PBL OPERASI VEKTOR

SMK KELAS X / FASE E
Kurikulum Merdeka

VEKTOR DAN
OPERASINYA

SMK Dharma Wanita Gresik
Jl Arif Rahman Hakim Gresik

MODUL AJAR MATEMATIKA KELAS X / FASE E
MATERI VEKTOR PADA DIMENSI DUA

A. Komponen Informasi Umum

Komponen Deskripsi

1. Informasi Umum Perangkat Ajar

Nama Penyusun : Etty Yulianti Pratiwi,S.Si,M.Pd

Nama Institusi : SMK Dharma Wanita Gresik

Tahun Pelajaran : 2022 – 2023

Jenjang Sekolah : Sekolah Menengah Kejuruan

Fase / Kelas :E/X

Materi : Vektor dan Operasinya

Sub Materi : Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Semester :1

Alokasi Waktu : 2 X 45 menit

2. Komponen Awal

Pengetahuan dan / atau 1. Menjelaskan notasi vektor

Keterampilan atau Kompetensi 2. Menjelaskan vektor ekuivalensi dan vektor negative

Prasyarat 3. Menjelaskan vektor dalam komponen – komponen sistem

koordinat

3. Profil Pelajar Pancasila

Profil pelajar Pancasila yang 1. Beriman dan bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa

berkaitan Melalui pembelajaran tentang Operasi penjumlahan dan

pengurangan vektor, peserta didik menyadari bahwa

Tuhan YME menghadirkan ilmu pengetahuan untuk

diterapkan dalam permasalahan kehidupan sehari – hari

2. Bergotong royong

Melalui kegiatan diskusi kelompok tentang pemecahan

masalah operasi vektor dalam kehidupan sehari – hari.

4. Sarana dan Prasarana 3. Bernalar Kritis
Media Menyelesaikan permasalahan operasi vektor dalam
Sarana kehidupan sehari – hari dengan efisien

Materi 4. Kreatif
Peserta didik kreatif dalam menyelesaikan permasalahan
Lingkungan Belajar vektor dalam kehidupan sehari – hari
5. Target Peserta Didik
6. Jumlah Peserta Didik Power Point
7. Model Pembelajaran 1. LCD Proyektor
B. Komponen Inti 2. Komputer/ Laptop
Capaian Pembelajaran : 3. Jaringan Internet
4. Penggaris
1. Menyajikan permasalahan vektor dalam komponen –

komponen koordinat
2. Memecahkan masalah berkaitan dengan operasi

penjumlahan vektor
3. Memecahkan masalah berkaitan dengan operasi

pengurangan vektor
1. Ruang Kelas
Siswa Reguler
15 siswa
Problem Based Learning

Diakhir fase E, peserta didik dapat menginterpretasikan ekspresi Eksponensial. Menggunakan
system persamaan linier tiga variabel , sistem pertidaksamaan linier dua variabel , fungsi kuadrat
dan fungsi eksponensial dalam menyelesaikan masalah. Peserta didik juga dapat melakukan
Operasi Vektor.

1. Tujuan Pembelajaran

Peserta didik mampu memecahkan permasalahan yang

2. IKTP berkaitan dengan operasi vektor dalam kehidupan sehari –
Indikator ketercapaian tujuan hari
pembelajaran
1. Melalui pembelajaran berbasis masalah peserta didik
3. Pemahaman Bermakna mampu menentukan operasi penjumlahan dan
pengurangan pada vektor dimensi dua secara bergotong
4. Pertanyaan Pemantik royong, bernalar kritis dan kreatif
5. Persiapan Pembelajaran
2. Melalui pembelajaran berbasis masalah, peserta didik
mampu memecahkan permasalahan berkaitan dengan
operasi penjumlahan dan pengurangan vektor secara
bergotong royong, bernalar kritis dan kreatif

Setelah mempelajari materi dengan bergotong royong ,
bernalar kritis dan kreatif diharapkan peserta didik dapat
memahami bahwa penerapan vektor sangat banyak dalam
kehidupan sehari – hari. Contohnya pada penggunaan GPS
(Global Positioning System) dalam navigasi
1. Pernahkah kalian mendengar tentang vektor ?
2. Apakah yang dimaksud dengan vektor ?
3. Apakah kalian tahu perbedaan antara vektor dan skalar ?
1. Memastikan modul dan bahan ajar sudah ada dan siap

digunakan dalam pembelajaran
2. Memastikan LKPD sudah lengkap sebanyak jumlah

peserta didik yang mengikuti pembelajaran.
3. Memastikan tersedianya assessment formatif (sikap dan

keterampilan) dan sumatif (materi vektor pada dimensi
dua) yang digunakan untuk mengukur capaian peserta
didik

Kegiatan Pembelajaran

Kegiatan Pendahuluan

Kegiatan Orientasi

1. Kegiatan dimulai dengan ketua kelas menyiapkan peserta didik dan berdoa. Peserta didik

yang diminta memimpin doa adalah peserta didik yang dating paling awal (Beriman dan

bertakwa, Disiplin/PPK)

2. Guru menanyakan keadaan peserta didik dan kesiapan belajar peserta didik, apakah seluruh

peserta didik sehat dan siap memulai pembelajaran.

3. Guru mengecek kehadiran peserta didik

4. Guru mengarahkan peserta didik untuk membuat kesepakatan kelas bersama yang akan

dipatuhi selama proses pembelajaran.

Kegiatan Apersepsi
Guru memberikan apersepsi dengan kegiatan tanya jawab tentang materi sebelumnya :

1. Apakah kalian masih ingat tentang apa yang dimaksud dengan vektor ?

2. Apakah kalian dapat memberikan contoh penerapan vektor dalam kegiatan sehari – hari ?

3. Apakah kalian masih ingat yang dimaksud dengan dua buah vektor itu dikatakan sama / ekuivalen?

Kegiatan Motivasi

1. Guru menyampaikan pentingnya materi hari ini berkaitan dengan kehidupan sehari – hari

2. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran

3. Guru menyampaikan aktivitas atau kegiatan pokok pembelajaran, serta penilaian yang akan

dilakukan pada hari ini

Kegiatan Inti

Syntax Model Kegiatan Pembelajaran

Pembelajaran

Orientasi peserta didik 1. Guru meminta peserta didik untuk mengamati PPT dan Video

pada masalah tentang manfaat Vektor dalam kehidupan sehari – hari (Diferensiasi

Konten)

Guru melakukan diferensiasi proses berdasarkan berdasarkan
kesiapan belajar peserta didik.
1. Guru menanyakan langsung apa yang dimaksud dengan

vektor ?(pada peserta didik yang telah memahami materi)
2. Dengan menggunakan bantuan salah satu gambar

guru menanyakan mengapa gambar anak
bermain layang – layang ini bisa dikatakan
penerapan vektor ?
(pada peserta didik yang kurang memahami
materi)

3. Guru bertanya tentang materi yang belum dipahami peserta didik
dan membimbing peserta supaya paham dengan proses tanya
jawab. (pada peserta didik yang belum memahami materi)

Mengorganisir peserta 1. Peserta didik dikelompokkan dalam kelompok diskusi yang
didik untuk belajar beranggotakan 3 -4 orang sesuai dengan kesiapan belajar peserta
didik. (Collaboration-4C)
Membimbing penyelidikan
2. Guru membagikan LKPD pada masing – masing anggota kelompok
3. Peserta didik melakukan diskusi dalam kelompoknya masing –

masing berdasarkan petunjuk yang ada dalam LKPD dapat dilakukan
di dalam maupun diluar kelas (diferensiasi proses) (Mengasosiasi)
4. Guru memantau keterlibatan peserta didik dalam kelompok saat
mendiskusikan permasalahan yang terdapat dalam LKPD
(Collaboration, Communication-4C)
1. Guru berkeliling mencermati peserta didik dalam kelompok belajar
dan memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk bertanya
apabila mengalami kesulitan
2. Guru memberikan bantuan kepada peserta didik dalam kelompok
untuk masalah – masalah yang dianggap sulit oleh peserta didik

Mengembangkan dan 3. Guru mengarahkan peserta didik dalam kelompok untuk
menyajikan hasil karya menyelesaikan permasalahan dengan cermat dan teliti. Collaboration,
Communication-4C)
Menganalisis dan
mengevaluasi proses 1. Salah satu perwakilan kelompok membacakan hasil kegiatan diskusi
pemecahan masalah dengan kelompoknya secara bergiliran Collaboration,
Communication-4C) (Mengkomunikasikan)

2. Guru memberikan penguatan dan evaluasi dari proses diskusi
1. Guru memberikan kesempatan kepada kelompok lain untuk memberi

tanggapan atau pertanyaan (Collaboration, Communication-4C)
2. Guru memberikan penguatan dan evaluasi dari proses diskusi

Penutup 1. Guru membimbing siswa untuk menyimpulkan materi penjumlahan
dan pengurangan vektor pada dimensi dua secara teori, maupun
secara grafis.

2. Guru dan siswa merefleksikan kegiatan pembelajaran yang telah
dilakukan

3. Guru memberikan quis sebagai evaluasi pembelajaran hari ini.
4. Guru menyampikan tindak lanjut dari pembelajaran hari ini dan

memberithukan materi apa yang akan dipelajari dipertemuan
berikutnya
5. Guru memberikan pesan moral misal tetap semangat untuk belajar
6. Guru meminta ketua kelas memimpin doa setelah pembelajaran
selesai. (Religius-PPK)
7. Guru menutup pelajaran dengan salam.

C. Assesment

1. Assesment Diagnostik
Dilaksanakan di Awal Pembelajaran terkait kesiapan belajar , minat , bakat dan gaya belajar

2. Dilaksanakan selama proses pembelajaran mengenai menggambar grafik fungsi kuadrat dan
mengacu pada tujuan pembelajaran dengan bentuk assesmen yang relevan dengan karakteristik
kompetensi yang termuat pada tujuan pembelajaran

3. Assesmen Sumatif
Dilaksanakan pada akhir satu lingkup materi untuk mengukur ketercapaian kompetensi
esensial yang sudah dipelajari

D. PENGAYAAN DAN REMEDIAL

1. Kegiatan Remedial
a. Pembelajaran remedial diberikan kepada peserta didik yang belum memenuhi kriteria
ketuntasan minimal
b. Pembelajaran remedial dilakukan dengan pembelajaran klasikal yang dibantu dengan
teknik tutor sebaya
c. Tes remedial maksimal dilakukan sebanyak 2 kali. Apabila peserta didik tetap belum
memenuhi kriteri ketuntasan minimal (KKM) diberikan penugasan

2. Kegiatan Pengayaan
Peserta didik yang sudah mencapai nilai ketuntasan minimal diberikan pengayaan dengan
memberikan materi pengembangan sesuai CP. Peserta didik mengerjakan permasalahan
HOTs atau soal AKM secara mandiri.

E. Penilaian Diri
Pertanyaan Kunci :

1. Hal apa yang kamu peroleh setelah mempelajari operasi vektor ?
2. Apa yang menjadi kekurangan dalam pembelajaran yang sudah dilakukan ?
3. Kesulitan apa yang kamu rasakan selama mengikuti pembelajaran secara berkelompok ?
4. Bagaimana cara mengatasi kesulitan tersebut ?

5. Adakah cara belajar lain yang lebih efektif dalam belajar materi ini ?

F. Refleksi Guru
Pertanyaan Kunci :

a. Manajemen Kelas ( Peserta Didik Belajar )
1. Apakah suasana pembelajaran hari ini menyenangkan ?
2. Apa kekurangan dari kondisi pembelajaran hari ini yang Ananda rasakan ?
3. Bagaimana seharusnya guru mengkondisikan pembelajaran , agar pembelajaran
menyenangkan?
4. Apakah pengelolaan pembelajaran yang dilakukan guru sudah sesuai dengan harapanmu ?
5. Untuk pembelajaran yang akan dating , apa yang kamu harapkan agar guru dapat
memfasilitasi pembelajaran yang optimal ?

b. Ketercapaian Kompetensi (Peserta didik memahami materi pembelajaran )
1. Apakah pembelajaran hari ini mudah kamu pahami ?
2. Apakah komunikasi guru dalam penyampaian materi pembelajaran dapat diterima dengan
jelas?
3. Apakah penjelasan materi pembelajaran yang disampaikan guru sistematis dan mudah
dipahami ?
4. Bagian materi pelajaran mana yang kamu anggap sulit ?
5. Model pembelajaran bagaiman yang kamu inginkan agar dapat belajar dengan baik ?

Mengetahui Gresik, 28 Nopember 2022
Kepala SMK Dharma wanita Gresik Guru Mata Pelajaran,

Ratna Sunarsasi,S.Pd Etty Yulianti Pratiwi,S.Si,M.Pd
NIP 19651023 198903 2 008

LAMPIRAN 4. Pedoman Observasi

Pedoman Observasi Sikap (Profil Pelajar Pancasila)
Petunjuk Observasi
Lembaran ini diisi oleh guru untuk menilai sikap peserta didik. Berilah tanda cek (v) pada
kolom skor sesuai sikap yang ditampilkan oleh peserta didik, dengan kriteria sebagai berikut:
4 = selalu, apabila selalu melakukan sesuai pernyataan
3 = sering, apabila sering melakukan sesuai pernyataan dan kadang-kadang tidak

melakukan
2 = kadang-kadang, apabila kadang-kadang melakukan dan sering tidak melakukan
1 = tidak pernah, apabila tidak pernah melakukan

Nama Peserta Didik : ………………….

Kelas : ………………….

Tanggal Pengamatan : …………………..

Materi Pokok : …………………..

sNo. Aspek Pengamatan Skor Keterangan
1 234

1 Menambah rasa keimanan akan keberadaan

dan kebesaran Tuhan saat mempelajari

Aplikasi Trigonometri pada Soal Cerita.

2 Berdoa sebelum dan sesudah melakukan

sesuatu.

3 Bertanggung Jawab terhadap tugas yang

sNo. Aspek Pengamatan Skor Keterangan
1 234

diberikan
s4 Bernalar Kritis
5 Kreatif

Jumlah Skor
Petunjuk Penskoran

Baik Sekali : apabila memperoleh skor 16 - 20

Baik : apabila memperoleh skor 11 - 15

Cukup : apabila memperoleh skor 6 - 10

Kurang : apabila memperoleh skor 1 –5

Pedoman Observasi Penilaian Performa Peserta Didik (DIskusi Kelompok)

Petunjuk Observasi
Lembaran ini diisi oleh guru untuk menilai Performa peserta didik. Berilah tanda cek (v)
pada kolom skor sesuai Performa yang ditampilkan oleh peserta didik, dengan kriteria
sebagai berikut:

4 = selalu, apabila selalu melakukan sesuai pernyataan
3 = sering, apabila sering melakukan sesuai pernyataan dan kadang-kadang tidak

melakukan
2 = kadang-kadang, apabila kadang-kadang melakukan dan sering tidak melakukan
1 = tidak pernah, apabila tidak pernah melakukan

Nama Peserta Didik : ………………….

Kelas : ………………….

Tanggal Pengamatan : …………………..

Materi Pokok : …………………..

No Aspek Pengamatan Skor Ketera

1 Melaksanakan tugas kelompok 1 2 3 4 ngan
dengan baik

2 Bekerja sama dengan anggota
kelompok dalam menyelesaikan
tugas

3 Memberikan pendapat dalam
diskusi kelompok

4 Mendengarkan dan menghargai
pendapat teman
Jumlah Skor

Petunjuk Penskoran

Baik Sekali : apabila memperoleh skor 13 - 16

Baik : apabila memperoleh skor 9 - 12

Cukup : apabila memperoleh skor 5 - 8

Kurang : apabila memperoleh skor 1 – 4

DAFTAR MEDIA PEMBELAJARAN

Materi :Vektor dan Operasinya

Capaian Pembelajaran : Diakhir fase E, peserta didik dapat menginterpretasikan
ekspresi Eksponensial. Menggunakan system persamaan linier
tiga variabel , sistem pertidaksamaan linier dua variabel , fungsi
kuadrat dan fungsi eksponensial dalam menyelesaikan masalah.
Peserta didik juga dapat melakukan Operasi Vektor.

Tujuan Pembelajaran: Melalui pembelajaran model Problem Based Learning (PBL) peserta
didik mampu mengembangkan nilai karakter bergotong royong,
bernalar kritis dan kreatif dalam memecahkan permasalahan
yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan pengurangan
vektor.

No Media Sumber Keterangan
1 PPT PPT ini digunakan

pada saat awal
pembelajaran

2. Video Tayangan youtube
digunaka sebagai
Link : https://youtu.be/JM8yws1YXuc motivasi belajar
penerapan operasi
3. LKPD
pennjumlahan
dalam kehidupan

sehari - hari

LKPD ini digunakan
sebagai panduan

peserta didik untuk
menyelesaikan
pembelajaran
berbasis masalah

4. Penggaris Digunakan oleh
dan peserta didik untuk
busur menggambar
vektor



Capaian Pembelajaran

Diakhir fase E, peserta didik dapat menginterpretasikan ekspresi Eksponensial.
Menggunakan system persamaan linier tiga variabel , sistem pertidaksamaan linier
dua variabel , fungsi kuadrat dan fungsi eksponensial dalam menyelesaikan masalah.
Peserta didik juga dapat melakukan Operasi Vektor.

Tujuan Pembelajaran

Melalui pembelajaran model Problem Based Learning (PBL) peserta didik mampu
mengembangkan nilai karakter bergotong royong, bernalar kritis dan kreatif dalam
memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan
pengurangan vektor.

 PENDAHULUAN

 Sejarah Vektor

Josiah Willard Gibbs (11 Februari 1839 – 28 April 1903) adalah
fisikawan matematika Amerika Serikat yang menyumbang
banyak pada pendirian teoretis termodinamika kimia. Sebagai
matematikawan dan fisikawan, ia adalah penemu analisis vektor.
ia adalah orang pertama di Amerika Serikat yang menerima PhD
dalam teknik mesin (Yale). Ia adalah salah satu fisikawan teoretis
di Amerika dan barangkali salah satu kimiawan teoretis awal.
Gelar Gibbs Professorship of Physics and Chemistry dinamai
menurut namanya.

 Manfaat Vektor Dalam Kehidupan Sehari – hari

Google Maps adalah layanan pemetaan web yang
dikembangkan Google. Dalam Google Maps, Anda dapat
melihat citra satelit, foto udara, peta jalan, pemandangan
jalan panorama interaktif 360° (Street View), kondisi lalu
lintas dalam waktu nyata, dan perencanaan rute untuk
bepergian dengan berjalan kaki, mobil, sepeda, udara
(dalam versi beta) dan transportasi umum. Pada tahun
2020 ini, Google Maps telah digunakan oleh lebih dari 1
miliar orang setiap bulannya.

Google Maps adalah peta online gratis dari Google. Peta ini dapat diakses melalui browser web
Anda atau sebagai aplikasi untuk perangkat seluler. Anda dapat menggunakan Google Maps untuk
mendapatkan petunjuk arah langkah demi langkah, menemukan informasi tentang bisnis lokal,
dan banyak lagi lainnya

Sarana transportasi darat, laut, maupun udara
masing-masing memiliki peluang yang sama untuk terjadinya
kecelakaan. Apabila kecelakaan teradi di tengah lautan lepas
tentunya kapal yang mengalami kerusakan hars dibawa ke
pelabuhan terdekat untuk segera diperbaiki.

Untuk menarik kapal tersebut dibutuhkan dua buah kapal dengan dilengkapi kawat baja. Agar kapal dapat
sampai ke pelabuhan yan dituju dan posisi kapal selama perjalanan tetap stabil besar gaya yang dibutuhkan
oleh masing-masing kapal penarik dan sudut yang di bentuk oleh kawat baja harus diperhitungkan dengan
cermat.

Dalam dunia desain komputer, vektor digunakan
untuk pembuatan grafis. Grafis adalah gambar yang
tersusun dari koordinat-koordinat yang sudah
ditentukan. Dengan ini, sumber gambar yang muncul
pada layar monitor komputer terdiri dari titik-titik
yang mempunyai koordinat. Monitor berfungsi sebgai
sumbu koordinat x dan y.

Grafis vektor adalah objek gambar yang dibentuk dengan kombinasi titik-titik dan garis dengan
menggunakan rumusan matematika tertentu

MATERI AJAR

Pengertian Vektor

Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang mempunyai besar dan
arah. Secara grafis suatu vektor ditunjukkan sebagai potongan garis
yang mempunyai arah. Besar atau kecilnya vektor ditentukan oleh
panjang atau pendeknya potongan garis. Sedangkan arah vektor
ditunjukkan dengan tanda anak panah.

Vektor di R2

Vektor dalam ruang berdimensi dua ditulis dengan R2 atau R2. Untuk menyajikan vektor

di R2, diperlukan susunan sumbu-sumbu koordinat. Untuk memudahkan perhitungan dipilih

susunan sumbu-sumbu yang saling tegak lurus, yaitu sumbu mendatar atau sumbu X dan

sumbu vertikal atau sumbu Y.

Vektor di R2 ditandai dengan berapa jauh perpindahan ke kanan atau ke kiri dan berapa

jauh perpindahan ke atas atau ke bawah. Perpindahan ke kanan diberi tanda positif, ke kiri

diberi tanda negatif, perpindahan ke atas diberi tanda positif, dan ke bawah diberi tanda

negatif. Dengan demikian vektor pada R2 dinyatakan dalam dua komponen mendatar dan

vertikal.

̅̅ ̅ ̅ artinya perpindahan dari titik A ke titik B. Pada Gambar. 1 terlihat titik A(1,1)
(11)
dan dituliskan sebagai vektor kolom ̅ = dan titik B(4,3) dituliskan sebagai vektor kolom
̅ = (43)

Gambar.1 Vektor pada dimensi
dua

OPERASI ALJABAR VEKTOR
1 Penjumlahan Vektor

Diberikan dua vektor ̅ dan vektor ̅ . Vektor ketiga yaitu vektor ̅ diperoleh
dengan menjumlahkan vektor ̅ dan vektor ̅ . Jadi, ̅ = ̅ + ̅ . Vektor ̅ dapat
ditentukan dengan cara segitiga dan cara jajar genjang.

a. Cara Segitiga
Perhatikan Gambar 2

b bb

aa a
(i) (ii)

Gambar 2. Penjumlahan vektor (i) cara segitiga (ii) cara jajar genjang

Jumlah vektor ̅ dan vektor ̅ yang merupakan vektor ̅ dapat ditentukan
dengan memindahkan vektor ̅ (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga titik
pangkal vektor b berimpit dengan titik ujung vektor ̅ . Vektor ̅ diperoleh dengan
menghubungkan titik pangkal vektor ̅ dengan titik ujung vektor ̅ yang telah
dipindahkan. Penjumlahan vektor ini dikenal dengan cara segitiga.

b. Cara Jajar Genjang
Jumlah dari vektor ̅ dan vektor ̅ adalah vektor ̅ yang dapat ditentukan

dengan memindahkan vektor ̅ (tanpa mengubah panjang dan arahnya) sehingga
titik pangkal vektor ̅ berimpit dengan titik pangkal vektor ̅ .

Vektor ̅ yang dimaksud adalah vektor yang titik pangkalnya di titik pangkal
persekutuan vektor ̅ dan vektor ̅ , serta titik ujungnya adalah titik sudut keempat
dari jajar genjang yang dibentuk ̅ dan vektor ̅ . Cara menjumlahkan vektor seperti
ini dikenal dengan cara jajar genjang Gambar 3.

Perhatikan Gambar 3 dari cara segitiga terlihat bahwa:
̅ = ̅ + ̅ .
̅̅ ̅ ̅ = ̅ ̅ ̅ ̅ + ̅̅ ̅ ̅ .

2. Pengurangan Vektor

Lawan suatu vektor
Lawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor a adalah suatu vektor yang

apabila dijumlahkan dengan vektor ̅ menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor a ditulis
dengan - ̅ . Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah,

Gambar 4. Lawan dari sebuah vektor

lawan dari vektor a adalah vektor yang panjangnya sama dengan vektor a , tetapi
arahnya berlawanan dengan vektor a . Jadi, setiap vektor a mempunyai invers jumlah
(lawan).

Sebab: ̅ + (- ̅ ) = (- ̅ ) + ̅ = o

Diberikan 2 buah vektor, yaitu vektor ̅ dan vektor ̅ . Misalkan selisih vektor ̅
dengan vektor ̅ . adalah vektor ̅ yang diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor ̅
dengan lawan vektor Secara geometris selisih (pengurangan) vektor ̅ dan vektor ̅

dapat diperlihatkan pada Gambar
Gambar 5. Pengurangan vektor

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK
(LKPD)

OPERASI VEKTOR

Mata Pelajaran : Matematika
Materi : Vektor dan Operasinya

Sub Materi : Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Kelas / Semester : X / Ganjil
Tahun Pelajaran : 2022 / 2023
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

Tujuan Pembelajaran

Melalui pembelajaran model Problem Based Learning (PBL) peserta didik mampu
mengembangkan nilai karakter bergotong royong, bernalar kritis dan kreatif dalam
memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan
pengurangan vektor.

Petunjuk

 Bacalah lembar kerja berikut dengan cermat
 Isilan dengan benar sesuai dengan langkah yang

diberikan
 Diskusikan dengan kelompokmu untuk mendapatkan

penyelesaian yang tepat
 Tanyakan kepada gurumu jika ada yang kurang dipahami
 Yakinkan bahwa setiap anggota kelompok mengetahui

penyelesaiannya

Penjumlahan Vektor

PEMAHAMAN BERMAKNA

Pernahkah kalian menggunakan aplikasi Google Maps ?
Apa yang kalian ingat jika kalian mendengar kata – kata Google Maps ?

Google Maps adalah layanan pemetaan web yang dikembangkan Google. Dalam Google
Maps, Anda dapat melihat citra satelit, foto udara, peta jalan, pemandangan jalan panorama
interaktif 360° (Street View), kondisi lalu lintas dalam waktu nyata, dan perencanaan rute untuk
bepergian dengan berjalan kaki, mobil, sepeda, udara (dalam versi beta) dan transportasi umum.
Pada tahun 2020 ini, Google Maps telah digunakan oleh lebih dari 1 miliar orang setiap bulannya.

Google Maps adalah peta online gratis dari Google. Peta ini dapat diakses melalui browser
web Anda atau sebagai aplikasi untuk perangkat seluler. Anda dapat menggunakan Google Maps
untuk mendapatkan petunjuk arah langkah demi langkah, menemukan informasi tentang bisnis
lokal, dan banyak lagi lainnya mengutip dari
sumber : edu.gcfglobal.org.

Pertanyaan Pemantik

Masih ingatkah kalian cerita tentang Kancil
dan Buaya. Si Kancil dibantu untuk

menyeberang sungai oleh buaya. Si Kancil
yang menyeberang ini merupakan salah satu

contoh penerapan vektor

Pengertian Vektor

Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang
mempunyai besar dan arah. Secara grafis suatu
vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang
mempunyai arah. Besar atau kecilnya vektor
ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan
garis. Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan
tanda anak panah.

KEGIATAN 1
Liburan semester yang akan datang, Anton ingin sekali bertemu dengan teman lamanya

waktu SMP dulu yang bernama Sinta. Anton dan Sinta berencana bertemu di Taman Kota yang
tidak jauh dari rumah Sinta. Tapi sayangnya, Anton tidak tahu dimana tepatnya taman kota
tersebut. Kemudian Sinta menjelaskan arah ke taman kota. “Kamu berangkat dari mana, Ton?”
ujar Sinta. “Nanti saya naik bis dan turun di terminal bis, jadi kamu kasih petunjuknya dimulai
dari terminal bis saja ya…,” ujar Anton.
“Oh ya, tidak jauh kok dari terminal bis. Dari terminal bis kamu jalan saja
ke arah utara sejauh 20 m, kemudian ke timur 13 m, kemudian ke arah
selatan 10 m. Nah….nanti aku menunggu kamu di situ," ujar Sinta.
1. Gambarkan ilustrasi perjalanan Anton dari terminal bis ke taman kota ?

2. Berapa jarak yang ditempuh Anton untuk sampai ke taman kota?

Penjumlahan Vektor

Permasalahan C
Pernahkan kalian menggunakan aplikasi Google maps ? B

Google maps adalah sebuah aplikasi peta online yang
dimanfaatkan untuk menunjukkan rute perjalanan menuju
suatu lokasi.

Selain itu, Google Maps juga dapat memberikan

informasi terkait kondisi jalan. Seperti jalan lancer , padat

merayap hingga macet total. Bahkan Google Maps dapat

membeimbing sekaligus menjadi mentor perjalanan dengan

fiturnya yang senantiasa mengingatkan untuk persiapan

menghadapi tikungan melalui pesan suara pada aplikasi A

tersebut. Gambar 1. Rute Perjalanan melalui Aplikasi
Googke Maps

Seorang pengguna aplikasi Google Maps memiliki rute perjalanan dari Mall Senayan City
menuju kompleks taman Ria Senayan. Adapun rute perjalanan yang akan dilalui pengguna
aplikasi tersebut yaitu bergerak kea rah utara 1300 m lalu berbelok kearah timur laut sejauh
600m.

Berdasarkan informasi yang didapatkan dari aplikasi tersebut, diperoleh bahwa waktu
yang dibutukan menuju lokasi tujuan yaitu 3 menit dengan menggunakan transportasi motor
ataupun mobil. Selain itu, dari tangkapan layar terlihat bahwa jarak yang ditempuh orang
tersebut sebesar 1,9 km. Namun, sebenarnya berapakah besar perpindahan yang dialami
pengguna aplikasi tersebut ? karena jika dilakukan pengukuran dari posisi awal hingga akhir
Google Maps tidak ada rute perjalnan yang langsung ke lokasi tujuan.

Apakah ada metode khusus untuk menentukan besar perpindahan ? Dengan
metode apakah yang paling tepat ?

Penjumlahan Vektor

Sebelum kamu menyelesaikan masalah diatas, manfaatkan pengetahuan dan keterampilan
yang sudah kamu miliki untuk menemukan aturan , hubungan dan struktur – struktur yang
belum diketahui dalam permasalahan. Jika kamu masih kesulitan juga, ikuti petunjuk berikut !

Secara garis besar untuk menentukan perpindahan dari sebuah objek yang dilakukan
dengan dua acara yaitu :

1. Metode menggambar
- Metode Poligon
- Metode Jajar genjang

Jika kita anggap : A = Mall Senayan City
B = Hotel Mulia
C = Taman Ria Senayan

1. Pada permasalahan diatas , Tentukan Perpindahan Objek dengan menggunakan
Metode Poligon
Metode Poligon adalah cara menggambarkan penjumlahan dua buah vektor atau lebih
dengan saling menghubungkan pangkal vektor ke ujung vektor yang lain sedemikian
rupa hingga vektor terakhir.
Langkah pengerjaan :
1. Lukis vektor A
2. Lukis Vektor B , dengan pangkalnya berimpit di ujung vektor A
3. Vektor resultan atau vektor hasil penjumlahannya diperoleh dengan menghubungkan
pangkal vektor A dengan ujung dari vektor yang terakhir dilukis.

Hasil penjumlahan vektor ̅ + ̅ = ⋯

2. Pada permasalahan diatas , Tentukan Perpindahan Objek dengan menggunakan
Metode Jajar Genjang
Metode Jajargenjang adalah metode penjumlahan dua buah vektor ditempat yang sama,
sehingga hasil kedua vektornya merupakan diagonal jajargenjang.
Langkah pengerjaan :
1. Lukis vektor A dan vektor B dengan titik pangkal berimpit
2. Lukis vektor bayangan A’ dan B’ hingga membentuk seperti jajargenjang
3. Resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang tidak pangkalnya sama
dengan titik pangkal kedua vektor.

Hasil penjumlahan vektor ̅ + ̅ = ⋯

Berdasarkan metode Poligon dan Jajar Genjang maka dapat dibuat
kesimpulan :

Jika vektor ̅ = (…. , ….)
̅ = (…. , ….)

Maka ̅ + ̅ = (… . + ⋯ . , … . + ⋯ . )

Pengurangan Vektor
Permasalahan

Misalkan Burung merpati berada pada posisi (2,10) akan menolong semut merah yang berada
pada koordinat (5, 2).
1. Gambarkan vektor posisi burung merpati , semut merah dan vektor perpindahan burung

merpati ke semut merah paada koordinat Cartesius dibawah ini

2. Setelah kalian menggambarkan pada koordinat Cartesius. Berapakah Vektor Posisi burung
merpati ke semut merah ?

3. Tunjukkan dengan menggunakan metode Poligon dan Motode Jajargenjang untuk
menyelesaikan permasalahan diatas !
 Metode Poligon
Langkah pengerjaan :
a) Gambar A pada kertas dengan skala panjang yang sesuai.
b) Kemudian gambar B dengan skala yang sesuai dimulai dari ujung panah milik A.
c) Pastikan ujung panah A bertemu dengan pangkal B.
d) Gambar B sama besar tetapi dengan arah yang berlawanan dan tandai sebagai –B

Hasil pengurangan vektor ̅ − ̅ = ⋯

 Metode Jajar Genjang
Langkah pengerjaan :
a) Gambar A pada kertas dengan skala panjang yang sesuai.
b) Kemudian gambar B dengan skala yang sesuai dimulai dari ujung panah milik A.
c) Pastikan ujung panah A bertemu dengan pangkal B.
d) Gambar B sama besar tetapi dengan arah yang berlawanan dan tandai sebagai –B

Hasil pengurangan vektor ̅ − ̅ = ⋯

Berdasarkan metode Poligon dan Jajar Genjang maka dapat dibuat
kesimpulan :

Jika vektor ̅ = (…. , ….)
̅ = (…. , ….)

Maka ̅ − ̅ = (… . − ⋯ . , … . − ⋯ . )

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK
(LKPD)

OPERASI VEKTOR

Mata Pelajaran : Matematika
Materi : Vektor dan Operasinya

Sub Materi : Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Kelas / Semester : X / Ganjil
Tahun Pelajaran : 2022 / 2023
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

Tujuan Pembelajaran

Melalui pembelajaran model Problem Based Learning (PBL) peserta didik mampu
mengembangkan nilai karakter bergotong royong, bernalar kritis dan kreatif dalam
memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan
pengurangan vektor.

Petunjuk

 Bacalah lembar kerja berikut dengan cermat
 Isilan dengan benar sesuai dengan langkah yang

diberikan
 Diskusikan dengan kelompokmu untuk mendapatkan

penyelesaian yang tepat
 Tanyakan kepada gurumu jika ada yang kurang dipahami
 Yakinkan bahwa setiap anggota kelompok mengetahui

penyelesaiannya

Penjumlahan Vektor

PEMAHAMAN BERMAKNA

Pernahkah kalian menggunakan aplikasi Google Maps ?
Apa yang kalian ingat jika kalian mendengar kata – kata Google Maps ?

Google Maps adalah layanan pemetaan web yang dikembangkan Google. Dalam Google
Maps, Anda dapat melihat citra satelit, foto udara, peta jalan, pemandangan jalan panorama
interaktif 360° (Street View), kondisi lalu lintas dalam waktu nyata, dan perencanaan rute untuk
bepergian dengan berjalan kaki, mobil, sepeda, udara (dalam versi beta) dan transportasi umum.
Pada tahun 2020 ini, Google Maps telah digunakan oleh lebih dari 1 miliar orang setiap bulannya.

Google Maps adalah peta online gratis dari Google. Peta ini dapat diakses melalui browser
web Anda atau sebagai aplikasi untuk perangkat seluler. Anda dapat menggunakan Google Maps
untuk mendapatkan petunjuk arah langkah demi langkah, menemukan informasi tentang bisnis
lokal, dan banyak lagi lainnya mengutip dari
sumber : edu.gcfglobal.org.

Pertanyaan Pemantik

Masih ingatkah kalian cerita tentang Kancil
dan Buaya. Si Kancil dibantu untuk

menyeberang sungai oleh buaya. Si Kancil
yang menyeberang ini merupakan salah satu

contoh penerapan vektor

Pengertian Vektor

Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang
mempunyai besar dan arah. Secara grafis suatu
vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang
mempunyai arah. Besar atau kecilnya vektor
ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan
garis. Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan
tanda anak panah.

KEGIATAN 1
Liburan semester yang akan datang, Anton ingin sekali bertemu dengan teman lamanya

waktu SMP dulu yang bernama Sinta. Anton dan Sinta berencana bertemu di Taman Kota yang
tidak jauh dari rumah Sinta. Tapi sayangnya, Anton tidak tahu dimana tepatnya taman kota
tersebut. Kemudian Sinta menjelaskan arah ke taman kota. “Kamu berangkat dari mana, Ton?”
ujar Sinta. “Nanti saya naik bis dan turun di terminal bis, jadi kamu kasih petunjuknya dimulai
dari terminal bis saja ya…,” ujar Anton.
“Oh ya, tidak jauh kok dari terminal bis. Dari terminal bis kamu jalan saja
ke arah utara sejauh 20 m, kemudian ke timur 13 m, kemudian ke arah
selatan 10 m. Nah….nanti aku menunggu kamu di situ," ujar Sinta.
1. Gambarkan ilustrasi perjalanan Anton dari terminal bis ke taman kota ?

2. Berapa jarak yang ditempuh Anton untuk sampai ke taman kota?

Penjumlahan Vektor

Permasalahan C
Pernahkan kalian menggunakan aplikasi Google maps ? B

Google maps adalah sebuah aplikasi peta online yang
dimanfaatkan untuk menunjukkan rute perjalanan menuju
suatu lokasi.

Selain itu, Google Maps juga dapat memberikan

informasi terkait kondisi jalan. Seperti jalan lancer , padat

merayap hingga macet total. Bahkan Google Maps dapat

membeimbing sekaligus menjadi mentor perjalanan dengan

fiturnya yang senantiasa mengingatkan untuk persiapan

menghadapi tikungan melalui pesan suara pada aplikasi A

tersebut. Gambar 1. Rute Perjalanan melalui Aplikasi
Googke Maps

Seorang pengguna aplikasi Google Maps memiliki rute perjalanan dari Mall Senayan City
menuju kompleks taman Ria Senayan. Adapun rute perjalanan yang akan dilalui pengguna
aplikasi tersebut yaitu bergerak kea rah utara 1300 m lalu berbelok kearah timur laut sejauh
600m.

Berdasarkan informasi yang didapatkan dari aplikasi tersebut, diperoleh bahwa waktu
yang dibutukan menuju lokasi tujuan yaitu 3 menit dengan menggunakan transportasi motor
ataupun mobil. Selain itu, dari tangkapan layar terlihat bahwa jarak yang ditempuh orang
tersebut sebesar 1,9 km. Namun, sebenarnya berapakah besar perpindahan yang dialami
pengguna aplikasi tersebut ? karena jika dilakukan pengukuran dari posisi awal hingga akhir
Google Maps tidak ada rute perjalnan yang langsung ke lokasi tujuan.

Apakah ada metode khusus untuk menentukan besar perpindahan ? Dengan
metode apakah yang paling tepat ?

Penjumlahan Vektor

Sebelum kamu menyelesaikan masalah diatas, manfaatkan pengetahuan dan keterampilan
yang sudah kamu miliki untuk menemukan aturan , hubungan dan struktur – struktur yang
belum diketahui dalam permasalahan. Jika kamu masih kesulitan juga, ikuti petunjuk berikut !

Secara garis besar untuk menentukan perpindahan dari sebuah objek yang dilakukan
dengan dua acara yaitu :

1. Metode menggambar
- Metode Poligon
- Metode Jajar genjang

Jika kita anggap : A = Mall Senayan City
B = Hotel Mulia
C = Taman Ria Senayan

1. Pada permasalahan diatas , Tentukan Perpindahan Objek dengan menggunakan
Metode Poligon

Hasil penjumlahan vektor ̅ + ̅ = ⋯

2. Pada permasalahan diatas , Tentukan Perpindahan Objek dengan menggunakan
Metode Jajar Genjang

Hasil penjumlahan vektor ̅ + ̅ = ⋯
Berdasarkan metode Poligon dan Jajar Genjang maka dapat dibuat
kesimpulan :
Jika vektor ̅ = (…. , ….)

̅ = (…. , ….)
Maka ̅ + ̅ = (… . + ⋯ . , … . + ⋯ . )

Pengurangan Vektor
Permasalahan

Misalkan Burung merpati berada pada posisi (2,10) akan menolong semut merah yang berada
pada koordinat (5, 2).
1. Gambarkan vektor posisi burung merpati , semut merah dan vektor perpindahan burung

merpati ke semut merah paada koordinat Cartesius dibawah ini

2. Setelah kalian menggambarkan pada koordinat Cartesius. Berapakah Vektor Posisi burung
merpati ke semut merah ?

3. Tunjukkan dengan menggunakan metode Poligon dan Motode Jajargenjang untuk
menyelesaikan permasalahan diatas !
 Metode Poligon

Hasil pengurangan vektor ̅ − ̅ = ⋯

 Metode Jajar Genjang

Hasil pengurangan vektor ̅ − ̅ = ⋯
Berdasarkan metode Poligon dan Jajar Genjang maka dapat dibuat
kesimpulan :
Jika vektor ̅ = (…. , ….)

̅ = (…. , ….)
Maka ̅ − ̅ = (… . − ⋯ . , … . − ⋯ . )
Menurut pendapatmu metode penjumlahan mana yang mudah untuk kemu terapkan
dalam penyelesaian operasi penjumlahan dan pengurangan vektor ?

LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK
(LKPD)

OPERASI VEKTOR

Mata Pelajaran : Matematika
Materi : Vektor dan Operasinya

Sub Materi : Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Kelas / Semester : X / Ganjil
Tahun Pelajaran : 2022 / 2023
Alokasi Waktu : 2 x 45 menit

Tujuan Pembelajaran

Melalui pembelajaran model Problem Based Learning (PBL) peserta didik mampu
mengembangkan nilai karakter bergotong royong, bernalar kritis dan kreatif dalam
memecahkan permasalahan yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan
pengurangan vektor.

Petunjuk

 Bacalah lembar kerja berikut dengan cermat
 Isilan dengan benar sesuai dengan langkah yang

diberikan
 Diskusikan dengan kelompokmu untuk mendapatkan

penyelesaian yang tepat
 Tanyakan kepada gurumu jika ada yang kurang dipahami
 Yakinkan bahwa setiap anggota kelompok mengetahui

penyelesaiannya

Penjumlahan Vektor

PEMAHAMAN BERMAKNA

Pernahkah kalian menggunakan aplikasi Google Maps ?
Apa yang kalian ingat jika kalian mendengar kata – kata Google Maps ?

Google Maps adalah layanan pemetaan web yang dikembangkan Google. Dalam Google
Maps, Anda dapat melihat citra satelit, foto udara, peta jalan, pemandangan jalan panorama
interaktif 360° (Street View), kondisi lalu lintas dalam waktu nyata, dan perencanaan rute untuk
bepergian dengan berjalan kaki, mobil, sepeda, udara (dalam versi beta) dan transportasi umum.
Pada tahun 2020 ini, Google Maps telah digunakan oleh lebih dari 1 miliar orang setiap bulannya.

Google Maps adalah peta online gratis dari Google. Peta ini dapat diakses melalui browser
web Anda atau sebagai aplikasi untuk perangkat seluler. Anda dapat menggunakan Google Maps
untuk mendapatkan petunjuk arah langkah demi langkah, menemukan informasi tentang bisnis
lokal, dan banyak lagi lainnya mengutip dari
sumber : edu.gcfglobal.org.

Pertanyaan Pemantik

Masih ingatkah kalian cerita tentang Kancil
dan Buaya. Si Kancil dibantu untuk

menyeberang sungai oleh buaya. Si Kancil
yang menyeberang ini merupakan salah satu

contoh penerapan vektor

Pengertian Vektor

Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang
mempunyai besar dan arah. Secara grafis suatu
vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang
mempunyai arah. Besar atau kecilnya vektor
ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan
garis. Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan
tanda anak panah.

KEGIATAN 1
Liburan semester yang akan datang, Anton ingin sekali bertemu dengan teman lamanya

waktu SMP dulu yang bernama Sinta. Anton dan Sinta berencana bertemu di Taman Kota yang
tidak jauh dari rumah Sinta. Tapi sayangnya, Anton tidak tahu dimana tepatnya taman kota
tersebut. Kemudian Sinta menjelaskan arah ke taman kota. “Kamu berangkat dari mana, Ton?”
ujar Sinta. “Nanti saya naik bis dan turun di terminal bis, jadi kamu kasih petunjuknya dimulai
dari terminal bis saja ya…,” ujar Anton.
“Oh ya, tidak jauh kok dari terminal bis. Dari terminal bis kamu jalan saja
ke arah utara sejauh 20 m, kemudian ke timur 13 m, kemudian ke arah
selatan 10 m. Nah….nanti aku menunggu kamu di situ," ujar Sinta.
1. Gambarkan ilustrasi perjalanan Anton dari terminal bis ke taman kota ?

2. Berapa jarak yang ditempuh Anton untuk sampai ke taman kota?

Penjumlahan Vektor

Permasalahan C
Pernahkan kalian menggunakan aplikasi Google maps ? B

Google maps adalah sebuah aplikasi peta online yang
dimanfaatkan untuk menunjukkan rute perjalanan menuju
suatu lokasi.

Selain itu, Google Maps juga dapat memberikan

informasi terkait kondisi jalan. Seperti jalan lancer , padat

merayap hingga macet total. Bahkan Google Maps dapat

membeimbing sekaligus menjadi mentor perjalanan dengan

fiturnya yang senantiasa mengingatkan untuk persiapan

menghadapi tikungan melalui pesan suara pada aplikasi A

tersebut. Gambar 1. Rute Perjalanan melalui Aplikasi
Googke Maps

Seorang pengguna aplikasi Google Maps memiliki rute perjalanan dari Mall Senayan City
menuju kompleks taman Ria Senayan. Adapun rute perjalanan yang akan dilalui pengguna
aplikasi tersebut yaitu bergerak kea rah utara 1300 m lalu berbelok kearah timur laut sejauh
600m.

Berdasarkan informasi yang didapatkan dari aplikasi tersebut, diperoleh bahwa waktu
yang dibutukan menuju lokasi tujuan yaitu 3 menit dengan menggunakan transportasi motor
ataupun mobil. Selain itu, dari tangkapan layar terlihat bahwa jarak yang ditempuh orang
tersebut sebesar 1,9 km. Namun, sebenarnya berapakah besar perpindahan yang dialami
pengguna aplikasi tersebut ? karena jika dilakukan pengukuran dari posisi awal hingga akhir
Google Maps tidak ada rute perjalnan yang langsung ke lokasi tujuan.

Penjumlahan Vektor
Jika kita anggap : A = Mall Senayan City

B = Hotel Mulia
C = Taman Ria Senayan
1. Dapatkah kamu gambarkan penyelesaian permasalahan diatas dengan
menggambarkan dalam koordinat Cartesius !

2. Berapakah besar perpindahan yang dialami pengguna aplikasi tersebut ?
3. Apakah ada metode khusus untuk menentukan besar perpindahan ?