คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 ค32201 ปีการศึกษา 2563

M.5 Term 1

NAME_______________________

No. ______ M.______

SANTIRATWITTAYALAI SCHOOL

เร่อื ง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function) หน้า 1

1. ฟงั ก์ชันเอกซโ์ พเนนเชียล

1.1 ฟังก์ชันเอกซโ์ พเนนเชียล

บทนิยาม ฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล คือ ฟังกช์ นั ที่อย่ใู นรูป f (x,y)RR | y  ax , a  0 , a  1

เชน่ f (x,y)RR | y  3x  , g (x,y)RR | y 10x 

h  (x,y)RR | y  ex  ( e เปน็ จานวนอตรรกยะ และ e  2.71828. . . )
x
w  (x, y) R R | y   1 
2 
 
จากบทนยิ าม f(x)  ax, a  0, a 1

ขอ้ ตกลง จากฟังก์ชัน y  ax, a  0, a 1

1. เราเรยี ก a วา่ ฐาน (base)
2. เราเรยี ก x ว่า เลขชก้ี าลงั (Index)
3. เราเรยี ก y ว่า ค่าของเลขยกกาลัง (exponent)

จากรปู เสน้ จานวน y  ax, a  0, a 1

0< a <1 a >1

0 1
ฐาน a ต้องเปน็ จานวนทีม่ ากกว่า 0 และไมเ่ ทา่ กับ 1

เราสามารถแบ่งค่าของ a เปน็ 2 กรณี

1. ถา้ 0 < a < 1 ฟงั ก์ชนั จะเป็น ฟงั ก์ชนั ลด (Decreasing Function)
2. ถา้ a > 1 ฟงั กช์ ัน y  ax จะเป็น ฟังก์ชนั เพิ่ม (Increasing Function)

หมายเหตุ 1. ถา้ a = 1 ฟังก์ชัน y  ax จะอยู่ในรูป y 1x 1 เราเรยี กว่าฟังก์ชนั คงตัว (Constant Function)

ซง่ึ เปน็ กราฟเสน้ ตรงขนานกับแกน x และไมเ่ รยี กว่าฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล
2. โดเมนของฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียล คือ R
3. ในการนาฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชยี ลไปประยกุ ต์ใชใ้ นสาขาวชิ าอืน่ เชน่ ในฟิสิกส์ อาจมีการตกลง

เรยี ก y  kax เมือ่ k เปน็ ค่าคงตวั (constant) ทไ่ี ม่ใช่ 0 และ a เป็นจานวนจริงบวกทไ่ี ม่ใช่ 1 วา่ ฟังก์ชนั เอกซ์

โพเนนเชยี ล

1.2 กราฟของฟังก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชยี ล

กรณีที่ 1 a > 1
1. กราฟ y  ax จะเป็น ฟงั ก์ชันเพ่มิ (Increasing Function) ถ้า x1  x2 แลว้ ax1  ax2

เพราะฉะนั้นกราฟของ y  ax (จากซา้ ยไปขวา) จะสูงข้ึนเร่ือย ๆ โดยไม่มขี อบเขต (น่ันคอื ไมม่ ีค่าสูงสุด

ของฟังก์ชัน) หรอื ในขณะท่คี ่า x เพ่มิ ขึน้ เร่อื ย ๆ ค่าของ y ก็เพ่มิ ขึ้นดว้ ย จึงเรียกว่า ฟงั ก์ชนั เพ่ิม
2. ถา้ คา่ x มคี ่าน้อยมาก ๆ จะไดว้ า่ y หรอื ax มคี ่าใกล้ศนู ย์ แต่ไม่ตัดแกน x เพราะวา่ ax  0

(ดงั นั้นกราฟอยู่เหนือแกน x และไม่มีค่าตา่ สุดของฟังกช์ นั )
3. ถ้า x = 0 จะได้ y  a0 1 ดังนั้นกราฟตดั แกน y ท่ีจุด (0,1) เสมอ

เอกสารประกอบการเรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เรอื่ ง ฟงั ก์ชันเอกซโ์ พเนนเชยี ล (Exponential function) หนา้ 2

ตัวอย่างท่ี 1 จงเขยี นกราฟของฟังกช์ ัน y  2x
วิธที า หาค่า x และ y ท่สี อดคล้องกบั สมการ จะไดต้ ามตารางตอ่ ไปนี้

x -3 -2 -1 0 1 2 3
1 1 1 4 8
y 8 4 2 1 2

y=2^x
10 y

9

8
7

6

5

4

3

2

1
0x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

กรณีที่ 2 0  a 1
1. กราฟ y  ax จะเปน็ ฟังกช์ นั ลด (Decreasing Function) ถ้า x1  x2 แล้ว ax1  ax2

เพราะฉะน้ันกราฟของ y  ax (จากขวาไปซา้ ย) จะสงู ข้นึ เร่ือย ๆ โดยไม่มีขอบเขต (น่ันคือไมม่ คี ่าสงู สุด

ของฟังกช์ ัน) หรือในขณะทคี่ า่ x เพิ่มข้ึนเร่ือย ๆ ค่าของ y ก็ลดลงเร่ือย ๆ จงึ เรยี กวา่ ฟังก์ชนั ลด
2. ถา้ ค่า x มีค่ามาก ๆ จะไดว้ ่า y หรือ ax มคี ่าใกลศ้ ูนย์ แต่ไม่ตัดแกน x เพราะว่า ax  0 (ดงั น้ัน

กราฟอยูเ่ หนือแกน x และไม่มีคา่ ตา่ สดุ ของฟังก์ชนั )
3. ถ้า x = 0 จะได้ y  a0 1 ดังนน้ั กราฟตัดแกน y ทีจ่ ดุ (0,1) เสมอ
x
ตัวอยา่ งท่ี 2 จงเขียนกราฟของฟังกช์ นั y   1
2 


วธิ ที า หาค่า x และ y ท่ีสอดคล้องกับสมการ จะได้ตามตารางต่อไปนี้

x -3 -2 -1 0 1 2 3
1 1 1
y 8 4 2 1 2 4 8

y=(1/2)^x
10 y
9

8
7

6

5

4

3

2

1
0x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2

เอกสารประกอบการเรยี นชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรือ่ ง ฟงั กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชียล (Exponential function) หนา้ 3

สรปุ ลกั ษณะของฟังก์ชันเอกซโ์ พเนนเชยี ล y  ax

0<a<1 a>1

ฟังกช์ ันลด (Decreasing Function) ฟงั ก์ชนั เพมิ่ (Increasing Function)

โดเมน (Domain) คอื เซตของจานวนจรงิ (R)
เรนจ์ (Range) คือ เซตของจานวนจริงบวก (R+)

กราฟตัดแกน y ที่จุด (0,1) เสมอ
ฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียลเปน็ ฟังกช์ นั 1-1
นั่นคือ x1  x2 ก็ต่อเม่ือ ax1  ax2

การวาดกราฟของฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชียลโดยอาศัยสมการรูปมาตรฐาน

 กาหนดฟังกช์ ัน f  (x,y)RR y k axh , a 0 , a 1

จาก y k axh , a 0 , a 1 สามารถวาดกราฟได้ ดงั นี้

ตัวอย่างที่ 3 จงเขยี นกราฟของฟังก์ชัน y  2x3 พร้อมท้งั บอกโดเมนและเรนจข์ องฟงั ก์ชัน

จัดสมการ………………………………………….เทียบกับ………………………………………………………
จดุ กาเนดิ ใหม่ คือ ……………………………………………
โดเมน คือ ………………………………………..เรนจ์ คือ ………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรือ่ ง ฟังก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล (Exponential function) หนา้ 4

แบบฝึกหัดที่ 1

จงเขยี นกราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1 x 1 x
3 4
1. จงเขียนกราฟของฟงั ก์ชัน y  3x , y  4x , y   และ y   ลงในระบบแกนมุมฉาก

เดียวกัน

X -3 -2 -1 0 1 2 3

3x

4x x
1
 3

 1 x
4

NOTE

เอกสารประกอบการเรยี นชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5

เรอ่ื ง ฟงั กช์ ันเอกซโ์ พเนนเชียล (Exponential function) หน้า 5

2. จงเขยี นกราฟของฟงั ก์ชัน พรอ้ มท้ังบอกโดเมนและเรนจ์ของฟงั ก์ชัน กราฟ
ฟงั กช์ นั

1. y  2x1
จดั สมการ ………………………………………………..
จุดกาเนิดใหม่ คอื …………………………………….
โดเมน คอื ……………………………………………….
เรนจ์ คือ …………………………………………………

2. y   1 x2
3

จดั สมการ ………………………………………………..

จดุ กาเนดิ ใหม่ คือ …………………………………….

โดเมน คือ ……………………………………………….

เรนจ์ คือ …………………………………………………

3. y 1 2x

จัดสมการ ………………………………………………..
จุดกาเนดิ ใหม่ คือ …………………………………….
โดเมน คอื ……………………………………………….
เรนจ์ คือ …………………………………………………

4. y  2x  2
จัดสมการ ………………………………………………..
จดุ กาเนิดใหม่ คือ …………………………………….
โดเมน คอื ……………………………………………….
เรนจ์ คือ …………………………………………………

5. y  2  2x3
จัดสมการ ………………………………………………..
จดุ กาเนิดใหม่ คือ …………………………………….
โดเมน คือ ……………………………………………….
เรนจ์ คอื …………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปที ี่ 5

เรือ่ ง ฟงั ก์ชันเอกซ์โพเนนเชยี ล (Exponential function) หน้า 6

ฟงั ก์ชนั กราฟ

6. y  2x2 1
จัดสมการ ………………………………………………..
จุดกาเนดิ ใหม่ คือ …………………………………….
โดเมน คอื ……………………………………………….
เรนจ์ คือ …………………………………………………

7. y 1   1 x2
2

จดั สมการ ………………………………………………..

จดุ กาเนดิ ใหม่ คอื …………………………………….

โดเมน คอื ……………………………………………….

เรนจ์ คอื …………………………………………………

8. y   1 x5  1
3

จดั สมการ ………………………………………………..

จุดกาเนดิ ใหม่ คือ …………………………………….

โดเมน คือ ……………………………………………….

เรนจ์ คอื …………………………………………………

3. จงบอกวา่ ฟังก์ชนั ตอ่ ไปนี้เปน็ ฟังกช์ ันเพิม่ หรือฟงั ก์ชนั ลด โดยเขยี นคาตอบไวห้ น้าข้อ

…………………… 1) y  5x …………………… 2) y   1 x
2

…………………… 3) y  3x …………………… 4) y   1 x
2

…………………… 5) y   4 x …………………… 6) y  (cos1) x
3

…………………… 7) y  (sin120) x …………………… 8) y  (sec1) x

…………………… 9) y   a2 x ; a  0 …………………… 10) y   a  1 x ; a  0
  a2 
1 a

เอกสารประกอบการเรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5

เร่ือง ฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชยี ล (Exponential function) หน้า 7

4. จงเขยี นเครอื่ งหมาย  ลงหน้าข้อความทเ่ี ป็นจรงิ และเขียนเครื่องหมาย  ลงหนา้ ข้อความทีเ่ ป็นเท็จ
11
…………………… 1) 52  53
…………………… 2) 34  33
1 1
…………………… 3)  1 3   1 2 …………………… 4)  1  2   1  3
2 2 2 2

…………………… 5) 22x  4x …………………… 6) 3x   1 x
3

…………………… 7) 3x 3y  9xy …………………… 8) 2x  2x  (2  21)x

…………………… 9) 5x2  (5x )2 …………………… 10) 3x2  3x
3x
…………………… 11) 3x 3y  9xy …………………… 12) 2x  2x  (2  21)x

…………………… 13)  3 x  3x 2x x
2
…………………… 14) 162  4x

…………………… 15) sin30 12  sin60 12 …………………… 16) sin45 4  sin45 3

1.3 สมการเอกซโ์ พเนนเชยี ล

การแกส้ มการเอกซ์โพเนนเชียลทาไดโ้ ดยใช้สมบตั ิของฟงั ก์ชัน 1–1 คอื

กต็ ่อเมอ่ื x = y (ทาฐานให้เทา่ กันแลว้ จับเลขช้กี าลังเท่ากนั )

ตัวอย่างท่ี 1  1 2x  64
2

วิธีทา จัดสมการให้อยู่ในรปู am = an ดงั นี้
2x
 1 = 26
2

2-2x = 26

-2x = 6

x = -3

ดังนนั้ เซตคาตอบ คือ {-3}

ตัวอย่างท่ี 2 22x – 6(2x) + 8 = 0 =0 0
วิธที า จาก 22x – 6(2x) + 8 =0 21
(2x)2 – 6(2x) + 8 =0 1
ดงั นน้ั (2x – 4)(2x – 2) หรอื 2x – 2 =
2x – 4 = 0 หรอื 2x =
2x = 22 หรือ x =

x =2

ดังนัน้ เซตคาตอบ คือ {1, 2}

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

เรือ่ ง ฟงั ก์ชนั เอกซ์โพเนนเชยี ล (Exponential function) หน้า 8

ตวั อย่างท่ี 3 4(22x) + 3(2x) – 1 = 0
วิธีทา
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………

1. จงหาเซตคาตอบของสมการตอ่ ไปนี้ แบบฝกึ หดั ที่ 2

4 2) 3x  35x2

1)  x  3 3  81

 3)2 2x 16 4) 36x  3 27
3  81

5)  1 x  1 27 6)  1 3 2x 128
3 2
 

 7) ( 5)3x1  1 x2 8) ( 7)2x   1 x4
5  72 

เอกสารประกอบการเรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรอ่ื ง ฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function) หนา้ 9

9) 52x1  25x 53x 10) 64x  324x 1

11) 52x8  9x 4 12) 4x(x4)  1
256

13) 43x2 4 x4  1 14) 5x  5x1  5x2  155 5
1024

15) 34x2  92x1  81x  89 16)  5  2x  1  4 3
2 25


17)  3  2 2x 3  3  2 18) 22x 12(2x )  32  0

เอกสารประกอบการเรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรื่อง ฟังก์ชนั เอกซโ์ พเนนเชียล (Exponential function) หน้า 10

19) 72x  457x 196  0 20) 3(32x )  26(3x )  9  0

21) 2x2  x 22) 4x1  64  2x5

5(22 ) 1

2. ให้ f(x) = 3x และ g(x) = 2x จงหาค่าของ

1) g(-3) = …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
2) f(1) + g(-1) = …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
3) f(-2) - g(2) =
…………………………………………………………………………………………
4) f(2)  g(3) = …………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………
5) g(3) = …………………………………………………………………………………………
f (2)
=
6) g(f(3)) =

7) fog (-1) =

8) gof (-2)

1.4 อสมการเอกซโ์ พเนนเชียล

หลกั ท่ัวไปของการแกอ้ สมการ
ใชค้ วามรู้เก่ยี วกับฟังก์ชันเพม่ิ และฟังกช์ ันลดของฟังกช์ ันเอกซโ์ พเนนเชียล
1. กรณที เี่ ลขชี้กาลังเทา่ กัน ให้ a และ b เป็นจานวนจริงบวก ซ่ึง a 1 และ b 1 จะได้วา่

ถ้า และ m<0 แลว้ a < b
ถ้า และ m>0 แล้ว a < b

เอกสารประกอบการเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5

เร่ือง ฟังกช์ ันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential function) หนา้ 11

2. กรณเี ลขชกี้ าลงั ไม่เทา่ กนั ใช้สมบตั ิการเป็นฟังกช์ ันเพม่ิ และฟงั กช์ นั ลดของฟังกช์ ันเอกซโ์ พเนนเชียล
โดยพจิ ารณาจากฐานของเลขช้ีกาลงั ดงั นี้

- ถ้าเป็นฟงั ก์ชันเพิ่ม ให้ a เปน็ จานวนจรงิ บวก และ a > 1 จะไดว้ ่า ก็ต่อเม่ือ m > n
- ถ้าเป็นฟังก์ชนั ลด ให้ a เป็นจานวนจริงบวก และ 0< a <1 จะได้ว่า ก็ต่อเม่ือ m < n

ตวั อยา่ งที่ 1 3x – 1 < 27 27
วธิ ที า จาก 3x – 1 < 33

3x – 1 <

ดงั นน้ั x – 1 < 3

x< 4

เซตคาตอบ คือ {xx < 4} = (-, 4)

แบบฝกึ หดั ที่ 3

จงหาเซตคาตอบของอสมการต่อไปนี้  2) 32x3  1 x2
1) 36x 1  216 3

3) 2x2  x  64 4) 1 3x2  81

5) 2|2x1|  1 6)  1 x2  4x  10 3x2  x  2
128 3


เอกสารประกอบการเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรือ่ ง ฟังกช์ นั เอกซโ์ พเนนเชียล (Exponential function) หน้า 12

7) sin10o 3x24x1  sin10o x2x1 8) xx2  x2x3 เมอื่ x > 0

9)  x 1x2  x 1x2 เม่ือ x > 1 10) 5x  25x  57 125x

11) 3 x  2  1 12)  1 7x  8  1 x2  2x6
6 36


TEST FOR U

เซตคาตอบของอสมการ 42x2  4x  5  1 คือเซตในข้อใดตอ่ ไปนี้
32

1.  5 , 5  2.   5 , 1
2 2   2

3.  1 , 1 4.   1 , 5 
2  2 2 

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เรอ่ื ง ฟังก์ชนั ลอการิทึม (Logarithm function) หนา้ 13

2. ฟังกช์ ันลอการทิ ึม (Logarithm function)

2.1 ลอการทิ ึม (Logarithms)

บทนยิ าม กาหนด a > 0 , ถา้ จะได้ x คอื log ของจานวน N บนฐาน a
ซึง่ อา่ นวา่ “x เทา่ กับ log ของจานวน N บนฐาน a”
ซึง่ เขยี นไดเ้ ปน็
ดังนนั้ จะได้

เมือ่ x คอื คา่ ของ log ซึง่ เปน็ จานวนจรงิ ใด ๆ

a คอื ฐานของ log ซง่ึ เป็นจานวนจริงบวก และไมเ่ ท่ากับ 1
N คือ จานวนของ log ซึ่งเปน็ จานวนจริงบวก เพราะว่าเมื่อ a > 0 และ xR แลว้ ax  0

เสมอ
ตัวอย่างเช่น log232
 2x =x
= 32
2x = 25

x =5
 log232 = 5

 สมบตั ิของลอการิทึม 
ถ้า a > 0 , a  1 , M, N เป็นจานวนเต็มบวก และ m , n เป็นจานวนเตม็

1. loga MN  loga M  loga N
2. loga MN  loga M  loga N
3. loga Mn  nloga M

4. log an M  1 logaM
n

5. logan am  m
n
6. loga a  1

7. loga 1 0
8. alogaM M

9. loga M  logb M
logb a

10. log a M  logM (log ฐาน 10)
log a

11. loga M  1
logM a

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เร่ือง ฟังกช์ นั ลอการทิ ึม (Logarithm function) หนา้ 14

แบบฝึกหัดที่ 1

1. จงเขยี นเลขยกกาลังตอ่ ไปนี้ใหอ้ ย่ใู นรปู “ลอการิทมึ ” 2. จงเขยี นลอการิทมึ ท่ีกาหนดให้ ใหอ้ ย่ใู นรูปเลขยกกาลัง
1) log2 8  3 ………………………………………………..
1) 24  16 ………………………………………………….. 2) log10 10  1 ………………………………………………
3) log1 4  2 ………………………………………………
2) 102  100 ………………………………………………….
2
 3)12 3 1 …………………………………………………..
8 4) log10 0.01  2 ……………………………………………

5) log 3 9  4 ………………………………………………
4) 51  1 ………………………………………………….. 6) log2 2 8  2 ………………………………………………
5

5) (0.2)4  0.0016……………………………………………

6) ( 2)3  2 2 ……………………………………………

3. จงหาค่าของ 2) log3 243
1) log2 1024 ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

3) log1 8 4) log49 1
2 7
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

5) log 1 1 6) log1 81
3 27 3
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

7) log3 3 1 8) log5 5 625
3 ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เร่ือง ฟังกช์ นั ลอการทิ มึ (Logarithm function) หนา้ 15

4. จงหาค่าของลอการิทึมต่อไปน้ี 2) log3log2log2log216
1) log216 + log327 + log 1 256 ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
4 ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

3) (log381) (log5125) + (log2781) (log1 64) 4) log23  log34  log45  …  log255256
2 ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
5) log5625  log7343 + 2log3900 – 4log3270
6) log1 8 + log1 16 + log 4 1 + log168
2 4 4

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

7) log 1  log 1  log 1  log 1 8) (log 101000)(log 100.01)
2 120 3 120 4 120 5120 (log 1001000)(log 0.011000)

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
9) log 3 55  log 314  log 3 77  log 310
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… 10) log 39  log 13  log 5  log 3
121 66 21 77
………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 5

เรื่อง ฟงั กช์ นั ลอการิทึม (Logarithm function) หน้า 16

11) (log 2 8)(log 3 81)  4log10 400  log10 256 12) log 27  log 8  log 125
log6  log5
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

5. จงหาคา่ ต่อไปนี้ 2) 5log521
1) 1.3log1.348

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
3) 112log115
4) 4log25
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

5) 3log94 6) 8-log23
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

7) 3 (102log10 5 ) 8) 3 (112log11 4 )
25 2

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
9) 131log136
10) 811log92

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

11) 222log25 ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… 12) 8 1 + log2 3 121
……………………………………………………………………… 3
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรอ่ื ง ฟังกช์ ันลอการทิ มึ (Logarithm function) หนา้ 17

13) 161  log46 14)  1  log10 3
10
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

6. จงหาค่าของ (9log35 )(52log56 log59 )
3log310 2log34

............................................................................................................................. .................................................
....................................................................................................................................................................... .......
........................................................................................................................... ...................................................
............................................................................................................................. .................................................

2.2 กราฟของฟงั ก์ชนั ลอการิทมึ

จากสมการ y  log ax ; x > 0 และ a  1 จงึ สามารถแบ่ง a ได้เปน็ 2 ช่วง คือ 0 a1 และ a > 1
เมอื่ นามาเขยี นกราฟได้ดงั นี้

กรณี 0  a1 กรณี a > 1

จากกราฟจะไดว้ า่
1. กราฟของฟังก์ชัน y  log ax ; x > 0 และ a  1 ผ่านจุด (1,0) เสมอ

2. ถ้า 0  a1 แลว้ y  log ax เปน็ ฟังก์ชันลด
ถา้ a > 1 แล้ว y  log ax เป็น ฟังกช์ นั เพิม่

3. ฟงั กช์ นั ลอการิทึมเปน็ ฟงั ก์ชัน 1–1 จาก R ไปทว่ั ถึง R
4. ฟงั ก์ชนั ลอการทิ ึมเปน็ ฟงั ก์ชัน 1–1 จะได้ว่า log ax log a y ก็ตอ่ เมื่อ x = y

เอกสารประกอบการเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรือ่ ง ฟงั ก์ชนั ลอการทิ ึม (Logarithm function) หน้า 18

2.3 ลอการิทึมสามัญ (Common logarithms)

ลอการิทึมสามัญ หมายถงึ ลอการทิ ึมฐานสบิ จะเขยี น log10 N แทนด้วย log N
การหาค่า logN ทาได้โดยเขยี น N  A10n โดยที่ 1 A 10 , nI

ดังน้นั log N  log A10n 
 log A log10n

log N  logA  n คา่ แคแรคเทอริสติก (Characteristic) ของ log N

เรยี ก N วา่ แอนติลอการทิ มึ (Antilogarithm) ค่า แมนทิสซา่ (Mantissa) ของ log N
ของ log N (มีค่าเปน็ บวกเสมอ) (เปน็ ทศนิยมทีม่ ีค่ามากกวา่ 0 แตน่ ้อยกว่า 1)

เช่น log125 = log1.25102 

= log1.25log102

= log1.25 2

จะไดว้ ่า คา่ แมนทสิ ซา่ คือ log1.25 และ ค่าแคแรคเทอรสิ ติก คือ 2

แบบฝึกหัดท่ี 2

1. จงพิจารณาว่าฟังก์ชันต่อไปน้เี ป็นฟังก์ชันเพิม่ หรือฟงั ก์ชันลด พร้อมท้ังเขยี นกราฟ

ฟงั กช์ นั กราฟ

1. y  log 4 x
x = ………………………………………………….

เป็นฟงั กช์ นั ………………เนอ่ื งจาก………………..
โดเมน คือ ……………………………………………….
เรนจ์ คือ …………………………………………………

2. y  log 1 x

2

x = …………………………………………………..
เปน็ ฟงั กช์ ัน ………………เนื่องจาก………………..
โดเมน คือ ……………………………………………….
เรนจ์ คอื …………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5

เรอ่ื ง ฟังก์ชนั ลอการิทมึ (Logarithm function) หน้า 19

3. y  log 2(x 3)  5
หรอื ………………………………………………………..
จดุ กาเนดิ ใหม่ คือ ……………………………………..
เป็นฟงั กช์ ัน ………………เน่ืองจาก………………..
โดเมน คือ ……………………………………………….
เรนจ์ คือ …………………………………………………

4. y  2  log 1 (x  3)

4

จุดกาเนิดใหม่ คอื ……………………………………..
เป็นฟังก์ชนั ………………เน่ืองจาก………………..
โดเมน คอื ……………………………………………….
เรนจ์ คอื …………………………………………………

2. จงหาค่าแมนทิสซา (mantissa) และคา่ แคแรคเทอรสิ ติก (characteristic) ของลอการิทึมต่อไปน้ี (1 A 10 ,nI)

ขอ้ log N log A10n  คา่ Mantissa คา่ Characteristic

1 log 218 log2.18102 

2 log 21.8
3 log 2.18
4 log 0.218
5 Log 0.00218
6 log 325
7 log 25400
8 log 0.0745
9 log 0.000589
10 log 0.00000012

3. ถ้ากาหนดให้ log 4.85 = 0.6857 จงหาค่าของ

1. log 485 = ………………………………………………………………………………………………………
2. log 0.485 = ………………………………………………………………………………………………………
3. log 0.000485 = ………………………………………………………………………………………………………
4. log 4,850,000 = ………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เรอ่ื ง ฟงั กช์ นั ลอการิทมึ (Logarithm function) หน้า 20

4. กาหนดให้ log 3.46 = 0.5391 และ log 3.47 = 0.5403 จงหาคา่ log ท่กี าหนดให้ต่อไปน้ี
1) log 3,460 + log 0.000347

………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………..

2) log 1 1 
346

………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………..

5. กาหนดให้ log5.55 0.7443 และ logx  3.7443 จงหาค่าของ x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.4 แอนตลิ อการิทึม (Antilogarithm)

เปน็ วิธีการหาค่า N เมอื่ โจทย์กาหนด logN ให้ ทาไดโ้ ดยอาศยั สมบัติ คอื
1. Antiloga  x ก็ต่อเม่ือ log x a
2. Antilog (logx)  x

2.5 การเปล่ียนฐานลอการทิ ึม

ในกรณที เ่ี ราทราบค่าของ log 2 = 0.3010 และ log 3 = 0.4771 เราสามารถหาค่าของ log2 3 จาก
log 3 0.4771
log2 3  log 2  0.3010  1.5850 เรียกวธิ ีการหาคา่ log2 3 ในลักษณะนี้วา่ การเปล่ียนฐานลอการทิ ึม โดย

ใช้สมบัติ

เอกสารประกอบการเรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เรอ่ื ง ฟังกช์ นั ลอการทิ ึม (Logarithm function) หน้า 21

2.6 ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural Logarithms)

ลอการทิ ึมธรรมชาติ (Natural Logarithms) หมายถึง ลอการิทมึ ที่มีฐานเป็น e หรือ log ฐาน e เมอ่ื e

เป็นสญั ลกั ษณ์แทนจานวนตรรกยะจานวนหนง่ึ มคี ่าประมาณ 2.71828 … ในการเขยี นลอการทิ ึมของ x ฐาน e

อาจเขยี น log e x แตน่ ิยมเขยี น ln x

การหาคา่ ของ ln x ทาได้โดยการเปลยี่ นฐานลอการิทมึ เป็นฐาน 10 ดังนี้
log x
lnx  log ex  loge แต่ log e  log2.7182  0.4343

ดงั น้ัน lnx log x
 0.4343

แบบฝึกหัดท่ี 3

1. กาหนด Antilog 0.4082 = 2.56 จงหาคา่ N เมื่อกาหนด

1) log N = 4.4082 2) log N = –0.5918

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………..
2. จงหาคา่ ของ 2) ln0.2547 กาหนดให้ log25473.4060
1) ln72 กาหนดให้ log72  1.8573

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
3. จงหาคา่ ของ
2) log1.2  0.0792, log5  0.6990 หาค่า
1) log 7 9  1.1292 หาคา่ ของ log 49 9
ของ log 512

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรียนช้นั มธั ยมศึกษาปีที่ 5

เรื่อง ฟงั กช์ ันลอการิทมึ (Logarithm function) หน้า 22

3) log 4 5  1.1609 หาคา่ ของ log1024 5 4) log 3 77  3.9541 หาคา่ ของ log 27 77

……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………..

4. กาหนดให้ log 2 = 0.301 , log 3 = 0.477 และ log 5 = 0.699 จงหาคา่ ลอการิทึมตอ่ ไปน้ี

1) log 32 2) log 50
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
3) log 75
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… 4) log 81
……………………………………………………………………… 64
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

………………………………………………………………………

2.7 สมการลอการิทึม

หลกั การทั่วไปของในการแกส้ มการ
1. สมการท่ีอยูใ่ นรูป log ax  y ; x  0 , a  0 และ a 1 ใหจ้ ดั อยู่ในรปู ay  x
2. สมการที่อยู่ในรูป log a x log a y ; x  0 , y  0 , a  0 , a 1 ให้ปลด log เปน็ x = y

2.8 อสมการลอการิทึม

หลักการทว่ั ไปของการแก้อสมการ ใชค้ วามรู้เร่ืองฟังก์ชนั เพ่ิมและฟังกช์ นั ลดมาชว่ ยในการแกป้ ญั หา
นั่นคอื เม่ือ x > 0 และ y > 0

1. ถ้า a > 1 แล้ว logax  logay กต็ ่อเมื่อ x < y
เชน่ log 2x log 25 จะไดว้ า่ x < 5 และ x > 0 น่ันคอื เซตคาตอบคือ 0,5

2. ถา้ 0  a1 แล้ว logax  logay ก็ต่อเมื่อ x > y
เช่น log1 x log1 5 จะไดว้ ่า x > 5 และ x > o นัน่ คอื เซตคาตอบคือ 5,

33

เอกสารประกอบการเรียนช้ันมัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เรือ่ ง ฟังก์ชันลอการิทึม (Logarithm function) หนา้ 23

แบบฝึกหัดท่ี 4

1. จงหาจานวนจริง x ที่สอดคล้องกับสมการในข้อตอ่ ไปน้ี
2
1) log 8 x  3 2) log2(3x  2)  3

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

3) log3(x2  2x)  1 4) log4 log3 log2(x2 2x)  0

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
1 5 6) logx2  log2x
5) log x 32   2

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

7) log2  2   log2(4  x) 8) log7(x  2)   log7  x 
1 x 3

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

9) log9(3x 1)  log3 2x 10) xlogx2 9  2x2 11x 15

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนชั้นมัธยมศึกษาปที ี่ 5

เรื่อง ฟังก์ชันลอการทิ ึม (Logarithm function) หนา้ 24

2. จงหาจานวนจรงิ x ท่ีสอดคล้องกับสมการในข้อต่อไปน้ี

1) log3 (x  2) = 2 2) log x2 = 2

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

3) log2 log3 x  2 4) log xlogx  4
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

5) log4 (x  2)  log4 (x 1) = 2log4 6 6) log1  x  1  log x

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

7) log (x – 2) + log (x + 2) – log 5 = 0 8) 3log 4x  2log x4  1

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

……………………………………………………………………… ………………………………………………………………………

3. จงหาเซตคาตอบของอสมการ log 24 (x2  2x)  2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

เรอื่ ง ฟังกช์ ันลอการทิ มึ (Logarithm function) หน้า 25

4. จงหาเซตคาตอบของอสมการ log5 (2x  4)  log5 (5x  3)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงหาเซตคาตอบของอสมการ log1 (2x  4)  log1 (x  1)
33

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

1 log2 (x22) 1 log2 (4x1)
3  3
   6. จงหาเซตคาตอบของอสมการ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4 7. log2 log2 (2  x)
x3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

NOTE

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรอื่ ง ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 26

3. ฟังกช์ ันตรโี กณมิติ (Trigonometric function)

3.1 วงกลมหนงึ่ หนว่ ย
วงกลมหนึง่ หน่วย คือ วงกลมทม่ี จี ุดศนู ย์กลางอยู่ที่จุด (0,0) และมรี ัศมีเท่ากับหนง่ึ หนว่ ย

ความยาวของเส้นรอบวงของวงกลมหน่ึงหน่วย

ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมหน่งึ หน่วย จะเปน็ ไปตามสมการ 2r  2 หน่วย หรือประมาณ

2  (3.141) = 6.2832 2
2
ดงั นัน้ คร่งึ วงกลมหน่งึ หนว่ ยยาว    หน่วย หรอื ประมาณ 3.1416

เสีย้ ววงกลมหนึ่งหน่วยยาว  2   หน่วย หรอื ประมาณ 1.5708
4 2

การวัดความยาวส่วนโคง้ ของวงกลมหนง่ึ หน่วย
กาหนด R จดุ P() เป็นจดุ ปลายส่วนโค้งท่ียาว  หน่วย โดยวัดจากจดุ (1,0) ไปตามส่วน

โคง้ ของวงกลม
ถ้า   0 หมายถึง การวดั ไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา
ถ้า   0 หมายถึง การวัดไปในทิศทางตามเข็มนาฬิกา
และใหส้ ่วนโคง้ วงกลมหน่งึ หน่วยที่ยาว  หน่วย มโี คออร์ดิเนทจดุ ปลายส่วนโคง้ เปน็ (x , y) น่ัน

คอื P()  (x,y)

เอกสารประกอบการเรียนชน้ั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรอ่ื ง ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 27

โคออร์ดเิ นทของจดุ ปลายส่วนโค้งของวงกลมหนง่ึ หน่วยทย่ี าว 
4

โคออร์ดเิ นทของจดุ ปลายส่วนโค้งของวงกลมหน่ึงหนว่ ยที่ยาว 
3

โคออร์ดเิ นทของจดุ ปลายส่วนโค้งของวงกลมหน่ึงหน่วยท่ยี าว  
6 6

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เร่ือง ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หน้า 28

ความยาวของเส้นรอบวงเทา่ กับ 2r หน่วย
เมอื่ r = 1 ความยาวของเสน้ รอบวงของวงกลมหนึ่งหนว่ ยเท่ากับ 2

จากรปู เปน็ พิกดั (x , y) ทอี่ ยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมรศั มีหน่ึงหน่วยตามค่ามุมตา่ ง ๆ

แบบฝึกหัดที่ 1

1. กาหนดจานวนจรงิ  ให้หาจดุ ปลายสว่ นโค้งทีย่ าว  หนว่ ยที่กาหนดให
13 36
1)  = 6 2) = 4

3)  = 25 4) =  20
4 3

เอกสารประกอบการเรยี นชนั้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5

เร่ือง ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หน้า 29

5)  = 13 6) =  37
3 6

7)  = 99 8)  =  199
4 6

2. กาหนด  เป็นจานวนจรงิ และ P() เปน็ จดุ ปลายส่วนโค้งของวงกลมหนงึ่ หน่วยที่ยาว  หนว่ ย

จงบอกพกิ ัดของจดุ ปลายส่วนโคง้ ตอ่ ไปน้ี

1) P   ……………………… 2) P2   ………………………

3) P3   ……………………… 4) P4   ………………………

5) P5   ……………………… 6) P6   ………………………

7) P   ……………………… 8) P2   ………………………

9) P3   ……………………… 10) P4   ………………………

11) P5   ……………………… 12) P6   ………………………

13) P15   ……………………… 14) P16   ………………………

15) P101   ……………………… 16) P100  

………………………  ……………………… 18) P102   ………………………
17) P51 

19) P     ……………………… 20) P  3   ………………………
 2   ………………………  2   ………………………
 ………………………  ………………………
21) P  5  22) P  7 
 2   2 

23) P  9  24) P    
 2   2 

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 5

เร่ือง ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หน้า 30

25) P   3   ……………………… 26) P   5   ………………………
 2   ………………………  2   ………………………
 ………………………  ………………………
27) P   7   ……………………… 28) P   9   ………………………
 2   ………………………  2   ………………………
 ………………………  ………………………
29) P     ……………………… 30) P      ………………………
 4   ………………………  4   ………………………
 ………………………  ………………………
31) P  3   ……………………… 32) P   3   ………………………
 4   ………………………  4   ………………………
 ………………………  ………………………
33) P  5   ……………………… 34) P   5   ………………………
 4   ………………………  4   ………………………
 ………………………  ………………………
35) P  7   ……………………… 36) P   7   ………………………
 4   4 

37) P    38) P    
 3   3 

39) P  2  40) P   2 
 3   3 

41) P  4  42) P   4 
 3   3 

43) P  5  44) P   5 
 3   3 

45) P  7  46) P   7 
 3   3 

47) P    48) P    
 6   6 

49) P  5  50) P   5 
 6   6 

51) P  7  52) P   7 
 6   6 

53) P  5  54) P   11 
 6   6 

55) P  13  56) P   13 
 6   6 

3. จงบอกว่าจุดปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนึง่ หนว่ ยต่อไปนี้อยใู่ นควอดรันตใ์ ด

1) P    อยใู่ นควอดรันต์ที่ ………… 2) P     อยใู่ นควอดรนั ตท์ ่ี …………
 4   4 

3) P  3  อยู่ในควอดรนั ต์ที่ ………... 4) P   3  อยใู่ นควอดรันต์ท่ี …………
 4   4 

5) P  5  อยใู่ นควอดรนั ต์ที่ ………… 6) P   5  อยู่ในควอดรันต์ท่ี …………
 4   4 

7) P  7  อยูใ่ นควอดรันต์ท่ี ………… 8) P   7  อยใู่ นควอดรนั ตท์ ่ี …………
 4   4 

เอกสารประกอบการเรียนช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 5

เรอื่ ง ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หน้า 31

9) P  9  อย่ใู นควอดรันต์ที่ ………… 10) P   9  อยู่ในควอดรนั ต์ท่ี …………
 4   4 

11) P  25  อย่ใู นควอดรนั ต์ท่ี ………… 12) P   25  อยู่ในควอดรนั ต์ท่ี …………
 4   4 

13) P    อยู่ในควอดรนั ต์ท่ี ………… 14) P     อยู่ในควอดรนั ต์ท่ี …………
 3   3 

15) P  2  อยใู่ นควอดรันตท์ ี่ ………… 16) P   2  อยู่ในควอดรนั ตท์ ี่ …………
 3   3 

17) P  4  อยู่ในควอดรนั ตท์ ่ี ………… 18) P   4  อยู่ในควอดรนั ต์ที่ …………
 3   3 

19) P  5  อยู่ในควอดรันตท์ ี่ ………… 20) P   5  อยใู่ นควอดรันต์ที่ …………
 3   3 

21) P  7  อยใู่ นควอดรนั ต์ที่ ………… 22) P   7  อย่ใู นควอดรันต์ท่ี …………
 3   3 

23) P  25  อยู่ในควอดรนั ต์ท่ี ………… 24) P   25  อยใู่ นควอดรันตท์ ี่ …………
 3   3 

25) P    อยใู่ นควอดรันต์ท่ี ………… 26) P     อยู่ในควอดรนั ต์ท่ี …………
 6   6 

27) P  5  อยู่ในควอดรันต์ที่ ………… 28) P   5  อย่ใู นควอดรนั ต์ที่ …………
 6   6 

29) P  7  อยูใ่ นควอดรันต์ท่ี ………… 30) P   7  อยู่ในควอดรันต์ท่ี …………
 6   6 

31) P  11  อยูใ่ นควอดรนั ตท์ ่ี ………… 32) P   11  อยใู่ นควอดรนั ตท์ ี่ …………
 6   6 

33) P  25  อยใู่ นควอดรนั ตท์ ี่ ………… 34) P   25  อยู่ในควอดรันตท์ ่ี …………
 6   6 

3.2 ฟังก์ชนั ไซนแ์ ละโคไซน์

ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติเป็นฟงั ก์ชนั จากสับเซตของ R ไป R จะใช้วงกลมหนงึ่ หนว่ ยเปน็ หลักในการนิยามฟังก์ชนั
ตรีโกณมิติ

กาหนดจานวนจรงิ  (ทตี า) ถ้า (x, y) เปน็ จุดปลายส่วนโคง้ ที่วัดจากจกุ (1,0) ยาว || หน่วย
1. ถ้า  > 0 จะวัดสว่ นโคง้ จากจุด (1,0) ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

2. ถ้า   0 จะวดั ส่วนโค้งจากจดุ (1,0) ไปในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกา

บทนิยาม เม่ือ (x, y) เปน็ จดุ ปลายสว่ นโค้งท่ียาว หนว่ ย

ฟังกช์ ันไซน์ (sine) คือ เซตของคอู่ ันดบั ( , y)

ฟังก์ชนั โคไซน์ (cosine) คอื เซตของค่อู ันดับ ( , x)

เนื่องจาก จะได้ y = sine หรอื y = sin

และ จะได้ x = cosine หรอื x = cos

เอกสารประกอบการเรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เร่ือง ฟงั ก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หน้า 32

จากความสัมพันธ์ (x,y)  R ×R | x2 + y2 = 1  จะเหน็ ว่า 1 y 1 ดังนน้ั 1 sin 1 และ

1 x 1 ดังน้ัน 1 cos 1
นน่ั คือ เรนจ์ของฟังกช์ นั ไซน์และโคไซน์ คือ เซตของจานวนจริง ต้งั แต่ -1 ถงึ 1 และโดเมนของฟงั กช์ นั ไซน์

และโคไซน์ คือ เซตของจานวนจริง

3.3 คา่ ของฟังกช์ ันไซน์และโคไซน์

พิจารณาจากคู่อนั ดบั ซึ่งเปน็ จุดปลายสว่ นโค้งของวงกลมหน่งึ หน่วยซ่งึ เรมิ่ ต้นจากจุด (1, 0) และยาว ||
หนว่ ย โดยท่ี  แทนจานวนจรงิ ใด ๆ

คา่ ของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ของจานวนจรงิ บางจานวน จากรูปวงกลมหนง่ึ หน่วย จะได้ดงั ตารางต่อไปน้ี

จานวนจรงิ  0 ควอดรันต์ ท่ี 1 ควอดรันต์ ที่ 2 

sin  0   2 3 5
cos  1 643 2346

ควอดรันต์ ที่ 3 ควอดรนั ต์ ที่ 4

จานวนจริง   7 5 4 3 5 7 11 2

6432346

sin 
cos 

เอกสารประกอบการเรยี นชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เรอื่ ง ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 33

แบบฝกึ หัดท่ี 2

1. จงหาคา่ ของ

1) sin 0  ................................ 2) cos 0  ................................
 ................................  ................................
3)   ................................ 4)   ................................
sin  ................................ cos  ................................
2  ................................ 2  ................................
 ................................  ................................
5) sin 6) cos  ................................
 ................................  ................................
7) sin 3 8) cos 3  ................................
 ................................
2 2
 ................................
9) sin 2 10) cos 2
 ................................
11) sin     12) cos    
 2   2   ................................

13) sin   14) cos   ................................

15) sin   3   ................................ 16) cos   3   ................................
 2   2 

17) sin 2   ................................ 18) cos2 

19) sin     ................................ 20) cos   
 4   ................................  4 
 ................................
21) sin      ................................ 22) cos    
 4   ................................  4 
 ................................
23) sin     24) cos   
 4   3 

25) sin     26) cos    
 3   3 

27) sin    28) cos   
 6   6 

29) sin     30) cos    
 6   6 

2. จงหาคา่ ของ

1) sin 0  cos  sin 3 = …………………………………………………………………………………………………..
= …………………………………………………………………………………………………..
2 = …………………………………………………………………………………………………..
= …………………………………………………………………………………………………..
2) sin   cos 2  cos 3 = …………………………………………………………………………………………………..
= …………………………………………………………………………………………………..
22

3) cos 3  sin 2  sin 3

22

4)   sin 2  sin
cos
2

5) sin2   cos2   sin2 3

22

6) cos2   cos2 3  cos2 

22

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรือ่ ง ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 34

7) sin2 3  sin2 0  sin2 2 = …………………………………………………………………………………………………..
= …………………………………………………………………………………………………..
2 = …………………………………………………………………………………………………..
= …………………………………………………………………………………………………..
8)   cos   sin  = …………………………………………………………………………………………………..
sin = …………………………………………………………………………………………………..
6 34 = …………………………………………………………………………………………………..
= …………………………………………………………………………………………………..
9) sin   cos  = …………………………………………………………………………………………………..

36

10) sin2   cos2   sin2 

4 36

11) sin2   cos2 

44

12) sin2   cos2 

33

13) sin2   cos2 

66

14) 2 sin  cos  sin 

46 3

15)  
2 cos sin cos
46 3

3.4 คา่ ของฟังก์ชันไซนแ์ ละโคไซนข์ องจานวนจรงิ ใด ๆ

ถา้ ส่วนโค้งของวงกลมหนึง่ หน่วยทีเ่ ชือ่ มระหวา่ งจุด (1, 0) กับ (x , y) ยาว || หนว่ ย สว่ นโคง้ ของวงกลม
หนง่ึ หน่วยท่ีเชื่อมระหวา่ งจุด (1, 0) กบั จุด (x, -y) จะต้องยาว || หน่วย เมอื่  แทนจานวนจรงิ ใด ๆ

Y
(x , y)
 จากจดุ (x , y) และ (x , -y)
(1,0) X สรุปไดว้ ่า sin (- ) = - sin
-  cos (- ) = cos 

(x , -y)

การหาคา่ ของฟังชันก์ตรโี กณมติ ขิ องจานวนจริงต้งั แต่ 0 ถงึ 2

จดุ ปลายสว่ นโคง้ ท่ยี าว  หนว่ ยอยู่ใน

ควอดรนั ต์ที่ 2 ควอดรนั ตท์ ่ี 3 ควอดรนั ต์ที่ 4
 3 3
2         2 2    2

sin(    ) = sin  sin(   ) = - sin sin(2   ) = - sin

cos(   ) = - cos  cos(   ) = - cos cos(2   ) = cos 

tan(   ) = - tan  tan(    ) = tan  tan(2   ) = -tan

เอกสารประกอบการเรียนช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5

เรอ่ื ง ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หน้า 35

3.5 ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติอืน่ ๆ 
6
กาหนดให้ P()  (x,y) , co sec   1  1 ; y 0 1
sin  y sin  y 2
3
cos  x , sec  1  1 ; x0 2
co s  x 1
sin  y cos  x 3
tan  co s   x ; x0 , cot  sin   y ; y0
2
ตารางแสดงคา่ ของฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิของมุมบางมมุ
2
 0   3 2   3
3 4 3
22
f 3 1
2 2
sin 0 1 0 -1 0 1 1
2 2
cos 1 0 -1 0 1
3 1
tan 0 หาคา่ ไมไ่ ด้ 0 หาค่าไมไ่ ด้ 0
2 2
cosec หาค่าไมไ่ ด้ 1 หาคา่ ไมไ่ ด้ -1 หาค่าไมไ่ ด้ 3
2
sec 1 หาคา่ ไมไ่ ด้ -1 หาค่าไมไ่ ด้ 1 2

cot หาคา่ ไมไ่ ด้ 0 หาคา่ ไมไ่ ด้ 0 หาคา่ ไมไ่ ด้ 1 1

3

ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องจานวนจรงิ  , 2  และ  เม่อื 0    

2

sin     sin cos ec    cos ec 

cos    cos  sec    sec

tan      tan cot     cot

sin     sin cos ec    cos ec 
cos    cos sec    sec
tan     tan cot     cot
sin 2    sin
cos2    cos cos ec2    cos ec 
tan 2     tan sec2    sec
cot 2    cot

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เรอื่ ง ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 36

sin    sin cos ec   cos ec 
cos   cos sec   sec
tan     tan cot     cot

sin 2    sin cos ec2    cos ec

 sec2    sec
cot 2    cot
cos2    cos
tan 2    tan

ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิของจานวนจรงิ   และ 3  เมื่อ 0    
22 2

sin      cos cos ec      sec
 2   2 

cos      sin  sec      co sec
 2   2 

tan      cot  cot      tan 
 2   2 

sin       cos cos ec      sec
 2   2 

cos        sin
 2 

sec       co sec
 2 

tan       cot  cot        tan 
 2   2 

sin  3     cos cos ec  3     sec
 2   2 

cos  3     sin  sec  3    co sec
 2   2 

tan  3    cot  cot  3    tan
 2   2 

sin  3     cos cos ec  3     sec
 2   2 

cos  3    sin sec  3    co sec
 2   2 

tan  3     cot cot  3     tan
 2   2 

เอกสารประกอบการเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5

เรือ่ ง ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หน้า 37

แบบฝึกหัดที่ 3

1. จงหาค่าของ

1) sin2   2 tan2  = …………………………………………………………………………………………………

34

2) tan2   4cos2  = …………………………………………………………………………………………………

43

3) 2cos ec2   3sec2  = …………………………………………………………………………………………………

46

4)   2  = …………………………………………………………………………………………………
cot
tan  sec2
36 4

5)  = …………………………………………………………………………………………………
2sin cot cot
663

6) tan2  sin  tan  = …………………………………………………………………………………………………

43 6

7) tan2   4cos2   3sec2  = ……………………………………………………………………………………

3 46

8) cot2   cos   sin2   3 cot2  = ……………………………………………………………………………………
43 34 3

9) tan2   2sin   tan   cos2  = ……………………………………………………………………………………

6 33 6

10) cot2   cos2   sin2   3 cot2  = ……………………………………………………………………………………

4 3 34 3

11) 1 sin2   1 sec  tan2  = ……………………………………………………………………………………

2 32 3 6

12)   = …………………………………………………………………………………………………
sin cos cot
364

13) 1 cos   cos ec  = …………………………………………………………………………………………………
23 6

14)   1  = …………………………………………………………………………………………………
2 sin sec
62 4

2. จงหาคา่ x จากสมการต่อไปนี้

1) 2x2 sin π + 3x cosec π =7 2) 3x2 cot2   6x  4sin2   0

46 43

…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

3) x2 cot   x tan   2 cosec  sin   sec  4) tan2   cos2   x sin  cos  tan 
44 44 4 4 3 443

…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นชนั้ มัธยมศึกษาปที ่ี 5

เร่ือง ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 38

3. ใหเ้ ตมิ คา่ ของฟังกช์ ันไซน์และโคไซน์ของจานวนจริง  ทกี่ าหนดให้

 sin cos  sin cos  sin cos

2  5 7

343
 2  4 11

336

 2 199 24

4. กาหนดให้ 0     และ sin  = 0.4848 จงหาค่าของ
2

1) sin(  ) 2) cos(  )

……………………………………………………………………... ……………………………………………………………………...

……………………………………………………………………... ……………………………………………………………………...

3) cos(2  ) 4) sin (- )

……………………………………………………………………... ……………………………………………………………………...

……………………………………………………………………... ……………………………………………………………………...

5. จากสมการกราฟวงกลมหนึง่ หน่วย x2  y2 1 หรือ cos2   sin2  1 ถ้า 0     และ sin  3

25

จงหา cos

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. จากสมการกราฟวงกลมหน่ึงหน่วย x2  y2 1 หรือ cos2   sin2  1 และ      ถา้ sin  5

2 13

จงหา cos
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. จากสมการกราฟวงกลมหนึ่งหน่วย x2  y2 1 หรอื sin2   cos2  1และ     3 ถา้

2

cos  12 จงหา sin

13

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นชนั้ มธั ยมศึกษาปีที่ 5

เร่อื ง ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หน้า 39

8. จากสมการกราฟวงกลมหนงึ่ หน่วย x2  y2 1 หรอื sin2   cos2  1และ 3    2 ถ้า

2

cos  0.8 จงหา sin

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. จงหาค่าของ

1) sin 2 = …………………..................................... 2) cos 2 = ………………….....................................

33

3) tan 2 = …………………..................................... 4) cosec 3 = ………………….....................................

34

5) sec 3 = …………………..................................... 6) cot 3 = ………………….....................................

44

7) sin 5 = …………………..................................... 8) cos 5 = ………………….....................................

66

9) tan 5 = …………………..................................... 10) cos ec   4  = …………………...............................
 3 
6

11) sec   4  = …………………............................... 12) cot   4  = ………………......................................
 3   3 

13) sin   7  = …………………................................ 14) cos   7  = …………………...................................
 6   6 

15) tan   7  = …………………................................ 16) cos ce   5  = …………………..............................
 6   4 

17) sec   7  = …………………................................ 18) cot   7  = …………………...................................
 6   6 

19) sin 4 = …………………....................................... 20) cos 5 = ………………….....................................

34

21) tan 7 = …………………........................................ 22) cosec   2  = …………….....................................
 3 
6

23) sec   5  = …………………................................. 24) cot   3  = …………………....................................
 6   4 

10. จงหาคา่ ของ

1) sin 5  cos 2  tan 5

634

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….......

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

2) sec 4  cosec 7  3 cot 4
36 3

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….......

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5

เร่อื ง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หน้า 40

3) sin 7 cos 9 tan 11 cot 5

44 6 6

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..........

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

4) 4 sin 4 cos13 tan 25

33 6 4

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..........

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5) sin 13 cos 25 cot 37

634

………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

6) 3 sec11  cosec 25 cot 100 tan 91
46 333

………………………………………………………………………………………………………………………………………………...........

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) sin 2   4   cos2   5   tan 2   7 
 3   6   4 

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..........

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

11. จงเขียนฟังก์ชนั ตรีโกณมิติตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยู่ในรปู ของฟังกช์ ันตรโี กณมิตขิ องจานวนจริง  เมอื่ 0    

2

1) sin     = …………………………………… 2) cos     = ……………………………………
 2   2 

3) sec  3   = …………………………………… 4) cosec  3   = ……………………………………
2  2 

5) tan     = …………………………………… 6) cot  3   = ……………………………………
 2   2 

7) sin     = …………………………………… 8) cos   3  = ……………………………………
2  2 

9) tan     = …………………………………… 10) sec   3  = ……………………………………
2  2 

11) cot     = …………………………………… 12) cosec   3  = ……………………………………
2  2 

13) sin    = …………………………………… 14) cos  2  = ……………………………………

15) tan   = …………………………………… 16) cot   2  = ……………………………………

17. sec   = …………………………………… 18) cosec  2  = ……………………………………

เอกสารประกอบการเรียนช้นั มัธยมศึกษาปีท่ี 5

เร่อื ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 41

3.6 ฟังก์ชันตรโี กณมติ ิของมุม

หนว่ ยวดั มุมทร่ี จู้ กั กันดี คือ องศา   และแบ่งย่อยหนว่ ยองศาออกเปน็ หน่วยย่อย คือ ลิปดา a และ

ฟิลิปดา a ดังนี้

1. องศา

1 มมุ ฉาก  90

1  60 (ลิปดา)
1  90 (ฟลิ ิปดา)

2. เรเดยี น

มมุ 1 เรเดยี น คือ มุมท่จี ุดศูนย์กลางของวงกลมท่ีรองรบั ดว้ ยส่วนโค้งที่ยาวเทา่ กับความยาวของ
รัศมวี งกลมนั้น

a
r

ra

ดงั นัน้ มุมท่เี กิดจาการหมนุ ของรัศมไี ปครบ 1 รอบ  2  2 เรเดียน
r
2 
1 มมุ ฉาก  4  2 เรเดียน

มมุ ทจ่ี ุดศูนย์กลางของวงกลมทมี่ รี ศั มยี าว r หน่วย ทไ่ี ด้จากการหมุนไปครบ 1รอบ มีขนาด 2 เรเดียน
เมอื่ วัดเปน็ องศาได้ 360 องศา จะได้ 360 องศา = 2 เรเดียน

หรือ 180 องศา =  เรเดยี น

ดังนนั้ 1 องศา =  เรเดยี น ≈ 0.01745 เรเดยี น
180
และ 1 เรเดียน = 180 องศา ≈ 57 18


ตัวอยา่ ง จงเปลีย่ นหนว่ ยเรเดียนใหเ้ ปน็ องศาและเปลี่ยนองศาให้เปน็ เรเดยี น

เรเดยี น องศา องศา เรเดียน

2 2 × 180 = 360 15 15 ×  = 
180 12
11 11
6 6 × 180 = 330 18 18 ×  = 
180 10

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรอื่ ง ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 42

ตัวอยา่ ง จงหาค่าของฟังกช์ นั ตรโี กณมิตขิ องมุม 120o = sin 60o = 3
วิธีทา เน่ืองจาก 120o = ( 180o – 60o ) 2
- cos 60o = 1
sin 120o = sin ( 180o – 60o ) -tan 60o = 2
-cot 60o = 3
cos 120o = cos ( 180o – 60o ) = -sec 60o =
tan 120o = tan ( 180o – 60o ) = cosec 60o = 1
cot 120o = cot ( 180o – 60o ) = 3
sec 120o = sec ( 180o – 60o ) = –2
cosec 120o = cosec ( 180o – 60o ) =
3
3.7 ฟังก์ตรีโกณมิติของมมุ ของรูปสามเหล่ียม 2

พจิ ารณาฟงั ก์ชันตรโี กณมิติของมุมของรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉาก

B

Y

D

A X

(-1, 0) 0 E F C

ให้ ABC เป็นสามเหลยี่ ม ซ่ึงมี ACˆ B เปน็ มุมฉาก ดังน้ัน BAˆ C  90o

ให้ a, b, c เปน็ ตามยาวของด้านตรงข้ามมุม A , B และ C ตามลาดบั ของรูปสามเหลยี่ ม ABC

ให้ BAˆ C อยู่ในตาแหน่ งมาตรฐานดังรูป สว่ นโคง้ ของวงกลมหนึ่งหน่วยท่รี องรบั มุม A คือสว่ นโค้ง FD

ดังน้ัน sin A = sin (ความยาวสว่ นโค้งของ FD) = DE

cos A = cos (ความยาวสว่ นโคง้ ของ FD) = AE

เน่อื งจาก รูปสามเหลย่ี ม ADE และรปู สามเหล่ยี ม ABC เปน็ รปู สามเหลย่ี มคล้าย

ดงั นนั้ DE = BC และ AE = AC
AD AB AD AB

แต่ AD = 1

ดังน้ัน DE = BC = a และ AE = AC = b
AB c AB c

นัน่ คือ sin A = a , cos A = b
c c

เอกสารประกอบการเรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เรอ่ื ง ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ (Trigonometric function) หน้า 43

a

และ tan A = sin A = c = a
cos A b b

กาหนดสามเหลย่ี ม ABC ซ่งึ มี Cˆ เป็นมุมฉาก ดงั รูป c

จากรปู สรุปได้ดงั นี้
a b
sin A = c sin B = c

c cos A = b cos B = a
และ จากรปู b c c
a a b
tan A = b tan B = a

cot A = b cot B = a
a b
A + B = 90o ( ขนาดของมุมภายในรูปสามเหลย่ี มรวมกันเทา่ กบั 180o )
B = 90o – A หรือ A = 90o – B

จาก sin A = cos B จาก cos A = sin B
ดังนนั้ sin A = cos (90o – A) ดงั นน้ั cos A = sin (90o – B)

จาก tan A = cot B จาก cot A = tan B
ดงั นน้ั tan A = cot (90o – A) ดังน้ัน cot A = tan (90o – A)

ตัวอยา่ ง จงเขยี นฟังกช์ นั ตรโี กณของมุมขนาด  โดยที่ 0 <  < 90o
1) sin 200o = sin (180o + 20o) 2) cos 200o = cos (180o + 20o)
= - sin 20o = - cos 20o

เอกสารประกอบการเรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรือ่ ง ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หน้า 44

แบบฝกึ หัดท่ี 4

1. มมุ ท่วี ัดเป็นเรเดียนต่อไปนี้ แต่ละมุมกางกอี่ งศา 2) 3 = ……………………………………………..องศา
1) 2 = ……………………………………………..องศา
4
3
4) 5 = ……………………………………………..องศา
3) 4 = ……………………………………………..องศา
6
3
6) 7 = ……………………………………………..องศา
5) 5 = ……………………………………………..องศา
6
3
8) 11 = ……………………………………………..องศา
7)  2 = ……………………………………………..องศา
6
3
10)  9 = ……………………………………………..องศา
9)  5 = ……………………………………………..องศา
4
3
12)  = ……………………………………………..องศา
11)  = ……………………………………………..องศา
12
15

2. มมุ ทเี่ ปน็ องศาต่อไปน้ี แตล่ ะมุมกางกี่เรเดยี น
1) 120 = …………………………………………….. 2) 150 = ……………………………………………..

3) 240 = …………………………………………….. 4) 300 = ……………………………………………..

5) 420 = …………………………………………….. 6) 225 = ……………………………………………..

7) 135 = …………………………………………….. 8) 330 = ……………………………………………..

9) 150 = …………………………………………….. 10) 390 = ……………………………………………..

11) 1125 = …………………………………………….. 12) 780 = ……………………………………………..

3. จงหาคา่ ของ
1) tan2 45 sin 60 tan 30 tan 60
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2) tan2 60  4cos2 45  3sec2 30
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3) 1 cosec2 60  sec2 45  2cot2 60

2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4) tan2 30  2sin 60  tan 45  tan 60  cot2 30
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5) 3tan2 30  4 cos2 30  1 sec2 45  1 sin2 60

3 23

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรียนชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 5

เร่อื ง ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หน้า 45

6) cos 60  tan2 45  4 tan2 60  cot2 30  sin 30

3

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

7) 1 sin2 60  1 sec 60 tan2 30  4 sin2 45 tan2 60
22 3

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

8) 1 cos90  cosec30  sec 60

2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

9) 2sin 30  1 sec 60  tan 45

2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
10) cot2 30  4cos2 45  3sec2 30  tan 45
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. จงหาคา่ ของ
1) sin120 = ………………………………………………….. 2) cos135 = ………………………………………………….
3) tan150 = …………………………………………………. 4) cosec240 = ………………………………………………
5) sec210 = ………………………………………………….. 6) cot 225 = ………………………………………………….
7) sin330 = …………………………………………………. 8) cos300 = ………………………………………………….
9) tan315 = …………………………………………………. 10) cosec420 = ……………………………………………
11) sec390 = …………………………………………………. 12) tan 405 = ………………………………………………….

13) sin120 = …………………………………………… 14) cos135  = ……………………………………………

15) tan150 = …………………………………………… 16) cosec240 = ……………………………………….

17) sec225  = …………………………………………… 18) cot 210  = ……………………………………………

19) sin300 = …………………………………………… 20) cos315  = ……………………………………………

21) tan330 = …………………………………………… 22) cosec420 = ……………………………………….

23) sec405  = …………………………………………… 24) cot 390  = ……………………………………………

5. จงหาคา่ ของ
1) sin150 cos 240  4 tan 225 cot 405
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
2) sin120  cos 210  tan 780  cot 330
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรียนชน้ั มัธยมศึกษาปีที่ 5

เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 46

3) cosec330 sec300  sin 750 cos300
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4) tan1125  1 sec780   cot 405 
2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5) sin 390   cos420   tan 300   cot 390   sec 225  cosec 405

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.8 การอ่านค่าฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

หนว่ ยในการวัดมุมที่รจู้ ักกนั ดี คือ องศา   และแบ่งย่อยหน่วยองศาออกเปน็ หน่วยย่อย คือ ลปิ ดา a

และ ฟลิ ปิ ดา a ดังน้ี

1 มุมฉาก  90
1  60 (ลิปดา)
1  90 (ฟิลปิ ดา)

การอา่ นคา่ จากตารางค่าฟงั ก์ชันตรโี กณมิติทาได้ดงั น้ี
ถ้าจะอ่านค่าของมุม จาก 0 องศา ถงึ 45 องศา หรอื คา่ จานวนจรงิ 0 ถงึ  ให้อา่ นทางซ้ายมือของตาราง

4

โดยอา่ นจากบนลงล่าง แตถ่ ้าจะอ่านมุมต้ังแต่ 45 องศา ถึง 90 องศา หรือค่าจานวนจรงิ  ถงึ  ให้อ่าน

42

ทางขวามือของตาราง โดยอา่ นจากลา่ งขน้ึ บน

ตัวอยา่ ง tan 22 40  0.4176
sin 66o20  0.9159

ตารางค่าฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

Degrees Radians sin cos tan cot sec cosec 1.2043 69° 00′
21° 00′ 0.3665 0.3584 0.9336 0.3839 2.6051 1.0711 2.7904 68°
1.2188 67° 50
10 0.3694 0.3611 0.9325 0.3872 2.5826 1.0723 2.7695 1.2159 40
20 0.3723 0.3638 0.9315 0.3906 2.5605 1.0736 2.7488 1.2130 30
30 0.3752 0.3665 0.9304 0.3939 2.5386 1.0748 2.7285 1.2101 20
40 0.3782 0.3692 0.9293 0.3973 2.5172 1.0760 2.7085 1.2072 10
50 0.3811 0.3719 0.9283 0.4006 2.4960 1.0773 2.6888 1.1868 00′
22° 00′ 0.3840 0.3746 0.9272 0.4040 2.4751 1.0785 2.6695
1.2014 50
10 0.3869 0.3773 0.9261 0.4074 2.4545 1.0798 2.6504 1.1985 40
20 0.3898 0.3800 0.9250 0.4108 2.4342 1.0811 2.6316 1.1956 30
30 0.3927 0.3827 0.9239 0.4142 2.4142 1.0824 2.6131 1.1926 20
40 0.3956 0.3854 0.9228 0.4176 2.3945 1.0837 2.5949 1.1897 10
50 0.3985 0.3881 0.9216 0.4210 2.3750 1.0850 2.5770 1.1694 00′
23° 00′ 0.4014 0.3907 0.9205 0.4245 2.3559 1.0864 2.5593

เอกสารประกอบการเรยี นชนั้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรอื่ ง ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 47

10 0.4043 0.3934 0.9194 0.4279 2.3369 1.0877 2.5419 1.1839 50
20 0.4072 0.3961 0.9182 0.4314 2.3183 1.0891 2.5247 1.1810 40
30 0.4102 0.3987 0.9171 0.4348 2.2998 1.0904 2.5078 1.1781 30
40 0.4131 0.4014 0.9159 0.4383 2.2817 1.0918 2.4912 1.1752 20
50 0.4160 0.4041 0.9147 0.4417 2.2637 1.0932 2.4748 1.1723 10
24° 00′ 0.4189 0.4067 0.9135 0.4452 2.2460 1.0946 2.4586 1.1519 66° 00′

10 0.4218 0.4094 0.9124 0.4487 2.2286 1.0961 2.4426 1.1665 50
20 0.4247 0.4120 0.9112 0.4522 2.2113 1.0975 2.4269 1.1636 40
30 0.4276 0.4147 0.9100 0.4557 2.1943 1.0989 2.4114 1.1606 30
40 0.4305 0.4173 0.9088 0.4592 2.1775 1.1004 2.3961 1.1577 20
50 0.4334 0.4200 0.9075 0.4628 2.1609 1.1019 2.3811 1.1548 10
25° 00′ 0.4363 0.4226 0.9063 0.4663 2.1445 1.1034 2.3662 1.1345 65° 00′

10 0.4392 0.4253 0.9051 0.4699 2.1283 1.1049 2.3515 1.1490 50
20 0.4422 0.4279 0.9038 0.4734 2.1123 1.1064 2.3371 1.1461 40
30 0.4451 0.4305 0.9026 0.4770 2.0965 1.1079 2.3228 1.1432 30
40 0.4480 0.4331 0.9013 0.4806 2.0809 1.1095 2.3088 1.1403 20
50 0.4509 0.4358 0.9001 0.4841 2.0655 1.1110 2.2949 1.1374 10
26° 00′ 0.4538 0.4384 0.8988 0.4877 2.0503 1.1126 2.2812 1.1170 64° 00′

10 0.4567 0.4410 0.8975 0.4913 2.0353 1.1142 2.2677 1.1316 50
20 0.4596 0.4436 0.8962 0.4950 2.0204 1.1158 2.2543 1.1286 40
30 0.4625 0.4462 0.8949 0.4986 2.0057 1.1174 2.2412 1.1257 30
40 0.4654 0.4488 0.8936 0.5022 1.9912 1.1190 2.2282 1.1228 20
50 0.4683 0.4514 0.8923 0.5059 1.9768 1.1207 2.2153 1.1199 10
27° 00′ 0.4712 0.4540 0.8910 0.5095 1.9626 1.1223 2.2027 1.0996 63° 00′

10 0.4741 0.4566 0.8897 0.5132 1.9486 1.1240 2.1902 1.1141 50
20 0.4771 0.4592 0.8884 0.5169 1.9347 1.1257 2.1779 1.1112 40
30 0.4800 0.4617 0.8870 0.5206 1.9210 1.1274 2.1657 1.1083 30
40 0.4829 0.4643 0.8857 0.5243 1.9074 1.1291 2.1537 1.1054 20
50 0.4858 0.4669 0.8843 0.5280 1.8940 1.1308 2.1418 1.1025 10
28° 00′ 0.4887 0.4695 0.8829 0.5317 1.8807 1.1326 2.1301 1.0821 62° 00′

10 0.4916 0.4720 0.8816 0.5354 1.8676 1.1343 2.1185 1.0966 50
20 0.4945 0.4746 0.8802 0.5392 1.8546 1.1361 2.1070 1.0937 40
30 0.4974 0.4772 0.8788 0.5430 1.8418 1.1379 2.0957 1.0908 30
40 0.5003 0.4797 0.8774 0.5467 1.8291 1.1397 2.0846 1.0879 20
50 0.5032 0.4823 0.8760 0.5505 1.8165 1.1415 2.0736 1.0850 10
29° 00′ 0.5061 0.4848 0.8746 0.5543 1.8040 1.1434 2.0627 1.0647 61° 00′

10 0.5091 0.4874 0.8732 0.5581 1.7917 1.1452 2.0519 1.0792 50
20 0.5120 0.4899 0.8718 0.5619 1.7796 1.1471 2.0413 1.0763 40
30 0.5149 0.4924 0.8704 0.5658 1.7675 1.1490 2.0308 1.0734 30
40 0.5178 0.4950 0.8689 0.5696 1.7556 1.1509 2.0204 1.0705 20
50 0.5207 0.4975 0.8675 0.5735 1.7437 1.1528 2.0101 1.0676 10
30° 00′ 0.5236 0.5000 0.8660 0.5774 1.7321 1.1547 2.0000 1.0472 60° 00′

10 0.5265 0.5025 0.8646 0.5812 1.7205 1.1566 1.9900 1.0617 50
20 0.5294 0.5050 0.8631 0.5851 1.7090 1.1586 1.9801 1.0588 40
30 0.5323 0.5075 0.8616 0.5890 1.6977 1.1606 1.9703 1.0559 30
40 0.5352 0.5100 0.8601 0.5930 1.6864 1.1626 1.9606 1.0530 20
50 0.5381 0.5125 0.8587 0.5969 1.6753 1.1646 1.9511 1.0501 10
31° 00′ 0.5411 0.5150 0.8572 0.6009 1.6643 1.1666 1.9416 1.0297 59° 00′

10 0.5440 0.5175 0.8557 0.6048 1.6534 1.1687 1.9323 1.0443 50
20 0.5469 0.5200 0.8542 0.6088 1.6426 1.1707 1.9230 1.0414 40
30 0.5498 0.5225 0.8526 0.6128 1.6319 1.1728 1.9139 1.0385 30
40 0.5527 0.5250 0.8511 0.6168 1.6212 1.1749 1.9048 1.0356 20
50 0.5556 0.5275 0.8496 0.6208 1.6107 1.1770 1.8959 1.0327 10
32° 00′ 0.5585 0.5299 0.8480 0.6249 1.6003 1.1792 1.8871 1.0123 58° 00′
tan cosec sec Radians Degrees
cos sin cot

ในกรณีท่ีค่าทต่ี ้องการไม่มใี นตาราง จะสามารถหาไดโ้ ดยการเทียบสดั สว่ นกบั ค่าในตาราง ดังตวั อยา่ งต่อไปนี้
ตวั อย่างเช่น cos 47 43

cos 47 50  0.6713

cos 47 40  0.6734

มุมเพ่มิ ข้นึ 10 ค่าของโคไซน์ลดลง 0.0021
ดงั นน้ั มุมเพ่มิ ขึ้น 3 ค่าของโคไซนล์ ดลง 0.00213  0.00063

10

 cos 47 43  0.6734  0.00063  0.6728

เอกสารประกอบการเรียนช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เร่ือง ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หน้า 48

แบบฝึกหัดที่ 5

1. จงหาคา่ ของ (โดยใช้ตาราง)

1) sin15 = ……………………………………… 2) cot 25 = ………………………………………

3) tan 42 = ……………………………………… 4) sin 25 10 = ………………………………………

5) cos36 20 = …………………………………. 6) tan36 30 = ………………………………………

7) sin85 40 = …………………………………. 8) cos78 50= ………………………………………

9) tan58 30 = …………………………………. 10) cot 43 50 = ……………………………………

2. จงหาคา่ ของ (โดยใชต้ าราง)

1) sin 32 15 2) cot 45 25
………………………………………………………………… …………………………………………………………………

………………………………………………………………… …………………………………………………………………

………………………………………………………………… …………………………………………………………………

………………………………………………………………… …………………………………………………………………

3) tan 78 42
…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

…………………………………………………………………

3. จงหาค่า  จากสมการต่อไปน้ี เมอ่ื 0   90 (โดยใช้ตาราง)

1) sin  0.4540 2) cos  0.8480

…………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

3) tan  2.050 4) sin  0.9026

…………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

5) cos  0.5688 6) tan  0.8146

…………………………………………………………………. ………………………………………………………………….

3.9 กราฟของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

กราฟของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ โดยเฉพาะกราฟของฟังก์ชันไซน์และโคไซนเ์ ปน็ กราฟที่มคี วามสาคญั มากทั้ง
ในวิชาคณิตศาสตร์และในวิชาอืน่ ๆ เชน่ ในวชิ าฟสิ ิกส์ ในเร่อื งแสง เสยี ง เป็นต้น ดังน้ันจึงควรศกึ ษาลักษณะการ
เขียนกราฟฟงั กช์ ันทง้ั สองและฟงั ก์ชันอนื่ ๆ ทีเ่ กยี่ วขอ้ ง

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิเปน็ ฟังก์ชันระยะคาบ โดยท่รี ะยะคาบ หมายถึง ช่วงสนั้ ที่สดุ ทกี่ ราฟจะซา้ รูปเดมิ

y = Asin (BX + C) y = tan (BX + C) คาบ =
y = Acos (BX + C) y = cot (BX + C)
y = Asec (BX + C) คาบ =
y = Acosec (BX + C)

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เรอื่ ง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 49

แอมพลิจูด คอื ค่าครึง่ หนึ่งของผลตา่ งระหว่างคา่ สูงสดและคา่ ตา่ สดุ ของฟังก์ชนั ซึ่งหาได้จาก ymax2ymin

วธิ ีหาแอมพลจิ ูด แบบงา่ ยๆ ดังน้ี

y = Asin (BX + C) แอมพลิจูด =
y = Acos (BX + C)

ลักษณะกราฟของฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

y  sin x

Dsin  R

Rsin  1,1

คาบ  2
แอมพลิจดู 1

y  cos x

Dcos  R

Rcos  1,1
คาบ  2
แอมพลจิ ดู 1

y  tan x

Dtan  R    n 
 
 2 

Rtan  R

คาบ  

y  cosec x

Dcosec  R n

Rcosec  R  1,1
คาบ  2

เอกสารประกอบการเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5