เอกสารประกอบการสอนคณิตศาสตร์

50
2

ใบความรู้ที่ 13

การหาผลบวก n พจน์ ท่ีไม่ใชอ่ นุกรมเลขคณติ และอนกุ รมเรขาคณิต

การหาผลบวก n พจน์ ที่ไมใ่ ชอ่ นุกรมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิต
1 1 1 1
ตวั อย่าง 1 จงหำผลบวก n พจนข์ อง อนุกรม 23  34  45  ...  (n  1)( n  2)  ...

วธิ ีทา พจิ ำรณำ 1  1
23 6
1 1 1 3  2 1
และ พิจำรณำ 23  2  3  6  6

 1  1  1
23 2 3
1 1
พิจำรณำ 34  12

และ พิจำรณำ 33114413134141 4 3  1
 12 12

 1 1 1
1)(n 1 
 (n  2)  n  n 2

ให้ Sn = 1  1  1  ...  (n 1  2)
23 34 45 1)(n
1 1 1 1 1 1 1 1
= 2  3  3  4  4  5  ...  n  1  n  2

= 1  n 1 2
2 
1 1
 ผลบวก n พจน์ ของอนุกรมน้ีเท่ำกบั 2  n  2

การหาผลบวก n พจน์ ที่ไมใ่ ช่อนกุ รมเลขคณิต และอนุกรมเรขาคณติ
ตวั อยา่ ง 2 จงหำผลบวก n พจนข์ องอนุกรม (12) (23) (34) ...  n(n 1)  ...
วิธที า ให้ S = (12) (23) (34) ...
Sn = (12) (23) (34) ... n(n 1)
n
= i1i(i  1)
= in1(i2  i)
= in1i2 in1i
n(n  1)(2n  1) n(n  1)
= 6  2

= 2n3  3n 2  n 3(n 2 n)
6 6


51

= 2n3 6n2 4n
6
n3 3n2 2n
= 3

ดงั นัน้ ผลบวก n พจน์ของอนุกรมนคี้ ือ n3 3n2 2n
3
การหาผลบวก n พจน์ ที่ไมใ่ ชอ่ นกุ รมเลขคณติ และอนกุ รมเรขาคณิต
1 1 1 1
ตัวอยำ่ ง 3 กำหนดอนกุ รม 81  79  79  77  77  75 ...  3 1

จงหำผลบวกของอนุกรมนี้
1 1 1 1
วิธีทำ ให้ Sn = 81  79  79  77  77  75 ...  3 1

1 79 ( 81  79 )  1 77 ( 79  77 ) 
81  81  79 79  79  77
=
1 77  75 1 3 1
77  75 ( 77  75 )  ...  3 1( 3 1 )

= 81  79  79  77  77  75  ...  3 1
81  79 79  77 77  75 31

= 81  79  79  77  77  75 ... 3  1
2

= 81  1
2

= 91
2
=4

ดงั นัน้ ผลบวกอนุกรมนีค้ ือ 4

52

จงหำผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขำคณิต และแกโ้ จทย์ปัญหำอนกุ รมเรขำคณติ ได้

จงทาให้เป็นผลสาเรจ็
1. จงหำผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณติ 10872  48...
1 1 1 1
2.จงหำผลบวกของอนกุ รม 1  ( 2 )  4  ( 8 )  ...  1024

3. อนุกรมเรขำคณิต 1 2  4 8 ... มีก่ีพจนจ์ งึ จะบวกกันได้ 2047

4. ในกำรเชำ่ ซ้ืออำคำรสงเครำะห์ หลงั หน่งึ ปแี รกเสียคำ่ เช่ำซ้อื เดือนละ 1,000 บำท

ปีท่สี องเสยี ค่ำเช่ำลดลง 10 % ของปีแรก ปีทีส่ ำมเสียคำ่ เช่ำซ้ือลดลง 10 % ของปี

ที่สองเช่นกัน ถำ้ เปน็ เช่นนไี้ ปตลอดครบ 10 ปี ไม่ต้องเสยี ค่ำเช่ำซ้อื อำคำรสงเครำะห์

หลงั นนั้ อกี เมื่อรวมดูแล้วเขำเสียคำ่ เช่ำซื้อท้งั สน้ิ เปน็ เงินเทำ่ ไร ( กำหนด (0.9)10 = 0.35)

5. ในกำรกำจดั ศตั รูพืชแห่งหน่งึ เม่อื ฉีดยำทำลำย 1 ครงั้ จะกำจดั สตั รพู ชื เพียง 75%

ของปริมำณศตั รูพืชท่มี ีอยู่ในขณะนนั้ เสมอ จงคำนวณวำ่ จะกำจดั ศัตรพู ืชได้เป็นจำนวน

กี่เปอร์เซน็ ต์ของปรมิ ำณทีม่ อี ยู่กอ่ นกำรกำจัด เมอ่ื ฉีดยำทำลำยครบ n ครง้ั

6. สไบ นำเงินไปฝำกธนำคำร 5,000 บำท ธนำคำรคดิ ดอกเบ้ยี ให้ร้อยละ 10 ต่อปี

สไบฝำกเงินไว้ครบ 5 ปี โดยไม่ถอนดอกเบ้ีย สไบจะได้เงินรวมเมอื่ สนิ้ ปีที่ 5 เทำ่ ใด
7. อนกุ รมเรขำคณิตหน่ึงมี a1 81,an 16 และ Sn  55 จงหำ r และ n
8. ผลบวกส่ีพจนแ์ รกของอนุกรมเรขำคณิตหนึ่งเท่ำกบั 60 และพจนท์ ่ี 4 มคี ำ่ เปน็

4 เทำ่ ของพจน์ที่ 2 จงหำผลบวก 8 พจนแ์ รก

53

ใบงานที่ 21
1 1 1 1
จดุ ประสงค์ หำผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมในรูป 12  2 3  34  n(n 1) ได้

คาชี้แจง จงทำเคร่ืองหมำย  หนำ้ ขอ้ ถูก และทำเครือ่ งหมำย  หนำ้ ขอ้ ผดิ
1 1 1 1 1 1
…………….1. 12  2 และ 1 2  2 ดงั น้นั 12  1  2

…………….2. 1  1 และ 1  1  1  32  1 ดังนั้น 1  1  1
23 6 23 2 3 23 6 23 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
…………….3. 34  12 และ 34  3  4 ดังนน้ั 34  3  4

…………….4. 1  1  1  1 1  1  1  1  1  1  1
12 23 34 2 2 3 3 4 4
1 1 1 1 1 1 1
…………….5. ถำ้ S  12  23  34  ... แล้ว Sn  12  23  34  ...  n(n 1)

…………….6. จำกข้อ 5 Sn 1 n 1
1
1 1 1 1
…………….7 ถำ้ S n  13  35  57  ...  (2 n 1)(2 n 1) แล้ว

2Sn  2  2  2 ...  (2n 2 1)
13 35 57 1)(2n
2 1 2 1 1
…………….8. จำนวน 13 1 3 และ 35  3  5

…………….9. จำกข้อ 7 2Sn  1 1  1  1  1  1 ...  1  1
3 3 5 5 7 2n 1 2n 1
1 1 1
…………….10. จำกขอ้ 7 2Sn 1 2n 1 จะได้ Sn  2  2(2n  1)

จงหำผลบวก n พจน์ของอนุกรม (2 3)  (4 5)  (67)  ...  2n(2n 1) ...

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………............................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

54

ใบงานท่ี 22

จงทาให้เปน็ ผลสาเรจ็ 1  1  1  ...  (4 n 1 n  3)  ... =………………………….
1.จงหำผลบวก n พจน์ของอนุกรม 37 711 1115 1)(4
5 7 9 2n 3
2.จงหำผลบวก n พจน์ของอนุกรม 22 32  32 42  42 52  ...  (n 1)2 (n  2)2  ... =……………

3.จงหำผลบวก n พจนข์ องอนกุ รม 34  45 56 ...  (n  2)(n  3) ... =………………………….
4.จงหำผลบวก n พจน์ของอนุกรม 1 13 ) 1
2  2(1  2 )  3(1   ...  n(1  n )  ... =………………………….
5.จงหำผลบวก 20 พจนข์ องอนุกรม
an  n3 3n =………………………….
คาชี้แจง จงทำเครอ่ื งหมำย หนำ้ ข้อถกู และทำเครื่องหมำย  หน้ำขอ้ ผดิ
…………….1 1,3,5,7,9 เป็นลำดับเลขคณิต มีพจน์ทวั่ ไปคอื 2n 1 มี a1 1 และ d  2
…………….2 2,4,8,16 เปน็ ลำดับเรขำคณติ มีพจน์ทว่ั ไปคือ 2n1 มี a1  2 และ r  2
…………….3. สตู รหำพจน์ทั่วไปของลำดบั เลขคณติ ลำดบั เรขำคณิต an  a1  (n 1)d ,an  a1rn1
ab
…………….4. กำรหำพจนก์ ลำงของลำดับเลขคณิตและลำดบั เรขำคณติ ระหวำ่ ง a และ b คือ 2 และ

 ab ตำมลำดบั n nn

…………….5. เมื่อ c เป็นคำ่ คงตัวแล้วสมบัติ  คอื i1c  nc , i1cai  ci1ai ,
in1(ai  bi )  in1ai  in1bi และ in1(aibi )  in1ai in1bi
in1i n(n 1) in1i2
…………….6. กำรหำผลบวก n พจน์ โดยใชส้ ตู ร  คอื  2 ,  n( n  1)(2 n  1)
6

และ in1i3 n 2 ( n 1)2
4


…………….7. กำรหำผลบวก n พจน์ของอนุกรมเลขคณติ และอนกุ รมเรขำคณิตคือ
n
Sn= n [2a1 (n 1)d] และ Sn = a1 (1  r )
2   1 r ตำมลำดบั

…………….8. กำรหำผลบวก n พจน์ของอนุกรม 1  1  1  ...  (n  1  3)  ...  1  n 1 3
34 45 56 2)(n 3 
1 1 1 1
และ 100  99  99  98  98  97 ...  5 4 8

n
…………….9. กำรหำผลบวก n พจนข์ องอนกุ รม (12)  (23)  (34) ...  n(n 1) ...  [i(i 1)]
i1
1 2 3 n 5 1 n
…….……10.กำรหำผลบวก n พจน์ของอนกุ รม 5  52  53  ...  5n  ...  16 (1  5n )  4 5n

55

ใบความรทู้ ่ี 14 ผลบวกของอนุกรมอนันต์

ผลบวกของอนกุ รมอนนั ต์

ผลบวกของพจนท์ ุกพจน์ของอนุกรมจำกัด ย่อมหำค่ำได้แนน่ อนเสมอ แม้จะหำไม่ไดโ้ ดยใชส้ ูตร กห็ ำไดโ้ ดยกำร

บวกทีละพจน์ สำหรับผลบวกของพจน์ทุกพจน์ของอนุกรมอนนั ต์ให้ไดค้ ่ำแน่นอนย่อมทำได้ยำก เพรำะไม่อำจหำพจน์

สดุ ท้ำยได้
พจิ ารณาอนุกรมอนนั ต์ a1  a2  a3  ...  an  ...

ถำ้ ให้ Sn เป็นผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมจะได้

S1 = a1
S2 = a1  a2
S3 = a1  a2  a3


Sn = a1  a2  a3  ...  an
เรียก S1,S2 ,S3 , ฯลฯ แตล่ ะจำนวนวำ่ ผลบวกย่อย (partial sum) ของ
อนกุ รม a1  a2  a3  ...  an  ... และเรียก S1,S2 ,S3 , … , Sn , … ว่ำ ลาดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รม
1 1 1 1
ตัวอย่าง 1 จงหำลำดับผลบวกย่อย ของอนุกรม 10  100  1000  ...  10 n  ...

วิธีทา S1 = 1
10
1 1 11
S2 = 10  100  100

S3 = 1  1  1  111
10 100 1000 1000

1 1 1 1
Sn = 10  100  1000  ...  10 n เปน็ อนุกรมเรขำคณิต

1 (1  1 ) 1 1
10 10 n 9 10 n
Sn = = (1  )
1 1
 10

ดงั น้นั ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมน้ี คือ 1 , 11 , 111 ,..., 1 (1  1 ) ,…
10 100 1000 9 10 n

จากตวั อย่าง 1 เมอื่ หาลิมิตของลาดับผลบวกย่อยนจ้ี ะได้ 1
1 1 1 10n 1
nlim 9 (1  10 n ) = 9 nlim(1  ) = 9

จากตวั อยา่ งจะเหน็ วา่ 1 เป็นลิมติ ของลำดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม 1  1  1  ...  1  ...
9 10 100 1000 10 n

เรยี ก 1 เป็นผลบวกอนุกรมอนันตน์ ้ี
9

56

พิจารณาอนกุ รม 1 1 1 1 1 1  ...  (1)n1  ...

ลำดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมนค้ี อื 1 , 0 , 1 , 0 , … จะเห็นวำ่ ลำดบั นไ้ี ม่มลี มิ ติ จงึ ถือวำ่ หำผลบวกของอนกุ รม

1 1 1 1 1 1  ...  (1)n1  ... ไมไ่ ด้

ดงั นัน้ จึงอาจให้บทนิยามผลบวกอนุกรมอนนั ต์ได้ดังน้ี

บทนิยาม ผลบวกอนุกรมอนนั ตใ์ ด คือลมิ ติ ของลำดบั ผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมนั้นเมือ่ ลำดับนั้นมีลมิ ติ

สาหรับอนุกรมอนนั ต์ท่ีมผี ลบวกเรียกว่า อนกุ รมคอนเวอรเ์ จนต์ และ

เรียกอนกุ รมอนนั ต์ท่ไี ม่มผี ลบวกว่า อนุกรมไดเวอร์เจนต์
1 1 1 1
ตัวอย่าง 2 จงพจิ ำรณำว่ำ 2  4  8  ...  2n  ... เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ หรอื อนุกรม

ไดเวอรเ์ จนต์ ถ้ำเป็นอนกุ รมคอนเวอรเ์ จนตจ์ งหำผลบวกของอนกุ รมนี้
1 1
วิธีทา อนุกรมทีก่ ำหนดใหเ้ ป็นอนุกรมเรขำคณติ ทมี่ ี a1  2 , r  2

ดังน้ัน Sn a1 (1  r n )
1r
=

1 (1  1 )
2 2n
=
1 1
 2

= 1 (1  1 )2
2 2n

= 1  1
2n
1
เม่ือหำลมิ ติ ของลำดับนี้ จะได้ nlim(1  2n )

=1

ดงั นน้ั อนกุ รมนี้เปน็ อนุกรมคอนเวอรเ์ จนต์ และมีผลบวกเป็น 1

57

ตัวอยา่ ง 3 จงพิจำรณำว่ำ 1  1  1  ...  1  ... เปน็ อนกุ รมคอน เวอรเ์ จนต์ หรอื อนกุ รมได
12 23 34 n(n 1)

เวอรเ์ จนต์ ถำ้ เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนตจ์ งหำผลบวกของอนุกรมน้ี 1
1 1 1 n 1)
วธิ ีทา อนกุ รมนี้ มี Sn = 12  23  34  ...  n(  ...

= 1  1  1  1  1  1  ...  1  n 1 1
1 2 2 3 3 4 n 
1
= 1  n  1

เมื่อหำลิมิตของลำดับน้ี จะได้ nlim(1  n 1 1 ) = 1


ดังน้นั อนกุ รมนี้เปน็ อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ และมผี ลบวกเป็น 1
ตวั อยา่ ง 4 จงพจิ ำรณำวำ่ in1(2i 1) เปน็ อนกุ รมคอนเวอรเ์ จนต์ หรอื อนุกรมไดเวอร์เจนต์ ถ้ำเป็นอนกุ รมคอน
เวอรเ์ จนต์จงหำผลบวกของอนกุ รมนี้
วิธีทา in1(2i 1) = 1+3+5+7+… + (2n 1) + …
n
ดงั นัน้ Sn = 2 (1  2n 1)

= n2
nlimSn = nlim n2 ไมม่ ีลิมิต
ดงั นัน้ อนุกรม in1(2i 1) เปน็ อนกุ รมไดเวอร์เจนต์
จำกตัวอย่ำงขำ้ งตน้ จะเหน็ วำ่ กำรแสดงวำ่ อนกุ รมอนนั ต์ใดจะเป็นอนุกรมคอนเวอรเ์ จนตห์ รือไดเวอร์เจนต์

ต้องหำสิง่ ต่อไปน้ี

1) หำลำดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม

2) พจิ ำรณำลิมิตของลำดับผลบวกย่อย ถ้ำลำดับผลบวกย่อยนั้นมลี มิ ิต จะไดว้ ่ำอนุกรมนัน้ เป็น

อนุกรมคอนเวอร์เจนต์ ถ้ำลำดับผลบวกยอ่ ยนั้นไมม่ ีลิมิต จะได้วำ่ อนุกรมนัน้ เป็นอนุกรมไดเวอรเ์ จนต์

นอกจำกวิธกี ำรดงั กลำ่ วขำ้ งต้นยังมีวธิ ีกำรพิจำรณำวำ่ อนุกรมอนันตใ์ ดจะเปน็ อนุกรมคอนเวอร์
เจนต์หรอื ไดเวอรเ์ จนตโ์ ดยวิธีอน่ื อีก ซึ่งจะไดศ้ ึกษำในคณติ ศำสตรช์ ัน้ สงู ต่อไป

58

ใบงานที่ 23

1. จงเตมิ เฉพาะคาตอบ
1.1 ลำดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 2  5 8 ...  (3n 1) ... คอื ……………………
1.2 ลำดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 1+2+3+…+ n +… = in1i คอื …………………………
1.3 ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1 3  9  ...  3n1  ... คือ………………………
1.4 ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรม 16  8  4  ...  25n  ...คือ………………………
2
1.5 ลำดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 0.2  0.02  0.002  ...  10 n ... คอื ……………

1.6 ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรม 1  1  1  ...  1  ... คอื ………
23 34 45 (n 1)(n  2)
1 1 1 1
1.7 ลำดับผลบวกยอ่ ยของอนุกรม 25  58  8 11  ...  (3n 1)(3n  2)  ... คือ……

1.8 ลำดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม 1 2  2  22  3 23  ...  n  2n  ... คอื …………..
2 3 4 n
1.9 ลำดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม 1 3  9  27  ...  3n1  ... คอื ……………

จงเตมิ คาตอบลงในชอ่ งว่างใหส้ มบรู ณ์และถกู ตอ้ ง
   1. n n
nlim 5 = ……… , lim 2 =……… , nlim 3
n 3 2 =……………

1 n 2 )n
2. nlim [1  ( 4 ) ] =…………….., nlim 8[1  ( 5 ] =………………

3. อนุกรม 12  6  3  ...  12( 1 ) n1  ... เป็นอนกุ รมเรขำคณติ มีพจน์แรกคือ 12 และ
2
1 1a1 r (1  rn ) ดงั น้นั
อัตรำส่วนร่วมคอื 2 ผลบวก n พจน์ แรก(Sn ) =

Sn = 12 1 [1  ( 1 ) n ] = 2 12[1  ( 1 ) n ] = 24[1  ( 1 ) n ]
2 2 2 2
1 

ดังนัน้ nlim Sn = lim 24[1  ( 1 ) n ] =…………………………
2
a1 n 
1r
จงหำคำ่ ของ = ………………………..=…………………=………………

4. อนุกรมอนนั ต์ อนุกรมเรขำคณิตหน่ึงมี พจนแ์ รก คอื 24 และอตั รำสว่ นร่วมคือ  1 จะได้
2
24 1 2 21) 1
Sn = 1 [1  ( 2 )n ] = 3 (24)[1  ( n ] = 16[1  ( 2 ) n ] ดงั น้นั
nlim Sn = 2 )n
1 

n lim 16[1  ( 1 ] =…………………………
2

a1
จงหำค่ำของ 1r = ………………………..=……………………=……………

59

ใบความรู้ที่ 15 อนุกรมอนันต์ท่เี ป็นอนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมอนนั ตท์ เ่ี ป็นอนกุ รมเรขาคณิต
พจิ ำรณำอนุกรมอนนั ต์ ทเ่ี ปน็ อนุกรมเรขำคณิต ดงั น้ี a1  a1r  a1r2  ...  a1rn1  ...
กรณี r = 1 พจิ ำรณำลำดบั ผลบวกย่อยของอนุกรม

ถ้า r = 1 จะได้ ลำดบั ผลบวกยอ่ ยของอนุกรมเปน็ a1,2a1,3a1,..., na1,... ซึง่ ไม่มีลิมติ
ถา้ r = 1 จะได้ ลำดับผลบวกย่อยของอนุกรมเปน็ a1,0,a1,0,... ซง่ึ ไมม่ ีลิมติ
ดังนัน้ อนุกรมอนันตเ์ รขาคณติ ที่ r = 1 จึงไม่มลี มิ ติ เปน็ อนุกรมไดเวอรเ์ จนต์
n
กรณี r  1 จะได้ a1 (1  r )
Sn = 1r

= 1a1 r  a11r nr

ถ้า r >1 เมื่อ n มีค่ำมำกขนึ้ โดยไมม่ ีทีส่ ิ้นสุด rn มิได้เข้ำใกล้จำนวนใดจำนวนหน่งึ

จะเหน็ ว่ำ ลำดับผลบวกยอ่ ยของอนกุ รมเรขำคณิตทม่ี ี r >1 ไม่มลี ิมิต
ar n
ถ้า r <1 จะได้ nlimr n = 0 ซึ่งทำให้ nlim 1r =0
ดังน้นั
nlim S n = n lim ( 1a1 r  a11r nr ) = a1
1r


สรุปได้ว่า อนกุ รมเรขาคณติ ทม่ี ี a1 เป็นพจนแ์ รก และมี r เป็นอตั ราส่วนร่วม
1. เป็นอนุกรมไดเวอร์เจนต์ เมอื่ r  1
2. เป็นอนุกรมคอนเวอร์เจนต์ เม่ือ r < 1

ถา้ S เปน็ ผลบวกอนกุ รมเรขาคณติ ท่ีเป็นอนกุ รมคอนเวอร์เจนต์ จะได้ S = 1a1 r

นัน่ คอื ลิมิตของลาดบั ผลบวกย่อยของอนกุ รมเรขาคณิตเม่ือ r <1 เทา่ กบั a1
1r
3 ) n 1
ตวั อยา่ ง 1 จงหำผลบวกของ 16  12  9  ...  16( 4  ...

วธิ ีทา อนุกรมท่ีกำหนดให้เปน็ อนกุ รมเรขำคณติ ท่มี ี a1 16 และ r  3 ซ่ีง r <1
4
a1
S = 1  r

= 16 3 = 16 = 164 = 64
4 1
1  4

ดงั น้ันผลบวกอนุกรมนี้ = 64

60
2

ตวั อยา่ งท่ี 2 ถ้ำผลบวกสำมพจน์แรกของอนุกรมอนันต์ 12 12r 12r2  ... 12rn1  ...

มคี ่ำเท่ำกับ 21 แล้วผลบวกอนุกรมอนันตน์ ี้มีค่ำเท่ำไร
วิธีทา 12 12r 12r2 = 21
12r2 12r 12  21 = 0
12r2 12r  9 = 0
(2r 3)(6r 3) = 0 3
3 6
r = 2 ,

อนกุ รมนเี้ ป็นอนุกรมเรขำคณิตทเ่ี ปน็ คอนเวอรเ์ จนต์ คำ่ r 1 ดงั นน้ั r = 3  1
6 2
a1
ดังน้นั ผลบวกของอนกุ รมนี้คือ S = 1  r

= 12 1 = 12 = 122 =2
2 1
1  2

ดงั นั้นผลบวกอนกุ รมนี้ = 2 4
5
ตวั อยา่ ง 3 จงหำคำ่ x ถ้ำ 1  x  x2  ...  xn1  ... =

วธิ ีทา อนกุ รมที่กำหนดเปน็ อนกุ รมเรขำคณิตทเี่ ป็นคอนเวอรเ์ จนต์ มี a1 1,r  x
1 4
ดังน้นั 1x = 5

4(1 x) = 5
44x = 5
1
45 = 4x , x = 4

ตวั อยา่ ง 4 จงหำผลบวกของอนุกรม log33  log 9 3  log 81 3  ...  log 32n1 3  ...
1
วิธีทา จากสูตร log a a  1 และ log an a  n

จะได้ log33  log 9 3  log 81 3  ...  log 32n1 3  ...
= 1 log 32 3  log 34 3  ...  log 32 n1 3  ...
1 1 1
= 1  2  4  ...  2  ...
n1

จะพบว่ำเป็นอนกุ รมเรขำคณิตทมี่ ี ค่ำ a1 1 , r  1
2
a1 1
ดงั นัน้ S = 1r = 1 = 12 ผลบวกอนกุ รมน้ี =2
1  2

61

ใบงานท่ี 24 a1
1
จุดประสงค์ หำผลบวกอนกุ รมอนันต์ เรขำคณิตที่มี r  1โดยใช้สตู ร S = r

1. จงหำผลบวกของอนกุ รมต่อไปนี้ 1
2 n4
1.1 84  2 ...   ...

1.2 15 10  20  ...  15( 2 ) n 1  ...
3 3
27 3 n1
1.3 25 15  9  5  ...  25( 5 )  ...

2. ถำ้ ผลบวกสำมพจน์แรกของอนกุ รมอนนั ต์ 4  4r  4r2  ...  4r n1  ... มคี ำ่ เท่ำกบั 7

แลว้ ผลบวกของอนุกรมอนันต์นม้ี ีค่ำเท่ำไร 2
2 n1 3
3. จงหำคำ่ x ถ้ำ 1  x  x  ...  x  ... 

4. จงหำค่ำ x ถ้ำ 2  2x  2x2  ...  2x n1  ...  5
5. จงหำค่ำ a1 และ r ถ้ำ
2 n1 3
a1  a1r  a1r  ...  a1r  ...  2 และ

a1  a1 r  a1r 2  a1r 3  ...  a1 (  r ) n 1  ...  3
10
6. จงหำค่ำ a  b ถ้ำ a เป็นผลรวมของอนุกรม log 22  log 42  log16 2 ...  log 22n 2 ... และ b เป็น
ผลรวมของอนุกรม 3log33  3log39  3log327  ...

62

ใบงานที่ 25

อนุกรมอนันต์ กำรตรวจสอบกำรลู่ข้ำวของอนุกรม กำรอนกุ รมสลบั

กำรลเู่ ขำ้ แบบสัมบูรณ์ กำรลเู่ ขำ้ แบบมีเงือ่ นไข พหุนำมและอนุกรมเทยเ์ ลอร์

1. ในลำดับเลขคณติ ให้ a แทนพจนท์ ่ี 1 ของลำดบั d แทนผลต่ำงรว่ ม
Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม
1.1 กำหนด l แทนพจน์ท่ี n ของลำดบั แลว้ ค่ำของ a = ……….. , l = …………….
1.2 กำหนด d = 3 , n = 13 , Sn = 286 แล้ว คำ่ ของ d = …….. , Sn = ………….
1.3 กำหนด a = 7 , l = 75 , n = 18 แลว้ คำ่ ของ n = …….. , Sn = …………….

a = 5 , d = 2 , l = 25

1.4 กำหนด a = 6 , l = 74 , Sn = 720 แลว้ คำ่ ของ d = …….. , n = …………….

2 ในลำดับเรขำคณติ ให้ a แทนพจนท์ ่ี 1 ของลำดับ r แทนอัตรำส่วนร่วม
l แทนพจน์ที่ n ของลำดบั Sn แทนผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม
2.1 กำหนด n = 5 , l = 64 , r = 2 แล้ว ค่ำของ a = ….. , Sn = …………….
2 แล้ว คำ่ ของ l = ….. , Sn = …………….
2.2 กำหนด a = 25 , n= 3 , r= 3

2.3 กำหนด a = 2 , r = 3 , Sn = 2186 แล้ว คำ่ ของ n = ….. , l = …………….
2.4 กำหนด a = 5 , r = 4 , l = 320 แลว้ คำ่ ของ n = ….. , Sn = …………….

63

เฉลยใบงานลาดบั ที่ 20

1. 1.1 a = 4 , l = 40 1.2 d = 4 , Sn = 738

1.3 n = 11 , Sn = 165 1.4 d = 4 , n = 18
2. 2.1 a = 4 , Sn = 124
2.2 l = 4 , Sn = 39
2.3 n = 7 , l = 1458 2.4 n = 4 , Sn =  255

แบบทดสอบ

1. ลมิ ติ ของลำดบั ใดมคี ่ำเทำ่ กบั 0

ก. an  3 2n ข. an  1 (n  1) ค. an  n 2 5 ง. an  2n2 n
3n 2 4n 3n2 5
2

2. ขอ้ ใดผิด

ก. lim ( 2 )  0 ข. lim ( 4 )n 0 ค. lim 10 10 ง. lim 3n  1 ไมม่ ลี มิ ติ
n 5 3n2
n n n n
5
3. กำหนดลำดบั อนนั ต์ an  4  7 ดงั นน้ั ลำดบั น้ีมลี กั ษณะตรงกบั ขอ้ ใด
n
5
ก. เป็นลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์ มลี มิ ติ เท่ำกบั 0 ข. เป็นลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์ มลี มิ ติ เทำ่ กบั 4

ค. เป็นลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์ มลี มิ ติ เท่ำกบั 5 ง. เป็นลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์
7
4. ขอ้ ใดเป็นลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์

ก. an  1 cos n ข. an  n2 7 ค. a n  ( n2 3n 1 ง. an  sin n
3n 3n 5 n 5)(2n  7)

5. ลมิ ติ ของลำดบั an  2n2 n4 3 มคี ่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด
5n 6
1 1
ก. 0 ข. 2 ค. 2 ง. 2

6. ลมิ ติ ของลำดบั an   3n2 4 4 มคี ่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใด
2n2 5n 1
3 12 81
ก. 0 ข. 2 ค. 8 ง. 16

7. ลมิ ติ ของลำดบั an  n2 5n  n2 3n มคี ่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใด
ก. 0 ข. 4 ค. 8 ง. ไมม่ ลี มิ ติ

8. ลมิ ติ ของลำดบั an  n4 5  n4 5 มคี ่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใด
n2  n2 
ก. 0 ข. 5 ค. 10 ง. 10
1 3 5
9. ลมิ ติ ของลำดบั 5 , 8 , 11 ,... มคี ่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด

ก. 2 ข. 0 ค. 1 ง. ไมม่ ลี มิ ติ
3 5 ง. ไมม่ ลี มิ ติ
1 5 9 , 1163
10. ลมิ ติ ของลำดบั 2 , 4 , 8 ,... มคี ่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด

ก. 0 ข. 1 ค. 2
2

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลงั เรยี น
1. ก 2. ง 3. ข 4. ข 5. ค
6. ง 7. ข 8. ค 9. ก 10. ก

แบบทดสอบ
คาชีแ้ จง ให้นกั เรียนทาเคร่อื งหมาย X ลงในกระดาษคาตอบ

1. k6 2(k 1)2 มีค่ำเทำ่ กับจำนวนใด
ก. 30 ข. 31 ค. 51 ง. 55
i61
2. 1  มคี ่ำเทำ่ กับจำนวนใด
2i 
31 33 63 65
ก. 32 ข. 32 ค. 64 ง. 64

3. ถ้า c เปน็ ค่าคงตัวใดๆแลว้ ข้อใดผิด
ก. in1c  nc ข. in1cx i  cin1x i
in1(x in1x n ง. in1(xiyi )  in1xi in1yi
ค. i y i )  i  i1 y i

4. k121k3 มคี า่ เท่ากับข้อใด ข. 12168 ค. 18525 ง. 24336
ก. 6084
10
5. i1 i(i  1) มคี ่ำไมเ่ ท่ากบั ข้อใด
2

   ข. 220 1 i101( 1 1
ก. 55 ค. 2 i2  i) ง. 2 101121  2 1011
6 2

6. i1(5  3i) มีค่ำเท่ำกบั จำนวนใด5

ก. 25 ข. 42 ค. 70 ง. 94
7.  2x  4x2 6x3  8x4 5x5 เขยี นโดยใช้สญั ลกั ษณผ์ ลบวกได้ดงั ข้อใด
ก. i51(1)i x i ข. 2 i51(1)i x i ค. i51(1)i ix i ง. 2 i51(1)i ix i
8. ข้อใดผิด
2 in 1i 2
ก. n n(n  1) n  n ข. n(n  1)(2 n 1)
 2  2  6
i1i
in1i3 n2 (n2
ค.  2n 1) ง. 1(2)  2(3)  3(4)  ...  i1i(i 1)
4

9. i3011(i  5) มคี า่ เท่ากบั ข้อใด ง. 530
ก. 500 ข. 510 ค. 520

10. ขอ้ ใดมีคา่ ไมเ่ ท่ากับ 30+33+36+…+90
ข. n30103n ค. n211(3n  27) ง. 3n301n  3n9 1n
ก. 1530

หน้าที่ 2

11. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 4+9+14+… เทำ่ กับจำนวนใด

ก. 149 ข. 265 ค. 341 ง. 490
12. ถำ้ พจน์ท่ี n ของอนุกรมเลขคณติ เปน็ 2n 5 แล้วผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรมนเ้ี ท่ำกับขอ้ ใด

ก. 165 ข. 175 ค. 185 ง. 208

13. ขอ้ ควำมใดกลำ่ วผดิ

ก. ผลบวก 17 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 3+8+13+…เท่ำกบั 731
ข. ผลบวก 25 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 12+9+6+…เทำ่ กับ  600

ค. ผลบวก ของอนุกรมเลขคณติ 39+33+27+…เท่ำกบั 144 มี 9 พจน์

ง. จำนวนเต็มบวกระหวำ่ ง 100 และ 500 ที่ 9 หำรลงตัวมี 44 จำนวน
1
14. ผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนกุ รม เรขำคณติ ที่มี a1  3 และ a2  1 เทำ่ กบั ข้อใด

ก.  547 ข.  182 ค. 547 ง. 182
3 3 3 3
15. ถ้ำ a1 และ r ของอนกุ รมเรขำคณิต เทำ่ กบั 12 และ 2 ตำมลำดับ และ มีผล บวก n พจน์ แรกเท่ำกบั
3060 แล้ว n เท่ำกับจำนวนใด

ก. 7 ข. 8 ค. 9 ง. 10

16. ถำ้ ผลบวก 7 พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ เท่ำกับ 105 และพจนท์ ่ี 7 เทำ่ กบั 27 แล้วพจนแ์ รกของอนุกรมน้ีเท่ำกับ

จำนวนใด

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

17. ถ้ำพจน์แรกและพจน์สดุ ท้ำยของอนุกรมเลขคณติ เท่ำกับ 2 และ 35 ตำมลำดับ และมผี ลต่ำงรว่ มเปน็ 3 แล้วผลบวก

ของอนุกรมนี้เป็นเท่ำใด

ก. 222 ข. 284 ค. 312 ง. 324

18. ผลบวก 8 พจน์แรกของอนกุ รมเรขำคณติ 120+60+30+…เท่ำกบั จำนวนใด
255 255 3825 3825
ก. 256 ข. 16 ค. 256 ง. 16

19.อนุกรม 1024+512+256+…+2 มีค่ำเท่ำกับขอ้ ใด

ก. 2046 ข. 2047 ค. 2048 ง. 2049
20. อนุกรมเรขำคณิตมี a1  243และ an  48 มผี ลบวก n พจน์แรกเทำ่ กบั 633 แล้วค่ำ n และ r เท่ำกบั ข้อ
ใดตำมลำดบั
1 2 2 1
ก. 5, 3 ข. 4, 3 ค. 5, 3 ง. 4, 3

แบบทดสอบ กำร หำผลบวก n พจน์แรก ของอนกุ รมทไ่ี ม่ใช่อนุกรมเลขคณติ หรืออนุกรมเรขำคณติ ได้
1
1. ผลบวก n พจน์แรก ของอนุกรม 0.9+0.99+0.999+…  (1  10 n )  ... มีค่ำเทำ่ กับขอ้ ใด

ก. n  1 (1  1 ) ข. n  1 (1 1 ) ค. n  1 (1  1 ) ง. n  1 (1  1 )
3 10 n 9 10 n 27 10n 81 10 n

2. ผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม 12 3 + 22 5 + 32 7 +… + 2n 1 + …เท่ำกับขอ้ ใด
22 32 42 n2 (n 1)2
1 1 1 1 1 1
ก. 1  ( n 1)2 ข. 1  (n 1)2 ค. n  (n 1)2 ง. n  (n 1)2

3. ผลบวก n พจนข์ องอนุกรม 1 3 + 3 1 + 1 5 +…  (n  1  2)  ... มคี ่ำเทำ่ กับข้อใด
2 4 4 1)(n
1 1 1 1 1 1 1 1
ก. 2  n 1 ข. 2  n  2 ค. 2  n 1 ง. 2  n  2

4. ผลบวกของอนุกรม 1 80 + 1 79 + 1 78 +…+ 1 9 มคี ่ำเท่ำกบั ข้อใด
81  80  79  10 

ก. 8 ข. 7 ค. 6 ง. 5
1 2 3 n
5. ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รม 3 + 9 + 27 +…  3n  ... เทำ่ กบั ข้อใด

ก. 3 (1 1 )  n  ข. 3 1 (1  1 )  3 n  ค. 3  3 (1 1 )  n  ง. 3  1 (1  1 )  n 
2 3n 3n1  2 3 3n  2  2 3n 3n1  2  2 3n 3n1 
n1

6. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนกุ รม 1+(2+3)+(4+5+6)+(7+8+9+10)+… คอื ขอ้ ใด

ก 1500 ข. 1540 ค. 1600 ง. 1640
4
7. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1.4+2.04+3.004+…  (n  10 n ) ... มีคำ่ เทำ่ กับขอ้ ใด

   ก. 1)
n(n  1)  1 1  (140 )n ข. n( n  2 1  (140 )n
2 9 2 3

ค. n( n 1)  1 1  1  ง. n(n  1)  4 1  1 
2 9 10 n  2 9 10 n 

8. ผลบวก n พจน์แรกของอนกุ รม 12 + 2 22 + 3 23 +…  n 2 n  ... คอื ข้อใด
   ก. 1
n2n1  2(2n 1) ข. 2(2n 1)  n  2n1 ค. 3 n  2n1  2(2n 1) ง. 3 n2n1  2(2n 1)

9. ผลบวก 10 พจนแ์ รกของอนกุ รม 1 2 3 + 2  4 5 + 36 7 +…+ n(2n)(2n 1) +…คอื ขอ้ ใด

ก. 12870 ข. 12780 ค. 12670 ง. 12760
10. ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รม 13 + 25 +37 +…+ n 2n 1 +… คือขอ้ ใด
n(n 1)(4n  5) n(2n 1)(4n  5) n(n 1)(4 n 5) n(2n 1)(4n  5)
ก. 2 ข. 2 ค.  6  ง. 6

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลังเรยี น
1. ข 2. ก 3. ข 4. ค 5. ง
6. ข 7. ง 8. ก 9. ก 10. ค

แบบทดสอบ

บอกไดว้ ำ่ อนุกรมที่กำหนดใหเ้ ปน็ อนุกรมเลขคณติ หรืออนุกรมเรขำคณิตและหำผลบวก n พจน์ แรกของอนุกรมได้

1. ผลบวก 10 พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ 4+9+14+… เท่ำกับจำนวนใด

ก. 149 ข. 265 ค. 341 ง. 490
2. ถำ้ พจนท์ ี่ n ของอนุกรมเลขคณติ เป็น 2n 5 แลว้ ผลบวก 15 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ีเทำ่ กับขอ้ ใด

ก. 165 ข. 175 ค. 185 ง. 208

3. ข้อควำมใดกล่ำวผดิ

ก. ผลบวก 17 พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต 3+8+13+…เท่ำกับ 731
ข. ผลบวก 25 พจน์แรกของอนกุ รมเลขคณติ 12+9+6+…เท่ำกับ  600

ค. ผลบวก ของอนุกรมเลขคณิต 39+33+27+…เท่ำกับ 144 มี 9 พจน์

ง. จำนวนเต็มบวกระหวำ่ ง 100 และ 500 ที่ 9 หำรลงตวั มี 44 จำนวน

4. ถำ้ ผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิตเท่ำกบั 105 และพจน์ที่ 7 เทำ่ กับ 27 แลว้ พจน์แรกของอนุกรมนี้เทำ่ กับ

จำนวนใด

ก. 1 ข. 2 ค. 3 ง. 4

5. ถำ้ พจน์แรกและพจน์สดุ ท้ำยของอนุกรมเลขคณติ เทำ่ กับ 2 และ 35 ตำมลำดับ และมผี ลตำ่ งรว่ มเปน็ 3 แล้วผลบวก

ของอนกุ รมน้ีเปน็ เทำ่ ใด

ก. 222 ข. 284 ค. 312 ง. 324

6. ผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมเรขำคณิต 120+60+30+…เท่ำกบั จำนวนใด
255 255 3825 3825
ก. 256 ข. 16 ค. 256 ง. 16

7. ผลบวก 7 พจน์แรกของอนกุ รม เรขำคณิตทีม่ ี a1  1 และ a2  1 เทำ่ กบั ข้อใด
3
547  182 547 182
ก.  3 ข. 3 ค. 3 ง. 3

8. ถ้ำ a1 และ r ของอนุกรมเรขำคณติ เท่ำกบั 12 และ 2 ตำมลำดบั และ มีผลบวก n พจน์
แรกเทำ่ กบั 3060 แล้ว n เทำ่ กับจำนวนใด

ก. 7 ข. 8 ค. 9 ง. 10

9. อนกุ รม 1024+512+256+…+2 มคี ่ำเทำ่ กับขอ้ ใด

ก. 2046 ข. 2047 ค. 2048 ง. 2049
อนกุ รมเรขำคณติ มี a1  243และ an  48 มผี ลบวก n พจน์แรกเท่ำกับ 633
แลว้ คำ่ n และ r เทำ่ กับข้อใดตำมลำดับ
1 2 2 1
ก. 5, 3 ข. 4, 3 ค. 5, 3 ง. 4, 3

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียนหลงั เรียน

1. ข. 2. ก 3. ค 4. ค
5. ก 6. ง 7. ง 8. ข
9. ก 10. ค

แบบทดสอบ

1. ลมิ ติ ของลำดับใดมีคำ่ เท่ำกบั 0 n2  2
4n 2
ก. a n  32 n ข. an  1 (n  1) ค. a n  5 ง. a n  2n  n
3n2 2 3n  5

2. ขอ้ ใดผิด

ก. lim ( 2 )  0 ข. lim ( 4 )n  0 ค. lim 10 10 ง. lim 3n  1 ไมม่ ลี มิ ติ
n 5 3n2
n n n n
5
3. กำหนดลำดบั อนนั ต์ a n  4  7 ดงั นนั้ ลำดบั น้ีมลี กั ษณะตรงกบั ขอ้ ใด
n
5
ก. เป็นลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์ มลี มิ ติ เทำ่ กบั 0 ข. เป็นลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์ มลี มิ ติ เท่ำกบั 4

ค. เป็นลำดบั คอนเวอรเ์ จนต์ มลี มิ ติ เทำ่ กบั 5 ง. เป็นลำดบั ไดเวอรเ์ จนต์
7
4. ขอ้ ใดเปน็ ลำดับไดเวอรเ์ จนต์
n2 n2
ก. a n  1 cos n ข. an  3n 7 ค. an  (n  3n 1 ง. an  sin n
3n 5 5)(2n  7)

5. ลมิ ติ ของลำดบั an  2n2 n4 3 มคี ่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด
5n 6
1 1
ก. 0 ข. 2 ค. 2 ง. 2

6. ลมิ ติ ของลำดบั an   3n2 4 4 มคี ่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใด
2n2 5n 1
3 12 81
ก. 0 ข. 2 ค. 8 ง. 16

7. ลมิ ติ ของลำดบั an  n2 5n  n2 3n มคี ่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด
ก. 0 ข. 4 ค. 8 ง. ไมม่ ลี มิ ติ
1 3 5
9. ลมิ ติ ของลำดบั 5 , 8 , 11 ,... มคี ่ำเทำ่ กบั ขอ้ ใด

ก. 2 ข. 0 ค. 1 ง. ไมม่ ลี มิ ติ
3 5
n4 n4
9. ลมิ ติ ของลำดบั an  n2  5  n2  5 มคี ่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด

ก. 0 ข. 5 ค. 10 ง. 10
1 5 9 , 1163
10. ลมิ ติ ของลำดบั 2 , 4 , 8 ,... มคี ่ำเท่ำกบั ขอ้ ใด

ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. ไมม่ ลี มิ ติ
2

เฉลยแบบทดสอบกอ่ นเรยี นและหลงั เรยี น

1. ก 2. ง
3. ข 4. ข
5. ค 6. ง
7. ข 8. ค
9. ก 10. ก