แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง หลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4

by kru noey

1 แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 ÿร้างขึ้นเพื่อเป็นการ เÿริมÿร้างและพัฒนาการเรียนรู้ของนักเรียนโดยเน้นผู้เรียนเป็นÿำคัญ เปิดโอกาÿใĀ้นักเรียนได้แÿüงĀาคüามรู้ ด้üยตนเอง ใช้ทักþะต่าง ๆ ในการแÿüงĀาคüามรู้ มุ่งพัฒนาผลÿัมฤทธิ์และÿมรรถภาพการเรียนรู้คณิตýาÿตร์ ของนักเรียน ใĀ้ÿอดคล้องกับÿาระและมาตรฐานการเรียนรู้ที่กำĀนดไü้ ทั้งนี้ ได้นำÿถานการณ์ในชีüิตประจำüัน ที่นักเรียนเคยพบมาแล้ü มาเชื่อมโยงกับคüามรู้ใĀม่ เพื่อใĀ้นักเรียนเรียนรู้ได้ง่ายและต่อเนื่องกัน รüมทั้งÿ่งเÿริม ใĀ้นักเรียนได้ýึกþาĀาคüามรู้และÿรุปองค์คüามรู้ด้üยตนเอง แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 นี้ ประกอบด้üย ใบคüามรู้ เนื้อĀา แนüคิดรüบยอด แบบฝึกทักþะ และการจัดการเรียนรู้ที่มุ่งพัฒนาทักþะกระบüนการทางคณิตýาÿตร์ การใĀ้เĀตุผล การแก้ปัญĀา การนำเÿนอคüามคิดทางคณิตýาÿตร์ และยังÿ่งเÿริมการเรียนรู้ด้üยüิธีที่ĀลากĀลาย เพื่อพัฒนาคุณภาพผู้เรียนตามýักยภาพซึ่งแÿดงใĀ้เĀ็นถึงการเน้นบทบาทของผู้เรียน ผู้จัดทำĀüังเป็นอย่างยิ่งü่าแบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 ที่จัดทำขึ้นนี้ จะเป็นประโยชน์ต่อนักเรียนและครูผู้ÿอนในการจัดกิจกรรมการเรียนการÿอนใĀ้บรรลุüัตถุประÿงค์ ที่กำĀนดไü้เป็นอย่างดี ปนัดดา บุตรมาลา คำนำ

2 เรื่อง Āน้า คำนำ............................................................................................................................. .........................................1 ÿารบัญ...................................................................................................................................................................2 คำแนะนำการใช้แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 ÿำĀรับครู..............4 คำแนะนำการใช้แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 ÿำĀรับนักเรียน.....5 แผนผังขั้นตอนในการเรียนรู้ด้üยแบบฝึกทักþะ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4..........................6 มาตรฐานการเรียนรู้/ตัüชี้üัด เนื้อĀา ÿาระการเรียนรู้จุดประÿงค์การเรียนรู้และÿาระÿำคัญ เรื่อง Āลักการนับ เบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4……………………………………………………………………………………………………………..…...7 แบบทดÿอบก่อนเรียน............................................................................................................................. ..............10 กระดาþคำตอบแบบทดÿอบก่อนเรียน.................................................................................................................12 แบบฝึกทักþะ ชุดที่ 1 เรื่อง Āลักการบüก.............................................................................................................13 ใบคüามรู้ที่ 1 เรื่อง Āลักการบüก............................................................................................................13 แบบฝึกทักþะที่ 1 เรื่อง Āลักการบüก.....................................................................................................16 แบบฝึกทักþะ ชุดที่ 2 เรื่อง Āลักการคูณ..............................................................................................................20 ใบคüามรู้ที่ 2 เรื่อง Āลักการคูณ..............................................................................................................20 แบบฝึกทักþะที่ 2 เรื่อง Āลักการคูณ.......................................................................................................23 แบบฝึกทักþะ ชุดที่ 3 เรื่อง การเรียงÿับเปลี่ยนเชิงเÿ้นของÿิ่งของที่แตกต่างกันทั้งĀมด.......................................27 ใบคüามรู้ที่ 3 เรื่อง การเรียงÿับเปลี่ยนเชิงเÿ้นของÿิ่งของที่แตกต่างกันทั้งĀมด......................................27 แบบฝึกทักþะที่ 3.1 เรื่อง แฟกทอเรียล...................................................................................................30 ÿารบัญ

3 เรื่อง Āน้า แบบฝึกทักþะที่ 3.2 เรื่อง การเรียงÿับเปลี่ยนเชิงเÿ้น..............................................................................33 แบบฝึกทักþะ ชุดที่ 4 เรื่อง การจัดĀมู่...................................................................................................................37 ใบคüามรู้ที่ 4 เรื่อง การจัดĀมู่..................................................................................................................37 แบบฝึกทักþะที่ 4.1 เรื่อง การจัดĀมู่....................................................................................................... .38 แบบฝึกทักþะที่ 4.2 เรื่อง การจัดĀมู่........................................................................................................42 แบบทดÿอบĀลังเรียน................................................................................................ .............................................46 กระดาþคำตอบแบบทดÿอบĀลังเรียน...................................................................................................................48 บรรณานุกรม..........................................................................................................................................................49 ภาคผนüก...............................................................................................................................................................50 เฉลย แบบฝึกทักþะที่ 1 เรื่อง Āลักการบüก....................................................................................................... ....51 เฉลย แบบฝึกทักþะที่ 2 เรื่อง Āลักการคูณ............................................................................................................55 เฉลย แบบฝึกทักþะที่ 3.1 เรื่อง แฟกทอเรียล........................................................................................................58 เฉลย แบบฝึกทักþะที่ 3.2 เรื่อง การเรียงÿับเปลี่ยนเชิงเÿ้น...................................................................................60 เฉลย แบบฝึกทักþะที่ 4.1 เรื่อง การจัดĀมู่............................................................................................................63 เฉลย แบบฝึกทักþะที่ 4.2 เรื่อง การจัดĀมู่............................................................................................................68 เฉลยแบบทดÿอบก่อนเรียน....................................................................................................................................71 เฉลยแบบทดÿอบĀลังเรียน.................................................................................................... ................................72 ตารางบันทึกคะแนน............................................................................................. ..................................................73 ÿารบัญ (ต่อ)

4 การใช้แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 ครูผู้ÿอนเป็นผู้ที่มี บทบาทÿำคัญที่จะช่üยใĀ้การดำเนินการเรียนรู้ของนักเรียนบรรลุตามüัตถุประÿงค์ ดังนั้นครูผู้ÿอนจึงคüรýึกþา รายละเอียดเกี่ยüกับการปฏิบัติตนก่อนที่จะใช้ชุดการÿอน ดังนี้ 1. ครูต้องýึกþาแบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 และอ่านเนื้อĀาÿาระ อย่างละเอียดรอบคอบ พร้อมทั้งทำคüามเข้าใจเนื้อĀาก่อนการใช้งาน 2. ครูเตรียมแบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ใĀ้ครบถ้üนและเพียงพอต่อจำนüนนักเรียน 3. ครูเตรียมเครื่องมือüัดผลประเมินผล เพื่อüัดคüามก้าüĀน้าของนักเรียน 4. ครูชี้แจงใĀ้นักเรียนทราบเกี่ยüกับขั้นตอนและüิธีการÿอนโดยใช้แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์อย่างชัดเจน และประโยชน์ที่จะได้รับจากการเรียนรู้โดยใช้แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ 5. ครูชี้แจงใĀ้นักเรียนทราบบทบาทของนักเรียน โดยเน้นย้ำคüามซื่อÿัตย์ การมีüินัย ใฝ่เรียนใฝ่รู้ การแÿดงคüามคิดเĀ็น 6. ใĀ้นักเรียนทำแบบทดÿอบก่อนเรียนเพื่อประเมินคüามรู้เดิมของนักเรียน 7. ครูจัดกิจกรรมการเรียนรู้ใĀ้แก่นักเรียน โดยใĀ้คำแนะนำ ดูแล เÿนอแนะ และเÿริมแรงตามแนüทาง ของแผนการจัดการเรียนรู้ 8. ครูÿังเกตคüามร่üมมือและคüามตั้งใจในการเรียน การทำกิจกรรมเป็นรายบุคคลและการทำกิจกรรม ร่üมกับผู้อื่น 9. ครูร่üมÿรุปบทเรียนกับนักเรียนเพื่อเป็นการย้ำคüามเข้าใจของนักเรียนในทุกกิจกรรม 10. ใĀ้นักเรียนทำแบบทดÿอบĀลังเรียนเพื่อüัดคüามรู้ของนักเรียน และประเมินผลการเรียนรู้ของ นักเรียนอย่างต่อเนื่อง คำแนะนำการใช้แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 ÿำĀรับครู

5 1. นักเรียนต้องอ่านคำแนะนำการใช้ชุดแบบฝึกทักþะ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 ÿำĀรับนักเรียนใĀ้เข้าใจก่อนลงมือýึกþาเรียนรู้Āรือทำกิจกรรมทุกครั้ง 2. นักเรียนทำแบบทดÿอบก่อนเรียน เพื่อประเมินคüามรู้เดิมของนักเรียน 3. นักเรียนýึกþามาตรฐานการเรียนรู้/ตัüชี้üัด เนื้อĀา ÿาระการเรียนรู้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ และÿาระÿำคัญ ในแบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 อย่างละเอียดĀาก มีข้อÿงÿัย Āรือมีคำถาม ใĀ้ปรึกþาครูผู้ÿอน 4. ýึกþาใบคüามรู้ ตัüอย่าง และทำแบบฝึกทักþะ ด้üยคüามตั้งใจ 5. ในการเรียนรู้ นักเรียนคüรมีการüางแผนการทำกิจกรรม กรณีเป็นรายกลุ่ม คüรมีการแบ่งĀน้าที่และ ร่üมกันปฏิบัติกิจกรรม 6. ในการปฏิบัติกิจกรรมการเรียนรู้ นักเรียนคüรปฏิบัติงานใĀ้ทันเüลาที่กำĀนด 7. ขั้นตอนÿุดท้ายของการเรียนรู้ด้üยแบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 นักเรียนต้องทำแบบทดÿอบĀลังเรียนเพื่อประเมินคüามรู้ของนักเรียน 8. นักเรียนคüรมีคüามร่üมมือร่üมใจ มีคüามÿามัคคี ร่üมกันแÿดงคüามคิดเĀ็น และยอมรับเÿียงÿ่üนใĀญ่ ในการปฏิบัติกิจกรรมกลุ่ม 9. ĀากนักเรียนมีปัญĀาĀรือไม่เข้าใจในÿ่üนใด นักเรียนÿามารถÿอบถามจากครูผู้ÿอนได้ตลอดเüลา คำแนะนำการใช้แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 ÿำĀรับนักเรียน

6 แผนผังขั้นตอนในการเรียนรู้ด้üยชุดแบบฝึกทักþะ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4 นักเรียนýึกþาคำแนะนำการใช้แบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ÿำĀรับนักเรียน ýึกþามาตรฐานการเรียนรู้/ตัüชี้üัด เนื้อĀา ÿาระการเรียนรู้ จุดประÿงค์การเรียนรู้และÿาระÿำคัญ ทำแบบทดÿอบก่อนเรียน ดำเนินการýึกþาเนื้อĀา โดยปฏิบัติกิจกรรม ดังนี้ 1. ýึกþาเนื้อĀา ใบคüามรู้ 2. ทำแบบฝึกทักþะ 3. ตรüจแบบฝึกทักþะ 4. ประเมินคะแนน ýึกþาแบบฝึกทักþะชุดถัดไป ทำแบบทดÿอบĀลังเรียน ไม่ผ่านเกณฑ์80% ýึกþาแบบฝึกทักþะเล่มต่อไป ผ่านเกณฑ์ 80%

7 มาตรฐานการเรียนรู้ / ตัüชี้üัด ÿาระที่ 3 ÿถิติและคüามน่าจะเป็น มาตรฐานการเรียนรู้ มาตรฐาน ค 3.2 เข้าใจĀลักการนับเบื้องต้น คüามน่าจะเป็น และนำไปใช้ ตัüชี้üัด ค 3.2 ตัüชี้üัด ม.4/1เข้าใจและใช้Āลักการบüกและการคูณ การเรียนÿับเปลี่ยน และการจัดĀมู่ในการแก้ปัญĀา เนื้อĀา/ÿาระการเรียนรู้ จุดประÿงค์การเรียนรู้ ÿาระÿำคัญ เüลา (ชั่üโมง) 1.Āลักการบüก ด้านคüามรู้(K) 1) Āาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นของ เĀตุการณ์โดยใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้น เกี่ยüกับการนับ(Āลักการบüก) ได้ ด้านทักþะ/กระบüนการ(P) 1) ÿามารถใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้น เกี่ยüกับการนับ (Āลักการบüก) ใน การแก้ปัญĀาได้ ด้านคุณลักþณะ(A) 1) มีคüามรับผิดชอบ 2) มีระเบียบüินัย 3) คüามละเอียดรอบคอบและ รับผิดชอบในการทำงาน Āลักการบüก เกิดได้ 2 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 เกิดจากการทำงานที่มีüิธีการทำ ได้ 2 แบบและเป็นการทำงานที่ไม่ต่อเนื่องกัน โดยการทำงาน แบบที่ 1 มีüิธีทำ n1 üิธี และ การทำงานแบบที่ 2 มีüิธีทำ n2 üิธี ดังนั้น จำนüนüิธีที่จะทำงานนี้ทั้งĀมดเท่ากับ n1 + n2 üิธี กรณีที่ 2 เกิดจากการทำงานที่มีüิธีการทำ ได้ k แบบ ตั้งแต่แบบที่ 1 ถึงแบบที่ k โดยที่ การทำงาน แบบที่ 1 มีüิธีทำ n1 üิธี การ ทำงานแบบที่ 2 มีüิธีทำ n2 üิธี การทำงาน แบบที่ 3 มีüิธีทำ n3 üิธี เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนถึงขั้นÿุดท้าย คือ การทำงานแบบที่ k มี 3 มาตรฐานการเรียนรู้/ตัüชี้üัด เนื้อĀา ÿาระการเรียนรู้ จุดประÿงค์การเรียนรู้และÿาระÿำคัญ เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4

8 4) ตระĀนักในคุณค่าและเจตคติที่ ดีต่อüิชาคณิตýาÿตร์ üิธีทำ nk üิธี โดยการทำงานแต่ละแบบมีüิธีที่ แตกต่างกัน และÿามารถเลือกüิธีการทำงาน ได้เพียงแบบใดแบบĀนึ่งเท่าน้ัน ดังนั้น จำนüนüิธีที่จะทำงานนี้ทั้งĀมดเท่า กับ n1 + n2 + n3 + ... + nk üิธี 2.Āลักการคูณ ด้านคüามรู้(K) 1) Āาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นของ เĀตุการณ์โดยใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้น เกี่ยüกับการนับ (Āลักการคูณ) ได้ ด้านทักþะ/กระบüนการ(P) 1) ใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยüกับ การนับ (Āลักการคูณ) ในการ แก้ปัญĀาได้ ด้านคุณลักþณะ(A) 1) มีคüามรับผิดชอบ 2) มีระเบียบüินัย 3) คüามละเอียดรอบคอบและ รับผิดชอบในการทำงาน 4) ตระĀนักในคุณค่าและเจตคติที่ ดีต่อüิชาคณิตýาÿตร์ Āลักการคูณ เกิดได้ 2 กรณี ดังนี้ กรณีที่ 1 เกิดจากการทำงานที่มีขั้นตอน การทำ 2 ขั้นตอน โดยที่ขั้นที่ 1 มีüิธีทำ n1 üิธี และแต่ละüิธีในการทำงานของขั้นที่ 1 จะ เลือกทำขั้นที่ 2 ได้ n2 üิธี ดังนั้น จำนüนüิธี ทำงานทั้งÿองขั้นตอน มีทั้งĀมด n1 × n2 üิธี กรณีที่ 2 เกิดจากการทำงานที่มีขั้นตอน การทำ k ขั้นตอน โดยที่การทำงานในแต่ละ ขั้นจะทำต่อเนื่องกัน ขั้นที่ 1 มีüิธีทำ n1 üิธี และในแต่ละüิธีของการทำงานขั้นตอนที่ 1 จะเลือกทำขั้นที่ 2 ได้ n2 üิธี และแต่ละüิธี ของการทำงานไปแล้ü 2 ขั้นตอน จะเลือกทำ ขั้นที่ 3 ได้ n3 üิธี เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนถึง ขั้นÿุดท้าย คือ ขั้นที่ k ดังนั้น จำนüนüิธี ทำงาน k ขั้นตอน มีทั้งĀมด n1 x n2 x n3 x ... x nküิธี 3 3.การเรียงÿับเปลี่ยนเชิง เÿ้นของÿิ่งของที่แตกต่าง กันทั้งĀมด ด้านคüามรู้(K) 1) Āาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นของ เĀตุการณ์โดยใช้üิธีการเรียง ÿับเปลี่ยนได้ 2) แÿดงคüามÿัมพันธ์ของการคูณ จำนüนนับในรูปแฟกทอเรียลได้ การเรียงÿับเปลี่ยน คือ การนำÿิ่งของĀลาย ÿิ่งที่แตกต่างกันทุกชิ้นĀรือมีÿิ่งของบางชิ้นซ้ำ กัน มาจัดเรียงเพียงบางÿ่üนĀรือทั้งĀมด โดย ยึดลำดับที่เป็นÿำคัญ 4

9 ด้านทักþะ/กระบüนการ(P) 1) ÿามารถใช้üิธีการเรียงÿับเปลี่ยน ในการแก้ปัญĀาได้ 2) นำคüามรู้เรื่องแฟกทอเรียล n ไปใช้แก้ปัญĀาได้ ด้านคุณลักþณะ(A) 1) มีคüามรับผิดชอบ 2) มีระเบียบüินัย 3) คüามละเอียดรอบคอบและ รับผิดชอบในการทำงาน 4) ตระĀนักในคุณค่าและเจตคติที่ ดีต่อüิชาคณิตýาÿตร์ 4.การจัดĀมู่ ด้านคüามรู้(K) 1) Āาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นของ เĀตุการณ์โดยใช้üิธีการจัดĀมู่ได้ ด้านทักþะ/กระบüนการ(P) 1) ÿามารถใช้üิธีการจัดĀมู่ในการ แก้ปัญĀาได้ ด้านคุณลักþณะ(A) 1) มีคüามรับผิดชอบ 2) มีระเบียบüินัย 3) คüามละเอียดรอบคอบและ รับผิดชอบในการทำงาน 4) ตระĀนักในคุณค่าและเจตคติที่ ดีต่อüิชาคณิตýาÿตร์ การจัดĀมู่ เป็นการเลือกÿิ่งของออกมาเป็น Āมู่Āรือชุด โดยไม่คำนึงü่าจะได้ÿิ่งใดออกมา ก่อนĀรือĀลัง โดยจำนüนüิธีการจัดĀมู่ ÿามารถĀาได้ ดังนี้ จำนüนüิธีการจัดĀมู่ของ ÿิ่งของที่แตกต่างกัน n ÿิ่ง โดยเลือกคราüละ r ÿิ่ง (0 r n) เท่ากับ Cn, r Āรือ n r üิธี เมื่อ Cn, r = n! (n r)!r! − 5

10 แบบทดÿอบก่อนเรียน เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น คำชี้แจง 1) แบบทดÿอบก่อนเรียนนี้ใช้ทดÿอบคüามรู้ของนักเรียนก่อนเรียน เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ซึ่งเป็น แบบทดÿอบแบบปรนัย ชนิดเลือกตอบ 4 ตัüเลือกจำนüน 20 ข้อ 2) ใĀ้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่ÿุดเพียงคำตอบเดียü แล้üทำเครื่องĀมาย x ลงในกระดาþคำตอบ 1. ถ้าการเดินทางระĀü่างเมือง A กับเมือง B ÿามารถทำได้ 2 ทาง คือ ทางบก ซึ่งมีถนน เชื่อมระĀü่างกัน 4 เÿ้น และทางอากาý ซึ่งมี ÿายการบินเชื่อมโยงที่ÿามารถใช้บริการได้ 3 ÿายการบิน อยากทราบü่าจะมีüิธีการเดินทาง จากเมือง A ไปเมือง B ได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 7 üิธี ข. 8 üิธี ค. 9 üิธี ง. 12 üิธี 2. ในการนั่งเรือข้ามฟากแม่น้ำเจ้าพระยาที่มีเรือ ที่ท่าน้ำอยู่ 5 ลำ จำนüนüิธีนั่งเรือข้ามฟาก แม่น้ำนี้ทั้งไปและกลับได้กี่üิธี ถ้าขาไปและขา กลับลงเรืองต่างกัน ก. 5 üิธี ข. 10 üิธี ค. 20 üิธี ง. 25 üิธี 3. Āยิบไพ่ 1 ใบ จากÿำรับที่มี 52 ใบ จงĀา จำนüนüิธีที่จะĀยิบได้แต้มคิง Āรือแจ็ค ก. 6 üิธี ข. 7 üิธี ค. 8 üิธี ง. 9 üิธี 4. มีนักเรียน 6 คน ต้องการมอบรางüัล 2 รางüัล คือ รางüัลเรียนดีและรางüัลผู้มีคุณธรรม และจริยธรรมใĀ้แก่นักเรียนจำนüน 2 คน จะมี üิธีเลือกมอบรางüัลใĀ้แก่นักเรียนได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 12 üิธี ข. 15 üิธี ค. 30 üิธี ง. 36 üิธี 5. นำกระเบื้องรูปÿามเĀลี่ยมด้านเท่าที่แต่ละ ด้านยาü 1 Āน่üย จำนüน 4 แผ่น มาจัดเรียงชิด กันดังรูป จากการจัดเรียงกระเบื้องข้างต้น มีรูป ÿามเĀลี่ยมด้านเท่าทั้งĀมดกี่รูป ก. 4 รูป ข. 5 รูป ค. 6 รูป ง. 7 รูป 6. นําลูกบอลพลาÿติกที่เขียนตัüเลขไü้ มี Āมายเลข 1, 3, 5, 7 นําเลขเĀล่านี้มาÿร้างเลข จำนüน 2 Āลัก โดยที่แต่ละĀลักจะต้องไม่มีเลข ซ้ำกันเลย จะÿร้างได้ทั้งĀมดกี่จำนüน ก. 12 จำนüน ข. 16 จำนüน ค. 20 จำนüน ง. 30 จำนüน 7. ĀญิงคนĀนึ่งมีเÿื้อและกางเกงÿำĀรับÿüมไป เที่ยüอยู่4 และ 3 ตัüตามลำดับ เขาจะมีüิธีÿüมเÿื้อ และกางเกงไปเที่ยüเป็นชุดต่างกันได้ทั้งĀมดกี่ชุด ก. 7 ชุด ข. 12 ชุด ค. 81 ชุด ง. 64 ชุด 8. มีจดĀมายอยู่ 4 ฉบับ ต้องการทิ้งลงใน ตู้จดĀมาย 6 ตู้ จะทิ้งได้กี่üิธี ก. 24 üิธี ข. 48 üิธี ค. 46 üิธี ง. 64 üิธี

11 9. Ā้องเรียนĀ้องĀนึ่งมีนักเรียน 30 คนต้องการ เลือกĀัüĀน้าĀ้องและรองĀัüĀน้าĀ้องตำแĀน่ง ละคนจะมีüิธีเลือกทั้งĀมดกี่üิธี ก. 30 üิธี ข. 59 üิธี ค. 870 üิธี ง. 900 üิธี 10. เลือกนักเรียน 3 คน จาก 5 คน มายืนเรียง แถüĀน้ากระดาน จะมีüิธีทำได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 15 üิธี ข. 20 üิธี ค. 60 üิธี ง. 120 üิธี 11. บริþัทแĀ่งĀนึ่งมีตำแĀน่งงานü่าง 3 ตำแĀน่ง มีผู้ÿมัคร 7 คน บริþัทแĀ่งนี้จะมีüิธีเลือกคนเข้า ทำงานในตำแĀน่งที่ü่างได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 210 üิธี ข. 270 üิธี ค. 321 üิธี ง. 335 üิธี 12. ต้องการเรียงคำใĀม่ที่ประกอบด้üยตัüอักþร 4 ตัüจากตัüอักþรคำü่า math โดยไม่ จำเป็นต้องมีคüามĀมายมีทั้งĀมดกี่üิธี ก. 24 üิธี ข. 20 üิธี ค. 12 üิธี ง. 6 üิธี 13. ลูกเÿือ 2 คน และเนตรนารี 4 คน เข้าแถü เรียงĀน้ากระดานโดยลูกเÿือต้องยืนĀัüแถüและ ท้ายแถüเÿมอ จะมีüิธียืนเข้าแถüได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 72 üิธี ข. 48 üิธี ค. 24 üิธี ง. 12 üิธี 14. จงĀาจำนüนüิธีเรียงÿับเปลี่ยนของคำü่า “POPPY” ที่แตกต่างกันโดยไม่คำนึงถึงคüามĀมาย ก. 10 üิธี ข. 15 üิธี ค. 20 üิธี ง. 25 üิธี 15. 8! 6!2! มีค่าตรงกับข้อใด ก. 64 ข. 52 ค. 36 ง. 28 16. ! (−1)! = 10 มีค่าตรงกับข้อใด ก. 10 ข. 9 ค. 8 ง. 7 17. จะเลือกนักเรียน 4 คน จากนักเรียน 17 คน ไปตอบแข่งขัน ปัญĀาคณิตýาÿตร์ได้กี่üิธี ก. 2380 üิธี ข. 2388 üิธี ค. 1024 üิธี ง. 2100 üิธี 18. มีĀนังÿือต่างกันอยู่ 10 เล่ม นาย ก ต้องการยืมไปอ่าน 3 เล่ม นาย ก ÿามารถเลือก ยืมได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 100 üิธี ข. 120 üิธี ค. 150 üิธี ง. 300 üิธี 19. มีลูกบอลที่แตกต่างกันทั้งĀมด 7 ลูก ต้องการเลือกมา 3 ลูก จะมีüิธีการเลือกที่ แตกต่างกันได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 10 üิธี ข. 20 üิธี ค. 25 üิธี ง. 35 üิธี 20. บนเÿ้นรอบüงกลมมีจุดซึ่งแตกต่างกัน 4 จุด ลากÿ่üนของเÿ้นตรงต่อจุดเĀล่านี้ทั้งĀมด จะ เกิดรูปเĀลี่ยมทั้งĀมดกี่รูป ก. 3 รูป ข. 5 รูป ค. 7 รูป ง. 10 รูป

12 กระดาþคำตอบ แบบทดÿอบก่อนเรียน ชื่อ.....................................................................................................ชั้น............................เลขที่..................... คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่ÿุดเพียงคำตอบเดียüแล้üทำเครื่องĀมาย (x) ลงในกระดาþคำตอบ ผลการประเมิน ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง ลงชื่อ.......................................ผู้ตรüจ (............................................................) เกณฑ์การประเมิน ทำได้ 16 - 20 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 11 - 15 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 6 - 10 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 - 5 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 10 20 คะแนนเต็ม 20 คะแนนที่ได้

13 ตัüอย่างที่1 จงĀาจำนüนüิธีที่จะĀยิบไพ่ 1 ใบ ใĀ้ได้แต้มคิงĀรือแจ๊ค จากไพ่ÿำรับĀนึ่งที่มี52 ใบ üิธีทำ เนื่องจากไพ่แต้มคิง Āรือ แจ๊ค มีอย่างละ 4 ใบ การĀยิบไพ่ 1 ใบ ใĀ้ได้แต้มคิงĀรือแจ๊ค แบ่งเป็น 2 กรณีคือ 1) การเลือกĀยิบไพ่แต้มคิง 1 ใบ จากไพ่แต้มคิงทั้งĀมด 4 ใบ ทำได้4 üิธี 2) การเลือกĀยิบไพ่แต้มแจ๊ค 1 ใบ จากไพ่แต้มแจ๊คทั้งĀมด 4 ใบ ทำได้4 üิธี ดังนั้น การĀยิบไพ่ 1 ใบ ใĀ้ได้แต้มคิงĀรือแจ๊ค ทำได้4 + 4 = 8 üิธี Āลักการบüก ในการทำงานอย่างĀนึ่ง ถ้าÿามารถแบ่งüิธีการทำงานออกเป็น 2 กรณี โดยที่ กรณีที่ 1 ÿามารถทำได้ n1 üิธี กรณีที่ 2 ÿามารถทำได้ n2 üิธี ซึ่งüิธีการทำงานในทั้งÿองกรณีไม่ซ้ำซ้อนกัน และการทำงานในแต่ละกรณีทำใĀ้งานเÿร็จ ÿมบูรณ์แล้üจะÿามารถทำงานนี้ได้ทั้งĀมด n1 + n2 üิธี ใบคüามรู้ที่ 1 เรื่อง Āลักการบüก แบบฝึกทักþะ ชุดที่ 1

14 ตัüอย่างที่2 จงคำนüณจำนüนüิธีที่ใช้ÿร้างรĀัÿ ที่มีจำนüน 1, 2, 3 Āรือ 4 Āลัก จากตัüเลข 1, 2, 3, 4 üิธีทำ การÿร้างรĀัÿÿามารถทำได้ทั้งĀมด 4 กรณี(ตามจำนüนĀลักของรĀัÿ) ดังนี้ 1) รĀัÿที่ประกอบด้üยตัüเลข 1 ตัü ซึ่งüิธีการเลือกตัüเลข 1 ตัüจากทั้งĀมด 4 ตัü ทำได้4 üิธี แÿดงü่า ÿามารถÿร้างรĀัÿได้ทั้งĀมด 4 üิธี 2) รĀัÿที่ประกอบด้üยตัüเลข 2 ตัü ซึ่งüิธีการเลือกตัüเลขมา 2 ตัü จากทั้งĀมด 4 ตัü ทำได้ดังนี้ 1. Āลักที่ 1 : เลือกตัüเลข 1 ตัü จากทั้งĀมด 4 ตัü ทำได้4 üิธี 2. Āลักที่ 2 : เลือกตัüเลข 1 ตัü จากทั้งĀมด 3 ตัü ทำได้3 üิธี แÿดงü่าÿามารถÿร้างรĀัÿได้ทั้งĀมด 4 x 3 = 12 üิธี 3) รĀัÿที่ประกอบด้üยตัüเลข 3 ตัü ซึ่งüิธีการเลือกตัüเลขมา 3 ตัü จากทั้งĀมด 4 ตัü ทำได้ดังนี้ 1. Āลักที่ 1 : เลือกตัüเลข 1 ตัü จากทั้งĀมด 4 ตัü ทำได้4 üิธี Āลักการบüก (กรณีทั่üไป) (กรณีทั่üไป) ในการทำงานอย่างĀนึ่ง ถ้าÿามารถแบ่งüิธีการทำงานออกเป็น k กรณี โดยที่ กรณีที่ 1 ÿามารถทำได้ n1 üิธี กรณีที่ 2 ÿามารถทำได้ n2 üิธี : กรณีที่ k ÿามารถทำได้ nK üิธี ซึ่งüิธีการทำงานในทั้ง k กรณีไม่ซ้ำซ้อนกัน และการทำงานในแต่ละกรณีทำใĀ้งานเÿร็จ ÿมบูรณ์แล้üจะÿามารถทำงานนี้ได้ทั้งĀมด n1 + n2 + ... + nK üิธี 4 4 4 3 4 Āลักที่ 1 Āลักที่ 1 Āลักที่ 2 Āลักที่ 1 Āลักที่ 2 Āลักที่ 1 Āลักที่ 2 Āลักที่ 3

15 2. Āลักที่ 2 : เลือกตัüเลข 1 ตัü จากทั้งĀมด 3 ตัü ทำได้3 üิธี 3. Āลักที่ 3 : เลือกตัüเลข 1 ตัü จากทั้งĀมด 2 ตัü ทำได้2 üิธี แÿดงü่า ÿามารถÿร้างรĀัÿได้ทั้งĀมด 4 x 3 x 2 = 24 üิธี 4) รĀัÿที่ประกอบด้üยตัüเลข 2 ตัü ซึ่งüิธีการเลือกตัüเลขมา 2 ตัü จากทั้งĀมด 4 ตัü ทำได้ดังนี้ 1. Āลักที่ 1 : เลือกตัüเลข 1 ตัü จากทั้งĀมด 4 ตัü ทำได้4 üิธี 2. Āลักที่ 2 : เลือกตัüเลข 1 ตัü จากทั้งĀมด 3 ตัü ทำได้3 üิธี 3. Āลักที่ 3 : เลือกตัüเลข 1 ตัü จากทั้งĀมด 2 ตัü ทำได้2 üิธี 4. Āลักที่ 4 : เลือกตัüเลข 1 ตัü จากทั้งĀมด 1 ตัü ทำได้1 üิธี แÿดงü่า ÿามารถÿร้างรĀัÿได้ทั้งĀมด 4 x 3 x 2 x 1 = 24 üิธี ดังนั้น มีüิธีการÿร้างรĀัÿทั้งĀมด 4 + 12 + 24 + 24 = 64 üิธี 4 3 4 3 2 Āลักที่ 1 Āลักที่ 2 Āลักที่ 3 Āลักที่ 1 Āลักที่ 2 Āลักที่ 3 4 Āลักที่ 1 Āลักที่ 2 Āลักที่ 3 Āลักที่ 4 4 3 Āลักที่ 1 Āลักที่ 2 Āลักที่ 3 Āลักที่ 4 4 3 2 Āลักที่ 1 Āลักที่ 2 Āลักที่ 3 Āลักที่ 4 4 3 2 Āลักที่ 1 Āลักที่ 2 Āลักที่ 3 1 Āลักที่ 4

16 จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. Āาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นของเĀตุการณ์โดยใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยüกับการนับ (Āลักการบüก) ได้ 2. ÿามารถใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยüกับการนับ (Āลักการบüก) ในการแก้ปัญĀาได้ คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนĀาจำนüนüิธีที่เป็นไปได้ทั้งĀมดโดยใช้Āลักการบüก 1. มีเลื้อ 6 ตัü เป็นÿีขาü 4 ตัü และÿีฟ้า 2 ตัü มีกางเกง 5 ตัü เป็นÿีขาü 1 ตัü และÿีฟ้า 4 ตัü จะมีüิธีเลือก ชุด 1 ชุด ที่มีเÿื้อและกางเกงÿีเดียüกันได้ทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. 2. ถ้าใช้ตัüอักþร A, B, C และ D ในการÿร้างรĀัÿ 1 Āลัก Āรือ 2 Āลัก Āรือ 3 Āลัก Āรือ 4 Āลัก โดยที่แต่ ละĀลักไม่ใช้ตัüอักþรซ้ำกัน จะÿร้างรĀัÿได้กี่แบบ üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. 3. ในกล่องใบĀนึ่งมีบัตร 10 ใบ แต่ละใบมีĀมายเลข 1 ตัü คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ถ้าĀยิบบัตร จากกล่องมา 2 ใบ โดยĀยิบครั้งละ 1 ใบ โดยไม่ใÿ่คืนไป จะÿามารถเลือกĀยิบบัตรเĀล่านี้ได้กี่üิธี โดย ผลรüมของĀมายเลขบัตรทั้งÿองใบเป็นจำนüนคี่ üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. แบบฝึกทักþะที่ 1 เรื่อง Āลักการบüก

17 4. มีĀนังÿือที่แตกต่างกันกองĀนึ่งเป็นĀนังÿือเรียนคณิตýาÿตร์ 3 เล่ม Āนังÿือเรียนภาþาอังกฤþ 6 เล่ม Āนังÿือเรียนภาþาไทย 4 เล่ม ĀาจำนüนüิธีĀยิบĀนังÿือ 1 เล่ม จากกองนี้ üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. 5. นายต้าต้องการซื้อของเล่นใĀ้นางÿาüเต้ย 1 ชิ้น จึงไปร้านขายของเล่นเด็กซึ่งมีÿินค้า 3 ชนิด คือ ตุ๊กตาĀมี ตุ๊กตาเด็ก และรถของเล่น โดยที่ตุ๊กตาĀมีมี 3 แบบ ตุ๊กตาเด็กมีแบบเด็กผู้ชาย 2 แบบ แบบเด็กผู้Āญิง 3 แบบ และรถของเล่นมี 2 แบบ นายต้าจะมีüิธีเลือกซื้อของเล่นได้กี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. 6. นายเอกต้องการเดินทางจากเมือง ก ไปยังเมือง ค โดยต้องผ่านเมือง ข ก่อน ซึ่งจากเมือง ก ไปยังเมือง ข เขาÿามารถเดินทางโดยเรือ รถไฟ Āรือรถยนต์ก็ได้ และการเดินทางจากเมือง ข ไปยังเมือง ค เขาÿามารถ เดินทางโดยเรือ รถไฟ รถยนต์ Āรือเครื่องบินก็ได้ ถ้านายเอกต้องการเดินทางจากเมือง ก ไปยังเมือง ค โดยการนั่งเรือเพียงครั้งเดียü นายเอกÿามารถเดินทางได้ทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. 7. เอต้องการเดินทางไปเชียงใĀม่ ซึ่งÿามารถไปได้โดยขึ้นรถทัüร์รถไฟ และเครื่องบิน ถ้าในüันĀนึ่ง ๆ มีรถทัüร์ไปเชียงใĀม่ 5 เที่ยü รถไฟ 3 เที่ยü และเครื่องบิน 2 เที่ยü เอมีüิธีในการเดินทางไปเชียงใĀม่ได้ แตกต่างทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. ………….……………………………………………………………………………………………………………………………..….…………….

18 8. ต้องการÿร้างจำนüนคู่ที่มี 3 Āลัก โดยÿร้างจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 Āรือ 5 โดยเลขโดดแต่ละĀลักไม่ซ้ำ กันจะÿร้างได้ทั้งĀมดกี่จำนüน üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. ………….……………………………………………………………………………………………………………………………..….……………. ………….……………………………………………………………………………………………………………………………..….……………. 9. นำกระเบื้องรูปÿามเĀลี่ยมด้านเท่าที่แต่ละด้านยาü 1 Āน่üย จำนüน 4 แผ่น มาจัดเรียงชิดกันดังรูป จาก การจัดเรียงกระเบื้องข้างต้น มีรูปÿามเĀลี่ยมด้านเท่าทั้งĀมดกี่รูป üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. 10. นำกระเบื้องรูปÿี่เĀลี่ยมจัตุรัÿที่แต่ละด้านยาü 1 Āน่üย จำนüน 9 แผน มาจัดเรียงชิดกันดังรูป จากการ จัดเรียงกระเบื้องข้างต้น มีรูปÿี่เĀลี่ยมจัตุรัÿทั้งĀมดกี่รูป üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..…………. ………….……………………………………………………………………………………………………………………………..….…………….

19 ทำได้ 8 - 10 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 6 - 7 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 4 - 5 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 - 3 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง เกณฑ์การประเมินแบบฝึกทักþะที่ 1 คะแนนเต็ม 10 คนแนน ทำได้................คะแนน ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง

20 ตัüอย่างที่ 1 บริþัทผลิตเÿื้อผ้าÿำเร็จรูปแĀ่งĀนึ่งผลิตเÿื้อ 6 แบบและกางเกง 5 แบบ ถ้าจะจัดแต่งตัüใĀ้กับĀุ่นเพื่อ นำไปโชü์Āน้าร้าน จะÿามารถแต่งเป็นชุดต่างๆกันได้กี่ชุด แนüคิดที่ 1 ในการแต่งตัüใĀ้กับĀุ่นมี 2 ขั้นตอน คือ ขั้นตอนที่ 1 เลือกเÿื้อได้ 6 üิธี ขั้นตอนที่ 2 เลือกกางเกงได้ 5 üิธี ดังนั้น üิธีการแต่งตัüใĀ้กับĀุ่นทำได้ทั้งĀมด 6×5 = 30 üิธี แนüคิดที่ 2 นำเÿื้อแต่ละตัüมาจับคู่กับกางและĀาüิธีทั้งĀมด ดังนี้ ดังนั้น üิธีการแต่งตัüใĀ้กับĀุ่นทำได้ทั้งĀมด 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30 üิธี ใบคüามรู้ที่ 2 เรื่อง Āลักการคูณ Āลักการคูณ ในการทำงานอย่างĀนึ่ง ถ้าÿามารถแบ่งขั้นตอนการทำงานออกเป็น 2 ขั้นตอน ซึ่งต้องทำต่อเนื่องกัน โดยที่ ขั้นตอนที่ 1 ÿามารถทำได้n1 üิธี ในแต่ละüิธีของขั้นตอนที่ 1 ÿามารถทำขั้นตอนที่ 2 ต่อไปได้ n2 üิธี แล้üจะÿามารถทำงานนี้ได้ทั้งĀมด n1 x n2 üิธี ทำได้ 5 üิธี ทำได้ 5 üิธี ทำได้ 5 üิธี ทำได้ 5 üิธี ทำได้ 5 üิธี ทำได้ 5 üิธี แบบฝึกทักþะ ชุดที่ 2

21 ตัüอย่างที่2 Ā้องประชุมแĀ่งĀนึ่งมีประตูอยู่ 3 ประตูจงĀาüิธีที่เดินเข้าและออกĀ้องประชุม ถ้ามีเงื่อนไข คือ 1. เดินเข้าและออกประตูใดก็ได้ 2. Ā้ามเดินเข้าและออกซ้ำประตูเดิม üิธีทำ 1. เดินเข้าและออกประตูใดก็ได้ ÿามารถทำได้ดังนี้ 1. เลือกเดินเข้า 1 ประตูจากทั้งĀมด 3 ประตูทำได้3 üิธี 2. เลือกเดินออก 1 ประตูจากทั้งĀมด 3 ประตูทำได้3 üิธี ดังนั้น üิธีที่เดินเข้าและเดินออกĀ้องประชุมประตูใดก้ได้เท่ากับ 3×3 = 9 üิธี 2. Ā้ามเดินเข้าและออกซ้ำประตูเดิม ÿามารถทำได้ดังนี้ 1. เลือกเดินเข้า 1 ประตูจากทั้งĀมด 3 ประตูทำได้3 üิธี 2. เลือกเดินออก 1 ประตูจากทั้งĀมด 2 ประตูทำได้2 üิธี ดังนั้น üิธีที่เดินเข้าและเดินออกĀ้องประชุมประตูใดก็ได้เท่ากับ 3×2 = 6 üิธี

22 ตัüอย่างที่1 ÿมมติใĀ้รถเมล์คันĀนึ่ง Āยุดรถตามป้ายทั้งĀมด 12 ป้าย (รüมป้ายแรกและป้ายÿุดท้าย) และไม่รับ ผู้โดยÿารระĀü่างทาง ถ้ารถเมล์คันนี้ออกจากป้ายแรกโดยมีผู้โดยÿาร 7 คน จงĀำนüนüิธีที่ผู้โดยÿารทั้ง 7 คนนี้จะ ลงจากรถĀมด โดยไม่จำกัดจำนüนที่ลงในแต่ละป้าย üิธีทำ ผู้โดยÿารทั้ง 7 คน จะลงจากรถĀมด ÿามารถทำได้ดังนี้ 1. ผู้โดยÿารคนที่ 1 เลือกลงที่ป่ายใดก็ได้1 ป้าย จากทั้งĀมด 12 ป้าย ทำได้12 üิธี 2. ผู้โดยÿารคนที่ 2 เลือกลงที่ป่ายใดก็ได้1 ป้าย จากทั้งĀมด 12 ป้าย ทำได้12 üิธี 3. ผู้โดยÿารคนที่ 3 เลือกลงที่ป่ายใดก็ได้1 ป้าย จากทั้งĀมด 12 ป้าย ทำได้12 üิธี 4. ผู้โดยÿารคนที่ 4 เลือกลงที่ป่ายใดก็ได้1 ป้าย จากทั้งĀมด 12 ป้าย ทำได้12 üิธี 5. ผู้โดยÿารคนที่ 5 เลือกลงที่ป่ายใดก็ได้1 ป้าย จากทั้งĀมด 12 ป้าย ทำได้12 üิธี 6. ผู้โดยÿารคนที่ 6 เลือกลงที่ป่ายใดก็ได้1 ป้าย จากทั้งĀมด 12 ป้าย ทำได้12 üิธี 7. ผู้โดยÿารคนที่ 7 เลือกลงที่ป่ายใดก็ได้1 ป้าย จากทั้งĀมด 12 ป้าย ทำได้12 üิธี ดังนั้น ผู้โดยÿารทั้ง 7 คน จะลงจากรถĀมด ÿามารถทำได้12 x 12 x 12 x 12 x 12 x 12 x 12 = 84 üิธี Āลักการคูณ (กรณีทั่üไป) (กรณีทั่üไป) ในการทำงานอย่างĀนึ่ง ถ้าÿามารถแบ่งขั้นตอนการทำงานออกเป็น k ขั้นตอน ซึ่งต้องทำต่อเนื่องกัน โดยที่ ขั้นตอนที่ 1 ÿามารถทำได้n1 üิธี ในแต่ละüิธีของขั้นตอนที่ 1 ÿามารถทำขั้นตอนที่ 2 ต่อไปได้ n2 üิธี ในแต่ละüิธีของขั้นตอนที่ 1 และขั้นตอนที่ 2 ÿามารถทำขั้นตอนที่ 3 ต่อไปได้ n2 üิธี ในแต่ละüิธีของขั้นตอนที่ 1 ถึงขั้นตอนที่ k - 1 ÿามารถทำขั้นตอนที่ k ต่อไปได้ nk üิธี แล้üจะÿามารถทำงานนี้ได้ทั้งĀมด n1 x n2 x … x nküิธี

23 จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. Āาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นของเĀตุการณ์โดยใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยüกับการนับ (Āลักการคูณ) ได้ 2. ÿามารถใช้กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยüกับการนับ (Āลักการคูณ) ในการแก้ปัญĀาได้ คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนĀาจำนüนüิธีที่เป็นไปได้ทั้งĀมดโดยใช้Āลักการบüก 1. ในการรับÿมัครพนักงาน 2 ตำแĀน่ง เป็นพนักงานĀญิง 1 ตำแĀน่ง พนักงานชาย 1 ตำแĀน่งถ้าผู้ÿมัครเป็น Āญิง 4 คน เป็นชาย 5 คน จะมีจำนüนüิธีรับพนักงานแบบต่าง ๆ ได้กี่üิธี üิธีทำ ………………………………….………………………………………………………………………….…………………….…………………. …….…………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….… ………….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..………….…… …….……………………………………………………………………………………………………………………………..….…………….………… ……………………………………………………………….………………………..………………..……………………………..…..………………… 2. ถ้า A = {1, 3, 5, 7, 9} จงĀาü่าจะÿามารถนำÿมาชิกในเชต A มาÿร้างเป็นจำนüนเต็มซึ่งมีÿามĀลัก โดยที่แต่ ละĀลักใช้เลขโดดไม่ซ้ำกันได้ทั้งĀมดกี่จำนüน üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………..…...…………… …………………….………………………………………………………………………………………………………………….…………….………… ……………………………………………………………….………………………..……………………………..………….………….……………… ……………………………………………………………………………………………………………..….…………….……………………………… 3. บัตรเข้าชมภาพยนตร์ของโรงĀนังแĀ่งĀนึ่งกำĀนดĀมายเลขที่นั่งเข้าชมโดยใช้Āมายเลข 1 – 20 และตัüอักþร ภาþาอังกฤþ A – P ตัüอย่างเช่น 1A จงĀาจำนüนที่นั่งทั้งĀมดของโรงĀนังแĀ่งนี้ üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..…...………… …………………….………………………………………………………………………………………………………………….…………….………… ……………………………………………………………….………………………..……………………………..………….………….……………… ……………………………………………………………………………………………………………..….…………….……………………………… ………………………………………….………………………..…………………………….…………………………..………………………………… แบบฝึกทักþะที่2 เรื่อง Āลักการคูณ

24 4. จงนำตัüอักþรจากคำü่า FATHER มาจัดเป็นคำใĀม่ โดยไม่ต้องคำนึงถึงคüามĀมาย จะจัดเป็นคำที่แตกต่างกัน ทั้งĀมดได้กี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..….......……… …………………………….………………………………………………………………………………………………………………….…………….… ……………………………………………………………………….………………………..……………………………..………….………….……… ……………………………………………………………………………………………………………………..….…………….……………………… 5. ในการÿอบüิชาคณิตýาÿตร์ซึ่งมีข้อÿอบแบบผิด – ถูกอยู่ 10 ข้อ นักเรียนจะเลือกตอบข้อÿอบทั้ง 10 ข้อได้ ทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….…………….……………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….……… …….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..………….…………. ……………………………………………………………………………………………………………………………..….…………….……………… 6. โยนเหรียญ 2 เหรียญ ที่แตกต่างกัน พร้อมกับลูกเต๋า 1 ลูก หาจ านวนวิธีของผลลัพธ์ทั้งหมด üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….…………….……………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….……… …….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..………….…………. ……………………………………………………………………………………………………………………………..….…………….……………… 7. นายต่อเตรียมชุดÿำĀรับไปงานเลี้ยงอำลาจบการýึกþา โดยนายต่อมีเÿื้อÿูท และกางเกง อย่างละ 3 ตัü เมื่อÿüมใÿ่แล้üเป็นขุดที่เĀมาะÿม มีเÿื้อเชิ้ตÿำĀรับใÿ่ข้างในอีก 5 ตัü Āูกระต่ายอีก 8 อัน และมีร้องเท้าĀนัง 4 คู่ นายต่อจะต้องÿüมเÿื้อเชิ้ตติดĀูกระต่าย เÿื้อÿูทคู่กับกางเกง 1 ตัü และÿüมรองเท้าĀนังอีก 1 คู่ นายต่อจะแต่งตัü ได้ทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….…………….……………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….……… …….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..………….…………. ……………………………………………………………………………………………………………………………..….…………….……………… ………………………………………………………….………………………..……………………………………………………………………..…..

25 8. เÿาธงต้นĀนึ่งมีที่ผูกธงได้ 3 ผืน เรียงลำดับจากบนลงล่าง ถ้ามีธงแตกต่างกันอยู่ 7 ผืน จะผูกธงได้กี่แบบ üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….…………….……………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….……… …….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..………….…………. ……………………………………………………………………………………………………………………………..….…………….……………… ………………………………………………………….………………………..……………………………………………………………………..….. 9. ในการแข่งขันüิ่งมาราธอนของผู้เข้าแข่งขันจำนüน 15 คน จงĀาüิธีที่ผู้เข้าแข่งแต่ละคนจะüิ่งเข้าเÿ้นชัยเป็น ลำดับที่ 1, 2 และ 3 (ไม่มีใครüิ่งเÿมอกัน) üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….…………….……………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….……… …….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..………….…………. ……………………………………………………………………………………………………………………………..….…………….……………… ………………………………………………………….………………………..……………………………………………………………………..….. 10. จากคำü่า CHANGE ถ้านำตัüอักþรมาเรียงเป็นคำใĀม่โดยไม่คำนึงถึงคüามĀมายจะได้กี่คำĀากไม่นับคำเดิม üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….…………….……………………..…... …………………………………….………………………………………………………………………………………………………………….……… …….………………………………………………………………………….………………………..……………………………..………….…………. ……………………………………………………………………………………………………………………………..….…………….……………… ………………………………………………………….………………………..……………………………………………………………………..…..

26 ทำได้ 8 - 10 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 6 - 7 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 4 - 5 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 - 3 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง เกณฑ์การประเมินแบบฝึกทักþะที่ 2 คะแนนเต็ม 10 คนแนน ทำได้................คะแนน ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง

27 แฟกทอเรียล n เขียนแทนด้üย n! ÿัญลักþณ์ “n!” อ่านü่า “เอ็นแฟกทอเรียล” นั่นคือ n! = n(n–1)(n–2)(n–3)…321 เช่น 1! = 1 2! = 2 x 1 = 2 3! = 3 x 2 x 1 = 6 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 ĀมายเĀตุ กำĀนดใĀ้ 0! = 1 ตัüอย่างที่ 1 จงเขียนจำนüนต่อไปนี้ใĀ้อยู่ในรูปที่ไม่มีแฟกทอเรียล 1. 54321 5 5 4! 4 3 2 1 ! = = 2. 87 654321 8 7 56 4 8 ! 65 321 ! 6 == = 3. 2! 1 3 2! 3 2! 3! = = 4. ( 3)( 2)( 1)! ( 3)( 2) ( 3)! ( 1)! ( 1)! n n n n n n n n + + + + + + = = + + ใบคüามรู้ที่ 3 เรื่องการเรียงÿับเปลี่ยนเชิงเÿ้นของÿิ่งของที่แตกต่างกันทั้งĀมด แฟกทอเรียล ใĀ้n เป็นจำนüนเต็มบüก แฟกทอเรียล n คือ การคูณของจำนüนเต็มบüก ตั้งแต่ 1 ถึง n แบบฝึกทักþะ ชุดที่ 3

28 ตัüอย่างที่2 จงĀาจำนüนüิธีที่แตกต่างกันที่จะจัดตัüอักþรจากคำü่า EXPORT มาจัดเป็นคำใĀม่ โดยไม่คำนึงü่าจะ มีคüามĀมายĀรือไม่ üิธีทำ ตัüอักþรมีทั้งĀมด 6ตัüแตกต่างกันไป นำมาจัดเรียงทั้ง 6 ตัü ตำแĀน่งที่ 1 ÿามารถเลือกตัüอักþรมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 6 ตัü ตำแĀน่งที่ 2 ÿามารถเลือกตัüอักþรมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 5 ตัü ตำแĀน่งที่ 3 ÿามารถเลือกตัüอักþรมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 4 ตัü ตำแĀน่งที่ 4 ÿามารถเลือกตัüอักþรมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 3 ตัü ตำแĀน่งที่ 5 ÿามารถเลือกตัüอักþรมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 2 ตัü ตำแĀน่งที่ 6 ÿามารถเลือกตัüอักþรมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 1 ตัü ดังนั้น จะได้จำนüนüิธีทั้งĀมดเท่ากับ 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720 üิธี ตัüอย่างที่3 จะจัดเรียงĀนังÿือคณิตýาÿตร์7 เล่มที่แตกต่างกันบนชั้นĀนังÿือได้กี่üิธี üิธีทำ Āนังÿือคณิตýาÿตร์ทั้ง7เล่มที่แตกต่างกัน นำมาจัดเรียง 7 เล่ม ตำแĀน่งที่ 1 ÿามารถเลือกĀนังÿือมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 7 เล่ม ตำแĀน่งที่ 2 ÿามารถเลือกĀนังÿือมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 6 เล่ม ตำแĀน่งที่ 3 ÿามารถเลือกĀนังÿือมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 5 เล่ม ตำแĀน่งที่ 4 ÿามารถเลือกĀนังÿือมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 4 เล่ม ตำแĀน่งที่ 5 ÿามารถเลือกĀนังÿือมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 3 เล่ม ตำแĀน่งที่ 6 ÿามารถเลือกĀนังÿือมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 2 เล่ม ตำแĀน่งที่ 7 ÿามารถเลือกĀนังÿือมาจัดเรียงได้ทั้งĀมด 1 เล่ม ดังนั้น จะได้จำนüนüิธีทั้งĀมดเท่ากับ 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5,040 üิธี 6 E X P O R T 5 E X P O R T 4 E X P O R T 3 E X P O R T 2 E X P O R T 1 E X P O R T

29 จำนüนüิธีในการนำÿิ่งของ r ชิ้น จากÿิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น มาเรียงÿับเปลี่ยนเชิง เÿ้น คือ (n r)! n! − = n r p ,

30 จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. แÿดงคüามÿัมพันธ์ของการคูณจำนüนนับในรูปแฟกทอเรียลได้ 2. นำคüามรู้เรื่องแฟกทอเรียล n ไปใช้แก้ปัญĀาได้ คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีการĀาแฟกทอเรียล 1) 4! üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..………… 2) 6! üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..………… 3) 4! 2! üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… 4) 8! 10! üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….…………………….………..………… …………………………………….……………………………………………………………………………………………….…………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..………………….…………………….………… 5) 5! 3!2! üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………...………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..………………………………….…….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… แบบฝึกทักþะที่3.1 เรื่อง แฟกทอเรียล

31 6) 4!5! 3! üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………...………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..………………………………….…….………… 7) (3!) 2 üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………...………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… 8) n! (n - 2)! üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………...………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..………………………………….…….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 9) (n + 2)! (n - 1)! üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………...………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..………………………………….…….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 10) (n + k + 1)! (n + k - 1)! üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………...………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..………………………………….…….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….…

32 ทำได้ 8 - 10 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 6 - 7 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 4 - 5 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 - 3 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง เกณฑ์การประเมินแบบฝึกทักþะที่ 3.1 คะแนนเต็ม 10 คนแนน ทำได้................คะแนน ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง

33 จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. Āาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นของเĀตุการณ์โดยใช้üิธีการเรียงÿับเปลี่ยนได้ 2. ÿามารถใช้üิธีการเรียงÿับเปลี่ยนในการแก้ปัญĀาได้ คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีการĀาคำตอบ 1. นักüิ่งแข่ง 4 คน üิ่งเข้าเÿ้นชัยในอันดับต่างๆกัน ได้ทั้งĀมดกี่üิธี (ไม่มีใครเÿมอกัน) üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..………… …………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………. 2. จะÿร้างจำนüนที่มีÿี่Āลัก จากเลขโดด 2,4,6,8,9 ได้ทั้งĀมดกี่จำนüน โดยที่แต่ละจำนüนนั้นต้องไม่มีเลข โดดในĀลักใดซ้ำกันเลย üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..………… …………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………. 3. ในการตอบปัญĀาชิงรางüัลเกี่ยüกับการเรียงอันดับคüามÿำคัญของคุณภาพÿินค้าชนิดĀนึ่ง กำĀนดใĀ้ 10 ข้อ จงĀาจำนüนüิธีที่ผู้ตอบปัญĀา จะเรียงอันดับคüามÿำคัญของคุณภาพÿินค้าชนิดนั้น üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..…………………………………………………. 4. ÿามี ภรรยา คู่Āนึ่ง พร้อมด้üยลูก 4 คน มายืนเรียงแถüยาüเพื่อถ่ายรูป จะมีüิธีจัดใĀ้ยืนทั้งĀมดกี่üิธี เมื่อ 4.1 ไม่มีเงื่อนไข 4.2 พ่อและแม่ไม่ยืนติดกัน 4.3 พ่อแม่ยืนริม 2 ด้าน üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..……………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… แบบฝึกทักþะที่3.2 เรื่อง การเรียงÿับเปลี่ยนเชิงเÿ้น

34 5. จะจัดนักเรียนชาย 6 คน นักเรียนĀญิง 6 คน ใĀ้ยืนเรียงแถüได้ทั้งĀมดกี่üิธี เมื่อ 5.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 5.2 ชายกับĀญิงยืนÿลับกัน 5.3 ชาย 2 คน ยืนÿลับกับ Āญิง 2 คน üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..……………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. 6. เพชรมีĀนังÿือที่แตกต่างกัน 10 เล่ม ต้องการนำĀนังÿือ 4 เล่ม มาจัดเรียงเป็นแถüบนชั้น จะจัดได้กี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..……………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. 7. ครูมีĀนังÿือ 7 เล่ม ที่แตกต่างกัน แจกใĀ้เด็ก 4 คน คนละ 1 เล่ม ทำได้กี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..……………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. 8. รถÿองแถüที่มีที่นั่ง 2 แถü แถüละ 5 คน มีผู้โดยÿาร 10 คน เป็นผู้ชาย 5 คน เป็นผู้Āญิง 5 คน Āาจำนüน üิธีเลือกที่นั่งตามเงื่อนไขที่กำĀนดต่อไปนี้ 8.1 ทุกคนนั่งในตำแĀน่งใดก็ได้ 8.2 ผู้ชายกับผู้Āญิงต้องไม่นั่งแถüเดียüกัน üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..……………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………………………….

35 9. ถ้าĀนูนิดต้องการจัดเรียงĀนังÿือ 8 เล่ม ที่แตกต่างกันไü้บนชั้นüางĀนังÿือ ĀาจำนüนüิธีจัดĀนังÿือไü้บนชั้น ถ้ากำĀนดใĀ้มีĀนังÿือ 3 เล่ม ที่เจาะจงต้องจัดอยู่ติดกัน üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..……………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. 10. มีคน 6 คน ซึ่งมีüนิดากับüดีรüมอยู่ด้üย ถ้าต้องการจัดใĀ้ยืนเรียงแถüĀน้ากระดาน จะจัดได้ทั้งĀมดกี่üิธี ตามเงื่อนไขที่กำĀนดใĀ้ต่อไปนี้ 10.1 แต่ละคนยืนในตำแĀน่งใดๆ ก็ได้ 10.2 ใĀ้üดีกับüนิดายืนติดกัน 10.3 ใĀ้üนิดากับüดียืนĀัüแถüและท้ายแถü 10.4 üนิดากับüดีต้องไม่ยืนติดกัน üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..……………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..………………………………………………………. …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………………………….

36 ทำได้ 8 - 10 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 6 - 7 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 4 - 5 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 - 3 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง เกณฑ์การประเมินแบบฝึกทักþะที่ 3.2 คะแนนเต็ม 10 คนแนน ทำได้................คะแนน ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง

37 ตัüอย่างที่1 มีดินÿอ 12 แท่ง ซึ่งมีÿีแตกต่างกันทั้งĀมด ต้องการĀยิบทีละ 5 แท่ง จงĀาüิธีที่แต่ละครั้งในการ Āยิบมา จะต้องมีดินÿอÿีเขียüอยู่ด้üยเÿมอ üิธีทำ จากโจทย์แÿดงü่าจะÿามารถเลือกĀยิบÿีอื่นๆ ได้อีกเพียง 4 แท่งจากปากกาทั้งĀมด 11 แท่งที่เĀลือ จะได้ü่า จำนüนüิธีในการĀยิบ C11, 4 = 11! (11−4)! 4! = 11 × 10 × 9 × 8 4 × 3 × 2 × 1 üิธี ดังนั้น จำนüนüิธีในการĀยิบ = 330 üิธี ตัüอย่างที่2 เด็กชายอันดามีĀนังÿือการ์ตูน 7 เล่ม เด็กĀญิงฟ้าใÿมีĀนังÿือการ์ตูน 9 เล่ม เด็กทั้งÿองจะมีüิธีการ แลกĀนังÿือกันคนละ 2 เล่ม ได้กี่üิธี üิธีทำ üิธีแลกĀนังÿือมีขั้นตอน ดังนี้ ขั้นที่1 เด็กชายอันดาเลือกĀนังÿือการ์ตูนของตัüเอง 2 เล่ม จากที่มีอยู่ 7 เล่ม เพื่อแลกกับเด็กĀญิงฟ้าใÿทำได้ C7, 2 = 7! (7−2)! 2! = 21 üิธี ขั้นที่2 เด็กĀญิงฟ้าใÿเลือกĀนังÿือการ์ตูนของตัüเอง 2 เล่ม จากที่มีอยู่ 9 เล่ม เพื่อแลกกับเด็กชายอันดาทำได้ C9, 2 = 9! (9−2)! 2! = 36 üิธี ดังนั้น เด็กทั้งÿองจะมีüิธีในการแลกĀนังÿือกันทั้งĀมด 21 × 36 = 756 üิธี ใบคüามรู้ที่ 4 เรื่องการจัดĀมู่ การจัดĀมู่ จำนüนüิธีจัดĀมู่ของÿิ่งของที่แตกต่างกัน n ชิ้น โดยเลือกคราüละ r ชิ้น คือ Cn, r = n! (n r)!r! − üิธี แบบฝึกทักþะ ชุดที่ 4

38 จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. Āาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นของเĀตุการณ์โดยใช้üิธีการจัดĀมู่ได้ 2. ÿามารถใช้üิธีการจัดĀมู่ในการแก้ปัญĀาได้ คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีการĀาการจัดĀมู่ 1) ข้อÿอบüิชาคณิตýาÿตร์ฉบับĀนึ่งมี 9 ข้อ กำĀนดใĀ้เลือกทำ 7 ข้อ 1. นักเรียนแต่ละคนจะมีüิธีเลือกทำได้กี่üิธี 2. ถ้าทุกคนต้องทำ 4 ข้อแรก นักýึกþาแต่ละคนจะมีüิธีเลือกทำได้กี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….………………………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… ……………………………………………………………………….………………………..……………………………………….…………………… ……………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….…………… …………………………………………………………….………………………..………………………………………. 2) ในถุงใบĀนึ่งมีลูกĀินÿีแดง 5 ลูก และลูกĀินÿีเขียü 3 ลูก ĀยิบลูกĀินออกจากถุง 3 ลูก จงĀาจำนüนüิธีที่จะได้ ลูกĀินÿีแดง 2 ลูกและลูกĀินÿีเขียü 1 ลูก üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………………………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 3) มีจุด 6 จุดบนüงกลม ลากÿ่üนของเÿ้นตรงต่อจุดเĀล่านี้ทั้งĀมด จะเกิดรูปเĀลี่ยมทั้งĀมดกี่รูป üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… แบบฝึกทักþะที่4.1 เรื่อง การจัดĀมู่

39 4) มีนักเรียน 15 คน เป็นผู้ชาย 8 คน เป็นผู้Āญิง 7 คน Āาจำนüนüิธีการเลือกนักเรียน 4 คน เป็นตัüแทนของ Ā้อง เมื่อ 4.1) เป็นผู้ชายĀรือผู้Āญิงก็ได้ 4.2) เป็นผู้ชาย 2 คน และผู้Āญิง 2 คน üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 5) มีĀลอดไฟที่แตกต่างกัน 8 Āลอด เป็นĀลอดไฟเÿีย 3 Āลอด ถ้าต้องการĀยิบมา 4 Āลอด Āาจำนüนüิธีที่จะ ได้Āลอดไฟเÿียไม่เกิน 2 Āลอด üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 6) ธิดามีเÿื้อÿีดำแบบต่างๆ 6 ตัü และเÿื้อÿีฟ้าแบบต่างๆ 4 ตัü ถ้าĀยิบเÿื้อมา 5 ตัü ใĀ้ได้เÿื้อทั้งÿองÿี Āา จำนüนüิธีที่น่าจะĀยิบได้เÿื้อÿีดำมากกü่าเÿื้อÿีฟ้า üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….…

40 7) ทĀารกลุ่มĀนึ่งมี 7 คน ต้องการแต่งตั้งĀัüĀน้า 1 คน รองĀัüĀน้า 1 คน และเจ้าĀน้าที่ÿüัÿดิการ 2 คน มี จำนüนüิธีคัดเลือกทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 8) นักเรียนกลุ่มĀนึ่งมี 8 คน จะต้องทำรายงาน 4 Āัüข้อ ที่แตกต่างกัน Āัüข้อละ 2 คน จะจัดคู่ได้ทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 9) มีของขüัญ 7 ชิ้น ที่แตกต่างกัน ต้องการเลือกของขüัญอย่างน้อย 1 ชิ้น จำนüนüิธีเลือกทั้งĀมดมีกี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 10) ในÿัปดาĀ์ÿุดของปีบริþัทแĀ่งĀนึ่งใĀ้พนักงานทำงาน 3 üัน ไปเที่ยü 2 üัน และพักผ่อน 2 üัน จำนüนüิธี จัดÿรรมีทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….…

41 ทำได้ 8 - 10 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 6 - 7 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 4 - 5 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 - 3 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง เกณฑ์การประเมินแบบฝึกทักþะที่ 4.1 คะแนนเต็ม 10 คนแนน ทำได้................คะแนน ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง

42 จุดประÿงค์การเรียนรู้ 1. Āาผลลัพธ์ที่อาจเกิดขึ้นของเĀตุการณ์โดยใช้üิธีการจัดĀมู่ได้ 2. ÿามารถใช้üิธีการจัดĀมู่ในการแก้ปัญĀาได้ คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีการĀาการจัดĀมู่ 1) ข้อÿอบ 10 ข้อ กำĀนดใĀ้เลือกทำ 8 ข้อ จะมีüิธีเลือกทำข้อÿอบได้กี่üิธี üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… 2) มีจุด 10 จุด ที่ไม่มี 3 จุดใด อยู่บนเÿ้นตรงเดียüกัน จะลากเÿ้นตรงเชื่อมจุดเĀล่านี้ได้ทั้งĀมดกี่เÿ้น üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… 3) มีจุด 10 จุด ที่ไม่มี 3 จุดใด อยู่บนเÿ้นตรงเดียüกัน จะมีรูปÿามเĀลี่ยมที่จุดเĀล่านี้เป็นจุดยอดทั้งĀมดได้กี่รูป üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 4) ในการแข่งขันฟุตบอลรายการĀนึ่ง มีทีมฟุตบอลเข้าร่üมแข่งขันทั้งÿิ้น 10 ทีม ซึ่งการแข่งขันรอบแรกเป็นการ แข่งขันแบบพบกันĀมด จำนüนนัดที่แข่งขันทั้งĀมดมีกี่นัด üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… แบบฝึกทักþะที่4.2 เรื่อง การจัดĀมู่

43 5) ในงานเลี้ยงปีใĀม่ของบริþัทแĀ่งĀนึ่ง มีพนังงานเข้าร่üมทั้งĀมด 30 คน เพื่อใĀ้พนักงานทุกคนได้ทำคüามรู้จัก กันอย่างครบถ้üน พิธีกรในงานจึงประกาýใĀ้พนังงานทุกคนจับมือและทักทายกันใĀ้ครบทุกคน จะมีการจับมือ ทักทายกันเกิดขึ้นทั้งĀมดกี่ครั้ง üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… มีคู่ÿามีภรรยา 4 คู่ เป็นเพื่อนกันไปร่üมงานลีลาý ถ้าคู่ÿามีภรรยาทั้งÿี่คู่ออกไปเต้นลีลาýแต่ละคู่ต้องเป็น เพýชายและเพýĀญิง Āาจำนüนüิธีที่เป็นไปตามข้อกำĀนดต่อไปนี้ 6) ชายแต่ละคนเลือกĀญิงคนใดเป็นคู่เต้นลีลาýก็ได้ üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 7) คู่เต้นลีลาýต้องเป็นคู่ÿามีภรรยากัน 1 คู่เท่านั้น üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 8) คู่เต้นลีลาýต้องเป็นคู่ÿามีภรรยากัน 2 คู่เท่านั้น üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….…

44 9) คู่เต้นลีลาýต้องเป็นคู่ÿามีภรรยากันอย่างน้อย 2 คู่ üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….… 10) คู่เต้นลีลาýต้องไม่เป็นÿามีภรรยากัน üิธีทำ………………………………….………………………………………………………………………….……………….……………..………… …………………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…… ……….………………………………………………………………………….………………………..……………………………………….………… ………………………….…………………………………………………………………………………………………………………….…………….…

45 ทำได้ 8 - 10 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 6 - 7 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 4 - 5 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 - 3 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง เกณฑ์การประเมินแบบฝึกทักþะที่ 4.2 คะแนนเต็ม 10 คนแนน ทำได้................คะแนน ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง

46 แบบทดÿอบĀลังเรียน เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น คำชี้แจง 1) แบบทดÿอบĀลังเรียนนี้ใช้ทดÿอบคüามรู้ของนักเรียนĀลังเรียน เรื่อง Āลักการนับเบื้องต้น ซึ่งเป็น แบบทดÿอบแบบปรนัย ชนิดเลือกตอบ 4 ตัüเลือกจำนüน 20 ข้อ 2) ใĀ้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่ÿุดเพียงคำตอบเดียü แล้üทำเครื่องĀมาย x ลงในกระดาþคำตอบ 1. นําลูกบอลพลาÿติกที่เขียนตัüเลขไü้ มี Āมายเลข 1, 3, 5, 7 นําเลขเĀล่านี้มาÿร้างเลข จำนüน 2 Āลัก โดยที่แต่ละĀลักจะต้องไม่มีเลข ซ้ำกันเลย จะÿร้างได้ทั้งĀมดกี่จำนüน ก. 12 จำนüน ข. 16 จำนüน ค. 20 จำนüน ง. 30 จำนüน 2. นำกระเบื้องรูปÿามเĀลี่ยมด้านเท่าที่แต่ละ ด้านยาü 1 Āน่üย จำนüน 4 แผ่น มาจัดเรียงชิด กันดังรูป จากการจัดเรียงกระเบื้องข้างต้น มีรูป ÿามเĀลี่ยมด้านเท่าทั้งĀมดกี่รูป ก. 4 รูป ข. 5 รูป ค. 6 รูป ง. 7 รูป 3. Ā้องเรียนĀ้องĀนึ่งมีนักเรียน 30 คนต้องการ เลือกĀัüĀน้าĀ้องและรองĀัüĀน้าĀ้องตำแĀน่ง ละคนจะมีüิธีเลือกทั้งĀมดกี่üิธี ก. 30 üิธี ข. 59 üิธี ค. 870 üิธี ง. 900 üิธี 4. มีนักเรียน 6 คน ต้องการมอบรางüัล 2 รางüัล คือ รางüัลเรียนดีและรางüัลผู้มีคุณธรรม และจริยธรรมใĀ้แก่นักเรียนจำนüน 2 คน จะมี üิธีเลือกมอบรางüัลใĀ้แก่นักเรียนได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 12 üิธี ข. 15 üิธี ค. 30 üิธี ง. 36 üิธี 5. ในการนั่งเรือข้ามฟากแม่น้ำเจ้าพระยาที่มีเรือ ที่ท่าน้ำอยู่ 5 ลำ จำนüนüิธีนั่งเรือข้ามฟาก แม่น้ำนี้ทั้งไปและกลับได้กี่üิธี ถ้าขาไปและขา กลับลงเรืองต่างกัน ก. 5 üิธี ข. 10 üิธี ค. 20 üิธี ง. 25 üิธี 6. ถ้าการเดินทางระĀü่างเมือง A กับเมือง B ÿามารถทำได้ 2 ทาง คือ ทางบก ซึ่งมีถนน เชื่อมระĀü่างกัน 4 เÿ้น และทางอากาý ซึ่งมี ÿายการบินเชื่อมโยงที่ÿามารถใช้บริการได้ 3 ÿายการบิน อยากทราบü่าจะมีüิธีการเดินทาง จากเมือง A ไปเมือง B ได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 7 üิธี ข. 8 üิธี ค. 9 üิธี ง. 12 üิธี 7. ĀญิงคนĀนึ่งมีเÿื้อและกางเกงÿำĀรับÿüมไป เที่ยüอยู่4 และ 3 ตัüตามลำดับ เขาจะมีüิธีÿüมเÿื้อ และกางเกงไปเที่ยüเป็นชุดต่างกันได้ทั้งĀมดกี่ชุด ก. 7 ชุด ข. 12 ชุด ค. 81 ชุด ง. 64 ชุด 8. เลือกนักเรียน 3 คน จาก 5 คน มายืนเรียง แถüĀน้ากระดาน จะมีüิธีทำได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 15 üิธี ข. 20 üิธี ค. 60 üิธี ง. 120 üิธี

47 9. Āยิบไพ่ 1 ใบ จากÿำรับที่มี 52 ใบ จงĀา จำนüนüิธีที่จะĀยิบได้แต้มคิง Āรือแจ็ค ก. 6 üิธี ข. 7 üิธี ค. 8 üิธี ง. 9 üิธี 10. มีจดĀมายอยู่ 4 ฉบับ ต้องการทิ้งลงใน ตู้จดĀมาย 6 ตู้ จะทิ้งได้กี่üิธี ก. 24 üิธี ข. 48 üิธี ค. 46 üิธี ง. 64 üิธี 11. บริþัทแĀ่งĀนึ่งมีตำแĀน่งงานü่าง 3 ตำแĀน่ง มีผู้ÿมัคร 7 คน บริþัทแĀ่งนี้จะมีüิธีเลือกคนเข้า ทำงานในตำแĀน่งที่ü่างได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 210 üิธี ข. 270 üิธี ค. 321 üิธี ง. 335 üิธี 12. จงĀาจำนüนüิธีเรียงÿับเปลี่ยนของคำü่า “POPPY” ที่แตกต่างกันโดยไม่คำนึงถึงคüามĀมาย ก. 10 üิธี ข. 15 üิธี ค. 20 üิธี ง. 25 üิธี 13. ลูกเÿือ 2 คน และเนตรนารี 4 คน เข้าแถü เรียงĀน้ากระดานโดยลูกเÿือต้องยืนĀัüแถüและ ท้ายแถüเÿมอ จะมีüิธียืนเข้าแถüได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 72 üิธี ข. 48 üิธี ค. 24 üิธี ง. 12 üิธี 14. ต้องการเรียงคำใĀม่ที่ประกอบด้üยตัüอักþร 4 ตัüจากตัüอักþรคำü่า math โดยไม่ จำเป็นต้องมีคüามĀมายมีทั้งĀมดกี่üิธี ก. 24 üิธี ข. 20 üิธี ค. 12 üิธี ง. 6 üิธี 15. จะเลือกนักเรียน 4 คน จากนักเรียน 17 คน ไปตอบแข่งขัน ปัญĀาคณิตýาÿตร์ได้กี่üิธี ก. 2380 üิธี ข. 2388 üิธี ค. 1024 üิธี ง. 2100 üิธี 16. บนเÿ้นรอบüงกลมมีจุดซึ่งแตกต่างกัน 4 จุด ลากÿ่üนของเÿ้นตรงต่อจุดเĀล่านี้ทั้งĀมด จะ เกิดรูปเĀลี่ยมทั้งĀมดกี่รูป ก. 3 รูป ข. 5 รูป ค. 7 รูป ง. 10 รูป 17. 8! 6!2! มีค่าตรงกับข้อใด ก. 64 ข. 52 ค. 36 ง. 28 18. มีĀนังÿือต่างกันอยู่ 10 เล่ม นาย ก ต้องการยืมไปอ่าน 3 เล่ม นาย ก ÿามารถเลือก ยืมได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 100 üิธี ข. 120 üิธี ค. 150 üิธี ง. 300 üิธี 19. มีลูกบอลที่แตกต่างกันทั้งĀมด 7 ลูก ต้องการเลือกมา 3 ลูก จะมีüิธีการเลือกที่ แตกต่างกันได้ทั้งĀมดกี่üิธี ก. 10 üิธี ข. 20 üิธี ค. 25 üิธี ง. 35 üิธี 20. ! (−1)! = 10 มีค่าตรงกับข้อใด ก. 10 ข. 9 ค. 8 ง. 7

48 กระดาþคำตอบ แบบทดÿอบĀลังเรียน ชื่อ.....................................................................................................ชั้น............................เลขที่..................... คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่ÿุดเพียงคำตอบเดียüแล้üทำเครื่องĀมาย (x) ลงในกระดาþคำตอบ ผลการประเมิน ดีมาก ดี พอใช้ ปรับปรุง ลงชื่อ.......................................ผู้ตรüจ (............................................................) เกณฑ์การประเมิน ทำได้ 16 - 20 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 11 - 15 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 6 - 10 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 - 5 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง ข้อ ก ข ค ง ข้อ ก ข ค ง 1 11 2 12 3 13 4 14 5 15 6 16 7 17 8 18 9 19 10 20 คะแนนเต็ม 20 คะแนนที่ได้

49 บรรณานุกรม กระทรüงýึกþาธิการ. (2560). ตัüชี้üัดและÿาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มÿาระการเรียนรู้คณิตýาÿตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ý. 2560) ตามĀลักÿูตรแกนกลางการýึกþาขั้นพื้นฐาน พุทธýักราช 2551. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ชุมนุมÿĀกรณ์การเกþตรแĀ่งประเทýไทย จำกัด. ÿถาบันÿ่งเÿริมการÿอนüิทยาýาÿตร์และเทคโนโลยี กระทรüงýึกþาธิการ. (2561). Āนังÿือเรียนรายüิชา คณิตýาÿตร์พื้นฐานชั้นมัธยมýึกþาปีที่ 4. กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ ÿกÿค. ลาดพร้าü.