คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 3 ค32201 ปีการศึกษา 2563

เร่ือง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หน้า 50

y  sec x

Dsec  R    n 
 
 2 

Rsec  R  1,1
คาบ  2

y  cot x

Dcot  R n

Rcot  R

คาบ  

อยา่ งไรกต็ ามโจทย์มักจะนากราฟมาดดั แปลง โดยอาจจะมีตัวเลขอืน่ คูณ หรือบวกเพ่ิมเข้าไป วิธีวาดกราฟ

แบบดดั แปลง ให้แทนคา่ หาจุดท่ีกราฟผ่านหลาย ๆ จุด เม่ือได้แนวโนม้ ของกราฟแลว้ จงึ วาดกราฟ โดยอิงกบั รปู

พ้นื ฐานทงั้ 6 แบบ

จะเห็นวา่ กราฟ sin กับ cos จะมีค่า y ถูกจากดั ในชว่ งแคบ ๆ ต่างจากกราฟอ่ืนทคี่ ่า y จะมากหรือน้อย

ขนาดไหนกไ็ ด้ ดังนั้นโจทย์ของกราฟ sin กบั cos มักจะให้หาคา่ y มากสุด หรือน้อยสุด ซงึ่ มหี ลกั ดังน้ี

sin จะมากทส่ี ดุ = 1 เมื่อ   2n  
2
3
จะนอ้ ยทส่ี ุด = -1 เมอ่ื   2n  2 เมอ่ื n เปน็ จานวนเต็มอะไรก็ได้

cos จะมากทส่ี ดุ = 1 เมือ่   2n
จะน้อยทส่ี ุด = -1 เมื่อ   (2n1)

ตวั อยา่ ง จงเขยี นกราฟของ y  2sin x

จากตารางสามารถเขยี นกราฟได้ดงั นี้

เอกสารประกอบการเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรอ่ื ง ฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 51

จากกราฟ จะเห็นว่า
กราฟของ y  sin x และ y  2sin x ตัดแกน X ที่จุดเดียวกนั
โดเมนของฟังกช์ ัน y  2sin x คอื เซตของจานวนจรงิ
เรนจข์ องฟงั ก์ชัน y  2sin x คือ 2,2

คาบของกราฟ y  2sin x คอื 2

แอมพลจิ ูดเทา่ กบั 2  2  2

2

ในกรณที ่วั ไป

f : R  R, f (x)  sin(nx);n  0 f : R  R, f (x)  cos(nx);n  0

คาบเทา่ กับ 2 คาบเทา่ กบั 2

n n

แอมพลิจดู เท่ากบั 1 แอมพลจิ ูดเท่ากับ 1
เรนจค์ ือ 1,1 เรนจ์คือ 1,1

f : R  R, f (x)  asin(nx);n, a  0 f : R  R, f (x)  a cos(nx);n, a  0

คาบเทา่ กบั 2 คาบเทา่ กบั 2

n n

แอมพลิจูดเท่ากับ a แอมพลจิ ูดเทา่ กับ a
เรนจค์ ือ a,a เรนจ์คือ a,a

ข้อควรสังเกต เก่ียวกับโดเมนของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิ
โดเมนของฟงั กช์ ัน sine และ cosine คือ เซตของจานวนจริง

โดเมนของฟงั กช์ นั tangent  x R, x  n   ,n I 
โดเมนของฟงั กช์ นั cosecant x 2 
 

x x  R, x  n , n  I

โดเมนของฟังกช์ นั secant  x R, x  n   ,n I 
โดเมนของฟังก์ชนั cotangent x 2 
 

x x  R, x  n , n  I

เอกสารประกอบการเรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เรื่อง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หน้า 52

แบบฝึกหดั ท่ี 6

1. จงหาแอมพลจิ ดู และคาบของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ติ ่อไปนี้

1) y  1 sin แอมพลจิ ดู ……………………… คาบ……………………
แอมพลิจูด……………………… คาบ……………………
2

2) y  3sin

3) y  3sin 1  แอมพลจิ ูด……………………… คาบ……………………
แอมพลจิ ูด……………………… คาบ……………………
2

4) y  4cos3

5) y   1 sin 4 แอมพลิจูด……………………… คาบ……………………

2

6) y  2cos 1  แอมพลจิ ูด……………………… คาบ……………………
แอมพลิจูด……………………… คาบ……………………
2 แอมพลิจดู ……………………… คาบ……………………

7) y  1 sin 2(x  )

43

8) y  2cos 4(x  )  3

3

2. จงเขียนกราฟของฟังก์ชนั ต่อไปนี้

1) y  cos 2x 2) y  sin x

xx

y  cos 2x

3) y  sin 2x 4) y  2sin x
5) y  tan x 6) y  tan 2x

2

เอกสารประกอบการเรียนชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เร่อื ง ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 53

7) y  cos x 8) y  1 cos x

2

3. จงเขียนกราฟของ y  sin x และ y  cos x ลงบนแกนมุมฉากเดยี วกัน

4. จงหาสมการจากกราฟที่กาหนดให้ตอ่ ไปนี้

………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………..

3.10 ฟังกช์ ันตรโี กณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรือมุม

สูตรของฟงั ก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจริงหรอื มมุ ถา้ A, B เป็นจานวนหรือมุม
ที่ทาให้ฟังกช์ ันตรีโกณมิตติ ่อไปนม้ี คี า่ แลว้

1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B
2. sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B
4. cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
5. tan (A + B) =
6. tan (A – B) =
7. cot (A + B) =
8. cot (A – B) =

เอกสารประกอบการเรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เร่ือง ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 54

แบบฝกึ หดั ที่ 6

1. จงหาค่าของ 2) cos 75
1) sin 15 …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3) sin 7  4)cos 
12  12

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
5) tan 105
6) cot 
………………………………………………………………………… 12
…………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
7) sin 75  8) sec 75
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
3 4
2. กาหนด A และ B เป็นมุมแหลม ถา้ sinA  5 , sinB  5 จงหา

1) sin(A + B) 4) sin(A – B)

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3) cos(A + B) 4) cos(A – B)

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5

เรือ่ ง ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 55

3. ถา้ sin A = 4 เมอ่ื  < A < และ sinB =  2 เม่อื  < B < 3 แล้ว จงหาค่าของ
5
5 2 2

1) cos A 2) cos B

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
3) sin(A + B) 4) cos(A + B)

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
5) tan(A – B) 6) tan(A + B)

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
4. จงหาค่าของ
1) sin20 cos25 + cos20 sin25  2) sin 6 cos   cos  sin 
3 6 3

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3) cos105 cos60 + sin105 sin60 …………………………………………………………………………

4) tan15  tan15
1tan15 tan15

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
5) cos25 cos20 – sin25 sin20  6) sin(60  )cos(30  )  cos(60  )sin(30  )
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เร่อื ง ฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หน้า 56

3.11 ฟังก์ชันตรโี กณมิติของสองเทา่ สามเท่า และคร่ึงหนึ่งของจานวนจริงหรือมุม

1. เอกลกั ษณ์ของสองเทา่ ของมุม (2A) 2. ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิตขิ องสามเทา่ ของจานวนจริงหรือมุม
sin2A = 2sinAcosA sin3A = 3sinA – 4sin3A
cos3A = 4cos3A – 3cosA
= tan3A =

cos2A = cos2A - sin2A cot3A =
= 2cos2A – 1
= 1 – 2sin2A 3. ฟังกช์ ันตรีโกณมิตขิ องคร่ึงหน่งึ ของจานวนจริงหรอื มุม
sin =
= cos =
tan =
tan2A =

cot2A =

ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งผลบวก ผลต่าง และผลคณู ของฟังก์ชันตรโี กณมิติ
การเปล่ียนฟังก์ชนั ผลคูณใหเ้ ป็นผลบวก ผลต่าง
ให้ A และ B เป็นจานวนจรงิ หรอื มุมใด ๆ แล้ว
1. 2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A – B)

2. 2 cos A sin B = sin(A + B) – sin(A – B)

3. 2 cos A cos B = cos (A + B) + cos (A – B)

4. –2 sin A sin B = cos (A + B) – cos (A – B)

การเปลย่ี นฟงั ก์ชันผลบวกหรอื ผลตา่ งใหเ้ ปน็ ฟังก์ชันผลคูณ

ให้ A และ B เป็นจานวนจริงหรือมุมใด ๆ แลว้

1. sinA + sin B = 2sin AB cos A B 
2 2

2cos A B sin A B 
2 2
2. sinA – sin B =

2cos A B cos A B 
2 2
3. cosA + cosB =

2 sin AB sin A B 
2 2
4. cosA – cosB =

เอกสารประกอบการเรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เรอื่ ง ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 57

แบบฝึกหดั ท่ี 7

1. กาหนด tanA  3 และ 0  A  90 จงหาคา่ ของ
4
1) sin2A 2) cos2A

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
3) tan2A 4) cot2A

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

2. ถ้า sin x   1 และ   x  3 จงหาค่าของ cos 2x , sin 2x และ sin 4x
4 2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3. จงหาคา่ ของ cos22.5และ sin22.5
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

4. กาหนด cos A  3 , และ 3 A  2 จงหาค่าของ
5 2

1) sin3A 2) cos3A

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เรือ่ ง ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 58

3) tan3A 4) cot3A

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
2) 2 sin 45 cos 15
…………………………………………………………………………
5. จงหาคา่ ของ …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
1) 2 sin 75 sin 15  …………………………………………………………………………
4) 2 cos 135 sin 45
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
3) 2 cos 105 cos 15 …………………………………………………………………………
6) sin 45 sin 15
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
5) cos 45 cos 15  …………………………………………………………………………
8) 2cos 70 sin 20 + sin 50
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
7) 2cos 50 cos 70 – cos 20 …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

6. จงหาคา่ ของ 2) sin78 – sin18 + cos132

1) cos10 + cos110 – sin140

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

5) sin75  sin15 6) cos 20  cos 70
cos 75  cos15 s in70  s in20

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรือ่ ง ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หน้า 59

3.12 ตวั ผกผนั ของฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ

ตวั ผกผันของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติไมเ่ ป็นฟงั ก์ชนั แต่เมื่อเราจากัดโดเมนของฟงั กช์ นั เพอ่ื ให้เป็นฟงั ก์ชัน
1-1 แลว้ จะเรยี กตวั ผกผันของฟงั ก์ชนั วา่ ฟังกช์ นั ผกผัน เช่น y = sin x มีตวั ผกผนั ของฟงั ก์ชนั คือ x = sin
y เมอ่ื จากัดโดเมนของฟังกช์ ันเป็นฟงั ก์ชัน 1-1 แลว้ x = sin y นยิ มเขียนเปน็ y = arcsin x และฟงั ก์ชัน
ตรโี กณมิติอนื่ ๆ กส็ ามารถเขียนไดใ้ นทานองเดียวกนั

เราจากัดโดเมนของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตเิ พ่อื ให้ไดต้ วั ผกผนั เป็นฟังก์ชนั ดังน้ี

ฟังกช์ ัน โดเมน เรนจ์
y = sin x
  ,  1 , 1
y = arcsin x  2 
y = cos x  2    , 
y = arcos x  2
y = tan x 1 , 1  2 

y = arctan x
y = cot x 0 ,  1 , 1
y = arcot x
y = sec x 1 , 1 0 , 

y = arcsec x   ,  R
y = cosec x  2 
 2    , 
y = arccosec x  2 
R  2 

0 ,  R

R 0 , 

0 ,      ,   ,1  1, 
2   2
    0 ,    , 
2  2
 ,1  1,    

  , 0    0 ,   ,1  1, 
 2   
  2      
 2 , 0    0 ,
 ,1  1,   2 
 

แบบฝึกหัดที่ 8

1. จงหาค่าของ

1) arcsin 3 2) arcsin 0
2
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เรื่อง ฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หน้า 60

3) arccos 3 4) arccos 1
2 2

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

5) arccos (1) 6) arcsin  2 
2

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

7) arctan 3 8) arctan 3 
3

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
2. จงหาคา่ ของ

1) arcsin  cos  2) arccos  sin  
   2 
 4   

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3) arctan  tan   4) arccot  tan  
 3   6 
   

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5

เร่อื ง ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 61

5) arcsec  tan   6) arccos ec co t 3 
 4  4 
   

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

7) tan  arcsin 3 8) sec  arccos 1
   
 2   2 

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
9) sin arctan(1) 10) cos arccot( 3)

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
3. จงหาคา่ ของ

1) sin  arc cos 2 2) cosec  arcco s 1
   
 3   3 

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

 3) tanarcsin cos    4) tanarccos sin  
6  6 

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นชน้ั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เรอื่ ง ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 62

4. จงหาคา่ หลกั ในแต่ละข้อต่อไปนี้ 2) arccos (-1) = …………………………..
4) arccos 0 = …………………………..
1) arcsin 0 = ………………………….. 6) arctan (-1) = …………………………..
8) arcsec 2 = …………………………..
3) arctan 3 = ………………………….. 10) arccot 0 = …………………………..
12) arccsc (-2) = …………………………..
5) arcsin (-1) = …………………………..

7) arccot 3 = …………………………..

9) arccsc ( 2) = …………………………..

11) arcsec ( 2) = …………………………..

3.13 เอกลักษณ์

การพิสูจนเ์ อกลกั ษณ์ เปน็ การแสดงให้เห็นว่าท้งั สองขา้ งของสมการเทา่ กันจรงิ โดยใช้ความสมั พันธต์ า่ ง ๆ

ระหวา่ งฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ เอกลกั ษณ์ที่พิสจู น์แลว้ สามารถนาไปอา้ งองิ ในการพิสูจน์เอกลกั ษณ์อืน่ ๆ ได้

1. cos2   sin2  1 2. sec2  tan2  1
3. cosec2  cot2  1 sin
4. tan  cos

5. sincosec 1 6. cossec 1
7. tancot 1 cos
8. cot   sin

3.14 สมการตรโี กณมติ ิ

สมการตรีโกณมติ ิ คือ สมการทมี่ ีฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิอยู่ในสมการ โดยปกติแลว้ สมการตรีโกณมติ ิมักจะมหี ลาย
คาตอบ เนื่องจาก

sin (และ cosec) ใชค้ า่ จากแกน Y
ดงั นั้น “มมุ สะท้อนแกน Y ” จะมคี า่ sin เท่ากนั เสมอ
เช่น sin30  sin150 เป็นต้น
จากรูป สตู รหามมุ สะท้อนแกน Y ของ  คือ คู่   และ ค่ี  

cos (และ sec) ใชค้ า่ จากแกน X
ดงั น้ัน “มมุ สะท้อนแกน X ” จะมคี า่ cos เทา่ กนั เสมอ
เช่น cos30  cos(30) เปน็ ตน้
จากรูป สตู รหามมุ สะท้อนแกน X ของ  คือ 2n  และ 2n

tan (และ cot) ใชค้ า่ จากแกน Y หารแกน X
ดงั นั้น “มุมสะท้อน 2 แกน ” จะมีคา่ tan เท่ากนั เสมอ
เชน่ tan30  tan210 เป็นต้น
จากรปู สูตรหามมุ สะทอ้ น 2 แกนของ  คือ n 

ในการแกส้ มการตรโี กณ เราจะหา “คาตอบพื้นฐาน” ท่ีตวั เลขน้อย ๆ ออกมาก่อน
sin , tan , cosec คาตอบพ้ืนฐานจะอยใู่ นช่วง 90 ถงึ 90

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีที่ 5

เรือ่ ง ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 63

cos , cot , sec คาตอบพื้นฐานจะอยู่ในช่วง 0 ถึง 180
จากน้นั นาคาตอบพืน้ ฐานทไี่ ด้ มาสะท้อนหาคาตอบทเ่ี หลอื ในช่วงมุมทีโ่ จทยต์ ้องการ

แบบฝกึ หดั ที่ 9

1. จงพิสูจนเ์ อกลักษณ์ต่อไปนี้ 2) seccot  cosec
1) sinsec  tan

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
4) cot2 cos2   cot2cos2 
…………………………………………………………………………
3) cos (tan  cot) csc

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
6) (cos  sin)2  (cos  sin)2  2
5) sectansin  cos

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

7) 1sin   (sec  tan)2 8) 1sec   csc 
1sin  sin  ta n 

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………

2. กาหนดให้ x 0,2 จงแกส้ มการตอ่ ไปนี้

1) sinx  1 2) cos x  1
2 2

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3) tanx 1 4) cotx   3
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

เรอื่ ง ฟังกช์ ันตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หน้า 64

5) cos2x 1 6) sinx co s x  1
2
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………
2. จงแกส้ มการทก่ี าหนดให้ในแตล่ ะข้อ เมื่อ 0  x   …………………………………………………………………………
1) 4cos2 x 1
…………………………………………………………………………

2) sin2 x  2cosx 2  0

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3) 4cotx  3 cosec2x 4) 2sinx cosx  sinx  0

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3. จงหาค่า x จาก sin2 x  cosx 1 0 เม่ือ 0  x  3
2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงแก้สมการทก่ี าหนดให้ เมอื่ 0  x  360 2) 2sinxtanx  2sinx  tanx  1 0
1) 5tan2 x  sec2x 11
…………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นชน้ั มัธยมศึกษาปที ่ี 5

เรอ่ื ง ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หน้า 65

3.15 ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิกบั สามเหล่ยี มในระนาบ

1. ขอ้ ตกลงเก่ียวกับสัญลกั ษณ์และความหมายของรูปสามเหลย่ี ม ABC

CC

C

ba

AA BB A c B

จากรูป 1. A, B และ C แทนมุมของรปู สามเหลยี่ ม ABC

2. a, b และ c แทนด้านของรูปสามเหลย่ี ม ABC โดยทด่ี ้าน a ตรงขา้ มมุม A ดา้ น b ตรงข้าม

มมุ B และดา้ น c ตรงขา้ มมุม C

2. การแก้สมการโดยตรโี กณมิติ
การแก้สามเหลยี่ ม หมายถึง กระบวนการคานวณหาคา่ ทเ่ี ปน็ ด้านหรอื มุมท่ยี งั ไม่ทราบของรูปสามเหล่ยี มใดๆ

ในการแกส้ ามเหลี่ยมเราอาจจะตอ้ งอาศัยกฎดงั ต่อไปนี้

3. กฎของไซน์และโคไซน์
1) กฎของไซน์ (The Law of Sine)
ในรปู สามเหลีย่ ม ABC ใด ๆ ถ้า a, b และ c เป็นความยาวของดา้ นตรงข้ามมุม A , B และ C ตามลาดับ

แลว้ จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ ดงั น้ี
พ้ืนทขี่ องรปู สามเหล่ียม ABC

==

หรือ = =

2) กฎของโคไซน์ (The Law of Cosine) 2. เราอาจมองให้อยู่ในรูปแบบใหมไ่ ด้ ดงั นี้
1. ในรปู สามเหล่ียม ABC ใด ๆ ถา้ a, b และ c
=
เป็นความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ A, B และ C ตามลาดับ =
แล้วจะไดค้ วามสัมพนั ธด์ ังน้ี =

เอกสารประกอบการเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรอ่ื ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric function) หน้า 66

แบบฝึกหดั ท่ี 10

1. ในสามเหล่ียม ABC รูปหน่ึงมี a = 7 , b = 5 และ c = 3 จงหามมุ ที่ใหญ่ทส่ี ุด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2. กาหนดให้รูปสามเหลย่ี ม ABC มีดา้ นตรงขา้ มมมุ A, B และ C ยาว a, b และ c หน่วย ตามลาดบั
1) a = 5 , c = 8 และ B = 60 จงหา b
2) a = 13 , b = 15 , c = 7 จงหา A

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………

3. จากรปู สามเหลี่ยม ABC มดี ้าน b = 75, c = 150 และ B = 30 จงหามมุ A และ C

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. กาหนดสามเหล่ยี ม ABC รูปหนึ่งมี A = 22.5 , B = 45  และ b = 220 หนว่ ย จงหาพ้นื ท่ขี องสามเหลย่ี ม ABC

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

5. a = 5 จากรูปทกี่ าหนดให้ จงหาขนาดของมุม A, B และ C
c=5

b=
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

เอกสารประกอบการเรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรื่อง ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ (Trigonometric function) หนา้ 67

6. จงหาความยาวของเสน้ รอบรปู ของรปู สามเหลย่ี มหนา้ จ่ัว ซ่ึงมีฐานยาว 6 3 และมขี นาดของมุมยอดเท่ากับ 120
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3.15 การหาระยะทางและความสูง

ในการวดั ระยะทางและความสูงของสง่ิ ใด เราสามารถใช้ความรเู้ รื่องฟังก์ชันตรีโกณมิตแิ ละรูปสามเหล่ยี ม
รวมทง้ั กฎของไซนแ์ ละโคไซน์มาช่วยในการคานวณได้

มมุ ก้ม คือ มุมท่ลี ดลงจากระดับสายตาเพื่อมองไปยังวตั ถุ มมุ เงย คือ มุมที่ยกขนึ้ จากระดบั สายตาไปยงั
วัตถุ

แบบฝกึ หัดที่ 11

1. จงหาคา่ x และ y …………………………………………………………………………………………………
1) ………………………………………………………..………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
2) ………………..………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………..……………………
………………………………………………………………………………………………...

…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………..………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………..………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………..……………………
……………………………………………………………………………………………….

เอกสารประกอบการเรยี นชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 5

เร่ือง ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ (Trigonometric function) หนา้ 68

2. ชตุ ิมายืนอยหู่ า่ งจากตึกหลังหนึง่ 18 เมตร มองเห็นยอดตึกและเสาอากาศซึ่งอย่บู นยอดตกึ เป็นมุมเงย 30 
และ 60  ตามลาดับ แล้วจงหาความสูงของเสาอากาศ

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3. เรอื สองลาทอดสมออยูห่ ่างกนั 60 เมตร และอยใู่ นแนวเสน้ ตรงเดียวกับประภาคาร ลูกเรอื ในเรือแต่ละลา
มองเห็นยอดประภาคารเปน็ มุมเงย 45  และ 30 จงหาว่าเรือลาท่อี ยู่ใกล้ประภาคารอยู่ห่างจากประภาคาร
เท่าไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
4. มาลียืนอยู่ทางทศิ ตะวันออกของตึกหลังหน่งึ มองเหน็ ยอดตึกเป็นมุมเงย 45  จากจดุ น้ีมาลเี ดินไปทางทศิ ใต้
เป็นระยะ 200 เมตร จะมองเหน็ ฐานตึกเป็นยอดมุมเงย 30 ความสงู ของตึกเทา่ กับกเ่ี มตร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

NOTE

เอกสารประกอบการเรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เรอื่ ง จานวนเชงิ ซ้อน (Complex Numbers) หน้า 69

4. จานวนเชงิ ซ้อน

4.1 จานวนจินตภาพ (Imaginary Numbers)

ถา้ x เปน็ จานวนจรงิ และ x < 0 แล้ว เรยี ก x วา่ “จานวนจนิ ตภาพ”
เช่น 1 , 2 , 3 , 4
เรียก 1 วา่ “หนงึ่ หนว่ ยจนิ ตภาพ” เขยี นแทนด้วย i
นน่ั คือ 1 = i
2 = 2 i

3 = 3 i

4 = 4 i = 2i

บทนิยาม ถ้า a เปน็ จานวนจรงิ บวก แลว้

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงเขยี นจานวนตอ่ ไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรปู หนงึ่ หนว่ ยจนิ ตภาพ

1) 5 = ................................. 2) 9 = .................................
3) 8 = ................................. = .................................
= ................................. 4) 10
= .................................
5) 16 = ................................. 6) 1
2

7) 1 8) 27 = .................................
4

4.2 จานวนเชิงซ้อน

พจิ ารณาสมการ
x2  1 = 0
x2 = -1

จะเห็นวา่ ในระบบจานวนจรงิ จะไม่มีจานวนจริงใดเปน็ คาตอบ เพราะวา่ จานวนจรงิ ใดก็ตามเมื่อยกกาลังสอง
แล้วยอ่ มมีค่ามากกว่าหรอื เทา่ กบั ศนู ย์ ด้วยเหตนุ ี้นกั คณิตศาสตร์จงึ สรา้ งระบบจานวนข้ึนใหม่เพ่ือให้สมการที่มลี ักษณะ
ดงั กลา่ วมีคาตอบ ซ่งึ เรียกจานวนทีส่ ร้างใหมน่ ้วี า่ จานวนเชิงซ้อน (Complex number)

บทนิยาม สาหรับจานวนเชงิ ซอ้ น z = (a, b) เมื่อ a และ b เปน็ จานวนจริง
เรียก a วา่ สว่ นจรงิ (real part) ของ z เขยี นแทนดว้ ย Re(z)
เรียก b ว่าส่วนจนิ ตภาพ (imaginary part) ของ z เขียนแทนด้วย Im(z)

น่ันคือ a + bi = (a , b)
ถ้า a = 0 เรยี ก bi ว่า จานวนจนิ ตภาพแท้
ถา้ b = o เรียก a ว่า จานวนจริง
นน่ั คอื เซตของจานวนจริงเปน็ สบั เซตของเซตของจานวนเชิงซ้อน

เอกสารประกอบการเรียนชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เร่ือง จานวนเชงิ ซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 70

 จานวนเชงิ ซ้อน (0 , 1) เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ 1 หรือ i ซ่ึงเรยี กว่า หนว่ ยจินตภาพ (imaginary unit)
จาก i = 1 จะได้ i2 = ( 1)2
= ( 1)( 1) = –1
i3 = i2  i
i4 = i2  i2 = 1 i = –i

= (1) (1) = 1

NOTE คา่ ของ เม่ือ n เป็นจานวนเตม็ บวก

ถา้ 4 ไปหาร n ลงตวั จะได้ =1
=i
ถา้ 4 ไปหาร n เหลือเศษ 1 จะได้ = -1
= -i
ถ้า 4 ไปหาร n เหลือเศษ 2 จะได้

ถ้า 4 ไปหาร n เหลือเศษ 2 จะได้

ตวั อย่างที่ 2 จงหาคา่ ของ
1) i5 = ................................. 2) i6
3) i29 4) i80 = .................................
= ................................. = .................................

แบบฝึกหัดท่ี 1

1. จงหาคา่ ของ = ................................. 2) i10 = .................................
1) i9 = ................................. 4) i12 = .................................
3) i11 = ................................. 6) i75 = .................................
5) i25 = ................................. 8) i850 = .................................
7) i102 = ................................. 10) i5000 = .................................
9) i1250

2. จงหาค่าของ = .......................................................................................................
= .......................................................................................................
1) i  i2  i3  i4 = .......................................................................................................
2) 1 i  i2  i3 ...  i13 = .......................................................................................................
3) i  i2  i3 ...  i2020 = .......................................................................................................
4) i68  i69  i70 ...  i331 = .......................................................................................................
5) i10  i11  i12  i13
6) i  i2  i3  ...  i20

3. จงเขยี นใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย เมอ่ื กาหนด i = 1
1) 16  9
2) 8  2
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนชนั้ มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เร่ือง จานวนเชิงซอ้ น (Complex Numbers) หน้า 71

3) 3 48  1 27 4) 15
3 5

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

5) 8 125 6) 4 12  5 3

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

4. จงหาคา่ ของ Re(z) และ Im(z) ของจานวนเชงิ ซอ้ น z ต่อไปนี้

จานวนเชงิ ซ้อน สว่ นจรงิ ส่วนจินตภาพ จานวนเชงิ ซ้อน ส่วนจรงิ สว่ นจนิ ตภาพ
(z) Re(z) Re(z) Im(z)
Im(z) (z)
1) 2 + 3i
2) 3 9i

3) 4 + 5i 4)  1 i
2
1 3
5) 2  2 i 6) 2

7) -4 8) a – bi
10) (1i)2
9) 2 2 2 i

5. จงหาจานวนจริง a และ b ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ 2) a b 2abi  512i

1) 2a3bi  4  6i ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… 4) 3a (ab)i  2  i
……………………………………………..............…
3) 2abi  10 ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนชั้นมธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เรือ่ ง จานวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 72

4.3 สมบตั ิพชี คณติ ของจานวนเชงิ ซอ้ น

4.3.1 สมบตั ิพชี คณิตของจานวนเชงิ ซ้อน
กาหนด z1 = a + bi และ z2 = c + di เม่ือ a, b, c และ d เปน็ จานวนจริง
1) การเท่ากนั
z1 = z2 หรือ a + bi = c + di กต็ ่อเม่อื a = c และ b = d
2) การบวก
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
3) การคณู จานวนเชิงซ้อนกับคา่ คงตัว
kz1 = k(a + bi) = ka + kbi เมอื่ k เป็นคา่ คงตวั
4) การคูณจานวนเชิงซ้อนกบั จานวนเชงิ ซอ้ น
z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i

4.3.2 การบวกจานวนเชิงซ้อน
สมบัตทิ ีเ่ ก่ียวข้องกับการบวกของจานวนเชิงซอ้ น

a+bi +c +di = a +c+b+d i
a, b+c, d = a+c, b+d

1) สมบัติปดิ ของการบวก
ถา้ z1 และ z2 เปน็ จานวนเชิงซ้อน แลว้ z1 + z2 เป็นจานวนเชงิ ซ้อน

2) สมบัตกิ ารสลับท่ีของการบวก
ถา้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซอ้ น แล้ว z1 + z2 = z2 + z1

3) สมบัติการเปลีย่ นหมู่ของการบวก
ถา้ z1 , z2 และ z3 เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น แลว้ (z1 + z2) + z3 = z1 + ( z2 + z3)

4) สมบัตกิ ารมีเอกลกั ษณ์ของการบวก
(0 , 0) เป็นเอกลกั ษณก์ ารบวกของจานวนเชงิ ซอ้ น (a , b)
(0 , 0) + (a , b) = (a , b) + (0 , 0) = (a , b)
0 เป็นเอกลักษณ์การบวกของจานวนเชิงซ้อน a + bi
0 + (a + bi) = (a + bi) + 0 = a + bi

5) สมบัติการมตี ัวผกผันของการบวก
(–a , –b) เป็นตวั ผกผันการบวกของจานวนเชิงซ้อน (a , b)
(a , b) + (–a , –b) = (–a , –b) + (a , b) = (0 , 0)
–a – bi เปน็ ตัวผกผันการบวกของจานวนเชิงซอ้ น a + bi
(a + bi) + (–a – bi) = (–a – bi) + (a + bi) = 0

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ 2) (2 , 3) + (5 , –6)
1) (4 + 3i) + (–1 + 2i) ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เร่อื ง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หน้า 73

4.3.3 การลบจานวนเชิงซอ้ น
กาหนด z1 และ z2 เปน็ จานวนเชงิ ซ้อนใด ๆ จะไดว้ ่า z1 – z2 = z1 + (– z2)

abi c di  a c  b di
a, b c, d  a c, b d

“การลบจานวนเชงิ ซ้อน คือ การบวกดว้ ยตัวผกผนั การบวกของจานวนท่นี ามาลบนั่นเอง”

ตวั อย่างที่ 2 จงหาคา่ ของ

1) (4 + 3i) – (–1 + 2i) 2) (2 , 3) – (5 , –6)

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

แบบฝึกหัดท่ี 2

1. จงหาผลลพั ธข์ องจานวนตอ่ ไปนี้
1) 3  4i 5 2i = ...........................................................................................................
2) 4  5i 3 6i = ...........................................................................................................
3) 56i 3 4i = ...........................................................................................................
4) 2, 3 5, 6 = ...........................................................................................................
5) 4, 5 5, 6 = ...........................................................................................................
6) 3, 10 5, 4 = ...........................................................................................................
7) 5, 6 5, 6 = ...........................................................................................................
8) 7, 8 7, 8 = ...........................................................................................................
9) 3 7i  3  7i = ...........................................................................................................
10) 56i 112i = ...........................................................................................................
11) 8  4i 9 5i = ...........................................................................................................
12) 7, 3 6, 4 = ...........................................................................................................
13) 2, 8 3, 5 = ...........................................................................................................
14) 3, 4 2, 3 7, 8 = .............................................................................................
15) 5, 4 7, 8 5, 10 = .............................................................................................
16) 12, 4 8, 5 3, 4 = .............................................................................................

2. จงหาจานวนจริง a และ b ทท่ี าให้ (a2i)  (1 2bi)  3 8i
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5

เรือ่ ง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หน้า 74

3. จงทาใหอ้ ยู่ในรูปอยา่ งงา่ ย 2) (6  64 )  (3  25 )
1) (6  64 )  (3  25 )
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
3) (2 49  4 )  (5 81 ) 4) (2 49  4 )  (5 81 )
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
4. จงหาตัวผกผนั การบวกของจานวนเชงิ ซ้อนต่อไปนี้
2) (5 , 6)
1)  2  2 i
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
3) (–1 , –2) 4) 5 + 7i
……………………………………………..............…
5) –1 + 8i ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… 6) ( 3 ,4i)

7) –10i ……………………………………………..............…
1 3
……………………………………………..............… 8) 2  2 i

……………………………………………..............…

4.3.4 การคูณจานวนเชิงซ้อน

abic  di  ac bd  adbci
a, bc, d  ac bd, adbc

สมบัติเก่ียวกับการคูณจานวนเชิงซอ้ น

1) สมบัติปิดของการคณู
ถา้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชงิ ซ้อน แลว้ z1 z2 เป็นจานวนเชิงซ้อน

2) สมบัตกิ ารสลับท่ีของการคูณ
ถา้ z1 และ z2 เป็นจานวนเชงิ ซอ้ น แลว้ z1  z2  z2 z1

3) สมบตั ิการเปลย่ี นหมขู่ องการคณู

ถ้า z1, z2 และ z3 เปน็ จานวนเชงิ ซอ้ น แล้ว z1  z2 z3  z1  z2 z3 

4) สมบตั ิการมเี อกลักษณข์ องการคณู
มจี านวนเชงิ ซ้อน 1 ซ่งึ ทาให้ 1  z  z  1 z
นั่นคือ 1, 0a, b  a, b1, 0  a, b
หรือ 1abi  abi1  a bi

เอกสารประกอบการเรยี นชัน้ มธั ยมศึกษาปีท่ี 5

เรือ่ ง จานวนเชงิ ซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 75

5) สมบตั ิการมตี วั ผกผันของการคูณ
มีจานวนเชิงซ้อน z1 ซ่งึ ทาให้ zz1  z1 z  1

z1  a , b   a  b i
 a2  b2 a2  b2  a2  b2 a2  b2

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ

1) (3 + 4i)(2 + 5i) 2) (6 , 7)(–3 , 5)

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

4.3.5 การหารจานวนเชิงซ้อน

zz21 = a  bi  c  di  z1  z21
c  di
  a  bi  c2  d2

 ac  bd +  bcad  i
c2  d2 c2 d2

“การหารจานวนเชงิ ซ้อน คอื การคณู ดว้ ยตวั ผกผนั ของการคูณของตวั หารนัน่ เอง”

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาคา่ ของ 3  2i
1 5  4i
1) 2  4i 2)

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

แบบฝกึ หัดท่ี 3

1. จงหาผลลัพธ์ของจานวนตอ่ ไปน้ี

1) (–2 , 1)(5 , –6) = ...........................................................................................................

2) (–5 , –8)(2 , 4) = ...........................................................................................................

3) (5 + 2i)(3 – 4i) = ...........................................................................................................

4) (–10 + 2i)(3 + 4i) = ...........................................................................................................

5) (6 + 7i)( –3 – 2i) = ...........................................................................................................

6) (6 – 8i)(6 + 8i) = ...........................................................................................................

เอกสารประกอบการเรยี นชัน้ มัธยมศึกษาปีที่ 5

เร่อื ง จานวนเชงิ ซ้อน (Complex Numbers) หน้า 76

7) (3 , 4)(3 , –4) = ...........................................................................................................

8) (–4 , 8)( –4 , –8) = ...........................................................................................................

9) (5, 3 i)(6 i)(5, 3 i) = ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

10) (2 3  3i)(6 3  5i ) = ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

11) (3 , 0)(0 , 4)(5 , 6) = ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

12) (0 , 5)(0 , 4)(0 , 2) = ...........................................................................................................

13) 2  i2 = ...........................................................................................................
= ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

14) (1 i) 2(2 2i) 2 = ...........................................................................................................

= ...........................................................................................................

2. จงหาตัวผกผันการคูณของจานวนเชิงซอ้ น (z) ตอ่ ไปนี้

1) z  3  i 2) z  3  5i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
4) z = (5 , –7)
3) z  3  2 i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
5) z = (–1 , 8) 6) z  (2 i)2

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
7) z  (2  3i)2  (2 3i)2 8) z  (1 i)4

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรือ่ ง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หน้า 77

3. จงเขยี นผลลพั ธ์ให้อยูใ่ นรปู a + bi เมอื่ a และ b เป็นจานวนจริง
1
1) 2  3i = ............................................................................................................................. ..............

2) 2i = ...........................................................................................................................................
4i

3) 3  2i = ...........................................................................................................................................
2  3i

4) 2  2i = ............................................................................................................................. ..............
4i

5) i = ...................................................................................................................................... .....
2  6i

6) 3i = ...........................................................................................................................................
3i

7) 1  i  1 i = ............................................................................................................................. ....
1  i 1 i

= .................................................................................................................................

8)  1  i 3 = ............................................................................................................................. ....
1  i

= ............................................................................................................................. ....

= .................................................................................................................................

4. กาหนดให้ z1 = 1 + i และ z1 = 2 – i จงหาผลลพั ธต์ ่อไปนี้
1) z11  z21 2) (z1  z2)1

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
3) zz12 4) (z1  z2)1

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปีที่ 5

เรื่อง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หนา้ 78

5. จงเขยี นผลลพั ธ์ให้อย่ใู นรปู a + bi เมือ่ a และ b เป็นจานวนจรงิ
1) (3  2 i)  (4  8 i)
2) – (7 – 5i) – (4 – 5i)

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
3) i2 (4 – 2i)
4)  2 ( 2 i  3 )

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

5) 1 (6  5 i)  5 (3  i) 6) 3i (2i  2 3 )
3 3
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

7) (1i)2(2i)5(13i) 8) i2  10  i 
1i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

9) (2i 1)3 10) 1i
i1  2i
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

6. จงหาจานวนเชงิ ซอ้ น z ทส่ี อดคล้องแตล่ ะสมการในข้อต่อไปน้ี

1) z(1 i)  4 2) 2(4 7i) z  5 2i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เรือ่ ง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หน้า 79

4.3.6 สงั ยุคของจานวนเชงิ ซอ้ น (Conjugte of Complex Number) สังยคุ z

ถ้า z  abi สังยุคของ z คอื z  abi

ถา้ z  a, b สงั ยุคของ z คือ z  a, b

สมบตั ิเกยี่ วกับสงั ยุคของจานวนเชงิ ซ้อน

กาหนด z, z1, และ z2 เปน็ จานวนเชิงซ้อน

1. ถ้า z1 = a + bi แล้ว z = z = a+bi

2. ถา้ z1 และ z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ น

2.1 z1  z2  z1  z2

2.2 z1  z2  z1  z2

2.3 z1 z2  z1 z2

2.4  zz21   z1 เมื่อ z2  0
z2
2.5 z-1 = z-1

3. zz  a bia bi  a2  b2  R

4. Re(z) = 1 (z  z)
2
1
6. Im(z) = 2i (z  z)

7. ถ้า z  0 แลว้ 1   1 
z z

ตัวอย่างท่ี 1 จงหาสงั ยุคของจานวนเชงิ ซ้อนต่อไปนี้

จานวนเชิงซอ้ น (z) สงั ยคุ z จานวนเชงิ ซอ้ น (z)

3 + 4i (–5 , 6)
1 – 2i 6

4 3 i (0 , 3)

(7 , 8) (3 , 0)
(4 , –3) –3i

NOTE

เอกสารประกอบการเรยี นชน้ั มธั ยมศึกษาปที ่ี 5

เรือ่ ง จานวนเชิงซอ้ น (Complex Numbers) หน้า 80

แบบฝกึ หัดท่ี 4

1. กาหนด a, b  R และ z = 2 – 4i จงเขยี นจานวนตอ่ ไปน้ีให้อยใู่ นรปู a + bi

1) z = ............................................................................................................................. ........

2) z z = .....................................................................................................................................

3) z  z = ............................................................................................................................. ........

4) z(z  z ) = ............................................................................................................................. ........

= .....................................................................................................................................

5) z  z = ............................................................................................................................. ........

6) (z  z ) i = .....................................................................................................................................

= ............................................................................................................................. ........
7) z1 = ............................................................................................................................. ........

= .....................................................................................................................................

8) z = ............................................................................................................................. ........
i

= .....................................................................................................................................

2. กาหนดให้ z1 = 2 – i และ z2 = –3 + 2i จงหา

1) z1 = .....................................................................................................................................
2) z2 = ............................................................................................................................. ........
3) z1z2 = .....................................................................................................................................
4) z1z2 = .....................................................................................................................................
5) z1 z2 = ............................................................................................................................. ........
6) z1  z2 = .....................................................................................................................................
7) z1  z2 = .....................................................................................................................................
8) z1  z2 = .....................................................................................................................................

เอกสารประกอบการเรียนชัน้ มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หน้า 81

3. จงหาผลลัพธ์ต่อไปน้ี 2) (2  i)(2  i)

1) (2  4 i)  (2  4 i) ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… 4) (4  3i) (4  3i)

3) (1 5i)  (1 5i) ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

4. จงหาจานวนเชิงซ้อน z ทสี่ อดคล้องแต่ละสมการในข้อต่อไปน้ี

1) (2 i)z  4  2i 2) (3 i)z  6 7i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

3) (1 3i)z  2 i 4) (3i  5)z  1 i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

5. กาหนดให้ z1  3 2i จงหาคา่ ของ z
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4.4 กราฟและคา่ สัมบูรณ์ของจานวนเชิงซ้อน

ค่าสัมบูรณข์ องจานวนเชงิ ซ้อน z = a + bi คอื a2  b2 เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ z  abi
น่นั คือ z  a2  b2

เอกสารประกอบการเรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

เรอื่ ง จานวนเชิงซอ้ น (Complex Numbers) หน้า 82

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคาตอบ

1. คา่ สัมบูรณ์ของ 3 + 2i คอื ……..............................................................…………..
คือ ……..............................................................…………..
2. คา่ สัมบรู ณ์ของ –3i คือ ……..............................................................…………..

3. ค่าสัมบรู ณ์ของ –4 คอื ……..............................................................…………..

4. ค่าสัมบูรณ์ของ 1  3 i
2 2

4.4.1 ระนาบเชิงซ้อน (Complex Plane)

ระนาบเชงิ ซ้อนประกอบดว้ ย 2 แกน คือ แกนนอน เรยี กว่า แกนจรงิ และแกนตง้ั เรียกว่า แกนจนิ ตภาพ

ให้ z = a + bi จะได้จุด (a , b) หรือเวกเตอร์ทีม่ จี ุด (0 , 0) เป็นจุดเรมิ่ ต้น และจดุ (a , b) เป็น

จุดส้ินสดุ ดงั รูป Y Y

b  z (a , b) b  z (a , b)

(0 , 0) a X (0 , 0) a X

4.4.2 ค่าสมั บรู ณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น (Absolute Value of Complex Number)

สมบัติของค่าสัมบรู ณ์ของจานวนเชงิ ซอ้ น

คา่ สัมบรู ณ์ของจานวนเชงิ ซ้อน คือ z  abi  a2  b2

กาหนด z, z1, และ z2 เปน็ จานวนเชิงซอ้ น
1. ถา้ z เป็นจานวนเชงิ ซ้อน แล้ว z  z  z

2. ถ้า z1 และ z2 เป็นจานวนเชิงซอ้ น แลว้
2.1) z1 z2  z1 z2

2.2) zz21 = z1
z2
3. z 2  zz

4. zn  z n เมอ่ื z  0 และ n เปน็ จานวนเตม็ ใด ๆ

5. z -1  1 1 เม่ือ z 0
z
z

6. z1+ z2  z1  z2

7. z1  z2  z1  z2

8. z  0 ก็ต่อเมอ่ื z = o

4.4.2 การใชก้ ราฟแสดงคาตอบของสมการหรืออสมการคา่ สัมบรู ณ์ของจานวนเชิงซอ้ น
การใชก้ ราฟแสดงคาตอบของสมการหรืออสมการค่าสมั บูรณข์ องจานวนเชงิ ซอ้ น มีหลกั การ ดงั นี้
1) เปน็ z ให้อยู่ในรูปของ x + yi
2) จัดรูปสมการใหม่ เพ่ือพิจารณาวา่ กราฟของคา่ สมั บูรณ์ของจานวนเชิงซ้อนเปน็ กราฟชนดิ ใด

เอกสารประกอบการเรียนชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 5

เรือ่ ง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หนา้ 83

แบบฝึกหัดท่ี 5

1. จงเขยี นจุดในระนาบเชงิ ซ้อน ซ่ึงแทนจานวนเชงิ ซ้อนต่อไปน้ี

1) (2 , 3) , (–3 , 1) , (–2 , –3) , (4 , 2) , 2) 3 – 4i , –5 – 2i , –3 , –2i , 4 + i , –4 + i

(0 , –1) , (–2 , 0)

2. จงเขยี นเวกเตอรใ์ นระนาบเชิงซอ้ น ซง่ึ แทนจานวนเชงิ ซ้อนต่อไปนี้
4 + 6i , i(4 + 6i) , i2(4 + 6i) , i3(4 + 6i)

3. จงเขยี นจานวนเชงิ ซ้อนท่ีแทนด้วยจุด A, B, C, D, E และ F ในระนาบ ดงั รปู

E B A คือ ………………………………………
 F A B คอื ………………………………………
C คือ ………………………………………
C D D คือ ………………………………………
E คอื ………………………………………
F คือ ………………………………………

4. ถา้ z1 = 5 – 5i และ z2 = –3 + 4i จงเขียนกราฟแทนจานวนเชิงซ้อนต่อไปน้ี

1. z1 + z2 = ..........................................
2. z1 – z2 = ..........................................
= .........................................
= ..........................................

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5

เรือ่ ง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หนา้ 84

5. ถา้ z = 1 + 3i จงเขยี นกราฟแทนจานวนเชงิ ซ้อนในแต่ละข้อต่อไปนี้

1. z = .................................................

2. z = .................................................

3. z2 = .................................................

4. –z = .................................................

5. 1 = .................................................
z

= .................................................

6. จงหาค่าสมั บรู ณ์ของจานวนเชงิ ซอ้ นตอ่ ไปนี้

1) 5 + 12i 2) –3 + 4i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

3) 1 – i 4) 3i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

5) -25 6)  3 i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
8) (1 + 3i) (2 + i)
7) (1 + 3i) – (2 + i) ……………………………………………..............…

……………………………………………............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

9) (1 i) 5 10) 3i (3 – i) (2 + 4i) (1 – i)

……………………………………………............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

11) (1 + 3 i) 3 12) (3 +4i)2
( 6  2 i) 2 (8  6i)3(12  5i)

……………………………………………............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนชนั้ มัธยมศึกษาปที ี่ 5

เรือ่ ง จานวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 85

7. จงหา z เมือ่ กาหนด z ดงั ตอ่ ไปนี้

1) z(2 i) 2  (1 +i) 3 2) 2+2 3 i  1
z3(1 i)
……………………………………………............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
8. ถ้า z = 6 – 8i จงหา z 3 ……………………………………………..............…

……………………………………………..............…

……………………………………………..............…

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. จงเขียนกราฟของจดุ ทั้งหมดในระนาบเชิงซ้อนซง่ึ สอดคล้องกบั สมการต่อไปน้ี

1) z 1 i  5 2) z  2i  3

……………………………………………............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

3) z 3  2i  3 4) z  3 4i  2

……………………………………………............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เร่อื ง จานวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 86

4.5 รากที่สองของจานวนเชงิ ซ้อน (Square Root of Complex Number)
กาหนดจานวนเชงิ ซ้อน z  abi และให้ r  a2  b2
รากทส่ี องของ z คือ

เมื่อ
เมื่อ
คาตอบของสมการพหุนามกาลังสอง ax2 + bx + c = 0 เมือ่ a, b, c  R และ a  0 คือ

เม่อื
เมื่อ

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหารากทส่ี องของ 2) z = 7 + 24i
1) z = 8 – 6i
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

แบบฝกึ หดั ที่ 6

1. จงหารากที่สองของจานวนเชงิ ซ้อนตอ่ ไปน้ี 2) 1 3 i

1) 1 3 i ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรยี นชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

เร่ือง จานวนเชงิ ซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 87

3) 8 – 15i 4) –9i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
2. จงหาคา่ ของ
1) 512i 2) 22 3 i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
3. จงหาคาตอบของสมการต่อไปน้ี
1) x2 4x  7  0 2) x2 2x  3  0
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
3) x2  2x  2  0 4) 3x2  2x  5  0
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
5) x2  9  0 6) x2  8
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
7) x3  27  0 8) (x 1)2  49  0
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หนา้ 88

4.6 จานวนเชงิ ซ้อนในรปู เชิงขั้ว (Polar Form of Complex Number)

จานวนเชิงซอ้ นในรูปเชงิ ขวั้ z  r(cos isin) หรอื z  rcis
เรยี ก  ว่า อาร์กวิ เมนต์ (argument) ของ z ใชส้ ัญลักษณ์ Arg (z)
ทฤษฎีบทของจานวนเชงิ ซ้อนในรูปเชิงขวั้
กาหนด z, z1, และ z2 เปน็ จานวนเชงิ ซ้อน
ให้ z1  r1(cos1  isin1) และ z2  r2(cos2  isin2) โดยท่ี z  0

ทฤษฎีบทของเดอมวั ฟวร์ (De Moivre’s Theorem)

กาหนดให้ และ n เป็นจานวนเตม็ บวก

ตัวอย่างท่ี 1 จงเขยี น z = 1 + i ใหอ้ ยู่ในรูปเชงิ ขัว้
……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝกึ หดั ท่ี 7

1. จงเขยี นจานวนเชงิ ซ้อนต่อไปนใี้ หอ้ ยู่ในรูปเชิงข้ัว (จัดให้อยู่ในรปู   0)
1) 1 3 i 2) 3  3 i

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 5

เร่อื ง จานวนเชงิ ซ้อน (Complex Numbers) หน้า 89

3) –2 + 2i 4) –3 – 3i
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

5) 2 2 3 i ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… 6) 1 3 i
……………………………………………..............… 2 2

……………………………………………..............…

……………………………………………..............…

……………………………………………..............…

……………………………………………..............…

2. จงเขยี นจานวนเชงิ ซ้อนในรูปเชิงขว้ั ตอ่ ไปนี้ในรปู a + bi

1) 2 cos   i sin   2) 10cos210  isin210 
4 4 
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

   3)8 cos  i sin   4) 5cos420  isin420 
4 4 
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

3. ถา้ z1  2 3  2i และ z2 1 3i 2) จงหาคา่ ของ z1z2 และ z1 ในรูป a + bi
z2
1) จงเขียน z1 และ z2 ในรูปเชิงขัว้ ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............… ……………………………………………..............…
……………………………………………..............…
……………………………………………..............…

……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรยี นช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เรือ่ ง จานวนเชิงซอ้ น (Complex Numbers) หนา้ 90

4. จงหาค่าจานวนเชิงซอ้ นต่อไปน้ใี ห้อยู่ในรปู a + bi

1) 3(cos15  isin15)2(cos75  isin75)

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

2) 20(cos83  isin83)
5(cos23  isin23)

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

3) 9(cos175  isin175)3(cos275  isin275)

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

4) 4(cos 4  i sin 4 )
3 3
 
2(cos 3  i sin 3 )

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………

5. จงหา z1z2 และ z1 ในรูป a + bi เมื่อกาหนด z1 และ z2 ดงั น้ี
z2

1) z1  4cos75  isin75  2) z1  3 cos 7  i sin 7 
2 6 6 

z2  1 cos 45  isin45  z2  10 cos   i sin  
2 6 6 

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรยี นชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซ้อน (Complex Numbers) หน้า 91

6. จงเขียนตัวเลขแสดงจานวนเชิงซอ้ นต่อไปนี้ในรูป a + bi เมอ่ื a, b  R

1) ( 3  i) 8 2) (1 i) 7

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

3)  1  i 10 4) (2  2i) 4

2

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

cos 5 5  24    )  6
8 8   24 24
5)  i sin 6) 3 (cos  i sin

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

2 (cos  6 )  8 8) cos30  isin30  6
6 
7)  i sin

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

9) cos27  isin27  5 1

10) cos60  isin60  2

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

……………………………………………..............… ……………………………………………..............…

เอกสารประกอบการเรียนช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

เรอ่ื ง จานวนเชงิ ซ้อน (Complex Numbers) หน้า 92

7. จงเขยี นตวั เลขแสดงจานวนเชงิ ซ้อนต่อไปน้ใี นรปู ของ a + bi เม่ือ a, b  R

2 1)cos   i sin 16  10
16 
3 = ………………………………………………………………………………………
3 3 
4 cos 8  i sin 8

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

cos   i sin  12 = ………………………………………………………………………………………
9 9  = ………………………………………………………………………………………
 2) = ………………………………………………………………………………………
1 cos   i sin  5
 2 6 6 

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

= ………………………………………………………………………………………

8. จงหาค่าของ (1  i)6 ในรปู ของ a + bi เม่ือ a, b  R
(1  i)4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนชัน้ มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5

เร่ือง จานวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 93

4.7 รากที่ n ของจานวนเชิงซ้อน (The nth Roots of Complex Number)

1

รากท่ี n ของจานวนเชิงซ้อนเขียนแทนด้วยสญั ลักษณ์ zn
ให้ z เป็นจานวนเชงิ ซ้อน จะไดว้ า่

เม่ือ k = 0, 1, 2, 3, … , n – 1
รากที่ n ของจานวนเชิงซ้อนใด ๆ จะมี n ราก (คาตอบ)
ถ้า z1 , z2 , z3 , … , zn เปน็ รากที่ n ของ z แล้ว z1  z2  z3  ...  zn
ถา้ z1 , z2 , z3 , … , zn เป็นรากที่ n ของ z แล้ว z1  z2  z3  ...  zn  0

แบบฝึกหัดที่ 8

1. จงหารากที่ 2 ของ 1  3 i
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2. จงหารากที่ 3 ของ 8i
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3. จงหารากที่ 3 ของ 27i3
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5

เรื่อง จานวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 94

4. จงหารากที่ 4 ของ 81i2
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4.8 สมการพหุนาม

ทฤษฎบี ทหลักมูลของพชี คณติ (Fundamental Theorem of Algebra)
ถ้า p(x) เป็นพหุนามท่ีมีดีกรมี ากกว่าศูนย์ แล้วสมการ p(x) = 0

จะมคี าตอบท่เี ปน็ จานวนเชิงซ้อนอยา่ งน้อยหนึ่งคาตอบ

ทฤษฎีบท ถา้ p(x) เปน็ พหุนามท่มี ีดีกรี แลว้ สมการ p(x) = 0
จะมคี าตอบทั้งหมด n คาตอบ (นบั คาตอบทซี่ า้ กันดว้ ย)

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาคาตอบทั้งหมดของสมการ x4  2x2 8  0

วิธีทา x4  2x2 8  0  A2  2A  8 = 0 เม่อื A  x2

 x2 2= 0  (A – 2)(A + 4) = 0
 (x2 2)(x2  4) = 0
หรือ x2  4 = 0

………………………………… …………………………………

………………………………… …………………………………

………………………………… …………………………………

 เซตคาตอบของสมการ คอื ………………………………………………………………………………

ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem)
กาหนด p(x) เปน็ พหนุ ามที่มดี กี รมี ากกวา่ หรือเทา่ กบั 1 จะไดว้ ่า

พหุนาม p(x) มี x – c เป็นตวั ประกอบก็ต่อเมื่อ p(c) = 0

เอกสารประกอบการเรียนช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5

เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 95

ทฤษฎีบทตัวประกอบจานวนตรรกยะ ซง่ึ
กาหนด p(x) เปน็ พหุนามในรปู

โดยท่ี n>2 และ

ถ้า เป็นตวั ประกอบของพหุนาม p(x) โดยที่ ซง่ึ

และ ห.ร.ม. ของ m และ k คือ 1 แลว้ m หาร ลงตวั และ k หาร ลงตัว

ตวั อยา่ งที่ 2 จงหาเซตคาตอบของสมการ 2x4 + x3 – 2x – 1 = 0
วธิ ีทา กาหนด P(x) = 2x4 + x3 – 2x – 1

1) จานวนเตม็ ที่หาร –1 ได้ลงตวั ได้แก่ 1

2) จานวนเตม็ ท่หี าร 2 ได้ลงตัว ไดแ้ ก่ 1 และ 2
k k
 จานวนตรรกยะ m ท่ที าให้ x  m เป็นตวั ประกอบของพหุนาม p(x)

จะเปน็ จานวนทีอ่ ยูใ่ นกลุ่มของจานวนต่อไปนี้ คอื 1 และ 1
2

เพราะวา่ P(1) = 0, P(1)  0 , P 1   0 และ P  1   0
2 2

เพราะฉะนน้ั x–1 และ x  1 ตา่ งก็เป็นตวั ประกอบของ P(x) หารสังเคราะห์
2 –2 – 1
โดยใชก้ ารหารสังเคราะห์ จะไดว้ า่
21

P(x) = 2x4 + x3 – 2x – 1 ………………………………………

= (x  1)(x  1 )(2x2  2x  2) ………………………………………
2 ………………………………………
1 ………………………………………
= 2(x 1)(x  2 )(x2  x  1)

2x4 + x3 – 2x – 1 = 0  2(x 1)(x  1 )(x2  x  1)  0
2
1
 (x 1)(x  2 )(x2  x  1)  0

 ………………………. หรอื ………………………. หรือ ……………………….

 ………………………. หรอื ………………………. หรอื ……………………….

 เซตคาตอบของสมการ คือ …………………………………………………………….

ทฤษฎีบท ถ้าจานวนเชิงซอ้ น z เปน็ คาตอบของสมการพหนุ าม P(x) = 0
แลว้ จะเป็นคาตอบของ P(x) = 0 ดว้ ย

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5

เรอ่ื ง จานวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 96

แบบฝกึ หดั ท่ี 9

1. จงหาเซตคาตอบของสมการตอ่ ไปนี้

1) 2x3  2x2  x 1 0
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) 2x3  x 1 0
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) x3 2x2  3x 6  0
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) x4  x3  7x2 9x 18  0
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) x4 6x3 15x2 22x 12  0
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนช้นั มัธยมศึกษาปที ี่ 5

เรือ่ ง จานวนเชิงซ้อน (Complex Numbers) หนา้ 97

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6) x4 6x2 40  0
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงหาสมการพหุนามดีกรี 3 ที่มีสัมประสทิ ธิเ์ ป็นจานวนเต็ม และมี 7 และ 2 – i เปน็ คาตอบ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. ถา้ 2 – i เปน็ คาตอบหน่ึงของสมการ x4 – 4x3 + 10x2 – 20x + 25 = 0 จงหาคาตอบทง้ั หมดของสมการ
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ถ้า 3i เปน็ คาตอบหนงึ่ ของสมการ x3 – 2x2 + 3x – 6 = 0 จงหาผลบวกของคาตอบท้ังหมด

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

เอกสารประกอบการเรียนชัน้ มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5

เร่ือง จานวนเชงิ ซอ้ น (Complex Numbers) หน้า 98

5. จงหาคาตอบท้งั หมดของสมการพหนุ าม x4 – 4x3 + 4x2 + 12x – 21 = 0 เมอ่ื ทราบวา่ 2  3i เป็น
คาตอบหนง่ึ ของสมการพหุนาม

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. ถา้ 1 – i เป็นคาตอบหนึ่งของสมการ x3 – 3x2 + ax – 2 = 0 จงหาคา่ a

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. จงหาคา่ ของ a และ b ที่ทาให้ x + 7 เปน็ ตัวประกอบร่วมของ x2  (3a 5)x 11b 1 และ
x2  (5b  2)x  a 38

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

NOTE

เอกสารประกอบการเรยี นชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5