MATEMATIKA LINGKARAN

Buku siswa untuk materi lingkaran dibuat dengan tujuan menjadi perantara
bahan ajar yang mengantar matematika dari matematika konkret menuju matematika
formal yang di dalamnya memuat Pembelajaran Matematika Berbasis Masalah.
Pembelajaran Berbasis Masalah merupakan salah satu pembelajaran yang memulai
dengan masalah sehingga dianggap sesuai dengan tujuan pembelajaran yang mampu
mengantarkan menuju matematika formal dengan konsep yang siswa pahami.

Sesuai dengan karakteristik dari Pembelajaran Berbasis Masalah yaitu dalam
pembelajarannya yang berpusat pada siswa, siswa dalam proses pembelajaran berada
dalam kelompok kecil, siswa diperkenalkan dengan masalah inti atau autentik di awal
pembelajaran, saat permasalahan ditemukan oleh siswa, siswa menggunakannya sebagai
cara untuk mencapai pengetahuan dan keterampilan pemecahan masalah diperlukan
untuk memecahkan masalah sehingga siswa memperoleh informasi baru melalui
pembelajaran mandiri dan akhirnya siswa dapat menggunakan informasi baru tersebut
dalam pemecahan masalah. Oleh karena itu, adanya buku dengan pembelajaran berbasis
masalah ini merupakan usaha yang diharapkan dapat melatih siswa dalam melatih
kemampuan pemecahan masalah, dapat melatih siswa memecahkan masalah dengan
soal yang berkaitan dengan masalah sehari-haris sehingga akan berdampak pada saat
siswa memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Buku ini perlu mendapat dukungan dari banyak pihak, termasuk guru dan siswa
yang yang menggunakan dalam pembelajaran matematika di kelas. Semoga buku ini
bermanfaat bagi guru dan siswa dalam memahami materi lingkaran.

Yogyakarta, Januari 2016

Jeaniver Yuliane Kharisma

i Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

PANDUAN PENGGUNAAN BUKU

Buku Matematika Berbasis Masalah Materi Lingkaran untuk Kelas VIII

Sekolah Menengah Pertama ini merupakan buku penuntun untukmu dalam

mempelajari matematika. Untuk membantumu mempelajarinya, kenalilah

terlebih dahulu bagian-bagian buku ini, sebagai berikut.

1 1. Judul besar buku
2. Kompetensi dasar yang akan
dipelajari secara keseluruhan
2 4 3. Pengalaman belajar yang akan

didapat siswa dalam mempelajari
materi
4. Gambar yang mengilustrasikan isi

buku

3

5. Sekilas info berisi pengetahuan 5
tentang materi lingkaran 6

6. Peta konsep yang akan dipelajari
pada buku

7

89

10

7. Setiap bab diawali oleh judul materi
8. Setiap bab terdapat kata kunci yang berkaitan dengan

apa yang akan dipelajari
9. Setiap bab Setiap bab diawali oleh sebuah foto yang

mengilustrasikan materi pengantar.
10. Materi pengantar berisi gambaran penggunaan materi

yang akan dipelajari dalam kehidupan sehari-hari.

ii Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

11. Dimulai dari masalah yang memuat 11
gambar yang mengilustrasikan
masalah 13
12
12. Masalah yang mengarah pada
pemecahan masalah

13. Alternatif pemecahan masalah, salah
satu solusi dari masalah

14. Setiap bab terdapat kegiatan siswa,
kegiatan siswa dilakukan untuk
14 menemukan konsep
16 15 15. Pengalaman belajar yang akan

didapat siswa dalam melakukan
kegiatan siswa
16. Materi yang dibuat untuk siswa dan

memandu siswa dalam menemukan
konsep

17. Kesimpulan dari materi dan dapat 17
melakukan pengecekan setelah
kesimpulan ditemukan 18

18. Sub-bab buku

19. Menyajikan hasil, hasil penyelidikan

disajikan dibuku tugas

19

iii Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

20. Menganalisis dan mengevaluasi, melakukan

20 cek ulang hasil penyelidikan dengan

menyamakan hasil

21 21. Dugaan matematika
22. Tantangan matematika, berisi soal-soal untuk
22
mengukur pemahamanmu terhadap materi

yang telah kamu pelajari pada bab tertentu.

23 23. Soal latihan, soal latihan kemampuan
24 yang berisi tentang soal yang memiliki
lebih dari satu jawaban

24. Petunjuk menjawab soal

27

25
26

25. Rangkuman, berisi tentang ringkasan materi

yang telah dipelajari

26. Refleksi, berisi berupa pertanyaan pemahaman

dan tugas tambahan

27. Uji kompetensi, Disajikan sebagai sarana

evaluasi untukmu setelah selesai

mempelajari bab tertentu.

iv Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Kata Pengantar .................................................................................................................i
Panduan Penggunaan Buku...............................................................................................ii
Daftar Isi............................................................................................................................v
Lingkaran ..........................................................................................................................1

A. Kata Kunci, KD, dan Indikator Pembelajaran ......................................................1
B. Sekilas Info ...........................................................................................................2
C. Materi pembelajaran..............................................................................................3

1. Unsur-Unsur Lingkaran .....................................................................................3
2. Keliling Lingkaran ........................................................................................... 18
3. Luas Lingkaran ................................................................................................ 25
4. Sudut Pusat dan Sudut Keliling ....................................................................... 31
5. Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng ... 38
6. Garis Singgung Lingkaran ............................................................................... 46
7. Garis Singgung Persekutuan ............................................................................ 55
8. Lingkaran Dalan dan Luar Segitiga ................................................................. 64
9. Melukis Garis Singgung Lingkaran ................................................................. 71
D. Rangkuman ........................................................................................................ 81
E. Refleksi .............................................................................................................. 82
F. Uji Kompetensi .................................................................................................. 83
G. Glosarium........................................................................................................... 86

v Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Lingkaran

Kompetensi Dasar

1. Memahami unsur, keliling, dan
luas dari lingkaran

2. Memahami hubungan sudut
pusat, panjang busur, dan luas
juring

3. Menyelesaikan permasalahan
yang berhubungan dengan sudut
pusat, panjang busur, dan luas
juring

Indikator Pembelajaran

1. Mengidentifikasi unsur-unsur lingkaran
2. Menyebutkan hubungan antar unsur lingkaran
3. Menyebutkan hubungan sudut pusat dan sudut keliling
4. Menentukan keliling dan luas lingkaran
5. Menyebutkan luas juring dan panjang busur lingkaran
6. Menentukan hubungan sudut pusat dengan panjang busur
7. Menentukan hubungan sudut pusat dengan luas juring
8. Menyelesaikan permasalahan nyata yang terkait penerapan hubungan sudut

pusat, panjang busur, luas juring, dan luas tembereng

Lingkaran adalah salah satu bentuk geometri datar yang banyak
kita temui dan kita manfaatkan dalam kehidupan sehari-hari.
Lingkaran berguna dalam banyak bidang kehidupan, misal:
olahraga, arsitektur, dan teknologi. Banyak alat olahraga yang
memanfaatkan bentuk lingkaran seperti pada bentuk lapangan silat, papan
target panahan, dan keranjang basket. Bagi seorang arsitek, bentuk lingkaran
dinilai memiliki bentuk yang indah untuk mendekorasi rumah, maupun gedung
perkantoran. Seperti bentuk pintu, jendela , dan atap rumah. Kemudian pada
bidang teknologi bentuk lingkaran kita jumpai, seperti roda mobil, roda motor,
setir mobil yang memanfaatkan bentuk lingkaran.

1 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

B PETA KONSEP

C.

LINGKARAN

Mempelajari

Bagian-Bagian Luas dan Keliling Sudut Pusat, Panjang
Lingkaran Lingkaran Busur, dan Luas Juring

Titik Pusat Luas Keliling Sudut Panjang Busur
Jari-jari L= 2 K= 2
Diameter K= Sudut pusat Luas Juring
Tali Busur L= 1 2 dan sudut
Busur 4 keliling Hubungan
Juring sudut pusat
Apotema Hubungan sudut panjang busur
pusat dan sudut dan luas juring

keliling

MATERI TAMBAHAN Menyelesaikan
permasalahan hubungan
sudut pusat panjang busur

dan luas juring

LINGKARAN

Mempelajari

Garis Singgung Hubungan lingkaran
Lingkaran dan segitiga

Pengertian Garis singgung Lingkaran Lingkaran luar
dan sifat garis persekutuan dalam segitiga segitiga

singgung

Garis singgung Garis singgung Melukis garis singgung
persekutuan dalam persekutuan luar dan hubungan lingkaran

dengan segitiga

2 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

/ MATERI PEMBELAJARAN

C

D.

bagian-bagian Lingkaran

Kata Kunci Dalam kehidupan sehari-hari kita sering melihat
benda-benda yang pada bagian tepinya berbentuk
 Lingkaran lingkaran. Sebagai contoh pada gambar 1.1, apakah
 Jari-jari bagian tepinya berbentuk lingkaran?
 Diameter
 Busur
 Juring
 Tali busur
 Tembereng
 Apotema

Gambar 1.1. contoh benda yang tepinya berbentuk lingkaran
Selain benda-benda di atas, masih banyak benda lain yang
bagian tepinya berbentuk lingkaran. Coba sebutkan, apa saja
contoh-contoh yang lain?

Pada lingkaran terdapat istilah-istilah seperti titik pusat dan

jari-jari. Perhatikan gambar 1.2 berupa gambar sebuah roda

sepeda. Pada tengah-tengah roda terdapat titik, titik Sumber : BSE Matematika konsep dana
tersebut dinamakan titik pusat. Pada roda terdapat juga
jeruji yang menghubungkan antara pusat roda dengan tepi Gambar 1.2. Roda sepeda

roda. Jeruji tersebut dinamakan jari-jari. Apakah setiap jeruji pada roda

panjangnya sama? Selain titik pusat dan jari-jari, masih banyak istilah yang

berkaitan dengan lingkaran yang akan kita pelajari. Dalam kehidupan sehari-

hari juga terdapat masalah yang berkaitan dengan istilah pada lingkaran seperti

uraian masalah 1.1 dan 1.2 berikut. Amatilah masalah 1.1 dan 1.2 lalu amati juga

bagaimana solusi alternatif untuk memecahkan masalah tersebut.

3 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

MASALAH 1.1

Sumber: http://tholokun.blogspot.com Seorang tukang kayu memotong sebuah
triplek yang berbentuk persegi atau
Gambar 1.3. Tukang kayu persegi panjang untuk membuat peralatan
rumah tangga berbentuk lingkaran.
Tukang kayu tersebut menemui masalah
untuk menentukan titik pusat lingkaran
yang akan dibuat agar mendapatkan
bentuk lingkaran sebesar mungkin.
Bagaimana cara kalian membantu tukang
kayu tersebut?

Alternatif Pemecahan Masalah

Langkah 1 : Sketsalah bentuk tripleks yang akan dibuat peralatan rumah
tangga (tripleks berbentuk persegi atau persegi panjang)

Langkah 2 : gambar kedua diagonal pada persegi atau persegi panjang
tersebut hingga bertemu di satu titik

Langkah 3 : Lingkaran bisa digambar dengan pusat titik tersebut dan jari-
jari setengah panjang sisi persegi

MASALAH 1.2 Gambar di samping adalah foto salah satu
peninggalan bersejarah, yaitu stonehange
Sumber: jonosbrothers.wordpress.com yang berada di Inggris. Seorang arkeolog
menduga bentuk utuh stonehange adalah
Gambar 1.4. Stonehange lingkaran. Namun arkeolog tersebut tidak
bisa menemukan berapakah jari-jari
lingkaran dari stonehange karena
bentuknya hanya terdiri dari beberapa
busur. Andaikan kalian adalah arkeolog
tersebut, apa yang akan kalian lakukan
untuk menemukan posisi titik pusat
stonehange dan membuat sketsa
lingkaran ?

4 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Alternatif Pemecahan Masalah

Langkah 1 : Sketsalah bentuk dari stonehange tersebut
Langkah 2 : Buatlah dua ruas garis yang masing-masing ruas garis tersebut

terbentuk dari sepasang titik pada lingkaran
Langkah 3 : Buatlah ruas garis yang membagi dua sama panjang dan tegak

lurus masing-masing ruas garis yang kalian buat. Kedua garis
yang membagi lingkaran tersebut berpotongan tepat disatu
titik. Titik tersebut adalah titik pusat lingkaran
Langkah 4 : Selain langkah di atas coba temukan cara lain untuk
menemukan posisi titik pusat

Masalah 1.1 dan masalah 1.2 adalah masalah dalam kehidupan sehari-hari yang
berkaitan dengan istilah pada lingkaran. Pada masalah tersebut juga terdapat solusi dari
permasalahannya. Sebelum mengerjakan atau menyelesaikan masalah 1.1 dan 1.2
kalian harus memahami istilah yang terkait lingkaran, selanjutnya istilah tersebut
disebut unsur-unsur lingkaran. Pada kegiatan siswa 1, kalian akan melakukan
aktivitas untuk memahami unsur-unsur lingkaran serta hubungan antara beberapa unsur
lingkaran.

Kegiatan Siswa 1

PENGALAMAN BELAJAR
1. Siswa mampu menyebutkan pengertian lingkaran
2. Siswa mampu mengidentifikasi unsur-unsur lingkaran dengan kalimat sendiri
3. Siswa mampu memahami hubungan antar unsur-unsur lingkaran
4. Siswa mampu menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan unsur-unsur lingkaran

 PENGERTIAN LINGKARAN Penyelidikan Masalah

Apa itu lingkaran ?

F B
G
Perhatikan gambar di samping. Jika diberikan titik
OC O dengan titik B dan titik D yang jaraknya masing-
masing 2 cm dari titik O lalu di bentuk garis
AD lengkung yang melalui titik B dan D, Apakah titik B
terletak pada lingkaran? Apakah titik D terletak
Gambar 1.5. Lingkaran pada lingkaran?

5 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Apakah titik F dan G terletak pada lingkaran? Apakah jarak titik F dan G ke
titik O sama dengan jarak titik B ke titik O? Dapatkah kamu sebutkan titik
yang lain pada lingkaran yang dilalui oleh garis lengkung tersebut? apakah
jaraknya sama dengan jarak titik B ke titik O? Jadi pada gambar 1.2
manakah yang dimaksud dengan lingkaran? Apa yang dimaksud dengan
lingkaran?

Kesimpulan CEK
Lingkaran adalah kumpulan semua titik yang memiliki jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu
pada bidang datar.

 BAGIAN-BAGIAN LINGKARAN

a. Titik pusat

Apa itu titik pusat? 1.1
Lihat lagi gambar 1.5, Titik O merupakan titik pusat Dapatkah kalian

lingkaran. Titik O terletak di dalam lingkaran. Titik A menggambar letak titik
dan titik B terletak pada lingkaran berjarak sama pusat dari sebuah uang
terhadap titik O. Apakah ada titik yang lain?
Titik G terletak di dalam lingkaran Apakah titik G logam? Jelaskan
juga termasuk titik pusat? Bagaimana jarak titik bagaimana cara
menggambarnya.

yang lain terhadap titik G? Berikut adalah contoh titik pusat pada lingkaran.

Titik P dan Titik Q merupakan titik pusat lingkaran.

PQ

Gambar 1.6. Contoh Titik Pusat

6 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Simpulkan, apa yang dimaksud dengan titik pusat lingkaran

lingkaran dan berjarak sama terhadap Kesimpulan CEK
Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak di dalam
semua titik pada lingkaran.

b. Jari-jari (r)

Apa itu jari-jari ?

Perhatikan gambar lingkaran di bawah ini.

F H Ruas garis CB merupakan jari-jari lingkaran. Ruas
C garis CB salah satu ujungnya terletak pada titik

AB E pusat lingkaran. Apakah ada ruas garis yang lain
G yang merupakan jari-jari? Apakah ruas garis GH
merupakan jari-jari? Mengapa?
DI

Gambar 1.7. Jari-jari

Berikut adalah contoh dari jari-jari lingkaran. Ruas garis OR, ST,danVW

adalah contoh dari jari-jari lingkaran.

O SW V
R

T

Gambar 1.8. Contoh jari-jari

Simpulkan apa yang dimaksud dengan jari-jari lingkaran?

titik ruas garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan Kesimpulan CEK
Jari-jari lingkaran adalah
lingkaran.

7 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

c. Diameter (d)

Perhatikan gambar di bawah ini. R S
C EB

O T W Q
G H P V
HA
D
F U

Gambar 1.9. Diameter

Dari gambar 1.9, ruas garis AB merupakan diameter lingkaran. ruas garis

AB ujung-ujungnya terletak pada lingkaran dan melalui titik pusat. Apakah

ada ruas garis yang lain yang merupakan diameter? Apakah ruas garis GH

merupakan diameter? Ruas garis PQ melalui titik pusat lingkaran, apakah

ruas garis PQ adalah diameter? Mengapa?

Berikut adalah contoh diameter pada lingkaran. Ruas garis KL, MN,dan IJ

merupakan contoh diameter. M IP
Q
L
R

KN J

Gambar 1.10. Contoh diameter

Simpulkan, apa yang dimaksud dengan diameter lingkaran?

Kesimpulan CEK
Diameter lingkaran adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melalui pusat
lingkaran

8 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Perhatikan kembali gambar 1.9. ruas garis CO adalah jari-jari dan ruas garis
OD juga merupakan jari-jari. Karena CO dan OD merupakan jari-jari, berarti
panjang ruas garis CO dan OD sama panjang. Sedangkan ruas garis CD
merupakan diameter. Apakah hubungan antara diameter dan jari-jari?

Kesimpulan CEK
Hubungan diameter dan jari-jari adalah panjang diameter sama dengan dua kali jari-jari.

d. Tali busur

Apa itu tali busur? PD

Perhatikan gambar di bawah ini.
B

C Q T
R
M
F S W
A E K
D
H

GN UV
J

I

Gambar 1.11. Tali Busur

Pada gambar 1.11, ruas garis AB dan DC merupakan tali busur. Apakah

terdapat tali busur yang lain? Ruas garis VW bukan tali busur karena ruas

garis VW terletak diluar lingkaran dan hanya menyinggung satu titik. Apakah
terdapat ruas garis yang bukan tali busur? Mengapa ruas garis tersebut

bukan merupakan tali busur? Ruas garis GH adalah diameter. Apakah ruas

garis GH merupakan tali busur? Berikut adalah contoh tali busur pada
lingkaran.

9 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

L K
M
N
O

Y

Gambar 1.12.Contoh tali busur

Simpulkan, apa yang dimaksud dengan tali busur?

Kesimpulan CEK
Tali Busur adalah ruas garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran. Diameter merupakan tali
busur yang melalui titik pusat

e. Busur Lingkaran

Apa itu busur lingkaran?

Terdapat dua macam busur yaitu busur panjang busur
INFO pendek. Busur lingkaran merupakan bagian dari lingkaran.

Busur dilambangkan dengan “ “

Perhatikan gambar di bawah ini.

A Busur pendek

Busur panjang B
C
OO

DD

daerah setengah
lingkaran

Gambar 1.13. Busur Lingkaran

Pada gambar 1.13 garis lengkung ADC merupakan busur lingkaran. Garis
lengkung ADC menghubungkan menghubungkan titik pada lingkaran? Apakah
ada busur lingkaran yang lain? Berikut adalah contoh dari busur lingkaran.

10 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

C Busur pendek E Busur panjang
D

Busur panjang AB
F

Gambar 1.14. Contoh busur

Simpulkan, apa yang dimaksud dengan busur lingkaran?

Kesimpulan CEK
Busur lingkaran adalah garis lengkung yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan merupakan
bagian dari lingkaran.

Pada busur lingkaran ada yang dinamakan busur panjang dan busur pendek

Pada gambar 1.13, Busur ADC merupakan busur panjang. Busur panjang
ditulis dengan tiga huruf, apakah busur ADC panjangnya melebihi setengah
lingkaran? Busur AC merupakan busur pendek. Busur pendek ditulis dengan
dua huruf. Apakah busur AC panjangnya kurang dari setengah lingkaran?
Apakah pada gambar 1.14 terdapat busur panjang dan busur pendek?
Simpulkan, apa yang dimaksud dengan busur panjang dan busur pendek
lingkaran?

Kesimpulan CEK
Busur panjang adalah busur yang panjangnya melebihi setengah lingkaran. Busur pendek adalah busur
yang panjangnya kurang dari setengah lingkaran

11 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

f. Tembereng
Apa itu tembereng?
Perhatikan gambar di bawah ini.

Tembereng besar Tembereng kecil Bukan Tembereng

AA
F B Bukan Tembereng

O G C
JH Bukan Tembereng

E

BD

Gambar 1.15. Tembereng

Dari gambar 1.15, Daerah AB merupakan tembereng lingkaran. Apa yang

membatasi daerah AB?

Jika tali busur AB digeser sejajar sehingga melalui titik pusat lingkaran,
apakah daerah yang dibatasi oleh tali busur tersebut dan busurnya masih
berupa tembereng?

Pada gambar 1.15 juga terdapat gambar yang bukan merupakan tembereng.
Seperti daerah yang dibatasi oleh ruas garis EF dan busur EA. Karena ruas
garis EF bukan merupakan tali busur. Apakah terdapat bagian daerah pada
gambar lingkaran tersebut yang bukan merupakan tembereng? Mengapa?

Berikut adalah contoh tembereng pada lingkaran.

A CD
CO D
O

B

Gambar 1.16. Dua lingkaran

12 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Simpulkan, apa yang dimaksud dengan tembereng?

Kesimpulan CEK
Tembereng adalah daerah lingkaran yang dibatasi oleh suatu busur dan tali busur yang bersekutu di
titik ujungnya

g. Juring

Apa itu juring lingkaran? Bukan Juring
UT
Perhatikan gambar di bawah ini.

Juring kecil B Juring besar

O Bukan Juring P TKV
A
Q s
R

(a) Bukan(bJu) ring

1.2 Gambar 1.17. Juring
Tahukah kamu,
bahwa sebuah topi Pada gambar 1.17, daerah AB merupakan juring lingkaran.
ulang tahun bisa Apa yang membatasi daerah AB? Apakah ada daerah lain
dibentuk dari yang merupakan juring? Terdapat juga gambar yang bukan
sebuah juring. juring. Daerah UPT dan VTQ bukan merupakan juring
Bagiamana cara karena garis lurus yang membentuk daerah arsiran bukan
membentuknya? merupakan jari-jari. Adakah daerah lain pada lingkaran
yang bukan merupakan juring? Mengapa?

Berikut adalah contoh dari juring pada lingkaran.

OC D

AO

[B

Gambar 1.18. Contoh juring

13 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Simpulkan, apa yang dimaksud dengan juring lingkaran?

Kesimpulan CEK
Juring adalah daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh dua jari-jari dan suatu busur lingkaran yang
bersekutu di titik ujungnya.

h. Apotema

Apa itu apotema?

Perhatikan gambar di bawah ini. D
E
J I
H
O
C
F B
AG

Gambar 1.19. Apotema

Pada gambar 1.19 Ruas garis OG merupakan apotema. Apakah ada apotema
yang lain? Apakah Ruas garis OG tegak lurus tali busur AB? Ruas garis OJ
bukan merupakan apotema karena ruas garis OJ tidak tegak lurus terhadap
tali busurnya. Apakah ada ruas garis lain yang bukan apotema?

Berikut adalah contoh apotema pada lingkaran I

G JH

ACB K

Gambar 1.20. contoh apotema

14 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Simpulkan, apa yang dimaksud dengan apotema?

Kesimpulan CEK
Apotema adalah ruas garis yang salah satu titik ujungnya terletak pada titik pusat, tegak lurus
terhadap tali busur, dan membagi dua tali busur tersebut sama panjang

Menyajikan Hasil

Tulislah semua kesimpulan yang kalian dapatkan dari kegiatan penyelidikan
dengan bahasa kalian sendiri di buku tugas kalian.

Menganalisis dan Mengevaluasi

Periksa kembali jawaban kalian. Apakah jawaban kalian sama dengan
jawaban teman-teman yang lain? Apakah ada jawaban yang berbeda dan
menyebabkan perbedaan pendapat di antara kalian? Jika ada, buatlah
kesepakatan untuk menentukan jawaban yang tepat dan perbaiki
kesalahannya.

 HUBUNGAN ANTAR UNSUR LINGKARAN

Baca informasi berikut ini!

Tabel 1.Hubungan Antar Unsur Lingkaran

Unsur 1 Unsur 2 Hubungan
Diameter
Busur Jari-jari Panjang diameter adalah dua kali jari-jari
panjang
Busur panjang Jumlah panjang busur besar dengan busur kecil sama
Tali Busur
Apotema yang bersesuaian dengan panjang lingkaran
Juring
dengan busur

pendek

Diameter Diameter adalah tali busur terpanjang

Tali Busur Apotema selalu tegak lurus dengan suatu tali busur

Tembereng Luas tembereng sama dengan luas juring dikurangi

segitiga yang sisinya adalah dua jari-jari yang

membatasi juring dan tali busur pembatas tembereng

15 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Jawablah pertanyaan berikut ini dan berikan alasannya ! 1.3

1. Apakah diameter merupakan tali busur ?
2. Apakah setiap busur adalah diameter?
3. Apakah lingkaran adalah busur?
4. Bagaimanakah ciri tali busur yang tidak memiliki apotema?

1. Setelah kalian memahami pengertian lingkaran beserta unsur-
unsurnya, coba kalian amati kembali masalah 1.1 pada awal buku ini
kemudian sebutkan unsur-unsur lingkaran apa saja yang berhubungan
dengan gambar tersebut? Selesaikan masalah 1.1 sesuai dengan
alternatif jawaban yang telah dituliskan.

2. Setelah kalian memahami pengertian lingkaran beserta unsur-
unsurnya, coba kalian amati kembali masalah 1.2 pada awal buku ini
kemudian sebutkan unsur-unsur lingkaran apa saja yang berhubungan
dengan gambar tersebut? Selesaikan masalah 1.2 sesuai dengan
alternatif jawaban yang telah dituliskan.

PETUNJUK :

1. Identifikasi soal dengan cara menuliskan apa yang diketahui dari soal
2. Tuliskan rumus apa saja yang mungkin untuk menyelesaikan
3. Pilihlah rumus yang kalian anggap bisa menyelesaikan soal dengan tepat
4. Cek kembali jawaban dengan substitusi hasil ke dalam rumus yang digunakan
5. Tulislah secara rinci di buku latihanmu!

1. Perhatikan gambar di samping. 2,36C m F
G
Diberikan bidang GFEO adalah sebuah persegi. A O 8 cm B
Berapakah panjang jari-jari lingkaran tersebut? E

Tuliskan bagaimana cara mendapatkannya.

Gambar 1.21. Lingkaran D
16 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

2. Seseorang membagi daerah di dalam lingkaran dengan menggambar 6 tali
busur. Berapa daerah terbanyak yang bisa dibuat?

3. Bu Erna memiliki kue berbentuk lingkaran. Bu Erna ingin membagi kue-
kue tersebut menjadi 8 bagian yang sama dengan sebuah pisau. Tentukan
berapa kali paling sedikit Bu Erna memotong kue tersebut?

17 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

keliling lingkaran

Kata Kunci Pernahkah kamu mengamati
gerak sebuah roda sepeda?

 Nilai Pi (π) Untuk mengetahui pengertian
 Keliling lingkaran keliling lingkaran, coba kamu
 Rumus Keliling ambil roda sebuah sepeda.
Tandai pada bagian tepi
Lingkaran

lingkaran dengan huruf A. Kemudian, gelindingkan Sumber : BSE Matematika konsep
dan aplikasinya
roda tersebut dimulai dari titik A kembali ke titik A lagi.
Gambar 2.1. Roda Sepeda

Lintasan yang dilalui roda dari A sampai kembali ke A lagi disebut satu

putaran penuh atau satu keliling lingkaran.

Perhatikan gambar berikut.

A A
(b)
A
(a)

Gambar 2.2. Lintasan Roda

Jika lingkaran tersebut di potong di titik A kemudian di luruskan maka akan
terbentuk . Panjang (ditulis AA), merupakan keliling lingkaran. Selain
roda sepeda, terdapat masalah lain dalam kehidupan sehari-hari yang
berhubungan dengan keliling lingkaran seperti pada masalah 2.1. Amati
masalah 2.1 dan alternatif pemecahan masalahnya.

18 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

MASALAH 2.1

Para petugas dari dinas

kehutanan akan menebang

pohon-pohon yang sudah

dianggap siap panen. Pohon akan

ditebang jika diameternya lebih

dari 50 cm. Mula-mula para

petugas melilitkan tali pada pohon

yang kira-kira memenuhi kriteria

tersebut. Setelah itu, petugas

Sumber : supriyantopalusulteng.blogspot.com memberi tanda pada tali yang
merupakan pertemuan ujung dan
Gambar 2.3. Petugas dinas kehutanan

pangkalnya. Setelah tali dilepaskan dari pohon, kemudian petugas

mengukur panjangnya dari salah satu pohon, ternyata petugas

mendapatkan panjang tali tersebut adalah 198 cm. Apakah pohon

tersebut memenuhi kriteria untuk ditebang? Jelaskan alasanmu.

Alternatif Pemecahan Masalah

Langkah 1 : Identifikasilah informasi yang diberikan pada masalah 2.1
Langkah 2 : Misalkan diketahui nilai  = 22÷7, cobalah anggap

perbandingan untuk keliling pohon 22 dan perbandingan untuk
diameter 7
Langkah 3 : Coba bandingkan antara diameter pohon yang layak untuk
ditebang dan carilah keliling pohon dengan pendekatan nilai 

Sebelum kalian memecahkan masalah di atas, untuk menentukan keliling
lingkaran melibatkan suatu nilai, yaitu (dibaca pi). Berapakah nilai ? Pada
kegiatan siswa 2 kali ini kalian akan menemukan pendekatan nilai pi ( )
dengan mengukur benda-benda berbentuk lingkaran atau benda-benda yang
memiliki permukaan berbentuk lingkaran kemudian menghitung perbandingan
keliling dan diameternya. Coba liat berapa akuratkah kalian menemukan
pendekatan nilai pi ( ).

19 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Kegiatan Siswa 2

PENGALAMAN BELAJAR
1. Siswa mampu menentukan nilai
2. Siswa mampu menentukan rumus keliling lingkaran
3. Siswa mampu menentukan keliling lingkaran
4. Siswa mampu menentukan panjang lintasan

MENENTUKAN NILAI

Penyelidikan Masalah

Sumber : matematikatanpaairmata.blogspot.com

Gambar 2.4. Mengukur keliling lingkaran

Alat dan Bahan:
1. Benda-benda berbentuk lingkaran atau benda-benda yang memiliki

permukaan berbentuk lingkaran dalam berbagai ukuran (seperti
kaleng, mangkuk, gelas, piring, uang logam, dll)
2. Alat ukur panjang (penggaris atau meterstick)
3. Benang

20 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Cara kerja :

Menentukan keliling
1. Ukurlah keliling permukaan benda-benda

yang berbentuk lingkaran tersebut langsung
dengan melilitkan benang pada permukaan
atau dengan melilitkan benang atau
meterstick pada permukaan benda-benda
tersebut, beri tanda pada tali tempat
pertemuan ujung dan pangkalnya, lepaskan
tali itu dan bentangkan, kemudian ukur Gambar 2.5. keliling kaleng
berapa panjang tali tersebut dengan menggunakan penggaris atau

meterstick.

Tabel 2. Hasil Pengukuran Benda Berbentuk Lingkaran

No Diameter (d) Keliling (k)

1 ... ... ...
2 ... ... ...
3 ... ... ...
4 ... ... ...
5 ... ... ...
Rata-rata

2. Catat hasilnya pada kolom kedua dari tabel di atas, hasil ini

merupakan keliling lingkaran dari permukaan benda-benda

tersebut.

Menentukan diameter
1. Jiplaklah alas kaleng pada selembar kertas
2. Guntinglah sekeliling hasil jiplakan
3. Lipatlah lingkaran hasil guntingan sehingga saling menutupi

dengan tepat. Ukurlah bekas lipatan tersebut. Ukuran panjang
lipatan disebut sebagai diameter

1 23
21 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

4. Catat hasilnya pada kolom pertama dari tabel 2, hasil ini
merupakan diameter dari permukaan benda-benda tersebut.

5. Hitung perbandingan antara keliling setiap benda. Catat hasilnya

pada kolom ketiga dari tabel diatas. (Hitunglah nilai sampai tiga
angka di belakang koma).

6. Ulangi kegiatan diatas dengan empat benda lain yang

permukaannya berbentuk lingkaran.

7. Hitung rata-rata perbandingan keliling dan diameter yang telah
kalian peroleh !

8. Dari kegiatan tersebut, berapakah nilai phi (π) yang merupakan
perbandingan antara keliling dan diameter lingkaran?

9. Bandingkan hasil rata-rata perbandingan keliling dan diameter

kelompok kalian dengan hasil kelompok lain. Apakah hasilnya

sama?

MENENTUKAN RUMUS KELILING LINGKARAN

1. Dari kegiatan tersebut, berapakah nilai ?
2. Dengan demikian, Apakah rumus keliling lingkaran ( ) yang

memuat diameter?

ingat bahwa panjang diameter lingkaran adalah dua kali panjang
jari-jarinya ( = ). Oleh karena itu, Apakah rumus keliling
lingkaran ( ) yang memuat r?
3. Simpulkan hasil dari kegiatan ini.

Kesimpulan CEK
 Nilai diperoleh dengan membandingkan nilai keliling lingkaran

dan diameter lingkaran. Nilai adalah 3,14.
 Rumus keliling lingkaran memuat diameter adalah

 Rumus keliling lingkaran memuat diameter adalah

22 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Menyajikan Hasil

Tulislah semua kesimpulan yang kalian dapatkan dari kegiatan penyelidikan
dengan bahasa kalian sendiri di buku tugas kalian.

Menganalisis dan Mengevaluasi
Periksa kembali jawaban kalian! apakah jawaban kalian sama dengan
jawaban teman-teman kelompok lain? Apakah ada jawaban yang berbeda
dan menyebabkan perbedaan pendapat di antara kalian? Jika ada, buatlah
kesepakatan untuk menentukan jawaban yang tepat dan perbaiki
kesalahannya.

Huruf yunani digunakan untuk menyatakan keliling lingkaran

dibagi dengan diameter ( ). Berdasarkan penelitian yang

cermat , nilai π adalah 3,1415926535897932384626433..... jika

dalam perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua

tempat desimal, pendekatan nilai π adalah3,14. Pendekatan

nilai π lain yang sering di gunakan 22. Jika nilai tersebut di

7

bulatkan dengan ketelitian sampai dua tempat desimal maka

Archimedes nilainya adalah 3,14. Oleh karena itu , 22 dapat dipakai sebagai

7

pendekatan nilai π. Biasanya, 22 digunakan apabila jari-jari atau diameter lingkaran

7
merupakan kelipatan dari 7.

Benar atau salah pernyataan berikut. Berikan alasanmu.
1. Keliling suatu lingkaran selalu lebih besar dari dua kali panjang diameternya 2.1
2. Keliling suatu lingkaran selalu lebih besar dari tiga kali panjang diameternya
3. Keliling suatu lingkaran selalu lebih besar dari empat kali panjang diameternya

23 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Setelah kamu mengetahui rumus keliling lingkaran, coba kamu lihat kembali
masalah 2.1. Menurut kalian, apakah pohon tersebut sudah memenuhi
kriteria untuk di tebang? Selesaikan masalah 2.1 dengan alternatif
pemecahan masalah.

PETUNJUK :

1. Identifikasi soal dengan cara menuliskan apa yang diketahui dari soal
2. Tuliskan rumus apa saja yang mungkin untuk menyelesaikan
3. Pilihlah rumus yang kalian anggap bisa menyelesaikan soal dengan tepat
4. Cek kembali jawaban dengan substitusi hasil ke dalam rumus yang

digunakan
5. Kerjakan secara rinci dibuku tugasmu.

1. Gambar di samping adalah gambar

alat berat yang sering digunakan

untuk melakukan pengaspalan jalan

raya. Nama alat berat ini adalah

pneumatic tired roller. Tekanan yang

diberikan oleh roda dari alat ini Sumber :www.carialatberat.com
akan membuat permukaan jalan yang
Gambar 2.5. pneumatic tired roller

diaspal menjadi rata. Apabila diameter roda adalah 100 cm dan roda

berputar sebanyak 14 kali, apakah panjang lintasan roda pneumatic tired

roller tersebut mencapai 50 m?

2. Sebuah satelit melintasi suatu orbit yang berada pada 1.600 km di atas

permukaan bumi. Panjang jari-jari bumi 6400 km dan lintasan orbit

dianggap berbentuk lingkaran. Jika waktu yang dibutuhkan untuk

melintasi orbit adalah 8jam. Tentukan panjang lintasan orbit yang dilalui

satelit?

24 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

LUAS lingkaran

Sumber : http://pionirtours.com/category/central
-java/

Sumber : http://geospasial.bnpb.go.id/2010/11/05/peta-zona-
bahaya-merapi-radius-20-km/

Gambar 3.1. Gunung berapi

Kata Kunci Pernahkah kalian melihat Gunung Merapi? Masih
ingatkah kalian pada kejadian erupsi Gunung Merapi

 Luas Lingkaran pada November 2010? Gunung Merapi merupakan
 Rumus Luas Lingkaran salah satu gunung di Indonesia yang sampai sekarang
masih aktif. Pada 26 Oktober 2010 pukul 17:02 WIB

terjadi letusan pertama. Letusan bersifat eksplosif disertai dengan awan panas dan

dentuman. Erupsi Gunung Merapi pada tahun 2010 memang cukup besar dan

menimbulkan dampak yang dahsyat. Saat erupsi, Gunung Merapi mengeluarkan suara

gemuruh, hujan kerikil, hujan abu, awan panas, lava pijar, dan material lain. Pada 3

November 2010 pukul 16:05 ditetapkan radius aman di luar 15 km dari puncak Merapi.

Pada hari Jumat, 5 November 2010, Pusat Vulkanologi dan Mitigasi Bencana Geologi

(PVMBG) menaikkan batas aman dari letusan Gunung Merapi dari radius 15 km dari

puncak menjadi lebih dari 20 km dari puncak.

Daerah bahaya letusan Gunung Berapi berkaitan dengan luas sebuah daerah
lingkaran karena dapat diasumsikan bahwa daerah sekitar gunung berapi
tersebut adalah daerah yang yang berbentuk lingkaran jika dilihat dari
puncak gunung berapi tersebut. Dalam kehidupan sehari-hari terdapat juga
permasalahan yang berkaitan dengan luas lingkaran. Amatilah masalah 3.1
dan alternatif pemecahan masalahnya.

MASALAH 3.125 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

60 m

Gambar 3.2. Sketsa lapangan sepak bola

Suatu lapangan sepak bola berbentuk gabungan antara persegi panjang dan dua
setengah lingkaran seperti gambar disamping. Panjang dan lebar dari lapangan
yang berbentuk persegi panjang berturut-turut 110 m dan 60 m. Lapangan
tersebut ditanami rumput dengan harga Rp 10.000,00/m2. Berapa biaya yang
dibutuhkan untuk menanam rumput dilapangan sepak bola tersebut?

Alternatif Pemecahan Masalah

Langkah 1 : Identifikasilah informasi yang diberikan pada masalah 3.1
Langkah 2 : Ingat kembali tentang luas persegi panjang dan luas lingkaran

sewaktu belajar di jenjang sebelumnya, tulislah rumus luas
daerah persegi panjang dan daerah lingkaran
Langkah 3 : Jumlahkan antara ukuran luas daerah persegi panjang dan luas
daerah lingkaran dan akhirnya menjadi luas daerah keseluruhan
Langkah 4 : Coba kalikan antara luas daerah keseluruhan dengan biaya

Sebelum menyelesaikan masalah 3.1 dan informasi yang ada pada awal materi
maka kita akan mempelajari bagaimana cara menentukan luas lingkaran jika
suatu masalah diberikan. Oleh karena itu, ikuti kegiatan siswa 3.

INGAT KEMBALI  Nilai adalah 3,14 atau
 Rumus luas daerah persegi adalah L  p  l

Kegiatan Siswa 3

26 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

MENENTUKAN RUMUS LUAS LINGKARAN

PENGALAMAN BELAJAR
1. Siswa mampu menentukan rumus luas lingkaran
2. Siswa mampu menentukan luas lingkaran

Penyelidikan Masalah
Alat dan Bahan:
Kertas, jangka, penggaris, gunting, busur derajat, pensil/pensil warna, dan
lem kertas.

1. Gambarlah suatu lingkaran dengan jari-jari antara 10-15 cm !
2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian yang sama besar

kemudian arsirlah salah satu bagiannya. Kalian boleh mengarsir
dengan menggunakan pensil, pensil warna, atau spidol !
3. Bagilah lagi lingkaran tersebut sehingga terbentuk beberapa juring
yang sama besar (misalnya membagi lingkaran menjadi 12, 14, 16, atau
18 juring yang sama). Gunakan busur derajat untuk menentukan
sudut-sudut pusat yang sama pada setiap juring !
4. Pada salah satu juring, bagilah lagi menjadi dua bagian yang sama
besar !
5. Guntinglah lingkaran tersebut kemudian guntinglah setiap juring yang
telah kalian buat !
6. Susun juring-juring tersebut kemudian tempelkan pada kertas
sedemikian sehingga membentuk persegi panjang seperti gambar
berikut.

7. Apakah lebar persegi panjang tersebut adalah jari-jari lingkaran?
27 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Rumus luas lingkaran memuat diameter adalah8. Apakah panjang persegi panjang tersebut adalah setengah keliling
lingkaran?
CEK
9. Bagaimana rumus luas lingkaran jika dikaitkan dengan luas persegi
Rumus luas lingkaran memuat diameter adalahpanjang?

Kesimpulan10. Ingat bahwa panjang jari-jari lingkaran adalah setengah panjang
diameternya ( r  1 d ). Oleh karena itu, Apakah rumus lingkaran yang
2
memuat diameter?

Simpulkan hasil dari kegiatan ini.

Menyajikan Hasil
Tulislah semua kesimpulan yang kalian dapatkan dari kegiatan penyelidikan
dengan bahasa kalian sendiri di buku tugas kalian.

Menganalisis dan Mengevaluasi
Periksa kembali jawaban kalian ! apakah jawaban kalian sama dengan
jawaban teman-teman kelompok lain? Apakah ada jawaban yang berbeda
dan menyebabkan perbedaan pendapat di antara kalian? Jika ada, buatlah
kesepakatan untuk menentukan jawaban yang tepat dan perbaiki
kesalahannya.

28 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Tahukah kalian bahwa sebenarnya luas lingkaran tidak hanya diperoleh
dengan cara menyusun potongan-potongan juring menjadi bentuk persegi
panjang seperti pada kegiatan sebelumnya. Juring-juring lingkaran dapat
disusun menjadi beberapa bangun datar seperti gambar berikut ini. Menurut
kalian, jika luas lingkaran diturunkan dari luas-luas bangun datar seperti
bangun-bangun datar berikut, bagaimanakah hasilnya ?

3.1

(B) (D) (E)
(A) (C)

(F)

1. Setelah kamu mengetahui rumus luas lingkaran, coba kamu amati kembali
masalah 3.1. Menurut kalian, berapakah luas lapangan yang ditanami
rumput dan berapakah biayanya? Apakah hubungan antara luas lapangan
dan biaya penanaman rumput? Selesaikan permasalahan 3.1 dengan
alternatif pemecahan masalah

2. Carilah 3 benda di sekitarmu yang berbentuk lingkaran dengan
menggunakan rumus lingkaran yang telah kalian peroleh sebelumnya,
hitunglah luas setiap benda tersebut !

29 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

PETUNJUK :
1. Identifikasi soal dengan cara menuliskan apa yang diketahui dari soal
2. Tuliskan rumus apa saja yang mungkin untuk menyelesaikan
3. Pilihlah rumus yang kalian anggap bisa menyelesaikan soal dengan tepat
4. Cek kembali jawaban dengan substitusi hasil ke dalam rumus yang digunakan
5. Tulislah secara rinci di buku latihanmu!

1. Seorang penyelam akan mencari korban kapal tenggelam didasar laut
dengan kedalaman 20 m. Sebagai pengaman, penyelam menggunakan tali
sepanjang 25 m dan mengkaitkan pada kapal. Jika permukaan laut
tersebut datar, berapa luas daerah lingkaran yang dapat dijelajahi si
penyelam?

2. Suatu kolam berbentuk lingkaran memilki diameter 10 m. disekeliling
kolam terdapat jalan dengan lebar 2 m.
a. Buatlah sketsa kolam dan jalan yang ada di sekeliling kolam beserta
ukuran-ukurannya
b. Tentukan luas kolam tersebut !
c. Tentukan luas jalan di tepi kolam tersebut !
d. Jika jalan disekitar taman akan dipasang paving dan biaya pemasangan
paving tiap 1 m2 adalah Rp50.000,00 maka tentukan biaya pemasangan
paving tersebut !

30 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Sudut pusat dan sudut keliling

Yogyakarta merupakan kota kecil yang

menjadi miniatur Indonesia. Kota ini

diidentikkan dengan batik yang sudah

terkenal hingga mancanegara. Besarnya

produksi batik di Yogyakarta

menghasilkan limbah batik yang cukup Sumber : mampirsouvenir.weebly.com
banyak. Dengan kreativitas para pengrajin, -java/
limbah batik dibuat menjadi kipas batik yang
Gambar 4.1. Kipas Batik

cantik. Limbah kain batik terdiri dari berbagai ukuran, Sehingga

menghasilkan kipas batik dengan berbagai ukuran

Kata Kunci pula agar memaksimalkan pemanfaatan limbah kain
batik. Kipas batik ini sekarang telah menjadi souvenir
 Sudut Pusat yang banyak di jual sebagai oleh-oleh khas
 Sudut Keliling Yogyakarta atau juga bisa sebagai souvenir dalam

acara pernikahan. Kipas batik yang dibuat berbentuk

juring lingkaran yang berjari-jari 14 cm, 18 cm, atau 20 cm. Sudut pusat dari kipas batik

jika dibentangkan dapat membentuk ukuran sudut bermacam-macam, misalnya 1800,
1600, atau 1400.

Perhatikan gambar dibawah ini !

Sudut keliling ABC pada lingkaran dengan titik pusat O

Kaki-kaki sudut ABC (sinar BA dan sinar

BC) memotong lingkaran di titik A dan C.

A B Dengan kata lain sudut keliling ABC
O
menghadap busur AC. Tahukah Kalian,

C antara sudut keliling dan sudut pusat yang
menghadap busur yang sama mempunyai
Gambar 4.2. Busur AC

hubungan khusus. Dalam bab ini Kalian akan mengetahui hubungan khusus

tersebut. Amati masalah 4.1 dan alternatif pemecahan masalahnya.

31 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

MASALAH 4.1

Andaikan, ayahmu adalah seorang petani.

Beliau mempunyai pedati/gerobak dari

kayu. Pedati tersebut biasa digunakan

untuk mengangkut barang-barang misalnya

pupuk, benih/bibit tanaman, dan hasil

panen. Suatu hari, salah satu roda pedati

tersebut ada yang patah. Ayahmu

Sumber : linsart.wordpress.com bermaksud membuat roda yang baru
rusak. Karena beliau merasa
-javGa/ambar 4.3. Roda pedati

sebagai pengganti roda yang

mempunyai anak yang pintar sepertimu, beliau memintamu

membuatkan desain roda pedati. Banyaknya jeruji roda ada 18.

Bagaimana kamu mendesain roda itu?

Alternatif Pemecahan Masalah

Langkah 1 : Kalian harus menentukan dulu jari-jari roda yang akan dibuat.

Langkah 2 : Gunakan jangka untuk menggambar model roda

Langkah 3 : Bagilah lingkaran tersebut menjadi beberapa juring dengan
sudut pusat yang sama

Sebelum menyelesaikan masalah di atas, ikuti kegiatan siswa 4 untuk
mengetahui apa itu sudut pusat, sudut keliling, dan hubungan khusus yang
terbentuk dari sudut pusat dan sudut keliling.

Kegiatan Siswa 4

PENGALAMAN BELAJAR
1. Siswa dapat menentukan hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling lingkaran yang

menghadap busur yang sama
2. Siswa dapat menentukan besar sudut pusat atau sudut keliling yang menghadap busur

yang sama jika besar salah satu sudutnya diketahui
3. Siswa dapat menggunakan sifat sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran
4. Siswa dapat menggunakan sifat sudut keliling yang menghadap busur yang sama

32 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Penyelidikan Masalah

PENGERTIAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING

Perhatikan gambar di samping. A B
Sudut ∠BOC disebut sudut pusat. Apakah kaki-kaki

sudut pusat berupa jari-jari lingkaran? Apakah E O

sudut pusat ∠BOC menghadap busur lingkaran ?

Simpulkan, apa yang dimaksud dengan sudut pusat? C

D

Gambar 4.4. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Kesimpulan CEK
Sudut pusat lingkaran adalah sudut yang kaki-kakinya berupa jari-jari
dan menghadapa busur lingkaran

Selain sudut ∠BOC, apakah terdapat sudut pusat yang lain?

Perhatikan kembali gambar 4.4.
Sudut BAC disebut sudut keliling. Apakah kaki-kaki sudut keliling berupa
tali busur? Apakah kaki-kaki sudut keliling BAC bertemu disatu titik pada
lingkaran?
Simpulkan, apa yang dimaksud dengan sudut keliling lingkaran ?

Kesimpulan CEK

Sudut keliling lingkaran adalah sudut yang kaki-kakinya berupa tali
busur dan tali busur tersebut bertemu disatu titik pada lingkaran

Apakah terdapat sudut lain yang merupakan sudut keliling?
33 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

HUBUNGAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN

Ikuti kegiatan berikut.
Alat dan Bahan: kertas HVS, lem, penggaris, jangka, dan alat tulis
Cara Kerja:

1. Gambar lingkaran dengan titik pusat P dengan jari-jari 6 cm pada
kertas HVS

2. Gambar sebuah busur pada lingkaran dan beri nama busur
3. Gambar sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur
4. Gunting sudut pusat pada lingkaran
5. Lipat sudut pusat yang telah digunting tadi menjadi dua bagian yang

sama kemudian bandingkan dengan sudut keliling yang telah Kalian
buat pada lingkaran pertama dengan cara meletakkan lipatan tersebut
diatas sudut keliling.
6. Apakah informasi yang Kalian peroleh dari langkah 1-5?
7. Lakukan langkah 1-5 untuk lingkaran dengan jari-jari yang berbeda.
8. Simpulkan, bagaimana hubungan antara sudut pusat dan sudut
keliling?

Kesimpulan CEK

Hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling lingkaran adalah
sudut pusat besarnya dua kali sudut keliling

Bagaimanakah besar sudut keliling yang tidak menghadap busur yang sama
dengan sudut pusat lingkaran? Apakah berlaku kesimpulan di atas?

SIFAT SUDUT KELILING YANG MENGHADAP DIAMETER LINGKARAN

INGAT KEMBALI Unsur-unsur lingkaran terutama diameter dan jari-jari

Perhatikan gambar disamping. L
L
Disebut apakah ruas garis KM ? Sudut KLM K M
merupakan sudut keliling lingkaran yang P
menghadap busur KLM dengan sudut pusat KPM.
Berapakah ukuran sudut pusat KPM?

Gambar 4.5. Sudut menghadap diameter

34 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Berdasarkan hubungan antara sudut keliling dan sudut pusat yaitu ukuran
sudut pusat sama dengan dua kali sudut keliling lingkaran, simpulkan,
bagaimana ukuran sudut keliling lingkaran yang menghadap diameter
lingkaran?

Kesimpulan CEK
Ukuran sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran adalah °

Jika dibuat titik N pada lingkaran yang bersebrangan dengan titik L,
kemudian dibuat tali busur KN dan MN , apakah besar KLM sama dengan
besar KNM . Mengapa?

SIFAT SUDUT KELILING YANG MENGHADAP BUSUR YANG SAMA

Perhatikan gambar di samping. K P
Sudut KLP , sudut KMP , dan sudut KNP

merupakan sudut keliling. Apakah sudut KLP ,

sudut KMP , dan sudut KNP menghadap busur O

? Sudut KOP merupakan sudut pusat L N
lingkaran. Apakah sudut pusat KOP menghadap M
busur ? Karena menghadap busur yang sama,
berdasarkan kesimpulan pada kegiatan Gambar 4.6. Sudut menghadap busur

sebelumnya bahwa besar sudut pusat sama dengan dua kali besar sudut

keliling maka:

berapa besar KLP ?

berapa besar KMP ?

berapa besar KNP ?

apakah besar KLP  besar KMP  besar KNP ?

Simpulkan, bagaimana sifat sudut keliling lingkaran yang menghadap busur
yang sama ?

Kesimpulan CEK
Besar semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan
sudut pusat adalah sama, yaitu setengah kali sudut pusatnya

35 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Menyajikan Hasil

Tulislah semua kesimpulan yang Kalian dapatkan dari kegiatan penyelidikan
di atas pada buku tugasmu.

Menganalisis dan Mengevaluasi

Periksa kembali jawaban Kalian. Apakah jawaban Kalian sama dengan
jawaban teman-teman kelompok lain? Apakah ada jawaban yang berbeda
dan menyebabkan perbedaan pendapat di antara Kalian? Jika ada, buatlah
kesepakatan untuk menentukan jawaban yang tepat dan perbaiki
kesalahannya.

Segiempat tali busur adalah segiempat yang keempat titik sudutnya 4.1

terletak pada lingkaran. Tunjukkan bahwa jumlah besar sudut
segiempat tali busur yang berhadapan adalah °.

1. Selesaikanlah masalah di bawah ini dengan menggunakan kesimpulan dari

kegiatan di atas. Petunjuk:

Pada segitiga sama kaki, sudut disekitar

L kaki-kaki yang sama panjang itu besarnya

K 6x sama. C

130°

7x Ax x B karena itu,
sama kaki. Oleh
M
sama dengan
Gambar 4.7. Sudut keliling

36 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

2. Setelah kamu mengetahui tentang sudut pusat dan sudut keliling serta
hubungan khususnya, coba kamu lihat kembali masalah 4.1. Menurut Kalian,
apakah pohon tersebut sudah memenuhi kriteria untuk di tebang?
Selesaikan masalah 4.1 dengan alternatif pemecahan masalah.

PETUNJUK :

1. Identifikasi soal dengan cara menuliskan apa yang diketahui dari soal
2. Tuliskan rumus apa saja yang mungkin untuk menyelesaikan
3. Pilihlah rumus yang Kalian anggap bisa menyelesaikan soal dengan tepat
4. Cek kembali jawaban dengan substitusi hasil ke dalam rumus yang digunakan
5. Tulislah secara rinci di buku latihanmu!

1. Perhatikan lingkaran pada gambar di samping. 80°
Dari gambar tersebut, tentukan:
a. nilai x,
b. nilai y,
c. nilai z.

Gambar 4.8. Sudut pusat dan sudut keliling

S

2. Perhatikan gambar di samping.

P R Tunjukkanbahwa jumlah sudut

keliling yang saling berhadapan

° adalah 180° .
°O

Q

Gambar 4.9. sudut keliling menghadap busur yang sama

37 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

HUBUNGAN Sudut pusat, PANJANG BUSUR,
DAN LUAS JURING

Pernahkah Kalian membuat Kata Kunci
diagram lingkaran?
Gambar di samping adalah

contoh diagram lingkaran.  Sudut Pusat
Diagram lingkaran tersebut  Panjang Busur
menunjukkan persentase  Luas Juring
hasil panen, yaitu padi,  Luas tembereng

Gambar 5.1. Diagram lingkaran jagung, kacang, dan kedelai. Dari diagram
lingkaran tersebut tampak bahwa sudut pusat hasil panen padi adalah 50%,

jagung 25%, kacang 15%, dan kedelai 10%. Gambar di samping juga terdiri dari

juring, sudut pusat, dan busur. Berarti ada keterkaitan antara juring, sudut pusat,

dan busur sehingga dapat membentuk bagian seperti gambar 5.1. Selain itu

terdapat juga masalah dalam kehidupan sehari-hari mengenai hubungan antara

luas juring, panjang busur, dan sudut pusat. Amati masalah 5.1 dan alternatif

pemecahan masalahnya.

MASALAH 5.1

Meat Lovers adalah salah satu jenis
pizza yang berisi daging sapi cacing,
sosis sapi, dan sosis ayam. Setiap
pembelian, biasanya sudah dipotong-
potong menjadi beberapa bagian sesuai
dengan ukuran pizza. Tersedia 3 jenis

ukuran yaitu personal, medium, dan
large. Berikut beberapa informasi
tentang Pizza Hut Meat Lovers .

Sumber : charlescountymd.gov

-java/ Gambar 5.2. Pizza

Ukuran Pizza Banyak potongan Diameter (cm) Harga (Rp)
Personal 4 25 57.000
Medium 6 30 68.000
Large 8 35 80.000

38 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

a. Berapa luas tiap potongnya pizza pada masing-masing ukuran
(personal, medium, dan large)? Gunakan = 3,14 dan bulatkan
hasilnya hingga satuan terdekat.

b. Jika pizza tersebut dapat dibeli secara eceran, berapa harga tiap
potongannya? (Bulatkan hingga ratusan terdekat)

c. Jika kamu adalah orang yang berprinsip ekonomis, pizza ukuran
apa yang akan kamu beli berdasarkan luas dan harga tiap
potongannya? Jelaskan !

Alternatif Pemecahan Masalah

Langkah 1 : Tulislah semua informasi dari permasalahan 5.2, lalu tulis juga
apa yang ditanyakan dari soal

Langkah 2 : Perhatikan masing-masing soal yang ditanyakan, lalu tulislah
berbagai rumus yang Kalian ketahui untuk menyelesaiakan soal
tersebut. Mislanya rumus luas lingkaran.

Langkah 3 : Cari luas dengan menggunakan salah satu rumus yang telah
Kalian tulis, lalu hitung luas perpotongan dengan membagi luas
lingkaran dengan banyak potongan pizza

Langkah 4 : Perhatikan harga setiap pizza, lalu bagi harga tersebut dengan
setiap potongan pizza

Langkah 5 : Hitung semua luas pizza, lalu ikuti langkah 3 dan 4, tentukan
mana yang akan kamu beli dengan prinsip ekonomi

Sebelum menjawab masalah 5.1 yang berkaitan dengan hubungan panjang

busur, luas juring, dan sudut pusat, Kalian ikuti kegiatan 5 berikut.

Kegiatan Siswa 5

PENGALAMAN BELAJAR
1. Siswa dapat menentukan hubungan antara besar sudut pusat, panjang busur, dan luas

juring
2. Siswa dapat menentukan besar sudut pusat, panjang busur, luas juring, dan luas

tembereng
3. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan penerapan hubungan antara besar

sudut pusat, panjang busur, dan luas juring.

39 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Penyelidikan Masalah

**Hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring**

Alat dan Bahan : Gabus berbentuk lingkaran, penggaris, pisau cutter,

busur derajat, dan alat tulis.

Langkah-langkah:

1. Diberikan gabus berbentuk lingkaran dengan ukuran sudut seperti
B
gambar di samping

2. Potong juring POQ Kemudian susunlah juring A
POQ di atas juring AOB, COD, dan BOC.
3. Berapakah banyak juring POQ yang disusun di P Gamba2r065°0.3O°.18Ju00r0°in° g
atas juring AOB, COD dan BOC agar memenuhi Q
C

juring AOB, COD, dan BOC? Bagaimanakah

perbandingan sudut pusat juring POQ dan sudut

pusat juring AOB ? Bagaimanakah perbandingan D

sudut pusat juring POQ dan sudut pusat juring COD? Bagaimanakah

perbandingan sudut pusat juring POQ dan sudut pusat juring BOC?

Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat dan panjang busur

4. Ukurlah panjang dan dengan menggunakan benang.

5. Bagaimana perbandingan panjang dan ?

6. Bandingkan juga panjang dan , serta panjang Rumus

dan . Bagaimanakah perbandingannya? L juringPOQ 
L

360 lingkaran
   r2
Untuk menyelidiki hubungan antara sudut pusat dan luas 360
juring
P busurPOQ   K
7. Jiplaklah juring POQ pada juring AOB sampai beberapa lingkaran
360
kali hingga semua daerah juring AOB tertutupi oleh hasil   2 r
360

jiplakan juring POQ.

8. Banyak juring POQ yang disusun di atas juring AOB sebanyak 5 juring

POQ Bagaimanakah perbandingan luas juring POQ dan luas juring

AOB ?

9. Lakukan langkah 8-9 untuk juring COD dan juring BOC. Bagaimanakah

perbandingan luas juring POQ dengan luas juring COD dan BOC?

40 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Berdasarkan langkah 3, 6, dan 8, apakah Kalian menghasilkan perbandingan
yang sama ? Simpulkan, bagaimana hubungan antara sudut pusat, panjang
busur, dan luas juring?

Kesimpulan CEK
Hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah

**LUAS TEMBERENG**

Perhatikan gambar di bawah ini.

Keterangan: PETUNJUK !

O r r = jari-jari

R Q = -
Segitiga
PQ = tali busur Tembereng Juring
∝ = sudut pusat
P OR = apotema
Gambar 5.4. Tembereng

Berdasarkan petunjuk di atas, luas tembereng dapat diperoleh dengan
menentukan selisih antara luas juring dan luas segitiga.

Perhatikan juring POQ. Bagaimana rumus menentukan luas juring?
Selanjutnya, perhatikan ∆ .

INGAT Pada lingkaran O, OR adalah apotema. Sifat apotema adalah tegak
KME
lurus terhadap diameter dan membagi tali busur dihadapannya menjadi

2 bagian yang sama panjang, jadi, PR  RQ

Bagaimana menentukan rumus luas segitiga, jika apotema menjadi tinggi
segitiga?

41 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

Simpulkan, bagaimana menentukan luas tembereng?

CEK

Kesimpulan

Menyajikan Hasil

Tulislah semua kesimpulan yang Kalian dapatkan dari kegiatan penyelidikan
di atas pada buku tugasmu.

Menganalisis dan Mengevaluasi
Periksa kembali jawaban Kalian. Apakah jawaban Kalian sama dengan
jawaban teman-teman kelompok lain? Apakah ada jawaban yang berbeda
dan menyebabkan perbedaan pendapat di antara Kalian? Jika ada, buatlah
kesepakatan untuk menentukan jawaban yang tepat dan perbaiki
kesalahannya.

Perhatikan gambar 5.3 pada kegiatan siswa 5. 5.1

Andaikan besar sudut suatu lingkaran penuh, panjang dibandingkan

dengan keliling lingkaran O, dan luas juring POQ dibandingkan dengan luas

lingkaran O, bagaimanakah hasilnya?

Setelah Kalian mengetahui hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas
juring lingkaran, coba kamu amati kembali masalah 5.1 kemudian selesaikan
Selesaikan masalah 5.1 dengan alternatif pemecahan masalah.

42 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

PETUNJUK :
1. Identifikasi soal dengan cara menuliskan apa yang diketahui dari soal
2. Tuliskan rumus apa saja yang mungkin untuk menyelesaikan
3. Pilihlah rumus yang Kalian anggap bisa menyelesaikan soal dengan tepat
4. Cek kembali jawaban dengan substitusi hasil ke dalam rumus yang digunakan
5. Jawablah secara rinci di buku latihanmu!

1. Seorang petani bunga berencana menanam

beberapa jenis bunga di lahannya yang

berbentuk lingkaran. Lahan bunga yang

berjari-jari 7 m tersebut dibagi menjadi 6

bagian yang sama. Petani tersebut ingin

menanami bunga matahari seperti pada
gambar. Harga setiap kemasan bibit bunga Gambar 5.5. Kebun Bunga

matahari adalah Rp10.000,00. Setiap penanaman pada lahan seluas 1 m2,

dibutuhkan bibit bunga matahari sebanyak 1 kemasan. Kamu dimintai

tolong untuk membelikan bibit bunga tersebut. Sebagai orang yang

jujur, berapa uang yang akan kamu kembalikan jika petani memberikan

uang Rp800.000,00 kepadamu? (anggap tidak ada pengeluaran lain untuk

membeli bibit bunga).

2. Perhatikan gambar.

Pada gambar terlihat salah satu gedung

teater yang berada di suatu negara yang

diperkirakan berbentuk lingkaran

konsentris yang terbagi menjadi 15 bagian

juring yang sama besar. Panjang pinggiran

teater terluar adalah pada setiap bagian Sumber : http://www.forum.detik.com
-jaGvaa/mbar 5.6. Gedung teater

43 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah

juring adalah 20,5 m. jika antara bagian juring yang satu dengan yang
lainnya diberi jarak 1 m untuk jalan, tentukan:
a. sketsa gambar lingkaran yang memuat busur tersebut !
b. panjang diameter lingkaran yang memuat busur tersebut!

44 Buku Siswa Lingkaran Kelas VIII SMP dengan Pembelajaran Berbasis Masalah