Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 10 Nombor Indeks SPM 10
PRAKTIS
Kertas 2 dihasilkan menggunakan peruntukan
1. Jadual menunjukkan harga dan indeks harga sebanyak RM135 pada tahun 2018.
SPM bagi tiga jenis bahan P, Q dan R yang digunakan The cost of making a squid ball is 15 cents in
2017 dalam penghasilan sejenis bebola sotong. the year 2014. Find the maximum number
of squid balls that can be produced using an
The table shows the prices and the price indices of three allocation of RM135 in the year 2018.
types of ingredients P, Q and R, used in the production of
a type of squid balls. (a) (i) x = 140
Harga (RM) per Indeks harga (ii) P18 × 100 = 140 ⇒ 3.50 × 100 = 140
kg pada tahun pada tahun P16 y y = RM2.50
Bahan Price (RM) per kg 2018 berasaskan Pemberat 120(50) + 140(40) + 170(10)
for the year tahun 2016
Ingredients Weightage
Price index for the (b) I =
2016 2018 year 2018 based = 100
13 300
on the year 2016
100
P 6.00 7.20 120 50
= 133
Q y 3.50 x 40 P18 P18 160
P14 P14 100
R 0.90 1.53 170 10 (c) (i) × 100 = 160 ⇒ =
(a) Harga bahan Q menokok sebanyak 40% dari P18 × 100 = 133 ⇒ P18 = 133
tahun 2016 hingga tahun 2018. P16 P16 100
The price of ingredient Q is increased by 40% from P16 × 100 = P16 × P18 × 100
the year 2016 to the year 2018. P14 P18 P14
(i) Nyatakan nilai x. = 100 × 160 × 100
133 100
State the value of x.
= 120.3
(ii) Cari nilai y.
( ii) PPP111884=×11601000×0=11560= ⇒ P18 = 160
Find the value of y. 24 15
sen
(b) Hitung indeks gubahan bagi kos membuat
bebola sotong pada tahun 2018 berasaskan Bilangan maksimum bebola sotong
tahun 2016.
Maximum number of squid balls
Calculate the composite index for the cost of making
the squid balls for the year 2018 based on the year = 135 × 100
2016. 24
BAB 10 (c) Diberi bahawa indeks gubahan bagi kos = 562.5 ⇒ 562
membuat bebola sotong meningkat sebanyak
60% dari tahun 2014 hingga tahun 2018.
It is given that the composite index for the cost of
making squid balls increased by 60% from the year
2016 to the year 2018.
(i) Hitung indeks gubahan bagi kos
membuat bebola sotong pada tahun 2016
berasaskan tahun 2014.
Calculate the composite index for the cost of
making the squid balls in the year 2016 based
on the year 2014.
(ii) Kos membuat sebiji bebola sotong ialah
15 sen pada tahun 2014. Cari bilangan
maksimum bebola sotong yang boleh
190
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 10 Nombor Indeks
2. Jadual menunjukkan maklumat berkaitan empat bahan K, L, M dan N yang digunakan dalam pembuatan satu
SPM jenis makanan ringan.
2018 Table shows the information related to four ingredients K, L, M and N used in the production of a type of snack.
Bahan Perubahan indeks harga dari tahun 2012 Peratusan penggunaan (%)
ke tahun 2016
Ingredient Percentage of usage (%)
Change in price index from the year 2012 to the
K year 2016 20
L 10
M menokok 30% / 30% increases
N menokok 20% / 20% increases 30
menokok 50% / 50% increases
menyusut 10% / 10% decreases
Kos pengeluaran bagi makanan ringan ini ialah RM36 250 pada tahun 2016.
The production cost for this snack is RM36 250 in the year 2016.
(a) Jika harga bahan L pada tahun 2012 ialah RM3.80, cari harganya pada tahun 2016.
If the price of ingredient L in the year 2012 is RM3.80, find its price in the year 2016.
(b) Peratus penggunaan bagi beberapa bahan diberikan dalam jadual. Hitung kos pengeluaran yang sepadan
pada tahun 2012.
Percentage of usage for several ingredients were given in the table. Calculate the corresponding production cost in the
year 2012.
(c) Kos pengeluaran dijangka meningkat sebanyak 35% dari tahun 2016 ke tahun 2018. Hitung peratus
perubahan dalam kos pengeluaran dari tahun 2012 ke tahun 2018.
The production cost is expected to increase by 35% from the year 2016 to the year 2018. Calculate the percentage of
changes in production cost from the year 2012 to the year 2018.
(a) P16 × 100 = 120
P12
3P.8160 × 100 = 120
P16 = RM4.56
(b) Peratusan penggunaan M / Percentage of usage of M = (100 – 20 – 10 – 30)% = 40%
I = 130(20) + 120(10) + 150(40) + 90(30)
=
12 500 100
100
= 125
P16 × 100 = 125
P12
36P21250 × 100 = 125
P12 = RM29 000
\ Kos pengeluaran pada tahun 2012 ialah RM29 000 BAB 10
Production cost for the year 2012 is RM29 000
(c) I = P16 × P18 × 100
P12 P16
= 125 × 135 × 100
100 100
= 168.75
\ Peratus perubahan dalam kos pengeluaran ialah 68.75%
The percentage of changes in production cost is 68.75%
191
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 10 Nombor Indeks
3. Jadual menunjukkan maklumat berkaitan lima komponen J, K, L, M dan N yang digunakan untuk membuat
SPM sejenis alat elektrik.
2019 Table shows the information related to five components J, K, L, M and N used to make a type of electrical appliance.
Indeks harga pada Perubahan indeks Indeks harga pada
harga dari tahun 2018 tahun 2020 berasaskan
Komponen tahun 2018 berasaskan Pemberat
tahun 2016 ke tahun 2020 tahun 2016
Component Weightage
Price index for year 2018 Change in the price index Price index for year 2020
based on year 2016 from year 2018 to year based on year 2016 2
2020 5
J 100 x 3
Menokok 30% p
K 150 150 4
30% increase
L 120 120
Tidak berubah
M 125 125
No change
N 175 y
Tidak berubah
No change
Tidak berubah
No change
Menyusut 20%
20% decrease
Indeks gubahan bagi kos membuat alat elektrik itu pada tahun 2020 berasaskan tahun 2016 ialah 134.
The composite index for the cost of making the electrical appliances in the year 2020 based on the year 2016 is 134.
(a) (i) Cari nilai x dan nilai y.
Find the value of x and of y.
(ii) Hitung harga bagi komponen N pada tahun 2016 jika harga pada tahun 2020 ialah RM7.70.
Calculate the price of component N in the year 2016 if the price in the year 2020 is RM7.70.
(b) Hitung nilai p.
Calculate the value of p.
(c) Kos untuk membuat sebuah alat elektrik pada tahun 2016 ialah RM75. Cari harga jualan sebuah alat
elektrik itu yang dibuat pada tahun 2020 jika pengeluar itu mendapat keuntungan sebanyak 70%.
The cost of making an electrical appliance in the year 2016 was RM75. Find the selling price of an electrical appliance
made in the year 2020 if the manufacturer intends to make a profit of 70%.
(a) (i) Untuk J / For J: Untuk N / For N:
P18 × 100 = 100 → P18 = 1, P18 × 100 = 175 → P18 = 1.75
P16 P16 P16 P16
P20 P20
P20 × 100 = 130 → P20 = 1.3 P18 × 100 = 80 → P18 = 0.8
P18 P18
P20 P20
x = P16 × 100 y = P16 × 100
= P20 × P18 × 100 = P20 × P18 × 100
P18 P16 P18 P16
BAB 10
= 1.3 × 1 × 100 = 130 = 0.8 × 1.75 × 100 = 140
(ii) P20 × 100 = 140
P16
7.70 = 14
P16
7.70
P16 = 1.4
= RM5.50
192
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 10 Nombor Indeks
(b) Indeks gubahan / Composite index = 134
130(2) + 150(5) + 120(3) + 125(p) + 140(4) = 134
2+5+3+p+4
1930 + 125p = 134
14 + p
1930 + 125p = 1876 + 134p
9p = 54
p = 6
(c) Harga kos / Cost price = RM75 × 1.34 = RM100.50 Praktis
Harga jual / Selling price = 170% × RM100.50 = RM170.85 SPM
Ekstra
Sudut KBAT KBAT
Ekstra
Sejenis keropok ikan dibuat dengan menggunakan empat bahan P, Q, R dan S. Jadual menunjukkan harga dan
indeks harga pada tahun 2018 berasaskan tahun 2015.
A type of fish cracker is made by using four ingredients P, Q, R and S. The table shows the prices and the price indices in the
year 2018 based on the year 2015.
Minuman tin Harga seunit (RM) Indeks harga Pemberat
Canned drinks Price per unit (RM) Price index Weightage
P 2015 2018 125 2
Q 3.40 w 115 m
R 2.00 110 5
S 4.50 2.30 135 1
4.95
x
y
(a) Indeks harga bagi P pada tahun 2018 berasaskan tahun 2015 ialah 125, hitung nilai w. BAB 10
Price index of P in the year 2018 based on the year 2015 is 125, calculate the value of w.
(b) Harga sekilogram bahan S pada tahun 2018 ialah RM1.40 lebih daripada harga sepadannya pada tahun
2015. Hitung nilai x dan nilai y.
The price per kilogram of ingredient S in the year 2018 is RM1.40 more than its corresponding price in the year 2015.
Calculate the value of x and of y.
(c) Indeks gubahan bagi kos pengeluaran keropok ikan pada tahun 2018 berasaskan tahun 2015 ialah
116.25. Hitung
Composite index for the cost of making fish crackers in the year 2018 based on the year 2015 is 116.25. Calculate
(i) nilai m.
the value of m.
(ii) kos membuat 1 kg keropok ikan pada tahun 2015 jika kos sepadannya pada tahun 2018 ialah
RM37.20.
the cost of making 1 kg of fish crackers in the year 2015 if its corresponding cost in the year 2018 is RM37.20.
193
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bab 10 Nombor Indeks
(a) P18 × 100 = 125
P15
3.w40 × 100 = 125
125 × 3.40
w = 100 = 4.25
(b) P18 × 100 = 135
P15
xy × 100 = 135
y = 1.35x …… 1
P18 = P15 + 1.40
y = x + 1.4 …… 2
1 = 2:
1.35x = x + 1.4
0.35x = 1.4
x = 4.00
Dari 2 / From 2:
y = 4 + 1.4 = 5.40
(c) (i) Indeks gubahan / Composite index = 116.25
125(2) + 115(m) + 110(5) + 135(1) = 116.25
2+m + 5+1
935+115m = 116.25(m + 8)
935+115m = 116.25m + 930
1.25m = 5
P18 m = 4
P15
(ii) × 100 = 116.25
37P.1250 × 100 = 116.25
37.20
P15 = 1.1625 = RM32.00
BAB 10 Kuiz 10
194
KERTAS PRA SPM
Kertas 1 / Paper 1
[2 jam / hours]
Arahan: Kertas ini mengandungi dua bahagian, A dan B. Jawab semua soalan di Bahagian A dan dua soalan di
Bahagian B.
Instruction: This paper contains two sections, A and B. Answer all questions in Section A and two questions in Section B.
Bahagian A / Section A
[64 markah / marks]
Jawab semua soalan dalam bahagian ini.
Answer all questions in this section.
1. Fungsi f ditakrifkan sebagai f : x → |2x – 7|. Cari (b) fg(x) = –2x – 3
x2 + 8x + 13 = –2x – 3
The function f is defined as f : x → |2x – 7|. Find x2 + 10x + 16 = 0
(x + 2)(x + 8) = 0
(a) f(–3) dan / and f(1), [2 markah/marks] x = −2, x = −8
(b) objek-objek dengan keadaan imejnya ialah 3. 3. Gambar rajah anak panah menunjukkan fungsi
the objects for which the image is 3. ℎ : x → m + nx.
[3 markah/marks] The arrow diagram shows the function ℎ : x → m + nx.
(a) f : x = |2x – 7|
f(–3) = |–6 – 7| = |–13| = 13
f(1) = |2 – 7|
= |–5|
= 5
(b) f(x) = 3 2x – 7 = –3 x h m + nx
|2x – 7| = 3 2x = 4 –3 –5
2x – 7 = 3 x = 2
2x = 10 2 15
x = 5
2. Diberi g(x) = x + 4 dan fg(x) = x2 + 8x + 13, cari Cari / Find
Given that g(x) = x + 4 and fg(x) = x2 + 8x + 13, find (a) nilai m dan nilai n.
(a) fungsi f. [2 markah/marks] the value of m and of n.
the function f. (b) ℎ−1(x) [2 markah/marks]
[3 markah/marks]
(b) nilai-nilai x jika fg(x) = –2x – 3.
the values of x if fg(x) = –2x – 3.
[3 markah/marks] (a) h(x) = m + nx
(a) fg(x) = x2 + 8x + 13 h(2) = –5 → m + 2n = –5 …… 1
g(x) = x + 4 h(–3) = 15 → m – 3n = 15 …… 2
Biar / Let u = x + 4 1 – 2: 5n = –20
x = u – 4 n = –4
g(x) = u → x = g Dari / From 1:
→ g–1(x) = x – 4 m + 2(–4) = –5
f(x) = fg(g–1(x)) m – 8 = –5
fg(x – 4) = (x – 4)2 + 8(x – 4) + 13 m = 3
f(x) = x2 − 8x + 16 + 8x − 32 + 13
f(x) = x2 – 3
195
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
(b) h(x) = m + nx (a) a = 3, b = 2, c = 7
b2 − 4ac = 22 − 4(3)(7)
= 3 – 4x = 4 − 84
= −80
3 – 4x = y b2 − 4ac , 0
Tiada punca nyata / No real roots
4x = 3 – y
x = 3–y
4
h–1(x) = 3 – x
4
(b) a = 4 − 2p, b = 3p, c = −2p − 1
b2 − 4ac . 0
(3p)2 − 4(4 − 2p)(−2p − 1) . 0
9p2 − 4(−8p − 4 + 4p2 + 2p) . 0
4. Diberi a dan b adalah punca bagi persamaan 9p2 + 32p + 16 − 16p2 − 8p . 0
kuadratik 4x2 + 8x − 3 = 0, bentuk satu persamaan −7p2 + 24p + 16 . 0
kuadratik dengan punca-punca a2 dan b2. 7p2 − 24p − 16 , 0
Given that a and a are the roots of the quadratic equation (7p + 4)(p − 4) , 0
4x2 + 8x − 3 = 0, form a quadratic equation with roots a2
and b2.
[4 markah/marks]
a = 4, b = 8, c = –3 8 – —74 4 P
4
a + b = – ab =– = –2
ab = c =– 3 – 4 , p, 4
a 4 7
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 6. Selesaikan persamaan serentak berikut.
a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab
Solve the following simultaneous equations.
1 2 3 3 11
HTP / SOR = (–2)2 – 2 – 4 = 4 + 2 = 2 x – y = 6, x2 – 2y2 = 12
1 2 – 3 2 = 9
HDP / POR = a2 × b2 = (ab)2 = 4 16 Bundarkan jawapan anda kepada 3 tempat
Persamaan / Equation: perpuluhan.
x2 – 121x + 196 = 0
16x2 – 88x + 9 = 0 Round off your answers to 3 decimal places.
[6 markah/marks]
x – y = 6
x = y + 6 …… 1
x2 – 2y2 = 12 …… 2
1 → 2:
(y + 6)2 – 2y2 = 12
y2 + 12y + 36 – 2y2 – 12 = 0
–y2 + 12y + 24 = 0
5. (a) Tentukan jenis punca bagi persamaan y2 – 12y – 24 = 0
kuadratik 3x2 + 2x + 7 = 0.
y = 12 ± √(–12)2 – 4(1)(–24)
Determine the type of roots for the quadratic 2(1)
equation 3x2 + 2x + 7 = 0.
= 12 ± √240
[2 markah/marks] 2
(b) Cari julat nilai p jika persamaan kuadratik
y = 12 + √240 y = 12 – √240
(4 − 2p)x2 + 3px − 2p − 1 = 0 mempunyai dua 2 2
punca nyata yang berlainan.
= 13.746 = –1.746
Find the range of values of p if the quadratic equation
(4 − 2p)x2 + 3px − 2p − 1 = 0 has two different real x = 13.746 + 6 x = –1.746 + 6
roots.
= 19.746 = 4.254
[3 markah/marks]
196
7. (a) Tulis setiap yang berikut sebagai satu surd Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
tunggal. 9. Rajah menunjukkan satu rangka sebuah kuboid
yang diperbuat daripada seutas dawai sepanjang
Write each of the following as a single surd. 140 cm.
(i) √125 Diagram shows the skeleton of a cuboid made of 140 cm
√30 of wire.
(ii) √8 × √15 x cm
√3
[2 markah/marks]
(b) Selesaikan / Solve 3x – 17√x + 10 = 0. 15 cm
[3 markah/marks]
(a) (i) √125 = 125 = 25
√30 30 6
(a) Tunjukkan bahawa isi padu, V cm3, bagi
(ii) √8 × √15 = 8 × 15 = √40
√3 3 kuboid itu ialah V = 300x − 15x2.
(b) 3x – 17√x + 10 = 0 Show that the volume, V cm3, of the cuboid is
(3√x – 2)(√x – 5) = 0 V = 300x − 15x2.
3√x = 2 (√x)2 = (5)2 [2 markah/marks]
x = 25
1 2 (√x)2 = 2 2 (b) Seterusnya, cari isi padu maksimum dan nilai
3
x bagi isi padu maksimum itu.
Hence, find the maximum volume and the value of x
for this maximum volume.
[4 markah/marks]
x = 4 (a) Biar / Let y = lebar / width
9
4x + 4y + 4(15) = 140
4y = 140 − 60 − 4x
4y = 80 − 4x
y = 20 – x
V = 15xy
8. Selesaikan persamaan berikut. = 15x(20 – x)
Solve the following equation. V = 300x – 15x2
log64 x = log25 125 – log8 2 [5 markah/marks] (b) V = –15x2 + 300x
= −15(x2 − 20x)
log64 x = log 125 – log 2 = −15[x2 − 20x + (−10)2 − (−10)2]
log 25 log 8 = −15[(x − 10)2 − 100]
= −15(x − 10)2 + 1500
= log 53 – log 2
log 52 log 23 V maksimum / maximum = 1500 cm3
= 3 – 1 x − 10 = 0
2 3
x = 10
log64 x = 7
6
77
x = 646 = (26)6 = 27 = 128
197
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
10. Selesaikan sistem persamaan linear yang berikut. 12. (a) Turunkan xyp = q, dengan keadaan p dan q
Solve the following system of linear equations. adalah pemalar, kepada bentuk linear.
4x − y −2z = 53 Reduce xyp= q, where p and q are constants, to the
y − 3z = 45
x + 2y + z = 32 linear form.
[2 markah/marks]
[6 markah/marks] (b) Graf menunjukkan sebahagian garis
penyuaian terbaik yang diperoleh dengan
4x − y − 2z = 53 … 1 1
memplotkan xy melawan x .
y − 3z = 45 … 2
The graph shows part of the line of best fit obtained
x + 2y + z = 32 … 3 1
by plotting xy against x .
3 × 4: 4x + 8y + 4z = 128 … 4
4 − 1: 9y + 6z = 75 … 5 xy
2 × 2: 2y − 6z = 90 … 6
5 + 6: 11y = 165 (8, 4)
y = 15
Dari / From 2: (4, 1)
0
15 − 3z = 45 —1x
3z = 15 − 45
3z = –30
z = –10 Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh
Dari / From 3: persamaan y = a + b , dengan keadaan a dan
x2 x
x + 2(15) + (−10) = 32
x = 32 + 10 − 30 b adalah pemalar. Cari nilai a dan nilai b.
x = 12 The variables x and y are related by the equation
a b
y= a2 + x , where a and b are constants. Find the
value of a and of b.
11. Selesaikan persamaan berikut. [4 markah/marks]
Solve the following equations. (a) xyp = q
(a) 32x × 9x – 1 = 243 [2 markah/marks] log10 xyp = log10 q
3 log10 x + p log10 y = log10 q
2
(b) 22x – (2x + 3) + 4(23) = 0 [4 markah/marks] p log10 y = – log10 x + log10 q
(a) 32x × 9x – 1 = 243 log10 y = – 1 log10 x + 1 log10 q
p p
32x × (32)x – 1 = 35 (b) y = a + b
x2 x
4x – 2 = 5
x = 7 xy = a +b
4 x
1
(b) 22x – 23 (2x + 3) + 4(23) = 0 xy = a( x ) + b
(2x)2 – 23 (23)(2x) + 32 = 0
m = a, c = b
Biar / Let u = 2x:
u2 – 12u + 32 = 0 m = 4– 1 = 3
(u – 4)(u – 8) = 0 8– 4 4
\ a = 3
4
(0, c), (4, 1), m = 3
4
u = 4 u = 8 41 –– 0c = 43
2x = 22 2x = 23 1 – c = 3
x = 2 x = 3 c = –2
\ b = –2
198
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
Bahagian B / Section B
[16 markah / marks]
Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini.
Answer any two questions from this section.
13. (a) Rajah menunjukkan tiga buah silinder. (b) Sebutan pertama dan sebutan keempat bagi
Diagram shows three cylinders. suatu janjang geometri masing-masing ialah
128 dan 54. Hitung
The first term and fourth term of a geometric
progression are 128 and 54 respectively. Calculate
y y+1 y+2 (i) nisbah sepunya.
x x x
the common ratio.
[2 markah/marks]
(ii) hasil tambah hingga ketakterhinggaan.
the sum to infinity.
(i) Tunjukkan bahawa isi padu silinder di [2 markah/marks]
atas membentuk satu janjang aritmetik. (b) (i) a = 128
Show that the volume of cylinders above form T4 = 54
an arithmetic progression. ar3 = 54
[2 markah/marks] 128r3 = 54
(ii) Cari isi padu bagi silinder ke-13. 1 2 r3 = 27 = 33
64 4
Find the volume of the 13th cylinder.
\ r = 3
[2 markah/marks] 4
(a) (i) T1 = πx2y (ii) S∞ = a
T2 = πx2(y + 1) 1–r
= πx2y + πx2
= 128 = 512
T3 = πx2(y + 2)
= πx2y + 2πx2 1– 3
4
d1 = T2 – T1
= πx2y + πx2 – πx2y 14. Rajah menunjukkan sebuah segi tiga, ABC.
= πx2 Diagram shows a triangle, ABC.
d2 = T3 – T2 y
= πx2y + 2πx2 – (πx2y + πx2) B
= πx2 0D C(11, 5)
x
Memandangkan d1 = d2. Maka, ia suatu
janjang aritmetik. A(–2, –6)
Since d1 = d2. Thus, it is an arithmetic
progression.
(ii) a = πx2y, d = πx2 Persamaan garis lurus AB ialah 2y = 3x − 6. Titik
T13 = a + 12d D terletak pada paksi-x dan ia membahagi secara
= πx2y + 12πx2
dalam garis lurus AB mengikut nisbah 2 : 3.
The equation of the straight line AB is 2y = 3x − 6. Point
D lies on the x-axis and it divides internally the straight
line AB in the ration 2 : 3.
199
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM 15. (a) Rajah menunjukkan suatu segi empat selari
OABC.
(a) Cari koordinat B.
Diagram shows a parallelogram OABC.
Find the coordinates of B.
A B
[3 markah/marks] O ~b
(b) Suatu titik P(x, y) bergerak dengan keadaan D ~a
jaraknya dari titik B adalah sentiasa sama C
dengan jarak BC. Cari persamaan lokus P.
Diberi DC = ~a dan DB = ~b, cari vektor berikut
A point P(x, y) moves such that its distance from dalam sebutan ~a dan ~b.
point B is always equal to the distance BC. Find the
equation of the locus of P. Given DC = a~ and DB = b~, find the following vectors
in terms of a~ and b~.
[3 markah/marks]
(c) Diberi titik E(4, k) terletak pada lokus P, cari (i) AB [1 markah/mark]
nilai yang mungkin bagi k. (ii) BC [1 markah/mark]
Given point E(4, k) lies on the locus of P, find the
possible values of k.
[2 markah/marks]
(a) 2y = 3x – 6
0 = 3x – 6
x = 2
\ D(2, 0)
2 3 (a, b) (a) (i) AB = AD + DB
A(–2, –6) (2, 0) = ~a + ~b
(ii) BC = BD + DC
= –~b + ~a
= ~a – ~b
2a + (–6) 2b + (–18)
5 5
1 2
(2, 0) = , (b) Diberi vektor kedudukan bagi P dan Q masing-
2a – 6 = 2 2b + 18 = 0 masing ialah OP = 7~i + ~j dan OQ = 3~i – 2~j ,
5 5 cari
2a – 6 = 10 2b – 18 = 0 Given the position vectors of P and Q are OP = 7~i + ~j
and OQ = 3~i – 2~j respectively, find
2a = 16 2b = 18
a = 8 b = 9 (i) | PQ | [1 markah/mark]
\ B(8, 9) (ii) vektor unit dalam arah PQ.
(b) PB = BC the unit vector in the direction PQ .
√(x – 8)2 + (y – 9)2 = √(8 – 11)2 + (9 – 5)2
(x – 8)2 + (y – 9)2 = 9 + 16 [1 markah/mark]
x2 – 16x + 64 + y2 – 18y + 81 – 25 = 0
x 2 + y2 – 16x – 18y + 120 = 0 (b) (i) PQ = OQ – OP
(c) (4, k): x = 4, y = k = 3~i – 2~j – (7~i + ~j )
= –4~i – 3~j
|PQ| = √(–4)2 + (–3)2 = 5
(4)2 + k2 – 16(4) – 18(k) + 120 = 0 (ii) Vektor unit / Unit vector = 1 (–4~i – 3~j )
5
k2 – 18k + 72 = 0
(k – 6)(k – 12) = 0
\ k = 6, k = 12
200
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
1 2 1 2(c) Diberi ~a =5 3 5 = 3m k = 8m
k dan ~b = 8 , cari nilai k jika
5 81 5 2 40
1 2 1 2Given that a~ =5 3 m = 3 k = 3 = 3
k and b~ = 8 , find the value of k if
(i) ~a dan ~b adalah selari. [2 markah/marks] (ii) |~a | = √52 + k2 = √25 + k2
a~ and b~ are parallel. |~b | = √32 + 82 = √73
(ii) |~a| = 2|~b| [2 markah/marks]
|~a| = 2|~b|
(c) (i) ~a = m~b (√25 + k2 )2 = (2√73)2
1 5 2 m1 3 2 25 + k2 = 292
k 8
= k2 = 267
1 5 2 1 38mm 2 k = ±16.34
k
=
Kertas 2 / Paper 2
[2 jam 30 minit / 2 hours 30 minutes]
Arahan: Kertas ini mengandungi tiga bahagian A, B dan C. Jawab semua soalan di Bahagian A, tiga soalan di
Bahagian B dan dua soalan di Bahagian C.
Instruction: This paper contains three sections, A, B and C. Answer all questions in Section A, three questions in Section B and
two questions in section C.
Bahagian A / Section A
(50 markah/marks)
Jawab semua soalan dalam bahagian ini.
Answer all questions in this section.
1. (a) Selesaikan / Solve |2x − 9| = 3 [2 markah/marks]
(b) Diberi fungsi f : x → |7 – 2x|,
[3 markah/marks]
Given the function f : x → |7 – 2x|, [1 markah/mark]
(i) lakar graf bagi f(x) untuk domain −1 < x < 5.
sketch the graph of f(x) for domain −1 < x < 5.
(ii) nyatakan julat f(x) yang bersepadan dengan domain yang diberi.
state the range of f(x) that corresponds to the given domain.
(a) |2x − 9| = 3
2x – 9 = 3 2x – 9 = –3
2x = 12 2x = 6
x = 6 x = 3
(b) (i) x = 0, f(x) = 7 f(x)
f(x) = 0, 7 – 2x = 0 9
7
x = 7
2
1 2 \ (0, 7) dan 72 , 0 3
x = –1, f(x) = |7 + 2| = 9 x
x = 5, f(x) = |7 – 10| = 3 –1 —72 5
(ii) 0 < f(x) < 9
201
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
2. Fungsi g(x) = −3x2 + ax − b, dengan keadaan a dan b adalah pemalar, mempunyai nilai maksimum 17 apabila
x = 2.
The function g(x) = −3x2 + ax − b, where a and b are constants, has a maximum of 17 when x = 2.
(a) Cari nilai a dan nilai b. [4 markah/marks]
[2 markah/marks]
Find the value of a and of b.
(b) Lakar graf bagi g(x).
Sketch the graph of g(x).
(a) g(x) = –3x2 + ax – b (b) g(x) = –3x2 + 12x + 5 g(x)
1 2 = –3 x2 – a x + b 17
3 3
5
= 3–3 x2 – a x + 1– 2a 2 – 1– 2a 2 + b 4
3 3 –1 2
6 6
= –331x – 2a 2 – a2 + b 4
36 3
6
1 2 a a2
= –3 x– 6 2 + 12 – b x
x – a = 0 Nilai maksimum / Maximum value = 17
6
x = a = 2 a2 – b = 17
6 12
a = 12 122 – b = 17
12
b = 12 – 17 = –5
3. Rajah menunjukkan sebuah prisma tegak. Segi tiga ABC ialah keratan rentasnya. A x cm
y cm
Diagram shows a right prism. Triangle ABC is the cross section. C
2x cm
Jika jumlah panjang semua sisinya ialah 132 cm dan jumlah luas permukaannya B 13 cm D
ialah 780 cm2, hitung nilai x dan nilai y. E
If the total length of all sides is 132 cm and total surface area is 780 cm2, calculate the value
of x and of y.
[7 markah/marks]
J umlah panjang sisi / Total side length = 132 F
2x + 3(2x) + 2y + 2(13) = 132
8x + 2y = 132 − 26 2x − 13 = 0
2y = 106 − 8x
y = 53 − 4x … 1 x = 13
2
41 13 2
Jumlah luas permukaan / Total surface area = 780 y = 53 – 2 = 27
2( 1 xy) +(2x × 13) + (2x × x) + (2x × y) = 780 (Tidak diterima / Not accepted)
2 xy + 26x + 2x2 + 2xy = 780 x − 12 = 0
x = 12
2x2 + 26x + 3xy = 780 … 2
1 → 2: 2x2 + 26x + 3x(53 − 4x) = 780 y = 53 − 4(12) = 5
2x2 + 26x + 159x − 12x2 = 780
−10x2 + 185x − 780 = 0
10x2 − 185x + 780 = 0
2x2 − 37x + 156 = 0
(2x − 13)(x − 12) = 0
202
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
4. Dalam rajah, PQRS ialah segi empat selari dan M ialah titik tengah QR. S R
P M
In the diagram, PQRS is a parallelogram and M is the midpoint of QR. Q
(Dai)b eUErxin p/grGeksiavspetknhaePnfQovlloe=wk4tion~irg+bvee~jcr,tiokPrusMtind=atel6ram~mi s+soe2f b~~ijuatnadn~j~i. dan ~j .
(i) QR [2 markah/marks]
(ii) PR [1 markah/mark]
(b) Cari nilai | PR |. [2 markah/marks]
Find the value of |PR |.
(c) Sisi PS dipanjangkan ke titik T dengan keadaan PS = ST. Ungkapkan QT dalam sebutan ~i dan ~j .
The side PS is extended to point T such that PS = ST. Express QT in terms of ~i and ~j .
[2 markah/marks]
(a) (i) QM = QP + PM = (–4~i – ~j ) + (6~i + 2~j ) (c) ST = PS = QR = 4~i + 2~j
= 2~i + ~j QT = QP + PT
QR = 2QM = 2(2~i + ~j )
= 4~i + 2~j = –PQ + 2QR
(ii) PR = PQ + QR = (4~i + ~j ) + (4~i + 2~j ) = – (4~i + ~j ) + 2(4~i + 2~j )
= 8~i + 3~j = –4~i – ~j + 8~i + 4~j
(b) | PR | = √82 + 32 = 8.544 unit / units = 4~i + 3~j
5. (a) Tanpa menggunakan sifir matematik atau kalkulator, selesaikan persamaan di bawah.
Without using mathematical tables or a calculator, solve the equation below.
log25 [log3(4x − 3)] = log16 4 [3 markah/marks]
(b) Tunjukkan bahawa log5 xy = 2 log25 x + 2 log25 y. Seterusnya, cari nilai x dan nilai y yang memuaskan
log25 x
persamaan log5 xy = 8 dan log25 y = 3.
Show that log5 xy = 2 log25 x + 2 log25 y. Hence, find the value of x and of y which satisfy the equations log5 xy = 8 and
log25 x = 3.
log25 y [5 markah/marks]
(a) log25 [log3 (4x − 3)] = log16 4 log5 xy = 8
2 log25 x + log25 y = 8
log25 [log3 (4x − 3)] = log 4 log25 x + log25 y = 4 …… 1
log 42
log25 [log3 (4x − 3)] = 1 log25 x = 3
2 log25 y
1
log25 x = 3 log25 y …… 2
log3 (4x – 3) = 252 2 → 1:
log3 (4x – 3) = 5
3 log25 y + log25 y = 4
4x – 3 = 35 log25 y = 1
y = 251 = 25
4x = 243 + 3
x = 61.5
(b) Sebelah kanan / Right hand side Dari 2 / From 2:
= 2 log25 x + 2 log25 y log25 x = 3 log25 25
log25 x = 3
= 2 log5 x + 2 log5 y x = 253 = 15625
log5 25 log5 25
= 2 log5 x + 2 log5 y
log5 52 log5 52
= log5 x + log5 y = log5 xy = sebelah kiri / Left hand side
203
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
6. (a) Hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang gairvietmn beytikSnd=ib3enr2ik+a5nno. FleinhdSn = 3n2 + 5n. Cari
The sum of the first n terms of an arithmetic progression is
(i) sebutan pertama dan beza sepunya. [2 markah/marks]
the first term and the common difference.
(ii) hasil tambah dari sebutan ke-10 hingga ke sebutan ke-20. [2 markah/marks]
the sum from the 10th term to the 20th term.
(b) Tiga sebutan pertama bagi suatu janjang geometri ialah x + 1, 3x, 5x + 2, …, dengan keadaan semua
sebutan adalah positif.
The first three terms of a geometric progression are x + 1, 3x, 5x + 2, …, where all the terms are positive.
(i) Cari nilai x. [2 markah/marks]
Find the value of x.
(ii) Hitung hasil tambah bagi 10 sebutan pertama. [2 markah/marks]
Calculate the sum of the first 10 terms.
(a) (i) Sn = 3n2 + 5n
S1 = T1 = a = 3(1)2 + 5(1) = 8
S2 = T1 + T2 = 3(2)2 + 5(2) = 22
d = T2 − T1 = (S2 − T1) − T1 = (22 − 8) − 8 = 6
\ a = 8, d = 6
(ii) T10 + T11 + … + T20 = S20 − S9
= (3(20)2 + 5(20))− (3(9)2 + 5(9))
= 1200 + 100 − 243 − 45
S20 − S9 = 1012
(b) (i) x + 1, 3x , 5x + 2, …
r1 = r2
3x = 5x + 2
+1 3x
x
9x2 = (5x + 2)(x + 1)
9x2 = 5x2 + 7x + 2
4x2 – 7x – 2 = 0
(4x + 1)(x – 2) = 0
4x + 1 = 0 1 x–2=0
4 x=2
x = –
(Tidak diterima / Not accepted)
(ii) 3, 6, 12, …
a = 3, r = 6 = 2, n = 10
3
a(rn – 1)
Sn = r–1
S10 = 3(210 – 1) = 3069
2–1
204
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
7. Rajah menunjukkan sebuah trapezium, PQRS, dengan keadaan SR berselari dengan PQ.
Diagram shows a trapezium, PQRS, such that SR is parallel to PQ.
y Q
R(7, 13)
S(3, 11)
P
x
Diberi kecerunan bagi PS ialah 3, cari [2 markah / marks]
[2 markah / marks]
Given the gradient of PS is 3, find [4 markah / marks]
(a) koordinat P. / the coordinates of P.
(b) persamaan PQ. / the equation of PQ.
(c) persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi SR.
the equation of the perpendicular bisector of SR.
(a) P(0, c)
mps = 3
11 – c = 3
3–0
11 – c = 9
c = 2
\ P(0, 2)
(b) mpQ = mSR
y – 2 = 13 – 11
x – 0 7– 3
y– 2 = 1 x
2
y = 1 x +2
2
3 + 7 11 + 13
1 2(c) Titik tengah SR / Midpoint of SR =2 , 2 = (5, 12)
mL × mSR = –1
1
mL × 2 = –1
mL = –2
Persamaan / Equation:
y – y1 = mL(x – x1)
y – 12 = (–2)(x – 5)
y – 12 = –2x + 10
y = –2x + 22
205
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
Bahagian B / Section B
(30 markah/marks)
Jawab mana-mana tiga soalan daripada bahagian ini.
Answer any three questions from this section.
8. Jadual di bawah menunjukkan bilangan naskhah bagi jenis buku yang dijual oleh suatu penerbit kepada tiga
buah kedai buku.
Table below shows the number of copies of a few types of books sold by a publisher to three book shops.
Kedai buku Matematik Fizik Kimia Jumlah harga
tambahan
Book shop Physics Chemistry Total price
Additional
A mathematics 25 18 (RM)
B 23 20
C 20 32 36 1736
1705
19 2557
25
(a) Bentuk satu sistem tiga persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah. [3 markah / marks]
Form a system of three linear equations in three variables.
(b) Seterusnya, hitung harga, dalam RM, bagi senaskhah buku Matematik Tambahan, Fizik dan Kimia.
Hence, calculate the price, in RM, of a copy of Additional Mathematics, Physics and Chemistry books.
[7 markah/marks]
(a) x = Harga senaskhah buku Matematik Tambahan / Price of an Additional Mathematics book
y = Harga senaskhah buku Fizik / Price of a Physics book
20x + 25y + 18z = 1736 .......... 1
19x + 23y + 20z = 1705 .......... 2
25x + 32y + 36z = 2557 .......... 3
(b) 1 × 2: 40x + 50y + 36z = 3 472 ......... 4
4 − 3: 15x + 18y = 915 ............ 5
1 × 10: 200x + 250y + 180z = 17 360 ....... 6
2 × 9: 171x + 207y + 180z = 15 345 ....... 7
6 − 7: 29x + 43y = 2 015 ......... 8
5 × 29: 435x + 522y = 26 535 ....... 9
8 × 15: 435x + 645y = 30 225 .......
− 9: 123y = 3 690
y = 30
Dari / From 5:
15x + 18(30) = 915
15x = 375
x = 25
Dari / From 2:
19(25) + 23(30) + 20z = 1 705
20z = 540
z = 27
206
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
9. Dalam suatu eksperimen Fizik, halaju, v m s−1, bagi suatu troli dihubungkan kepada sesarannya, s m, oleh
persamaan v2 = u2 + 2as, dengan keadaan a dan u adalah pemalar. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai
sepadan bagi s dan v.
In a Physics experiment, the velocity, v m s−1, of a trolley is related to its displacement, s m, by the equation v2 = u2 + 2as,
where a and u are constants. The table below shows the corresponding values of s and v.
s (m) 2 3 4 5 6 7
v (m s–1) 2.68 2.97 3.23 3.46 3.69 3.90
(a) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai v2.
Based on the table above, construct a table for the values of v2. [1 markah/mark]
(b) Plot v2 melawan s, menggunakan suatu skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-s dan 2 cm kepada 2 unit pada
paksi-v2. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.
Plot v2 against s, using a scale of 2 cm to 1 unit on the s-axis and 2 cm to 2 units on the v2-axis. Hence, draw the line of
best fit. [3 markah/marks]
(c) Menggunakan graf di 9(b), cari nilai
Using the graph in 9(b), find the value of
(i) u (ii) a (ii) v apabila / when s = 3.6 m [6 markah/marks]
(a) s (m) 2 34567
v (m s–1) 2.68
v2 7.18 2.97 3.23 3.46 3.69 3.90
(b) 8.82 10.43 11.97 13.62 15.21
v2
16
14
12
10
8 13.6 – 4 = 9.6
6
4
6–0=6
2
1234567 s
207
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
(c) v2 = u2 + 2as v2 = 2as + u2
Y = mX + c
m = 2a, c = u2
u2 = 4.0
(i) c = 4.0 u = 2.0 m s–1
(ii) m = 13.6 – 4 = 9.6
6–0 6
2a = 1.6
a = 0.8 m s–2
(iii) Apabila / When s = 3.6 m
v2 = 9.6
v = 3.10 m s–1
10. Rajah menunjukkan suatu segi tiga AOB dengan keadaan O ialah asalan. Titik C terletak pada garis lurus AB
dengan keadaan AC : CB = 2 : 3.
Diagram shows a triangle AOB where O is the origin. Point C lies on the straight line AB such that AC : CB = 2 : 3.
y
A(–2, 9)
C(2, 1) x
0
B
(a) Cari koordinat titik B. / Find the coordinates of point B. [2 markah / marks]
(b) Hitung luas, dalam unit2, ∆OAB. / Calculate the area, in unit2, of ∆OAB. [2 markah / marks]
(c) Seterusnya, hitung jarak terpendek, dalam unit, dari Q ke garis AB. [3 markah/marks]
Hence, calculate the shortest distance, in units, from Q to the line AB.
(d) Suatu titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik B adalah sentiasa dua kali jaraknya dari titik A.
Cari persamaan lokus P.
A point P moves such that its distance from point B is always twice its distance from point A. Find the equation of the
locus of P.
[3 markah/marks]
(a) B = (ℎ, k)
2h + 3(–2) 2k + 3(9)
2+3 2+3
1 2
(2, 1) = ,
2h5– 6 = 2 2k + 27 = 1
2h – 6 = 10 5
h = 8
2k + 27 = 5
k = –11
B = (8, –11)
208
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
(b) Luas / Area of ∆OAB = 1 00 8 –2 0
2 –11 9 0
= 1 [72 – (22)]
2
= 1 |50| = 25 unit2
2
(c) AB = √(–2 – 8)2 + (9 – (–11))2 = √100 + 400 = √500
Luas / Area of ∆OAB = 25
1 × √500 × t = 25
2
t = 50 = 2.236 unit/ units
√500
(d) P = (x, y)
PB = 2PA
√(x – 8)2 + (y – (–11))2 = 2 √(x – (–2))2 + (y – 9)2
x2 − 16x + 64 + y2 + 22y + 121 = 4(x2 + 4x + 4 + y2 − 18y + 81)
x2 − 16x + y2 + 22y + 185 = 4(x2 + 4x + y2 − 18y + 85)
0 = 4x2 + 16x + 4y2 − 72y + 340 − x2 + 16x − y2 − 22y − 185
3x2 + 3y2 + 32x − 94y + 155 = 0
11. Dalam rajah, OPQR ialah sebuah trapezium. OTQ dan STU adalah garis lurus. S ialah titik tengah OP.
In the diagram, OPQR is a trapezium. OTQ and STU are straight lines. S is the midpoint of OP.
R
U
Q
T
OSP
Diberi OP = 2~a, OR = 2~b, PQ = ~b dan RU : UQ = 1 : 2.
Given OP = 2a~, OR = 2b~, PQ = b~ and RU : UQ = 1 : 2.
(a) Ungkapkan vektor berikut dalam sebutan ~a dan ~b.
Express the following vectors in terms of a~ and 2b~.
(i) OQ, (ii) RQ, (iii) RU. [3 markah/marks]
(b) OQ dan SU bersilang pada T dan ST = hSU. Ungkapkan OT dalam sebutan h, ~a dan b~.
= h SU . Express
OQ and SU intersect at T and ST OT in terms of h, ~a and b~. [3 markah/marks]
(c) Diberi OT = kOQ, bentuk dua persamaan yang melibatkan h dan k. Seterusnya, hitung nilai h dan nilai k.
Given OT = kOQ, form two equations involving h and k. Hence, calculate the value of h and of k.
[4 markah/marks]
209
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
(a) 1 2 (i) OQ = 2~a + ~b
Q
R (ii) RQ = –2~b + 2~a + ~b = 2~a – ~b
U ~b
~a P (iii) RU = 1 RQ = 13 (2~a – ~b) = 2 ~a – 1 ~b
2~b 3 3 3
T
O ~a S
(b) ST = kSU
1 2 OT – + 2 1
OS = h –~a + 2~b 3 ~a – 3 ~b
1 2 1 5
OT = h – 3 ~a + 3 ~b + ~a
= ~a – 1 h~a + 5 h~b
3 3
1 2 = 1 – 1 h ~a + 5 h~b
3 3
(c) OT = kOQ = k(2~a + ~b) = 2k~a + k~b
1 5
1 2 1– 3 h ~a + 3 h~b = 2k~a + k~b
1 – 1 h = 2k 5 h = k
3 3
1 – 1 h = 21 5 h2
3 3
1 = 131h
h = 3
11
k = 5 11312 = 5
3 11
\ h = 131, k = 5
11
210
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
Bahagian C / Section C
(20 markah/marks)
Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini.
Answer any two questions from this section.
12. Rajah menunjukkan sebuah sisi empat ABCD. BCD ialah suatu garis lurus.
Diagram shows a quadrilateral ABCD. BCD is a straight line.
A 7 cm
10 cm E
8 cm
B 32° 9 cm D
C
∠ACB adalah cakah dan luas ∆ADE ialah 16.5 cm2. Hitung [2 markah/ marks]
[2 markah/ marks]
∠ACB is obtuse and the area of ∆ADE is 16.5 cm2. Calculate [2 markah/ marks]
[4 markah/ marks]
(a) ∠ACB,
(b) panjang AD, dalam cm, / the length of AD, in cm,
(c) ∠DAE,
(d) panjang BE, dalam cm. / the length of BE, in cm.
(a) sin 1∠0ACB = sin 32° (c) Luas ∆ADE / Area of ∆ADE = 16.5 cm2
8 12 ×
7 × 6.093 × sin ∠DAE = 16.5
10 × sin 32° sin ∠DAE =
sin ∠ACB = 8 2 × 16.5
7 × 6.093
∠ACB = 180° – 41°29'
= 138°31' ∠DAE = 50°41'
(d) ∠BAC = 180° − 32° − 138°31' = 9°29'
(b) AD2 = 82 + 92 − 2(8)(9) kos / cos 41°29' 92 = 82 + 6.0932 − 2(8)(6.093) kos / cos ∠CAD
AD2 = 37.12
AD = 6.093 cm 97.488 kos / cos ∠CAD = 82 + 6.0932 − 92
kos / cos ∠CAD = 20.125
97.488
∠CAD = 78°5'
∠BAE = 9°29' + 78°5' + 50°41' = 138°15'
BE2 = 102 + 72 − 2(10)(7) kos / cos 138°15'
BE = 15.92 cm
211
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
13. Dalam rajah, ADE dan BCDF adalah garis lurus.
In the diagram, ADE and BCDF are straight lines.
A
11 cm 16 cm
9 cm
47° 5 cm F
BC D
E
Diberi AB = 11 cm, AC = 9 cm, AF = 16 cm, DF = 5 cm, AD = 3DE dan AC = CD, hitung
Given AB = 11 cm, AC = 9 cm, AF = 16 cm, DF = 5 cm, AD = 3DE and AC = CD, calculate
(a) ∠ACB dengan keadaan ∠ACB adalah cakah. [2 markah/marks]
∠ACB where ∠ACB is obtuse.
(b) panjang AD, dalam cm. [2 markah/marks]
the length of AD, in cm.
(c) luas, dalam cm2, bagi ∆DEF. [3 markah/marks]
the area, in cm2, of ∆DEF.
(d) Deduksikan luas, dalam cm2, bagi ∆ADF. Seterusnya, hitung jarak terpendek dari titik D ke garis AF.
Deduce the area, in cm2, of ∆ADF. Hence, calculate the shortest distance from point D to the line AF.
[3 markah/marks]
(a) sin ∠ACB = sin 47° (c) AD = 3DE
11 9
9.454 = 3DE
sin ∠ACB = 11 × sin 47° DE = 3.1513
9
∠ADC = 180° – 63°22' = 58°19'
∠ACB = 180° − 63°22' 2
= 116°38' ∠EDF = 58°19'
Luas / Area of ∆DEF = 1 (5)(3.1513) sin 58°19'
2
(b) AD2 = 92 + 92 − 2(9)(9) kos / cos 63°22'
AD = 9.454 cm = 6.704 cm2
(d) AD = 3DE
Luas / Area of ∆DEF = 3 × Luas / Area of ∆DEF
= 3 × 6.704
= 20.112 cm2
1
2 × 16 × t = 20.112
t = 20.112 × 2 = 2.514 cm
16
212
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
14. Jadual menunjukkan harga dan indeks harga bagi empat bahan yang digunakan untuk membuat sejenis
keropok udang. Rajah menunjukkan sebuah carta pai yang menunjukkan kuantiti relatif bahan yang
digunakan.
The table shows the price and the price indices of four ingredients used to make a type of prawn crackers. The diagram shows
a pie chart which shows the relative quantity of the ingredient used.
Harga (RM) per kg Indeks harga
bagi tahun 2018
Price (RM) per kg berasaskan tahun
Bahan Tahun Tahun 2016 Tepung Udang
2016 2018
Ingredient Price indices for year 2018 Flour Prawn
Year 2016 Year 2018 based on year 2016 130° 140°
Udang
18.00 27.00 150 30°
Prawn
Gula
Tepung
Sugar
Flour
2.25 x 120 Garam
Garam
Salt
Salt
y 5.50 110
Gula
2.50 3.25 z
Sugar
(b) Hitung nilai bagi x, y dan z. [3 markah/marks]
Calculate the values of x, y and z.
(b) Hitung indeks gubahan bagi kos pengeluaran keropok ini pada tahun 2018 berasaskan tahun 2016.
Calculate the composite index for the production cost of these crackers in the year 2018 based on the year 2016,
[2 markah/marks]
(c) Indeks gubahan bagi kos pengeluaran keropok bertambah sebanyak 20% dari tahun 2018 ke tahun 2020.
Hitung
The composite index for the production cost of crackers increases by 20% from the year 2018 to the year 2020. Calculate
(i) indeks gubahan bagi kos pengeluaran keropok pada tahun 2020 berasaskan tahun 2016.
the composite index for the production cost of crackers in the year 2020 based on the year 2016.
[3 markah/marks]
(ii) harga sebungkus keropok pada tahun 2020 jika harga sepadannya pada tahun 2016 ialah RM32.50.
the price of a packet of crackers in the year 2020 if its corresponding price in the year 2016 was RM32.50.
[2 markah/marks]
(a) x × 100 = 120 (c) (i) P20 × 100 = 120
2.25 P18
x = 112000 × 2.25 = 2.70 P20 × 100 = P20 × P18 × 100
P16 P18 P16
5.y50 × 100 = 110
= 1.2 × 1.325 × 100
y= 5.50 × 100 = 5.00 = 159
110
P20
z = 32..2505 × 100 = 130 (ii) P16 × 100 = 159
(b) Indeks gubahan / Composite index P20 × 100 = 159
32.50
150(140) + 120(130) + 110(30) + 130(60)
= 360 P20 = 159 × 32.50
100
47 700
= 360 = 132.50 = RM51.68
213
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Kertas Pra-SPM
15. Jadual menunjukkan harga dan indeks harga bagi empat komponen yang digunakan untuk membuat sejenis
alat elektronik.
The table shows the prices and the price indices of four components used to make a type of electronic device.
Komponen Harga seunit (RM) Indeks harga pada tahun Peratus penggunaan (%)
2017 berasaskan tahun 2015
Component Price per unit (RM) Usage percentage (%)
Price index in year 2017 based on
K 2015 2017 year 2015 20
L 30
M 22.00 x 135 35
N 2.80 3.50 125 15
5.25 6.30
7.15 y
z 110
(a) Hitung nilai bagi x,y dan z. / Calculate the values of x, y and z. [3 markah/marks]
(b) Hitung indeks gubahan bagi membuat alat elektronik pada tahun 2017 berasaskan tahun 2015.
Calculate the composite index for making the electronic devices in the year 2017 based on the year 2015.
[2 markah/marks]
(c) Indeks gubahan bagi membuat alat-alat itu bertambah sebanyak 25% dari tahun 2017 ke tahun 2020.
The composite index for making the devices increases by 25% from the year 2017 to the year 2020.
(i) Hitung indeks gubahan bagi membuat alat-alat itu pada tahun 2020 berasaskan tahun 2015.
Calculate the composite index for making the devices in the year 2020 based on year 2015.
[2 markah/marks]
(ii) Kos untuk membuat sebuah alat elektronik pada tahun 2015 ialah RM22. Cari harga jualan sebuah
alat elektronik itu pada tahun 2020, jika pengeluar ingin mendapatkan keuntungan sebanyak 30%.
The cost of making an electronic device in the year 2015 was RM22. Find the selling price of an electronic device in
the year 2020, if the producer wants to make a profit of 30%.
[3 markah/marks]
(a) x × 100 = 135 (c) (i) P20 × 100 = 125
22.00 P17
P20 P20 P17
x = 135 × 22.00 = 29.7 P15 = P17 × P15 × 100
100
= 1.25 × 1.23 × 100
y = 6.30 × 100 = 120
5.25 = 153.75
7.15 × 100 = 110 (ii) Harga kos / Cost price = P20
z
z = 7.15 × 100 = 6.50 P20 × 100 = 153.75
110 P15
(b) Indeks gubahan / Composite index P20 × 100 = 153.75
22
= 135(20) + 125(30) + 120(35) + 110(15)
100
12 300 P20 = 153.75 × 22
100 100
= = 123
= 33.825
∴ Harga kos / Cost price = 33.825
Harga jualan / Selling price = 130 × 33.825
100
= RM43.97
214
BAB 1: FUNGSI
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah
5 rutin yang mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah
rutin yang kompleks.
1. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Diberi f(x) = 3x + c dan f –1(x) = mx + 4 . Cari nilai (b) Diberi fungsi f(x) = mx + n dan g(x) = 6 – 5x, dengan 1
m dan nilai c. 3
keadaan m dan n ialah pemalar. Ungkapkan m
Given f(x) = 3x + c and f –1(x) = mx + 4 . Find the value
of m and of c. 3 dalam sebutan n dengan keadaan fg(2) = 5.
Katakan f –1(x) = y Given the function f(x) = mx + n and g(x) = 6 – 5x, such
that m and n are constants. Express m in terms of n
such that fg(2) = 5.
Let f(y) = x fg(x) = f(6 – 5x)
3y + c = x
x–c = m(6 – 5x) + n
y = 3
= –5mx + 6m + n
f –1(x) = x–c
3
x c 4 fg(2) = –5m(2) + 6m + n = 5
3 3 3
= – = mx + –10m + 6m + n = 5
–4m + n = 5 – 5
n 4
Bandingkan penyebut / Compare denominator: m = LEMBARAN PBD
x = mx → m = 1
3 3
c 4
– 3 = 3 → c = –4
2. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5 (b) Diberi f(x) = |2x – 3|.
Solve each of the following. Given f(x) = |2x – 3|.
(a) Diberi gf : x → –2x – 1. Cari nilai p jika (i) Nyatakan julat bagi f(x) berdasarkan domain
gf(p2 + 1) = 5p – 6. –1 < x < 3.
Given gf : x → –2x – 1. Find the value of p if State the range of f(x) based on the domain
gf(p2 + 1) = 5p – 6. –1 < x < 3.
gf(p2 + 1) = 5p – 6 (ii) Cari nilai x dengan keadaan f(x) = 5 untuk
–2(p2 + 1) – 1 = 5p – 6 –1 < x < 3.
–2p2 – 3 = 5p – 6
2p2 + 5p – 3 = 0 Find the value of x such that f(x) = 5 for –1 < x < 3.
(2p – 1)(p + 3) = 0
(i) 3 3
2p – 1 = 0 atau / or p + 3 = 0 x –1 0 2
p = 1 p = –3 f(x) 5 3 0 3
2 0 < f(x) < 5
\ p = 1 , –3 (ii) |2x – 3| = 5
2
2x – 3 = ±5
2x – 3 = 5 → x = 4
2x – 3 = –5 → x = –1
–1 < x < 3
\ x = –1
B1 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi dalam konteks penyelesaian masalah
bukan rutin secara kreatif.
3. Selesaikan setiap masalah yang berikut. TP 6
Solve each of the following problems.
(a) Rajah menunjukkan pemetaan x kepada y di bawah fungsi xy z
15 –2
f(x) = 3x + 2 dan pemetaan y kepada z di bawah fungsi
2 g(y) = m 3 , y ≠ 3 .
2y – 2
Diagram shows the mapping of x onto y by the function f(x) = 3x + 2
3
and the mapping of y onto z by the function of g(y) = m 3 , y ≠ 2 .
2y –
(i) Cari nilai m.
Find the value of m.
(ii) Cari fungsi yang memetakan y kepada x.
Find the function which maps y onto x.
(iii) Cari fungsi yang memetakan x kepada z.
Find the function which maps x onto z.
(i) g(5) = –2 (ii) Katakan f –1(x) = y (iii) gf(x) = g(3x + 2)
m 3 = –2 Let f(y) = x = –14
2(5) – 2(3x + 2) – 3
3y + 2 = x
m = –14 –2 –14
LEMBARAN PBD y = x 3 = 6x + 4 – 3
f –1(x) = x –2 gf(x) = –14 , x ≠ – 1
3 6x + 1 6
(b) Rajah menunjukkan sebuah kadbod berbentuk segi empat sama x x
x
berukuran 24 cm pada setiap sisi. Segi empat sama pada setiap x
24 cm
bucu kadbod dipotong seperti ditunjukkan dalam rajah. Kemudian,
x
kadbod tersebut dilipat untuk membentuk sebuah kotak terbuka x
dengan ketinggian x cm.
Diagram show a square cardboard with length of 24 cm an each side. A
square from each corner of the cardboard are cut off as shown in the diagram.
Then, the cardboard is fold into an open box with height of x cm.
(i) Ungkapkan isi padu kotak V sebagai satu fungsi bagi panjang x.
Express the volume V of the box as a function of length x.
x
(ii) Cari isi padu kotak jika 3 cm segi empat sama dipotong di setiap x
bucu kadbod. 24 cm
Find the volume of the box if 3 cm square is cut out from each corner of
the cardboard.
(i) V(x) = (24 – 2x) × (24 – 2x) × (x) (ii) V(3) = 576(3) – 96(3)2 + 4(3)3
V(x) = (576 – 96x + 4x2)(x) = 1 728 – 864 + 108
= 972 cm3
V(x) = 576x – 96x2 + 4x3
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B2
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
BAB 2: FUNGSI KUADRATIK
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi kuadratik dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang mudah.
1. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Cari julat nilai k jika persamaan kuadratik 2x2 – (k + 6)x + 2 = 0 mempunyai dua punca yang berbeza.
Find the range of values of k if the quadratic equation 2x2 – (k + 6)x + 2 = 0 has two different roots.
b2 – 4ac . 0 k = –10 k = –2 3
(–k – 6)2 – 4(2)(2) . 0 k + 10 –++
k2 + 12k + 36 – 16 . 0 k+2 ––+
+–+
k2 + 12k + 20 . 0 (k + 10)(k + 2)
(k + 10)(k + 2) . 0
\ k , –10, k . –2
(b) Cari julat nilai p jika setiap graf fungsi kuadratik f(x) = 3x2 – 6x + p + 2 tidak menyilangi paksi-x.
Find the range of values of p if the graph of quadratic function f(x) = 3x2 – 6x + p + 2 does not cut the x-axis.
b2 – 4ac = (–6)2 – 4(3)(p + 2) , 0
36 – 12p – 24 , 0
12 – 12p , 0
p.1
(c) Selesaikan persamaan kuadratik 3x2 + 7x – 8 = 0 dengan menggunakan kaedah rumus kuadratik. LEMBARAN PBD
Solve the quadratic equation 3x2 + 7x – 8 = 0 by using the quadratic formula.
x = –b ± √b2 – 4ac x = –7 ± √145
2a 6
= –7 ± √72 – 4(3)(–8) x = 0.8403, 3.174
2(3)
(d) Jika a dan b ialah punca-punca bagi persamaan x2 – 8x + 5 = 0, bentukkan persamaan kuadratik dengan
punca-punca 3a dan 3b.
If a and b are roots of quadratic equation x2 – 8x + 5 = 0, form a quadratic equation with roots 3a and 3b.
HTP = a + b = – –8 → a + b = 8 Punca baharu / New roots:
1
5 HTP = 3a + 3b = 3(a + b) = 3(8) = 24
HDP = ab = 1 → ab = 5 HDP = (3a)(3b) = 9ab = 9(5) = 45
x2 – (HTP)x + HDP = 0
x2 – 24x + 45 = 0
(e) Ungkapkan fungsi kuadratik f(x) = 8 + 6x – 3x2 dalam bentuk a(x – h)2 + k. Nyatakan nilai maksimum atau
minimum dan nilai sepadan bagi x.
Express the quadratic function f(x) = 8 + 6x – 3x2 in the form a(x – h)2 + k. State the maximum or minimum value and
the corresponding value of x.
f(x) = –3x2 + 6x + 8
= –3(x2 – 2x) + 8
= 3–3 x2 – 2x + 1– 22 2 – 1– 2 224 + 8
2
2
= –3(x – 1)2 + 3 + 8
= –3(x – 1)2 + 11
Oleh sebab a , 0, f(x) mempunyai nilai maksimum 11 apabila x – 1 = 0 iaitu x = 1.
Since a , 0, f(x) has maximum value of 11 when x – 1 = 0 that is x = 1.
B3 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi kuadratik dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang kompleks.
2. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5
Solve each of the following.
(a) Salah satu daripada punca bagi persamaan 3x2 – 8x + m = 0 ialah tiga kali punca yang satu lagi. Cari
punca-punca itu dan nilai m.
One of the roots of quadratic equation 3x2 – 8x + m = 0 is three times the other. Find the roots and the value of m.
Punca-punca = a, 3a
4 1 2 –8 2 2 =2
HTP = a + 3a = 4a = – 3 → a = 3 dan 3a = 3 3
1 2 m 2 2
HDP = a(3a) = 3a2 = 3 → m = 3 3
(3) = 4
\ Punca-punca ialah 2 dan 2. Manakala, m = 4.
3
The roots are and While
(b) Rajah menunjukkan graf bagi fungsi f(x) = –(x – p)2 – 4 dengan keadaan y
O
p ialah pemalar. Cari x
The diagram shows the graph of the function f(x) = –(x – p)2 – 4, where p is a –13
constant. Find y = f(x)
(i) nilai p,
the value of p,
(6, –13)
LEMBARAN PBD (ii) persamaan paksi simetri,
the equation of axis of symmetry,
(iii) koordinat titik maksimum.
the coordinates of the maximum point.
(i) p= 0+6 =3
2
(ii) Persamaan paksi simetri ialah / The equation of axis of symmetry is x = 3
(iii) Maksimum y apabila / Maximum of y when x = 3,
y = –(3 – 3)2 – 4 = –4.
Maka, titik maksimum ialah / Thus, the maximum point is (3, –4).
(c) Lakarkan graf bagi fungsi kuadratik f(x) = x2 – 2x – 8. Nyatakan persamaan paksi simetri bagi graf itu.
Sketch the graph of the quadratic function f(x) = x2 – 2x – 8. State the equation of the axis of symmetry for the graph.
a = 1 . 0 f(x) = x2 – 2x – 8 = 0
(x – 4)(x + 2) = 0
b2 – 4ac = (–2)2 – 4(1)(–8) \ x = 4 dan x = –2
= 36 . 0
Maka, graf f(x) berbentuk dengan titik f(x)
–2 O
minimum dan menyilangi paksi-x pada dua titik
yang berbeza. 4x
Thus, the graph of f(x) in the form with the minimum
point and intersect x-axis at two different points
f(x) = x2 – 2x – 8
1 2 1 2 = x2 – 2x + – 2 2 – 2 2 –8 (1, –9)
2 2
– –8 Persamaan paksi simetri ialah x = 1
= (x – 1)2 – 9 The equation of axis of symmetry is x = 1
Titik minimum ialah (1, –9)
Minimum point is (1, –9)
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B4
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang fungsi kuadratik dalam konteks penyelesaian
masalah bukan rutin secara kreatif.
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
(a) Tunjukkan bahawa persamaan kuadratik 5x2 + k = (k + 5)x mempunyai punca-punca nyata untuk semua
nilai k.
Show that the quadratic equation 5x2 + k = (k + 5)x has real roots for all values of k.
5x2 – (k + 5)x + k = 0 Maka persamaan kuadratik itu mempunyai 5
b2 – 4ac = (–k – 5)2 – 4(5)(k)
= k2 + 10k + 25 – 20k punca-punca nyata untuk semua nilai k.
= k2 – 10k + 25
= (k – 5)(k – 5) = (k – 5)2 . 0 Thus, the quadratic equation has real roots
for all values of k.
(b) Cari julat nilai m dengan keadaan fungsi kuadratik f(x) = x2 – (m – 3)x + 3 – m adalah sentiasa positif bagi
semua nilai nyata x.
Find the range of values of x such that the quadratic function f(x) = x2 – (m – 3)x + 3 – m is always positive for all real
values of x.
b2 – 4ac , 0 m = –1 m = 3
(–m + 3)2 – 4(1)(3 – m) , 0
m2 – 6m + 9 – 12 + 4m , 0 m–3 ––+
m2 – 2m – 3 , 0 m+1 –++
(m – 3)(m + 1) , 0
(m – 3)(m + 1) + – + LEMBARAN PBD
\ –1 , m , 3
(c) Seorang petani mempunyai 560 meter dawai pagar dan ingin memagar sebidang tanah berbentuk segi
empat tepat dan dia hanya perlu memagar tiga sisi bidang tanah itu kerana tanah tersebut dikepung
oleh sebatang sungai di satu sisi. Cari panjang dan lebar sebidang tanah itu yang memberikan luas yang
maksimum.
A farmer has 560 metres of fencing and wants to enclose a rectangular plot of land that requires fencing on only three
sides because it is bounded by a river on one side. Find the length and width of the plot that will maximize the area.
Panjang = x, Lebar = y A(x) = –2(x2 – 280x)
2x + y = 560 → y = 560 – 2x = 3–2 x2 – 280x + 1 –280 22 – 1 –280 224
2 2
\ Luas, A = x × (560 – 2x) → A(x)
= 560x – 2x2 A(x) = –2(x – 140)2 + 39 200
Maka, luas maksimum apabila x = 140 m, y = 560 – 2(140) = 280 m.
Thus, maximum area when x = 140 m, y = 560 – 2(140) = 280 m.
(d) Khusairi berjalan sejauh 24 km setiap hari. Dia berjalan dengan kelajuan yang seragam. Jika dia berjalan
dengan kelajuan 2 km j–1 lebih pantas daripada kelajuan yang biasa dia lakukan, dia akan menghabiskan
perjalanan satu jam lebih awal. Cari kelajuan yang Khusairi biasa berjalan.
Khusairi walks 24 km everyday. He always walk at a constant speed. If he had walked 2 km h–1 faster than he usually
does, he would have completed his walk one hour earlier. Find the speed Khusairi usually walks.
Laju = Jarak → Masa = Jarak 24x = 24(x + 2) – 1(x)(x + 2)
Masa Laju 24x = 24x + 48 – x2 – 2x
Katakan x = kelajuan biasa yang khusairi berjalan 0 = –x2 – 2x + 48
Let x = Khusairi walks at constant speed 0 = (–x + 6)(x + 8)
Masa jalan laju = Masa jalan biasa – 1 jam x = 6, x = –8
x . 0, \ x = 6 km j–1
Time when walk fast = Time when walk constant
1 hour
24 = 24 – 1
x+2 x
B5 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
BAB 3: SISTEM PERSAMAAN
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem persamaan dalam konteks penyelesaian
5 masalah rutin yang mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem persamaan dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang kompleks.
1. Selesaikan setiap persamaaan serentak yang berikut. TP 4
Solve each of the following simultaneous equations.
(a) x – 2y + z = 15
6 2x + 3y – 3z = 1
4x + 10y – 5z = –3
x – 2y + z = 15 …… 1 4 × 9: –63y + 45z = 261
2x + 3y – 3z = 1 …… 2 5 × 5: –90y + 45z = 315
4x + 10y – 5z = –3 …… 3
Tolak/Subtract: 27y = –54
1 × 2: 2x – 4y + 2z = 30 y = –2
2: 2x + 3y – 3z = 1
Ganti/Replace y = –2 ke dalam/into 4:
Tolak/Subtract: –7y + 5z = 29 …… 4 –7(–2) + 5z = 29
1 × 4: 4x – 8y + 4z = 60 z = 3
3: 4x + 10y – 5z = –3
Ganti/Replace z = 3, y = –2 ke dalam/into 1:
Tolak/Subtract: –18y + 9z = 63 …… 5 x – 2(–2) + 3 = 15
LEMBARAN PBD x = 8
\ x = 8, y = –2 dan z = 3
2. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5
Solve each of the following.
(a) (3m, 2n) ialah satu penyelesaian bagi persamaan serentak berikut:
(3m, 2n) is a solution for the following simultaneous equations:
5x + 4y = 7 3x – 2 =2
nilai-nilai m dan nilai-nilai n. y
Cari
Find the values of m and the values of n.
5x + 4y = 7 …… 1 Gantikan nilai-nilai x ke dalam 3:
3 – 2 = 2 …… 2 Replace the values of x into 3:
x y
7 – 5x 1 2 7– 5 7
Daripada/From 1: y = 4 …… 3 7 10
x = 10 → y = 7
8 4
Gantikan/Replace 3 ke dalam/into 2: =
3 – 2 = 2 x = 3 → y= 7 – 5(3)
x 7 – 5x 4
4 = –2
31 7 – 5x 2 – 2x = 2x1 7 – 5x 2
4 4
1 7 , 7 2 → 13m = 7 , 2n = 7 2
21 – 15x – 8x = 14x – 10x2 10 8 10 8
10x2 – 37x + 21 = 0 \ m = 7 , n = 7
30 16
(10x – 7)(x – 3) = 0
x = 7 atau/or x = 3 (3, –2) → (3m = 3, 2n = –2)
10 \ m = 1, n = –1
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B6
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang sistem persamaan dalam konteks penyelesaian
masalah bukan rutin secara kreatif.
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
(a) Tiga orang pelajar, Ain, Milah dan Salma tidak akan menyatakan berat masing-masing, tetapi mereka 7
bersetuju untuk mengambil timbangan berat secara berdua. Berat Ain dan Milah bersama ialah 95 kg.
Berat Milah dan Salma bersama ialah 105 kg. Berat Ain dan Salma bersama ialah 110 kg. Cari berat bagi
setiap pelajar tersebut.
Three students, Ain, Milah and Salma will not disclose their weights but agree to be weighed in pairs. Ain and Milah
together weigh 95 kg. Milah and Salma together weigh 105 kg. Ain and Salma together weigh 110 kg. Find the
weight of each student.
Katakan x = berat/weight of Ain 4: x – z = –10
3: x + z = 110
Let y = berat/weight of Milah
z = berat/weight of Salma 4 – 3: –2z = –120
x + y = 95 …… 1 z = 60
y + z = 105 …… 2
x + z = 110 …… 3 Gantikan/Replace z = 60 ke dalam/into 2:
y + 60 = 105
1: x + y + 0 = 95 y = 45
2: 0 + y + z = 105
Gantikan/Replace z = 60 ke dalam/into 3:
1 – 2: x – z = –10 …… 4 x + 60 = 110
x = 50 LEMBARAN PBD
Maka, berat Ain, x = 50 kg, berat Milah, y = 45 kg
dan berat Salma, z = 60 kg
Thus, weight of Ain, x = 50 kg, weight of Milah, y = 45 kg
and weight of Salma, z = 60 kg
(b) Pada hari Isnin, Azwan membayar RM8.00 untuk 2 cawan kopi dan sekeping donut, termasuk tip. Pada
hari Selasa, dia membayar RM6.50 untuk secawan kopi dan dua keping donut, termasuk tip. Pada hari
Rabu, dia membayar RM5.00 untuk secawan kopi dan sekeping donut, termasuk tip. Jika dia memberi
tip dengan jumlah yang sama setiap kali, cari harga secawan kopi dan sekeping donut.
On Monday, Azwan paid RM8.00 for two cups of coffee and one piece of doughnut, including the tips. On Tuesday, he
paid RM6.50 for 2 pieces of doughnuts and one cup of coffee, including tips. On Wednesday, he paid RM5.00 for one
cup of coffee and one piece of doughnut, including tips. If he always tip the same amount, find the amount of one cup
of coffee and one piece of doughnut.
Katakan x = harga secawan kopi 2: x + 2y + z = 6.50
Let price of coffee 3: x + y + z = 5.00
y = harga sekeping donut 2 – 3: y = 1.50
price of doughnut Gantikan y = 1.50 ke dalam 4:
z = tip yang diberi Replace y = 1.50 into 4:
tip given x – 1.50 = 1.50
2x + y + z = 8.00 …… 1
x + 2y + z = 6.50 …… 2
x = 3.00
x + y + z = 5.00 …… 3
Maka, harga secawan kopi, x = RM3.00 dan
1: 2x + y + z = 8.00 harga sekeping donut, y = RM1.50
2: x + 2y + z = 6.50
Thus, the price of coffee, x = RM3.00 and the price of
doughnut, y = RM1.50
1 – 2: x – y = 1.50 …… 4
B7 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
BAB 4: INDEKS, SURD DAN LOGARITMA
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang indeks, surd dan logaritma dalam konteks
penyelesaian masalah rutin yang mudah.
1. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Ungkapkan setiap yang berikut sebagai satu logaritma tunggal.
Express each of the following as a single logarithm.
8 1 2(i) 4 loga m – loga n + 3 loga p (ii) 3 logx a – 1 logx b + 2 logx c
= loga m4 – loga n + loga p3 2
1
= loga m4 × p3 = logx a3 – logx b2 + logx c2
n a3 × c2
1
1 2
1 2 m4p3 = logx
= loga n
b2
1 2 a3c2
= logx √b
(b) Cari nilai bagi setiap yang berikut.
Find the value of each of the following.
(i) 2 log2 4 + log2 5 – log2 10 (ii) 3 log4 2 + 2 log4 3 – 2 log4 6
= log2 42 + log2 5 – log2 10 = log4 23 + log4 32 – log4 62
16 × 5 1 2 8×9
10 36
LEMBARAN PBD 1 2
= log2 = log4
= log2 8 = log4 2
= log2 23 1
=3
= log4 42
1
= 2
(c) Selesaikan setiap persamaan yang berikut.
Solve each of the following equations.
(i) log3 (2x + 3) = 2 + log3 (2x – 1) (ii) 1 logp 9 + 1 logp 81 = 2
log3 (2x + 3) – log3 (2x – 1) = 2 2 4
11
2x + 3
log3 2x – 1 = 2 logp 92 + logp 814 = 2
2x + 3 = 32 logp 3(3) = 2
2x – 1
p2 = 9
2x + 3 = 18x – 9 p2 = 32
16x = 12 p = 3
x = 3
4
(d) DGiivbeenrilolgo2g32 3 =1.518.558a5nddalong2lo5g=2 5 = 2.322, cari nilai bagi setiap yang berikut.
= 2.322, find the value of each of the following.
(i) log2 360 = log2 (5 × 8 × 9) (ii) log2 33.75
= log2 (5 × 23 × 32)
log2 135 = log2 135 – log2 4
= log2 5 + 3 log2 2 + 2 log2 3 4 = log2 (5 × 33) – log2
22
= 2.322 + 3 + 2(1.585)
= log2 5 + 3 log2 3 – 2
= 8.492
= 2.322 + 3(1.585) – 2
= 5.077
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B8
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang indeks, surd dan logaritma dalam konteks
6 penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang indeks, surd dan logaritma dalam konteks
penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
2. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5
Solve each of the following.
(a) Diberi logx 2 = h dan logx 3 = k, ungkapkan log6 12 (b) Diberi y = pxn – 24 dan y = –8 apabila x = 2 dan
dalam sebutan h dan k.
y = 104 apabila x = 4, cari nilai p dan nilai n.
Given logx 2 = h and logx 3 = k, express log6 12 in terms Given y = pxn – 24 and y = –8 when x = 2 and y = 104
of h and k. when x = 4, find the value of p and of n. 9
logx 12 y = pxn – 24
logx 6
log6 12 = (2, –8) → –8 = p(2)n – 24
p(2)n = 16 ……… 1
= logx(4 × 3) (4, 104) → 104 = p(4)n – 24
logx(2 × 3)
p(2)2n = 128 ……… 2
= logx(22 × 3) 2 : p(2)2n = 128
logx(2 × 3) 1 p(2)n 16
2 logx 2 + logx 3 (2)2n – n = 8
logx 2 + logx 3
= 2n = 23
2h + k n = 3
h+k
= Gantikan/Replace n = 3 ke dalam/into 1: LEMBARAN PBD
p(2)3 = 16
p = 2
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
(a) Bilangan bakteria yang ada dalam suatu (b) Selepas n tahun, gaji tahunan Hasnul ialah
kultur selepas t minit diberi oleh persamaan 1 2RM22 21 n. Hitung tahun
900 20 bilangan dengan
Q(t) = Q0e0.04t di mana Q0 mewakili bilangan awal
bakteria. Cari masa yang diambil untuk bilangan keadaan gaji tahunannya melebihi RM35 000
bakteria bercambah daripada 500 kepada 2 000. untuk kali pertama.
The number of bacteria present in a culture after t 1 2After 900 21 n
oQf(bt)a=cteQri0ae.0.0F4tinwdhtehree n years, Hasnul’s salary is RM22 20
minutes is given by the equation to grow from 500 to .
tQim0 eretparkeesnenftosr the initial number Calculate the number of years such that his salary
the bacteria count exceed RM35 000 for the first time.
2 000.
Q(t) = Q0e0.04t 1 2 22 900 21 n . 35 000
2 000 = 500e0.04t 20
4 = e0.04t 1 2 21 n . 350
ln 4 = 0.04t ln e 20 229
ln 4 = 0.04t
1.386 = 0.04t 1 2 log1021 n . log10 350
20 229
t = 34.66 minit/minutes
n log10 21 . log10 350
20 229
n(0.0212) . 0.1842
n . 8.689
\ n = 9 tahun/years
B9 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
BAB 5: JANJANG
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri
dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang mudah.
1. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Sebutan ke-n, Tn suatu janjang aritmetik diberi Tn = 7n – 4
sebagai Tn = 7n – 4. Cari hasil tambah 6 sebutan
pertama janjang itu. a = T1 = 7(1) – 4 = 3
10 apTshroeTgnrne=thss7tieonrnm–. ,4T. nFionfdatnhearsiuthmmoetficthperfoirgsrte6ssitoenrmiss given T2 = 7(2) – 4 = 10
of the
d = T2 – T1 = 10 – 3 = 7
6
S6 = 2 [2(3) + 5(7)] = 123
(b) Cari nilai terkecil bagi n bagi janjang geometri 7[(22)–n – 1] . 350
1
7, 14, 28, 56, … supaya hasil tambah n sebutan 2n . 51
yang pertama adalah lebih daripada 350. n log10 2 . log10 51
Find the smallest value of n of the geometric progression n . log10 51
7, 14, 28, 56, … such that the sum of the first n terms log10 2
is greater than 350.
LEMBARAN PBD n . 5.67
n = 6
(c) Dalam suatu janjang geometri, sebutan kedua T2 = ar = 1 …… 1
2
ialah 1 dan sebutan ketiga ialah 1, cari hasil
2 T3 = ar2 = 1 …… 2
tambah tiga sebutan yang pertama.
1
In a geometric progression, the second term is 2 and 1 2 ar2 1
2 ÷ 1: ar = 1
the third term is 1, find the sum of the first three terms.
2
r = 2
Gantikan nilai r ke dalam 1:
Replace the value of r into 1:
a(2) = 1 → a = 1
2 4
1 [(2)3 – 1]
4
S3 =
2–1
7
= 4
(d) Sebutan kedua bagi satu janjang aritmetik ialah T2 = a + (2 – 1)d = 8
8 dan hasil tambah enam sebutan yang pertama a + d = 8 …… 1
ialah 30. Cari beza sepunya. S 6 = 26 [2a + (6 – 1)d] = 30
2a + 5d = 10
The second term of an arithmetic progression is 8 and …… 2
the sum of the first six terms is 30. Find the common
difference. 1 × 2: 2a + 2d = 16 …… 3
2 – 3: 3d = –6
d = –2
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B10
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri
6 dalam konteks penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang janjang aritmetik dan janjang geometri
dalam konteks penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
2. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5
Solve each of the following.
(a) Sebiji bola jatuh dari ketinggian 30 m. Setiap kali 30, 29.6, 29.2, 28.8, … 11
bola itu melantun ketinggiannya berkurangan a = 30,
0.4 m. Cari ketinggian lantunan selepas lantunan d = 29.6 – 30
ke-8. = –0.4
Tn = a + (n – 1)d
A ball is dropped from a height 30 m. The height of T9 = 30 + (9 – 1)(–0.4)
each bounce decreases by 0.4 m. Find the height of = 26.8 m
bounce after the 8th bounce.
(b) Hasil tambah 6 sebutan pertama satu janjang 6 [2a + 5d] = 39
2
aritmetik ialah 39 dan hasil tambah 6 sebutan 2a + 5d = 13 …… 1
berikutnya ialah –69. Cari sebutan pertama dan S12 – S6 = 12 [2a + 11d] – 39 = –69
2
beza sepunya.
2a + 11d = –5 …… 2
The sum of first six terms of an arithmetic progression is
39 and the sum of the next 6 terms is –69. Find the first 1 – 2: –6d = 18 LEMBARAN PBD
term and the common ratio.
d = –3
Gantikan nilai d = –3 ke dalam 1:
Replace the value of d = –3 into 1:
2a + 5(–3) = 13
a = 14
(c) Cari bilangan bulan yang diperlukan untuk n2 [2(100)2n+[1(n80–) 1)(20)] = 5 800
+ 20n] = 5 800
membayar hutang sebanyak RM5 8 00 dengan
10n2 + 90n – 5 800 = 0
ansuran bulanan sebanyak RM100 bagi bulan
n2 + 9n – 580 = 0
yang pertama dan bagi setiap bulan berikutnya
(n + 29)(n – 20) = 0
bertambah sebanyak RM20 secara berturutan.
Find the number of months needed to pay for the loan
of RM5 800 with an installment RM100 per month for
the first month and an increment of RM20 for the next n = –29 (tidak diterima), n = 20
(not accepted)
subsequent months.
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
(a) Dua buah kedai elektronik, Beta dan Gamma menjual komputer dari bulan Januari pada tahun 2017.
Two electronic shops, Beta and Gamma sell computers from the month of January in 2017.
(i) Kedai elektronik Beta menjual x buah komputer pada bulan Januari dan bertambah secara malar
sebanyak y buah komputer pada bulan-bulan berikutnya. Kedai elektronik Beta menjual 190 buah
komputer pada bulan Ogos dan jumlah jualan pada tahun pertama ialah 1 920 buah komputer. Cari
nilai x dan y.
The electronic shop Beta sells x computers in the month of January and increases constantly by y computers in
the subsequent months. The electronic shop Beta sells 190 computers in the month of August and the total sales
for the first year is 1 920 computers. Find the value of x and y.
B11 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
(ii) Kedai elektronik Gamma menjual 140 buah komputer pada bulan Mac dan bertambah sebanyak 10
buah komputer pada setiap bulan berikutnya. Nyatakan bulan apabila kedua-dua kedai elektronik
Beta dan Gamma menjual bilangan komputer yang sama.
The electronic shop Gamma sells 140 computers in the month of March and increased by 10 computers for every
subsequent month. State the month when both electronic computers Beta and Gamma sell the same number of
computers.
(i) T8 = a + 7d = 190
x + 7y = 190 …… 1
12
S12 = 2 [2x + 11y] = 1 920
2x + 11y = 320 ……
2
12 1 × 2: 2x + 14y = 380 …… 3
3 – 2: 3y = 60
y = 20
Gantikan/Replace y = 20 ke dalam/into 1.
x + 7(20) = 190
x = 50
(ii) T3 = a + 2(10) = 140
a = 120
TBeta = TGamma
50 + (n – 1)(20) = 120 + (n – 1)(10)
50 + 20n – 20 = 120 + 10n – 10
LEMBARAN PBD 10n = 80
n = 8
Kedua-dua kedai elektronik menjual bilangan komputer yang sama pada bulan Ogos.
Both the electronic shops sell the same number of computers in August.
(b) Sebuah trak menghantar 250 kg sayur-sayuran segar ke pasar pada hari Isnin. Sepanjang minggu
tersebut bermula dari hari Isnin hingga hari Sabtu, trak itu menghantar sayur-sayuran segar dengan
pertambahan jisim sayur-sayuran sebanyak 20% setiap hari bagi hari yang berikutnya.
A truck delivers 250 kg fresh vegetables to the market on Monday. Throughout the whole week from Monday to
Saturday, the truck delivers the fresh vegetables with a 20% increase in the mass of vegetables each day for the
subsequent days.
(i) Hitung jisim sayur-sayuran segar yang dihantar, dalam kg, pada hari kelima.
Calculate the mass of fresh vegetables delivered, in kg, for the fifth day.
(ii) Cari jumlah jisim sayur-sayuran segar, dalam kg, yang dihantar oleh trak itu dalam satu bulan.
[Andaikan bulan tersebut mempunyai 4 minggu].
Find the total mass of fresh vegetables, in kg, delivered by the truck in a month. [Assume that the month has 4
weeks].
(i) a = 250, r = 1.2 (ii) n = 6
Tn = ar n – 1
T5 = ar 4 S6 = a[r 6 – 1]
= 250(1.2)4 r–1
= 518.4 kg
= 250[(1.2)6 – 1]
1.2 – 1
= 2 482.48
Jumlah jisim dalam satu bulan
Total mass in a month
= 2 482.4 × 4
= 9 929.92 kg
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B12
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
BAB 6: HUKUM LINEAR
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang hukum linear dalam konteks penyelesaian
5 masalah rutin yang mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang hukum linear dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang kompleks.
1. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Ungkapkan y dalam sebutan x bagi graf bentuk tak linear. 13
Express y in terms of x for the non linear form graphs.
(i) xy (i) m = 7–1 Y = mX + c
2–0
1 xy = 3(x2) + 1
O
(2, 7) = 6 y = 3x + 1
x2 2 x
= 3
c = 1
(ii) lg y (ii) m = 5 –0 lg y = lg x – 5 + lg 105
0 –4 4
5
= – 5 lg y = lg 105 x – 5
4 4
c = 5 y = 105 x – 5 LEMBARAN PBD
4
Y = mX + c y = 105
O lg x lg y = – 5 (lg x) +5 5
4 4 x4
2. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following. 5
(a) Rajah menunjukkan garis lurus yang diperoleh dengan memplotkan y1
1 1 (4, 5)
y melawan x2 . Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan
3
p =1– q , cari nilai p dan q. 1
y x2
The diagram shows the straight line obtained when 1 is plotted against 1 . Variables x O x2
y value of p and of x2
p = 1 – q
and y are related by the equation y x2 , find the q.
m= 5 – 3 Bandingkan penyebut:
4 – 0
Compare denominator
= 1 1 = 3 → p= 1
2 p 3
q 1
c = 3 – p = 2
Y = mX + c q
1 2 1 = 1 1 +3 – 1 1 2 = 1
y 2 x2 3 2
p =1– q q = – 1
y x2 6
1 =– q + 1
y px2 p
B13 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
(b) Rajah menunjukkan garis lurus yang diperoleh dengan memplotkan log5 y log5 y
melawan log5 x. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan y = axn
dengan keadaan a dan n ialah pemalar. Cari nilai a dan n. (3, 7)
The diagram shows the straight line yob=taaixnnesduwchhtehnaltoag5aynids nplaortteecdoangsatainnstts.loFgin5 xd. Variables
x and y are related by the equation the value
of a and of n.
y = axn c = log5 a (1, 1)
= –2 O log5 x
log5 y = n log5 x + log5 a
kecerunan = n = 7–1 a = 5–2
3–1
14 gradient = 1
= 3 25
1
Y = 3X + c melalui/to (1, 1) \ a = 25 dan/and n = 3
1 = 3(1) + c
c = –2
(c) Rajah 1 dan Rajah 2 menunjukkan graf yang diukis oleh dua orang pelajar daripada persamaan tak
linear yang sama.
Diagram 1 and Diagram 2 show the graphs drawn by two students from the same non-linear equation.
y2 1
y2
LEMBARAN PBD (2, 10)
O yx
O xy (1, –1.5)
Rajah 1/ Diagram 1 Rajah 2/ Diagram 2
Cari persamaan tak linear yang asal.
Find the original non-linear equation.
Rajah/Diagram 1: y2 = m(xy) + c …… 1 4 × 2: 2 = 2m – 3c
2: 10 = 2m + c
Gantikan/Replace (2, 10) ke dalam/into 1:
10 = m(2) + c …… 2 Tolak/Subtract: –8 = –4c
1 ÷ y2: y2 = m (xy) + c c = 2
y2 y2 y2
Ganti /Replace c = 2 ke dalam/into 2:
1 = m1 x 2 + c1 1 2 …… 3 10 = 2m + 2
y y2
m = 4
Gantikan/Replace (1, –1.5) ke dalam/into 3: Persamaan tak linear yang asal ialah y2 = 4xy + 2.
1 = m(1) + c(–1.5) …… 4 Original non-linear equation is y2 = 4xy + 2.
Selesaikan persamaan serentak 2 dan 4:
Solve the simultaneous equation 2 and 4:
10 = 2m + c …… 2
1 = m – 1.5c …… 4
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B14
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang hukum linear dalam konteks penyelesaian
masalah bukan rutin secara kreatif.
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
Jadual menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, x dan y yang diperoleh daripada satu eksperimen.
The table shows the values of two variables, x and y obtained from an experiment.
x12345
y 3 0 –9 –24 –45 15
Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh persamaan p y x = 3kx dengan p dan k ialah pemalar.
+
The variables x and y and k are constants.
y are related by the equation p+x = 3kx where p
(i) Tukarkan persamaan y = 3kx ke dalam bentuk linear Y = mX + c. Seterusnya, lukis garis lurus
penyuaian terbaik. p+x
Convert the equation y = 3kx into the linear form Y = mX + c. Hence, draw the line of best fit.
p+x
(ii) Daripada graf anda di (i), cari nilai p dan nilai k.
From your graph in (i), find the values of p and of k.
y (i) p y x = 3kx
y/xx +
LEMBARAN PBD
y = 3kx(p + x)
6 y = 3kpx + 3kx2
4
2 ÷ x: y = 3kp + (3k)x
O 123456 x
–2 y
Y= x , X = x,
m = 3k
c = 3kp
x x12345
y 3 0 –3 –6 –9
x
–4 (ii) m = 6– (–6) = –3
0 –4
–6 3k = –3
k = –1
–8 c = 3kp = 6
3(–1)p = 6
–10 p = –2
\ p = –2, k = –1
B15 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
BAB 7: GEOMETRI KOORDINAT
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks
5 penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks
penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
1. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
16 (a) Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus 3x + 6y = 1 dan melalui titik P(3, –4).
Find the equation of the straight line that is perpendicular to straight line 3x + 6y = 1 and passes through point
P(3, –4).
3x + 6y = 1 Kedua-dua garis adalah berserenjang. Persamaan garis lurus ialah
6y = –3x + 1 Both the lines are perpendicular Equation of the straight line is
y = – 1 x + 1 m1m2 = –1 y – (–4) = 2(x – 3)
2 6
– 1 m2 = –1 y + 4 = 2x – 6
2
m1 = – 1 y = 2x – 10
2
m2 = 2
(b) Cari persamaan bagi lokus titik P(x, y) yang bergerak supaya jaraknya dari dua titik tetap A(2, 3) dan
B(–4, 5) adalah dalam nisbah AP : PB = 1 : 3.
Find the equation of the locus of a moving point P(x, y) such that its distance from two fixed points A(2, 3) and
B(–4, 5) are in the ratio AP : PB = 1 : 3.
LEMBARAN PBD AP = 1
PB 3
3AP = PB
3√(x – 2)2 + (y – 3)2 = √[x – (–4)]2 + (y – 5)2
9[(x – 2)2 + (y – 3)2] = (x + 4)2 + (y – 5)2
9(x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9) = x2 + 8x + 16 + y2 – 10y + 25
9x2 – 36x + 36 + 9y2 – 54y + 81 = x2 + 8x + 16 + y2 – 10y + 25
8x2 + 8y2 – 44x – 44y + 76 = 0
2x2 + 2y2 – 11x – 11y + 19 = 0
2. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5
Solve each of the following.
Rajah menunjukkan satu segi empat tepat PQRS yang dilukis pada satah cartes. y P
Diberi persamaan garis lurus PQ ialah y = x + 2.
The diagram shows a rectangle PQRS drawn on a cartesian plane. Given the equation of the
straight line PQ is y = x + 2.
Q(2, 4) S(7, k)
Cari /
Find
(i) nilai k, (ii) persamaan garis lurus PS. R(5, 1) x
the value of k, the equation of the straight line PS.
O
(i) y = x + 2 (ii) Kecerunan/Gradient PS = Kecerunan /Gradient QR
Kecerunan/Gradient PQ = 1 = 4– 1 = –1
Kecerunan RS = Kecerunan PQ 2– 5
Gradient RS Gradient PQ
y = –x + c
k – 1 = 1 Gantikan/Replace (7, 3):
7 – 5
3 = –7 + c
k – 1 = 7 – 5
k = 3 c = 10
Persamaan garis lurus PS ialah y = –x + 10
Equation of the straight line PS is y = –x + 10
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B16
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang geometri koordinat dalam konteks
penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif..
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
Rajah menunjukkan sebuah trapezium ABCD dengan keadaan BC selari dengan AD dan berserenjang dengan 17
CD.
The diagram shows a trapezium ABCD such that BC is parallel to AD and perpendicular to CD.
y
C(–2, 4)
D
A(–4, 0) Ox
B(1, –5)
(a) Cari koordinat titik D.
Find the coordinates of point D.
1
(b) Titik E berada di atas garis BC dengan keadaan luas segi tiga ACE ialah 2 luas segi tiga ABE. Cari koordinat LEMBARAN PBD
titik E.
1
Point E lies on BC such that the area of triangle ACE is 2 the area of triangle ABE. Find the coordinates of point E.
(a) mBC = 4 – (–5) = –3 (b) luas ∆ACE = 1
–2 – 1 luas ∆ABE 2
mBC = mAD = –3
1 × h × CE
Persamaan AD: y – 0 = –3(x – (–4)) 2 × h × BE = 1
1 2
Equation y = –3x – 12 …… 1 2
mDC = 1 CE = 1
3 BE 2
Persamaan DC: y – 4 = 1 [x – (–2)]
3
Equation
1 14
y = 3 x + 3 …… 2 1 2
C(–2, 4) E(x, y) B(1, –5)
Selesaikan persamaan 1 dan 2:
2(–2) + 1(1) 2(4) + 1(–5)
Solve the equation 1 and 2: 1+2 1+2
1 2 E = ,
–3x – 12 = 1 x + 14
3 3
= = 1 –4 + 1, 8 – 52
–9x – 36 = x + 14 3 3
–10x = 50 = (–1, 1)
x = –5 \ E((–1, 1)
Gantikan/Replace x = –5 ke dalam/into 1.
y = –3(–5) – 12
= 3
\ D(–5,3)
B17 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
BAB 8: VEKTOR
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang vektor dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang mudah.
1. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Dalam rajah, OA = 12~a, OB = 12~b, OP = 4~a dan OQ = 4~b. Diberi O
PB, ungkapkan dalam sebutan ~a dan ~b.
PR = 1 Q
4
18 P
In the diagram, OA = 12a~, OB = 12b~, OP = 4a~ and OQ = 4b~. Given that R
PR = 1 in terms of a~ and b~,
4 PB, express
(i) BP (ii) AR (iii) QR
Adakah Q, R dan A segaris? Nyatakan nisbah AR : RQ. AB
Are Q, R and A collinear? State the ratio of AR : RQ.
(i) BP = BA + AP (ii) AR = AP + PR (iii) QR = QO + OP + PR
= OA – OB + OP – OA = OP – OA + 1 PB = –4~b + 4~a + 1 PB
= 12~a – 12~b + 4~a – 12~a 4 4
= 4~a – 12~b 1
= 4~a – 12~a + 4 (12~b – 4~a) = 4~a – 4~b + 3~b – ~a
= 3~a – ~b
= –9~a + 3~b
LEMBARAN PBD
AR = 3~b – 9~a
= 3(~b – 3~a)
= 3RQ
Maka, Q, R dan A adalah segaris.
Thus, Q, R and A are collinear AR = 3RQ
AR = 3
Maka/Thus, AR : RQ = 3 : 1 RQ 1
(b) Diberi bahawa AB = 5~i + 12~j dan CD = 10~i + (m – 3)~j . Cari nilai m jika AB adalah selari dengan CD.
Given that AB = 5~i + 12~j and CD = 10~i + (m – 3)~j . Find the value of m if AB is parallel to CD .
AB = lCD
5~i + 12~j = l[10~i + (m – 3)~j ]
5~i + 12~j = 10l~i + (m – 3)l~j
Bandingkan penyebut,
Compare denominator 5 = 10l
1
l = 2
12 = (m – 3)l
1 212 = (m – 3) 1
2
m – 3 = 24
m = 27
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B18
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
5
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang vektor dalam konteks penyelesaian
masalah rutin yang kompleks.
2. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5
Solve each of the following.
Dalam rajah, OA d=en3g~aandakneaOdBaa=n 5~b. Titik C terletak pada OA dengan keadaan OC : CA = 2 : 1 dan titik D
terletak pada OB OD : DB = 2 : 3. Garis-garis lurus AD dan BC bersilang pada titik E dengan
keadaan AE = hAD dan BE = k BC , di mana h dan k ialah pemalar.
In the diagram, OA = 3a~ and OB = 5b~. Point C lies on OA such that OC : CA = 2 : 1 and point D lies on OB such that 19
OD : DB = 2 : 3. Straight lines AD and BC intersect at point E such that AE = hAD and BE = kBC where h and k are
constants.
B
D
E
O CA
(a) Ungkapkan OE dalam sebutan LEMBARAN PBD
Express OE in terms of
(i) h, ~a dan / and ~b,
(ii) k, ~a dan / and ~b.
(b) Seterusnya, cari nilai h dan k.
Hence, find the value of h and of k.
(a) (i) AE = hAD (ii) BE = k BC (b) Bandingkan persamaan (a)(i)
OE – OA = h(OD – OA) OE – OB = k(OC – OB) dan (a)(ii):
Compare equation (a)(i) and (a)(ii):
OE = h(OD – OA) + OA OE = k(OC – OB) + OB 3 – 3h = 2k …… 1
1 2 1 2 = h 2 2 + OB 2h = 5 – 5k …… 2
5 OB – OA + OA = k 3 OA – OB
Dari 2: h = 5 – 5k …… 3
2
3 4 3 4 = h 2 2 + 5~b
5 (5~b) – 3~a + 3~a = k 3 (3~a) – 5~b Masukkan 3 ke dalam 1:
= 2h~b + (3 – 3h)~a = 2k~a + (5 – 5k)~b Insert 3 into 1:
3 – 315 –25k2 = 2k
6 – 15 + 15k = 4k
–9 = –11k
k = 9
11
Masukkan nilai k ke dalam 3:
Insert the value of k into 3:
h = 5 – 511912
2
= 5
11
B19 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang vektor dalam konteks penyelesaian
masalah bukan rutin secara kreatif.
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
Rajah menunjukkan sebuah taman permainan berbentuk segi tiga OPR R
2 1
1 2 1 2dengan = ~q, = 4OQ, = 3 dan = 3 PR . Diberi T
OP = ~p, OQ . OR PS PQ PT S
~p = 6 dan ~q = 2 P
–1 2
20
Diagram shows a triangular shape playground OPR where OP = p~, OQ = q~, Q
2 1 6 2 O
1 2 1 2OR 3 3 –1 2
= 4OQ, PS = PQ and PT = PR . Given p~ = and q~ = .
(a) Akim berjalan dari titik P ke titik Q. Hitung magnitud yang dilalui oleh Akim.
Akim walks from point P to point Q. Calculate the magnitude of his walk.
(b) Lili berlari dari titik P ke titik R. Cari vektor unit lariannya pada arah PR .
Lili runs from point P to point R. Find the unit vector of her runs in the direction of PR .
(c) Faizal berlari anak dari titik O ke titik T melalui titik S. Tentukan titik-titik O, S dan T adalah segaris.
Faizal jogs from point O to point T and passing through point S. Determine whether points O, S and T are collinear.
LEMBARAN PBD (a) PQ = PO + OQ (b) PR = PO + OR (c) OS = OP + PS
2
= –OP + OQ = –OP + 4OQ = OP + 3 PQ
= –~p + ~q = –~p + 4~q 2 = ~p + 2 (–~p + ~q)
– 1–61 2 41 2 2 3
= – 1–61 2 + 1 2 2 = + 1 2
2 3 3
1 –6 + 8 2 = ~p + ~q
1+8
= 1 –6 + 2 2 =
1+2
1 2 2 OT = OP + PT
9 1
= 1–342 = = ~p + 3 PR
uPQu = √(–4)2 + (3)2 u PR u = √(2)2 + (9)2 = ~p + 1 (–~p + 4~q)
= 5 unit 3
= √85 unit = 2 ~p + 4 ~q
3 3
Vektor unit pada arah PR
= 21 1 ~p + 2 ~q2
Unit vector in the direction of PR 3 3
= 2~i + 9~j \ OT = 2 OS
√85
Maka, titik-titik O, S dan T
adalah segaris.
Thus, the points O, S and T are
collinear
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B20
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
BAB 9: PENYELESAIAN SEGI TIGA
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penyelesaian segi tiga dalam konteks
5 penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penyelesaian segi tiga dalam konteks
penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
1. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Dalam rajah, PQS dan SQR ialah dua buah segi tiga. PQR ialah garis S 21
lurus. Hitung 6 cm 35°
R
In the diagram, PQS and SQR are two triangles. PQR is a straight line. 40° 75°
Calculate PQ
(i) panjang, dalam cm, SR, (ii) panjang, dalam cm, PQ,
the length, in cm, of SR, the length, in cm, of PQ,
(iii) luas ∆SQR.
area of ∆SQR.
(i) SR = 6 (ii) ∠PSQ = 180° – 40° – 105° (iii) ∠QSR = 180° – 75° – 35°
sin 75° sin 35° = 70°
= 35°
PQ 6
SR = 6 × sin 75° sin 35° = sin 40° Luas/Area ∆SQR
sin 35°
6 × sin 35° 1
= 10.104 cm PQ = sin 40° = 2 (6)(10.104) sin 70°
= 5.354 cm = 28.48 cm2 LEMBARAN PBD
2. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5
Solve each of the following.
(a) Rajah menunjukkan sebuah piramid dengan (b) Rajah menunjukkan sebuah kuboid. Hitung
tapak ∆PQR yang mengufuk. Diberi titik T adalah ∠AHC.
7 cm mencancang di atas Q. Cari luas permukaan
satah yang condong. The diagram shows a cuboid. Calculate ∠AHC.
The diagram shows a pyramid with ∆PQR as a HG
horizontal base. Given point T is 7 cm vertically above
Q. Find the area of the inclined plane. E F 5 cm
DC
T
Q 8 cm
10 cm
A 6 cm B
8 cm R AC = √82 + 62 = 10 cm
P AH = √52 + 82 = 9.43 cm
CH = √62 + 52 = 7.81 cm
PR = √82 + 102 = 12.81 cm
PT = √72 + 82 = 10.63 cm AC2 = AH2 + CH2 – 2(AH)(CH) kos ∠AHC
TR = √72 + 102 = 12.21 cm 102 = 9.432 + 7.812 – 2(9.43)(7.81) kos ∠AHC
100 = 149.921 – 147.297 kos ∠AHC
s= 12.81 + 10.63 + 12.21 = 17.83 ∠AHC = 70°11’
2
Luas ∆PQR
= √17.83(17.83 – 12.81)(17.83 – 10.63)(17.83 – 12.21)
= √17.83(5.02)(7.2)(5.62)
= 60.18 cm2
B21 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang penyelesaian segi tiga dalam konteks
penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
Suatu kawasan berbentuk segi tiga diperuntukkan untuk pembinaan rumah, C
di mana kawasan itu dibahagikan kepada dua bahagian. Dua batang jalan 120 m
22 bersebelahan, AB dan AC masing-masing berukuran 100 m dan 120 m. AB A 100 m B
adalah dalam arah Timur manakala AC dalam arah Timur Laut. Pelan pembinaan
ditunjukkan dalam rajah.
A triangular region has been set aside for a housing development, which is to be divided into
two sections. Two adjacent street, AB and AC measuring 100 m and 120 m respectively.
AB is in the easterly direction while AC runs in a north-east direction. The plan for this
development is shown in the diagram.
LEMBARAN PBD (a) Cari luas kawasan pembinaan perumahan.
Find the area covered by the housing development.
(b) Semasa projek pembinaan dijalankan, satu pasukan alam sekitar menegaskan bahawa pokok-pokok
yang wujud tidak boleh ditebang daripada sempadan ketiga. Perkara ini menyulitkan bagi ahli ukur
untuk mengukur panjang sempadan ketiga. Hitung panjang sempadan ketiga itu.
During the development project, an environmental team specified that existing trees were not to be removed from the
third frontage. This made it difficult for the surveyors to measure the length of the third frontage. Calculate the length
of the third frontage.
(c) Kawasan perumahan itu dibahagikan kepada dua bahagian dengan membahagi dua sama sudut di A
dengan tembok bermula dari A ke sempadan BC. Cari panjang tembok tersebut.
The estate is to be divided into two regions by bisecting the angle at A with a wall running from A to the frontage BC.
Find the length of this wall.
(a) Luas/Area = 1 (100)(120) sin 45° C
2
= 4 242.64 m2 120 m
(b) BC2 = 1002 + 1202 – 2(100)(120) kos 45° U B
= 7 429.44 45°
BC = 86.19 m
45°
A 100 m
(c) sin1∠2A0BC = sin 45° C
86.19
sin ∠ABC = 0.9845 86.19 m
D
∠ABC = 79°54’ 120 m
∠ADB = 180° – 79°54’ – 22.5° 22.5°
= 77°36’
Katakan panjang tembok = x A 22.5° B
100 m
Let the length of wall = x
sin x = 100
79°54’ sin 77°36’
x = 100 × sin 79°54’
sin 77°36’
= 100.8 m
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B22
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
BAB 10: NOMBOR INDEKS
Tahap Penguasaan Tafsiran
4
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nombor indeks dalam konteks
5 penyelesaian masalah rutin yang mudah.
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nombor indeks dalam konteks
penyelesaian masalah rutin yang kompleks.
1. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4
Solve each of the following.
(a) Harga bagi komponen X pada tahun 2010 ialah RM299.00, hitung harganya pada tahun 2012. 23
The price for component X in the year 2010 was RM299.00, calculate its price in the year 2012.
Tahun Indeks harga komponen X P10 × 100 = 115 P12 × 100 = 145
P09 P09
Year Price index for X component P12
299 × 100 = 115 260 × 100 = 145
2010 (2009 = 100) P09 P09 = RM260
2011 P12 = RM377
115
130
2012 145
2. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5 LEMBARAN PBD
Solve each of the following.
(a) Jadual menunjukkan indeks harga bagi dua barangan A dan B. Cari nilai x dan y.
The table shows the price indices of two items A and B. Find the values of x and y.
Barangan 2008 (2006 = 100) Harga Indeks / Price Index 2010 (2008 = 100)
125 2010 (2006 = 100) x
Items 106 150
y 135
A
B
Barang/Item A: Barang/Item B:
P08 × 100 = 125 → P08 = 125 → P06 = 100 P08 × 100 = 106 → P08 = 106
P06 P06 100 P08 125 P06 P06 100
P10 × 100 = 150 → P10 = 150 P10 × 100 = 135 → P10 = 135
P06 P06 100 P08 P08 100
x = P10 × 100 y = P10 × 100
P08 P06
P10 P08
= P10 × P06 × 100 = P08 × P06 × 100
P06 P08
= 150 × 100 × 100 = 135 × 106 × 100
100 125 100 100
x = 120 y = 143.1
B23 © Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd.
Matematik Tambahan Tingkatan 4 Bonus untuk Guru
Tahap Penguasaan Tafsiran
6
Mengaplikasikan pengetahuan dan kemahiran yang sesuai tentang nombor indeks dalam konteks
penyelesaian masalah bukan rutin secara kreatif.
3. Selesaikan setiap yang berikut. TP 6
Solve each of the following.
Jadual menunjukkan indeks pencemaran bagi empat buah bandar P, Q, R dan S serta peratus pelajar yang
dirawat bagi bandar masing-masing.
The table shows the pollution indices of four towns P, Q, R and S with percentages of treatment students in the respective
towns.
24 Bandar Indeks pencemaran pada Perubahan indeks Peratus pelajar yang
tahun 2012 berasaskan pencemaran dari tahun 2012 dirawat
Town tahun 2010
ke tahun 2014 Percentage of treatment
P Pollution index in the year 2012 students
Q based on the year 2010 Change in pollution index from
R the year 2012 to the year 2014 10
S 112 40
Menyusut 5% / 5% decreases 20
140 30
Tidak berubah / No change
k
Menokok 15% / 15% increases
130
Tidak berubah / No change
LEMBARAN PBD (a) Jika indeks gubahan pencemaran bagi empat bandar itu pada tahun 2012 berasaskan tahun 2010 ialah
132, cari nilai k.
If the composite pollution index for the four towns in the year 2012 based on the year 2010 is 132, find the value of k.
(b) Seterusnya, hitung indeks gubahan pencemaran pada tahun 2014 berasaskan tahun 2010.
Hence, calculate the composite pollution index for the year 2014 based on the year 2010.
(c) Hitungkan bilangan maksimum pelajar yang dirawat pada tahun 2014 jika bilangan pelajar yang dirawat
pada tahun 2012 ialah 1 200 orang.
Calculate the maximum number of treated students in the year 2014 if the number of treated students in 2012 is 1 200
students.
(d) Dari tahun 2014 ke tahun 2016, indeks pencemaran setiap bandar itu meningkat sebanyak 10%. Hitung
peratus perubahan dalam indeks gubahan pencemaran dari tahun 2012 ke tahun 2016.
From the year 2014 to the year 2016, the pollution index of each town increased by 10%. Calculate the percentage of
changes of composite pollution index from the year 2012 to the year 2016.
(a) I = 132 (b) Bandar P: I14/10 = 112 × 0.95 = 106.4
Bandar Q: I14/10 = 140
112(10) + 140(40) + k(20) + 130(30) = 132 Bandar R: I14/10 = 129w × 1.15 = 148.35
100 Bandar S: I14/10 = 130
20k + 10 620 = 13 200
20k = 2 580 106.4(10) + 140(40) + 148.35(20) + 130(30)
100
k = 129 I =
(c) P14 × 100 = 135.31 → P14 = 135.31 = 13 531 = 135.31
P10 P10 100 100
PP1120 × 100 = 132 → P12 = 132 (d) P16 × 100 = 110 ⇒ P16 = 110
P10 100 P14 P14 100
PP1142 × 100 = P14 × P10 × 100 P16 × 100 = P16 × P14 × 100
P10 P12 P12 P14 P12
= 135.31 × 100 × 100 = 102.51 = 110 × 102.51 × 100
100 132 100 100
1 P2104 0
× 100 = 102.51 = 112.76
P14 = 1 230.12
Bilangan maksimum pelajar yang dirawat pada Peratus perubahan = 12.76%
tahun 2014 adalah seramai 1 230 pelajar Percentages of changes = 12.76%
The maximum number of treated students in year 2014
is 1230.
© Penerbitan Pelangi Sdn. Bhd. B24
MoMduOlRe E& 4TINGKATAN
KSSM
MATEMATIK TAMBAHAN Additional Mathematics
CIRI-CIRI HEBAT
NOTA IMBASAN CONTOH TERKERJA KESALAHAN LAZIM
Diselitkan dalam teks untuk Menunjukkan langkah-langkah Menunjukkan kesilapan yang biasa
ulang kaji efektif sesuatu konsep untuk menyelesaikan soalan dilakukan oleh murid
PETA KONSEP secara sistematik SOALAN MIRIP SPM
Mengintegrasikan konsep-konsep PRAKTIS SPM
sesuatu bab dan mengukuhkan
Menyediakan latihan berorientasikan Mendedahkan murid kepada soalan
kefahaman peperiksaan di akhir setiap bab berpiawai SPM
KBAT/i-THINK JAWAPAN LENGKAP DWIBAHASA
Menerapkan keperluan terkini Membantu murid menyemak jawapan Meningkatkan pemahaman teks
melalui peta i-THINK dan KBAT untuk membina keyakinan diri Kod melalui penggunaan bahasa Melayu
QR
dan bahasa Inggeris
JUDUL-JUDUL DALAM SIRI INI
www.PelangiBooks.com
• Kedai Buku Online • Perpustakaan Online •
W.M: RM11.65 / E.M: RM11.95
RC184131S
ISBN: 978-967-2930-01-3
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
eBook M&M 2021 Matematik Tam Tg4
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search