Module & More Add Math Tg 4

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang

CONTOH 6 (f) Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang
n
Hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang aritmetik diberi oleh Sn = 2 (15 – 5n). Hitung

aritmetik diberi oleh Sn = n(3 + 2n). Hitung sebutan sebutan pertama dan beza sepunya.
pertama dan beza sepunya.
The sum of the first n term of an arithmetic progression
n
The sum of the first n term of an arithmetic progression is is given by Sn = 2 (15 – 5n). Calculate the first term and

given by dSinffe=renn(c3e.+ 2n). Calculate the first term and the the common difference.
common

Penyelesaian: Sn = n (15 – 5n)
Sn = n(3 + 2n) 2
a = S1 = 1[3 + 2(1)] = 5
\  a = 5 a = S1 = 1 [15 – 5(1)] = 5
S2 = 2[3 + 2(2)] = 14 2
T2 = S2 – S1
= 14 – 5 = 9 \  a = 5

d = T2 – T1 = 9 – 5 S2 = 2 [15 – 5(2)] = 5
\  d = 4 2

T2 = S2 – S1
= 5 – 5 = 0

d = T2 – T1 = 0 – 5
\  d = –5

BAB 5 CONTOH 7 (g) 4, 1, –2, … ialah suatu janjang aritmetik. Cari

3, 121, 8, … ialah suatu janjang aritmetik. Cari nilai nilai terkecil bagi n supaya sebutan ke-n adalah
terkecil bagi n supaya sebutan ke-n adalah lebih
daripada 40 untuk kali pertama. kurang daripada –60 untuk kali pertama.

4, 1, –2, … is are arithmetic progression. Find the
smallest value of n such that the nth term is less than
–60 for the first time.

3, 11 , 8, … is an arithmetic progression. Find the smallest a = 4,  d = 1 – 4 = –3
2
value of n such that the nth term is greater than 40 for the
Tn = a + (n – 1)d , –60
first time. 4 + (n – 1)(–3) , –60

Penyelesaian: –3n , –60 – 3 – 4

a = 3,  d = 11 –3 = 5 –3n , –67
2 2
n . 22.33

T n = a + (n – 1)d . 40 \  n = 23

3 + (n – 1)( 5 ) . 40
2

3+ 5 n – 5 . 40
2 2

5 n . 40 – 3 + 5
2 2

5 n . 79
2 2

5n . 79
n . 15.8
\  n = 16

90

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang 

(h) Sebiji bola jatuh dari ketinggian 20 m. (i) Seutas tali dengan panjang 45 m dipotong
Setiap kali bola itu melantun ketinggiannya
berkurangan 0.3 m. Cari ketinggian lantunan kepada beberapa bahagian supaya panjang setiap
selepas lantunan ke-11.
bahagian membentuk suatu janjang aritmetik.
A ball is dropped from a height 20 m. The height of
each bounce decreases by 0.3 m. Find the height of Panjang bahagian tali yang terpendek dan
bounce after the 11th bounce.
terpanjang masing-masing ialah 50 cm dan 4 m.
20, 19.7, 19.4, 19.1, …
Cari bilangan bahagian tali yang telah dipotong.
a = 20,  d = –0.3
A piece of string with length 45 m is cut into several
T12 = 20 + 11(–0.3) pieces such that the length of the pieces forms arithmetic
= 16.7 m progression. The length of the shortest piece and the
longest piece of string is 50 cm and 4 m respectively.
Find the number of pieces of strings that are cut.

a = 50 cm = 0.5 m,  l = 4 m

Sn = n [a + l] = 45
2
n
2 [0.5 + 4] = 45
n = 20

5.2 Janjang Geometri BAB 5

Geometric Progressions

NOTA IMBASAN

Janjang Geometri
Geometric progressions

91

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang

9. Tentukan sama ada setiap yang berikut ialah janjang geometri atau bukan. TP 1

Determine whether each of the following is a geometric progression.

CONTOH 1 CONTOH 2

6, –18, 54, –162, … 40, 60, 80, 100, …

Penyelesaian: Penyelesaian:

T2 = –18 = –3 T2 = 60 = 3
T1 6 T1 40 2

T3 = 54 = –3 T3 = 80 = 4
T2 –18 T2 60 3

T4 = –162 = –3 T4 = 100 = 5
T3 54 T3 80 4

r = –3 (pemalar / Constant) r bukan satu pemalar / r is not a constant

Suatu janjang geometri Bukan suatu janjang geometri

A geometric progression Not a geometric progression

(a) 15, −30, 60, −120, … (b) 2 ,  4 ,  6 ,  12 , …
3 9 27 81
BAB 5 T2 –30
T1 = 15 = –2 T2 = 4 ÷ 2 = 2
T1 9 3 3

T3 = 60 = –2 T3 = 6 ÷ 4 = 1
T2 –30 T2 27 9 2

T4 = –120 = –2 T4 = 12 ÷ 6 = 2
T3 60 T3 81 27 3

r = –2 (pemalar / Constant) r bukan pemalar./ r is not a constant

\ Ini ialah janjang geometri. \ Ini bukan janjang geometri.

This is a geometric progression. This is not a geometric progression.

10. Nyatakan sebutan pertama dan nisbah sepunya bagi setiap janjang geometri yang berikut. TP 2

State the first term and the common ratio for each of the following geometric progression.

CONTOH 1 CONTOH 2 CONTOH 3

3, −12, 48, −192, … 1 , 1 , 1.4, … 32, −16.8, 48, −4, …
16 4
Penyelesaian: Penyelesaian:
Penyelesaian:
a=3 a = 32
a = 1
r = –12 = −4 16 r = –4 = − 1
3 8 2
1

r= 4 = 16 = 4
1 4

16

(a) 6, −12, 24, −48, … (b) 64, 16, 4, 1, … (c) 2 , 10 , 50 , 250 ,…
3 3 3 3
a=6 a = 64
2
r= –12 = 2 r= 1 a= 3
6 4
10

r= 3 = 10 = 5
2 2

3

92

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang 

11. Tentukan nilai sebutan tertentu bagi janjang geometri yang berikut. TP 3

Determine the value of the specific term for the following geometric progression.

CONTOH 1 CONTOH 2

256, −64, 16, … 9, 18, 36, …

Cari / Find  T8. Cari / Find  T10.
Penyelesaian:
Penyelesaian:
a = 256
a=9
16 1
r= –64 =– 4 r = 18 = 2
9
Tn = ar n – 1
Tn = ar n – 1
1 2T8 = 256 – 1 8–1 T10 = 9(2)10 – 1
4 = 9(512)

= 2561– 1 2 = 4608
16384

= – 1
64

(a) –6, 18, –54, 162, … ; cari sebutan ke-7. ( b) 14 , 1 , 1 , 1 , … ; cari sebutan ke-9. BAB 5
8 16 32
find the 7th term. find the 9th term.

a = –6,  r= 18 = −3 a= 1 ,   r = 1 ÷ 1 = 1
–6 4 8 4 2

T7 = ar6 T9 = ar8
= (–6)(−3)6
= –4 374 = 1 1 21 1 28
4 2

= 1 1
024

12. Hitung bilangan sebutan bagi setiap janjang geometri yang berikut. TP 3

Calculate the number of terms in each of the following geometric progressions.

CONTOH 1 CONTOH 2

1, –2, 4, –8, …, –512 2, 1,  1 ,  1 , …,  1
2 4 64

Penyelesaian: Penyelesaian:

a = 1,  r = –2 = –2 a = 2,   r = 1
1 2

–512 = (1)(–2)n − 1 1 2 1 = (2) 1 n−1
64 2
(–2)9 = (–2)n­ – 1

n – 1 = 9 1 2 1 = 1 n−1
128 2
n = 10

1 2 1 2 1 7 = 1 n−1
2 2

n − 1 = 7

n = 8

93

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang

(a) 7, 21, 63, 189, …, 1 701 (b) 3, −9, 27, –81, …., −6 561

a = 7,  r = 21 = 3 a = 3,   r = –9 = –3
7 3

1 701 = (7)(3)n − 1 –6 561 = (3)(–3)n − 1

243 = (3)n − 1 –2 187 = (–3)n − 1

(3)5 = (3)n – 1 (–3)7 = (–3)n – 1

n – 1 = 5 n – 1 = 7

n = 6 n = 8

(c) 0.6, –1.8, 5.4, –16.2, …, –11 809.8 (d) 1, 2 , 4 , 8 , …, 32
3 9 27 243
–1.8
a = 0.6,   r = 0.6 = –3 1 2 a = 1,  r= 2
3
–11 809.8 = (0.6)(–3)n − 1 32 = (1) 2 n−1
243 3
–19 683 = (–3)n − 1

(–3)9 = (–3)n – 1 1 2 1 2 2 5 = 2 n−1
3 3
n – 1 = 9
n – 1 = 5
n = 10
n = 6
BAB 5
13. Tentukan hasil tambah n sebutan pertama bagi suatu janjang geometri. TP 3

Determine the sum of the first n terms in a geometric progression.

CONTOH 1 CONTOH 2

256, 64, 16, 4, … (5 sebutan yang pertama) 7, 42, 252, 1 512, … (7 sebutan yang pertama)

(first 5 terms)   (first 7 terms)

Penyelesaian: Penyelesaian:

a = 256,  r = 64 = 1 a = 7,  r = 42 = 6
256 4 7

Sn = a(1 – rn) Sn = a(rn – 1)
1–r 1–r

25631 – 1 1 254 Tip S7 = 7[(6)7 – 1] Tip
4 6–1
S5 = r,1 r.1
1 = 391 909
1– 4 \ Sn = a(1 – rn) \ Sn = a(rn – 1)
1 – r r–1

= 341

(a) –3, 6, –12, 24, … (6 sebutan yang pertama) (b) 0.3, 1.2, 4.8, 19.2, ... (5 sebutan yang pertama)
(first 6 terms) (first 5 terms)


a = –3,   r = 6 = −2 a = 0.3,  r = 1.2 = 4
–3 0.3

Sn = a(1 – r n) Sn = a(r n – 1)
1–r r–1

S6 = (–3)[1 – (–2)6] S6 = 0.3[(4)5 – 1]
1 – (–2) 4–1

= 63 = 102.3

94

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang 

14. Hitung hasil tambah sebutan tertentu yang berturutan bagi suatu janjang geometri. TP 4

Calculate the sum of specific number of consecutive terms in a geometric progression.

CONTOH 1 CONTOH 2

8, 12, 18, 27, …. 51.2, 12.8, 3.2, 0.8, …
(sebutan ke-6 hingga sebutan ke-10) (sebutan ke-5 hingga sebutan ke-9)

(6th term to 10th term) (5th term to 9th term)

Penyelesaian: Penyelesaian:

a = 8,  r = 12 = 1.5 a = 51.2,   r = 12.8 = 1
8 51.2 4

Hasil tambah T6 hingga T10 / Sum of T6 to T10 Hasil tambah T5 hingga T9/ Sum of T5 to T9
= S10 – S5 = S9 – S4

= 8[(1.5)10 – 1] − 8[(1.5)5 – 1] 51.231 – 1 1 294 51.231 – 1 1 244
1.5 – 1 1.5 – 1 4 4
= –
58 025 211 1 1 2 1 1 2
= 64 – 2 1 – 4 1 – 4

= 51 273 = 68.2664 – 68
64
= 0.2664 BAB 5

( a) 1, 12 , 1 , 1 , … (sebutan ke-7 hingga sebutan ke-12) (b) 4, 5, 245 , 125 , … (sebutan ke-5 hingga sebutan ke-10)
4 8 16
(7th term to 12th term) (5th term to 10th term)

1 1 a = 4,   r = 5
2 4
a = 1,   r = 2 =
1
Hasil tambah T5 hingga T10
Hasil tambah T7 hingga T12 = S10 – S4
= S12 – S6
431 5 210 – 14 431 5 24 – 14
131 – 1 1 2124 131 – 1 1 264 4 4
2 2 = −
= − 5 5
1 1 2 1 1 2 4 –1 4 –1
2 2
1 – 1 –

= 4 095 – 63 = 133.01 – 23.06
2 048 32 = 109.95

= 63
2 048

95

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang

15. Tentukan bilangan sebutan, n, bagi janjang geometri yang berikut. TP 4

Determine the number of terms, n, of the following geometric progressions.

CONTOH 1 CONTOH 2

Sn = 1 275, a = 5, r = 2 Sn = 189 , a = 6, r = 1
16 2

Penyelesaian: Penyelesaian:

5[(2)n – 1] = 1 275 631 – 1 1 2n4
2– 1 2
= 189
2n = 256 1 16
1– 2
2n = 28

n = 8 1 1 2n = 1
2 64

1 1 2n = 1 1 26
2 2

n = 6

BAB 5 (a) Sn = 1 107 3 ,  a = 84,  r = 3 (b) Sn = 21 845 ,  a = 1 ,  r = 4
4 2 64 64

843 1 3 2n – 14 4 431 1 [(4)n – 1]
2 4 64 4–1
= 21 845
3 = 64
2 –1

1 23 n = 243 4n = 65 536
2 32 4n = 48
n = 8
1 3 2n = 1 3 25
2 2

n = 5

CONTOH 3 CONTOH 4

Sn . 1 602, a = 1.5, r = 1.5 Sn , 2 570, a = 8, r = 2
Penyelesaian: Penyelesaian:

1.5[(1.5)n – 1] . 1 602 8[(2)n – 1] , 2 570
1.5 – 1 2– 1

1.5n . 535 2n , 322.25

n log10 1.5 . log10 535 n log10 2 , log10 322.25

n . log10 535 n , log10 322.25
log10 1.5 log10 2

n . 15.49 n , 8.33

n = 16 n = 8

96

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang 

(c) Sn . 96, a = 4 , r = 3 (d) Sn , 30, a = 23, r = 0.3
5

45 (33–n – 1) . 96 231(1––00.3.3n) , 30
1
3n . 241 0.3n . 0.087

n log10 3 . log10 241 n log10 0.3 . log10 0.087

n . log10 241 n , log10 0.087
log10 3 log10 0.3

n . 4.99 n , 2.028

n = 5 n = 2

16. Tentukan hasil tambah hingga ketakterhinggaan sesuatu janjang geometri.   TP 3 BAB 5

Determine the sum to infinity of a geometric progression.

CONTOH 1 CONTOH 2

100, 50, 25, … 150, 60, 24, 9 3 , …
5
Penyelesaian:
Penyelesaian:
a = 100,   r = 50 = 1
100 2 a = 150,  r = 60 = 0.4
150
100
S∞ = 150
1 S∞ = 1 – 0.4
1– 2

= 200 = 250

(a) 72, 36, 18, 9, … (b) 0.51, 0.0051, 0.000051, … (c) 8, 2, 1 , 1 , …
2 8

a = 72,   r = 36 = 1 a = 0.51, r = 0.0051 = 0.01 a = 8,   r = 2 = 1
72 2 0.51 8 4

S∞ = 72 S∞ = 0.51 S∞ = 8
1 – 0.01
1– 1 1– 1
2 4
= 17
= 144 33 = 32
3

97

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang

17. Ungkapkan nombor perpuluhan jadi semula berikut dalam pecahan termudah. TP 4

Express the following recurring decimals as a fraction in its simplest form.

CONTOH 1 CONTOH 2

0.5555… 0.313131….

Penyelesaian: Penyelesaian:

0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 + … 0.31 + 0.0031 + 0.000031 + …

a = 0.5,   r = 0.05 = 1 a = 0.5,   r = 0.0031 = 1
0.5 10 0.31 100

S∞ = 0.5 S∞ = 0.31

1 – 1 1 – 1
10 100
31
= 5 = 99
9

(a) 0.8888… (b) 0.454545… (c) 0.132132…

BAB 5 0.8 + 0.08 + 0.008 + 0.0008 + … 0.45 + 0.0045 + 0.000045 + … 0.132 + 0.000132 + …

a = 0.8, r = 0.08 = 1 a = 0.45, r = 0.0045 = 1 a = 0.132, r = 0.000132 = 1 1
0.8 10 0.45 100 0.132 000

S∞ = 0.8 S∞ = 0.45 S∞ = 0.132

1 – 1 1 – 1 1 – 1 1
10 100 000
8
= 9 = 5 = 44
11 333

18. Selesaikan masalah berikut yang melibatkan janjang geometri. TP 5

Solve the problems involving geometric progressions.

CONTOH 1 CONTOH 2

Diberi 4p + 7, p + 4 dan –p + 8 adalah tiga sebutan Dalam suatu janjang geometri, Tn = 3n + 1, cari
sebutan pertama dan nisbah sepunya.
yang berturut-turut bagi janjang geometri, cari = 3n
In a geometric progression, Tn + 1. Find the first term and
nilai-nilai yang mungkin bagi p. the common ratio.

Given 4p + 7, p + 4 and –p + 8 are three consecutive terms Penyelesaian:
in a geometric progression, find the possible values of p.

Penyelesaian: a = T1 = 31 + 1
= 32
p+4 = –p + 8 = 9
4p + 7 p+4

(p + 4)2 = (4p + 7)(–p + 8) T2 = 32 + 1
= 33
p2 + 8p + 16 = –4p2 + 32p – 7p + 56 = 27

5p2 – 17p – 40 = 0

( 5p + 8)(p – 5) = 0 27
9
p =– 8   atau  p =5 r =
5
= 3

98

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang 

(a) Diberi m – 4, m dan 5m – 12 adalah tiga sebutan (b) Dalam suatu janjang geometri, Tn = 2n + 3, cari
pertama yang positif, bagi janjang geometri, sebutan pertama dan nisbah sepunya.
cari nisbah sepunya dan sebutan kelima. = 2n
In a geometric progression, Tn + 3, find the first term
Given m – 4, m and 5m – 12 are the first three positive and the common ratio.
terms in a geometric progression, find the common
Tn = 2n + 3
ratio and the fifth term.
a = T1 = 21 + 3
m 4 = 5m – 12 = 24
m– m = 16
m2 = (5m – 12)(m – 4)

m2 = 5m2 – 20m – 12m + 48

4m2 – 32m + 48 = 0 T2 = 22 + 3
= 25
m2 – 8m + 12 = 0 = 32

(m – 6)(m – 2) = 0

m = 6   atau   m = 2 (tidak diterima) r = 32
16
or (not accepted)

Bila / When m = 6:  2, 6, 18, … = 2

r = 6
2

= 3

T5 = 2(3)4 BAB 5
= 162

CONTOH 3 CONTOH 4

Dalam suatu janjang geometri, sebutan kedua Diberi suatu janjang geometri 7, 14, 28, 56, ….
1
ialah –1 dan sebutan kelima ialah 27 , cari sebutan Cari nilai terkecil bagi n apabila hasil tambah n
pertama dan nisbah sepunya.
In a geometric progression, the second term is –1 and the sebutan yang pertama adalah lebih daripada 350.
1
fifth term is 27 , find the first term and the common ratio. Given a geometric progression 7, 14, 28, 56, …. Find the
smallest value of n when the sum of the first n terms is
greater than 350.

Penyelesaian: Penyelesaian:

T2 = ar = –1 …… (i) a= 7,  r= 14 = 2,
T5 = ar 1 7
4 = 27 …… (ii)

7[(2)n – 1] . 350
2– 1
(ii) ÷ (i): r3 = – 1
27 2n . 51

1 2 r3 = – 1 3  n log10 2 . log10 51
3
n . log10 51
\  r = – 1 log10 2
3
n . 5.672
1 2Gantikan nilai r dalam (i):  a– 1 = –1 \ n = 6
\  3 3
Replace r into (i)
a =

99

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang

(c) Dalam suatu janjang geometri, sebutan ke-3 (d) Diberi suatu janjang geometri 16, 24, 36, … .

ialah 12 dan sebutan ke-7 ialah 192. cari Cari nilai terkecil bagi n di mana hasil tambah

sebutan pertama dan nisbah sepunya. n sebutan yang pertama adalah lebih daripada

In a geometric progression, the 3rd term is 12 and the 2  000.
7th term is 192, find the first term and the common
ratio. Given a geometric progression 16, 24, 36, …. Find the
smallest value of n such that the sum of the first n terms
is greater than 2 000.

T3 = ar2 = 12 …… (i) a = 16,  r = 24 = 1.5
T7 = ar6 = 192 …… (ii) 16
(ii) ÷ (i): r 4 = 16
16[(11..55)–n – 1)]
r 4 = (2)4 1 . 2 000

\  r = 2 1.5n . 63.5

Gantikan nilai r dalam (i): a(2)2 = 12 n log10 1.5 . log10 63.5

Replace r into (i) \  a = 3 n . 10.24

\ n = 11

BAB 5 CONTOH 5 (e) Jadual menunjukkan keuntungan yang disimpan

Keuntungan sebuah kedai bertambah 5% setiap oleh Encik Zarul pada tiga tahun yang pertama,
tahun. Jika keuntungan kedai itu ialah RM30 000
pada tahun 2011, cari mulai tahun 2009. Dia tidak membuat sebarang

The profit of a shop increases 5% every year. If the profit of pengeluaran dalam tempoh 10 tahun.
the shop is RM30 000 in the year 2011, find
Table shows the profit kept by Encik Zarul for the first
(a) keuntungan kedai itu pada tahun 2015, three years, starting in the year 2009. He will not make
any withdrawals in the next 10 years.
the profit of the shop in the year 2015,
Pada akhir tahun Keuntungan (RM)
(b) jumlah keuntungan kedai itu dari tahun 2011
hingga tahun 2018. At the end of year Profit (RM)

the total profit of the shop from the year 2011 to the 2009 4 000
year 2018.
2010 4 200

2011 4 410

Penyelesaian: Keuntungan Encik Zarul bertambah bagi tahun-
a = 30 000,   r = 105% = 1.05
Tn = arn tahun berikutnya dan nilai keuntungan pada

(a) T5 = 30 000(1.05)4 akhir setiap tahun membentuk suatu janjang
= RM36 465.19
geometri.
(b) Sn = a(r n – 1)
r–1 Encik Zarul’s profits increase for the subsequent years
and the amount of money at the end of each year forms
= (1.05n – 1) a geometric progression.
1.05 – 1
(i) Nyatakan nisbah sepunya keuntungannya.
30 000(1.058 – 1)
1.05 – 1 State the common ratio for his profit.

(ii) Hitung nilai keuntungan pada hujung tahun

ke-10.

Calculate the amount of his profit at the end of 10
years.

S8 = 4 200
4 000
= RM286 473.27 (i) r = = 1.05

(ii) T10 = 4 000(1.05)9
= RM6 205.31

100

PRAKTIS   Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang 

SPM 5

Kertas 1 3. Diberi bahawa sebutan ketiga bagi suatu janjang

1. Hasil tambah m sebutan pertama bagi suatu geometri melebihi sebutan kedua sebanyak 30a.

2019 janjang aritmetik ialah Sm = k + 2 (a + 13), dengan Cari nilai-nilai nisbah sepunya, r, dengan keadaan
2
keadaan k ialah pemalar, a ialah sebutan pertama a ialah sebutan pertama bagi janjang itu.

dan 13 ialah sebutan terakhir. Given that the third term of a geometric progression
exceeds the second term by 30a. Find the values
The sum of the first m terms of an arithmetic progression of common ratio, r, where a is the first term of the
progression.

is Sm = k 2+an2d(a13+i1s 3th)e, such that k is a constant, a is the T2 = ar , T3 = ar2
last term.
first term T3 − T2 = ar2 − ar = 30a
r2 − r = 30
(b) Ungkapkan k dalam sebutan m.
Express k in terms of m. r2 − r − 30 = 0

(b) Nyatakan julat nilai k. (r − 6)(r + 5) = 0
State the range of values of k.
\  r = 6 , −5

(a) Sn = n (a + l) BAB 5
2
4. Diberi bahawa 2m, 4 dan 6n ialah tiga sebutan
Sm = k + 2 (a + 13)
2 pertama bagi suatu janjang geometri. Ungkapkan
2018 dalam sebutan n,
\  m = k + 2
It is given that 2m, 4 and 6n are the first three terms of a
  k = m – 2 geometric progression. Express in terms of n,

(b) n > 0 (a) sebutan pertama dan nisbah sepunya janjang
k + 2 > 0
k > –2 itu,

2. CbDaaibgriei rssiuebabutauthajanawnkajea-nhnga.sairlittmametbikahialnahseSbn u=ta2nn(1p8er–ta8mn)a. the first term and the common ratio of the progression,

2017 (b) hasil tambah sebutan hingga ketakterhinggaan

janjang itu.

the sum to infinity of the progression.

Given that the sum of the first n terms of an arithmetic (a) 24m = 6n
n 4
2
progression is Sn = (18 – 8n). Find the nth term. 2m = 16  →   a = 8
6n 3n
1
2
a = T1 = S1 =  [18 – 8(1)] m = 4
3n
a = 5
1 2 r = 4 = 4  = 3n
2 2m 2
S2 = 2 [18 – 8(2)] 2 4
3n
= 2
(b) S∞ = a
T2 = S2 – S1 1–r
= 2 – 5
= –3 8

d = T2 – T1 = 3n
= –3 – 5
= –8 1 – 1 3n 2
2

= 8 × 2
3n 2 – 3n

Tn = 5 + (n – 1)(–8) = 16
= 5 + 8 – 8n 6n – 9n2
Tn = 13 – 8n

101

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang 6, 15, 24, …

5. Sebutan keempat bagi suatu janjang aritmetik a = 6
ialah 18 dan sebutan kelima ialah 26.
d = 15 – 6 = 9
2019 The fourth term of an arithmetic progression is 18 and the n
fifth term is 26. Sn = 2 [2(6) + (n – 1)(9)] = 666

(a) Nyatakan beza sepunya bagi janjang itu. n[12 – 9 + 9n] = 1 332

State the common difference of the progression. 9n2 + 3n – 1 332 = 0

(b) Hitung hasil tambah 28 sebutan pertama 3n2 + n – 444 = 0
janjang itu.
(3n + 37)(n – 12) = 0
Calculate the sum of the first 28 terms of the
progression. n = – 337  (t(indoatkadcciteeprtiemd)ao)r atau n = 12

(a) d = T5 – T4 \ n = 12
= 26−18
= 8 12 segi tiga sama sisi boleh dibentuk.

12 equilateral triangles can be formed.

(b) T4 = 18 7. Ahmad mempunyai RM60. Dia mula menyimpan
a + 3d = 18 RM5 setiap hari. Kumar mempunyai RM48 dan dia

a + 3(8) = 18 2016 mula menyimpan RM7 setiap hari. Selepas berapa
harikah jumlah simpanan mereka adalah sama?
a = 18 – 24
Ahmad has RM60. He starts to save RM5 each day.
BAB 5 = –6 Kumar has RM48 and he starts to save RM7 every day.
n After how many days their savings are the same?
Sn = 2 [2a + (n – 1)d]
Ahmad: a = 60, d = 5
S28 = 28 [2(–6) + (28 – 1)(8)] Tn = 60 + (n – 1)5
2 = 5n + 55 …… 1
Kumar: a = 48, d = 7
= 14(–12 + 216) Tn = 48 + (n – 1)7
= 7n + 41 …… 2
= 2856 1 = 2 : 5n + 55 = 7n + 41
14 = 2n
6. Seutas dawai dengan panjang 6.66 m dipotong n = 7
\  Jumlah simpanan mereka sama selepas 7 hari.
2015 kepada beberapa bahagian. Setiap bahagian akan
membentuk satu segi tiga sama sisi. Rajah 5.1   Their total savings are the same after 7 days.

menunjukkan tiga buah segi tiga sama sisi yang 8. Bryan mengambil masa 1 minit untuk berbasikal

pertama yang telah dibentuk. sejauh 900 m yang pertama. Dia tidak dapat
2016 mengekalkan staminanya, maka bagi setiap 900  m
A wire with the length of 6.66 m is cut into several pieces.
Each piece is to form an equilateral triangle. Diagram 5.1
shows the first three triangles formed.

yang berikutnya, dia mengambil 1 lebih masa
10
8 cm 8 cm berbanding dengan masa yang diambil untuk
5 cm
5 cm 900 m yang sebelumnya. Dia merancang untuk
2 cm 2 cm

2 cm 5 cm 8 cm berbasikal sejauh 18 km dalam 30 minit. Adakah

Rajah 5.1 / Diagram 5.1 dia mampu melakukannya? Tunjukkan pengiraan

Berapa buah segi tiga sama sisi yang boleh untuk menyokong jawapan anda.
dibentuk? Bryan took 1 minute to cycle the first 900 m. He could
not sustain his stamina thus for each subsequent 900 m,
How many equilateral triangles can be formed? 1
he took 10 more time as compared to the time he took

for the previous 900 m. He planned to cycle a distance
of 18 km in 30 minutes. Could he achieve it? Show your

calculation to support your answer.

102

n = 18 km 10.   Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang 
900 m 
2014 18°
18 000 m 22°
= 900 m  26°
k°
= 20
O
Masa yang diambil, dalam s,

The time taken, in s,

60, 60 + 110(60), 60 + 110(60) + 110[60 + 110(60)], …
60, 66, 72.6, …

a = 60, r = 1.1, n = 20 Rajah di atas menunjukkan sebuah bulatan
dengan pusat O dibahagi kepada 10 sektor. Sudut
S20 = 60(1.12­ 0 – 1) sektor-sektor itu membentuk suatu janjang
1.1 – 1 dengan sebutan pertama 18°. Nyatakan

= 3 436.5 saat / seconds The diagram above shows a circle with centre O which
is divided into 10 sectors. The angles of the sectors form a
= 57.27 minit / minutes progression with the first term of 18°. State

= 57 minit / minutes 16.5 saat / seconds (a) sama ada janjang itu ialah suatu janjang
aritmetik atau janjang geometri,
Bryan tidak mampu melakukannya sebab dia BAB 5
mengambil masa lebih daripada 30 minit untuk whether the progression is an arithmetic progression
berbasikal sejauh 18 km. or a geometric progression,

Bryan could not achieve because he took more than 30 (b) nilai k,
minutes to cycle 18 km.
the value of k,
9. Tiga sebutan berturutan suatu janjang geometri
(c) hasil tambah semua sebutan dalam janjang itu.
2019 ialah 64, p dan q. Hasil tambah ketiga-tiga sebutan
itu ialah 52. Cari nilai-nilai yang mungkin bagi p the sum of all terms in the progression.

dan bagi q. (a) 18, 22, 26, k, …
Janjang itu ialah janjang aritmetik dengan
Three consecutive terms of a geometric progression are
64, p and q. The sum of these three terms is 52. Find the The progression is an arithmetic progression with
possible values of p and q.
a = 18, d = 22 – 18 = 4
64, p, q, …
(b) T4 = a + 3d 
p = q  k = 18 + 3(4)
64 p ∴ k = 30

p2 = 64q …… 1 (c) S10 = 120 [2(18) + 9(4)] = 360 atau
S10 = 360 (Sudut bagi putaran lengkap suatu
64 + p + q = 52
bulatan ialah 360°.)
q = –p – 12 …… 2
(The angle of the complete cycle of a circle is 360°)
2 → 1: p2 = 64(–p – 12)
11. Esther baru sahaja menamatkan pengajian sarjana
p2 = –64p – 768 muda dan mendapat tawaran kerja daripada

p2 + 64p + 768 = 0 2014 2 buah syarikat. Syarikat A menawarkan gaji
permulaan RM40 000 setahun dengan kenaikan
(p + 48)(p + 16) = 0 tahunan sebanyak 6% daripada gaji pokok.
Syarikat B menawarkan gaji permulaan RM36 000
 p = –48 p = –16 setahun dengan kenaikan tahunan 10% daripada
gaji pokok. Esther bercadang untuk memilih
  q = –(–48) – 12 q = –(–16) – 12 syarikat yang menawarkan jumlah pendapatan
yang paling tinggi dan menabung sebanyak 25%
= 36 = 4 daripada gajinya untuk melanjutkan pelajaran
selepas bekerja selama 7 tahun.
\  64, −48, 36, … atau / or 64, −16, 4, …

103

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang

Syarikat manakah yang patut Esther pilih? Kertas 2

Berapakah jumlah tabungan untuk melanjutkan 1. Rajah di bawah menunjukkan susunan kuboid-
kuboid yang mempunyai luas tapak yang sama,
pelajarannya? 16 cm2. Diberi tinggi kuboid yang pertama ialah
40 cm dan tinggi setiap kuboid yang berikutnya
[Bundarkan jawapan anda kepada RM terhampir] berkurangan sebanyak 2 cm.
[Isi padu kuboid = luas tapak × tinggi]
Esther has just completed her studies in bachelor degree
and is offered a job in 2 companies. Company A offered The diagram below shows the arrangement of cuboids
her an initial salary of RM40  000 per annum with 6% with same area of base, 16 cm2. Given that the height
yearly increment from the basic salary. Company B of the first cuboid is 40 cm and the height of each
offered an initial salary of RM36 000 per annum with 10% subsequent cuboid decreases by 2 cm.
yearly increment from the basic salary. Esther decided to [Volume of cuboid = area of base × height]
choose the company which offered higher income and
save 25% of her salary for further studies after working
for 7 years.
Which company should Esther choose? How much total
savings she kept for her studies?
[Round off your answer to the nearest RM]

Syarikat A: a = 40 000, r = 1.06 40 cm 38 cm 36 cm 34 cm

S7 = 40 000(1.067 – 1)
1.06 – 1

≈ RM335 754

BAB 5 16 cm2

Syarikat B: a = 36 000, r = 1.1 (a) Hitung isi padu, dalam cm3, kuboid yang ke-9.

S7 = 36 000(1.17 – 1) Calculate the volume, in cm3, of the 9th cuboid.
1.1 – 1
(b) Diberi bahawa jumlah isi padu bagi n kuboid
≈ RM341 538 yang pertama ialah 5 280 cm3. Cari nilai n.

\ Syarikat B dipilih / Company B is chosen. It is given that the total volume of the first n cuboids
is 5 280 cm3. Find the value of n.

Jumlah tabungan = RM341 538 × 25% Tinggi kuboid membentuk janjang aritmetik:

Total savings ≈ RM85 385 The height of cuboid forms an arithmetic progression:

40, 38, 36, 34, …, dengan a = 40, d = −2

(a) Tinggi kuboid ke-9, T9 = 40 + 8(−2)
of 9th cuboid = 24 cm
12. Diameter batang sepohon pokok bertambah 4% Height
KBAT setiap tahun. Diberi bahawa diameter batang
BUKAN pokok itu pada awalnya ialah t cm. Selepas n Isi padu kuboid ke-9 = 16 × 24
RUTIN tahun, diameter batang pokok itu melebihi dua Volume of the 9th cuboid = 384 cm3

kali ganda daripada diameter awalnya. Cari nilai (b) Jumlah isi padu bagi n kuboid yang pertama
minimum bagi n.
Total volume of the first n cuboids
The diameter of the stem of a tree increases 4% every
year. Given that the initial diameter of the stem is t cm. = (16 × 40)+ (16 × 38)+ (16 × 36)+ … (16
After n years, the diameter of the stem is more than two 36 + … + Tn)
times of its initial diameter. Find the minimum value (n – 1)(–2))
of n. 3 4 + × Tn)

a = t, r = 104% = 1.04

Tn . 2a,
t(1.04)n – 1 . 2t
= 16 (40 + 38 +
(1.04)n – 1 . 2
= 16 (n2Sn()2(40) +
log10 (1.04)n – 1 . log10 2 = 16
(n – 1) log10 1.04 . log10 2
n . 18.67 = 16(41n – n2)

\ Nilai minimum / Minimum value, n = 19 Diberijumlahisipadubagi n kuboidyangpertama

Given the total volume of the first n cuboids

= 5 280 cm3

16(41n – n2) = 5 280
41n – n2 = 330
n2 – 41n + 330 = 0
(n – 11)(n – 30) = 0
n = 11, 30

\ Ketinggian tidak boleh dalam negatif, maka

The height cannot be negative, so Praktis
SPM
n ≠ 30 kerana T30 , 0. Ekstra
Jadi, n = 11.

104

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 5 Janjang 

Sudut KBAT KBAT

Ekstra

1. Dinesh menyimpan RMP dalam akaun simpanan tetap pada awal setiap tahun. Faedah sebanyak x%

setahun dibayar pada akhir tahun. Faedah yang diperoleh disimpan di dalam akaunnya.

Dinesh saves RMP in a fixed deposit account at the beginning of each year. An interest of x% per annum is paid at the end
of the year. The interest earned is saved in the account.

(a) Tunjukkan bahawa jumlah simpanan, dalam RM, pada akhir tahun ke-n (termasuk faedah pada tahun

ke-n) ialah

Show that the total savings, in RM, at the end of the nth year (including interest at the nth year) is

P11 + 100 2311 + x 2n – 14
x 100

(b) Diberi P = 50 000 dan x = 6, hitung jumlah simpanan pada akhir tahun ke-8.
Given that P = 50 000 and x = 6, calculate the total savings at the end of the 8th year.

(a) T1 = P + P1 x 2 Sn = a(rn – 1)
100 r–1

= P11 + x 2 P11 + x 2311 + x 2n – 14
100 100 100

T2 = P11 + x 2 × 11 + x 2 = x
100 100 100
1+ –1 BAB 5

= P11 + x 22 1 2  = P 1+ x x
100 100 100
311 2n 14
T3 = P11 + x 23 x + –
100
100
(b) Jumlah simpanan / Total savings, S8
100 6 = P11 + 100 2311 + x 2n – 14
= 50 000 11 + 6 2311 + 100 28 – 14 x 100

= RM524 565.80

2. Sebuah syarikat elektrik menjual 24 buah mesin basuh pada minggu pertama Januari tahun 2018. Penjualan

mesin basuh bertambah sebanyak 2 buah setiap minggu.

An electric company sells 24 washing machines in the first week of January in 2018. The weekly sales increase by 2

machines per week.

(a) Cari bilangan mesin basuh yang dijual pada akhir minggu Disember 2018,

Find the number of washing machines sold in the last week of December 2018,

(b) Cari jumlah mesin basuh yang dijual pada tahun 2018.

Find the total number of washing machine sold in 2018.

(c) Bilakah mesin basuh yang ke-150 dijual?

When was 150th washing machine sold?
n
(a) 24, 26, 28, … (c) Sn = 2 [2a + (n – 1)d] = 150 n = 5.3  atau  –28.3 (tidak diterima / not
a = 24,  d = 2 accepted)
n = 48 n[2(24) + (n – 1)2] = 300
T48 = 24 + 47(2) Maka, mesin basuh yang ke-150 dijual
= 118 n(48 + 2n – 2) = 300 selepas 5.3 minggu iaitu pertengahan
bulan Februari 2018.
2n2 + 46n – 300 = 0
Thus, the 150th washing machine sold
n2 + 23n – 150 = 0

(b) S48 = 428(24 + 118) a = 1,  b = 23,  c = –150 after 5.3 weeks, that is in the middle of
= 3 408 February 2018
n= –23 ± √232 – 4(1)(–150)
2(1)

Kuiz 5

105

BAB Hukum Linear

6 Linear Law

6.1 Hubungan Linear dan Tak Linear

Linear and Non-linear Relations

NOTA IMBASAN

Hubungan linear dan tak linear
Linear and non-linear relations

NOTA IMBASAN

106

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

1. Berdasarkan jadual nilai yang berikut, lukiskan graf bagi Y melawan X. Seterusnya, tentukan graf yang

menunjukkan hubungan linear. Nyatakan sebab anda. TP 3

Based on the following tables of values, draw the graph of Y against X. Hence, determine the graph which shows a graph of
linear relation. State your reason.

CONTOH 1 CONTOH 2

X –3 –2 –1 0 1 2 3 X0 2 4 6 8
Y 17 7 1 –1 1 7 17
Penyelesaian: Y –1 1 3 5 7

Penyelesaian:

y y

18 8 123456789 x
17 7
16 6
15 5
14 4
13 3
12 2
11 1
10
––110
9 –2
8
7 1234 x BAB 6
6
5 Satu hubungan linear kerana graf itu ialah garis
4 lurus.
3
2 A linear relation because the graph is a straight line
1

–4 –3 –2 ––110
–2

Satu hubungan tak linear kerana graf itu ialah suatu
lengkung.

A non-linear relation because the graph is a curve.

107

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear

(a) X –2 –1 0 123 (b) X 0 2468
Y 11 53 5 11 21 Y 3 7 11 15 19

Penyelesaian: y Penyelesaian:
22
y

20

20 18

BAB 6 18 16

16 14

14 12

12 10

10 8

8 6

6 4

4 2
x
2
–3 –2 –1 0 1 2 3 4 x –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Satu hubungan tak linear kerana graf itu satu Satu hubungan linear kerana graf itu satu garis
lengkung. lurus.

A non-linear relation because the graph is a curve. A linear relation because the graph is a straight line.

2. Tentukan sama ada graf berikut merupakan garis lurus penyuaian terbaik atau bukan. Jika bukan, terangkan.
Determine whether the following graphs are lines of best fit. If it is not, explain. TP 3

CONTOH 1 CONTOH 2 CONTOH 3

y yy

0 x

0 xx
0
Ya / Yes
Bukan / No Ya / Yes

Dua titik di atas garis.

Two points above the line.

108

(a) y (b) y   Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

(c) y

0 x x x
Ya / Yes
0 0
Ya / Yes
Bukan / No

Dua titik di atas garis.

Two points above the line.

3. Selesaikan setiap yang berikut.
Solve each of the following. TP 6

CONTOH

Jadual di bawah menunjukkan data bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh dalam suatu
eksperimen.

The table below shows the data of two variables, x and y, obtained from an experiment.

x 0 0.2 0.4 0.6 0.8

y 1.00 1.34 1.79 2.25 2.60

(i) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.2 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.5 unit pada paksi-y, BAB 6

plot y melawan x dan lukis satu garis lurus penyuaian terbaik.
By using a scale of 2 cm to 0.2 unit on the x-axis and 2 cm to 0.5 unit on the y-axis, plot y against x and draw the

straight line of best fit.

(ii) Seterusnya, tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik.

Hence, determine the equation of the straight line of best fit.

(iii) Daripada graf di (i), cari nilai y apabila x = 0.5. • Garis lurus mesti menyilang
paksi-y.
From the graph in (i), find the value of y when x = 0.5.
The straight line has to intersect
Penyelesaian: the y-axis.
(i) y
• Pilih dua titik yang terletak
pada garis lurus untuk mengira
kecerunan.
Choose any two points on the
3.0 straight line to find its gradient.

2.5

(ii) m= 2.60 – 1.00 =2
0.8 – 0
2.0  c = 1

\ y = 2x + 1

1.5

(iii) Berdasarkan graf, apabila x = 0.5, y = 2

1.0 Based on the graph, when x = 0.5, y = 2

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 x

109

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear

(a) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh dalam satu
eksperimen.

The table below shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment.

x 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
y 0.98 0.81 0.60 0.39 0.21 0

(i) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.2 unit pada
paksi-y, plot y melawan x dan lukis garis lurus penyuaian terbaik.

By using a scale of 2 cm to 0.1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.2 unit on the y-axis, plot y against x and draw
the straight line of best fit.

(ii) Seterusnya, tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik.

Hence, determine the equation of the straight line of best fit.

(iii) Daripada graf di (i), cari nilai y apabila x = 0.24.

From graph in (i), find the value of y when x = 0.24.

(a) (i)

y

1.4

BAB 6 1.2

1.0

0.92

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0.1 0.2 0.24 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 x



(ii) m= 1.2 – 0 = –2
0.1 – 0.7

c = 1.4

y = –2x + 1.4

(iii) Daripada graf, apabila x = 0.24. Maka, y = 0.92

From the graph, when x = 0.24. Thus, y = 0.92

110

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

(b) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh dalam suatu
eksperimen.

The table below shows the values of two variables, x and y, obtained from an experiment.

x 1 2 2.5 3 4 5

y –0.03 0.12 0.19 0.28 0.42 0.57

(i) Dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-x dan 2 cm kepada 0.1 unit pada

paksi-y, plot y melawan x dan lukis garis lurus penyuaian terbaik.

By using a scale of 2 cm to 1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.1 unit on the y-axis, plot y against x and draw the
straight line line of best fit.

(ii) Seterusnya, tentukan persamaan garis lurus penyuaian terbaik.

Hence, determine the equation of the straight line of best fit.

(iii) Daripada graf di (i), cari nilai x apabila y = 0.36.

From graph in (i), find the value of x when y = 0.36.

(b) (i) y
0.6

0.5

0.4 BAB 6

0.36

0.3

0.2

0.1

0 1 2 3 3.6 4 5 x
–0.1

–0.2



(ii) m = 0.57 – (–0.03) = 0.15
5–1

c = –0.18

y = 0.15x – 0.18

(iii) Daripada graf, apabila y = 0.36.

From the graph, when y = 0.36.

Maka / Thus,  x = 3.6

111

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear

6.2 Hukum Linear dan Hubungan Tak Linear

Linear Law and Non-Linear Relations

NOTA IMBASAN

1. Bandingkan kedua-dua graf di bawah.
Compare the two graphs below.

(a) y = x2 + 1 (b) y = x2 + 1 → Y = X + 1

x −1 0 1 X : x2 −1 0 1 Persamaan tak linear ialah persamaan
y21 2 Y:y 0 1 2 yang mengandungi pemboleh ubah x
yang kuasanya bukan 1.
y Non-linear equation is an equation where the
y variable x has power not equal to 1.

22 • Y, paksi-y boleh diungkapkan dalam
sebutan x dan y, tetapi tanpa pemalar.
11
Y, y-axis can be expressed in terms of x and
x –1 0 1 x2 y but without constants.

–1 0 1 • X, paksi-x tidak mempunyai sebutan y
tetapi mungkin ada pemalar.
BAB 6 2. Sebuah hubungan bukan linear, y = x2 + 1, boleh ditukarkan kepada bentuk
linear Y = mX + c dengan menggantikan y dengan Y dan x2 dengan X. X, x-axis does not have y term but may have
constants.
Any non-linear relation, y = x2 + 1, can be converted to the linear form Y = mX + c by
substituting y with Y and x2 with X. • c ialah pemalar (tanpa sebutan x
dan y).
3. Dengan ini, satu graf garis lurus boleh diperoleh apabila memplot Y
melawan X, dengan Y ialah paksi-y dan X ialah paksi-x. c is a constant (without x and y terms).

Therefore, a straight line graph can be obtained when plotting Y against X, with Y as
y-axis and X as x-axis.

4. Tukar setiap persamaan berikut kepada bentuk linear Y = mY + c. Seterusnya, nyatakan Y, X, m dan c. TP 4

Convert each of the following equations into linear form Y = mY + c. Hence, state Y, X, m and c.

CONTOH 1

y = px – q
x

Penyelesaian: Kaedah 2/ Method 2
Kaedah 1/ Method 1
× x : xy = px2 – q ÷ x2 : y =p– q
Y = mX + c x2 x2
\   Y = xy,  X = x2,
m = p , c = –q 1 2 y = –q 1 +p
x x2­

Y = mX + c

\ Y = y  ,  X = 1
x x2

m = –q, c = p



112

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

CONTOH 2 CON TOH 3

y = axb ax2 + by2 = x
Penyelesaian:
log10 y = log10 axb by2 = –ax2 + x
log10 y = x log10 a + log10 b
Y = mX + c y2 = – a x2 + x
b b
\   Y = log10 y,  X = x, y2 a 1
m = log10 a, c = log10 b ÷ x, x = – b x + b

Y = mX + c

\ Y= y2 ,  X = x,
x
a 1
m = – b , c = b

CONTOH 4 CONTOH 5

y = x y = pqx + 2
ax + b Penyelesaian:
log10 y = log10 pqx + 2
Penyelesaian: log10 y = (x + 2) log10 q + log10 p
Y = mX + c
1 = ax + b
y x \   Y = log10 y,  X = x + 2
m = log10 q,  c = log10 p
1 = ax + b
y x x

1 = b1 1 2 + a
y x
BAB 6
Y = mX + c

\ Y= 1 ,  X = 1 ,
y x

m = b,  c = a

(a) y = ax3 − bx (b) y = – a – bx (c) y = px2 + q
x2 x

y = ax3 − bx y y = – a – bx x2y y = px2 + q xy
–x x2 O x O x2
y = ax2 – b O
x x2y = −bx3 – a xy = px2 + q
x3
Y = mX + c x2 Y = mX + c Y = mX + c

\ m = a , c = −b \ m = −b , c = –a \m=p,c=q

(d) y = p x – q (e) y = p (f) xy + ya = −bx
x qx
log10 y
y = p x – q yͱ⒓x y = p Ox x y + ya = −bx
x Ox qx
p y = –bx
y x = px – q log10 y = log10 qx x+a
1 a 1
Y = mX + c log10 y = (–log10 q)x + log10 p y = – bx – b –1y
O
\ m = p , c = −q Y = mX + c Y = mX + c –1x

\ m = −log10 q , c = log10 p \ m= – a , c =– 1
b b

113

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear

(g) yq = xp (h) y2 = abx (i) ya = bx2
1 000

yq = xp y2 = abx ya = bx2
1 000
log10 y2 = log10 abx log10 ya = log10 bx2
log10 yq = log10 xp
1 000 2 log10 y = log10 a + x log10 b a log10 y = log10 b + 2 log10 x

q log10 y = log10 xp – log10 103 log10 y = log10 bx + log10 a log10 y = 2 log10 x + log10 b
2 2 a a
log10 y = p log10 x – 3
q q Y = mX + c Y = mX + c

Y = mX + c m = log10 b , c = log10 a log10 b
2 2 a
p 3 \ \ m= 2 , c =
q q a
\m= ,c=–

log10 y log10 y log10 y
O log10 x Ox O log10 x

BAB 6 5. Ungkapkan y dalam sebutan x bagi graf bentuk tak linear. TP 4

Express y in terms of x for the non-linear form graphs.

CONTOH 1 CONTOH 2

xy log10y
(3, 5)

(3, 7)

2

(1, 3)

0 x2 0 log10x

Penyelesaian: Penyelesaian:

m = 5–2 = 3 =1 m = 7–3 = 4 =2
3–0 3 3–1 2

c = 2 m = 5–2 y = mx + c melalui/passes through (1,3)
3–0
Y = mX + c 3 = 2(1) + c
=1 c = 1 Tip
xy = 1(x2) + 2
c = 2 Y = mX + c

y = x + 2 y = mx + c log10 y = 2 log10 x + 1 Jika c tidak boleh
x diperoleh secara terus
\y=x+2 daripada graf, maka
gantikan satu titik ke
• Tidak menggantikan kuantiti log10 y = 1 dalam p­ ersamaan bentuk
pada paksi ke dalam x2 linear untuk mencari c.
persamaan garis lurus. y If c cannot be obtained
x2 = 101 directly from the graph, then
Does not replace the quantity substitute a point into linear
on the axis into the equation of form to find c.
the straight line. y = 10x2

114

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

(a) (b) (c)

yͱ⒓x x–y2 log10y
(4, 6)
4 (–2, 6)

–5 0 x (–2, 3)

4–0 0x (0, 2)
0 – (–5) 0 log10x
m =

= 4 m = 6–3 m = 6–2
5 4 – (–2) –2 – 0

c = 4 = 3 = –2
6 c = 2

Y = mX + c = 1
2
y x = 4 x + 4 Y = mX + c
5
y = mx + c melalui (4, 6) l og10 y = –2 log10 x + 2

\ y = 4 x + 4 6 = 1 (4) +c = log10 x –2 + log10 102
5 x 2
100
c=4 log10 y = log10 x2

Y = mX + c \ y = 100
x2
xy2 = 1 x + 4
2
BAB 6
\ y = 1 x3 + 4x2
2

(d) –xy (e) (3, 4) (f)

(–4, 2) log4y log10y

(3, 4)

x2 (1, 2)
0

–2 0 log4x (0, 1)
0
x2

m = 2 – (–2) m = 4–2 4–1
–4 – 0 3–1 3–0
m =
4 = 1
= –4
y = mx + c melalui (3, 4) = 1

= –1 4 = 1(3) + c c=1
c=1
c = −2 Y = mX + c
log10 y = 1(x2) + 1
Y = mX + c Y = mX + c \ y = 10x2 + 1
yx = −1(x2) − 2
\ y = −x3 − 2x log4 y = (1) log4x + 1
log4 y = log4 4x

\ y = 4x

115

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear CONTOH 2 (2, q)

6. Selesaikan masalah yang berikut. TP 5 –1y

Solve the following problems.

CONTOH 1

–xy2
(2, 8)

(p, 4)

(5, 3) 0 –x1
0 –x1

R1xa.jaDhibmereinyu=npjuxk2 k+aqnx,grcaafrignariliasiluprduasnxyq2. melawan Rajah menunjukkan graf garis lurus 1 melawan 1 .
y x
x
Diberi y = 3x + 2 , cari nilai p dan q.

The diagram shows a straight line graph y against 1 . The diagram shows a straight line graph 1 against 1 .
x x y q. x
Given that y = px2 + qx, find the value of p and of q. x of
Given y = 3x + 2 , find the value of p and

Penyelesaian: Penyelesaian:

BAB 6 y = px2 + qx y = x
3x +
(÷ x2) : y = q +p 2
x2 x
1 2
Y = qX + c ⇒ y = x +3 dengan/with m = 2, c =3

m = q

\ q = 8–3 Y = mX + c melalui/passes through (2, q)
2–5 Y = 2X + 3
q = 2(2) + 3
= – 5 \ q = 7
3

c=p Y = mX + c melalui/passes through (p, 4),

y = mx + c melalui/passes through (2, 8), Y = 2X + 3

8 = – 5 (2) +p 4 = 2p + 3
3
1 1
\ p = 11 3 \ p = 2

116

(a) xy   Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

(–3, 4) (b) –yx

5

(–1, 2)

x2 x2
0 04

Rajah di atas menunjukkan graf garis lurus xy Rajah di atas menunjukkan graf garis lurus y
x
p
melawan x2. Diberi y = x – q, cari nilai p dan q. melawan x2. Diberi y = px – qx3, cari nilai p dan q.

The diagram above shows a straight line graph xy The diagram above shows a straight line graph y
x
p
against x2. Given that y = x – q, find the value of p against x2. Given that y = px – qx3, find the value of

and of q. p and of q.

y = p – q ⇒ xy = –qx + p   y = px – qx3 ⇒ y = −qx2 + p
x x
4–2
m = –q = –3 – (–1)     m = –q

–q = –1 =– 5
4
\q=1 5
c=p \ q= 4

Y = mX + c melalui (–3, 4), c=p
4 = –1(–3) + p \p=5
\p=1
BAB 6
(c) –1y (d) log10y

(4, q) (2, 5)

(–2, 3)

0 log10x

Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh

persamaan y = axb, cari nilai a dan b.
Variables x and y are related by the equation y = axb,
p0 –x1 find the value of a and of b.

Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh y = axb ⇒ log10 y = b log10 x + log10 a

persamaan y = x 2x , cari nilai p dan q.
+4
2x 5 –3
Variables x and y are related by the equation y = x+4 , m =b = 2– (–2)     

find the value of p and of q. \ b= 1
2
y= 2x ⇒ 1 = 2 + 1
x+4 y x 2 Y = mX + c melalui (2, 5)

Gantikan (p, 0) : 0= 2p + 1 5= 1 (2) + c
2 2
1
\p =– 4 c = log10 a = 4

Gantikan (4, q) : q= 2(4) + 1 \ a = 104d
2
1
\ q = 8 2

117

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear

6.3 Aplikasi Hukum Linear

Application of Linear Law

7. Selesaikan masalah yang berikut. TP 6 NOTA

Solve the following problems.

CONTOH

Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen.

Pemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan y = px2 + qx, dengan p dan q adalah pemalar.

The table below shows the values of variables, x and y, obtained from an experiment. Variables x and y are related by the
equation y = px2 + qx, where p and q are constants.

x345678

y 5.8 8.6 12.3 16.5 20.7 25.6

(a) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai y dan 1 .
x2 x

Based on the table above, construct a table for the values of y and 1 .
x2 x
y 1 1
(b) Plot x2 melawan x dengan menggunakan skala 2 cm kepada 0.05 unit pada paksi- x dan 2 cm kepada

0.1 unit pada paksi- y . Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik. -axis. Hence,
x2
Plot y against 1 by using a scale of 2 cm to 0.05 unit on the 1 -axis and 2 cm to 0.1 unit on the y
x2 x x x2

draw the straight line of best fit.

BAB 6 (c) Gunakan graf dalam (b), cari nilai bagi p dan q.

Using the graph in (b), find the value of p and of q.

Penyelesaian: (b) x–y2 2 Plot titik-titik dan lukis graf penyuaian terbaik.
(a) 1 Bina jadual./ Construct a table. Plot the points and draw the straight line of best fit.

1y
x x2

0.333 0.644 0.7
0.6
0.250 0.538 0.5
0.4
0.200 0.492

0.167 0.458

0.143 0.422

0.125 0.400

(c) y = px2 + qx 0.3
0.2
y = q +p 3 Mencari nilai-nilai 0.1
x2 x
pemalar dengan 0

Y = mX + c menggunakan konsep
Y = mX + c dengan
m=q= 0.61 – 0.25 m = kecerunan dan
0.30 – 0 c = pintasan-Y.
Find the values of the
\ q = 1.20
  c = p constants by using the
concept of Y = mX + c
\ p = 0.25 with m = gradient and –x1
c = Y-intercept
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35



118

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

(a) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu

eksperimen. Pemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan y = q – px, dengan p dan q
adalah pemalar. x

The table below shows the values of variables, x and y, obtained from an experiment. Variables x and y are related by

the equation y = q − px, where p and q are constants.
x

x 1 1.5 2 2.5 3
y 11.2 6.3 3.5 1.4 0

(i) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai xy dan x2.

Based on the table above, construct a table for the values of xy and x2.

(ii) Plot xy melawan x2 dengan menggunakan skala 2 cm kepada 2 unit pada kedua-dua paksi. Seterusnya,
lukis satu garis lurus penyuaian terbaik.

Plot xy against x2 by using a scale of 2 cm to 2 units on both axes. Hence, draw the straight line of best fit.

(iii) Gunakan graf dalam (ii), cari nilai bagi p dan q.

Using the graph in (ii), find the value of p and of q.

(a) (i) (ii)

x2 xy xy BAB 6
1.00 11.20 14
2.25 9.45
4.00 7.00 12
6.25 3.50
9.00 10
0
8

6
4
2
(iii) y = q – px
x 0
–2
xy = –px2 + q

Y = mX + c

m = –p = 11.2 – 0 x2
1–9 2 4 6 8 10 12

\ p = 1.4

c  = q
\ q = 12.6



119

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear

(b) Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada satu
eksperimen. Pemboleh ubah x dan y adalah dihubung dengan persamaan y = pq (x + 2), dengan p dan q
adalah pemalar.

The table below shows the values of variables, x and y, obtained from an experiment. Variables x and y are related by
the equation y = pq (x + 2), where p and q are constants.

x012345

y 3.99 5.27 6.95 9.18 12.11 15.99

(i) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai laongd10(yx dan (x + 2).

Based on the table above, construct a table for the values of log10 y + 2).

(ii) Plot log10 y melawan (x + 2) dengan menggunakan skala 2 cm kepada 1 unit pada paksi-(x + 2) dan
2 cm kepada 0.2 u(xn+it2p)abdyaupsainkgsia-lsocga1l0e y. Seterusnya, lukis satu garis lurus penyuaian terbaik.

Plot log10 y against of 2 cm to 1 unit on (x + 2)-axis and 2 cm to 0.2 unit on log10 y-axis.

Hence, draw the straight line of best fit.

(iii) Gunakan graf dalam (ii), cari nilai bagi p dan q.

Using the graph in (ii), find the value of p and of q.

(b) (i) (ii) log10 y

(x + 2) log10 y

2 0.601 1.4

BAB 6 3 0.722 1.2
4 0.842 1.0
5 0.963

6 1.083 0.8

7 1.204 0.6
  

0.4

0.2

0 x +2

12345678

(iii) y = pq(x + 2)

log10 y = (x + 2) log10 q + log10 p
Y = mX + c

m = log10 q

= 1.204 – 0.601
7–2

log10 q = 0.1206
q = 100.1206

\ q = 1.32

c = log10 p = 0.36
p = 100.36

\ p = 2.29

120

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

(c) Jadual di bawah menunjukkan keputusan uji kaji suatu proses penyejatan. Kuantiti wap air, y, yang

dikumpulkan dalam tabung uji itu direkodkan sepanjang tempoh x minit. Pemboleh ubah x dan y

dihubungkan oleh persamaan y = ax + bx2, dengan a dan b ialah pemalar.

The table below shows the results of experiment in an evaporation process. The amount of water vapour, y, collected
in a test tube is recorded over a period of x minutes. Variables x and y are related by the equation y = ax + bx2, where
a and b are constants.

x (min) 1 3 6 10 13 21

y (ml) 0.007 0.050 0.186 0.559 0.936 2.482

(i) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual bagi nilai-nilai y dan x.
x
y
Based on table above, construct a table for the values of x and x.

( ii) 0PPl.lo0ot2t yxxymalmga/einmlaswitnxa,pnuasxdi,nadgpeaanskgcsaainl-e yxmof.e2Sncegmtgeurtouns5ankmyaiann,ulstukeksailosans2xa-tcaumxigskaarenipsdal2ducarmu5stmope0inn.0iy2tupmaailad/nampteianrkbosani-ikxyx.d -aaxnis2. cm kepada

Hence, draw

the straight line of best fit.

(iii) Menggunakan graf di (ii), cari nilai bagi a dan b.

Using the graph in (ii), find the value of a and b.

(c) (i) y (ii)
x
x –yx

1 0.007 0.12 BAB 6

3 0.017 0.10

6 0.031 0.08

10 0.056

13 0.072

21 0.118

(iii) y = ax + bx2 0.06

y = bx + a 0.04
x
0.02
Y = mX + c
0
Py1in -itnatsearcne-p1yta == 0
0

0.118 – 0 x
21 – 0
Kecerunan = 5 10 15 20 25

Gradient

b = 0.0056





121

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear SPM 6

PRAKTIS

Kertas 1 2. Pemboleh ubah x dan log2 y
SPM y dihubungkan oleh
1. Pemboleh ubah x dan y dihubungkan oleh 2013 persamaan y = 8hx, B
y (3, 6)
SPM persamaan x = qx – px2, dengan keadaan p dengan keadaan h ialah
2019
pemalar. Rajah di sebelah
dan q ialah pemalar. Rajah 1.1. dan Rajah 1.2 menunjukkan garis lurus A (0, p)

menunjukkan graf garis lurus yang diperoleh AB yang diperoleh dengan x
memplot log2 y melawan x.
dengan memplot hubungan dari persamaan itu. O

The variables x and y are related by the equation y The variables x and y are related by the equation
x
= qx – px2, where p and q are constants. Diagram 1.1 and y = 8hx, where h is a constant. The diagram shows the
straight line AB obtained by plotting log2 y against x.
Diagram 1.2 show the straight line graphs obtained by
(a) Ungkapkan persamaan y = 8hx dalam bentuk
plotting the relations from the equation.
linear, yang digunakan untuk memperoleh
y –xy3
graf garis lurus seperti yang ditunjukkan

dalam rajah di atas.
Express the equation y = 8hx in its linear form, which
x
8k 0 is used to obtain the straight line graph as shown in

the diagram above.

(b) Cari nilai p dan nilai h.

Find the value of p and of h.

BAB 6 0 x k–2 (a) y = 8hx

log2 y = log2 8 + x(log2 h) Y = mX + c
\ log2 y = (log2 h)x + 3 

Ungkapkan p dalam sebutan q. (b) p = pintasan-y = 3

Express p in terms of q. p = y-intercept = 3

y = qx – px2 m = log2 h
x

× 1 , y = q – px = 6 – 3
x x2 3 – 0

y = −px + q log2 h = 1
x2
c = q,   c = 8k \ h = 2

q = 8k

k = q
8
y = – px2
x qx

× 1 , y = q –p
x2 x3 x

1 2 y = q 1 –p
x3 x

c = –p,   c = k – 2

–p = k – 2

p = 2 – k

p = 2 – q
8

122

Kertas 2   Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

1. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai bagi (b)

SPM dua pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh log10 y
2015 daripada suatu eksperimen. Pemboleh ubah x dan
2.0

y dihubungkan oleh persamaan y = a , dengan 1.8

keadaan a dan b ialah pemalar. b√x  1.6

The table below shows the values of two variables, x and

y, obtained from an experiment. Variables x and y are 1.4
related by the equation y = a , where a and b are
b√x 
constants.
1.2
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.87 – 0.4 1.0
y 74.2 30.4 14.7 7.9 4.6 2.9 = 1.47

(a) Berdasarkan jadual di atas, bina satu jadual 0.8
bagi nilai-nilai log10 x dan log10 y.
0.6
Based on the table above, construct a table for the
values of log10 x and log10 y. |–0.4| – |–0.035| 0.4
= 0.365 0.2
(b) Plot log10 y melawan log10 x menggunakan
skala 2 cm kepada 0.1 unit pada paksi-x dan –0.5 –0.4 –0.3 –0.2 –0.1 0 log10 x BAB 6
2  cm kepada 0.2 unit pada paksi-y. 0.1 0.2

Plot log10 y against log10 x using a scale of 2 cm to (c) y = a
0.1 unit on the x-axis and 2 cm to 0.2 unit on the b√x 
y-axis.
log10 y = log10 a
(c) Menggunakan graf di (b), cari nilai b√x 

Using the graph in (b), find the value of

(i) a,
(ii) b.

(a) log10 y = log10 a – log10 b√x 
x
1

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 log10 y = log10 a – log10 x b

y 74.2 30.4 14.7 7.9 4.6 2.9 log10 y = – 1 log10 x + log10 a
b

Y = mX + c

log10 x –0.40 –0.30 –0.22 –0.10 –0.10 –0.05 m = – 1 ,    c = log10 a
log10 y 1.87 1.48 1.17 0.90 0.66 0.46 b

(i) c = 0.25

log10 a = 0.25
a = 100.25

= 1.778

(ii) m= 1.87 – 0.4
–0.4 – (–0.035)
1 1.47
– b = –0.365

b = 0.365 = 0.2483
1.47

123

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear

2. Jadual di bawah menunjukkan nilai-nilai dua (b) y–x2

SPM pemboleh ubah, x dan y, yang diperoleh daripada 10
2018 satu eksperimen. Satu garis lurus akan diperoleh 9
y2 8
apabila graf x melawan x diplotkan. 7
6
The table below shows the value of two variables, x and 5
4
y, obtained from an experiment. A straight line will be 3
y2 2
obtained when a graph of x against x is plotted. 1
0x
x 2 3 4 5.25 6.5 8 12345678

y 4.24 5.05 5.66 6.25 6.62 6.87

(a) Berdasarkan jadual, bina satu jadual bagi nilai-
yox2n.the
nilai table, construct a table for the values of

Based
y2
x .

(b) Plot y2 melawan x, dengan menggunakan
x

skala 2 cm pada 1 unit pada kedua-dua paksi.

Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik.

bPlootthyxa2xeasg.aHinesntcxe,, using a scale of 2 cm to 1 unit on
draw the straight line of best fit.

(c) Menggunakan graf di (b).

Using the graph in (b).

BAB 6 (i) cari nilai y apabila x = 3.8, y2
x
find the value of y when x = 3.8,

(ii) ungkapkan y dalam sebutan x. (c) (i) Apabila x = 3.8,  = 8.1,

express y in terms of x, When

\  y = 5.55

(a) (ii) m= 10 – 6 =– 1 ;   c = 10
x 2 3 4 5.25 6.5 8 0–8 2

y2 Y = mX + c  →  y2 =– 1 x + 10
x x 2
8.99 8.50 8.00 7.44 6.74 5.90 1
y2 = 10x – 2 x2

y2 = 20x – x2
2

 y = 20x – x2
2

Praktis
SPM
Ekstra

124

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 6 Hukum Linear 

Sudut KBAT KBAT

Ekstra

R ajah (a) menunjukkan graf lengkung y = 6 – 4x2. Persamaan lengkung itu diungkapkan dalam bentuk linear
Y  = 3X + c dan dilukis dalam graf garis lurus seperti yang ditunjukkan pada rajah (b).

Diagram (a) shows the graph of the curve y = 6 – 4x2. The equation of the curve is expressed in the linear form
Y = 3X + c and drawn in a straight line as shown in diagram (b).

yY

6

x 0X
0 –2

Rajah (a) Rajah (b)

Diagram (a) Diagram (b)

Ungkapkan X dan Y dalam sebutan x dan/atau y.

Express X and Y in terms of x and/or y.

y = 6 – 4x2 BAB 6

y = 6 –4
x2 x2

y = 3 –2
2x2 x2

1 2 y = 3 1 –2
2x2 x2

Y = mX + c

\ Y = y
2x2

\  X = 1
x2

Kuiz 6

125

BABNOTA IMBASAN

7 Geometri Koordinat
Coordinate Geometry

7.1 Pembahagi Tembereng Garis

Divisor of a Line Segment

NOTA IMBASAN

Titik R(x, y) membahagi dalam tembereng garis PQ dengan keadaan PR : RQ = m : n.
Point R(x, y) divides internally a line segment PQ such that PR : RQ = m : n.

n Q(x2, y2)
m
nx1 + mx2 ny1 + my2
R(x, y) m+n m+n
1 2P =  , 

NOTA

P(x1, y1)

BAB 7 1. Selesaikan / Solve.   TP 3 n
CONTOH RQ

Rajah menunjukkan sebatang kayu penyapu, PQ.

Diagram shows a broomstick, PQ.

m
P

Suatu reben diikat pada titik R yang membahagi kayu penyapu itu dalam nisbah m : n. Diberi bahawa
PR = 75 cm dan PQ = 120 cm.

A ribbon is tied at point R which divides the broomstick in the ratio m : n. It is given that PR = 75 cm and PQ = 120 cm.

(a) Cari panjang, dalam cm, RQ.

Find the length, in cm, of RQ.

(b) Nyatakan nisbah m : n.

State the ratio m : n.

(c) Tentukan nisbah yang berikut:

Determine the following ratios:

(i) PR : PQ
(ii) RQ : PQ
(iii) RQ : PR

Penyelesaian:

(a) RQ = 120 cm – 75 cm (b) m : n = 75 : 45 (c) (i) PR : PQ = 5 : 8
= 45 cm (ii) RQ : PQ = 3 : 8
= 75 : 45 (iii) RQ : PR = 3 : 5
15 15

= 5 : 3

126

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 

Rajah di bawah menunjukkan satu tembereng garis PR. Q terletak pada garis PR dengan keadaan PQ = 45 cm
dan PR = 140 cm.

The diagram below shows a line segment PR. Q lies on the line PR such that PQ = 45 cm and PR = 140 cm.

PQ R

(a) Cari panjang, dalam cm, QR.

Find the length, in cm, of QR.

(b) Diberikan PQ : QR = m : n, nyatakan nilai bagi m : n.

Given PQ : QR = m : n, state the value of m : n.

(c) Tentukan nisbah yang berikut:

Determine the following ratios:

(i) PQ : PR
(ii) QR : PR
(iii) QR : PQ

(a) QR = PR – PQ (b) PQ : QR = 45 : 95
= 140 − 45
= 95 cm = 45 : 95
5 5
(c) (i) PQ : PR = 45 : 140 = 9 : 28
(ii) QR : PR = 95 : 140 = 19 : 28 = 9 : 19
(iii) QR : PQ = 95 : 45 = 19 : 9

2. Titik R membahagi tembereng garis yang menyambungkan titik P dan titik Q dalam nisbah yang diberi. Cari
koordinat bagi titik R. TP 2

Point R divides the line segment joining point P and point Q in the given ratios. Find the coordinates of point R.

CONTOH (a) P(2, 6), Q(12, 1); PR : RQ = 3 : 2

Penyelesaian: p(–5, 4), Q(5, 19) P(2, 6) 3 BAB 7
PR : RQ = 2 : 3
2
Q(5, 19) R

3 Q(12, 1)

R R = 1 2(2) + 3(12) , 2(6) + 3(1) 2
2 3+2 3 + 2

= 1 40 , 155 2
5

P(–5, 4) = (8, 3)

R = 1 3(–5) + 2(5) , 3(4) + 2(19) 2
3+2 3+2

= 1– 5 , 50 2
5 5

= (–1, 10)

127

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat (c) P(–5, 7), Q(9, –14); PR : RQ = 3 : 4

(b) P(8, 2), Q(–7, 8); PR : RQ = 1 : 2 P(–5, 7)
3
Q(–7, 8) 2 R

1 4
R

P(8, 2)

R = 1 2(8) + 1(–7) , 2(2) + 1(8) 2
2+1 2 + 1
Q(9, –14)

= 1 9 , 12 2 R = 1 4(–5) + 3(9) , 4(7) + 3(–14) 2
3 3 3+4 3+4

= (3, 4) 1 7 14 2
7 7
= , –

= (1, –2)

3. Cari koordinat titik P yang membahagikan garis lurus AB mengikut nisbah AP : PB. TP 3

Find the coordinates of point P which divides the straight line AB in the ratio AP : PB.

CONTOH

A(–3, 2), B(7, 17); AP : PB = 2 : 3

BAB 7 Penyelesaian: B(7, 17) P = 1 2(7) + 3(–3) , 2(17) + 3(2) 2
2+3 2+3
3

2P = (1, 8)

A(–3, 2)

(a) A(–1, 5), B(9, 9); AP : PB = 3 : 2 (b) A(5, 1), B(–1, 10); AP : PB = 2 : 1

2 B(–1, 10) 1
P
B(9, 9)

3 P2
A(–1, 5)
A(5, 1)

P = 1 3(9) + 2(–1) , 3(9) + 2(5) 2 P = 1 2(–1) + 1(5) , 2(10) + 1(1) 2
2+3 2 + 3 2+1 2+1

= 15, 37 2 = (1, 7)
5

128

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 

4. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4

Solve each of the following.

CONTOH Titik-titik P(h, 2h), Q(k, p) dan R(3k, 2p) adalah
segaris. Q membahagi garis lurus PR dalam nisbah
Titik-titik A(2k, k), B(p, t) dan C(2p, 3t) berada 3  : 2. Ungkapkan k dalam sebutan p.
pada suatu garis lurus. B membahagi garis lurus AC
dalam nisbah 2 : 3. Ungkapkan p dalam sebutan t. Points P(h, 2h), Q(k, p) and R(3k, 2p) are collinear. Q
divides the straight line PR in the ratio 3 : 2. Express k in
Points A(2k, k), B(p, t) and C(2p, 3t) lie on a straight terms of p.
line. B divides the straight line AC in the ratio 2 : 3.
Express p in terms of t. 2

Penyelesaian: R(3k, 2p)
3
1 Lukis rajah dan masukkan 3
nilai ke dalam rumus. C(2p, 3t) Q(k, p)

Draw diagram and insert P(h, 2h)
values into formula.

2 B(p, t) 1 3(3k) + 2h , 3(2p) + 2(2h) 2 = (k, p)
A(2k, k) 3+2 3 + 2

1 3(2k) + 2(2p) 3(k) + 2(3t) 2 6p + 4h = p
2 + 3 2 + 3 5
, = (p, t) –p
4
3(k2) + 2(3t) p h =
+ 3 4
= t 2 Samakan koordinat. Gantikan nilai h = – ,
Compare the coordinate.
Replace value of h
3k + 6t = 5t t 9k + 2h = k
3 5
k = –
+ 21– p 2
Gantikan nilai k =– t ke dalam 6k + 4p =p 9k 4
3 5
Replace value of into 5 = k

61– 3t 2 + 4pp == 5p   3 Hapuskan sebutan k. 9k – p = 5k
–2t Eliminate k term. 2
p
k = 8 BAB 7

5. Selesaikan setiap yang berikut. TP 5

Solve each of the following.

CONTOH

Titik L(3, 6) membahagikan garis lurus yang menyambungkan titik J(–5, 2) dan titik K(5, 7) dengan

nisbah m : n. Cari nisbah m : n.

Point L(3, 6) divides a straight line joining point J(–5, 2) and point K(5, 7) in the ratio m : n. Find the ratio m : n.

Penyelesaian: n

(3, 6) = 1 m(5) + n(–5) , m(7) + n(2) 2 m K(5, 7)
m+n m + n L(3, 6)

(3, 6) = 1 5m – 5n , 7m + 2n 2
m + n m + n

5m – 5n = 3 Samakan koordinat-x. J(–5, 2)
m + n Compare the x-coordinate.

5m – 5n = 3(m + n) Kaedah Alternatif Beza antara koordinat-x bagi titik J dan L kepada
 beza antara koordinat-x bagi titik L dan K.
5m – 5n = 3m + 3n m : n = 3 – (–5) : 5 – 3 Different of x-coordinate between J and L to
=8:2 different of x-coordinate between L and K.
5m – 3m = 3n + 5n =4:1 Beza antara koordinat-y bagi titik J dan L kepada
atau/ or  beza antara koordinat-y bagi titik L dan K.
2m = 8n m : n = 6 – 2 : 7 – 6 Different of y-coordinate between J and L to
=4:1 different of y-coordinate between L and K.
m = 8 = 4
n 2 1

m : n = 4 : 1

129

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat

(a) Titik K(1, 5) membahagikan garis lurus yang (b) Titik S(k, 6) membahagikan garis lurus yang
menyambungkan titik G(–5, 1) dan titik H(10, 11)
dengan nisbah m : n. Cari nisbah m : n. menyambungkan titik-titik P(–4, –6) dan Q(–9, 9)

Point K(1, 5) divides a straight line joining point dalam nisbah m : n, cari
G(–5, 1) and point H(10, 11) in the ratio m : n. Find the
ratio m : n. Point S(k, 6) divides a straight line joining point
P(–4, –6) and point Q(–9, 9) in the ratio m : n, find
n
(i) m : n, (ii) nilai bagi k.
value of k.

n

H(10, 11) Q(–9, 9)
S(k, 6)
m K(1, 5) m
G(–5, 1)

P(–4, –6)

1 m(10) + n(–5) , m(11) + n(1) 2 = (1, 5) (i) m : n = PSy : QSy
m + n m+n = 6 – (–6) : 9 – 6
= 12 : 3
10m – 5n = 1 m : n = 4 : 1
m+n

10m – 5n = m + n (ii) 4(–94) + 1(–4)
+ 1
9m = 6n = k

m = 6 – 40 = k
n 9 5

NOTA IMBASAN = 2 k = –8
3

m : n = 2 : 3

BAB 7 7.2 Garis Lurus Selari dan Garis Lurus Serenjang

Parallel Lines and Perpendicular Lines

NOTA IMBASAN m1 2. m
m2 1
1.

Jika dua garis lurus itu selari, maka kecerunan kedua- m2
dua garis itu adalah sama, iaitu m1 = m2 , dan sebaliknya.
If two straight lines are parallel, then their gradients are equal, Jika dua garis lurus itu berserenjang, maka m1m2 = –1
that is, m1 = m2 , and vice versa. dan sebaliknya.
If two straight lines are perpendicular, then m1m2 = –1 and vice
versa.

130

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 

6. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah selari atau tidak. TP 3

Determine whether each of the following pairs of straight lines are parallel.

CONTOH (a)  y  = 3x + 4  , 3x + y = 2
 y  = 2x + 7,   y – 2x = 10
m1 = 3 y = –3x + 2
Penyelesaian: m2 = –3

m1 = 2 y = 2x + 10 Tulis dalam bentuk kecerunan. m1 ≠ m2, dua garis lurus itu tidak selari.
m2 = 2 Write in gradient form. the two straight lines are not parallel.

m 1 = m2, dua garis lurus itu adalah selari.

the two straight lines are parallel.

1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan.
Determine the gradient for both lines.
2 Bandingkan kecerunan/ Compare the gradient
m1 = m2 → selari/ parallel

(b) y – 5x = 8   , 2y = 10x – 3 (c) 3y = x – 8   , y = 1 x + 4
3
3
y = 5x + 8 y = 5x – 2  y = 1 x – 8 m2 = 1
m1 = 5 3 3 3
m2 = 5
m1 = 1
m1 = m2, dua garis lurus itu adalah selari. 3

the two straight lines are parallel. m1 = m2, dua garis lurus itu adalah selari.

the two straight lines are parallel.

7. Diberi setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah selari. Cari nilai k. TP 3 BAB 7

Given that each of the following pairs of straight lines are parallel. Find the value of k.

CONTOH

2x + ky = 5 , 3y + x – 8 = 0

ky = –2x + 5 5 Tulis dalam bentuk 3y = –x + 8
2 k kecerunan.
y = – k x + Write in gradient y = – 1 x + 8
form. 3 3
2
m1 = – k m2 = – 1
3
1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua garisan.
Dua garis adalah selari,  Determine the gradient for both line.

The two straight lines are parallel, 2 Bandingkan kecerunan kedua-dua garisan

m1 = m2 adalah selari. gMraadkiae,nmt. 1B=otmh2l­.ine are parallel.
2 1 Compare the
– k = – 3 Thus, m1 = m2.

k = 6

131

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat

(a) 3x + ky = 2   , 2y + x = 7 (b) kx + 4y = 1   , 5y – x = 8

ky = –3x + 2 2y = –x + 7 4y = –kx + 1 5y = x + 8

y = – 3 x + 2 y = – 1 x + 7 y = – k x + 1 y = 1 x + 8
k k 2 2 4 4 5 5

m1 = – 3 m2 = – 1 m1 = – k m2 = 1
k 2 4 5

Dua garis adalah selari,  Dua garis adalah selari,

The two straight lines are parallel, The two straight lines are parallel,

m1 = m2 m1 = m2
k 1
– 3 = – 1 – 4 = 5
k 2
4
k = 6 k = – 5

8. Cari persamaan garis lurus yang selari dengan garis lurus yang diberi dan melalui titik P. TP 4

Find the equation of the straight line that is parallel to the given straight line and passes through point P.

CONTOH

2x + y = 6; P(–3, 8) Tulis dalam bentuk Persamaan garis lurus ialah/ Equation of straight line is
kecerunan. y – 8 = –2[x – (–3)]
Penyelesaian: Write in gradient form. y – 8 = –2x – 6
2x + y = 6 y = –2x + 2
y = –2x + 6
K ecerunan/  Gradient = –2

(a) 4x – 2y – 9 = 0; P(–2, 7) (b) 6x – 4y + 5 = 0; P(6, –3)

4x – 2y – 9 = 0 4y = 6x + 5 5
3 4
BAB 7 2y = 4x – 9 y = 2 x +

y = 2x – 9 Kecerunan / Gradient = 3
2 2

Kecerunan / Gradient = 2 Persamaan garis lurus ialah

Persamaan garis lurus ialah Equation of straight line is

Equation of straight line is y – (–3) = 3 (x – 6)
2
y – 7 = 2[x – (–2)] 3
y – 7 = 2x + 4 y + 3 = 2 x–9
y = 2x + 11

y = 3 x – 12
2

9. Tentukan sama ada setiap pasangan garis lurus yang berikut adalah berserenjang atau tidak. TP 3

Determine whether each of the following pairs of straight lines are perpendicular.

CONTOH

y + 4x – 3 = 0      Tulis dalam bentuk 4y – x + 5 = 0 1 Tentukan kecerunan bagi kedua-dua
y = –4x + 3 kecerunan. 4y = x – 5 garisan.
Write in gradient Tulis dalam
m1 = –4 form. y = 1 x – 5 bentuk Determine the gradient for both line.
4 4 kecerunan.
–41 1 2 Write in
m1m 2 = 4 m2 = 1 gradient 2 Jika serenjang, maka mm = –1.
4 form. If perpendicular, thus m11m22 = –1.

= –1

Kedua-dua garis lurus itu adalah berserenjang.

Both straight lines are perpendicular.

132

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 

(a) y + 6x – 2 = 0 , 6y – x + 1 = 0 (b) y – 3x = 8 , 3y = x – 9 1
3
y = –6x + 2 6y = x – 1  y = 3x + 8 y = x – 3
m1 = –6 m1 = 3
y = 1 x – 1 m2 = 1
6 6 3
1
m2 = 6 m1m2 = 31 1 2
3
m1m2 = –61 1 2
6 = 1

= –1 Kedua-dua garis lurus itu tidak berserenjang.

Kedua-dua garis lurus itu adalah berserenjang. Both straight lines are not perpendicular.

Both straight lines are perpendicular.

10. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengan garis lurus yang diberi dan melalui titik P. TP 4

Find the equation of the straight line that is perpendicular to the given straight line and passes throught point P.

CONTOH

x + 3y = 10; P(–2, 7) 3 Tentukan kecerunan yang lagi satu
Determine the other gradient
Penyelesaian:
m1m2 = –1

x + 3y = 10 Kedua-dua garis adalah berserenjang,

3y = –x + 10 Both lines are perpendicular

y = – 1 x + 10 1 Tulis dalam bentuk m1m2 = –1
3 3 kecerunan. 1
– 3  m2 = –1 4 Selesaikan persamaan garis lurus
1 Write in gradient Solve equation of straight line
m1 = – 3 form. m2 = 3
P(–2, 7);  m = 3

2 Tentukan Persamaan garis lurus ialah BAB 7
kecerunan.
Equation of straight line is
Determine
the gradient. y – 7 = 3[x – (–2)]

y – 7 = 3x + 6

y = 3x + 13

(a) x + 2y = 10; P(3, –5) (b) y – 4x = 3; P(2, 12)

2y = –x + 10 y = 4x + 3
1
y = – 2 x + 5 m1 = 4
Kedua-dua garis adalah berserenjang,
1
m1 = – 2 Both straight lines are perpendicular.

m1m2 = –1
4m2 = –1
Kedua-dua garis adalah berserenjang, m2 = 1
4
Both straight lines are perpendicular. –

m1m2 = –1 Persamaan garis lurus ialah
1
– 2 m2 = –1 The equation of the straight line is

m2 = 2 y – 12 = – 1 (x – 2)
Persamaan garis lurus ialah 4

The equation of the straight line is y – 12 = – 1 x + 1
4 2
y – (–5) = 2(x – 3)

y + 5 = 2x – 6 y = – 1 x + 25
4 2
y = 2x – 11

133

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat

11. Cari persamaan pembahagi dua sama serenjang bagi garis lurus yang menyambungkan titik-titik yang diberi.
Find the equation of the perpendicular bisector of the following straight lines which join the given points. TP 4

CONTOH

A(2, 3), B(5, –6) 2 Tentukan titik tengah.
Determine the midpoint.
Penyelesaian:

m1 = –6 – 3 =– 9 = –3 Titik tengah AB = 1 2 +5 , 3 + (–6) 2
5–2 3 1 2 2
Midpoint AB 7 3 2
m1m2 = –1 2 ,– 2
=

–3m2 = –1 Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah
1
m2 = 3 Equation of the perpendicular bisector is

3 Dapatkan persamaan ga ris y – 1– 3 2 = 1 1x – 7 2
2 3 2
1 Tentukan kecerunan bagi garis lurus dengan kecerunan
lurus serenjang.
garis serenjang dan titik y+ 3 = 1 x – 7
Determine the gradient of the tengah. 2 3 6
perpendicular line. Get the equation of the
gstrraadigiehnttlionfepweirtphetnhdeicula r
line and the midpoint. y = 1 x – 8
3 3

(a) E(–1, 11), F(–3, 5)

–1 + (–3) 11 + 5
2 2
1 2
m1= 5 – 11 Titik tengah EF =  , 
–3 – (–1)
Midpoint EF
= (–2, 8)
–6
= –2 Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah

= 3 Equation of the perpendicular bisector is

m1m2 = –1 y – 8 = – 1 [x – (–2)]
3
BAB 7 3m2= –1
1 y – 8 = – 1 x – 2
m2= – 3 3 3

y = – 1 x + 22
3 3

(b) G(2, –3), H(5, 2)

m1 = 2 – (–3) Titik tengah GH = 1 2 + 5 , –3 + 2 2
5–2 2 2
Midpoint GH
7 1
= 2 2
= 5 1 2  , –
3

m1m2 = –1 Persamaan pembahagi dua sama serenjang ialah

5 m2 = –1 Equation of the perpendicular bisector is
3 m2 =
3 y– 1– 1 2 = – 3  1x – 7 2
– 5 2 5 2

y+ 1 = – 3 x + 21
2 5 10

y = – 3 x + 8
5 5

134

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 

7.3 Luas Poligon

Areas of Polygons

NOTA IMBASAN

1. y 3. Apabila luas bagi ABC ialah sifar, ketiga-tiga titik A, B dan
C(x3, y3) C adalah segaris.
B(x2, y2) When the area of ABC is zero, the three points A, B and C are
collinear.

4. y
R(x3, y3)

A(x1, y1) x Q(x2, y2)
0

S(x4, y4)

Luas ∆ABC P(x1, y1) x
0
Area of ∆ABC

= 1 x1 x2 x3 x1 Luas sisi empat PQRS
2 y1 y2 y3 y1 Area of quadrilateral PQRS

= 1 |(x1y2 + x2y3 + x3y1) – (x2y1 + x3y2 + x1y3)| = 1 x1 x2 x3 x4 x1
2 2 y1 y2 y3 y4 y1

2. Sentiasa menulis koordinat bagi bucu-bucu itu dalam = 1 | x1 y2 + x2 y3 + x3 y4 + x4 y1) – (x2 y1 + x3 y2 + x4 y3 + x1 y4)|
arah lawan jam supaya nilai luas yang diperoleh adalah 2
positif.
Always write the coordinates of the vertices in the anticlockwise BAB 7
direction so that the value of area obtained is positive.

12. Cari luas poligon berikut dengan bucu yang diberikan. TP 3

Find the area of the following polygons with the vertices given.

CONTOH

(i) (3, 1), (7, 6), (4, 8) (ii) (2, 3), (9, 8), (–2, 11), (–5, 4)

Penyelesaian:

(i) Luas = 1 3 7 4 3 (ii) Luas = 1 2 9 –2 –5 2
Area 2 1 6 8 1 Area 2 3 8 11 4 3

= 1 u(18 + 56 + 4) – (7 + 24 + 24)u = 1 u(16 + 99 – 8 – 15) – (27 – 16 – 55 + 8)u
2 2

= 1 u78 – 55u = 1  u92 – (–36)u
2 2

= 11.5 unit2/ units2 = 64 unit2/ units2

135

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat

(a) (2, 3), (8, 5), (6, 9) (b) (–3, –2), (5, 0), (4, 8)

Luas = 1 2 8 6 2 Luas = 1 –3 5 4 –3
2 3 5 9 3 2 –2 0 8 –2
Area Area

= 1 u(10 + 72 + 18) – (24 + 30 + 18)u = 1 u(0 + 40 – 8) – (–10 + 0 – 24)u
2 2

= 1 u100 – 72u = 1 u32 + 34u
2 2

= 14 unit2 = 33 unit2

(c) (0, 3), (1, 1), (5, 8), (3, 10) (d) (8, 0), (5, 7), (0, –2), (4, –3)

Luas = 1 0 1 530 Luas = 1 8 5048
2 3 1 8 10 3 2 0 7 –2 –3 0
Area Area

= 1  u(0 + 8 + 50 + 9) – (3 + 5 + 24 + 0)u = 1 u(56 – 10 + 0 + 0) – (0 + 0 – 8 – 24)u
2 2

= 1  u67 – 32u = 1 u46 – (–32)u
2 2

= 17.5 unit2 = 39 unit2

13. Selesaikan setiap yang berikut. TP 4

Solve each of the following.

BAB 7 CONTOH 1 CONTOH 2

Luas segi tiga yang berbucu A(–1, 4), B(2, 3) dan Diberi P(–4, –3), Q(2, 1) dan R(11, 7), tunjukkan
C(6, k) ialah 9.5 unit2. Cari nilai-nilai yang mungkin bahawa titik-titik P, Q dan R adalah segaris.
bagi k.
Given P(–4, –3), Q(2, 1) and R(11, 7), show that the points
The area of a triangle with vertices A(–1, 4), B(2, 3) and P, Q and R are collinear.
C(6, k) is 9.5 units 2. Find the possible values of k.
Penyelesaian:
Penyelesaian:
Luas ∆PQR = 1 –4 2 11 –4
Luas ∆ABC = 9.5 2 –3 1 7 –3
Area Area

1 –1 2 6 –1 = 9.5 = 1  u(–4 + 14 – 33) – (–6 + 11 – 28)u
24 3 k4 2

u(–3 + 2k + 24) – (8 + 18 – k)u = 19 = 1  u–23 – (–23)u
u2k + 21 – 26 + ku = 19 2
u3k – 5u = 19
=0

3k – 5 = 19   atau 3k – 5 = –19 Maka, P, Q dan R adalah segaris.

3k = 24 or 3k = –14 Thus, P, Q and R are collinear.

k = 8 k = – 14
3

136

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat 

(a) Cari nilai-nilai yang mungkin bagi k jika luas (b) Diberi P(2, 3), Q(5, 9) dan R(7, 13), tunjukkan
segi tiga ABC yang berbucu A(–6, 5), B(2, 3) dan
C(k, 4) ialah 10 unit2. bahawa titik-titik P, Q dan R adalah segaris.

Find the possible values of k if the area of triangle ABC Given P(2, 3), Q(5, 9), and R(7, 13), show that the
with vertices A(–6, 5), B(2, 3) and C(k, 4) is 10 units 2. points P, Q and R are collinear.

Luas ∆ABC = 10 Luas ∆PQR = 1 2 572
2 3 9 13 3
Area
NOTA IM1 B–A6SAN2 k –6 = 10
25 3 45 = 1  u(18 + 65 + 21) – (15 + 63 + 26)u
2

u(–18 + 8 + 5k) – (10 + 3k – 24)u = 20 = 1  u104 – 104u
2
u5k – 10 – 3k + 14u = 20
=0
|2k + 4u = 20
Maka, P, Q dan R adalah segaris.
2k + 4 = 20   atau 2k + 4 = –20 Thus, P, Q and R are collinear.

2k = 16  or 2k = –24

k = 8 k = –12

7.4 Persamaan Lokus

Equations of Loci

NOTA IMBASAN

1. Lokus suatu titik P(x, y) ialah lintasan yang dilalui oleh 2. Persamaan lokus yang melibatan jarak di antara dua BAB 7
titik itu mengikut syarat yang diberikan. titik boleh ditentukan dengan menggunakan rumus
Locus of a point P(x, y) is the path travelled by the point which jarak.
moves under a given condition. The equation of a locus involving the distance between two
points can be determined by using the distance formula.

14. Cari persamaan lokus bagi satu titik P yang bergerak berdasarkan syarat berikut. TP 5

Find the equation of the locus of a moving point P based on the given conditions.

CONTOH 1

Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(3, –4) adalah sentiasa 5 unit.

Point P moves such that its distance from A(3, – 4) is always 5 units.

Penyelesaian: PA = 5
Katakan titik P ialah (x, y).

Let point P is (x, y).



Persamaan lokus bagi titik P ialah/ Equation of locus of point P is

(x – 3)2 + [y – (–4)]2 = 5   Gunakan rumus jarak./ Use distance formula.

(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25   Kuasa duakan kedua-dua belah./ Square both sides.

x2 – 6x + 9 + y2 + 8y + 16 – 25 = 0
x2 + y2 – 6x + 8y = 0

137

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat

CONTOH 2

Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(4, 2) dan B(–5, 1) adalah dalam nisbah 2 : 1.

Point P moves such that its distance from A(4, 2) and B(–5, 1) are in the ratio 2 : 1.

Penyelesaian:

Katakan titik P ialah (x, y).

Let point P is (x, y).

PA : PB = 2 : 1

PA = 2
PB 1

2PB = PA

Persamaan lokus bagi titik P ialah/ Equation of locus of point P is
2[x – (–5)]2 + (y – 1)2 = (x – 4)2 + (y – 2)2

4[(x + 5)2 + (y – 1)2] = (x – 4)2 + (y – 2)2
4(x2 + 10x + 25 + y2 – 2y + 1) = x2 – 8x + 16 + y2 – 4y + 4
4x2 + 4y2 + 40x – 8y + 104 = x2 + y2 – 8x – 4y + 20
3x2 + 3y2 + 48x – 4y + 84 = 0

BAB 7 (a) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya dari A(–2, 4) adalah sentiasa 6 unit.

Point P moves such that its distance from A(–2, 4) is always 6 units.

Katakan titik P ialah (x, y).
Let point P is (x, y).

PA = 6

Persamaan lokus bagi titik P ialah
Equation of locus of point P is

[x – (–2)]2 +(y – 4)2 = 6
(x + 2)2 + (y – 4)2 = 36
x2 + 4x + 4 + y2 – 8y + 16 – 36 = 0
x2 + y2 + 4x – 8y – 16 = 0

(b) Titik P bergerak dengan keadaan jaraknya adalah sama dari titik C(–3, 8) dan D(9, –2).

Point P moves such that it is equidistant from point C(–3, 8) and D(9, –2).

Katakan titik P ialah (x, y).
Let point P is (x, y).

PC = PD

Persamaan lokus bagi titik P ialah
Equation of locus of point P is

[x – (–3)]2 + (y – 8)2 = (x – 9)2 + [y – (–2)]2
(x + 3)2 + (y – 8)2 = (x – 9)2 + (y + 2)2
x2 + 6x + 9 + y2 – 16y + 64 = x2 – 18x + 81 + y2 + 4y + 4
24x – 20y – 12 = 0
6x – 5y – 3 = 0

138

  Matematik Tambahan  Tingkatan 4  Bab 7 Geometri Koordinat  BAB 7

(c) Cari persamaan bagi lokus titik bergerak P yang bergerak dengan keadaan jaraknya dari titik A(4, 5)
ialah dua kali jaraknya dari titik B(–6, 5).

Find the equation of locus of a moving point P such that its distance from point A(4, 5) is twice the distance from point
B(–6, 5).

Katakan titik P ialah (x, y).
Let point P is (x, y).

PA = 2PB
Persamaan lokus bagi P ialah
Equation of locus of point P is
√(x – 4)2 + (y – 5)2 = 2√[x – (–6)]2 + (y – 5)2
(x – 4)2 + (y – 5)2 = 4[(x + 6)2 + (y – 5)2]
x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 4(x2 + 12x + 36 + y2 – 10y + 25)
x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 = 4x2 + 48x + 144 + 4y2 – 40y + 100
3x2 + 3y2 + 56x – 30y + 203 = 0

(d) Titik P bergerak di sepanjang lengkok bulatan dengan pusat A(2, 3). Lengkok bulatan melalui titik Q(–2, 0).
Cari persamaan bagi lokus titik P.

Point P moves along an arc of a circle with center A(2, 3). The arc of a circle passes through a point Q(–2, 0). Find the
equation of locus of point P.

Katakan titik P ialah (x, y).
Let point P is (x, y).

AP = AQ
Persamaan lokus bagi P ialah
Equation of locus of point P is
√(x – 2)2 + (y – 3)2 = √[2 – (–2)]2 + (3 – 0)2
(x – 2)2 + (y – 3)2 = 16 + 9
x2 – 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 25
x2 + y2 – 4x – 6y – 12 = 0

139