เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม ม.3

แบบทดสอบก่ อนเรี ยน
หน่ วยการเรี ยนรู้ ที่ 3

คำชี้แจง : จงเลือกคำตอบที่สุดเพียงข้อเดียว

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 1

------------------------- Good Luck -------------------------

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 2

PAST 1 ส่ วนต่ างๆของวงกลม

วงกลม เป็นรูปเรขาคณิตบนระนาบซึ่งแต่ละจุดบนรูปเรขาคณิตนี้ อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งบ
นระนาบเดียวกันเป็นระยะเท่ากัน

. เรียกจุดคงที่นี้ว่า จุดศูนย์กลางของวงกลม
เรียกระยะที่เท่ากันนี้ว่า รัศมีของวงกลม

ส่วนต่าง ๆ เกี่ยวกับวงกลมที่นักเรียนเคยรู้จักมาแล้วมีดังนี้

จากรูป จุด O เป็นจุดคงที่ เรียกจุด O ว่า จุดศูนย์กลาง ของวงกลม จุด A อยู่บนเส้นรอบวง
ของวงกลม หรือกล่าวว่า จุด A อยู่บนวงกลม เรียก OA ว่า รัศมีของวงกลม

จุด B และจุด C อยู่บนวงกลม และ BC ผ่านจุดศูนย์กลาง O เรียก BC ว่า เส้นผ่านศูนย์กลาง
ของวงกลม

การเรียกชื่อวงกลมวงหนึ่งที่มีจุดศูนย์กลางตามที่กำหนดให้ อาจเรียกตามชื่อของ
จุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น เช่น วงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง อาจเรียกว่า วงกลม O

รัศมีของวงกลม หมายถึง ระยะระหว่างจุดศูนย์กลางของวงกลมและจุดบนวงกลม หรือ

หมายถึง ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนวงกลมเป็นจุดปลาย

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 3

PAST 1 ส่ วนต่ างๆของวงกลม

วงกลมวงหนึ่งมีรัศมีเป็นจำนวนมากมายนับไม่ถ้วน และรัศมีของวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากันทุกเส้น
วงกลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากัน สามารถเลื่อนให้วงกลมสองวงนั้นทับกันได้สนิท จงกล่าวได้

ว่า กลมสองวงที่มีรัศมียาวเท่ากัน จะเท่ากันทุกประการ
นอกจากส่วนต่าง ๆ ของวงกลมที่กล่าวมาแล้วข้างต้น ยังมีส่วนอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับวงกลมที่

สำคัญได้แก่ คอร์ด เส้นตัดวงกลม และเส้นสัมผัสวงกลม
คอร์ด คือ ส่วนของเส้นตรงที่มีจุดปลายทั้งสองอยู่บนวงกลมเดียวกัน คอร์ดแต่ละเส้นจะ

แบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้งสองส่วนโค้ง

จากรูป AB เป็นคอร์ดของวงกลม O
เรียกส่วนโค้ง ADB ว่า ส่วนโค้งใหญ่ AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ADB
เรียกส่วนโค้ง ACB ว่า ส่วนโค้งน้อย AB เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ACB หรือ AB
ความยาวของ ADB เขียนแทนด้วย m(ADB)
ความยาวของ ACB เขียนแทนด้วย m(ACB) หรือ ความยาวของ AB เขียนแทนด้วย m(AB)

เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมเป็นคอร์ดที่ยาวที่สุดซึ่งแบ่งวงกลมออกเป็นส่วนโค้ง
สองส่วนที่เท่ากันทุกประการ เรียก ส่วนโค้งแต่ละส่วนว่า ครึ่งวงกลม
))
))

))
)

)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 4

PAST 1 ส่ วนต่ างๆของวงกลม

เส้นตัดวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมสองจุด
เส้นสัมผัสวงกลม คือ เส้นตรงที่ตัดวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้นและเรียกจุดตัดนั้นว่า จุดสัมผัส

มุมที่จุดศูนย์กลาง คือ มุมที่มีจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นจุดยอดมุมและแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม

จากรูป AO^ B และมุมกลับ AOB แต่ละมุมเป็นมุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม O ที่ AO^B รองรับด้วย AB และมุม
กับ AOB รองรับด้วย AXB
)
)

)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 5

PAST 1 ส่ วนต่ างๆของวงกลม

มุมในส่วนโค้งของวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมตัดวงกลม

จากรูป AB^C เป็นมุมในส่วนโค้งของวงกลม O ที่รองรับด้วย AX^B

มุมในครึ่งวงกลม คือ มุมที่มีจุดยอดมุมอยู่บนวงกลม และแขนทั้งสองของมุมผ่านจุดปลายทั้งสอง
ของเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง

จากรูป BC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม O Page 6
BA^C เป็นมุมในครึ่งวงกลม ที่รองรับด้วย BX^C

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle)

PAST 1 ส่ วนต่ างๆของวงกลม )

ตัวอย่าง 1 จงบอกชื่อส่วนต่างๆ ที่ปรากฏบนวงกลมที่กำหนดให้ต่อไปนี้

วิธีทำ จากรูป วงกลม A ประกอบด้วย
1. จุด A เป็ นจุดศูนย์กลาง
2. AD เป็ นรัศมี
3. EF เป็ นคอร์ด
4. FG เป็ นเส้นตัดวงกลม
5. BC เป็ นเส้นสัมผัสวงกลม โดยมีจุด D เป็ นจุดสัมผัส
6. EF^G เป็ นมุมในส่วนโค้งของวงกลมซึ่ งรองรับด้วย EDG

ลองทำดู จงบอกชื่อส่วนต่างๆ ที่ปรากฏบนวงกลมที่กำหนดให้ต่อไปนี้

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 7

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 1

ในวงกลมวงเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็น 2 เท่า ของขนาดของมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

ตัวอย่าง 2
จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

วิธีทำ เนื่องจาก ^ (มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็ น 2 เท่า
2(ABC) = AOC ของขนาดของมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน)
และ ^
จะได้ AOC = 120° (โจทย์กำหนด)
^
2(AOC) = 120°
A^BC = 120°

2

= 60°

ดังนั้น A^BC มีขนาดเท่ากับ 60°

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 8

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 1

ในวงกลมวงเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็น 2 เท่า ของขนาดของมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

Exercise 1.1
จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 9

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 1

ในวงกลมวงเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็น 2 เท่า ของขนาดของมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

ตัวอย่าง 3 จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

วิธีทำ เนื่องจาก OA = OC (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน)
(ด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากัน)
∆ดังนั้น AOC เป็ นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว (มุมที่ฐานของรู ปสามเหลี่ยมหน้ าจั่ว
มีขนาดเท่ากัน)
จะได้ OA^ C = OC^A = 50° (ผลรวมของมุมภายในของ
รูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°)
เนื่องจาก OA^ C + OC^ A + AO^ C = 180°
(มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็ น 2 เท่า
จะได้ AO^ C = 180° - OA^ C - OC^ A ของขนาดของมุมในส่วนโค้ง
= 180° - 50° - 50° ของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน)

= 80° Page 10

เนื่องจาก 2(AB^C) = AO^ C
จะได้
2(AB^ C) = 80°
AB^ C = 80°
2

= 40°

ดังนั้น AB^ C มีขนาดเท่ากับ 40°

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle)

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 1

ในวงกลมวงเดียวกัน มุมที่จุดศูนย์กลางจะมีขนาดเป็น 2 เท่า ของขนาดของมุมในส่วนโค้ง
ของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

Exercise 1.2 จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 11

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 2

มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90°

ตัวอย่างที่ 4 จากรูป จงหาขนาดของ BA^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

วิธีทำ เนื่องจาก AB^C = 90° (มุมในครึ่งวงกลม)
(ผลรวมของมุมภายในของ
และ AB^C + BC^ A + BA^C = 180° รูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°)

จะได้ BA^ C = 180° - AB^C - BC^ A Page 12
= 180° - 90° - 50°
= 40°

ดังนั้น BA^ C มีขนาดเท่ากับ 40°

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle)

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 2

มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90°

Exercise 1.3 จากรูป จงหาขนาดของ AC^ B บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 13

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 2

มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90°

ตัวอย่างที่ 5 จากรูป จงหาขนาดของ OC^B บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

วิธีทำ เนื่องจาก AB^C = 90° (มุมในครึ่งวงกลม)
AB^O + OB^C = 90°
(รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน)
OB^ C = 90° - AB^ O (ด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากัน)
(มุมที่ฐานของรู ปสามเหลี่ยมหน้ าจั่ว
= 90° - 60° มีขนาดเท่ากัน)

= 30°

เนื่องจาก OB = OC
∆ดังนั้น BO^ C เป็ นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
จะได้ OB^ C = OC^B = 30°

ดังนั้น OC^B มีขนาดเท่ากับ 30°

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 14

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 2

มุมในครึ่งวงกลมมีขนาด 90°

Exercise 1.4 จากรูป จงหาขนาดของ OA^ B บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 15

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 3

ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนของโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 6 จากรูป จงหาขนาดของ CB^D บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

วิธีทำ เนื่องจาก CB^D = CA^D (มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่
รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
และ CA^ D = 45° จะมีขนาดเท่ากัน)
จะได้ CB^D = 45°
(โจทย์กำหนด)

ดังนั้น CB^D มีขนาดเท่ากับ 30°
Exercise 1.5 จากรูป จงหาขนาดของ AC^B บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 16

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 3

ในวงกลมวงเดียวกัน มุมในโค้งของวงกลมที่รองรับด้วยส่วนของโค้งเดียวกันจะมีขนาดเท่ากัน

ตัวอย่างที่ 7 จากรูป จงหาขนาดของ BE^D บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

วิธีทำ เนื่องจาก AB^C = AB^D (มุมในส่วนโค้งของวงกลมที่
รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน
และ AD^C = 40° จะมีขนาดเท่ากัน)
จะได้ AB^C = 40° (โจทย์กำหนด)
เนื่องจาก BE^D = AB^C + BA^D
(ขนาดของมุมภายนอกของรู ป
= 40° + 30° สามเหลี่ยมเท่ากับผลบวกของ
= 70° มุมภายในที่ไม่ใช่ มุมประชิ ด
ดังนั้น BE^D มีขนาดเท่ากับ 70° ของมุมภายนอกนั้น)

Exercise 1.6 จากรูป จงหาขนาดของ BE^D บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 17

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 4

1. ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมที่จุดศูนย์กลางมีขนาดเท่ากัน

แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางนั้นจะยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 5

2. ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมที่จุดศูนย์กลาง
ที่รองรับด้วยส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 18

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 6

1. ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้ามุมในส่วนโค้งของวงกลมมีขนาดเท่ากัน
แล้วส่วนโค้งที่รองรับมุมในส่วนโค้งของวงกลมนั้นจะยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 7

2. ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาวเท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ที่รองรับด้วนส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 19

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ตัวอย่างที่ 8 จากรูป จงหาขนาดของ CB^ D บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

)
)

วิธีทำ เนื่องจาก m(AC) = m(CD) (โจทย์กำหนด)
จะได้ AB^C = CB^D
(ในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาว
เนื่องจาก CA^ B = 90° เท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้งของวงกลม
ที่รองรับด้วนส่วนโค้งนั้นจะมีขนาด
CA^ B + AB^C + BC^A = 180° เท่ากัน)

AB^C = 180° - CA^ B - BC^ A (มุมในครึ่งวงกลม)
= 180° - 90° - 40° = 50°
(ผลรวมของมุมภายในของ
รูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°)

ดังนั้น CB^D มีขนาดเท่ากับ 50°

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 20

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

Exercise 1.5 จากรูป จงหาขนาดของ DE^F บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 21

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

ตัวอย่างที่ 9 จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

)
)

วิธีทำ เนื่องจาก m(AD) = m(FG) (โจทย์กำหนด)
จะได้ AB^D = FB^G (ในวงกลมเดียวกัน ถ้าส่วนโค้งยาว
เท่ากัน แล้วมุมในส่วนโค้งของวงกลม
เนื่องจาก BA^C = EG^B ที่รองรับด้วนส่วนโค้งนั้นจะมีขนาดเท่ากัน)
และ BA^C = 55° (โจทย์กำหนด)
จะได้ EG^ B = 55°
เนื่องจาก B^EG + FE^G = 180° (ขนาดของมุมตรง)
จะได้
BE^G = 180° - FE^G (ผลรวมของมุมภายในของ
เนื่องจาก รูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°)
= 180° - 82°

= 98°

BC^ G + EG^B + EB^ G = 180°

EB^G = 180° - EG^B - BE^G
= 180° - 55° - 98°
= 27°

เนื่องจาก AB^D = AB^C และ FB^G = ER^G
ดังนั้น AB^C มีขนาดเท่ากับ 27°

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 22

PAST 2 มุ มที่ อยู่ จุ ดศู นย์ กลาง
และมุ มภายในส่ วนโค้ งของวงกลม

Exercise 1.6 จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 23

แบบฝึ กทั กษะที่ 1

ระดับพื้นฐาน 1. จงบอกชื่อส่วนประกอบต่างๆ ที่ปรากฏวงกลมที่กำหนดให้ต่อไปนี้
1) 2)

2. จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง
1) 2)

3) 4)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 24

แบบฝึ กทั กษะที่ 1

ระดับกลาง 3. จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง
1) 2)

3) 4)

5) 6)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 25

แบบฝึ กทั กษะที่ 1

ระดับกลาง

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 26

PAST 3 คอร์ ด

ทฤษฎีบทที่ 8

1. ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ด 2 เส้น ยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสอง
จะตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งน้อยยาวเท่ากัน และส่วนโค้งใหญ่ยาวเท่ากัน

ทฤษฎีบทที่ 9

2. ในวงกลมที่เท่ากันทุกประการ หรือวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ด 2 เส้น ตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งน้อย
ยาวเท่ากัน และส่วนโค้งใหญ่เท่ากัน แล้วคอร์ด 2 เส้นนั้น จะยาวเท่ากัน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 27

PAST 3 คอร์ ด

∆ตัวอย่างที่ 10 จากรูป จงพิสูจน์ ว่า ABC เป็ นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

)
)
)

วิธีทำ เนื่องจาก m(AB) = m(BC) = m(AC) (โจทย์กำหนด)
จะได้ AB = BC = AC
(ในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ด 2 เส้น
ตัดวงกลมทำให้ส่วนโค้งน้ อยยาวเท่า
กัน และส่วนโค้งใหญ่เท่ากัน
แล้วคอร์ด 2 เส้นนั้น จะยาวเท่ากัน)

∆ดังนั้น ABC เป็ นสามเหลี่ยมด้านเท่า

□Exercise 2 จากรูป จงพิสูจน์ ว่า ABCD เป็ นรูปสี่เหลี่ยมด้านเท่า

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 28

PAST 3 คอร์ ด

ตัวอย่างที่ 11 จากรูป จงพิสูจน์ ว่า AC^B = DF^E

วิธีทำ เนื่องจาก AB = DE (โจทย์กำหนด)
จะได้ m(AB) = m(DE)
) (ในวงกลมเดียวกัน คอร์ด 2 เส้นที่ยาว
) เท่ากันตัดกับวงกลมทำให้เกิดส่วนโค้ง
ที่ยาวเท่ากัน)
ดังนั้น AB = BC = AC (ในวงกลมเดียวกัน มุมในส่วนโค้ง
วงกลมที่รองรับด้วยส่วนโค้งที่ยาวเท่ากัน
จะมีขนาดเท่ากัน)

Exercise 2.2 จากรูป จงพิสูจน์ ว่า AO^ B = DO^ C

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 29

PAST 3 คอร์ ด

ทฤษฎีบทที่ 10

เส้นตรงที่ตั้งฉากและแบ่งครึ่งคอร์ดของวงกลม จะผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมนั้น

ทฤษฎีบทที่ 11

ส่วนของเส้นตรงซึ่งผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลมและตัดคอร์ดที่ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลาง จะมีสมบัติดังนี้
1. ถ้าส่วนของเส้นตรงตั้งฉากกับคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะแบ่งครึ่งคอร์ด
2. ถ้าส่วนของเส้นตรงแบ่งครึ่งกับคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้นจะตั้งฉากกับคอร์ด

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 30

PAST 3 คอร์ ด

ตัวอย่างที่ 12 จากรูป จงหารัศมีของวงกลม O เมื่อกำหนดให้ AB = 48 เซนติเมตร

วิธีทำ เนื่องจาก OC | AB (โจทย์กำหนด)
|

จะได้ AC = BC = 48 ÷ 2 = 24 เซนติเมตร (ถ้าส่วนของเส้นตรงซึ่ งผ่าน
จุดศูนย์กลางของวงกลมตั้งฉาก

กับคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้น
จะแบ่งครึ่งคอร์ด)
ลาก AO

∆จะได้ AO เป็ นรัศมีวงกลม O และทำให้ AOC เป็ นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จะได้ AO² = AC² + OC²

= 24² + 7²

= 576 - 49

= 625

BC = 25 เซนติเมตร

ดังนั้น รัศมีของวงกลม O ยาว 25 เซนติเมตร

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 31

PAST 3 คอร์ ด

Exercise 2.3 จากรูป จงหารัศมีของวงกลม O เมื่อกำหนดให้ AB = 24 เซนติเมตร

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 32

PAST 3 คอร์ ด

ตัวอย่างที่ 13 จากรูป จงหาความยาวของคอร์ด AB เมื่อกำหนดให้วงกลม O มีรัศมียาว
10 เซนติเมตร

วิธีทำ เนื่องจาก OC | AB (โจทย์กำหนด)
| (โจทย์กำหนด)

∆จะได้ OCB เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉาก (ถ้าส่วนของเส้นตรงซึ่ งผ่าน
จุดศูนย์กลางของวงกลมตั้งฉาก
เนื่องจาก OC = 6 เซนติเมตร กับคอร์ด แล้วส่วนของเส้นตรงนั้น
จะแบ่งครึ่งคอร์ด)
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จะได้ BC² = OB² - OC²
= 10² - 6²

= 100 - 36

= 64

BC = 8 เซนติเมตร

เนื่องจาก AC = BC = 8 เซนติเมตร

จะได้ AC = 2(BC) = 2 × 8 = 16 เซนติเมตร
ดังนั้น คอร์ด AB ยาว 16 เซนติเมตร

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 33

PAST 3 คอร์ ด

Exercise 2.4 จากรูป จงหาความยาวของคอร์ด AB เมื่อกำหนดให้วงกลม O มีรัศมียาว
25 เซนติเมตร

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 34

PAST 3 คอร์ ด

ทฤษฎีบทที่ 12

ผลรวมของขนาดของมุมตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเท่ากับ 180°

ตัวอย่างที่ 14 จากรูป จงหาขนาดของ AD^ B

วิธีทำ □เนื่องจาก ABCD เป็ นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม

จะได้ BA^D + BC^D = 180° (ผลรวมของขนาดของมุมตรงข้ามของ
รูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเท่ากับ 180°)
BA^D = 180° - BC^ D
= 180° - 80° (ผลรวมของขนาดของมุมภายในของ
= 100° รูปสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°)

เนื่องจาก AB^ D + BA^D + AD^ B = 180°

AD^ B = 180° - AB^D + BA^ D
= 180° - 45° + 100°
= 35°

ดังนั้น AD^ B มีขนาด 35°

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 35

PAST 3 คอร์ ด

Exercise 2.5 จากรูป จงหาขนาดของ AC^ D

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 36

PAST 3 คอร์ ด

ตัวอย่างที่ 15 จากรูป จงหาขนาดของ AE^D

สร้าง BE
จะได้ EBCD เป็ นรูปสี่เหลี่ยมแนบในวงกลม
□วิธีทำ
∆และ ABE เป็ นรูปสามเหลี่ยมในครึืงวงกลม

เนื่องจาก BC^ D + BE^D = 180° (ผลรวมของขนาดมุมตรงข้ามของ
รูปสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมเท่ากับ 180°)
เนื่องจาก BE^D = 180° - BC^D
= 180° - 130° (มุมในครึ่งวงกลม)
= 50°

AB^D = 90°
AE^D = AE^B + B^ED

= 90° + 50°

= 140°

ดังนั้น AE^D มีขนาด 140°

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 37

PAST 3 คอร์ ด

Exercise 2.6 จากรูป จงหาขนาดของ AC^ D

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 38

PAST 3 คอร์ ด

ทฤษฎีบทที่ 13

1. ในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ด 2 เส้น ยาวเท่ากัน แล้วคอร์ดทั้งสองนั้นจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของ
วงกลมเป็นระยะเดียวกัน

ทฤษฎีบทที่ 14

2. ในวงกลมเดียวกัน ถ้าคอร์ด 2 เส้น อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็นระยะเท่ากัน แล้วคอร์ด 2 เส้นนั้น
จะยาวเท่ากัน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 39

PAST 3 คอร์ ด

ตัวอย่างที่ 16 จากรูป จงหาความยาวของ OF บนวงกลมทั่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง เมื่อ AB = CD

วิธีทำ เนื่องจาก AB = CD (โจทย์กำหนด)
และ OE | AB และ OF | CD
จะได้ OF = OE = 8 หน่วย (โจทย์กำหนด)
|
| (ถ้าคอร์ด 2 เส้น ยาวเท่ากันแล้วคอร์ดทั้ง
สองนั้นจะอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางของ
วงกลมเป็นระยะเท่ากัน)

ดังนั้น OF ยาว 8 หน่วย

Exercise 2.7 จากรูป จงหาความยาวของ OF บนวงกลมทั่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง เมื่อ AB = CD

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 40

PAST 3 คอร์ ด

ตัวอย่างที่ 17 จากรูป จงพิสูจน์ ว่า ระยะห่างระหว่างคอร์ด AB และคอร์ด CB กับจุดศูนย์กลางไม่เท่ากัน

วิธีทำ ลาก OD ให้แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ AB ที่จุด D

จะได้ BD = 1 AB
2

= 1 × 10
2

= 5 หน่วย

ลาก OE ให้แบ่งครึ่งและตั้งฉากกับ BC ที่จุด E

จะได้ BE = 1 BC
2

= 1 x 6
2

= 3 หน่วย

□เนื่องจาก BDOE มีมุมทุกมุมเป็ นมุมฉาก

□จะได้ BDOE เป็ นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความกว้าง 3 หน่วย และ 5 หน่วย

และ BO = EO และ BE= DO (รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ามีด้านกตรงข้ามยาวเท่ากัน)

ดังนั้น DO < EO

นั้นคือ ระยะห่างระหว่างคอร์ด AB และคอร์ด CB กับจุดศูนย์กลางไม่เท่ากัน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 41

PAST 3 คอร์ ด

Exercise 2.8 จากรูป จงพิสูจน์ ว่า ระยะห่างระหว่างคอร์ด AB และคอร์ด BC กับจุดศูนย์กลางไม่เท่ากัน

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 42

แบบฝึ กทั กษะที่ 2

ระดับง่าย 1. จากรูป จงหาขนาดของ AB บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง

1) 2)

3) 4)

2. จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง
1) 2)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 43

แบบฝึ กทั กษะที่ 2

ระดับกลาง 3. จากรูป จงหาความยาวของรัศมีวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง
1) 2)

4. จากรูป จงหาขนาดของ AB^C บนวงกลมที่มีจุด O เป็ นจุดศูนย์กลาง
1) 2)

5. จากรูป จงหาระยะห่างระหว่างคอร์ด AB กับจุด O ที่เป็ นจุดศูนย์กลางบองวงกลม
1) 2)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 44

แบบฝึ กทั กษะที่ 2

ระดับกลาง 6. จากรูป จงหาระยะห่างระหว่างคอร์ด AB กับจุด O และคอร์ด BC กับจุด O

7. จงพิจารณาว่า สามารถสร้างวงกลมผ่านจุด A จุด B จุด C จุด D ที่กำหนดให้ได้หรือไม่
ถ้าได้ ให้ใช้การสร้างทางเรขาคณิ ตของวงกลมให้ผ่านจุดเหล่านั้น

1) 2)

3) 4)

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 45

แบบฝึ กทั กษะที่ 2

ระดับยาก )
)

8. จงพิจารณาว่า บนวงกลมเดียวกัน ถ้า m(DE) = 2m(AB) แล้วคอร์ด DE
จะมีความยาวเป็ น 2 เท่า ของคอร์ด AB หรือไม่ พร้อมทั้งแสดงการพิสูจน์

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 46

PAST 4 เส้ นสั มผั สวงกลม

ทฤษฎีบทที่ 15

เส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลมจุดหนึ่งบนเส้นรอบวงของวงกลมจะเป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่จุดนั้น

ตัวอย่างที่ 18 จากรูป จงหาขนาดของ AO^ B

วิธีทำ เนื่องจาก O^AD = 90° (เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีของวงกลม)
OA^B = O^AD - 40°
OA^B = 90° - 40° (รัศมีของวงกลมเดียวกันยาวเท่ากัน)
(ด้านประกอบมุมยอดยาวเท่ากัน)
= 50° (มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
ยาวเท่ากัน)
เนื่องจาก OA = OB (ผลรวมของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม
∆จะได้ AOB เป็ นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว เท่ากับ 180°)
และ O^AB = O^BA

= 50°

เนื่องจาก AO^ B + O^AB + O^BA = 180°

จะได้ AO^ B = 180° - OA^B - OBA

= 180° - 50° - 50°
= 80°

ดังนั้น AO^B มีขนาดเท่ากับ 80°

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 47

PAST 4 เส้ นสั มผั สวงกลม

Exercise 3.1 จากรูป จงหาขนาดของ AO^ B

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 48

ตัวอย่างที่ 19 จากรูป จงหาความยาวรััศมีของวงกลม O เมื่อ AB ยาว 16 เซนติเมตร
และ AC = 8 เซนติเมตร

วิธีทำ เนื่องจาก O^BA = 90° (เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีของวงกลม)

กำหนดให้ r แทนความยาวรัศมีของวงกลม O
จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส

จะได้ AO² = AB² + BO²
(r+8)² = 16² + r²
r² + 16r + 64 = 256 + r²

16r = 192
r = 12

ดังนั้น รัศมีของวงกลม O ยาว 12 เซนติเมตร

Exercise 3.2 จากรูป จงหาความยาวรััศมีของวงกลม O เมื่อ AB ยาว 24 เซนติเมตร
และ AC = 12 เซนติเมตร

เอกสารประกอบการสอน เรื่อง วงกลม (Circle) Page 49