สามารถหาค่าได้หากไม่กาหนด
เง่ือนไขเร่ิมต้นมาให้ จากการคานวณข้างต้นจะพบว่าคาตอบของสมการ (1) จะมีอยู่ 2 ชุด ขึ้นกับค่าความถี่
ธรรมชาติ ได้แก่
ชดุ ท่ี 1 ω =ω1

ชุดที่ 2 ω =ω2

โดยค่า c1 , c2 และ ψ1 , ψ2 เป็นคา่ คงที่ซึง่ หาไดจ้ ากเง่อื นไขค่าเรม่ิ ต้นของระบบ
เนื่องจากระบบการส่ันสะเทือนเป็นระบบเชิงเส้น หากทราบว่าคาตอบชุดที่ 1 และชุดที่ 2 เป็น

คาตอบของสมการ EOM แล้ว จะได้ว่าผลรวมของคาตอบชุดที่ 1 และชุดท่ี 2 ก็จะเป็นคาตอบของ EOM ด้วย
ดังน้นั คาตอบสมบูรณท์ ีแ่ สดงการสนั่ ของระบบในรปู ท่ี 31 จงึ สามารถแสดงไดด้ ้วยสมการ

..........(12)

49

สมการ (12) แสดงให้เห็นว่ามวลทั้งก้อนท่ี 1 และก้อนท่ี 2 จะส่ันด้วยความถี่ ω1 ที่ Mode shape 1
ผสมกับสั่นด้วยความถ่ี ω2 ที่ Mode shape 2 โดยส่วนประกอบของความถี่หรือ Mode shape ไหนจะ มาก
น้อยกว่ากัน ข้ึนอยู่กับเงื่อนไขเร่ิมต้น ซ่ึงส่งผลต่อค่า c1 , c2 ซ่ึงแสดงขนาดการส่ันสะเทือนของแต่ Mode
shape

กำรหำค่ำคงท่ีของกำรสน่ั สะเทอื นจำกเง่อื นไขค่ำเริ่มตน้
สมการท่ี (12) มคี า่ คงทอี่ ยู่ 4 ตวั ไดแ้ ก่ c1 , c2 และ ψ1 , ψ2 คา่ เหล่านีส้ ามารถหาได้โดยการ กาหนด
เง่ือนไขเริ่มต้นการส่ันสะเทือน 4 ตัว ซ่ึงได้แก่ การขจัดเร่ิมต้นของมวลท้ังสองก้อน และความเร็ว เร่ิมต้นของ
มวลท้ังสองก้อนดงั ตวั อย่างตอ่ ไปนี้
กาหนดให้
จากสมการ (12) หาอนพุ นั ธเ์ ทียบกับเวลา จะได้ค่าความเรว็ การเคลอ่ื นทีด่ ังน้ี

...........(13)
แทนเงือ่ นไขเริ่มตน้ ทก่ี าหนดใหล้ งในสมการ (12) และ (13) จะได้

..........(14)
..........(15)

สมการที่ (14) และ (15) แต่ละสมการประกอบดว้ ย 2 สมการย่อยซึ่งแสดงการเคลื่อนทขี่ องมวล ก้อน
ที่ 1 และ 2 ดังนั้นสมการท้ังหมดจึงมี 4 สมการ และมีตัวแปรไม่ทราบค่า 4 ตัว จึงสามารถแก้สมการเพื่อหา
ค่าท่ไี มท่ ราบได้ โดยจากการแกส้ มการจะได้

แทนคา่ คงทีเ่ หล่านี้ลงในสมการ (12) จะสามารถหาสมการทอ่ี ธิบายการสนั่ สะเทือนไดด้ งั นี้

..........(16)

จากขั้นตอนท่ีได้อธิบายมาข้างต้นทั้งหมด อาจสรุปวิธีการหาลักษณะการสั่นสะเทือนอย่างอิสระของระบบที่มี
องศาอสิ ระมากกว่าหนง่ึ และไมม่ ีตวั หน่วงการส่ันสะเทือนโดยวธิ ีโดยตรง ไดด้ ังรูปท่ี 34

50

รปู ท่ี 34 สรปุ ขนั้ ตอนการวเิ คราะห์ปญั หาการสัน่ สะเทือนอยา่ งอิสระ ของระบบทีม่ ีองศาอิสระมากกวา่ หนึง่
และไม่มตี วั หน่วงการสนั่ สะเทือน

ทม่ี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch6%20Response%20of%20MDOF%20systems.pdf

6.3 กำรสั่นสะเทือนแบบบังคับของระบบทไ่ี มม่ ีตัวหน่วงกำรส่ันสะเทอื น
โดยปกติในระบบท่ีมีองศาอิสระมากกว่าหนึ่งน้ันเม่ือมีแรงภายนอกมากระทากับระบบ จะไม่สามารถ
วิเคราะห์หาการส่ันสะเทือนโดยตรงได้ อย่างไรก็ตามในกรณีเฉพาะที่แรงภายนอกเป็นแบบฮาร์โมนิก จะ
สามารถวิเคราะห์หาลักษณะการสั่นสะเทือนโดยตรงได้ พิจารณาระบบการสั่นสะเทือนที่มีองศาอิสระเท่ากับ
สอง ซึ่งสามารถเขยี นสมการการเคลอ่ื นที่ EOM ได้ดงั นี้

..........(17)

เน่ืองจากระบบไม่มีตัวหน่วงการส่ันสะเทือน และแรงกระตุ้นอยู่ในรูปฮาร์โมนิก ซ่ึงมีความถ่ีเท่ากับ ω
ดังนน้ั การสน่ั สะเทือนท่เี กดิ ข้ึนจงึ ตอ้ งอยใู่ นรปู แบบฮารโ์ มนิก ซงึ่ มคี วามถี่เท่ากบั ω ดว้ ยดงั สมการ

..........(18)

สมการ (18) เป็นคาตอบของสมการ (17) เม่ือแทนสมการ (18) เขา้ ในสมการ (17) จะได้

51

..........(19)

หากให้ [Z(ω)] แทนเมตรกิ ซ์ 2×2 ในสมการ (19) สมการจะเขยี นอยา่ งย่อไดเ้ ป็น

เวคเตอร์ X ซ่ึงเป็นขนาดการส่ันสะเทือน สามารถหาได้โดยการคูณอินเวอร์สของเมตริกซ์ Z เข้าทางด้าน
ซ้ายมอื ทง้ั สองขา้ งของสมการดังน้ี

โดย Z(ω) คือค่าดเี ทอรม์ ิแนนต์ของเมตริกซ์ [Z(ω)] และหาไดจ้ าก ..........(20)
จากสมการ (20) และ (21) จะสามารถหาขนาดการส่ันสะเทอื นของมวลแตล่ ะก้อนไดจ้ าก ..........(21)
..........(22)

..........(23)

6.4 กำรวิเครำะห์โดยวิธีโมดัล
6.4.1 หลักกำรของกำรวิเครำะห์โมดลั
ปัญหาการส่ันสะเทือนของระบบที่มีหลายองศาอิสระมีความซับซ้อน เน่ืองจากสมการการ

เคลื่อนท่ีของท้ังระบบมีความเก่ียวข้องกัน (Coupled equations) ไม่สามารถแยกระบบสมการให้เป็นสมการ
ย่อยๆ เพ่ือแก้หาผลการสั่นสะเทือนโดยตรงได้ เพ่ือให้เข้าใจลักษณะปัญหาย่ิงขึ้น พิจารณาสมการท่ี (1) ซ่ึง
นามาเขยี นอีกคร้ังดังน้ี

..........(1)

52

ระบบสมการน้ีประกอบด้วยสมการย่อย 2 สมการ ซึ่งไม่สามารถแก้ได้โดยตรง เนื่องจากแต่ละสมการติดตัว
แปรสองตวั คอื x1 และ x2 การแก้สมการเพอ่ื หาลกั ษณะการส่นั สะเทอื นจงึ ตอ้ งแกร้ ะบบสมการพร้อมๆ กัน

รปู ท่ี 35 แสดงระบบท่ีมีองศาอิสระเท่ากบั 2 รปู ทางด้านซ้ายมือแสดงการกาหนดระบบพิกัด
x ซง่ึ แสดงการเคลอ่ื นที่ในแนวด่ิงทีจ่ ุดศูนย์ถ่วงและมุมทม่ี วลหมุน θ เพื่ออธบิ ายการเคล่ือนท่ีโดยหากใช้ระบบ
พิกัดนี้แล้วจะได้สมการการเคลื่อนดังแสดงทางด้านล่างซ้ายมือ แต่ถ้าหากใช้ระบบพิกัดอ่ืนดังแสดงในรูป
ทางด้านขวา โดยให้ x1 แสดงการเคล่ือนที่ที่ปลายด้านซ้าย ส่วนมุมท่ีมวลหมุน θ ก็กาหนดให้วัดเทียบกับ
ปลายด้านซ้ายเช่นกัน การกาหนดพิกัดเช่นน้ีจะทาให้ได้สมการการเคลื่อนท่ีดังแสดงทางด้านล่างขวามือซ่ึง
แตกต่างจากการกาหนดพิกัดตามแบบแรก

รูปท่ี 35 ระบบพกิ ัดกบั สมการการเคลือ่ นท่ี

ท่มี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch6%20Response%20of%20MDOF%20systems.pdf

ตัวอย่างนี้แสดงให้เหน็ วา่ การกาหนดพิกัดแสดงการเคลื่อนที่แตกตา่ งกัน ทาให้ได้สมการการ เคลื่อนที่
ที่ต่างกันด้วย สาหรับวิธีการวิเคราะห์โมดัลจะใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติการสมมาตรของเมตริกซ์ ของมวล
และเมตริกซ์ความแข็งเกร็ง และคุณสมบัติความตั้งฉาก (Orthogonality property) ของ Mode shape
แปลงพิกัดการเคล่ือนท่ีให้เป็นพิกัดโมดัล (Modal coordinate) ทาให้ระบบสมการท่ีมีสมการการเคล่ือนที่
ย่อยๆ แต่ละสมการท่ีมีความเกี่ยวข้องกันกลายเป็นสมการหนึ่งองศาอิสระที่เป็นอิสระต่อกัน จึงสามารถแก้
สมการแยกกันโดยตรงได้

53

รูปที่ 36 หลกั การวิเคราะหโ์ มดัล

ที่มา : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch6%20Response%20of%20MDOF%20systems.pdf

รูปท่ี 36 แสดงตัวอย่างของการวิเคราะห์แบบโมดัลเพ่ือให้เข้าใจในภาพรวมของการคานวณ เร่ิมจาก
สมการการเคล่ือนท่ี ซ่ึงในที่น้ีแสดงตัวอย่างสมการทางด้านซ้ายมือในรปู ท่ี 35 จะเห็นว่าสมการน้ีประกอบด้วย
สมการย่อยๆ ที่เก่ียวข้องกันไม่สามารถแก้โดยตรงได้ การวิเคราะห์โมดัลจะเปล่ียนรูปแบบสมการนี้จากพิกัด x
และ θ มาเป็นพิกัดโมดัล r1 และ r2 ทาให้สามารถแปลงรูปแบบสมการการเคล่ือนที่ที่เก่ียวข้องกัน กลายเป็น
สมการท่ีสมการยอ่ ยแตล่ ะสมการเป็นอิสระต่อกันดังสมการ

สมการข้างบนนี้สามารถแก้ได้โดยตรงโดยใช้หลักการท่ีได้กล่าวมาแล้วในบทก่อนหน้า เมื่อแก้สมการ
อนุพันธ์ย่อยๆ ในพิกัดโมดัลได้แล้ว คาตอบที่ได้จะเป็นการเคลื่อนท่ีในพิกัดโมดัลเทียบกับเวลา r(t) จึงจาเป็นที่
จะต้องแปลงผลทไ่ี ดน้ ี้ใหก้ ลับไปอย่ใู นพิกัดเดิม ซึ่งก็คือการเคล่อื นท่ี x(t) ตามท่ีต้องการ

เน่ืองจากวิธีการวิเคราะห์โมดัลเป็นการแก้สมการย่อยๆ ท่ีเป็นอิสระต่อกัน ดังน้ันจะสามารถหา
ผลตอบสนองช่ัวขณะ (Transient response) นอกเหนือจากผลตอบสนองในสภาวะคงตัว (Steady state
response) ได้ด้วย และในกรณีท่ีเป็นการส่ันสะเทือนแบบบังคับซึ่งถูกกระทาด้วยแรงรูปแบบใดๆ ปัญหาน้ีไม่
อาจแก้ได้ด้วยวธิ โี ดยตรง แตก่ ็สามารถใชก้ ารวเิ คราะห์แบบโมดัลในแก้ปญหาได้

6.4.2 คณุ สมบตั คิ วำมต้งั ฉำก
กาหนดให้ xi และ xj เป็นเวคเตอร์ของ mode shape (Eigen vector) ซึ่งสัมพันธ์กับความถี่
ธรรมชาติ ωi และ ωj ตามลาดับ เนื่องจากเมตริกซ์ของมวล M และเมตริกซ์ของความแข็งเกร็ง K เป็น
เมตริกซ์ที่สมมาตรเสมอ ด้วยคุณสมบัติความต้ังฉาก (Orthogonal property) จะได้ความสัมพันธ์ของ
เวคเตอรข์ อง mode shape และเมตริกซข์ องมวลและเมตริกซค์ วามแขง็ เกร็งดงั น้ี

54

..........(24)
..........(25)
ในกรณีของระบบท่ีองศาอิสระเท่ากับ 2 สมการ (24) และ (25) สามารถเขียนในรูปเต็มของ
การคณู เมตรกิ ซแ์ ละเวคเตอรเ์ พ่ือความเขา้ ใจไดด้ ังนี้

..........(26)

..........(27)

จะเห็นว่าหากใช้เวคเตอร์ของ Mode shape คนละ Mode คูณเข้ากับเมตริกซ์ของมวลและความแข็งเกร็ง
ตามสมการ (26) และ (27) แล้ว ค่าท่ีได้จะเท่ากับศูนย์ แต่ถ้าใช้เวคเตอร์ของ Mode shape ท่ีเป็น mode
เดยี วกนั แล้วคา่ ทีไ่ ด้จะไม่เท่ากับศนู ย์

เนื่องจากขนาดของ Mode shape จะกาหนดเป็นเท่าใดก็ได้ แตอ่ ตั ราสว่ นของ Mode shape ต้องคง
เดิมเสมอ เมื่อปรับขนาดของเวคเตอร์ของ Mode shape เทียบกับเมตริกซ์ของมวลโดยการคูณค่าคงท่ี C ที่
เหมาะสมจะได้เวคเตอร์ของ Normalized mode shape ui และ uj หรืออาจเรียกว่า Nomalized eigen
vector ซึ่งมีสมบัตดิ ังน้ี

..........(28)
..........(29)
..........(30)

จะเห็นว่าสมการ (29) เป็นสมบัติเดียวกับสมการ (24) ส่วนการปรับขนาดเวคเตอร์ของ Mode shape ใน
สมการ (28) จะส่งผลให้ขนาด Mii ในสมการ (25) มคี า่ เท่ากับ 1

ปัญหาการสั่นสะเทือนของระบบทม่ี ีองศาอสิ ระมากกวา่ 1 จะเปน็ ปัญหาแบบ Eigen value problem
ซึง่ มีรปู แบบสมการท่ใี ชแ้ ก้ดังแสดงมาแลว้ ในสมการ (5) และนามาเขียนใหมอ่ กี ครัง้ ในท่นี ้ี

..........(5)

เมื่อพิจารณากรณีที่ความถี่ธรรมชาติที่ i สัดส่วนของ x แต่ละตัวในเวคเตอร์ x(t) ในสมการ (5) จะมี
ความสัมพนั ธ์ตาม Mode shape ใน mode ท่ี i เมื่อแทนเวคเตอร์ของ Normalized mode shape ในmode
ที่ i ui ลงในสมการจะได้

หรือ

เมื่อคูณทัง้ สองข้างของสมการดว้ ย จะได้

55

ใชส้ มบัติของ Normalize mode shape ในสมการที่ (30) จะได้
..........(31)

สมการนีแ้ สดงให้เห็นถึงสมบตั ิอีกอยา่ งหน่ึงของเวคเตอร์ของ Normalized mode shape ซึง่ จะถูกใช้ตอ่ ไปใน
การวิเคราะห์โมดลั

หากนาเวคเตอร์ของ normalized mode shape มารวมเข้าด้วยกนั ใหเ้ ป็นเมตริกซ์ จะเรียกเมตริกซ์
นนั้ วา่ โมดัลเมตรกิ ซ์ (Modal matrix) ถา้ เป็นระบบทีม่ ีองศาอิสระเท่ากบั n โมดลั เมตริกซก์ ็จะมีมติ ิ n× n ดงั
สมการ

..........(32)
โดยคา่ Upq ในเมตริกซ์ หมายถึงค่า normalized mode shape ของ mode ท่ี p และเป็นตวั ท่ี q

ความสัมพันธ์ในสมการท่ี (29), (30) และ (31) สามารถนามาประยุกต์ใช้ในกรณีของโมดัลเมตริกซ์ได้
ดงั สมการ

..........(33)

..........(34)

โดยเมตริกซ์ Λ ในสมการท่ี (34) มีชื่อเรียกว่าสเปกทรัลเมตริกซ์ (Spectral matrix) ความสัมพันธ์ในสมการ
(32) ถึง (34) จะถกู นาไปใชใ้ นการวเิ คราะห์โมดัล ซงึ่ จะกล่าวถึงในหัวขอ้ ถดั ไป

6.4.3 ขน้ั ตอนกำรวิเครำะห์โมดัล
พิจารณาสมการการเคล่ือนท่ีในรูปแบบสมการ (2) ดงั นี้

..........(2)
กาหนดเวคเตอร์ของพิกัดโมดัล (Modal coordinate) r(t) มีความสัมพันธก์ บั พิกัด x(t) ดังสมการ

..........(35)

56

แทนความสัมพันธใ์ นสมการ (35) ลงในสมการ (2) จะได้
คูณท้งั สองขา้ งของสมการด้วย UT จะได้
จากความสัมพันธส์ มการที่ (33) และ (34) จะได้

สมการ (36) เขยี นให้อยูใ่ นรปู เต็มของการคูณเมตรกิ ซ์ได้ดงั นี้

(37)

สมการที่ (37) เป็นระบบสมการซ่ึงประกอบด้วยสมการยอ่ ยๆ ทีเ่ ปน็ อสิ ระต่อกัน n สมการ ดงั นน้ั จงึ สามารถแก้
สมการหาคา่ ri(t) ของสมการย่อยๆ ไดโ้ ดยตรง

เน่ืองจากการวิเคราะห์ด้วยวิธีโมดัลจะเปล่ียนจากพิกัดปกติเป็นพิกัดโมดัล ดังนั้นค่าเง่ือนไขเริ่มต้นท่ี
กาหนดในพิกัดปกติ x(0) จึงต้องเปลี่ยนให้เป็นเง่ือนไขเร่ิมต้นในพิกัดโมดัลด้วย โดยใช้ความสัมพันธ์ใน สมการ
(35) เช่นกัน ดังน้ี

คูณทัง้ สองข้างด้วย UTM จะได้

เม่อื ใช้ความสัมพนั ธ์ในสมการ (33) จะได้ ..........(38)
..........(39)

สมการที่ (38) และ (39) แสดงเง่ือนไขเร่ิมต้นในระบบพิกัดโมดัล เม่ือใช้เง่ือนไขเหล่าน้ีจะสามารถหา
ผลเฉลย r(t) ออกมาได้อย่างไรก็ตามผลท่ีไดเ้ ป็นผลในระบบพิกดั โมดัล จึงตอ้ งแปลงผลที่ได้กลับไปเป็นผลเฉลย
x(t) ซึ่งแสดงการสั่นสะเทือนตามที่ต้องการ โดยใช้สมการ (35) ข้ันตอนการวิเคราะห์โมดัลที่ได้กล่าวมาแล้ว
ข้างตน้ สามารถสรุปอกี คร้ังไดด้ ังแผนภาพในรูปท่ี 37

57

รปู ที่ 37 ขั้นตอนการวเิ คราะห์โมดลั

ท่มี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch6%20Response%20of%20MDOF%20systems.pdf

6.5 Rigid body mode
ในระบบการสั่นสะเทือนบางระบบอาจมี Mode shape ท่ีระบบท้ังระบบเคล่ือนท่ีไปด้วยกัน
เช่นเดียวกับการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง Mode shape ท่ีมีลักษณะเช่นนี้เรียกว่า Rigid body mode
เน่ืองจากเป็นการเคล่ือนท่ีไปด้วยกันหรือหมุนไปด้วยกัน ดังน้ันความถ่ีธรรมชาติท่ีสอดคล้องกับ Rigid body
mode จึงมีค่าเท่ากับศูนย์ (ωn = 0) ตัวอย่างของระบบที่มีการส่ันสะเทือน mode หน่ึงเป็น Rigid body
mode แสดงในรูปที่ 38 โดยท้ังรูป (a) และ (b) แสดงระบบซ่ึงประกอบด้วยมวล 2 ก้อน เชื่อมต่อกันด้วย
สปรงิ โดยรปู (b) เพลาตรงกลางทาหน้าที่เป็นสปริง เมอื่ วัตถเุ กิดการสน่ั จะเกิดได้เพียง 2 กรณีเทา่ น้ัน คือ มวล
ท้ังสองเคล่ือนท่ีคนละทิศทางกัน และมวลทั้งสองก้อนเคล่ือนท่ีไปพร้อมๆ กัน หรือหมุนไปพร้อมๆ กัน Mode
shape ทีม่ วลท้งั สองกอ้ นเคลือ่ นทไี่ ปพร้อมๆ กนั นคี้ อื Rigid body mode

รปู ที่ 38 ตวั อยา่ งระบบที่มี Mode shape หน่งึ เป็น Rigid body mode

ทม่ี า : http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20Vib/documents/Ch6%20Response%20of%20MDOF%20systems.pdf

58

6.6 กำรวเิ ครำะหโ์ มดัลในระบบที่มคี วำมหน่วง
การวิเคราะห์ที่ได้กล่าวมาก่อนหน้านี้ท้ังหมด เป็นการวิเคราะห์ในปัญหาท่ีไม่มีตัวหน่วงการ
สั่นสะเทือนในระบบ ในกรณีท่ีมีตัวหน่วงการส่ันสะเทือนนั้น โดยปกติวิธีการวิเคราะห์โมดัลจะไม่สามารถ
กระทาได้ เนื่องจากเทอมท่ีเก่ียวข้องกับเมตริกซ์ของตัวหน่วงการส่ันสะเทือน C จะไม่สามารถแปลงเป็น
เมตริกซ์ในแนวเสน้ ทแยงมุมได้ ระบบสมการจึงยังเกี่ยวข้องกันอยู่ไม่สามารถแก้ได้โดยตรง อย่างไรก็ตามมีบาง
กรณีที่การวิเคราะห์โดยวิธีโมดัลสามารถกระทาได้ หากเมตริกซ์ของมวล ความแข็งเกร็งและความหน่วงมี
ความสัมพนั ธก์ ันดังสมการ

..........(40)
ระบบท่ีมีค่าความหน่วงที่มีความสัมพันธ์ดังน้ีจะเรียกว่า Classical damped system สาหรับกรณี
อย่างง่ายที่สอดคล้องกับสมการ (40) ได้แก่กรณีที่สัมประสิทธิ์การหน่วงเป็นสัดสว่ นโดยตรงกับมวลและ ความ
แขง็ เกรง็ ของระบบ ดังสมการ

..........(41)
เม่ือค่า α และ β เป็นค่าคงที่ ค่าสัมประสิทธ์การหน่วงน้ีมีชื่อเรียกว่า Proportional damping
สาหรับในท่ีน้ีจะพิจารณาเฉพาะกรณีนี้เท่าน้ัน พิจารณาสมการการเคลื่อนท่ีซ่ึงมีตัวหน่วงการสั่นสะเทือนใน
ระบบ ดังสมการ

..........(42)
เน่ืองจากตัวหน่วงการส่ันสะเทือนเป็นสัดส่วนกับเมตริกซ์ของมวลตามสมการ (41) เม่ือแทนค่าลง ใน
สมการ (42) จะได้

..........(43)
ทาการหาเมตริกซ์ของ Mode shape U ตามวิธีการเดียวกับกรณีท่ีไม่มีตัวหน่วงการส่นั สะเทือน และ
กาหนดให้ x(t) = Ur(t) เมื่อแทนลงในสมการ (43) จะได้

คณู ทุกพจนข์ องสมการดว้ ย UT จะได้

..........(44)

สมการ (44) สามารถเขียนใหอ้ ยใู่ นรปู เต็มของเมตรกิ ซไ์ ด้ดังน้ี

..........(45)
จะเห็นว่าสมการย่อยแต่ละสมการไม่มีความเกี่ยวข้องกันและสามารถแก้ได้โดยตรง โดยสมการย่อย
แตล่ ะสมการจะอยู่ในรปู

หรือ ..........(46)
เม่ือ

59

สมการท่ี (46) อยู่ในรูปแบบเดียวกับสมการของระบบท่ีมีองศาอิสระเท่ากับหนึ่งท่ีมีตัวหน่วงการ
ส่ันสะเทือนโดยทั่วไป จึงสามารถแก้สมการได้โดยง่าย และเน่ืองจากคาตอบที่หาได้อยู่ในพิกัดโมดัล จึงต้อง
แปลงกลบั ใหอ้ ยู่ในพกิ ัดปกติ ด้วยสมการ x(t) = Ur(t) เชน่ เดยี วกับปญหาทไ่ี ม่มี ั ตัวหน่วงการสั่นสะเทอื น

6.6 สรปุ
ในบทนี้กล่าวถึงการวิเคราะห์การส่ันสะเทือนของระบบท่ีมีองศาอิสระมากกว่าหน่ึง ในการวิเคราะห์
จะต้องหาความถ่ีธรรมชาติของระบบ และ Mode shape ซึ่งแสดงลักษณะของการสั่นสะเทือนของระบบ
เสียก่อนในการส่ันอย่างอิสระ ลักษณะการส่ันสะเทือนจะเกิดจากการผสมกันของการส่ันท่ีความถ่ีธรรมชาติ
ต่างๆ และ Mode shape ต่างๆ ซ่ึงลักษณะการส่ันจะใกล้เคียงกับ Mode shape ใดน้ัน ข้ึนอยู่กับเงื่อนไข
เร่ิมต้นของระบบ ในส่วนครึ่งหลังของบทกล่าวถึงการวิเคราะห์แบบโมดัล ซ่ึงใช้หลักการการเปลี่ยนพิกัดของ
ระบบให้เป็นระบบพิกัดโมดัล ทาให้ระบบของสมการการเคล่ือนที่ซึ่งแต่ละสมการย่อยมีความเก่ียวข้องกัน
สามารถแยกออกเป็นสมการย่อยๆ ที่เป็นอิสระต่อกัน จึงสามารถแก้ปัญหาได้โดยตรง เมื่อแก้สมการเสร็จจึง
แปลงระบบพิกัดโมดัลให้กลับเป็นระบบพิกัดเดิม การวิเคราะห์โมดัลน้ันนอกจากจะนาไปประยุกต์เพื่อเขียน
โปรแกรมคานวณได้สะดวกแล้ว ยังสามารถนาไปใช้กับปัญหาการสั่นสะเทือนแบบบังคับท่ีรูปแบบของแรง
กระทาไม่ใชแ่ รงแบบฮารโ์ มนิค ซึง่ ไมส่ ามารถแก้ไดด้ ้วยวิธโี ดยตรงได้ดว้ ย ในสว่ นสุดทา้ ยของบทกลา่ วถึงระบบท่ี
มีตัวหน่วงการสั่นสะเทือนซึ่งเป็นสัดส่วนกับมวลและความแข็งเกร็งของระบบ ซึ่งเป็นกรณีเฉพาะท่ีสามารถ
ประยุกต์ใช้วิธีวิเคราะห์โมดัลในการแก้ปัญหาได้ สาหรับกรณีท่ีมีตัวหน่วงการสั่นสะเทือนเป็นค่าอื่นๆ อาจจะ
ตอ้ งใชว้ ิธีการประมาณค่าอัตราส่วนความหนว่ งในการแกป้ ัญหา

60

7. อันตรำยจำกกำรสน่ั สะเทือน
ในการทางานที่มีกระบวนการใช้เครื่องจักรอุปกรณ์ท่ีก่อให้เกิดแรงส่ันสะเทือน ไม่ว่าจะเป็นงาน

อุตสาหกรรม เกษตรกรรม การก่อสร้าง การขนส่ง เช่น เคร่ืองเจาะถนน เคร่ืองคัด เคร่ืองอัด เครื่องเจาะ
คอนกรีต รถบรรทุกขนาดใหญ่ ฯลฯ ซึ่งอาจทาให้เกิดการสั่นสะเทือนท่ีเกิดขึ้นกับร่างกาย ท้ังร่างกายหรือเป็น
เฉพาะจุดท่ีสัมผัสกับเครื่องมือก็ได้ ขึ้นอยู่กับลักษณะการใช้งานเฉพาะอย่างของเคร่ืองมืออุปกรณ์น้ัน ผลของ
การสั่นสะเทือนจะทาให้โมเลกุลภายในเซลล์ของร่างกายเกิดการเคลื่อนไหวสั่นรัว ทาให้ร่างกายเกิดความ
เม่ือยล้า เกิดการระคายเคืองต่อเนื้อเย่ือ ตาพล่ามัว ประสิทธิภาพของการทรงตัวของร่างกายและการทา งาน
ลดลง อวัยวะภายในทาหน้าที่ผิดปกติได้ เช่น เกิดอาการเจ็บปวด บริเวณกระเพาะหรือไต ไขสันหลังอักเสบ
เนื้อเยื่ออ่อนของข้อมือถูกทาลาย กล้ามเนื้อมืออักเสบ ปลายประสาทบริเวณมือเสียไปเส้นเลือดตีบทาใหเ้ ลอื ด
ไปเลี้ยงอวัยวะส่วนนั้นไม่พอ และอาจทาให้นิ้วมือเกิดอาการตายได้ เรียกโรคน้ีว่า เรย์โนด์ (Raynoud’s
Syndrome) จะอยู่ทคี่ ล่นื ความถท่ี ี่ 40 ถึง 300 เฮริ ตซ์

7.1 วิธีกำรป้องกันอันตรำยจำกแรงส่นั สะเทอื น
การทางานท่ีต้องเกี่ยวข้องกับสภาพแวดล้อมท่ีมีแรงสั่นสะเทือนท้ังมากหรือน้อยก็ตาม ควรเลือกใช้
เครื่องมืออุปกรณ์ที่มีความสมบูรณ์และลดแรงส่ันสะเทือนในการทางาน ใส่เคํร่องมอือุปกรณ์สาหรับป้องกัน
เช่น ถุงมือสาหรับลดแรงสั่นสะเทือน ใช้อย่างถูกวิธีลดเวลาการทางานให้น้อยลง มีการฝึกหัดอบรมการใช้
เคร่อื งมอื อปุ กรณม์ าเป็นอย่างดี และควรมกี ารตรวจสุขภาพร่างกายก่อนการทางาน

อำ้ งอิง

กาญจนา กล่าดิษฐ์. (2558). ชดุ จำลองกำรสนั่ สะเทือนของระบบกำรเคล่อื นที่แบบ 1 และ 2 องศำอิสระ.
สบื คน้ เม่ือ 4 28 มิถนุ ายน 2564, จาก http://www.lib.buu.ac.th/st/ST0002865.pdf

กติ ติศักด์ิ โพธแิ สง. (2556). กำรส่ันสะเทือนคืออะไร. สืบค้นเม่ือ 1 กรกฎาคม
2564, จาก https://core.ac.uk/download/pdf/70941156.pdf

เจิมธง ปรารถนารักษ์. (2554). กำรทดสอบกำรสน่ั . สืบค้นเม่ือ 1 กรกฎาคม
2564, จาก http://eng.sut.ac.th/me/box/2_55/425440/Lab%20Sheet%20Vibration%
20ed2554.pdf

เจ้าของรา้ น. (2564). ความส่นั สะเทอื น. สืบค้นเมือ่ 6 กรกฎาคม
2564, จาก https://www.aballtechno.com/article/37/ความสน่ั สะเทือน-vibration

ชนัตต์ รัตนสุมาวงศ.์ (2560). กำรสั่นสะเทอื นแบบบังคับจำกแรงรูปแบบต่ำงๆ. สืบค้นเม่ือ 1 กรกฎาคม
2564, จาก http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20
Vib/documents/Ch5%20General%20forced%20response.pdf

ชนตั ต์ รตั นสุมาวงศ์. (2560). กำรส่ันสะเทอื นของระบบที่มีองศำอิสระมำกกวำ่ หน่งึ . สบื ค้นเมอ่ื 1 กรกฎาคม
2564, จาก http://pioneer.netserv.chula.ac.th/~rchanat/2103433%20Intro%20Mech%20
Vib/documents/Ch6%20Response%20of%20MDOF%20systems.pdf

ประเสริฐศริ ิ วรญั ชิตพงศา. (2554). ทฤษฎกี ำรสน่ั สะเทอื น. สบื คน้ เม่ือ 3 กรกฎาคม
2564, จาก http://sutir.sut.ac.th:8080/sutir/bitstream/123456789/4488/2/fulltext.pdf

สยุมพร รัตนพันธ์. (2541). กำรสัน่ สะเทือน. สบื คน้ เมื่อ 2 กรกฎาคม
2564, จาก http://www.lib.kps.ku.ac.th/SpecialProject/Food_Engineering/2541/Bs/
SayumpornRp/SayumpornRpAll.pdf

อาจหาญ ณ นรงค์. (2553). ทม่ี ำของกำรส่นั สะเทอื น. สืบค้นเม่อื 5 กรกฎาคม
2564, จาก http://www.thailandindustry.com/indust_newweb/articles_preview.php?cid
=11387

Modern Manufacturing. (2560). รูปแบบของกำรส่นั สะเทอื น. สืบคน้ เมื่อ 1 กรกฎาคม
2564, จาก https://www.mmthailand.com/ความส่นั สะเทือน-vibration/



หนังสือเล่มนีเปนเนือหาทีเกียวข้องกับการ
สันสะเทือนเพือการเรียนรู้ โดยมี

วัตถุประสงค์เพือศึกษาหาความรู้ ทีได้จาก
เรืองการสันสะเทือน ทังนีในรายงานฉบับนี

มีเนือหาซึงประกอบด้วยความรู้เกียวกับ
ทีมา และ ความหมายของการสันสะเทือน
ตลอดจนทฤษฎีต่างๆ เพือให้เกิดความ

เข้าใจกันอย่างทัวถึง