คู่มือ

MATH

CAMP '63

ค่ า ย ค ณิ ต ศ า ส ต ร์

15 - 16 มกราคม 2565

MATH

CAMP '63

ค่ า ย ค ณิ ต ศ า ส ต ร์

15 - 16 มกราคม 2565

คำนำ

การจัดค่ายคณิตศาสตร์เป็นกิจกรรมส่งเสริมการเรียนรู้ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่ง ในการช่วยเสริมสร้าง
เจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ให้กับนักศึกษาช่วยให้นักศึกษาเห็นคุณค่าและประโยชน์ของคณิตศาสตร์
นอกจากนี้ในการจัดค่ายคณิตศาสตร์มุ่งส่งเสริมทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ให้กับนักศึกษาได้เป็น
อย่างดี เช่น ทักษะการแก้ปัญหา การให้เหตุผลหรือความคิดสร้างสรรค์ โดยสอดแทรกอยู่ในกิจกรรม
นันทนาการและกิจกรรมฐานต่างๆ นอกจากนั้นในทุกๆ กิจกรรมเน้นการทำงานเป็นกลุ่ม เพื่อจะทำให้นักศึกษา
ฝึกการทำงานเป็นกลุ่ม ยอมรับฟังความคิดเห็นของคนอื่นๆ มีการวางแผนการทำงานและรับผิดชอบในหน้าที่ที่
ได้รับมอบหมาย เป็นการปลูกฝังด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์ ซึ่งเห็นได้ว่าการจัดค่ายคณิตศาสตร์มี
ประโยชน์ทั้งด้านความรู้ ด้านทักษะกระบวนการ และด้านคุณลักษณะอันพึงประสงค์

กิจกรรมค่ายคณิตศาสตร์มีส่วนสำคัญที่จะช่วยสนับสนุนทักษะของนักศึกษาหลักสูตรครุศาสตรบัณฑิต
สาขาวิชาคณิตศาสตร์ คณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏนครศรีธรรมราช เป็นกิจกรรมที่ทางหลักสูตรจัดขึ้น
ติดต่อกันทุกปี เริ่มตั้งแต่ปีการศึกษา 2546 ถึงปัจจุบัน ปีการศึกษา 2563 โดยมีวัตถุประสงค์ เพื่อให้นักศึกษา
ชั้นปีที่ 2 มีประสบการณ์ในการเข้าค่ายคณิตศาสตร์ พร้อมทั้งมีทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ เกิดความ
คิดริเริ่มสร้างสรรค์ มีความคิดวิเคราะห์อย่างมีระบบแลมีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อให้นักศึกษา
ชั้นปีที่ 3 ฝึกประสบการณ์ในการจัดค่ายคณิตศาสตร์และเพื่อให้นักศึกษาชั้นปีที่ 4 ได้รู้จักวางแผนและ
ให้คำปรึกษาในการจัดค่ายคณิตศาสตร์

นายดนุภัทร รัตนพงศ์
ประธานโครงการค่ายคณิตศาสตร์

15 มกราคม 2565

สารบัญ

เรื่อง หน้า

ค่ายคณิตศาสตร์ 1
ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 15
สาระน่ารู้ 19
เพลงประจำค่ายคณิตศาสตร์ 50
ผึกทักษะทางคณิตศาสตร์ 58
กิจกรรมฐานคณิตศาสตร์ 64
65
ฐาน แฟนพันธุ์แท้ 67
ฐาน หาลูกให้แม่ 69
ฐาน ทายใจวันเกิด 72
ฐาน รถแข่ง 76
ฐาน Money Drop 80
ฐาน ไม้ขีดไฟ 85
บันทึก 87
ประมวลภาพกิจกรรม Math Camp'62

กำหนดการค่ายคณิตศาสตร์ ครั้งที่ 15 (MATH CAMP' 63)
วันที่ 15 - 16 มกราคม 2565

วันที่ 15 มกราคม 2565
08.00 น. - 08.30 น. ลงทะเบียนครั้งที่ 1 และรับคู่มือค่ายคณิตศาสตร์ Math Camp ’ 64
08.30 น. - 09.00 น. พิธีเปิดค่าย ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร.นพรัตน์ ชัยเรือง

ตำแหน่ง คณบดีคณะครุศาสตร์ มหาวิทยาลัยราชภัฏนครศรีธรรมราช
กล่าวรายงานโดย นายดนุภัทร รัตนพงศ์ ประธานโครงการ
09.00 น. - 10.00 น. นันทนาการ อธิบายกติกาชาวค่าย แนะนำพี่ประจำกลุ่ม
10.00 น. - 11.00 น. กิจกรรมพันเมตร
11.00 น. - 12.00 น. กิจกรรมระดมความคิด
12.00 น. - 12.45 น. รับประทานอาหารกลางวัน
12.45 น. - 13.00 น. ลงทะเบียนครั้งที่ 2
13.00 น. - 13.20 น. แจ้งรายละเอียดการเข้าฐาน
13.20 น. - 14.50 น. เข้าฐาน
14.50 น. - 15.00 น. พักผ่อน
15.00 น. - 16.30 น. เข้าฐาน (ต่อ)
16.30 น. - 16.40 น. พักผ่อน
16.40 น. - 17.00 น. สรุปกิจกรรมฐาน
17.00 น. - 17.30 น. แจ้งรายละเอียดกิจกรรม Math Star และแจ้งกำหนดการของวันถัดไป

กำหนดการค่ายคณิตศาสตร์ ครั้งที่ 15 (MATH CAMP' 63)
วันที่ 15 - 16 มกราคม 2565

วันที่ 16 มกราคม 2565
08.00 น. - 08.15 น. ลงทะเบียนครั้งที่ 3
08.15 น. - 09.00 น. นันทนาการ
09.00 น. - 10.30 น. กิจกรรม 7 ชิ้นมหัศจรรย์
10.30 น. - 11.00 น. พักผ่อน
11.00 น. - 12.30 น. กิจกรรมรูปคลี่
12.30 น. - 13.15 น. รับประทานอาหารกลางวัน
13.15 น. - 13.30 น. ลงทะเบียนครั้งที่ 4
13.30 น. - 15.30 น. กิจกรรมบันไดงู (รวมอธิบายรายละเอียดการเข้าต่าง ๆ)
15.30 น. - 16.00 น. สรุปกิจกรรมการเข้าค่ายคณิตศาสตร์ มอบรางวัลขวัญใจค่าย

มอบรางวัลกลุ่มเก่งประจำค่าย มอบรางวัลพี่ชอบแกล้ง มอบรางวัล Math Star
16.00 น. - 16.30 น. พิธีปิดค่ายคณิตศาสตร์

หมายเหตุ : กำหนดการดังกล่าวอาจมีการเปลี่ยนแปลงได้ตามความเหมาะสม

1

ค่ายคณิตศาสตร์

ค่ายคณิตศาสตร์ ค่ายคณิตศาสตร์ เป็นสถานที่พักแรมชั่วคราวของคนจำนวน
คืออะไร มากที่รวมกิจกรรมต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์เพื่อเพิ่มพูนความรู้
ประสบการณ์และความสามารถทางคณิตศาสตร์

จัดค่ายคณิตศาสตร์เพื่ออะไร
1. เพื่อเพิ่มพูนความรู้ ความเข้าใจและทักษะการคิดทางคณิตศาสตร์
2. เพื่อเพิ่มพูนศักยภาพทางคณิตศาสตร์อันได้แก่ ความสามารถในการสำรวจ ตั้งข้อคาดเดา การสืบเสาะ
หาเหตุผล การใช้ยุทธวิธีหลากหลายในการแก้ปัญหา เชื่อมโยงความรู้ และการสื่อสาร
3. เพื่อเสริมสร้างความสามารถในการแก้ปัญหาตามขั้นตอนข้อการแก้ปัญหาอัน ได้แก่ การทำความเข้าใจ
ปัญหา การวางแผนแก้ปัญหา การลงมือแก้ปัญหาและการตรวจผลย้อนกลับ
4. เพื่อฝึกการอยู่ร่วมกันการทำงานร่วมกันเป็นหมู่คณะซึ่งจะต้องเป็นคนมีวินัย อดทน เสียสละ ตรงต่อ
เวลา เป็นผู้นำและผู้ตามที่ดี ยอมรับฟังความคิดเห็นของผู้อื่นปรับตัวให้เข้ากับผู้อื่นได้

จัดค่ายคณิตศาสตร์
เพื่อ ...

2
คณิตศาสตร์

คืออะไร

นับแต่วันแรกที่เราเข้าโรงเรียน จะมีคุณครูสอนให้เราอ่านและเขียนอักษร ก ข เพื่อให้อ่านออกและเขียน
หนังสือได้ ในขณะเดียวกันคุณครูก็จะสอนให้เรานับจำนวนและเขียนตัวเลขได้ พร้อมทั้งสอนให้บวก ลบ คูณ
หารเป็น การอ่านหนังสือออกและคิดเลขเป็น มีความสำคัญยิ่ง แก่คนทุกคน การอ่านหนังสือออก ทำให้คน
ฉลาด มีความรอบรู้ใน เรื่องต่าง ๆ ที่เป็นเรื่องของคนโบราณและเรื่องของคนปัจจุบัน การคิดเลขเป็น ทำให้คน
มีสติปัญญา รู้จักใช้ความคิดและเข้าใจการใช้เหตุผล คนเราจะต้องอาศัยทั้งความรอบรู้และการรู้จักใช้ความคิด
ควบคู่กันไปในการประกอบอาชีพและการดำรงชีวิตความจำเป็นของการใช้อักษรกับตัวเลขเป็นที่ยอมรับกันมา
ทุกยุคทุกสมัยในปี พ.ศ.1826 พ่อขุนรามคำแหงมหาราช ได้ทรงประดิษฐ์ลายสือไทขึ้น ท่านทรงประดิษฐ์ทั้งตัว
อักษรไทยและตัวเลขไทย เราควรจะภูมิใจที่ไทยเรามีทั้งตัวอักษรและตัวเลขเป็นของเราเอง

คำว่า "คณิต" แปลว่าการนับ การคำนวณ การประมาณ คณิตศาสตร์หมายถึง ตำราหรือวิชาว่าด้วยการ
คำนวณ คณิตศาสตร์เป็นวิชาที่จำเป็นต้องใช้ในการประกอบอาชีพ ไม่ว่าจะเป็นในด้านกสิกรรม อุตสาหกรรม
และพาณิชยกรรม ผู้ที่จะมีอาชีพเป็นสถาปนิก วิศวกร นักวิทยาศาสตร์ นักเศรษฐศาสตร์ต้องมีความรู้เกี่ยวกับ
คณิตศาสตร์ ในชีวิตประจำวันเราใช้ตัวเลขบนหน้าปัดนาฬิกา หมายเลขบ้าน หมายเลขโทรศัพท์ นักเรียนทุกคน
มีหมายเลขประจำตัว ในท้องถนนรถทุกคันมีหมายเลขทะเบียน การติดต่อซื้อขายก็ต้องใช้ตัวเลขทำการบวก
ลบ คูณ หาร การทำบัญชีค่าใช้จ่าย การคิดคำนวณภาษีรายได้ การคิดคำนวณดอกเบี้ย เงินปันผลและกำไร
ต้องใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ทั้งสิ้นนอกจากนี้ การศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ยังช่วยให้ได้ฝึกวิธีการคิดพิจารณา
เรื่องต่าง ๆ โดยใช้เหตุผลอย่างมีระเบียบแบบแผน และวิธีการของคณิตศาสตร์ยังนำมาใช้ในการแก้ปัญหาที่ยุ่ง
ยากได้

3

ความรู้ทางคณิตศาสตร์

มีหลักฐานปรากฏว่าคนโบราณในสมัยหลายหมื่นปีมาแล้ว รู้จักนับ
สิ่งของ และคาดหมายกันว่าคงจะเริ่มนับนิ้วมือก่อนสิ่งอื่น ในครั้งแรกคงจะ
นับได้เพียง หนึ่ง สอง สาม ความจำเป็นอาจจะเกิดขึ้นเมื่อชายคนหนึ่งไปเก็บ
ผลไม้ (สมมุติว่าเป็นส้ม) ในป่า เกิดปัญหาให้คิดว่าจะต้องเก็บส้มกลับบ้านสักกี่
ผล จึงจะแบ่งให้ตัวของเขาเอง ภรรยา ลูก ได้คนละหนึ่งผลพอดี เมื่อมือขวา
หยิบส้มผลที่หนึ่งขึ้นใจก็นึกถึงตัวเอง นิ้วหัวแม่มือของมือซ้ายอาจจะงอเข้าโดย
ไม่ตั้งใจ หยิบมาอีกผลหนึ่ง ใจนึกถึงภรรยา นิ้วชี้ของมือซ้ายงอเข้าหาตัว หยิบ
ส้มใบที่สาม ใจนึกถึงลูกนิ้วกลางของมือซ้าย งอเข้าหาตัว
เมื่อกลับมาบ้านเขาอาจจะแปลกใจว่าสามารถแจกส้มให้คนใน
ครอบครัวคนละหนึ่งผลพอดีได้อย่างไร เขาเริ่มรู้จักนับสิ่งของที่เขาได้พบเห็น
มีจำนวนสิ่งของเพียง ๑ , ๒ , ๓ สิ่งแต่เมื่อพบสิ่งของมากกว่าสามสิ่ง เขาเกิด
ความรู้สึกว่าช่างมากมายเสียจนเขาบอกจำนวนไม่ได้ ต่อมาเมื่อมีความจำเป็น
ที่จะต้องบอกว่า คนในครอบครัวมีกี่คน เขาจะใช้นิ้วมือหนึ่งนิ้วแทนจำนวนคน
หนึ่งคน สองนิ้วแทนจำนวนสองคน และ สามนิ้วแทนจำนวนคนสามคน

เมื่อมีคนมากเขารู้เพียงว่ามีมากกว่าสามคน แต่ไม่รู้ว่ามีอยู่เป็นจำนวนเท่าใด ในการติดต่อเพื่อแลก
เปลี่ยนสิ่งของกัน เช่น ฝ่ายหนึ่งจับสัตว์ป่ามาได้ ต้องการจะได้มีมาใช้ เขาไปพบคนที่มีมีดก็จะทำเครื่องหมาย
เพื่อแสดงว่าเขาต้องการอะไร ดังภาพ ชายคนหนึ่งยกนิ้วมือของมือซ้ายขึ้นสองนิ้ว มือขวาชี้ที่กวาง เพื่อบอกว่า
เขาต้องการมีดสองเล่มจากชายอีกคนหนึ่ง เพื่อแลกกับกวางหนึ่งตัว มนุษย์ในสมัยแรกรู้จักทำเครื่องมือเครื่อง
ใช้ เช่น ขวานหินและมีดหิน แต่ก็ทำขึ้นอย่างหยาบ ๆ เขาไม่มีที่อยู่เป็นหลักแหล่ง มักจะเร่ร่อนพเนจรติดตาม
ฝูงสัตว์ไปตามที่ต่าง ๆ เพื่อความสะดวกในการแสวงหาอาหาร เมื่ออาหารขาดแคลนลงก็เคลื่อนย้ายไปยังที่
ใหม่ ซึ่งมีอาหารอุดมสมบูรณ์กว่า ใช้ถ้ำเป็นที่พักอาศัยหลบความหนาวเย็นของอากาศ ความจำเป็นที่ต้องเดิน
ทางจากที่แห่งหนึ่งไปยังที่อีกแห่งหนึ่งทำให้รู้จักความหมายของใกล้และไกล จากการสังเกตเวลาที่ใช้ในการ
เดินทางน้อยหรือมากเพียงใด คนเริ่มเข้าใจความหมายของระยะทาง และเวลาประมาณ ๗,๐๐๐ ปีมาแล้ว ที่
มนุษย์เห็นความจำเป็นที่จะรวมกันอยู่เป็นหมู่บ้าน รู้จักทำการเพาะปลูก รู้จักวิธีหว่านพืชและเก็บเกี่ยว รู้จักนำ
สัตว์เข้ามาเลี้ยงในครัวเรือน เพื่อใช้กินเป็นอาหาร และผ่อนแรงงาน เช่น สุนัข แกะ แพะ หมู วัว ควาย รู้จักใช้
ก้อนดินหรือก้อนหินช่วยในการนับสิ่งของ วิธีนี้เขาสามารถนับได้มากกว่าสาม แต่เขายังไม่มีคำใช้บอกจำนวน
หรือสัญลักษณ์ที่เขียนแทนจำนวน

4

ทรงหลายเหลี่ยม

อาร์คิมิดีส อาร์คิมิดีส (กรีก: Αρχιμήδης; อังกฤษ: Archimedes; 287-212 ปี
ก่อนคริสตกาล) เป็นนักคณิตศาสตร์ นักดาราศาสตร์ นักปรัชญา นักฟิสิกส์ และ
วิศวกรชาวกรีก เกิดเมื่อ 287 ปีก่อนคริสตกาล ในเมืองซีรากูซา ซึ่งในเวลานั้นเป็น
นิคมท่าเรือของกรีก แม้จะมีรายละเอียดเกี่ยวกับชีวิตของเขาน้อยมาก แต่เขาก็ได้รับ
ยกย่องว่าเป็นหนึ่งในบรรดานักวิทยาศาสตร์ชั้นนำในสมัยคลาสสิก ความก้าวหน้าใน
งานด้านฟิสิกส์ของเขาเป็นรากฐานให้แก่วิชา สถิตยศาสตร์ของไหล, สถิตยศาสตร์
และการอธิบายหลักการเกี่ยวกับคาน เขาได้ชื่อว่าเป็นผู้คิดค้นนวัตกรรมเครื่องจักรกล
หลายชิ้น ซึ่งรวมไปถึงปั๊มเกลียว (screw pump) ซึ่งได้ตั้งชื่อตามชื่อของเขาด้วย ผล
การทดลองในยุคใหม่ได้พิสูจน์แล้วว่า เครื่องจักรที่อาร์คิมิดีสออกแบบนั้นสามารถยก
เรือขึ้นจากน้ำหรือสามารถจุดไฟเผาเรือได้โดยอาศัยแถบกระจกจำนวนมาก
เขาได้รับยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดในยุคโบราณ และ
หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดตลอดกาล

เขาใช้ระเบียบวิธีเกษียณ (Method of Exhaustion) ในการคำน
วณพื้นที่ใต้เส้นโค้ง

พาราโบลาด้วยการหาผลรวมของชุดอนุกรมอนันต์ และได้ค่าประมาณที่ใกล้เคียงที่สุด
ของค่าพาย เขายังกำหนดนิยามแก่วงก้นหอยของอาร์คิมิดีส ซึ่งได้ชื่อตามชื่อของเขา,
คิดค้นสมการหาปริมาตรของรูปทรงที่เกิดจากพื้นผิวที่ได้จากการหมุน และคิดค้นระบบ
สำหรับใช้บ่งบอกถึงตัวเลขจำนวนใหญ่มาก ๆ

อาร์คิมิดีสเสียชีวิตในระหว่างการล้อมซีร
าคิวส์ (ราว 214-212 ปีก่อนคริสตกาล) โดยถูกทหารโรมันคนหนึ่ง

สังหาร ทั้ง ๆ ที่มีคำสั่งมาว่าห้ามทำอันตรายแก่อาร์คิมิดีส ซิเซโรบรรยายถึงการเยี่ยมหลุมศพของอาร์คิมิดีสซึ่ง
มีลูกทรงกลมจารึกอยู่ภายในแท่งทรงกระบอกเหนือหลุมศพ เนื่องจากอาร์คิมิดีสเป็นผู้พิสูจน์ว่า ทรงกลมมี
ปริมาตรและพื้นที่ผิวเป็น 2 ใน 3 ส่วนของทรงกระบอกที่บรรจุทรงกลมนั้นพอดี (รวมพื้นที่ของฐานทรง
กระบอกทั้งสองข้าง) ซึ่งนับเป็นความสำเร็จครั้งยิ่งใหญ่ที่สุดของเขาในทางคณิตศาสตร์

5

ทรงกลมมีปริมาตร และพื้นที่ผิวเป็น 2 ใน 3 ส่วนของทรงกระบอกที่บรรจุทรงกลมนั้นพอดี
อาร์คิมิดีสเสียชีวิตเมื่อปีที่ 212 ก่อนคริสตกาลระหว่างสงครามพิวนิกครั้งที่สอง เมื่อกองทัพโรมันภายใต้
การนำทัพของนายพลมาร์คัส เคลาดิอัส มาร์เซลลัส เข้ายึดเมืองซีรากูซาได้หลังจากปิดล้อมอยู่ 2 ปี ตาม
บันทึกอันโด่งดังของพลูตาร์ค อาร์คิมิดีสกำลังขบคิดแผนภาพทางคณิตศาสตร์ชิ้นหนึ่งระหว่างที่นครถูกยึด
ทหารโรมันคนหนึ่งสั่งให้เขาออกมาพบกับนายพลมาร์เซลลัส แต่เขาปฏิเสธโดยบอกว่าต้องแก้ปัญหาให้เสร็จ
เสียก่อน ทหารผู้นั้นจึงบันดาลโทสะและสังหารอาร์คิมิดีสด้วยดาบ พลูตาร์คยังบันทึกเรื่องเล่าอีกเรื่องหนึ่ง
ว่าอาร์คิมิดีสถูกสังหารขณะพยายามจำนนต่อทหารโรมัน ตามเรื่องหลังนี้ อาร์คิมิดีสถือเครื่องมือทาง
คณิตศาสตร์ชิ้นหนึ่ง และถูกสังหารเนื่องจากทหารนึกว่ามันเป็นสิ่งมีค่า บันทึกเล่าว่านายพลมาร์เซลลัส
โกรธมากเมื่อทราบเรื่องการเสียชีวิตของอาร์คิมิดีส ด้วยถือว่าเขาเป็นทรัพย์สมบัติอันเลอค่ายิ่งทาง
วิทยาศาสตร์ ทั้งยังออกคำสั่งไปแล้วว่าห้ามทำอันตรายแก่เขาโดยเด็ดขาด

6

หลุมศพของอาร์คิมิดีสบรรจุรูปปั้นมากมายที่แสดงถึงการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เขาโปรดปราน เช่น
ทรงกลมที่อยู่ภายในทรงกระบอกที่มีความสูงและเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากัน อาร์คิมิดีสได้พิสูจน์ว่าปริมาตรและ
พื้นที่ผิวของทรงกลมมีขนาดเป็น 2 ใน 3 ของปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก (รวมพื้นที่ฐาน) ในปีที่ 75
ก่อนคริสตกาล หลังจากอาร์คิมิดีสเสียชีวิตไปแล้ว 137 ปี ซิเซโรได้เป็นเควสเตอร์แห่งซิซิลี เขาได้ยินเรื่องราว
เกี่ยวกับหลุมศพของอาร์คิมิดีส แต่ไม่มีชาวเมืองคนใดบอกตำแหน่งที่ชัดเจนได้ ในเวลาต่อมาเขาพบหลุมศพ
บริเวณใกล้ประตูอกริเจจนทีนในเมืองซีรากูซาซึ่งถูกทิ้งร้างและคลุมไปด้วยสุมทุมพุ่มไม้ ซิเซโรสั่งการให้
ทำความสะอาด จึงสามารถมองเห็นรอยสลักและถ้อยคำจารึก หลุมศพแห่งหนึ่งที่ค้นพบในสนามหญ้าของ
โรงแรมหนึ่งในซีรากูซาเมื่อต้นคริสต์ทศวรรษ 1960 อ้างตัวว่าเป็นหลุมศพของอาร์คิมิดีส แต่ถึงปัจจุบันนี้ ก็ไม่มี
ใครทราบตำแหน่งที่แท้จริงแล้ว

บันทึกชีวประวัติของอาร์คิมิดีสฉบับมาตรฐานเขียนขึ้นโดยนักประวัติศาสตร์โรมันหลายคนหลังจากที่
เขาเสียชีวิตไปแล้วเป็นเวลานาน บันทึกเรื่องการยึดเมืองซีรากูซาใน Universal History ของโพลิบิอุส เขียน
ขึ้นประมาณ 70 ปีหลังการเสียชีวิตของอาร์คิมิดีส และต่อมาถูกใช้เป็นแหล่งข้อมูลของพลูตาร์คและลิวี เนื้อหา
ในบันทึกนี้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับชีวิตของอาร์คิมิดีสน้อยมาก ส่วนใหญ่จะกล่าวถึงการใช้เครื่องจักรยนต์ในสงคราม
ซึ่งอาร์คิมิดีสสร้างขึ้นเพื่อใช้ป้องกันเมือง

7

ทรงตันอาร์คิมิดีส มีทั้งหมด 13 รูปทรง (หรืออาจนับเป็น 15 รูปทรงเนื่องจากเกลียวซ้ายขวาที่แตกต่างกัน)
1.ทรงสี่หน้าปลายตัด (truncated tetrahedron)

ทรงสี่หน้าปลายตัด (truncated tetrahedron) เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron) ประกอบด้วย
หน้ารูปหกเหลี่ยมปรกติ 4 หน้า และหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 4 หน้า รวม 8 หน้า มี 12 จุดยอด 18 ขอบ
และเป็นหนึ่งในทรงตันอาร์คิมิดีส (Archimedean solid) รูปทรงนี้เกิดจากการนำทรงสี่หน้าปรกติ
(regular tetrahedron) มาตัดปลายที่จุดยอดทั้ง 4 จุด ให้หน้ารูปสามเหลี่ยมกลายเป็นรูปหกเหลี่ยม และ
หน้าที่ตัดนั้นก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยมแทน
2.คิวบอกทาฮีดรอน (cuboctahedron)

คิวบอกทาฮีดรอน (cuboctahedron) คือทรงหลายหน้า (polyhedron) ที่ประกอบด้วยหน้า
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 8 หน้า และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 หน้ารวม 14 หน้า โดยหน้าทั้งสองประเภทจะสลับกันทุก
ทิศทางไม่ว่าจะมองจากมุมใดมี 12 จุดยอด 24 ขอบ คิวบอกทาฮีตรอนเป็นหนึ่งในทรงตันอาร์คิมิดีส
(Archimedean solid)

8

3. ทรงลูกบาศก์ปลายตัด หรือทรงหกหน้าปลายตัด (truncated cube/hexahedron)

ทรงลูกบาศก์ปลายตัด หรือทรงหกหน้าปลายตัด (truncated cube/hexahedron) เป็นทรง
หลายหน้า (polyhedron) ที่ประกอบด้วยหน้ารูปแปดเหลี่ยมปรกติ 6 หน้า และหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า
8 หน้า รวม 14 หน้า มีจุดยอด 36 ขอบ และเป็นหนึ่งในทรงตันอาร์คิมิดีส (Archimedean solid) รูปทรงนี้
เกิดจากการนำทรงลูกบาศก์ (cube) มาตัดปลายที่จุดยอดทั้ง 8 จุด ให้หน้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสกลายเป็นรูป
แปดเหลี่ยม และหน้าที่ตัดนั้นก็จะเป็นรูปสามเหลี่ยม

4. ทรงแปดหน้าปลายตัด (truncated octahedron)

ทรงแปดหน้าปลายตัด (truncated octahedron) เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron) ที่ประกอบด้วย
หน้ารูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 8 หน้า และหน้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 6 หน้า รวม 14 หน้า โดยหน้ารูปสี่เหล่
ยมทุกหน้าจะล้อมรอบด้วยหน้าหกเหลี่ยม 4 หน้า มี 24 จุดยอด 36 ขอบ และเป็นหนึ่งในทรงตันอาร์คิมิดีส
(Archimedean solid) รูปทรงนี้เกิดจากการนำทรงแปดหน้าปรกติ (regular octahedron) มาตัดปลายที่จุด
ยอดทั้ง 6 จุด เพื่อทำให้หน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่ากลายเป็นรูปหกเหลี่ยม และมุมที่ตัดนั้นก็จะกลายเป็นรูป
สี่เหลี่ยมจัตุรัส

9

5.รอมบิคิวบอกทาฮีดรอน (เล็ก) ( (small) rhombicuboctahedron)

รอมบิคิวบอกทาตรอน (เล็ก) ((small) artiattaram) เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron) ที่ประกอบ
ด้วยหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 8 หน้า และรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 18 หน้า รวม 26 หน้า โดยหน้ารูปสามเหลี่ยม
ทุกหน้าจะมีรูปสี่เหลี่ยมล้อมอยู่โดยรอบทรงนี้มี 24 จุดยอด 48 ขอบ และเป็นหนึ่งในทรงตันอาร์คิมิดีส
(Archimedean solid) รูปทรงนี้สามารถเรียกในชื่ออื่นอีกคือ ออร์โทไบคิวโพลาสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีลองเกต
(elongated square orthobicupola)
6.คิวบอกทาฮีดรอนปลายตัด (truncated cuboctahedron)

คิวบอกทาฮีดรอนปลายตัด (truncated cuboctahedron) เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron)
ที่ประกอบด้วยหน้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 12 หน้า หน้ารูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 8 หน้า และหน้ารูปแปด
เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 6 หน้า รวม 25 หน้า แต่หน้าเรียงตัวโดยไม่มีหน้าชนิดเดียวกันอยู่ติดกัน ทรงนี้มี 48 จุด
ยอด 72 ขอบ และ เป็นทรงตันอาร์คิมิดีส (Archimedean solid)

10

7. ทรงลูกบาศก์สนับหรือทรงหกหน้าสนับ หรือสนับคิวบอกทาฮีดรอน

ทรงลูกบาศก์สนับ หรือ ทรงหกหน้าสนับ หรือ สนับคิวบอกทาฮีดรอน เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron)
ที่ประกอบด้วยหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 32 หน้า และหน้ารูปสี่เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 6 หน้า ทรงนี้มี
24 จุดยอด 60 ขอบ และเป็นทรงตันอาร์คิมิดีส (Archimedean solid)

8. ทรงสามสิบสองหน้า (icosidodecahedron)

ทรงสามสิบสองหน้า (icosidodecahedron) เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron) ที่ประกอบด้วยหน้า
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 20 หน้า และรูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า 12 หน้า รวม 32 หน้า โดยหน้าทั้งสองประเภท
จะสลับกันทุกทิศทางไม่ว่าจะมองจากมุมใด มี 30 จุดยอด 60 ขอบ ทรงสามสิบสองหน้าเป็นหนึ่งในทรงตัน
อาร์คิมิดีส (Archimedean solid) รูปทรงนี้สามารถเรียกได้ในชื่ออื่นอีกคือ ไจโรไบโรทันดาห้าเหลี่ยม
(pentagonal gyrobirotunda)

11

9.ทรงสิบสองหน้าปลายตัด (truncated dodecahedron)

ทรงสิบสองหน้าปลายตัด (truncated dodecahedron) เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron)
ที่ประกอบด้วยหน้ารูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า 12 หน้า และรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 20 หน้า รวม 32 หน้า มี
60 จุดยอด 90 ขอบ และเป็นหนึ่งในทรงตันอาร์คิมิดีส (Archimedean solid) รูปทรงนี้เกิดจากการตัด
ปลายทั้ง 20 มุมบนทรงสิบสองหน้าปรกติ (regular dodecahedron) โดยทำให้หน้ารูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า
กลายเป็นรูปสิบเหลี่ยมด้านเท่า
10.ทรงยี่สิบหน้าปลายตัด (truncated icosahedron)

ทรงยี่สิบหน้าปลายตัด (truncated icosahedron) เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron) ที่
ประกอบด้วยหน้ารูปห้าเหลี่ยมด้านเท่า 12 หน้า และหน้ารูปหกเหลี่ยมด้านเท่า 20 หน้า รวม 32 หน้า
รูปทรงนี้เกิดจากการนำทรงยี่สิบหน้าปรกติ (regular icosahedron) ไปตัดปลายออกทั้ง 12 มุม ให้หน้า
รูปสามเหลี่ยมด้านเท่ากลายเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่า รูปทรงนี้มี 60 จุดยอด 90 ขอบและเป็นทรงต้น
อาร์คิมิดีส (Archimedean solid)

12

11. รอมบิโคซิโดเดคาฮีดรอน (เล็ก) (small, rhombicosidodecahedron)

รอมบิโคซิโดเดคาฮีดรอน (เล็ก) (small, rhombicosidodecahedron) เป็นทรงหลายหน้า
(polyhedron) ที่ประกอบด้วยหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 20 หน้า รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 30 หน้า และรูปห้า
เหลี่ยมด้านเท่า 12 หน้า รวม 62 หน้า โดยหน้ารูปห้าเหลี่ยมทุกหน้าจะล้อมรอบด้วยรูปสามเหลี่ยมและ
สี่เหลี่ยมสลับกันไปทรงนี้มี 60 จุดยอด 120 ขอบ และเป็นหนึ่งในทรงตันอาร์คิมิดีส (Archimedean solid)
12. ทรงสามสิบสองหน้าปลายตัด (truncated icosidodecahedron)

ทรงสามสิบสองหน้าปลายตัด (truncated icosidodecahedron) เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron)
ที่ประกอบด้วยหน้ารูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส 30 หน้า หน้ารูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 20 หน้า และหน้ารูปสิบ
เหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 12 หน้า รวม 62 หน้า แต่หน้าเรียงตัวโดยไม่มีหน้าชนิดเดียวกันอยู่ติดกัน ทรงนี้มี 120
จุดยอด 180 ขอบ และเป็นหนึ่งในทรงตันอาร์คิมิดีส (Archimedean solid)

13

13.ทรงสิบสองหน้าสนับ หรือ ทรงสามสิบสองหน้าสนับ



ทรงสิบสองหน้าสนับ หรือ ทรงสามสิบสองหน้าสนับ เป็นทรงหลายหน้า (polyhedron) ที่
ประกอบด้วยหน้ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 80 หน้า และหน้ารูปห้าเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่า 12 หน้า ทรงนี้มี 60
จุดยอด 150 ขอบ และเป็นทรงต้นอาร์คิมิดีส (Archimedean solid)

การหาพื้นที่ของรูปเรขาคณิต

วิธีคิด

วิธีคิด .................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

.................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

14

วิธีคิด

.................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

วิธีคิด

.................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

วิธีคิด

.................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................
.................................................................................................................................

15

ปัญหาทางคณิตศาสตร์

ความหมายของปัญหาทางคณิตศาสตร์
ปัญหาทางคณิตศาสตร์ เป็นสถานการณ์หรือคำถามที่ต้องการคำตอบซึ่งบุคคลต้องใช้สาระความรู้ และ

ประสบการณ์ทางคณิตศาสตร์มากำหนดแนวทางหรือวิธีการในการหาคำตอบ บุคคลผู้คิดหาคำตอบ ไม่คุ้น
เคยกับสถานการณ์นั้นมาก่อนและไม่สามารถหาคำตอบได้ในทันทีทันใดสถานการณ์หรือคำถามข้อใดจะเป็น
ปัญหาหรือไม่ ขึ้นอยู่กับบุคคลผู้คิดหาคำตอบ บางสถานการณ์เป็นปัญหาสำหรับบางคน แต่อาจไม่เป็นปัญหา
สำหรับคนอื่น ๆ ก็ได้

ประเภทของปัญหาทางคณิตศาสตร์


จากความหมายของปัญหาทางคณิตศาสตร์ สามารถแบ่งประเภทของปัญหาโดยใช้เกณฑ์ต่าง ๆ

ได้ดังนี้

1. เมื่อพิจารณาจากจุดประสงค์ของปัญหาโพลยา (Polya, 1957 : 23-29) แบ่งปัญหาทาง

คณิตศาสตร์เป็น 2 ประเภท คือ

1) ปัญหาให้ค้นหา เป็นปัญหาที่ต้องการให้ผู้แก้ปัญหาค้นหาคำตอบซึ่งอาจอยู่ในรูปจำนวน ปริมาณวิธี

การ หรือคำอธิบายให้เหตุผลมีส่วนสำคัญแบ่งได้เป็น3 ส่วน คือ

(1) สิ่งที่ต้องการหา

(2) สิ่งที่กำหนดให้

(3) เงื่อนไขเชื่อมโยงระหว่างสิ่งที่ต้องการหากับสิ่งที่กำหนดให้

สิ่งที่เป็นเงื่อนไขเชื่อมโยงระหว่างสิ่งที่ต้องการหากับสิ่งที่กำหนดให้ในบางปัญหาอาจไม่ได้ระบุอย่างชัดเจน

ในตัวปัญหา ผู้แก้ปัญหาจะต้องใช้ความรู้และประสบการณ์ของตนเองมากำหนดเงื่อนไขนี้ การแยกส่วน

สำคัญของปัญหาออกเป็น 3ส่วนดังกล่าวนี้จะช่วยให้ผู้แก้ปัญหามีความเข้าใจปัญหาดีขึ้น ทำให้สามารถ

กำหนดแนวทางในการแก้ปัญหาได้

16

2) ปัญหาให้พิสูจน์ เป็นปัญหาให้แสดงการให้เหตุผลว่าข้อความที่กำหนดให้เป็นจริง หรือข้อความ
ที่กำหนดให้เป็นเท็จ ปัญหาให้พิสูจน์ส่วนใหญ่จะอยู่ในรูป “ ถ้า p แล้ว q ”ส่วนสำคัญของปัญหาให้พิสูจน์
สามารถแบ่งได้ 2 ส่วน คือ

(1) สิ่งที่กำหนดให้ หรือสมมุติฐาน
(2) สิ่งที่ต้องการพิสูจน์ หรือผลสรุป
การแยกส่วนสำคัญของปัญหาให้พิสูจน์ ช่วยให้ปัญหามีความชัดเจนขึ้นสามารถกำหนดแนวทางในการแก้
ปัญหาหรือการพิสูจน์ได้รวดเร็วขึ้น

2. เมื่อพิจารณาจากเป้าหมายในการหาคำตอบของป
ัญหา บารูดี (Baroody, 1993 : 2-54 – 2-55) แบ่ง

ปัญหาทางคณิตศาสตร์เป็น 2 ประเภท คือ
1) ปัญหาที่มีเป้าหมายเฉพาะเจาะจง เป็นปัญหาที่มีคำตอบแน่นอน ส่วนใหญ่มีคำตอบคำตอบ

เดียว
2) ปัญหาที่มีเป้าหมายไม่เฉพาะเจาะจง เป็นปัญหาแบบปลายเปิด มีคำตอบเปิดกว้าง มีคำตอบที่

ถูกต้องหลายคำตอบ
ปัญหาประเภทแรกสามารถปรับเปลี่ยนให้เป็นปัญหาประเภทหลังได้ซึ่งมีความสอดคล้องกับปัญหาใน

ชีวิตจริงมากกว่า โดยที่นักเรียนยังคงใช้พื้นฐานความรู้ในระดับเดียวกันในการแก้ปัญหาแต่ใช้ความคิดในการ
ประยุกต์ได้กว้างขวางกว่า

3. เมื่อพิจารณาจากผู้แก้ปัญหาและความซับซ้อนของปัญหา เรยส์ และคณะ (Reys, et al., 1992 : 29)
แบ่งปัญหาทางคณิตศาสตร์เป็น 2 ประเภท คือ

1) ปัญหาที่คุ้นเคย (routine problem) เป็นปัญหาเกี่ยวกับการประยุกต์การดำเนินการ
ทางคณิตศาสตร์มักอยู่ในรูปโจทย์ปัญหาที่เป็นถ้อยคำหรือเป็นเรื่องราว มีโครงสร้างของปัญหาไม่ซับซ้อนนัก
และคล้ายกับตัวอย่างหรือปัญหาที่ผู้แก้ปัญหาเคยมีประสบการณ์ในการแก้มาแล้ว

2). ปัญหาที่ไม่คุ้นเคย (non-routine problem) เป็นปัญหาที่มีโครงสร้างซับซ้อน เป็น
ปัญหาแปลกใหม่สำหรับผู้แก้ปัญหา ในการแก้ปัญหาผู้แก้ปัญหาต้องใช้ความรู้ และประสบการณ์หลายอย่าง
ประมวลเข้าด้วยกันเพื่อกำหนดวิธีแก้ปัญหา

17

4. เมื่อพิจารณาถึงการสอนการแก้ปัญหา ชาร์ลส์ และคณะ (Charles, et al. 1982 : 11-13) กล่าวว่ามี
ปัญหาอย่างน้อย 4 ประเภทที่ควรสอนคือ

1) ปัญหาขั้นตอนเดียว (one-step problem) เป็นปัญหาที่ผู้แก้ปัญหาคือนักเรียนต้อง
แปลงสถานการณ์ที่เป็นเรื่องราวให้เป็นประโยคทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับการบวก การลบ การคูณ หรือการหาร
ปัญหาประเภทนี้มักพบในการเรียนการสอนตามปกติยุทธวิธีพื้นฐานที่ใช้ในปัญหาขั้นตอนเดียวคือ การเลือก
การดำเนินการ

2) ปัญหาหลายขั้นตอน (multi-step problem) มีความแตกต่างกับปัญหาขั้นตอนเดียวที่
จำนวนของการดำเนินการที่จำเป็นในการหาคำตอบ ปัญหาหลายขั้นตอนมีจำนวนของการดำเนินการมากกว่า
หนึ่งอย่างยุทธวิธีพื้นฐานที่ใช้ในการแก้ปัญหาหลายขั้นตอนคือ การเลือกการดำเนินการ

3) ปัญหากระบวนการ (process problem) เป็นปัญหาที่ไม่สามารถแปลงเป็นประโยค
ทางคณิตศาสตร์โดยการเลือกการดำเนินการได้ทันที แต่จะต้องใช้กระบวนการต่าง ๆ ช่วย เช่น การทำปัญหา
ให้ง่าย การแบ่งปัญหาออกเป็นปัญหาย่อย ๆ การเขียนภาพหรือแผนภาพ การเขียนกราฟแทนปัญหา การแก้
ปัญหาประเภทนี้ต้องใช้ยุทธวิธีต่าง ๆ เช่น การประมาณคำตอบ การเดาและตรวจสอบ การสร้างตารางการ
ค้นหา แบบรูป การทำย้อนกลับปัญหากระบวนการปัญหาหนึ่งอาจใช้ยุทธวิธีแก้ปัญหาได้หลายแบบ

4) ปัญหาการประยุกต์ (applied problem) บางครั้งเรียกว่า ปัญหาเชิงสถานการณ์
(situational problem) เป็นปัญหาที่ผู้แก้ปัญหาจะต้องใช้ทักษะ ความรู้ มโนมติ และการดำเนินการทาง
คณิตศาสตร์แก้ปัญหา ที่เกี่ยวข้องกับชีวิตจริงซึ่งจะต้องใช้วิธีการต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ เช่น การรวบรวม
ข้อมูลทั้งที่กำหนดในปัญหา และอยู่นอกปัญหา การจัดกระทำกับ ข้อมูล เป็นปัญหาที่จะทำให้ผู้แก้ปัญหาเห็น
ประโยชน์และคุณค่าของคณิตศาสตร์

18

กระบวนการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์

กระบวนการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นที่ยอมรับและนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย คือ
กระบวนการแก้ปัญหาตามแนวคิดของโพลยา (Polya, 1957 : 16 - 17) ประกอบด้วยขั้นตอนสำคัญ
4 ขั้นตอน ที่เรียกว่า กระบวนการแก้ปัญหาสี่ขั้นตอนของโพลยา มีสาระสำคัญดังนี้

1) ทำความเข้าใจปัญหา เป็นการมองไปที่ตัวปัญหา พิจารณาว่าปัญหาต้องการอะไร
ปัญหากำหนดอะไรให้บ้าง มีสาระความรู้ใดที่เกี่ยวข้องบ้าง คำตอบของปัญหาจะอยู่ในรูปแบบใด การ
ทำความเข้าใจปัญหาอาจใช้วิธีการต่าง ๆ ช่วย เช่น การเขียนรูป เขียนแผนภูมิ การเขียนสาระของ
ปัญหาด้วยถ้อยคำของตนเอง

2) วางแผน เป็นขั้นตอนสำคัญที่จะต้องพิจารณาว่าจะแก้ปัญหาด้วยวิธีใด จะแก้
อย่างไร ปัญหาที่กำหนดให้นี้มีความสัมพันธ์กับปัญหาที่เคยมีประสบการณ์ในการแก้มาก่อนหรือไม่
ขั้นวางแผนเป็นขั้นตอนที่ผู้แก้ปัญหาพิจารณาความสัมพันธ์ของสิ่งต่าง ๆ ในปัญหา ผสมผสานกับ
ประสบการณ์ในการแก้ปัญหา ที่ผู้แก้ปัญหามีอยู่ กำหนดแนวทางในการแก้ปัญหา และเลือก ยุทธวิธีแก้
ปัญหา

3) ดำเนินการตามแผน เป็นขั้นตอนที่ลงมือปฏิบัติตามแผนที่วางไว้ โดยเริ่มจากการ
ตรวจสอบความเป็นไปได้ของแผน เพิ่มเติมรายละเอียดต่าง ๆ ของแผนให้ชัดเจน แล้วลงมือ ปฏิบัติจน
กระทั่งสามารถหาคำตอบได้ หรือค้นพบวิธีการแก้ปัญหาใหม่

4) ตรวจสอบ เป็นขั้นตอนที่ผู้แก้ปัญหามองย้อนกลับไปที่ขั้นตอนต่าง ๆ ที่ผ่านมาเพื่อ
พิจารณาความถูกต้องของคำตอบ และวิธีการแก้ปัญหา พิจารณาว่ามีคำตอบ หรือมีวิธีแก้ปัญหาอย่างอื่น
อีกหรือไม่ พิจารณาปรับปรุงแก้ไขวิธีแก้ปัญหาให้กะทัดรัด ชัดเจน เหมาะสมขึ้นกว่าเดิม ขั้นตอนนี้
ครอบคลุมถึงการมอง ไปข้างหน้าโดยใช้ประโยชน์จากวิธีการแก้ปัญหาที่ผ่านมา ขยายแนวคิดในการแก้
ปัญหาให้กว้างขวางขึ้นกว่าเดิม

วิธีการหนึ่งที่จะช่วยให้นักเรียนทั่วไปแก้ปัญหาได้คือ การสร้างกรอบของคำถามเพื่อกระตุ้น
ให้คิดตามแนวทางการแก้ปัญหาสี่ขั้นตอนของโพลยา

19

สาระน่ารู้

คณิตศาสตร์กับชีวิต

จุดมุ่งหมายของการศึกษาในอดีตจะเห็นได้ว่าการจัดการเรียนการสอนในช่วงต้นรัตนโกสินทร์คือ
ระหว่างปี พ.ศ. 2325-2426 นั้นประเทศไทยยังไม่มีโรงเรียน แต่มีการเรียนกันที่วัดหรือที่บ้าน ความมุ่งหมายใน
สมัยนั้นคือ การให้สามารถ อ่าน เขียนภาษาไทย และคิดเลขได้ นอกจากนั้นอาจมีการเรียนช่างฝีมือกันที่บ้าน

จากข้อความข้างต้นจะเห็นว่าความสำคัญของคณิตศาสตร์นั้นมีมาตั้งแต่สมัยรัตนโกสินทร์ และถ้า
จะค้นหาลึกลงไปนั้นในสมัยโบราณก็คงจะมีการใช้คณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวัน ในสังคมให้ความสำคัญกับการ
คำนวณ การเปรียบเทียบด้วยตัวเลข เปรียบเสมือนกับเป็นสิ่งที่ควบคู่ไปกับวิถีชีวิตของบุคคลต่างๆในสังคม ไม่ว่า
จะอยู่ในระดับใดของสังคม หรือต่างชนชาติกันก็ตาม คณิตศาสตร์ก็ยังเป็นสิ่งที่จำเป็น และเป็นสากล ได้แก่การ
บวก ลบ คูณ หาร และในความเชื่อที่ว่าคณิตศาสตร์เป็นกระบวนการแก้ปัญหาที่มีรูปแบบและขั้นตอนมาตรฐาน
ดังนี้คือ

(1) หาสิ่งที่ต้องการทราบ
(2) วางแผนการแก้ปัญหา
(3) ค้นหาคำตอบ
(4) ตรวจสอบ
จากขั้นตอนทางคณิตศาสตร์นี้เป็นกระบวนการแก้ปัญหาที่ทำให้เกิดกระบวนการเรียนรู้ที่เป็นระบบ เพื่อ
ให้เกิดลำดับขั้นตอนในการแก้ไขสิ่งต่างๆที่เกิดขึ้น เปรียบเสมือนการแก้ปัญหาสิ่งๆหนึ่งโดยใช้กระบวนการแก้
ปัญหาทางคณิตศาสตร์เพื่อหาข้อค้นพบและสามารถตรวจสอบข้อมูลต่างๆได้อย่างมีระบบ ระเบียบ
จะเห็นได้ว่าความสำคัญของคณิตศาสตร์นั้นมีความสำคัญกับชีวิตประจำวันเพื่อการดำเนินกิจกรรม
ต่างๆที่เกิดขึ้นเพื่อพัฒนาบุคคลในสังคมให้เกิดการแก้ปัญหาต่างๆที่เกิดขึ้น ไม่ว่าจะเป็นการซื้อ การขาย การ
คำนวณสิ่งปลูกสร้าง ซึ่งคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานในการหาข้อสรุปเพื่อให้เกิดชิ้นงานต่างๆที่เกิดขึ้นเพื่อสนองตอบ
ต่อสิ่งที่บุคลต้องการให้เป็นไม่ว่าจะเป็นสิ่งก่อสร้าง สิ่งอำนวยความสะดวกสบายที่เกิดขึ้นจากข้อความข้างต้นจะ
เสนอความสอดคล้องของคณิตศาสตร์กับชีวิตประจำวันได้อย่างไรดังตัวอย่างดังต่อไปนี้

20

การซื้อขายของ เป็นการใช้หลักคณิตศาสตร์พื้นฐานได้แก่ การคำนวณในเรื่องของต้นทุน และการได้กำไร
การกำหนดราคาเพื่อการตีค่าของราคาที่จะขายเพื่อให้เกิดกำไร ซึ่งเกี่ยวข้องหลักเศรษฐศาสตร์เบื้องต้นในการ
ดำเนินการซื้อขาย นอกจากนนี้ยังมีการทำบัญชีรายรับรายจ่าย ซึ่งก็ไม่พ้นในเรื่องของการใช้หลักคณิตศาสตร์
ในการควบคุมการทำงาน

การสร้างที่อยู่อาศัย เป็นการคำนวณอัตราส่วนของพื้นที่ในการการปลูกสิ่งปลูกสร้าง ในที่นี้ขอยกตังอย่าง
การสร้างที่อยู่อาศัย เริ่มตั้งแต่การคำนวณหาพื้นที่ในการสร้าง โดยหลักการวัดพื้นที่ (กว้าง x ยาว) จากนั้น
ต้องมี่การคำนวณโครงสร้างของสิ่งปลูกสร้างต่างๆได้แก่ ปูน หิน ทราย ไม้กระเบื้องและอื่นๆที่เป็นสวน
ประกอบของการสร้างที่อยู่อาศัย โดยการผสมปูน ได้แก่การคำนวณอัตราส่วนของส่วนผสมในการสร้างบ้าน
ซึ่งแตกต่างกันในการใช้งานเช่น พื้นปูนอาจมีการผสมให้มีความหยาบเพื่อใช้เป็นฐานของโครงบ้าน การฉาบ
อิฐจะต้องมีการละเอียดของปูนเพื่อให้เกิดการยึดแน่นของอิฐกับปูนเพื่อให้เกิดความแข็งแรงและสวยงาม
เป็นต้น

การเงินการธนาคาร เป็นการออมทรัพย์เพื่อให้เกิดความความมั่นของชีวิต มีการคำนวณดอกเบี้ย ผล
กำไร การปันผล การแลกเปลี่ยนเงินตราเพื่อให้ได้ผลประโยชน์ทางการเงิน โดยมีวิธีจูงใจผู้ฝากในรูปแบบต่างๆ
เช่น การออมทรัพย์ กระแสรายวัน ฝากประจำ ซึ่งมีการให้ดอกเบี้ยแตกต่างกันไป ขึ้นกับแต่ละธนาคารว่าจะ
ให้ผลประโยชน์กับผู้ฝากอย่างไรและผู้ฝากเป็นผู้ตัดสินใจในการใช้บริการทางการเงินกับธนาคารใด

ทางการศึกษา เป็นการคำนวณหาค่าต่างๆทีเกี่ยวข้องกับการให้คะแนน วิจัย การทดลองโดยใช้ค่าทาง
สถิติเพื่อให้เกิดข้อค้นพบต่างๆในเชิงปริมาณเพื่อหาข้อเท็จจริงที่เกิดขึ้น

จากตัวอย่างข้างต้นจะเห็นถึงความสำคัญของคณิตศาสตร์เป็นอย่างมากไม่ว่าจะเป็นการคำนวณ การ
วางแผนการทำงานในรูปแบบต่างๆ ล้วนสอดคล้องกับชีวิตประจำวันเป็นอย่างยิ่ง ผู้เขียนในฐานะที่กำลังศึกษา
ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์และพัฒนาตนเองเพื่อไปสู่กกระบวนการจัดการเรียนการสอนให้กับนักเรียนได้เห็นถึง
ประโยชน์ของคณิตศาสตร์เพื่อประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างมีประสิทธิภาพต่อไป ผู้เขียนหวังเป็นอย่าง
ยิ่งว่าผู้อ่าน เมื่อได้อ่านบทความนี้แล้วจะได้เห็นความสำคัญของคณิตศาสตร์




คณิตศาสตร์มีแขนงใดบ้าง

1. เลขคณิต ในโรงเรียน เราเริ่มรู้จักกัน คณิตศาสตร์จากการเรียนเลขาคณิต วิชานี้กล่าวถึงจำนวน
และสัญลักษณ์ที่เขียนแทนจำนวน ซึ่งเราเรียกว่าตัวเลข ตลอดจนการดำเนินการต่างๆ เกี่ยวกับจำนวน
ได้แก่ การบวก ลบ คูณ หาร เป็นต้น ในชีวิตประจำวันของคนใช้เลขาคณิตเป็นส่วนมาก

21

2. พีชคณิต เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ กล่าวถึงจำนวนในลักษณะต่างไปจากเลขาคณิตพีชคณิต
ใช้ตัวอักษร เช่น x และ y แทนจำนวนที่ยังไม่รู้ค่า เพื่อช่วยทำโจทย์เลขคณิตที่ยุ่งยากได้โดยง่าย พีชคณิตมี
ประโยชน์มากทั้งในด้านธุรกิจอุตสาหกรรมและวิทยาศาสตร์

3. เรขาคณิต เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับรูปร่าง และขนาดของสิ่งของรอบๆ ตัวเรา
เป็นวิชาว่าด้วยความสัมพันธ์ระหว่างเส้นมุม การวัดพื้นที่และปริมาตร ส่วนที่กล่าวถึงรูปบนพื้นราบ เช่น
รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า รูปจัตุรัสและวงกลม เรียกว่า เรขาคณิตระนาบ ส่วนที่กล่าวถึงรูปทรง
เช่น ลูกบาศก์ ทรงกลม กรวยกลม และกรวยเหลี่ยม(พีระมิด) เรียกว่า เรขาคณิตสามมิติ มีประโยชน์ใน
การก่อสร้าง เช่น การออกแบบสร้างอาคาร การสร้างถนน สะพานและเขื่อนกั้นน้ำ การคำนวณในวิชา
ดาราศาสตร์ การเดินเรือ การสำรวจ และการรังวัดที่ดิน

4. ตรีโกณมิติ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วย การวัดรูปสามเหลี่ยมต่าง ๆ โดยหาความ
สัมพันธ์ระหว่างด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม มีความสำคัญต่อวิชาดาราศาสตร์ การเดินเรือ และ
งานสำรวจใช้ในการคำนวณส่งสูงของภูเขา และหาความกว้างของแม่น้ำ มีประโยชน์มากสำหรับวิชา
วิทยาศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และการศึกษาเกี่ยวกับวัตถุ ซึ่งมีสภาพเป็นคลื่น เช่น แสง เสียง แม่เหล็ก
ไฟฟ้าและวิทยุ ส่วนที่กล่าวถึงรูปสามเหลี่ยมบนพื้นราบเรียกว่า ตรีโกณมิติระนาบ ส่วนที่กล่าวถึงรูป
สามเหลี่ยมบนพื้นผิวทรงกลมเรียกว่า ตรีโกณมิติทรงกลม

5. สถิติ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวกับการตัดสินใจในกรณีที่ต้องเผชิญกับสภาวะของ
ความไม่แน่นอน คำว่า "สถิติ" อาจหมายถึงตัวเลขที่หามาได้จากปริมาณที่ต้องการศึกษา เช่น สถิติเกี่ยว
กับผลผลิตทางการเกษตร ราคาสินค้าและปริมาณน้ำฝน เป็นต้น โดยทั่วไปวิชาสถิติเป็นวิชาที่เกี่ยวกับวิธี
การเก็บรวบรวมและนำเสนอผลที่ได้จากการสังเกต และการสรุปผลที่เกี่ยวกับเรื่องที่ต้องการศึกษา
ทั้งหมด โดยใช้บางส่วนที่เลือกมาพิจารณา

6. แคลคูลัส เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ กล่าวถึงปริมาณที่เปลี่ยนแปลงค่าอยู่ทุกขณะ และเรา
สามารถคำนวณได้ว่า การเปลี่ยนแปลงนั้นเกิดขึ้นเร็วหรือช้าเพียงใด ตัวอย่างของปริมาณเช่นนี้ ได้แก่
จำนวนพลเมืองของประเทศ ความเร็วของวัตถุเคลื่อนไป เช่น ความเร็วของจรวดหลังจากถูกยิงขึ้นสู่
ท้องฟ้า การบอกตำแหน่งของดาวเคราะห์ที่หมุนรอบดวงอาทิตย์ แคลคูลัสเป็นวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง มี
ประโยชน์มากสำหรับวิชาวิศวกรรมศาสตร์ ฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์แขนงต่าง ๆ

22

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์

ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ หมายถึง ความสามารถที่จะนำความรู้ไปประยุกต์ใช้ในการ
เรียนรู้สิ่งต่างๆ เพื่อให้ได้มาซึ่งความรู้และประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้อย่างมีประสิทธิภาพ เน้นที่ทักษะ
และกระบวนการทางคณิตศาสตร์ คือ การแก้ปัญหา การเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์
กับศาสตร์อื่น การแสดงเหตุผล การนำเสนอและการสื่อสาร ความคิดสร้างสรรค์

1. ทักษะและกระบวนการการแก้ปัญหา เป็นกระบวนการที่ผู้เรียนควรจะรู้ ฝึกฝน และการพัฒนาให้
เกิดทักษะขึ้นในตัวนักเรียนปัญหาทางคณิตศาสตร์ หมายถึง สถานการณ์ที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ซึ่งเผชิญอยู่
และต้องการค้นหาคำตอบโดยที่ยังไม่รู้วิธีการหรือขั้นตอนที่จะได้คำตอบของสถานการณ์นั้นในทันที

2. ทักษะและกระบวนการการให้เหตุผล หมายถึง กระบวนการการคิดทางคณิตศาสตร์ที่ต้องอาศัย
การคิดวิเคราะห์และความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ในการรวบรวมข้อเท็จจริง/ข้อความ/แนวคิด/สถานการณ์ ทาง
คณิตศาสตร์ต่างๆ แจกแจงความสัมพันธ์หรือการเชื่อมโยงเพื่อทำให้เกิดข้อเท็จจริงหรือสถานการณ์ใหม่

รูปแบบการให้เหตุผล
1. การให้เหตุผลแบบสหัชญาณ เป็นการให้เหตุผลที่มาจากการใช้ความรู้ที่มีมาแต่กำเนิด หรือ

สามัญสำนึก
2. การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลที่มาจากกระบวนการที่ใช้การสังเกต หรือการทดลอง

หลายๆ ครั้ง แล้วรวบรวมข้อมูลเพื่อหาแบบรูปที่จะนำไปสู่ข้อสรุปซึ่งเชื่อว่า น่าจะถูกต้อง น่าจะเป็นจริง เรียก
ข้อสรุปที่ได้ว่า ข้อความคาดการณ์

3. การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุผลที่มาจากกระบวนการที่ยกเอาสิ่งที่รู้ว่าเป็น จริงหรือ
ยอมรับว่าเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์แล้วใช้เหตุผลทางตรรกศาสตร์ อ้างจากสิ่งที่รู้ว่าเป็นจริงนั้น ไปสู่ข้อสรุป
หรือผลสรุปที่เพิ่มเติมขึ้นมาใหม่

3. ทักษะกระบวนการการสื่อสารและการนำเสนอ เป็นกระบวนการถ่ายทอดข่าวสารจากผู้ส่งสาร ไปยัง
ผู้รับสารโดยนำเสนอผ่านช่องทางการสื่อสารต่างๆ ได้แก่ การฟัง การพูด การอ่าน การเขียน การดู การแสดง
ท่าทาง โดยมีการใช้สัญลักษณ์ ตัวแปร ตาราง กราฟ สมการ อสมการ ฟังก์ชันและแบบจ าลอง ตัวแบบเชิง
คณิตศาสตร์มาช่วยในการสื่อความหมาย

23

4. ทักษะกระบวนการการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์ เป็นกระบวนการที่ต้องอาศัยการคิด วิเคราะห์
และความคิดสร้างสรรค์ ในการนำความรู้ เนื้อหาสาระและหลักการทางคณิตศาสตร์มาสร้างความสัมพันธ์อย่าง
เป็นเหตุเป็นผลระหว่างความรู้และทักษะหรือกระบวนการที่มีเนื้อหาคณิตศาสตร์กับงานที่เกี่ยวข้อง เพื่อนำไปสู่
การแก้ปัญหา และการเรียนรู้แนวคิดใหม่ที่ซับซ้อนหรือสมบูรณ์ขึ้น

รูปแบบการเชื่อมโยงทางคณิตศาสตร์
1.การเชื่อมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ เป็นการนำความรู้และทักษะกระบวนการต่างๆ ทาง

คณิตศาสตร์ไปสัมพันธ์กันอย่างเป็นเหตุเป็นผลทำให้สามารถแก้ปัญหาได้หลากหลายวิธีหรือกะทัดรัด และ
ทำให้การเรียนการสอนคณิตศาสตร์มีความหมายขึ้น

2. การเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อื่น เป็นการนำความรู้และทักษะกระบวนการต่างๆ ทาง
คณิตศาสตร์ไปสัมพันธ์กันอย่างเป็นเหตุเป็นผลกับเนื้อหาและความรู้ของศาสตร์อื่นๆ เช่น วิทยาศาสตร์
ดาราศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ ทำให้การเรียนการสอนคณิตศาสตร์น่าสนใจ มีความหมาย และนักเรียน เห็นความ
สำคัญในการเรียนคณิตศาสตร์

5. ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ เป็นกระบวนการคิดที่อาศัยความรู้พื้นฐาน จินตนาการ และวิจารณญาณ ใน
การพัฒนาหรือคิดค้นองค์ความรู้หรือสิ่งประดิษฐ์ใหม่ๆ ที่มีคุณค่าและเป็นประโยชน์ต่อตนเอง และสังคม ความ
คิดริเริ่มสร้างสรรค์มีหลายระดับ ตั้งแต่ระดับพื้นฐานที่สูงกว่าความคิดพื้นๆ เพียงเล็กน้อย ไปจนกระทั่ง เป็น
ความคิดที่อยู่ในระดับสูงมาก องค์ประกอบของความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ความคิดคล่อง ความคิดยืดหยุ่น ความ
คิดริเริ่ม และความคิดละเอียดลออ

24

ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์

ในการหาคำตอบของสถานการณ์หรือปัญหาใดปัญหาหนึ่งนั้น เราอาจมียุทธวิธีที่สามารถนำมาใช้แก้
ปัญหานั้นได้มากกว่าหนึ่งวิธีหรือต้องใช้หลายยุทธวิธีร่วมกัน ดังนั้น ขึ้นอยู่กับผู้แก้ปัญหาว่าจะเลือก
ยุทธวิธีใดมาใช้แก้ปัญหานั้นๆ ซึ่งนักแก้ปัญหาที่ดีจะต้องมียุทธวิธีในการแก้ปัญหาที่พร้อมจะเลือกออก
มาใช้ได้ในทันที ยุทธวิธีที่ใช้ในการแก้ปัญหามีหลากหลายวิธี ยุทธวิธีแก้ปัญหาเป็นเครื่องมือสำคัญที่
สามารถนำมาใช้ในการแก้ปัญหาได้ดี ส่วนใหญ่ที่พบบ่อยในทางคณิตศาสตร์ มีดังนี้

1.การค้นหาแบบรูป
2. การสร้างตาราง
3. การเขียนภาพหรือแผนภาพ
4.การแจงกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด
5. การคาดเดาและตรวจสอบ
6. การทำงานแบบย้อนกลับ
7. การเขียนสมการ
8. การเปลี่ยนมุมมอง
9. การแบ่งเป็นปัญหาย่อย
10. การให้เหตุผลทางตรรกศาสตร์
11. การให้เหตุผลทางอ้อม
12. เชื่อมโยงกับปัญหาที่คุ้นเคย
13. การวาดภาพ
14. การสร้างแบบจำลอง
15. ลงมือแก้ปัญหา

25

ในที่นี้จะขอนำเสนอยุทธวิธีในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 10 วิธี ดังนี้
การเดาและตรวจสอบ เป็นอาศัยข้อมูลและเงื่อนไขมาผสมผสานกับประสบการณ์เดิม เป็นกรอบในการเดา
คำตอบ ดูความเป็นไปได้แล้วตรวจคำตอบ ถ้าเดาไม่ถูกต้องก็เดาใหม่ การเดาต้องเดาอย่างมีเหตุผล มีทิศทาง
เพื่อให้สิ่งที่เดานั้นใกล้เคียงกับคำตอบมากที่สุด
การหารูปแบบ เป็นการสังเกตและพิจารณารูปแบบของส่วนแรก แล้วทำนายส่วนต่อไป
การแจงกรณี จะเป็นการเขียนถึงคำตอบที่เป็นไปได้อย่างมีระบบระเบียบ ครบถ้วนไม่ซ้ำซ้อน อาจเขียนแจง
รายการอย่างครบถ้วนทุกประเด็นหรือบางรายการที่จำเป็นและเพียงพอ
การสร้างตารางหรือกราฟ เป็นการจัดข้อมูลให้เป็นระบบ เขียนตาราง เพื่อช่วยหาความสัมพันธ์ ที่นำไปสู่
การหาคำตอบที่ต้องการ
การเขียนแผนภาพหรือภาพประกอบ เป็นการใช้ภาพหรือแผนภาพ และความสัมพันธ์ของข้อมูล เพื่อให้
เข้าใจและเห็นแนวทางในการแก้ปัญหา
การทำย้อนกลับ เป็นการคิดวิเคราะห์จากผลไปหาเหตุ เริ่มจากสิ่งที่กำหนดให้แล้วหาความเชื่อมโยง
ความสัมพันธ์ต่างๆ เชื่อมโยงย้อนกลับไปสู่สิ่งที่ปัญหากำหนด ทำให้หาคำตอบได้ง่ายกว่า วิธีนี้มีประโยชน์ต่อผู้
เรียนที่ชาญฉลาดที่จะพัฒนาทักษะการให้เหตุผล
การใช้เหตุผล เป็นการประมวลข้อมูล ความรู้ และประสบการณ์เดิมเข้าด้วยกันจากเหตุไปสู่ผลที่เป็นคำ
ตอบของปัญหา วิธีนี้มักใช้ร่วมกับยุทธวิธีอื่นๆ
ยุทธวิธีการพิจารณากรณีที่ง่ายกว่าหรือแบ่งเป็นปัญหาย่อย โดยเริ่มจากกรณีง่ายๆ หรือแบ่งปัญหา ออก
เป็นส่วนๆ เพื่อลดความซับซ้อน แล้วนำแนวคิดนั้นมาใช้แก้ปัญหา
ยุทธวิธีในการแก้ปัญหาเลย เป็นการแก้ปัญหาเลยโดยอาจจะทำคร่าวๆ เพื่อให้เห็นภาพรวมและขั้นตอนใน
การแก้ปัญหานั้นได้ง่ายขึ้น
ยุทธวิธีการใช้แบบจำลอง เป็นการสร้างแบบจำลองแทนปัญหาโดยใช้ของจริง รูปภาพหรือใช้ตัวแบบทาง
คณิตศาสตร์ เพื่อช่วยทำความเข้าใจปัญหาง่ายขึ้น และช่วยกำหนดแนวคิดในการแก้ปัญหา การสร้างแบบ
จำลองของปัญหาทำให้เข้าใจมโนคติ การดำเนินการที่จำเป็นต่อการแก้ปัญหา

26

การคูณด้วย 9 โดยใช้มือ

จากลักษณะพิเศษดังกล่าว เราสามารถนำมาประยุกต์หรือประดิษฐ์เป็นวิธีการคูณจำนวนนับ (น้อยกว่า
10) ด้วย 9โดยใช้มือดังนี้ ยกมือทั้งสองข้างขึ้นในลักษณะกางฝ่ามือ(คว่ำมือหรือหันฝ่ามือไปข้างหน้า)

ต้องการผลคูณ (1)9 ให้งอนิ้วก้อยซ้าย จะเหลือนิ้วปกติอยู่ 9 นิ้ว คำตอบคือ 9
ต้องการผลคูณ (2)9 ให้งอนิ้วนางซ้าย จะเหลือนิ้วปกติอยู่ด้านซ้ายนิ้วนาง 1 นิ้ว และทางขวามือนิ้วนางอยู่ 8
นิ้ว คำตอบคือ 18
ต้องการผลคูณ (3)9 ให้งอนิ้วกลางซ้าย จะเหลือนิ้วปกติอยู่ด้านซ้ายนิ้วกลาง 2 นิ้ว และทางขวามือนิ้วกลาง
อยู่ 7 นิ้ว คำตอบคือ 27
ต้องการผลคูณ (4)9 ให้งอนิ้วชี้ซ้าย จะเหลือนิ้วปกติอยู่ด้านซ้ายนิ้วชี้ 3 นิ้ว และทางขวามือของนิ้วชี้อยู่ 6 นิ้ว
คำตอบคือ 36
ต้องการผลคูณ (5)9 ให้งอนิ้วหัวแม่มือซ้าย จะเหลือนิ้วปกติอยู่ด้านซ้ายนิ้วหัวแม่มือ 4 นิ้ว และทางขวามือ
ของนิ้วหัวแม่มืออยู่ 5 นิ้ว คำตอบคือ 45
ต้องการผลคูณ (6)9 ให้งอนิ้วหัวแม่มือขวา จะเหลือนิ้วปกติอยู่ด้านซ้ายนิ้วหัวแม่มือ 5 นิ้ว และทางขวามือ
ของนิ้วหัวแม่มืออยู่ 4 นิ้ว คำตอบคือ 54
ต้องการผลคูณ (7)9 ให้งอนิ้วชี้ขวา จะเหลือนิ้วปกติอยู่ด้านซ้ายนิ้วชี้ 6 นิ้ว และทางขวามือของนิ้วชี้อยู่ 3
นิ้ว คำตอบคือ 63
ต้องการผลคูณ (8)9 ให้งอนิ้วกลางขวา จะเหลือนิ้วปกติอยู่ด้านซ้ายนิ้วกลาง 7 นิ้ว และทางขวามือนิ้วกลาง
อยู่ 2 นิ้ว คำตอบคือ 72
ต้องการผลคูณ (9)9 ให้งอนิ้วนางขวา จะเหลือนิ้วปกติอยู่ด้านซ้ายนิ้วนาง 8 นิ้ว และทางขวามือนิ้วนางอยู่ 1
นิ้ว คำตอบคือ 81

27

เศษเท่าไร

ในกรณีที่ต้องการทราบว่า เมื่อหารจำนวนต่าง ๆ ด้วย 9 แล้วเหลือเศษเท่าไร โดยปกติเราจะใช้
วิธีการหาร ซึ่งหลาย ๆ ท่านมีความถนัดก็ไม่ลำบากมากนักในการหาคำตอบ แต้ถ้าถามว่ามีวิธีที่ง่ายกว่านี้
หรือไม่ ตอบได้ว่ามีวิธีการง่าย ๆ ดำเนินการดังนี้

นำจำนวน(ตัวเลข)แต่ละหลักมารวมกันเป็นชุด ๆ ละ 9 จำนวนที่เหลือจากชุดเหล่านั้นจะเป็นเศษ
ที่ต้องการ เช่น ถ้าต้องการหาว่า 9 หารจำนวนเหล่านี้ 567824 , 3465089 , 51682473 ได้เศษเท่าไร
เราพิจารณาแต่ละจำนวนดังนี้

พิจารณา 567824 ได้จำนวนในหลักต่าง ๆ เป็น 5, 6, 7, 8, 2, 4 ซึ่งจัดเป็นชุดละ 9 คือ 5 กับ
4 , 7 กับ 2 ที่เหลือ 6 กับ 8 จัดเป็นชุดละ 9 แล้วเหลือเศษ 5 ดังนั้น 9 หาร 567824 เหลือเศษ 5

พิจารณา 3465089 ได้จำนวนในหลักต่าง ๆ เป็น 3, 4, 6, 5, 0, 8, 9 ซึ่งจัดเป็นชุดละ 9 คือ 3
กับ 6 , 4 กับ 5 , 0 กับ 9 เหลือ 8 ดังนั้น 9 หาร 3465089 เหลือเศษ 8

พิจารณา 51682473 ได้จำนวนในหลักต่าง ๆ เป็น 5, 1, 6, 8, 2, 4, 7, 3 ซึ่งจัดเป็นชุดละ 9 คือ
5 กับ 4 , 1 กับ 8 และ 2 , 4 , 3 เหลือ 7 ดังนั้น 9 หาร 51682473 เหลือเศษ 7

หวังว่าผู้อ่านคงหาคำตอบไม่ยาก ส่วนที่มาของแนวคิดนี้มาจากความรู้เรื่องของจำนวนคือ ค่าของ
จำนวนในหลักต่าง ๆ หารด้วย 9 แล้วเหลือเศษเท่ากับจำนวนที่แทนตัวเลขนั้น

28

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์

29

จำนวนเฉพาะ

จินตนาการออกไหมว่าตัวเลข 12,978,189 ตัวนั้นยาวแค่ไหน (ไลฟ์ไซน์/Andreas
Guskos/Shutterstock.com)

นักคณิตศาสตร์พบ “จำนวนเฉพาะ” ที่ใหญ่ที่สุด มีตัวเลขยาวถึง 17,425,170 ตัว ซึ่งทำลายสถิติ
จำนวนเฉพาะใหญ่ที่สุด ที่ค้นพบเมื่อปี 2008 โดยมีตัวเลขยาว 12,978,189 ตัว

จำนวนดังกล่าว คือ 2 ยกกำลัง 57,885,161 ลบ 1 (257,885,161) -1 ซึ่งค้นพบโดย คัวร์ทิส คูเปอร์
(Curtis Cooper) นักคณิตศาสตร์มหาวิทยาลัยเซ็นทรัลมิสซูรี (University of Central Missouri) ระหว่างการ
ทำงานในเครือข่ายขนาดใหญ่ในการอาสาปันคอมพิวเตอร์ส่วนตัวมาช่วยในการค้นหาจำนวนเฉพาะ

เครือข่ายดังกล่าวคือ เครือข่ายค้นหาจำนวนเฉพาะแมร์แซนกิมป์ (Great Internet Mersenne
Prime Search : GIMPS) ซึ่งใช้ประโยชน์จากหน่วยประมวลผลของคอมพิวเตอร์อาสา 360,000 หน่วยประมวล
ผล ซึ่งทำการคำนวณ 150 ล้านล้านครั้งได้ใน 1 วินาที

สำหรับการค้นพบครั้งนี้ไลฟ์ไซน์ระบุว่า เป็นการค้นพบจำนวนเฉพาะครั้งที่ 3 ของคูเปอร์ ซึ่งทางด้าน
จอร์จ วอลต์แมน (George Woltman) นักวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ในออร์แลนโด ฟลอริดา สหรัฐฯ ผู้สร้าง
เครือข่ายกิมป์ และปัจจุบันเกษียณการทำงานแล้ว กล่าวถึงความพยายามค้นหาจำนวนเฉพาะนี้ว่า เหมือนการไต่
ยอดเขาเอเวอร์เรสต์ ซึ่งคนเหล่านั้นมีความสุขในความท้าทายที่ได้จากการค้นหาสิ่งที่ยังไม่มีใครรู้มาก่อน

อีกนัยหนึ่งจำนวนเฉพาะที่เพิ่งค้นพบนี้เป็นตัวอย่างลำดับที่ 48 ของจำนวนเฉพาะแมร์แซนที่หาได้ยาก
โดยจำนวนเฉพาะดังกล่าวอยู่ในรูป 2 ยกกำลังจำนวนเฉพาะลบด้วย 1 (2จำนวนเฉพาะ) -1 และนับแต่มีการ
นิยามจำนวนเฉพาะนี้ครั้งแรกโดยบาทหลวงฝรั่งเศสชื่อ มาแร็ง แมร์แซน (Marin Mersenne) เมื่อ 350 ปีมา
ก่อน เพิ่งมีการค้นพบจำนวนเฉพาะชนิดนี้เพียง 48 ตัว ซึ่งรวมถึงการค้นพบล่าสุดด้วย

หลังจากจำนวนเฉพาะตัวนี้ถูกค้นพบ ก็มีการตรวจสอบซ้ำโดยนักวิจัยอีกหลายคน โดยใช้คอมพิวเตอร์
เครื่องอื่น ทั้งนี้ วอลต์แมนอธิบายว่า หากใช้วิธีทั่วไปในการค้นหาจำนวนเฉพาะโดยการหารตัวเลขที่น่าจะใช่
จำนวนเฉพาะที่สนใจ ด้วยจำนวนที่มีค่าน้อยกว่าทุกตัว นับเป็นวิธีที่เปลืองเวลา และหากทำเช่นนั้นเราอาจใช้
เวลานานยิ่งกว่าอายุของจักรวาล แต่นักคณิตศาสตร์ใช้ยุทธศาสตร์ที่ฉลาดกว่านั้น โดยการใช้สมการเพื่อตรวจ
สอบจำนวนไม่กี่ตัว ซึ่งใช้เวลาน้อยกว่ามากโข

ผลจากการค้นพบจำนวนเฉพาะที่ใหญ่ที่สุดในครั้งนี้ คูเปอร์จะได้รับรางวัลเป็นมูลค่าราว 150, 000 บาท

30

อัศจรรย์เลข 7

เลข 7 เข้ามามีบทบาทกับชีวิตของเราเกือบทุกด้าน ถ้าไม่เชื่อก็ลองตามมาดู แล้วคุณจะทึ่งกับ
มหัศจรรย์ของเลข 7

1 สัปดาห์ มี 7 วัน
ยังจำกันได้มั้ย สมัยเรายังเด็กท่องกันเป็นนกแก้วนกขุนทองว่า 1 สัปดาห์ มี 7 วัน 1 วันอาทิตย์ สี
แดง 2 วันจันทร์ สีเหลือง...แต่เรากลับไม่เคยรู้สึกสงสัยกันเลยว่า เออ...แล้วทำไมต้องมี 7 วัน แท้จริงแล้ว
มันมีที่มาจากคติความเชื่อทางพราหมณ์ ที่อธิบายว่าการตั้งชื่อวันทั้ง 7 นั้น เป็นไปตามโหราศาสตร์ว่าด้วย
เรื่องของดวงดาวนพเคราะห์ และการบูชาเทวดาประจำดวงดาว ซึ่งมีทั้งหมด 9 ดวง แต่เราจะมองไม่เห็น 2
ดวง คือ ดาวราหู และดาวเกตุ ชาวโหราศาสตร์สมัยโบราณเขาก็เลยกำหนดให้ 1 สัปดาห์ มี 7 วันนั่นเอง
ซึ่งหมายถึงว่าเราจะได้บูชาเทวดาประจำวัน หรือเทวดาทั้ง 7 เพื่อระลึกถึงคุณงามความดีและเตือนสติไม่ให้
เราหลงผิด

รุ้งมี 7 สี
คิดแล้วก็แปลก ทำไมรุ้งถึงต้องมี 7 สี และเกิดขึ้นได้อย่างไรกัน ที่สำคัญไม่ว่าจะอยู่ในมุมใดของโลก
เราก็เห็นปรากฏการณ์ทางธรรมชาติของรุ้ง ได้ครบ 7 สีเหมือนกัน เรื่องนี้สามารถอธิบายได้ด้วยหลัก
วิทยาศาสตร์ว่า รุ้งกินน้ำนั้นเกิดจากการหักเหของแสงอาทิตย์ที่ผ่านละอองน้ำ ปรากฏเป็นความสวยงาม
ของรุ้ง 7 สี ที่อยู่ฝั่งตรงข้ามกับดวงอาทิตย์ จริงๆ แล้วแสงจากดวงอาทิตย์ก็มี 7 สี คือ ม่วง คราม น้ำเงิน
เขียว เหลือง แสด แดง เพียงแต่ปกติเราจะมองกันไม่เห็น แต่เมื่อแสงเหล่านี้ส่องผ่านเข้าไปในละอองน้ำ
หรือหยดน้ำ จะเกิดการหักเหของแสงออกมาทำให้เราเห็นได้อย่างชัดเจน โดยแสงสีแดงทำมุมสะท้อน 42
องศา ส่วนแสงสีน้ำเงินทำมุม 40 องศา เราจึงเห็นรุ้ง 7 สี โดยมีสีแดงอยู่ด้านบนและสีม่วงอยู่ด้านล่าง
ร้อยเอ็ด 7 ย่านน้ำ
ศ.ดร.กาญจนา นาคสกุล ราชบัณฑิต สำนักศิลปกรรม ราชบัณฑิตยสถาน ให้คำอธิบายถึงสำนวน
ไทยนี้เอาไว้ว่า...ในสมัยโบราณการเดินทางไกลมักจะใช้ เรือเป็นพาหนะ และการเดินทางทางน้ำแต่ละครั้ง
ก็ขนสัมภาระไปด้วย ทั้งในเรือก็ยังใช้เป็นที่พักหลับนอนได้ ร้อยเอ็ดเจ็ดย่านน้ำ จึงหมายความว่า การเดิน
ทางไปหลายหนหลายแห่ง หรือว่าไปมาทั่วนั่นเอง
ภริยา 7 ประเภท
“ถือไม้เท้ายอดทอง กระบองยอดเพชร” คงเป็นคู่ครองที่หลายคนปรารถนา และใครก็คงอยากจะ
พบคู่คิด คู่ชีวิต คู่สร้างคู่สม มากกว่าคู่กัด คู่เวรคู่กรรม คนโบราณเขาถึงได้มีตำราเปรียบเทียบภรรยาเอาไว้
อย่างแจ่มชัด โดยแบ่งได้ 7 ประเภทด้วยกัน

31

วธกาภริยา หมายถึง ภริยาเยี่ยงเพชฆาต คือเมียที่ไม่ได้อยู่กินกันด้วยความพอใจ ดูหมิ่น และคิดทำลาย
สามี (อย่างนี้คงเข้าข่ายคลุมถุงชน หรือไม่ก็ไปฉุดมา)
โจรีภริยา หมายถึง ภริยาเยี่ยงโจร คือเมียชนิดล้างผลาญทรัพย์สมบัติ (เว้ากันง่ายๆ คือผู้ที่ชอบสูบเงินสามี
ไปใช้ในทางที่ฟุ่มเฟือย)
อัยยาภริยา หมายถึง ภริยาเยี่ยงนาย คือเมียที่เกียจคร้าน ไม่ใส่ใจการงาน ปากร้าย หยาบคาย ชอบข่ม
สามี หรือดุด่าสามีเป็นประจำ
มาตาภริยา หมายถึง ภริยาเยี่ยงมารดา คือเมียที่หวังดี คอยเป็นห่วงเป็นใย เอาใจใส่ (ประเสริฐแท้แม่คู้น)
ภคินีภริยา ภริยาเยี่ยงน้องสาว คือเมียที่เคารพรักสามี ดังน้องรักพี่ มีใจอ่อนโยน รู้จักเกรงใจ มักคล้อยตาม
สามี (น่ารักน่าเอ็นดู้)
สขีภริยา ภริยาเยี่ยงสหาย คือเมียที่เป็นเหมือนเพื่อน มีจิตภักดี เวลาพบสามีก็ร่าเริงยินดี วางตัวดี
ประพฤติดี มีกิริยามารยาทงาม (เพื่อนคู่คิด มิตรคู่กาย)
ทาสีภริยา ภริยาเยี่ยงทาส คือเมียที่ยอมอยู่ใต้อำนาจสามี ถูกสามีตะคอกตบตี ก็อดทน ไม่แสดงความโกรธ
ตอบ (อย่าปล่อยให้ถึงจุดระเบิดเชียวนา เธอเอาตาย)

สวรรค์ชั้น 7
อันที่จริงแล้วในคัมภีร์แห่งภพ กล่าวว่า สวรรค์นั้นมีทั้งหมด 6 ชั้นด้วยกัน คือ จาตุมหาราชิกภูมิ
ดาวดึงส์ ยามา ดุสิต นิมมานรดี (กามาวตรี) และปรนิมมิตวสวัตตี (กามาวจร) ส่วนสวรรค์ชั้น 7 หรือสวรรค์
ชั้น “สุขาวดี” นั้นเป็นผลเนื่องมาจากชาวสวรรค์ชั้น 5 คือผู้ซึ่งรักสันโดษ ซึ่งเป็น “อิสตรีเพศ” ผู้มีปรารถนา
อยู่อย่างโดดเดี่ยว ละแล้วซึ่งกามราคะ กับชาวสวรรค์ชั้น 6 ผู้รักสันโดษ “เพศชาย” ที่มิปรารถนาอยู่เป็นคู่กับ
ผู้ใด เกิดความต้องการจะเสวยสุข หรือละไม่ได้ซึ่งกิเลสตัณหา ก็จะถูกส่งมาที่สวรรค์ชั้นสุขาวดี หรือว่าสวรรค์
ชั้น 7 หรืออีกนัยหนึ่งก็คือจะต้องลงมาเกิดบนโลกมนุษย์ เพื่อเข้าสู่ “สังสารวัฏ” อีกครั้งหนึ่ง พูดง่ายๆ สวรรค์
ชั้น 7 ก็น่าจะหมายถึงโลกมนุษย์ของเรานี่เอง
หน้า 7 หลัง 7
เรื่องของ หน้า 7 หลัง 7 นี้ เป็นเรื่องที่ทั้งคุณผู้ชายและคุณผู้หญิงต้องทำความเข้าใจร่วมกันให้แจ่ม แจ้งว่าเป็น
หนึ่งในวิธีการคุมกำเนิดแบบพื้นๆ ที่ไม่ต้องอาศัยคิงดอม หรือยาคุมแต่อย่างใด เพียงแค่อาศัยความจำที่
แม่นยำก็เท่านั้น ซึ่งคำว่า หน้า 7 หมายความว่า 7 วันก่อนรอบเดือนจะมา ส่วนคำว่าหลัง 7 หมายความว่า 7
วัน นับจากวันแรกที่รอบเดือนมา เช่น สมมติว่ารอบเดือนมาวันที่ 10 -- 7 วันหน้า คือวันที่ 3 4 5 6 7 8 9
ส่วน 7 วันหลัง คือวันที่ 10 11 12 13 14 15 16 ทั้งๆ ที่เป็นวิธีคุมกำเนิดที่แสนจะง่ายดาย แต่คุณผู้ชายกับ
คุณผู้หญิงก็มักนับพลาดท่ากันทุกทีสิเอ้า

32

7 ชั่วโคตร
เป็นการลงโทษในสมัยโบร่ำโบราณขั้นรุนแรง เรียกว่าแทบล้างตระกูลกันทีเดียว 7 ชั่วโคตรก็คือการ
ลงโทษขั้นประหารชีวิตของผู้กระทำผิดและผู้ร่วมวงศ์สกุล เดียวกันถึง 7 รุ่น นับตั้งแต่ตัวผู้กระทำผิดขึ้นไป 3
ชั้น คือ พ่อ ปู่ และทวด และนับจากตัวเองลงมาอีก 3 รุ่น คือ ลูก หลาน เหลน รวมตัวผู้กระทำผิดด้วยก็เป็น
7 ชั่วโคตรพอดี แต่โทษร้ายแรงนี้ไม่นับรวมถึงบรรดาผู้หญิงนะครับ นี่ถ้าสมัยนี้ยังใช้การลงโทษชนิดนี้อยู่คง
ล้มหายไปหลายตระกูลแล้วกระมัง
คนแคระทั้ง 7
คนตัวจิ๋วเพื่อนที่แสนดีของสาวอาภัพผู้เลอโฉม สโนไวท์ นิทานอมตะที่ใครๆ ก็ชื่นชอบและรู้จักกัน
เป็นอย่างดี ซึ่งคนแคระแต่ละคนก็จะมีลักษณะที่แตกต่างกันไป สังเกตได้จากสีของเสื้อผ้าที่สวมใส่ คนแรก
คือ สเตด สวมเสื้อสีน้ำเงิน คนที่ 2 คือโบลด์ สีม่วง ทีมิต สีเขียว ฮอกกี สีเหลือง เชฟ สีแดง อควา สีฟ้า และ
แนปปี สีส้ม คนแคระทั้ง 7 นอกจากจะให้บ้านพักกับสโนไวท์ยามที่หนีจากเงื้อมมือมัจจุราชอย่างแม่มดใจ
ร้ายแล้ว พวกเขายังนำเธอใส่ในโลงแก้วเพื่อรอคอยปาฏิหาริย์ ก่อนเรื่องราวจะจบลงอย่างสุขนาฏกรรม
7 กุมภา
ปิดท้ายกันด้วยความมหัศจรรย์ของเลข 7 สุดท้าย ด้วย 7 กุมภา คือวันเกิดของหนังสือพิมพ์โพสต์ทู
เดย์ซึ่งก่อตั้งมาตั้งแต่วันที่ 7 ก.พ. 2546 จนถึงวันนี้ ก็ก้าวเข้าสู่ปีที่ 5 กันแล้ว...

33

จินตคณิตสูตรคิดเร็ว

1.การคูณจำนวนใดๆ ด้วย 25
1) ให้เอา 4 หารจำนวนที่เป็นคู่คูณของ 25 นั้น เขียนเป็นผลลัพธ์ไว้
2) ถ้าหารลงตัว ให้เขียน 00 ต่อท้ายผลลัพธ์
3) ถ้าเศษ 1 ให้เขียน 25 ต่อท้ายผลลัพธ์นั้น
4) ถ้าเศษ 2 ให้เขียน 50 ต่อท้ายผลลัพธ์นั้น
5) ถ้าเศษ 3 ให้เขียน 75 ต่อท้ายผลลัพธ์นั้น

2.การหารจำนวนใดๆ ด้วย 25 ให้เอา 4 คูณจำนวนนั้น ได้ผลลัพธ์เท่าไหร่ ใส่ทศนิยม 2 ตำแหน่งเป็นผลลัพธ์
ที่ถูกต้องและรวดเร็ว
3.การหารเลขใดๆ ด้วย 99 1.ถ้าเอาเลข 99 หารเลขตั้งแต่ 3 หลักขึ้นไป ให้เอาเลข หลักร้อยตัวหน้าของตัว
ตั้งเป็นผลลัพธ์
4.การคูณเลขใดๆ ด้วย 99,999,9999,.... ให้ลดคู่คูณของ 99 หรือ 999 หรือ 9999 ลง 1
5.การหาค่ากำลังสองของเลขที่ลงท้ายด้วย 5

1) ให้เอา 5 ตัวท้ายคูณกันได้ 25 ตั้งเป็นผลลัพธ์หลักหน่วย และหลักสิบไว้ก่อน
2) ให้เอาจำนวนที่อยู่หน้าเลข 5 คูณจำนวนที่นับต่อจากมัน คูณได้เท่าไร เขียนเป็นผลลัพธ์ต่อจาก 25
เป็นหลักร้อย หลักพันต่อไป เป็นผลลัพธ์ที่ถูกต้องและรวดเร็ว
6.การคูณเลข 2 หลักที่จำนวนหน้าเท่ากัน จำนวนหลังบวกกันได้ 10 1.ให้เอาเลขตัวท้ายคูณกันตั้งเป็น
ผลลัพธ์หลักหน่วย และหลักสิบไว้ก่อน 2.เอาตัวหน้าคูณกับจำนวนนับที่นับต่อจากมัน
7.การคูณเลขสองหลักที่มีหลักสิบเป็น 1 ทั้งตัวตั้งและตัวคูณ
1) ให้เอาหลักหน่วยคูณกัน ตั้งผลลัพธ์หลักหน่วยไว้ (ถ้าคูณกันได้เกิน 9 ให้ทดหลักสิบไว้ก่อน)
2) เอาหลักหน่วยตัวหลัง บวกกับจำนวนหน้า บวกกับตัวทดแล้วเขียนเป็นผลลัพธ์ต่อจากที่เขียนไว้
เป็นหลักสิบหลักร้อยต่อไป ก้อจะได้ผลลัพธ์ที่ถูกต้องและรวดเร็ว
8.การคูณเลขสองหลักที่มีหลักหน่วยเป็น 1 ทั้งตัวตั้งและตัวคูณ
1) เขียน 1 เป็นหลักหน่วยที่ผลลัพธ์ตั้งไว้ก่อน
2) เอาเลขหลักสิบบวกกับหลักสิบ ได้เท่าไรเขียนเป็นผลลัพธ์หลักสิบ ต่อจาก 1 ถ้าบวกกันได้เลขสอง
ตัวให้ทดตัวหน้าไว้ก่อน
3) เอาหลักสิบคูณหลักสิบบวกกับตัวทด ได้เท่าไร เขียนผลลัพธ์ต่อเป็นหลักร้อย หลักพันต่อไปเป็น
ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง

34

ค่าของ π

π

อักษร π (พาย) เป็นสัญลักษณ์ที่นักคณิตศาสตร์อังกฤษ ชื่อ William James ใช้เป็นครั้งแรก
ในปี พ.ศ. 2249 เพื่อบอกอัตราส่วนระหว่างความยาวเส้นรอบวงกลมกับความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของ
วงกลมวงนั้น และเมื่อ Leonard Euler นักคณิตศาสตร์ชาติสวิสใช้สัญลักษณ์ π นี้อีกในการกำหนด
อัตราส่วนดังกล่าวในปี พ.ศ. 2280 นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกก็ได้ใช้ π ตามตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา ทุกวันนี้เรารู้ว่า
π มีค่า 3.1415926535897932384626433832795028841..............

ประวัติศาสตร์ได้จารึกว่านักคณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนได้เคยพยายามหาค่าของ π เป็นครั้งแรก เมื่อ
ประมาณ 4,000 ปีมาแล้ว และได้พบว่า π มีค่าประมาณ 3 ส่วน นักคณิตศาสตร์อียิปต์ในเวลาต่อมาได้ พบ
ว่า π มีค่าประมาณ 256/81 = 3.1604938 และเมื่อถึงยุคของ Archimedes ผู้เป็นนักคณิตศาสตร์ ที่ยิ่ง
ใหญ่ที่สุดของโลกเมื่อ 2,000 ปีก่อน ท่านก็ได้เคยคำนวณหาค่าของ π เช่นกัน โดยใช้วิธีสร้าง รูป 96 เหลี่ยม
ด้านเท่าลงในวงกลม แล้ววัดความยาวเส้นรอบรูปของรูป 96 เหลี่ยมด้านเท่านั้น จากนั้นก็เอา ความยาวเส้น
ผ่าศูนย์กลางของวงกลมหารความยาวเส้นรอบรูปที่วัดได้ Archimedes ได้พบว่า π มีค่ามากกว่า 3 10/71
แต่น้อยกว่า 3 1/7 Archimedes จึงประมาณว่า π มีค่า 3.1406

ในปี พ.ศ. 693 Claudius Ptolemy แห่งเมือง Alexandria ได้สร้างรูป 360 เหลี่ยมด้านเท่าใน
วงกลม เพื่อคำนวณค่า และได้รายงานผลการคำนวณในหนังสือ Almagest ว่า π มีค่าประมาณ 3.1416
ส่วน Tsu Chung - Chik นักคณิตศาสตร์ชาติจีนก็ได้คำนวณ เช่นกัน และพบในปี พ.ศ. 1023 ว่า π มีค่า
335/113 = 3.141592 และ Bhaskara นักคณิตศาสตร์ชาติอินเดียก็ได้พบในปี พ.ศ. 1693 ว่า π =
3927/1250 = 3.1416

35

งานค้นคว้าเกี่ยวกับค่าของ π ได้หวนกลับสู่ยุโรปอีกครั้งหนึ่งในพุทธศตวรรษที่ 21 เมื่อ Francois
Viete แห่งฝรั่งเศส ได้ใช้วิธีของ Archimedes สร้างรูป 393,216 เหลี่ยมด้านเท่าบรรจุลงในวงกลม แล้วคำ
นวณ ซึ่งเขาก็ได้พบว่า π = 3.14159265358979323 ส่วน Ludolph Van Ceulen แห่งเนเธอร์แลนด์ ก็ได้
พบว่า π ที่เขาหาได้จากการสร้างรูป 4.61 ล้านล้านล้านเหลี่ยมด้านเท่าลงในวงกลม มีค่าถูกต้องถึงทศนิยม
ตำแหน่งที่ 315 ซึ่งตัวเลขทั้ง 315 ตัวที่ Ceulen คำนวณได้นี้ได้ถูกนำมาเรียงจารึกบนหลุมฝังศพ ของเขาเมื่อ
เขาตาย

งานคำนวณหาค่า π ได้เริ่มมีชีวิตชีวาใหม่อีกครั้งหนึ่ง เมื่อ Isaac Newton ได้สร้างวิชาแคลคูลัส
ขึ้นมาใช้ในการหาค่าของ โดยได้พบว่า π = สูตรที่ Newton พบนี้ได้เปลี่ยนวิธีหาค่าของ π จากการสร้าง
รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่ามาเป็นวิธีการบวกลบเศษส่วนแทน คือจากวิธีเรขาคณิตมาเป็นวิธีพีชคณิต แต่วิธีการ
เช่นนี้ก็ใช่ว่าจะประเสริฐ เพราะถ้าเราต้องการให้ค่าของ π ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สอง เราต้องบวก ลบ
เทอมต่างๆ ถึง 50 เทอม และถ้าเราต้องการค่าที่ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่สาม เราต้องใช้ตัวเลขมากถึง
500 เทอม เป็นต้น และถ้าเราต้องการค่าให้ถูกต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ร้อย เราก็ต้องบวก ลบเลขจำนวน
ล้านล้านล้านเทอม ซึ่งเป็นเรื่องที่ไม่สะดวกเลย ถึงกระนั้นนักคณิตศาสตร์ก็ได้ยอมรับว่าวิธีหาค่าของ π

เมื่อถึงปี พ.ศ. 2492 การคำนวณหาค่า π ก็เริ่มเปลี่ยนโฉมใหม่ เมื่อกองทัพบกของสหรัฐฯ ได้ใช้
เครื่องคอมพิวเตอร์ ENIAC คำนวณ π ได้ทศนิยมถูกต้องถึง 2,037 ตำแหน่ง โดยใช้เวลานาน 70 ชั่วโมง
และเมื่อเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ได้รับการพัฒนามากขึ้น การคำนวณค่า π ก็ยิ่งถูกต้องและละเอียดมากขึ้น
ในปี พ.ศ. 2538 Yasumasa Kanada แห่งมหาวิทยาลัยโตเกียว ได้คำนวณค่า π ถึงทศนิยมตำแหน่งที่
4,294,960,000 และได้พบว่าตัวเลขทศนิยมตำแหน่งที่ 4 พันล้านนั้น คือเลข 9 แล้วมีเลข 4375343..... ตาม
ข้อสังเกตหนึ่งที่ Kanada กับคณะได้พบคือ จากตัวเลขทั้ง 4 พันล้านตัวเลขนั้น เลข 6 ปรากฏบ่อยครั้ง ที่สุด
คือ 400,033,035 ครั้ง และเลข 2 ปรากฏน้อยครั้งที่สุดคือ 399,965,405 ครั้ง

และในปี พ.ศ. 2542 Y.Kanada ก็ได้ลบสถิติของตนเอง เมื่อเขาประกาศว่า เขาได้คำนวณค่า π ถูก
ต้องถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 โดยใช้วิธีการสองรูปแบบที่แตกต่างกัน โดยคอมพิวเตอร์ เครื่อง
หนึ่งใช้เวลานาน 37 ชั่วโมง และอีกเครื่องหนึ่งใช้เวลา 46 ชั่วโมง ผลการคำนวณแสดงให้เห็นว่า ตัวเลข
ทศนิยมตำแหน่งที่ 206,158,430,000 นั่นคือเลข 4

คำถามหนึ่งที่คนทั่วไปต้องการรู้คำตอบ คือ เหตุใดมนุษย์จึงต้องทุ่มเทความพยายาม (และทรัพย์สิน)
ในการหาค่า π ให้ได้จุดทศนิยมละเอียดถึงล้านล้านล้าน...ตำแหน่ง เพราะเวลานักฟิสิกส์ต้องการจะรู้ขนาด
ของจักรวาล เพียงเขาใช้ค่า π ที่มีจุดทศนิยมเพียง 40 ตำแหน่ง เขาก็สามารถรู้ขนาดดังกล่าวอย่างผิดพลาด
ไม่เกิน 0.000000001 เมตร แล้ว โดยไม่จำเป็นต้องใช้ตัวเลขที่ละเอียดถึงสองแสนล้านล้านตำแหน่งทศนิยม
เลย

36

เทคนิคการหาจุดตัดที่มากที่สุดของเส้นตรง

เส้นตรง 2 เส้น ตัดกันได้มากที่สุดเพียงจุดเดียว
เส้นตรง 3 เส้น ตัดกันได้มากที่สุดสามจุด
เส้นตรง 4 เส้น ตัดกันได้มากที่สุดหกจุด
ถ้าเส้นตรง 10 เส้นจะมีจุดตัดมากที่สุดเท่าไร ถ้าใช้วิธีข้างต้นในการหาจุดตัดของเส้นตรงจะยุ่งยาก และเกิดข้อ
ผิดพลาดได้ง่าย ๆ จึงมีเทคนิคในการหาจุดตัดของเส้นตรงดังนี้

ดังนั้น เส้นตรง 10 เส้น มีจุดตัดมากที่สุดคือ 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45 จุด ในทำนอง

เดียวกัน ในการหาจุดตัดที่มากที่สุดของเส้นตรงจำนวนใด ๆสามารถดำเนินการหาจุดตัดได้ตามเทคนิคข้างต้น

ซึ่งสามารถสรุป เทคนิคการหาจุดตัดของเส้นตรงเป็นรูปทั่วไป ได้ดังนี้

คือ เมื่อ nคือจำนวนเส้นตรงทั้งหมด

เช่น เส้นตรงจำนวน 20 เส้น สามารถหาจุดตัดที่มากที่สุดได้ = 190 จุด

37

"รูปสี่เหลี่ยม" อะไรเอ่ย?

มีเส้นทแยงมุมสองเส้นไม่ตัดกัน
มีเส้นทแยงมุมเส้นใดเส้นหนึ่งอยู่ภายนอกรูปสี่เหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยม ABCDมี A , B , C และ D
เป็น “จุดยอด (vertex)” และส่วนของเส้นตรง AC และ BD เป็น “เส้นทแยงมุม (diagonal)” จากรูปจะได้ว่า
มีเส้นทแยงมุมสองเส้น ไม่ตัดกันและมีเส้นทแยงมุมเส้นใดเส้นหนึ่งอยู่ภายนอกรูปสี่เหลี่ยม

รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีผลบวกของมุมภายในเท่ากับ 360° เหมือนรูปสี่เหลี่ยมทั่ว ๆ ไปแต่มีลักษณะ
เฉพาะ คือ มุมBCD > 180° เรียก มุมBCD ว่า “มุมเว้า (concave angle)”
และเรียกรูปสี่เหลี่ยม ABCD ว่า “รูปสี่เหลี่ยมเว้า”

38

การวัด

การวัดสัดส่วนความสัมพันธ์ของร่างกายมนุษย์หน่วยวัดบางชนิดที่เกี่ยวข้องกับร่างกายมนุษย์
หน่วยวัดบางชนิดที่เกี่ยวข้องกับร่างกายมนุษย์

การวัด คือ กระบวนการเพื่อให้ได้มาซึ่งขนาดของปริมาณอันหนึ่ง
เช่นความยาวหรือมวล และเกี่ยวข้องกับหน่วยวัด เช่น เมตรหรือกิ
โลกรัม คำนี้ยังอาจหมายถึงผลลัพธ์ที่ได้หลังจากกระบวนการดัง
กล่าว ผลของการวัดสิ่งหนึ่งสามารถนำไปเปรียบเทียบกับผลของ
การวัดสิ่งอื่นได้เมื่อใช้หน่วยวัดเดียวกัน การวัดและหน่วยวัดเป็น
เครื่องมือแรกเริ่มชนิดหนึ่งที่คิดค้นโดยมนุษย์ สังคมพื้นฐาน
ต้องการใช้การวัดในงานหลายอย่างเช่น การก่อสร้างที่อยู่อาศัยที่
ถูกต้องตามขนาดและรูปร่าง การตัดเย็บเครื่องนุ่งห่ม การเจรจา
ต่อรองเพื่อค้าขายอาหารหรือวัตถุดิบอย่างอื่น เป็นต้น

หน่วยความยาวของไทย พัฒนาการมาจากการใช้สิ่งแวดล้อม และ ร่างกายในการวัด เช่น
8 ปรมาณู เป็น 1 อณู 8 ไข่เหา เป็น 1 ตัวเหา 2 คืบ เป็น 1 ศอก
5 อณู เป็น 1 ธุลี 8 ตัวเหา เป็น 1 เม็ดข้าว 4 ศอก เป็น 1 วา
8 ธุลี เป็น 1 เส้นผม 8 เม็ดข้าว เป็น 1 นิ้ว 20 วา เป็น 1 เส้น
8 เส้นผม เป็น 1 ไข่เหา 12 นิ้ว เป็น 1 คืบ 400 เส้น เป็น 1 โยชน์

39

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส : ผลรวมของพื้นที่
ของสี่เหลี่ยมสอง รูปบนด้านประชิดมุมฉาก
(a และ b) เท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมบนด้านตรง
ข้ามมุมฉาก (c) ในวิชาคณิตศาสตร์ ทฤษฎีบท
พีทาโกรัส แสดงความสัมพันธ์ในเรขาคณิต
แบบยุคลิด ระหว่างด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม
มุมฉาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ
ผลรวมของกำลังสองของอีกสองด้านที่เหลือ
ในแง่ของพื้นที่ กล่าวไว้ดังนี้

ในสามเหลี่ยมมุมฉากใด ๆ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก เท่ากับผลรวมพื้นที่ของ
สี่เหลี่ยมที่มีด้านเป็นด้านประชิดมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น

ทฤษฎีบทดังกล่าวสามารถเขียนเป็นสมการสัมพันธ์กับความยาวของด้าน a, b และ c ได้
ซึ่งมักเรียกว่า สมการพีทาโกรัส ดังด้านล่าง



โดยที่ c เป็นความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก และ a และ b เป็นความยาวของอีกสองด้านที่เหลือ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตั้งตามชื่อนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก พีทาโกรัส ซึ่งถือว่าเป็นผู้ค้นพบทฤษฎีบท
และการพิสูจน์ แม้จะมีการแย้งบ่อยครั้งว่า ทฤษฎีบทดังกล่าวมีมาก่อนหน้าเขาแล้ว มีหลักฐานว่า นัก
คณิตศาสตร์ชาวบาบิโลนเข้าใจสมการดังกล่าว แม้ว่าจะมีหลักฐานหลงเหลืออยู่น้อยมากว่าพวกเขาปรับ ให้
มันพอดีกับกรอบคณิตศาสตร์
การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส อาจเป็นทฤษฎีบทที่รู้จักกันว่ามีการพิสูจน์มากกว่าทฤษฎีบทอื่น
หนังสือ The Pythagorean Proposition มีการพิสูจน์มากถึง 370 แบบ

40

บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส โดยกล่าวไว้ดังนี้

กำหนด a, b และ c เป็นจำนวนจริงบวกที่ จะมีสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูปที่มีความยาว

ด้านเท่ากับสามจำนวนนั้น และสามเหลี่ยมนั้นจะมีมุมฉากระหว่างด้าน a และ b

ชุดของสามจำนวนนี้เรียกว่า สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส อีกข้อความหนึ่งกล่าวว่า

สำหรับสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีด้าน a, b และ c ถ้า แล้วมุมระหว่าง a กับ b จะวัดได้ 90°

บทกลับนี้ยังปรากฏอยู่ในหนังสือ Euclid's Elements ของยุคลิดด้วย ถ้าในสามเหลี่ยมรูปหนึ่ง สี่เหลี่ยมบน

ด้านหนึ่งเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมบนอีกสองด้านที่เหลือของสามเหลี่ยม แล้ว แล้วมุมที่รองรับด้านทั้งสองที่

เหลือของสามเหลี่ยมนั้นจะเป็นมุมฉาก

บทกลับนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ กฎของโคไซน์ หรือตามการพิสูจน์ดังต่อไปนี้

กำหนดสามเหลี่ยม ABC มีด้านสามด้านที่มีความยาว a, b และ c และ เราจะต้องพิสูจน์

ว่ามุมระหว่าง a และ b เป็นมุมฉาก ดังนั้น เราจะสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวของด้านประกอบ

มุมฉาก เป็น a และ b แต่จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะได้ว่าด้านตรงข้ามมุมฉาก ของสามเหลี่ยมรูปที่สอง

จะมีค่าเท่ากับ c เนื่องจากสามเหลี่ยมทั้งสองรูปมีความยาวด้านเท่ากันทุกด้าน สามเหลี่ยมทั้งสองรูปจึงเท่า

กัน ทุกประการแบบ "ด้าน-ด้าน-ด้าน" และต้องมีมุมขนาดเท่ากันทุกมุม ดังนั้นมุมที่ด้าน a และ b มา

ประกอบกัน จึงต้องเป็นมุมฉากด้วย

จากบทพิสูจน์ของบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราสามารถนำไปหาว่ารูปสามเหลี่ยมใดๆ เป็น

สามเหลี่ยมมุมแหลม, มุมฉาก หรือ มุมป้าน ได้ เมื่อกำหนดให้ c เป็นความยาวของด้านที่ยาวที่สุดใน รูป

สามเหลี่ยม

ถ้า สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้า สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมแหลม

ถ้่า สามเหลี่ยมนั้นจะเป็นสามเหลี่ยมมุมป้าน

41

สูตรการหาพื้นที่และปริมาตร

42

43

44

"ความน่าจะเป็น" จากการออกหวย
"เลขท้ายสองตัวเบิ้ล"

“โอกาสในการเกิดเลขเลขท้าย 2 ตัวเป็นไปได้ 100 วิธี ส่วนโอกาสในการเกิดเลขเบิ้ลมีอยู่ 10 วิธี คือ 00
11 22 ... 99 มีความน่าจะเป็นที่จะเกิดเลขเบิ้ลถึง 1 ใน 10 ก็มีโอกาสเกิดได้มากเหมือนกัน แต่ก็น้อยกว่าเลข
ไม่เบิ้ลที่มีโอกาสเกิด 9 ใน 10 ที่เยอะกว่ามาก"

"เลขตัวบนก็เหมือนกันมีโอกาสเกิดเลขเบิ้ลได้ 100,000 วิธี ขณะที่เลข 6 ตัวเกิดได้ 1,000,000 วิธี ตัดกันก็
เหลือความน่าจะเป็น 1 ใน 10 เหมือนกัน และถ้าพิจาณาเลขเบิ้ลตัวใดตัวหนึ่ง เช่น 22 ความน่าจะเป็น ก็ลด
ลงเหลือ 1 ใน 100” อาจารย์จารุวรรณ แสงทอง กล่าวไว้ว่า

อย่างไรก็ดี ปีนี้ผลรางวัลเลขท้าย 2 ตัวบน มีเลขเบิ้ลถึง 7 งวด และออกมาซ้ำๆ กันหลายงวด จนเกิดข้อ
กังขาว่ามีความไม่โปร่งใส โดยในงวดวันที่ 1 ก.พ.และ 16 พ.ย. เป็นเลข 22 ส่วนงวดวันที่ 16 มี.ค., 1 ต.ค.
และ 1 พ.ย.เป็นเลข 66 ขณะที่งวดวันที่ 1 มิ.ย. เป็นเลข 44 และในงวดวันที่ 16 ก.ค.เป็นเลข 88

ดังนั้น ทีมงานผู้จัดการวิทยาศาสตร์จึงสงสัยและต้องการค้นหาคำตอบว่าเป็นไปได้อย่างไรที่มีการ ออกตัว
ซ้ำๆ กันได้หลายๆ งวด ตามหลักคิดแบบวิทยาศาสตร์ นั่นก็คือ "หลักแห่งความน่าจะเป็น"

โดยเรา ได้ตั้งโจทย์ท้าความคิดขึ้นมา ดังนี้
จากที่หวยเลขท้าย 2 ตัวบนออกเลขเบิ้ลถึง 7 งวด และมีเลขเบิ้ลซ้ำกันหลายเลข เฉพาะ 66 ก็ซ้ำกัน ถึง 3
งวด ฉะนั้น ลองมาพิจาณาว่ากองสลากจะออกเลขท้าย 2 ตัว ทั้งตัวบนและตัวล่างเป็นเลขเบิ้ลนั้น มีความ น่า
จะเป็นมากน้อยแค่ไหน ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ (แยกเป็นกรณี เลขบน เลขล่าง)
ความน่าจะเป็นที่เลขท้าย 2 ตัวจะออกเป็นเลขเบิ้ลในแต่ละงวด
ความน่าจะเป็นที่เลขท้าย 2 ตัวจะออกเป็นเลขเบิ้ลตลอดทั้งปีตั้งแต่ 1 งวดขึ้นไป
ความน่าจะเป็นที่เลขท้าย 2 ตัวจะออกเป็นเลขเบิ้ลตลอดทั้งปีซ้ำกัน 2 ครั้ง
ความน่าจะเป็นที่เลขท้าย 2 ตัวจะออกเป็นเลขเบิ้ลตลอดทั้งปีซ้ำกัน 3 ครั้ง