คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.6

บทที่ 1 สถติ แิ ละขอ้ มลู

1. สถิติ (Statistical) เป็นเรื่องที่มีความสาคัญและจาเป็นอย่างยิ่งต่อการตัดสินใจหรือวางแผน ซึ่งสถิติมี
ความหมายอยู่ 3 ลกั ษณะ คือ

สถติ ิ หมายถงึ กล่มุ ของตวั เลขหรอื ข้อความทแี่ ทนข้อเท็จจริงของขอ้ มูล
สถิติ หมายถงึ ศาสตร์อย่างหน่ึงท่เี กีย่ วขอ้ งกบั วทิ ยาศาสตร์และศิลปะศาสตรท์ ่ีวา่ ด้วย
“ระเบยี บวิธกี ารทางสถติ ิ” ซง่ึ ประกอบไปด้วย การเก็บรวบรวมข้อมลู การนาเสนอข้อมลู การวิเคราะหข์ อ้ มลู
และการตีความหมายของข้อมูล
สถิติ หมายถึง ค่าสถิติต่าง ๆ ท่ีคานวณได้จากข้อมูลในกลุ่มตัวอย่าง เช่น ค่าเฉล่ียเลขคณิต ค่ามัธยฐาน
ค่าฐานนิยม สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานกลุม่ ของตัวเลขหรอื ข้อความทแ่ี ทนขอ้ เทจ็ จรงิ เกย่ี วกบั เร่ืองใดเร่อื งหนึ่ง เป็นต้น

สถติ ิ แบง่ เปน็ 2 ประเภท คือ
1. สถิติเชิงพรรณนา (Descriptive Statistics) คือการวิเคราะห์ข้ันต้นท่ีมุ่งวิเคราะห์เพ่ืออธิบายลักษณะ

กว้าง ๆ ของข้อมูลนั้น (สนใจการวดั คา่ กลางข้อมูลและการวดั การกระจายของข้อมลู )
2. สถิติเชิงอนุมาน (Inferential Statistics) คือการวิเคราะห์ข้อมูลท่ีเก็บรวบรวบได้จากตัวอย่างเพ่ือ

อา้ งอิงไปถงึ ขอ้ มลู ทงั้ หมด

2. ข้อมูล (Data) หมายถึง ข้อความที่อาจจะเป็นตัวเลขหรือไม่เป็นตัวเลขก็ได้ เก่ียวกับเร่ืองใดเร่ืองหนึ่งที่เรา
สนใจ

ตัวอย่างของข้อมูลท่ีเป็นตัวเลข เช่น จานวนคนที่เป็นไข้หวัดนก อายุ รายได้ ความสูง น้าหนัก
ปริมาณการสง่ ออกลาไย เปน็ ตน้

ตัวอย่างของข้อมูลท่ีไม่เป็นตัวเลข เช่น คนไทยส่วนใหญ่นับถือศาสนาพุทธ ปริมาณนักศึกษาที่จบ
ปริญญาตรี เพิ่มข้ึนจากปีที่ผ่านมา เม่ือเดือนมีนาคมท่ีผ่านมาพายุได้พัดผ่านทางภาคใต้ทาให้มีฝนตกหนักประชาชน
เดอื ดร้อนเปน็ จานวนมาก เป็นต้น

ประเภทของข้อมลู แบ่งออกเป็น
1. จาแนกตามลกั ษณะของข้อมูล มี 2 ประเภท คือ
- ข้อมูลเชิงปริมาณ (Quantitative data) คือข้อมูลท่ีสามารถวัดออกมาเป็นตัวเลขได้ท่ีเกิดจากการ

ช่ังตวง วัด หรือมูลค่าต่าง ๆ โดยที่ค่าของข้อมูลแต่ละตัวสามารถนามาเปรียบเทียบปริมาณมากน้อยกว่ากันได้อย่างมี
ความหมาย เช่น อายุ น้าหนัก สว่ นสูง ระดบั เงนิ เดอื น เปน็ ต้น (ซึ่งเป็นข้อมูลทส่ี ามารถนามาบวกลบคูณหารกันได้)

- ข้อมูลเชิงคุณภาพ (Qualitative data) คือข้อมูลที่ไม่สามารถวัดออกมาเป็นตัวเลขได้เป็นเพียง
ข้อมูลท่ีบ่งบอกกลุ่มโดยใช้คุณสมบัติ ลักษณะ สภาพ ฐานะ หรือความคิดเห็นเป็นตัวจาแนก โดยที่ค่าของข้อมูลแต่ละ
ตัวไม่สามารถนามาเปรียบเทียบเชิงปริมาณมากน้อยกว่ากันได้ เช่น เพศ อาชีพ เช้ือชาติ ระดับชั้น ที่อยู่ สถานภาพ
ความคิดเห็น โรคต่าง ๆ เป็นต้น (ซงึ่ ข้อมูลประเภทนี้ไมส่ ามารถบวกลบคณู หารกนั ได้)

เรอื่ งสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวินิตบางแกว้

2

2. จาแนกตามวิธกี ารเก็บรวบรวมข้อมลู มี 2 ประเภท คอื
- ขอ้ มูลปฐมภมู ิ (Primary data) คอื ข้อมลู ที่เก็บรวบรวมจากแหล่งตน้ กาเนดิ ของข้อมลู โดยตรงซึง่ อาจ

ทาได้โดยการสัมภาษณ์ การทดลอง หรือการสังเกตจากแหล่งข้อมูลจริง ๆ โดยไม่มีผู้ใดเคยรวบรวมมาก่อน เช่น การ
สารวจความคิดเหน็ ของพนกั งานบริษัทต้องเกบ็ จากพนักงานของบรษิ ัทโดยตรง การเก็บรวบรวมข้อมูลประเภทน้ี สามารถ
ทาได้ 2 วธิ ี คือการสารวจสามะโน (census) และการสารวจจากกลมุ่ ตวั อยา่ ง (sample survey)

- ข้อมูลทุติยภูมิ (Secondary data) คือข้อมูลท่ีเก็บรวบรวมหรือคัดลอกมาจากข้อมูลท่ีถูกเก็บ
รวบรวมไว้แล้ว เช่น การสารวจปริมาณการนาเข้าสินค้า ต้องไปคัดลอกข้อมูลจากที่กรมศุลกากรได้รวบรวมไว้แล้ว
แหลง่ ท่มี าของข้อมลู ประเภทนี้ทสี่ าคัญ คือ จากรายงานตา่ ง ๆ ของหน่วยงานต่าง ๆ และจากบทความจากหนงั สอื ต่าง ๆ

3. สถิติกับการตัดสินใจและวางแผน ในชีวิตประจาวันของแต่ละคนสามารถกล่าวได้ว่ามีการตัดสินใจเกี่ยวกับ
เรื่องต่าง ๆ ท้ังในด้านส่วนตัว ด้านครอบครัว ซึ่งแต่ละคนจะมีวิธีการตัดสินใจท่ีแตกต่างกัน บางคนอาศัยประสบการณ์
ใช้สามัญสานึก ใช้การไต่ถามจากผู้อื่นหรือศึกษาหาข้อมูลและข่าวสารจากเรื่องท่ีเกี่ยวข้อง เพ่ือนามาช่วยในการตัดสินใจ
โดยจะพบว่าถา้ ร้ขู อ้ มูลมากโอกาสท่จี ะตัดสินใจผดิ พลาดก็น้อยลง แต่บางครัง้ กพ็ บว่าการไดข้ ้อมูลมาก็ยังไม่สามารถช่วยใน
การตดั สนิ ใจได้ จาเป็นตอ้ งนาข้อมูลน้นั มาทาการวิเคราะหท์ างสถติ กิ อ่ น ซึ่งสามารถแยกได้เปน็ 2 ระดับ คอื

1. การรวิเคราะห์เบ้ืองต้น เป็นการศึกษาลักษณะท่ัวไปของข้อมูลที่มีอยู่ เช่น การหาร้อยละ การสร้าง
ตารางแจกแจงความถ่ี การหาค่าเฉล่ยี การวดั การกระจายของขอ้ มลู เป็นตน้

2. การวเิ คราะหช์ ั้นสงู เป็นการหาคา่ ความเกีย่ วพนั กันทางสถิติของข้อมูล ที่อาจจะมีหลาย ๆ ตัวแปรเข้า
มาเกี่ยวข้องกัน เช่น การประมาณค่าข้อมูลที่ต้องการทราบจากข้อมูลที่มีอยู่ การทดสอบสมมติฐานท่ีคาดว่าน่าจะเกิดข้ึน
การหาสมการความสัมพันธร์ ะหว่างตวั แปร เป็นตน้

ตัวอย่าง 1 การตัดสนิ ใจท่เี กดิ ขึ้นเสมอ ๆ ในชวี ติ ประจาวัน
- การเลือกซื้อผา้ ทีจ่ ะใส่ไปเที่ยว ---> การตดั สนิ ใจ จากความชอบสถานที่ท่จี ะไปข้อตกลงของกล่มุ
- การเลือกเดินทางมาโรงเรยี น ---> การตดั สนิ ใจ เวลาออกจากบ้านรถเมล์ท่ผี ่าน เวลาท่ีเคยใช้

ตวั อย่าง 2 การตัดสินใจเกี่ยวกับการดาเนนิ งาน
- การเลือกใช้ยาของแพทย์ ---> การตดั สินใจ ดจู ากอาการ , ประวัติคนไขเ้ ดมิ , คุณภาพยา
- การผลติ จานวนสินคา้ ---> การตดั สินใจ ดูยอดเดิมทีเ่ คยผลติ ของท่เี หลือ ความนยิ ม
- การเลือกลงทุนของพ่อคา้ ---> การตดั สนิ ใจ ดจู ากทุน ความนยิ ม ระยะเวลาทีต่ ้องใชผ้ ลิต

ซึ่งสรุปแล้วจะเห็นว่า “การตัดสินใจเร่ืองใดก็ตามจาเป็นต้องเกี่ยวข้องกันกับข้อมูลและข่าวสารไม่ทางตรงก็ทางอ้อม”
ข้อมูลท่ีผ่านการวิเคราะห์ทางสถิติแล้ว ไม่ว่าจะเป็นการวิเคราะห์เบื้องต้นหรือการวิเคราะห์ช้ันสูงก็ตาม เราเรียกว่า
“สารสนเทศหรอื ขา่ วสาร”

การใช้สถิติเพอ่ื ตดั สนิ ใจหรือวางแผนจึงมีอยู่ 2 ลักษณะ คอื
1. การตดั สินใจหรือการวางแผนทอ่ี าศัยขอ้ มลู จาเป็นตอ้ งตรวจสอบก่อนว่าข้อมูลท่ีมีอยู่เดิมนั้นความครบถ้วน

ทันสมัยและน่าเชื่อถือได้เพียงใด แต่ถ้าไม่มีข้อมูล หรือมีแต่ไม่เพียงพอ จะต้องจัดเก็บรวบรวมข้อมูลจากกลุ่มตัวอย่างท่ี
นา่ สนใจด้วยวิธที ี่เหมาะสมจงึ จะนาข้อมลู มาใช้ในการตัดสนิ ใจได้

2. การตัดสินใจหรือการวางแผนท่ีต้องใช้สารสนเทศ ต้องมีการกาหนดวิธีวิเคราะห์ข้อมูลให้สอดคล้องตาม
จดุ ประสงคท์ ่ีตอ้ งการไว้ก่อน จงึ กาหนดข้อมลู ทจี่ ะใชว้ ิเคราะห์โดยจัดเก็บขอ้ มลู เช่น เดียวกับข้อ 1 เมื่อได้ข้อมูลมาก็ทาการ
วิเคราะห์ตามวธิ ีท่ีกาหนด นาผลที่ไดม้ าช่วยในการวางแผนตอ่ ไป

เรอื่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ิตบางแกว้

3

4. การเกบ็ รวบรวมข้อมูล แบ่งได้ดังนี้
วิธกี ารเก็บรวบรวมขอ้ มลู ปฐมภมู ิ ทาได้ 2 วิธี คือ

1. การสารวจสามะโนหรือการสามะโน (census) เปน็ การเก็บรวบรวมข้อมูลจากทุกหน่วยของประชากรหรือส่ิงที่
เราตอ้ งงการศกึ ษา เปน็ การเกบ็ แบบแจงนบั อย่างครบถว้ น ซึ่งเสยี เวลาและค่าใช้จ่ายสูง นยิ มใช้เมอ่ื กลุ่มประชากรท่ีสนใจ
มขี นาดเลก็ เรยี กกลุ่มใหญท่ ง้ั หมดนว้ี ่า “ประชากร”

2. การสารวจจากกลุ่มตัวอย่าง (sample survey) เป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลจากบางหน่วยของกลุ่มประชากร
เพ่ือใช้เป็นตัวแทนของท้ังหมด ถือว่าเพียงพอต่อการประเมินค่าของสิ่งท่ีต้องงการศึกษา ท้ังหมด เรียกตัวแทนน้ีว่า
“กล่มุ ตวั อย่าง”

ซึ่งในทางปฏบิ ัตกิ ารสารวจข้อมลู ปฐมภูมจิ ะทาได้ 5 วิธี คอื
1. การสมั ภาษณ์ นิยมใชก้ นั มากกว่าวธิ ีอืน่ เพราะโอกาสท่ีจะได้คาตอบคืนมามีมาก และถ้าผู้ตอบข้อคาถามไม่

เขา้ ใจก็สามารถถามผสู้ มั ภาษณโ์ ดยตรงไดเ้ ลย ทาให้ข้อมลู มีความน่าเช่ือถือไดม้ าก
2. การสอบถามทางไปรษณีย์ วิธีน้ีประหยัดค่าใช้จ่ายได้มาก สะดวกและสบายใจต่อการตอบแบบสอบถาม

แต่มีข้อเสียหลายประการ เช่น ต้องใช้ในที่มีไปรษณีย์ไปถึง ถ้าผู้ตอบแบบสอบถามไม่เข้าใจคาถามก็อาจให้คาตอบที่
ผดิ พลาดได้ อาจจะไม่ไดร้ ับคืนตามเวลาหรอื จานวนที่ตอ้ งการ

3. การสอบถามทางโทรศัพท์ เป็นวิธีที่ง่ายมักใช้สาหรับแบบสอบถามท่ีไม่ใช้เวลามากในการสัมภาษณ์ ต้อง
เปน็ การสัมภาษณ์อยา่ งสน้ั ๆ ตอบไดท้ ันทีโดยไมต่ ้องเสียเวลาคน้ หาหลกั ฐาน

4. การสังเกต เป็นข้อมูลท่ีได้จากการสังเกตแล้วบันทึกส่ิงท่ีเราสนใจเอาไว้ ต้องใช้การสังเกตเป็นช่วง ๆ ของ
เวลาอย่างต่อเนื่องกัน ข้อมูลจะน่าเช่ือถือได้มากน้อยเพียงใดขึ้นอยู่กับความเข้าใจและความชานาญของผู้สังเกต เช่น
ข้อมูลเกยี่ วกับการใชบ้ รกิ ารรถโดยสาร การใช้บรกิ ารสหกรณ์ ความหนาแน่นของการใช้ถนนสายต่าง ๆ เป็นต้น เป็นวิธี
ที่นยิ มใช้ประกอบกับวธิ อี ืน่

5. การทดลอง มักเป็นการเก็บรวบรวมข้อมูลทางวิทยาศาสตร์ หรือการเก็บข้อมูลท่ีมีการทดลองหรือการปฏิบัติ
จะมีลักษณะท่ีต้องใช้เวลาในการทดลองนาน ๆ ทาซ้า ๆ ความน่าเชื่อถือจะข้ึนอยู่กับข้ันตอนการทดลองและการวัด การ
บนั ทึกขอ้ มูล ความชานาญของผ้ทู ดลอง

วธิ ีการเก็บรวบรวมขอ้ มลู ทุติยภมู ิ เน่อื งจากเปน็ ข้อมลู ทมี่ ผี ู้อ่ืนเก็บรวบรวมไว้แล้วจึงนามาใช้ได้เลย แหล่งที่มาของข้อมูล
ทตุ ยิ ภมู ทิ ี่สาคัญมอี ยู่ 2 แหล่ง คือ

1. รายงานต่าง ๆ ของหน่วยงานราชการและองค์การของรัฐบาล ซ่ึงเป็นข้อมูลท่ีน่าเช่ือถือ จะมีการเผยแพร่เป็น
รายวัน รายสัปดาห์ รายเดือน หรือรายปี เช่น รายงานเศรษฐกิจรายเดือนของธนาคารแห่งประเทศไทย รายงานภาวะ
ตลาดหุน้ รายวัน ทะเบียนประวตั ิบคุ ลากร ประวัติคนไข้ เป็นตน้

2. บทความจากหนังสือ ซ่ึงจะมีการพิมพ์เผยแพร่ในส่วนของข้อมูลที่เผยแพร่ได้ เช่น วารสาร ข่าวสารใน
หนงั สือพิมพร์ ายวนั เป็นตน้

ดังนั้นการเก็บรวบรวมข้อมลู ทตุ ยิ ภมู ิ จึงควรพจิ ารณาสิง่ ตอ่ ไปนี้
1. บคุ คลทเี่ ขยี น
2. ควรเก็บขอ้ มูลมาจากหลาย ๆ แหลง่

เรือ่ งสถิติ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแก้ว

4

ระดบั ของขอ้ มลู
1. นามบัญญัติ (Nominal Scale) คือข้อมูลท่ีแบ่งกลุ่มเป็นพวก ๆ เช่น เพศ อาชีพ ศาสนา สีผิว ฯลฯ ไม่

สามารถนามาจัดอนั ดบั หรอื คานวณได้
2. เรียงอันดับ (Ordinal Scale) คือข้อมูลที่สามารถแบ่งเป็นกลุ่มได้ แล้วยังสามารถบอกอันดับท่ีของความ

แตกต่างได้ แต่ไมส่ ามารถบอกระยะห่างของอันดับท่ีแน่นอนได้ หรือไม่สามารถเปรียบเทียบได้ว่าอันดับที่จัดน้ันมีความ
แตกตา่ งกนั ของระยะหา่ งเท่าใด เช่น อนั ดบั ท่ขี องผเู้ ข้าประกวดนางสาวไทย

3. อนั ตรภาค (Interval Scale) คือขอ้ มูลทม่ี ชี ่วงหา่ งหรือระยะหา่ งเทา่ กนั สามารถวัดค่าได้แต่เป็นข้อมูลท่ีไม่มี
ศูนยแ์ ท้ เช่น อุณหภมู ิ คะแนนสอบ GPA คะแนน I.Q. ฯลฯ

4. อัตราส่วน (Ratio Scale) คือข้อมูลท่ีมีมาตราวัดหรือระดับการวัดท่ีสูงที่สุด คือนอกจากสามารถแบ่งกลุ่มได้
จัดอนั ดบั ได้ มชี ว่ งหา่ งของขอ้ มลู เทา่ กนั แล้ว ยงั เปน็ ข้อมูลทม่ี ศี ูนยแ์ ท้ เชน่ น้าหนกั ส่วนสงู ระยะทาง รายได้ ฯลฯ

ความหมายและคาศพั ท์ทีเ่ ก่ียวขอ้ งกบั สถิติ
1. ประชากร (population) หมายถงึ ทกุ สิ่งทุกอยา่ งท่อี ย่ใู นขอบขา่ ยทีเ่ ราสนใจจะเกบ็ ข้อมูล
2. กลมุ่ ตัวอย่าง (sample) หมายถึง ส่วนหน่ึงของประชากรซึ่งเลือกมาอย่างถูกต้องตามระเบียบวิธีทางสถิติเพื่อ

ใชเ้ ปน็ ตวั แทนของประชากรท้งั หมด
3. พารามิเตอร์ (parameter) หมายถึง ตัวเลขที่บอกลักษณะบางอย่างของประชากร ซ่ึงคานวณจากประชากร

ทง้ั หมด
4. คา่ สถติ ิ (statistic) หมายถงึ ตวั เลขทบ่ี อกลกั ษณะบางอย่างของกลุ่มตัวอย่าง ค่าสถิติท่ีคานวณโดยใช้สูตร

ที่เหมาะสมเปน็ คา่ ประมาณทด่ี ีของพารามิเตอร์

5. การนาเสนอขอ้ มลู แบ่งเปน็ 2 ลกั ษณะ คอื

1. การนาเสนอขอ้ มลู อยา่ งไม่มแี บบแผน (Informal presentation)

1.1 การนาเสนอข้อมูลในรปู ข้อความ

1.2 การนาเสนอขอ้ มูลในรูปข้อความก่งึ ตาราง

2. การนาเสนอข้อมลู อย่างเป็นแบบแผน (formal presentation)

2.1 ตาราง 2.2 แผนทสี่ ถิติ

2.3 แผนภูมริ ปู ภาพ 2.4 แผนภูมวิ งกลม

2.5 แผนภมู แิ ทง่ 2.6 กราฟ

- แผนภมู แิ ทง่ เชิงเดียว - กราฟเสน้ เชิงเดยี ว

- แผนภูมิแท่งเชิงซ้อน - กราฟเสน้ เชงิ ซ้อน

- แผนภมู ิแท่งซอ้ นกัน - กราฟเสน้ เชงิ ประกอบ

- แผนภูมิแทง่ สว่ นประกอบ - กราฟดลุ

- แผนภูมแิ ทง่ บวก–ลบ

เรือ่ งสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแก้ว

5

แบบฝกึ หดั 1

1. จงเตมิ ขอ้ ความตอ่ ไปน้ใี หต้ รงกบั การนาเสนอข้อมูลให้ถกู ตอ้ ง

การนาเสนอขอ้ มลู ในรปู ข้อความ การนาเสนอขอ้ มลู ในรูปขอ้ ความกึง่ ตาราง ตาราง แผนทส่ี ถิติ
แผนภมู ริ ปู ภาพ แผนภูมวิ งกลม แผนภูมิแท่งเชิงเดยี ว แผนภมู แิ ทง่ เชิงซ้อน แผนภูมิแท่งซ้อนกัน
แผนภูมแิ ท่งส่วนประกอบ แผนภูมิแทง่ บวก–ลบ กราฟเสน้ เชิงเดียว กราฟเสน้ เชิงซ้อน
กราฟเส้นเชิงประกอบ กราฟดลุ

1................................................................................................. 2................................................................................................

ตารางรายละเอียดร่างกายจาแนกตามเพศและวยั แผนทแ่ี สดงจานวนผ้บู าดเจ็บหรอื เสียชวี ติ และอันตราการบาดเจบ็
ของโรงเรยี นอนุบาลวัดลงิ ขบ ปี 2555 ตามอาเภอทีเ่ กิดเหตุการณ์ (รายเดอื น)

3................................................................................................. 4................................................................................................

แผนภมู ิแสดงจานวนผกั ของรา้ นคา้ แหง่ หนึง่ จาแนกตามชนิดของผกั ทีข่ ายได้ แผนภมู ิแสดงรายไดท้ ีไ่ ดจ้ ากการเกบ็ คา่ รกั ษาพยาบาลแผนกทนั ตกรรม

ในวนั ที่ 1 มกราคม 2555 ของโรงพยาบาลอเวจี จาแนกตามการรกั ษา ประจาปี 2555

เรื่องสถติ ิ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ิตบางแก้ว

6

5................................................................................................. 6................................................................................................

แผนภมู ิแสดงการเปรียบเทยี บจานวนนกั ศกึ ษาจาแนกตามคณะ แผนภมู แิ สดงการเปรยี บเทียบจานวนสนิ ค้านาเขา้ และนาออก

ของมหาวิทยาลยั ฮาศาสตร์ ประจาปกี ารศึกษา 2555 ของบริษทั ตาต้าอินโพ ต้ังแต่ปี 1991–1995

7................................................................................................. 8................................................................................................

แผนภมู ิแท่งแสดงสนิ ทรัพย์ หน้สี ินทนุ ของสหกรณ์ออมทรัพย์ แผนภมู แิ สดงการเปรยี บเทยี บรายไดข้ องแตล่ ะทวปี ในแต่ละสัปดาห์

มหาวิทยาลยั เกษตรศาสตร์ ของปี 2538–2542 ของปี 2000

9................................................................................................. 10..............................................................................................

แผนภมู แิ ท่งแสดงกาไรขาดทนุ ของบรษิ ัทแห่งหนง่ึ กราฟแสดงจานวนเกรดเฉล่ียของเดก็ โรงเรียนมธั ยมหนองอีแว้ง

ตัง้ แตป่ ี 2531–2536 ประจาปี 2550

เรอ่ื งสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ติ บางแกว้

7

11................................................................................................. 12...............................................................................................

กราฟเปรียบเทยี บความดังของลาโพงย่หี ้อมมิ ชิ ุจาแนกตามตาแหนง่ การไดย้ ิน กราฟแสดงปรมิ าตรน้าในอ่างเกบ็ น้าภมู พิ ล จงั หวดั ตาก

จาแนกตามเดอื นของ ปี 2551–2553

13................................................................................................. 14..............................................................................................

กราฟเปรยี บเทยี บความสมั พนั ธ์ของรายรับและรายจา่ ยของบรษิ ัทแหง่ หนง่ึ ปรมิ าณการขายสินคา้ ของร้านอีกูก้ใี นเดือนธนั วาคม
ปี 2538–2546 โดยจาแนกตามชนิดของสนิ ค้า เปน็ ดงั นี้

คอมพวิ เตอร์ 40 เคร่ือง
โทรทัศน์ 35 เคร่ือง
ตเู้ ย็น 10 เครอื่ ง
เตารีด 20 เคร่ือง

15..............................................................................................

การส่งออกทเุ รยี นในปี 2560 ลดลงร้อยละ 40 เมือ่ เทียบกบั ปี 2559

2. จงเลอื กคาตอบทถ่ี ูกตอ้ งที่สุดเพยี งขอ้ เดียว
1. แผนภูมแิ สดงปริมาณการปล่อยก๊าซ CO2 ของโรงงานใน จังหวดั ระยอง เป็นการดาเนนิ ทางสถติ ิทีเ่ รียกว่าอะไร

ก. การเก็บรวบรวมข้อมลู
ข. การนาเสนอขอ้ มลู
ค. การวิเคราะหข์ ้อมลู
ง. การตีความหมายข้อมูล

2. ขอ้ มลู เก่ียวกบั จานวนสมาชกิ ในครอบครวั ของนักเรยี นในห้องหนง่ึ ควรเกบ็ รวบรวมข้อมลู ด้วยวธิ ีใด

ก. ทะเบยี น ข. สังเกต ค. สารวจ ง. บนั ทกึ

3. ขอ้ มลู ในขอ้ ใดไมใ่ ช่ขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ
ก. น้าหนกั ของนักเรยี น ข. อายขุ องนกั เรียน ค. อาชพี ของผ้ปู กครอง ง. รายไดข้ องผปู้ กครอง

เรือ่ งสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแกว้

8

4. ขอ้ ความใดไม่อยใู่ นรูปสถติ ิ
ก. เขาต้องสอบไดเ้ กรดเฉล่ยี 2.50 โรงเรียนจงึ จะยอมให้เรียนต่อ
ข. มนี ักเรยี นสอบเข้ามหาวทิ ยาลัยไม่ได้ 60%
ค. ชาวนา 42% ตอ้ งเชา่ นาทา
ง. บรษิ ทั ขายสนิ คา้ ได้มากขนึ้ 12%

5. ข้อใดเปน็ ขอ้ มลู สถิติ
ก. เดก็ ชายลกู หมมี ีน้าหนกั 25 กิโลกรมั สูง 90 เซนติเมตร
ข. เรวดี ว่งิ 100 เมตร ใช้เวลา 12.0 วนิ าที
ค. คุณดีขายอาหารตลอดปีเฉล่ียแล้วได้กาไรเดือนละ 15,000 บาท
ง. จากข้อ ก , ข , ค เปน็ ข้อมูลสถิติทกุ ข้อ

6. ขอ้ ใดกลา่ วผดิ
ก. วัย เพศ โรค เปน็ ตัวแปรของขอ้ มลู เชงิ คณุ ภาพ
ข. ราตรี ขายอาหารตลอดปเี ฉลี่ยแล้วได้กาไรเดอื นละ 12,000 บาท เป็นข้อมูลสถิติ
ค. แตงทาแปลงสาธิตปลกู ข้าวพนั ธ์ต่าง ๆ ในเนือ้ ที่ซึง่ มีสภาพเหมอื นกันเป็นการเก็บข้อมลู โดยวิธกี ารทดลอง
ง. นักวิจยั ต้องการข้อมลู เกย่ี วกับความคดิ เหน็ ดา้ นการศกึ ษาต่อของนักเรยี น ม.3 จงึ เกบ็ ขอ้ มูลโดยการสมั ภาษณ์

7. ข้อตอ่ ไปนขี้ อ้ ใดถูกตอ้ ง
ก. จานวนหัวทเี่ กิดจากการโยนเหรยี ญอันหนึง่ 50 ครั้งเป็นการเกบ็ ข้อมลู โดยการสังเกต
ข. การยืนนับจานวนคนที่ขา้ มถนนโดยใช้สะพานลอยเป็นการเก็บรวบรวมขอ้ มูลโดยการทดลอง
ค. ป้ายแสดงอุบตั ิเหตใุ นแตล่ ะเดือนเปน็ การนาเสนอขอ้ มลู วธิ ีหน่งึ
ง. การหาค่าสถติ ิมคี วามถกู ต้อง 100% เสมอ

8. แผนภมู แิ ทง่ ทใี่ ช้แสดงรายละเอียดสว่ นย่อยของขอ้ มลู ท่นี าเสนอคือแผนภูมิชนิดใด

ก. แผนภมู ิแท่งเชงิ ซ้อน ข. แผนภมู แิ ท่งซอ้ นกนั

ค. แผนภมู ิแท่งส่วนประกอบ ง. แผนภมู แิ ท่งบวก – ลบ

9. การประกาศราคาสินคา้ ของกรมประชาสมั พันธ์ทางวทิ ยกุ ระจายเสียงเป็นการนาเสนอข้อมูลแบบใด

ก. การนาเสนอขอ้ มลู อย่างมีแบบแผน ข. การนาเสนอข้อมูลในรปู บทความก่ึงตาราง

ค. การนาเสนอข้อมลู ในรูปบทความ ง. ไม่เป็นการนาเสนอขอ้ มูล

10. ข้อใดกลา่ วถกู ตอ้ งท่สี ดุ
ก. อานนทว์ ่ิง 100 เมตรด้วยเวลา 10.05 วินาท่ีเปน็ สถติ ิ
ข. โรงเรียนสารพัดชา่ งมคี รูหญิง 15 คน ครูชาย 12 คน เป็นขอ้ มลู ทางฝา่ ยปริมาณ
ค. จานวนข้อมูลในตวั อยา่ ง มีจานวนมากกวา่ จานวนของขอ้ มลู ในประชากร
ง. เราประมาณค่าสถิติจากตวั อย่าง

เร่อื งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ิตบางแกว้

9

11. ข้อมลู เกย่ี วกับวนั เดอื น ปเี กดิ เพศ ของแม่บ้านกลมุ่ หนง่ึ ควรเก็บรวบรวมโดยวิธีใด

ก. การทดลอง ข. การสงั เกต

ค. การสารวจ ง. การสัมภาษณ์

12. จากรูปเป็นการนาเสนอขอ้ มูลแบบใด

ก. แผนภูมิแท่งเชิงซอ้ น
ข. แผนภมู ิแท่งซอ้ นกัน
ค. แผนภมู ิแท่งส่วนประกอบ
ง. แผนภูมิแท่งบวก–ลบ

13. จากรูปเปน็ การนาเสนอขอ้ มลู แบบใด

ก. แผนภูมิแท่งเชิงซอ้ น
ข. แผนภมู แิ ทง่ ซ้อนกัน
ค. แผนภูมแิ ท่งสว่ นประกอบ
ง. แผนภูมแิ ท่งบวก–ลบ

14. วิธกี ารเกบ็ รวบรวมขอ้ มูลจากขอ้ ใดทมี่ ีความนา่ เชอื่ ถือไดม้ าก

ก. การทดลอง ข. การสังเกต

ค. การสารวจ ง. ทะเบียนประวัติ

15. ข้อใดเรียงลาดับความหมายได้ถูกต้อง เมื่อกาหนดให้ Secondary data , Statistical , census ,
population

ก. ข้อมูลทุติยภมู ิ , ค่าสถิติ , การสามะโน , ประชากร
ข. ขอ้ มูลปฐมภูมิ , คา่ สถิติ , การสามะโน , ประชากร
ค. ขอ้ มลู ทุติยภมู ิ , สถิติเชงิ อนุมาน , การสามะโน , ประชากร
ง. ข้อมลู เชงิ คุณภาพ , ค่าสถิติ , การสามะโน , กลุม่ ตัวอย่าง

เรือ่ งสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ิตบางแก้ว

10

ศกึ ษาค้นควา้ ด้วยตนเอง (กิจกรรมพิชิต O-NET)

ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาค้นคว้าโจทย์ O-NET ย้อนหลังเกี่ยวกบั เรือ่ งทเ่ี รียนมาโดยลอกโจทยแ์ ละแสดงวิธที า
จานวน 2 ข้อ

เรือ่ งสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแกว้

11

บทท่ี 2 การวเิ คราะหข์ อ้ มลู เบอื้ งตน้

1. การวเิ คราะห์ขอ้ มูลเบือ้ งต้น
การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้นเก่ียวกับเร่ืองใด ๆ เป็นการวิเคราะห์เพื่อทราบลักษณะ โดยรวมของข้อมูล

เกยี่ วกบั เร่ืองนัน้ ๆ ซงึ่ ไดม้ าจากการวเิ คราะหท์ ่เี กยี่ วกับเรื่องต่าง ๆ ตอ่ ไปน้ี
- การแจกแจงความถ่ขี องข้อมูล
- การหาคา่ กลางของขอ้ มลู
- การหาคา่ การกระจายของข้อมูล

กอ่ นอนื่ เราตอ้ งทราบความหมายของ “ตัวแปร” ทต่ี อ้ งกล่าวถงึ อย่เู สมอ ๆ ในการวิเคราะหข์ ้อมูลเสียกอ่ น ดังนี้
ตัวแปร (variable) หมายถึง ลักษณะของประชากรที่เราสนใจวิเคราะห์โดยท่ีลักษณะนั้น ๆ ของประชากร

สามารถเปลย่ี นค่าได้ ไม่ว่าจะเปน็ เชงิ ปรมิ าณหรือเชิงคณุ ภาพ เชน่
1) จานวนสมาชกิ ของครอบครวั เป็นตัวแปรเชงิ ปรมิ าณ เปล่ยี นคา่ ได้ตง้ั แต่ 1 , 2 , 3 เรอ่ื ยไป
2) คะแนนสอบเปน็ ตัวแปรเชงิ ปริมาณ เปลีย่ นคา่ ได้ตั้งแต่ 0 , 1 , 2 ,..., 100
3) เพศเป็นตวั แปรเชิงคณุ ภาพ เปลย่ี นคา่ เป็นชายหรือหญงิ

ถ้าให้ x เป็นตัวแปรที่ใช้แสดงผลการสอบซึ่งมีคะแนนเต็ม 10 คะแนน คะแนนท่ีนักเรียนแต่ละคนสอบได้
เรียกวา่ “ค่าจากการสงั เกต” และเรยี กคะแนนท่ีอาจเปน็ ไปได้ สาหรบั การสอบซึ่งมี 11 คา่ คือ 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,
5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ว่า “คา่ ท่ีเป็นไปได้”

ตัวอย่างที่ 1 ในการสอบย่อยวิชาคณิตศาสตร์ซึ่งมีคะแนนเต็ม 10 คะแนน และมีนักเรียนเข้าสอบ 6 คน
โดยสอบไดค้ ะแนน 0 , 2 , 5 , 5 , 7 และ 10 คะแนน หากนามาเขยี นให้อย่ใู นรปู ตารางแจกแจงความถ่ี ดังนี้

X (คะแนน) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f (ความถี่) 1 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1

จากตารางจงหาตัวแปร ค่าจากการสงั เกต และค่าท่ีเปน็ ไปได้ของขอ้ มูล

วธิ ที า ตวั แปร คอื ............................................................................................................

คา่ จากการสงั เกต คอื ............................................................................................................

ค่าท่ีเป็นไปได้มี 11 ค่า คอื ............................................................................................................

เรอ่ื งสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแก้ว

12
2. การแจกแจงความถีข่ องข้อมูล

การแจกแจงความถี่ เป็นวธิ กี ารทางสถติ ิท่ีใช้ในการจดั ขอ้ มลู ท่ีมีอยหู่ รือท่ีเกบ็ รวบรวมมาได้ให้อยู่เป็นพวก ๆ
เพ่ือความสะดวกในการนาเสนอข้อมูลและวิเคราะห์ข้อมูลเหล่าน้ัน จากตารางแจกแจงความถ่ีในตัวอย่างท่ี 1 จะเห็นว่ามี
นักเรียนสอบได้ 5 คะแนนอยู่ 2 คน เรยี ก 2 ว่า “ความถี่” ของคะแนน 5

ดังนั้น ความถ่ี (frequency) หมายถึง จานวนท่ีแสดงวา่ ค่าท่ีเป็นไปได้แต่ละค่าเกิดข้ึนกี่ครั้ง ความถ่ีเขียน
แทนดว้ ย f และการหาค่าความถข่ี องคา่ ที่เป็นไปไดน้ ้ี เรียกวา่ “การแจกแจงความถี่”

จากตารางแจงแจงความถี่ในตัวอย่างที่ 1 ไม่ค่อยมีประโยชน์ต่อการวิเคราะห์ข้อมูลมากนัก เนื่องจากค่าท่ี
เป็นไปได้และค่าจากการสงั เกตมนี อ้ ย แต่ถ้าค่าที่เป็นไปได้มีจานวนมาก เราคงไม่สามารถท่ีจะแจกแจงความถี่สาหรับแต่
ละคา่ ของคา่ ที่เปน็ ไปไดท้ ัง้ หมด จงึ หาความถ่ขี องคะแนนในแต่ละช่วงแทน โดยแบง่ คา่ ทเี่ ป็นไปได้ทั้งหมดออกเป็นช่วง ๆ
เรียกแต่ละชว่ งวา่ “อนั ตรภาคชนั้ (class interval)”

3. การสร้างตารางแจกแจงความถี่ มีลาดับขน้ั ตอน ดงั น้ี
1) หาพิสัย จาก

พิสัย = ขอ้ มูลคา่ สงู สุด – ข้อมลู ค่าตา่ สดุ

2) หาจานวนชั้น หรอื หาความกว้างของอันตรภาคชน้ั
2.1) ถา้ โจทย์กาหนดความกวา้ ง ให้หาจานวนช้นั

พิสยั
จานวนช้นั = ความกว้างของอนั ตรภาคช้นั

2.2) ถ้าโจทย์กาหนดจานวนชนั้ ให้หาความกว้าง

พิสยั
ความกว้างของอนั ตรภาคชัน้ = จานวนช้นั

ถา้ ผลหารมีเศษใหป้ ัดข้ึนเป็นจานวนเต็มเสมอ
3) เขยี นอันตรภาคชน้ั เรยี งตามลาดบั แล้วดูวา่ ค่าจากการสงั เกตแตล่ ะคา่ ของข้อมลู อยใู่ นอันตรภาคช้ันใด
ก็ใหข้ ดี “/” ลงในอนั ตรภาคชน้ั นน้ั ไปเรื่อย ๆ จนครบทุกค่าจากการสังเกตของขอ้ มลู
4) นับจานวนขดี ในแต่ละอนั ตรภาคช้นั และสรปุ ออกมาเป็นจานวน ซงึ่ จานวนดังกล่าวก็คอื “ความถี่”
นัน่ เอง

4. สิ่งท่เี กยี่ วข้องกับตารางแจกแจงความถี่
1. ขอบล่าง (lower boundary) คือ ค่ากึ่งกลางระหว่างคะแนนท่ีต่าที่สุดในอันตรภาคชั้นน้ันกับคะแนน

สงู สดุ ของอันตรภาคชนั้ ท่อี ยู่ติดกนั แตเ่ ปน็ ช้นั ทตี่ า่ กวา่

ขอบลา่ ง = ค่านอ้ ยท่สี ดุ ของชน้ั นนั้ + คา่ มากท่สี ดุ ของชั้นทอี่ ยูต่ า่ กว่าหนง่ึ ชั้น
2

เรอ่ื งสถติ ิ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแกว้

13

2. ขอบบน (upper boundary) คือ ค่ากึ่งกลางระหว่างคะแนนที่สูงที่สุดในอันตรภาคชั้นน้ันกับคะแนน
ต่าสดุ ของอันตรภาคช้นั ทอี่ ยู่ตดิ กนั แต่เปน็ ชน้ั ทีส่ งู กวา่

ขอบบน = ค่ามากท่สี ดุ ของชนั้ นั้น + คา่ น้อยทสี่ ดุ ของชน้ั ทีอ่ ยู่สูงกว่าหนึ่งชั้น
2

3. จดุ กึ่งกลางช้ัน (mid point) ของแตล่ ะอนั ตรภาคชน้ั คานวณได้ ดงั น้ี

จุดกึง่ กลางชนั้ = ขอบลา่ ง + ขอบบน
2
คา่ ตา่ สุดของอนั ต2รภาคชัน้ + ค่าสงู สดุ ของอันตรภาคชั้น
หรือ จุดกึ่งกลางชน้ั =2
2

4. ความกวา้ งของอันตรภาคช้ัน (class width) คือ ขนาดของแต่ละช้นั
ความกว้างของอนั ตรภาคช้นั = ขอบบน – ขอบล่าง

5. ความถ่ีสะสม (cumulative frequency) ของอันตรภาคชั้นใด คือ ผลรวมของความถ่ีของอันตรภาคชั้น

นน้ั กบั ความถขี่ องทุก ๆ อนั ตรภาคช้นั ทม่ี ีค่าตา่ กวา่ ความถ่ีสะสมเขียนแทนดว้ ย F

6. ความถสี่ ัมพัทธ์ (relative frequency) ของอนั ตรภาคชั้นใด คอื อตั ราส่วนระหว่างความถ่ีของอันตรภาค

ชัน้ นน้ั กับผลรวมของความถีท่ ้ังหมด

ความถ่ีของอนั ตรภาคชน้ั น้นั f

ความถี่สัมพทั ธ์ = =N
ผลรวมของความถี่ทัง้ หมด

รอ้ ยละของความถสี่ ัมพัทธ์ = ความถ่ขี องอันตรภาคช้นั น้ัน X 100 = f X 100

ผลรวมของความถี่ทั้งหมด N

7. ความถี่สะสมสัมพัทธ์ (relative cumulative frequency) ของอันตรภาคช้ันใด คือ อัตราส่วนระหว่าง

ความถีส่ ะสมของอันตรภาคชั้นน้ันกบั ผลรวมของความถีท่ ้ังหมด

ความถี่สะสมของอันตรภาคช้ันนน้ั F
ความถ่ีสะสมสมั พัทธ์ = ผลรวมของความถท่ี ้งั หมด =N

ความถ่ีสะสมของอนั ตรภาคช้นั นน้ั f
ร้อยละของความถี่สะสมสัมพัทธ์ = ผลรวมของความถี่ท้งั หมด X 100 = N X 100

เรือ่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ติ บางแก้ว

14

5. กราฟที่ใช้ในการแจกแจงความถี่ มี 4 ชนดิ คือ
1. ฮสิ โทแกรม (histogram)
ฮิสโทแกรมเป็นกราฟแทง่ รปู สเี่ หลย่ี มมุมฉากวางเรยี งติดต่อกนั ตามแนวนอน โดยมีแกนนอนแทน

ค่าท่เี ป็นไปได้ของตวั แปร ความกว้างของแท่งแทนความกวา้ งของอันตรภาคชั้น พื้นท่ีของแท่งแทนความถ่ีของแต่ละอันตร
ภาคชนั้ - ถา้ ความกว้างของอันตรภาคชั้นเทา่ กันทกุ ช้นั ความสงู ของแท่งจะเท่ากบั ความถข่ี องแต่ละอันตรภาคชนั้

- ถา้ ความกว้างของอันตรภาคชัน้ ไม่เท่ากัน ความสูงของแท่งกจ็ ะเทา่ กับอัตราส่วนของความถี่และความกว้าง
ของอันตรภาคชัน้ น้ัน

การสรา้ งฮสิ โทแกรม มีวิธีการสรา้ ง ดงั น้ี
1) หาตาแหน่งจุดกง่ึ กลางชนั้ ของแตล่ ะอนั ตรภาคช้ันบนแกนนอน
2) ลากเสน้ จุดกึง่ กลางชน้ั แต่ละอนั ตรภาคช้ัน ให้มีความสูงเท่ากับความถี่ในแต่ละอันตรภาคช้ันนัน้
3) สร้างรปู สีเ่ หล่ียมมุมฉากต้งั บนแต่ละอันตรภาคชัน้ โดยมีความกว้างเท่ากบั ความกว้างของอันตรภาคช้ัน

และมคี วามสงู เท่ากบั ความสูงในขอ้ 2)
2. รปู หลายเหลี่ยมของความถ่ี (frequency polygon)
รูปหลายเหลี่ยมของความถ่ี คือ รูปหลายเหลี่ยมที่เกิดจากการเชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านกว้าง

ตอนบนของรปู สเ่ี หลีย่ มมุมฉากแตล่ ะรูปของฮิสโทแกรม ดว้ ยส่วนของเสน้ ตรง การเขียนรูปหลายเหลี่ยมของความถ่ี
ไมจ่ าเป็นตอ้ งเร่ิมเขียนด้วยฮสิ โทแกรม อาจเขยี นจากกราฟ โดยใช้จดุ ก่ึงกลางช้นั และความถี่ไดเ้ ลย

3. เสน้ โค้งของความถี่ (frequency curve)
เส้นโค้งของความถี่ คือ เส้นโค้งที่ได้จากการปรับด้านของรูปหลายเหลี่ยมของความถ่ีให้เรียบ

เปน็ เสน้ โคง้ พืน้ ทใ่ี ตเ้ ส้นโคง้ ของความถ่จี ะมีพ้ืนที่ใกลเ้ คียงกับพนื้ ท่ีของรูปหลายเหลี่ยมของความถ่ี
4. เสน้ โคง้ ของความถีส่ ะสม (cumulative frequency curve) หรอื โอจีฟ (ogive)
กาหนดให้ระยะบนแกน x แทนค่าของตัวแปร ระยะบนแกน y แทนความถ่ีสะสม แล้วลงจุด

แทนคู่อันดบั ของอันตรภาคช้ันเดียวกนั โยงจุดเหล่านี้ด้วยส่วนของเส้นตรงแล้วปรบั เสน้ โค้งให้เรยี บ เรียกเส้นโค้งที่ได้ว่า
“ เสน้ โค้งของความถส่ี ะสม (cumulative frequency curve) หรอื โอจีฟ (ogive) ”

6. แผนภาพต้น-ใบ (Stem and Leaf plot)

แผนภาพต้น-ใบ เป็นแผนภาพท่ีจัดข้อมูลเป็นกลุ่มท่ีแสดงการแจกแจงความถ่ี และวิเคราะห์ข้อมูล

เบ้ืองต้นไปพรอ้ ม ๆ กนั เน่ืองจากการสรา้ งตารางแจกแจงความถี่และฮิสโทแกรมเป็นการจัดข้อมูลที่มีอยู่เป็นช่วง ๆ จึงทา

ใหไ้ มส่ ามารถบอกได้ว่า ขอ้ มูลทมี่ อี ยมู่ คี ่าใดบา้ ง

ตัวอย่างการแสดงผลน้าหนักของนกั เรียน 20 คน ในรปู แบบแผนภาพตน้ –ใบ ดงั น้ี

30 43 45 42 52 51 42 40 41 48 40 35 39 46 50 48 47 47 43 38

แผนภาพต้น–ใบ

ต้น ใบ หรอื

35899 35899

40012233456788 40012233456788

5012 5012

เรือ่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินิตบางแกว้

15

ตวั อย่างที่ 2 ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ ซึง่ มีคะแนนเตม็ 20 คะแนน ของโรงเรียนแห่งหนึ่ง มีนกั เรยี น 30 คน
มคี ะแนนดังนี้ 9 12 15 16 19 13 11 7 16 15 17 11 12 13 15

14 11 9 8 14 15 17 12 11 9 8 12 16 14 13
จงสร้าง 1) ตารางแจกแจงความถี่ ใหม้ คี วามกว้างของแต่ละช้ันเทา่ กัน โดยใหม้ ที ั้งหมด 5 ชัน้

2) ฮิสโทแกรม รูปหลายเหล่ียมของความถี่ เส้นโค้งความถี่ และเส้นโค้งของความถส่ี ะสม
วิธีทา 1. หาพิสยั = .....................................................................................................................................

2. หาความกวา้ งของอนั ตรภาคชนั้ = ...............................................................................................
ดงั นน้ั จะมคี วามกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคชน้ั เปน็ .............................................................................................

อันตรภาคช้ัน รอยขีด ความถ่ี ความถีส่ ะสม
7– 9

รวม
สร้างฮิสโทแกรม รปู หลายเหลย่ี มของความถ่ี เสน้ โค้งความถ่ีสร้างเสน้ และโคง้ ของความถส่ี ะสม

เรื่องสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแก้ว

16

ตัวอยา่ งที่ 3 จากคะแนนสอบวิชาคณติ ศาสตรข์ องนักเรียนช้ัน ม.6 หอ้ งหนงึ่ เปน็ ดังนี้

76 87 70 94 83 66 78 79 41 77 81 70 74 92 87 79 84 86 60 70

77 78 61 92 77 82 64 81 88 83 52 67 81 86 81 77 68 98 82 75

จงสร้างตารางแจกแจงความถ่ี ใหม้ ีจานวนอนั ตรภาคชั้นเทา่ กบั 6 ชนั้ พร้อมทงั้ หาขอบบน ขอบลา่ ง

และจุดกง่ึ กลางชั้นแต่ละชน้ั

วธิ ที า .............................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................... ........................................

อนั ตรภาคช้ัน รอยขีด ความถ่ี (f) ขอบลา่ ง ขอบบน จดุ กงึ่ กลางชน้ั

41–

รวม

ตวั อยา่ งที่ 4 จากตารางแจกแจงความถข่ี องข้อมลู ในตัวอย่างที่ 3 จงหาความถ่ีสะสม ความถี่สัมพัทธ์ ร้อยละของ
ความถ่สี ัมพัทธ์ ความถส่ี ะสม ความถี่สะสมสมั พทั ธ์ และร้อยละของความถีส่ ะสมสมั พัทธ์

อันตรภาคชัน้ ความถ่ี ความถี่สะสม ความถ่ี ความถสี่ ะสม รอ้ ยละของความถ่ี ร้อยละของความถี่
(f) (F) สมั พัทธ์
สัมพัทธ์ สัมพัทธ์ สะสมสมั พัทธ์

สาหรับคดิ คานวณ

เร่ืองสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแก้ว

1. จงเตมิ ตารางใหส้ มบูรณ์ 17 ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้ัน
อันตรภาคช้นั ความถ่ี (f)
30–39 1 แบบฝกึ หดั 2
40–49 3
50–59 3 ขอบล่าง ขอบบน จุดกง่ึ กลางช้ัน
60–69 11
70–79 6
80–89 3
90-99 3

2. จงเตมิ ตารางให้สมบูรณ์

อันตรภาคช้ัน ความถี่ ความถี่สะสม ความถี่ ความถ่สี ะสม รอ้ ยละของ ร้อยละของ
(f) (F) สัมพัทธ์ สัมพทั ธ์ ความถ่สี ัมพัทธ์ ความถส่ี ะสมสัมพทั ธ์

50–59 2

60–69 11

70–79 20

80–89 14

90–99 3

รวม

3. ข้อมลู ตอ่ ไปนีเ้ ป็นคะแนนสอบของนกั เรยี น 30 คน
46 75 70 65 60 87 87 83 93 70 78 72 76 76 71
59 79 98 55 85 73 94 65 76 71 97 67 70 81 78

จงสร้างตารางแจกแจงความถี่โดยมคี วามกว้างของอนั ตรภาคชั้นเป็น 8 และอนั ตรภาคช้ันแรกเรมิ่ ต้นขอ้ มูลท่ี 46
อนั ตรภาคชนั้ รอยขดี ความถี่ (f)

.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................
.............................................................................................

เร่ืองสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแกว้

18

4. ตารางแจกแจงความถีอ่ ายุของพนกั งานบรษิ ัทแห่งหนง่ึ จานวน 85 คน เป็นดงั น้ี

อายุ (ปี) จานวนพนักงาน (คน)

21–26 14

27–32 17

33–38 24

39–44 20

45–50 10

1) จงสรา้ งฮิสโทแกรม 3) จงสรา้ งเส้นโค้งของความถี่
2) จงสรา้ งรปู หลายเหล่ยี มของความถ่ี 4) จงสรา้ งเสน้ โคง้ ของความถี่สะสม

อนั ตรภาคชนั้ ความถ่ี (f) ความถีส่ ะสม (F) ขอบล่าง ขอบบน จุดก่งึ กลางชน้ั
21–26 14
27–32 17
33–38 24
39–44 20
45–50 10

เรอื่ งสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ิตบางแก้ว

19

5. จานวนนักเรียนทใ่ี สน่ าฬิกายีห่ ้อโอเมกา ของโรงเรียนท่ีอยใู่ นจังหวัดระยองจานวน 40 โรงเรียน เป็นดงั น้ี
12 10 20 18 16 5 9 14 8 20
19 7 17 6 11 14 15 20 13 12
20 19 14 10 12 17 7 15 19 8
4 10 15 13 6 5 12 11 18 10

5.1) จงสรา้ งตารางแจกแจงความถี่ ใหม้ ีจานวนอันตรภาคชนั้ เทา่ กบั 6 ช้ัน (โดยชน้ั แรกใหเ้ ริม่ ตน้ ท่ี 4)
5.2) จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ ให้มคี วามกว้างของอนั ตรภาคชัน้ เท่ากับ 6 (โดยช้ันแรกใหเ้ รม่ิ ตน้ ที่ 2)
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................. .............................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................. .............................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................. .............

6. จากตารางแจกแจงความถต่ี ่อไปน้ี จงหา 1) ความถสี่ ะสม
คะแนน จานวนนักเรียน 2) ความถส่ี มั พัทธ์
10–19 3 3) ร้อยละความถ่สี ัมพัทธ์
20–29 7 4) ความถีส่ ะสมสมั พัทธ์
30–39 8 5) ร้อยละความถสี่ ะสมสัมพทั ธ์
40–49 2

อันตรภาคชั้น ความถี่ ความถส่ี ะสม ความถี่ รอ้ ยละของ ความถี่สะสม รอ้ ยละของ
(f) (F) สัมพทั ธ์ ความถีส่ มั พัทธ์ สมั พทั ธ์ ความถ่สี ะสมสมั พทั ธ์

เรื่องสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแกว้

20

7. สร้างแผนภาพตน้ –ใบ ของขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้
6 19 20 33 41 13 20 35 41 22 16 7
16 22 21 38 42 31 33 32 31 24 27 14

..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................................. .............................................
..........................................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................................................................................

8. นักเรียนห้องหนงึ่ มผี ลการสอบของวิชาราไทยและวิชาดนตรไี ทย ซึ่งแต่ละวชิ ามีคะแนนเตม็ 100 คะแนน เป็นดังน้ี

ใบ (วิชาราไทย) ต้น ใบ (วิชาดนตรีไทย)

3 29

04

853 5

96520 6 8

55220 7 058889

521 8 0245556

000 9 0358

0 0 0 0 10

จงตอบคาถามตอ่ ไปน้ี
8.1 คะแนนสอบตา่ สดุ ของวชิ าราไทย คือ......................... และวิชาดนตรีไทย คอื ...........................
8.2 คะแนนสอบสงู สดุ ของวิชาราไทย คือ......................... และวชิ าดนตรีไทย คือ..........................
8.3 วชิ าราไทยมผี สู้ อบได้ 100 คะแนน จานวน....................... คน
วชิ าดนตรีไทยมีผู้สอบได้ 98 คะแนน จานวน....................... คน
8.4 คะแนนส่วนใหญ่ของวชิ าราไทย จะอยใู่ นช่วง................................ คะแนน
8.5 คะแนนส่วนใหญ่ของวชิ าดนตรีไทย จะอย่ใู นชว่ ง................................ คะแนน
8.6 คะแนนวิชาราไทยทนี่ ้อยกว่า 50 คะแนน คดิ เป็นกี่เปอร์เซน็ ต.์ .............................................................
8.7 นกั เรยี นทไี่ ดค้ ะแนนวิชาดนตรีไทย 60–69 คะแนน ในกล่มุ น้มี กี ่ีคน....................................................

เรอื่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแก้ว

21

ศกึ ษาค้นควา้ ด้วยตนเอง (กิจกรรมพิชิต O-NET)

ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาค้นคว้าโจทย์ O-NET ย้อนหลงั เกี่ยวกบั เรือ่ งทเ่ี รียนมาโดยลอกโจทยแ์ ละแสดงวิธที า
จานวน 2 ข้อ

เรือ่ งสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแกว้

22

บทท่ี 3 สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก
สถติ แิ ละขอ้ มลู

1. สัญลกั ษณ์  ใช้แทนการบวก (อ่านวา่ ซกิ มา)

n

ซึง่  a i = a1 + a2 + a3 + ... + an

i 1

2. สมบตั ขิ อง 

1. n เมื่อ C เป็นคา่ คงที่

C  nC
i1

2. nn เมอื่ C เป็นค่าคงที่

Cai  Cai
i1 i1

  3. n n n
(ai  bi )  ai  bi
i1 i1 i1

  ขอ้ ควรระวงั n   n  n 
i1 xi yi  i1 xi  i1 yi 

ตวั อยา่ ง 1 ให้ x1 = 3 , x2 = 4 , x3 = 5 , x4 = 6 และ

y1 = 2 , y2 = 4 , y3 = 6 , y4 = 8 จงหา

1) 4 2)4

 xi xi2

i 1 i 1

3) 4 4)4

 4 yi yi2

i 1 i 1

5) 4 6)4

(xi  yi ) xi yi

i1 i1

เรื่องสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแก้ว

23

ตัวอย่าง 2 จงหาคา่ ของ

1) 200 2)200

4 4i

i1 i 1

3) 3

(4i  5)
i1

แบบฝกึ หดั 3

1. กาหนดให้ x1 = 1 , x2 = 3 , x3 = 5 , x4 = 7 จงหา

1.1) 4 1.2) 4

(2xi2 3) (3xi 4)
i1 i1

2. กาหนดให้ 6  20 จงหา 4 5)

 xi  (3xi
i1 i1

3. กาหนด 10  10 , 10 และ 10 จงหาค่าของ

 xi  xi2  40  xi3  72
i1 i1 i1

3.1) 10 3.2) 10

 2xi (3xi2  4xi  8)

i1 i1

เรอ่ื งสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินิตบางแกว้

24

3.3) 10  2)2 3.4)10

 ( xi (xi3  2xi2  4xi  5)

i1 i1

ศึกษาคน้ ควา้ ดว้ ยตนเอง (กจิ กรรมพิชติ O-NET)

ให้นกั เรียนศกึ ษาคน้ คว้าโจทย์ O-NET ย้อนหลงั เกย่ี วกับเร่ืองทีเ่ รยี นมาโดยลอกโจทยแ์ ละแสดงวธิ ีทา
จานวน 2 ข้อ

เรือ่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ิตบางแกว้

25

บทที่ 4 คา่ กลางของข้อมลู

ค่ากลางของข้อมลู เป็นคา่ สถิติทไี่ ดจ้ ากการวิเคราะห์ข้อมูลชดุ หนงึ่ ๆ ซึ่งถิอวา่ เปน็ ตวั แทนของขอ้ มูลชุดนั้น การ
หาคา่ กลางของข้อมูลมีวิธีมากมายหลากหลายวิธี ซ่ึงแต่ละวิธีก็มีข้อดีข้อเสียและความเหมาะสมในการนาไปใช้ต่างกัน ค่า

กลางท่ีเรานิยมใช้กัน มี 3 ชนิด คือ ค่าเฉล่ียเลขคณิต (Arithmetic Mean) มัธยฐาน (Median) และฐานนิยม

(Mode) ซ่ึงข้อมูลท่ีจะนามาคานวณค่ากลางจะมีอยู่ 2 ประเภท คือ ข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ และข้อมูลที่แจกแจง
ความถ่ี

1. คา่ เฉล่ยี เลขคณติ (Arithmetic Mean)

ใชแ้ ทนด้วยสญั ลักษณ์ x แทนคา่ เฉล่ยี เลขคณติ (อา่ นวา่ “เอก็ ซบ์ าร”์ )
กาหนดข้อมูล x1 , x2 , x3 , ... , xN เป็นข้อมูลชุดหนึ่งมี N จานวน

1.1 กรณขี อ้ มูลท่ไี ม่ไดแ้ จกแจงความถี่

1) ข้อมลู แต่ละคา่ มนี ้าหนักเท่ากนั

N
 x = x1  x2  x3  ...  xN
= xi = x

i 1

N NN

1) ขอ้ มูลแตล่ ะค่ามีน้าหนักไม่เท่ากนั เรยี กวา่ “คา่ เฉล่ียเลขคณิตแบบถว่ งน้าหนกั ”

x = w1x1  w2 x2  w3x3  ...  wN xN = wx

w1  w2  w3  ...  wN w

1.2 กรณที ่ขี ้อมลู แจกแจงความถี่ ดงั น้ี

ข้อมูล x1 x2 x3 … xn
ความถ่ี f1 f2 f3 … fn

หรือการหาค่าเฉล่ียของข้อมูลท่ีจัดเป็นหมวดหมู่ เราใช้จุดกึ่งกลางของแต่ละอันตรภาคชั้นเป็นตัวแทน

ของขอ้ มลู ในอนั ตรภาคชน้ั น้ันกล่าวคือ

อนั ตรภาคชน้ั ท่ี จดุ ก่ึงกลาง ความถ่ี

1 x1 f1
2 x2 f2
k xk fk

เรือ่ งสถติ ิ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ิตบางแกว้

26

x= f1x1  f2x2  f3x3  ...  fk xk k =  fx
f1  f2  f3  ...  fk f
 fi xi

= i1

N

การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณติ แบบคดิ ลดั x = A +  fd 
 I
 N 

โดย A = ค่าเฉลี่ยสมมติ (ซ่ึงเทา่ กับจุดกึ่งกลางของอันตรภาคช้นั ใดชน้ั หน่งึ )
I = ความกว้างของอันตรภาคชัน้
d = เปน็ ค่าทีก่ าหนดขึน้ มาดังน้ี
- ในอนั ตรภาคชั้นของค่าเฉลย่ี สมมติ จะได้ d = 0
- ในอันตรภาคชน้ั ทนี่ ้อยกว่าอันตรภาคชนั้ ของค่าเฉลีย่ สมมตจิ ะได้
d = -1 , -2 , -3 , … , -p โดยนบั จากอนั ตรภาคชัน้ ท่ีอย่ใู กลแ้ ละ
ถัดออกไปเรือ่ ย ๆ ของอนั ตรภาคชั้นของคา่ เฉล่ยี สมมติ
- ในอันตรภาคชนั้ ที่มากกวา่ อันตรภาคชน้ั ของคา่ เฉลยี่ สมมติจะได้
d = 1 , 2 , 3 , … , p โดยนบั จากอันตรภาคชัน้ ทอ่ี ยใู่ กล้และถัดออกไป
เร่อื ย ๆ ของอนั ตรภาคชน้ั ของค่าเฉลี่ยสมมติ
- เพือ่ ใหก้ ารคานวณโดยใชส้ ูตรน้ีรวดเร็วขนึ้ จงึ มักจะเลอื กค่าเฉล่ียสมมติ A
ตรงกบั อันตรภาคชนั้ ท่ีมีความถี่มากๆ เพ่อื ทาให้ผลคณู fd ในอันตรภาคช้ัน
เท่ากบั 0 (เพราะวา่ d = 0)

สมบัติของค่าเฉลี่ยเลขคณติ

1. x = N x
2. (x– x ) = 0
3. (x–a)2 มีค่าน้อยท่สี ุดกต็ ่อเมอ่ื a = x และ (x– x )2 ≤ (x–a)2 เมื่อ a เป็นจานวนจริงใด ๆ
4. xmin < x < xmax
5. ถา้ x แทนคา่ ในข้อมลู ชดุ หนึง่ และ y แทนคา่ ในขอ้ มลู อกี ชุดหนึง่

โดยท่ี y = ax + b เม่ือ a และ b เป็นคา่ คงตัว
หรอื y = a x + b

หมายเหตุ : ในเชงิ สถิติชนั้ สงู จะแยกเป็นประชากรกบั กล่มุ ตัวอยา่ ง แต่วธิ ีการหาเหมือนกนั ดังน้ี

ขอ้ มูล จานวน คา่ เฉลี่ยเลขคณติ การคานวณ ขอ้ มูลท่แี จกแจงความถี่

ประชากร N N k
กลมุ่ ตัวอย่าง n
  xi  fi xi
i 1
N i 1
n
N
x  xi
i 1 n
n
 fi xi

i 1

n

เรอ่ื งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ิตบางแก้ว

27
ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มลู 4 , 5 , 5 , 6 , 10

ตวั อย่างท่ี 2 กาหนดขอ้ มูล 2 , 4 , 6 , 10 , 15 , 17 จงหาค่า a ท่ที าให้ (x–a)2 มคี า่ นอ้ ยท่สี ุด
เมอ่ื x แทนคา่ ในขอ้ มลู ชุดนี้

ตวั อย่างที่ 3 ข้อมลู ชดุ หนึ่งมคี า่ เฉลยี่ เลขคณติ เท่ากบั 5 เวลาตอ่ มาทราบว่าผคู้ านวณได้อ่านข้อมลู ผิดพลาดไป
หนง่ึ คา่ คอื ค่าทีถ่ กู ต้องเปน็ 3 แตอ่ ่านผดิ เป็น 8 ถ้าค่าเฉลย่ี เลขคณิตท่ีถกู ต้องเท่ากับ 4.5 จงหาวา่ ขอ้ มลู ชดุ นีม้ กี ีจ่ านวน

ตัวอย่างที่ 4 สมุ่ ตัวอย่างผลการสอบวิชาภาษาไทยและคณติ ศาสตรข์ องนกั เรยี นมาห้องหนง่ึ
ถ้าให้ x แทนคะแนนสอบวชิ าภาษาไทยของนักเรียนแต่ละคน
y แทนคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรยี นแต่ละคน
โดยท่ี y = 2x–5 จงหาค่าเฉล่ยี ของคะแนนวิชาคณติ ศาสตร์ ถ้าค่าเฉลี่ยของวชิ าภาษาไทยเท่ากับ 37

ตัวอย่างที่ 5 ครใู หน้ า้ หนกั วชิ าภาษาไทย ภาษาอังกฤษ วิทยาศาสตร์ และคณติ ศาสตร์ เปน็ 2 , 2 , 3 และ
ตามลาดบั ถ้าสมชายสอบทัง้ สวี่ ชิ าไดค้ ะแนน 80 , 78 , 72 และ 68 ตามลาดับ จงหาคะแนนเฉลย่ี ของสมชาย

ตวั อยา่ งที่ 6 คะแนนเฉลย่ี ของการสอบวิชาสถติ ขิ องนักเรียนกลุ่มตัวอยา่ งจานวน 50 คน เท่ากับ 41.28 ถ้า
คะแนนเฉลี่ยเฉพาะนักเรียนชายและเฉพาะนักเรียนหญิงเท่ากับ 48 และ 36 ตามลาดับ จงหาจานวนนักเรียนชายและ
จานวนนกั เรียนหญงิ ของนกั เรียนกลมุ่ น้ี

เรือ่ งสถติ ิ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ิตบางแก้ว

28

ตัวอยา่ งท่ี 7 จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูลต่อไปน้ี
ข้อมูล 5 7 10 12 รวม
ความถ่ี 4 6 5 5
fx

ตัวอย่างที่ 8 จากการสารวจนา้ หนกั ของคนกลมุ่ หน่งึ ไดข้ ้อมูลดงั ตารางตอ่ ไปน้ี

น้าหนัก (กิโลกรัม) จานวน (คน) จดุ ก่งึ กลางชัน้ (x) fx

60–62 5

63–65 10

66–68 13

69–71 9

72–74 3

รวม

จงหาน้าหนักเฉลย่ี ของคนกล่มุ น้ี โดยวธิ ีธรรมดา

ตวั อย่างที่ 9 จงหาคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของข้อมูลจากตารางต่อไปน้ี โดยวธิ ีคิดลดั

อันตรภาคช้ัน f จดุ กง่ึ กลางชน้ั (x) x – A f(x – A)

21–30 3

31–40 6

41–50 8

51–60 10

61–70 7

71–80 4

81–90 2

รวม

เร่ืองสถติ ิ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแกว้

29

แบบฝกึ หดั 4.1

1. จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของตวั อยา่ งท่แี จกแจงความถี่แลว้ จากตารางตอ่ ไปนี้
x 55 65 75 85 95 รวม
f 8 12 16 14 10

2. ข้อมูลชุดหน่ึงมี 20 จานวน ค่าเฉล่ียของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ 4 แต่ปรากฏว่าผู้คานวณอ่านผิดไป 2 จานวน คือค่าท่ี
ถูกต้อง 0.8 และ 3.0 อา่ นเป็น 8.0 และ 0.3 ตามลาดับ จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณติ ทถ่ี ูกตอ้ งของข้อมลู ชดุ นี้

3. จากการสารวจกลุ่มตัวอย่างซึ่งเป็นนักเรียน 5 คน พบว่าคนท่ีมีอายุมากกว่าคนท่ีมีอายุน้อยที่สุด 2 ปี มีจานวน 1
คน คนที่มีอายุมากกว่าคนท่ีมีอายุน้อยท่ีสุด 4 ปี มีจานวน 2 คน และคนท่ีมีอายุมากกว่าคนที่มีอายุน้อยท่ีสุด 5
ปี มจี านวน 1 คนจงหาวา่ อายุเฉลย่ี ของคนกลุ่มนี้จะมากกวา่ คนทม่ี ีอายนุ ้อยทส่ี ดุ กี่ปี

4. ถ้าค่าเฉลี่ยของน้าหนักของนักเรียน 50 คน เท่ากับ 42 กิโลกรัม ลิฟต์ตัวหน่ึงสามารถรับน้าหนักได้มากท่ีสุด
200 กโิ ลกรัมต่อเท่ียว จงหาจานวนเทีย่ วท่ีนอ้ ยท่สี ดุ ท่จี ะใชล้ ฟิ ตน์ านักเรยี นข้นึ ไปไดท้ กุ คน

5. ครรู วมคะแนนสอบของนกั เรยี น 30 คน ได้เทา่ กับ 570 คะแนน ตอ่ มาครทู าขอ้ สอบของนายแดงหายไป แต่เม่ือหา
ค่าเฉลี่ยของคะแนนข้อสอบท่ีเหลอื พบวา่ ค่าเฉลี่ยของคะแนนยงั คงเทา่ เดมิ จงหาคะแนนสอบของนายแดง

6. กาหนดขอ้ มูล 11 , 13 , 15 , 14 , 17 , 17 , 18 จงหาจานวนทน่ี ้อยท่ีสุดของ (x – a)2 เม่ือ a เป็นจานวน
จรงิ ใด ๆ

7. กาหนดข้อมูล (x) ดังนี้ 3 , 5 , 6 , 5 , 5 , 4 , 5 , 8 , 6 , 5 , 4 , 8 , 3 , 4 , 5 , 3 , 7 , 6 ,
5 , 3 จงหาคา่ เฉล่ียของขอ้ มูลใหม่ (y) ซง่ึ มเี งอ่ื นไข y = 2x + 7

เร่ืองสถติ ิ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแก้ว

30

8. จากตารางแสดงความสงู ของนักเรียนจานวน 40 คน จงหาความสงู เฉลีย่ แบบธรรมดา

ความสูง(ซม.) จานวน(คน) จดุ กึง่ กลางชั้น (x) fx

118–126 3

127–135 5

136–144 9

145–153 12

154–162 7

163–171 4

รวม

9. จงหาคา่ เฉลย่ี ของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี โดยใช้แบบคดิ ลดั

อันตรภาคช้ัน f d fd

12–22 3

23–33 4

34–44 5

45–55 9

56–66 10

67–77 9

78–88 5

89–99 2

รวม

10. ครูให้นา้ หนักการสอบของวิชาภาษาไทย ภาษาอังกฤษ และคณิตศาสตร์เป็น 3 , 3 และ 4 ตามลาดับ แดงสอบ
ไดค้ ะแนน 75 , 80 และ 87 ตามลาดับ จงหาคะแนนเฉล่ยี ของแดง

11. สมชายเรียนวิชาสถิติซึ่งตลอดภาคเรียนมีการสอบ 4 คร้ัง สองครั้งแรกมีน้าหนักเท่ากัน และสองครั้งหลังมีน้าหนัก
เท่ากันและเท่ากับสองเท่าของสองครั้งแรกถ้าสมชายได้คะแนน 54 , 58 , 70 และ 78 ตามลาดับ จงหาคะแนน
เฉลยี่ ของสมชาย

เรือ่ งสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแกว้

31
12. สุ่มเลือกร้านขายเน้ือแห่งหน่ึง พบว่าขายเนื้อสันในกิโลกรัมละ 85 บาท ขายได้ 12 กิโลกรัม ขายเน้ือสันนอก

กโิ ลกรมั ละ 65 บาท ขายได้ 10 กโิ ลกรมั และขายเน้ือสะโพกกิโลกรัมละ 55 บาท ขายได้ 18 กิโลกรัม จงหาว่า
ร้านแห่งนขี้ ายเน้ือสัตวเ์ ฉลย่ี กิโลกรัมละเท่าใด

13. ครูประกาศผลสอบวิชาวิทยาศาสตร์ของนักเรียน 3 กลุ่ม กลุ่มท่ี 1 , 2 และ 3 มีนักเรียน 32 , 25 และ 17 คน
ตามลาดับ ซงึ่ ไดค้ ะแนนเฉลย่ี 79 , 74 และ 82 ตามลาดับ จงหาคะแนนเฉลี่ยของนักเรียนท้งั หมด

14. สุ่มตัวอย่างโรงเรียนแห่งหน่ึง พบว่าต้องจ่ายเงินเดือนให้ครูเฉลี่ยคนละ 15,000 บาท ถ้าคิดเฉพาะครูชายเฉล่ียแล้ว
คนละ 15,600 บาท และเฉพาะครหู ญงิ เฉลีย่ แลว้ คนละ 12,600 บาท จงหามคี รูชายและครหู ญงิ คดิ เปน็ กี่เปอร์เซ็นต์

15. จากการทดลองจับเวลาการวง่ิ ระยะทาง 1,500 เมตร ของนักกรีฑาจานวน 200 คน พบว่าเวลาเฉลี่ยที่ใช้ใน
การวิ่งเท่ากับ 60.96 วินาที ถ้าคิดเฉพาะนักกรีฑาชายเฉล่ียเท่ากับ 57.30 วินาที และเวลาเฉลี่ยของนัก
กรีฑาหญงิ เท่ากบั 63.40 วินาที จงหาจานวนนกั กรีฑาชายและนกั กรีฑาหญงิ

16. สุ่มตัวอย่างนักเรียนมาห้องหน่ึง พบว่า มีน้าหนักเฉล่ียเท่ากับ 50 กิโลกรัม น้าหนักเฉล่ียของนักเรียนชายเท่ากับ
55.50 กิโลกรัม และน้าหนักเฉล่ียของนักเรียนหญิงเท่ากับ 44.50 ถ้ามีนักเรียนหญิงจานวน 20 คน จงหาจานวน
นกั เรียนชาย

17. จากการตรวจนับเงินในกระเป๋านักเรียนชาย 40 คน และหญิง 60 คน พบว่ามีเงินรวมกัน 18,630 บาท และ
คา่ เฉลี่ยของเงินกลุ่มนักเรียนหญิงมีค่าน้อยกว่าค่าเฉลี่ยของเงินกลุ่มนักเรียนชาย 10 บาท จงหาค่าเฉลี่ยของเงินกลุ่ม
นกั เรยี นชายและค่าเฉลี่ยของเงนิ กลุ่มนกั เรยี นหญงิ

เรอ่ื งสถิติ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแกว้

32

2. มธั ยฐาน (Median)
มธั ยฐานของข้อมูล คือคา่ ทมี่ ีตาแหน่งอยู่กึ่งกลางของข้อมูลท้ังหมด โดยเรียงลาดับค่าในข้อมูลจากน้อย

ท่ีสุดไปหามากท่ีสุด (หรือจากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุด) น่ันคือมัธยฐานเป็นค่าท่ีแสดงให้ทราบว่ามีจานวนข้อมูลท่ี
มากกว่าและน้อยกว่าค่ามัธยฐานอยู่เท่า ๆ กัน หรือมัธยฐานเป็นค่าที่แบ่งข้อมูลที่เรียงลาดับแล้วออกเป็น 2 ส่วนเท่า ๆ
กัน ในที่น้เี ราจะใช้สญั ลักษณ์ Md แทนมัธยฐาน

จุดเด่นของการใช้ค่ามัธยฐาน คือเป็นค่าที่เหมาะสมท่ีจะนาไปใช้เป็นค่ากลางของข้อมูลเมื่อข้อมูลนั้น ๆ
มคี า่ ใดค่าหน่งึ หรือหลายคา่ สงู หรือตา่ กว่าคา่ อืน่ ๆ มาก หรอื ตอ้ งการทราบวา่ คา่ ที่เป็นไปไดค้ ่าใดของข้อมูลนั้นๆ มีจานวน
คา่ สงั เกตท่ีมากกวา่ และน้อยกวา่ ค่าน้อี ย่ปู ระมาณเทา่ ๆ กัน

กาหนดขอ้ มลู ซ่ึงเปน็ ความสูง (ซม.) ของนกั กรีฑาโรงเรียน ดังรปู

ความสูง 170 172 175 181 185 เซนตเิ มตร



Md = 175

กาหนดข้อมลู ซง่ึ เปน็ ความสูง (ซม.) ของนกั เทนนิสโรงเรียน ดังรปู

ความสูง 168 170 172 176 179 182 เซนติเมตร


172 176
Md = 2 = 174
2.1 กรณขี อ้ มลู ที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถี่

จากความหมายมธั ยฐาน เราสามารถหามธั ยฐานของข้อมลู ไดต้ ามขนั้ ตอนดังน้ี

1. เรยี งลาดบั ค่าในข้อมลู ในกรณีทมี่ ีคา่ ของข้อมูลซ้ากนั ใหค้ ่าท่ีซา้ กนั นัน้ เรียงตดิ กนั

2. หาตาแหนง่ มธั ยฐาน ถ้าข้อมลู มีท้ังหมด N ตัว จะได้ตาแหนง่ มธั ยฐาน = N 1

2

3. กรณีท่ี N เปน็ จานวนค่ี มธั ยฐาน = คา่ ในข้อมูลทอ่ี ยู่ในตาแหนง่ N 1

2

4. กรณีที่ N เปน็ จานวนคู่ มัธยฐาน = ค่าเฉลย่ี ของค่าในขอ้ มลู ที่อยูใ่ นตาแหนง่ ที่ N และ N + 1

22

ข้อสงั เกต
1. ถ้า N เปน็ จานวนค่ี แล้วมัธยฐานจะเปน็ คา่ ในขอ้ มลู นน้ั
2. ถ้า N เป็นจานวนคู่ แล้วมธั ยฐานอาจจะเปน็ หรือไม่เป็นคา่ ในขอ้ มูลน้ันก็ได้

เรอ่ื งสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแกว้

33

2.2 กรณขี อ้ มลู ทีแ่ จกแจงความถี่

ตาแหน่งมัธยฐานของข้อมูลทจี่ ัดเปน็ หมวดหมู่เท่ากับ N เม่อื N เปน็ ผลรวมของความถ่ี (f = N)
2
ช้ันมธั ยฐาน (median class) หมายถงึ อนั ตรภาคชน้ั ซึ่งมคี ่าของมธั ยฐานอยใู่ นชัน้ น้นั

Md = L + [ N – F] [ I ]
2 fm

เมื่อ L = ขอบล่างของชัน้ มัธยฐาน

N = ตาแหน่งของมัธยฐาน
2
F = ความถสี่ ะสมของอันตรภาคชนั้ ทม่ี ีคา่ น้อยกว่าและอยูต่ ิดกับชน้ั มธั ยฐาน

I = ความกวา้ งของชัน้ มธั ยฐาน

fm = ความถข่ี องชนั้ มัธยฐาน

สมบัติของมธั ยฐาน
1. ผลรวมของคา่ สัมบูรณ์ของผลต่างระหว่างค่าในข้อมูลแต่ละค่ากับค่าคงตัว จะมคี า่ น้อยท่ีสดุ

ก็ตอ่ เมื่อ คา่ คงตัวนน้ั เท่ากับมธั ยฐาน นั่นคือ ถา้ x แทนค่าในข้อมลู และ a แทนค่าคงตัว
แล้ว  |x–a| จะมีค่าน้อยทสี่ ดุ กต็ ่อเมอ่ื a = มธั ยฐาน
หรือ  |x–Md|   |x–a| เม่อื a เป็นจานวนใด ๆ

2. การเปลี่ยนแปลงค่าอืน่ ทไ่ี ม่ไดอ้ ยใู่ นตาแหน่งก่ึงกลางของขอ้ มูลไม่ทาให้มธั ยฐานเปลีย่ นไป
3. ข้อมลู ทจ่ี ัดเป็นหมวดหมู่ และอนั ตรภาคชน้ั แรกหรือช้ันสุดทา้ ยเปน็ อนั ตรภาคชัน้ เปดิ หรืออนั ตรภาค
ชั้นในข้อมลู แตล่ ะชั้นไม่เท่ากัน สามารถหามัธยฐานได้

ตวั อย่างท่ี 1 จงหามธั ยฐานของขอ้ มูล 3 , 7 , 6 , 3 , 8 , 5 , 9
วิธที า เรยี งลาดบั ในขอ้ มูล จะได้

ตาแหน่งของมัธยฐาน =
ดังนั้น มัธยฐาน =

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหามธั ยฐานของข้อมูล 10 , 8 , 6 , 4 , 8 , 5 , 9 , 3
วธิ ที า เรียงลาดบั ในขอ้ มูล จะได้

ตาแหน่งของมัธยฐาน =
ดงั น้นั มัธยฐาน =

เรอื่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ติ บางแกว้

34

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหามัธยฐานของอายุของนักเรยี นจานวน 50 คน

อายุ (ปี) 10 11 12 13 14 15

จานวน (คน) 9 12 10 8 7 4

ความถส่ี ะสม

วิธีทา หาความถ่สี ะสม

ตาแหนง่ ของมัธยฐาน =

ดงั นน้ั มัธยฐาน =

มธั ยฐานของอายนุ กั เรียน เท่ากับ ปี

ตัวอยา่ งที่ 4 จงหามธั ยฐานของน้าหนักของนกั เรยี นจานวน 100 คน

น้าหนัก (กก.) 35 36 38 40 42 45 48
20 14
จานวน (คน) 11 10 19 10 16

ความถ่สี ะสม

วธิ ที า หาความถส่ี ะสม

ตาแหนง่ ของมธั ยฐาน =

ดงั นน้ั มัธยฐาน =

มธั ยฐานของน้าหนกั นกั เรียน เทา่ กับ กิโลกรัม

ตัวอย่างที่ 5 กาหนดตารางแจกแจงความถ่ขี องข้อมูล ดังตอ่ ไปน้ี จงหามธั ยฐานของข้อมลู

อนั ตรภาคช้ัน ความถ่ี ความถส่ี ะสม วธิ ที า ให้ N = 60
93–97 2
98–102 5 จะได้ตาแหน่งมธั ยฐาน =
103–107 12 หาความถี่สะสม
108–112 17 จะได้ชั้นมธั ยฐาน คือ อนั ตรภาคช้นั

113–117 14 Md = L + [ – F] [ ]

118–122 6

123–127 3

128–132 1

รวม 60

เร่ืองสถติ ิ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ติ บางแก้ว

35

แบบฝกึ หดั 4.2

1. จงหามัธยฐานของขอ้ มูลที่กาหนดใหต้ อ่ ไปนี้
(1) 2 , 3 , 2 , 3 , 2 , 4 , 3 , 5 , 1, 2 , 3

(2) 53 , 50 , 43 , 52 , 54 , 56 , 41, 47 , 58, 62

2. จงหามัธยฐานของขอ้ มลู ทแี่ จกแจงความถ่ีต่อไปน้ี
xfF
11 1
12 2
13 8
14 5
15 4
16 1

3. จงหามธั ยฐานของคะแนนสอบวชิ าภาษาไทยของนักเรียน 50 คน ความถส่ี ะสม
อันตรภาคชั้น ความถี่
21–30 3
31–40 7
41–50 12
51–60 14
61–70 10
71–80 4
รวม

เรอ่ื งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแก้ว

36

3. ฐานนิยม (Mode)
ฐานนิยมเป็นค่ากลางของข้อมูลอีกชนิดหน่ึง ซ่ึงแตกต่างไปจากค่าเฉล่ียเลขคณิต แต่มีส่วนคล้ายกับ

มัธยฐานในด้านที่เป็นค่ากลางท่ีเก่ียวข้องกับค่าบางค่าในข้อมูลเท่าน้ัน ค่าอ่ืน ๆ ในข้อมูลไม่มีส่วนเก่ียวข้องกับการ
คานวณหาฐานนยิ ม ในท่ีน้สี ญั ลกั ษณท์ ่ใี ชแ้ ทนฐานนิยมคอื Mo

3.1 กรณีข้อมลู ที่ไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี
ฐานนิยมของข้อมูลทีไ่ มไ่ ด้จัดหมวดหมู่ คือคา่ ในข้อมลู ที่มีความถีม่ ากท่สี ดุ

ข้อสังเกต
1. ในกรณีที่ทกุ ค่าในขอ้ มูลมีความถเี่ ท่ากนั ข้อมลู ชดุ นนั้ จะไมม่ ีฐานนยิ ม
2. ขอ้ มลู บางชุดอาจจะมฐี านนยิ มมากกวา่ 1 ค่ากไ็ ด้
3. ฐานนยิ มเปน็ ค่ากลางชนิดเดียวท่ีสามารถหาไดจ้ ากข้อมลู ประเภทคุณภาพ

3.2 กรณีขอ้ มลู ทแ่ี จกแจงความถี่

การหาฐานนิยมของข้อมูลท่ีจัดหมวดหมู่ เริ่มจากการหาอันตรภาคชั้นที่เรียกว่า ช้ันฐานนิยม

(modal class) เสียก่อน ชั้นฐานนิยมนี้ไม่จาเป็นต้องเป็นอันตรภาคชั้นท่ีมีความถ่ีมากท่ีสุด ท้ังน้ีข้ึนอยู่กับว่า ข้อมูลที่

กาหนดใหท้ กุ อันตรภาคช้นั มีความกวา้ งเทา่ กนั หรือไม่ ดังน้นั นักเรียนจงึ ต้องทาความเขา้ ใจเกย่ี วกบั ชั้นฐานนิยมเสียกอ่ น

ชนั้ ฐานนยิ ม หมายถึง อันตรภาคชน้ั ทม่ี ีฐานนยิ มอยใู่ นอันตรภาคชัน้ นนั้ และ เมอ่ื เราพิจารณา

ความกวา้ งของช้ันแต่ละชนั้ สามารถแบ่งออกเป็น 2 รปู แบบ ดังนี้

รปู แบบที่ 1 ถา้ ทุกอนั ตรภาคช้นั ในข้อมลู มีความกว้างเทา่ กัน ชัน้ ฐานนยิ มคอื ช้ันที่มคี วามถส่ี ูงสดุ

รูปแบบท่ี 2 ถ้าความกว้างของอันตรภาคช้ันไมเ่ ทา่ กนั หมดทุกช้ัน ชัน้ ฐานนิยมคือชนั้ ทมี่ คี า่ อตั ราส่วนของความถ่ี

ต่อความกวา้ งมากที่สดุ

รปู แบบท่ี 1 ความกว้างของอัตรภาคช้ันเทา่ กนั ทุกชน้ั

ความถี่ (f) ชั้นฐานนยิ ม

d1 d2

Mo = ฐานนยิ ม x

กาหนดให้ L = ขอบล่างของชนั้ ฐานนยิ ม

d1 = ความถข่ี องช้ันฐานนิยม – ความถ่ขี องชนั้ ตา่ กวา่ และตดิ กบั ชัน้ ฐานนยิ ม
d2 = ความถี่ของชนั้ ฐานนิยม – ความถี่ของชัน้ สงู กว่าและตดิ กับชัน้ ฐานนิยม

I = ความกวา้ งของชั้นฐานนิยม

เร่ืองสถติ ิ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแก้ว

จะได้ ฐานนิยม 37
Mo = L + ( d1 )(I)

d1  d2

รปู แบบท่ี 2 ความกวา้ งของอันตรภาคช้นั ไมเ่ ท่ากัน
ชั้นฐานนิยมของข้อมูลท่ีอันตรภาคช้ันไม่เท่ากัน หมายถึง อันตรภาคชั้นท่ีมีค่าอัตราส่วนของความถ่ีต่อความ

กว้างท่มี คี ่ามากท่ีสดุ

สมมติให้ D = f เม่อื f แทนความถ่ี และ I แทนความกวา้ งของอนั ตรภาคชน้ั

I

จะได้ ชัน้ ฐานนยิ ม คืออนั ตรภาคชั้นทม่ี ีคา่ D มากที่สดุ

f
D = I ชั้นฐานนิยม

D1 D2

Mo = ฐานนยิ ม x

ให้ L = ขอบลา่ งของชนั้ ฐานนยิ ม

I = ความกวา้ งของชน้ั ฐานนิยม

D1 = {คา่ D ของชัน้ ฐานนิยม} – {คา่ D ของชั้นท่นี ้อยกวา่ และตดิ กับชัน้ ฐานนยิ ม}
D2 = {คา่ D ของชนั้ ฐานนยิ ม} – {ค่า D ของชัน้ ท่มี ากกว่าและติดกับช้นั ฐานนิยม}

จะได้ ฐานนยิ ม Mo = L + ( D1 )(I)

D1  D2

สมบัตขิ องฐานนยิ ม
1. ฐานนิยมเปน็ คา่ กลางของข้อมูลทสี่ ามารถหาไดจ้ ากฮสิ โทแกรม
2. ฐานนิยมเป็นค่ากลางของข้อมูลที่พิจารณาความถ่ีที่มากท่ีสุด ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงค่าในข้อมูลโดยที่

ความถ่ขี องคา่ เหลา่ น้ันยังนอ้ ยกวา่ ความถ่ที ี่มากท่ีสดุ จะไม่ทาให้ฐานนยิ มเปลย่ี นแปลง
3. ในกรณีที่ข้อมูลชุดหน่ึงมีฐานนิยมมากกว่า 1 ค่า อาจหาตัวแปรเชิงคุณภาพอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้อง เช่น เพศ

ชนั้ เรยี น เปน็ ต้น มาเพอ่ื แบง่ ข้อมลู ออกเป็นคนละชุด เพื่อทาให้ขอ้ มลู แต่ละชุดมีฐานนิยมเพยี งค่าเดียว

เรอื่ งสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวินิตบางแกว้

38

ตวั อย่างที่ 1 จงหาฐานนยิ มของขอ้ มูลตอ่ ไปนี้ ฐานนยิ ม =
(1) 4 , 8 , 5 , 6 , 8 , 6 , 7 , 7 , 9 , 7 , 6 , 7 , 5 ฐานนยิ ม =
(2) 3 , 4 , 5 , 5 , 6 , 7 , 4 , 5 , 6 , 6 , 5 ,7 , 7 , 6 , 6 , 7 ฐานนยิ ม =
(3) 3 , 5 , 7 , 5 , 4 , 3 , 6 , 4 , 6 , 7 , 8 , 8 ฐานนยิ ม =
(4) 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7 , 7 , 7 , 9

ตวั อย่างที่ 2 ข้อมลู จากการสารวจสัตวเ์ ลี้ยงของชุมชนแหง่ หนึ่ง เปน็ ดงั นี้
สตั ว์เลย้ี ง จานวน(ครอบครัว)
ไก่ 20
หมู 18 จากตารางพบวา่ ฐานนยิ ม คือ
สนุ ขั 25 แสดงวา่
วัว 10
ควาย 8

ตัวอย่างท่ี 3 กาหนดข้อมลู ในตารางตอ่ ไปนี้ อนั ตรภาคช้นั ทุกชนั้ มคี วามกว้างเท่ากันหมด
(1) อันตรภาคช้นั ความถ่ี เท่ากบั
1–5 4 ความถม่ี ากท่สี ุด เทา่ กับ
6–10 6 ดังนน้ั ช้นั ฐานนยิ ม คือ
11–15 10
16–20 8 อันตรภาคชั้นทกุ ชัน้ มีความกวา้ งเทา่ กันหมด
เทา่ กบั
(2) อันตรภาคชัน้ ความถี่ ความถี่มากทสี่ ดุ เทา่ กบั
1–5 4 ดงั น้ัน ชน้ั ฐานนิยม คือ
6–10 8
11–15 6 อันตรภาคช้ันทกุ ช้นั มคี วามกวา้ งเท่ากนั หมด
16–20 8 เทา่ กบั
ความถีม่ ากที่สดุ เท่ากับ
(3) อนั ตรภาคชนั้ ความถี่ ดังนัน้ ช้ันฐานนยิ ม คือ
1–5 5
6–10 5
11–15 5
16–20 5

เรื่องสถติ ิ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแกว้

39

ตวั อย่างที่ 4 ตารางแสดงนา้ หนักของนักเรียนจานวน 100 คน ดังตอ่ ไปน้ี จงหาฐานนิยมของน้าหนักนักเรียน

น้าหนัก (กก.) จานวน (คน) วิธีทา

60–62 5

63–65 18

66–68 42

69–71 27

72–74 8

ตวั อยา่ งที่ 5 กาหนดอายุประชากรของชุมชนแหง่ หน่งึ จงหาฐานนิยมของอายปุ ระชากรในชุมชนน้ี
วิธที า จากข้อมูลทีก่ าหนดให้ สรา้ งตารางแจกแจงความถ่ีไดด้ ังนี้
อายุ (ปี) จานวน (คน) ความกว้าง (I) D = f/I วธิ ีทา
0-10 9
11-20 12
21-25 8
26-35 11
36–40 5

แบบฝกึ หดั 4.3

1. จงหาฐานนิยมของขอ้ มูลในขอ้ ต่อไปนี้
(1) 6 , 8 , 2 , 5 , 9 , 5 , 6 , 2 , 5 , 3
ดังนน้ั ฐานนยิ ม คอื
(2) 4 , 2 , 3 , 2 , 9 , 2 , 5 , 4 , 2 , 2, 9, 3, 6 , 2 , 9
ดังน้นั ฐานนยิ ม คือ

2. จงหาฐานนิยมของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียน จานวน 65 คน ซึ่งแต่ละคนได้คะแนนเป็นจานวนเต็ม
ดังต่อไปนี้
คะแนนนอ้ ยกวา่ 5 10 15 20 25 30
จานวน (คน) 0 2 13 39 56 65

เร่อื งสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ิตบางแกว้

40

3. จงหาฐานนยิ มของความสูงนักเรยี น จานวน 100 คน ดังน้ี

ความสงู (ซม.) จานวน (คน) I D

180–184 8

170–179 15

165–169 40

155–164 25

150–154 12

4. จงหาฐานนิยมของขอ้ มูลจากตารางแจกแจงความถี่ดงั ตอ่ ไปนี้
อนั ตรภาคช้ัน ความถี่
10–19 3
20–29 8
30–39 17
40–49 22
50–59 25
60–69 10
70–79 6

5. คะแนนสอบวิชาหน้าท่ีพลเมืองของนักเรยี น 30 คน ดงั ตารางแจกแจงความถี่ จงหาฐานนิยมของตารางแจกแจง
ความถตี่ อ่ ไปน้ี

อันตรภาคชนั้ ความถ่ี
10–15 3
16–21 3
22–27 12
28–33 8
34–39 4

เรื่องสถิติ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแก้ว

41

4. ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งคา่ เฉลยี่ เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนยิ ม
ถ้าเราจะพิจารณาเส้นโค้งของความถี่ของข้อมูลใน 3 ลักษณะ ต่อไปน้ี ค่าเฉล่ียเลขคณิต มัธยฐาน

และฐานนยิ ม จะมคี วามสัมพันธ์กนั ในเรอ่ื งตาแหน่ง กล่าวคือ
ลักษณะท่ี 1 เส้นโค้งปกติ หมายถึง เส้นโค้งของความถี่ของข้อมูลมีค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม

จะมคี า่ เทา่ กันหรอื ใกลเ้ คียงกัน
f Mean = Median = Mode

x

ค่าเฉลี่ยเลขคณติ = มัธยฐาน = ฐานนิยม

ลักษณะที่ 2 เสน้ โค้งเบข้ วา หมายถงึ เสน้ โคง้ ของความถ่ขี องขอ้ มูลสว่ นใหญม่ คี า่ น้อย

f Median
Mode Mean

x

ฐานนิยม < มัธยฐาน < ค่าเฉลย่ี เลขคณติ

ลกั ษณะที่ 3 เส้นโคง้ เบ้ซ้าย หมายถงึ เส้นโคง้ ของความถีข่ องข้อมูลส่วนใหญ่มคี ่ามาก
f Median
Mean Mode

x
คา่ เฉลี่ยเลขคณติ < มธั ยฐาน < ฐานนยิ ม

ข้อสงั เกต ข้อมูลใดท่ีมีเส้นโค้งของความถ่ีเป็นเส้นปกติ จะมีลักษณะสมมาตร โดยมีชั้นมัธยฐานหรืออันตร
ภาคชั้นตรงกลางเป็นแกนสมมาตร

เรือ่ งสถติ ิ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแกว้

42
ในกรณที ข่ี ้อมลู มเี สน้ โค้งของความถเี่ ป็นเส้นโค้งปกติหรอื ใกลเ้ คยี งกับเส้นโคง้ ปกติ กล่าวคือเส้นโค้งของความถี่
มีลักษณะเบ้น้อยๆ หรืออาจกล่าวได้ว่า ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และฐานนิยม มีค่าต่างกันไม่มากนั้น ค่าของ
ข้อมูลทง้ั สามจะมีความสมั พนั ธก์ นั ดงั น้ี

คา่ เฉลี่ย – ฐานนยิ ม = 3(ค่าเฉล่ีย – มธั ยฐาน)

หรือข้อมลู ระดบั กล่มุ ตวั อยา่ ง

x – Mo = 3( x – Md)

ขอ้ สังเกตและหลกั เกณฑ์ที่สาคัญในการใชค้ ่ากลางชนดิ ตา่ ง ๆ

1. คา่ ฉลยี่ เลขคณิต ( x ) เป็นคา่ กลางท่ไี ดจ้ ากการนาทุก ๆ ค่าของข้อมูลมาเฉล่ีย แต่มัธฐานและฐานนิยมเป็น

เพียงคา่ กลางทใี่ ช้ตาแหนง่ ท่ขี องข้อมูลบางคา่ เทา่ น้ัน

2. ถ้าในจานวนข้อมูลทั้งหมดมีบางค่าท่ีมีค่าสูงหรือต่ากว่าข้อมูลอ่ืน ๆ มาก จะมีผลกระทบต่อค่าเฉลี่ยเลขคณิต

คืออาจจะทาใหค้ า่ เฉล่ียเลขคณิตมคี ่าสงู หรือต่ากว่าขอ้ มลู ทีม่ ีอยสู่ ่วนใหญ่ แตไ่ ม่มผี ลกระทบต่อมธั ยฐานและฐานนิยม

3. มัธยฐานและฐานนิยม ใช้เมื่อต้องการทราบค่ากลางของข้อมลู ทั้งหมดโดยประมาณและรวดเร็ว ทั้งน้ีเนื่องจาก

มัธยฐานและฐานนยิ มบางวธิ ไี มต่ อ้ งมกี ารคานวณ แต่อาจใชเ้ วลามาก

4. ถ้าการแจกแจงความถีข่ องข้อมูลประกอบด้วยอันตรภาคชั้นที่มีช่วงเปิด อาจเป็นข้ันต่าหรือสูงสุดช้ันใดชั้นหนึ่ง

หรือสองชน้ั ไมส่ ามารถหาคา่ เฉลยี่ เลขคณิตได้ แต่สามารถหามธั ยฐานและฐานนิยมได้

5. การแจกแจงความถ่ีของขอ้ มูลทีม่ คี วามกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคช้ันไม่เท่ากัน อาจจะมผี ลทาให้การหาค่าเฉล่ีย

เลขคณติ หรือฐานนิยมคลาดเคลอื่ นไปจากทคี่ วรจะเปน็ แต่ไมม่ ผี ลกระทบกระเทอื นต่อการหามธั ยฐาน

6. มัธยฐานและฐานนยิ มสามารถหาได้โดยใชก้ ราฟ แต่คา่ เฉลีย่ เลขคณติ หาจากกราฟของข้อมูลไม่ได้

7. ในกรณีที่ข้อมูลเป็นประเภทข้อมูลคุณภาพ จะสามารถหาค่ากลางได้เฉพาะฐานนิยมเท่านั้น แต่ไม่สามารถ

หาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตหรือมธั ยฐานได้

8. หากจาเปน็ ต้องการหาค่ากลางของข้อมูลแบบครา่ ว ๆ และเสยี เวลาน้อยอาจใช้วิธกี ารหา

คา่ กึ่งกลางพสิ ยั (mid – rang) = คา่ สงู สุดของขอ้ มลู + ค่าต่าสดุ ของขอ้ มูล
2

ขอ้ ดีและข้อเสียของคา่ กลางชนดิ ตา่ ง ๆ

1. คา่ เฉล่ียเลขคณติ ( x )

ข้อดี ข้อเสยี

1. สามารถคานวณไดง้ ่าย ขน้ั ตอนของการคานวณ 1. ถา้ มขี อ้ มูลในชุดท่ีแตกต่างจากขอ้ มูลตัวอน่ื มากจะมี

ไมส่ ลับซับซ้อน ผลกระทบต่อคา่ เฉลยี่ เลขคณติ

2. ขอ้ มูลทกุ ตัวถกู ใชใ้ นการคานวณ 2. ถา้ เปน็ ข้อมลู เชิงคุณภาพไม่สามารถหาได้

3. เป็นท่แี พร่หลาย และส่วนใหญใ่ ชเ้ ป็นค่ากลาง 3. คา่ ทค่ี านวณได้ไม่จาเป็นตอ้ งเปน็ คา่ ของข้อมูลตวั ใด

ตวั หนง่ึ เสมอไป

เรื่องสถิติ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวินิตบางแก้ว

43

2. มธั ยฐาน (Md) ขอ้ เสีย
ขอ้ ดี 1. ไมเ่ หมาะกับงานทางสถติ ขิ ้ันสงู
2. ถา้ เป็นข้อมลู เชงิ คุณภาพไม่สามารถหาได้
1. งา่ ยต่อการคานวณ 3. ถ้ามขี ้อมูลเปน็ จานวนมาก การจดั เรยี งขอ้ มูลจะทา
2. ถา้ ข้อมูบางตัวผิดปกติไปบ้างกไ็ ม่มผี ลกระทบ
ค่อนข้างลาบาก
ตอ่ การหาค่ามธั ยฐาน
ข้อเสีย
3. ฐานนยิ ม (Mo) 1. ไม่เหมาะกับงานทางสถติ ิข้ันสงู
ขอ้ ดี 2. ขอ้ มูลบางชดุ อาจไมม่ ีฐานนิยม
3. ขอ้ มูลบางชุดอาจมฐี านนิยมมากกวา่ 1 คา่
1. สามารถหาไดท้ นั ที ไม่ย่งุ ยาก
2. ถา้ ข้อมูบางตัวผดิ ปกตไิ ปบ้างก็ไม่มีผลกระทบ

ตอ่ การหาค่ามัธยฐาน
3. ใช้ได้ท้งั ขอ้ มลู เชงิ ปริมาณ และข้อมลู เชิง

คุณภาพ

การใชค้ ่ากลางชนิดตา่ ง ๆ
1. ค่าเฉล่ยี เลขคณิต ( x ) ควรใช้เม่ือ
1) ข้อมลู แต่ละตวั ไม่แตกต่างกันมากจนเกนิ ไป
2) ต้องการวัดการกระจายทน่ี ้อยทสี่ ดุ
3) ตอ้ งการหาค่าเฉลีย่ ทีถ่ กู ต้องและแนน่ อนมากทสี่ ุด
4) ตอ้ งการใช้งานในสถิติขั้นสงู
2. มธั ยฐาน (Md) ควรใช้เมอื่
1) ตอ้ งการทราบคา่ เฉลย่ี อยา่ งหยาบ ๆ และรวดเรว็
2) มีขอ้ มลู บางตัวผดิ ปกตไิ ป เชน่ อาจสงู หรอื ตา่ เกินไป
3) ตอ้ งการทราบว่าขอ้ มูลใดบา้ งที่มีคา่ ต่าหรอื สงู กวา่ มาตรฐาน
4) ตอ้ งการใช้งานในสถติ ิขน้ั สงู
3. ฐานนิยม (Mo) ควรใชเ้ ม่อื
1) ต้องการทราบวา่ ขอ้ มูลใดมีความถ่สี งู สดุ หรอื ซ้ากนั มากท่ีสดุ
2) ตอ้ งการทราบค่าเฉล่ียอยา่ งหยาบ ๆ และรวดเร็ว

เร่ืองสถติ ิ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแกว้

44

แบบฝกึ หดั 4.4

1. จงเขียนเส้นโคง้ ของความถขี่ องข้อมลู พร้อมทง้ั บอกลักษณะ จากค่ากลางตอ่ ไปนี้

(1) x = 40 (2) x = 40 (3) x = 72

Md = 40 Md = 45 Md = 68

Mo = 40 Mo = 50 Mo = 55

ลักษณะเส้นโคง้ ลักษณะเส้นโค้ง ลกั ษณะเสน้ โคง้

2. จงเขยี นตาแหน่งของ x , Md , Mo กากับ(โดยประมาณ) ในกราฟท่ีกาหนดให้ต่อไปนี้

3. จงเลอื กคา่ กลางทเ่ี หมาะสม โดยใช้ “” ลงในช่องของค่ากลาง จากขอ้ มูลตอ่ ไปนี้ ฐานนิยม
ขอ้ มูล คา่ เฉลยี่ มธั ยฐาน

(1) อายุเฉลย่ี ของนกั เรยี นในหอ้ งเรียน
(2) อาชีพของผปู้ กครองนักเรยี นในโรงเรียน
(3) รายได้ของประชากรในประเทศไทย
(4) ขนาดของรองเทา้ ของนกั เรียนในหอ้ ง
(5) ยอดขายของรถยนต์สว่ นบุคคลย่หี ้อตา่ ง ๆ
(6) ระดบั ทางการศกึ ษาของครูในโรงเรียน
(7) จานวนประชากรที่นบั ถือศาสนาต่าง ๆ
(8) คะแนนสอบของนักเรยี นซ่งึ มคี วามแตกต่างกันไม่มากนกั

4. กาหนดให้ เสน้ โค้งของความถ่ขี องขอ้ มลู เปน็ เสน้ โคง้ ปกติ จงหาคา่ กลางที่เหลือ

(1) x = 72 , Md = 71 , Mo = ? (2) Md = 55 , Mo = 55 , x = ?

เรื่องสถติ ิ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินิตบางแก้ว

45

ศกึ ษาค้นคว้าดว้ ยตนเอง (กจิ กรรมพิชติ O-NET)

ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาค้นคว้าโจทย์ O-NET ยอ้ นหลงั เกยี่ วกบั เรอ่ื งท่เี รยี นมาโดยลอกโจทยแ์ ละแสดงวิธที า
จานวน 4 ข้อ

เรือ่ งสถติ ิ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแกว้

46

บทที่ 5 การวดั ตาแหนง่ ทข่ี องขอ้ มลู

การวัดตาแหนง่ หรอื ตาแหนง่ สมั พัทธ์ของขอ้ มลู (measures of relative standing)
ถ้ามีนักเรยี นคนหนึ่งบอกกบั เราว่า เขาสอบไดท้ ี่ 10 เราคิดวา่ นักเรยี นคนนน้ั สอบไดท้ ี่ดหี รือตาแหนง่ ทด่ี ีหรือไม่
คาถามเช่นน้ีคงจะให้คาตอบไม่ได้ เพราะเราไม่มีข้อมูลอื่นมาประกอบการพิจารณา เช่น ถ้าเรารู้ว่ามีนักเรียนเข้า

สอบ 50 คน ก็ถือว่านกั เรยี นคนนส้ี อบได้ตาแหนง่ ทคี่ อ่ นข้างดี แตถ่ ้ามีนกั เรียนเข้าสอบเพียง 15 คน ก็ถือว่านักเรียนคน
นสี้ อบไดต้ าแหน่งท่ไี ม่ดี เป็นตน้

ในทานองเดยี วกนั ถา้ บอกวา่ สมชายสอบวิชาสถิติได้คะแนน 70 คะแนน นักเรียนคิดว่าผลการเรียนของสมชาย
เป็นอยา่ งไร หรือไดต้ าแหนง่ ทเี่ ทา่ ใด ถ้าเราไม่ทราบคะแนนของนักเรียนคนอ่ืน ๆ ในกล่มุ เดยี วกันคงจะบอกผลการเรียน
หรอื ตาแหนง่ ท่ขี องสมชายไม่ได้

ในหัวเรื่องนี้มุ่งท่ีจะให้นักเรียนได้เรียนรู้ถึงวิธีการที่จะบอกตาแหน่งท่ีของค่าใดค่าหน่ึงของข้อมูลว่าเป็นเช่นไร
ตาแหนง่ ทด่ี หี รือไม่

การวดั ตาแหน่งของขอ้ มลู มดี ้วยกัน 3 วิธี คือ
1. ควอร์ไทล์ (Quartile)
2. เดไซล์ (Decile)
3. เปอร์เซ็นไทล์ (Percentile)

และในทางกลับกัน ถ้าเราทราบตาแหน่งของควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ เราก็สามารถคานวณหาค่าที่
ตรงกบั ตาแหนง่ ทตี่ รงกบั ตาแหน่งนน้ั ๆ ได้

1. เปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทล์ (percentile) เปน็ ค่าทีเ่ กดิ จากการแบง่ ขอ้ มูลออกเป็น 100 สว่ นเทา่ ๆ กนั เมอ่ื ข้อมูล

ถูกเรยี งจากค่านอ้ ยไปหามาก จะมคี า่ ทต่ี ้องการทราบในตาแหน่งตา่ ง ๆ ทัง้ หมด 99 คา่

เรียกวา่ เปอร์เซน็ ต์ไทลท์ ่ี 1 ใช้สัญลักษณ์ P1
เปอร์เซ็นต์ไทลท์ ่ี 2 ใชส้ ญั ลกั ษณ์ P2
เปอร์เซน็ ต์ไทล์ที่ 3 ใชส้ ญั ลักษณ์ P3
...

เปอรเ์ ซ็นต์ไทล์ที่ 99 ใช้สัญลักษณ์ P99 หรือ

นอ้ ย มาก

P1 P2 P3 P4 P96 P97 P98 P99
ความหมายของเปอรเ์ ซน็ ตไ์ ทล์

เปอรเ์ ซน็ ต์ไทลท์ ี่ k (Pk) คอื คา่ ทมี่ จี านวนขอ้ มูลนอ้ ยกวา่ ค่านีอ้ ยปู่ ระมาณ kในรอ้ ย (k%) ของข้อมูล
ทั้งหมด

เรื่องสถติ ิ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแกว้

47

2. เดไซล์ (decile) เปน็ คา่ ทเี่ กดิ จากการแบ่งข้อมูลออกเป็น 10 ส่วนเทา่ ๆ กนั เม่อื ข้อมลู ถกู เรยี งจากค่า
นอ้ ยไปหามาก จะมคี ่าทต่ี อ้ งการทราบในตาแหนง่ ตา่ ง ๆ ทงั้ หมด 9 ค่า

เรียกว่า เดไซลท์ ่ี 1 ใชส้ ญั ลักษณ์ D1
เดไซลท์ ่ี 2 ใช้สัญลกั ษณ์ D2
...
เดไซลท์ ี่ 9 ใชส้ ญั ลักษณ์ D9 หรือ

นอ้ ย มาก
D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9

ความหมายของเดไซล์
เดไซล์ที่ k (Dk) คอื ค่าท่ีมีจานวนขอ้ มูลน้อยกว่าคา่ นี้อยปู่ ระมาณ k ในสิบของข้อมูลท้งั หมด

3. ควอรไ์ ทล์ (quartile) เป็นค่าท่ีเกดิ จากการแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กนั เมอ่ื ข้อมูลถูกเรียงจากค่า

น้อยไปหามาก จะมีคา่ ท่ีต้องการทราบในตาแหน่งตา่ ง ๆ ท้ังหมด 3 ค่า

เรียกวา่ ควอร์ไทล์ที่ 1 ใชส้ ัญลักษณ์ Q1 หรือ
ควอร์ไทล์ที่ 2 ใชส้ ญั ลกั ษณ์ Q2
ควอรไ์ ทล์ที่ 3 ใชส้ ัญลักษณ์ Q3

นอ้ ย มาก

Q1 Q2 Q3

สรุปขั้นตอนในการหาตาแหนง่ ทีข่ องขอ้ มลู

กาหนดขอ้ มูล ซงึ่ มคี ่าในข้อมลู ท้ังหมด n คา่

1. เรียงลาดบั คา่ ในข้อมูล จากนอ้ ยไปมาก

2. หาตาแหน่ง Qk หรอื Dk หรือ Pk ท่ตี ้องการ ซึง่ หาได้จากสูตรต่อไปน้ี
k(n 1)
ตาแหน่งของ Qk = 4

ตาแหน่งของ Dk = k(n 1)
10
k(n 1)
ตาแหนง่ ของ Pk = 100

3. ถา้ ตาแหนง่ ที่ได้จากสูตรในข้อ (2) เป็นจานวนเต็ม ค่าในข้อมูลซึ่งตรงกับตาแหน่งดังกล่าวเป็นคาตอบ

ของควอรไ์ ทล์ เดไซล์ หรอื เปอร์เซน็ ไทลท์ ่ีตอ้ งการ

4. ถ้าตาแหนง่ ทีไ่ ด้จากสตู รในข้อ (2) ไม่เป็นจานวนเตม็ ให้หาค่าควอร์ไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์ท่ี

ตอ้ งการ โดยการเทียบสดั สว่ น

เรอื่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแก้ว

48 จงหา Q1 , D4 และ P65
6789
ตวั อย่างท่ี 1 กาหนดคะแนนสอบของนักเรียน 9 คน ดังน้ี
36 42 25 38 45 36 49 32 37

วิธีทา เรยี งลาดบั คา่ ในข้อมลู จากนอ้ ยไปหามาก
ตาแหน่ง 1 2 3 4 5
คะแนน

หาตาแหนง่ Q1 , D4 และ P65
1(9 1)
ตาแหนง่ ของ Q1 = 4 = 2.5

ตาแหนง่ ของ D4 =

ตาแหน่งของ P65 =

หา Q1 

หา D4 

หา P65

ตวั อย่างที่ 2 ผลการสอบวิชาภาษาไทยของนกั เรยี น 12 คน เปน็ ดังน้ี
48 52 54 60 77 75 98 96 85 92 95 99 จงหา Q3 , D5 และ P82

วธิ ีทา เรยี งลาดบั คา่ ในข้อมลู จากนอ้ ยไปหามาก ดงั น้ี
ตาแหน่ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
คะแนน

เรอื่ งสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแก้ว

49

ตวั อยา่ งท่ี 3 คา่ อาหารกลางวนั ของนักเรียนกลมุ่ หนึง่ จานวน 40 คน ดังน้ี
คา่ อาหาร (บาท) จานวน (คน) ความถี่สะสม (F)
10 5
12 10
15 13
18 6
20 4
25 2

จงหา Q3 , D7 , P95

การหาควอร์ไทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทลข์ องขอ้ มูลท่ีแจกแจงความถแี่ ล้ว มวี ิธีการเหมือนกับการหามัธยฐาน

ของขอ้ มูลทีจ่ ดั หมวดหมู่ กลา่ วคอื ตอ้ งเรมิ่ ดว้ ยการหาตาแหน่งของ Qk , Dk หรอื Pk โดยใช้สตู รดงั นี้

กาหนดขอ้ มลู f = n

ตาแหน่งของ Qk = kn
4
kn
ตาแหน่งของ Dk = 10

ตาแหน่งของ Pk = kn
100

เม่ือหาตาแหน่งของ Qk , Dk หรือ Pk ได้แล้ว เราจะหาอันตรภาคช้ันท่ีมี Qk , Dk หรือ Pk ตามลาดับ ซึ่งมี
วิธีการหาเช่นเดยี วกบั มธั ยฐาน ตามขั้นตอน ดงั น้ี

(1) หาความถ่ีสะสม (F)

(2) ถ้าตาแหน่งของ Qk , Dk หรือ Pk เท่ากับความถี่สะสมของอันตรภาคช้ันใด อันตรภาคชั้นนั้นจะเป็น
อันตรภาคช้ันของ Qk , Dk หรอื Pk ตามลาดับ

เรอ่ื งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแก้ว

50

(3) ถา้ ตาแหน่งของ Qk , Dk หรือ Pk ไม่เท่ากบั ความถ่ีสะสมของอนั ตรภาคชนั้ ใดเลย อันตรภาคช้ันแรกท่ี

มคี วามถี่สะสมมากกว่าตาแหน่งของ Qk , Dk หรือ Pk จะเปน็ อันตรภาคชัน้ ของ Qk , Dk หรอื Pk ตามลาดับ

(4) สตู รทีใ่ ช้ในการคานวณ

Qk = L + ( kn – F)( I )
4 fm

Dk = L + ( kn – F)( I )
10 fm

Pk = L + ( kn – F)( I )
100 fm

เมื่อ L = ขอบลา่ งของอันตรภาคช้ันท่ี Qk , Dk หรอื Pk อยู่
I = ความกว้างของอนั ตรภาคชน้ั ที่ Qk , Dk หรือ Pk อยู่
F = ผลรวมของความถ่ีของทุกอันตรภาคชน้ั ที่มีค่าต่ากวา่ อนั ตรภาคช้ัน Qk , Dk หรือ Pk อยู่
fm = ความถี่ของอันตรภาคชน้ั ที่ Qk , Dk หรือ Pk อยู่
n = จานวนข้อมลู ทงั้ หมด

ตัวอยา่ ง 4 ขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้เปน็ คะแนนสอบวชิ าสถติ ิของนกั เรยี นจานวน 120 คน จงหา P70 , D6 และ Q2
คะแนน ความถี่ (f)
1–10 15
11–20 25
21–30 22
31–35 20
36–40 16
41–45 12
46-50 10

เรอ่ื งสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแก้ว