เอกสารประกอบการเรียนรู้ เรื่อง ลำดับและอนุกรม

เอกสารประกอบการเรยี น

รายวชิ าคณิตศาสตรพ์ นื้ ฐาน 5
รหสั วชิ า ค33103

ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปี ที่ 6

ชื่อ – สกุล

..................................................................
ชนั้ มัธยมศกึ ษาปที ี่ 6/....... เลขท.่ี .........

ผสู้ อน ครนู ิตยา อภิญ

1. ลาดบั (Sequence)

1.1 ความหมายของลาดับ

ถา้ กาหนดใหฟ้ ังกช์ นั y  f x เป็ นฟังกช์ นั ท่มี ีโดเมนเป็ นจานวนเตม็ บวก
จะเรียก f 1 , f 2 , f 3 , ... , f n , ... วา่ ลาดับ
และถา้ โดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก n จานวนแรก
จะเรียก f 1 , f 2 , f 3 , ... , f n วา่ ลาดับจากดั (finite sequence)
แต่ถา้ กาหนดใหโ้ ดเมนของฟังกช์ นั เป็นจานวนเตม็ บวก
จะเรียก f 1 , f 2 , f 3 , ... , f n , ... วา่ ลาดบั อนันต์ (infinite sequence)
ตวั อยา่ งเช่น กาหนด y  f x  2x 1

จะได้ f 1  3
f 2  5
f 3  7



f n  2n 1



จะเรียก 3 , 5 , 7 , ... , (2n + 1) วา่ ลาดบั จากัด
และเรียก 3 , 5 , 7 , ... , (2n + 1) , ... วา่ ลาดบั อนันต์

บทนิยาม “ลาดบั ” คือ ฟังกช์ นั ท่มี ีโดเมนเป็ นเซตของจานวนเตม็ บวก n ตวั แรก หรือ
เซตของจานวนเตม็ บวก
ลาดบั ท่มี ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก n ตวั แรก เรียกวา่ “ลาดบั จากดั ”
ลาดบั ท่ีมีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก เรียกวา่ “ลาดบั อนนั ต”์

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 2 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

นนั่ คอื ถา้ ให้ y  f x เป็ นฟังกช์ นั ของลาดบั
เรียก f 1 วา่ พจนท์ ี่ 1 ของลาดบั เขียนแทนดว้ ย a1
เรียก f 2 วา่ พจนท์ ่ี 2 ของลาดบั เขียนแทนดว้ ย a2
เรียก f 3 วา่ พจนท์ ่ี 3 ของลาดบั เขียนแทนดว้ ย a3



เรียก f n วา่ พจนท์ ี่ n ของลาดบั เขยี นแทนดว้ ย an หรือ เรียก พจน์ทว่ั ไปของ
ลาดบั

ดงั น้นั จะไดว้ า่ a1 , a2 , a3 , ... , an เป็ นลาดบั จากดั
และ a1 , a2 , a3 , ... , an , ... เป็ นลาดบั อนนั ต์

ตัวอย่างที่ 1 จงหา 4 พจนแ์ รกของลาดบั an  1
แนวคดิ 2n 1

จาก an  1
2n 1

จะได้ a1  1  1

21 1

a2  1  1
3
22 1

a3  1  1
5
23 1

a4  1  1
7
24 1

 4 พจน์แรกของลาดบั น้ี คอื 1 , 1 , 1 , 1
3 5 7

ตวั อย่างท่ี 2 จงเขยี น 3 พจน์แรกของลาดบั an   1n
แนวคดิ
n

จาก an   1n

n

จะได้ a1   11  1

1

a2   12  1
2
2

a3   13  1
3
3

 3 พจน์แรกของลาดบั น้ี คือ 1, 1 , 1
2 3

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 3 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

2n เม่ือ n เป็นจานวนคี่บวก

ตวั อย่างที่ 3 กาหนด an  จงหาลาดบั อนนั ตข์ องลาดบั น้ี

n + 1 เมื่อ n เป็ นจานวนคู่บวก

แนวคดิ a1  21  2

a2  2 1  3

a3  23  6

a4  4 1  5

a5  25  10

a6  6 1  7

ดงั น้นั ลาดบั อนนั ตน์ ้ี คอื 2 , 3 , 6 , 5 , 10 , 7 , ...

1.2 การหาพจน์ท่วั ไปของลาดับ

การหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั เป็ นการเขียนแสดงพจนท์ วั่ ไป an ในรูปท่ีมี n เป็ นตวั แปร เมื่อ
แทน n เป็นเซตของสมาชิกของจานวนเตม็ บวก

การหาพจน์ทว่ั ไปใชก้ ารสงั เกตความสมั พนั ธข์ องพจน์ตา่ งๆ และสงั เกตความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งพจน์
กบั พจน์และลาดบั ที่ (n) ของพจน์ดว้ ย

ตัวอย่างที่ 4 จงหาพจนท์ วั่ ไปของลาดบั จากดั 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001

แนวคดิ จะได้ a1  0.1  1 1
10  101

a2  0.01  1  1
100 102

a3  0.001  1  1
1,000 103

a4  0.0001  1  1
10,000 104

ดงั น้นั an 1  10n
 10n

ตัวอย่างที่ 5 จงหาพจน์ท่ี n ของลาดบั จากดั 2 , 3 , 4 , 5
แนวคดิ 3 4 5 6

จะได้ a1  2  11
3 1 2

a2  3  2 1
4 22

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 4 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

a3  4  31
5 32

a4  5  4 1
6 42

ดงั น้นั an  n 1
n2

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ที่ 1

1. จงเขียน 4 พจนแ์ รกของลาดบั ต่อไปน้ี

1) an  2n  3 2) an  n2 1
2n

................................................................................. ....................................................................................

................................................................................. ....................................................................................

................................................................................. ....................................................................................

................................................................................. ....................................................................................

................................................................................. ....................................................................................

3) an   1n 4) an  1  1
nn 1 2n n

................................................................................. ....................................................................................
................................................................................. ....................................................................................
................................................................................. ....................................................................................
................................................................................. ....................................................................................
................................................................................. ...................................................................................

– 3 , n เป็นจานวนค่บี วก

5) an =

2 , n เป็ นจานวนคู่บวก

n3

.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 5 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

2. จงเขียนพจน์ทว่ั ไปของลาดบั ต่อไปน้ี

1) 1 , 3 , 5 , 7 3) 1 , 1 , 1 , 1
................................................................................. 3 5 7 9
.................................................................................
................................................................................. .................................................................................
................................................................................
................................................................................ .................................................................................

2) 0.4 , 0.04 , 0.004 , 0.0004 .................................................................................
.................................................................................
................................................................................. .................................................................................
.................................................................................
................................................................................. .................................................................................
.................................................................................
4) 1 , 2 , 3 , 4
5 25 125 625

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

.................................................................................

แบบทดสอบตนเอง ชดุ ที่ 1

จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปนี้เป็ นจริงหรือเท็จ
_______ 1. ถา้ A = {(1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 5) , (4 , 7) , ...} เป็นเซตทีม่ ีโดเมนเป็นจานวนเตม็ บวก
_______ 2. เซตทีม่ ีโดเมนเป็นจานวนเตม็ บวก เรียกวา่ ลาดบั
_______ 3. ถา้ A = {(1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 5) , (4 , 7) , ...} แลว้ 1 , 3 , 5 , 7 , ... เป็ นลาดบั จากดั
_______ 4. ถา้ A = {(1 , 1) , (2 , 3) , (3 , 5) , (4 , 7) , ...} แลว้ 1 , 3 , 5 , 7 , ... เป็นลาดบั อนนั ต์
_______ 5. ลาดบั ทมี่ ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก n ตวั แรก เรียกวา่ ลาดับจากัด
_______ 6. ลาดบั ทีม่ ีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก เรียกวา่ ลาดบั อนันต์
_______ 7. พจน์ต่างๆ ในลาดบั เขียนแทนดว้ ย a1 , a2 , a3 , ... , an , ... และเรียก an วา่ พจน์ทว่ั ไป

ของลาดบั
_______ 8. ลาดบั 2 , 3 , 4 , 5 เป็นลาดบั ท่ีมี 4 พจน์ และมีพจน์ทว่ั ไป คือ n + 1

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 6 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

_______ 9. ถา้ an  2n 1 แลว้ 4 พจน์แรกของลาดบั น้ี คอื 1 , 3 , 5 , 7

_______ 10. ถา้ an  1n 2n แลว้ พจน์ที่ 5 ของลาดบั น้ี คือ 10

_______ 11. ลาดบั 1 , 1, 1 , 1,...,  1 n1 ,... เป็ นลาดบั จากดั ท่ีมี an   1 n1

3 5 7 9 2n 1 2n 1

_______ 12. ลาดบั 1 , 1, 1 , 1,...,  1 n1 ,... เป็นลาดบั อนนั ตท์ ี่มี a20  1
41
3 5 7 9 2n 1

เฉลยแบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 1

ขอ้ ที่เป็นเทจ็ คอื ขอ้ 3 , 10 , 11

2. ลาดบั เลขคณิต (Arithmatic Sequence)

ถา้ an = 2n + 1
จะได้ a1 = 2(1) + 1 = 3

a2 = 2(2) + 1 = 5
a3 = 2(3) + 1 = 7
a4 = 2(4) + 1 = 9
เม่ือ a1 , a2 , a3 , ... , an เป็ นลาดบั จะสงั เกตไดว้ า่
a2  a1  a3  a2  a4  a3  คา่ คงตวั เรียกค่าคงตวั น้ีวา่ “ผลตา่ งร่วม”
เขียนแทนดว้ ย d และเรียกลาดบั ที่มีผลต่างร่วมวา่ “ลาดบั เลขคณิต”
ในทนี่ ้ี จะได้ a2  a1  a3  a2  a4  a3  2 โดยท่ี d = 2

บทนิยาม ลาดบั เลขคณิต คือ ลาดบั ที่ผลตา่ งซ่ึงไดจ้ ากพจน์ท่ี n + 1 ลบดว้ ยพจนท์ ี่ n
มีค่าคงตวั เป็นคา่ เดียวกนั สาหรบั ทกุ ๆ n = 1 , 2 , 3 , … เรียกคา่ คงตวั น้ีวา่
“ผลต่างร่วม” (Common Difference)

รปู ทว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต
เมื่อ a1 เป็ นพจน์แรกของลาดบั เลขคณิต และ d เป็ นผลตา่ งร่วม ดงั น้นั
รูปทวั่ ไปของลาดบั เลขคณิต คือ

a1, a1  d, a1  2d, a1  3d,...,a1  n 1d

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 7 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต

เมื่อ a1 เป็ นพจน์แรกของลาดบั เลขคณิต และ d เป็ นผลตา่ งร่วม ดงั น้นั
พจน์ทวั่ ไปของลาดบั เลขคณิต คอื

an  a1  n 1d

และ d  an1  an

สมบตั ิบางประการของลาดบั เลขคณิต

ถา้ a1 , a2 , a3 ,... และ b1 , b2 , b3 ,... เป็ นลาดบั เลขคณิต แลว้ จะไดว้ า่

1. a1 , a3 , a5 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

2. a2 , a4 , a6 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

3. a1  a2 , a2  a3 , a3  a4 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

4. a1  k , a2  k , a3  k ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

5. a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

6. a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,... เป็นลาดบั เลขคณิต

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เลขคณิตตอ่ ไปน้ี
(1) 1 , 3 , 5 , 7 , ...
(2) 15 , 12 , 9 , 6 , ...

แนวคดิ (1) จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 1 และ d = 3 – 1 = 2
จากสูตร an  a1  n 1d
จะได้ an  1 n 12

an  2n 1

ดงั น้นั พจน์ทว่ั ไป คือ 2n 1
(2) จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 15 และ d = 12 – 15 = – 3

จากสูตร an  a1  n 1d
จะได้ an  15  n 1 3

an  18  3n

ดงั น้นั พจน์ทวั่ ไป คอื 18  3n

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 8 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ตวั อย่างท่ี 7 จงหาพจนท์ ่ี 20 ของลาดบั เลขคณิต 1 , 4 , 7 , ...

แนวคดิ จากสูตร an  a1  n 1d
ตัวอย่างที่ 8 จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 1 และ d = 4 – 1 = 3
แทนค่าในสูตร จะได้ a20  1 20 13

= 58
ดงั น้นั พจนท์ ี่ 30 ของลาดบั น้ี คือ 58
ถา้ พจนท์ ี่ 12 และพจนท์ ่ี 28 ของลาดบั เลขคณิตมีคา่ เป็น – 21 และ 27 ตามลาดบั

จงหาพจนท์ ี่ 7 ของลาดบั น้ี

แนวคดิ จากโจทย์ จะไดว้ า่ a12 = – 21 และ a28 = 27

ดงั น้นั จาก a12 จะได้  21  a1  12 1d 1
2
และ จาก a28 จะได้ 27  a1  12 1d

(2) – (1) ; 16 d = 48

d=3

จาก (1) จะได้ a1 = – 54

 พจน์ทว่ั ไปของลาดบั น้ี คือ an  3n  57

ดงั น้นั พจนท์ ่ี 7 คือ a7  37 57 = – 36

ตัวอย่างที่ 9 จงหาจานวนพจน์ท้งั หมดของลาดบั เลขคณิตทมี่ ีเงอื่ นไขดงั ตอ่ ไปน้ี
(1) จานวนนบั ทม่ี ีค่าระหวา่ ง 10 กบั 100
(2) จานวนนบั ทีม่ ีค่าต้งั แต่ 10 กบั 100
(3) จานวนนบั ทม่ี ีค่าต้งั แต่ 200 ถึง 800 ทห่ี ารดว้ ย 9 ลงตวั

แนวคดิ (1) จานวนพจน์ท้งั หมด = 100 – 10 – 1 = 89 จานวน
(2)
(3) จานวนพจนท์ ้งั หมด = 100 – 10 + 1 = 91 จานวน

จากโจทย์ จะไดว้ า่ ลาดบั เลขคณิต คือ 207 , 216 , 223 , ... , 792

 a1 = 207 , d = 9 และ an = 792
an  a1  n 1d
จากสูตร 792  207  n 19
จะได้

585  n 1
9

n = 66

ดงั น้นั จานวนนบั ที่มีคา่ ต้งั แต่ 200 ถึง 800 ที่หารดว้ ย 9 ลงตวั มี 66 พจน์

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 9 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ตวั อย่างที่ 10 ถา้ จดั กอ้ นอิฐกองหน่ึงซอ้ น ๆ กนั ใหช้ ้นั ล่างมีกอ้ นอิฐเรียงตามยาวชิดกนั ตลอด 52 กอ้ น
วางช้นั ท่ี 2 ใหแ้ นวก่ึงกลางของกอ้ นอิฐแตล่ ะกอ้ นในช้นั น้ีอยตู่ รงกบั รอยตอ่ ของกอ้ นอิฐ
แต่ละคูใ่ นช้นั แรก ทาเช่นน้ีในช้นั ตอ่ ๆ ไป จนช้นั บนสุดมีกอ้ นอิฐ 7 กอ้ น จงหาวา่
จะตอ้ งซอ้ นกอ้ นอิฐท้งั หมดกี่ช้นั

แนวคดิ  ช้นั ล่างสุดมีกอ้ นอิฐท้งั หมด 52 กอ้ น
ช้นั ที่ 2 มีกอ้ นอิฐท้งั หมด 51 กอ้ น
50 กอ้ น
ช้นั ท่ี 3 มีกอ้ นอิฐท้งั หมด



ช้นั บนสุดมีกอ้ นอิฐท้งั หมด 7 กอ้ น

 จานวนกอ้ นอิฐในแตล่ ะช้นั เรียงกนั เป็ นลาดบั เลขคณิต 52 , 51 , 50 ,... , 7

สมมุติให้ มีกอ้ นอิฐท้งั หมด n ช้นั

จากสูตร an  a1  n 1d

จะได้ 7  52  n 11
n = 53 – 7 = 46

 จานวนช้นั ของกอ้ นอิฐน้ีมี 46 ช้นั

การสมมตุ ิเพื่อหาลาดบั เมื่อกาหนดลาดบั เลขคณิต k จานวน

(เทคนิคการสรา้ งพจนแ์ บบสมมาตร)
ช่วยในการแกโ้ จทยป์ ัญหาลาดบั เลขคณิตง่ายและสะดวกข้ึน เมื่อกาหนดสมาชิกของ
ลาดบั ให้ k จานวน ซ่ึงมีการสมมุติรูปทว่ั ไปของลาดบั ตามลกั ษณะโจทย์ ดงั น้ี

ถา้ k เป็ นจานวนคี่
สมมุตลิ าดบั ในรูป ,a  2d,a  d,a,a  d,a  2d, ซ่ึงมีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั d

ถา้ k เป็ นจานวนคู่
สมมุตลิ าดบั ในรูป ,a  3d,a  d,a  d,a  3d, ซ่ึงมีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 2d

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 10 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ตวั อย่างที่ 11 จานวนสามจานวนเรียงกนั เป็นลาดบั เลขคณิต โดยจานวนนบั ท้งั สามจานวนน้ีมีผลบวก
เท่ากบั 12 และผลบวกกาลงั สองของแตล่ ะจานวนเท่ากบั 66 จงหาจานวนท้งั สาม
จานวนน้ี

แนวคดิ สมมตใิ หจ้ านวนท้งั สามจานวนในลาดบั เลขคณิต คือ a  d,a,a  d
จากโจทย์ จะไดว้ า่ a  d  a  a  d  12

 3a = 12
a=4

และ a  d 2  a2  a  d 2  66

 a2  2ad  d 2  a2  a2  2ad  d 2  66

3a2  2d 2 = 66

แทนคา่ a = 4 จะได้ 2d 2 = 18

d2 = 9

d = 3

ถา้ d = 3 จะไดจ้ านวนนบั ท้งั สามจานวน คอื 1 , 4 , 7

ถา้ d = – 3 จะไดจ้ านวนนบั ท้งั สามจานวน คอื 7 , 4 , 1

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ที่ 2

1. ลาดบั เลขคณิตทก่ี าหนดใหต้ ่อไปน้ี จงหาคา่ ผลต่างร่วม d

(1) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ... มีค่าผลตา่ งร่วม d = ……………………………………………...

(2) 0, 1 ,1, 3 ,2,… มีค่าผลต่างร่วม d  = ……………………………………………...
2 2

(3) 20 , 17 , 14 , 11 , ... มีคา่ ผลต่างร่วม d = ……………………………………………...

(4) 8 , 5 , 2 , - 1 , - 3 , ... มีคา่ ผลต่างร่วม d = ……………………………………………...

(5) 3 , 1 , -1 , -3 , -5 , ... มีคา่ ผลตา่ งร่วม d = ……………………………………………...

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 11 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

2. จงเขยี น 4 พจน์แรกของลาดบั เลขคณิต เม่ือกาหนดพจนแ์ รก a1  และผลตา่ งร่วม d ใหด้ งั น้ี

(1) a1 = 5 , d = 3 (3) a1 = 10 , d = – 2

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… (4) a1 = 2 , d = 1
(2) a1 = – 3 , d = 2 ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………....

……………………………………………………

3. จงหาพจนท์ ีก่ าหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ตอ่ ไปน้ี (3) a15 เมื่อ a1 = 8 , d = – 2
(1) a4 เมื่อ a1 = 3 , d = 2 ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… (4) a20 เม่ือ a1 = 5 , d = – 2
……………………………………………………
(2) a10 เมื่อ a1 = – 7 , d = 3 ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

4. จงหาพจน์ทวั่ ไปของลาดบั เลขคณิตต่อไปน้ี (2) 8 , 5 , 2 , - 1 , - 3 , ...
……………………………………………………
(1) 13 , 15 , 17 , 19 , … ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 2 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

(3) 0 , 1 , 1 , 3 , 2 , … (4) 3 , 1 , -1 , -3 , -5 , ...
……………………………………………………
22 ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

5. จงหาพจน์ท่ี 25 ของลาดบั เลขคณิต 12 , 9 , 6 , ...
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
6. จงหาพจน์ที่ n ของลาดบั เลขคณิต – 10 , – 13 , – 16 , ...
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

7. ลาดบั เลขคณิตลาดบั หน่ึงมีพจน์แรกเป็น 20 และพจนท์ ่ี 11 เป็น 35 จงหาพจน์ท่ี 30
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

8. ลาดบั เลขคณิต 96 , 83 , 70 , ... , – 294 น้ีมีกี่พจน์
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

9. จานวนเตม็ ที่มีคา่ ระหวา่ ง 100 กบั 400 มีก่ีจานวนท่ี 9 หารลงตวั
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 13 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

10. จานวนจริง 4 จานวนเรียงกนั เป็นลาดบั เลขคณิต ผลบวกของจานวนท้งั 4 เทา่ กบั 32 ถา้ จานวนแรก
และจานวนสุดทา้ ยตา่ งกนั 12 จงหาจานวนท้งั ส่ีน้ี
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

11. จงหาคา่ k ทีท่ าให้ 2k  4 , 3k  7 , k 12 เป็ นลาดบั เลขคณิต
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

12. ในการจดั ท่นี งั่ กลางสนามหนา้ โรงเรียนแห่งหน่ึงสาหรับดูการแสดงดนตรีคร้ังหน่ึง โดยจดั เกา้ อ้ีแถว
แรก 70 ตวั แถวท่สี อง 82 ตวั แถวทสี่ าม 94 ตวั และแถวสุดทา้ ย 298 ตวั จงหาวา่ ในการจดั เกา้ อ้ีคร้ัง
น้ีมีกี่แถว
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................

แบบทดสอบตนเอง ชดุ ที่ 2

จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปน้ีเป็ นจริงหรือเทจ็
_______ 1. 8 , 15 , 22 , 29 , ... เป็ นลาดบั เลขคณิตทม่ี ีค่าผลตา่ งร่วมเทา่ กบั 7
_______ 2. 35 , 26 , 17 , 8 , ... เป็ นลาดบั เลขคณิตทม่ี ีคา่ ผลตา่ งร่วมเทา่ กบั – 9
_______ 3. – 2 , – 5 , – 8 , – 11 , ... เป็ นลาดบั เลขคณิตท่มี ีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั – 3
_______ 4. 1 , – 3 , 2 , – 6 , 3 , – 9 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมีผลตา่ งร่วมเทา่ กบั – 4
_______ 5. ถา้ a1 , a2 , a3 , ... , an เป็ นลาดบั เลขคณิต แลว้ ค่าผลตา่ งร่วม หรือ คา่ d จะมีคา่ เท่ากนั

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 14 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

โดย d  a2  a1  a3  a2  an1  an

_______ 6. ถา้ a1 , a2 , a3 , ... , an,... เป็ นลาดบั เลขคณิต โดยมีคา่ d เป็ นคา่ ผลต่างร่วมของลาดบั แลว้
จะไดว้ า่ รูปทว่ั ไปของลาดบั เลขคณิตน้ี คอื a1,a1  d,a1  2d,...,a1  n 1d,...

_______ 7. จากขอ้ 6 เรียก a1 , a2 , a3 , ... , an วา่ ลาดบั เลขคณิตจากดั และ เรียก
a1 , a2 , a3 , ... , an ,... วา่ ลาดบั เลขคณิตอนนั ต์

_______ 8. ถา้ 5 , 9 , 13 , 17 , ... และ 12 , 8 , 4 , 0 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตแลว้ จะไดว้ า่ 5 , 13 , 21 , ...
และ 12 , 4 , – 4 , ... เป็นลาดบั เลขคณิต

_______ 9. จากขอ้ 8 จะไดว้ า่ 5 + 12 , 9 + 8 , 13 + 4 , 17 + 0 , ... เป็นลาดบั เลขคณิต

_______ 10. จากขอ้ 8 ถา้ a1 , a2 , a3 , ... , an ,... และ b1 , b2 , b3 , ... , bn ,... เป็ นลาดบั เลขคณิต
แลว้ จะไดว้ า่ a1  b1,a2  b2,a3  b3,... เป็ นลาดบั เลขคณิต

_______ 11. ลาดบั เลขคณิต 2 , 4 , 6 , 8 , ... จะมีค่าพจนท์ ่ี 10 เป็น 20 และมีคา่ พจน์ทวั่ ไปเป็ น 2n หรือ

an  2n

_______ 12. จากขอ้ 11 จะไดว้ า่ พจนท์ วั่ ไปของลาดบั เลขคณิต ( an ) คือ an = a1  n 1d

_______ 13. ลาดบั เลขคณิต 1 , 3 , 5 , 7 , ... มีพจนท์ วั่ ไป คือ an  2n 1

_______ 14. ลาดบั เลขคณิต 1 , 1 ,0,  1 , ... มีคา่ d  1 และมีพจน์ทวั่ ไป คอื an  3n
2 2 2
2

_______ 15. จานวนนบั ทม่ี ีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง 50 กบั 1005 จะมีท้งั หมด 954 จานวน

_______ 16. จานวนนบั ทีม่ ีคา่ ต้งั แต่ 50 ถึง 1005 จะมีท้งั หมด 954 จานวน

_______ 17. จานวนนบั ทม่ี ีค่าอยรู่ ะหวา่ ง a1 กบั an จะมีท้งั หมดเท่ากบั an  a1 1 จานวน
_______ 18. จานวนนบั ทีม่ ีคา่ ต้งั แต่ a1 ถึง an จะมีท้งั หมดเท่ากบั an  a1 1 จานวน
_______ 19. จานวนนบั ทมี่ ีค่าต้งั แต่ 100 ถึง 1000 จะมีท้งั หมด 901 จานวน

_______ 20. ลาดบั ของจานวนนบั ทม่ี ีค่าต้งั แต่ 100 ถึง 1000 ทห่ี ารดว้ ย 5 ลงตวั คือ
100 , 105 , ... , 1000

_______ 21. ลาดบั ของจานวนนบั ทม่ี ีค่าอยรู่ ะหวา่ ง 100 กบั 1000 ที่หารดว้ ย 5 ลงตวั คอื
100 , 105 , ... , 1000

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 15 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

_______ 22. ลาดบั ของจานวนนบั ที่มีค่าต้งั แต่ 100 ถึง 1000 ทีห่ ารดว้ ย 5 ลงตวั คือ
100 , 105 , ... , 1000 และมีจานวนท้งั หมด 181 จานวน

_______ 23. จานวนนบั ทมี่ ีค่าต้งั แต่ 100 ถึง 1000 ท่ีหารดว้ ย 5 ไม่ลงตวั จะมีท้งั หมด 720 จานวน

_______ 24. n,2n 1,3n  2 เป็ นลาดบั เลขคณิตที่มีคา่ d  2n 1 n  3n  2 2n 1

_______ 25. ลาดบั เลขคณิต 2k  4 , 3k  7 , k 12 จะมีคา่ k เท่ากบั 12

3. ลาดบั เรขาคณิต (Geometric Sequences)

ถา้ an  2n
จะได้ a1  21  2
a2  22  4
a3  23  8
a4  24  16

จะสงั เกตไดว้ า่ a2  a3  a4 2
a1 a2 a3

เรียกลาดบั ทมี่ ีอตั ราส่วนมีคา่ คงท่ีลกั ษณะน้ีวา่ อตั ราส่วนร่วม เขียนแทนดว้ ย r และเรียกลาดบั ที่
มีอตั ราส่วนของพจน์ท่ี n + 1 ตอ่ พจนท์ ี่ n มีคา่ คงตวั วา่ ลาดบั เรขาคณิต

บทนิยาม ลาดบั เรขาคณิต คือ ลาดบั ที่อตั ราส่วนของพจน์ท่ี n + 1 ตอ่ พจนท์ ่ี n มีคา่ คงตวั
เป็ นค่าเดียวกนั สาหรับทุก ๆ n = 1 , 2 , 3 , … ค่าคงตวั น้ี เรียกวา่
อัตราส่วนร่วม (Common Ratio) แทนดว้ ย r

รปู ทวั่ ไปของลาดบั เรขาคณิต
เมื่อ a1 เป็ นพจน์แรกของลาดบั เรขาคณิต และ r เป็ นอตั ราส่วนร่วม ดงั น้นั
รูปทว่ั ไปของลาดบั เรขาคณิต คือ

a1, a1r, a1r 2 , a1r 3 ,..., a1r n1

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 16 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เรขาคณิต

เมื่อ a1 เป็ นพจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต และ r เป็ นอตั ราส่วนร่วม ดงั น้นั
พจนท์ วั่ ไปของลาดบั เรขาคณิต คอื

an  a1r n1

และ an1
an
r  เม่ือ n 

สมบตั ิบางประการของลาดบั เรขาคณิต

ถา้ a1 , a2 , a3 ,... และ b1 , b2 , b3 ,... เป็ นลาดบั เรขาคณิต แลว้ จะไดว้ า่
เป็นลาดบั เรขาคณิต
1. a1 , a3 , a5 ,... เป็นลาดบั เรขาคณิต
เป็นลาดบั เรขาคณิต
2. a2 , a4 , a6 ,...
เป็นลาดบั เรขาคณิต
3. a1b1 , a2b2 , a3b3 ,...
ไม่จาเป็ นตอ้ งเป็ นลาดบั เรขาคณิต
4. a1 , a2 , a3 ,... bi  0 ไม่จาเป็ นตอ้ งเป็ นลาดบั เรขาคณิต

b1 b2 b3

ข้อสังเกต 5. a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,...
ตวั อย่างที่ 12
6. a1  b1 , a2  b2 , a3  b3 ,...

จงหาพจน์ทวั่ ไปของลาดบั เรขาคณิต

(1) 2 , 4 , 8 , 16 , … (2) 1, 1 , 1 , 1 ,...
3 9 27

แนวคดิ (1) จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 2 และ r = 4 =2
2

จากสูตร an  a1r n1

จะได้ an  22n1

an  2n

ดงั น้นั พจน์ทว่ั ไป คือ 2n

1

(2) จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 1 และ r = 3 = 1
1 3

จากสูตร an  a1r n1

จะได้ 1 1  n1
 3 
an 

 1  n1
 3 
an 

ดงั น้นั พจนท์ วั่ ไป คือ  1  n1
 3 

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 17 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ตัวอย่างที่ 13 จงหาพจนท์ ี่ 10 ของลาดบั เรขาคณิต 5 ,  5 , 10 , ...
แนวคดิ 2

ตวั อย่างที่ 14 จากสูตร an  a1r n1

5

จากโจทย์ จะไดว้ า่ a1 = 5 และ r = 2 = –2
2
5

แทนคา่ ในสูตร จะได้ 5  2 101
 a10  2

= 1,280

ดงั น้นั พจนท์ ่ี 10 ของลาดบั น้ี คือ 1,280

ลาดบั เรขาคณิตชุดหน่ึงมีพจนท์ ่ีสองและพจนท์ หี่ า้ เป็น 3 และ 81 ตามลาดบั

8

จงหาพจนท์ ่ี 8

แนวคดิ จากโจทย์ จะไดว้ า่ a2 = 3 และ a5 = 81
8
ตวั อย่างท่ี 15
แนวคดิ ดงั น้นั จาก a2 จะได้ 3  a1r 21  a1r 1
2
และ จาก a5 จะได้ 81  a1r 51  a1r 4
8 2187
64
(2)  (1) ; r3 = 27  33
8  2

r= 3
2

จาก (1) จะได้ a1 = 3  2 =2
3

 พจนท์ วั่ ไปของลาดบั น้ี คอื an  3n  57

ดงั น้นั พจน์ท่ี 8 คือ a8  3  7 = 37 หรือ
 2  26
 2 

จงหาจานวนพจน์ของลาดบั เรขาคณิต 2 ,  6 , 18 , ... ,486

ใหจ้ านวนพจน์ของลาดบั เรขาคณิต 2 ,  6 , 18 , ... ,486 เทา่ กบั n พจน์

จากโจทย์ a1  2 , r   6  3
2

จากสูตร an   486
จะได้ an  a1r n1

 486  2 3n1

 3 n1   486   243
2

 3n1   35

n 1  5

n6

ดงั น้นั จานวนพจน์ของลาดบั เลขคณิต 2 ,  6 , 18 , ... ,486 เท่ากบั 6 พจน์

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 18 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ตวั อย่างท่ี 16 ถา้ ผหู้ ญิง 3 คน มีอายเุ รียงกนั ตามลาดบั เป็น 10 , 18 และ 30 ปี อีกก่ีปี ขา้ งหนา้ จงึ
จะทาใหอ้ ายะของผหู้ ญิงท้งั สามน้ีเรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต

แนวคดิ ใหอ้ ีก x ปี ขา้ งหนา้ ท่จี ะทาใหอ้ ายขุ องผหู้ ญงิ ท้งั สามคนน้ี เรียงกนั เป็ นลาดบั เรขาคณิต

ลาดบั เรขาคณิตน้ี คือ 10  x , 18  x , 30  x

อตั ราส่วนร่วม (r) คือ 18  x หรือ 30  x
10  x 18  x

จะไดว้ า่ 18  x  30  x
10  x 18  x

18  x18  x  30  x10  x

324  36x  x2  300  40x  x2

4x  24

x6

ดงั น้นั อีก 6 ปี ขา้ งหนา้ จะทาใหอ้ ายผุ หู้ ญิงท้งั สามน้ีเรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต

การสมมตุ ิเพื่อหาลาดบั เมือ่ กาหนดลาดบั เรขาคณิต k จานวน

(เทคนคิ การสรา้ งพจนแ์ บบสมมาตร)
ช่วยในการแกโ้ จทยป์ ัญหาลาดบั เรขาคณิตให้ง่ายและสะดวกข้ึน เมื่อกาหนดสมาชิกของ
ลาดบั ให้ k จานวน ซ่ึงมีการสมมุตริ ูปทวั่ ไปของลาดบั ตามลกั ษณะโจทย์ ดงั น้ี

ถา้ k เป็ นจานวนคี่

สมมุตลิ าดบั ในรูป , a , a , a, ar, ar 2  ซ่ึงมีอตั ราส่วนร่วมเทา่ กบั r
r2 r

ถา้ k เป็ นจานวนคู่

สมมุตลิ าดบั ในรูป , a , a , a , ar, ar 3 , ar 5 , ซ่ึงมีอตั ราส่วนร่วมเท่ากบั r2
r5 r3 r

ตัวอย่างที่ 17 ผลบวกสามพจน์แรกในลาดบั เรขาคณิต คอื – 3 และผลคูณ คอื 8 จงหาพจน์ 3 พจน์น้ี

แนวคดิ สมมตพิ จนส์ ามพจนท์ เ่ี รียงกนั คอื a , a, ar
r

ผลคูณ 3 พจน์แรกในลาดบั เรขาคณิต คือ 8

 a a ar   8
 r


a3  8

a2

ผลบวกสามพจน์แรก คอื – 3

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 19 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

 a   a  ar   3
 r 

แทนค่า a  2

จะได้ 2  2  2r  3
r

2  2r  2r 2   3r

2r 2  5r  2  0

2r 1r  2  0

r   1 ,  2
2

ดงั น้นั ลาดบั ทเี่ ป็นไปไดม้ ี 2 กรณี คอื

ถา้ a   1 ลาดบั คือ  4 , 2 , 1
2

ถา้ a 1 ลาดบั คือ 1, 2 ,  4
2

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ที่ 3

1. ลาดบั เรขาคณิตทก่ี าหนดใหต้ ่อไปน้ี จงหาคา่ อตั ราส่วนร่วม r

(1) 3 , 9 , 27 , 81 , ... มีค่าอตั ราส่วนร่วม r = …………………………………………

(2) 24 , 6 , 3 , 3 , … มีค่าอตั ราส่วนร่วม r = …………………………………………
มีค่าอตั ราส่วนร่วม r = …………………………………………
28

(3) 2 , – 2 , 2 , – 2 , ...

(4) 2 , 4 , 8 , 16 , ... มีค่าอตั ราส่วนร่วม r = …………………………………………

555 5

(5) 1 , 1 , 1 , 1 , ... มีค่าอตั ราส่วนร่วม r = …………………………………….

a a3 a5 a7

2. จงเขียน 4 พจนแ์ รกของลาดบั เรขาคณิต เมื่อกาหนดพจนแ์ รก a1  และอตั ราส่วนร่วม r ใหด้ งั น้ี

(1) a1 = 5 , r = 3 (2) a1 = 8 ,r =  1
……………………………………………………. 2
………………………………………………….…
………………………………………………….… …………………………………………………….
………………………………………………….…
………………………………………………….…

………………………………………………….…

………………………………………………….…

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 20 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

(3) a1 =  9 , r =  2 (4) a1 = x , r =  y
16 3 y x

……………………………………………………. …………………………………………………….

………………………………………………….… ………………………………………………….…

………………………………………………….… ………………………………………………….…

………………………………………………….… ………………………………………………….…

3. จงหาสามพจน์ถดั ไปของลาดบั เรขาคณิตตอ่ ไปน้ี (3) 7 , 1 , 1 , 1 , ...
(1) 2 , 8 , 32 , 128 , ... 7 49

……………………………………………………. …………………………………………………….
………………………………………………….…
………………………………………………….… ………………………………………………….…
………………………………………………….…
………………………………………………….…
(2)  5 , 10 ,  20 , 40 , ...
……………………………………………………. ………………………………………………….…

………………………………………………….… (4) 9 , 9 , 9 , 9 , ...
…………………………………………………….
………………………………………………….… 248

………………………………………………….…

………………………………………………….…

…………………………………………………….

………………………………………………….…

4. จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เรขาคณิตต่อไปน้ี (3) 2 , 4 , 8 , 16 , ...
(1) 18 , 6 , 2 , 2 , … 3 3 3 3

3 ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
………………………………………………….… ………………………………………………….…
………………………………………………….…
…………………………………………………… ………………………………………………….…

(2) 1 , 2 ,  4 , 8 , ... ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… (4) 1 , 1 , 1 , ...
………………………………………………….… x x2 x3
……………………………………………………
……………………………………………………

……………………………………………………

………………………………………………….…

……………………………………………………

5. จงหาพจนท์ ี่ 20 ของลาดบั เรขาคณิต 3 , 6 , 12 , 24 , …
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….

6. จงหาพจน์ท่ี 8 ของลาดบั เรขาคณิต 1 , x , x2 , x3 , ...

24 8

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

7. ลาดบั เรขาคณิต 8 , 4 , 2 , ... , 1 จงหาจานวนพจนท์ ้งั หมด
16

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

8. ถา้ 3 พจน์แรกของลาดบั เรขาคณิตมีคา่ เป็น 27 , – 18 , 12 จงหาวา่  512 เป็นพจนท์ ่เี ทา่ ใด
729

ของลาดบั

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

9. ถา้ 128 , a , b , c เป็นจานวนจริงบวก ซ่ึงเรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต จงหา a + b + c
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 22 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

10. จานวนจริง 3 จานวน เรียงกนั เป็นลาดบั เรขาคณิต ซ่ึงผลบวกของจานวนท้งั 3 เท่ากบั 7 และ
4

ผลคูณของจานวนจริง 3 จานวนน้ีเทา่ กบั 1 จงหา 3 พจนแ์ รกของลาดบั น้ี

8

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………………………….

11. จากการสารวจจานวนประชากรของหมู่บา้ นแห่งหน่ึงในปี พ.ศ. 2538 มีประชากร 10,000 คน ถา้
จานวนประชากรของปี ถดั มาเพมิ่ ข้นึ 2% จากจานวนประชากรของปี ท่ผี า่ นมาเสมอ อยากทราบวา่ จานวน
ประชากรของปี 2543 ของหมู่บา้ นแห่งน้ีมีเท่าไร
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………….
12. จงบอกวา่ ลาดบั ทีก่ าหนดใหเ้ ป็นลาดบั เลขคณิต หรือลาดบั เราขาคณิต พรอ้ มท้งั บอกค่าผลตา่ งร่วม
หรือค่าอตั ราส่วนร่วมของลาดบั น้นั ๆ ดว้ ย

1) 7 , 9 , 11 , 13 , … , 2n  5 , … เป็นลาดบั .....................................................................
2) 5 , – 5 , 5 , – 5 , … , 6 1 n1 , … เป็ นลาดบั .....................................................................
3) 4 , 2 , 0 , – 2 , … , 6  2n , … เป็นลาดบั .....................................................................

4) 3 , 1 , 1 , 1 , … , 91n , … เป็ นลาดบั .....................................................................
39 3

5)  1 ,  2 ,  1 ,  4 ,  , n ,  เป็นลาดบั .....................................................................
4 5 2 7 n3

แบบทดสอบตนเอง ชดุ ท่ี 3

จงตรวจสอบว่าข้อความต่อไปน้ีเป็ นจริงหรือเทจ็

_______ 1. ลาดบั 10 , 20 , 40 , 80 , … เป็ นลาดบั เรขาคณิต เนื่องจากมีค่าอตั ราส่วนร่วมมีค่าคงทเ่ี ท่ากบั 2

_______ 2. ลาดบั 1 , 1 , 1 , 1 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตและเรขาคณิตเน่ืองจากมีคา่ ผลต่างร่วมคงท่เี ท่ากบั 0
และค่าอตั ราส่วนร่วมคงท่ี เท่ากบั 1 ตามลาดบั

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 23 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

_______ 3. ลาดบั 0 , 0 , 0 , 0 , ... เป็นลาดบั เลขคณิตและเรขาคณิตเนื่องจากมีค่าผลต่างร่วมคงทเ่ี ทา่ กบั 0
และค่าอตั ราส่วนร่วมคงท่ี เทา่ กบั 0 ตามลาดบั

_______ 4. เมื่อ a  R โดยท่ี a  0 แลว้ ลาดบั a,a,a,... จะเป็ นท้งั ลาดบั เลขคณิตและลาดบั
เรขาคณิต

_______ 5. ลาดบั 3 , – 3 , 3 , 1 – 3 , ... เป็นลาดบั เลขคณิต ทีม่ ีค่า d = 0

_______ 6. ลาดบั 3 , – 3 , 3 , 1 – 3 , ... เป็นลาดบั เรขาคณิต ที่มีคา่ r = – 1

_______ 7. ถา้ a  R โดยที่ a  0 แลว้ ลาดบั a,a,a,a... จะเป็ นท้งั ลาดบั เลขคณิตและลาดบั
เรขาคณิตดว้ ย

_______ 8. เรียกลาดบั ท่ีมีค่าอตั ราส่วนร่วมคงที่ วา่ ลาดบั เรขาคณิต โดย r คือ อตั ราส่วนของพจน์ที่
n + 1 ต่อพจน์ที่ n

_______ 9. ลาดบั 2 , 1 , 1 , 1 ,  เป็นลาดบั เรขาคณิต ท่มี ีคา่ a1  2 และ r  1
2 8 32 4

_______ 10. จากขอ้ 9 พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั น้ี คือ an  232n

_______ 11. จากขอ้ 10 พจน์ที่ 5 ของลาดบั น้ี คอื 1

64

_______ 12. ถา้ a1 , a2 , a3 , ... เป็ นลาดบั เรขาคณิตแลว้ จะไดว้ า่ พจนท์ วั่ ไป an  ของลาดบั น้ี คือ
an  a1r n1 โดย r คือ อตั ราส่วนร่วมคงตวั ของลาดบั

_______ 13. ถา้ ลาดบั 2 , 4 , 8 , 16 , ... และ 1 , 3 , 9 , 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต แลว้
2(1) , 4(3) , 8(9) , 16(27) , … เป็นลาดบั เรขาคณิต

_______ 14. ถา้ ลาดบั 2 , 4 , 8 , 16 , ... และ 1 , 3 , 9 , 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต แลว้

2 , 4 , 8 , 16 , ... เป็นลาดบั เรขาคณิต
1 3 9 27

_______ 15. ถา้ a1 , a2 , a3 , ... และ b1 , b2 , b3 , ... เป็ นลาดบั เรขาคณิต ยกเวน้ ( a1 , a2 , a3 , ...
= 0 , 0 , 0 , … หรือ b1 , b2 , b3 , ... = 0 , 0 , 0 , …) แลว้ ลาดบั เรขาคณิตสองลาดบั น้ีมี
สมบตั ิปิ ดการคูณ

_______ 16. ถา้ ลาดบั 2 , 4 , 8 , 16 , ... และ 1 , 3 , 9 , 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต แลว้
2 + 1 , 4 + 3 , 8 + 9 , 16 + 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 24 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

_______ 17. ถา้ ลาดบั 2 , 4 , 8 , 16 , ... และ 1 , 3 , 9 , 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต แลว้
2 – 1 , 4 – 3 , 8 – 9 , 16 – 27 , … เป็นลาดบั เรขาคณิต

_______ 18. จานวนทีอ่ ยรู่ ะหวา่ งลาดบั เรขาคณิต 2 , … , 8 คือ 4 หรือ – 4

_______ 19. ค่า k ท่ที าให้ k + 1 , k + 9 , k + 33 เป็นลาดบั เรขาคณิต คือ 3 หรือ – 3

_______ 20. ผลบวกสามพจนแ์ รกในลาดบั เรขาคณิต คือ – 3 และผลคูณ คอื 8 ลาดบั เรขาคณิตน้ีคือ
– 4 , 2 , – 1 หรือ – 1 , 2 , – 4



4. ลิมิตของลำดับ

1. ลมิ ิตของลำดับจำกกรำฟ

ตัวอยา่ ง ลกั ษณะของกราฟทีม่ ีลักษณะของลาดับล่เู ข้า และลาดับลอู่ อก ดังน้ี
ขอ้ 1)

จากกราฟ จะเหน็ ว่า เมอื่ n มคี ่ามากขน้ึ ไม่มที ส่ี นิ้ สุด คา่ ของพจน์ท่ี n จะเท่ากบั 3

ดังนัน้ ลาดบั an = 3 มีลมิ ติ เท่ากับ 3 เขียนแทนด้วย lim 3 = 3

n

ข้อ 2)

จากกราฟ จะเห็นวา่ เม่อื n มีค่ามากขนึ้ ไม่มีทสี่ ิ้นสดุ คา่ ของพจนท์ ี่ n จะลดลงและเข้าใกล้ 0 แต่จะ

ไม่เท่ากับ 0 1 lim 1
n n n
ดังน้นั ลาดับ an = มีลิมิตเทา่ กบั 0 เขียนแทนดว้ ย = 0

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 25 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ข้อ 3)

จากกราฟ จะเหน็ ว่า เมือ่ n มคี า่ มากขึ้นไม่มีท่สี น้ิ สุด ค่าของพจนท์ ่ี n จะลดลงไมม่ ที ี่สนิ้ สดุ
ดงั น้ัน ลาดับ an = -2n ไมม่ ลี ิมติ เขยี นแทนด้วย lim (-2n) หาคา่ ไมไ่ ด้

n

ขอ้ 4)

จากกราฟ จะเหน็ ว่า เมื่อ n มีคา่ มากขึ้นไม่มที ่ีส้นิ สดุ ค่าของพจน์ท่ี n จะมากขนึ้ ไมม่ ีทส่ี นิ้ สุด
ดงั น้นั ลาดับ an = ไม่มีลิมติ เขียนแทนดว้ ย lim 2n หาคา่ ไมไ่ ด้

n

ข้อ 5)

จากกราฟ จะเหน็ ว่า เม่ือ n มีค่ามากขึ้นไมม่ ีท่ีสิ้นสดุ คา่ ของพจน์ท่ี n จะเข้าใกล้ 1 แตไ่ ม่เท่ากบั 1

ดังนนั้ ลาดบั an= 1 + (-1)n มลี ิมิตเทา่ กบั 1 เขยี นแทนด้วย lim 1 + (-1)n =1
n n n
ขอ้ 6)

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 26 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

จากกราฟ จะเห็นว่า เมื่อ n เปน็ จานวนคี่บวก ค่าของพจน์ที่ n จะเท่ากับ -2 และเมื่อ n เป็นจานวนคู่
บวก คา่ ของพจน์ท่ี n จะเทา่ กบั 2 ดงั นั้น เมอ่ื n มีคา่ มากขน้ึ ไม่มีท่ีสนิ้ สดุ ค่าของพจน์ท่ี n จะไม่เข้า
ใกล้จานวนใดจานวนหนึ่ง นั่นคือ ลาดับ an = 2(-1)n ไม่มีลิมิต หรือเขียนแทนด้วย
lim 2(-1)n หาคา่ ไมไ่ ด้

n

ทฤษฎบี ทเก่ียวกับ lim an

n

ทฤษฎีบท 1 ให้ r เป็นจานวนจรงิ บวกใด ๆ จะได้วา่
1
lim nr = 0 และ lim nr หาคา่ ไมไ่ ด้

n n

ทฤษฎบี ท 2 ให้ r เปน็ จานวนจริงบวกใด ๆ ท่ีไม่เทา่ กบั ศูนย์
lim rn= 0
ถา้ r < 1 แลว้
n

ถา้ r > 1 แลว้ lim rn หาค่าไม่ได้

n

1. ลาดบั เลขคณติ เป็นแผนผัง ดังนี้

ลาดับอนนั ต์ท่เี ป็นลาดบั เลขคณิต
(a1, a1 + d, a1 + 2d, ...)

d=0 d≠0

ลาดบั ลเู่ ข้า ลาดับลู่ออก
ลิมติ เท่ากับ a1 ลิมติ หาค่าไม่ได้

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 27 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

2. ลาดับเรขาคณิตเปน็ แผนผัง ดังน้ี

ตัวอย่ำงที่ 1 กาหนด an จงหาลมิ ิตของลาดับต่อไปน้ี
n n
1) an =  - 1 2) an =  - 5 3) an = 2n
2 4
n
วิธที า 1) ลาดับ an =  - 1
2
จากทฤษฎบี ท 2 เมอ่ื r เป็นจานวนจรงิ r < 1 แลว้ lim rn= 0
n
1
ฉะนัน้ r= - 2 แสดงวา่ r <1

lim  - 1 n = 0
2
n 

ดังน้นั lim an = 0 ตอบ

n 

2) an =  - 5 n
4
จากทฤษฎบี ท 2 เมื่อ r เปน็ จานวนจริง r > 1 แลว้ lim rn หาค่าไม่ได้
n 
ฉะนั้น r = - 5 แสดงวา่ r > 1
4
n
lim  - 5 หาคา่ ไมไ่ ด้
4
n

ดังนั้น lim an หาค่าไมไ่ ด้ ตอบ

n 

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 28 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

3) an = 2n
จากทฤษฎีบท 2 เมอ่ื r เปน็ จานวนจริง r > 1 แลว้ lim rn หาค่าไมไ่ ด้

n 

ฉะนั้น r = 2 แสดงว่า r > 1

lim 2n หาค่าไมไ่ ด้
n 

ดงั น้ัน lim an หาค่าไม่ได้ ตอบ

n 

. ใบงำนที่ 1.6

คำชี้แจง : ให้นักเรยี นหาค่า lim an เมือ่ กาหนด an โดยพจิ ารณากราฟ

n

1. an = 1
2n

.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................

2. an = 2
.

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................
.

3. an= 1 + (-1)n
n

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 29 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

.............................................................................................................................................................................
.
.............................................................................................................................................................................
.
4. an = 2n - 1

.............................................................................................................................................................................
.
.............................................................................................................................................................................
.
5. an = (-1)n + 1

.............................................................................................................................................................................
.
.............................................................................................................................................................................

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 30 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ทฤษฎบี ทเก่ยี วกบั lim an

n

ทฤษฎีบท 1 ให้ r เป็นจานวนจริงบวกใด ๆ จะไดว้ า่
ทฤษฎีบท 2 1
lim nr = 0 และ lim nr หาค่าไม่ได้

n n

ให้ r เปน็ จานวนจริงบวกใด ๆ ทไี่ ม่เท่ากับศนู ย์

ถ้า r < 1 แลว้ lim rn= 0
n

ถา้ r > 1 แล้ว lim rn หาคา่ ไมไ่ ด้
n

ทฤษฎีบท 3 ให้ an, bn, tn เป็นลาดบั ของจานวนจรงิ A, B เปน็ จานวนจริง

และ c เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ โดยที่ lim an = A และ lim bn = B จะไดว้ ่า

n n

1. ถ้า tn = c และ lim tn = lim c = c

n n

2. lim can = c lim an = cA

n n

3. lim (an + bn ) = lim an + lim bn =A+B

n n n

4. lim (an - bn) = lim an - lim bn =A-B

n n n

5. nlim(an  bn ) = lim an  lim bn = AB

n n

6. ถ้า bn ≠ 0 ทุกจานวนเต็มบวก n และ B ≠ 0 แล้ว
lim an
lim  an  = = A
 bn  n B
n  
lim bn

n

ทฤษฎบี ท 4 ให้ an เปน็ ลาดับของจานวนจริงที่มากกว่าหรือเทา่ กับ 0
และให้ m เปน็ จานวนเตม็ ทีม่ ากกวา่ หรือเทา่ กับ 2

ถา้ lim an = L แลว้ lim m an = m lim an

n n n

ตวั อยำ่ งท่ี 1 จงหาลิมิตของลาดับ an = 5
n
วิธที า lim 5 = 5 lim 1
n n n n
= 5(0)
=0
ตอบ
ดังนั้น lim 5 = 0
n n

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 31 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ตวั อยำ่ งท่ี 2 จงหาลมิ ิตของลาดบั an = 1 + 3n2 ตอบ
n2
+ 3n2
วิธที า lim 1 n2 = lim  1 + 3n2 
 n2 n2 
n n

= lim  1 + 3 
n2
n

= lim 1 + lim 3
n2 n
n

=0+3
=3
+ 3n2
ดงั น้นั lim 1 n2 =3

n

ตวั อย่ำงท่ี 3 จงหาลิมิตของลาดับ an = 4- 3n + n2
2n2 - 3n + 5
 วธิ ที า 4 3
4- 3n + n2 n2 n2 - n +1
2n2 - 3n +5 = lim
lim 2- 3 + 5
n n2 n n2
n

4 - 3 +1
n2 n
= lim 3 5
n 2- n + n2

lim 4 - lim 3 + lim 1
n2 nn n
= n

lim 2 - lim 3 + lim 5
n n n2
n n

= 0-0+1
2-0+0
1
= 2

ดังน้ัน lim 4 - 3n + n2 = 1 ตอบ
2n2 - 3n2 +5 2
n

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 32 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ตัวอยำ่ งที่ 4 จงหาลมิ ติ ของลาดับ an = n2 1 + n3 3
n+ n2 -
วิธีทา เราไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตของลาดับโดยตรง เพราะ lim n2 และ
n n + 1
n3
lim n2 - 3 หาค่าไม่ได้ จงึ ตอ้ งจดั รูปของ an ก่อนหาลมิ ติ

n

เน่อื งจาก n2 + n3 = n2 (n2 - 3) + n2 (n + 1)
n+1 n2 - 3 (n + 1)(n2 - 3)

= n4 - 3n2 + n4 + n3
n3 + n2 - 3n - 3
2n4 + n3 - 3n2
= n3 + n2 - 3n - 3

   = n4 2 + 1 - 3
n n2
1 1 3 3
n4 n + n2 - n3 - n4

2 + 1 - 3
n n2
= 1 1 3 3
n n2 n3 n4
+ - -

lim n2 + n3 2 + 1 - 3
n+ n2 - n n2
เพราะฉะน้นั n = lim 1 1 3 3
1 3 n n n2 n3 n4
+ - -

lim 2 + lim 1 - lim 3
n n2
= n n n

lim 1 + lim 1 - lim 3 - lim 3
n n n2 n3 n4
n n n

= 2+0-0
0+0-0-0
= หาคา่ ไม่ได้

ดงั น้นั lim n2 + n3 3 หาค่าไม่ได้ ตอบ
n n + 1 n2 -

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 33 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ใบงำนท่ี 1.7

เร่ือง ลมิ ติ ของลำดับ (2)

คำชีแ้ จง : ให้นกั เรียนใชท้ ฤษฎเี กยี่ วกบั ลมิ ติ ของลาดับ เพื่อตรวจสอบว่าลาดับในแต่ละข้อเป็นลาดับลู่เข้าหรือ

ลอู่ อก

1. an = 8
3n
.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

2. an = 8n
7n
.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

3. an = (-1)n
.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................
6n - 4
4. an = 6n

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 34 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

5. an = 4 + 5n
n2
.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

6. an = 3n2 - 5n
7n - 1
.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

7. an = 4n2 - 2n + 3
n2
.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

8. an = 3n + 1
5n + 2
.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................

9. an = n2 - 1
4n
.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................
1 1
10. an = n - n+1

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 35 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

5. อนุกรม (Series)

เม่ือ a1 , a2 , a3 , ...an เป็ นลาดบั จากดั
จะได้ a1  a2  a3  ...  an เป็ นอนุกรมจากดั
และเมื่อ a1 , a2 , a3 , ...an ,... เป็ นลาดบั อนนั ต์
จะได้ a1  a2  a3  ...  an  ... เป็ นอนุกรมอนนั ต์

บทนิยาม เมื่อ a1 , a2 , a3 , ...an เป็ นลาดบั จากดั และ a1 , a2 , a3 , ...an ,...เป็ น
ลาดบั อนนั ต์ เรียกการแสดงผลบวกของพจน์ ทุกพจนข์ องลาดบั ของลาดบั ในรูป
a1  a2  a3  ...  an หรือ a1  a2  a3  ...  an  ... วา่ อนุกรม เรียก
อนุกรมทีไ่ ดจ้ ากลาดบั จากดั วา่ อนุกรมจากดั และเรียกอนุกรมทไ่ี ดจ้ ากลาดบั
อนนั ต์ วา่ อนกุ รมอนนั ต์

สาหรับอนุกรม a1  a2  a3  ...  an  ...
เรียก a1 วา่ พจน์ท่ี 1 ของอนุกรม

a2 วา่ พจนท์ ี่ 2 ของอนุกรม
a3 วา่ พจนท์ ่ี 3 ของอนุกรม



an วา่ พจนท์ ่ี n ของอนุกรม

ตัวอย่างของอนุกรม

(1) 1 + 4 + 7 + 10 + … + 30 เป็นอนุกรมจากดั ทีไ่ ดจ้ ากลาดบั จากดั 1 + 4 + 7 + 10 + … + 30

(2) 1  1  1  ...  1  ... เป็นอนุกรมอนนั ตท์ ไี่ ดจ้ ากลาดบั อนนั ต์ 1  1  1  ...  1  ...
3 6 9 3n 3 6 9 3n

สญั ลกั ษณแ์ ทนการบวก

เพอ่ื ใหก้ ารเขียนอนุกรมสะดวกข้ึนจึงนิยมใชอ้ กั ษรกรีก  (ซิกมา) เป็ นสญั ลกั ษณ์แทน

การบวก เขียนแทน a1  a2  a3  ...  an ดว้ ย n

 ai
i 1

นนั่ คอื n = a1  a2  a3  ...  an

 ai
i 1

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนุกรม 36 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

และเขียนแทน a1  a2  a3  ...  an  ... ดว้ ย 

 ai
i 1

นน่ั คอื  = a1  a2  a3  ...  an  ...

 ai
i 1

สมบตั ิของ  ที่ควรทราบ

1. n  nc เมื่อ c เป็ นค่าคงตวั

c
i 1

2. n  n เมื่อ c เป็ นคา่ คงตวั

 cai c ai
i1 i1

n nn

ai  bi   ai  bi
  3.
i1 i1 i1

n nn

ai  bi   ai  bi
  4.
i1 i1 i1

ตัวอย่างที่ 18 จงหาคา่ ของ
แนวคดิ
(1) 3 (2) 4

5  2k 3
i1 k 1

(3) 3  2n  4 (4) 5  2

 5n2  3x2
n1 x1

(1) 3  555  35  15

5
i 1

44

2k 3  2 k 3  2 13  23  33  43
   (2)  200

k 1 k 1

3 3 33

 5n2  2n  4  5 n2  2 n   4
 (3)

n1 n1 n1 n1

 = 5 12  22  32  21 2  3 3 4

= 70

(4) 5  2  55

 3x2 3 x2   2
x1 x1 x1

 = 312  22  32  42  52  2 5

= 155

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 37 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

รปู แบบอนกุ รมที่ควรรจู้ กั ในชนั้ น้ี

1. n  1  2  3  ...  n  nn 1

i 2
i 1

2. n  12  22  33  ...  n2 = nn 12n 1

i2 6

i 1

3. n  13  22  33  ...  n3  nn 1 2

i3  2 

i 1

ตัวอย่างท่ี 19 จงหาค่าของ

(1) 100 (2) 15

i k2
i 1 k 1

(3) 10 (4) 20

n3  i 1
n1 i 1

แนวคดิ (1) 100  100100 1  5,050
i
2
i 1

(2) 15  1515 1215 1  1,240
k2
6
k 1

(3) 10  1010 12  3,025

n3  2 

n1

20 20 20 2021

i 1  i 1 2

i 1 i1 i1
  (4)   1 20  230

ตวั อย่างท่ี 20 จงหาค่าของ

(1) 14 (2) 32 (3) 30 (4)  20

 nn  5 i  32  4n  5k 2  2
n1 i 1 n14 k 8

แนวคดิ (1) 14 14

 nn  5   n2  5n
n1 n1

 = 14 14

n2  5 n

n1 n1

= 141529  51415

6 2

= 1,540

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 38 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

32 32

i  32   i2  6i  9
 (2)

i1 i1

  = 14 14 14

i2 6 i  9

n1 n1

= 323365  63233  32  9

6 2

= 14,869

(3) 30 30

4n  4n
n14 n14

 = 4 30 n  13 n
 n1 n1 

= 4 3031  1314 
 
2 2

= 4465  91

= 4374

= 1,496

(4)      20 20 7

 5k 2  2   5n2  2   5n2  2
k 8 k 1 k 1

   = 20 20 7 7
5 k2  25 k2  2

k 1 k 1 k 1 k 1

= 5202141  20  2  57815  7  2

6 6

= 14,350 – 40 – 700 + 14

= 13,624

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 39 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ที่ 4

1. จงเขยี นแทนสญั ลกั ษณ์ต่อไปน้ีใหอ้ ยใู่ นรูปการบวก

(1) 10 =……………………………………………………………………………………………...

 3i
i 1

(2) 15 =………………………………………………………………………………………

 j  2
j 1

(3) 20 =……………………………………………………………………………………...

8  2k
k 1

(4) n 1 =……………………………………………………………………………………………

i1 i

2. จงหาค่าของ

(1) 5 5i =…………………………………… (3) 5 i 2  2 =……………………………..

 
i 1 i 1

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

(2) 4 =…………………………… (4) 5 k  1 =…………………………………..
k  2
3 j  5 
j 1
k 1

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………



6. ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม

อนุกรมเลขคณติ

ถา้ a1,a2,a3 , ...,an เป็ นลาดบั เลขคณิต จะเรียก a1  a2  a3  ...  an วา่ เป็ นอนุกรมเลขคณิต
เช่น 1 , 6 , 11 , … , 5n – 4 เป็นลาดบั เลขคณิต
ดงั น้นั 1 + 6 + 11 + … + 5n – 4 เป็นอนุกรมเลขคณิต
ซ่ึงมีพจนแ์ รกเป็น 1 และมีผลต่างร่วมเป็น 2

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 40 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเลขคฺณิต

กาหนด a1,a2,a3 , ...,an เป็ นลาดบั เลขคณิต
ให้ Sn แทนผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต ท่ีมี an เป็ นพจนแ์ รก และ d เป็ น
ผลตา่ งร่วม จะได้

Sn = a1  a2  a3  ...  an

Sn = a1  a1  d  a1  2d   ...  a1  n 1d  1

หรือ Sn = 2a1  n 1d 2a1  n  2d ...  a1  2d  a1  d  a1 2

1 2 จะได้ 2Sn = 2a1  n 1d 2a1  n 1d ...  2a1  n 1d

2Sn = n2a1  n 1d

Sn = n 2a1  n  1d 
2

หรือ = n a1  an 
2

สูตร ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณติ คอื Sn  n 2a1  n 1d 
2

หรือ Sn  n a1  an 
2

ตัวอย่างที่ 21 จงหาผลบวก 30 พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต 1 + 4 + 7 + …
แนวคดิ
 a1  1 , d = 3 , n = 30

Sn  n 2a1  n  1d 
2

S 30  30 21  293
2

= 15  89

= 1,335

 ผลบวก 30 พจนข์ องอนุกรมน้ี เทา่ กบั 1,335

ตวั อย่างที่ 22 จงหา n ที่ทาให้ Sn ของ 24 + 22 + 20 + … เทา่ กบั 150

แนวคดิ กาหนด Sn = 150
= 150
n 2a1  n  1d 
2 = 150
= 150
n 2  24  n  1 2
2

n24  n 1

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 41 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

25n  n2 = 150
n2  25n 150 = 0
= 0
n 10n 15 = 10 หรือ 15
n

ตวั อย่างที่ 23 จงหาผลบวกของอนุกรมเลขคณิต 1 + 5 + 9 + … + 117
แนวคดิ
 a1 1 , d = 4 , an  117 , n = ?

an  a1  n 1d
117 = 1 n 14

117 = 4n – 3

4n = 120

n = 30

 อนุกรมน้ีมี 30 พจน์

 Sn  n a1  an 
2

S 30  30 1  117
2

= 15  118 = 1,770

 ผลบวกของอนุกรมน้ี เท่ากบั 1,770

ตัวอย่างท่ี 24 จงหาผลบวกของจานวนเตม็ ที่อยรู่ ะหวา่ ง 65 ถึง 1,300 ที่หารดว้ ย 4 ลงตวั

แนวคดิ จานวนเตม็ ทีห่ ารดว้ ย 4 ลงตวั ไดแ้ ก่ 68 , 72 , 76 , … , 1296

จาก a1  n 1d  an
จะได้ 68  n 14  1296

4n 1  1228

n 1  307

n = 308

จาก Sn  n a1  an 
2

จะได้ = 308 68  1296
2

= 210,056

ดงั น้นั ผลบวกของจานวนเตม็ ทอ่ี ยรู่ ะหวา่ ง 65 ถงึ 1,300 มีค่าเทา่ กบั 210,056

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 42 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ที่ 5

1. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเลขคณิต ทกี่ าหนดคา่ ตา่ งๆ ใหด้ งั น้ี

(1) a1  40 , d  3 , n  30 (3) a1  9 , a10  15 , n  10
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

……………………………………………………

(4) a1  7 , d   2 , n  15
3 3
(2) a1  5 , d  0.1 , n  40
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………
……………………………………………………
…………………………………………………… ……………………………………………………

……………………………………………………

……………………………………………………

2. จงหาผลบวก 30 พจน์แรกของอนุกรม 1 + 4 + 7 + …

………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาผลบวก 25 พจนแ์ รกของอนุกรม 20 + 18 + 16 + …
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

4. ถา้ อนุกรม 1 + 2 + 3 + … + n = 465 จงหา n
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 43 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

5. จงหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรม 1 + 3 + 5 + 7 + …
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

6. อนุกรม 10 + 15 + 20 + … จะตอ้ งบวกกนั กี่พจน์ จงึ จะไดผ้ ลบวกเป็น 1,150
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

7. จงหาผลบวกของจานวนเตม็ ท่มี ีค่าอยรู่ ะหวา่ ง 200 กบั 500 เม่ือจานวนเตม็ แต่ละจานวน
(1) หารดว้ ย 6 ลงตวั

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………

(2) หารดว้ ย 6 ไม่ลงตวั
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

8. อนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงมีผลบวก 20 พจน์แรกเท่ากบั 790 ถา้ อนุกรมน้ีมีผลตา่ งร่วมเท่ากบั 4
แลว้ จงหาพจนแ์ รกของอนุกรมน้ี
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

9. ถา้ อนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงมี S3  24 และ S6  54 จงหา S9
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 44 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

10. อนุกรมเลขคณิตอนุกรมหน่ึงมี S10  465 และ 9S3  4S6 จงหาอนุกรมเลขคณิตน้ี
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

11. ไมก้ องหน่ึงถูกจดั วางเรียงกนั เป็นช้นั ๆ โดยท่ีจานวนไมใ้ นช้นั ล่างมมี ากกวา่ จานวนไมใ้ นช้นั ถดั ไปซ่ึง
อยตู่ ิดกนั เป็นจานวน 3 ทอ่ นเสมอ ถา้ ไมก้ องน้ีมีจานวนไมใ้ นช้นั บนสุดเป็ นจานวน 70 ทอ่ น และช้นั
ล่างสุดซ่ึงอยตู่ ิดกบั พ้นื มีไมจ้ านวน 376 ทอ่ น จงหาวา่ ไมก้ องน้ีมีก่ีท่อน และวางซอ้ นกนั ก่ีช้นั
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………

อนุกรมเรขาคณติ

ถา้ a1,a2,a3 , ...,an เป็ นลาดบั เรขาคณิต จะเรียก a1  a2  a3  ...  an วา่ เป็ นอนุกรมเรขาคณิต

เช่น 1 , 1 , 1 , 1 , ... เป็นลาดบั เรขาคณิต
3 9 27

ดงั น้นั 1 1  1  1  ...เป็ นอนุกรมเรขาคณิต
3 9 27

ซ่ึงมีพจนแ์ รกเป็น 1 และมีอตั ราส่วนร่วมเป็ น 1

3

ผลบวก n พจนแ์ รกของอนกุ รมเรขาคฺณิต

กาหนด a1,a2,a3 , ...,an เป็ นลาดบั เรขาคณิต
ให้ Sn แทนผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต ที่มี an เป็ นพจน์แรก และ r เป็ น
อตั ราส่วนร่วม จะได้

ให้ Sn = a1  a2  a3  ...  an 1
จะได้ =Sn a1  a1r  a1r 2  ...  a1r n1

สื่อเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 45 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

(1)  r rS n  a1r  a1r 2  a1r 3  ...  a1r n 2
(1) – (2)
Sn  rS n  a1  a1r n

1  r Sn  a1  a1r n

 Sn
 a1 1  r n ,r1
1 r

สูตร ผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณติ คอื

 Sn
 a1 1  r n เม่ือ r  1
1 r
 Sn
หรือ  a1 r n  1 เมื่อ r 1
r 1

หมายเหตุ ในกรณีท่ี r = 1 จะได้ Sn  na1

ตวั อย่างที่ 25 จงหาผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 4 + 8 + 16 + …

 Sn
แนวคดิ จากสูตร  a1 1  r n
ตัวอย่างท่ี 26 จากโจทย์ 1 r

a1  4 , r  2 , n  8

 S8
 4 1 28
1 2

=  41 256

=  4 255

= 1,020

อนุกรมเรขาคณิต 3 + 6 + 12 + … จะตอ้ งบวกกนั กี่พจน์จงึ จะไดผ้ ลบวกเป็น 765

 Sn
แนวคดิ จากสูตร  a1 1  r n
1 r

จากโจทย์ a1  3 , r  2 , n  ? , Sn  765

 765
 31 2n
1 2

 765
 3 2n 1
2 1

2n 1  255

2n  256  28

n =8

อนุกรมน้ีจะตอ้ งบวกกนั 8 พจนจ์ งึ จะไดผ้ ลบวกเป็น 765

สื่อเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดับและอนกุ รม 46 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

ตัวอย่างที่ 27 ถา้ ผลบวกของพจน์แรก และพจน์ทสี่ องของอนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหน่ึงเป็น – 3 และ

ผลบวกของพจนท์ ีห่ า้ กบั พจนท์ ่หี กเป็ น  3 จงหาผลบวก 8 พจน์แรกของอนุกรมน้ี
16

แนวคดิ จากโจทย์ a1  a2   3
จะได้ a1  a1r   3

a11 r   3 1
2
และ a5  a6   3
16

a1r 4  a1r 5   3
16

2 1 ได้ r4  1
16

 r   1
2

แทนค่า r ในสมการท่ี (1) ได้

ถา้ r  1 ได้ a1   2
2
 Sn
จากสูตร  a1 1  r n
1 r
 S8
จะได้  a1 1  r 8
1 r

 21   1 8 
 2  
=
1
1 2

=  4 255 
256 


=  255
64

ถา้ r   1 ได้ a1  6
2
 S8
จะได้  a1 1  r 8
1 r

 61    1 8 
 2  
=
  1 
1  2 

=  41  1 
256 


ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 47 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

=  4 255 
 256 

=  255
64

 ผลบวก 8 พจนแ์ รกของอนุกรมน้ีเท่ากบั  255
64

แบบฝึ กพฒั นาการเรียนรู้ ชดุ ท่ี 6

1. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรมเลขคณิต ที่กาหนดคา่ ต่างๆ ใหด้ งั น้ี

(1) a1  2, r  1 , an  2 (3) a1  1 , r  3 , an  27
3 243 8 2 64

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

(2) a1  3, r  1 , an  3 (4) a1  6, r   3 , an   243
2 1024 2 8

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… …………………………………………………..

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

2. จงหาผลบวก n พจนแ์ รกของอนุกรม (2) 1 3  3  27  ...
…………………………………………………
(1) 5 + 25 + 125 + 625 + … …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………

ส่ือเสริมทกั ษะการเรียนรู้ ลาดับและอนุกรม 48 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

(3) 1 x  x2  x3  ... (4) 2  2x1  22x1  23x1  ...
3 9 27 …………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
………………………………………………… …………………………………………………
…………………………………………………
…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

…………………………………………………

3. จงหาคา่ ของ

10 7

3k   1k 1
(1)  (2) 2k

k 1 k 1

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

…………………………………………………… ……………………………………………………

4. จงหาผลบวก 10 พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1 + 2 + 4 + …

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

5. จงหาผลบวก 7 พจนแ์ รกของอนุกรมเรขาคณิต 1  1  1 , ...
3 9

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

………………………………………………………………………………………………………………..

ส่ือเสริมทักษะการเรียนรู้ ลาดบั และอนกุ รม 49 วิชาคณิตศาสตร์พืน้ ฐาน (ค33103) ม.6/1-6/3

6. อนุกรมเรขาคณิต 4 – 8 + 16 – 32 + … จะตอ้ งบวกกนั ก่ีพจนจ์ งึ จะไดผ้ ลบวกเป็ น – 340
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

7. อนุกรมเรขาคณิต 48 – 96 + 192 – … จะตอ้ งบวกกนั กี่พจนจ์ งึ จะไดผ้ ลบวกเป็ น 144
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

8. ถา้ ผลบวกของสามพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิตอนุกรมหน่ึงเป็น 13 และผลคูณของสามพจน์น้ีเป็ น
27 จงหาอนุกรมน้ี
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..

9. จงหาคา่ x ทีท่ าใหผ้ ลบวก n พจน์แรกของอนุกรม x + x2 + x3+ … มีค่าเทา่ กบั 0
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
10. ผจู้ ดั การฝ่ายขายของบริษทั แห่งหน่ึงต้งั ใจวา่ เขาจะเพมิ่ ยอดขายใหม้ ากข้นึ เป็น 2 % ของยอดขายเดิม
ทุกไตรมาส ถา้ ขณะทีเ่ ขาวางแผนเขาทายอดขายได้ 400,000 บาท ในไตรมาสแรกของปี เม่ือครบสองปี
เขาควรจะทายอดขายรวมทุกไตรมาสไดเ้ ท่าใด
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………………..