ΜΒΓ ΒΟΛΟΝΑΚΗΣ ΒΟΗΘΗΜΑ

∫∂º∞§∞πO 2Ô

9.

10.

11.

12.

2Ô˜ fiÚÔÊÔ˜ Z 53 451
12m
1Ô˜ fiÚÔÊÔ˜ ° 45Æ
15m ¢∂
30Æ
∞
µ

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

2.5 ∏ ¤ÓÓÔÈ· ÙÔ˘ ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ 3.

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1. 2.
4. ÁÈ·Ù›

∞™∫∏™∂π™

1.
2.
3. ÁÈ·Ù›
4.
5.

6. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÙÂÙÚ¿Ï¢ÚÔ

∞µ°¢ Â›Ó·È ·Ú·ÏÏËÏfiÁÚ·ÌÌÔ.

ÕÚ·

7.

°π∞ ¢π∞™∫∂¢∞™∏

452 54

∫∂º∞§∞πO 2Ô

2.6 ÕıÚÔÈÛÌ· Î·È ‰È·ÊÔÚ¿ ‰È·Ó˘ÛÌ¿ÙˆÓ

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1. 2.

3. 4.

∞™∫∏™∂π™

1. ·) ‚ ‚)

· ‚+ Á

·+ ‚ ‚Á

Á)

‚ Á
·

·+ ‚ + Á

2.
3.

4. ÂÂȉ‹
5.

6. F3

F1 F2 F +F F2 + F3
1 2 +F

3

55 453

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

7. ∂ ∑
µ ¢
∞£ = 0
A
8. °
9.

10.

°π∞ ¢π∞™∫∂¢∞™∏

454

∫∂º∞§∞πO 2Ô

2.7 ∞Ó¿Ï˘ÛË ‰È·Ó‡ÛÌ·ÙÔ˜ Û ‰‡Ô οıÂÙ˜ Û˘ÓÈÛÙÒÛ˜

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1. 2. 3.

∞™∫∏™∂π™

1.

2.
3.

4.

455

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

5.

456

∫∂º∞§∞πO 3Ô

∫∂º∞§∞πO 3o

3.1 ∂ÁÁÂÁÚ·Ì̤Ó˜ ÁˆÓ›Â˜

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1.
2. 3.
4. 5.

∞™∫∏™∂π™

1.

2. ∞ªµ
3.

4. ¤¯Ô˘ÌÂ
5.
6. ∂Âȉ‹ ηÈ

OfiÙÂ

∂Ê·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ

457

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

7. ∂Âȉ‹ ¤¯Ô˘ÌÂ

OfiÙÂ

8.

9. ∂Âȉ‹ ¤¯Ô˘ÌÂ

3.2 ∫·ÓÔÓÈο ÔχÁˆÓ·

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1. 2.
3.

∞™∫∏™∂π™

1.

458

∫∂º∞§∞πO 3Ô

2.

Œ¯Ô˘ÌÂ

3. ÕÚ· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ·

∞Oµ Î·È ∞O∑ Â›Ó·È ÈÛfiÏ¢ڷ,
ÔfiÙÂ Ê = 60Æ + 60Æ = 120Æ
ÕÚ· Ê + ˆ = 120Æ + 60Æ = 180Æ.

4.

5.

6. °Ú¿ÊÔ˘Ì ·ÎÏÔ (O, Ú) Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÌÈ· Â›ÎÂÓÙÚË ÁˆÓ›·

∞Oµ = 360Æ = 45Æ. ªÂ ÙÔ ‰È·‚‹ÙË ıˆÚԇ̠‰È·‰Ô¯Èο ÙfiÍ· ›Û·
8

Ì ÙÔ AB. .º¤ÚÓÔ˘Ì ÙȘ ¯ÔÚ‰¤˜ ÙˆÓ ·Ú·¿Óˆ Ùfi͈Ó,
Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÙÔ Î·ÓÔÓÈÎfi ÔÎÙ¿ÁˆÓÔ.

7.

¤¯ÂÈ ÁˆÓ›· ›ÛË Ì ÙËÓ

ÎÂÓÙÚÈ΋ ÙÔ˘ ÁˆÓ›·.

459

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

8.

OfiÙÂ:

3.3 ª‹ÎÔ˜ ·ÎÏÔ˘

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1.

2.
3.

∞™∫∏™∂π™

1.

Ú2 – Ú1 = 10 ‹ Ú2 – Ú1 = 10 cm.
3,14 

460

∫∂º∞§∞πO 3Ô

2.
3.
4.
5.
6.

7.

8.

3.4 ª‹ÎÔ˜ ÙfiÍÔ˘

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1.
2.
3.

461

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

∞™∫∏™∂π™

1.

2.
3.
4.

5.
6.
7.

3.5 ∂Ì‚·‰fiÓ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ‰›ÛÎÔ˘

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1.
2.
3.
4.

462

∫∂º∞§∞πO 3Ô

5.

∞™∫∏™∂π™

1.

2.

3. ÂÂȉ‹ ‚·›ÓÂÈ

OfiÙÂ

4.

‹ Ú2 = 14,14 cm. OfiÙ ηٷÛ΢¿˙Ô˘Ì ·ÎÏÔ Ì ·ÎÙ›Ó· 14,14 cm.

5.

6.

7.

65 463

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

8.

3.6 ∂Ì‚·‰fiÓ Î˘ÎÏÈÎÔ‡ ÙÔ̤·

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1.

2. 3. 4. 5.

∞™∫∏™∂π™

1.
2.
3.

4.

464

∫∂º∞§∞πO 3Ô

5.
6.

7.

Ù1 + Ù2 = 2Ù1 =

8. Ù1 Ù1 Ù2
Ù1
Ù1
465

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

∫∂º∞§∞πO 4o

4.1 ∂˘ı›˜ Î·È Â›‰· ÛÙÔ ¯ÒÚÔ

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™ 9.

1. 2. 3. 4.
5. 6. 7. 8.

∞™∫∏™∂π™

1.
2.

3.

A

4. B
° 8cm

20cm 14cm

A’ 8cm B’

5.

466

∫∂º∞§∞πO 4Ô

6.

2°∫2 = 122 ‹ 2°∫2 = 144 ‹ °∫2 = 72 ‹ °∫ = 72 ‹ °∫ = 6 2 cm.

7.

4.2 ™ÙÔȯ›· Î·È ÂÌ‚·‰fiÓ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™ 3.

1. 2.

∞™∫∏™∂π™

1.

2.
3.

4.
5.

467

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

6.
7.

8.
9.

468

∫∂º∞§∞πO 4Ô

4.3 ŸÁÎÔ˜ Ú›ÛÌ·ÙÔ˜ Î·È Î˘Ï›Ó‰ÚÔ˘

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1.
2.
3.

∞™∫∏™∂π™

1.

2.

3.

469

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

4.

5.
6.
7.

4.4 ∏ ˘Ú·Ì›‰· Î·È Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™

1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
470

∫∂º∞§∞πO 4Ô

∞™∫∏™∂π™

1.

2.
3.
4.
5.
6.

7.
8.
9.

471

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

10.

4.5 O ÎÒÓÔ˜ Î·È Ù· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™ 5.
10.
1. 2. 3. 4.
6. 7. 8. 9.

∞™∫∏™∂π™

1.

2.
472

∫∂º∞§∞πO 4Ô

3.
4.
5.

6.
7.
8.

9.
10.

473

∞¶∞¡∆∏™∂π™ ™∆π™ ∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞π §À™∂π™ ∆ø¡ ∞™∫∏™∂ø¡ ∆OÀ ™ÃO§π∫OÀ µπµ§πOÀ

4.6 ∏ ÛÊ·›Ú· Î·È Ù· ÛÙÔȯ›· Ù˘

∂ƒø∆∏™∂π™ ∫∞∆∞¡O∏™∏™ 5.
10.
1. 2. 3. 4.
6. 7. 8. 9.

∞™∫∏™∂π™

1.

2.
3.
4.
5.
6.

474

∫∂º∞§∞πO 4Ô

7.
8.
9.

4.7 °ÂˆÁÚ·ÊÈΤ˜ Û˘ÓÙÂÙ·Á̤Ó˜

°π∞ ¢π∞™∫∂¢∞™∏

ñ ™ÙÔ µfiÚÂÈÔ ¶fiÏÔ.
ñ
ñ ™ÙÔ µfiÚÂÈÔ ¶fiÏÔ.
ñ ∂›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÁÈ·Ù› ÔÈ ·ÙÔ‡Û˜ Î·È ÙÔ ÎÂÊ¿ÏÈ ‰È·ÁÚ¿ÊÔ˘Ó ÙfiÍ· ·ÎÏˆÓ ÌÂ

‰È·ÊÔÚÂÙÈΤ˜ ·ÎÙ›Ó˜.
ñ ÕÛÚË, ÂÂȉ‹ Ë ‰È·‰ÚÔÌ‹ Ô˘ ·ÎÔÏÔ‡ıËÛ ÌÔÚ› Ó· Á›ÓÂÈ ÌfiÓÔ ÛÙÔ µfi-

ÚÂÈÔ ¶fiÏÔ, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ÔÏÈ΋ ·ÚÎÔ‡‰·.

475