เลขยกกำลัง ม.5

สำหรบั
ชัน้ มธั ยมศกึ ษำปที ี่ 5
รำยวิชำคณ๖ิ ศำสตร(์ พ้ืนฐำน)

คำนำ

หนังสอื เลม่ นจ้ี ัดทำข้นึ เพอื่ รวมรวมเอกกำร
สอนในเนื้อหำเร่อื ง...เลขยกกำลัง สำหรบั ช้ัน
มัธยมศกึ ษำปที ่ี 5 รำกวชิ ำคณิตศำสตร(์ พ้ืนฐำน)
สรปุ ควำมร้ใู นกำรสอนในแต่ละคร้ัง เพ่ือให้
นักเรยี นสำมมำรถกลบั มำทบทวนควำมรไู้ ดท้ กุ
เวลำท่ีต้องกำร

สดุ ท้ำยนี้ ผจู้ ดั ทำหวังวำ่ สรปุ เลม่ นี้จะมี
ประโยชนไ์ มม่ ำกกน็ ้อยสำหรบั ผู้ท่ีกำลังศึกษำอยู่
หำกมีขอ้ ผิดพลำดประกำรใดกข็ ออภัยไว้ ณ ทนี่ ้ี
ดว้ ยคะ

นำงสำวอัมรำพร ฉลวยศรี

สำรบญั

หน้ำท่ี

1.บทบวนควำมรกู้ ่อนเรยี น ...................1
2.ควำมรพู้ ้นื ฐำนของเลขยกกำลงั ............4
3.สมบตั ขิ องเลขยกกำลงั .........................7

๏ข้อท่ี 1 และ ขอ้ ท่ี 2 ........................7
๏ขอ้ ที่ 3 และ ข้อที่ 4 ........................9
๏ขอ้ ท่ี 5 ........................................12
4.สรปุ ควำมรูเ้ ร่ืองเลขยกกำลัง................14
5.รำกท่ีสองของจำนวนจริง..................16
๏กำรหำคำ่ รำกทส่ี อง......................18
๏สมบัตขิ องรำกทสี่ อง.....................21
6.รำกที n ของขำนวนจริง....................25
๏ค่ำหลักของรำกท่ี n ......................28

สำรบัญ

หนำ้ ที่

7.สมบตั ิบองรำกที่ n.............................31
๏ขอ้ ท่ี 1 และ 2...............................31
๏ข้อท่ี 3 และ 4...............................34

8.สรปุ ควำมรเู้ ร่อื งรำกที่ n ....................38
9.เลขยกกำลังที่มีเลขช้กี ำลังเป็น
จำนวนตกกรยะ...................................48

๏กรณที ่ี 1 ....................................49
๏กรณที ่ี 2 ....................................51
10.สมบตั ขิ องเลขยกกำลัง.....................55
๏ขอ้ ที่ 1 , 2 และ 3 ........................55
๏ขอ้ ที่ 4 และ 5 .............................58
11.กำรคิดดอกเบย้ี ทบต้น .....................62
๏กำรคิดดอกเบยี้ ทบต้นโดยใช้สูตร..

ทบทวนความรกู้ อ่ นเรยี น

เลขยกกาลัง

คอื การดาเนนิ การทางคณติ ศาสตรท์ ีอ่ ยใู่ นรปู an
ประกอบด้วยจานวนสองจานวนไดแ้ ก่ ฐาน และ เลขช้ี
กาลัง หรอื กลา่ วไดว้ ่าการยกกาลัง คอื การคูณซ้า ๆ
เป็นจานวน n ตัว เมือ่ n เปน็ จานวนเต็มบวก

รากที่สองของจานวนจรงิ

รากที่สามของจานวนจรงิ

• ชว่ ยกนั คดิ

ความรูพ้ ื้นฐานของเลขยกกาลงั

ตัวอย่างท่ี 1



ตัวอย่างที่ 2



ตัวอย่างท่ี 3




ตัวอย่างท่ี 4

+


ตวั อย่างที่ 5


−

ตวั อย่างที่ 6

−













2. จงเขยี น 5 2 ×95 ใหอ้ ยใู่ นรปู อยา่ งงา่ ยและเลขยกกาลงั
3
ทุกจานวนมเี ลขชก้ี าลงั เป็นจานวนเตม็ บวก

4.ให้ x , y และ Z เป็นจำนวนท่ีไม่เป็นศนู ย์ จงทำให้ 4 2

ในรูปอยำ่ งง่ำยและเลขยกกำลงั ทุกจำนวนมีเลขช้ีกำลงั เป็นจำนวนเตม็ บวก



คาถามทบทวนความรู้

คาช้ีแจง จงทาใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งงา่ ยและมีเลขช้กี าลังเปน็ บวก

รากทสี่ องของจานวนจริง

บทนิยาม 2
ให้ x และ y เปน็ จำนวนจรงิ

“Y เป็นรากท่สี องของ x ก็ต่อเมื่อ y² = x”
สำหรบั x > 0 จะมีรำกทสี่ องของ x สองรำก คือ x และ − x
โดยที่ x เปน็ จำนวนจริงบวก และ− x เป็นจำนวนจริงลบ
ถำ้ x = 0 แล้วจะมีจำนวนจรงิ จำนวนเดียว คอื 0 เป็นรำกทสี่ องของ x นน่ั
คือ x=0
ถำ้ x < 0 แล้วจะไม่มีรำกท่สี องของ x ทเี่ ปน็ จำนวนจริง ดงั น้ัน x=y
เม่ือ x≥0 หมายความวา่ y2=x และ y≥0

ตัวอย่างท่ี 1 จงหารากท่ีสองของ 16
เน่ืองจำก 42=16 และ −4 2=16

ดงั นนั้ รากท่ีสองของ 16 คือ 4 และ -4

ตวั อย่างท่ี 2 จงหำรำกทสี่ อง 1
9
2 2
เนอื่ งจำก 1 = 1 และ − 1 = 1
3 9 3 9

ดงั น้นั รำกท่ีสองของ 1 คือ 1 และ − 1
9 3 3

ตัวอย่างที่ 3 จงหารากที่สองของ 2
เนือ่ งจำก 2 2=2 และ (− 2)2=2

ดงั น้นั รำกท่สี องของ 2 คือ 2 และ − 2

ตวั อย่างที่ 4 จงหา 9

ตัวอย่างท่ี 5 จงหา 1
25

1. 3 เป็นรำกท่สี องของ……………………………เนอ่ื งจำก………………………………

2. 12 เป็นรำกท่สี องของ…………………………เน่อื งจำก……………………………….

3. 1.2 เป็นรำกทสี่ องของ………………….……เน่ืองจำก………………………………..

4. -4 เป็นรำกทีส่ องของ……………………….…เน่ืองจำก…………………………….…

5. 7 เป็นรำกท่สี องของ……………………….…เนอื่ งจำก…………………………….…
8

6. -17 เป็นรำกท่สี องของ………………………เน่อื งจำก……………………………….

7. 8 เป็นรำกที่สองของ………………………เนอ่ื งจำก…………………………….…

8. − 11 เปน็ รำกทส่ี องของ………………...เน่อื งจำก…………………………….…

9. 14 เป็นรำกที่สองของ……………….......เน่อื งจำก…………………………….…

10. 23 เปน็ รำกที่สองของ………………...เนอ่ื งจำก…………………………….…

การหาคา่ รากท่ีสองของจานวนจริง

การหาค่าของรากที่สองโดยวธิ ีการแยกตวั ประกอบ ใช้สาหรบั จานวนจรงิ ท่ี
สามารถแยกตวั ประกอบได้เปน็ จานวนตรรกยะ
การแยกตัวประกอบ

การหาค่ารากที่สองโดยการแยกตวั ประกอบ

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหารากที่สองของ 36

ตัวอย่างที่ 2 จงหารากที่สองของ 144

ตวั อย่างท่ี 3 จงหาค่า 324

การบวก ลบ จานวนจริงทอี่ ย่ใู นรปู กรณฑ์ทสี่ อง จะตอ้ งทาให้อยใู่ นรปู อยา่ งง่าย
(simplify) กอ่ น แล้วใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง หรือดึงตัวรว่ มพจนท์ ี่คลา้ ยกัน นามาบวกลบกนั

ตวั อยา่ งที่ 4 จงหาคา่ ของ 3 2 +2 2+ 2

ตวั อย่างที่ 5 จงหาเขียน 2 32 + 8−6 2
สรปุ ความรู้

สมบตั ิรากทสี่ องของจานวนจรงิ

ทฤษฎีบท 2
ให้ x≥0 และ y≥0 จะได้
x∙ y= xy
กลา่ วคอื รากท่ีสองของจานวนจริงคณู กนั สามารถ นาจานวน

ภายในกรณฑ์มาคูณกนั ภายในเคร่ืองหมายกรณฑ์เดียวกนั ได้
ตวั อย่างท่ี 1 จงเขียน 4∙ 2 ให้อยู่ในรูปอย่างงา่ ย

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขียน 10 ∙ 10∙ 2 ใหอ้ ยูใ่ นรูปอย่างงา่ ย

ตัวอย่างที่ 3 จงเขยี น 2 3 ∙ 4 ใหอ้ ยู่ในรูปอยา่ งงา่ ย

ทฤษฎบี ท 3
ให้ x≥0 และ y≥0 จะได้

x = x
y y
กลา่ วคือ รากท่ีสองของจานวนจรงิ หารกนั สามารถ นาจานวน
ภายในกรณฑ์มาหารกันภายในเครอ่ื งหมายกรณฑเ์ ดียวกนั ได้

ตวั อย่างท่ี 4 จงเขยี น 15 ให้อยูใ่ นรูปอย่างงา่ ย
3

ตวั อยา่ งที่ 5 จงเขียน 100 หอ้ ยูใ่ นรูปอย่างงา่ ย
5∙ 5

ตัวอย่างท่ี 6 จงเขยี น 2 5 ให้อยใู่ นรูปอยา่ งง่าย
5

ตัวอยา่ งที่ 4 จงเขียน 15 ให้อยใู่ นรูปอย่างงา่ ย
3

ตวั อยา่ งที่ 5 จงเขยี น 100 ห้อย่ใู นรปู อยา่ งงา่ ย
5∙ 5

ตัวอยา่ งท่ี 6 จงเขียน 2 5 ให้อย่ใู นรูปอย่างงา่ ย
5

สรุปความรู้

รากท่ี n ของ  จำนวนจรงิ

 

 

บ  ทนยิ าม 3 
 
ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ และ n เปน็ จำนวนเต็มท่มี ากกวา่ 1
  y เปน็ รากที่ n ของ x ก็ตอ่ เม่อื yn=x

 

ตวั อยา่ งที่ 1
จงพิจารณาวา่
1) 2 เป็นรากท่ี 4 ของ 16 หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

2) -2 เป็นรากที่ 4 ของ 16 หรือไม่ เพราะเหตใุ ด

3) -3 เปน็ รากที่ 5 ของ -243 หรือไม่ เพราะเหตุใด

4) 3 เป็นรากท่ี 5 ของ -243 หรอื ไม่ เพราะเหตุใด

ตวั อย่างท่ี 2 จงหารากที่ 5 ของ 32

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหารากท่ี 3 ของ -125

 

 

 

 

 

 

 

  สรุป

  บทนิยาม 3
 

  ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ และ n เปน็ จำนวนเต็มทีม่ ากกวา่ 1
  y เป็นรากที่ n ของ x ก็ตอ่ เม่ือ yn=x

  ➢ รากท่ีคู่ ของจำนวนบวก 

  ➢ รากท่ีคู่ ของจำนวนลบ
 

  ➢ รากทค่ี ี่ ของจำนวนบวก

 

  ➢ รากทค่ี ี่ ของจำนวนลบ

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

ช่อื -สกุล…………………………………………..ชน้ั ……….เลขที่ ………

แบบฝกึ หัดที่ 5
เรื่อง รากที่ n ของจำนวนจริง

คำชแ้ี จง จงเตมิ คำตอบที่ถูกต้องลงในช่องวา่ ง

 

1. รากท่ี 2 ของ 64 คอื ......................

2. รากที่ 9 ของ 1 คือ......................

3. รากที่ 4 ของ -16 คือ......................

4. รากท่ี 3 ของ -1 คือ......................  
5. รากที่ 2 ของ 25 คือ......................  

6. รากท่ี 5 ของ -1 คือ......................  

7. จำนวนทยี่ กกำลงั 2 ได้ 16 คือ......................  
8. จำนวนทย่ี กกำลงั 3 ได้ 8 คือ......................  

9. จำนวนที่ยกกำลงั 4 ได้ -1 คอื ......................

10. จำนวนทีย่ กกำลัง 5 ได้ -32 คือ......................

 

ค่าหลักของรากที่ n 

 

 

 

  บทนิยาม 4
  ให้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ และ n เปน็ จำนวนเตม็ ท่มี ากกวา่ 1
  y เป็นคา่ หลักของรากที่ n ของ x ก็ต่อเม่ือ
 
  1.y เปน็ รากท่ี n ของ x และ

  2. xy ≥ 0

 

  แทนคา่ หลกั ของรากท่ี n ของ x ดว้ ย √n x อา่ นว่า กรณฑท์ ่ี n ของ x

 

  หรอื คา่ หลักของ x

 

 

ตัวอย่างที่ 1 จงหาคา่ หลักของรากท่ี 4 ของ 16

ตัวอย่างที่ 2 จงหาคา่ หลักของรากที่ 3 ของ -125
ตวั อย่างท่ี 3 จงหาคา่ หลักของรากที่ 4 ของ 81

ตัวอย่างท่ี 4 จงหาคา่ หลักของรากท่ี 3 ของ -27

ตวั อยา่ งที่ 5 จงหาคา่ หลักของรากที่ 2 ของ 49

 

 

 

 

 

 

 

 

  สรุป

  บทนิยาม 4
 

  ให้ x และ y เปน็ จำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มทม่ี ากกวา่ 1

  y เป็นค่าหลกั ของรากที่ n ของ x กต็ อ่ เมอ่ื

  1. y เปน็ รากท่ี n ของ x และ
 
  2. xy ≥ 0

  แทนค่าหลกั ของรากท่ี n ของ x ดว้ ย n√x อ่านว่า กรณฑท์ ่ี n
  ของ x หรอื คา่ หลกั ของรากที่ n ของ x

 

 
 

 

 

 

 

ช่ือ-สกุล…………………………………………..ชนั้ ……….เลขท่ี ………

แบบฝกึ หดั ท่ี 6
เรอ่ื ง คา่ หลักของรากท่ี n
คำช้ีแจง จงหาค่าหลักของจำนวนตอ่ ไปน้ี

1. 7√-1  
2. 5√32  
3. 4√625  
4. 3√-343  
5. √121   
 

สมบตั ริ ากท่ี n ของจำนวนจรงิ ข้อที่ 1 และขอ้ ที่ 2 

 

 

 

  สมบตั ิของรากท่ี n (เม่อื n เปน็ จำนวนเตม็ บวกทม่ี ากกว่า 1)
  ให้ a, b เป็นจำนวนจริงทม่ี รี ากท่ี n
  1)( √ ) = เม่อื √n x เปน็ จำนวนจริง
 

 

  เม่ือ ≥ 0
  2) √ = { เมื่อ เป็นจำนวนคบ่ี วก
 

  | |เมอ่ื < 0 และ เปน็ จำนวนคบู่ วก
 

 

1. ( √ ) = เมือ่ √ เป็นจำนวนจริง

ตัวอยา่ งท่ี 1 (3√2)3 =

(3√−2)3 =

2. √ แบ่งได้ 2 กรณี คอื

≥ จะได้ √ =

ตัวอย่างท่ี 2 2√32 =

3√53 =

< แยกได้สองกรณี
• เป็นจำนวนคบ่ี วก จะได้ √ (− ) = −
ตัวอย่างที่ 3 3√(−2)3 =

3√(−5)3 =

• เป็นจำนวนคู่บวก จะได้ √ (− ) = |− | =
ตัวอย่างท่ี 4 2√(−3)2 = | | =

2√(−6)2 = | | =

4√(−5)4 = | | =

สรุป
สมบัติของรากที่ n (เมื่อ n เปน็ จำนวนเตม็ บวกท่ีมากกว่า 1)
ให้ a, b เป็นจำนวนจริงทมี่ ีรากที่ n

1. ( √ ) = เมือ่ √n x เป็นจำนวนจริง

เมื่อ ≥ 0
2. √ = { เมอ่ื เป็นจำนวนค่ีบวก

| |เม่อื < 0 และ เปน็ จำนวนคบู่ วก

ชอื่ -สกุล…………………………………………..ชั้น……….เลขที่ ………

แบบฝกึ หดั ที่ 7
เรือ่ ง สมบตั ิรากท่ี n ของจำนวนจรงิ ขอ้ ที่ 1 และขอ้ ที่ 2
คำชี้แจง จงเขยี นจำนวนตอ่ ไปน้ใี ห้อยู่ในรูปอยา่ งงา่ ย

1. 7√-1  
2. 5√32  
3. 4√(−10)  
4. 3√343  
5. √(−15)2  

สมบัตริ ากที่ n ของจำนวนจรงิ ข้อท่ี 3 และข้อที่ 4 

 

 

 

  สมบัติของรากท่ี n (เมอื่ n เป็นจำนวนเตม็ บวกที่มากกว่า 1)

 

  ให้ a, b เปน็ จำนวนจรงิ ทม่ี ีรากที่ n
  3) √ ab = √ √

 

  4) √ = √√ , ≠ 0
 
 

 

 

 

 

 

ข้อ 3   √ ab = √ √
 

 

ตวั อย่างท่ี 1

√50 = √25 ∙ 2 = √25 ∙ √2 = √5 × 5 ∙ √2 = 5√2

 
 
 

ตวั อย่างที่ 2
3√9 ∙ 3√3 =

 
 

ตวั อย่างท่ี 3
√3√15 =

ตัวอย่างท่ี 4
3√240 = 

 

 

 
ข้อ 4   √ = √√ , ≠ 0

 

ตัวอยา่ งท่ี 5 จงเขียน √100 ให้อยู่ในรูปอย่างงา่ ย
√50

ตวั อย่างท่ี 6 จงเขยี น 3√54 ให้อย่ใู นรูปอย่างง่าย
3√2

ตัวอยา่ งท่ี 7 จงหาเขียน 3√58 ให้อยูใ่ นรปู อยา่ งง่าย

ตัวอย่างท่ี 8 จงเขียน √4m√5 ใหอ้ ยูใ่ นรปู อย่างงา่ ย
√20m

  

 

   
 
 
 
 
 

 
 

  ชื่อ-สกุล…………………………………………..ชั้น……….เลขที่ ………

แบบฝึกหดั ท่ี 8
เรอ่ื ง สมบตั ิรากที่ n ของจำนวนจรงิ ข้อที่ 3 และข้อที่ 4
คำชี้แจง จงเขียนจำนวนตอ่ ไปนใี้ ห้อย่ใู นรูปอยา่ งงา่ ยและตัวสว่ นไม่ติดกรณฑ์

1. √27a2 4

2. √8x ∙ √2xy

3. √27 ∙ √9

4. 3 3√16  
4 3√2  
 
5. 3√10 3√4  
3√5  

 





“บทนิยาม

ให
1 a, b เป็ นจาน
ของ a ก็ต

ห้ n เป็ นจานวนเต็มบวกทมี่ ากกวา่

นวนจรงิ แลว้ b เป็ นรากท่ี n

ตอ่ เมอ่ื = ”

คา่ หลกั ขอ

คา่ หลกั ของรากที่ n
จานวนจรงิ a หรอื ดงั นี้

● ถา้ a = 0, = 0
● ถา้ a > 0, เป็ นจานวนบ
● ถา้ a < 0 และ n เป็ นจานว
เป็ นจานวนลบ

องรากที่ n

ของ

บวก
วนคี่

สมบตั ขิ อง

01 =

เมอื่ เป็ นจานวน
จรงิ

02

❖ เมอื่ ≥ 0

❖ เมอื่ < 0 และ
เป็ นจานวนคบ่ี วก

❖ เมอ่ื < 0 และ
เป็ นจานวนคูบ่ วก

งรากท่ี n

03 = ∙

04 =
เมอื่ ≠ 0


คาถาม 5
ทบทวความรู้

−3 4