50 ภาคผนüก
51 คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนĀาจำนüนüิธีที่เป็นไปได้ทั้งĀมดโดยใช้Āลักการบüก 1. มีเลื้อ 6 ตัü เป็นÿีขาü 4 ตัü และÿีฟ้า 2 ตัü มีกางเกง 5 ตัü เป็นÿีขาü 1 ตัü และÿีฟ้า 4 ตัü จะมีüิธีเลือก ชุด 1 ชุด ที่มีเÿื้อและกางเกงÿีเดียüกันได้ทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ เÿื้อ ÿีขาü คู่กับ กางเกงÿีขาü แต่งได้ทั้งĀมด 4 x 1 = 4 üิธี เÿื้อÿีฟ้า คู่กับ กางเกงÿีฟ้า แต่งได้ทั้งĀมด 2 x 4 = 8 üิธี ดังนั้น จะแต่งชุดที่มีเÿื้อและกางเกงÿีเดียüกันได้ทั้งĀมด 4 + 8 = 12 üิธี 2. ถ้าใช้ตัüอักþร A, B, C และ D ในการÿร้างรĀัÿ 1 Āลัก Āรือ 2 Āลัก Āรือ 3 Āลัก Āรือ 4 Āลัก โดยที่แต่ ละĀลักไม่ใช้ตัüอักþรซ้ำกัน จะÿร้างรĀัÿได้กี่แบบ üิธีทำ 1. ÿร้างรĀัÿ 1 Āลัก ÿร้างได้ทั้งĀมด 4 แบบ 2. ÿร้างรĀัÿ 2 Āลัก ÿร้างได้ทั้งĀมด 4 x 3 = 12 แบบ 3. ÿร้างรĀัÿ 3 Āลัก ÿร้างได้ทั้งĀมด 4 x 3 x 2 = 24 แบบ 4. ÿร้างรĀัÿ 4 Āลัก ÿร้างได้ทั้งĀมด 4 x 3 x 2 x 1 = 24 แบบ ดังนั้น ในการÿร้างรĀัÿ 1 Āลัก Āรือ 2 Āลัก Āรือ 3 Āลัก Āรือ 4 Āลัก โดยที่แต่ลĀลักไม่ใช้ตัüอักþรซ้ำกัน จะ ÿร้างรĀัÿได้ทั้งĀมด 4 + 12 + 24 + 24 = 64 แบบ 3. ในกล่องใบĀนึ่งมีบัตร 10 ใบ แต่ละใบมีĀมายเลข 1 ตัü คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 ถ้าĀยิบบัตร จากกล่องมา 2 ใบ โดยĀยิบครั้งละ 1 ใบ โดยไม่ใÿ่คืนไป จะÿามารถเลือกĀยิบบัตรเĀล่านี้ได้กี่üิธี โดย ผลรüมของĀมายเลขบัตรทั้งÿองใบเป็นจำนüนคี่ üิธีทำ กรณีที่ 1 จำนüนคี่เกิดจาก จำนüนคู่+จำนüนคี่ กรณีที่ 2 จำนüนคี่เกิดจาก จำนüนคี่+จำนüนคี่ Āยิบบัตรใบที่ 1 ได้ 5 üิธี Āยิบบัตรใบที่ 1 ได้ 5 üิธี Āยิบบัตรใบที่ 2 ได้ 5 üิธี Āยิบบัตรใบที่ 2 ได้ 5 üิธี ดังนั้น Āยิบบัตรได้ทั้งĀมด 5×5 = 25 üิธี ดังนั้น Āยิบบัตรได้ทั้งĀมด 5×5 = 25 üิธี ดังนั้น ÿามารถเลือกĀบิยบัตรโดยผลรüมของĀมายเลขบัตรทั้งÿองใบเป็นจำนüนคี่ได้ทั้งĀมด 25+25=50 üิธี เฉลยแบบฝึกทักþะที่ 1 เรื่อง Āลักการบüก
52 4. 5. 6.
53 7. เอต้องการเดินทางไปเชียงใĀม่ ซึ่งÿามารถไปได้โดยขึ้นรถทัüร์รถไฟ และเครื่องบิน ถ้าในüันĀนึ่ง ๆ มีรถทัüร์ไป เชียงใĀม่ 5 เที่ยü รถไฟ 3 เที่ยü และเครื่องบิน 2 เที่ยü เอมีüิธีในการเดินทางไปเชียงใĀม่ได้แตกต่างทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ เลือกเดินทางโดยรถทัüร์ได้ 5 üิธี เลือกเดินทางโดยรถไฟได้ 3 üิธี เลือกเดินทางโดยเครื่องบินได้ 2 üิธี ดังนั้น จำนüนüิธีในการเดินทางไปเชียงใĀม่มีทั้งĀมด 5 + 3 + 2 = 10 üิธี 8. ต้องการÿร้างจำนüนคู่ที่มี 3 Āลัก โดยÿร้างจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 Āรือ 5 โดยเลขโดดแต่ละĀลักไม่ซ้ำ กันจะ ÿร้างได้ทั้งĀมดกี่จำนüน üิธีทำ กรณีที่ 1 จำนüนคู่ที่ĀลักĀน่üยเป็น 0 เลือกเลขโดดĀลักĀน่üยได้ 1 üิธี(เลข 0 เท่านั้น) เลือกเลขโดดĀลักร้อยได้ 5 üิธี(จากเลขโดด 1, 2, 3, 4, 5) เลือกเลขโดดĀลักÿิบได้ 4 üิธี(เลขโดดที่เĀลือจากĀลักร้อย 4 ตัü) ดังนั้น จำนüนüิธีÿร้างจำนüนคู่ที่ĀลักĀน่üยเป็น 0 ได้ 1 x 5 x 4 = 20 üิธี กรณีที่ 2 จำนüนคู่ที่ĀลักĀน่üยไม่เป็น 0 เลือกเลขโดดĀลักĀน่üยได้ 2 üิธี(จากเลขโดด 2, 4) เลือกเลขโดดĀลักร้อยได้ 4 üิธี(จากเลขโดดที่เĀลือซึ่งไม่ใช่ 0 และเลขโดดในĀลักĀน่üย) เลือกเลขโดดĀลักÿิบได้ 4 üิธี(จากเลขโดดที่เĀลือซึ่งไม่ใช่เลขโดดในĀลักĀน่üยและĀลักร้อย) ดังนั้น จำนüนüิธีÿร้างจำนüนคู่ที่ĀลักĀน่üยไม่เป็น 0 ได้ 2 x 4 x 4 = 32 üิธี ดังนั้น ÿร้างจำนüนคู่ที่มี 3 Āลัก โดยÿร้างจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4 Āรือ 5 โดยเลขโดดแต่ละĀลักไม่ซ้ำ จะ ÿร้างได้ทั้งĀมด 20 + 32 = 52 จำนüน 9. นำกระเบื้องรูปÿามเĀลี่ยมด้านเท่าที่แต่ละด้านยาü 1 Āน่üย จำนüน 4 แผ่น มาจัดเรียงชิดกันดังรูป จากการ จัดเรียงกระเบื้องข้างต้น มีรูปÿามเĀลี่ยมด้านเท่าทั้งĀมดกี่รูป üิธีทำ กรณีที่ 1 ÿามเĀลี่ยมยาüด้านละ 2 Āน่üย มี1 รูป กรณีที่ 2 ÿามเĀลี่ยมยาüด้านละ 1 Āน่üย มี4 รูป ดังนั้น มีÿามเĀลี่ยมด้านเท่าทั้งĀมด 4 + 1 = 5 รูป
54 10. นำกระเบื้องรูปÿี่เĀลี่ยมจัตุรัÿที่แต่ละด้านยาü 1 Āน่üย จำนüน 9 แผน มาจัดเรียงชิดกันดังรูป จากการจัดเรียง กระเบื้องข้างต้น มีรูปÿี่เĀลี่ยมจัตุรัÿทั้งĀมดกี่รูป üิธีทำ กรณีที่ 1 ÿี่เĀลี่ยมยาüด้านละ 1 Āน่üย มี9 รูป กรณีที่ 2 ÿี่เĀลี่ยมยาüด้านละ 2 Āน่üย มี4 รูป กรณีที่ 3 ÿี่เĀลี่ยมยาüด้านละ 3 Āน่üย มี1 รูป ดังนั้น มีÿี่เĀลี่ยมด้านเท่าทั้งĀมด 9 + 4 + 1 = 15 รูป
55 คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนĀาจำนüนüิธีที่เป็นไปได้ทั้งĀมดโดยใช้Āลักการบüก 1. ในการรับÿมัครพนักงาน 2 ตำแĀน่ง เป็นพนักงานĀญิง 1 ตำแĀน่ง พนักงานชาย 1 ตำแĀน่งถ้าผู้ÿมัคร เป็นĀญิง 4 คน เป็นชาย 5 คน จะมีจำนüนüิธีรับพนักงานแบบต่าง ๆ ได้กี่üิธี üิธีทำ รับÿมัครพนักงานĀญิง 1 ตำแĀน่ง แต่มีผู้ÿมัครĀญิง 4 คน เลือกได้ 4 üิธี รับÿมัครพนักงานชาย 1 ตำแĀน่ง แต่มีผู้ÿมัครĀญิง 5 คน เลือกได้ 5 üิธี ดังนั้น จะมีüิธีเลือกพนักงานได้ทั้งĀมด 4 x 5 = 20 üิธี 2. ถ้า A = {1, 3, 5, 7, 9} จงĀาü่าจะÿามารถนำÿมาชิกในเชต A มาÿร้างเป็นจำนüนเต็มซึ่งมีÿามĀลัก โดยที่ แต่ละĀลักใช้เลขโดดไม่ซ้ำกันได้ทั้งĀมดกี่จำนüน üิธีทำ เลขโดดในเซต A มีจำนüน 5 ตัü ขั้นที่ 1 ÿร้างเลขโดดĀลักที่ 1 ได้ 5 จำนüน ขั้นที่ 2 เลขโดดจะเĀลือจากĀลักที่ 1 อีก 4 ตัü จึงÿร้างในĀลักที่ 2 ได้ 4 จำนüน ขั้นที่ 3 เลขโดดจะเĀลือจากĀลักที่ 1 และ 2 อีก 3 ตัü จึงÿร้างในĀลักที่ 3 ได้ 3 จำนüน ดังนั้น นำÿมาชิกในเชต A มาÿร้างเป็นจำนüนเต็มซึ่งมีÿามĀลัก โดยที่แต่ละĀลักใช้เลขโดดไม่ซ้ำกันได้ ทั้งĀมด 5 x 4 x 3 = 60 จำนüน 3. บัตรเข้าชมภาพยนตร์ของโรงĀนังแĀ่งĀนึ่งกำĀนดĀมายเลขที่นั่งเข้าชมโดยใช้Āมายเลข 1 – 20 และ ตัüอักþรภาþาอังกฤþ A – P ตัüอย่างเช่น 1A จงĀาจำนüนที่นั่งทั้งĀมดของโรงĀนังแĀ่งนี้ üิธีทำ กำĀนดĀมายเลขที่นั่งเข้าชมโดยใช้Āมายเลข 1 – 20 มีทั้งĀมด 20 จำนüน ตัüอักþรภาþาอังกฤþ A – P มีทั้งĀมด 16 ตัüอักþร ดังนั้นจำนüนที่นั่งทั้งĀมดในโรงภาพยนตร์แĀ่งนี้ มี 20 x 16 = 320 จำนüนที่นั่ง เฉลยแบบฝึกทักþะที่2 เรื่อง Āลักการคูณ
56 4. จงนำตัüอักþรจากคำü่า FATHER มาจัดเป็นคำใĀม่ โดยไม่ต้องคำนึงถึงคüามĀมาย จะจัดเป็นคำที่แตกต่าง กันทั้งĀมดได้กี่üิธี üิธีทำ จำนüนตัüอักþรในคำü่า FATHER มีทั้งĀมด 6 ตัü เมื่อนำมาจัดเรียงโดยไม่คำนึงถึงคüามĀมาย อักþรตัüที่ 1 ÿามารถเลือกตัüอักþรที่มีอยู่ได้ทั้ง 6 ตัü อักþรตัüที่ 2 ÿามารถเลือกตัüอักþรที่มีอยู่ได้ทั้ง 5 ตัü อักþรตัüที่ 3 ÿามารถเลือกตัüอักþรที่มีอยู่ได้ทั้ง 4 ตัü อักþรตัüที่ 4 ÿามารถเลือกตัüอักþรที่มีอยู่ได้ทั้ง 3 ตัü อักþรตัüที่ 5 ÿามารถเลือกตัüอักþรที่มีอยู่ได้ทั้ง 2 ตัü อักþรตัüที่ 6 ÿามารถเลือกตัüอักþรที่มีอยู่ได้ทั้ง 1 ตัü ดังนั้น จะจัดเป็นคำที่แตกต่างกันทั้งĀมด 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 üิธี 5. ในการÿอบüิชาคณิตýาÿตร์ซึ่งมีข้อÿอบแบบผิด – ถูกอยู่ 10 ข้อ นักเรียนจะเลือกตอบข้อÿอบทั้ง 10 ข้อได้ ทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ นักเรียนเลือกตอบได้ 2 แบบ คือ ถูก Āรือ ผิด มีข้อÿอบทั้งĀมด 10 ข้อ ดังนั้น นักเรียนÿามารถเลือกตอบได้ทั้งĀมด 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 1,024 üิธี 6. โยนเĀรียญ 2 เĀรียญ ที่แตกต่างกัน พร้อมกับลูกเต๋า 1 ลูก Āาจำนüนüิธีของผลลัพธ์ทั้งĀมด üิธีทำ
57 7. นายต่อเตรียมชุดÿำĀรับไปงานเลี้ยงอำลาจบการýึกþา โดยนายต่อมีเÿื้อÿูท และกางเกง อย่างละ 3 ตัü เมื่อÿüมใÿ่แล้üเป็นขุดที่เĀมาะÿม มีเÿื้อเชิ้ตÿำĀรับใÿ่ข้างในอีก 5 ตัü Āูกระต่ายอีก 8 อัน และมีร้องเท้าĀนัง 4 คู่ นายต่อจะต้องÿüมเÿื้อเชิ้ตติดĀูกระต่าย เÿื้อÿูทคู่กับกางเกง 1 ตัü และÿüมรองเท้าĀนังอีก 1 คู่ นายต่อ จะแต่งตัüได้ทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ 8. เÿาธงต้นĀนึ่งมีที่ผูกธงได้ 3 ผืน เรียงลำดับจากบนลงล่าง ถ้ามีธงแตกต่างกันอยู่ 7 ผืน จะผูกธงได้กี่แบบ üิธีทำ 9. ในการแข่งขันüิ่งมาราธอนของผู้เข้าแข่งขันจำนüน 15 คน จงĀาüิธีที่ผู้เข้าแข่งแต่ละคนจะüิ่งเข้าเÿ้นชัยเป็น ลำดับที่ 1, 2 และ 3 (ไม่มีใครüิ่งเÿมอกัน) üิธีทำ 10. จากคำü่า CHANGE ถ้านำตัüอักþรมาเรียงเป็นคำใĀม่โดยไม่คำนึงถึงคüามĀมายจะได้กี่คำĀากไม่นับคำเดิม üิธีทำ
58 คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีการĀาแฟกทอเรียล 1) 4! üิธีทำ 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24 2) 6! üิธีทำ 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 3) 4! 2! üิธีทำ 4) 8! 10! üิธีทำ 5) 5! 3!2! üิธีทำ 6) 4!5! 3! üิธีทำ เฉลยแบบฝึกทักþะที่3.1 เรื่อง แฟกทอเรียล
59 7 ) (3! ) 2 üิธีทำ 8 ) n! ( n - 2 ) ! üิธีทำ 9 ) ( n + 2 ) ! ( n - 1 ) ! üิธีทำ 10 ) (n + k + 1 ) ! (n + k - 1 ) ! üิธีทำ
60 คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีการĀาคำตอบ 1. นักüิ่งแข่ง 4 คน üิ่งเข้าเÿ้นชัยในอันดับต่างๆกัน ได้ทั้งĀมดกี่üิธี (ไม่มีใครเÿมอกัน) üิธีทำ 4! üิธี 2. จะÿร้างจำนüนที่มีÿี่Āลัก จากเลขโดด 2,4,6,8,9 ได้ทั้งĀมดกี่จำนüน โดยที่แต่ละจำนüนนั้นต้องไม่มีเลข โดดในĀลักใดซ้ำกันเลย üิธีทำ 5×4×3×2=5! üิธี 3. ในการตอบปัญĀาชิงรางüัลเกี่ยüกับการเรียงอันดับคüามÿำคัญของคุณภาพÿินค้าชนิดĀนึ่ง กำĀนดใĀ้ 10 ข้อ จงĀาจำนüนüิธีที่ผู้ตอบปัญĀา จะเรียงอันดับคüามÿำคัญของคุณภาพÿินค้าชนิดนั้น üิธีทำ 10!=3,628,800 üิธี 4. ÿามี ภรรยา คู่Āนึ่ง พร้อมด้üยลูก 4 คน มายืนเรียงแถüยาüเพื่อถ่ายรูป จะมีüิธีจัดใĀ้ยืนทั้งĀมดกี่üิธี เมื่อ 4.1 ไม่มีเงื่อนไข 4.2 พ่อและแม่ไม่ยืนติดกัน 4.3 พ่อแม่ยืนริม 2 ด้าน üิธีทำ 4.1 6! = 120 üิธี 4.2 5!2! = 240 üิธี 4.3 2!4! = 48 üิธี 5. จะจัดนักเรียนชาย 6 คน นักเรียนĀญิง 6 คน ใĀ้ยืนเรียงแถüได้ทั้งĀมดกี่üิธี เมื่อ 5.1 ไม่มีเงื่อนไขเพิ่มเติม 5.2 ชายกับĀญิงยืนÿลับกัน 5.3 ชาย 2 คน ยืนÿลับกับ Āญิง 2 คน üิธีทำ 5.1 12! üิธี 5.2 2!6!6! üิธี 5.3 2!6!6! üิธี 6. เพชรมีĀนังÿือที่แตกต่างกัน 10 เล่ม ต้องการนำĀนังÿือ 4 เล่ม มาจัดเรียงเป็นแถüบนชั้น จะจัดได้กี่üิธี üิธีทำ เฉลยแบบฝึกทักþะที่3.2 เรื่อง การเรียงÿับเปลี่ยนเชิงเÿ้น
61 7. ครูมีĀนังÿือ 7 เล่ม ที่แตกต่างกัน แจกใĀ้เด็ก 4 คน คนละ 1 เล่ม ทำได้กี่üิธี üิธีทำ 8. รถÿองแถüที่มีที่นั่ง 2 แถü แถüละ 5 คน มีผู้โดยÿาร 10 คน เป็นผู้ชาย 5 คน เป็นผู้Āญิง 5 คน Āาจำนüน üิธีเลือกที่นั่งตามเงื่อนไขที่กำĀนดต่อไปนี้ 8.1 ทุกคนนั่งในตำแĀน่งใดก็ได้ 8.2 ผู้ชายกับผู้Āญิงต้องไม่นั่งแถüเดียüกัน üิธีทำ 9. ถ้าĀนูนิดต้องการจัดเรียงĀนังÿือ 8 เล่ม ที่แตกต่างกันไü้บนชั้นüางĀนังÿือ ĀาจำนüนüิธีจัดĀนังÿือไü้บนชั้น ถ้ากำĀนดใĀ้มีĀนังÿือ 3 เล่ม ที่เจาะจงต้องจัดอยู่ติดกัน üิธีทำ
62 10. มีคน 6 คน ซึ่งมีüนิดากับüดีรüมอยู่ด้üย ถ้าต้องการจัดใĀ้ยืนเรียงแถüĀน้ากระดาน จะจัดได้ทั้งĀมดกี่üิธี ตามเงื่อนไขที่กำĀนดใĀ้ต่อไปนี้ 10.1 แต่ละคนยืนในตำแĀน่งใดๆ ก็ได้ 10.2 ใĀ้üดีกับüนิดายืนติดกัน 10.3 ใĀ้üนิดากับüดียืนĀัüแถüและท้ายแถü 10.4 üนิดากับüดีต้องไม่ยืนติดกัน üิธีทำ
63 คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีการĀาการจัดĀมู่ 1) ข้อÿอบüิชาคณิตýาÿตร์ฉบับĀนึ่งมี 9 ข้อ กำĀนดใĀ้เลือกทำ 7 ข้อ 1. นักเรียนแต่ละคนจะมีüิธีเลือกทำได้กี่üิธี 2. ถ้าทุกคนต้องทำ 4 ข้อแรก นักýึกþาแต่ละคนจะมีüิธีเลือกทำได้กี่üิธี üิธีทำ 1. ข้อÿอบ 9 ข้อ เลือกทำ 7 ข้อ มีüิธีเลือกทำข้อÿอบได้ = C9, 7 = 2!7! 9! = 36 üิธี 2. โจทย์กำĀนดü่าทุกคนต้องทำข้อÿอบ 4 ข้อแรก ดังนั้น จะเĀลือข้อÿอบ 5 ข้อ และเลือกทำอีก 3 ข้อ มีüิธีเลือกทำข้อÿอบได้ = C5, 3 = 2!3! 5! = 10 üิธี เฉลยแบบฝึกทักþะที่4.1 เรื่อง การจัดĀมู่
64 2) ในถุงใบĀนึ่งมีลูกĀินÿีแดง 5 ลูก และลูกĀินÿีเขียü 3 ลูก ĀยิบลูกĀินออกจากถุง 3 ลูก จงĀาจำนüนüิธีที่จะได้ ลูกĀินÿีแดง 2 ลูกและลูกĀินÿีเขียü 1 ลูก üิธีทำ การĀยิบลูกĀินออกจากถุงแบบนี้แบ่งออกเป็น 2 ขั้นตอน คือ 1. เลือกลูกĀินÿีแดง 2 ลูก จาก 5 ลูก ทำได้ C5, 2 üิธี 2. เลือกลูกĀินÿีเขียü 1 ลูก จาก 3 ลูก ทำได้ C3, 1 üิธี ดังนั้น จำนüนüิธีทั้งĀมด = C5, 2 C3, 1 = 103 = 30 üิธี 3) มีจุด 6 จุดบนüงกลม ลากÿ่üนของเÿ้นตรงต่อจุดเĀล่านี้ทั้งĀมด จะเกิดรูปเĀลี่ยมทั้งĀมดกี่รูป üิธีทำ มีจุด 6 จุดบนüงกลม แÿดงü่าไม่มี 3 จุดใดๆ อยู่บนเÿ้นตรงเดียüกันรูปเĀลี่ยมที่เกิดขึ้นมีดังนี้ เกิดรูปÿามเĀลี่ยม C6, 3 = 3!3! 6! = 20 รูป เกิดรูปÿี่เĀลี่ยม C6, 4 = 2!4! 6! = 15 รูป เกิดรูปĀ้าเĀลี่ยม C6, 5 = 1!5! 6! = 6 รูป เกิดรูปĀกเĀลี่ยม C6, 6 = 0!6! 6! = 1 รูป ดังนั้น เกิดรูปเĀลี่ยมทั้งĀมด 20+15+6+1 = 42 รูป
65 4) มีนักเรียน 15 คน เป็นผู้ชาย 8 คน เป็นผู้Āญิง 7 คน Āาจำนüนüิธีการเลือกนักเรียน 4 คน เป็นตัüแทนของ Ā้อง เมื่อ 4.1) เป็นผู้ชายĀรือผู้Āญิงก็ได้ 4.2) เป็นผู้ชาย 2 คน และผู้Āญิง 2 คน üิธีทำ 5) มีĀลอดไฟที่แตกต่างกัน 8 Āลอด เป็นĀลอดไฟเÿีย 3 Āลอด ถ้าต้องการĀยิบมา 4 Āลอด Āาจำนüนüิธีที่จะ ได้Āลอดไฟเÿียไม่เกิน 2 Āลอด üิธีทำ
66 6) ธิดามีเÿื้อÿีดำแบบต่างๆ 6 ตัü และเÿื้อÿีฟ้าแบบต่างๆ 4 ตัü ถ้าĀยิบเÿื้อมา 5 ตัü ใĀ้ได้เÿื้อทั้งÿองÿี Āา จำนüนüิธีที่น่าจะĀยิบได้เÿื้อÿีดำมากกü่าเÿื้อÿีฟ้า üิธีทำ 7) ทĀารกลุ่มĀนึ่งมี 7 คน ต้องการแต่งตั้งĀัüĀน้า 1 คน รองĀัüĀน้า 1 คน และเจ้าĀน้าที่ÿüัÿดิการ 2 คน มี จำนüนüิธีคัดเลือกทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ 8) นักเรียนกลุ่มĀนึ่งมี 8 คน จะต้องทำรายงาน 4 Āัüข้อ ที่แตกต่างกัน Āัüข้อละ 2 คน จะจัดคู่ได้ทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ 9) มีของขüัญ 7 ชิ้น ที่แตกต่างกัน ต้องการเลือกของขüัญอย่างน้อย 1 ชิ้น จำนüนüิธีเลือกทั้งĀมดมีกี่üิธี üิธีทำ
67 10) ในÿัปดาĀ์ÿุดของปีบริþัทแĀ่งĀนึ่งใĀ้พนักงานทำงาน 3 üัน ไปเที่ยü 2 üัน และพักผ่อน 2 üัน จำนüนüิธี จัดÿรรมีทั้งĀมดกี่üิธี üิธีทำ
68 คำชี้แจง ใĀ้นักเรียนแÿดงüิธีการĀาการจัดĀมู่ 1) ข้อÿอบ 10 ข้อ กำĀนดใĀ้เลือกทำ 8 ข้อ จะมีüิธีเลือกทำข้อÿอบได้กี่üิธี üิธีทำ 2) มีจุด 10 จุด ที่ไม่มี 3 จุดใด อยู่บนเÿ้นตรงเดียüกัน จะลากเÿ้นตรงเชื่อมจุดเĀล่านี้ได้ทั้งĀมดกี่เÿ้น üิธีทำ 3) มีจุด 10 จุด ที่ไม่มี 3 จุดใด อยู่บนเÿ้นตรงเดียüกัน จะมีรูปÿามเĀลี่ยมที่จุดเĀล่านี้เป็นจุดยอดทั้งĀมดได้กี่รูป üิธีทำ 4) ในการแข่งขันฟุตบอลรายการĀนึ่ง มีทีมฟุตบอลเข้าร่üมแข่งขันทั้งÿิ้น 10 ทีม ซึ่งการแข่งขันรอบแรกเป็นการ แข่งขันแบบพบกันĀมด จำนüนนัดที่แข่งขันทั้งĀมดมีกี่นัด üิธีทำ เฉลยแบบฝึกทักþะที่4.2 เรื่อง การจัดĀมู่
69 5) ในงานเลี้ยงปีใĀม่ของบริþัทแĀ่งĀนึ่ง มีพนังงานเข้าร่üมทั้งĀมด 30 คน เพื่อใĀ้พนักงานทุกคนได้ทำคüามรู้จัก กันอย่างครบถ้üน พิธีกรในงานจึงประกาýใĀ้พนังงานทุกคนจับมือและทักทายกันใĀ้ครบทุกคน จะมีการจับมือ ทักทายกันเกิดขึ้นทั้งĀมดกี่ครั้ง üิธีทำ มีคู่ÿามีภรรยา 4 คู่ เป็นเพื่อนกันไปร่üมงานลีลาý ถ้าคู่ÿามีภรรยาทั้งÿี่คู่ออกไปเต้นลีลาýแต่ละคู่ต้องเป็น เพýชายและเพýĀญิง Āาจำนüนüิธีที่เป็นไปตามข้อกำĀนดต่อไปนี้ 6) ชายแต่ละคนเลือกĀญิงคนใดเป็นคู่เต้นลีลาýก็ได้ üิธีทำ 7) คู่เต้นลีลาýต้องเป็นคู่ÿามีภรรยากัน 1 คู่เท่านั้น üิธีทำ 8) คู่เต้นลีลาýต้องเป็นคู่ÿามีภรรยากัน 2 คู่เท่านั้น üิธีทำ
70 9) คู่เต้นลีลาýต้องเป็นคู่ÿามีภรรยากันอย่างน้อย 2 คู่ üิธีทำ 10) คู่เต้นลีลาýต้องไม่เป็นÿามีภรรยากัน üิธีทำ
71 ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
72 ข้อ ก ข ค ง 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
73 ตารางบันทึกคะแนน ชื่อ.........................................................นามÿกุล.........................................................ชั้น..................เลขที่............... 1. คะแนนแบบทดÿอบ แบบทดÿอบ คะแนนเต็ม คะแนนที่ได้ คิดเป็นร้อยละ ผลการประเมิน แบบทดÿอบก่อนเรียน 20 แบบทดÿอบĀลังเรียน 20 เกณฑ์การประเมิน ทำได้ 16 - 20 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 11 - 15 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 6 - 10 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 - 5 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง 2. คะแนนแบบฝึกทักþะคณิตýาÿตร์ แบบฝึกทักþะที่ 1 2 3.1 3.2 4.1 4.2 คิดเป็นร้อยละ ผลการประเมิน คะแนนเต็ม 10 10 10 10 10 10 คะแนนที่ได้ คะแนนรüม เกณฑ์การประเมิน ทำได้ 45 – 60 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดีมาก ทำได้ 30 – 44 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ดี ทำได้ 15 – 29 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ พอใช้ ทำได้ 0 – 14 คะแนน ผลการประเมินอยู่ในเกณฑ์ ปรับปรุง ลงชื่อ............................................ผู้บันทึก (..............................................) üันที่.........เดือน............................. พ.ý. ............
by kru noey