เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์

เอกสารประกอบการเรยี นการสอน

รายวชิ า ค๓๓๑๐๒ คณิตศาสตร์พ้นื ฐาน
ชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ ๖

ผูส้ อน นางสาววนสั นันท์ เกษประสิทธ์ิ

ชอ่ื ________________________ชน้ั ____เลขท่ี___

โรงเรยี นสวรรคอ์ นนั ตว์ ิทยา อาเภอสวรรคโลก จงั หวัดสโุ ขทัย
สานกั งานเขตพ้นื ทกี่ ารศึกษามัธยมศึกษาเขต ๓๘

1

ใบความรู้ที่ 1 ลาดับอนนั ต์หรือลาดบั จากัด

บทนิยาม ลำดับคอื ฟงั ก์ชนั ทมี่ โี ดเมนเป็นเชตของจำนวนเต็มบวก n ตวั แรก หรอื โดเมนเป็นเชตของจำนวนเต็มบวก
ลาดับจากัด คือ ลำดบั ที่มโี ดเมนเปน็ เชตของจำนวนเตม็ บวก n ตวั แรก
ลาดับอนนั ต์ คอื ลำดบั ที่มโี ดเมนเปน็ เชตของจำนวนเตม็ บวก

การเขยี นลาดับ ถ้า a เป็นลาดบั การเขียนลาดบั a จะเขียนเฉพาะสมาชกิ ของเรนจ์ เรียงกนั ไป กลา่ วคอื ถ้ำ a
เปน็ ลำดับจำกดั จะเขยี นได้คือ a(1), a(2), a(3),… , a(n) หรือ a1,a2 ,a3,..., an
ถำ้ a เป็นลำดบั อนนั ต์ จะเขียนไดค้ อื a(1), a(2),a(3),…a(n)… หรอื a1,a2 ,a3,..., an ,…
เรียก a1 วำ่ พจน์ท่ี 1 ของลำดับ

เรยี ก a2 ว่ำพจนท์ ่ี 2 ของลำดับ

เรยี ก a3 วำ่ พจน์ที่ 3 ของลำดับ

 วำ่ พจนท์ ี่ n หรือพจน์ทัว่ ไปของลำดับ
เรยี ก an
ตัวอย่างการเขยี นลาดบั

1. การเขยี นลาดบั แบบแจงพจน์ เช่น เปน็ ลำดบั จำกดั มพี จน์แรก ( a1 ) เป็น 1

1.1 1, 2, 3, 4, …, 15
1.2. 3, 6, 9, 12, …, 3n, … เป็นลำดับอนันตม์ ีพจน์แรก ( a1 ) เป็น 3
1.3 5,4,3,2,1 เป็นลำดับจำกัด มีพจนแ์ รก ( a1 ) เป็น  5
2. การเขยี นลาดับแบบบอกพจน์ท่ัวไป เช่น
1
2.1 an  2n 1 , n  1,2,3,...,20 เป็นลำดับจำกดั เพรำะกำหนดโดเมน

2.2 a n  sin  เป็นลำดับอนนั ต์
n
ในกรณีทก่ี าหนดลาดับโดยพจน์ทว่ั ไป ถา้ ไมร่ ะบสุ มาชกิ ในโดเมนใหถ้ อื ว่าลาดับนน้ั เปน็ ลาดบั อนนั ต์

1. จำกใบควำมรูล้ ำดบั ที่ 1 ท่ีนักเรยี นไดศ้ ึกษำ

1.1 นกั เรียนคดิ วำ่ ลำดับ คอื …………………………..……………………………………………..

1.2 ถำ้ แบ่งลำดบั เปน็ 2 ประเภทใหญ่ ๆ จะได…้ ……………………และ……………………

1.3 ลำดับทมี่ ีโดเมนเปน็ เชตของจำนวนเต็มบวก n ตวั แรก เรยี กวำ่ ………………………………

1.4 ลำดับทมี่ ีโดเมนเปน็ เชตของจำนวนเต็มบวก เรยี กวำ่ …………………………………………

1.5 ถ้ำ a เป็นลำดับกำรเขยี นลำดับ a จะเขยี นเฉพำะสมำชกิ ของ …………..เรียงกนั ไป เชน่

ลำดบั จำกดั จะเขยี นได้คือ…………………………………………………………..…………

ลำดับอนนั ตจ์ ะเขยี นไดค้ อื …………….………………………………………………………

2. จงทำเคร่อื งหมำย  หน้ำลำดบั จำกดั และทำเครอื่ งหมำย  หนำ้ ลำดบั อนันต์

………2.1. 5 , 10 , 15 , , 20

………2.2 3,6,9,12,...,3n,...
………2.3 an  2n 1
……….2.4. an  2n1 เมื่อ n  1,2,3,,10

……….2.5. 1, 4, 16, 64, 256

2

ใบความรูท้ ่ี 2 การหาพจน์ตา่ ง ๆ ของลาดบั จากฟังก์ชนั ที่กาหนดให้
ตวั อย่างที่ 1 จงหำ 3 พจน์แรกของลำดับ an  4n 1
วธิ ที า จาก an = 4n1

a1 = 4(1)+1 = 4+1 = 5
a2 = 4(2)+1 = 8+1 = 9
a3 = 4(3)+1 = 12+1 = 13
ดงั น้ัน 3 พจนแ์ รกของลำดับน้ีคอื 5 , 9 , 13
1
ตัวอย่างท่ี 2 จงหำพจน์ที่ 8 ของลำดบั an = 2 n(n  1)

วิธที า an = 1 n(n  1)
2
1 1
a8 = 2 8(8 1) = 2  8  9 = 36

ดังน้ัน พจน์ที่ 8 ของลำดับคือ 36
 ตัวอยา่ งที่ 3 จงหำ 3 พจนแ์ รกของลำดับจำกฟงั ก์ชัน x
(x,y) y  cos 2 ,x  I 

แล้วเขียนลำดับนี้โดยกำรแจงพจน์ n
วิธที า จากโจทย์จะได้ an 2
= cos

a1 = cos  =0
2
2
a2 = cos 2 = cos = 1

a3 = cos 3 =0
2
 3 n n
ดังนนั้ ลำดบั นี้คอื cos 2 , cos  , cos 2 ,, cos 2 , หรือ 0, 1,0,…, cos 2 ,

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหำ 4 พจนแ์ รกของลำดบั an = n  2 ; n เป็นจำนวนคู่บวก
 ; n เป็นจำนวนคบ่ี วก
 2n

วธิ ที า จำกโจทย์จะได้ an  2n เม่อื n เปน็ จำนวนค่ีบวก และ an  n  2 เม่อื n เป็นจำนวนคูบ่ วก
ดังนน้ั a1  2(1) = 2 และ a2  2  2 = 4
a3  2(3) = 6 a4 42 = 6
ดังน้ัน4 แรกของลำดับ 2, 4, 6, 6

ตัวอย่าง 5 จงหำ พจนท์ ี่ 5 และพจนท์ ี่ 8 ของลำดับ a n  ( 2 )n1log(n+2)
วธิ ที า จำกโจทย์ a n  ( 2 )n1log(n+2)

พจนท์ ี 5 คือ a5  ( 2 )51 log(5  2)
 ( 2 )4 log 7

ดงั น้นั พจนท์ ่ี 5 ของลำดับนีค้ ือ  4 log 7
a8  ( 2 )81 log(8  2)  ( 2 )7 log10
และพจนท์ ่ี 8 คือ

พจน์ท่ี 8 ของลำดับนี้คือ 8 2 8 2

3

ใบงานท่ี 1 เขยี นลาดับแบบแจงพจนไ์ ด้

1. จงเขยี น 4 พจน์แรกของลำดับทก่ี ำหนดใหต้ อ่ ไปน้ี

1.1 an  2n a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........

ดงั นัน้ 4 พจนแ์ รกคอื …………………………

1.2 an  n2  3 a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดังนนั้ 4 พจน์แรกคอื …………………………

1.3 an  cos n a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดังนน้ั 4 พจน์แรกคอื …………………………
2n  1
1.4 an  3n  2 a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........

ดังน้นั 4 พจนแ์ รกคือ …………………………

1.5 an  n 1 n เป็นจำนวนคู่บวก
n  2 n เป็นจำนวนค่ีบวก
a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดงั นนั้ 4 พจน์แรกคอื ………………………… a3  ...........
1
1.6 a n  2 n 1 a1  ........ a2  ........ a4  .........

ดังนัน้ 4 พจน์แรกคอื …………………………

2. จงหาคา่ ของพจน์ตา่ งๆ จากลาดับที่กาหนดใหต้ อ่ ไปนี้
(1)n
2.1 an  2  3 จงหำคำ่ ของพจน์ที่ 4

a4 =…………………………………………….
ดงั นัน้ พจนท์ ่ี 4 ของลำดับนี้คอื …………….
 4n 1
2.2 an  3n 2 จงหำคำ่ ของพจน์ท่ี 2

a2 = …………………………………………….
ดงั น้ันพจนท์ ี่ 2 ของลำดบั นค้ี อื …………….
10n 
2.3 a n  9 1 จงหำค่ำของพจนท์ ่ี 3

a3 =…………………………………………….
ดังน้ันพจนท์ ี่ 3 ของลำดับนคี้ ือ…………….

4

ใบงานที่ 2 เขยี นลาดบั ในรูปแจงพจนเ์ ม่ือกาหนดพจนท์ ั่วไปให้ได้

1. กาหนดลาดับ an  4n  3 จงหา 4 พจน์แรกของลาดับนี้
a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดังนัน้ 4 พจนแ์ รกคอื …………………………
2. กาหนดลาดบั an  5n 1 จงหา 4 พจนแ์ รกของลาดับน้ี
a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดงั นนั้ 4 พจนแ์ รกคอื …………………………
3. กาหนดลาดบั an  3n จงหา 4 พจนแ์ รกของลาดับนี้
a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดงั นนั้ 4 พจน์แรกคอื …………………………
4. กาหนดลาดับ an  2n 1 จงหา 4 พจนแ์ รกของลาดบั น้ี
a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดงั นน้ั 4 พจน์แรกคอื …………………………
n 1
5. กาหนดลาดับ an  n  1 จงหา พจน์ท่ี 3 ของลาดบั น้ี

a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดงั นน้ั 4 พจนแ์ รกคอื …………………………
2 n1
6. กาหนดลาดบั a n  3n 1 จงหา พจน์ที่ 2 ของลาดบั น้ี

a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดังนน้ั 4 พจน์แรกคอื …………………………

7. กาหนดลาดับ an  cos n จงหา 4 พจนแ์ รกของลาดบั นี้
a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดังนั้น 4 พจนแ์ รกคอื …………………………

8. กาหนดลาดบั an  sin n จงหา 4 พจน์แรกของลาดับนี้
a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........
ดงั นนั้ 4 พจนแ์ รกคอื …………………………

9. กาหนดลาดบั
2n
an  3n เมอื่ n เป็นจำนวนค่บู วก
เมอื่ n เป็นจำนวนคบี่ วก

a1  ........ a2  ........ a3  ........... a4  .........

ดงั น้ัน 4 พจน์แรกคอื …………………………

5

ใบความรู้ที่ 3 การหาพจนท์ วั่ ไปของลาดับ

1. พจน์แตล่ ะพจน์มรี ะยะหา่ งเทา่ กัน

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหำพจน์ท่วั ไปของลำดบั 4 , 7 , 10 , 13

วธิ ที า จำกโจทย์จะพบวำ่ แตล่ ะพจน์ มรี ะยะเทำ่ กัน คอื 3 และมพี จนแ์ รกคอื 4
a1 = 4
= 1+ 3 = 1+3(1)
= 1+3(2)
a2 = 7 = 1+ 3 + 3 = 1+3(3)
= 1+3(4)
a3 = 10 = 1+ 3 + 3 + 3

a4 = 13 = 1+ 3 + 3 + 3 + 3

จะได้ an = 1+3n เมอื่ n 1,2,3,4
1 3 5 7
ตวั อยา่ งท่ี 2. จงหำพจนท์ ่วั ไปของลำดับ 2 , 3 , 4 , 5

วิธที า จำกโจทยจ์ ะพบว่ำ ระยะห่ำงของเศษของเศษสว่ นแต่ละพจนค์ อื 2 มพี จนแ์ รก คือ 1

และ ระยะห่ำงแต่ละพจนข์ องส่วนของเศษสว่ น คือ 1 มพี จนแ์ รกคอื 2
1 1 1 2(0)
a1 = 2 = 11 = 11

a2 = 3 = 12 = 1 2(1)
3 21 21
5 122 1 2(2)
a3 = 4 = 31 = 31

a4 = 7 = 1222 = 1 2(3)
5 4 1 4 1
1 2(n 1) 1 2n  2 2n 1
จะได้ an = n 1 = n 1 = n 1 เมอื่ n 1,2,3,4

2. การหาพจน์ท่ัวไปท่รี ะยะห่างไมเ่ ทา่ กนั

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหำพจนท์ ั่วไปของลำดบั 3, 9, 27, 81 = 31

วธิ ีทา a1 = 3 = 32

a2 = 9 = 33

a3 = 27 = 333 = 33

a4 = 81 = 3333 = 34

จะได้ an = 3n เมื่อ n 1,2,3,4
ตวั อยา่ ง 4 จงหำพจน์ทวั่ ไปของลำดบั 2,2,2 2,4
= ( 2 )1
วิธที า a1 = 2
= ( 2)2
a2 = 2 = 2 2

a3 = 2 2 = 2 2 2 = ( 2)3

a4 = 4 = 2 2 2 2 = ( 2)4

จะได้ an = ( 2 )n เมือ่ n 1,2,3,4

6

ตัวอยา่ ง 5 จงหำพจนท์ ่วั ไปของลำดับ 9 , 99 ,999 , 9999 = 101 1

วิธที า a1 = 9 = 10 1

a2 = 99 = 100 1 = 102 1

a3 = 999 = 1000 1 = 103 1

a4 = 9999 = 10000 1 = 104 1

จะได้ an = 10n 1 เมื่อ n 1,2,3,4 n
9
ในทานองเดยี วกนั จะได้ ลาดับ 1 ,11 ,111 ,1111 มีพจน์ท่ัวไปคือ a n  10 1

ลาดับ 2 ,22 ,222 ,2222 มีพจน์ท่ัวไปคือ 2(10n 1)
9
ข้อสงั เกต

การหาพจนท์ ่วั ไปของลาดบั จากดั เมอื่ กาหนดลาดับแบบแจงพจนม์ าให้ อาจมรี ูปท่วั ไปมากกวา่ หนงึ่ แบบ เช่น

ลำดบั 1 , 2 , 3 ,4 มพี จนท์ ัว่ ไปไดด้ ังน้ี n2 n
n 1
an n หรอื an  n (n 1)(n 2)(n 3)(n 4) หรือan 

ลำดบั 3 , 5 , 7 , 9 มพี จน์ท่ัวไปไดด้ งั นี้
an  2n1
2n2 7n 3
an  n3 เป็นตน้

7

ใบงานที่ 3 เขยี นลาดับแบบบอกพจน์ทั่วไปได้

คาชีแ้ จง จงหาพจนท์ ัว่ ไปของลาดับตอ่ ไปน้ี (คำตอบของแต่ละคนอำจไมเ่ หมอื นกนั แต่คำตอบเหลำ่ นัน้ เมือ่ แทนคำ่ 4 พจน์แรกของ
ลำดบั แลว้ เป็นจริงทกุ พจน)์
1. จงหำพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั 2 , 6 , 10 , 14 จำกโจทยจ์ ะไดร้ ะยะหำ่ งของพจน์เท่ากันคือ…….

จะได้ a n =……………………………….……… เมื่อ n =…………………………………….

2. จงหำพจนท์ ว่ั ไปของลำดับ 3 , 6 , 12 , 24 จำกโจทยจ์ ะไดร้ ะยะหำ่ งของพจน์ไมเ่ ทา่ กัน

จะได้ a n =……………………………….……… เมอ่ื n =…………………………………….

3. จงหำพจน์ทวั่ ไปของลำดับ 3 , 15 , 5 3 , 5 15
จะได้ a n =……………………………….……… เม่ือ n =…………………………………….

4. จงหำพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั 2 , 4 , 6 , 8
3 9 27 81
จะได้ a n =……………………………….……… เมอื่ n =…………………………………….

5. จงหำพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั 7 , 77 , 777 , 7777

จะได้ a n =……………………………….……… เมอ่ื n =…………………………………….

6. จงหำพจน์ทวั่ ไปของลำดบั 5 , 7 , 11 , 19

จะได้ a n =……………………………….……… เมอ่ื n =…………………………………….

7. จงหำพจนท์ ว่ั ไปของลำดบั 3 , 33 , 333 , 3333

จะได้ a n =……………………………….……… เมอื่ n =…………………………………….

8. จงหำพจนท์ ว่ั ไปของลำดับ 3 , 9 , 27 , 81

จะได้ a n =……………………………….……… เม่ือ n =…………………………………….

9. จงหำพจน์ทั่วไปของลำดบั 2 , 22 , 222 , 2222

จะได้ a n =……………………………….……… เมื่อ n =…………………………………….

10. จงหำพจนท์ วั่ ไปของลำดบั 2 ,2, , 2 2 , 4

จะได้ a n =……………………………….……… เมื่อ n =…………………………………….

8

1  2n ใบงานท่ี 4 แกโ้ จทยป์ ญั หำเกี่ยวกับลำดบั ได้
3n  2
1. กำหนดให้ an  จงหำพจน์ท่ี 5 ของลำดับน้ี

=…………………………………………………………………………………………………………………………….

2. กำหนดให้ an   n2 ; เมอื่ n เปน็ จำนวนค ูบ่ วก
 ; เมอื่ n เปน็ จำนวนค ่ีบวก จงหำ 4 พจน์แรกของลำดบั นี้
2 n 1

=…………………………………………………………………………………………………………………………….

3. กำหนดให้ an  cos n จงหำ 4 พจนแ์ รกของลำดับน้เี ป็นค่ำจำนวนจรงิ

 =…………………………………………………………………………………………………………………………….yI
4. กำหนดให้ (x,y) x  3 ; x  จงหำ 4 พจน์แรกของลำดับจำกฟังก์ชันน้ี

=…………………………………………………………………………………………………………………………….
n
a 1  (1) a3
5. กำหนดให้ n  3 จงหำคำ่

=…………………………………………………………………………………………………………………………….
6. กำหนดลำดบั 4 , 5 , 6 , 7 จงหำพจนท์ วั่ ไปของลำดับนี้

=…………………………………………………………………………………………………………………………….
7. กำหนดลำดบั 5 , 7 , 11 , 19 จงหำพจน์ท่ัวไปของลำดบั นี้

=…………………………………………………………………………………………………………………………….
8. กำหนดลำดับ 0.3, 0.03 , 0.003 , 0.0003 จงหำพจนท์ ัว่ ไปของลำดับน้ี

=…………………………………………………………………………………………………………………………….
9. กำหนดลำดบั 6, 66, 666 , 6666 จงหำพจน์ท่วั ไปของลำดับน้ี

=…………………………………………………………………………………………………………………………….

10. กำหนดลำดบั 7,7,7 7,49 จงหำพจนท์ ว่ั ไปของลำดับน้ี

=…………………………………………………………………………………………………………………………….

9

ใบงานที่ 5
1. ใหน้ กั เรียนทาเครื่องหมาย หนา้ ขอ้ ที่ถกู และทาเครอ่ื งหมาย  หน้าขอ้ ทผี่ ิด

…….1.1 ลำดับจำกดั คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก n ตัวแรก
…….1.2 ลำดบั อนันต์ คือฟังกช์ นั ทม่ี ีโดเมนเป็นเซตของจำนวนเตม็ บวก
…….1.3 ถ้ำ a เป็นลำดับ กำรเขียนลำดบั a นยิ มเขยี นเฉพำะโดเมนเรียงกันไป
…….1.4 ลำดบั an  2n 1 คือกำรเขียนลำดับแบบแจงพจน์
…….1.5 ลำดับ 2 , 6 , 10 , 14 มพี จน์ท่วั ไปคือ 4n 2
2. ใหน้ ักเรยี นเติมคาตอบท่ีถกู ต้องลงในชอ่ งวา่ งให้สมบรู ณ์ ถา้ ให้ พจนแ์ รกคอื a1 และพจนท์ 2ี่ คอื a2 พจน์ที่ 3 คอื a3 ไป

เรื่อย ๆ

2.1 ถ้ำกำหนดลำดบั 0 , 2 , 4 , 6 ,… แล้ว
1. a2  a1 =…...….
2. a3  a2 =……….
3. a4 a3 = …..….
4. ผลตำ่ งร่วมของ 1-3 เทำ่ กันหรอื ไม่ ……………………………………………
5. นักเรียนคิดวำ่ ผลตำ่ งระหว่ำงพจน์ใกลก้ ันของลำดับนีจ้ ะเทำ่ กันหรือไม่……………
6. นกั เรยี นคิดว่ำ ลำดบั นี้ คำ่ ของ a100  a99 หำคำ่ ไดห้ รอื ไม่ ……………
ถ้ำไดม้ คี ำ่ เท่ำใด…………………

2.2 ถ้ำกำหนดลำดับ 3 , 7 , 11 , 15 ,… แลว้
1. a2  a1 =…….
2. a3  a2 =……….
3. a4 a3 = …….
4. ผลต่ำงรว่ มของ 2.2.1- 2.2.3 เท่ำกนั หรอื ไม่ ……………………………………………
5. นกั เรียนคิดวำ่ ผลต่ำงระหวำ่ งพจนใ์ กล้กนั ของลำดับนี้จะเทำ่ กนั หรอื ไม่……………
6. นักเรียนคดิ วำ่ ลำดบั น้ี ค่ำของ a100  a99 หำค่ำไดห้ รอื ไม่ ……………
ถำ้ ได้มีคำ่ เท่ำใด…………………

2.3. ถำ้ กำหนดลำดับ 2 , 4 , 8 , 16 ,… แลว้
1. a2  a1 =…...….
2. a3  a2 =……….
3. a4 a3 = …..….
4. ผลตำ่ งรว่ มของ 1-3 เทำ่ กันหรือไม่ ……………………………………………
5. นักเรยี นคดิ ว่ำผลต่ำงระหว่ำงพจน์ใกลก้ นั ของลำดบั นีจ้ ะเท่ำกนั หรือไม่……………
6. นักเรยี นคิดวำ่ ลำดับนี้ ค่ำของ a100  a99 หำคำ่ ไดห้ รือไม่ ……………
ถ้ำไดม้ ีค่ำเท่ำใด…………………

10

ใบความรทู้ ี่ 4 ลาดับเลขคณิต

ลาดับเลขคณิต (Arithmetic Sequence or Arithmetic Progression)

บทนิยาม ลาดบั เลขคณิต คือลาดับที่ ผลตา่ งซึ่งไดจ้ ากพจนท์ ี่ n 1 ลบด้วยพจนท์ ่ี n

มคี ่าคงตวั ค่าคงตัวนเี้ รยี กวา่ ผลตา่ งร่วม (common difference)

ให้ d เปน็ ผลตำ่ งร่วมของลำดับเลขคณติ แล้ว จะได้

d = an1  an หรือ an1 = an  d เม่ือ nI
ตวั อย่างลาดับเลขคณิต

(1) 2, 4, 6 , 8 , 10 , … มีผลต่ำงร่วมเป็น 2
(2) 3,1,1,3,5,... มผี ลต่ำงรว่ มเป็น 2
1 1 1
(3) 1,1 2 ,2,2 2 ,3,... มผี ลต่ำงร่วมเป็น 2

ผลตำ่ งร่วม (d) จะมคี ำ่ เปน็ จำนวนจรงิ ถ้ำ d = 0 ทกุ พจน์ของลำดบั เลขคณิตจะเทำ่ กันหมด

พจนท์ ่วั ไปของลาดับเลขคณติ
ถ้ำกำหนดให้ a1 เปน็ พจน์แรก และ d เป็นผลต่ำงร่วมแล้ว จะเขียนพจนอ์ ื่นๆของลำดับเลขคณติ ในรปู ของ a1 และ d ได้
ดังน้ี
= ( a1 +d ) + d = a1 +2d
a2 = a1 +d = ( a1 +2d ) + d = a1 +3d
a3 = a2 +d
a4 = a3 +d


an = an1 +d = a1 + (n 1) d

ดงั นนั้ เมอื่ กำหนดใหล้ ำดับเลขคณติ มี a1 เปน็ พจน์แรก และ d เปน็ ผลตำ่ งรว่ มแลว้ จะเขียนพจนท์ ่ี n ของลำดบั เลขคณติ น้ี

คือ

an = a1 + (n 1) d

ตวั อยา่ งที่ 1 จงเขียน 4 พจน์ถดั ไปของลำดับเลขคณติ 1,6,13,...
วธิ ที า d = 6 (1) = 7
a4 = a3 +d
= 13+7 = 20

a5 = a4 +d = 20+7 = 27

a6 = a5 +d = 27+7 = 34

a7 = a6 +d = 34+7 = 41

ดงั น้นั 4 พจนถ์ ดั ไปของลำดบั ท่ีกำหนดให้คือ 20 , 27 ,34 , 41

11

ตัวอยา่ งท่ี 2 ลำดบั เลขคณติ 3 , 5 , 7 , 9 จงหำ

1. พจน์ท่ัวไปของลำดับเลขคณติ น้ี

2. คำ่ ของ a42
3. 247 เปน็ พจน์ทเี่ ทำ่ ไรของลำดบั น้ี
จำกโจทย์d = 5  3
วิธที า =2
จำก an = a1 + (n 1) d
1. หำพจน์ท่วั ไป

= 3 + (n 1) 2
= 3+ 2n 2
= 2n1
ดังน้นั พจนท์ ั่วไป ( an ) ของลำดับน้คี ือ 2n 1
2. หำค่ำ a42 จะได้ a42 = 2(42)+1
= 84+1

= 85

ดงั นน้ั พจน์ท่ี 42 ของลำดับนี้คือ 85
an = 2n1
3. หำค่ำ n จำกพจน์ท่วั ไป

247 = 2n 1
247 1 = 2n
246
n = 2

= 123

ดังนนั้ ลำดบั น้ี มี 123 พจน์

ตัวอย่างท่ี 3 ถำ้ p,4p,5p 12 เปน็ สำมพจนเ์ รยี งกนั ในลำดับเลขคณติ จงหำค่ำ p

และเขยี นลำดับนตี้ อ่ ไปอีก 3 พจน์

วธิ ีทา ลำดบั เลขคณติ จะมีผลตำ่ งรว่ มเทำ่ กนั นัน่ คือ

a2 a1  a3 a2
4p  p = 5p 12  4p
3p = p 12
3p  p = 12
2p = 12
12
p = 2  6

ดงั น้ันลำดบั นค้ี อื p,4p,5p 12 = 6 ,4(6) , 5(6)+12

จะได้คำ่ = 6 , 24 , 42

d = 24  6 18

อกี 3 พจน์ต่อไปคอื พจน์ท่ี 4 = 42+18 = 60

พจน์ที่ 5 = 60+18 = 78

พจน์ที่ 6 = 78+18 = 96

ดังนน้ั อีก 3 พจน์ตอ่ ไปของลำดบั นค้ี อื 60 , 78 , 96

14

ใบงานที่ 6 บอกบทนิยามของลาดบั เลขคณิต

บอกบทนิยามของลาดับเลขคณติ ได้

1. ลาดบั ทีก่ าหนดใหต้ ่อไปนี้ เปน็ ลาดับเลขคณิตหรือไม่ เพราะเหตใุ ด
1.1 5,2,1,4,...
1.2 10,6,2,2,...
1.3 2 , 4 , 8 , 16, …
1.4 81 , 27 , 9 , 3 , …

2. จงหำพจน์แรก ( a1 ) ผลตำ่ งร่วม ( d) และ 4 พจน์ถัดไปของลำดับเลขคณติ ทก่ี ำหนดให้ตอ่ ไปนี้
2.1 8,2,12,...
2.2 3 , 8 , 13 , …
2.3 1 , 5 , 9 , …
2.4 2,1,4,...

3. ลำดับเลขคณิต 1 , 11 , 21 , … จงหำพจน์ทั่วไปของลำดบั นี้ และพจน์ ท่ี 30

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ลำดบั เลขคณิต มี พจน์แรก (a1 ) เทำ่ กบั 3 ผลต่ำงร่วม (d) เท่ำกบั 2 จงหำพจน์ทั่วไปของลำดบั นี้

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ลำดบั เลขคณติ มี พจน์แรก (a1 ) เทำ่ กบั 2 ผลตำ่ งร่วม (d) เท่ำกบั  5 จงหำพจน์ที่10 (a10 ) ของลำดบั น้ี

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ถำ้ x,3x,4x  6 เปน็ สำมพจน์เรียงกนั ของลำดับเลขคณติ แลว้ จงหำ
6.1 คำ่ x
6.2 พจนแ์ รก ( a1 )
6.3 ผลต่ำงรว่ ม ( d)
6.4 หำพจนท์ ่ัวไป
6.5 พจน์ที่ 20 ของลำดับน้ี

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

12

ใบความรู้ท่ี 5 กาหาคา่ พจนแ์ รก (a1 ) ผลต่างรว่ ม ( d) และพจนก์ ลางของลาดับเลขคณติ

1. คาสงั่ ใหท้ ำเครื่องหมำย  หนำ้ ขอ้ ทถ่ี ูก แล้วทำเครือ่ งหมำย หนำ้ ข้อท่ผี ิด

……… 1.1 ลำดบั 1 , 3 , 5 , 7 เปน็ ลำดบั เลขคณิต มผี ลต่ำงร่วมคอื 2

……… 1.2. ลำดบั เลขคณิต 5 , 9 , 13 , 17 , … มีพจน์ที่ 20 คอื 81

……… 1.3. ลำดบั เลขคณติ 3 , 7 , 11 , 15 มีพจน์ท่ัวไปคอื 4n  3
……… 1.4. ลำดับเลขคณติ มีพจน์แรกคอื 5 ผลตำ่ งรว่ มเป็น 4 แล้ว a15  65
……… 1.5 ถ้ำลำดับเลขคณิต มี a1  3,d  4,n  5 แลว้ a n ของลำดบั น้ีคือ 19
2. จงเตมิ ขอ้ ควำมใหส้ มบรู ณ์และถกู ตอ้ ง เมอื่ กำหนดให้ a1 เป็นพจน์แรก d เป็นผลต่ำงรว่ ม ของลำดับ
เลขคณติ

2.1 ลำดบั เลขคณิต มีพจนท์ ี่ 4 เป็น 36 จำกพจนท์ ว่ั ไป a n  a1  (n 1)d
a1 +….. d
แสดงวำ่ พจน์ท่ี 4 คือ = 36

2.2 ลำดบั เลขคณิตหนึ่งมีพจน์ท่ี 5 เป็น 47 และมผี ลต่ำงรว่ มเท่ำกบั 3 แล้วพจนแ์ รกมคี ำ่ เท่ำไร
จำกสูตรหำพจน์ท่ัวไปของลำดับเลขคณติ an = a1  (n 1)d
ดังน้ัน พจนท์ ี่ 5 คือ a1 +(………)…. = 47
a1 = …………….=…………..
2.3 กำหนดลำดับเลขคณติ a5  30,a9  58 แลว้
2.3.1 a5 = a1 +…..d = 30 …....
2.3.2 a9 = a1 +…..d = 58 ……

2.3.3  …..d = ………..

.2.3.4 d = ………….=…………..

กาหาคา่ พจนแ์ รก ( a1 ) ผลต่างร่วม ( d) และพจน์กลางของลาดบั เลขคณิต
ตวั อยา่ งท่ี 1 ลำดบั เลขคณิต มีพจนท์ ่ี 4 และพจนท์ ่ี 7 เทำ่ กับ 17 และ 26 ตำมลำดบั จงหำ
(1.) ผลตำ่ งร่วม ( d) ของลำดบั นี้ (2) พจนแ์ รก ( a1 ) ของลำดบั นี้
(2.) พจนท์ วั่ ไปของลำดบั น้ี
วิธที า (1)หาผลต่างร่วม จำก a4 = a1 +3d = 17
……….

a7 = a1 +6d = 26 .………

 3d = 9 9
3
d =  3

ดังน้นั ผลต่างร่วมของลาดับนคี้ ือ 3
(2) หำพจนแ์ รก จำก  a4 = a1 +3d = 17
แทนคำ่ d = 3 จะได้ a1 +3(3) = 17

a1 = 17  9  8
ดังน้ันพจน์แรกของลาดับน้ีคือ 8
an = a1 +(n 1) d
(3) หาพจนท์ ว่ั ไป จำก

แทนค่ำ a1 =8 , d =3 จะได้ an = 8+ (n 1) 3
an = 83n 3 = 3n  5
ดังนน้ั พจน์ท่วั ไปของลาดบั นีค้ ือ 3n+5

13

ตัวอยา่ งที่ 2 จงหำพจน์กลำงระหว่ำง 4 และ 18 ที่ทำให้ลำดบั น้ีเปน็ ลำดบั เลขคณติ
วิธีทา (1) ให้ a1 = 4 และ a3 18 หำ a2
จะได้ a1 = 4 ……………..
a1 +2d = 18 ………….…
a3 คือ

  จะได้ 2d = 14
14
d = 2  7

จะไดั a2 คือ a1 +d = 4+7 = 11 ดังนนั้ พจนก์ ลางของลาดับนคี้ อื 11
วิธีทา (2) ให้ 4 , A , 18 เปน็ สำมพจนเ์ รยี งกนั ในลำดับเลขคณิต

จากนยิ ามเลขคณติ a2 a1  a3 a2
ดงั นัน้ A4 = 18  A

A  A = 18+4

2 A = 22
22
A = 2  11

จากตวั อย่าง 2 วธิ ที า(2) ถา้ ให้หาพจน์กลางของลาดบั เลขคณิตใด ๆ (M) ระหวา่ ง a และ b จะไดว้ ่า

Ma = bM
M+M = a+b

2M = a + b
ab
M = 2

พจนก์ ลางของลาดบั เลขคณติ ระหว่าง a และ b คอื = ab
2

การหาพจนก์ ลางหลายพจน์ในลาดับเลขคณิต

ตวั อย่างที่ 3 จงหาพจน์กลางของลาดับเลขคณติ อกี 3 พจน์ระหว่าง 130 และ 58
วธิ ีทา ให้ a1 = 58 และ a5 = 130
จะได้ a1 = 58 ………………
a5 คือ a1 + 4d = 130 …………….. 

  จะได้ 4d = 72
72
d = 4  18

ดังนน้ั พจนท์ ี่ 2 = a1 + d = 58+18 = 76
พจน์ท่ี 3 = a2 + d
พจนท์ ี่ 4 = a3 + d = 76+18 = 94

= 94+18 = 112

ดงั น้ันอกี 3 พจนร์ ะหว่าง 130 และ 58 คอื 112 , 94 , 76

15

ใบงานที่ 7 ลำดบั เลขคณิต
1. จงหำพจนแ์ รก (a1 ) ผลต่ำงร่วม (d) และพจนท์ วั่ ไป (an ) ของลำดับเลขคณติ ต่อไปน้ี

1.1 a8  39 และ a15  74
1.2 a10  32 และ a18  48

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ถ้ำ 15 และ 39 เป็นพจน์สองพจน์ของลำดับเลขคณติ จงหำพจนก์ ลำงระหว่ำงพจน์ทง้ั สองน้ี

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ถำ้ 25 และ 49 เปน็ พจน์สองพจน์ของลำดับเลขคณติ จงหำพจน์กลำง 3 พจนซ์ ึง่ เรยี งอยู่ระหวำ่ งพจนท์ ง้ั สองน้ี

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ถำ้ พจนท์ ี่ 10 ของลำดับเลขคณติ คอื 45 และพจนท์ ่ี 18 คอื 77 จงหำพจนท์ ี่ 15

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. ถำ้ พจนท์ ่ี 3 และพจน์ที่ 9 ของลำดับเลขคณิตเทำ่ กบั 7 และ 25 ตำมลำดับแล้ว 127เป็นพจน์ทเ่ี ท่ำไรของลำดบั น้ี

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

16

ใบงานที่ 8 ลาดับเลขคณิต
1. ผลบวกของจำนวนจรงิ สำมจำนวน ซึง่ เรยี งกนั เปน็ ลำดับเลขคณติ เปน็ 18 และผลบวก ของกำลังสองของจำนวน

ท้งั สำมเป็น 236 จงหำเลข สำมจำนวนน้ี

วธิ ที า………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………
….………………….……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………
……………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….………

2. ผลบวกของจำนวนจรงิ ส่ีจำนวน ซง่ึ เรยี งกันเปน็ ลำดับเลขคณติ เท่ำกับ 58 ถำ้ จำนวนทม่ี ีค่ำ มำกที่สุดคอื 22 จงหำ
อีกสำมจำนวนท่ีเหลือ

วิธีทา………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………….……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………
………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………
….……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………
…………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………….…

3. เสำจำนวนหนงึ่ วำงเรยี งเปน็ ชน้ั ๆ ยำใจเรียงจำนวนเสำในแตล่ ะช้นั ให้มำกกวำ่ ชน้ั บนทีอ่ ยู่ตดิ กนั เปน็ จำนวน 5 ต้นเสมอ
ถ้ำช้นั บนสุดมจี ำนวนเสำ 61 ตน้ และชัน้ ล่ำงสดุ มีจำนวนเสำ 376 ตน้ จงหำว่ำยำใจเรียงเสำทง้ั หมดกช่ี ้ัน

วธิ ีทา………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………
………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………
…………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………
………….……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………
……………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….…
…………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………

4.จำนวนเต็มบวกต้ังแต่ 100 ถงึ 500 มีก่จี ำนวนท่ี 9 หำรไม่ลงตัว

วิธที ำ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………….
……………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………
……………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………
…………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………
………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….…

5.ใหผ้ ลบวก 3 พจน์แรกของลำดบั เลขคณิตเท่ำกบั 9 และผลบวกของกำลังสำมของแต่ละพจนเ์ ทำ่ กับ 153 จงหำลำดับ
เลขคณิตดังกลำ่ ว

วธิ ที ำ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………
……………….……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………
…………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………

17

แบบฝกึ หดั เก็บคะแนน
แสดงวิธที า
1. จำนวนเต็มบวกตง้ั แต่ 100 ถึง 500 มกี ่ีจำนวนที่ 7 หำรไมล่ งตวั

…………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………
………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………
…………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………
………………….……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………

2. ในกำรเรียงไมฟ้ ืนทม่ี ีขนำดเดียวกนั หนำ 3 เซนติเมตร โดยให้แถวลำ่ งมำกกว่ำแถวบนถดั ไปอยู่ 2 แผน่ เสมอ
ถำ้ แถวบนมีไม้ฟืน 6 ท่อน และแถวลำ่ งมี 212 ทอ่ นแล้วไม้กองนี้สงู กเี่ มตร

……………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………
……………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….…………………
…………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………

3. ผลบวกของจำนวนจรงิ สำมจำนวนซง่ึ เรยี งกนั เปน็ ลำดับเลขคณิตมีค่ำเท่ำกบั 30 และผลบวกกำลงั สองของท้ังสำม
จำนวนเปน็ 302 จงหำเลขสำมจำนวนนี้

……………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………
……………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………
……………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………

4.ผลบวกของจำนวนจรงิ 4 จำนวนซึง่ เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิตมีค่ำเทำ่ กับ 24 ถ้ำจำนวนจรงิ ทีม่ คี ำ่ น้อยทสี่ ุด
คอื 3 จงหำอกี สำมจำนวนทีเ่ หลือ

……………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………
……………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….………………
……………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………
……………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………
…………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….…………………

5. จำนวนเต็มบวกต้งั แต่ 60 ถงึ 300 มีก่จี ำนวนท่ี 11 หำรลงตวั

……………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………
……………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….……………
………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………
…………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………
……………….…………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………

18

6. ศกั ดำซื้อรถผ่อนส่งโดยเพ่ิมเงินผ่อนส่งเดอื นละ 4,000 บำท ในเดือนที่ 7 ศกั ดำส่งค่ำผอ่ นรถเป็นเงิน
34,000 บำท จงหำวำ่ ศกั ดำส่งคำ่ ผ่อนรถเดอื นแรกเท่ำไร

……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………
………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….………
……………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………
………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………
…….……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………
………………….……………………………………………………….………………………………………………………………………………………………
.

7. ผลบวกของจำนวนจรงิ สำมจำนวนซึ่งเรยี งกนั เป็นลำดับเลขคณิตมีคำ่ เท่ำกบั 30 และผลบวกกำลงั สองของท้งั สำม
จำนวนเป็น318 จงหำเลขสำมจำนวนน้ี

……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………
………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….…………
…………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………
……………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………
….……………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………
……………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………
………………….……………………………………………………….………………………………………………………………………………………………

8.ซินจงั มีลูก 4 คนซง่ึ อำยุของลูกทง้ั 4 เรยี งกันเป็นลำดบั เลขคณิต และมีอำยุรวมกันได้ 52 ปี
ถ้ำอำยุพ่ีคนโตคือ 19 จงหำอำยุของลูกซินจังอกี สำมคนทีเ่ หลือ

……………………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………………
………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….…………
…………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………
……………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………
……………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………….……
………………………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………

19

ใบงานท่ี 9

คาชี้แจง จงพิจารณาข้อความตอ่ ไปน้วี ่าถูกหรือผิด

………1. ลำดับเลขคณิตคือ ลำดบั ทผ่ี ลตำ่ งที่ได้จำกพจนท์ ่ี n+1 ลบด้วยพจนท์ ี่ n มคี ่ำคงตวั
………2. สูตรหำพจน์ทัว่ ไปของลำดับเลขคณิต คือ an  a1 (n 1)d
………3. หำ a1 จำกพจน์ทั่วไป จะได้ a1  an  (n 1)d
a  1a1
………4. หำ d จำกพจน์ทัว่ ไป จะได้ d  nn 

………5. หำพจนก์ ลำงของลำดบั เลขคณิตระหว่ำง a,b คือ ab
2
………6. ลำดับเลขคณิต 3,7,11,… 199 มี a1  3,d  4,an  4n 1 , a30 119 ลำดบั นีม้ ี 50 พจน์
………7. ลำดบั เลขคณติ มพี จน์ที่ 3 เปน็ 11 และพจน์ที่ 6 เปน็ 23 แล้วมีa1  3,d  4 ลำดับน้ีคือ
3 , 7 , 11 , … , ( 4n 1) , 

………8. พจนก์ ลำงของลำดบั เลขคณติ ระหวำ่ ง 5 กับ 27 คอื 11

………9. พจน์กลำง 3 พจน์ของลำดับเลขคณิตระหวำ่ ง 32 กบั 56 คือ 38 , 44 , 50
………10. x,4x,5x  8 เป็นสำมพจน์เรยี งกนั ในลำดบั เลขคณติ แลว้ x  4 สำมพจนน์ ีค้ ือ 4, 16 , 28 มี

ผลต่ำงร่วมคือ 12 อีก2พจนต์ ่อไปคือ 40 ,52
………11. พจน์แรกที่เป็นจำนวนเต็มลบของลำดับเลขคณติ 29, 25,21,… คอื พจน์ที่ 9 มีคำ่  3

………12. ให้ m เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่ีน้อยท่สี ุดที่ทำให้พจน์ที่ m ของลำดบั เลขคณติ 11,14,17,… มีค่ำมำกกวำ่

100 แล้ว m = 31

………13. ผลบวกของจำนวน 3 จำนวนซงึ่ เรียงกนั เป็นลำดับเลขคณิตคือ 24 แลว้ พจนก์ ลำงของลำดบั น้ีคือ 8

ถ้ำผลบวกของกำลงั สองของแตล่ ะจำนวนของสำมจำนวนน้ีเปน็ 210 แล้วสำมจำนวนนค้ี อื พจน์กลำงคือ

5 , 8 , 11

20
2

ใบความรทู้ ี่ 6 ลาดบั เรขาคณิต

ความรู้พนื้ ฐานท่ตี อ้ งนาไปใช้

สำมพจน์ใด ๆ เรยี งกันเป็นลำดบั เรขำคณิต ถ้ำให้พจนก์ ลำงเปน็ a และมีอัตรำสว่ นรว่ ม
a
เปน็ r แล้ว จะเขียนในรปู a และ r ได้เปน็ r ,a,ar เสมอ เชน่ 4 , 12 , 36 เปน็ ลำดับเรขำคณติ

มีอัตรำสว่ นร่วมเปน็ 3 สำมำรถเขียนเป็นลำดับเรขำคณิตในรูป 12 ,12,12(3) แทน 4 , 12 , 36 ได้
3
ความรูพ้ ้นื ฐานที่ต้องนาไปใช้

ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ 0 30 45 60 90

sin 0 1 2 31
2 22
1
cos 1 3 2 2 0
2 2
tan 011 3 หำค่ำไมไ่ ด้
3

ความร้พู น้ื ฐานที่ต้องนาไปใช้ log a x  b แล้ว x  ab
ความรพู้ ื้นฐานทต่ี ้องนาไปใช้ 1
1. sin   cos ec

2. cos  1
sec
1 sin 
3. tan  cot หรอื cos 

4. sin 2  2sin cos หรอื sin   2sin 2 cos 2

บทนิยาม ลาดบั เรขาคณิต คอื ลาดบั ท่ีมอี ตั ราส่วนของพจน์ท่ี n+1 ต่อพจน์ที่ n มีคา่ คงตัว ค่าคง
ตัวน้ี เรียกวา่ อตั ราสว่ นร่วม

ถ้าให้ rเปน็ อัตราส่วนร่วม เราจะได้ค่า r = a n 1 หรอื an1  anr เมื่อ nI
an

แบบฝกึ หดั ลาดับต่อไปน้เี ป็นลาดบั เรขาคณติ หรอื ไม่ ถ้าเป็นมีอัตราส่วนรว่ มเป็นคา่ คงตัวเท่าไร
………1. 3,6,12,24
………2. 1,-1,1,-1
………3. 3, 0.3, 0.03, 0.003
………4. 2 , 4 , 6 , 8
………5. 2 , 6 , 3 2 , 3 6

21

ถ้ำเรำให้ a1เปน็ พจนแ์ รกและ r เปน็ อัตรำส่วนร่วมแล้ว จะเขยี นพจน์อน่ื ๆ ของลำดบั เรขำคณติ ในรปู a1และ r ไดด้ ังน้ี
a2 = a1r

a3 = a2r = (a1r)r  a1r 2

a4 = a3r  (a1r 2 )r  a1r 3


พจน์ท่ัวไปของลำดบั เรขำคณิต คือ an  a1r n 1

ตวั อย่างที่ 1 จงเขยี น 4 พจนแ์ รกของลำดับเรขำคณิต ที่มี a1  3 และ r = 4
4

วธิ ีทา a1 = 3
4

a2 = a1r = 3 (4)= 3

4

a3 = a2r = 3(4) = 12

a4 = a3r = 12(4) = 48

ดังนนั้ 4 พจน์แรกของลำดบั นค้ี ือ 3 , 3 , 12 , 48
4

ตัวอย่างท่ี 2 กำหนดลำดบั เรขำคณิต 18 , 6 , 2, … , 2 จงหำ

2187

1. พจนท์ ั่วไปของลำดบั เรขำคณิตน้ี

2. พจน์ที่ 7 ของลำดบั น้ี
3. ลำดับนม้ี กี พี่ จน์

1.พจน์ทวั่ ไปของลาดับเรขาคณิตนี้

วิธีทา จากลาดบั เรขาคณิต 18, 6, 2, , 2

2187

หาพจน์ท่ัวไป จะได้ a1  18 และ r 6 1
18 3

สูตรกำรหำพจนท์ ว่ั ไป a n = a1r n1 = 1 ) n 1
18(
3

ดงั นัน้ พจน์ทั่วไปของลาดบั น้ี คือ an = 1 ) n 1
18(
3

= 2  9(31)n1

= 2  32 (3)1n

= 2 (3)3n

2. พจนท์ ่ี 7 ของลาดบั น้ี

วิธีทา จากลาดับเรขาคณติ 18, 6, 2, , 2
2187

หาพจน์ที่ 7 ของลาดบั นี้ จากโจทย์ จะได้ a1  18 และ r  6  1

18 3

สตู รกำรหำพจนท์ ั่วไป a n = a1r n 1

a7 = 18 1 7 1  18 1  =2
3  36  81

ดงั นน้ั พจนท์ ี่ 7 คือ 2

81

22
2

3. ลาดับนมี้ กี ่พี จน์

วิธีทา จำกโจทยจ์ ะได้ a1  18 และ r  6  1 และ an 2
18 3 2187

สตู รกำรหำพจน์ทว่ั ไป a n = a1rn1

2 = 1 )n 1
18(
2187 3

2 (1)=  1  n 1
2187 18 3

 1 9 =  1  n 1
3
3

9 = n 1
10 = n

ดังนนั้ ลาดับนม้ี ี 10 พจน์

แบบฝกึ หัด

จงทาให้เปน็ ผลสาเร็จ

1. จงหำ 4 พจน์ถัดไป และพจน์ท่ัวไปของลำดบั เรขำคณติ ต่อไปน้ี

1.1 ลำดับเรขำคณิต  3,6,12,...

1.2 ลำดบั เรขำคณิต 10,5, 5 ,...

2

2. จงหำพจนท์ ี่ 8 ของลำดบั เรขำคณิต 9 , 3 , 1 ,...

444

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. 162 เปน็ พจน์ทเ่ี ทำ่ ไรของลำดบั เรขำคณติ 2,6,18,...

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4. ลำดับเรขำคณิต 3 , 6, 12, … , 384 มกี ี่พจน์

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

23

ใบงานท่ี 10

1. นกฝำกเงินกับนุกทุกเดอื นเรียงเปน็ ลำดับเรขำคณติ ถ้ำนกฝำกเงนิ เดือนที่ 4 เท่ำกับ 32 บำท และฝำกเดือนท่ี 7
เป็นเงนิ 256 บำท นกเร่ิมฝำกเงนิ กบั นุกเท่ำไร

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. ปลำต้งั ใจจะว่ำยนำ้ ให้เรยี งเป็นลำดบั เรขำคณิตสัก 5 วันโดยวนั แรกปลำจะว่ำยสกั 2 กโิ ลเมตร และวนั สดุ ทำ้ ย
ปลำจะวำ่ ย 162 กโิ ลเมตร แลว้ ระหวำ่ งวนั ท่ี 2, 3, 4 ปลำต้องวำ่ ยวนั ละกี่กิโลเมตร

……………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3. สร้อยได้เลขเด็ดมำ สำมจำนวนคอื 3 , 11 และ 27 ถำ้ นำจำนวน ๆ หนง่ึ มำบวกจำนวนทง้ั สำมแลว้ ผลบวกที่
ได้จะเป็น 3 พจนเ์ รยี งกนั ในลำดบั เรขำคณิต จงหำจำนวนท่นี ำมำบวกนน้ั

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4.ลำดบั เรขำคณิตชุดหนง่ึ ประกอบดว้ ย 6 พจน์โดยท่พี จนแ์ รกและพจน์สดุ ท้ำยคือ 1 และ 128 ตำมลำดบั

8

จงหำลำดับเรขำคณิต

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5. ก , ข และ ค มอี ำยุ 10 ,18 และ30 ปี ตำมลำดับ อกี กี่ปอี ำยขุ อง ก , ข และ ค จะมลี ักษณะเป็นลำดับเรขำคณติ

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

24

ใบความรู้ที่ 7

ลิมติ ของลาดับ

ในหวั ขอ้ นี้จะกล่ำวถงึ สมบตั ิอยำ่ งหนึ่งของลำดับอนนั ต์ ซงึ่ จะเป็นประโยชน์ในกำรศึกษำคณิตศำสตร์ชั้นสงู ขึ้นไป

โดยจะพิจำรณำพจนท์ ่ี n ของลำดับเมือ่ n มีค่ำมำกขนึ้ โดยไมม่ ีทสี่ ้นิ สดุ
1
1. พจิ ำรณำกรำฟของลำดับ an  2n ( ดังรูป 1 ) และตำแหน่งของ an บนเสน้ จำนวน

( ดงั รปู 2 )
an

1 a4 a3 a2 a1

0 1 2 3 4 5 6 7n 0 1 1
4 2
รปุ 1 รูป 2

เส้นประทปี่ รำกฏในรูป 1 เป็นเสน้ ท่ใี ชแ้ สดงแนวของจุดในกรำฟ จำกกรำฟและตำแหน่งของพจนต์ ่ำง ๆ บนเส้น
จำนวนจะเหน็ วำ่ ถ้ำ n มีคำ่ มำกขน้ึ โดยไม่มที ่ีส้นิ สุดแล้ว an มคี ่ำเขำ้ ใกล้ 0

2. พิจารณาลาดับ an = 3 a4
an a3
3 a2
a1

01234 56 n 1 23 45
รูป 3 รปู 4

จำกกรำฟและตำแหนง่ ของพจน์ตำ่ ง ๆ ของ an บนเส้นจำนวนจะเหน็ วำ่ มคี ่ำเปน็ 3 เสมอ สำหรับทกุ คำ่ n

เม่ือ n มีคำ่ มำกข้นึ โดยไมม่ ที ส่ี ิ้นสดุ และพจนท์ ี่ n มีคำ่ เข้ำใกล้ หรอื เท่ำกบั จำนวนจริง L เพียงจำนวนเดยี ว
เทำ่ นน้ั แล้ว เรยี ก L ว่ำลมิ ิตของลำดับ ( limit of a sequence ) และกล่ำวว่ำ ลำดับนน้ั มลี มิ ติ เท่ำกับ L

ดังนน้ั ลำดับ a n  1 มีลิมิตเท่ำกบั 0 และลำดับ an = 3 มลี ิมิตเท่ำกบั 3 เรยี กลำดบั อนันต์ที่มีลิมติ วำ่
2n
ลำดับคอนเวอร์เจนต์ (convergent sequence )

25

3. พิจารณาลาดบั an  2n
an

8 a1 a2 a3 a4
4 0 2 4 6 8 10

2
0 1 2 3 4 5n

รูป 5 รปู 6
จำกกรำฟและตำแหน่งของพจนต์ ่ำง ๆ ของ an บนเสน้ จำนวนจะเหน็ วำ่ เม่ือ n มีค่ำมำกขน้ึ โดยไมม่ ีทีส่ ิน้ สดุ แล้ว
พจน์ท่ี n ของลำดบั จะมีค่ำมำกข้ึนและไม่เขำ้ ใกล้จำนวนใดเลย จงึ กลำ่ วไดว้ ำ่ ลำดบั an  2n ไม่มีลิมิต ลำดบั นีจ้ งึ ไม่ใช่
ลาดบั คอนเวอรเ์ จนต์
เรยี กลาดบั อนนั ต์ทไ่ี ม่ใช่ลาดบั คอนเวอรเ์ จนตว์ า่ ลาดบั ไดเวอรเ์ จนต์ (divergent sequence )
4. พิจารณาลาดับ a n  (1)n1

an

1 a4 a3
a2 a1
0 12 34 5678 n

-1 -1 0 12

รูป 7 รปู 8

เมอ่ื n เป็นจำนวนค่ี พจนท์ ี่ n เปน็ 1 และเมือ่ n เปน็ จำนวนคู่ พจนท์ ่ี n เป็น -1 เมื่อ n มีค่ำมำกข้นึ
โดยไมม่ ีทส่ี น้ิ สดุ แล้ว พจนท์ ี่ n ของลำดบั นี้จึงมไิ ด้เข้าใกล้จานวนใดจานวนหนง่ึ ลาดบั a n  (1)n1 จึงไมม่ ีลิมิต
ดังนัน้ ลาดับนีจ้ ึงเป็นลาดบั ไดเวอร์เจนต์

จำกท่ีกล่ำวมำขำ้ งต้น จงึ อำจกล่ำวถงึ ลิมิตของลำดบั ไดด้ งั นี้

1. ลำดบั ทจี่ ะนำมำพจิ ำรณำลิมิตน้นั ตอ้ งเป็นลำดับอนันต์
2. ถำ้ กลำ่ ววำ่ L เป็นลิมิตของลำดบั ที่มพี จน์ท่ี n เป็น an หมำยถงึ เมือ่ n มีคำ่ มำกขนึ้ โดย
ไมม่ ีท่สี ิ้นสุดแล้ว พจน์ที่ n ของลำดับจะมีค่ำเข้ำใกลห้ รือเท่ำกับจำนวนจริง L จำนวน
เดยี วเทำ่ นน้ั กลำ่ วไดว้ ่ำ L เปน็ ลมิ ิตของลำดับทมี่ พี จน์ที่ n เป็น an และเขยี นแทนดว้ ย
สญั ลกั ษณ์ lim a L
n
n
3. ลำดบั ทมี ลี ิมิตเรียกว่ำ ลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์ ส่วนลำดบั ที่ไม่มลี มิ ิตเรียกว่ำ ลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์

4. กำรพิจำรณำวำ่ ลำดบั ใดจะมีลิมิตหรอื ไมน่ ้นั อำจทำได้โดยกำรพิจำรณำกรำฟของลำดับหรอื ตำแหนง่ ของ

พจน์ท่ี n ของลำดับบนเสน้ จำนวน เม่อื n มคี ำ่ มำกขน้ึ โดยไม่มีทส่ี น้ิ สดุ

26

ใบงานที่ 11

1. ลำดับทนี่ ำมำพิจำรณำหำลมิ ิตนนั้ ต้องเปน็ ลำดบั ชนดิ ใด

…………………………………………………………………………………………………………………….

2. ถำ้ กลำ่ วว่ำ L เปน็ ลิมติ ของลำดับ ทม่ี ีพจน์ท่ี n เป็น an หมำยควำมวำ่ อย่ำงไร
…………………………………………………………………………………………………………………….

3. ลำดับทมี ีลมิ ติ เรียกว่ำ ลำดบั อะไร

…………………………………………………………………………………………………………………….

4. ลำดับท่ไี ม่มีลมิ ิตเรียกว่ำ ลำดบั อะไร

…………………………………………………………………………………………………………………….

5. กำรพิจำรณำว่ำลำดับใดจะมลี ิมิตหรอื ไม่น้นั อำจทำได้โดยกำรพิจำรณำจำกอะไรบ้ำง

…………………………………………………………………………………………………………………….

6. ถ้ำ L เปน็ ลมิ ติ ของลำดับท่มี ีพจน์ที่ n เป็น an แลว้ เขียนแทนดว้ ยสญั ลักษณ์ อย่ำงไร
…………………………………………………………………………………………………………………….

จงหำลำดับทกี่ ำหนดให้ เป็นลำดับคอนเวอร์เจนต์หรอื ไดเวอรเ์ จนต์ และมลี มิ ิตเท่ำใด

1. ลำดับ an  3n ……………………………………………………………………………………………………….
2. ลำดับ an  5 ………………………………………………………………………………………………………
3. ลำดับ an  2 ……………………………………………………………………………………………………….

4. ลำดับ an 1 ……………………………………………………………………………………………………….
3n ……………………………………………………………………………………………………….
2
5. ลำดบั an  n

6. ลำดบั an = n 1 ……………………………………………………………………………………………………….
1
7. ลำดบั an = 1  n ……………………………………………………………………………………………………….

8. ลำดับ an  sin n ……………………………………………………………………………………………………….
9. ลำดับ a  cos n ……………………………………………………………………………………………………….
10. ลำดับ n 1 cos ………………………………………………………………………………………………….……
n  2 n
a

27

ใบงานที่ 12

คำชแี้ จง จงทำเครื่องหมำย หนำ้ ข้อท่ีเหน็ ว่ำถกู และทำเครอื่ งหมำย หน้ำข้อท่ี เห็นว่ำผิด
1 1 1 1 1
………. 1. ลำดับ an  n เขยี นแบบแจงพจนไ์ ด้ 1, 2 , 3 , 4 ,... ดังนน้ั lim n  0

1 1 1 n 1
n2 4 9 n2
………. 2. ลำดบั an  เขียนแบบแจงพจนไ์ ด้ 1, , ,... ดงั นั้น lim 0

1 1 n
nt nt
………. 3. ลำดบั an  , t  0 ดงั นนั้ lim 0

an n lim 4 = 4
………. 4. ลำดบั 4 เขียนแบบแจงพจน์ได้ 4, 4, 4 , … ดังนั้น
 n

………. 5 ลำดับ an  10 เขยี นแบบแจงพจนไ์ ด้ 10 , 10 ,10, … ดงั นัน้ lim 10 = 10

………. 6. ลำดบั an  c,c เป็นคำ่ คงตวั ดงั นั้น lim c  c n

4 n 64 4
5 n 4 16 125 5 n
………. 7. ลำดับ an  ( ) เขียนแบบแจงพจน์ได้ 5 , 25 , ,... ดังนน้ั lim ( ) 0

2 n 2 4 8 n 2 n
3 3 9 27 3
………. 8. ลำดบั an  ( ) เขียนแบบแจงพจนไ์ ด้ , , ,... ดงั นนั้ lim ( ) 0

15 n

…….. 9. 8  84  2 ดังนัน้ 15  5  3
12 12  4 3 40 40 8
5
2n
………. 10. ลำดบั a n  2n ดงั นน้ั an  n2  2
3n 2 3n 2 n
3

n2
จงทำเคร่ืองหมำย หน้ำข้อท่เี หน็ วำ่ ถูก และทำเคร่ืองหมำย  หน้ำขอ้ ทเี่ หน็ ว่ำผิด

……… 1.1 2 , 4, 6 , 8 , 10,… เปน็ ลำดับเลขคณิต

……… 1.2 2 , 4, 8 , 16 , 32 , … เป็นลำดบั เรขำคณติ
……… 1.3 2 , 4 , 6, ,10 , 16,… เป็นลำดับเลขคณิตมพี จน์ทว่ั ไปคือ 2n
1 1 1 1 n1
……… 1.4 1, 2 , 4 , 8 ,... เป็นลำดบั เรขำคณติ มีพจน์ทวั่ ไปคือ ( 2 )

………. 1.5 an  a1 (n 1)d คือสตู รหำพจน์ท่ัวไปของลำดับเลขคณติ
an  a1r n1 คือสตู รหำพจน์ทั่วไปของลำดบั เรขำคณติ
……… 1.6 ลำดับ 2, 5, 8 ,… , 32 เปน็ ลำดบั เลขคณิตมีทง้ั หมด 11 พจน์
………. 1.7 1
ลำดบั 27,9,3,..., 81 เป็นลำดับเรขำคณิตมีทัง้ หมด 7 พจน์
………. 1.8

........ 1.9 5+5+5+5+5+5+5 = 5(7)

…….. 1.10 3(1)+3(2)+3(3)+3(4) = 3(1+2+3+4)

28

ใบความรู้ที่ 8 การหาลมิ ิตของลาดบั

การหาลิมติ ของลาดับ
นอกจำกจะหำโดยตรงจำกกำรพจิ ำรณำกรำฟของลำดับหรือพจน์ที่ n ของลำดบั บนเสน้ จำนวนแล้ว อำจหำไดโ้ ดยอำศยั ทฤษฎี

บทเกี่ยวกับลมิ ติ ซงึ่ จะกลำ่ วถงึ และนำไปใช้โดยไมม่ กี ำรพสิ จู น์

ทฤษฎบี ทเกีย่ วกับลิมิต lim a A lim b B

ให้ c เปน็ ค่ำคงตัว n n  และ n n  จะได้

ทบ.1. ถำ้ an  c แล้ว lim a n  lim c  c

n n

ตัวอย่างการนาทฤษฎที ่ี 1 ไปใช้ 2. lim 5 = 5

1. lim 10 = 10 n

n

ทบ.2. ถำ้ an  1 เมอ่ื t  0 แล้ว lim a n  lim ( 1 )  0
nt nt
n n

ตัวอย่างการนาทฤษฎีที่ 2 ไปใช้
1 1
1. lim ( n ) =0 2. lim ( 3n ) =0
=0
n 1 n 1 =0
n2 5n3
3. lim ( ) = 0 4. lim ( )

n 1 n 1
n n
5. lim ( ) = 0 6. lim ( 3 )

n n

ทบ.3. ถำ้ an cn เมอ่ื c 1 แล้ว lim a n  lim c n 0

n n

ตัวอยา่ งการนาทฤษฎที ี่ 3 ไปใช้
1 n 1
1. lim ( 2 ) = 0 2. ( 3n ) =0

n 2 n 3 n
3 5
3. lim ( ) = 0 4. lim lim ( ) =0

n n n

29

ทบ.4. lim ca n  c lim a n  cA

n n

ตัวอย่างการนาทฤษฎีที่ 4 ไปใช้ กำหนดให้ an  3 จงหำลมิ ติ ของลำดบั นี้
n
3 1
วธิ ที า จำก a n  n เปลี่ยนรปู an = 3( n )

ดังน้ัน lim a n = lim 3( 1 )
n
n n
1
= 3 lim ( n )

n
= 3(0) = 0

ทบ.5. lim (an + bn ) = lim an + lim bn = AB
=
n = n n = AB
lim (an b lim a lim b
ทบ.6  n ) = n  n
n n n
lim (an bn lim a lim b = AB
ทบ.7.  ) n  n
n n n
lim a
lim  an  n A B0
ทบ.8. bn n = B เมอ่ื
n lim b
n
n

ตวั อยา่ งการนาทฤษฎที ี่ 5 , 6 , 7 , 8 ไปใช้ จงหำลิมติ ของลำดับ เมือ่ กำหนดพจนท์ ว่ั ไปให้ตอ่ ไปน้ี
1 5 4
1. an = 2  n 2. an = 3  n 3. an = 1
5 n2


วธิ ีทา 1. an = 2  1 ลำดบั นี้คือ 3,2 1 ,2 1 ,2 1 ,2 1 ,...
n 2 3 4 5
โดยอำศยั กรำฟ จะไดล้ มิ ติ ของลำดับน้เี ปน็ 2

กำรหำลมิ ติ ของลำดับนีโ้ ดยใช้สูตรจะได้ 1
n
lim a n = lim ( 2  )

n n 1
n
= lim 2 + lim ( ) = 2+0 =2

5 n n 3 1
n 1 1 4 6 2 3
วิธที า 2. an = 3  ลำดบั นี้คอื  2 , 2 , 1 3 , 1 , 2 , 2 , 2 7 , 2 8 , ...

โดยอำศยั กรำฟ จะได้ลมิ ิตของลำดับนี้เป็น 3

กำรหำลมิ ติ ของลำดบั โดยใชส้ ูตรจะได้ 5 5
n n
lim a n = lim 3  = lim 3  lim ( ) = 30 = 3

n n n n

30

วธิ ที า 3. an = 4 1 ลำดับนคี้ ือ 4 , 16 , 36 ,... โดยอำศยั กรำฟ จะไดล้ ิมติ ของลำดับนเ้ี ป็น 4
n2 6 21 46 5
5 

กำรหำลมิ ติ ของลำดบั โดยใชส้ ูตรจะได้ lim 4

lim a n = lim 4 1 = n 1 = 5 4 0  4
n2 n2  5
n n 5  lim 5  lim ( )

n n

ทบ. 9 lim m a n = m lim a n = m A เมือ่ m a n เป็นจำนวนจรงิ

n n

สำหรับทกุ ๆ n n

ทบ.10 lim a n n =  lim a n  = An
 
n n

ตัวอย่างการนาทฤษฎที ี่ 9 , 10 ไปใช้ จงหำลมิ ติ ของลำดบั เมอ่ื กำหนดพจนท์ ัว่ ไปให้ต่อไปนี้
 (1.) 5
an  2  3 (2.) an  4  1
n 2n
5
วิธที ำ (1.)  lim 2 3 5 =  lim 2  3 
n  n
n n
5
 3  =  2  0 5 = 32
=  lim 2  lim n 

n n

วิธีทำ (2.) lim 4  1 = lim (4  1 )
2n 2n
n n

= lim 4  lim 1 = 40 =2
2n
n n

การหาลมิ ิตของลาดับโดยการเปลีย่ นรปู พจน์ทว่ั ไป

เมือ่ กำหนดพจนท์ ่วั ไปมำให้ ไมส่ ำมำรถหำลิมิตโดยใช้ทฤษฎบี ทได้ ใหเ้ ปล่ยี นรูปพจนท์ ่ัวไปให้อย่ใู นลักษณะท่จี ะใช้ทฤษฎีชว่ ยใน

กำรหำลมิ ติ ได้ โดยกำรนำคำ่ n ทมี่ ำกท่ีสุดมำหำร n2 3n  4
2n2 5n
ตัวอยา่ ง 1. จงหำลิมติ ของลำดับ an =

วธิ ีทา เปลีย่ นรปู an โดยนำ n2 หำรทกุ พจน์ จะได้
n2
n2  3n  4 1  3  4
n2 n2 n n2
an = =
2n2 5n 2 5
n2  n2  n

31

1 3  4
n n2
ดังนน้ั lim a n = lim
2 5
n n  n

lim 1  lim ( 3 )  lim ( 4 ) 1 0 0 1
n n2 20 2
= n n n = 
5
lim 2  lim ( n )

n n

ตัวอยา่ ง 2 กำหนดให้ an = 4n2 3n 5 จงหำลมิ ติ ของลำดบั
5n 6

วิธที า เปล่ียนรูป an โดยนำ n หำรทกุ พจนจ์ ะได้
4n2
n2  3n  5 4  3  5
n2 n2 n n2
an = =
5n 6 5 6
n  n  n

4  3  5 400 2
n n2 50 5
ดังน้นั lim a = lim ( ) = 
n 5 6
n n  n

ตัวอยา่ ง 3 จงหำลิมติ ของลำดบั a n  n 1
4n
n 1 1
วธิ ที า เปล่ยี นรปู an โดยนำ n หำรทุกพจนจ์ ะได้ an = n  n = 1  n

4n 4
n
1
ดงั นัน้ lim a = lim 1  n = nlim 1  1 
4 n 
n n n 4 

lim 1  lim 1
n
= n n
lim 4
n
10
= 4

= 1
2

32

ใบงานท่ี 13

จงเติมคาตอบใหส้ มบรู ณ์และถกู ต้อง

1. จงหำลมิ ิตของลำดับตอ่ ไปนี้ 1
5
1.1 lim 8 =………….. 1.2 lim (3 ) =…………..

n 2 n 5
n n5
1.3 lim =………….. 1.4 lim =…………..

n  7 n 5 n
 2 9
1.5 lim (n )3 =………….. 1.6 lim ( ) =…………..

n 4 n 2
5 n6
1.7 lim ( ) n =………….. 1.8 lim (5  ) =…………..

n n 3n 5
2 n
1.9 lim (2n 1) =………….. 1.10 lim (  ) =…………..

n n
4n2
2. กำหนด an  2n2 3n 10 จงหำ ลมิ ิตของลำดบั นี้
5n 3
วิธีทา เปลย่ี นรูป an โดย นำ n2 หำรทกุ พจน์ จะได้
4n2
n2  ........  ......

an = 2n2 = …………………………….
n2
 ..........  ......

ดงั นั้น lim a n = lim ……………….. = 4  ....  .... =……
2  ..... .....
n n
9n 5
3. จงหำลิมติ ของลำดบั an = 4n  3

วิธีทา เปลีย่ นรูป an โดยนำ n หำรทกุ พจน์ จะได้ 5
9n n
an = n  ....... = ........ 

4n  ....... .......  3
n n
lim a lim ……………………………..
ดงั น้ัน n =
n n

= nlim .....  5 
n 
3 
........  n

= ...  ....
....  ....

=…………………

33

ใบงานที่ 14

จงหาลิมติ ของลาดบั ต่อไปน้ี
3
1. an = 4n =....................................................................................
=....................................................................................
2. an = 5 =....................................................................................
n =....................................................................................
1 n =....................................................................................
3. an = ( 3 ) =....................................................................................
=....................................................................................
4. an = 1 =....................................................................................
(n  2)(n  5)
7 =....................................................................................
5. an = 2 =....................................................................................
6 an = n  1 =....................................................................................
3
n1 n
2n
7. an = 4n  5

8. an = n2 5n 1
4n2 2n5
4n
9. an = n 1

10. an =  3n 1 3
11. an =
4n5
4n2
(n  3)2
2n 7 4
n5
 12 an = =....................................................................................
=....................................................................................
13 an = 3  n 4n3 5n 7 =....................................................................................
14. an = 3 6n2n21 
n2 2n5
3n2 4n 8
15 an = n3 8 =....................................................................................

 16 an = 2 n (n 1) =....................................................................................
3 =....................................................................................
16n =....................................................................................
17 an = n 1 =....................................................................................

18 an = 2n3 3n 5
(3n 7)3

19 an = (n  5)4
5n4  7n

34

แบบฝกึ หัดเพ่ิมเติม

จงหาลมิ ิตของลาดับต่อไปน้ี

1. lim 4 = ………..
n
1
2. lim ( n ) = ………..
= ………..
n 5 )n = ………..
7
3. lim (

n 2n
5n 
4. lim 8

n
5. lim 25 = ………..
n
9n 7
6. lim 16n  49 = ………..

n 2n 1 4
3n 5
 7. lim = ………..
n
n3
8. lim (2n  27 = ………..
 4)3
n
9. lim (1)n = ………..
n
10 lim sin n = ………..
n
11. lim cos n = ………..
n
12 3n = ………..
lim n2 9 = ………..
n2 4
n n5

13 lim

n
14 lim (3n 1) = ………..
n = ………..
(n  5)4
15. lim 3n4 7n

n n2 5n
16n2  25
16. lim = ………..

n

17. lim  n 3  = ………..
4n2  
n  6

35

ใบความรู้ที่ 9 อนกุ รม (Series)

อนกุ รม (Series)

บทนิยาม เมือ่ a1,a2 ,a3,...,an เปน็ ลาดบั จากดั และ a1,a2 ,a3,...,an ,... เปน็ ลาดบั อนนั ต์
เรยี กการแสดงผลบวกของพจนท์ ุกพจนข์ องลาดับในรูป a1  a2  a3 ...  an หรือ a1  a2  a3 ...  an  ...

วา่ อนุกรม อนกุ รมทไี่ ด้จากลาดบั จากดั เรียกว่า อนกุ รมจากดั
อนุกรมทไ่ี ด้จากลาดับอนนั ต์ เรียกวา่ อนุกรมอนนั ต์

สาหรบั อนกุ รม a1 a2 a3 ... an หรอื a1 a2 a3 ... an  ...
เรยี ก a1 ว่ำพจนท์ ี่ 1 ของอนุกรม

a2 ว่ำพจนท์ ี่ 2 ของอนุกรม
a3 วำ่ พจนท์ ่ี 3 ของอนุกรม


an ว่ำพจน์ท่ี n ของอนุกรม
ตัวอยา่ งอนกุ รม

1. 1 + 3 + 5 + … + 15 เปน็ อนุกรมจากัดที่ได้จากลาดับ 1 , 3 , 5 , … , 15
1 1 1 1 1 1 1 1
2. 2  4  6  ...  2n  ... เป็นอนุกรมอนนั ตท์ ไี่ ดจ้ ากลาดับ 2 , 4 , 6 ,... , 2n ,...

3. 1 1  1  ...  1  ... เป็นอนกุ รมอนนั ต์ที่ได้จากลาดบั 1, 1 , 1 ,..., 1 ,...
3 9 3n1 3 9 3n1

สญั ลกั ษณ์แทนการบวก

เพอื่ ควำมสะดวกในกำรเขยี นอนกุ รม จะใชอ้ กั ษรกรีก  (ซกิ มำ)เป็นสัญลกั ษณแ์ ทนกำรบวกกลำ่ วคือ จะเขียนแทน
a1 a2 a3 ... an ดว้ ย in1ai ( อ่ำนว่ำ กำรบวก ai เมื่อ i 1 ถงึ i  n ) และ
a1 a2 a3 ... an  ... ด้วย i1ai ( อำ่ นว่ำ กำรบวก ai เมอ่ื i มคี ำ่ ต้ังแต่ 1 ขน้ึ ไป )

ดงั นนั้ i51i2 แทน 12  22  32  42  52

4

i13 แทน 3  3  3  3
n1n แทน 1 2  3  ...

3

k1(2k  3) แทน 2(1)  3  2(2)  3  2(3)  3
ในการเขยี นอนุกรมใดอนุกรมหนึง่ โดยใช้  ตัวอักษรท่ีใช้แทนตวั แปรอาจใช้อกั ษรใดก็ได้ เชน่ in1i3 หรือ
kn 1k3 ต่างก็แทนอนุกรมเดยี วกัน

อนุกรมใดกต็ ามที่เปน็ อนกุ รมจากดั อนุกรมนั้นยอ่ มแทนได้ด้วยจานวนใดจานวนหนึ่ง

36

ใบงำนที่ 15

จุดประสงค์ เขียนอนุกรมโดยใชส้ ญั ลักษณ์  ได้

1. จงเขียนอนกุ รมแทนสัญลกั ษณต์ ่อไปน้ใี นรปู การบวก
1.1 i513i =…………………………….
1.2 i71x i =…………………………..
4
1.3 m1 2m  5 =…………………………………………………………………..

1.4 5 =…………………………….

 (7i  2)
i 1

1.5 5 =…………………………….

 (3i  5)
i 1

2. จงทาเครื่องหมาย หน้าข้อทถ่ี กู และทาเครอื่ งหมาย หนา้ ข้อทผี่ ดิ
5
…….2.1 i14  4  4  4  4  4 = 20 =4(5)
…….2.2 i316  6  6  6  18  6(3)
4
…….2.3 i17  7  7  7  7  28  7(4)
…….2.4 k4 12k  2(1)  2(2)  2(3)  2(4)  2  4  6  8  20
…….2.5 k4 12k  2(1)  2(2)  2(3)  2(4)  2(1 2  3  4)  20
…….2.6 2k4 1k  2(1 2  3  4)  20
3
       …….2.7k12
k  k  112  222  332

 = 12  22  32 = 3  3 2

k1k k1k

37
2

.

ใบความรู้ท่ี 10 สมบตั ิ  ทีค่ วรทราบ
สมบัติ  ทีค่ วรทราบ เมอื่ c , n เป็นค่าคงตวั

1. in1c  cn 2. in1ci  cin1i 3. in1(a i  b i )  in1a i  n b i
i1
6

ตวั อย่าง 1 จงหำคำ่ ของ i1(3i  4)
6 66

วธิ ที า i1(3i  4) = i13i  i14
6

= 3i1i  4(6)
= 3(1+2+3+4+5+6)  24
= 3(21)  24 = 63  24 = 39
กำหนด f(x) = 2x + 3 จงหำค่ำของ i41f (i2 )
ตวั อยา่ ง 2

วิธที า จาก f(x) = 2x + 3
f(i2 ) = 2i2 3
ดังนน้ั i41f (i2 ) = i41(2i2  3)
= i412i2  i413
= 2i41i2  3(4)
= 2(12  22  32  4 2 ) 12

= 2 (1+4+9+16) + 12 = 2 (30) + 12 = 60 + 12 = 72

ตัวอยา่ ง 3 จงเขยี น 1+ 3+ 5 + … + 43 โดยใช้เครอื่ งหมาย 
วิธที า 1 + 3 + 5 + … + 43 เป็นลำดับเลขคณิต มีพจน์ท่ัวไปคือ 2n 1

จำก a n = 2n 1
43 = 2n 1

43+1 = 2n
44
n = 2 = 22

ดงั นัน้ 1 + 3 + 5 + … + 43 = i221(2i 1)

38

ตัวอย่าง 4 จงเขยี น 2x  4x 2  6x3  8x 4 10x5 โดยใช้เครื่องหมาย 
วิธที า 2x  4x 2  6x3  8x 4 10x5 มีพจน์ท่ัวไปคือ 2nx n มที ง้ั หมด 5 พจน์
ดงั นน้ั 2x  4x 2  6x 3  8x 4 10x5 = i512ix i
1
ตัวอยา่ ง 5 จงเขียน 81  27  9   27 โดยใช้เคร่อื งหมาย 

วิธีทา 81  27  9  1 เปน็ ลาดับเรขาคณติ
27
1 a1r n1 81( 13 ) n 1
มอี ัตราส่วนรว่ มคือ 3 และพจนท์ ว่ั ไปคอื =

ดังนน้ั 1 = 81( 1 ) n1
27 3
1 1 1 n 1
27  81 = ( 3 )

( 1 )7 = ( 1 ) n1
3 3
7 = n 1

8 =n i8181(

ดงั นน้ั 81  27  9   1 = 1 ) i1
27 3

39

ใบงานท่ี 16

1. จงเขียนอนุกรมต่อไปนี้ในรูปท่ีใช้เคร่ืองหมำย 
1.1 4+9+14+19+ … +109

=………………………………………………………………………………………………………………………

1.2 30+33+36+ … + 90

=………………………………………………………………………………………………………………………

1.3 1+3+9+27+ …

1 =………………………………………………………………………………………………………………………
2 1 1
1.4 1   4  ...  2  ... =………………………………………………………………………………………………………
n1

1.5 1(2)+2(3)+3(4)+…+10(11)

=………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงเขยี นสญั ลักษณต์ อ่ ไปนี้ในรูปกำรบวก
2.1 i52502i
2.2 i106i2 =………………………………………………………………………………………………………………………
2.3 i31(4  5i) =………………………………………………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหำค่ำของ
5
3.1 i17i =………………………………………………………………………………………………………………………

3.2 3.2 k6 1(k2  5) =………………………………………………………………………………………………………………………
3.3 i41(i3  2) =………………………………………………………………………………………………………………………
3.4 i85i(i  7) =………………………………………………………………………………………………………………………
4. กำหนดให้ f (x)  2x 7 และ a1 1,a2  3,a3  5,a4  2,a5  4
จงหำคำ่ ของ
=………………………………………………………………………………………………………………………
5 =………………………………………………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………………………………………………
4.1 i1ai
4.2 i51f (ai )
4.3 i51aif (ai )

40

ใบงานที่ 17

1. จงทำเคร่ืองหมำย หน้ำข้อทเ่ี หน็ วำ่ ถูก และทำเคร่ืองหมำย หนำ้ ข้อทเี่ หน็ วำ่ ผดิ
20
……….. 1.1 i15  20(5)
……….. 1.2 k5 12k  2k5 1k
……….. 1.3 i81(3i2  7)  3i81i2  i817
……….. 1.4 i91i(i  6)  i91ii91(i  6)
……….. 1.5 in1i  1 2  3  ...  n
n
……….. 1.6 2  12  22  32  ...  n 2
i1i
……….. 1.7 in1i3  (1 2  3  ...  n)3
5 5(6)
……….. 1.8  1  2  3  4  5  15  2
i1i
i81i 8(9)
……….. 1.9  1  2  3  4  5  6  7  8  36  2

……….. 1.10 10  1 2  3  ... 10  55  10(10 1)
2
i1i

41

ใบความรู้ที่ 11 การหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม
การหาผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมท่ีมกั ใชเ้ สมอ คือ

n n i 2 และ n i3 ซ่ึงหำได้ดงั น้ี n = n(n  1)
2
 i,   i

i1 i1 i 1 i1

n = n(n + 1)(2n + 1)  n(n  1)  2  n 2
 2 
i2 = =n i 3  i

i1 6  i1 

i 1

จากผลทไ่ี ด้ข้างตน้ อาจนาไปคานวณหาผลบวกของจานวนตา่ ง ๆ ได้ดงั น้ี

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ n (i 2 i  1)



i 1

วิธีทา n (i 2 i  1) = n i 2  n  n

  i 1

i 1 i 1 i1 i1

= n(n  1)(2n  1)  n(n  1)  n

62

= n(n  1)(2n  1)  3n(n  1)  6n

6 66

= n(n  1)[2n  1  3]  6n

66

= n(n  1)(2n  2)  6n

66

= 2n(n  1)(n  1)  6n

66

= 2n(n 2  1)  6n
66

= =2n(n 2  1  3) n(n 2  2)

63

ดังนนั้ n (i 2 i  1) = n(n 2  2)

 3

i 1

ตัวอย่าง 2 จงหาคา่ ของ 10 (i 3  6i 2  3i  7)



i 1

วิธีทา 10 (i 3  6i 2  3i  7)



i 1

= 10 3 10 2 10 10

 i  6  i  3 i   7

i 1 i 1 i 1 i 1

= 10  11 2  610  11  21  310  11  7(10)
 2  6  2 

= 552  2310  165  70

= 3025+2075

= 5150

42

ใบงานที่ 18

จงหาค่าของ
100

1. i1i =……………………………………………………………………………………….

200

2. i1i =……………………………………………………………………………………….
3. k801k =……………………………………………………………………………………….
4. k201(k 7) =……………………………………………………………………………………….
5. i601i2 =……………………………………………………………………………………….
6. i101(i2  3) =……………………………………………………………………………………….
7. i251i3 =……………………………………………………………………………………….
8. i201(i3 6) =……………………………………………………………………………………….
9. i151(4i3 3i2 ) =……………………………………………………………………………………….
10. i101(2i3  5i2  4i  3) =……………………………………………………………………………………….

จงทาเครอื่ งหมาย  หน้าข้อท่เี ห็นวา่ ถูกและทาเคร่ืองหมาย หน้าข้อทเ่ี หน็ วา่ ผดิ
i601i 70
……… 1.  6061 …………2. 2  7071141
2 ………. 4. i1i 6

 ……… i401i 3 2 2 2
3.  40 41 in1i3 n (n 1)
2  4

……….. 5. in 1i  n( n 1) …………6. n 2  n(n  1)( n  2)
2 6
i1i
17 25 25
………… 7. …………8.
i18  8(17) k19k  9k1k
30 30 30 …………10. i51i  1 2  3  4  5
……… 9.
i1 i  2  i1i  i12
……… 11. i106i  6  7  8  9 10
………..12 10  5  (1  2  3  ... 10)  (1 2  3  4  5)

………. 13 i101i  i51i = i106i i1i i1i
………. 14 i201i  i101i =(1 2 3...  20) (1 2 3...10)= i2011i

43
2

ใบความรู้ท่ี 13 การหาผลบวกของอนกุ รมทไี่ มใ่ ช่ n พจนแ์ รก
การหาผลบวกของอนกุ รมทไ่ี มใ่ ช่ n พจนแ์ รก โดยใชส้ ูตร in1i , in1i2 และ in1i3 ในรูป
n n ki11i
 
iki i1i
n
พิสจู น์ i = k  (k 1)  (k  2)  ...  n
ik

= k  (k 1)  (k  2) ...n +1 2  3 ...  (k 1)

(1 2  3 ...  (k 1))
= 1 2  3...  (k 1)  k  (k 1) ...  n

(1 2  3 ...  (k 1))
n ki11i
= 
i1i
ตัวอย่าง 1 จงหาคา่ ของ i30100i1
300 300 100
วธิ ีทา i10i1 = i1i  i1i
300 301 100101
= 2  2

= 45150 5050
= 40150
20
 ตัวอย่าง 2 i5
จงหาคา่ ของ i3  3i2

20 วธิ ีทาi3 3i2 = i201( i3  3i2 )  i41(i3  3i2 )
i5
i201i3  3i201i2 i41i3  3i41i2
=   
 
2 3
   =
 20 21 20 21 41 
 2 6 

    45 2 3
 2 459 
 6 

= 44100 8610100 90

= 35490 10
= 35480

44

ใบงานท่ี 19

1. จงหำคำ่ ของ

20

1.1 i4(8  2i) =……………………………………………………………………………………………
1.2 i308(2i3  7) =……………………………………………………………………………………………
1.3 k201(13k2  2k  5) =……………………………………………………………………………………………

2. จงหำคำ่ ของ
2.1 k3 1(k  3)2 =……………………………………………………………………………………………
2.2 1+3+5+…+399 =……………………………………………………………………………………………
2.3 1(2)+2(3)+3(4)+…+20(21) =……………………………………………………………………………………………

3. จงเขียนแทนสญั ลักษณต์ ่อไปน้ีในรูปกำรบวก
3.1 m51(1)m (mx m ) =……………………………………………………………………………………………
4 1
3.2 3i ) =……………………………………………………………………………………………
i1(

4. จงเขยี นผลบวกตอ่ ไปนี้ในรปู 

4.1 3+6+12+…+384 =……………………………………………………………………………………………

4.2 7+10+13+… =……………………………………………………………………………………………

45

ใบความรทู้ ี่ 12 อนุกรมเลขคณิต

อนุกรมเลขคณิต

อนกุ รมทไ่ี ด้จำกลำดบั เลขคณิต เรยี กว่ำอนุกรมเลขคณิต และผลตำ่ งรว่ มของลำดับเลขคณิตจะเปน็ ผลตำ่ งร่วม

ของอนุกรมเลขคณติ ดว้ ย
ให้ Sn เปน็ ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิตทีม่ ี a1เปน็ พจน์แรกและ d เปน็ ผลตำ่ งรว่ ม จะได้
Sn = a1  (a1  d)  (a1  2d)  ... {a1  (n 1)d} ………….. 

หรอื Sn = {a1  (n 1)d}{a1  (n  2)d}{a1  (n  3)d  ...  a1 …… 
 +  จะได้ 2Sn = {2a1(n 1)d}{2a1 (n1)d}... {2a1 (n1)d}

บวกกนั n พจน์

= n{2a1  (n 1)d}
n
Sn = 2 {2a1  (n  1)d}

หรอื Sn = n {a1  a1  (n 1)d}
2
n
Sn = 2 (a1  a n )

ดังนั้นกำรหำผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต จะต้องทรำบสงิ่ ต่อไปนี้

1. จำนวนพจน์ที่ต้องกำรบวก

2. พจน์แรก

3. พจนส์ ดุ ท้ำยหรอื ผลต่ำงร่วม
ในกำรหำจำนวนดังกลำ่ ว บำงครัง้ อำจตอ้ งใช้สตู รของลำดับเลขคณติ an  a1  (n 1)d เขำ้ ช่วย
ตวั อย่างที่ 1 จงหำผลบวก 7 พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณิต 5+8+11+…
จำกโจทย์จะได้ a1 5 d 8 5  3 และ n7
วธิ ีทา  , Sn n  (n 1)d}
จำกสตู ร = 2
{2a1
7
= 2 {2(5)  (7  1)3}

= 7 (10  18) = 7 (28) = 98
2 2
ดังนั้นผลบวก 7 พจน์แรกของอนกุ รมนค้ี ือ 98

ตัวอย่างท่ี 2 จงหำผลบวกของอนุกรมเลขคณติ 1+5+9+…+157
วธิ ีทา จำกโจทย์จะได้ a1 1,an 157 และ d  4 แต่ไม่ทรำบคำ่ n ต้องหำค่ำ n ก่อน
จำกสูตรลำดับเลขคณติ an = a1  (n 1)d

157 = 1+ (n 1) 4
157 1 = (n 1) 4
156 = (n 1)
4
39+1 = n 40 = n
n 40
ดังนน้ั ผลบวก 40 พจน์ของอนุกรมน้คี อื Sn = 2 (a1  a n ) = 2 (1  157) = 20(158) = 3160

46

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหำผลบวกจำนวนเต็มที่อยู่ระหวำ่ ง 10 และ 200 เมอ่ื จำนวนเต็มแตล่ ะจำนวน

ดังกลำ่ วเปน็

1. หำรดว้ ย 9 ลงตัว

2. หำรด้วย 9 ไม่ลงตัว

วิธที า 1. จำนวนท่หี ำรด้วย 9 ลงตัวระหว่ำง 10 และ 200 คอื 18 , 27 , 36 , … , 198
เป็นลำดบั เลขคณิตท่มี ี a1 18,an 198,d  9 พจนท์ ั่วไปคือ 9n  9
ดังนน้ั an = 9n  9
198 = 9n  9
198  9 189
n = 9  9  21

ดงั นัน้ ผลบวกจำนวนท่หี ำรด้วย 9 ลงตัวระหว่ำง 10 และ 200 คือ
n
Sn = 2 (a1  a n )

= 21 (18  198)  21 (216)  2,268
2 2
วิธีทา 2 ผลบวกของจำนวนทีห่ ำรด้วย 9 ไม่ลงตัวระหวำ่ ง 10 และ 200 คอื
(11 12 13  ... 199)  (18  27  36  ... 198)
189
= 2 (11  199)  2,268

= 189 (210)  2,268
2
= 19,845  2,268 17,577

ตวั อยา่ งที่ 4 ลโี อซี้อรถคนั หนึ่งรำคำ 500,000 บำท โดยจำ่ ยเงนิ ดำวน์ 200,000 บำท และผ่อน

สง่ เดอื นละ 10,000 บำท โดยเสยี ดอกเบ้ยี ในอัตรำ 2% ต่อเดอื น ลีโอต้องเสยี ดอก

เบยี้ ท้งั หมดเท่ำไรจงึ จะไดร้ ถเป็นกรรมสทิ ธ์ิ และลีโอซ้ือรถทงั้ หมดเปน็ เงนิ เท่ำไร

วธิ ีทา จำกโจทย์ ลโี อจ่ำยคำ่ รถครง้ั แรก 200,000 บำท

ลโี อคำ้ งจ่ำยค่ำรถ 300,000 บำท

ลีโอผอ่ นเดือนละ 10,000 บำท เปน็ เวลำ 30 เดอื น และตอ้ งเสยี ดอกเบีย้ 2%
2
ดอกเบีย้ เดือนแรก = 100 (300,000)  6000 บำท

ดอกเบี้ยลดลงเดือนละ = 2 (10,000)  200 บำท
100
ดงั นัน้ ลีโอต้องเสียดอกเบีย้ = 6000 + 5800 + 5600 + … + 200
n
Sn = 2 (a1  a n )

= 30 (6,000  200)  15(6200)  93,000
2

ลีโอตอ้ งจ่ำยค่ำรถท้งั หมด = 500,000 + 93,000 = 593,000 บำท

47

ใบงานท่ี 20

1. จงทำเครือ่ งหมำย หน้ำข้อถูก และทำเคร่ืองหมำย  หน้ำขอ้ ผิด
19
........... 1.1. 1 3  5  7  ... 19  2 (1 19)

........... 1.2. 2  4  6  8  ...  20  10 (2  20)
2
.......... 1.3. 510 15 20 ... 100  5i201i
20
......... 1.4. ผลบวก 20พจนข์ องอนุกรม 9  12  15  18  ...  2 [2(9)  19(3)]

......... 1.5. S4 หมำยถึงผลบวกอนกุ รม 4 พจนแ์ รก และ S10 หมำยถึงผลบวกอนกุ รม

10 พจนแ์ รก  S6 S10 S4

2. จงเตมิ ข้อควำมใหส้ มบูรณ์
2.1 81 , 27 , 9 , 3 , ... ,35n , เปน็ ลำดับ......................................................
 81+27+9+3+...  35n  ควรเรียกอนุกรม..........................................
มีพจน์แรก (a1) ............. และมีอัตรำสว่ นรว่ ม (r)  ..................
2.2 ผลบวก 5 พจน์แรกของอนกุ รม 81+27+9+...  35n  =.........................
2.3 ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรม 81+27+9+...  35n  =.........................
2.4 นกั เรียนคดิ ว่ำ ควรมสี ูตรในกำรหำผลบวกอนกุ รมชนดิ น้หี รือไม่ เพรำะเหตุใด
........................................................................................................................

48

ใบความรู้ที่ 13 อนกุ รมเรขาคณิต
อนกุ รมเรขาคณิต

อนุกรมท่ไี ด้จำกลำดับเรขำคณติ เรียกว่ำอนกุ รมเรขำคณิต และอัตรำสว่ นรว่ มของ
ลำดับเรขำคณิตจะเป็นอตั รำส่วนร่วมของอนุกรมเรขำคณิตด้วย

ตวั อยำ่ งอนุกรมเรขำคณิต a1 1 , r2
1 2  4 8 16 ... r3
1 1 1 1
81  27  9  ... a1  81 ,

การหาผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรมเรขาคณิต
ให้ Sn = ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รมเรขำคณติ ท่มี ี a1 เป็นพจนแ์ รก และ

r เป็นอัตรำส่วนร่วม

 Sn = a1  a1r  a1r2  a1r3  ...  a1rn1 ........
rSn = a1r  a1r2  a1r3  a1r4 ...  a1rn .........
x r จะได้ Sn  rSn = a1  a1rn



(1  r) Sn = a1(1  rn )
n
Sn a1 (1  r ) โดยที่ r  1
= 1r

หรอื Sn = a1 1a1rrn
a1  a1rn1(r)
= 1r

Sn = a11arnr โดยที่ r  1

ดงั นั้นสิ่งทเี่ รำต้องทรำบเมือ่ ต้องกำรหำผลบวก n พจน์แรกอนุกรมเรขำคณิต คือ

สรุปสตู รกำรหำผลบวก n พจน์ของอนุกกรมเรขำคณิต เมอ่ื r  1
n
Sn a1 (1  r ) โดยท่ี r  1
= 1r

หรือ Sn = a1  anr โดยที่ r  1
1r

1. พจนแ์ รก (a1) 2. อัตรำสว่ นรว่ ม (r) 3. n หรือ an

49

ตัวอยา่ ง 1 จงหำผลบวกของอนุกรม 3 + 9 + 27+  + 6561
จำกโจทย์ a1  3,r  3,an  6561
วธิ ีทา = a11arnr 3  6561(3) 3 19683 19680
จำกสูตร Sn = 13 = 2 = 2 = 9840

ดงั น้ันผลบวกของอนุกรม 3 + 9 + 27+  + 6561 คอื 9840

ตวั อย่าง 2 จงหำผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต 108 + 54 27 + 
1
วิธีทา จำกโจทยจ์ ะได้ a1  108, r  2 และ n = 10

Sn a1 (1  r n ) S10 108[1 ( 1 )10 ]
1r 2
จำกสูตร = = 1( 21)

S10 =  108(1  1 ) S10 =  108( 11002243 ) =  108( 11002243 )  2
1024 3 3
1
1  2 2

=  9207 ดังนัน้ ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ีคอื  9207
128 128

ตัวอย่าง 3 จงหำผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณิต 3 + 0.3 + 0.03 + 0.003 + 
1
วธิ ีทา จำกโจทย์ a1  3, r  10

a1 (1  r n ) 3[1(110 )n ] 3(1  1 )
1r 10 n
จำกสตู ร Sn = = 1 = 9
1 10
10
1 10 10 1
= 3(1  10n ) 9 = 3 (1  10 n )

ดงั น้ันผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณติ 3 + 0.3 + 0.03 + 0.003 +  คอื 10 (1  1 )
3 10 n

ตวั อย่าง 4 อนุกรมเรขำคณติ มพี จน์แรกเป็น 2 และมีอัตรำสว่ นร่วมเปน็  3 และถ้ำผลบวก

n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณติ นีเ้ ทำ่ กับ 122 จงหำวำ่ อนกุ รมเรขำคณติ น้มี ีก่ีพจน์
วธิ ีทา จำกโจทย์ a1  2,r  3,Sn 122
n
Sn a1 (1  r )
จำกสตู ร = 1r

122 = 2[1  (3)n ] = 2[1  (3)n ]
1  (3) 4
4 = 1(3)n
122  2

244 = 1(3)n , (3)n = 1244
(3)n =  243 = (3)5 n = 5 ดงั น้ันอนุกรมน้มี ี
5 พจน์