Электронды оқулық

«Семей қаласының Шәкәрім атындағы университеті» КеАҚ

Электронды әдістемелік нұсқаулық

Тақырыбы: «МЕКТЕПТЕ ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ МЕН
МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКАНЫ ОҚЫТУ ӘДІСТЕМЕСІ»

Авторы: Маукенова А.Т.
Ғылыми жетекшісі:
ф.-м.ғ.д., доцент
Берікханова Г.Е.

Семей-2022ж.

1

Мазмұны
Ықтималдықтар теориясы ................................................................................................................ 3
Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары........................................................... 16
Математикалық статистика элементтері ........................................................................................ 21
Тест тапсырмалары ......................................................................................................................... 32
Жауаптары....................................................................................................................................... 60
Пайдаланған әдебиеттер тізімі ....................................................................................................... 61

2

Ықтималдықтар теориясы

Ықтималдықтар теориясы қандай да бір оқиғаның шығуын алдын-ала
анықтай алмайды, бірақ оның көмегімен көп рет қайталанған оқиғаның
заңдылығын анықтауға болады. Оқиғалар 3 түрге бөлінеді: ақиқат, мүмкін

емес және кездейсоқ.
Тәжірибе барысында міндетті түрде орындалатын оқиғаларды ақиқат

оқиғалар деп атайды.
Тәжірибе кезінде пайда болмайтын оқиға мүмкін емес оқиға деп

аталады.
Тәжірибе барысында орындалуы да, орындалмауы да мүмкін оқиға

кездейсоқ деп аталады.
Оқиғалар латын алфавитінің бас әріптерімен A,B,C… арқылы

белгіленеді.
Тәжірибе барысында екі оқиғаның бірі пайда болып, екіншісі пайда

болмайтын оқиғалар үйлесімсіз деп аталады.
Болу не болмау мүмкіндіктері бірдей және бір-бірінен артықшылығы

жоқ оқиғалар тең мүмкіндікті оқиғалар деп аталады.

Егер жалғыз мүмкіндікті екі оқиға толық топты құраса, онда олар
қарама-қарсы оқиғалар деп аталады. A оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны A
деп белгіленеді

Оқулықтағы берілген анықтамалар оқушыларға түсінікті болуы үшін
келесі мысалдарды көрсетуді ұсынамыз. «Тәжірибе» мен «оқиға»
ұғымдарының айырмашылығын қарастырайық. Өмірде, тұрмыста, ғылымда
жүргізілетін бақылаулар, сынақтар, эксперименттерді тәжірибе деп атаймыз.
Тәжірибенің нәтижесі оқиға болады [1].

1-мысал. Теңге бір рет лақтырылады. Бұл тәжірибе. Тәжірибенің
нәтижесі оқиға болып есептеледі.

А оқиғасы – елтаңба жағының шығуы.
В оқиғасы-цифр жағының шығуы. Мұнда А және Вүйлесімсіз
(тоғыспайтын), қарама-қарсы оқиғалар және толық топ құрайды.

2-мысал. Жәшікте тек ақ шарлар бар. «жәшіктен ақ шар алу» - бұл
ақиқат оқиға, ал «жәшіктен қара шар алу» - бұл мүмкін емес оқиға.

Мына мысалды қарастырайық. Жәшікте 6 стандартты және 4
стандартты емес зат бар. Жәшіктен бір зат алынған. Стандартты затты алу
мүмкіндігі стандартты емес затты алуға қарағанда көп екені айқын. Бұл
мүмкіндікті сипаттайтын сан ықтималдық деп аталады.

Анықтама.Аоқиғасының ықтималдығы дегеніміз - осы оқиғаға
қолайлы жағдайлар санының барлық жағдайлар санына қатынасы.

А оқиғасының ықтималдықтығы былай белгіленеді PA.Сонымен,

PA  m (1)

n

Мұндағы m - А оқиғасының орындалуына қолайлы жағдайлар саны,

3

ал n-барлық тәжірибе саны.
Ықтималдықтың бұл анықтамасын классикалық анықтама немесе

Лаплас моделі дейміз. Енді PAықтималдығының қасиеттерін қарастырайық.

1. PAықтималдығы теріс емес функция, яғни PA  0 .

2. PAәрқашан 0  PA 1.

3. Қиылыспайтын (үйлесімсіз) және B оқиғалары үшін

PA Bаддитивті функция, яғни PA B  PA PB

Бұл үшінші қасиетті ықтималдықтарды қосу теоремасы немесе
ықтималдықтарды қосу заңы деп атайды.

Ықтималдықтар теориясында оқиғаларды элементар оқиғаларға бөліп
қана қоймай, оқиғалардың өқара тәуелділігі мен тәуелсіздігінің де жігін
ажыратып қарастырады.

«A оқиғасы B оқиғасынан тәуелсіз» деген нені білдіреді? Егер
оқиғасының ықтималдығы пайда болғанына немесе пайда болмағанына
қарай өзгермейтін болса, онда A оқиғасы B оқиғасынан тәуелсіз деп

аталады. Басқаша айтқанда PA ықтималдығы A оқиғасының B оқиғасы

орындалды деп есептегендегі ықтималдығы P A  -ға тең. Сондықтан,

B

PA  P A   PAB (2)
 B  PB

яғни, PAB
PB
PA 

осыдан,

PAB  PAPB.

Сонымен “A оқиғасы B-ден тәуелсіз” дегеніміз PA, PB, PAB

ықтималдықтары үшін PAB  PAPBтеңдігі орындалады дегенді білдіреді.

Сонымен A оқиғасы A-ден тәуелсіз болса, онда симметриялы түрде A

оқиғасыда B оқиғасынан тәуелсіз болады.

3-мысал. Екі тиын тасталды. Бірінішсінде “елтаңба” немесе “сан”

жағының шығуы, екінші жағында “ елтаңба” немесе “сан ” жағының

шығуына ешқандай әсер етпейді. Демек бірінші тиынның “елтаңба”

жағының шығуы –A оқиғасы, екініш тиынның “елтаңба ” жағының шығуы B-

оқиғасынан тәуелсіз және керісінше, B оқиғасы A-оқиғасынан тәуелсіз, яғни

A, B өзара тәуелсіз оқиғалар.

4-мысал. 36 карталық жиыннан бір карта таңдамай алынған. A–

алынған картаның тұз болу оқиғасы, ал B-алынған картаның қызыл түсті

болу оқиғасы.A және B оқиғалары өзара тәуелсіз.

PA  4  1 ; PB  18  1 ;
36 9 36 2

Егер A оқиғасының ықтималдығы B оқиғасының пайда болғанына

4

немесе пайда болмағанына қарай өзгеретін болса, онда A оқиғасы B
оқиғасына тәуелді деп аталды.

5-мысал. Кәсіпорынның жасайтын бұйымдарынан кез келген бір
бұйым таңдамай алынған. А-алынған бұйым ақаусыз, В-алынған бұйым

бірінші сортты. Онда B оқиғасы жүзеге асса, A оқиғасы міндетті түрде
жүзеге асады. Сондай-ақ A оқиғасы жүзеге асса, B оқиғасы пайда
болмайды. Демек, A, B және A , B оқиғалары арасында тәуелділік байқалады.

6-мысал. Ойын сүйегі тасталды. -жұп ұпайлардың шығу оқиғасы. -
үштен үлкен ұпайлардың шығу оқиғасы. Мұнда A және B оқиғаларының
арaсында тәуелділік бар. A оқиғасы пайда болды деп, A-ның

ықтималдылығын есептесек PA  2 , егер ешбір қосымша мәліметсіз A

3

оқиғасының ықтималдылығын есептесек: PA  3  0.5,

6
Кез келген оқиға белгілі бір шарттар жиынтығы орындалғанда ғана
пайда болуы немесе пайда болмауы мүмкін. Бірақ, кейбір жағдайларда,
аталған шарттар жиынтығына қосымша, А оқиғасының пайда болу
ықтималдығы басқа бір В оқиғасының пайда болғанына немесе болмағанына
байланысты болатыны белгілі. Мұндай жағдайда А оқиғасы В оқиғасына
тәуелді.
Көптеген жағдайларда кейбір оқиғалардың ықтималдықтарынан басқа
басқа бір кездейсоқ оқиғаның пайда болған.
Анықтама. A оқиғасының B оқиғасы пайда болды деген шарттағы
ықтималдығы шартты ықтималдық деп аталады және ол былай белгіденеді:

P A  немесе PB A.
 B

Айталық тәжірибе n рет жүргізілген болып олардан n1 -інде B оқиғасы

пайда болсын. Ал сол n1 -дің m1-інде A оқиғасы пайда болсын. PAB

ықтималдықты есептеу үшін n1 тәжірибе жүргізілген деп қабылдаймыз, себебі

алғашқы шарттар жиынтығында B оқиғасы пайда болды деген шартқа

қосылды, сондықтан -нің ішіндегі B пайда болмаған жағдайды алып

тастаймыз. Онда:

P A   m1 . (3)

 B  n1

Шартты ықтималдық ұғымы тек тәуелді оқиғаларға ғана тән, егер екі

оқиға тәуелсіз болса, онда олардың ықтималдықтары да бірін-бірі

өзгертпейді, яғни
PB A  PA, PA B  PB
(4)

7-мысал. Бірінен кейін бірі екі тиын тасталды. A кемінде бір

елтаңбаның шығу оқиғасы, B кемінде бір сан жағының шығу оқиғасы.

Элементар оқиғалардың жалпы саны 4: EC, EE, CE, CC. A оқиғасының

5

шартсыз ықтималдығы PA  3 ,ал A оқиғасының B оқиғасы пайда болды

4

деген шарттағы ықтималдығы P A   2 ,
B 3

Күрделі оқиғалар ықтималдығын есептегенде ықтималдықтарды қосу,
көбейту теоремаларын қолдануға тура келеді. Толық ықтималдық
формуласы ықтималдықтарды қосу және көбейту теоремаларының салдары
болып табылады. Осы формула әртүрлі жағдайда әртүрлі ықтималдықпен
өтетін оқиғаның ықтималдығын анықтауға мүмкінлік береді, ал
қарастырылған оқиғалардың пайда болуының шартты ықтималдықтары
әрбір орындалатын жағдайларда белгілі болуы тиіс.

H1, H 2 , H3 ,...H n - оқиғалары қос-қостан үйлесімсіз және олардың бірігуі

элементар оқиғалар кеңістігі Ω-ны құрайтын болсын. H j –оқиғаларын

гипотезалар (болжамдар) деп те атайды. Онда кез келген Aоқиғасы H j

оқиғаларының біреуімен ғана бірігіп орындалады. Осы берілгендер бойынша

A  AH1  AH 2  ...  AH n . (5)

AH j оқиғалары да қос-қостан үйлесімсіз болғандықтан, олардың
ықтималдықтарының қосындысы A-ның ықтималдығын береді:

P(A)  P(AH1 )  P(AH2 )  ...  P(AHn ). (6)

Ал әрбір H j үшін

PAH J  P A PH J . (7)
HJ

Сондықтан жоғарыдағы теңдікті былай жазамыз:

PA  P A PH1   P A PH 2  ...  P A PH n  (8)
H1 H2 Hn

Алынған теңдікті толық ықтималдық формуласы деп атайды [2].
8-мысал. Біркелкі үш типті 10 жәшік бар. Бірінші типтегі 4 жәшіктің

әрқайсысында 25 жоғары сапалы, 15 сапалы бөлшек бар, екінші типтегі 3
жәшіктің әрқайсысында 22 жоғары сапалы және 8 сапалы бөлшек бар,
үшінші типтегі 3 жәшіктің әрқайсысында 20 жоғары сапалы және 20 сапалы
бөлшек бар. Бөлшек сапасын анықтау үшін кез келген жәшікті алып, одан
кез келген бір бөлшек алады. Алынған бөлшектің жоғары сапалы болу
ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі: Алынған жоғары сапалы бөлшек Aоқиғасы болсын. Жоғары
сапалы бөлшек алу үшін алдымен 10 жәшіктің кез келген біреуін аламыз, ал

6

бірінші типтегі жәшік ( H1 оқиғасы), екінші типтегі жәшік ( H 2 оқиғасы),
үшінші типтегі жәшік ( H 3 оқиғасы) болуы мүмкін. Мұндағы гипотезалар

H1, H 2 , H3 - болып табылады. Олардың сәйкесінше ықтималдықтары:

PH1   4  0,4
10

PH 2   3  0,3
10

PH 3   3  0,3.
10

Жоғары сапалы бөлшек пайда болуы, яғни Aоқиғасының пайда болу

ықтималдығы :

P A   25  0,625
H1 40

P A   22  0,7
H2 30

P A   20  0,5.
H3 40

Сонда толық ықтималдық формуласы (1.12) бойынша:

PA  0,4  0,25  0,3 0,7  0,3 0,5  0,61.

9-мысал. Ішіне шарлар салынған үш түрлі бірдей жәшікті алайық.
Олардың біріншісінің ішінде 2 ақ және 1 қара шар, ал екіншісінде 3 ақ және
1 қара шар, ал үшіншісінде 2 ақ және 2 қара шар бар. Кез келген жәшіктің
біреуін аламыз,ішінен кез келген бір шар аламыз, сол алынған шардың ақ
болуының ықтималдығын табыңыз.

Шешуі: Айталық H1 оқиғасы бірінші жәшіктің, H 2 оқиғасы екінші
жәшіктің, H 3 оқиғасы үшінші жәшіктің алынуы болсын. Aоқиғасы алынған

шардың ақ болу ықтималдығы. Есептің шарты бойынша H1, H 2 , H3

болжамдары тең мүмкіндікті оқиғалар болады:

PH 1   PH 2   PH 3   1 .
3

Ал Aоқиғасының шартты ықтималдығы толық ықтималдықтың

формуласы бойынша

PA  1  2  1  1  1  1  23 .

3 3 3 4 3 2 36

Ықтималдықтар теориясының негізгі ұғымдары. Г.Н. Солтан, А.Е.
Солтан, А.Ж. Жумадилова авторларының 9-сынып оқушыларына арналған
оқулығында «Ықтималдықтың классикалық анықтамасы» тақырыбы
бойынша А тобында-17 есеп, В тобында-4 есеп, С тобында-3 есеп
қарастырылған [3]. Оқушылардың осы тақырып бойынша математикалық
сауаттылығын арттыру мақсатында келесі мысалдарды ұсынамыз:

10-мысал. Жәшікте 6 ақ шар, 10 қызыл шар, 4 жасыл шар бар. Бұл
шарлардың формасы және салмағы бірдей. Жәшіктен кез келген бір шар
алынды. Алынған шар: а) ақ шар (А оқиғасы), ә) қызыл шар (В оқиғасы), б)

7

жасыл шар (С оқиғасы) болу ықтималдығын пайызбен анықтау керек.
Шешуі: Шарлардың үлкендігі мен салмағы бірдей болғандықтан,

олардың шығу мүмкіндіктері де бірдей. Бір түсті шар шыққанда екінші түсті
шар пайда болмайды. Сонымен, тең мүмкіндікті қос-қостан үйлесімсіз

оқиғалардың толық тобын құрайтын жағдайлар саны n=6+10+4=20
А оқиғасына қолайлы жағдайлар саны m=6. Демек,

а) pA  m  6  0,30 немесе 30% болады.

n 20

ә) pB  m  10  0,50 немесе 50% болады.

n 20

б) pC  m  4  0,20 немесе 20% болады.

n 20
Жауабы:30%, 50%, 20%
11-мысал. Бірден екі ойын кубигі лақтырылады. Екі кубик еденге
түскенде шыққан нөмірлерінің қосындысы 7 болуы ықтималдығы неге тең?
Шешуі: Барлық мүмкін жағдайларды есептейік. Бірінші кубик

жақтарының нөмірлері әр түрлі алты тәсілмен түсуі мүмкін. Бұлар әр жолы

екінші кубиктің алты нөмірінің бірімен комбинацияланады. Сонда n=6636
болады. Қолайлы жағдайлар саны: 1+67, 2+57, 3+47, 4+37, 5+27,

6+17

m=6. pA  m  6  1 .

n 36 6

1
Жауабы. 6
12-мысал.«Барыс» шахмат клубының 12 ұл баладан 4 қыз баладан
құралған топтан, қалалық жарыста 4 адам қатысуы керек. Бұл команданың

құрамында екi ұл бала және екi қыз бала болу ықтималдығын табыңыз?
Шешуі: Сынаудың басты мақсаты, 16 адамдардың ішінен 4 адам

таңдап алу. Таңдау жеребе бойынша сияқты, сонда сынаудың барлық

нәтижелерi бiрдей ықтималдықпен іске асады. Сынаудың нәтижелерiнiң

саны n  C146 , комбинациясы төрт элементтерден және комбинациялардағы
олардың орналастырылуының реті есепке алынбайды. А оқиғасындағы

құрамда екi ұл бала және екi қыз бала болатын болсын. 12 ұл баланың
ішінде екі ұл баланы және 4 қыз баладан екi қыз баланы былай таңдап
алуда комбинацияның 4 элементтен тұратындығы және оның реті
есептелмейтіндігі айқын. А оқиғасы 2 ұл бала, 2 қыз бала бір құрамда

болатынын анықтасын. 12 ұлдан екі ұлды C122 тәсілмен, 4 қыз баладан 2

қызды C 2 тәсілмен таңдап алуға болады. А оқиғасының орындалу саны
4

C122  C42 болады. Ізделiп отырған ықтималдық төмендегі формула бойынша

есептелінедi

8

C122  C 2 12 12!  4 4! 121110! 43 2! 66 6  396
4 251413 1820
p(A)    2!2!  2!2!   10! 2! 2! 2!   0, 217
16 15 14 13 12!
C146 16!

16  4!4! 12! 4!

Жауабы: 0,217

12-мысал. Колодада 36 карта бар. Кездейсоқ алынған бір картаның

көзір немесе тұз болу ықтималдығын анықтау керек.

Шешуі: Шыққан картаның көзір болуы А оқиғасы, тұз болуы В

оқиғасы болсын. Сонда көзір тұздың шығуы АВ оқиғасы болады. Мұның

ықтималдығы

PA  9 , PB  4 . PAB  PA PA B  94  11
36 36 36 49
36

А және В оқиғалары үйлесімді, өйткені көзір карта тұз болуы да

мүмкін. Олай болса,

PA  B  PA  PB  PAB  9  4  1  12  1  0,333

36 36 36 36 3
немесе 33,3%.

Жауабы: 33,3%
13-мысал.Абылай 5– тен 115– ке дейінгі натурал сандардың біреуін
қарамай сызып тастады. Сызылған санның 6–ға немесе 7–ге еселі болу
ықтималдығын анықтаңыз.
Шешуі:А – 6- ға еселі сан болуы.

В – 7- ге еселі сан болуы.
A  B – 6 ға да, 7-ге де еселі сан болуы.
A  B – 6 – ға немесе 7–ге еселі болуы.

mA  B  mA  mB  mA  B

mA  6- ға еселі сандар саны. m=санBдар7с-агнеые.селі сандар саны
mA 
B  6 ға да, 7-ге де еселі

mA  B  6- ға немесе 7-ге еселі сандар саны.

mA  6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96,102,108,114= 19

сан mB  7,14,21,28,35,42,49,56,63,70,77,84,91,98,105,112= 16 сан

mA  B 42;84  2 сан

5– тен 115– ке дейінгі натурал сандардың саны – 111

mA  B 19 16  2  33

Сонда ізделінді ықтималдық

p( A)  33  11
111 37

11
Жауабы. 37
14-мысал.Монета екі рет лақтырылды. Кем дегенде бір рет герб жағы

9

пайда болуы ықтималдығын анықтау керек.
Шешуі:Төменгі тең мүмкіндікті 4 жағдай болады. Олар: ГТ, ТГ, ГГ,

ТТ.

pA  m  3  0,75 немесе 75% болады.

n4

Жауабы.0,75

15-мысал.Қорапта 6 ақ, 4 қызыл және 5 көк шарлар бар. Қораптан

кездейсоқ алынған шардың ақ немесе көк болуы ықтималдығын табу керек.

Шешуі: А оқиғасы қораптан “ақ шар алынғанын”, B оқиғасы қораптан

“көк шар алынғанын” және С оқиғасы “ақ немесе көк шар алынғанын”

білдірсін. Онда оқиғаларды қосу ережесі бойынша C = A + B. Мұнда A және

B оқиғалары үйлесімсіз (алынған шар әрі ақ, әрі көк бола алмайды)

болғандықтан, P(C)  PA  B  PA PB. Мұнда ( ) = 6 ; ( ) = 5.
15
15

Сондықтан P(C)  6  5  11

15 15 15

11

Жауабы.15

16-мысал. Екі қалтада қара және көк қаламдар бар. Әр қалтада 50

қаламнан: бірінші қалтада 5 көк, екінші қалтада 10 көк қалам бар. Кездейсоқ

алынған қалтадан қарамай бір қалам алынды. Алынған қаламның көк болу

ықтималдығын анықтаңыз.

Шешуі: А – көк қалам алып шығу оқиғасы. В1оқиғасы бірінші қалтадан
қалам алып шығу. В2 оқиғасы екінші қалтадан қалам алып шығу.

В1 және В2 мүмкіншілігі бірдей оқиғалар. P(B1)  PB2   1 . Есепті
2
шешу үшін екі жағдайдағы А оқиғасының шартты ықтималдықтарын

есептейміз.

PB1 ( A)  5  0,1; PB2 ( A)  10  0,2;
50 50

Толық ықтималдық есептеу формуласымен

P( A)  P(B1)  PB1 (A)  P(B2 )  PB2 (A);

P(A)  1  0,1  1  0,2  0,15
22

Жауабы. 0,15
17-мысал. Екi қораптарда бiрдей шамамен және бірдей формадағы
әртүрлi түсті қарындаштар жатыр. Бiрiншi қорапта 4 қызыл және 6 қара,
екiншi 3 қызыл, 5 көк және 2 қара. Екi қораптан да қарындаштар бiр-бiрден
кездейсоқ суырылады. Екi қарындашта қызыл болатындығының
ықтималдығы қандай?
Шешуі: Сынаудың басты мақсаты әрбiр қораптан бiр-бiрден
қарындаш суырылып тұрады. А оқиғасында бірінші қораптан суырылып
алған қарындаш қызыл, В оқиғасында екінші қораптан суырылып алған
қарындаш та қызыл болсын. АВ оқиғаларындағы екі қарандашта қызыл. А

10

және В оқиғалары тәуелсiз болады, онда P(AB)  P(A)  P(B) А және В

оқиғалар ықтималдығы сәйкесiнше тең P(A)  0,4 P(B)  0,3 Демек,

ықтималдығы, екi қарындаш қызыл екенін көрсетеді, P  0,4  0,3  0,12 –ге

тең.

Жауабы. 0,12
Г.Н. Солтан, А.Е. Солтан, А.Ж. Жумадилова авторларының 9-сынып
оқушыларына арналған оқулығының осы тақырыпқа арналған С деңгейлі
есептерінің шығарылу жолын қарастырайық.
852-есеп: Телефон нөмірін теру кезінде абонент соңғы әртүрлі екі
цифрды ұмытып қалды. Оның осы цифрларды таңдап алуының
ықтималдығы қандай?
Шешуі: Телефонның соңғы екі номері екі орынды сан болады.
Сондықтан абонент 0 – ден 9 – ға дейінгі 10 цифрдың ішінен таңдай алатын
әртүрлі екі таңбалы санның санын анықтайық. Ол 10 элементтен 2 – ден

алынған алмастыру болады. n  A2  10!  10!  9  10  90
10 (10  2)! 8!

90 –барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны.
Бұл барлық оқиғалар саны болады. Ал қолайлы оқиғалар саны m 1
болады. Сонда ізделінді ықтималдық

P( A)  1
90

1

Жауабы. 90
864-есеп:1-кестеде салымшылардың саны мен олардың жылдық

салымы туралы мәліметтер келтірілген. Кездейсоқ таңдап алынған
салымшының бірінщі немесе екінші банктегі салымы 601-ден 650 мың
теңгеге дейін болуының ықтималдығы қандай?

Кесте 1. Салымшылардың саны мен олардың жылдық салымы.

Салым өлшемі Салымшылар саны

(мың теңгемен) №1 банк №2 банк

451-500 224 353
501-550 108 116
551-600 95 87
601-650 110 210
651-700 135 146
701-750 78 58

Шешуі:Екі банктегі барлық салымшылар саны барлық тең мүмкіндікті

11

нәтижелер саны болады. Яғни,

n  (224  108  95  110  135  78)  (353  116  87  210  146  58)  750  970  1720

1720 – барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны.
Екі банктегі 601-ден 650 мың теңге салым салатын салымшылар саны

110+210=320-барлық қолайлы нәтижелер саны. Демек, кездейсоқ таңдап
алынған салымшының бірінщі немесе екінші банктегі салымы 601-ден 650
мың теңгеге дейін болуының ықтималдығы

P( A)  320  0,19
1720

Жауабы: 0,19
876-есеп: Сурет 1 – де көрсетілгендейтабаны 8 см-ге, оған іргелес
бұрышы 300-қа тең болатын теңбүйірлі үшбұрышқа іштей дөңгелек
сызылған. Үшбұрыштан алынған қайсыбір нүктенің осы дөңгелекке де тиісті
болуының ықтималдығы қандай?

Шешуі

B

O
R

A аD C

Сурет 1 – 876-есептің сызбасы.

АВС теңбүйірлі үшбұрышына іштей R– радиусы, О– центрі болатын

дөңгелек сызылсын. АС=8 см, ВD –АВС үшбұрышының биіктігі, ВАС  300
АВС үшбұрышының нүктелері-барлық жағдайлар саны, ал дөңгелектің

нүктелері-қолайлы жағдайлар саны болады. АВС үшбұрышының ауданын
табамыз:

tgC  BD ,
DC

BD  DCtgC  8 tg300  4 .
23

S ABC  1 AC  BD  1  8  4  16 .
22 33

Бұдан кейін, тікбұрышты ОСD үшбұрышынан мынаны аламыз:

tgDCO  OD , tg150  R . Бұдан R  4tg150  4  1 cos 300 1 3  4 (2  3).
 4 2

DC 8 sin 300 1

22

екендігі шығады. Осы мәннің көмегімен дөңгелектің ауданын табамыз:

12

S д R  16(2  3)2   16(7  4 3).

Демек,үшбұрыштан алынған қайсыбір нүктенің осы дөңгелекке де
тиісті болуының ықтималдығы дөңгелектің ауданының үшбұрыштың
ауданына қатынасына тең:

P(A)  Sд  16(7  4 3)  (7  4 3) 3  (7 3 12)  0,39.
S ABC 16

3

Жауабы: 0,39

877-есеп: Дұрыс бесбұрыштың барлық диагональдары жүргізілген,

олардың қиылысуынан тағы бір бесбұрыш пайда болған. Бастапқы

бесбұрыштан алынған қайсыбір нүктенің пайда болған бесбұрышқа тиісті

болуының ықтималдығы қандай?

Шешуі:

а жағынан А1 А2...Аn дұрыс бесбұрышы берілсін. Центрі О болатын

шеңбер осы бесбұрышқа іштей сызылған, оның радиусы R  OA1  OA2  ...
Осы радиустар бесбұрышты 5 теңбүйірлі үшбұрышқа бөледі.

А1ОА2 үшбұрышын қарастырайық. Мұндағы A1OA2  360 0  720.
5

OC-осы үшбұрыштың биіктігі болсын.

A1OC тікбұрышты үшбұрышында A1OC бұрышы 360-қа тең. Бұдан

a

A1C  sin A1OC , 2  sin 360 , R  a .
OA1 R 2 sin 360

Берілген дұрыс көпбұрыштың ауданын табу формуласы бойынша:

Sn  na 2 . Біздің жағдайымызда n=5, сондықтан S5  5a 2  5a 2 .
4tg 1800 4tg 1800 4tg36 0

n5

А1 А2...Аn бесбұрышының диагонольдарымен қиылысатын В1В2...Вn дұрыс

бесбұрышы алынған. OD-оның биіктігі. A2OD тікбұрышты үшбұрышында

A2OD бұрышы 720-қа тең, бұдан cos A2 OD  OD , cos 720  OD . Бұдан
OA2 R

OD  R cos 720

B2OD тікбұрышты үшбұрышында B2OD бұрышы 360-қа тең, ал

b

қабырғасының ұзындығы b болсын. Бұдан tgB2 OD  B2 D , tg360  2 .
OD OD

b  ODtg360 , b  2R cos 720 tg360
2

b  2  a  cos 720 tg360  a cos 720 tg360  a cos 720
2 sin 360 sin 360 cos 36o

Ал дұрыс бесбұрыштың ауданы S5  5b 2  5b 2 .
4tg 1800 4tg36 0

5

13

Осыдан біздің ізделінді ықтималдығымыз кіші көпбұрыштың
ауданының үлкен көпбұрыштың ауданына қатынасына тең болады.

P( A)  5b 2  5a 2  b2 a2   cos 72 0  2   0,309 2  0,382  0,15 тең
4tg36 0 4tg36 0 cos 36 0  0,809 

екендігі шығады.

Жауабы: 0,15

889-есеп: Ержан дөңес сегізбұрыштың бір төбесін есте сақтады.

Зарина осы сегізбұрыштың бір диагоналін жүргізді. Осы диагональдің бір

ұшы Ержанның есте сақтаған төбесі болу ықтималдығы қандай?

Шешуі:

Дөңес сегізбұрыштың кез келген екі төбесін С 2 тәсілмен қосуға
8

болады.

Осыдан сегізбұрыштың 8 жағын алып тастаймыз, яғни

n  C82  8  8!  8  28  8  20. n=20 – барлық тең мүмкіндікті нәтижелер саны.
2!6!

Ержан есте сақтап қалған төбеден 5 диагональ өтеді. Яғни, m=5

болатыны айқын. Олай болса, ізделенді ықтималдығымыз P(A)  5  0,25-ке

20

тең.

Жауабы: 0,25.

1047-есеп: Теңбүйірлі АВСД трапециясының ВС жоғары табаны мен
ВH биіктігі 1 дм-ге, А бұрышы 150 -қа тең. Осы трапецияның кездейсоқ
алынған нүктесінің ABH үшбұрышына тиісті болуының ықтималдығы

3  3 -ге тең болатынын дәлелдеңдер.

12

Шешуі:

sin 150  1 , a  1

a sin 150

sin 150  sin( 450  300 )  2  3  2  1  6  2
2 2 22 4

a  4  4( 6  2)  6  2
6 2 4

х2  а2 1

х  ( 6  2) 2 1  6  4 3  2 1  7  4 3  (2  3) 2  2  3

S ABH  1  x 1  2 3
2 2

S ABCD  11 2x 1  1 x 1 2 3 3 3
2

P( A)  S ABH  2  3  (3  3)  (2  3)(3  3)  6  2 3  3 3  3  3  3
S ABCD 2 2  6 12 12

1048-есеп:  ( 7  5); 7;5;1;3жиынынан кездейсоқ алынған санның

х4  8х3  5х2  66х  54 көпмүшесінің түбірі болуының ықтималдығы қандай?

14

Шешуі:
х 4  8х3  5х 2  66х  54  0 деп алайық.

(x  3)(x 1)(x 2 10x 18)  0

x 3  0 x1 3
x 1 0   1
x 2 10x  x 2  5 
 5 
 18  0  x 3 7
 7
x4

m  3, n  5 болады, ал біздің ізделінді ықтималдығымыз мынаған тең:

P( A)  3
5

Жауабы: P(A)  3

5

15

Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары

1-мысал: Тәжірибе қарастырайық. Екі ойын сүйегі лақтырылсын. Екі
ойын сүйегінде түскен ұпайлардың қосындысы 6-ға тең болатындай
сандардың түсу ықтималдығы қандай? Қарастырылып отырған тәжірибемен

А оқиғасы байланысты: ойын сүйектерінде түскен сандардың қосындысы 6-
ға тең. Х кездейсоқ шамасы тәжірибенің сандық сипаттамасы болып

табылады, себебі тәжірибе тәжірибе нәтижесінде қандай сандар түсетіні

белгісіз. Ол қабылдайтын мәндерді 1, 2, 3, … , деп белгілейік.
Мысалы, бірінші ойын сүйегінде 1, екінші ойын сүйегінде 2 түсуі

мүмкін немесе керісінше. Бұл жағдайларды сандардың жұбы түрінде

жазайық: (1; 2) және (2; 1). Осы белгілеуді қолданып, тәжірибе нәтижесінде

төмендегі мәндерді аламыз:

(1;1 ), (1;2 ), (1;3 ), (1;4 ), (1;5 ), (1;6 )

(2;1 ), (2;2 ), (2;3 ), (2;5 ), (2;6 ), (2;7 )

(3;1 ), (3;2 ), (3;3 ), (3;4 ), (3;5), (3;6)

(4;1 ), (4;2 ), (4;3 ), (4;4 ), (4;5 ), (4;6 )

(5;1 ), (5;2 ), (5;3 ), (5;4 ), (5;5 ), (5;6 )

(6;1 ), (6;2 ), (6;3 ), (6;4 ), (6;5 ), (6;6 )

Онда екі ойын сүйегіндегі сандардың қосындылары: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11, 12 және Х кездейсоқ шамасы осы мәндердің бірін қабылдайды.

Анықтама: Тәжірибе нәтижесінде бірнеше мәндердің бірін
қабылдайтын шама кездейсоқ шама деп аталады және бұл мәндердің
қайсысын қабылдайтынын алдын ала білу мүмкін емес [4].

Кездейсоқ шаманың екі түрі бар: дискретті және үзіліссіз
үлестірілген кездейсоқ шамалар. Дискретті шамалар тек белгілі бір мәндерді
қабылдайды.

2-Мысал: Тиын 2 рет лақтырылсын. Тиынның «елтаңба» жағы мүлдем
түспеуі мүмкін немесе 1 рет, 2 рет, т.с.с 6 рет түсуі мүмкін. Сондықтан
«Елтаңба» жағымен түсу саны: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 – кездейсоқ шама болады
және оны Х деп белгілейік. Х кездейсоқ шама қабылдайды және оларды
нөмірлеуге болады.

Анықтама: Бір-бірінен оқшау, бөлек мән қабылдайтын кездейсоқ
шама дискретті кездейсоқ шама деп аталады [4].

Мәндерінің жиыны белгілі бір екі санның арасындағы мәндердің
барлығын қабылдайтын кездейсоқ шама үзіліссіз кездейсоқ шама деп
аталады [8].

16

Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері мен олардың ықтималдықтарын
тізіп жазу кездейсоқ шаманың үлестірілімі деп аталады. [5].

Х кездейсоқ шамасының x1, x2 , x3 ,...xn мен олардың p1, p2 , p3,...pn

ықтималдықтары көрсетілген кесте Х дискретті кездейсоқ шамасының
үлестірілім қатары деп аталады [5].

Абциссада кездейсоқ шаманың x1, x2 , x3 ,...xn мәндері ординатада

сәйкесінше p1, p2 , p3,...pn ықтималдықтары болатын жазықтықтың xi , pi .

нүктелері арқылы өтетін сынық сызық үлестірілімінің көпбұрышы, оған
сәйкес гистограмма үлестірілімінің гистограммасы деп аталады [29].

Мәндері x1, x2 , x3 ,...xn сандары болатын және оларға сәйкес

ықтималдықтары p1, p2 , p3,...pn болатын дискретті кездейсоқ шаманың

мәндерінің оларға сәйкес ықтималдықтарына көбейтінділерінің қосындысы,
яғни M (X )  x1  p1  x2 p2 ... xn  pn саны Х дискретті кездейсоқ шамасының
математикалық күтімі деп аталады [6].

Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімінің айырмасы, яғни
Х  M (X ) шамасы кездейсоқшаманың ауытқуы деп аталады.

Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімінен ауытқуының
квадратының математикалық күтімі кездейсоқ шаманың дисперсиясы деп
аталады және D(X )  M ((Х  M (X ))2 формуласымен есептеледі. Бұдан келесі

теорема шығады.
Теорема: Кездейсоқ шаманың дисперсиясы кездейсоқ шаманың

квадратының математикалық күтімі мен кездейсоқ шаманың математикалық
күтімінің айырмасына тең болады: D(X )  M (Х )2  (M (X ))2

Ықтималдығы ең жоғары болатын кездейсоқ шаманың мәні кездейсоқ
шаманың модасы деп аталады [7].

Кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің ықтималдықтары Бернулли
формуласымен есептелетін үлестірім биномдық үлестірім деп
аталады.Белгілі бip тәжірибенің нәтижесі алдын ала білу мүмкін болмайтын
кездейсок шама болыптабылады, ceбебі тәжірибе нәтижесі көптеген
жағдайларға тәуелді.Сонымен қатар, тәжірибені бірнеше рет қайталаған
сайын нәтиженің пайда болу саны белгілі біp заңдылыққа бағынады. Бұл
жағдай үлкен сандар заңы деп аталатын бірнешетеоремалардың салдары
болып табылады. Бұл теоремаларда белгілі 6ip тұракты шамаларға шарттар
қойған кезде орташа сипаттамалардың жуықтауы туралы айтылады.
Осындай теоремалар қатарына Чебышев жене Бернулли теоремалары
жатады.

Чебышев теоремасы.Егер тәжірибенің саны үлкен болса, онда
кездейсоқ шаманың мәндерінің арифметикалық ортасы ыктималдығы
бойынша оның математикалық күтіміне жинақталады [8].

Бернулли теоремасы. Егер әp6ip тәуелсіз сынауда А оқигасының
пайда болу ыктималдығы тұрақты р-га тең болса. онда сынау саны п
мейлінше үлкен болганда А оқиғасының салыстырмалы жиілігінің ауытқу

17

модульі 1-ге жуық аз шама болады [9].
Үлкен сандар заңының мағынасы: әр жеке кездейсоқ құбылыстың

нақты ерекшеліктері осы құбылыстар жиынының орта мәніне әсер етпейді,
әр жағдайда болатын орташадан кездейсоқ ауытқу осы жағдайлардың
барлығында өзара жойылады жене теңеседі.

Оқушылардың осы тақырып бойынша математикалық сауаттылығын
арттыру мақсатында келесі мысалдарды ұсынамыз:

Мысал: Х дискреттi кездейсоқ мәнi келесi ықтималдықтардың
үлестiрiлу кестесiмен берiлген:

xi 2 5 8 9

pi 0,1 0,4 0,3 0,2
M (X ), D(X ),  ( X ), табайық.

Шешуі:Өйткенi ықтималдықтардың үлестiрiлу кестесi белгiлi, онда
M (X )  2  0,1  5  0,4  8  0,3  9  0,2  6,4 D(X ), -ті табу үшін алдымен

M ( X 2 ) -табу керек M ( X 2 )  4  0,1  25  0,4  64  0,3  81 0,2  45,8

Сонда D( X )  M ( X 2 )  M ( X )2  45,8  6,42  45,8  40,96  4,84

 (X )  D(X )  4,84  2,2

Жауабы. M (X )  6,4 D(X )  4,84  (X )  2,2
18-мысал.11-ші сынып оқушы Ерсіннің география пәнінен III-ші
тоқсандағы алған бағаларының абсалюттік жиілік кестесі берілген. Кесте
бойынша бағаларының дисперсиясын анықтаңыз:

X3 4 5

mi 1 6 5

Шешуі: Салыстырмалы жиілігі p1  1 , p2  6 , p3  5
12 12 12

Арифметикалық орта мәні   1 3 6 4 5  5  3  24  25  52
x
12 12 12 12 12

Дисперсия анықтау үшін алдымен x 2 -тың орта мәнін табу керек

32 = 9; 42 = 16; 52 = 25

Осыдан x2  1  9  6 16  5  25  9  96 125  230
12 12 12 12 12

Енді дисперсияны анықтаймыз

Dx  M (x2 )  M 2 (x)  230   52 2  2760  2704  56  0,3888...  0,4
12  12  144 144

Жауабы. 0,4

19-мысал. Бақылауға тапсырылған детальдардың , бақылаудан өтпей
қалу (жарамсыз болу) ықтималдығы 0,125-ке тең. Бақылауға тапсырылған
12 детальдың барлығы да жарамды болу ықтималдығын анықтаңыз.

Шешуі:Мұнда n 12, ал m  0, p  0,125 және q  0,875.

Бернулли формуласы бойынша
P  Cnm  pm  qnm

18

онда,

P  C12 0  0,1250  0,87512  11  7 12  0,2014
 8 

Жауабы.0,2014
Кездейсоқ шамалар және олардың сандық сипаттамалары тарауындағы

С деңгейлі есептердің шығарылу жолын қарастырайық.

52.10-есеп: Оқушының төрт кітапхананың әрқайсысында өзіне қажет
әдебиетті табу ықтималдығы 0,4. Х кездейсоқ шамасы – оқушының төрт

кітапхананың ішінде баратын кітапханалар санының үлестірім қатарын

тұрғызыңдар.

Шешуі:

Кітапханалар 1 2 3 4

саны

P 0,4 0,6  0,4  0,24 0,6  0,6  0,4  0,24 (0,6)3  0,216

52.11-есеп:Оқушының үш емтиханның біріншісін, екіншісін және
үшіншісін сәтті тапсыру ықтималдықтары – 0,8; 0,7; 0,7.

Х кездейсоқ шамасы – оқушының сәтті тапсырған емтихандар
санының үлестірім қатарын тұрғызыңдар.

Шешуі:

P(0)  0,2  0,3  0,3  0,018

P(1)  0,8 0,3 0,3  0,2  0,7  0,3  0,2  0,3 0,7  0,156

P(2)  0,8 0,7  0,3  0,2  0,7  0,7  0,8 0,7  0,3  0,434

P(3)  0,8 0,7  0,7  0,392

Y0 1 23

P 0,018 0,156 0,434 0,392

53.13-есеп: Хкездейсоқ шамасының мүмкін мәндерінің қатары
берілген: х1  1, х2  2 , х3  3 және M (X )  2,3 , M (X 2 )  5,9 . X кездейсоқ

шамасының х1 , х2 , х3 мүмкін мәндеріне сәйкес p1, p2 , p3 ықтималдықтарын

табыңдар.
Шешуі:

M ( X )  x1  p1  x2  p2  x3  p3  1 p1  2 p2  3 p3  2,3

M(X 2)  x12  p1  x 2  p2  x32  p3  1 p1  4 p2 9 p3  5,9
2

Осы өрнектерді пайдаланып теңдеулер жүйесін құрамыз:

 p1  2 p2  3 p3  2,3
 p1  4 p2  9 p3  5,9


Екі теңдеуді бір-бірінен азайту арқылы келесі теңдеуді аламыз:

 2 p2  6 p3  3,6
p2  3 p3  1,8

19

p2  1,8  3 p3

p1  1  p2  p3  1  1,8  3p3  p3  2 p3  0,8

2 p3  0,8  2(1,8  3p3 )  3p3  2,3

 p3  2,3  0,8  3,6  0,5

p3  0,5

p2 1,8  3  0,5  0,3

p1 1 0,5  0,3  0,2

Жауабы: p1  0,2 , p2  0,3, p3  0,5 .

54.6 – есеп: Сыныпта 21 оқушы, оның ішінде 5 қыз бала бар.

Мұражайға баруға сынып оқушыларының ішінен кездейсоқ 3 оқушы

алынады. Х кездейсоқ шамасы – алынған оқушылар ішіндегі қыз балалар

саны. Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімін табыңдар.

Шешуі:Х кездейсоқ оқиғаның таңдау саны: 0, 1, 2, 3 болсын.

N  21, M 16 , n  3, – нің мәндері: 0, 1, 2, 3. Есепті шығару үшін

P( X  m)  C Cm nM формуласын қолданамыз:
M NM

C n
N

P( X  x1  0)  C136C 0  16! 1  0,4211
5 3!(16  3)!  560

C 3 21! 1330
21

3!(21  3)!

P( X  x1  1)  C126C51  16!  5!  600  0,4511
2!(16  2)! 1!(5  1)! 1330

C 3 21!
21

3!(21  3)!

5!

P( X  x1  2)  C106C53  3!(5  3)!  10  0,0075
21! 1330
C 3
21

3!(21  3)!

Осыдан Х кездейсоқ шамасының үлестірім қатары шығады:

Х0 1 2 3
0,0075
P 0,4211 0,4511 0,1203

Х кездейсоқ шамасының үлестірім қатарын пайдаланып, Х кездейсоқ
шамасының математикалық күтімін табамыз:

M ( X )  0  0,42111 0,4511 2  0,1203  3 0,0075  0,7142

Жауабы: 0,7142

20

Математикалық стастистика элементтері

Ықтималдық теориясы – кездейсоқ оқиғалардың орындалуының
заңдылығын зерттейтін математикалық ілім. Ықтималдықтар теориясының
негізінде «математикалық статистика» ғылымы пайда болды.
Математикалық статистика – берілген мәліметтерді талдауға арналған
математиканың бөлімі. Математикалық статистиканың негізгі міндеті –
таңдалған мәліметтер бойынша бас жиынтықтың сипаттамасын бағалау.

Байқалған құбылыстар, өлшеу жұмыстары немесе арнайы жүргізілген
тәжірибелердің нәтижелері ретінде табылған сандар жиындарының белгілі
бір шарттарды қанағаттандыратын элементтерінің сандары статистикалық
деректер деп аталады.

Математикалық статистиканың статистикалық деректер жиынындағы
әрбір элементтің жеке қасиеттерін сипаттамайды, олар бір топқа жататын
бірнеше элементті бірге қамтиды. Әдетте статистикалық деректер жолдар
мен бағаналарға бөлініп, реттеліп жазылады, олардың негізінде жүргізілетін
ғылыми-зерттеу әдісі статистикалық әдіс деп аталады. Ол ғылым
салаларының барлығында қолданылады, бірақ табиғаты әр түрлі
нысандардың статистикалық мәліметтерін бірге қарастыруға болмайды.
Математикалық статистиканың әдістері аса маңызды параметрлері белгісіз
немесе оларды жеткілікті дәлдікпен бақылауға болмайтын көптеген
есептердің шешімін тиімді жолдармен табуға мүмкіндік береді.
Математикалық статистикада математикалық заңдардың бәрі де
қолданылады.

6- сынып оқушыларына арналған авторлары А.Е. Әбілқасымова, Т.П.
Кучер, З.Ә. Жұмағұлованың математика оқулығындағы Статистика
элементтері тарауы 2 тақырыптан тұрады.

Статистикалық мәліметтер және олардың сипаттамалары тақырыбында
оқушылар арифметикалық орта, ең үлкен мән, ең кіші мән, берілгендер
қатары, ауытқу, мода, медиана ұғымдарымен танысады. Бұл тақырыпқа
байланысты оқулықта А тобында – 6 есеп, В тобында – 4 есеп, С тобында –
3 есеп және қалыптастырушы бағалауға байланысты 1 есеп берілген.

Қозғалыстың орташа жылдамдығын табуға есептер шығару
тақырыбында оқушылар орташа жылдамдық, таңдау әдісі, мүмкін болатын
нұсқалар ұғымдарымен танысады. Бұл тақырыптың А тобында – 2 есеп, В
тобында – 2 есеп, С тобында – 1 есеп бар.

Арифметикалық орта, мода және медиана – жинақталған мәліметтерге
қатысты барлық сандардың мәнін көрсететін бір ғана санды таңдаудың
әртүрлі тәсілдері.

Арифметикалық орта деп таңдау мәліметтерінің барлық сан мәндерінің
қосындысын X 1, X 2, , X 3 ,...X n осы мәліметтердің санына бөлгенде шығатын X

санын айтады:

X  X 1  X 2,  X 3  ...  X n
n

20-мысал.Компания өнімінің әр партиясы 1000 өнім құрайды. Бір

21

күнде 253 партия шығарған өнімнің сапасына бақылау жүргізу үшін 10
партиясы бар таңдау кездейсоқ алынды. Жарамсыз өнімнің саны әр
партияда: 3; 8; 2; 5; 0; 7; 14; 7; 14; 7; 4; 1 құрайды. Орта есеппен қанша өнім
жарамсыз болды?

Шешуі. Осы берілген жиынның арифметикалық ортасы:

3 8  2  5  0  7 14  7  4 1  51  5,1.
10 10

Егер алынған ортаны 253 партия санына көбейтсек, онда барлық
253000 бір күндік өнімнен 5,1 × 253 = 1290,3 жарамсыз өнімді күтуге
болады.

Ең қарапайым және жеткілікті мәліметтердің орташа сипаттамасы
мода болып табылады, мода – бұл ең көп жиілігі бар белгілі бір мән, яғни
мода деп таңдауда ең жиі кездесетін мәнді айтады.

Бес оқушы сәйкесінше бір жылда 2, 18, 19, 20 және 21 кітап оқыды.
Осы бес оқушының оқыған кітаптар саны көмегімен оқу қызығушылығын
сипаттайтын санды анықтау керек.

Орта мәні X  2 18 19  20  21  16 (кітап), бірінші шамадан басқа

5

барлық мәндерден аз болып шықты. Сондықтан таңдаудың дұрыс саны 19
саны, ол өсу тәртібі бойынша жазылған мәліметтердің ортасында
орналасқан, сондықтан оны медиана деп атайды [9].

Статистикада медиана деп мәліметтер жиынтығын тең екі бөлікке
бөлетін санды айтады [9].

n элементтен тұратын өсу бойынша орналасқан X 1, X 2, , X 3 ,...X n

жиынтық болса, онда
1) M медиана оқиға деректерінің мәні болады, егер берілгендер саны

тақ болса, яғни M  X n1 , n - тақ натурал сан дейміз;

2

2) медиана берілген көршілес екі санның арифметикалық ортасы

X n  X n2

болып табылады, таңдауда олардың саны n – жұп сан, яғни M  2 2 .

2

M медианасы статистикалық мәліметтерді тең екі бөлікке бөлетін
бөлігінің мәні және элементтердің жартысы мәліметтер жиынында
медианадан көп, ал екінші жартысы аз.

Медиананы табу үшін берілгендерді өсу ретімен қойған соң орта мәнін
анықтайды.

1. Егер n тақ болса, онда бір орта мәні болады.
21-мысал. Медиана (15; 27; 14; 18; 21) = медиана (14; 15; 18; 21; 27) =

18.
Медиана 18, бұл реттелген қатардағы рет бойынша үшінші мән.

2. Егер n жұп болса, онда 2 орта мәні болады.

Мысал. Медиана (15; 27; 14; 18) = медиана (14; 15; 18; 27) = 15 18  16.5

2

22

Бақылаудан алынған нәтиженің ең үлкен және ең кіші мәндер арасындағы
айырманы білдіретін вариацияның қарапайым көрсеткіші өзгеріс ауқымы
болып табылады [36].

Өзгеріс ауқымы жеке мәндердің қандай дәрежеге дейін бір-бірінен

айырмашылығы бар екенін анықтайды. Ол үшін мәндердің тек тізімі
қаралады, тізімнен ең үлкен және ең кіші мәндерді таңдап алып, үлкеннен
кішіні алу керек.

Ал барлық жүрілген жолдың ұзындығының осы жүрілген жолға кеткен
уақытқа бөліндісінің мәні қозғалыстың орташа жылдамдығы деп аталады.

Енді осы анықтамаларымызға мысалдар қарастырайық:
22-мысал.«Достық орта мектебінің» 8-ші сынып оқушысы Алдиярдың
III-тоқсандағы биология пәнінен алған бағалары мынадай: 5,5,3,5,2,4,3,3,5
Алдиярдың биология пәні бойынша орта бағасын және модасын анықтаңыз.
Шешуі: Орта баға немесе арифметикалық орта

M  5  5  3  5  2  4  3  3  5  35  3,89
99

«5»- 4рет, «4»- 1рет, «3»- 3рет, «2»- 1рет, олай болса Алдияр 5-бағасын
көбірек алған,яғни модасы M0 =5

Жауабы. M=3,89 M0 =5
23-мысал. 9 «А» сыныбының қыздары алгебра пәнінен тақтаға
шығатын оқушыларды 12 күн қадағалап, қорытындысын 2-кестеге түсірді.

Кесте 2Алгебра пәнінен тақтаға шығатын оқушылар

Тегі Шақырулардың Тегі Шақырулардың
сан сан

Ахтаев Нұрлан 2 Марат Айнур 1

Асанова Ажар 1 Дүйсекен Жұлдыз 0

Дауылбаев Ерік 1 Касымова Салтанат 0

Қонысова Арай 3 Берікқали Малика 1

Рахматуллин Марат 0 Гумарова Марина 2

Шарипова Линда 1 Ниетова Дарья 3

Пайда болған қатардың медианасын табыңыз.

Шешуі: Қатардың медианасын табу үшін тақтаға шығатын

оқушылардың шақырылу санын анықтаймыз: 2,1,1,3,0,1,1,0,0,1,2,3
Сандарды өсу ретімен орналастырамыз: 0,0,0,1,1,1,1,1,2,2,3,3 –барлығы 12

сан, жұп болғандықтан 6-шы, 7-ші орында тұрған сандардың қосындысының
жартсын, яғни арифметикалық ортасын аламыз, сонда

M мед  11 1
2

23

Жауабы. 1

24-мысал. Пойыз 120 км жолды 2 сағатта және 90 км жолды 1,5

сағатта жүріп өтті. Ұзындығы 200 км бөліктегі пойыздың орташа

жылдамдығын табыңдар.

Шешуі: Есептің шарты бойынша s1 120 км; t1  2 сағ; s2  90 км;
t2  1,5 сағ.

vорт  s1  s2 формуласын қолданып, пойыз қозғалысының орташа
t1  t2

жылдамдығын есептейміз:

Сонда, vорт  120  90  60 км/сағ.
2 1,5

Жауабы: 60 км/сағ.

Статистика элементтері тарауындағы С деңгейлі есептердің шығарылу

жолын қарастырайық.

1179 – есеп: Астана қаласының 2005 – 2009 жылдардағы

тұрғындарының санын көрсететін 529 335; 550 438; 574 448; 602 684; 639 311

сандар қатарының арифметикалық ортасын табыңдар.

Шешуі:

529335  550438  574448  602684  639311  2896216  579243,2
55

Жауабы: 579243,2
1180 – есеп: 501 998; 510 333; 529 335; 550 438; 574 448; 602 684;
639 311 сандар қатарының ауытқуын табыңдар. Бұл сандар 2003 – 2009
жылдар аралығындағы Астана қаласының тұрғындар санын береді.

Шешуі:
Ең үлкен мәнін анықтаймыз: 639311
Ең кіші мәнін анықтаймыз: 501998
Өзгеріс ауқымы: 639311-501998=137313
Жауабы: 137313
1181 – есеп: 1 209 485; 1 247 896; 1 287 246; 1 324 739; 1 365 105;
сандар қатары сәйкесінше 2003 – 2009 жылдар аралығындағы Алматы
қаласының тұрғындар санын береді. Осы сандар қатарының арифметикалық
ортасын табыңдар.
Шешуі:

1209485  1247896  1287246  1324379  1365105  6434471  1286894,2
55

1182 – есеп: (Қ.Б.)   3,14 деп алып, радиусының ұзындығы: 1) 2,5 см;

2) 5 см; 3) 10 см; 4) 20 см болатын шеңбердің ұзындығын және дөңгелектің
ауданын табыңдар.

Шешуі:

C  2R  2  3,14  2,5  15,7

S  R 2  3,14 2,52  3,14 6,25  19,625

C  2R  2  3,14  5  31,4

S  R2  3,14  52  3,14  25  78,5

24

C  2R  2 3,14 10  62,8

S  R 2  3,14102  3,14100  314

C  2R  2  3,14  20  125,6

S  R2  3,14  202  3,14  400  1256

1189 – есеп: 1)Пойыз 100 км жолды 12 сағ жүрді. Жолдың екінші
3

бөлігінде жылдамдығын 5 км/сағ арттырып, осы бөлікті 1 сағатта және

ұзындығы 140 км болатын үшінші бөлігін 60 км/сағ жылдамдықпен жүріп

өтті. Пойыз қозғалысының барлық жолдағы орташа жылдамдығын

табыңдар.

Шешуі:

1.Ең алдымен пойыздың жылдамдығын табайық:

v  100  5  100 3  60 км/сағ, (60  5) 1  65 км

35

2.Енді пойыз 140 км қанша уақытта жүріп өткенін табамыз:

t  140  14  7 21 сағ
60 6 3 3

Пойыз қозғалысының барлық жолдағы орташа жылдамдығын табамыз:

vорт  100  65 140  305  61км/сағ.
12 1 2 1 4 1

33

Жауабы: 61 км/сағ.

25-мысал. 2647 санының цифрларын қолданып барлық цифрлары

әртүрлі және екінші цифры 7 болатын қанша төрттаңбалы сан жазуға

болады?

Шешуі: 2764; 2746; 4726; 4762; 6742; 6724.

Жауабы: 6 сан жазуға болады.

26-мысал.Аяқкиім фабрикасы менеджері 7-ші сыныпта оқитын,

кездейсоқ алынған 50 ер баланың аяқкиімдері өлшемдерін сұрастырып,

мындай мәліметтер алды:

38, 36, 36, 37, 34, 40, 39, 35, 35, 37, 37, 38, 39, 38, 38, 37, 40, 38, 37, 36,

37, 38, 37, 38, 34, 33, 39, 39, 34, 40, 35, 38, 37, 36, 39, 36, 40, 40, 35, 33, 39, 34,

36, 37, 38, 38, 36, 37, 35, 39.
Мұнда келтірілген деректер – кездейсоқ таңдалып, ал жалпы жиынтық

– еліміздің 7-ші сыныбында оқитын барлық ер балалар аяқкиімдер
өлшемдері.

n  50 – таңдама көлемі – ол таңдама құрамына енетін объектілер саны;
хmin  33 – таңдаманың ең кіші мәні; хmax  40 – таңдаманың ең үлкен мәні;

хmsx  xmin  40  33  7 – таңдаманың құлашы.

Бұл жинақталған деректерді осы қалпында оқып-үйрену – қиын іс-
шара. Сондықтан оны келесі тәртіппен ықшамдап аламыз. Алдымен таңдама
құрамына неше түрлі мәліметтер енетінін анықтап алу керек. Құрастырылған
мысалда аяқкиім, өлшемдерінің мынадай түрлері кездеседі: 33, 34, 35, 36, 37,

38, 39, 40.

25

Осындай таңдамаға енетін мәліметтердің әр түрін өсу ретімен
жазылуын ығыспалы қатар деп атайды, ал ығыспалы қатарда кездесетін
әрбір мәнді нұсқалық деп атайды.

Енді ығыспалы қатардағы әрбір нұсқалық таңдамада неше рет

қайталанатынын анықтайық. Ол үшін 3-кестеде көрсетілгендей етіп,
есептеулер жүргізеді.

Кесте 3 Ығыспалы қатар

хi

нұсқалы х1 33 х2  34 х3  35 х4  36 х5  37 х 6  38 х 7  39 х8  40
қ

ni – 2 4 5 7 10 10 75
саны

Кестеден х1 33 нұсқалығы таңдамада 2 рет, х3  35 – 5 рет, ал х5 37 –

10 рет, кездесетінін көреміз. Бұл сандарды сәйкес нұсқалықтың абсолюттік
жиілігі деп атайды. Барлық абсолюттік жиіліктер қосындысы таңдама
көлеміне тең болады:

n  2  4  5 7 10 10  7  5  50.

Нұсқалықтың абсолюттік жиілігін таңдама көлеміне бөлгенде

шығатын санды осы нұсқалықтың салыстырмалы жиілігі деп атайды.

Мысалы, х4  36 нұсқалығының абсолюттік жиілігі, n4  7, ал

салыстырмалы жиілігі m4  n4 7- ге тең. Барлық салыстырмалы жиіліктер
n
50

қосындысы 1-ге тең:

2  4  5  7  10  10  7  5  1
50 50 50 50 50 50 50 50

Абсолюттік жиілікті пайдаланып, келесі4-кесте құрастырылады. Оны

ығыспалы қатардың жиіліктер кестесі деп атайды:

Кесте 4 Жиіліктер кестесі.

хi 33 34 35 36 37 38 39 40

ni 2 4 5 7 10 10 7 5

Осы сияқты, ығыспалы қатардың кесте-5– те көрсетілгендей
салыстырмалы жиілік кестесі құрастырылады:
Кесте 5 Салыстырмалы жиіліктер кестесі.

хi 33 34 35 36 37 38 39 40

i 2 4 5 7 10 10 7 5
50 50 50 50 50 50 50 50

26

Жиіліктер кестесі бойынша таңдаманың модасы мен медианасын
анықтау жеңіл. Осы мысалда екі мән мода болады: М 0  37 және М 0  38 , ал

медианасы М е  37. Таңдаманың арифметикалық орта мәні Х арқылы

белгіленеді. Х -ті анықтау үшін әрбір нұсқалықты сәйкес абсолюттік
жиіліктеріне көбейтіп, олардың қосындысын таңдама көлеміне бөледі немесе
әрбір нұсқалықты сәйкес салыстырмалы жиілікке көбейтіп, оларды қосады:

Х  33 2  34  4  355  36  7  37 10  3810  39  7  40 5  37,04
50

Енді бұл деректерді сурет-2 де көрсетілгендей график түрінде саламыз.
Ол үшін ығыспалы қатардың бірінші жолындағы нұсқалықтарды абсциссалар
осіне, ал екінші жолдағы сәйкес жиіліктерді ординаталар осіне өлшеп
саламыз. Координаталық жазықтықта сәйкес нүктелерді белгілеп, оларды
тізбектеп түзу кесінділермен қосамыз. Шыққан фигура жиіліктер алқабы деп
аталады. Кейде оны жиіліктер көпбұрышы деп те атайды.

Сурет 2 – Жиіліктер алқабы
Кейде салыстырмалы жиілікті процентпен өлшейді. Бұл мысалда
процентпен берілген салыстырмалы жиіліккесте-6 да көрсетілгендей
жазылады:

Кесте 6. Салыстырмалы жиіліктер кестесі.

хi 33 34 35 36 37 38 39 40

i % 2% 4% 5% 7% 10% 10% 7% 5%

Енді бұл деректерді сурет-3 те көрсетілгендей график түрінде саламыз.

27

Сурет 3 – Жиіліктер алқабы

Енді осы тараудағы С тобының есептерінің шығарылу жолын
қарастырайық:

4.17-есеп: Метеоролог журналында сағат 9-дан кешкі 21-ге дейінгі
әрбір 3 сағат сайын ауа температурасының көрсетулері тіркелген мәліметтер
мынадай болды:

Кесте 7. Ауа температурасының көрсетулері

Уақыты, сағат 9 12 15 18 21

Температурасы 6 С 10 С 18 С 12 С 9 С

Кесте-7 абсолюттік немесе салыстырмалы жиілік кестесі бола ма?

Жауаптарыңды негіздеңдер. Абсолюттік жиілік кестесі бойынша ауа

температурасының арифметикалық орта мәнін және таңдама көлемін

анықтаңдар.

Шешуі:

Х9 12 15 18 21

ni 1 1 11 1

i 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

n 11111 5– таңдама көлемі

X  6 C 110 C 118 C 112 C 1 9 C 1  55 C  110 C
55

Жауабы: 110C
4.40-есеп: Мұзда мәнерлеп сырғанау жарысында спортшыға 10
әділқазы мүшелері қойған бағалардың арифметикалық ортасы 5,4-ке тең
болды. Ереже бойынша ең кіші және ең үлкен бағаны алып тастап, қалған
бағалардың арифметикалық ортасы алынады. Бұл сан да 5,4-ке тең болып
шықты. Сонда алынып тасталған бағалау қосындысы неге тең?
Шешуі:
Х  5,4 , n 10
5,4 10 –барлық әділқазылардың қойған бағасының қосындысы

5,410  (xmin  xmax )  5,4
8

5,4 10  (x min xmax )  5,4  8

xmin  xmax  5,410  5,48

28

xmin  xmax  5,4  (10  8)

xmin  xmax  5,4  2

xmin  xmax  10,8

Жауабы:10,8
8-сыныптың алгебра оқулығында оқушылар Жиіліктердің кестелері,
алқаптары, гистограммалары, дисперсия және стандартты ауытқудың
анықтамаларымен танысады. 6 – 7-сыныптағы математика курсында
статистиканың бірқатар элементтері (арифметикалық орта, мода, медиана,
варианта, варияциялық қатар, құлаш, вариантаның абсолют не
салыстырмалы жиілігі, жиілік алқаптары) туралы сөз болды. Онда көбінесе
нақты мәліметтер негізге алынып, аралық мәндері ескерілмеді. Ондай
мәліметтер дискретті деп аталады. Дискретті мәліметтер көбінесе натурал не
рационал сандармен белгіленеді. Қандай да бір үздіксіз үдерісті сипаттайтын
статистикалық мәлімет нақты санмен берілуі мүмкін. Ондай мәліметтер
үзіліссіз деп аталады.
Көп саннан құралған деректі сипаттайтын вариациялық қатардың
мәліметі де тым күрделі болады. Сол себепті деректі топтастырған жөн.
Оны өзара тең бірнеше аралыққа бөліп алу керек. Осылайша топтастырылған
деректер аралық кесте немесе аралық статистикалық қатар деп аталады.
Статистикалық мәліметтердің графикалық көрінісі бағаналы диаграмма
түрінде де беріледі, ол гистограмма деп те аталады [10].
Статистикада таңдалған мәліметтердің сипаттамаларын зерттегенде
олардың айырмашылығы түрлі әдістермен анықталады. Мысалы, олардың
арифметикалық ортадан ауытқуы, яғни шама мен арифметикалық ортаның
айырымы есепке алынады. Мәліметтерді айналасына тарату дисперсия деп
аталады. Барлық айырым квадраттарының арифметикалық ортасы дисперсия

деп аталады да,  2 деп белгіленеді, яғни 2   (хi  x)2 .
n
Дисперсиядан алынған квадрат түбір стандартты ауытқу деп аталады,

яғни    (хi  x)2 .

n

Дисперсия және стандартты ауытқу тақырыбындағы 528-есептің
шығарылу жолын қарастырайық.

528-есеп: а) Сегізінші сынып оқушысының белтемірге бес мәрте
тартылғандағы төртеуінің нәтижесі белгілі болды: 10; 9; 7; 8. Оқушының
белтемірге 5 мәрте тартылғандағы арифметикалық ортасы 8-ге тең.
Оқушының белтемірге бесінші тартылғандағы нәтижесін табыңдар.

ә) Төрт банктің үшеуінің жинақ қоры (млрд теңгемен) 60; 80; 140 екені
белгілі болды. Төртінші банктің қаржысы бүтін санмен өрнектеліп, төрт
банктің жинақ қорларының дисперсиясы 1000-ға тең болса, төртінші банктің
жинақ қоры қанша болғаны?

Шешуі:
а) Оқушының бесінші рет белтемірге тартылғандағы мәнін деп
алайық. 5 мәрте тартылғандағы арифметикалық ортасы 8-ге тең екенін

29

пайдаланып, келесідей теңдеу құрамыз:

10  9  7  8  x  8
5

34  х  8
5

х  40 34

х6

Жауабы: Оқушының белтемірге бесінші тартылғандағы нәтижесі 6-ға
тең.

ә) Төртінші банктің жинақ қорын деп алайық. Алдымен
арифметикалық ортасын табамыз:

х  60  80 140  х
4

х  280  х , олай болса х 2 мынағын тең: х 2  (x  280)2

4 16

Төрт банктің жинақ қорларының дисперсиясы 1000-ға тең екенін

ескеріп дисперсияның  2   хi2  ( xi )2 формуласын пайдалану арқылы
n n2

төртінші банктің жинақ қоры қанша болғанын табамыз:

602  802 1402  x 2  (x  280) 2  1000
4 16

900 1600  4900  x 2  x 2  560x  4900 1000  0
4 16 16

3x 2  560x 1500  0
16 16

3x 2  560x  24000  0

3x 2  200x  360x  24000  0

x3x  2001203x  200  0

(x 120)(3x  200)  0

x 120  0 3x  200  0

x 120 x  200
3

Жауабы: 120
Жаңартылған білім беру бағдарламасы бойынша жазылған 11-
сыныптың алгебра оқулықтарында Математикалық статистика элементтері
тарауы қарастырылған. Таңдама, бас жиынтық, статистикалық қатар, жиілік,
гистограмма, жиілік полигоны, салыстырмалы жиіліктің вариациялық
қатары, салыстырмалы жиіліктің полигоны, үлестірім қатары, вариациялық
қатар ұғымдарының анықтамаларын қайталап қарастыра отырып, келесі
математикалық статистиканың элементтерімен танысады.
Интервалды варияциялық қатар деп кездейсоқ шаманың мәндерін
сәйкес жиіліктерімен немесе олардың әрқайсысына шама мәндерінің түсу
жиіліктерімен түрленудің реттелген интервалдарының жиынтығын айтады.
Интервалды құрудың бірнеше жолы бар:

30

1) Деректерді логикалық талдау негізінде қосымша есептеулерсіз
көзбен шолу тәсілі; егер шарт бойынша тең аралықтарды салу талап етілсе,
онда формула бойынша есептеу;

2) Қосымша есептеулер әдісі. Интервал шамасын есептеу үшін келесі

формула қолданылады:

i  xmax  xmin ,

n

мұндағы, i – шама немесе интервал ұзындығы; xmax – ең үлкен шама;

xmin – ең кіші шама; – есептің шарты бойынша қажетті топтар саны [10].
27-мысал.Банкте 10 салымшының салым мөлшері туралы деректер

берілген –300, 380, 480, 350,450, 560, 250, 400, 500, 200 (мың тг). Салым
көлемін тең аралықты 3 топқа бөліп, салымшыларды бөлудің интервалды

вариациялық қатарын құрыңдар. Әрбір топ бойынша салымдардың жалпы
мөлшерін есептеңдер [11].

Шешуі: Алдымен кестені құрастырамыз. Үлестірім қатарында екі
элемент болғандықтан, кесте екі жолдан тұрады.

Бірінші жол – варианта, мысалда банктегі салымының мөлшері; екінші
жол – жиілік, яғни интервалға түсетін тиісті салымы бар салымшылар саны.
Интервал шамасын есептеу формуласын пайдалана отырып интервал
шамасын табамыз. Есеп шарты бойынша ең үлкен мәні 560 мың тг, ең кіші

мәні 200 мың тг, топтар саны – 3.

Сонда i  560000  200000  120000 320000- 440000-560000

3

Банк салымының мөлшері 200000-

(х) 320000 440000

Салымшылар саны ( ) 3 3 4

Енді әрбір интервал бойынша және жалпы алғандағы салымдардың

барлық көлемінің есебін жүргіземіз. Бұл үшін әрбір интервал бойынша

салым мөлшерін қосамыз және салымдардың жиынтық мәнін аламыз:

Бірінші интервал бойынша: 200000+300000+250000=750000;

Екінші интервал бойынша: 350000+380000+400000=1130000;

Үшінші интервал бойынша: 450000+480000+500000+560000=1990000.

Банк салымының 200000- 320000- 440000- Барлығы

мөлшері (х) 320000 440000 560000

Салымшылар саны ( ) 3 3 4 10

Салымның жалпы көлемі 750000 1130000 1990000 3870000

31

Тест тапсырмалары
1. Дене шынықтыру сабағында бір топ оқушылардың 100 м қашықтықты
жүгірген уақыт кестесі берілген. Уақыттың өзгеріс ауқымын табыңыз.

Оқушылардың аттары Жүрген уақыты (секунд
есебімен)
Назерке
Меруерт 14,1
Әлихан 18,2
Әлішер 15,5
Әлібек 16,2
22,4
Сәкен 16,2

A) 8,3 с
B) 17,1 с
C) 16,8 с
D) 14,1 с
E) 13,8 с

2. Екі жиын берілген. {I, II, III}, {5, 6, 7, 8, 9}. Әр жиыннан біреуден алу
арқылы пайда болған қос жиындар саны.
A) 18
B) 6
C) 8
D) 15
E) 2

3. Берілген жиыннан {a, b, c, d, e,f} -қанша ішкі жиын құрастыруға болады?
A) 48
B) 64
C) 36
D) 58
E) 72

4. Сандар қатарының арифметикалық ортасы мен медианасын табыңыз:

21; 8; 12; 11; 27; 17

A) 14; 12,5

B) 16; 14,5

C) 16; 12,5

D) 14; 14,5

32

E) 12; 12,5

5. Сандар қатарының модасымен өзгеріс ауқымын табыңыз:

2; 3; 4,2; 3; 5,5; 4; 2; 3

A) 3 1 и 3;
3

B) 2 и 3;
C) 3,5 и 2;
D) 3 и 3,5.

E) 31 и 5;
3

6. Ауаның, судың, топырақтың ластануы экологиялық жағдайлар болып
табылады. Ауаның ластануының көрсеткіштері берілген:

Зауыт 0,86
Қала 0,129
Ауыл 0,1
Өзен-көл 0,01
Орман 0,003

Ауаның ластануының көрсеткіштерінің орташа көрсеткішін табыңыз?
A) 0,2204
B) 0,2304
C) 0,2755
D) 0,367
E) 0,551

7. Сандар қатарының модасы мен өзгеріс ауқымын табыңыз:
1; 2; 5; 4; 1; 2; 1; 4; 6; 1.
A) 1 және 5;
B) 2,7 және 5;
C) 2 және 4;
D) 1 және 3.
E) 2 және 6

8. Сандар қатарының арифметикалық ортасы мен медианасын табыңыз:
16; 19; 42; 35; 37; 13

33

A) 27; 26
B) 26; 27
C) 25; 23
D) 27; 19
E) 27; 27

9. Сандар қатарының арифметикалық ортасысын, медианасын, модасын
және өзгеріс ауқымын табыңыз:
12; 14; 13; 5; 4; 12; 8; 9; 21; 14; 12; 7; 12
A) 12; 12; 12; 17
B) 13; 12; 12; 17
C) 11; 12; 12; 21
D) 11; 12; 12; 17
E) 13; 11; 12; 21

10. Айгүл ағымдағы екiншi тоқсанда химия пәнінен келесi бағалар алды: екi
«үш», бiр «төрттiктi» және екi «бестiк». Арифметикалық орта мен сандар
қатарының өзгеріс ауқымын табыңыз.

A) 4; 2.

B) 2; 4

C) 2; 3

D) 3; 2

E) 2; 5

11. 2; 5; 8; 11; 14 - осы тізбектің медианасын табыңыз.
A) 2
B) 5
C) 8
D) 11
E) 14

12. Берілген сандар қатарындағы 3; 5;_;14; 10 бір сан өшіріліп қалған. Егер
сандар қатарының өзгеріс ауқымы 13- ке тең екені белгілі болса, өшірілген
санды анықтаңыз.
A) 2 немесе 15
B) 1 немесе 16

C) 15

D) 2

E) 12

34

13. Сызбада Астананың 12 айдағы орташа температурасы көрсетілген.
Сызбадан ең жоғарғы және ең төменгі ауа температурасының өзгеріс
ауқымын анықтаңыз.

А) 5
В) 10
С) 15
D) 20
E) 40

14. Қазахстанның өзендерінің ұзындықтары берілген: Чу -1186км, Іле-
1439км, Тобыл-1591км, Сырдария-2219км, Жайық- 2428км, Есіл- 2550км,
Ертіс- 4248км. Өзен ұзындықтарының арифметикалық ортасының, орташа
өзенмен айырмашылығын табыңыз?
A) 18км
B) 191км
C) 313км
D) 646км
E) 798км

15. Кестеде Асланның апта ішінде күндік тамаққа жұмсалатын ақшасы
көрсетілген.

Күндер Дүйсенб Сейсенб Сәрсенб Бейсен Жұма Сенбі Жексенбі
і і і бі 200 220 190

Шығын 170 150 180 150
, тг.

Асланның күніне тамаққа жұмсалатын ақшасының арифметикалық ортасын
табыңыз.
A) 160
B) 165

35

C) 170
D) 180
E) 185

16. Жұма күні қалалық перзентханада дүниеге келген жеті жаңа туылған
сәбилердің салмағы (кг) келесідей: 3,5; 3,8; 4,1; 2,8; 3,7; 4,4; 2,9. Осы
салмақтардың орта мәнінің медианасынан қаншаға айырмашылығы бар?
A) 0
B) 0,1
C) 0,15
D) 0,35
E) 0,8

17. 9; 42; 88; 25; 23; 36; 39; 95; 99; 64; 6 сандар қатарындағы тақ сандардың
медианасын табыңыз.
A) 9
B) 23
C) 31
D) 32
E) 39

18. Микрорайон дүкендеріндегі 250 гр ыдыстағы «Астана өнімі»
қаймағының құны (теңгеде) келесі берілгендер қатарынан тұрады: 185; 195;
190; 200; 210; 195; 205. Осы берілген қатардың модасын табыңыз.
A) 185
B) 195
C) 200
D) 205
E) 210

19. x -тің қандай мәнінде 2; 3; 5; 7; 9; 2х сандар қатарының өзгеріс ауқымы
14- ке тең ?
A) 7
B) 2
C) 8
D) 4
E) 5

36

20. x -тің қандай мәнінде 3; 4; 11; 12; 16; 3х сандар қатарының өзгеріс
ауқымы 21- ге тең?
A) 7
B) 4
C) 9
D) 6
E) 8

21. 11 сынып оқушыларының орыннан ұзындыққа секіру нормативтері
кестеде көрсетілген.Ұлдардың «3»-тік бағаларының өзгеріс ауқымы мен
қыздардың «3»-тік бағаларының өзгеріс ауқымдарының қосындысын
табыңыз.

Баға «5» Ұл балалар «5» Қыз балалар
Норматив Норматив
Ұзындық, 230 185
см және «4» «3» орындал және «4» «3» орындал
одан маған одан маған
жоғары жоғары
220- 200- 170- 169-

229 219 200 184 155 155
төмен төмен

A) 14
B) 19
C) 33
D) 50
E) 64

22. Вокзалға жолаушылар пойызы келесі аралықтарда келді: 2 мин. 47 сек;
2 мин. 5 сек; 1 мин.57 сек; 2 мин.36 сек; 2 мин. 23 сек; 1 мин.24 сек. Осы
қатардың медианасын табыңыз.
A) 2 мин. 41 сек
B) 2 мин. 16 сек
C) 2 мин.14 сек
D) 1 мин 53 сек
E) 1 мин. 5 сек

37

23. Әскери киімдер тігу ательесі 53,54,55,56,57,58,59 өлшемді бас киім тігуге
тапсырыс алды. Осы мәліметтер жиынының ауытқуын (өзгеріс ауқымын)
табыңыз.
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1

24. Компания басшысының еңбек ақысы 350 мың теңге, оның үш
орынбасарының еңбек ақысы – 250 мың теңгеден, ал 20 қарапайым
қызметкерлердің еңбек ақысы – 125 мың теңгеден құрайды. Осы бөлімдегі
барлық қызметкерлердің еңбек ақысының арифметикалық ортасы мен
модасын табыңыз.
A) 150 мың теңге және 125 мың теңге
B) 150 мың теңге және 250 мың теңге
C) 150 мың теңге және 350 мың теңге
D) 241 2 мың теңге және 125 мың теңге

3
E) 241 2 мың теңге және 250 мың теңге

3

25. Облыстардың жер көлемі Ақмола обл -146,2км2, Ақтөбе обл - 300, 6км2,
Алматы обл -223,9км2, Оңтүстік – Қазақстан обл - 117,3 км2, Павлодар обл -
124,8км2, Қарағанды обл-428км2, Қызылорда обл-226км2, Маңғыстау обл-
116км2 .
Барлық жер көлемінің қосындысынан, жер көлемі ең үлкен және ең кіші жер
көлемінің проценттік көрсеткішін тауып айырмашылығын процентпен
табыңыз.
A) 18,5
B) 20,5
C) 22,2
D) 23,5
E) 24,6

26. x - тің қандай мәнінде 1; 2; 5; 6; ; 2 сандар қатарының медианасы
4-ке тең болады?
A) 1

38

B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

27. x - тің қандай мәнінде 3; 4; 11; 12; ; 3 сандар қатарының медианасы
8-ге тең болады?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7

28. Кестеде студенттің күнделікті түстікке жұмсайтын шығыны көрсетілген.

Күндер Дүйсенб Сейсенб Сәрсен Бейсен Жұма Сенбі Жексенбі
іі бі бі 600 800 1000
Шығын,
тг. 750 800 650 1000

Күнделікті түстікке жұмсалатын шығынының арифметикалық ортасын
табыңыз.
A) 600
B) 700
C) 800
D) 900
E) 1000

29. Сандар қатарының модасы мен өзгеріс ауқымын табыңыз:

2; 3; 4,2; 3; 5,5; 4; 2.

A) 3 1 және 3;
3

B) 2 және 3;
C) 3,5 және 2;
D) 3 және 5.

E) 31 және 5;
3

30. Азамат ағымдағы екiншi тоқсанда физика пәнінен келесi бағалар алды:
екi «үш», екі «екілік» және екi «төрттік». Арифметикалық орта мен сандар
қатарының ауқымын табыңыз.
A) 4; 2.

39

B) 2; 4
C) 2; 3
D) 3; 2
E) 2; 5

31. Компания президенті айына 800000 теңге, үш оның орынбасары - 600000
теңгеден, ал 6 қызметші - 200000 теңгеден алады. Арифметикалық орта мен
компанияның барлық қызметкерлерiнiң жалақыларының медианасын
табыңыз.
A) 700000 теңге; 200000 теңге
B) 200000 теңге; 380000 теңге
C) 800000 теңге; 600000 теңге
D) 380000 теңге; 200000 теңге
E) 400000 теңге; 280000 теңге

32. Ахмет өткен айда 50500 теңге жаратты. Ал Мерей 60200 теңге жаратты.
Кестеде олардың ақшаларын қалай жаратқаны көрсетілген.

Категория Ахмет Мерей
киім / аяқ
киімге 32,2% 35,1%
тамаққа
кітап / 23,3% 20,7%
журналға
қыдыруға 7,6% 8,2%
ұялы телефонға
жеке көлікке 11,6% 9,1%
басқаларға 9,5% 12,4%
8,9% 7,2%
6,9% 7,3%

Ахметтің киімге жаратқан ақшасы мен Мерейдің тамақ пен ұялы телефонға
жаратқан ақшасының айырмашылығы қандай?
А) Ахметтікі 3665,2 теңгеге артық
В) Ахметтікі 3665,2 теңгеге кем
С) Ахметтікі 3665 теңгеге артық
D) Ахметтікі 3665 теңгеге кем
Е) екеуі тең

33. Кестеде баспаханадан соңғы үш айда шыққан материалдар саны
көрсетілген.

40

Материалдар қазан Ай аттары желтоқсан
769 қараша ?
Кітап 840 830 ?
Журнал 1205 880 ?
Газет
1205

Желтоқсан айындағы басылған кітап, журнал және газет сандарын анықтау
қажет.
А) Желтоқсан айындағы кітап тиражы алдыңғы екі айдағы жалпы тираждың
1 -іне тең.
3
Б) Желтоқсан айындағы журнал тиражы алдыңғы екі айдағы жалпы журнал
тиражының 45%-на тең.
В) Желтоқсан айындағы газет тиражы кітап пен журналдың желтоқсан
айындағы тираждарының өзгеріс ауқымынан 5 есе артық.
А) 276; 770; 1000
В) 333; 680; 1105
С) 376; 700; 1205
D) 474; 770; 1205
Е) 533; 774; 1205

34. Баққа 168; 173; 156; 165; 144 сантиметрлік жеміс көшетін отырғызды.
Осы сандардың арифметикалық ортасының медианасынан айырмашылығы
қаншаға кем?
A) 3,8
B) 4,6
C) 5,2
D) 11,8
E) 17,2

35. Берілген сандар қатарындағы 7; 11;_;19; 23 бір сан өшіріліп қалған. Егер
сандар қатарының арифметикалық ортасы 14- ке тең екені белгілі болса,
өшірілген санды анықтаңыз.
A) 11
B) 7
C) 9
D) 12

41

E) 10

36. Сізге қызмет көрсететін А және Б екі ұялы оператордың сөйлесу құнының
уақытқа тәуелділігінің графигі берілген.

Графикті пайдалана отырып, келесі дұрыс тұжырымдарды дұрыстығын
анықтаңыз.
1) Б оператор қызметінің ұзақтығы 30 мин сөйлескенде 350 тг жұмсайды
2) 375 теңгеге А операторының қызметін пайдаланып, 50-52 мин
сөйлесуге болады
3) 600 теңгеге Б операторына қарағанда А операторы қызметімен 20 мин
артық сөйлеседі.
A) тек1)
B) тек 2)
C) тек 3)
D) 1) мен 2)
E) 2) мен 3)

37. Берілген сандар қатарындағы 17; 19;_;36; 42 бір сан өшіріліп қалған.
Егер сандар қатарының арифметикалық ортасы 27- ге тең екені белгілі
болса, өшірілген санды анықтаңыз.

A) 23

B) 21

C) 29

D) 32

E) 20

38. 4 және 5 цифрларын пайдаланып, қанша бестаңбалы сан құрауға
болатынын анықтаңыз.

A) 12

B) 16

C) 24

42

D) 32

E) 64

39. Жәшікте 2 ақ, 3 қызыл, 4 қара шар бар. Жәшіктен алынған шардың ақ
болу ықтималдығы қандай?

4
A)

9
2
B)
9
1
C)
3
2
D)
7

40. Жәшікте 3 қара, 2 қызыл, 3 көк және 1 сары шар бар. Жәшіктен қарамай
бір қара шар алып шығу үшін, ең кем дегенде неше шар алу керек?
A) 7
B) 15
C) 36
D) 27
E) 9

41. Жәшікте 20 ақ, 20 қара және 12 қызыл шар бар. Жабық көзбен алынған
шарлардың кемінде 3-еуі бір түстен болу үшін кем дегенде неше шар алу
қажет?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 9
E) 7

42. Жәшікте әр түске 100 шардан ақ, қызыл, көк, сары шарлар бар. Жәшікке
қарамай алғанда кемінде бір түстен 3 шар шығу үшін ең аз дегенде қанша
шар алу керек.
A) 50
B) 36
C) 25

43

D) 18
E) 9
43. Аяз Ата Бейбарысқа қапшықтың ішіне қарамай бір сыйлық алуға
рұқсат етті. Диаграммада қапшықтағы әр түрлі сыйлықтардың саны
көрсетілген. Бейбарыстың қапшықтан автомашина алуының ықтималдығы
қандай?

А) 10%;
В) 20%;
С) 25%;
D) 50%.
Е) 30%
44. Жәшікте 3 қызыл, 7 сары, 4 көк және 6 жасыл шар бар. Жәшіктен алынған
шардың жасыл болу ықтималдығы қандай?
A) 0,15
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,35
E) 0
45. Жәшікте 2 ақ, 3 қызыл, 4 қара шар бар. Жәшіктен алынған шардың қара
болу ықтималдығы қандай?

4
A)

9

44

2
B)

9
C) 1

3
2
D)
7

46. Қораптың ішінде 12 сары түсті және 12 көк түсті қаламдар бар. Қораптың
ішіне қарамай, бір-бірінен өзгеше түсті екі қалам шығару үшін ең кемінде
қанша қалам шығару керектігін табыңыз.
A) 24
B) 13
C) 2
D) 3
E) 11

47. Қалтада 4 ақ және 2 қызыл түсті асықтар бар.Оған кездейсоқ алынған екі
асықтың әр түрлі түсті болу ықтималдығы қандай?
A) 1

15
B) 3

15
C) 6

15
D) 8

15
E) 7

15

48. Қорапта 5 ақ шар және 6 қара шарлар бар. Қораптан алғашқы алынған
шар ақ түсті болса, онда кездейсоқ екінші алынған шардың ақ түсті болу
ықтималдығы қандай?
A) 0,5
B) 0,2
C) 0,3
D) 0,6
E) 0,4

45

49. Қорапта 5 көк және 10 қызыл шар бар. Үш рет алған шарлар қызыл
болып шықты. Келесі алынатын шардың көк болу ықтималдығын табыңыз.
A) 1

3
B) 6

12
C) 5

12
D) 7

12
E) 1

12

50. Лотереяда әрбір 1000 билетке 25 ұтыс шығады. Бес билеті бар адамның
ұтысқа шығуының ықтималдығы қандай?
A) 0,2
B) 0,02
C) 0,125
D) 0,03
E) 0,25

51. Бір жәшікте 6 ақ шар, 4 жасыл шар бар. Осы жәшіктен кездейсоқ үш шар
алынады. Осы шарлардың екеуі ақ, біреуі жасыл болу ықтималдығын
табыңыз.
A) 1

2
B) 1

6
C) 1

5
D) 1

3
E) 1

7

52. Аяз Ата Кемелге қапшықтың ішіне қарамай бір сыйлық алуға рұқсат
етті. Диаграммада қапшықтағы әр түрлі сыйлықтардың саны көрсетілген.
Бейбарыстың қапшықтан самалет алуының ықтималдығы қандай?

46

А) 7
15

В) 5
12

С) 7
8

D) 4
5

Е) 2
15

53. Мекеме қызметкерлерінің 24-і ағылшын тілін, 15-і неміс тілін және 14-і
француз тілін біледі. Олардың алтауы ағылшын және неміс тілдерін, бесеуі
ағылшын және француз тілдерін, төртеуі неміс және француз тілдерін, ал
үшеуі үш тілді де біледі. Мекемедегі кез келген қызметкер қандай да бір
шетел тілін біледі. Мекемеде бір ғана ағылшын тілін білетін неше қызметкер
екенін анықтаңыз.
A) 25
B) 20
C) 16
D) 12
E) 10

54. Сумкада үш ақ, үш қара, төрт көк түсті қарындаштар бар. Қараңғыда ең
кемінде неше қарындаш алса, олардың бірдей түсті екі қарындаш міндетті
түрде табылады ?

47

A) 7
B) 5
C) 6
D) 4
E) 8

55. 11. 0 және 1 цифрларын пайдаланып, қанша төрттаңбалы сан құрауға
болатынын анықтаңыз.
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 9

56. Дорбада 15 қара шұлық және 20 ақ шұлық бар. Дорбадан бір түсті екі
шұлық шығу үшін, ең көп дегенде неше шұлық алу керек?
А) 2
В) 3
С) 4

D) 5

E) 6

57. Ықшамдаңыз: p  3!
p  2!

A) p  2

B) p p  3

C) p2  3 p  2

D) p  3

E) p2  3 p  2

48

58. Гистограммада қорапта жатқан түрлі түсті қарындаштардың саны
көрсетілген. Жасыл түсті қарындашты алу ықтималдығын табыңыз.

11
A)

12
B) 1

4
1
C)
6
1
D)
12
1
E)
24
59. Жәшікте 6 қызыл және 8 ақ шар орналасқан. Кездейсоқ 5 шар алынады,
барлығының бір түсті болатындығының ықтималдығын тап?
A) 13
66
B) 31
1001
C) 0,9
D) 1
9!
1
E)
8!

49

60. Урнаға 5 ақ,7 қызыл және 3 көк бірдей шарлар салынған.Урнадан кез
келген бір шар алынған.Алынған шардың көк шар болуының ықтималдығын
табыңыз.
A) 0,2
B) 0,3
C) 0,5
D) 0,6
E) 0,7

61. Гистограммада қорапта жатқан түрлі түсті қарындаштардың саны
көрсетілген. Қоңыр түсті қарындашты алу ықтималдығын табыңыз.

11
A)

12
1
B)
4
1
C)
6

1
D)

12
E) 15

24

62. Сыныптағы 20 оқушыны екіден орналастыру керек. Есептің қанша
шешімі бар?
A) 400 50
B) 200
C) 20