การวิเคราะห์ข้อมูลเบื้องต้น

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หน้าที่ 1

1. แนวคดิ พน้ื ฐานทางสถติ ิ
The Basic Idea of Statistics

คาํ วา่ “สถิต”ิ มคี วามหมาย 2 ประการ คือ
1. ตัวเลขสถิติ (Statistics) หมายถึงจํานวนหรอื ค่าท่ีได้จากการรวบรวมข้อมูล

แสดงถึงข้อเท็จจริงของส่ิงต่างๆ อย่างมีความหมาย เช่น ค่าเฉล่ียของคะแนนวิชา
คณติ ศาสตร์ของนกั เรยี น ม.5 ภาคเรยี นที่ 2 ปกี ารศึกษา 2555

2. วิชาสถิตหิ รือสถิติศาสตร์ (Statistics) หมายถึงศาสตร์ว่าด้วยระเบียบวิธีทาง
สถิติ ซ่ึงประกอบดว้ ย 4 ขน้ั ตอน คือ การเกบ็ รวบรวมข้อมูล การนําเสนอข้อมูล การ
วเิ คราะห์ข้อมลู และการแปลความหมายขอ้ มูล

ประเภทของสถิติ
ในวชิ าสถิติ แบง่ สถิติออกเปน็ 2 ประเภทใหญ่ๆ คือ สถติ พิ รรณนา และสถติ ิอนมุ าน

1. สถิติพรรณนา (Descriptive statistics) หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “สถิติบรรยาย” เป็นสถิติท่มี ุ่งศึกษาเพื่อ
อธิบายเรอ่ื งราวต่างๆ ของกลุ่มประชากร (Population) กลุ่มใดกลมุ่ หนึ่งโดยเฉพาะอาจเป็นกลุม่ ใหญห่ รือกลุ่มเล็กก็ได้ โดย
ทําการเก็บรวบรวมข้อมูลจากสมาชิกทุกหน่วยในกลุ่มประชากรนั้น ผลการศึกษาใช้อธิบายหรือสรุปเก่ียวกับเร่ืองราวของกลุ่ม
ทศ่ี กึ ษาเท่านน้ั ไมส่ ามารถนาํ ผลการศกึ ษาไปสรปุ อา้ งองิ ถงึ กลุม่ อ่ืนๆ ทไี่ มไ่ ดศ้ กึ ษา

ตวั อย่าง เช่น ฝา่ ยแนะแนวของโรงเรยี นมหิดลวิทยานุสรณ์ การวัดสตปิ ัญญา (I.Q.) ของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปี
ท่ี 5 ทุกคนของโรงเรียนน้ี ได้คา่ เฉลี่ยเท่ากับ 115 เปน็ ค่าเฉล่ียของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ของโรงเรียนนี้เท่าน้ัน จะ
สรุปวา่ นักเรียนชั้นมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5 ของโรงเรยี นอ่นื หรือของจงั หวัด มีระดับสตปิ ัญญาเฉลย่ี เท่ากบั 115 ด้วยไมไ่ ด้

สถติ พิ รรณนา มหี ลายชนิด ไดแ้ ก่
1.1 สถติ พิ ้นื ฐาน เช่น ความถี่ สัดสว่ น รอ้ ยละ
1.2 การวัดตาํ แหนง่ เช่น อนั ดับที่ ควอไทล์ เดไซล์ เปอร์เซ็นไทล์
1.3 การวัดแนวโน้มเขา้ ส่สู ว่ นกลาง เชน่ ฐานนยิ ม มธั ยฐาน ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่าเฉลี่ยเรขาคณิต คา่ เฉลยี่ ฮารโ์ มนิค
1.4 การวัดการกระจาย เช่น พิสัย พิสัยควอไทล์ ส่วนเบ่ียงเบนเฉลย่ี ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ความแปรปรวน

สมั ประสิทธกิ์ ระจาย
1.5 การวัดความสมั พนั ธ์ เชน่ สัมประสทิ ธิ์ถดถอย
คา่ ต่างๆ ที่คาํ นวณไดจ้ ากข้อมลู ท่ีเกบ็ รวบรวมจากสมาชกิ ทุกๆ หน่วยของกล่มุ ประชากร เรยี กว่า ค่าแท้ หรือค่า
พารามิเตอร์ (Parameter) มีคณุ สมบตั เิ ปน็ คา่ คงที่ (Constant)

2. สถิติอ้างอิง (Inferential statistics) หรือท่ีเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า สถิติอนุมาน เปน็ สถิติที่มุ่งศึกษาเพื่อหา
ขอ้ สรุปเร่ืองราวของประชากร โดยเก็บรวบรวมขอ้ มลู จากกล่มุ ย่อยท่ีเรยี กว่า กลุ่มตัวอย่าง (Sample) แล้วนําผลการศกึ ษาไป
สรปุ อ้างอิงถึงกล่มุ ใหญท่ ่เี รียกว่า กลุ่มประชากร (Population) ซึ่งเปน็ กลมุ่ เปา้ หมายทต่ี ้องการศึกษา

ค่าต่างๆ ท่ีคํานวณได้จากข้อมูลท่ีเก็บรวบรวมจากกลุ่มตัวอย่าง เรียกว่า ค่าสถิติ (Statistic) มีคุณสมบัติเป็น
ตัวแปร (Variable)

สถติ ิอา้ งองิ แบ่งออกเป็น 2 ประเภท คือ การประมาณค่าและการทดสอบสมมติฐาน
2.1 การประมาณค่า (Estimation) เป็นการประมาณค่าแท้ของประชากร เรียกว่าค่าพารามิเตอร์ (Parameter)
โดยใชค้ า่ สถติ ิ (Statistic) ทไี่ ดจ้ ากกลุ่มตัวอย่าง
2.2 การทดสอบสมมติฐาน (Testing Statistical Hypothesis) เป็นการทดสอบสมมติฐานทางสถิติ เพื่อสรุป
อา้ งอิงคา่ สถติ ติ า่ งๆ ไปยงั กลุ่มประชากร กล่าวได้อกี อยา่ งหน่งึ ว่า เปน็ การทดสอบความมนี ัยสําคัญทางสถิติ

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ท่ี 2

ความหมายของคาํ ที่เกีย่ วขอ้ งกบั วิชาสถติ ิ
ประชากร (Population) หมายถึงกลุ่มของสมาชิกทุกหน่วยท่ีเราต้องการศึกษาลักษณะ (Characteristics)

บางอย่าง ตัวอย่างเช่น ถ้าต้องการศึกษาอายุการใช้งานของหลอดไฟในโรงงานแห่งหน่ึง ประชากร คือ จํานวนหลอดไฟ
ท้ังหมดในโรงงานนีน้ ัน้ เอง

พารามเิ ตอร์ (Parameter) หมายถงึ ตัวเลขซงึ่ แสดงคุณสมบตั ิบางประการของประชากร ตัวอย่างเช่น ค่าเฉลี่ย
ของประชากร (  ) ความแปรปรวนของประชากร ( 2 ) คา่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร (  ) เป็นตน้

ตัวอย่าง (Sample) หมายถึง กลุ่มย่อยของสมาชิกในกลุ่มประชากรที่เลือกมาเพ่ือศึกษาลักษณะท่ีสนใจ เช่น
ศกึ ษาอายุการใช้งานหลอดไฟ อาจจะสมุ่ ตวั อย่างหลอดไฟฟ้ามา 20 หลอด จากท้ังหมด 1000 หลอดในโรงงานนน้ั เป็นต้น

ค่าสถิติ (Statistic) หมายถึง การวัดผลที่ได้จากตัวอยา่ ง ซ่ึงพรรณนาลักษณะของตัวอยา่ ง เช่น คา่ เฉลี่ยของ
ตวั อย่าง (x ) คา่ ความแปรปรวนของตัวอยา่ ง (s2 ) คา่ ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของตวั อย่าง (s ) เป็นตน้

ขอ้ มูล (Data) หมายถึง ข้อเท็จจริงท่ีเป็นตวั เลขหรือข้อความที่รวบรวมมาไดจ้ ากเรอื่ งทีเ่ รากาํ ลังศึกษา
ตัวแปร (Variable) หมายถึง ลกั ษณะของประชากรที่เราสนใจวิเคราะห์ โดยลักษณะนั้นๆ สามารถเปล่ียนค่าได้
เชน่ เพศ คะแนนสอบ

ประโยชน์ของสถติ ิ
1. เป็นสิง่ ชใ้ี หเ้ ห็นถึงข้อเท็จจริงของเหตกุ ารณ์ และเร่อื งราวทส่ี นใจอยู่
2. เป็นเคร่ืองมือในการวางแผนงานของโครงการและกจิ การตา่ งๆ
3. เปน็ ระเบยี บวธิ สี าํ หรบั การวเิ คราะหใ์ นงานวิจัยโดยทว่ั ๆ ไป
4. เปน็ เคร่อื งมอื ในการประเมินผลงานทีไ่ ดท้ าํ ไปแลว้

แผนภมู ิแสดงมโนทศั นเ์ กยี่ วกับสถติ พิ รรณนาและสถติ อิ ้างอิง
สถิตพิ รรณนา

ประชากร วดั คา่ ตวั แปร พารามิเตอร์ (Parameter)
(Population) วัดคา่ ตวั แปร เช่น  , 2 , 

สมุ่ ตัวอย่าง ประมาณคา่ ทดสอบสมติฐาน

ตวั อย่าง คา่ สถิติ (Statistic)
(Sample) เชน่ x , s2 , s

สถิติอ้างองิ

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ที่ 3

2. การเกบ็ รวบรวมขอ้ มลู
Collecting Data Sensibly

ข้อมูล หมายถึง ข้อความจริงซ่ึงอาจเป็นตัวเลขหรืออาจไม่ใช่ตัวเลขก็ได้ การทําความเข้าใจข้อมูลท่ีเก็บรวบรวมมา
ได้นั้นมีความสําคัญมาก เพราะจะนําไปสู่รูปแบบการวิเคราะห์ข้อมูล ดังนั้นหากพิจารณาถึงข้อดีข้อด้อยของข้อมูลทั้งสอง
ประเภท กล่าวคือ ข้อมูลเชิงปริมาณ เป็นข้อมูลที่บอกลักษณะด้วยตัวเลขได้ดี มีข้อดี คือ เข้าใจง่าย สะดวก เน่ืองจากเรา
สามารถตคี วามได้ตามตัวเลข ส่วนข้อด้อย คือ อาจเกิดความคลาดเคลื่อนได้จากตัวเลข จากวิธีเก็บรวบรวม จากลักษณะของ
ตัวเลขเองท่ีมีรูปแบบและขนาด รวมถึงหน่วยที่แตกต่างกัน ข้อมูลเชิงคุณภาพ เป็นข้อมูลที่บอกลักษณะทางธรรมชาติของ
สังคมซึ่งมคี วามเก่ียวโยงกันมากมาย ขอ้ ดี คอื สามารถอธิบาย สะท้อนความคิด ความรสู้ ึกมรี ายละเอยี ดมากผสมผสานกันเป็น
ส่วนเดียวกัน หรืออาจจะแยกเป็นประเด็นต่างๆ ข้ึนอยู่กับเป้าหมายท่ีต้องการ สามารถใช้ข้อมูลท่ีมีอยู่ในสภาพปกติ เช่น
ระเบียบ ภาพถ่าย เทปบันทกึ เสียง เทปบันทึกภาพ และบันทึกเอกสารต่างๆ ประกอบได้ ส่วนขอ้ ด้อย ถ้าผู้สนใจศึกษามีอคติ
จะขาดความตรงและความเชื่อมั่น ไม่มีแบบตายตัว ขึ้นอยู่กับความสามารถของผวู้ ิจัย อาจจะใช้เวลาในการเก็บรวบรวมขอ้ มูล
นานและวเิ คราะหข์ อ้ มลู ไดย้ าก

2.1 ประเภทของขอ้ มูล

จาํ แนกประเภทตามวธิ ีการเกบ็ รวบรวมแบ่งเปน็ 2 ประเภท
1. ข้อมลู ปฐมภูมิ คือขอ้ มลู ท่ีผู้ใชจ้ ะตอ้ งเก็บรวบรวมจากผูใ้ หข้ ้อมูล หรือแหลง่ ที่มาของข้อมูลโดยตรง
2. ข้อมลู ทุติยภมู ิ คือขอ้ มูลที่ผู้ใช้ไม่ต้องเก็บรวบรวมจากผู้ให้ข้อมูลหรือแหล่งท่ีมาของข้อมูลโดยตรง แต่ได้มาจากข้อมูลที่
ผ้อู ่นื เก็บรวบรวมไวแ้ ลว้

จาํ แนกตามลกั ษณะของขอ้ มูลมี 2 ลักษณะ
1. ข้อมูลเชิงปริมาณ คือข้อมูลท่ีใช้แทนขนาดหรือปริมาณซึ่ง วัดออกมาเปน็ ค่าตัวเลขท่ีสามารถนํามาใช้เปรียบเทียบ
ขนาดได้โดยตรง
2. ข้อมูลเชงิ คุณภาพ คอื ข้อมลู ท่ไี มส่ ามารถวดั ออกมาเป็นคา่ ตัวเลขไดโ้ ดยตรง แตว่ ดั ออกมาในเชิงคณุ ภาพได้

2.2 วิธีเกบ็ รวบรวมข้อมลู

การเก็บรวบรวมขอ้ มูลปฐมภมู ิ มี 2 วิธีคอื
การสํามะโน ซง่ึ อาจทาํ ไดโ้ ดย
 การสมั ภาษณ์
 การสอบถามทางไปรษณยี ์
 การสอบถามทางโทรศพั ท์
 การสงั เกต
 การทดลอง
การสํารวจจากกลมุ่ ตวั อยา่ ง การเลือกตัวอย่างจากประชากรอาจทําได้โดย
 เลือกตวั อย่างชนิดทไ่ี มท่ ราบโอกาส หรอื ความนา่ จะเป็นท่ีแต่ละหนว่ ยถกู เลอื กขน้ึ มาเป็นตัวอย่าง
 เลือกตวั อยา่ งชนิดทท่ี ราบโอกาส หรอื ความน่าจะเปน็ ทีแ่ ตล่ ะหนว่ ยถูกเลอื กขึ้นมาเปน็ ตวั อย่าง

การเก็บรวบรวมข้อมลู ทตุ ิยภมู ิ ควรดําเนินการดังนี้
 พจิ ารณาตัวบคุ คลผู้เขยี นรายงาน บทความว่า มคี วามรเู้ ชย่ี วชาญเร่ืองใด
 ควรรวบรวมขอ้ มลู จากหลายๆ แหล่ง เพ่ือเปรียบเทยี บและกันความผิดพลาด
 พจิ ารณาจากลักษณะของข้อมูลท่ตี อ้ งการเกบ็ รวบรวมวา่ เปน็ ข้อมลู ท่ีเป็นความจริง หรอื ความเหน็
 ถา้ ข้อมูลทจ่ี ะเกบ็ รวบรวมไดม้ าจากการสํารวจตัวอย่างหรือตอ้ งผา่ นการวิเคราะห์มาแลว้ ควรพจิ ารณาถงึ วิธีการ
ทีใ่ ชว้ า่ เหมาะสมหรือไม่

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 4

แบบฝึกทักษะ 2

1. ข้อมลู ต่อไปนีเ้ ป็นขอ้ มูลเชงิ ปริมาณหรือข้อมูลเชงิ คุณภาพ
a. คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์
b. จาํ นวนผโู้ ดยสารที่รอรถ
c. เลขทะเบียนรถ
d. หมายเลขโทรศัพท์
e. ราคาข้าวสารต่อกโิ ลกรัม
f. หมายเลขประจาํ ตัวนักเรียน
g. ขนาดรองเท้าของนักเรียน
h. รายไดข้ องคนในครอบครัว

2. “สํานักวิจัยโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์เปิดเผยว่า ผลการสํารวจความคิดเห็นของประชากรในจังหวัดนครปฐมต่อการ
ยอมรับมาตรการประหยัดน้ํามนั พบวา่ สว่ นใหญย่ อมรบั ที่จะปฏิบัติตามมาตรการเหล่าน้ัน” จากข้อความขา้ งต้น
a. กลุ่มประชากรคือ
b. กลุ่มตวั อยา่ งคอื

3. จงพจิ ารณาว่าควรใช้วิธีในการเก็บขอ้ มูลตอ่ ไปนี้
a. รายไดเ้ ฉลีย่ ต่อครวั เรอื นของคนในจงั หวัดนครปฐม
b. จํานวนผใู้ ช้บรกิ ารหอ้ งสมดุ โรงเรยี นมหดิ ลวิทยานสุ รณ์
c. ผลการเคลือบฟลอู อไรด์บนผวิ ฟันท่ีมีผลต่อการป้องกันฟันผุ
d. การเปรียบเทียบประสิทธิภาพของยาแก้ปวด
e. การสาํ รวจความคิดเห็นกรณีคลน่ื ยักษ์ถล่มภาคใต้

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ที่ 5

3. การนาํ เสนอขอ้ มลู
Graphical Methods for Describing Data

ขอ้ มูลท่ีเกบ็ รวบรวมมาได้ และยังมไิ ดม้ ีการจัดหมวดหมูข่ ้อมูลชนดิ น้ีเรียกว่า ข้อมูลดิบ (Raw Data) ข้อมูลดิบเหล่าน้ี

ถ้ามีจํานวนมากเราจะไม่สามารถมองเห็นลักษณะของข้อมูลได้จึงต้องมีการจัดเตรียมข้อมูลดิบให้เปน็ หมวดหมู่ ถ้าข้อมูลดบิ มี

จํานวนน้อย ก็ใช้วิธีเรียงข้อมลู จากมากไปหาน้อย หรือจากน้อยไปหามาก ข้อมูลที่เรียงลําดับแบบนี้ เรียกว่า Ungrouped

Data แตถ่ า้ ข้อมูลดิบมจี ํานวนมาก ต้องใช้วธิ ี การแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution)

การแจกแจงความถ่ี เป็นการจัดเรียงลําดับขอ้ มูลดิบท่ีเกบ็ รวบรวมมาได้ โดยจัดให้เปน็ หมวดหมู่ แล้วหาจํานวนของ

ขอ้ มูลในแต่ละหมู่ ข้อมูลท่หี าไดโ้ ดยวธิ ีการนี้ เรยี กวา่ ข้อมลู ทเ่ี ป็นหมวดหมู่ (Grouped Data)

รูปแบบของการแจกแจงความถ่ี สามารถทาํ ได้ 2 รูปแบบ คือแบบใชต้ าราง และแบบใชแ้ ผนภูมิหรอื กราฟ

การแจกแจงความถแี่ บบตาราง
 ตารางแจกแจงความถี่ (Frequency Distribution)
 ตารางแจกแจงความถี่สะสม (Cumulative Frequency Distribution)
 ตารางแจกแจงความถสี่ ัมพัทธ์ (Relative Frequency Distribution)
 ตารางแจกแจงความถส่ี ะสมสัมพทั ธ์ (Relative Cumulative Frequency Distribution)

การแจกแจงความถ่แี บบใชแ้ ผนภมู ิหรือกราฟ
 ฮสิ โทแกรม (Histogram)
 รูปหลายเหล่ยี มของความถี่ (Frequency Polygon)
 โค้งความถ่ี (Frequency Curves)
 โคง้ ความถ่สี ะสม (Cumulative Frequency หรอื Ogive Curve)
 แผนภาพต้น-ใบ (Stem-and-Leaf Plot หรือ Stem Plot)

3.1 การแจกแจงความถแี่ บบตาราง (Frequency Distribution)

ลักษณะของตารางแจกแจงความถ่โี ดยทั่วไป ประกอบด้วย ข้อมลู รอยขีด และความถ่ีดังตวั อย่างตอ่ ไปนี้
ตัวอย่างท่ี 1 ในการทดสอบย่อยคร้ังที่ 1 วิชาคณิตศาสตร์ ซ่ึงมีคะแนนเต็ม 10 คะแนน มีนักเรียน 10 คน โดยได้คะแนน

ดังน้ี 5, 5, 0, 9, 2, 7, 8, 10, 8 และ 3 หากนํามาเขียนในรูปตารางแจกแจงความถี่สําหรับทุกค่าของคะแนนท่ี
เป็นไปไดท้ ัง้ 11 คา่ เป็นดังน้ี

x (คะแนน) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
f (ความถ่)ี

จากตาราง ตัวแปร คอื
ค่าจากการสงั เกต คือ
คา่ ทีเ่ ป็นไปได้ คอื

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ท่ี 6

ตัวอยา่ งที่ 2 คะแนนจากการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ของนักเรียน 60 คน ซง่ึ มคี ะแนนเตม็ 30 คะแนน เป็นดังน้ี
28 22 20 17 16 25 18 22 28 17
19 22 22 21 19 27 27 25 23 24
28 26 21 18 24 21 24 22 20 22
24 28 16 23 22 25 24 22 25 21
17 28 24 27 23 22 22 29 16 20
21 21 26 27 28 24 28 16 23 22

จากข้อมลู ข้างต้นสามารถสรปุ ให้กะทดั รัดได้โดยใชต้ ารางแจกแจงความถี่ ดังนี้

คะแนน รอยขดี (รอยคะแนน) ความถ่ี
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
รวม

จากตารางแจกแจงความถ่ขี า้ งต้นท้ัง 2 ตัวอย่าง จะเหน็ วา่ ไมค่ อ่ ยมีประโยชนต์ อ่ การวิเคราะห์ข้อมูลมากนัก การ
แจกแจงความถ่ีทกุ ค่าของข้อมูลทําให้เสียเวลา และยากท่ีจะสรุปผล ดงั น้ันแทนท่ีจะแจกแจงความถ่ีของทุกข้อมูล สามารถ
สร้างตารางแจกแจงความถ่ีได้อีกลักษณะหน่ึงโดยการจัดข้อมูลท่ีใกล้เคียงกันเป็นหมู่หรือเป็นชั้น (Group or Class) ช่วงกว้าง
ของขอ้ มูลในแต่ละช้นั เรยี กวา่ อันตรภาคช้นั (Class Interval)

ตวั อยา่ งท่ี 3 คะแนนการทดสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรยี น 60 คน ซ่งึ มีคะแนนเต็ม 100 คะแนน เป็นดังนี้

คะแนน รอยขดี (รอยคะแนน) ความถี่

45 - 49 || 2
50 - 54 |||| 4
55 - 59 |||| ||| 8
60 - 64 |||| |||| 10
65 - 69 |||| |||| |||| 15
70 - 74 |||| |||| | 11
75 - 79 |||| | 6
80 - 84 ||| 3
85 - 89 | 1

รวม 60

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ท่ี 7

จากตาราง จะได้วา่ ข้อมูลชุดนี้มี 9 อันตรภาคชั้น โดยอันตรภาคช้ันที่ 2 มีช่วงคะแนน 50 - 54 เรยี กค่าทั้ง 2 นี้
ว่าขีดจาํ กัดล่างและขีดจํากดั บน ในช้ันน้มี ีความถี่ หรือจํานวน นกั เรียน 4 คน โดยมีคะแนนต้ังแต่ 49.5 ถึง 54.5 คะแนน เรา
เรยี กค่าท้ังสองน้ีว่า ขอบเขตลา่ งและขอบเขตบน

3.1.1 วิธีการสรา้ งตารางแจกแจงความถี่

1. หาค่าพสิ ัย โดยคาํ นวณจาก พสิ ัย = ขอ้ มูลสูงสุด - ข้อมูลต่าํ สุด

2. กาํ หนดจํานวนชัน้ ของขอ้ มลู ตามความเหมาะสม

3. คาํ นวณหาคา่ ความกว้างของอนั ตรภาคช้นั จากสตู ร ความกว้างของอนั ตรภาคชัน้ เท่ากับพสิ ยั หารดว้ ยจํานวนชน้ั

กําหนดความกวา้ งของอนั ตรภาคชั้นเปน็ จาํ นวนเตม็ โดยปดั ข้ึนเสมอ (ถา้ หารลงตัวให้บวกเพ่มิ 1 เสมอ)

4. ตตี าราง 3 ช่อง ประกอบดว้ ย ขอ้ มูลหรอื อันตรภาคช้ัน รอยขีดและความถี่

5. เขียนอนั ตรภาคชน้ั ของแต่ละชั้น โดยอาศัยความกว้างของอันตรภาคช้ันเปน็ เครื่องช่วยจะเร่ิมจากช้ันข้อมูลค่า

ตา่ํ สดุ หรือช้ันข้อมูลค่าสูงสุดก็ได้ โดยมีหลักว่าขีดจํากัดลา่ งของชั้นข้อมูลค่าตํ่าสุดและขีดจํากัดบนของชั้นข้อมูล

ค่าสูงสดุ จะต้องคลุมคา่ ของขอ้ มูลทง้ั หมด

6. ตรวจดูว่าข้อมูลแตล่ ะตวั อย่ใู นอันตรภาคชัน้ ใด แลว้ ขีดรอยขีดให้ตรงกับชนั้ น้ันตวั ละขีด

7. นบั จํานวนรอยขีดใสใ่ นช่องความถ่ี

ตัวอย่างที่ 4 คะแนนจากการสอบของนกั เรยี น 60 คน เป็นดังนี้

38 22 20 17 16 25 18 22 28 17 19 22

22 31 19 27 37 25 23 44 28 36 41 18

24 21 24 22 20 32 24 28 16 23 22 35

24 42 25 31 17 28 24 27 23 22 22 39

16 20 21 21 26 27 28 24 28 16 23 22

จงสร้างตารางแจกแจงความถ่ใี ห้มีจาํ นวนชนั้ 5 ชั้น

วธิ ที ํา 1. พิสยั คอื

2. จํานวนช้นั 5 ชนั้

3. ความกวา้ งของอนั ตรภาคชัน้ คอื

คะแนน รอยขีด จํานวนคน

รวม

ในการกําหนดจํานวนและความกวา้ งของอันตรภาคชน้ั มขี อ้ สงั เกตดงั น้ี
1. ความกว้างของแต่ละอันตรภาคชั้นไมจ่ ําเป็นตอ้ งเทา่ กันหมด ข้ึนอยกู่ ับวตั ถปุ ระสงค์ของการใชข้ อ้ มูล
2. ค่าที่สังเกตได้บางค่าอาจต่างไปจากค่าอื่นมาก เช่น ในการสอบครัง้ หนึง่ มีผู้สอบได้ 2 คะแนน ในขณะที่คนอื่น

ได้คะแนน มากกว่า 50 คะแนน ควรกําหนดอันตรภาคช้ันแรกเป็นอนั ตรภาคชั้นเปิด (Open-Ended Class
Interval)
3. การกําหนดจํานวนอันตรภาคช้ันในการสร้างตารางแจกแจงความถ่ีไม่มีกฎเกณฑ์แน่นอนตายตัว ข้ึนอยู่กับ
ลักษณะการกระจายของข้อมูล รายละเอียดของข้อมูลที่ต้องการทราบด้วย เช่น ถ้าค่าที่สังเกตได้มีความ
แตกต่างกันมาก มักจะกําหนดให้มีอันตรภาคชั้นน้อย เพ่ือไม่ให้มีอันตรภาคช้ันท่ีมีความถี่เป็นศูนย์ หรือหาก
ต้องการทราบรายละเอียดของข้อมูลอย่างละเอียด ก็ควรกําหนดให้มีจํานวนอันตรภาคช้ันมาก โดยท่ัวไปนิยม
ใชอ้ ยู่ 7-15 ช้นั

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หน้าท่ี 8

ตัวอย่างท่ี 5 ตารางแสดงจาํ นวนผู้ป่วยในเขตตาํ บลศาลายา พ.ศ. 2554 จาํ แนกตามระยะเวลาปว่ ย

ระยะเวลาป่วย (วัน) จาํ นวนผู้ป่วย

น้อยกว่า 8 วัน 441,250

8 - 14 50,650

15 - 28 12,560

29 - 42 8,720

มากกว่า 42 22,110

ไม่ทราบขอ้ มลู 7,850

รวม 543,140

จากตวั อยา่ ง จะเหน็ ได้ชดั ว่าความกวา้ งของแตล่ ะอันตรภาคชั้นไมเ่ ท่ากนั และมีอนั ตรภาคชั้นเปิด

ตัวอย่างท่ี 6 จากการสอบถามขอ้ มูลเกยี่ วกบั จาํ นวนชั่วโมงเฉลีย่ ของการทาํ งานในหนง่ึ สัปดาหข์ องคนจาํ นวน 24 คน ดังนี้

35.0 48.0 45.0 43.0 38.2 50.0 39.8 40.7

40.0 50.0 35.4 38.8 40.2 45.0 45.0 40.0

43.0 48.0 43.3 53.1 35.6 41.1 34.8 51.0

จงสรา้ งตารางแจกแจงความถ่ีให้มจี าํ นวน 5 อนั ตรภาคชน้ั

จาํ นวนชวั่ โมง รอยขดี ความถ่ี

30.0 - 34.9

รวม

ตวั อย่างท่ี 7 จากตัวอยา่ งขา้ งตน้ ค่าทส่ี ังเกตได้มจี ดุ ทศนยิ มอย่ดู ว้ ย การกําหนดอนั ตรภาคชนั้ อาจกาํ หนดใหอ้ ยูใ่ นชว่ งดงั น้ี

จาํ นวนชวั่ โมง (x) ความถ่ี
30 < x < 35

รวม

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ท่ี 9

3.1.2 ตารางแจกแจงความถส่ี ะสม (Cumulative Frequency Distribution)
ความถ่ีสะสม (Cumulative Frequency) คือผลรวมของความถี่ของค่าน้ันหรือของอันตรภาคชั้นน้ัน กับความถี่

ของค่า หรือของอันตรภาคช้ันทมี่ ีช่วงคะแนนตํ่ากว่าท้งั หมด (หรือสงู กวา่ ทง้ั หมดอยา่ งใดอย่างหนงึ่ )

ตัวอย่างที่ 8 จากตารางแจกแจงความถ่ขี องคะแนนการทดสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนกั เรียน 60 คน ซ่ึงมีคะแนนเตม็
100 คะแนน (ตัวอยา่ งที่ 3) จงสร้างตารางแจกแจงความถส่ี ะสม

คะแนน ความถ่ี ความถี่สะสม
45 - 49 2
50 - 54 4
55 - 59 8
60 - 64 10
65 - 69 15
70 - 74 11
75 - 79 6
80 - 84 3
85 - 89 1
รวม 60

3.1.3 ตารางแจกแจงความถ่ีสมั พัทธ์ (Relative Frequency Distribution)
ความถ่ีสัมพัทธ์ (Relative Frequency) คืออตั ราส่วนระหว่างความถี่ของค่าน้ัน หรือของอันตรภาคชั้นน้ันกับ

ผลรวมของความถี่ท้ังหมด อาจอยู่ในรูปเศษส่วน ทศนิยมหรือร้อยละ วัตถุประสงค์ในการสร้างเพื่อหาว่าความถ่ีของแต่ละ
คา่ ท่เี ป็นไปได้ หรอื ของแตล่ ะอันตรภาคช้นั มีจาํ นวนมากนอ้ ยเพียงใดเมอื่ เทียบกบั ความถที่ งั้ หมด

ตวั อย่างท่ี 9 จากตารางแจกแจงความถีข่ องคะแนนการทดสอบวิชาคณติ ศาสตร์ของนกั เรียน 60 คน ซง่ึ มคี ะแนนเตม็
100 คะแนน (ตัวอย่างท่ี 3) จงสรา้ งตารางแจกแจงความถีส่ ัมพัทธ์ และร้อยละของความถ่ีสมั พทั ธ์

คะแนน ความถี่ ความถ่ีสมั พทั ธ์ รอ้ ยละของความถส่ี มั พัทธ์
45 - 49 2
50 - 54 4
55 - 59 8
60 - 64 10
65 - 69 15
70 - 74 11
75 - 79 6
80 - 84 3
85 - 89 1
รวม 60

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ที่ 10

3.1.4 ตารางแจกแจงความถส่ี ะสมสัมพัทธ์ (Relative Cumulative Frequency Distribution)
ความถ่ีสะสมสัมพัทธ์ (Relative Cumulative Frequency) คอื อัตราส่วนระหว่างความถี่สะสมของค่าน้ันหรือของ

อันตรภาคช้ันน้ันกับผลรวมของความถ่ีทั้งหมด ซึ่งอาจแสดงในรูปเศษส่วน ทศนิยมหรือร้อยละ ตารางนี้ใช้เพื่อหาว่าแต่ละ
ค่าทเี่ ปน็ ไปได้หรอื แต่ละอนั ตรภาคช้ันทีม่ ีความถส่ี ะสมเปน็ จาํ นวนมากนอ้ ยเพยี งใดเม่อื เทยี บกับความถที่ งั้ หมด

ตัวอยา่ งที่ 10 จากตารางแจกแจงความถขี่ องคะแนนการทดสอบวิชาฟิสิกส์ของนักเรียน 50 คน ซ่ึงมีคะแนนเต็ม 50 คะแนน
จงสร้างตารางแจกแจงความถ่ีสะสมสัมพทั ธ์ และรอ้ ยละของความถ่ีสะสมสมั พทั ธ์

คะแนน ความถ่ี ความถ่สี ะสม ความถี่สะสม รอ้ ยละของความถี่
สมั พทั ธ์
0 < x <10 5 สะสมสมั พทั ธ์
10 < x < 20 20
20 < x < 30 10
30 < x < 40 8
40 < x < 50 7
50
รวม

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ที่ 11

แบบฝึกทักษะ 3.1

1. ข้อมลู คะแนนสอบวชิ าสถติ ิ ของนกั เรียน 36 คน ดงั น้ี
72 83 82 92 70 91 71 33 42 51 55 75
38 96 85 93 60 75 38 40 75 49 53 41
86 89 51 57 66 92 55 48 85 85 54 56
a. จงสร้างตารางแจกแจงความถี่ ความถ่ีสะสม ความถ่ีสัมพัทธ์ และความถ่ีสะสมสัมพัทธ์ ที่มีอันตรภาคช้ันเป็น
30-39, 40-49, 50-59, 60-69, 70-79, 80-89, 90-99
b. จงหาว่าความถใี่ นช่วงใดมคี า่ สงู สุด
c. จงหาร้อยละของจํานวนนกั เรียนทไ่ี ดค้ ะแนนระหวา่ ง 70-79 คะแนน
d. จงหาจาํ นวนนักเรยี นท่ไี ด้คะแนนมากกว่า 59 คะแนน
e. จงหาร้อยละของนักเรียนที่ไดค้ ะแนนนอ้ ยกวา่ หรือเทา่ กับ 59 คะแนน

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 12

3.2 การแจกแจงความถแี่ บบใชก้ ราฟ

การใช้กราฟแสดงการแจกแจงความถี่ของข้อมูล สามารถทําให้เห็นการกระจายของข้อมูลได้ชัดเจนกว่าการดูจาก
ตารางแจกแจงความถ่ี กราฟท่จี ะกล่าวต่อไปมดี งั น้ี

 ฮิสโทแกรม (Histogram)
 รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ (Frequency Polygon)
 โค้งความถี่ (Frequency Curves)
 โคง้ ความถสี่ ะสม (Cumulative Frequency หรอื Ogive Curve)
 แผนภาพตน้ -ใบ (Stem-and-Leaf Plot หรือ Stem Plot)

ฮสิ โทแกรม (Histogram) หรือรปู สเี่ หล่ียมผืนผ้าของความถ่ี เป็นการแสดงความถ่โี ดยอาศัยพืน้ ท่ีสเี่ หลี่ยมผนื ผ้าคล้าย
กับการนําเสนอข้อมูลแบบกราฟแท่ง โดยท่ีแต่ละแท่งจะติดกัน เพราะใช้ขอบเขตล่างและขอบเขตบนของข้อมูลแต่ละชั้น มา
แบง่ หน่วยบนแกนแนวนอน (แกน X ) ส่วนแกนแนวตั้ง (แกน Y ) แสดงความถ่ี ( f ) และพื้นที่ของรูปส่ีเหลี่ยมผืนผ้าแทน

ความถี่ของอันตรภาคชัน้

ตวั อย่างท่ี 11 จงเขยี นฮิสโทแกรมของข้อมลู นี้ ขีดจาํ กัดช้นั จาํ นวน (ความถี่)

คะแนน 29.5 - 39.5 2
39.5 - 49.5 3
30 - 39 49.5 - 59.5 8
40 - 49 59.5 - 69.5 22
50 - 59 69.5 - 79.5 25
60 - 69 79.5 - 89.5 15
70 - 79 89.5 - 99.5 5
80 - 89
90 - 99

รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ (Frequency Polygon) เป็นการแสดงความถ่ีโดยจุดกึ่งกลางช้ันของข้อมูลและ
ความถ่ีของข้อมูลในแตล่ ะชนั้ แบง่ หน่วยบนแกนแนวนอนแสดงจุดก่ึงกลางและแกนแนวตั้งแสดงความถี่ จะได้ตําแหน่งของจุด
ก่งึ กลางและความถ่ีของข้อมูลในแต่ละช้ัน เมื่อลากเส้นเชื่อมระหว่างตําแหน่งจากข้อมูลน้อยไปหาข้อมูลมาก ภาพท่ีได้เป็นรูป
หลายเหลีย่ มของความถ่ี หรือสร้างต่อจากการทําฮิสโทแกรมโดยการแบ่งก่ึงกลางท่ียอดของแต่ละแท่งแล้วลากเส้นเชื่อมของ
จุดแบ่ง จะได้รูปหลายเหลี่ยมของความถี่ตามต้องการ จากตัวอยา่ งที่ผ่านมาสามารถแสดงข้อมูลโดยใช้รูปหลายเหล่ียมของ
ความถ่ี ไดด้ งั นี้

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ท่ี 13

โคง้ ความถ่ี (Frequency Curves) เป็นโค้งท่ีเกิดจากการปรับเส้นของรูปหลายเหล่ียมของความถี่ให้เรยี บขึ้น โดย
การปรบั จะต้องใหพ้ น้ื ทภ่ี ายใต้เส้นโคง้ ทปี่ รับใหมม่ ขี นาดใกล้เคียงกับพ้ืนท่ขี องรูปหลายเหลย่ี มของความถ่ี

โคง้ ความถ่ีสะสม (Cumulative Frequency หรือ Ogive Curve) เป็นโค้งที่แสดงความถส่ี ะสมของข้อมูลต้ังแต่คา่
ต่ําสุด ก่อนสร้างโค้งความถ่สี ะสม ควรสร้างตารางแจกแจงความถี่สะสมกอ่ น เม่ือได้ตารางแจกแจงความถี่สะสมแล้วจึงเขียน
กราฟความถ่ีสะสมโดยใช้แกน Y เป็นความถี่สะสมและแกน X เป็นขีดจํากัดช้ันท่ีแท้จรงิ ของข้อมูลแต่ละชั้น ต่อจากน้ันจึง
ลากเส้นโยงจดุ แตล่ ะจุดเหล่าน้ัน

คะแนน ขีดจาํ กดั ช้ัน จํานวน (ความถี)่ ความถส่ี ะสม ความถี่สะสม รอ้ ยละของความถ่ี
สัมพัทธ์ สะสมสัมพัทธ์
30 - 39 29.5 - 39.5 2 2
40 - 49 39.5 - 49.5 3 5 0.0250 2.50
50 - 59 49.5 - 59.5 8 13 0.0625 6.20
60 - 69 59.5 - 69.5 22 35 0.1625 16.25
70 - 79 69.5 - 79.5 25 60 0.4375 43.75
80 - 89 79.5 - 89.5 15 75 0.7500 75.00
90 - 99 89.5 - 99.5 5 80 0.9375 93.75
1.000 100.00

เทคนิคการเขียนเส้นโคง้ ของความถีส่ ะสม update: October 14, 2011
1. ให้แกนนอนเปน็ คะแนน และแกนต้งั เป็นความถี่สะสม
2. หาตา่ํ แหนง่ ของจุด (ขอบบน, ความถ่ีสะสม) ของอันตรภาคชัน้ แตล่ ะช้นั
3. ลากต่อแตล่ ะจุด แลว้ ปรบั โค้งให้เรยี บ

Deaw Jaibun
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 14

แบบฝกึ ทกั ษะ 3.2

1. ขอ้ มลู ต่อไปนีเ้ ปน็ ความสูงของนกั เรยี นจํานวน 50 คน
162 165 158 171 169 163 162 165 158 155
154 170 158 158 155 154 152 160 170 159
154 172 162 170 164 170 151 162 160 159
159 157 159 167 160 159 155 172 154 155
173 166 158 156 175 155 165 159 153 163

จงสร้างตารางแจกแจงความถ่ีโดยให้แต่ละอนั ตรภาคชน้ั มคี วามกว้างเท่ากนั และมีอันตรภาคชั้น 160-164 ในตารางด้วย
สร้างอสิ โทแกรม รูปหลายเหลย่ี มแหง่ ความถี่ และโค้งความถี่ (สร้างในรูปเดยี วกันได้โดยเลอื กใชส้ ีให้เหน็ ชัดเจน)

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ท่ี 15

3.3 แผนภาพต้น-ใบ (Stem-and-Leaf Plot หรือ Stem Plot)

การสรา้ ง ตารางแจกแจงความถี่และฮีสโทรแกรม ไม่ทําให้สามารถบอกได้ว่าข้อมูลมคี ่าใดบ้าง เน่ืองจากได้จัดแบ่ง
ข้อมูลที่มีอยู่เป็นชว่ งๆ รู้ได้เพยี งข้อมลู แต่ละกลมุ่ มมี ากหรือน้อยเพียงไร การจัดข้อมลู เป็นกลุ่มอาจใช้วิธีการสร้างแผนภาพเพ่ือ
แจกแจงความถ่แี ละวิเคราะหข์ อ้ มลู เบือ้ งต้นไปพร้อมๆ กนั ท่ีเรียกว่า แผนภาพต้น-ใบ

ตัวอย่างที่ 12 ข้อมูลคะแนนสอบวิชาสถิติ ของนกั เรียน 36 คน ดงั นี้
72 83 82 92 70 91 71 33 42 51 55 75 38 96 85 93 60 75
38 40 75 49 53 41 86 89 51 57 66 92 55 48 85 85 54 56

แบ่งคะแนนเปน็ 7 กลุ่ม ดงั น้ี

กล่มุ ที่ 1 คะแนนต้ังแต่ 30 - 39 คะแนน มดี ังน้ี
กลุ่มที่ 2 คะแนนตงั้ แต่ 40 - 49 คะแนน มีดังนี้
กลุม่ ท่ี 3 คะแนนต้งั แต่ 50 - 59 คะแนน มดี ังนี้
กลุ่มท่ี 4 คะแนนตง้ั แต่ 60 - 69 คะแนน มีดงั น้ี
กลุ่มท่ี 5 คะแนนตัง้ แต่ 70 - 79 คะแนน มีดงั นี้
กลมุ่ ที่ 6 คะแนนตงั้ แต่ 80 - 89 คะแนน มดี งั น้ี
กลมุ่ ท่ี 7 คะแนนต้ังแต่ 90 - 99 คะแนน มีดังน้ี

เขยี นแผนภาพตน้ -ใบไดด้ งั นี้

ต้น ใบ
3
4
5
6
7
8
9

นอกจากจะใช้แผนภาพต้น-ใบ นําเสนอข้อมูล 1 ชุดดังตัวอย่าง แผนภาพต้นใบยังสามารถนําเสนอข้อมูล 2 ชุด
พร้อมกนั และสามารถเปรยี บเทียบข้อมลู ท้ัง 2 ชดุ ได้โดยดูจากแผนภาพดังตัวอย่างตอ่ ไปน้ี

ตวั อยา่ งที่ 13 นักเรียนกล่มุ 10 มีผลการสอบยอ่ ยวิชาคณิตศาสตรค์ รง้ั ที่ 1 และ 2 ซ่ึงมีคะแนนเต็ม 100 คะแนนดังน้ี
ครัง้ ที่ 1
40 53 55 58 60 62 65 66 69 70
72 72 75 75 81 82 85 100 100 100

คร้งั ที่ 2 32 39 68 70 75 78 78 78 79 80

82 84 85 85 85 86 90 93 95 98

เขียนแผนภาพตน้ -ใบได้ดงั นี้

ใบ (ทดสอบคร้ังท่ี 1) ต้น ใบ (ทดสอบคร้งั ที่ 2)

0 3
853 4
96520 5
55220 6
521 7
8
000 9
10

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ที่ 16

แบบฝกึ ทักษะ 3.3

1. จากข้อมูลความดันโลหิตของครูโรงเรียนมหดิ ลวิทยานสุ รณ์ 30 คน จงสรา้ งแผนภาพต้นใบ
154 185 170 172 163 165 180 206 155 187
159 183 129 137 135 170 195 174 189 180
151 175 160 135 132 177 168 152 169 144

2. จากการสํารวจเงินที่พกมาทํางานของพนักงานบริษทั แหง่ หนงึ่ จํานวน 40 คน จงสรา้ งแผนภาพต้น-ใบ
1000 1520 2000 1360 1540 1480 1360 1880 1950 1470
2000 1840 1250 1240 1750 1690 1350 1420 1950 1640
1860 1980 1530 1350 1380 1480 1470 1260 1940 1360
1860 1950 1420 1120 1320 1180 1190 1660 1970 1350

3. แผนภาพตน้ -ใบทก่ี ําหนดให้แสดงค่าทีน่ กั เรยี น 30 คนประมาณความสูงของเสาธงของโรงเรียน update: October 14, 2011
โดยท่ี 5 | 4 แทนความสงู 5.4 เมตร
55 5 7 2 5
65 2 1 6 8 3 2 1
72 3 1 9
86 5 4 2
97 5 9 2 2 1
10 1 0 2

a. มีนักเรียนท้งั หมดกคี่ นทท่ี าํ การประมาณ
b. ค่าประมาณของเสาธงท่สี ูงทสี่ ดุ มีความสงู เท่าไร
c. ถา้ เสาธงสูงจรงิ 4 เมตร มนี กั เรียนรอ้ ยละเท่าใดทปี่ ระมาณผดิ

Deaw Jaibun
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หน้าที่ 17

4. การวดั ค่ากลางของขอ้ มูล
Measures of Central Value

 ยังจาํ ไดไ้ หม การหาค่ากลางของข้อมูลเพื่อหาค่าสถิติหรือค่าพารามิเตอร์ แล้วนําผลท่ีได้มาสรุปและ
ตีความหมายของข้อมูล ใช้เป็นตัวแทนของข้อมูลทั้งหมดเพ่ือความสะดวกในการสรุป
 ประชากร (Population) หมายถึงกลุ่มของ เรื่องราวเก่ียวกับข้อมูลนั้นๆ จะช่วยทําให้เกิดการวิเคราะห์ข้อมูลถูกต้องดีขึ้น การหาค่า
สมาชิกทกุ หน่วยทเ่ี ราต้องการศึกษาลักษณะ กลางของข้อมูลมีวิธีหาหลายวิธี แต่ละวิธีมีข้อดีและข้อเสีย และมีความเหมาะสมในการ
นําไปใช้ไมเ่ หมือนกัน ข้ึนอยู่กบั ลักษณะข้อมลู และวัตถุประสงค์ของผูใ้ ชข้ ้อมูลนนั้ ๆ
 พารามิเตอร์ (Parameter) หมายถึง ตัวเลข
ซงึ่ แสดงคุณสมบัติบางประการของประชากร คา่ วัดแนวโน้มสู่ส่วนกลางหรือค่ากลางท่ีเป็นตัวแทนของข้อมูลท่ีนิยมใช้มีอยู่ 3 ค่า ได้แก่
คา่ เฉลี่ยเลขคณติ มัธยฐานและฐานนิยม
เช่น  , 2 ,  เป็นต้น

 ตัวอย่าง (Sample) หมายถึง กลุ่มย่อยของ
สมาชิกในกลุ่มประชากรที่เลือกมาเพื่อศึกษา
ลักษณะท่สี นใจ

 ค่าสถิติ (Statistic) หมายถึง ตัวเลขที่วัดผล

ท่ีไดจ้ ากตัวอยา่ ง เช่น x , s2 , s เปน็ ตน้

4.1 คา่ เฉล่ยี เลขคณติ (arithmetic mean)

คา่ เฉลีย่ เลขคณติ (arithmetic mean) คอื คา่ ของผลรวมของค่าสังเกตของข้อมูลท้ังหมด หารด้วยจํานวนของข้อมูล

ทั้งหมด เรยี กสนั้ ๆ ว่าค่าเฉล่ีย ค่าเฉลี่ยเลขคณิตเหมาะที่จะนํามาเป็นค่ากลางของข้อมูลเมื่อข้อมลู น้ันไม่มีค่าใดค่าหนึ่งสงู หรือ
ตํ่าผดิ ปกติ มสี ตู รดงั น้ี

(สาํ หรบั ขอ้ มลู ท่ีไมแ่ จกแจงความถี่) คา่ เฉลย่ี กลมุ่ ตัวอยา่ ง (sample mean)

คา่ เฉลยี่ ประชากร (population mean) ån

åN xi
x = i=1
xi
m = i=1 n

N

ตัวอย่างที่ 14 คะแนนผลสัมฤทธิท์ างการเรียนวชิ าสถติ เิ พือ่ การวิจัยของนักเรียนกลุม่ ตัวอย่างจํานวน 10 คน มคี ่าดังนี้

87 61 75 85 73 65 58 66 78 95

จงหาคา่ เฉลยี่ ของคะแนนผลสมั ฤทธิท์ างการเรียนของนกั เรยี นกลุ่มนี้

วธิ ีทาํ จากสูตร x ån (Note: ใหน้ ักเรียนเขียนสูตรก่อนเสมอ)

xi
= i=1
n

จะได้

ตัวอยา่ งที่ 15 ในการสอบวิชาสถติ ขิ องนกั เรียนห้องหนงึ่ ค่าเฉลย่ี เลขคณิตของคะแนนเท่ากับ 53 คะแนน แต่จากการ
ตรวจสอบพบวา่ มีขอ้ สอบของนกั เรียน 2 คนทย่ี ังไม่ไดต้ รวจ เมอื่ ตรวจเสรจ็ คาํ นวณคา่ เฉลีย่ ใหม่ได้ 55
คะแนน และผลรวมของคะแนนสอบเพมิ่ ขึ้นอีก 180 คะแนน จาํ นวนนกั เรยี นในหอ้ งนม้ี เี ท่าใด

(ขอ้ นเี้ ราสนใจคะแนนสถติ ขิ องนกั เรยี นหอ้ งน้ี นน่ั คือประชากรคอื นกั เรียนในห้องน)้ี

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ท่ี 18

ตัวอย่างท่ี 16 นกั เรยี นกลุ่มตัวอย่างมี 10 คน มีคะแนนเฉลี่ยวิชาคณติ ศาสตร์ 45 คะแนน ต่อมาทราบว่าคิดคะแนนผิดไป 2
คน คอื จาก 48 และ 50 คะแนน คิดเป็น 43 และ 60 คะแนน จงหาคะแนนเฉลี่ยท่ถี กู ต้อง

ตัวอย่างที่ 17 ถ้าผู้สอนจะให้เกรด 4 แก่นักเรียนท่ีได้คะแนนไม่ต่ํากว่า 75 คะแนน จากการสอบทง้ั 6 คร้ัง ถ้าคะแนนเฉล่ีย
ของการสอบยอ่ ย 5 ครัง้ ของบอลเท่ากับ 71 คะแนน จงหาว่าครง้ั ท่ี 6 บอลตอ้ งสอบได้กี่คะแนนจึงจะไดเ้ กรด 4

คา่ เฉลย่ี เลขคณติ ถ่วงนํ้าหนกั (weight arithmetic mean)
ค่าเฉล่ียเลขคณิตถ่วงนํ้าหนัก (weight arithmetic mean) ใช้ในกรณีท่ีข้อมูลมีความสําคัญไม่เท่ากัน เช่นการหา

ผลการเรยี นเฉลย่ี เนอื่ งจากแต่ละวชิ ามจี ํานวนหน่วยกิตไม่เทา่ กนั จงึ จาํ เปน็ ตอ้ งถว่ งนํ้าหนกั
ถา้ ให้ w1,w2,...,wN เปน็ นํา้ หนกั ถว่ งของคา่ สังเกต คา่ เฉลย่ี เลขคณิตถ่วงนํา้ หนัก มสี ูตรดงั นี้

(สําหรับขอ้ มูลท่ีไม่แจกแจงความถ)ี่ คา่ เฉลย่ี ถ่วงนา้ํ หนัก åN ใ

wixi สังคม
m = i=1 1
A
åN

wi

i =1

ตัวอย่างที่ 18 จงคํานวณหาผลการเรียนเฉล่ียของ นักเรยี นคนหนงึ่ ซง่ึ มีผลการเรยี นดงั น้ี

วิชาท่ี คณิตศาสตร์ ชีววิทยา เคมี ฟิสกิ ส์
หนว่ ยกิต 3 3 2 2
A B B A
เกรด

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หน้าที่ 19

ตวั อย่างท่ี 19 กําหนดให้ X เป็นตัวแปรหนึ่ง ถ้าค่าที่สังเกตได้พร้อมกับร้อยละของความถ่ีสะสมมีค่าดังตาราง จงหา

คา่ เฉลยี่ เลขคณิตของขอ้ มูล

คา่ ท่สี งั เกต -4 -3 1 2 3

ความถส่ี ะสม 30 50 60 80 100

คา่ เฉล่ียเลขคณติ รวม (combined arithmetic mean)
ในการวเิ คราะหข์ อ้ มลู หลาย ๆ ชดุ ทห่ี าค่าเฉลยี่ ไวแ้ ล้ว หากตอ้ งการหาค่าเฉลย่ี เลขคณติ ของขอ้ มูลท้ังหมดโดยนบั

รวมเปน็ ชุดเดยี ว ตอ้ งใช้การคาํ นวณโดยคา่ เฉลี่ยเลขคณิตรวม
ถา้ x1,x2,x3,...,xk เปน็ คา่ เฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มลู ชุดท่ี 1, 2, 3, ..., k และ

n1,n2,n3,...,nk เป็นจาํ นวนคา่ จากการสงั เกตในขอ้ มูลชุดที่ 1, 2, 3, ..., k

ค่าเฉลยี่ เลขคณิตรวม åk (ขอ้ มูลระดบั ประชากรยังคงใช้สูตรทํานองเดยี วกนั )
nixi
x = i=1

åk
ni

i=1

ตวั อยา่ งท่ี 20 นักเรียนหอ้ งหน่งึ มีนักเรยี นชาย 13 คน หญงิ 11 คน นักเรยี นชายมคี วามสูงเฉล่ีย 168 เซนตเิ มตร นกั เรียน
หญิงมคี วามสงู เฉลยี่ 155 เซนตเิ มตร จงหาคา่ เฉลีย่ ความสงู ของนกั เรยี นท้งั หอ้ ง

ค่าเฉลีย่ เลขคณิตของขอ้ มูลท่แี จกแจงความถ่แี ล้ว
การคํานวณหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยวิธีนี้ใช้สูตรทํานองเดียวกับการหาค่าเฉล่ียโดยวิธีถ่วงนํ้าหนัก โดยที่ความสําคัญ

ของนํ้าหนักในท่ีน้ีคือความถี่ของค่าจากการสังเกตแต่ละค่า หรือค่าที่เป็นตัวแทนของแต่ละอันตรภาคชั้น ซึ่งเรียกว่าจุด
ก่ึงกลางของอนั ตรภาคชน้ั (midpoint)

åk (ขอ้ มูลระดบั ประชากรยงั คงใชส้ ตู รทาํ นองเดยี วกัน)
fixi

คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลท่แี จกแจงความถีแ่ ล้ว x = i=1

n

เมือ่ k คือจํานวนอันตรภาคช้ัน และ xi เป็นจดุ กึ่งกลางชั้นท่ี i

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หนา้ ที่ 20

ตวั อยา่ งที่ 21 จากตารางแจกแจงความถี่ จงหาค่าเฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มูลกลุ่มตัวอย่างตอ่ ไปนี้

ช่วงคะแนน จดุ กึ่งกลาง (xi ) ความถี่ fixi
รวม
0-4 3
5-9 4
10 - 14 10
15 - 19 2
20 - 24 1

คา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของข้อมูล คอื

ตัวอย่างที่ 22 จากตารางแจกแจงความถแ่ี สดงเงินเดอื นของพนักงาน จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตของข้อมูลประชากรกลุม่ น้ี

เงินเดอื น จํานวน
6500 - 6999 10
7000 - 7499 15
7500 - 7999 20
8000 - 8499 15
8500 - 8999 10
9000 - 9499 3
9500 - 9999 2

เทคนิคคิดลดั

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตโดยวธิ ีนี้ใช้สตู รลดทอนดังน้ี

k
i1 fidi เม่ือ
x a I di  xi  a และ k เปน็ จาํ นวนอันตรภาคชน้ั
n I

โดยกําหนดให้ a เปน็ ค่ากลางสมมตุ ิ โดยคา่ น้ีไดจ้ ากการเลอื กจากจุดก่งึ กลางของชน้ั ใดก็ได้

แตน่ ยิ มใช้ช้ันท่มี คี วามถสี่ ูงสดุ หรือชน้ั ทอี่ ยู่ตรงกลาง

เม่อื I แทนความกว้างของอันตรภาคชน้ั

di แทนจุดก่ึงกลางใหม่ของแตล่ ะอนั ตรภาคช้นั
fi แทนความถีข่ องแต่ละอนั ตรภาคช้นั
n แทนจาํ นวนขอ้ มลู ทัง้ หมด

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ท่ี 21

ตวั อย่างที่ 23 จากตารางแจกแจงความถอ่ี ายกุ ารใชง้ านของหลอดไฟ 40 ดวง จงหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ของอายุหลอดไฟ

อายุ (ชั่วโมง) จํานวน (fi) xi di  xi  a fi di
I
118 - 122 2
123 - 127 8
128 - 132 15
133 - 137 11
138 - 142 3
143 - 147 1

4.2 คา่ เฉล่ียฮาร์โมนกิ (Harmonic Mean หรือ H.M.)

กําหนดให้ x1,x2,x3,...,xn เป็นขอ้ มลู n จํานวน ซ่ึงเป็นค่าบวก ค่าเฉลย่ี ฮาร์โมนกิ มสี ูตรดังน้ี

(สาํ หรับกรณที ่ีขอ้ มลู ท่ีไมแ่ จกแจงความถ)่ี (สําหรบั กรณที ข่ี อ้ มลู แจกแจงความถ)ี่

k

n n x fi
x  n1  f1  f2  f3  ...  f k 
1 1 1  ...  1 xi 1 i i 1
x1  x2  x3 xn    ... f1 f2 f3 fk
xk k fi
x1 x2 x3 xi 1 i

ข้อมูลระดบั ประชากรยังคงใช้สูตรทํานองเดียวกัน

ตวั อยา่ งที่ 24 กาํ หนดขอ้ มลู 5, 3, 2 จงหาคา่ เฉลี่ยฮารโ์ มนกิ

ตวั อยา่ งท่ี 25 บอลวิ่งรอบสนามรูปสเี่ หล่ียมจัตรุ ัส โดยดา้ นแรกว่ิงดว้ ยความเร็ว 10 เมตรต่อวนิ าที เขาเรมิ่ เหน่อื ยจึงวงิ่ ชา้ ลง
เปน็ 8, 7 และ 5 เมตรตอ่ วินาที ในดา้ นท่ี 2, 3 และ 4 ตามลาํ ดบั จงหาอัตาเร็วเฉล่ียในการวิ่งของบอล

ตัวอย่างท่ี 26 บ้านเม้ียนกับเตยอยู่ห่างกัน 50 กม. ถ้าเมี้ยนเดินทางไปหาเตยโดยที่ 25 กม. แรกเดินทางด้วยอัตราเร็ว
9 กม./ชม. และ 25 กม. หลังเดนิ ทางดว้ ยอัตราเร็ว 7 กม./ชม. จงหาอัตราเร็วเฉล่ยี ในการเดินทาง

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 22

4.3 ค่าเฉล่ยี เรขาคณิต (Geometric Mean)

ค่าค่าเฉลี่ยเรขาคณิตมีประโยชน์เมื่อมีค่าของข้อมูลสูงหรือตํ่ากว่าค่าอื่นๆ รวมอยู่ ให้ xi เป็นข้อมูลซ่ึงเป็นค่าบวกและไม่มี

จํานวนใดมีค่า 0 ค่าเฉลย่ี เรขาคณติ มีสูตรดงั นี้

(สําหรับกรณที ข่ี อ้ มลู ทไี่ ม่แจกแจงความถ่)ี (สําหรับกรณที ี่ขอ้ มลู แจกแจงความถ่)ี

G  n x1  x2  x3  ...  xn G  n x f1  x2f2  x 3f3  ...  xk fk
1
ข้อมลู ระดบั ประชากรยงั คงใช้สูตรทํานองเดยี วกนั

เราสามารถใชล้ อการึทึมช่วยในการหาคา่ เฉลย่ี เรขาคณติ ดงั น้ี (สําหรบั กรณที ขี่ อ้ มลู แจกแจงความถ)ี่
(สาํ หรบั กรณีทขี่ อ้ มลู ท่ีไม่แจกแจงความถี่)

logG  1 n log xi logG  1 k fi log xi
n i 1 n i 1

ขอ้ มูลระดับประชากรยังคงใชส้ ูตรทํานองเดยี วกนั k

Note:  fi  n
i 1

ตวั อย่างท่ี 27 จงหาคา่ เฉลยี่ เรขาคณติ ของขอ้ มูล 2, 4, 8, 16, 32

ตวั อย่างท่ี 28 จงหาคา่ เฉลย่ี เรขาคณิตของขอ้ มลู 2, 4, 4, 8

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ท่ี 23

4.4 มธั ยฐาน

มัธยฐาน (Median : Me) คือ ค่าท่ีอยู่แหน่งก่ึงกลางของข้อมลู ท้งั ชุดเม่ือมีการจัดเรียงคะแนนตามความมากน้อย

แบง่ ข้อมูลที่เรียงลําดับแล้วออกเป็น 2 ส่วนเท่าๆ กัน ใช้กับข้อมูลเชิงปรมิ าณเท่านั้น เหมาะที่จะนํามาใช้เป็นค่ากลาง เมือ่

ขอ้ มลู น้นั มคี ่าหนง่ึ คา่ ใดสูงหรอื ต่าํ ผิดปกติ

คา่ มัธยฐานของขอ้ มูลทไี่ มไ่ ด้แจกแจงความถี่ คอื ค่าของขอ้ มลู ตําแหน่งท่ี N 1
2

ข้ันตอนการหาค่ามัธยฐาน มีดงั นี้

1. จัดเรยี งคะแนนความมากนอ้ ย

2. หาตาํ แหนง่ ก่ึงกลางของชดุ ข้อมลู โดยใชส้ ูตร

ตําแหนง่ ของคะแนนกึ่งกลาง N 1 เมอ่ื N แทนจาํ นวนคะแนนในชดุ ขอ้ มูล
2

3. หาค่ามธั ยฐาน โดยการอ่านคา่ คะแนน ณ ตําแหนง่ ท่ีคํานวณได้ในตอนที่ 2

นนั้ คอื Me = x(N21)
ตัวอย่างท่ี 29 จงหาคา่ มธั ยฐาน

ก. 2 5 1 4 6 7 9

ข. 2 5 1 4 6 7 9 10

ค. 2 5 1 4 6 7 9 10 8

ตวั อย่างท่ี 30 จงหาค่ามธั ยฐานของจํานวนเงินฝากในรอบ 8 ปขี องธนาคารแห่งหน่ึง
พ.ศ. จาํ นวน (ลา้ นลา้ นบาท)
2547 2.43
2548 2.76
2549 3.25
2550 3.68
2551 4.31
2552 4.96
2553 4.67
2554 3.97

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หน้าท่ี 24

การหามัธยฐานของขอ้ มลู ท่ีแจกแจงความถ่ี
หามัธยฐานของขอ้ มลู ท่แี จกแจงความถี่ สามารถหาไดด้ ังนี้

1. โดยใชก้ ารเปรยี บเทยี บสัดสว่ น
2. โดยใช้สูตร ดังนี้

ค่ามัธยฐานของข้อมลู ท่ีแจกแจงความถ่ี คอื L  I  N F 
 2 

fM

เม่อื L คือคา่ ขอบเขตลา่ งของช้ันทีม่ ีมัธยฐานอยู่

I คอื ความกวา้ งของอันตรภาคช้ันท่มี ีมัธยฐานอยู่

F คอื ความถ่สี ะสมของชั้นที่อย่กู ่อนชั้นทีม่ ีมธั ยฐาน

fm ความถข่ี องชัน้ ที่มีมธั ยฐาน
3. โดยใช้กราฟความถ่ีสะสม (เป็นการประมาณทห่ี ยาบกว่า)

ตัวอยา่ งที่ 31 จงหาคา่ มัธยฐาน

คะแนน จาํ นวนนักเรยี น ชว่ งคะแนนท่ีแทจ้ รงิ ความถีส่ ะสม

30  39 8
40  49 10
50  59 12
60  69 45
70  79 50
80  89 20
90  99 15

สมบัติของมธั ยฐาน
ผลรวมของคา่ สมั บรู ณข์ องผลต่างระหวา่ งข้อมลู แต่ละค่ากบั ค่ามธั ยฐานของขอ้ มลู ชุดน้นั จะมคี ่านอ้ ยทสี่ ุด

N

กลา่ วคอื | xi  Me | มีคา่ น้อยทส่ี ดุ
i 1

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หนา้ ท่ี 25

4.5 ฐานนิยม (Mode)

ฐานนิยม คือค่าสังเกตที่เกิดซ้ํามากท่ีสุดหรือมีความถี่สูงสุด จะใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพมากกว่าเชิงปริมาณ เช่น
ขนาดรองเท้า อายุ ความสูง ถ้าข้อมูลไม่ซ้ํากันเลยถือว่าไม่มีฐานนิยม ข้อมูลชุดหน่ึงอาจมีฐานนิยมมากกว่าหน่ึงค่าก็ได้
กรณีทข่ี อ้ มลู ใดมฐี านนยิ มมากกวา่ 2 คา่ อาจถอื ไดว้ า่ ข้อมลู ชดุ นั้นไมม่ ฐี านนิยมเลยก็ได้

สําหรับข้อมูลที่ไมแ่ จกแจงความถี่ ฐานนยิ มคือข้อมลู ตวั ทซ่ี ้าํ กันมากท่สี ดุ
สําหรับข้อมูลทแี่ จกแจงความถ่ี

- ใหจ้ ดุ ก่ึงกลางชั้นทม่ี คี วามถ่สี งู สุดเปน็ ค่าประมาณของฐานนิยม หรอื
- หาจากฮิสโทแกรม กําหนดให้ Mode คือคา่ ฐานนยิ ม

O

จากรปู จะได้ Mode  LO  ML

ให้ AB  d1,CD  d2 และ I คอื ความกวา้ งของชนั้ ท่ีมฐี านนิยมอยู่
จะได้ MN  I  ML

จากสามเหลย่ี มคล้ายจะได้ AB ML

CD MN

แทนค่า d1 ML

d2 IML

 จะได้ d1 I
ML  d1 d2

จาก Mode  LO  ML

 จะได้ d1
Mode  LO  I d1 d2

ให้ LO เปน็ คา่ ขอบเขตล่างของช้นั ทมี่ ฐี านนยิ มอยู่ แทนด้วย L

d1,d2 เป็นผลตา่ งของความถ่ขี องชน้ั ทีม่ ฐี านนยิ มอย่กู บั ความถีข่ องขั้นท่ตี ดิ กัน
ซ่ึงเปน็ ช่วงคะแนนทต่ี ํ่ากวา่ และสงู กว่าตามลําดบั

จะไดส้ ตู รดงั นี้

 - d1
หาไดจ้ ากสตู ร Mode  L  I d1 d2

ตวั อย่างท่ี 32 ผลการสอบของนักเรยี น 10 คนเปน็ ดังนี้ 15 20 15 9 18 14 12 15 7 6
จงหาค่าเฉลีย่ เลขคณติ มธั ยฐาน และฐานนิยม

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หน้าที่ 26

ตัวอยา่ งที่ 33 จากตารางแจกแจงความถ่ี จงสรา้ งฮิสโทรแกรม และหาฐานนยิ ม

คะแนน จาํ นวน

10  19 3

20  29 8

30  39 8

40  49 5

50  59 2

ตัวอยา่ งท่ี 34 จากตารางแจกแจงความถี่ จงหาฐานนิยม

คะแนน จาํ นวน

10  19 3
20  29 8

30  39 12

กรณคี วามกวา้ งของแตล่ ะอันตรภาคชั้นไมเ่ ทา่ กัน
จะต้องดจู ากอัตราสว่ นระหวา่ งความถต่ี ่อความกว้างของอนั ตรภาคชนั้ ดังตัวอยา่ งตอ่ ไปนี้

ตัวอย่างท่ี 35 จากตารางแจกแจงความถ่ี จงหาฐานนิยม

คะแนน จาํ นวน ช่วงคะแนนท่ี ความกวา้ งของ f
แทจ้ ริง อนั ตรภาคชั้น I

57 6

8  14 28

15  24 30

25  28 4

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ที่ 27

แบบฝึกทกั ษะ 4

1. ตารางต่อไปนเ้ี ปน็ ตวั เลขเงนิ เดือนของพนกั งาน 100 คน ในบรษิ ทั แหง่ หน่งึ
เงนิ เดอื นไมต่ า่ํ กว่า (บาท) จาํ นวน
3,000 100
4,000 65
5,000 30
6,000 14
7,000 7
8,000 4
9,000 2

จงเตมิ ตารางตอ่ ไปนีใ้ ห้สมบรู ณ์เพือ่ แสดงการแจกแจงความถ่ี และหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิต มธั ยฐาน และฐานนิยม (ถ้ามี)

ร้อยละของ รอ้ ยละของ
เงนิ เดือน จาํ นวน ขอบล่าง ขอบบน จดุ กง่ึ กลางชั้น ความถ่สี ะสม ความถ่ี ความถ่สี ะสม

สมั พัทธ์ สัมพัทธ์
3,000 - 3,999 35

4,000 - 4,999

9,000 ขึ้นไป

รวม

2. ผลการสอบของดาว 4 วิชาเป็นดังน้ี 85, 89, 87 และ 96 คะแนน ถา้ การสอบครั้งน้ีมี 5 วิชา และดาวคาดหวังว่าจะได้
ค่าเฉลี่ย 90 คะแนนเป็นอย่างนอ้ ย จงหาว่าวชิ าที่ 5 เธอตอ้ งได้คะแนนน้อยสุดเทา่ ไรจงึ จะเป็นดังหวงั

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 28

3. ข้อมูลชดุ หนงึ่ ประกอบดว้ ย 17, 14, 11, 6 และ x จงหาค่าของ x ที่ทําให้ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและมัธยฐานของขด้ั มูลชุดน้ีมี
ค่าเท่ากนั

4. ถ้าอุณหภมู ิของแต่ละวันใน 1 สัปดาห์เปน็ ดังนี้ 32, 36, 35, 34, 37, 31 และ 34 องศาเซลเซยี ส จงหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต
ของอุณหภมู ิที่มหี น่วยเปน็ องศาฟาเรนไฮต์

5. แผนภาพต้น-ใบของข้อมูลชดุ หนง่ึ เปน็ ดงั นี้

0 336999
1 2267
2 023333456666
3 06
4
5 23
6
7
8
95
10 1

จากขอ้ มูลข้างต้น 1. จงหาค่าเฉล่ยี เลขคณิต มัธยฐาน และฐานนยิ มของข้อมูลชุดน้ี
2. จงพจิ ารณาวา่ ควรใชค้ า่ กลางชนดิ ใดเพื่อเป็นตัวแทนข้อมลู พร้อมท้งั ใหเ้ หตผุ ลประกอบ
3. ข้อมูลที่มากกวา่ 40 รอ้ ยละเทา่ ไรของข้อมูลทั้งหมด

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ที่ 29

5. การวัดตาํ แหนง่ ทขี่ องขอ้ มูล

Measures of Relative Standing

การวัดตาํ แหนง่ เป็นการแปลงข้อมูลแต่ละชุดให้อย่ใู นลักษณะเดียวกัน เพื่อประโยชน์ในการเปรียบเทียบขอ้ มูล
ระหวา่ งข้อมูลคนละชดุ กัน การแปลงข้อมูลมีลักษณะเป็นการแบ่งชุดข้อมูลออกเป็นส่วนย่อยๆ มีท้ังแบ่งออกเป็น 4, 10 และ
100 สว่ น

การวัดตาํ แหน่งท่ีแบง่ ขอ้ มลู ออกเปน็ 4 ส่วน คือ ควอไทล์
การวดั ตาํ แหนง่ ที่แบง่ ขอ้ มลู ออกเปน็ 10 ส่วน คอื เดไซล์
การวัดตาํ แหนง่ ที่แบง่ ขอ้ มูลออกเปน็ 100 สว่ น คอื เปอรเ์ ซน็ ไทล์

ข้อมูลแต่ละชุดมีลักษณะแตกต่างกัน ดังนั้นการจะนําคะแนนที่อยู่ต่างชุดกันมาเปรียบเทียบกันจงึ จําเป็นต้องนํา
ข้อมูลแต่ละชุดนั้นมาแปลงให้มีลักษณะเดียวกันเสียก่อน โดยอาจใช้วิธีการทางสถิติชนิดใดชนิดหนึ่งคือ ควอไทล์ เดไซล์
หรือเปอร์เซน็ ไทล์

5.1 การหา Qk, Dk และ Pk สาํ หรบั ขอ้ มลู ทีไ่ มแ่ จกแจงความถี่

ขนั้ ตอนการหาค่าของคะแนน ณ ตาํ แหน่งควอไทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์ ท่กี าํ หนด
1. จดั เรียงคะแนนทง้ั หมดในชุดขอ้ มลู โดยเรยี งจากคา่ น้อยไปหาคา่ มาก
2. คํานวณหาควอไทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซ็นไทล์ จากสูตร

Qk  x k(N 1)

4

Dk  x k(N 1)

10

Pk  x k(N 1)

100

(ข้อมลู ระดับตัวอยา่ งยงั คงใช้สตู รทาํ นองเดยี วกนั )

โดยท่ี k คอื ตาํ แหน่งของควอไทล์ เดไซล์ หรือเปอรเ์ ซ็นไทล์
x คอื ข้อมลู
n คอื จาํ นวนของขอ้ มลู ท้งั หมด

และ x1 คือขอ้ มลู ตําแหนง่ ท่ี 1
x2 คือข้อมลู ตําแหน่งท่ี 2

xN คือขอ้ มลู ตําแหนง่ ท่ี N

ตวั อย่างที่ 36 จากการทดสอบระดบั สติปญั ญาของเรียน 10 คน ปรากฏผลดงั นี้
105 120 86 125 135 82 102 115 132 92
จงหาควอไทล์ท่ี 1, 2 และ 3

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ท่ี 30

ตวั อยา่ งท่ี 37 จากขอ้ มูลในตวั อยา่ งที่ 36 จงหา D7 , P30 และ P75

5.2 การหา Qk, Dk และ Pk สําหรับข้อมูลท่ีแจกแจงความถ่ี

ข้นั ตอนการหาค่าของคะแนน ณ ตาํ แหน่งควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ท่กี ําหนด
1. สรา้ งความถ่สี ะสม
2. คํานวณหาควอไทล์ เดไซล์ และเปอรเ์ ซน็ ไทล์ จากสูตร

Qk  x kN

4

Dk  x kN

10

Pk  x kN

100

(ข้อมูลระดับตวั อยา่ งยงั คงใช้สูตรทาํ นองเดยี วกัน)

โดยท่ี k คือตําแหน่งของควอไทล์ เดไซล์ หรอื เปอรเ์ ซน็ ไทล์
x คอื ข้อมลู
N คอื จาํ นวนของขอ้ มลู ท้ังหมด

และ x1 คือข้อมลู ตําแหนง่ ที่ 1
x2 คือขอ้ มลู ตาํ แหนง่ ท่ี 2

xN คือขอ้ มลู ตําแหน่งท่ี N

3. หรือคํานวณหาควอไทล์ เดไซล์ และเปอร์เซ็นไทล์ โดยการเทียบอัตราส่วนของความแตกต่างของความถี่สะสมกับความ
แตกตา่ งของคา่ ใช้สูตรดงั นี้

Qk  L  I  kN F 
 4 

fM

Dk  L  I  kN F 
 10 

fM

Pk  L  I  kN F 
 100 

fM

(ขอ้ มูลระดบั ตวั อยา่ งยังคงใชส้ ตู รทาํ นองเดียวกัน)

เมื่อ L คือค่าขอบเขตล่างของชัน้ ทีม่ ีควอไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์
คอื ความกว้างของอนั ตรภาคชั้น
I คอื ตาํ แหน่งของควอไทล์ เดไซล์ หรือเปอรเ์ ซน็ ไทล์
คือความถี่สะสมของชน้ั ที่อยู่กอ่ นช้นั ท่ีมคี วอไทล์ เดไซล์ หรือเปอร์เซ็นไทล์
kN , kN , kN ความถขี่ องช้ันทม่ี คี วอไทล์ เดไซล์ หรือเปอรเ์ ซ็นไทล์

4 10 100 update: October 14, 2011

F

fM

Deaw Jaibun
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 31

ตวั อยา่ งท่ี 38 ผลการสอบวชิ าคณิตศาสตรข์ องนักเรียน 47 คน ปรากฏผลดังตาราง

คะแนน ความถ่ี

15  24 3

25  34 1

35  44 6

45  54 8

55  64 19

65  74 2

75  84 7

85  94 1

จงหา

1. นกั เรียนทมี่ ีคะแนนตํ่ากว่าประมาณหนึง่ ในสี่ของนักเรยี นทัง้ 47 คน มีคะแนนเทา่ ใด

2. ถ้านําคะแนนที่ได้มาเปล่ียนเป็นระดับเกรด A, B, C, D และ E โดยให้มีผู้ได้ระดับคะแนน A เป็นจาํ นวน 10% ผู้ท่ี

ไดร้ ะดบั คะแนน A จะต้องมคี ะแนนเทา่ ใด

ตวั อยา่ งที่ 39 กาํ หนดขอ้ มลู 15 50 4 20 7 30 35 48 24
จงหาว่า 1. คา่ 20 ตรงกับเปอร์เซน็ ไทลท์ ่เี ท่าไร
2. คา่ 10 ตรงกับเปอรเ์ ซน็ ไทล์ท่ีเท่าไร

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ท่ี 32

5.3 บอกซ์พลอต (Box Plots)

บอกซ์พลอตเป็นการสรุปลักษณะของข้อมูลชุดหน่ึง ๆ ด้วยกราฟ ในการสร้างบอกซ์พลอตเราต้องทราบค่าสถิติ
ท้งั หมด 5 คา่ คือคา่ ตาํ่ สุดของขอ้ มลู คา่ ควอไทล์ท่ี 1 (เปอร์เซนตไ์ ทล์ที่ 25) ค่ามัธยฐาน ค่าควอไทลท์ ่ี 3 (เปอร์เซนต์ไทล์ที่
75) และคา่ สงู สดุ ของข้อมลู ข้ันตอนในการสรา้ งบอกซพ์ ลอตมีดังนี้

1. สรา้ งกล่องโดยท่ีปลาย 2 ข้างของกล่องอยู่ท่ีท่ีค่าควอไทล์ที่ 1 และค่าควอไทล์ท่ี 3 ซ่ึงกล่องนีจ้ ะบรรจุข้อมูงบริเวณ
กลาง ๆ การกระจายไว้ 50 %

2. ภายในกล่อง ลากเสน้ ตรงในแนวด่งิ ผา่ นค่ามธั ยฐาน
3. ลากเสน้ ในแนวนอนหรอื ในแนวด่ิงออกไปจากปลายท้งั สองข้างจนถงึ คา่ ตา่ํ สุด และค่าสูงสุดของขอ้ มูลชดุ นนั้

บอกซ์พลอตจะให้ทราบละเอียดของข้อมูลชุดน้ันน้อยกว่าอิสโตแกรมหรือแผนภาพต้น-ใบ แต่นิยมนํามาใช้เม่ือจะ
เปรียบเทียบการแจกแจงของข้อมูลหลาย ๆ ชุด ในการสร้างบอกซ์พลอตอาจสร้างรูปในแนวต้ังหรือแนวนอนก็ได้ และควร
เขียนกํากับมาตราส่วนไว้ด้วย เม่ือมองที่บอกซ์พลอต จุดแรกที่เราต้องมองหาก็คือ มัธยฐาน ซ่ึงเป็นจุดศูนยก์ ลางของการ
แจกแจง จากน้ันจุงดูการกระจายโดยคา่ ควอไทล์จะแสดงถึงการกระจายของครึ่งหนึ่งของข้อมูลบริเวณกลาง ๆ และค่าต่ําสุด
กบั ค่าสงู สุดซึ่งแสดงการกระจายของข้อมลู ท้งั หมดในชุดนน้ั

จากบอกซ์พลอต จะทําให้เราทราบว่าการแจกแจงของข้อมูลสมมาตรหรือเบ้ ถ้า
ของมูลมีการแจกแจงท่ีสมมาตร ค่าควอไทล์ท่ี 1 และค่าควอไทล์ที่ 3 จะมี
ระยะห่างจากมัธยฐานเท่ากัน ในกรณีที่ระยะทางระหว่างค่าควอไทล์ท่ี 1 กับ
ค่ามัธยฐานยาวกว่าระยะทางระหว่างค่ามัธยฐานกับค่าควอไทล์ท่ี 3 แสดงว่าการ
แจกแจงของข้อมูลมีลักษณะเบซ้ า้ ย

การใชจ้ ํานวน 5 จํานวนสรุปลักษณะของข้อมูลจะดีกว่าการสรุปโดยใช้ค่าเฉล่ีย และ
ส่วนเบ่ียงเบนมาตราฐาน ในกรณีที่การแจกแจงของข้อมูลมีลกั ษณะเบ้ หรือข้อมูล
มีค่าผดิ ปกติ (outlier) รวมอย่ดู ว้ ย

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ท่ี 33

ตวั อยา่ งท่ี 40 ขอ้ มูลต่อไปนเ้ี ปน็ ยอดขายรายปีของร้านขายน้าํ 21 แห่ง หน่วยเป็นลา้ นบาท ซง่ึ เรียงลาํ ดบั ข้อมูลแลว้
608 739 1356 1374 1850 1872 2127 2459 2818 3653
4019 4341 5794 5452 6452 7478 8305 8408 8879 10498 14138

จงสรา้ งบอกซ์พลอตแสดงยอดขายรายปี และจากบอกซพ์ ลอตทสี่ รา้ งได้สามารถสรปุ อะไรไดบ้ ้าง

ควรระลึกไว้เสมอว่ารูปกราฟจะให้ภาพท้ังหมดของการแจกแจงได้ดีที่สุด ตัวเลขที่ใช้บอกจุดศูนย์กลางและการ
กระจายจะใหค้ วามจริงเฉพาะของการแจกแจง แต่ไมไ่ ด้บอกให้เราทราบเก่ียวกับรูปร่างทั้งหมด โดยเฉพาะในกรณีที่การแจก
แจงมีค่าฐานนิยมหลายค่าหรือข้อมูลมีช่องว่าง (gab) ในบางค่า ซ่ึงทําให้เกิดการเข้าใจผิดพลาดได้ ดังนั้น ในการศึกษา
ลกั ษณะของขอ้ มลู จึงควรลงจดุ ข้อมูล (พลอตกราฟ) เสมอ

ตวั อย่างท่ี 41 จากข้อมลู แผนภาพตน้ -ใบ จงสร้างบอกซพ์ ลอต 5 6677
5 2456

6 6679
7 1223344445

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 34

แบบฝึกทกั ษะ 5

1. จงหา Q3 Q1 ถ้ากาํ หนดความสงู ของนกั เรยี น 15 คน เปน็ ดังนี้ (หน่วยเป็นเซนตเิ มตร)
145 142 160 154 146 142 150 144 152 148 140 152 158 143 145

2. ข้อมูลชุดหน่ึงมี 401 ตัว เม่ือจัดเรียงลําดับจากน้อยไปหามาก พบว่าลําดับของข้อมูลตัวที่ 198 ถึง 202 คือ 87, 88, 92,
95 และ 97 ตามลาํ ดบั จงหา P50 ของขอ้ มูลชุดนี้

3. จากขอ้ มูล 18.3 20.6 19.3 22.4 20.2 18.8 19.7 20.0 19.6 18.8 จงหา P89  Q3  D4

4. ตารางตอ่ ไปนี้แสดงคะแนนของนักเรยี น 150 คน

คะแนน จาํ นวนนกั เรยี น

30  39 8

40  49 10

50  59 12

60  69 45

70  79 50

80  89 20

90  99 5

ถ้าแบ่งนกั เรียนทง้ั 150 คน ออกเป็น 3 กลมุ่ คือกลุ่มสงู 20% กล่มุ ตํา่ 10% และที่เหลอื เป็นกลมุ่ ปกติ

จงหาคะแนนท่ใี ชแ้ บง่ นักเรยี นทง้ั 3 กล่มุ นเี้ ป็นเทา่ ใด

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 35

5. จากแผนภาพ แสดงผลสรปุ ของคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์ของ ม.5/1 และ ม.5/2

1. จงหาว่านักเรียน ม.5/1 ทไ่ี ดค้ ะแนนอย่ใู นกลุ่ม 25% ตา่ํ สดุ มีคะแนนต่าํ สดุ และคะแนนสงู สดุ เปน็ เทา่ ใด
2. นกั เรียน ม.5/2 ที่ได้คะแนนมากกว่าหรอื เทา่ กับ 91 คะแนน มีประมาณกี่เปอร์เซ็นต์
3. มีนกั เรยี น ม.5/1 กี่เปอรเ์ ซน็ ต์ ท่ไี ด้คะแนนนอ้ ยกว่าหรอื เท่ากบั 75 คะแนน
4. มนี กั เรียน ม.5/2 ก่ีเปอรเ์ ซ็นต์ ทไ่ี ด้คะแนนมากกว่าหรือเทา่ กบั 77 คะแนน
5. ถ้าในการสอบครั้งน้ีผู้สอนจะให้ระดับคะแนน 4 แก่ผู้ท่ีได้ 80 คะแนนขึ้นไป ห้องใดจะมีผู้ได้ระดับคะแนน 4

มากกว่ากนั เพราะเหตุใด

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หน้าท่ี 36

6. การวดั การกระจายของขอ้ มูล

Measures of Dispersion

การวัดการกระจาย (Measures of Dispersion) เป็นสถิติประเภทหนึ่งที่คํานวณออกมาเป็นตัวเลข เพื่อใช้
อธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูล การทข่ี ้อมูลชดุ หน่ึงๆ ประกอบด้วยคะแนนท่ีมีค่าต่างๆ กันเราเรียกว่า เป็นข้อมูลที่มี
การกระจาย ถ้าข้อมูลชุดน้ันประกอบด้วยคะแนนที่มีค่าต่างกันมาก เรียกว่า เป็นข้อมูลท่ีมีกระจายมาก ถ้าข้อมูลชุดนั้น
ประกอบด้วยคะแนนท่ีมีค่าต่างกันน้อย เรียกว่า เป็นข้อมูลท่ีมีการกระจายน้อย และถ้าข้อมูลชุดน้ันประกอบด้วยคะแนนท่ีมี
คา่ เทา่ กนั หมด เรียกว่า เปน็ ข้อมูลทีไ่ มม่ ีการกระจาย ดังตวั อยา่ ง

ตารางที่ 1 แสดงขอ้ มูลซึง่ มกี ารกระจายตา่ งกนั

ข้อมูลชุดที่ คะแนนในชุดขอ้ มลู ลกั ษณะการกระจาย

1 7 10 35 70 100 มกี ารกระจายมาก

2 50 58 60 61 67 มกี ารกระจายนอ้ ย

3 30 30 30 30 30 ไมม่ กี ารกระจาย

การวัดการกระจายนิยมใช้ควบคู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง เพราะจะช่วยอธิบายลักษณะของข้อมูลได้

ชัดเจนขึ้น ท้งั น้ี เนื่องจากการวัดแนวโน้มเขา้ สู่กลางเปน็ เพียงการบอกค่ากลางของขอ้ มลู ชุดน้ัน แตเ่ ราก็ยังไม่ทราบชดั เจนถึง

ลกั ษณะการกระจายของข้อมูลว่าคะแนนต่างๆ ในชดุ ข้อมูลน้ันมีค่าใกล้เคียงกัน หรือแตกต่างกันมาก ถา้ เรามีท้ังค่าแนวโนม้

เข้าสู่สว่ นกลางและค่าการกระจายก็จะทําให้เข้าใจลักษณะข้อมูลนัน้ ได้ชัดเจนขึ้นมากกว่ามีแต่ค่าแนงโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเพียง

อย่างเดียว

ตัวอย่างเช่น นักเรียน 2 กลุ่ม ไดร้ ับการทดสอบก่อนเรียนในวชิ าเดียวกัน ด้วยข้อสอบชุดเดยี วกัน ผลปรากฏว่า

คะแนนทดสอบของทั้ง 2 กล่มุ มคี า่ เฉล่ีย (Mean) 40 คะแนนเท่ากัน

ถ้าผู้สอนทราบเพยี งว่า นักเรียน 2 กลุ่มทําแบบทดสอบก่อนเรียน ได้ค่าเฉล่ียเท่ากนั คือ 40 คะแนน ก็จะเข้าใจ

เพียงว่านักเรียน 2 กลุ่มนี้มีความรู้พื้นฐานพอๆ กัน แต่จะไม่ทราบว่าการกระจายของคะแนนหรือความรู้พื้นฐานของ

นกั เรียนแตล่ ะกล่มุ เป็นอย่างไร นกั เรียนแต่ละกลุ่มมีความรู้พ้นื ฐานแตกต่างกันมากน้อยเพียงไรลองพิจารณาข้อมลู คะแนนใน

แต่ละกลุ่มดังต่อไปน้ี

กลุ่ม ก 45 31 60 54 21 28 41 (Mean = 40)
กลมุ่ ข 39 45 30 41 32 50 43 (Mean = 40)

เมอื่ พิจารณาอยา่ งครา่ ว ๆ จะพบวา่ ในกลุม่ ก คะแนนแตกตา่ งกนั มากกวา่ กลมุ่ ข น่นั คือ
นกั เรยี นในกลมุ่ ก มีความรู้พื้นฐานแตกต่างกันมากกว่ากลุ่ม ข ช่วยให้ผู้สอนเข้าใจถึงความแตกต่างของความรู้พ้ืนฐานของ
นักเรียนในแต่ละกลุ่มว่าต่างกัน กลุ่ม ก นักเรียนมีความรู้พ้ืนฐานแตกต่างกันมากกว่า ในกลุ่ม ข ซึ่งจะเป็นประโยชน์ใน
การจัดการเรยี นการสอนต่อไป

จะเห็นได้ว่า การทราบเพียงค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเพียงอย่างเดียวก็อาจอธิบายลักษณะของข้อมูลได้ไม่
สมบูรณ์ ถ้าทราบลกั ษณะการกระจายดว้ ยกจ็ ะช่วยให้เขา้ ใจเกยี่ วกับขอ้ มูลละเอยี ดขน้ึ และเป็นประโยชน์มาก

การวดั การกระจายของขอ้ มูล แบ่งไดเ้ ปน็ 2 วิธี คือ

1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) คอื การวัดการกระจายของข้อมูลเพียงชุดเดียว เพื่อดู

ว่าขอ้ มูลชุดนัน้ แตล่ ะคา่ มคี วามแตกต่างกนั มากหรอื นอ้ ยเพยี งไร นิยมใช้กนั อยู่ 4 ชนิด คือ
 พสิ ัย (range)
 สว่ นเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ (quartile deviation)
 ส่วนเบีย่ งเบนเฉล่ีย (mean deviation หรือ average deviation)
 ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน (standard deviation)

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 37

2. การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) คือการวัดการกระจายของข้อมูลทมี่ ากกว่า 1 ชุด โดย
ใช้อัตราส่วนของค่าท่ีได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์ กับค่ากลางของข้อมูลนั้นๆ เพ่ือใช้ในการเปรียบเทียบการกระจาย
ของข้อมูลเหลา่ นัน้ มีอยู่ 4 ชนิด คอื

 สมั ประสทิ ธ์ขิ องพสิ ัย (coefficient of range)
 สมั ประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (coefficient of quartile deviation)
 สัมประสิทธขิ์ องส่วนเบย่ี งเบนเฉลี่ย (coefficient of average deviation)
 สมั ประสทิ ธ์ิของความแปรผัน (coefficient of variation)

6.1 การวัดการกระจายสัมบรู ณ์ (Absolute Variation)

พิสยั (Range)
เป็นค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล โดยการหาความแตกต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ําสุดของข้อมูลชุดใดชุด

หนึ่ง ซ่ึงอาจอยู่ในรูปของค่าผลต่างระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ําสุดหรืออยู่ในรูปช่วงคะแนนจากค่าต่ําสุดถึงค่าสูงสุด นับเป็น
วิธีการกระจายอย่างคร่าวๆ และง่ายที่สุด เน่ืองจากคะแนนเพียง 2 ค่า เท่าน้ันในการคํานวณ คือค่าสูงสุดและค่าต่ําสุด
คะแนนคา่ อน่ื ๆ ไมไ่ ด้นําเอามาใชเ้ ลย

ถา้ พสิ ยั มีค่ามากแสดงว่ามีการกระจายมาก ถ้าพสิ ยั มีคา่ นอ้ ยแสดงว่ามีการกระจายน้อย
การวดั การกระจายด้วยค่าพสิ ัย มักใช้ควบคกู่ ับการวดั แนวโนม้ เข้าสู่ส่วนกลางด้วยค่าฐานนิยม (Mode) หรืออาจ
ใช้ควบคู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางวิธีอ่ืนๆ ในกรณีท่ีมีข้อมูลจํานวนน้อยหรือเมื่อต้องการทราบการกระจายอย่าง
คร่าวๆ โดยรวดเร็ว
วธิ ีการหาคา่ พิสัย
 กรณขี องขอ้ มูลทีไ่ ม่ได้แจกแจงความถี่
ใช้สูตร พิสัย = คา่ สงู สุด  คา่ ตํ่าสุด
หรือ Range = xmax  xmin
 กรณขี องขอ้ มลู ทีแ่ จกแจงความถ่ีโดยแบง่ เป็นอัตราภาคชน้ั
ใช้สูตร พิสัย = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคชั้นทม่ี ีข้อมูลทม่ี ีค่าสงู สุด  ขอบเขตลา่ งของอันตรภาคชน้ั ทีม่ ีขอ้ มูลทม่ี คี า่ ตาํ่ สดุ

ตัวอยา่ งท่ี 42 จงหาพสิ ัยของข้อมูลคะแนนทดสอบความรูพ้ น้ื ฐานก่อนเรยี นวิชาสิถติ ของนกั เรียน 2 กล่มุ ดงั ต่อไปน้ี
กลุ่ม ก 45 31 60 54 21 28 41
กลุ่ม ข 39 45 30 41 32 50 43

ตัวอยา่ งท่ี 43 จงหาพสิ ัยของข้อมูลต่อไปน้ี

คะแนน จาํ นวนนกั เรยี น

30  39 8

40  49 10

50  59 12

60  69 45

70  79 50

80  89 20

90  99 5

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ท่ี 38

สว่ นเบย่ี งเบนควอร์ไทล์
ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile deviation : Q.D.) เปน็ ค่าที่ใช้วัดการกระจายข้อข้อมูลรอบๆ ค่ามัธยฐาน

(Median) ซึง่ มคี ่าเทา่ กบั คร่ึงหน่งึ ของผลต่างระหว่างควอไทล์ท่ี 3 กับควอไทล์ที่ 1 ถ้าส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์มีค่ามากแสดงว่า
มกี ารกระจายมากถา้ สว่ นเบีย่ งเบนควอไทลม์ ีค่าน้อยแสดงวา่ มกี ารกระจายนอ้ ย

วิธีการหาคา่ สว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์

ใช้สตู ร Q.D. = Q3Q1

2

จากสูตรจะเห็นไดว้ ่าคา่ Q.D. แสดงถึงการกระจายของคะแนนว่าห่างจากมัธยฐาน (Median) ซึ่งเป็นค่าตําแหน่ง
กงึ่ กลางของชุดขอ้ มูลมากน้อยเพยี งไร จงึ มกั ใชค้ วบคกู่ นั กับการวัดแนวโน้มเขา้ สูส่ ว่ นกลางดว้ ยค่ามัธยฐาน

ตวั อย่างที่ 44 จงหาค่าส่วนเบ่ียงเบนควอไทลก์ รณีขอ้ มลู ไม่ไดแ้ จกแจงความถี่
60 31 25 80 77 52 39 45 68 74

ตัวอยา่ งที่ 45 จงหาคา่ สว่ นเบย่ี งเบนควอไทล์ของขอ้ มูลต่อไปน้ี

ชนั้ คะแนน ความถ่ี บอบเขต ความถี่สะสม

93  97 8

88  92 9

83  87 7

78  82 4

73  77 7

68  72 5

63  67 4

58  62 2

53  57 2

48  52 2

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หนา้ ท่ี 39

แบบฝึกทกั ษะ 6.1

1. กาํ หนดขอ้ มลู 9 14 6 8 5 12 8 6 8 11 9 จงหาพสิ ัย และสว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์

2. จงหาพิสัยและสว่ นเบ่ยี งเบนควอไทล์ ของข้อมูลตอ่ ไปน้ี

ตารางต่อไปนี้แสดงคะแนนของนกั เรยี น

คะแนน จาํ นวนนักเรยี น

10  14 2

15  24 3

25  34 6

35  44 5

45  54 4

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 40

สว่ นเบี่ยงเบนเฉล่ีย

สว่ นเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean deviation : M.D.) เป็นคา่ ทใี่ ช้วดั การกระจายของขอ้ มูลรอบๆ ค่าเฉล่ีย (Mean)

โดยการหาค่าเฉล่ียของผลรวมของผลตา่ งระหว่างคะแนนแต่ละตัวกับค่าเฉล่ีย ถ้าส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยมีค่ามากแสดงว่ามีการ

กระจายมาก ถา้ สว่ นเบยี่ งเบนเฉลยี่ มคี ่านอ้ ยแสดงวา่ มกี ารกระจายน้อย

วิธีการหาค่าส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย

ข้อมูลไม่ไดแจกแจงความถ่ี ข้อมลู แจกแจงความถี่

N åk

 xi   fi xi - m
M .D. = i=1
M .D.  i1 N
N

(ขอ้ มูลระดับตวั อย่างยังคงใชส้ ูตรทาํ นองเดียวกัน)

ตัวอย่างท่ี 46 จงหาคา่ สว่ นเบ่ียงเบนเฉล่ีย ของขอ้ มูลดงั ตอ่ ไปนี้ 4 12 7 6 11

ตัวอยา่ งท่ี 47 จงหาค่าส่วนเบ่ยี งเบนเฉลี่ยของขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี

ช้นั คะแนน ความถี่ ( fi ) จดุ กง่ึ กลาง (xi ) xi  x fi xi  

93  97 8

88  92 9

83  87 7

78  82 4

73  77 7

68  72 5

63  67 4

58  62 2

53  57 2

48  52 2

เนื่องจากการหาคา่ M.D. ไม่คํานึงถึงเคร่ืองหมายของผลต่างระหวา่ งคะแนนแต่ละตัวกับค่าเฉลย่ี แต่เป็นค่าสัมบูรณ์
(Absolute value) ซ่ึงไม่เหมาะกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ต่อไป จึงไม่เป็นท่ีนิยมใช้และมีผู้คิดวัดการกระจายท่ี
เหมาะสมมากกวา่ ข้ึนมา คือ วธิ ีการหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานซงึ่ จะไดก้ ลา่ วถงึ ในหวั ขอ้ ต่อไป

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หน้าที่ 41

สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard deviation : S.D.) เป็นการวัดการกระจายของคะแนนรอบๆ ค่าเฉลี่ย

(Mean) คล้ายๆ กบั ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย แต่แกป้ ัญหาค่าสัมบูรณ์โดยใช้วิธียกกําลังสอง ค่าผลต่างระหว่างคะแนนแต่ละตัว
กับค่าเฉล่ีย ทาํ ให้เครื่องหมายลบหมดไปเมอื่ หาคา่ เฉลยี่ ของผลรวม

กรณีขอ้ มูลไม่ไดแ้ จกแจงความถี่ มสี ตู รดังน้ี คา่ สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของตัวอย่าง แทนด้วย s
คา่ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของประชากร แทนด้วย 

N n
(xi  )2 (xi  x )2
 i 1 s i 1

N n 1

จะเห็นไดว้ า่ ค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานกค็ อื รากทส่ี องของความแปรปรวน เขยี นเปน็ สูตรได้
คา่ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน2 = ความแปรปรวน

ดั้งนนั้ ถ้าทราบความแปรปรวนของขอ้ มลู แลว้ จะสามารถหาค่าสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานได้
โดยการถอดรากท่สี องของความแปรปรวนนน้ั เขยี นเป็นสูตรในรปู สญั ลกั ษณ์ได้ดงั น้ี

   2 หรือ s  s2

ในทางกลบั กันถา้ ทราบค่าส่วนเบย่ี งเบนมาจรฐานแลว้ จะสามารถหาคา่ ความแปรปรวนได้ โดยการยกกาํ ลังสอง
ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น

ส่วนสูตรในการคํานวณหาค่าความแปรปรวนและค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซ่ึงเป็นสูตรท่ีอยู่ในรูปคะแนน
เบ่ียงเบน (ผลต่าง) ตามนิยามทีก่ ลา่ วมาขา้ งต้นเขยี นสรุปไดด้ งั ตอ่ ไปนี้

สําหรับประชากร ความแปรปรวน ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

กรณขี ้อมลู ไม่ไดแ้ จกแจงความถ่ี 2   x  2   x  2
 สตู รในรปู คะแนนเบย่ี งเบน 
N N
 สูตรที่อยใู่ นรูปคะแนนดิบ
กรณขี ้อมลู แจกแจงความถ่ี 2  x2  2  x2 2
N
 สูตรในรูปคะแนนเบี่ยงเบน N

 สูตรที่อยู่ในรูปคะแนนดิบ 2   f x  2   f x  2

N N

2   fx2  2  fx2 2
N N

สาํ หรบั ตัวอย่าง ความแปรปรวน ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน

กรณขี อ้ มลู ไม่ได้แจกแจงความถี่ s2   x x 2 s  x x 2
 สตู รในรูปคะแนนเบย่ี งเบน s
n 1 n 1
 สตู รทีอ่ ยู่ในรูปคะแนนดบิ
s  2 x2 nx 2  x2 nx 2
กรณขี ้อมูลแจกแจงความถ่ี n 1
 สูตรในรปู คะแนนเบย่ี งเบน n 1

 สตู รท่ีอยใู่ นรูปคะแนนดิบ s2   f x x 2 s  f x x 2
s
Deaw Jaibun n 1 n 1
Mahidol Wittayanusorn School
s 2  fx2 nx 2  fx 2 nx 2
n 1 n 1

update: October 14, 2011

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หนา้ ท่ี 42

ตวั อยา่ งท่ี 48 จงหาค่าความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนผลสัมฤทธ์ิทางการเรียนวิชาสถิติเพื่อการวิจัย
ของนักเรียนกลมุ่ ตวั อย่างจาํ นวน 10 คน ซ่งึ มีค่าดังต่อไปนี้
87 61 75 77 85 92 83 73 65 58

วิธที าํ ก. สตู รในรปู คะแนนเบย่ี งเบน

วธิ ที ํา ข. สตู รในรปู คะแนนดบิ

ตัวอย่างที่ 49 ครูวทิ ยาศาสตรท์ า่ นหนึ่ง ต้องการทราบความสามารถในการใชอ้ ปุ กรณก์ ารทดลอง วทิ ยาศาสตรข์ อง
นักเรยี นห้องหนง่ึ จงึ สุ่มตัวอย่างนักเรยี นมา 25 คน และวัดความสามารถในการทดลองวิทยาศาสตร์ของ
นกั เรยี นแตล่ ะคน คะแนนทไ่ี ดน้ าํ มาแจกแจงความถ่ไี ดด้ งั ตอ่ ไปน้ี จงคํานวณหาความแปรปรวนและส่วน
เบ่ยี งเบนมาตรฐานของคะแนนความสามารถในการใชอ้ ุปกรณ์การทดลองวิทยาศาสตรข์ องนกั เรยี นหอ้ งนี้

ชน้ั คะแนน ความถ่ี
79  81 2
76  78 3
73  75 4
70  72 7
67  69 5
64  66 2
61  63 1
25
รวม

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หน้าท่ี 43

แบบฝกึ ทกั ษะ 6.2

1. กําหนดขอ้ มลู ประชากร 9 14 6 8 5 12 8 6 8 11 9 จงหาส่วนเบย่ี งเบนเฉล่ยี และสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

2. จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย และส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน ของข้อมูลประชากรต่อไปน้ี

ตารางตอ่ ไปนแี้ สดงคะแนนของนกั เรยี น

คะแนน จาํ นวนนักเรยี น

10  14 2

15  24 3

25  34 6

35  44 5

45  54 4

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หน้าที่ 44

จะเห็นได้วา่ การหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานน้ันมีการคํานวณท่ียุ่งยาก และหลายขั้นตอน นอกจากสูตรดังกล่าวแล้ว
เราสามารถหาส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานสาํ หรับประชากรโดยวธิ ที อนคา่ ของข้อมลู ดังน้ี

 I  f (d d )2 หรือ  I  fd2 d2

N N

ตวั อย่างท่ี 50 จงหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยวธิ ีทอนค่าของข้อมลู ประชากรตอ่ ไปน้ี

ช้ันคะแนน ความถ่ี
79  81 2
76  78 3
73  75 4
70  72 7
67  69 5
64  66 2
61  63 1
25
รวม

ตัวอย่างท่ี 51 จงหาสตู รเบย่ี งเบนมาตรฐานโดยวธิ ที อนค่าสาํ หรับขอ้ มลู ระดับตวั อยา่ ง

โจทย์ท้าทาย

การหาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเม่อื กําหนดค่ากลางอน่ื ๆ มาให้

10 10

ตัวอยา่ งที่ 52 ข้อมูลประชากรชุดหนึง่ ถ้า  xi  60 และ (xi  5)2  46 จงหาสว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน
i 1 i 1

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอื้ งตน้ | หน้าท่ี 45

ตวั อยา่ งท่ี 53 ข้อมลู ชดุ หนึ่งมี N ตัว มี   30N(xi30)2 และค่าเฉลีย่ เลขคณิตเท่ากับ 33 จงหาความแปรปรวนของ

i 1

N

ข้อมูลชดุ นี้

การหาสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนเมื่อมีการอ่านขอ้ มลู ผดิ พลาด

ตัวอย่างที่ 54 ข้อมูลประชากรชุดหนึ่งมี 100 ตัว หาค่าเฉลี่ยเลขคณิตได้ 9 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานได้ 5 แต่เม่อื นาํ มา
ทบทวนภาพหลังพบว่าส่ิงท่ีคํานวณน้ันผิด เพราะผู้ทําการคํานวณอ่านข้อมูลผิดไป 1 ตัว คือ จาก 1.0 อ่าน
เป็น 10 ดังนนั้ คา่ เฉลย่ี เลขคณิคและส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานที่ถูกต้องเป็นเทา่ ใด

สมบตั ิที่สาํ คัญของสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
 สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานมีคา่ เปน็ บวกเสมอ

 ถา้ คํานวณหาสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานโดยใชค้ า่ กลางของมูลชนิดชนิดอ่นื ๆ ท่ไี มใ่ ช่คา่ เฉลี่ยเลขคณติ สว่ นเบยี่ งเบน
มาตรฐานที่จะไดจ้ ะมคี า่ มากกว่าสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานที่ใชค้ า่ เฉลีย่ เลขคณติ เสมอ นน่ั คอื

 f x a 2   f x  2

N N

อสมการน้เี ปน็ จรงิ เสมอ เมอื่ a เปน็ จํานวนจริงใดๆ ทไ่ี ม่เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณติ

 ถา้ มขี อ้ มูล 2 ชดุ ประกอบดว้ ยข้อมูล N1 และ N2 จํานวน มีคา่ เฉล่ียเลขคณิตเท่ากัน แต่มคี วามแปรปรวนเป็น

 2 และ  2 สําหรับข้อมูลชดุ ท่ี 1 และ 2 ตามลําดับ ความแปรปรวนของข้อมูลท้ังสองชุดจะเท่ากับ N 112 N2 2
1 2 2

N1 N2

ตวั อยา่ งท่ี 55 ข้อมลู 2 ชุด ชุดแรกมี 5 จํานวน ความแปรปรวน 18 ชุดหลังมี 3 จํานวน ความแปรปรวน 24 ข้อมูลท้ัง
สองชดุ มคี า่ เฉล่ียเลขคณติ เทา่ กนั จงหาความแปรปรวนรวมของข้อมูลทง้ั สองชุด

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ที่ 46

ขอ้ สงั เกตเกย่ี วกบั ใชค้ า่ การวดั การกระจาย

ค่าพสิ ัย

1. พิสัยเปน็ การวัดการกระจายโดยใชค้ ะแนนเพยี ง 2 ตัว ไมไ่ ด้นําคะแนนทุกตัวมาใช้ในการคาํ นวณจึงเป็นวิธกี าร
กระจายอยา่ งหยาบๆ

2. พิสยั เหมาะสําหรบั วัดการกระจายอยา่ งครา่ วๆ เมื่อต้องการทราบคา่ การกระจายอย่างรวดเร็ว เพราะใชเ้ วลา
นอ้ ยในการคํานวณ

3. พสิ ยั เหมาะกับชุดขอ้ มูลขนาดเลก็ มากกว่าขนาดใหญถ่ ้าข้อมูลใหญ่มแี นวโนม้ คา่ พิสยั สูง
4. ไมค่ วรใช้พสิ ยั ในการเปรียบเทยี บการกระจายของขอ้ มลู ท่มี ีขนาดไมเ่ ทา่ กัน ถ้าเปน็ ข้อมูลกลุม่ ใหญม่ แี นวโนม้ ท่ี
ค่าพิสยั จะสงู

ค่าส่วนเบย่ี งเบนควอไทล์
1. ส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์ เป็นการวดั การกระจายท่ดี ีกวา่ การวัดดว้ ยคา่ พิสยั แตก่ ย็ ังใช้เพยี งบางค่าไม่ได้ใช้ขอ้ มลู
ทกุ คา่ ในการคํานวณ
2. สว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์ เหมาะสาํ หรบั ใช้วดั การกระจายกรณีมีคะแนนบางคา่ สงู หรอื ตํ่ากว่าคะแนนตัวอื่นๆ ใน
ชุดมาก
3. สว่ นเบยี่ งเบนควอไทล์เหมาะสําหรบั ใชค้ วบคูก่ ับการวัดแนวโน้มเข้าสสู่ ่วนกลางด้วยค่ามัธยฐาน

คา่ ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลี่ย
1. ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย เป็นการวัดการกระจายที่ละเอียดกว่าการวัดด้วยค่าพิสัยและส่วนเบี่ยงเบน ควอไทล์
เพราะไดใ้ ชค้ ะแนนทกุ ๆ ตัวในการคํานวณ
2. การคาํ นวณคา่ ส่วนเบีย่ งเบนเฉลย่ี ไมไ่ ดค้ าํ นงึ ถงึ เครือ่ งหมายของผลตา่ งระหว่างคะแนนแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ย ซึ่ง
ขดั ตอ่ หลกั คณิตศาสตร์ จึงไมเ่ ป็นที่นิยมใช้

คา่ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน
1. ส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน เป็นการวดั การกระจายของขอ้ มูลท่ีใช้คะแนนทุกตัว ในการคํานวณจึงเป็นการวัดการ
กระจายทีล่ ะเอียดกวา่ การหาโดยพสิ ยั พิสยั ควอไทล์ และส่วนเบ่ยี งเบนควอไทล์
2. สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน เปน็ การวัดการกระจายของข้อมลู ท่ีนิยมใชม้ ากท่สี ดุ โดยเฉพาะอยา่ งย่ิงในการวจิ ยั
3. คา่ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน เป็นค่าการกระจายทม่ี ีหน่วยเชน่ เดียวกบั หน่วยของขอ้ มลู ที่เก็บรวบรวมมา ส่วนค่า
ความแปรปรวน ซ่ึงมีค่าเป็นกําลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นค่าการกระจายที่มีหน่วยเป็นกําลังสองของหน่วยของ
ขอ้ มลู ที่เกบ็ รวบรวมมา

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอ้ื งตน้ | หน้าท่ี 47

ทา้ ทาย

1. จงแสดงว่า ถา้ ข้อมูลมีค่าเท่ากันหมดทุกตัว ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจะมีค่าเท่ากับศูนย์ หรือถ้าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน
มคี า่ เทา่ กบั ศูนย์ แลว้ ขอ้ มลู แตล่ ะตวั จะมคี า่ เทา่ กับค่าเฉล่ยี เลขคณิต

2. จงแสดงวา่ ถา้ นาํ จํานวนจริงไปบวกหรอื ลบกับข้อมูลแต่ละตัว สว่ นเบ่ียงมาตรฐานของข้อมูลชุดใหม่ จะมคี า่ เทา่ เดมิ

3. จงแสดงว่า ถา้ นาํ จาํ นวนจริงไปคูณหรือหารกบั ข้อมูลแต่ละตัว ส่วนเบย่ี งมาตรฐานของขอ้ มูลชุดใหม่ จะมีค่าเท่ากับ |a|
เท่าของสว่ นเบี่ยงมาตรฐานของข้อมูลชุดเดมิ

4. ถา้ ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ ง xi และ yi เปน็ สมการเชงิ เส้น Y  aX  b โดยท่ี a และ b เปน็ ค่าคงตัว จะได้

y  a x

5. ข้อมูล 2 ชุดมีจํานวนเท่ากัน เม่ือทําการคํานวณหาค่าเฉล่ียเลขคณิตปรากฏว่า 1 : 2  3 : 5 และได้ส่วนเบ่ียงเบน
มาตรฐานเทา่ กนั ถา้ ข้อมลู ชดุ หน่งึ คือ 1, 4, 6, 9, 10 จงหาขอ้ มูลอกี ชุดหนง่ึ

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถิตเิ บอื้ งตน้ | หนา้ ท่ี 48

6.2 การวัดการกระจายสัมพทั ธ์

ในกรณที ต่ี ้องการเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมูลตา่ งกล่มุ (ต่างชดุ ) ถ้าข้อมลู แตล่ ะชดุ เปน็ คะแนนทม่ี ีหนว่ ย

วัดเดยี วกนั คะแนนเตม็ เทา่ กัน ขนาดเท่ากัน และค่าแนวโน้มเข้าส่สู ว่ นกลางเทา่ กันก็สามารถนาํ ค่าการกระจายมา

เปรียบเทียบกนั ได้เลย

ตัวอย่างเช่น คะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียน 2 ห้อง ซ่ึงมีจํานวนนักเรียนเท่ากัน สอบด้วยข้อสอบชุด

เดียวกัน มคี ะแนนเฉล่ียและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน ดังน้ี

ห้อง คา่ เฉล่ีย สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน

1 60 10

2 60 12

กรณีน้สี ามารถบอกไดว้ ่า คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยของนักเรยี นห้อง 2 มีการกระจายมากกว่าหอ้ ง 1

แต่ถ้าเป็นกรณีท่ีข้อมูลแต่ละชุด เป็นคะแนนที่มีหน่วยวัดต่างกันหรือมีคะแนนเต็มไม่เท่ากันหรือขนาดไม่เท่ากัน

หรือค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางไม่เท่ากัน จะไม่สามารถนําค่าการกระจายมาเปรียบเทียบกันได้ทันทีแต่ต้องคํานวณหาค่า

สัมประสิทธิ์การกระจาย (Coefficient of Dispersion) ของคะแนนแต่ละชุดแลว้ จึงนําค่าสัมประสิทธ์ิการกระจายน้ันมา

เปรียบเทียบกัน ตัวอยา่ งเช่น คะแนนสอบวชิ าภาษาไทยกบั คณิตศาสตร์ของนักเรยี นหอ้ งหนึ่งมีค่าดงั นี้

วิชา คะแนนเตม็ ค่าเฉลยี่ สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน
ภาษาไทย 100 60 10
คณิตศาสตร์ 150 90 12

กรณีน้ีไมส่ ามารถบอกได้ว่าคะแนนสอบวิชาใดมกี ารกระจายมากกว่ากัน แม้ว่าส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของคะแนน

วชิ าคณิตศาสตร์จะมคี า่ มากกวา่ ก็ตาม กรณนี ้ีจะตอ้ งหาคา่ สัมประสิทธิ์การกระจายเพอื่ นํามาเปรียบเทยี บกนั

การหาคา่ สมั ประสิทธก์ิ ารกระจายมหี ลายชนิด แลว้ แต่ชนดิ ของสถิตทิ ่ใี ชว้ ดั การกระจายดงั ตอ่ ไปนี้

 กรณวี ดั การกระจายดว้ ยพิสยั

ใช้สัมประสิทธิข์ องพิสยั (Coefficient of Range : C.R.)

C.R. = x max  x min
x max  x min

 กรณวี ัดการกระจายสว่ นเบ่ยี งเบนควอไทล์

ใช้สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Coefficient of Quartile Deviation : C.Q.)

C.Q. = Q3  Q1
Q3  Q1

 กรณวี ดั การกระจายด้วยสว่ นเบี่ยงเบนเฉลย่ี

ใชส้ มั ประสิทธขิ์ องส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย (coefficient of average deviation)

C.A. = M .D. หรือ M .D.
 x

 กรณวี ดั การกระจายดว้ ยสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน

ใชส้ ัมประสิทธขิ์ องความแปรผนั (Coefficient of Variation : C.V.)

C.V. =  หรือ s
 x

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หน้าที่ 49

ตัวอยา่ งท่ี 56 นักศึกษาปริญญาโท 2 กลุ่ม มีอายุดังนี้

กลมุ่ ที่ 1 30 34 38 28 35 27 42 35 37 39

กลุม่ ท่ี 2 28 35 24 33 44 26 33 37 40 29

จงเปรยี บเทยี บการกระจายของอายขุ องนกั ศกึ ษา 2 กลมุ่ น้ี เมือ่ วัดค่าการกระจายดว้ ยพิสยั

วธิ ีทาํ ใชส้ ตู ร สัมประสทิ ธิข์ องพสิ ัย C.R. = xmax  xmin
x max  x min

C.R.1 = 42  27  15 = 0.217
42  27 69

C.R.2 = 44  24  20 = 0.294
44  24 68

C.R.2  C.R.1
 อายขุ องนักศึกษาปรญิ ญาโทกลุ่ม 2 มีการกระจายมากกวา่ กลุ่ม 1

ตวั อย่างที่ 57 จงเปรยี บเทยี บการกระจายของขอ้ มลู 2 ชุดนี้

มธั ยฐาน Q3 Q1
ข้อมลู ชุดที่ 1 25 40 15

ขอ้ มูลชดุ ที่ 2 30 50 10

ตวั อย่างที่ 58 นําวัตถุ 2 ชนิดไปชงั่ บนเครอื่ งชง่ั 5 อัน ได้ผลดังตาราง
วตั ถชุ นิดที่ 1 (กรมั ) 6 7 9 8 12
วตั ถชุ นิดที่ 2 (กรัม) 50 52 49 55 44

จงหาสมั ประสทิ ธส์ ่วนเบี่ยงเบนเฉล่ยี ของวัตถุท้งั สองชนิด

ตัวอยา่ งท่ี 59 จงเปรียบเทยี บการกระจายของขอ้ มลู คะแนนสอบ 3 วิชา ของนักเรียนกลุ่มหนง่ึ ซ่ึงมีคา่ ดังนี้

วิชา คะแนนเตม็ Mean S.D.

ภาษาไทย 100 60 10

คณติ ศาสตร์ 150 90 12

วทิ ยาศาสตร์ 200 110 16

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School

ค30203 สถติ เิ บอ้ื งตน้ | หนา้ ท่ี 50

แบบฝกึ ทักษะ 6.3

1. ถา้ คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์และวชิ าสถิติของนักเรยี นเป็นดังตาราง

คะแนนวชิ าสถิติ 65421

คะแนนวิชาคณิตศาสตร์ 96532

จงหาอตั ราส่วนของสัมประสิทธ์ของการแปรผนั ระหวา่ งคะแนนวชิ าสถติ ิ และคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์

2. บรษิ ัทผลิตหลอดไฟฟ้าแห่งหนึ่ง ผลิตหลอดไฟออกจําหนา่ ย 2 ชนดิ ชนิดแรกอายกุ ารใชง้ านเฉลี่ย 1,495 ชั่วโมง ส่วน
เบี่ยงเบนมาตรฐาน 280 ชัว่ โมง ชนิดที่สอง อายกุ ารใชง้ านเฉลี่ย 1,875 ชัว่ โมง ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน 310 ชว่ั โมง
จงพจิ ารณาว่าหลอดไฟชนดิ ใดมกี ารกระจายมากกว่ากัน และหลอดไฟใดคณุ ภาพดกี ว่ากนั

Deaw Jaibun update: October 14, 2011
Mahidol Wittayanusorn School