TÀI LIỆU TOÁN 12
HỌC KỲ I
Năm học 2021 – 2022
Lưu hành nội bộ
MỤC LỤC
Phần 1. GIẢI TÍCH 5
1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Phần 2. HÌNH HỌC 81
6 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN. KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU . . . . . . 82
7 KHÁI NIỆM VỀ THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Phần 1. GIẢI TÍCH
5 | 102
§1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Kí hiệu K là khoảng hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K. Ta nói
• Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu
∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)
• Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu
∀x1, x2 ∈ K, x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)
II ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Định lý. Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên khoảng hoặc nửa khoảng K. Khi đó
• Nếu f (x) đồng biến trên K thì f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K.
• Nếu f (x) nghịch biến trên K thì f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K.
III ĐIỀU KIỆN ĐỦ CỦA TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Định lý 1. Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên khoảng hoặc nửa khoảng K. Khi
đó:
• Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ K thì f (x) đồng biến trên K.
• Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ K thì f (x) nghịch biến trên K.
• Nếu f (x) = 0, ∀x ∈ K thì f (x) là hằng số trên K.
Định lý 2. Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên khoảng hoặc nửa khoảng K và
phương trình f (x) = 0 có hữu hạn nghiệm. Khi đó:
• Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K thì f (x) đồng biến trên K.
• Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K thì f (x) nghịch biến trên K.
IV QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Tìm tập xác định.
2. Tính đạo hàm f (x). Tìm các điểm xi (i = 1, 2,...) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác
định.
3. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến nghịch biến.
6 | 102
V BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 1. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
a. y = 4 + 3x − x2; c. y = x4 − 2x2 + 3;
b. y = 1 x3 + 3x2 − 7x − 2; d. y = −x3 + x2 − 5.
3
Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a. y = 1 x4 + x3 − x + 5; c. y = x3 − 4 x5 + 8;
2 5
b. y = 3 x4 − 2x3 + 3 x2 − 6x + 11; d. y = 9x7 − 7x6 + 7 x5 + 12.
42 5
Bài 3. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:
3x + 1 c. y = 1 − 1
a. y = 1 − x ; x x − 2;
x2 − 2x 2x
b. y = 1 − x ; d. y = x2 − 9
Bài 4. Xét chiều biến thiên của các hàm số: √
√ c. y = x(x − 3) (x ≥ 0);
a. y = x2 − x − 20; √
d. y = x2 + 2x + 3.
b. y = x √+ 1 ;
3x
Bài 5. Xét tính đơn điệu của các hàm số: c. y = √ x ;
√ 16 − x2
a. y = 25 − x2; d. y = √ x3 .
x2 − 6
√ x
b. y = x + 100 ;
Bài 6. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau đây
a. y = sin 6x trên khoảng π ;
0;
6
b. y = cos 6x trên khoảng −π ; π ;
8 12
c. y = sin 2x + cos 2x trên khoảng −π ; 3π ;
44
d. y = cot x trên khoảng (0; π)
Bài 7. Xét sự đồng biến của các hàm số:
a. y = x − sin x, x ∈ [0; 2π];
b. y = cot x + x;
c. y = x + 2 cos x, x ∈ π 5π
;;
66
7 | 102
1
d. y = sin , (x > 0).
x
Bài 8. Tìm m để hàm số sau đồng biến trên từng khoảng xác định
mx − 3
a. y = 2x − m;
b. y = x3 + (2 − m)x2 − (2m − 3)x + 1.
Bài 9. Tìm m để hàm số sau
mx − 4
a. y = x − m đồng biến trên từng khoảng xác định;
b. y= −mx − 5m + 4 nghịch biến trên (2; +∞);
x+m
c. y = −x3 + mx2 − 3x + 4 nghịch biến trên (−∞; +∞);
d. y = x3 − 2mx2 + 12x − 7 đồng biến trên R.
Bài 10. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = mx − 1 luôn đồng biến trên mỗi
khoảng xác định của nó. 2x + m
Bài 11. Cho hàm số
f (x) = 2 sin x + tan x − 3x
π
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0; .
2
b. Chứng minh rằng π
0;
2 sin x + tan x > 3x với mọi x ∈ 2
Bài 12. Sử dụng tính đồng biến, nghịch biến chứng minh:
a. x + 1 ≥ 2 (x > 0); x3 π
x c. tan x > x + 0 < x < ;
32
b. tan x > x π ; d. tan x > sin x, 0 < x < π .
0<x< 2
2
VI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1 DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
Câu 1. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a; b).
B. Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a; b).
C. Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a; b).
D. Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ (a; b) thì hàm số đồng biến trên khoảng (a; b).
Câu 2. Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Xét các mệnh đề sau:
(I) Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I) thì hàm số f đồng
biến trên I.
(II) Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ I (dấu bằng chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm trên I) thì hàm số f nghịch
biến trên I.
8 | 102
(III) Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I.
(IV) Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ I và f (x) = 0 tại vô số điểm trên I thì hàm số f không thể nghịch biến
trên khoảng I.
Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
A. (I) và (II) đúng, còn (III) và (IV) sai. B. (I), (II) và (III) đúng, còn (IV) sai.
C. (I), (II) và (IV) đúng, còn (III) sai. D. Cả (I), (II), (III) và (IV) đúng.
Câu 3. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có đạo hàm f (x) = x2 + 4, với mọi x ∈ R. Khẳng
định nào sau đây là đúng về sự biến thiên của hàm số f (x)?
A. f (x) đồng biến trên R. B. f (x) chỉ đồng biến trên khoảng (−2; 2).
C. f (x) nghịch biến trên R. D. f (x) chỉ nghịch biến trên khoảng (−2; 2).
Câu 4. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = x2 − 1 . Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng nào
dưới đây. x
A. (1; +∞). B. (−1; 1). C. (−1; 0). D. (0; 1).
Câu 5. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = (x + 1)2(2 − x)(x + 3). Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −3) và (2; +∞).
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; 2).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−3; −1) và (2; +∞).
D. Hàm số đồng biến trên (−3; 2).
Câu 6. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có f (x) = x(1 − x)3(x − 2)4. Hàm số y = f (x)
nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (0; 2). B. (0; 1). C. (1; 2). D. (−∞; 1).
Câu 7. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đạo hàm f (x) = (−x2 + 1)(x2 − 3x + 2). Hàm số
f (x) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. (2; +∞). B. (−∞; −1). C. (−2; 1). D. (−1; 2).
Câu 8. Hàm số y = −x4 + 2x3 − 2x − 1 nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. −∞; −1 . B. −1 ; +∞ . C. (−∞; 1). D. (−∞; +∞).
2 2
Câu 9. Tìm khoảng đồng biến của hàm số y = −x3 + 3x2 − 1?
A. (0; 2). B. (0; 3). C. (−1; 3). D. (−2; 0).
Câu 10. Hàm số y = x3 + 3x2 + 4 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0; +∞). B. (0; 2). C. (−∞; 0). D. (−2; 0).
Câu 11. Hàm số y = x3 + x2 − 5x + 1 đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
A. (0; 2). B. (−3; 1). C. (1; +∞). D. −5;1 .
3
5x + 9
Câu 12. Cho hàm số y = x − 1 . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
B. Hàm số nghịch biến trên R \ {1}.
C. Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) ∪ (1; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1) và (1; +∞).
Câu 13. Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y = 2x + 1 là đúng?
x+1
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).
9 | 102
B. Hàm số luôn luôn đồng biến trên R\{−1}.
C. Hàm số nghịch biến trên R\{−1}.
D. Hàm số luôn luôn đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).
Câu 14. Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số y = x2 + 2x + 2 .
x+1
A. (−2; −1) và (−1; 0). B. (−∞; −2) và (0; +∞).
C. (−2; 0). D. (−∞; −1) và (−1; +∞).
2
Câu 15. Hàm số y = x2 + 1 nghịch biến trong khoảng nào dưới đây?
A. (−1; 1). B. (−∞; +∞). C. (0; +∞). D. (−∞; 0).
Câu 16. Hàm số y = x4 − 2x2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (−∞; −1). B. (−1; 0). C. (0; +∞). D. (0; 1).
Câu 17. Hàm số y = x4 + x2 − 2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (−∞; 0). B. (−2; 1). C. (0; +∞). D. (0; 2).
Câu 18. Hàm số y = − x4 + 1 đồng biến trên khoảng nào sau đây?
2
A. (−∞; 0). B. (−3; 4). C. (1; +∞). D. (−∞; 1).
Câu 19. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R?
A. y = x+1 . B. y = x2 + x − 2. C. y = x4 + 2x2 + 3. D. y = x3 + x.
x+3
Câu 20. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó?
x−2 x−2 −x + 2
A. y = . B. y = . C. y = x+2 . D. y = .
2 2
x+2 √ −x + −x + x+2
Câu 21. Hàm số y = −x2 + 4 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0; 2). B. (−∞; 0). C. (−2; 2). D. (−2; 0).
√
Câu 22. Cho hàm số y = 3x + 2 x − 4. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2018). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 7).
C. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; 2017).
√
Câu 23. Cho hàm số y = x2 − 4x − 5. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (5; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; −1). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2).
√
Câu 24. Hàm số y = −x2 + 2x nghịch biến trên khoảng nào?
A. (0; 1). B. (1; 2). C. (−∞; 1). D. (1; +∞).
√
Câu 25. Cho hàm số y = x − 2 x. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞). B. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1). D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
Câu 26. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên R? 2x − 1
A. f (x) = x4 − 2x2 − 4. B. f (x) = x+1 .
C. f (x) = x3 − 3x2 + 3x − 4. D. f (x) = x2 − 4x + 1.
Câu 27. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên R?
A. y = sin x. B. y = x2 + 2x − 1. C. y = 3x3 + 2. D. y = x4 − 2x2.
Câu 28. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? B. y = x3 +√3x + 2021.
A. y = x2 + 2020. D. y = −x 5 − 1.
C. y = x3 − 6x + 2.
10 | 102
Câu 29. Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó.
B. y = (x2 + 1)2 + 1.
A. y = −x3 + 3x.
C. y = x3 − x2 + 3x + 2. x+1
D. y = x − 1.
Câu 30. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? x
+
A. y = x4 + 1. B. y = x2 + 1. C. y = x + 1. D. y= x 1 .
Câu 31. Trong các hàm số dưới đây hàm số đồng biến trên R là
A. y = x3 + 2x2 − 3x + 5. B. y = x4 + 2x2 + 6.
x − 2
C. y = x + 1 . D. y = x3 + 2x2 + 3x + 5.
Câu 32. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên (−∞; +∞)?
−
A. y = x + 1 . B. y = x − 1 . C. y = x3 + x. D. y = −x3 − 3x.
x + 3 x 2
Câu 33. Hàm số nào sau đây không đồng biến trên (−∞; +∞)
−
A. y = x + 1 . B. y = x3 + 2. C. y = x + 1. D. y = x5 + x3 − 1.
x 2
Câu 34. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên tập xác định của nó?
A. y = x − sin2 x. B. y = cot x. C. y = sin x. D. y = −x3.
Câu 35. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R? B. y = √ x .
x x2 + 1
A. y = x + 1.
D. y = tan x.
C. y = (x2 − 1)2 − 3x + 2.
Câu 36. Cho hàm số f (x) nghịch biến trên R. Hàm số nào sau đây có thể không nghịch biến trên R?
A. f (x) + 2020. B. f (x) − 2019. C. f (x) − x2. D. f (x) − x.
Câu 37. Hàm số √nào sau đây đồng biến trên R? √
A. y = 7x − √2x2 − x − 1. B. y = √3 2 − 3x + x2.
C. y = 4x − x2 − x + 1. D. y = 3 −2x + 5.
Câu 38. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = (x2 − 1) (x + 1)(5 − x). Mệnh đề nào sau đây là
đúng?
A. f (4) < f (2) < f (1). B. f (1) < f (2) < f (4).
C. f (2) < f (1) < f (4). D. f (1) < f (4) < f (2).
Câu 39. Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm xác định bởi công thức f (x) =
−x2 − 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f (1) < f (2). B. f (3) > f (2). C. f (1) > f (0). D. f (0) < f (−1).
Câu 40. Cho hàm số f (x) xác định, liên tục trên R và có đạo hàm cấp một xác định bởi công thức
f (x) = −x2 − 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. f (0) < f (−1). B. f (1) < f (2). C. f (3) > f (2). D. f (1) > f (0).
Câu 41. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và f (x) < 0, ∀x ∈ (0; +∞) và f (1) = 2020. Khẳng
định nào sau đây là đúng?
A. f (2) + f (3) = 4040. B. f (2) = 2021.
C. f (2020) > f (2022). D. f (2019) < f (2020).
− x + 5 khi x < −1
Câu 42. Cho hàm số y = f (x) = − 2x2 + 2x − 9 khi − 1 ≤ x ≤ 2 . Khẳng định nào sau đây
3x + 2019 khi x > 2
đúng?
11 | 102
A. Hàm số đồng biến trên −1; 1 và (1; +∞).
2
B. Hàm số đồng biến trên khoảng −∞; −1 .
2
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−4; −1) và (1; 2).
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1 ; +∞ .
2
Câu 43. Hàm số nào sau đây có chiều biến thiên khác với chiều biến thiên của các hàm số còn lại.
A. h(x) = x3 + x − sin x. B. k(x) = 2x + 1.
C. g(x) = x3 − 6x2 + 15x + 3.
D. f (x) = −x2 − 2x + 5 .
x+1
Câu 44. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = −x2 +3x+4. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. f (x2) − f (x1) < 0 ∀x1, x2 ∈ (−1; 4), x1 = x2.
x2 − x1
B. f (x2) − f (x1) < 0 ∀x1, x2 ∈ (5; 6), x1 = x2.
x2 − x1
C. f (x2) − f (x1) < 0 ∀x1, x2 ∈ (−4; 1), x1 = x2.
x2 − x1
D. f (x2) − f (x1) < 0 ∀x1, x2 ∈ (0; 4), x1 = x2.
x2 − x1
Câu 45. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x3(x − 9)(x − 1)2. Hàm số y = f (x2) nghịch
biến trên khoảng nào sau đây?
A. (−∞; −3). B. (−1; 1). C. (−3; 0). D. (3; +∞).
Câu 46. Nếu hàm số y = f (x) liên tục và đồng biến trên khoảng (0; 2) thì hàm số y = f (2x) luôn
đồng biến trên khoảng nào?
A. (0; 1). B. (0; 4). C. (−2; 0). D. (0; 2).
Câu 47. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2 − 9x, ∀x ∈ R. Hàm số g(x) = f (x2 − 8x)
đồng biến trên khoảng nào?
A. (−1; 0). B. (−∞; 0). C. (0; 4). D. (8; +∞).
Câu 48. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2(x − 9)(x − 4)2. Khi đó, hàm số y = f (x2) đồng
biến trên khoảng nào?
A. (−2; 2). B. (3; +∞).
C. (−∞; −3). D. (−∞; −3) ∪ (0; 3).
Câu 49. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đạo hàm f (x) thỏa mãn
f (x) = (1 − x) (x + 2) g(x) + 2018
với g(x) < 0, ∀x ∈ R. Hàm số y = f (1 − x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?
A. (1; +∞). B. (0; 3). C. (−∞; 3). D. (3; +∞).
2 DẠNG 2: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN - ĐỒ
THỊ
Câu 50. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
12 | 102
x −∞ 0 2 +∞
y +0−0+
3 +∞
y
−∞ −2
Khi đó hàm số y = f (x2) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1;√+∞). B. (−∞; 0) và (4; +∞).
C. (− 2; 0). D. (0; +∞).
Câu 51. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có bảng xét dấu f (x) như sau
x −∞ −2 0 2 +∞
f (x) +0− −0+
Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−2; 0) ∪ (0; 2).
B. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−2; 0); (0; 2).
C. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−2; 2).
D. Hàm số y = f (x) nghịch biến trên (−2; 2) \ {0}.
Câu 52. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
x −∞ −2 0 2 +∞
y +0−0+0−
3 3
y
−∞ −1 −∞
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. (0; 2). B. (0; +∞). C. (−∞; 3). D. (−1; 3).
Câu 53. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
x −∞ 0 1 +∞
f (x) − −0+
+∞ +∞ +∞
f (x)
−∞ −2
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?
A. (−2; +∞). B. (−∞; 1). C. (1; +∞). D. (0; 1).
Câu 54. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên khoảng (−∞; +∞), có bảng biến thiên như
sau
13 | 102
x −∞ −1 1 +∞
y +0−0+
2 +∞
y
−∞ −1
Mệnh đề nào sau đây đúng? B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 1).
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2). D. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; +∞).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
Câu 55. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {2} và có bảng biến thiên như hình sau. Hãy chọn
mệnh đề đúng?
x −∞ 2 +∞
y− −
1 +∞
y
−∞ 1
A. f (x) nghịch biến trên R.
B. f (x) đồng biến trên R.
C. f (x) nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).
D. f (x) đồng biến trên từng khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).
Câu 56. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu đạo hàm như sau
x −∞ −2 0 2 +∞
f (x) −0−0+0−
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Hàm số f (x) nghịch biến trên (−∞; 0).
B. Hàm số f (x) đồng biến trên (1; 3).
C. Hàm số f (x) đồng biến trên (−1; 1).
D. Hàm số f (x) nghịch biến trên (−∞; −2) ∪ (2; +∞).
Câu 57. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
x −∞ −3 0 1 +∞
0 +
f (x) +0− −
0 1
1 +∞
f (x)
−2 −∞
Hỏi hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. (−∞; 1). B. (−3; 1). C. (−2; 0). D. (0; +∞).
Câu 58. Cho đồ thị hàm số y = sin x như hình vẽ sau
14 | 102
y
1
− 5π − π 3π
2 2
π2
−3π −2π − 3π −π O π 2π 5π 3π x
2 2
2
2π
Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số y = sin x tăng trên khoảng −π ; π .
22
π 3π
B. Hàm số y = sin x giảm trên khoảng ; .
22
C. Hàm số y = sin x giảm trên khoảng −3π ; −π .
2
D. Hàm số y = sin x tăng trên khoảng (0; π).
Câu 59. Cho hàm số f (x), có bảng xét dấu f (x) như sau:
x −∞ −3 −1 1 +∞
f (x) −0+0−0+
Hàm số y = f (5 − 2x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (1; 3). B. (3; 4). C. (−∞; −3). D. (4; 5).
Câu 60. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R, có đạo hàm f (x) thỏa mãn
x −∞ −1 0 1 +∞
f (x) −0+0−0+
Hàm số y = f (1 − x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (−1; 3). B. (−1; 1). C. (−2; 0). D. (1; +∞).
Câu 61. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng xét dấu f (x) như hình sau
x −∞ 0 3 +∞
f (x) +0−0+
Đặt hàm số y = g(x) = f (1 − x) + 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (−∞; −2).
B. Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
C. Hàm số y = g(x) đồng biến trên khoảng (−2; +∞).
D. Hàm số y = g(x) nghịch biến trên khoảng (−2; 1).
Câu 62. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
x −∞ −1 0 1 +∞
f (x) −0+0−0+
f (x) +∞ 3 +∞
00
15 | 102
Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. (1; +∞). B. (−∞; −1). C. (0; +∞). D. (−1; 0).
Câu 63. 012
Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục trên R. x −1 12 3
3 −1 4
Bảng biến thiên của hàm số y = f (x) được cho như
hình bên. Hàm số y = f 1 − x +x nghịch biến trên f (x)
2
khoảng nào?
A. (0; 2). B. (2; 4).
C. (−2; 0). D. (−4; −2).
Câu 64. Cho hàm số f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
x −∞ 1 2 3 4 +∞
f (x) −0+0+0−0+
Hàm số y = 3f (2x + 1) − 4x3 + 9x2 − 6x đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
1 3 C. (1; 3). D. −∞; 1 .
A. ; 1 . B. 1; . 2
2 2
3 DẠNG 3.1:TÌM M ĐỂ HÀM SỐ BẬC 3 ĐƠN ĐIỆU
Câu 65. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = x3 + mx luôn đồng biến trên tập số thực.
A. m ≤ −3. B. m < −3. C. m ≥ 0. D. m < 0.
Câu 66. Số các giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 2019] để hàm số y = x3 − 3mx2 + (9m − 6) x
đồng biến trên R là
A. 2. B. 2018. C. 2020. D. 0.
Câu 67. Cho hàm số y = −x3 − mx2 + (4m + 9)x + 5 với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên
của m để hàm số nghịch biến trên R?
A. 5. B. 6. C. 7. D. 10.
Câu 68. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = − x3 + mx2 − (2m + 3)x + 1 nghịch biến
3
trên R?
A. 4. B. 2. C. 5. D. 3.
Câu 69. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m x3 − (m + 1)x2 + (m − 2)x − 3m
3
nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞).
A. −1 ≤ m < 0. B. m > 0. C. m ≤ −1. D. m < 0.
4 4
Câu 70. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m−1)x3 −3(m−1)x2 +3(2m−5)x+m
nghịch biến trên R. B. m ≤ 1. C. m = 1. D. −4 < m < 1.
A. m < 1.
Câu 71. Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d. Hỏi hàm số đó luôn đồng biến trên R khi nào?
A. a = b = 0, c > 0 . a = b = 0, c > 0
0 B. a > 0; b2 − 3ac ≤ 0 .
a < 0; b2 − 3ac ≤
C. a=b=c=0 . a = b = 0, c > 0
0 D. a > 0; b2 − 3ac ≥ 0 .
a < 0; b2 − 3ac <
16 | 102
Câu 72. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = x3 −(m+1) x2 +(m+1)x−3
32
đồng biến trên khoảng (1; +∞)?
A. 5. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 73. Cho hàm số y x3 + (a − 1)x2 + (a + 3)x − 4. Tìm a để hàm số đồng biến trên khoảng
=−
3
(0; 3).
A. a ≥ 12 B. a < −3. C. a ≤ −3. 12
. D. a > .
7
7
Câu 74. Tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = x3 − mx2 − (m − 6)x + 1 đồng biến
trên (0; 4) là
A. m ≤ 3. B. 3 ≤ m ≤ 6. C. m ≤ 6. D. m < 3.
Câu 75. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 +mx2 −m đồng biến trên khoảng (1; 2).
A. 3 . B. −∞; 3 . C. [3; +∞). D. (−∞; 3].
;3 2
2
Câu 76. Cho hàm số f (x) = (x + 2a)(x + 2b − a)(ax + 1). Có bao nhiêu cặp (a; b) để hàm số f (x)
đồng biến trên R.
A. 0. B. 1. C. 2. D. vô số.
Câu 77. Cho hàm số y = sin3 x + 2m sin2 x − (6 + 3m) sin x + 2. Tìm số giá trị nguyên của m để hàm
π
số nghịch biến trên khoảng 0; .
2
A. 3. B. 4. C. 5. D. 6.
Câu 78. Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y = 1 cos3 x − 4 cot x − (m + 1) cos x đồng biến
3
trên (0; π)
A. 2. B. 3. C. 5. D. vô số.
Câu 79. Cho hàm số y = 1 x3 − m − 1 x2 + mx + m − 1. Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho
32
hàm số nghịch biến trên một khoảng có độ dài đúng bằng 1. Tính số phần tử của S.
A. 1. B. 3. C. 2. D. 0.
Câu 80. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + 3x2 + (m + 1)x + 4m nghịch biến
trên khoảng lớn nhất có độ dài bằng 2.
A. m = 2. B. m = 1. C. m = −1. D. m = 0.
Câu 81. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số y = 1 x3 + (m + 1)x2 + 4x + 7 chỉ
√3
nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 2 5. Tính tổng tất cả phần tử của S.
A. 4. B. 2. C. −1. D. −2.
4 DẠNG 3.2: TÌM M ĐỂ HÀM SỐ Y = AX + B ĐƠN ĐIỆU
CX + D
Câu 82. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = x+m đồng biến trên từng khoảng xác
x+1
định.
A. m ≤ 1. B. m > 1. C. m = 1. D. m < 1.
Câu 83. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x+m đồng biến trên từng khoảng
mx + 4
xác định?
A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
17 | 102
m2x + 4
Câu 84. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 2x − m nghịch biến trên từng
khoảng xác định.
A. m < −2. B. m > −2. C. m ≥ −2. D. m ≤ −2.
Câu 85. Cho hàm số y = x−1 . Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; 0).
x−m
A. 0 ≤ m < 1. B. m ≤ 1.
C. m < 1. D. 0 < m < 1.
Câu 86. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = mx + 4 nghịch biến trên khoảng
(0; ∞)? x+m
A. 5. B. 6. C. 2. D. 3.
Câu 87. Cho hàm số f (x) = 2x − m + 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f (x)
x−m
nghịch biến trên khoảng (1; +∞)?
A. Vô số. B. 4. C. 3. D. 2.
Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = x−m nghịch biến trên (−∞; 1).
(m − 1)x − 2
A. m ∈ (−1; 2). B. m ∈ (−1; 3]. C. m ∈ [1; 2). D. m ∈ (1; 2].
Câu 89. Cho hàm số y = mx + 2 , m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m
2x + m
để hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1). Tìm số phần tử của S.
A. 1. B. 5. C. 2. D. 3.
Câu 90. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = mx + 16 đồng biến trên khoảng (0; 10).
x+m
A. m ∈ (∞; −10] ∪ (4; +∞). B. m ∈ (−∞; −4) ∪ (4; +∞).
C. m ∈ (−∞; −10] ∪ [4; +∞). D. m ∈ (−∞; −4] ∪ [4; +∞).
Câu 91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = mx + 4 nghịch biến trên khoảng
(−∞; 1). x+m
A. −2 ≤ m ≤ −1. B. −2 ≤ m ≤ 2. C. −2 < m < 2. D. −2 < m ≤ −1.
Câu 92. Cho hàm số y x+1 với là tham số Có giá trị nguyên số
= , m thực. bao nhiêu của tham m
x − m
nhỏ hơn 2 để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (2; 3)?
A. 3. B. 4. C. 1. D. 2.
2 cos x + 1
Câu 93. Tìm m để hàm số y = cos x − m đồng biến trên khoảng (0; π).
−1 1
A. m ≤ 1. B. m ≥ 2 . C. m > − 2 . D. m ≥ 1.
Câu 94. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số S = m cos x + 1 đồng biến trên
π
cos x + m
0; .
3
A. (−1; 1). B. (−∞; −1) ∪ (1; +∞).
−1 D. −1; −1 .
C. ; 1 . 2
2
Câu 95. Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số y = cot x − 2 nghịch biến trên khoảng ππ .
cot x − m ;
42
A. m > 2. m≤0 C. 1 ≤ m < 2. D. m ≤ 0.
B. 1 ≤ m < 2.
18 | 102
Câu 96. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số y = −2 sin x − 1 đồng biến trên khoảng
π
sin x − m
0; .
2
A. −1 < m < 0 hoặc m > 1. B. m > −1.
22
C. m ≥ −1. D. −1 < m ≤ 0 hoặc m ≥ 1.
22
Câu 97. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = − cos x + m nghịch biến trên khoảng 3π .
π;
cos x + m 2
A. m ≥ 0. B. m ≤ −1. C. m ≥ 1. D. m < 0.
Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = cos x − 2 nghịch biến trên khoảng
π
cos x − m
0; .
2
A. m ≤ 2. B. m ≤ 0.
C. m > 2. D. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2.
5 DẠNG 3.3:TÌM M ĐỂ HÀM SỐ Y = AX4 + BX2 + C ĐƠN ĐIỆU
Câu 99. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m2 − 1) x4 − 2mx2 đồng biến trên
khoảng (1; +∞). √
A. m ≤ −1. B. m = −1 hoặc m > 1 + 5.
2
√
1+ 5.
C. m ≤ −1 hoặc m ≥ 2 D. m ≤ −1 hoặc m > 1.
Câu 100. Tính số giá trị nguyên của tham số m trên khoảng (−2020; 2020) để hàm số y = x4−2mx2−
3m + 1 đồng biến trên khoảng (1; 2).
A. 1. B. 2021. C. 2020. D. 2019.
Câu 101. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − 2
đồng biến trên khoảng (1; 3).
A. m ∈ (−∞; −5). B. m ∈ (2; +∞). C. m ∈ [−5; 2). D. m ∈ (−∞; 2].
Câu 102. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m để hàm số y = x4 − 2mx2 − 3m + 1
đồng biến trên khoảng (1; 2)?
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 103. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 + m − 2 đồng
biến trên khoảng (1; 3).
A. m ∈ [−5; 2). B. m ∈ (−∞; −5). C. m ∈ (2; +∞). D. m ∈ (−∞; 2].
Câu 104. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y = −x4 + (2m − 3)x2 + m
nghịch biến trên khoảng (1; 2) là −∞; p , trong đó p, q ∈ Z, phân số p > 0. Tính
q tối giản và q
q
p + q.
A. p + q = 7. B. p + q = 9. C. p + q = 3. D. p + q = 5.
Câu 105. Có bao nhiêu giá trị nguyên m ∈ (−10; 10) để hàm số y = m2x4 − 2 (4m − 1) x2 + 1 đồng
biến trên khoảng (1; +∞)?
A. 15. B. 6. C. 7. D. 16.
19 | 102
6 DẠNG 3.4:TÌM M ĐỂ HÀM SỐ Y = AX2 + BX + C ĐƠN ĐIỆU
DX + E
Câu 106. Với những giá trị nào của tham số m, hàm số y = x2 + (m + 1)x − 1 nghịch biến trên mỗi
2−x
khoảng xác định của hàm số?
A. m = −1. B. m < −5. C. m ∈ (−1; 1). D. m > 1.
2
Câu 107. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 3x + m2 + 3m đồng biến
trên từng khoảng xác định của nó? x+1
A. 4. B. 2. C. 1. D. 3.
Câu 108. Tìm m để hàm số y = x2 + mx + x−2 đồng biến trên (1; +∞).
x−1
A. m ≤ 5. B. m ≤ −5. C. m ≥ 5. D. m ≥ −5.
Câu 109. Cho hàm số y = cot2 x − 2m cot x + 2m2 − 1 , có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc
cot x − m ππ
;?
đoạn [−2018; 2018] để hàm số đã cho nghịch biến trên 42
A. 2018. B. 2020. C. 2019. D. 0.
7 DẠNG 3.5:TÌM M ĐỂ HÀM SỐ KHÁC ĐƠN ĐIỆU
Câu 110. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx − sin x đồng biến trên R.
A. m > 1. B. m ≤ −1. C. m ≥ 1. D. m ≥ −1.
Câu 111. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = (m + 1) sin x − 3 cos x − 5x luôn
nghịch biến trên R?
A. 9. B. 8. C. 10. D. Vô số.
Câu 112. Tìm tất cả các giá trị m để hàm số y = mx + 2 sin x√− 3 cos x nghịch biến trên√R.
A. m ≥ 5. B. m ≤ −5. C. m ≥ 13. D. m ≤ − 13.
Câu 113. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = (2m + 3) sin x + (2 − m)x đồng biến trên
R?
A. 4. B. 5. C. 3. D. 6.
Câu 114. Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc (−2018; 2018) để hàm số y = (2m − 1)x −
(3m + 2) cos x nghịch biến trên R.
A. 4. B. 4014. C. 218. D. 3.
Câu 115. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y = 3x + m(sin x + cos x + m) đồng biến trên
R?
A. 5. B. 4. C. 3. D. Vô số.
Câu 116. Cho hàm số y = (2m − 1)x − (3m + 2) cos x. Gọi X là tập hợp tất cả các giá trị nguyên
của tham số thực m sao cho hàm số đã cho nghịch biến trên R. Tổng giá trị tất cả các phần tử của X
bằng
A. 6. B. −6. C. −3. √D. 0.
Câu 117. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x + m x2 − 2x + 3 đồng biến
trên khoảng (−∞; +∞)?
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. √
Câu 118. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−2018; 2018] để hàm số y = x2 + 1−mx−1
đồng biến trên (−∞; +∞)?
A. 2017. B. 2019. C. 2020. D. 2018.
20 | 102
Câu 119. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x2 − 2x)(x − 1)2 ∀x ∈ R. Có bao nhiêu số nguyên
m < 100 sao cho f (x2 − 8x + m) đồng biến trên khoảng (4; +∞)
A. 18 . B. 82 . C. 83 . D. 84 .
Câu 120. Cho hàm số y = |x3 − mx + 1|. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên m sao cho hàm số đồng
biến trên [1; +∞). Tìm tổng các phần tử của S.
A. 3. B. 1. C. 9. D. 10.
Câu 121. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m nhỏ hơn 10 để hàm số y = |3x4 − 4x3 − 12x2 + m|
nghịch biến trên (−∞; −1)?
A. 6. B. 4. C. 3. D. 5.
Câu 122. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = −x3 − mx + 3 nghịch biến trên
28x7
(0; +∞).
A. m ≤ −15. B. −15 ≤ m ≤ 0. C. m ≥ −15. D. −15 < m ≤ 0.
4 4 4 4
Câu 123. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = 3 x4 − (m − 1)x2 − 1
4 4x4
đồng biến trên khoảng (0; +∞)?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 4.
x2019 1
Câu 124. Giá trị nguyên lớn nhất của tham số m để hàm số y = 2019 − 2017x2017 − mx + 2018 luôn
đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó là
A. 2018. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 125. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 1)2 (x2 + mx + 9) với mọi x ∈ R. Có bao
nhiêu số nguyên dương m để hàm số g(x) = f (3 − x) đồng biến trên khoảng (3; +∞)?
A. 8. B. 7. C. 5. D. 6.
Câu 126. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x − 1)(x + 1)(x − 3) với mọi x ∈ R. Gọi S là tập
hợp các giá trị nguyên của m ∈ [−6; 6] để hàm số g(x) = f (x + m) nghịch biến trên khoảng (1; 2).
Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
A. 7. B. 6. C. 8. D. 5.
Câu 127. Cho hàm số f (x) = 1 x3 − 2x2 + mx + m − 2. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
3
hàm số y = g(x) = [f (x)]3 − 3 · [f (x)]2 + 2 đồng biến trên (−∞; 0)?
A. 1. B. 3. C. 2. D. Vô số.
Câu 128. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau
x −∞ −2 3 8 +∞
f (x) +0−0−0+
Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = f (x2 + 4x + m) nghịch biến trên (−1; 1) là
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
Câu 129. Cho hàm số y = f (x) là hàm số đa thức liên tục trên R thoả f (0) < 0 ,
1
[f (x) − 4x] f (x) = 9x4 + 2x2 +
∀x ∈ R. Hàm số y = g(x) = f (x) + 4x + 2020 nghịch biến trên khoảng nào?
A. (−1; +∞). B. (1; +∞). C. (−∞; 1). D. (−1; 1).
21 | 102
§2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
I ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f (x) xác định trên D và x0 ∈ D. Ta nói:
• x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a, b) ⊂ D sao cho x0 ∈ (a; b) và
f (x) < f (x0) với mọi x ∈ (a, b) \ {x0}.
Khi đó ta gọi f (x0) là giá trị cực đại của f tại x0, điểm M (x0; f (x0)) gọi là điểm cực đại
của đồ thị hàm số.
• x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a, b) ⊂ D sao cho x0 ∈ (a; b) và
f (x) > f (x0) với mọi x ∈ (a, b) \ {x0}.
Khi đó ta gọi f (x0) là giá trị cực tiểu của f tại x0, điểm M (x0; f (x0)) gọi là điểm cực tiểu
của đồ thị hàm số.
Ghi chú. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực
tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.
II ĐIỀU KIỆN CẦN CỦA CỰC TRỊ
Định lý. Nếu hàm số y = f (x) đạt cực trị tại điểm x0 và f (x0) tồn tại thì f (x0) = 0.
3. Điều kiện đủ của cực trị
Định lý 1. Cho hàm số y = f (x) xác định, có đạo hàm trên khoảng (a; b) và x0 ∈ (a; b) sao cho
f (x0) = 0. Khi đó:
• Nếu f (x) đổi dấu từ (+) sang (−) khi x qua x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
• Nếu f (x) đổi dấu từ (−) sang (+) khi x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
• Nếu f (x) không đổi dấu khi x qua x0 thì x0 là không điểm cực trị của hàm số.
Chi chú. Kết luận của định lý trên cũng đúng khi f (x) xác định trên khoảng (a; b) chứa x0, có
đạo hàm trên các khoảng (a; x0) và (x0; b) nhưng f (x0) không tồn tại.
Định lý 2. Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa x0 sao cho
f (x0) = 0 và tồn tại f (x0). Khi đó:
• Nếu f (x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số.
• Nếu f (x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại của hàm số.
III QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ
Quy tắc 1.
• Tìm tập xác định.
• Tính f (x). Tìm các điểm tại đó f (x) = 0 hoặc không xác định.
• Lập bảng biến thiên.
22 | 102
• Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Quy tắc 2.
• Tìm tập xác định.
• Tính f (x). Giải phương trình f (x) = 0 và kí hiệu xi (i = 1, 2, ...) là các nghiệm của nó.
• Tính f (x) và f (xi).
• Dựa vào dấu của f (xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.
IV BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 13. Hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a. y = 2x3 + 3x2 − 36x − 10; d. y = x3(1 − x)2;
e. y = −4x4 + 3x2 + 2;
b. y = x4 + 2x2 − 3;
√
c. y = x+ 1 ; f. y = x2 − x + 1.
x
√
Bài 14. Tìm cực trị của các hàm số sau d. y = 5x − 6 x2 + 4;
√
√
a. y = 2x2 − 5x + 6; x2 − 4
√
3x + 2 e. y = 2x − 1 ;
f. y = √ 2x + 3 .
b. y = −2x + 1 ;
√ x2 + x + 1
c. y = (2x + 1) 9 − x2; √
b. y = 3x − x2 + 1.
Bài 15. Tìm cực trị của các hàm số sau đây
√√
a. y = 3 + x + 1 − x;
Bài 16. Hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
a. y = sin 2x − x; b. y = sin x + cos x;
Bài 17. Chứng minh rằng hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực tiểu tại điểm đó.
Bài 18. Chứng minh rằng hàm số y = |x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực tiểu tại điểm
đó. −2x nếu x ≥ 0
Bài 19. Chứng minh rằng hàm số f (x) = x x < 0 không có đạo hàm tại x = 0 nhưng
đạt cực đại tại điểm đó. sin nếu
2
Bài 20. Tìm các điểm cực trị của các hàm số
√ c. y = √ x3 ;
a. y = x − 6 3 x2; x2 − 6
b. y = √ x ;
√
10 − x2 d. y = 3 x2(x − 5).
23 | 102
Bài 21. Tìm cực trị của các hàm số √
c. f (x) = x 3 − x;
x2 + 8x − 24 d. f (x) = x2 − 2|x| + 2.
a. f (x) = x2 − 4 ;
x
b. f (x) = x2 + 4 ;
Bài 22. Xác định các giá trị m để hàm số sau có cực trị
a. y = x3 − 3mx2 + 3x − 2; b. y = x2 − 2x + m2 + 3 ;
x−1
Bài 23. Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, hàm số
y = x3 − mx2 − 2x + 1
luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Bài 24. Xác định giá trị của tham số m để hàm số y = x2 + mx + 1 đạt cực đại tại x = 2.
x+m
Bài 25. Xác định các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 − 2x2 + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 26. Tìm điều kiện của tham số m sao cho.
a. Hàm số y = x3 − mx2 + 2(m + 1)x − 1 đạt cực trị tại điểm x = −1;
√√
b. Hàm số y = − 2x4 − mx2 − 2m2 đạt cực đại tại điểm x = 2;
x2 − mx + 1 √
c. Hàm số y = đạt cực tiểu tại x = − 3;
x+m
Bài 27. Xác định m để hàm số y = x3 − mx2 + m − 2 + 5 có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số
3
đạt cực tiểu hay cực đại? Tính giá trị cực trị tương ứng.
Bài 28. Tìm m để hàm số y = 1 mx3 + mx2 + 2(m − 1)x − 2
3
không có cực trị.
Bài 29. Xác định m để hàm số sau không có cực trị
x2 + 2mx − 3
y=
x−m
Bài 30. Tìm m để hàm số
a. y = x4 + (m2 − 4)x2 + 5 có 3 cực trị;
b. y = (m − 1)x4 − mx2 + 3 có đúng 1 cực trị
Bài 31. Tìm m sao cho hàm số y = 2x2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho |x1 − x2| = 3.
x2 − mx + 1
Bài 32. Cho hàm số y = 1 mx3 − (7m + 1)x2 + 16x − m − 1
3
a. Xác định m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
b. Tìm m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong khoảng (−2; 2).
Bài 33. Cho hàm số y = x3 − 5x2 − 2x + 1. Chứng minh rằng hàm số có cực đại, cực tiểu và viết
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu.
Bài 34. Cho hàm số y = 2x4 − mx2 + 1. Tìm m để hàm số có 3 cực trị và 3 điểm cực trị của đồ thị
hàm số tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều.
24 | 102
V BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1 DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC
Câu 130. Cho hàm số y = f (x), khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Nếu hàm số đạt cực trị tại x0 thì hàm số không có đạo hàm tại x0 hoặc f (x0) = 0.
B. Hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f (x0) = 0.
C. Hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì nó không có đại hàm tại x0.
D. Hàm số y = f (x) đạt cực trị tại x0 thì f (x0) > 0 hoặc f (x0) < 0.
Câu 131. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và x0 ∈ R. Trong các mệnh đề sau có bao nhiêu mệnh
đề đúng?
(i) Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số thì f (x) đổi dấu khi x qua x0.
(ii) Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số thì f (x0) = 0.
(iii) Nếu x0 là một điểm cực tiểu của hàm số thì f (x0) > 0.
(iv) Nếu x0 là một điểm cực tiểu của hàm số thì f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ R.
A. 2. B. 3. C. 1. D. 4.
Câu 132. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = x(x + 1)(x + 2)3, ∀x ∈ R. Số điểm cực trị của hàm
số đã cho là
A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
Câu 133. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = (x − 1)(x − 2)(x − 3)4. Số điểm cực trị của hàm
số y = f (x) là
A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.
Câu 134. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = (x − 1)(x + 3). Số điểm cực tiểu của hàm số
là
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 135. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f (x) = (x2 − 1) (x + 1)2020 (x2 − 9) (x − 1)2019, ∀x ∈ R. Số
điểm cực tiểu của hàm số đã cho là
A. 3. B. 5. C. 2. D. 4. √
x2
Câu 136. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đạo hàm là f (x) = x3(x+1)4 + 2x − 1 5.
Hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 0. C. 2. D. 1.
Câu 137. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x2(x + 1)2(2x − 1)4 với mọi x ∈ R. Hỏi hàm số
y = f (x) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 1. C. 0. D. 3.
Câu 138. Hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R và f (x) = |x|(x + 2)3(4 − x2). Số điểm cực tiểu của
hàm số y = f (x)?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 139. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R có đạo hàm f (x) = x(x2 − 1)(x2 − 3x + 2). Hỏi hàm
số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 2. B. 4. C. 3. D. 1.
Câu 140. Hàm số y = x3 − 3x + 2020 đạt cực tiểu tại điểm
A. x = −1. B. x = 3. C. x = 0. D. x = 1.
25 | 102
Câu 141. Điểm cực đại của hàm số y = x3 − 6x2 + 9x có tổng hoành độ và tung độ bằng
A. 5. B. 3. C. −1. D. 1.
Câu 142. Điểm cực tiểu của hàm số y = −x3 + 6x2 − 9x + 1 là
A. x = 0. B. x = 3. C. x = 2. D. x = 1.
Câu 143. Giá trị cực tiểu của hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 2 là
A. −25. B. 3. C. 7. D. −20.
Câu 144. Đồ thị của hàm số y = x3 − 3x + 1 có điểm cực đại là
A. M (−1; 3). B. N (1; −1). C. P (1; 1). D. Q(−1; −3).
Câu 145. Tìm giá trị cực tiểu của hàm số y = −x3 + 3x + 4.
A. yCT = 2. B. yCT = 1. C. yCT = 6. D. yCT = −1.
D. 3.
Câu 146. Hàm số y = x4 + 2x2 + 3 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 0. C. 1.
Câu 147. Hàm số y = x4 − 2x2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 148. Tìm giá trị cực tiểu yCT của hàm số y = x4 − 2x2 − 3.
A. yCT = 4. B. yCT = 3. C. yCT = −4. D. yCT = −3.
D. 3.
2x − 1
Câu 149. Hàm số y = x − 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0. B. 1. C. 2.
Câu 150. Hàm số nào dưới đây không có cực trị?
A. y = x3 − x + 1. 2x2 − 2x + 1 x+1 D. y = x4 + x2 + 3.
B. y = x + 1 . C. y = x − 1.
Câu 151. Trong các hàm số sau, hàm số nào có 2 cực tiểu
A. y = x2 − 2x + 3. B. y = x3 − x2 + 1.
√ 3
C. y = −x4 + 2x2 + 1. D. y = x4 − x2.
Câu 152. Đồ thị hàm số y = |1 − x2| có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 153. Hàm số y = |x2 − 2x − 3| có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 3. C. 5. D. 1.
Câu 154. Cho hàm số f (x) có f (x) = x2019 · (x − 1)2020 · (x + 1), ∀x ∈ R. Hàm số đã cho có bao
nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.
√
Câu 155. Cho hàm số y = x2 − 4x. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2. B. Hàm số không có cực trị.
C. Hàm số có đúng hai cực trị. D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Câu 156. Hàm số y = 2 cos x + x − 1 có một điểm cực tiểu là
π π 5π π
A. x0 = 6 . B. x0 = 3 . C. x0 = 6 . D. x0 = 2 .
√ D. 3.
Câu 157. Hàm số y = x + 2x2 + 1 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0. B. 1. C. 2.
Câu 158. Hàm số nào trong bốn hàm số được liệt kê dưới đây không có cực trị?
2x − 1
A. y = . B. y = x4. C. y = −x3 + x. D. y = |x|.
x+1
26 | 102
Câu 159. Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 − 3x + 4 thuộc đường thẳng nào dưới đây
A. y = x − 1. B. y = x − 7. C. y = x + 7. D. y = x + 1.
Câu 160. Đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 − 9x + 5 có điểm cực đại, cực tiểu lần lượt là A và B. Gọi I là
IA C. 6 .
giao điểm của AB với trục Ox. Khi đó tỉ số bằng 11
IB
B. 5 .
A. 2. 11 D. 3.
Câu 161. Đồ thị hàm số y = −x3 + 3x2 + 1 có hai điểm cực trị là A và B. Độ dài đoạn thẳng AB
bằng √ B. AB = 2. √ D. AB = 4.
A. AB = 2 5. C. AB = 5 2.
Câu 162. Cho hàm số y = 1 x3 − x2 − x − 1. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm
3
số trên. √
A. 5 2. √ √√
B. 2 10. C. 10 2 . D. 2 5.
3 3 33
Câu 163. Cho hàm số f (x) = x4 − x2 + 2. Khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f (x)
là √ C. 1. 1
√ 2 D. .
A. 2. B. . 2
2
Câu 164. Đồ thị của hàm số y = −x3 + 3x2 + 5 có hai điểm cực trị A và B. Diện tích S của tam giác
OAB với O là gốc tọa độ.
A. S = 9. B. S = 6. C. S = 10. D. S = 5.
Câu 165. Cho hàm số y = − 1 x4 + 3 x2 − 5 có đồ thị (C). Tính diện tích của tam giác tạo thành từ 3
424
điểm cực trị c√ủa đồ thị (C).
A. S = 5 4 3. √ √ √
3 C. S = 3. D. S = 9 4 3.
B. S= 4 .
Câu 166. Cho hàm số y = x3 − 6x2 + 9x − 2 có đồ thị (C). Đường thẳng đi qua điểm A(−1; 1) và
vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) là
A. y = x + 3 . B. y = 1 + 3 . C. y = −1 + 3 . D. x − 2y − 3 = 0 .
x 2 x 2
2 2
Câu 167. Điểm thuộc đường thẳng d : x − y − 1 = 0 cách đều hai điểm cực trị của đồ thị hàm số
y = x3 − 3x2 + 2 là
A. (2; 1). B. (0; −1). C. (1; 0). D. (−1; 2).
Câu 168. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = x(x − 1)2(x + 2019)(x − 2020). Hàm số
g(x) = f (x2 − 2020) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 4. B. 6. C. 3. D. 7.
Câu 169. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) = (x2 − 1)(x − 5) với mọi x ∈ R. Hàm số
g(x) = f (x2 + 1) đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. x = −1. B. x = 5. C. x = 0. D. x = 2.
Câu 170. Gọi A, B, C là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + 4. Bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác ABC bằng √ √ √
A. 1. B. 2 + 1. C. 2 − 1. D. 2.
Câu 171. Cho hàm số y = f (x) = x3 + 3x2 + 2. Hàm số y = |f (x) + m| có 5 điểm cực trị khi
A. m ∈ (2; 6). B. m ∈ (0; +∞). C. m ∈ (−∞; 0). D. m ∈ (−6; −2).
27 | 102
2 DẠNG 2: TÌM CỰC TRỊ DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN
Câu 172. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
x −∞ 1 +∞
+∞ 5
f (x)
2 3
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1. B. 2. C. 3. D. 0.
Câu 173. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
x −∞ −2 0 2 +∞
f (x) −0+0−0+
+∞ 1 +∞
f (x)
−2 −2
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 174. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
x −∞ −1 0 1 +∞
y +0−0+0−
−1 −1
y
−∞ −2 −∞
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. 0. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 175. Cho hàm số y = f (x). Hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
x −∞ −3 1 +∞
−3 0
+∞
f (x) −∞
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 1. C. 3. D. 0.
Câu 176. x −∞ −2 0 +∞
Cho hàm số y = f (x) có bảng y +0 −0+ +∞
biến thiên như bên. Hàm số y =
f (x) đạt cực đại tại điểm y 6 2
−∞
A. x = 0. B. x = 6.
C. x = 2. D. x = −2.
28 | 102
Câu 177. Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như sau
x −∞ 1 3 +∞
y +0−0+
2 +∞
y
−∞ −2
Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x = −2. B. x = 1. C. x = 2. D. x = 3.
Câu 178. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ.
x −∞ −2 −1 0 3 +∞
y −0+ −0+0−
Hàm số y = f (x) có bao nhiêu cực trị?
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
Câu 179.
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên x −∞ −1 1 +∞
như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm số y = f (x) +0−0+
|f (x) − 2| là
3 +∞
A. 5. B. 3. C. 4. D. 2.
f (x)
−∞ 1
Câu 180.
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình x −∞ −2 4 +∞
vẽ. Khoảng cách giữa hai điểm cực đại của đồ thị
hàm số√y = |f (x)| + 3 bằng f (x) +0−0+
A. √62. B. 6. f (x) 1 −2
C. 61. D. 7.
−2 −6
Câu 181. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên R. Biết rằng hàm số y = f (3 − 2x) có bảng xét dấu
như sau
x −∞ −1 5 3 4 +∞
22
f (3 − 2x) −0+0−0−0+
Hàm số y = f (x) có bao nhiêu điểm cực đại?
A. 3. B. 1. C. 0. D. 2.
Câu 182. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau
29 | 102
x −∞ −1 3 +∞
y +0−0+
5 +∞
y
−∞ 1
Hỏi hàm số y = f (|x|) có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 2. B. 4. C. 1. D. 3.
Câu 183.
Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R có x −∞ −2 0 +∞
bảng xét dấu của f (x) như hình. Hàm số y = g(x) = +
f (x2 − 2x − 4) có bao nhiêu điểm cực tiểu? y +0−0
A. 3. B. 4. C. 2. D. 1.
Câu 184. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên của hàm số f (x) như sau
x −∞ 1 2 3 +∞
+∞ m2 − 10 m2 m2 − 9 +∞
f (x)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số f (x) có đúng 2 điểm cực đại?
A. 4. B. 6. C. 5. D. 7.
Câu 185. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới. Hàm số
y = |f (x − 2) + 3| có bao nhiêu điểm cực trị?
x −∞ −2 2 +∞
f (x) +0−0+
3 +∞
f (x)
−∞ −4
A. 4. B. 3. C. 6. D. 5.
3 DẠNG 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ ĐẠT CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM X0 CHO TRƯỚC
Câu 186. Cho hàm số f (x) = −x3 + 2(2m − 1)x2 − (m2 − 8)x + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để hàm số đạt giá trị cực tiểu tại điểm x = −1.
A. m = −2. B. m = 3. C. m = 1. D. m = −9.
Câu 187. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = 1 x3 − mx2 + (m2 − 4)x + 3 đạt
3
cực đại tại x = 3?
A. m = 1. B. m = −1. C. m = 5. D. m = 1, m = 5.
Câu 188. Cho hàm số f (x) = −x3 + 2(2m − 1)x2 − (m2 − 8)x + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để hàm số đạt giá trị cực tiểu tại điểm x = −1.
A. m = −2. B. m = 3. C. m = 1. D. m = −9.
30 | 102
Câu 189. Cho hàm số y = f (x) = ax3 + bx2 + cx + d với a = 0. Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực
trị là A(1; −1), B(−1; 3). Tính f (4).
A. f (4) = 53. B. f (4) = −17. C. f (4) = −53. D. f (4) = 17.
Câu 190. Cho hàm số f (x) có f (1) = 0 . Kết luận nào sau đây đúng?
f (1) < 0
A. x = 1 là điểm cực tiểu của hàm số. B. x = 1 là điểm cực đại của hàm số.
C. Giá trị cực đại của hàm số là 1. D. Giá trị cực tiểu của hàm số là 1.
Câu 191. Cho hàm số y = x3 − 2x2 + ax + b, (a, b ∈ R) có đồ thị (C ). Biết đồ thị (C ) có điểm cực
trị là A(1; 3). Tính giá trị của P = 4a − b.
A. P = 3. B. P = 2. C. P = 4. D. P = 1.
Câu 192. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = x4 + mx2 đạt cực tiểu tại x = 0.
A. m ≥ 0. B. m = 0. C. m > 0. D. m ≤ 0.
Câu 193. Biết rằng hàm số y = a sin 2x + b cos 2x − x (0 < x < π) đạt cực trị tại các điểm x = π và
x= π của biểu thức T = a − b. 6
. Tính giá trị
2√ √
3+1 3−1 √ √
A. 2 . B. 2 . C. 3 − 1. D. 3 + 1.
Câu 194. Biết M (−2; 5) và N (0; 13) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số y = ax + b + c . Tính
x+1
giá trị của hàm số tại x = 2.
47 16 16 D. −13.
A. . B. . C. . 3
3 9 3
Câu 195. Biết đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c có điểm cực đại là A(0; −3) và điểm cực tiểu là
B(−1; −5). Khi đó giá trị a + 2b + c là
A. −9. B. −1. C. −5. D. 3.
Câu 196. Biết hàm số f (x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực đại tại x = 0 và f (1) = −3, đồng thời đồ thị
hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng −1. Tính giá trị của f (−1).
A. f (−2) = −21. B. f (−2) = 3. C. f (−2) = −15. D. f (−2) = 19.
Câu 197. Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) = ax4 +bx2 +c có hai điểm cực trị là A(0; 2) và B(2; −14).
Tính f (1).
A. f (1) = 0. B. f (1) = −6. C. f (1) = −5. D. f (1) = −7.
4 DẠNG 4: CỰC TRỊ HÀM BẬC 3 THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Câu 198. Hàm số y = 1 x3 + (2m + 3)x2 + m2x − 2m + 1 không có cực trị khi và chỉ khi
3
m < −3 B. −3 ≤ m ≤ −1. m ≤ −3 D. −3 < m < −1.
A. m > −1 . C. m ≥ −1.
Câu 199. Tìm tất cả các giá trị cảu tham số m để hàm số y = m x3 + 2x2 + mx + 1 có 2 điểm cực trị
3
thỏa mãn xCĐ < xCT.
A. m < 2. B. 0 < m < 2. C. −2 < m < 0. D. −2 < m < 2.
Câu 200. Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (m là tham số). Hỏi có bao nhiêu giá
trị nguyên của tham số m để đồ thị của hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu nằm bên trái đường
thẳng x = 2?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 0.
31 | 102
Câu 201. Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = x3 − 3x2 − mx + 4 có hai điểm cực trị thuộc
khoảng (−3; 3)?
A. 12. B. 11. C. 13. D. 10.
Câu 202. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [−10, 10] để hàm số y = |mx3 − 3mx2 +
(3m − 2)x + 2 − m| có 5 điểm cực trị?
A. 7 . B. 9. C. 10 . D. 11 .
Câu 203. Biết rằng đồ thị hàm số f (x) = 1 x3 − 1 mx2 + x − 2 có giá trị tuyệt đối của hoành độ hai
32 √
điểm cực trị là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền là 7. Hỏi có mấy giá trị của m
thỏa mãn điều kiện trên?
A. 2. B. 3. C. 1. D. Không tồn tại m.
Câu 204. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x3 − 3mx2 + 2 có hai điểm cực
trị A và B sa√o cho các điểm A, B và M (1; −2) thẳng hàng. √ √
A. m = 2. B. m = −√2, m = 2.
C. m = 2. D. m = − 2.
Câu 205. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = 1 x3 − mx2 +
3
(m2 − 1) x có hai điểm cực trị A, B sao cho A, B nằm khác phía và cách đều đường thẳng (d) : y =
5x − 9. Tính tổng tất cả các phần tử của S.
A. 0. B. 6. C. −6. D. 3.
Câu 206. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = (2m − 1)x + 3 + m vuông góc với
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 1.
A. m = 3. B. m = −1. C. m = 3. D. m = 1.
4 2 2 4
Câu 207. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = x3−(2m+1)x2+2(m2−4)x−2m2+2m+8
có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực trị trái dấu.
A. 5. B. 6. C. 7. D. 4.
Câu 208. Cho hàm số f (x) = x3 − (m2 + 1)x2 + (2m + 3)x, có bao nhiêu giá trị của m để đồ thị hàm
số y = f (|x|) có hai điểm cực đại và khoảng cách giữa hai điểm cực đại bằng 2?
A. 1. B. 0. C. 2. D. 4.
Câu 209. Cho hàm số f (x) = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − m3 − m, với m là tham số. Gọi A, B là hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số và I(2; √−2). Tổng tất cả các số m để ba điểm I, A, B tạo thành tam giác
nội tiếp đường tròn có bán kính bằng 5 là
A. − 2 . 14 4 20
17 B. . C. . D. .
17 17 17
Câu 210. Gọi m1, m2 là các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = 2x3 − 3x2 + m + 1 có hai
điểm cực trị là B, C sao cho tam giác OBC có diện tích bằng 2, với O là gốc tọa độ. Tính m1m2.
A. m1m2 = −15. B. m1m2 = 12. C. m1m2 = 6. D. m1m2 = −20.
Câu 211. Cho hàm số f (x) = x3 −mx+2, với m là tham số. Biết đồ thị hàm số y = f (x) cắt trục hoành
111
tại ba điểm phân biệt có hoành độ là a, b, c. Tính giá trị của biểu thức P = f (a) + f (b) + f (c).
A. P = 0. B. P = 3 − m. C. P = 29 − 3m. 1
D. P = .
3
5 DẠNG 5: CỰC TRỊ HÀM TRÙNG PHƯƠNG THOẢ ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
Câu 212. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = (m − 1)x4 − 2(m − 3)x2 + 1 không
có cực đại.
A. 1 < m < 3. B. m ≥ 1. C. 1 ≤ m ≤ 3. D. m ≤ 1 .
32 | 102
TITAN EDUCATION
Câu 213. Hàm số y = x4 + 2(m − 2)x2 + m2 − 2m + 3 có đúng 1 điểm cực trị thì giá trị của m là
A. m < 2. B. m = 2. C. m ≥ 2. D. m > 2.
Câu 214. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = x4 + 2 (m2 − m − 6) x2 + m − 1
có 3 điểm cực trị?
A. 5. B. 3. C. 4. D. 6.
Câu 215. Cho hàm số y = (m − 1) x4 − 3mx2 + 5. Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm
số có cực đại mà không có cực tiểu
A. m ∈ [0; 1]. B. m ∈ (−∞; 0] ∪ [1; +∞).
C. m ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞). D. m ∈ (0; 1).
Câu 216. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = (m − 1)x4 + (m2 − 4m)x2 + 2019
không có cực tiểu là
A. [0; 1). B. (0; 1) ∪ (4; +∞). C. [0; 1]. D. (1; 4].
Câu 217. Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng (−100; 9) của tham số m để hàm số y = (m +
1)x4 + (m − 3)x2 + 5m2 + 2 có đúng một điểm cực trị và đồng thời điểm đó là điểm cực đại?
A. 101. B. 99. C. 98. D. 100.
Câu 218. Gọi S là là tập tất cả các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số y = x4 − 2(m − 1)x2 +
m2 − m có ba điểm cực trị lập thành một tam giác vuông. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng
A. 2. B. 1. C. −5. D. 3.
Câu 219. Cho hàm số y = x4 − mx2 + 2m − 1 có đồ thị là (Cm). Tìm tất cả các giá trị của m để (Cm)
có ba điểm cực trị cùng với gốc tọa độ tạo thành bốn đỉnh của một √hình thoi. √
A. Không có √giá trị m. B. m = 2 + √2 hoặc m = 2 − √2.
√
C. m = 4 + 2 hoặc m = 4 − 2. D. m = 1 + 2 hoặc m = −1 + 2.
Câu 220. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 + 2mx2 có ba điểm cực trị
tạo thành 1 t√am giác đều. √
A. m = 3 3. B. m = − 3 3. C. m = 1. D. m = −1.
Câu 221. Gọi S là tập các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m + 4 có ba
điểm cực trị cách đều trục hoành. Tính tổng tất cả các phần tử của tập S là
A. 2. B. 6. C. 0. D. 4.
Câu 222. Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 −2mx2 +m có ba điểm cực trị lập thành tam giác vuông.
A. m = −1. B. m = 1. C. m = 0. D. m = 2.
Câu 223. Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2(m + 1)x2 + 2m + 3 có ba điểm cực
trị A, B, C sao cho trục hoành chia tam giác ABC thành một tam giác và một hình thang, biết rằng tỉ
số diện tích tam giác nhỏ được chia ra và diện tích tam giác bằng 4
√ √ ABC √ 9.
√
m= 1+ 15 . m = −1 + 3. m= 5+ 3. −1 + 15 .
A. 2 B. 2 C. 2 D. m= 2
Câu 224. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2m2x2 + m4 + 3
có ba điểm cực trị đồng thời ba điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O tạo thành tứ giác nội tiếp.
A. S = −√1 ; 0; √1 . B. S = −√1 ; 0; √1 .
33 22
C. S = −√1 ; √1 . D. S = {−1; 1}.
33
Câu 225. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + m có ba điểm cực trị, đồng
thời ba điểm cực trị đó là ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1.
A. m < −1. B. m > 2 hoặc m < −1.
C. m > 2. D. m > 0.
33 | 102
Câu 226. Biết rằng đồ thị hàm số y = x4 − 2mx2 + 7 có ba điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC
2
nhận gốc tọa độ làm trực tâm. Tìm m.
A. m = 4. B. m = 1. C. m = 2. D. m = 3.
34 | 102
§3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
I ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số y = f (x) xác định trên D.
• Nếu tồn tại x0 ∈ D sao cho f (x) ≤ f (x0), ∀x ∈ D thì giá trị M = f (x0) được gọi là giá
trị lớn nhất của hàm số y = f (x) trên D, ký hiệu M = maxf (x).
x∈D
• Nếu tồn tại x0 ∈ D sao cho f (x) ≥ f (x0), ∀x ∈ D thì giá trị M = f (x0) được gọi là giá
trị nhỏ nhất của hàm số y = f (x) trên D, ký hiệu M = minf (x).
x∈D
II PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ
Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x) trên đoạn [a; b], ta thực hiện như sau:
• Tính đạo hàm y .
• Tìm tất cả các điểm x1, x2,... thuộc khoảng (a; b) mà ở đó f (x) = 0 hoặc f (x) không tồn
tại.
• Tính f (a), f (b), f (x1), f (x2),...
• So sánh các giá trị vừa tính. Khi đó GTLN và GTNN của f trên đoạn [a; b] là GTLN, GTNN
trong các giá trị trên.
Ghi chú. Trong một số bài toán, ta có thể dùng phép đổi biến để tìm GTLN, GTNN của hàm số
hợp f (u), với u là hàm số theo biến x, trên đoạn [a; b] như sau:
• Tìm m = min u(x), M = max u(x).
x∈[a;b] x∈[a;b]
• Tìm GTLN, GTNN của f (u) với u ∈ [m, M ].
III BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 35. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a. y = x3 − 3x2 − 9x + 35 trên các đoạn [−4; 4];
b. y = x4 − 3x2 + 2 trên đoạn [0; 3];
c. y= 2−x trên đoạn [2; 4];
1−x
√
d. y = 5 − 4x trên đoạn [−1; 1].
Bài 36. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
35 | 102
4 b. y = 4x3 − 3x4.
a. y = 1 + x2 ;
Bài 37. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a. y = cos3 x − 6 cos2 x + 9 cos x + 5;
b. y = sin3 x − cos 2x + sin x + 2.
Bài 38. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau
4 5π
a. y = x + cos x trên đoạn 0; ;
34
b. y = −2x + cos 4x trên đoạn −π ; 2π ;
33
c. y = cot x + 4x trên −π; π .
44
Bài 39. Tìm GTLN và GTNN của hàm số −x2 + 2 nếu −2 ≤ x ≤ 1
x nếu 1<x≤3
Bài 40. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a. y = |x|; c. y = |x2 − 3x + 2| trên đoạn [−10; 10];
4
b. y = x + (x > 0);
x
Bài 41. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:
1 π 5π
a. f (x) = trên đoạn ; ;
sin x 3 6
3π
b. f (x) = 2 sin x + sin 2x trên đoạn 0;
2
Bài 42. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a. y = 3 sin x + 3 sin2 x − 2;
b. y = 2 sin x cos x + sin x − cos x − 2;
1 + sin6 x + cos6 x
c. y = 1 + sin4 x + cos4 x ;
d. y = | sin 2x| + | sin x| + | cos x| + 2 ;
| sin x| + | cos x| + 1
√√√
e. y = 2 − x + 1 + x − −x2 + x + 2;
√√
f. y = 3(x + 1 − 1 − x2) − 2x 1 − x2.
Bài 43. Trong các hình nhữ nhật có cùng chu vi 16 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Bài 44. Trong tất cả các hình chữ có cùng diện tích là 48 m2, hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ
nhất.
Bài 45. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB và hai cạnh bên đều dài 1 m. Tính góc α = D÷AB =
C÷BA sao cho hình thang có diện tích lớn nhất và tính diện tích lớn nhất đó.
Bài 46. Thể tích V của 1 kg nước ở nhiệt đô T (T nằm giữa 0◦ và 30◦) được cho bởi công thức
V = 999, 87 − 0, 06426T + 0, 0085043T 2 − 0, 0000679T 3cm3
Ở nhiệt độ nào nước có khối lượng riêng lớn nhất.
36 | 102
IV BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1 DẠNG 1: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN ĐOẠN
Câu 227.
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như x −∞ −1 3 +∞
hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) y 2 −1
trên đoạn [0; 4] là
A. f (0). B. −1. C. −3. D. −4.
−4 −3
Câu 228. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = x3 − 3x2 trên đoạn [−1; 1].
A. M = 2. B. M = −2. C. M = 0. D. M = 4.
Câu 229. Cho hàm số y = f (x) = x4 − 4x + 1. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 2].
Khi đó giá trị của M là
A. 9. B. 25. C. −2. D. 1.
Câu 230. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x + 1 trên đoạn
x−2
[−1; 1]. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. M + m = 0. B. 9M − m = 0. C. M + 9m = 0. D. 9M + m = 0.
√
Câu 231. Kết luận nào là đúng về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − x2?
A. Có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
B. Có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất.
C. Không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
D. Có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất.
√
Câu 232. Kí hiệu M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − x − 2 trên
[2; 6]. Khi đó M − m bằng
9 B. 4. 9 D. 2.
A. . C. .
2 4
Câu 233. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x2 − 3x trên đoạn [−4; −2] bằng
x+1
28
A. − 3 . B. −9. C. −10. D. −1.
Câu 234. Giá trị lớn nhất của hàm số y = √ 1 trên đoạn [0; 1] bằng
x2 − x + 1
√ √
23 √ 3
A. . B. 1. C. 2 3. D. .
3 2
√
Câu 235. Gọ√i M là giá trị lớn nhất của√hàm số y = (x − 1) 3 − x2. Tìm M .
√
A. M = 6. B. M = 3. D. M = 3.
44 C. M = 0. 2
Câu 236. Giá trị lớn nhất của hàm số y = √x + 1 trên đoạn [0; 4] đạt được tại
√ x2 + 1
5 17 √
A. x = 1. B. x = . C. x = 2. D. x = 0.
17
√
Câu 237. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = | 4 − x2 − 9| trên đoạn [−2; 2] bằng
A. 0. B. 6. C. 7. D. 9.
37 | 102
Câu 238. Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 1 là
A. 11. C. −2. sin x + 2
D. −3.
B. 0.
6 32
Câu 239. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = sin x + cos 2x trên [0; π] là
A. 9 . B. 5 . C. 2. D. 1.
8 4
Câu 240. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 sin x + 3 π
trên 0; là
sin x + 1 2
D. 5.
A. 5. B. 2. C. 3. 2
Câu 241. Cho hàm số y = m cos x − 2 có giá trị lớn nhất là B, giá trị nhỏ nhất là b. Tìm m để
−5 cos x + 3
B+b= 4 . B. m = −1.
A. m = −11. C. m = 1. D. m = 11.
√ √ √√
Câu 242. Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y = 1 + x + 3 − x − 1 + x · 3 − x trên tập xác
định của nó. 4 √ 9
√ B. m = . C. m = 2 2 − 2. D. m = .
A. m = 2 2 − 1. 5 10
Câu 243. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin√x + cos x + 1 . Khi
√ 2 + sin 2x
đó, M + 3m bằng
√
A. 1. B. 1 + 2 2. C. 2. D. −1.
Câu 244. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos2 x − 5 cos x + 3 là
1 9 cos x − 6
5 ; ymin 7
A. ymax = = − . B. ymax = 13; ymin = 4.
91
C. ymax = 1; ymin = −. D. ymax = 5 ; ymin = −1.
7
Câu 245. Gọi S là tổng tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 + (m2 + 1)x − m + 1 có giá
trị lớn nhất trên đoạn [0; 1] bằng 9. Giá trị của S bằng
A. S = 5. B. S = −1. C. S = −5. D. S = 1.
x + 2m2 − m
Câu 246. Tích tất cả các giá trị thực của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 3
trên đoạn [0; 1] bằng −2.
A. − 1 . B. − 15 . C. − 3 . D. −3.
2 2 2
Câu 247. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x+m trên [1; 2] bằng 8 (với m là
x+1
tham số thực). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m > 10. B. 8 < m < 10. C. 0 < m < 4. D. 4 < m < 8.
Câu 248. Cho hàm số y = f (x) = mx + 2m + 1 max f (x) − min f (x)
x − 1 . Tính tổng các giá trị của tham số m để x∈[2;3] x∈[2;3]
2. 1 B. −2. C. −1.
A. .
2 33 D. 0.
√√ √
Câu 249. Cho hàm số y = f (x) = m2 2 + x + 2 − x + 4 4 − x2 + m + 1. Tổng các giá trị của
m để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 là
5 B. − 7 . 1 D. − 1 .
A. 2. 2 C. 2. 2
38 | 102
Câu 250. Giá trị lớn nhất của f (x) = (1 + x)2020 + (1 − x)2020 trên đoạn [−1; 1] là
A. 21010. B. 22021. C. 22019. D. 22020.
Câu 251. Cho hàm số y = 1 x3 + m2x − 2m2 + 2m − 9, m là tham số. Gọi S là tập tất cả các giá trị
3
của m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] không vượt quá 3. Tìm tập S.
A. S = (−∞; −3) ∪ (1; +∞). B. S = (−3; 1].
C. S = (−∞; −3] ∪ (1; +∞). D. S = (−3; 1).
mx
Câu 252. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x2 + 1 đạt giá trị lớn nhất tại x = 1 trên
đoạn [−2; 2].
A. m < 0. B. m = 2. C. m = −2. D. m ≥ 0.
Câu 253. Có tất cả bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số y = |x2 − 2x + m|
trên đoạn [−1; 2] bằng 5.
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 254. Xét hàm số f (x) = |x2 + ax + b|, với a, b là tham số. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số
trên [−1; 3]. Khi M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính a − b.
A. 1. B. 2. C. −1. D. 3.
2 DẠNG 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN KHOẢNG
Câu 255.
Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên trên [−5; 7) như hình bên. x −5 1 7
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. min = 6. B. max = 9. C. min = 2. D. max = 6. y +0−
[−5;7) [−5;7) [−5;7]) [−5;7])
y6 9
2
Câu 256. Hàm số y = x4 + 2x2 − 3 B. không có cực trị.
A. không có cả giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. D. có giá trị lớn nhất.
C. có giá trị nhỏ nhất.
Câu 257. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình bên. Chọn khẳng định đúng.
A. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 8, x −∞ 0 2 +∞
giá trị nhỏ nhất bằng 4. 0 −
8
B. Hàm số đạt cực đại tại điểm y = 8, y −0+ −∞
cực tiểu tại điểm y = 4.
C. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và +∞
cực tiểu tại x = 2. y
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2, 4
cực tiểu tại điểm x = 0.
Câu 258. x −∞ 2 5 +∞
Hàm số y = f (x) xác định, liên tục trên khoảng f (x) +∞ −0+
(2; +∞) và có bảng biến thiên như sau. Tìm giá
trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đã cho. f (x) +∞
A. min f (x) = 5.. −4
(2;+∞)
B. min f (x) = −4.
(2;+∞)
C. min f (x) = 1.
(2;+∞)
D. min f (x) = 2.
(2;+∞)
39 | 102
Câu 259. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ
x −∞ −1 1 +∞
0 +
f (x) +0−
1 1
3 3
f (x)
1
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho trên tập hợp R bằng
A. 1. B. −1. C. 1. D. 3.
3
Câu 260. Cho hàm số y = f (x) xác định trên R \ {−1; 1} và có bảng biến thiên như sau
x −∞ −1 1 +∞
y + +0−
32
y
1 −∞ −1
Giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng
A. 2. B. 1. C. Không tồn tại. D. 3.
Câu 261. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 1 + x trên nửa khoảng [0; +∞) bằng
x+1
98
A. . B. 3. C. 1. D. .
10 9
Câu 262. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình bên dưới.
x −∞ 0 +∞
y− +
−2 2
y
−5
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? B. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 2.
A. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −2. D. Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng −5.
C. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng −2.
Câu 263. Cho hàm số y = f (x) có bảng xét dấu đạo hàm như sau
x −∞ −1 0 1 +∞
f (x) − −0+0−
Mệnh đề nào sau đây đúng? B. max f (x) = f (0).
A. max f (x) = f (1). (−1;1]
(0;+∞) D. min f (x) = f (0).
(−1;+∞)
C. min f (x) = f (−1).
(−∞;−1)
1
Câu 264. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = x2 + x + 1 trên khoảng (−∞; +∞) là
54
A. 1. B. . C. . D. 0.
33
40 | 102
Câu 265. Hàm số nào dưới đây có giá trị nhỏ nhất trên tập xác định?
A. y = x3 − 3x + 2. B. y = −2x3 + 3x2 − 1.
C. y = x4 − 2x2 − 1. D. y = −x4 + 4x2.
Câu 266. 4 trên khoảng (0; +∞).
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x + x2
A. min y = 5. B. min y = 3. C. min y = 4. D. min y = 8.
(0;+∞) (0;+∞) (0;+∞) (0;+∞)
Câu 267. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x4 − 2x2 trên khoảng (−2; 2) là
A. max y = 0, min y = −1. B. min y = −1, không có giá trị lớn nhất.
(−2;2) (−2;2) (−2;2)
C. max y = 0, không có giá trị nhỏ nhất. D. max y = 8, min y = −1.
(−2;2) (−2;2) (−2;2)
x2 D. min y = 3.
Câu 268. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2 trên (2; 6]. (2;6]
A. min y = 9. B. min y = 8. C. min y = 4.
(2;6] (2;6] (2;6]
Câu 269. Xét hàm số f (x) = 3x + 1 + 3 trên tập D = (−2; 1]. Mệnh đề nào sau đây là sai?
x+1
A. Giá trị lớn nhất của f (x) trên D bằng 5.
B. Hàm số f (x) có một điểm cực trị trên D.
C. Giá trị nhỏ nhất của f (x) trên D bằng 1.
D. Không tồn tại giá trị lớn nhất của f (x) trên D.
Câu 270. Trên khoảng (0; 1), hàm số y = x3 + 1 đạt giá trị nhỏ nhất tại x0 bằng
x
A. 1. B. √1 . C. √1 . D. √1 .
2 43 33 3
x2 + x + 1
Câu 271. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x2 − x + 1 tương ứng là m và n. Khi đó
giá trị m + 3n bằng
A. m + 3n = 6. B. m + 3n = 4√. C. m + 3n = 3. D. m + 3n = 2.
Câu 272. Cho hàm số f (x) = x2 + (x√+ 2) x−2+m
. Biết hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 10, tìm
6−x+2
giá trị lớn nhất của hàm số f (x).
A. 14. B. 24. C. 34. D. 44.
Câu 273. Cho hàm số y = tan3 x − 1 x + 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên π là phân số tối
giản a đó a, b là số cos2 − b. 0;
,ở 2
b nguyên và b > 0. Tính hiệu a
A. 50. B. −4. C. 4. D. −50.
Câu 274. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số
y = |x2 − 4x + 3| + 4mx lớn hơn 2. Số phần tử của S là
A. 2. B. 5. C. 1. D. 3.
3 DẠNG 3: ỨNG DỤNG GTLN, GTNN TRONG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG
TRÌNH
√
Câu 275. Tìm tất cả các giá trị của tham số m√để phương trình x + 4√− x2 = m có nghiệm.
A. −2 < m < 2. B. −2 < m < 2 2. C. −2 ≤ m ≤ 2 2. D. −2 ≤ m ≤ 2.
Câu 276. Tìm số giá trị nguyên của tham số m ∈ [0; 30] để phương trình x4 −6x3 +mx2 −12x+4 = 0
có nghiệm.
A. 17. B. 16. C. 15. D. 14.
41 | 102
√
Câu 277. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình x + 1 = m 2x2 + 1 có hai nghiệm phân
biệt. √ √√ √√ √
2 26 2 6 6
A. m < . B. <m< . C. − <m< . D. m > .
2 √ 2√ 2 26 6
Câu 27√8. Phương trình 1 + sin x + 1 + cos x = m có nghiệm khi và ch√ỉ khi
A. 2 ≤ m ≤ 2. B. 1 ≤ m ≤ 4 + 2 2.
C. 1 ≤ m ≤ 2. D. 0 ≤ m ≤ 1.
√
Câu 279. Số các giá trị nguyên của m để phương trình cos2 x + cos x + m = m có nghiệm là
A. 3. B. 2. C. 4. D. 5.
Câu 280. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 sin4 x + m cos2 x + 2 = 0 có nghiệm trên
π
đoạn 0; là
4
A. 3. B. 5. C. 4. D. 2.
Câu 281. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sin x cos x − sin x − cos x + m = 0 có
nghiệm?
A. 3. B. 2. √ C. 1. D. 0.
Câu 282. Cho hàm số y = f (x) = x + 1 − x2. Tìm giá trị của tham số m để bất phương trình
f (x) ≥ m n√ghiệm đúng với mọi x ∈ [−1; 1]. √ D. m > −1.
A. m ≥ 2. B. m ≤ −1. C. −1 ≤ m ≤ 2.
Câu 283. Tìm giá trị của tham số m để bất phương trình x2 + 3x + 3 ≥ m nghiệm đúng với mọi
x ∈ [0; 1]. x+1
A. m ≤ 3. B. m ≤ 7 C. m ≥ 7 D. m ≥ 3.
2. 2.
Câu 284. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = sin2 x − 4 cos x + 2m có tập xác
định là R. B. m ≤ − 5 .
A. Không có m thỏa mãn. 2
D. m ≥ −5.
C. m ≥ 2. 2
4 DẠNG 4: BÀI TOÁN ỨNG DỤNG
Câu 285. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân
được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể
trong giờ được tính theo công thức t Sau tiêm bao nồng độ trong
t c(t) = . khi thuốc lâu thì thuốc
t2 +1
máu của bệnh nhân cao nhất?
A. 3 giờ. B. 2 giờ. C. 1 giờ. D. 4 giờ.
Câu 286. Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = −t3 + 6t2 với t là thời gian tính từ lúc bắt
đầu chuyển động, s(t) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t. Tính thời điểm t tại đó vận tốc
đạt giá trị lớn nhất.
A. t = 1. B. t = 3. C. t = 2. D. t = 4.
Câu 287. Người ta thiết kế một van điều tiết nước để dẫn nước từ một dòng chảy tự nhiên vào hồ thủy
lợi chứa nước. Biết rằng lượng nước được dẫn qua van điều tiết để vào hồ trong mỗi phút được điều tiết
qua công thức F (x) = 1 x2(225 − x), trong đó x là lưu lượng dòng chảy tự nhiên tính theo đơn
16875
vị m3/phút. Lưu lượng dòng chảy tự nhiên là bao nhiêu thì lượng nước vào hồ thủy lợi là lớn nhất?
A. 450 m3/phút. B. 225 m3/phút. C. 150 m3/phút. D. 0 m3/phút.
42 | 102
Câu 288. Đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A thường kéo dài trong 2 tháng (60 ngày). Người ta nhận thấy số
lượng xuất khẩu gạo tính theo ngày thứ t được xác định bởi công thức
S(t) = 2 t3 − 63t2 + 3240t − 3100 (1 ≤ t ≤ 60).
5
Hỏi trong những ngày đó thì ngày thứ mấy số lượng xuất khẩu gạo cao nhất?
A. 1. B. 60. C. 45. D. 30.
Câu 289. Độ giảm huyết áp của một bệnh nhân được xác định bởi công thức f (x) = 0, 025x2(30 − x),
trong đó x là liều lượng an toàn thuốc tiệm cho bệnh nhân cao huyết áp được tính bằng mg. Liều lượng
an toàn của thuốc cần tiêm cho bệnh nhân cao huyết áp để huyết áp giảm nhiều nhất là
A. 0, 5 mg. B. 20 mg. C. 15 mg. D. 30 mg.
Câu 290.
Ông An cần sản xuất một cái thang để trèo qua một bức tường
nhà. Ông muốn có một cái thang luôn được đặt đi qua vị trí C, 1m C
Cái thang
biết rằng điểm C cao 2m so với nền nhà và điểm C cách tường tường
Nền nhà
nhà 1m (như hình vẽ bên). Giả sử kinh phí để sản xuất thang là 2m
400.000 đồng/1 mét dài. Hỏi ông An cần ít nhất bao nhiêu tiền để
sản xuất 1 cái thang? (kết quả làm tròn đến hàng nghìn đồng).
A. 1.667.000 đồng. B. 1.665.000 đồng.
C. 1.664.000 đồng. D. 1.666.000 đồng.
Câu 291.
Một người thợ nhôm kính nhận đơn đặt hàng làm một bể cá cảnh bằng
kính dạng hộp chữ nhật không có nắp có thể tích bằng 3,2 m3, tỉ số giữa
chiều cao của bể và chiều rộng của đáy bằng 2 (như hình vẽ bên). Biết h
y
giá một mét vuông kính để làm thành và đáy bể cá là 800 nghìn đồng.
Hỏi người thợ đó cần tối thiểu bao nhiêu tiền để mua đủ mét vuông kính
làm bể cá theo yêu cầu? (Coi độ dày của kính là không đáng kể so với
kích thước của bể).
A. 9,6 triệu đồng. B. 10,8 triệu đồng. x
C. 8,4 triệu đồng. D. 7,2 triệu đồng.
Câu 292. C
Đường dây điện 110KV kéo từ trạm phát (điểm A) trong đất
liền ra đảo (điểm C). Biết khoảng cách ngắn nhất từ C đến
B là 60km, khoảng cách từ A đến B là 100km, mỗi km dây
điện dưới nước chi phí là 100 triệu đồng, chi phí mỗi km
dây điện trên bờ là 60 triệu đồng. Hỏi điểm G cách A bao
nhiêu km để mắc dây điện từ A đến G rồi từ G đến C chi
phí thấp nhất? (đoạn AB trên bờ, đoạn GC dưới nước)
A G B
A. 60 km. B. 45 km. C. 50 km. D. 55 km.
Câu 293.
43 | 102
Một tấm kẽm hình vuông ABCD có A E GBE G
cạnh bằng 30 cm. Người ta gập tấm
kẽm theo hai cạnh EF và GH cho
đến khi cạnh AD và BC trùng nhau A≡B
như hình vẽ bên để được một hình
lăng trụ khuyết hai đáy. Giá trị của
x để thể tích khối lăng trụ lớn nhất
là
A. x = 5 cm. B. x = 9 cm.
C. x = 8 cm. D. x = 10 cm. D x F HxC F H
30 cm D≡C
Câu 294. Một xưởng in có 8 máy in, mỗi máy in được 4000 bản in khổ giấy A4 trong một giờ. Chi phí
để bảo trì, vận hành một máy in trong mỗi lần in là 50 nghìn đồng. Chi phí in ấn của n máy chạy trong
một giờ là 20(3n + 5) nghìn đồng. Hỏi nếu in 50000 bản in khổ A4 thì phải sử dụng bao nhiêu máy để
thu được lãi nhiều nhất?
A. 7 máy. B. 6 máy. C. 5 máy. D. 4 máy.
44 | 102
§4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN
I TIỆM CẬN ĐỨNG
Đường thẳng ∆ : x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f (x) khi và chỉ khi
lim f (x) = ±∞ hoặc lim f (x) = ±∞
x→x+0 x→x0−
II TIỆM CẬN NGANG
Đường thẳng ∆ : y = y0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) khi và chỉ khi
lim f (x) = y0 hoặc lim f (x) = y0
x→+∞ x→−∞
III TIỆM CẬN XIÊN
Đường thẳng y = ax + b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x) khi và chỉ khi
lim [f (x) − (ax + b)] = 0 hoặc lim [f (x) − (ax + b)] = 0
x→+∞ x→−∞
Nhận xét. Nếu f (x) = a và lim [f (x) − ax] = b hoặc f (x) = a và
lim lim
x→+∞ x x→+∞ x→−∞ x
lim [f (x) − ax] = b thì đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f (x).
x→−∞
IV BÀI TẬP TỰ LUẬN
Bài 47. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số:
x c. y= 2x − 5 ;
a. y = 2 − x; 5x − 2
b. y = −x + 7 ; d. y = 7 − 1.
x
x+1
Bài 48. Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số:
2−x √ + 1
a. y = 9 − x2 ; √x − 1
d. y = x ;
x2 + x + 1 √
b. y = 3 − 2x − 5x2 ; x2 + x
e. y = x − 1 ;
c. y = x2 − 3x + 2 ; √
f. y = x + 3 .
x+1
x+1
Bài 49. Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số:
45 | 102
√ √
a. y = x2 − x + 1; c. y = x2 + 3;
√ d. y =x+ √2 .
b. y = x + x2 + 2x; x
Bài 50. Cho hàm số y = mx − 1 . Xác định giá trị của tham số m để tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
√ 2x + m
đi qua A(−1; 2).
Bài 51. Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:
√ √
3x +√ x2 + 1 5x − 1 − x2 − 2
a. y= ; b. y = .
2 + 3x2 + 2 x−4
V BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
1 DẠNG 1: TÌM TCĐ VÀ TCN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC HOẶC BBT
Câu 295. Cho hàm số y = f (x) có lim y = 2 và lim y = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?
x→−∞ x→2+
A. Đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang x = 2 và có tiệm cận đứng y = 2.
B. Đồ thị của hàm số không có tiệm cận ngang và có tiệm cận đứng x = 2.
C. Đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang y = 2 và không có tiệm cận đứng.
D. Đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là y = 2 và có tiệm cận đứng là x = 2.
Câu 296. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình
x −∞ 1 +∞
+∞ 5
y
2 3
Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
A. 2. B. 1. C. 3. D. 4.
Câu 297. Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau +∞
+
x −∞ −3 0 1
0 1
f (x) +0− −
0
1 +∞
f (x)
−2 −∞
Hỏi đồ thị hàm số có tổng cộng bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang?
A. 4. B. 2. C. 3. D. 1.
Câu 298.
Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên x −∞ −1 0 1 +∞
R\ {±1}. Hàm số có bảng biến thiên như hình bên. y + −0+ +
Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận? 1 +∞ +∞
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. y 3
−3
−2 −∞
46 | 102
x−2
Câu 299. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x − 1.
A. y = −1. B. x = −1. C. x = 1. D. y = 1.
Câu 300. Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào sau đây?
1 − 2x x−2 2x2 + 3 1−x
A. y = 1 − x . B. y = . C. y = . D. y = 1 − 2x .
2x − 4 x+2
3x − 2
Câu 301. Cho hàm số y = x − 1 có đồ thị (C). Tọa độ giao điểm của hai tiệm cận là
A. I(1; 2). B. I 2 . C. I(1; 3). D. I(3; 1).
;3
3
Câu 302. Hai đường thẳng x = 2 và y = −2 là các đường tiệm cận của đồ thị hàm số nào sau đây?
2x − 1 2x − 1
x+1 x+1 C. y = 2 − x . D. y = x − 2 .
A. y = 2 − x. B. y = x − 2.
Câu 303. Trong các hàm số được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây, đồ thị của hàm số nào
không có đường tiệm cận?
1 2x + 1 C. y = x . D. y = x4 − 3x2 + 2.
A. y = . B. y = 2 − x . 1
x2 +
x
x2 + 1
Câu 304. Cho hàm số y = x2 − 4 . Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
Câu 305. Tất cả các đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = √x + 2 là
x2 − 4
A. x = −2; x = 2. B. x = 4. C. x = −2. D. x = 2.
Câu 306. Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng?√
1 −1 x+5 3x − 1
A. y = x2 − 2x + 1 . B. y = 2x . C. y= x+2 . D. y = x2 + 1 .
√ 16 − x2
Câu 307. Đồ thị hàm số y = x có bao nhiêu tiệm cận ngang?
A. 1. B. 3. C√. 0. D. 2.
4 − x2
Câu 308. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = x2 − 3x − 4 là
A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.
√
Câu 309. Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = x2 + 8x − 9−x đi qua điểm nào sau đây?
A. S(2; 1). B. Q(−3; −4). C. U (5; 4). D. Y (1; 2).
x2 − 1
Câu 310. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = x2 − 2|x| là
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 311. Đồ thị hàm số nào sau đây có hai đường tiệm cận tạo với hai trục tọa độ một tứ giác có diện
tích bằng 12? − 2x − 3
+ 1−x
A. y = 3x + 7 . B. y = 3x + 2 . C. y = x 2 . D. y= .
x−4 x−2 x 5
√
x 4 − x2
Câu 312. Đồ thị hàm số y = x2 − 3x + 2 có bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 4. B.√3. C. 1. D. 2.
x2 − 1 − 3
Câu 313. Đồ thị hàm số y = x2 − 2x có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
47 | 102
√
x+9−3
Câu 314. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x2 + x là
A. 2. B. 0. √ C. 3. D. 1.
x+1− x+1
Câu 315. Đồ thị hàm số y = x2 + 2x có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A. 2. B. 0. C. 1. D. 3.
Câu 316. Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên R, có bảng biến thiên như sau:
x −∞ −1 0 2 +∞
f (x) −0+0−0+
2 1 +∞
f (x)
−2 −3
Hỏi đồ thị hàm số y = 1 có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận
f (x) + 2
ngang)?
A. 4. B. 3. C. 2. D. 5.
Câu 317. Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R \ {1} và có bảng biến thiên như hình sau.
Số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ x −∞ −2 1 2 +∞
−
thị hàm số y = g(x) = 1 − 3 là f (x) −0+ +0
2f (x) −∞
A. Không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. +∞ +∞ 3
B. 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
C. 2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng. f (x)
D. 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang.
2 −∞
Câu 318. Đồ thị hàm số y = sin 2x có bao nhiêu đường tiệm cận?
x C. 2. D. 3.
A. 0. √B. 1.
x + 3 + ax + b
Câu 319. Cho hàm số y = (x − 1)2 có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị hàm số (C) không có tiệm
cận đứng. Tính giá trị T = 2a − 3b.
A. 7 . B. − 11 . C. 19 . D. 3 .
2 4 4 2
2 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ
x+1
Câu 320. Biết đồ thị hàm số y = x − a có tiệm cận đứng đi qua điểm M (2; 3). Giá trị của a bằng
A. 2. B. 3. C. −3. D. −2.
ax + 1
Câu 321. Cho hàm số y = bx − 2 . Giả sử đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng và
1
đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang. Giá trị a + b là
A. 4. B. −3. C. 3. D. 0.
x+2
Câu 322. Cho hàm số y = x2 − mx + 4 có đồ thị (C). Tìm m để (C) có 3 đường tiệm cận.
A. m ∈ (−∞; −4) ∪ (4; +∞). B. m ∈ (−∞; −4) ∪ [4; +∞).
C. m ∈ (4; +∞). D. Không tồn tại m.
48 | 102
x−2
Câu 323. Có bao nhiêu giá trị m nguyên để đồ thị hàm số y = x2 − 3mx + m có đúng một tiệm cận
đứng?
A. 1. B. 4. C. 2. D. 3.
x+1
Câu 324. Tính tổng các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x2 − 2x + m có đúng hai đường
tiệm cận.
A. −4. B. 4. C. −2. D. 5.
Câu 325. Đồ thị hàm số y = mx2 − 2x + 1 có tiệm cận đứng và tiệm cận xiên (hoặc ngang) khi và chỉ
khi 2x + 1
A. m = 0. B. m = 4. C. m = −8. D. m = 8.
Câu 326. Tìm m để đồ thị hàm số y = √mx − x + m2 có hai đường tiệm cận ngang.
4x2 − x + 1
B. m ∈ R.
A. m = 1. C. m = 0. D. m > 1.
Câu 327. Cho hàm số y = x+3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn
+ 3m + 1
x4 − (3m + 2)x2
[−2019; 2019] của tham số m để đồ thị hàm số có 5 đường tiệm cận.
A. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2021. √
Câu 328. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số y = √ 1 + x + 1 có
x2 − mx − 3m
đúng hai tiệm cận đứng là
A. 0 < m ≤ 1 B. −12 < m ≤ 0. 1 m>0
. C. 0 < m < . D. m < −12.
2
2
√
√12 + 4x − x2
Câu 329. Cho hàm số y = x2 − 6x + 2m có đồ thị (Cm). Tìm tập S tất cả các giá trị của tham số
thực m để (Cm) có đúng hai tiệm cận đứng.
A. S = [8; 9). 9 9 D. S = (0; 9].
B. S = 4; . C. S = 4; .
2 2
√
Câu 330. Cho hàm số y = ax2 + bx − 2x. Đặt P = a + b. Tìm P biết hàm số có đường tiệm cận
ngang là y = 2.
A. P = 3. B. P = 8. C. P = 12. √D. P = 0.
Câu 331. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số y = √ 1 + x + 1 có đúng hai
x2 − mx − 3m
tiệm cận đứng.
A. (−∞; −12). B. (0; +∞). C. 1; 1 . D. 0; 1 .
42 2
Câu 332. Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d, biết hàm số đạt cực đại tại x = 3 và đạt cự√c tiểu tại
(x − 1) ( x + 2)
x = −2. Hỏi tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = g(x) =
(f (x) − f (1))
là?
A. 5. B. 3. C. 2. D. 1.
49 | 102
§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ
CỦA HÀM SỐ
I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ
• Tập xác định: Tìm tập xác định của hàm số.
• Sự biến thiên:
Xét chiều biến thiên của hàm số:
∗ Tìm các điểm tại nó đạo hàm y bằng 0 hoặc không xác định.
∗ Xét dấu đạo hàm y và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
Tìm cực trị.
Tìm các giới tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên. (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).
• Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Ghi chú.
a) Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục
tọa độ.
b) Nên lưu ý tính chẵn lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.
II HÀM SỐ Y = AX4 + BX2 + C a<0
a>0
phương trình
y =0
có ba nghiệm phân biệt
phương trình
y =0
có một nghiệm
50 | 102
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Toan 12_HKI_Cuon 1_edit
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search