คณิตศาสตร์พื้นฐาน ม.6

51
ตัวอยา่ งที่ 5 ขอ้ มูลต่อไปนีเ้ ปน็ คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนกั เรยี น 120 คน
คะแนน ความถี่ ความถี่สะสม
30–39 1
40–49 4
50–59 10
60–69 22
70–79 45
80–89 30
90–99 8
(1) จงหาคะแนนต่าสดุ ของกลมุ่ นกั เรียนท่ไี ด้คะแนนสงู สดุ ซึ่งคดิ เปน็ 20% ของนักเรยี นกลมุ่ น้ี
(2) จงหาคะแนนสงู สดุ ของกลุ่มนกั เรียนที่ไดค้ ะแนนต่าสดุ ซงึ่ คดิ เป็น 15% ของนักเรยี นกลมุ่ น้ี

ตวั อย่าง 6 จากตารางแจกแจงความถี่คะแนนสอบของนกั เรียนกลุ่มหนึ่ง เปน็ ดงั นี้
คะแนน ความถี่ (f) ความถีส่ ะสม (F)
30–39 2
40–49 4
50–59 7
60–69 10
70–79 12
80–89 4
90-99 1

จงหา 1) P58
2) ถา้ นายเต็งสอบได้ 85 คะแนนจะอย่ตู าแหน่งเปอรเ์ ซ็นต์ไทล์ที่เทา่ ใด

เรือ่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแก้ว

52

แบบฝกึ หดั 5.1

1. จงหา Q1 , D7 และ P95 ของขอ้ มูลตอ่ ไปนี้
63 66 67 68 68 70 71 71 71 72 73 73 74 74 75 75 76 76 77 77
78 79 79 79 81 81 82 82 82 83 84 85 85 85 86 86 86 87 90 92

2. จากการทดสอบระดบั สตปิ ัญญาของนักเรียนช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 6 จานวน 20 คน
ปรากฏผลดงั น้ี 80 84 88 90 91 93 94 95 95 99
100 101 105 106 107 108 109 110 116 120
จงหา Q3 , D4 และ P75

3. ข้อมลู ตอ่ ไปน้ี เป็นอายุ (ปี) ของคนกลุ่มหนึ่ง จงหา Q3 , D5 , P80
20 59 42 24 42 27 38 24 19 34
21 29 35 32 45 29 61 38 48 43

เร่ืองสถติ ิ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแก้ว

53 ความถี่สะสม (F)

4. คา่ อาหารกลางวันของนกั เรียนกลุ่มหนงึ่ จานวน 50 คน ดงั น้ี
ค่าอาหาร (บาท) จานวน (คน)
20 5
25 10
30 15
35 12
40 5
45 3

จงหา Q1 , D3 , P82

5. คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตรข์ องนกั เรียนกลมุ่ หนึ่งเปน็ ดงั น้ี
คะแนน ความถ่ี
20–29 5
30–39 10
40–49 15
50–59 20

จงหา Q2 , D7 และ P90

เรื่องสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ิตบางแกว้

54

6. จากข้อมูลคะแนนสอบของนักเรยี น 120 คน

คะแนน จานวนนกั เรยี น คะแนน จานวนนกั เรียน

90–100 10 50–59 9

80–89 30 40–49 5

70–79 38 30–39 4

60–69 21 20–29 3

(1) จงหาคะแนนตา่ สุดของกลมุ่ ทไ่ี ด้คะแนนสงู สุด ซ่งึ คดิ เป็น 20% ของนักเรยี นทัง้ หมด

(2) จงหาคะแนนสูงสุดของกลุ่มท่ไี ดค้ ะแนนต่าสุด ซงึ่ คิดเปน็ 25% ของนกั เรยี นท้ังหมด

7. ขอ้ มลู คะแนนสอบของนักเรียน 100 คน
คะแนน จานวนนกั เรยี น ความถ่สี ะสม
0–19 10
20–39 16
40–59 32
60–79 30
80–99 12
(1) สุพจนส์ อบไดค้ ะแนน 50 จงหาตาแหน่งเดไซลข์ องสพุ จน์
(2) สุรชยั สอบไดค้ ะแนน 65.5 จงหาตาแหน่งเปอรเ์ ซ็นไทลข์ องสุรชัย

เรอ่ื งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแก้ว

55

4. แผนภาพกลอ่ ง (box–plot)

ถ้านาข้อมูลท้ังหมดท่ีกาหนดมาเรียงจากค่าน้อยไปมากจะมีจุด 3 จุด ท่ีแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วน

โดยแตล่ ะส่วนจะมีจานวนขอ้ มลู เทา่ ๆ กนั และมีจุดปลายทงั้ 2 ดา้ น

โดย จุดปลายดา้ นซ้าย เรยี กว่า ข้อมูลทม่ี ีค่าต่าสดุ

จดุ ปลายด้านขวา เรยี กว่า ข้อมลู ท่มี ีคา่ สูงสดุ

จุดที่หนง่ึ เรยี กว่า ควอรไ์ ทลท์ ่ี 1 (Q1)

จดุ ทส่ี อง เรยี กว่า ควอรไ์ ทล์ท่ี 2 (Q2)

จุดทส่ี าม เรียกวา่ ควอร์ไทลท์ ี่ 3 (Q3)
ซง่ึ มลี กั ษณะดงั น้ี

25 % 25 %
25 % 25 %

Qx min 1 Q2 Q3 x max

ตัวอย่าง 1 จากขอ้ มูล 4 , 9 ,7 , 5 , 12 , 18 , 15 จงสร้างแผนภาพกล่อง

วิธที า เรียงข้อมูลจากน้อยไปมาก ดังน้ี

หา x max
หา x min
หา Q1

หา Q2

หา Q3

จากข้อมลู จะได้ Q1 = , Q2 = , Q3 = , =x max และ =xmin

เรื่องสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแก้ว

56 65 75 78 80

ตัวอยา่ ง 2 จงสร้างแผนภาพกลอ่ งจากขอ้ มลู ตอ่ ไปนี้
10 21 27 33 45 48 55 57 65

จากแผนภาพกลอ่ ง พบวา่ ช่วง Q2 ถึง Q3
เปอรเ์ ซน็ ต์
- ข้อมลู ชว่ ง Q1 ถงึ Q2 มกี ารกระจาย
- ข้อมูลน้อยกว่าหรือเท่ากับ 70 มีอยู่ เปอร์เซ็นต์
- ข้อมลู น้อยกว่าหรอื เท่ากับ 30 มอี ยู่

ตัวอยา่ ง 3 จงสร้างแผนภาพกล่อง (box–plot) จากข้อมูลตอ่ ไปนี้ 73
52 54 55 56 66 66 67 69 71 72 72
73 74 74 74 74 75 75 76 76 77 77

เรอ่ื งสถิติ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ิตบางแกว้

57

แบบฝกึ หดั 5.2

1. จงสร้างแผนภาพกล่อง (box–plot) จากข้อมูลต่อไปนี้
00 0 0 0 2 2 2 3 3 3 3
33 455555666
1 66 79
0 1224

2. ในการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของโรงเรียนเตรยี มศกึ ษา และโรงเรียนพร้อมวิทยา ซงึ่ มคี ะแนนเตม็ 100 คะแนน เทา่ กัน
เขียนเปน็ แผนภาพกลอ่ งไดด้ งั น้ี

โรงเรยี นพร้อมวทิ ยา

โรงเรยี นเตรยี มศกึ ษา

10 20 30 40 50 60 70 80 90
จงใช้แผนภาพกลอ่ งท่ีกาหนดใหต้ อบคาถามต่อไปนี้

1) มัธยฐานของโรงเรยี นเตรยี มศึกษาเท่ากับกคี่ ะแนน
2) นักเรียนทีส่ อบได้คะแนนสงู สุดของแต่ละโรงเรยี นเทา่ กับกี่คะแนน
3) โรงเรียนพร้อมวิทยามีนักเรียนสอบได้มากกว่าหรือเท่ากับ 40 คะแนนอยู่ 240 คน โรงเรียนน้ีมีนักเรียน
ท้ังหมดประมาณกีค่ น
4) ถ้าโรงเรียนเตรยี มศกึ ษามนี ักเรียนสอบไดเ้ กรด 4 คิดเปน็ 25% คะแนนน้อยท่ีสุดท่ีนักเรียนจะสอบได้เกรด
4 เท่ากับกี่คะแนน
5) โรงเรยี นพรอ้ มวทิ ยาไดค้ ะแนนต้งั แต่ 20 คะแนน ถงึ 80 คะแนน กเี่ ปอรเ์ ซน็ ต์

เร่ืองสถิติ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแก้ว

58

ศกึ ษาค้นคว้าดว้ ยตนเอง (กจิ กรรมพิชติ O-NET)

ใหน้ กั เรยี นศกึ ษาค้นคว้าโจทย์ O-NET ยอ้ นหลงั เกยี่ วกบั เรอ่ื งท่เี รยี นมาโดยลอกโจทยแ์ ละแสดงวิธที า
จานวน 3 ข้อ

เรือ่ งสถติ ิ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแกว้

59

บทท่ี 6 การวดั การกระจายของขอ้ มลู

วิธกี ารวัดการกระจายของขอ้ มลู โดยทว่ั ๆ ไป แบ่งออกไดเ้ ปน็ 2 ประเภท คือ
1. การวัดการกระจายสมั บูรณ์ (Absolute Variation)
2. การวดั การกระจายสัมพทั ธ์ (Relative Variation)

1. การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ (Absolute Variation) เป็นการวดั การกระจายของข้อมลู เพียงชดุ เดยี ว เพ่ือดูวา่
คา่ จากการสงั เกตแต่ละคา่ ในข้อมูลมีความแตกต่างกันมากน้อยเพียงใด โดยมวี ิธีการวัดอยู่ 4 วิธี คือ

(1) พสิ ัย (R : range)
(2) สว่ นเบีย่ งเบนควอร์ไทล์ (Q.D. : quartile deviation)
(3) ส่วนเบย่ี งเบนเฉล่ีย (M.D. : mean deviation or average deviation)
(4) สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน (S.D. : standard deviation)

พสิ ัย (R : Range) คือค่าทใ่ี ช้วดั การกระจายของข้อมูลทีไ่ ดจ้ ากผลต่างระหวา่ งคา่ จากการสังเกตทีม่ คี า่ สูงสดุ และ

คา่ ตา่ สุด จากความหมายของพสิ ัย พจิ ารณาขอ้ มลู ได้ 2 กรณี คือ

กรณที ี่ 1 ขอ้ มูลท่ไี มไ่ ด้แจกแจงความถ่ี

ถ้า x1 , x2 , x3 , … , xn เป็นขอ้ มลู ท่ีไมไ่ ด้จดั หมวดหมู่ จะได้ พสิ ัย = xmax – xmin
เม่อื xmax= คา่ จากการสังเกตในข้อมูลทีม่ คี ่าสูงสดุ
xmin = คา่ จากการสังเกตในข้อมูลทมี่ ีคา่ ต่าสดุ

กรณีที่ 2 ขอ้ มลู ทแ่ี จกแจงความถ่ี

ถา้ กาหนดขอ้ มลู ที่จัดหมวดหมู่ ซ่งึ แตล่ ะอันตรภาคชน้ั ไมจ่ าเป็นตอ้ งมคี วามกว้างเท่ากัน แต่ต้องไม่เป็น

อันตรภาคชัน้ เปดิ จะได้

พิสัย = U – L เมอื่ U = ขอบบนของอนั ตรภาคช้ันท่ีมคี า่ สูงสุด

L = ขอบล่างของอันตรภาคช้ันทีม่ คี ่าต่าสดุ

หมายเหตุ การวดั การกระจายของข้อมูลโดยใชพ้ สิ ัย ถือวา่ เปน็ การวดั การกระจายทีค่ อ่ นข้างหยาบ เพราะเป็น

ค่าท่คี านวณจากข้อมูลเพยี งสองค่าเท่าน้ัน ส่วนค่าอน่ื ๆ ในขอ้ มูลไมม่ สี ่วนเกีย่ วข้องแต่อย่างไร ดังน้ันค่าที่ได้อาจจะเกิน

ความเป็นจริงกไ็ ด้

ส่วนเบยี่ งเบนควอรไ์ ทล์ (Q.D. : quartile deviation) คอื คา่ ทใ่ี ชใ้ นการวดั การกระจายของขอ้ มูล ซ่งึ เทา่ กับ
คร่งึ หนงึ่ ของผลตา่ งระหว่างควอรไ์ ทลท์ ีส่ าม (Q3) และควอรไ์ ทลท์ ่หี น่งึ (Q1)

สว่ นเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ แทนด้วยสญั ลักษณ์ Q.D. และ Q.D. = 1 (Q3 – Q1)
2

เรอื่ งสถิติ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแก้ว

60

ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (M.D. : mean deviation or average deviation) คือค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล
ท่ีได้จากการเฉล่ยี คา่ สัมบูรณข์ องผลต่างของค่าจากการสังเกตแต่ละค่ากับค่ากลางของข้อมูล (ค่ากลางที่ใช้อาจเป็นค่าเฉลี่ย
เลขคณติ หรอื มธั ยฐานกไ็ ด้ แตท่ นี่ ยิ มใชค้ อื ค่าเฉลยี่ เลขคณติ ) สว่ นเบยี่ งเบนเฉล่ยี แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ M.D.

กรณที ่ี 1 ขอ้ มลู ท่ไี มไ่ ด้แจกแจงความถ่ี
กาหนดขอ้ มลู x1 , x2 , ... , xn ซึง่ มีค่าเฉลีย่ เลขคณิตเทา่ กับ x

จะได้ M.D. = | x1  x |  | x 2 x | ... | x n  x |
n

กรณที ่ี 2 ข้อมลู ทแ่ี จกแจงความถ่ี

จะได้ M.D. = f1 | x1  x | f2 | x2  x | ...  fn | xn  x |

f

สมบตั ขิ องส่วนเบย่ี งเบนเฉลยี่
1. ส่วนเบ่ยี งเบนเฉล่ียของข้อมลู ใดจะตอ้ งเปน็ จานวนจริงบวกหรือศนู ยเ์ สมอ
2. ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลย่ี จะเท่ากบั 0 กต็ อ่ เมอ่ื ค่าทกุ ค่าในขอ้ มูลเท่ากนั และเท่ากับคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลน้นั
3. ถา้ นาจานวนจรงิ b ไปบวกกบั ทกุ ค่าในขอ้ มลู หนึง่ แล้วสว่ นเบยี่ งเบนเฉล่ยี ของข้อมูลใหมจ่ ะเทา่ กบั

สว่ นเบ่ยี งเบนเฉลยี่ ของขอ้ มูลเดิม
4. ถา้ นาจานวนจริง a ไปคณู กบั ทกุ ค่าในขอ้ มูลหนง่ึ แลว้ สว่ นเบี่ยงเบนเฉล่ียของขอ้ มลู ใหม่จะเท่ากบั

|a| คูณกบั ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยของข้อมลู เดมิ
5. ถ้า x แทนค่าในขอ้ มลู หน่งึ และ y แทนค่าในอกี ข้อมูลหน่งึ
โดยที่ y = ax + b เมือ่ a และ b เปน็ คา่ คงตัว

แลว้ M.D.y = |a|M.D.x

ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน (Standard deviation) คอื รากทส่ี องทไ่ี มเ่ ป็นจานวนลบของคา่ เฉลี่ยของกาลังสองของ
ผลต่างระหว่างคา่ ในข้อมูลกบั ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มลู นนั้ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน แทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ s , S.D

สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานน้ันถือว่าเป็นวธิ ีการวดั การกระจายสมบูรณ์ท่ีดีท่ีสุด ซึ่งเป็นที่ยอมรับและนิยมใช้ของนัก
สถติ แิ ละนกั วชิ าการท่ัวไป เพราะ

1. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน เป็นวธิ กี ารวัดการกระจายของข้อมูลซงึ่ ใช้คา่ ในข้อมลู ทกุ คา่ มาใช้ในการคานวณ
2. มคี วามละเอยี ด ถกู ต้อง นา่ เชอ่ื ถือท่ีสดุ และสามารถนาไปใช้ในทางสถิติช้ันสงู
3. ขจัดปัญหาเร่อื งการใช้คา่ สัมบรู ณ์
4. มวี ธิ ีลดั การคานวณ ทาให้การคานวณได้สะดวกและรวดเร็ว

เรื่องสถติ ิ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กล่มุ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแกว้

61

เราสามารถใหค้ วามหมายของสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานได้ดงั น้ี
กรณที ่ี 1 ข้อมลู ทไ่ี มไ่ ด้แจกแจงความถ่ี

s= N
เขียนย่อ s =
หรอื s = (xi  x)2

i1

N

(x  x)2

N

x2  x2

N

กรณีท่ี 2 ข้อมลู ทแ่ี จกแจงความถี่

s= k
เขยี นย่อ s =
หรอื s =  fi (xi  x)2

i1

N

 f (x  x)2

N

 fx 2  x 2

N

ความแปรปรวน (Variance) หมายถงึ กาลังสองของส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู นน้ั
สัญลกั ษณท์ ใ่ี ช้แทนความแปรปรวน คือ s2

จากความหมายของความแปรปรวน พบว่ามีความสัมพันธ์กับส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็นอย่างมาก ดังน้ัน
เราจงึ ใชค้ วามแปรปรวนในการวัดการกระจายของข้อมูลได้ ทง้ั น้ีเพือ่ ตัดปัญหาเรอ่ื งการหารากทส่ี องในเร่ืองส่วนเบ่ียงเบน
มาตรฐาน

สูตรท่ีใชใ้ นการหาความแปรปรวน
1. ข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถ่ี

s2 = (x  x)2 =  x2  x 2
NN

2. ขอ้ มลู ทแ่ี จกแจงความถี่

s2 =  f (x  x)2 =  fx 2  x 2
NN

เรอื่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ติ บางแกว้

62

สมบตั ิของสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานและความแปรปรวน

1. ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มูลใด ๆ มีค่าเปน็ จานวนเต็มบวกหรอื ศูนย์เสมอ

2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู จะเทา่ กบั ศูนย์ ก็ตอ่ เมือ่ ทุกค่าในขอ้ มลู เทา่ กนั หมดและเทา่ กบั ค่าเฉลย่ี เลข

คณิตของข้อมลู นั้น

3. ถ้าคานวณหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานที่ใช้คา่ กลางของข้อมลู ชนดิ อื่นๆทไี่ ม่ใชค่ า่ เฉลยี่ เลขคณติ ส่วนเบย่ี งเบน

มาตรฐานทไ่ี ดจ้ ะมีคา่ มากกวา่ ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานท่ใี ช้ค่าเฉลี่ยเลขคณติ

น่ันคือ (x  a)2 > (x  x)2

N n

เมือ่ a เป็นคา่ กลางของขอ้ มลู ทไ่ี ม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต

4. ถา้ นาค่าคงตวั a ไปบวกเขา้ หรือลบออกจากคา่ แตล่ ะคา่ ในข้อมูล สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ใหม่และ

ข้อมูลเดิมจะเท่ากนั

5. ถ้านาคา่ คงตัว a ไปคณู ทกุ ค่าในขอ้ มูล สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลใหมจ่ ะเท่ากบั | a | คูณกับ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลเดมิ

6. ให้ x แทนค่าในขอ้ มลู ชดุ เดิม และ y แทนค่าในข้อมูลใหม่

โดยท่ี y = ax + b เมอ่ื a และ b เปน็ ค่าคงตัว

ถ้า sx และ sy เปน็ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ชดุ เดิมและชุดใหมต่ ามลาดบั

แล้ว sy = | a |sx
7. กาหนดขอ้ มลู 2 ชุด ถ้า x และ s2 แทนคา่ เฉลย่ี เลขคณติ และความแปรปรวนของขอ้ มลู ทง้ั สองชุด

รวมกนั ตามลาดบั แลว้ s2 = n1s12  n 2 s 22  n1 (x  xn12)2  n2 (x  x2 )2
n1 

7.1 ถา้ n1 = n2 จะได้ s2 = s12  s22  (x  x21 )2  (x  x2 )2

7.2 ถา้ x1 = x2 จะได้ s2 = n1ns121  n 2s 2
 n 2
2
s12 s22
7.3 ถา้ n1 = n2 และ x1 = x2 จะได้ s2 = 
2
8. กรณที ม่ี ีข้อมลู มากกว่า 2 ชุด สตู รในการหาความแปรปรวนรวมจะมีรปู แบบเดยี วกันกับข้อมูล 2 ชดุ

เช่น ถา้ มขี ้อมลู 3 ชดุ

จะได้ s2 = n1s12  n2s22  n3s32  n1(nx1xn1)22nn32 (x  x2 )2  n3(x  x3)2

เรื่องสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณิตศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแก้ว

63
ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาพิสยั ของข้อมูล 11 , 14 , 15 , 18 , 21 , 25 , 26

ตัวอย่างที่ 2 จากนา้ หนักของนกั เรียน จานวน 100 คน
น้าหนกั 60–62 63–65 66–68 69–71 72-74
ความถี่ 5 18 42 27 8

จงหาพสิ ยั ของนา้ หนักนักเรียนกลุ่มน้ี

ตวั อย่างที่ 3 กาหนดข้อมูล 7 , 9 , 12 , 13 , 15 , 18 , 21 , 24 , 26 , 100
จงหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Q.D.)

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาสว่ นเบี่ยงเบนเฉลยี่ (M.D.) ของคะแนนสอบตอ่ ไปนี้
59 82 76 80 74 66 68 71

ตัวอย่างท่ี 5 จงหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายขุ องบุตรในครอบครวั หน่ึงดงั นี้
7 , 9 , 11 , 15 และ 18 ตามลาดับ

ตวั อยา่ ง 6 ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนกั เรยี นชัน้ ม.3 ของโรงเรียนแหง่ หน่งึ จากผลการสอบของนักเรยี น
5 คน เมื่อนามาคานวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนน จะได้ 15 คะแนน และผลบวกของกาลังสองของคะแนนจะได้
เทา่ กบั 1,250 จงหาส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน

เรอ่ื งสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ิตบางแก้ว

64
ตวั อย่าง 7 ในการคานวณอายขุ องคนกลมุ่ หนงึ่ จานวน 8 คน ได้ผลของการวเิ คราะห์ขอ้ มลู ขั้นตน้ ดงั นี้
 xi = 88 ,  xi2 = 1,256 เมือ่ xi คืออายขุ องคนจงหาส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 8 ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูล 10 จานวน เท่ากบั 3 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชดุ นี้
เทา่ กบั 1 จงหาผลรวมของกาลังสองของขอ้ มลู ชุดเดิม

ตัวอยา่ งที่ 9 กาหนดนาย ก นาย ข และนาย ค มอี ายุเฉล่ยี เทา่ กับ 18 ปี ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน
เทา่ กับ 0 ถา้ นาอายขุ องนาย ง มาคานวณดว้ ยจะได้คา่ เฉล่ียเลขคณิตของคนท้งั สเ่ี ท่ากบั 20 ปี จงหา

(1) พสิ ัยของอายทุ ั้งสีค่ น
(2) ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายุทั้งสี่คน

ตัวอย่างท่ี 10 ครอบครวั หน่งึ ประกอบด้วยบิดา มารดา และบุตรจานวน 5 คน ซงึ่ ปัจจบุ ันมอี ายุ
40 35 15 13 11 8 4 ปตี ามลาดับ จงหา

(1) สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของอายทุ ้ัง 7 คน ในปัจจบุ นั
(2) สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของอายุท้งั 7 คน ในอีก 1 ขา้ งหน้า

เรื่องสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ติ บางแก้ว

65

แบบฝกึ หดั 6.1

1. กาหนดขอ้ มลู 12 6 7 3 15 18 5
จงหาพิสัย สว่ นเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลยี่ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน

2. จงหาพสิ ยั ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ สว่ นเบย่ี งเบนเฉล่ยี ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และความแปรปรวน ของจานวนวัน
ลาของนกั เรียน ซ่ึงปรากฏในตารางดงั น้ี

จานวนวันลา จานวนนักเรยี น
0–2 2
3–5 2
6–8 2
9–11 2
12–14 2

เรอื่ งสถิติ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวนิ ิตบางแก้ว

66
3. จงตอบคาถาม

(1) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลเปน็ จานวนลบ
 ได้  ไมไ่ ด้

(2) สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู เป็นจานวนศูนย์
 ได้  ไมไ่ ด้

(3) ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลยี่ และคา่ เบ่ยี งเบนมาตรฐานมโี อกาสเท่ากนั
 ได้  ไมไ่ ด้

4. ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่าสังเกต 20 ค่า มีค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 100 และค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกาลังสองของค่าแต่ละค่า
เทา่ กบั 10,100 จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ชุดน้ี

5. ข้อมูลชุดหน่ึงมีค่าสังเกต n ค่า มีส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเท่ากับ 10 และมีค่าเฉล่ียเลขคณิตเท่ากับ 20 จงหา
ค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของกาลงั สองของคา่ แต่ละค่าในข้อมูลชุดนี้

6. ข้อมูลชุดหนึ่งมีค่าสังเกต n ค่า ผลบวกของทุกค่าในข้อมูลเท่ากับ 40 และผลบวกของกาลังสองของค่าแต่ละ
ค่าเท่ากบั 1360 และ ns2 = 1280 เม่อื s เปน็ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน จงหาคา่ n

7. ห้องเรียนหนึ่งมีนักเรียน 50 คน เป็นนักเรียนชาย 20 คน จากการสารวจน้าหนักของนักเรียน พบว่า
ค่าเฉลี่ยของน้าหนักนักเรียนชายและนักเรียนหญิงเท่ากัน ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้าหนักของนักเรียนชาย
เท่ากับ 3 กิโลกรัม และความแปรปรวนของนา้ หนักของนกั เรียนหญิงเทา่ กบั 6 กิโลกรมั จงหา
(1) ความแปรปรวนของนา้ หนักของนักเรียนทง้ั หอ้ ง
(2) ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของนา้ หนักของนักเรียนชายและนักเรยี นหญิง

เรือ่ งสถิติ : วิชา ค33101 คณิตศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแกว้

67

8. จากขอ้ มูลแสดงผลการสอบวชิ าภาษาไทยของนกั เรยี น 2 หอ้ ง

ข้อมูล หอ้ ง 1 ห้อง 2

จานวนนักเรียน 40 50

ค่าเฉลยี่ เลขคณติ 45 54

ความแปรปรวน 8 6

(1) จงหาความแปรปรวนของคะแนนของนกั เรยี นทงั้ สองห้องรวมกัน

(2) จงหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนของนักเรียนท้ังสองห้องรวมกัน

9. จากผลการสอบวิชาสถิติของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 6 จานวน 3 ห้องเรียน โดยท่ีห้องท่ี 1 , 2 และ
3 มีจานวนนักเรียน 40 , 42 และ 43 คนตามลาดับ ถ้าค่าเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนสอบแต่ละห้อง
เท่ากับ 65 คะแนน และความแปรปรวนเท่ากับ 9 , 12 และ 8 คะแนนตามลาดับ จงหาความ
แปรปรวนรวมของคะแนนสอบของนักเรยี นทัง้ สามห้องรวมกนั

10. จากการสารวจความสงู ของนักเรียนชายกลุ่มหน่ึงจานวน 10 คน และนักเรียนหญิงอีกกลุ่มหน่ึงซ่ึงมีจานวนเท่ากัน
พบว่าค่าเฉล่ียเลขคณิตของความสูงของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงมีค่าเท่ากัน และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ
ความสูงของนักเรียนชายเท่ากับ 3 เซนติเมตร แต่ถ้านานักเรียนชายและหญิงมารวมกันจะได้ค่าเบี่ยงเบน
มาตรฐานเทา่ กับ 5 เซนติเมตร จงหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของความสงู ของนักเรียนหญิง

เร่อื งสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นร้คู ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแก้ว

68

2. การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) หมายถึง การวัดการกระจายของข้อมูล โดยใช้

อตั ราสว่ นของค่าทไ่ี ดจ้ ากการวดั กระจายสมั บูรณ์กบั คา่ กลางของขอ้ มูลชดุ นั้นมีอยู่ 4 วธิ ี คอื
(1) สมั ประสทิ ธ์ิพสิ ยั (C.R. : coefficient of range)
(2) สัมประสทิ ธิ์ของสว่ นเบยี่ งเบนควอร์ไทล์ (C.Q. : coefficient of quartile deviation)
(3) สมั ประสิทธิข์ องสว่ นเบ่ียงเบนเฉล่ยี (C.M. : coefficient of mean deviation)
(4) สัมประสิทธิข์ องความแปรผัน (C.V. : coefficient of variation)

การวดั การกระจายสมั บรู ณ์ท่กี ลา่ วมาแล้วนั้น คา่ ทไ่ี ดบ้ อกแตเ่ พยี งให้เราทราบว่า ข้อมูลที่นามาวัดการกระจาย มี
การกระจายมากน้อยเพียงใดและเพียงข้อมลู เดยี ว ไม่ได้นาไปเปรยี บเทียบการกระจายของขอ้ มลู อ่ืน ๆ

ในการเปรียบเทียบข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไป เพื่อดูว่าข้อมูลชุดใดมีการกระจายมากหรือน้อยกว่ากัน เราใช้การ
วัดการกระจายทเี่ รยี กว่า “การวดั การกระจายสัมพทั ธ์”

หลักเกณฑ์ในการเปรียบเทียบการวัดกระจายของข้อมูลต้ังแต่สองชุดข้ึนไป ว่าข้อมูลใดมีการกระจายมากหรือ
นอ้ ยกวา่ กัน เราสามารถทาได้โดยการวดั การกระจายสัมพัทธ์ของข้อมูลเหล่านั้น โดยใช้การวัดการกระจายสัมพัทธ์ชนิด
เดยี วกัน คา่ ทีไ่ ด้จะบอกให้เราทราบวา่ ข้อมลู ใดมกี ารกระจายมากหรือน้อยกว่ากัน

กล่าวคือ ในการเปรียบเทียบข้อมูลต้ังแต่สองชุดข้ึนไป ถ้าค่าที่ใช้วัดการกระจายสัมพัทธ์มีค่ามาก แสดงว่า
ขอ้ มลู นัน้ มีการกระจายมาก และถ้าคา่ ทใี่ ช้ในวดั การกระจายสัมพัทธ์มคี า่ นอ้ ย กแ็ สดงวา่ ข้อมลู น้ันมีการกระจายนอ้ ย

นอกจากนน้ั คา่ ทใ่ี ชว้ ดั การกระจายสัมพัทธ์จะไมม่ ีหนว่ ย ซึ่งต่างไปจากค่าที่ใชว้ ดั การกระจายสมั บูรณ์

สมั ประสทิ ธิ์ของพิสยั = x max  xx mmiinn
x max 

สัมประสทิ ธิข์ องส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ = QQ33  QQ11


สัมประสิทธขิ์ องสว่ นเบย่ี งเบนเฉลย่ี = M.D.
x

สมั ประสทิ ธ์ิของความแปรผัน = s
x

เร่อื งสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวนิ ิตบางแกว้

69

ตวั อย่างที่ 1 กาหนดข้อมูล 2 ชุดดงั น้ี

ชุดท่หี นึ่ง : 72 75 73 74 76 71

ชุดทีส่ อง : 115 118 116 112 117 110

จงเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมลู ทงั้ สองชุด โดยใช้สมั ประสทิ ธข์ิ องพสิ ยั

วธิ ที า ชดุ ทห่ี นึง่ ชดุ ท่ีสอง

ตัวอยา่ งที่ 2 จงเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมูล 2 ชดุ ตอ่ ไปน้ี

โดยใชส้ ัมประสิทธข์ิ องส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์

ชุดทหี่ นึง่ : 63 65 66 68 68 70 70 71

ชดุ ที่สอง : 65 66 68 70 73 75 82

วธิ ที า ชุดทีห่ น่งึ ชุดทส่ี อง

เร่ืองสถิติ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรูค้ ณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินติ บางแกว้

70

ตัวอย่างที่ 3 ยอดขาย (พันบาท) เคร่อื งใชไ้ ฟฟา้ ประจาเดอื นของพนกั งานขาย 2 คน คือ สมชาย

และสมหญิง ตลอดปที ผี่ า่ นมา เปน็ ดงั น้ี

สมชาย : 40 44 55 62 48 50 62 60 56 55 71 57

สมหญิง : 67 69 76 80 69 60 76 90 81 74 76 82

จงเปรยี บเทยี บการกระจายยอดขายของสมชายและสมหญิง โดยใชส้ ัมประสิทธขิ์ องสว่ นเบ่ียงเบนเฉล่ีย

วิธีทา สมชาย สมหญิง

ตัวอย่างที่ 4 ผลการสอบวชิ าสถิติของนกั เรียนชั้น ม.6 พบว่า นักเรยี นชาย 80 คน และนกั เรยี นหญิง
70 คน ได้คะแนนเฉลี่ยเท่ากันคือ 60 คะแนน และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของคะแนนนักเรียนชายและของนักเรียน
หญงิ เทา่ กบั 2 และ 3 คะแนนตามลาดับ จงหา

(1) สมั ประสิทธิ์ของความแปรผนั ของคะแนนของนกั เรยี นชาย
(2) สัมประสทิ ธิข์ องความแปรผันของคะแนนของนักเรยี นหญิง
วธิ ีทา

เรื่องสถิติ : วิชา ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ โรงเรียนราชวินิตบางแกว้

71

แบบฝกึ หดั 6.2

1. เดชามบี ตุ ร 6 คน เดโชมีบตุ ร 5 คน ซึง่ บุตรแตล่ ะคนมอี ายุดังน้ี
อายุของบุตรเดชา : 24 22 19 16 12 9
อายุของบุตรเดโช : 19 16 13 10 7

จงเปรยี บเทียบการกระจายของอายุของบตุ รเดชาและเดโช

2. จงพิจารณาว่าขอ้ ความในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ว่า  หรอื 
1. พิสัยของขอ้ มูลใด ๆ จะมคี ่าเปน็ จานวนบวกเสมอ
2. สัมประสิทธิข์ องพิสยั ของข้อมูล อาจจะเปน็ จานวนลบก็ได้
3. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของข้อมูลชุดเดียวกันต้องมีคา่ ต่างกัน
4. ส่วนเบย่ี งเบนเฉลย่ี และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลชุดเดยี วกนั ต้องมคี ่าต่างกัน
5. ถา้ ทกุ ค่าในข้อมลู ชุดหน่ึงเทา่ กันแล้ว พิสัย ส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์ สว่ นเบ่ียงเบนเฉลี่ย และสว่ นเบี่ยงเบน

มาตรฐานเทา่ กันหมด
6. ถา้ ข้อมลู ชุดหนึง่ มีสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานมากกว่าสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานของข้อมูลอีกชดุ หนงึ่ แสดงวา่

ข้อมลู ชดุ นน้ั มีการกระจายมากกวา่ ขอ้ มลู อีกชุดหนึง่
7. ถ้าข้อมลู ชดุ หนงึ่ มีสว่ นเบยี่ งเบนเฉลย่ี น้อยกว่าสว่ นเบย่ี งเบนเฉลยี่ อีกชุดหน่งึ แสดวา่ ข้อมลู ชุดนนั้ มีการ

กระจายมากกวา่ ข้อมลู อีกชดุ หนึง่
8. สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานและสมั ประสทิ ธิ์ของความแปรผนั ของขอ้ มูลชดุ เดียวกันจะไมเ่ ทา่ กนั
9. ส่วนเบ่ยี งเบนเฉล่ยี และสมั ประสทิ ธข์ิ องสว่ นเบ่ยี งเบนเฉล่ียของขอ้ มลู ชุดเดยี วกนั จะไม่เท่ากนั
10. สัมประสิทธขิ์ องความแปรผนั ของขอ้ มูลชดุ หนึ่ง จะมีค่ามากกวา่ สมั ประสทิ ธ์ขิ องสว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่ ของ

ขอ้ มลู ชดุ นน้ั เสมอ
11. ความแปรปรวนของขอ้ มูลชุดหน่ึงจะมคี า่ มากกวา่ หรือเทา่ กบั สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของข้อมูลชดุ นัน้
12. ถ้าความแปรปรวนของขอ้ มลู ชดุ หนงึ่ มคี า่ เทา่ กบั 0 แล้วคา่ ทกุ คา่ ในข้อมลู ชุดนน้ั จะเท่ากนั
13. ขอ้ มูลสองชดุ ท่ีมคี า่ เฉล่ยี เลขคณิตต่างกนั จะต้องมสี ่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานตา่ งกันดว้ ย
14. ขอ้ มลู สองชดุ ที่มคี า่ เฉลย่ี เลขคณิตตา่ งกันจะตอ้ งมีสว่ นเบ่ียงเบนเฉล่ยี ต่างกันด้วย
15. ขอ้ มลู สองชุดทีม่ คี ่าเฉล่ยี เลขคณติ ต่างกนั จะตอ้ งมีพิสัยตา่ งกันดว้ ย

เร่ืองสถติ ิ : วชิ า ค33101 คณิตศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแก้ว

72
16. ขอ้ มูลสองชดุ ท่ีมคี ่าเฉล่ียเลขคณิตตา่ งกนั แสดงวา่ การแจกแจงความถีข่ องข้อมลู ท้ังสองเหมือนกัน
17. ถ้าพิสยั ของขอ้ มูลเทา่ กบั 0 แลว้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยจะต้องมคี า่ เทา่ กับ 0 ดว้ ย
18. ขอ้ มลู สองชดุ ท่ีมเี สน้ โคง้ ของความถี่ เป็นเส้นโคง้ ปกตทิ ม่ี ีค่าเฉลย่ี เลขคณิตเท่ากนั จะมคี วามโค้งของเสน้ โคง้
เหมือนกนั
19. ถา้ สัมประสทิ ธิ์ของพิสยั ของขอ้ มูลชดุ หน่งึ เท่ากบั 1 แลว้ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลนี้ จะมากกว่า 0
20. กาหนดเส้นโค้งของความถี่ของข้อมูลสองชุดดังรูป จะได้ว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล (a) มีค่า
มากกว่าส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู (b)

(a) (b)
21. จากข้อ 20 จะไดว้ ่า ส่วนเบีย่ งเบนเฉลี่ยของขอ้ มลู (a) มีคา่ น้อยกว่าส่วนเบ่ยี งเบนเฉลี่ยของขอ้ มลู (b)
22. ถ้าคา่ ท่ีมากท่ีสดุ ของข้อมูลมคี ่าเทา่ กับคา่ เฉล่ียเลขคณติ แล้ว สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของข้อมลู น้ันจะเทา่ กับ 0
23. ถ้าค่าที่ตา่ ท่สี ุดของข้อมูลมีคา่ เท่ากบั ค่าเฉล่ียเลขคณติ แล้ว ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของ ขอ้ มลู จะเท่ากบั 0
24. ถา้ สมั ประสทิ ธ์ิของสว่ นเบย่ี งเบนควอร์ไทล์เทา่ กบั 0 แล้วค่าทกุ คา่ ในข้อมูลจะเท่ากัน
25. ถ้าสัมประสทิ ธ์ิของพิสัยของข้อมูลมีค่าเท่ากับ 0 แลว้ คา่ ทุกค่าในข้อมูลจะเท่ากนั หมด

ศึกษาคน้ คว้าด้วยตนเอง (กจิ กรรมพิชติ O-NET)

ใหน้ ักเรียนศึกษาค้นควา้ โจทย์ O-NET ยอ้ นหลังเก่ยี วกับเรอ่ื งทีเ่ รยี นมาโดยลอกโจทยแ์ ละแสดงวธิ ที า
จานวน 2 ขอ้

เร่ืองสถิติ : วชิ า ค33101 คณติ ศาสตร์ : กลมุ่ สาระการเรยี นรู้คณิตศาสตร์ โรงเรยี นราชวินติ บางแก้ว