Cálculo Ingeniería Civil Tomo 2

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 759

0 < 1−θ < 1 − θ = 1.
1 + θx 1 − θ

De esta forma, la cantidad

(1 − θ)n−1 · (1 + θx)α−1 − 1 α(α − 1) − (α − n + 1) ,
(1 + θx)n−1 b (n − 1)!

es acotada y, en consecuencia,

l´ım |Sn − (1 + x)α| → 0,

n→∞

para todo |x| < 1. As´ı,

(1 + x)α = +∞ α(α − 1) . . . ... (α − n + 1) xn.
n=0 n!

Se deja como ejercicio verificar que esta serie diverge para x = 1 y x = −1.
Dos casos particulares de la serie binomial son:

Si α = 1 en la serie binomial y tenemos,

1 = ∞ (−1)(−2)(−3) · (−n) xn ∞
1+x n=0 n!
= (−1)nxn.

n=0

Reemplazando x por−x, tenemos

1 = ∞ = ∞
1−x
(−1)n(−1)nxn xn.

n=0 n=0

Si α = −2 y usando −x en vez de x, tenemos

(1 1 = 1 + 2x + 3x2 +··· ; para − 1 < x < 1.
− x)2

Ejemplo 6.4.5 1. Usando la definicio´n de cosh x y la serie exponencial, podemos
obtener la serie que representa a entonces cosh x.

760 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

cosh x = ex + e−x
2

ex = +∞ xn ; para todo x∈R
n=0 n!

e−x = +∞ (−x)n = +∞ xn .
n=0 n! n!
(−1)n

n=0

Entonces:

cos hx = 1 +∞ n xn + +∞ xn
2 n=0 n! n!
(−1)n

n=0

+∞ 1 + (−1)n xn .
n!
= 2

n=0

Observar que si n es impar, entonces los coeficientes son cero. Por lo cual, podemos
reescribir la serie como:

+∞ x2k
(2k)!
; para todo x ∈ R.

k=0

cosh x = +∞ x2k ; |x| < +∞.
n=0 (2k)!

2. Encontrar la serie de potencias para

e−x ln(1 + 3x)

Usando el teorema de la aritm´etica de series.

Solucio´n: +∞

e−x = (−1)nxn ; |x| < +∞
n!
n=0

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 761

+∞ (−1)n+1yn
n
ln(1 + y) = ; |y| < 1. (6.12)

n=1

Tomando y = 3x en la ecuacio´n 6.12 y cambiando el ´ındice n por n + 1 para poder
comenzar a contar de cero, nos queda:

+∞ (−1)n3n+1xn+1 1
n+1 3
ln(1 + 3x) = ; |x| <

n=0

Recordemos el producto de Cauchy de series:

an bn = cn;

n (−1)k xk 3k+1xk+1
k! k+1
donde, cn = ak bn−k , ak = , bk = (−1)k .

k=1

n (−1)k (−1)n−k 3n−(k+1) xn−k+1
k! n−k+1
cn = xk ·

k=0

n 3n−k−1 1
k!(n − k + 3
= 1) (−1)nxn+1; |x| <

k=0

Entonces:

+∞ n 3n−k−1
(n − k + 1)
e−x ln(1 + 3x) = (−1)nxn+1

h=0 k=0

Recordemos que para que el producto de series converja al producto de sus respec-
tivas sumas la convergencia debe ser absoluta.

Observacio´n 6.4.6 Observemos adema´s que la forma resultante “es una serie de poten-

cias escrita en la normal”. Aveces pueden suceder casos en que no es tan directo obtener

la forma normal de una serie de potencias.

Por ejemplo:

+∞ +∞

anx2n bnxn .

n=0 n=0

762 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

En estos casos se tiene la fo´rmula:

+∞ +∞  

anx2n bnxn +∞ [n/2]

n=0 n=0 =  akbn−2k xn.

n=0 k=0

Ejemplo 6.4.7 No siempre se cumple que el valor de la funcio´n coincide con el valor de
su serie formal de Taylor. Sea

f (x) = e−1/x , x > 0
0, x < 0.

∞ f (k)(0)
k!
f (n)(0) = 0 para todo n ≥ 0 y entonces (x − 0)k = 0 = e−1/x = f (x),para
x > 0.
k=0

Ejercicios resueltos

1. Escriba la funcio´n f (x) = √x como el polinomio de Taylor de grado 6 centrado en
a = 3, ma´s el respectivo resto.

Solucio´n: El polinomio de Taylor de grado n de f (x) centrado en x = a se escribe

f (a) + f (a) · (x − a) + f (a) (x − a)2 + ··· + f (n)(a) (x − a)n
2! n!

El resto en este caso es

Rn(x, θ) = f (n+1)(θ) (x − a)n+1; con a < θ < x.
(n + 1)!

√
Para f (x) = x tenemos

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 763

f (x) = 1
2x1/2

f (x) = − 1 · 1
22 x3/2

f (x) = 3 · 1
23 x5/2

f( v) (x) = − 3·5 · 1
24 x7/2

f (v)(x) = 3 ·5· 7, 1
25 x9/2

f (vi)(x) = −3 · 5·7 · 9 · 1
26 x11/2

f vii(x) = 3 · 5 · 7· 9 · 11 · 1 .
27 x13/2

Por lo tanto,

√
f (x) = x

= √ + 2 · 1 · (x − 3) − 1 · 1 · 1 (x − 3)2
3 31/2 2! 22 33/2

+ 1 · 3 · 1 (x − 3)3 − 1 · 3·5 · 1 (x − 3)4
3! 23 35/2 4! 24 33/2

+ 1 · 3 ·5· 7 · 1 (x − 3)5 − 1 · 3 · 5·7 · 9 · 1 (x − 3)6
5! 25 39/2 6! 26 311/2

+ 1 · 3 · 5 · 7· 9 · 11 · 1 (x − 3)7, con 3 < θ < x.
7! 27 (θ)13/2

2. Obtenga la serie de Taylor de f (x) = ln x, centrada en x = 4, y calcule su intervalo
y radio de convergencia:

Solucio´n: Para f (x) = ln x tenemos,

764 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

f (x) = 1
x

f (x) = − 1
x2

f( )(x) = 2
x3

f (iv)(x) = − 2·3
x4

f (v)(x) = 2 ·3· 4
x5

Y en general

f (n)(x) = (−1)n+1 (n − 1)!
xn

As´ı, la serie de Taylor de f (x) = ln x, centrado en x = 4 es:

ln(4) + ∞ (n − 1)! 1 (x − 4)n = ln(4) + ∞ (−1)n+1(x − 4)n
4n n! n=1 n · 4n
(−1)n+1

n=1

Para estudiar su intervalo y radio de convergencia, notemos que el termino general
de la serie es de la forma:

an = (−1)n+1(x − 4)n
n · 4n

y por ende,

an+1 = (−1)n+2(x − 4)n+1
(n + 1) · 4n+1

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 765

Usando el criterio de la razo´n:

(−1)n+2(x − 4)n+1

l´ım an+1 = l´ım (n + 1) · 4n+1
an (−1)n+1(x − 4)n
n→+∞ n→+∞

n · 4n

= l´ım (−1)n+2(x − 4)n+1 · n · 4n
(n + 1) · 4n+1 (−1)n+1(x − 4)n
n→+∞

= l´ım (−1)(x − 4)n
4(n + 1)
n→+∞

= x−4 · l´ım n
4 n+4
n→+∞

= x−4 · l´ım n n 4
4 +
n→+∞

= x−4 ·1
4

= x−4
4

Por lo tanto,

l´ım an+1 =L= x−4
an 4
n→+∞

El Criterio de la razo´n dice que la serie es convergente si L < 1, luego, imponiendo

esta condicio´n tenemos que:

x−4 <1 ⇐⇒ |x − 4| < 4 ⇐⇒ −4 < x − 4 < 4 ⇐⇒ 0 < x < 8.
4

Por lo tanto, la serie tiene radio de convergencia R = 4, estudiemos que ocurre en
los extremos de ]0, 8[.

Si x = 0

an = (−1)n+1(x − 4)n
n · 4n

= (−1)n+1(−4)n = (−1)(−1)n(−1)n(4)n
n4n n4n

= (−1) .
n

766 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Luego, la serie es:

+∞ 1
n
ln 4 + .

n=1

Como la serie +∞ 1 es divergente, la serie diverge para x = 0.
n=1 n

Si x = 8.

an = (−1)n+1(x − 4)n
n · 4n

se transforma en (−1)n+1
n
an = .

Entonces la serie a estudiar es:

ln 4 + +∞ (−1)n+1
n=1 n

que es una serie alternada

+∞ (−1)n+1

n

n=1

que segu´n el criterio de Leibniz es convergente. Por lo tanto, la serie converge

en x = 8.

Luego, el intervalo de convergencia de esta serie es ]0, 8].

3. Use la fo´rmula: cos2 x = 1 (1 + cos 2x)
Para demostrar que: 2

+∞ (−1)n · 22n−1 · x2n
(2n)!
cos2 x = 1 +

n=1

Solucio´n: Usando la serie correspondiente a la funcio´n cos x que converge para

todo x ∈ R. +∞

cos x = 1 + (−1)nx2n .
(2n)!
n=1

Reemplando en ella x por 2u, obtenemos:

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 767

cos(2u) = 1 + ∞ (−1)n · 22n · u2n
n=1 (2n)!

1 + cos 2u = 1 2 + ∞ (−1)n 22nu2n = 1 + ∞ (−1)n 22n−1u2n
2 2 n=1 (2n)! n=1 (2n)!

Concluimos que: ∞
n=1
cos2 u = 1 + (−1)n 22n−1 u2
(2n)!

Lo cual es valido para todo u ∈ R.

Ejercicios propuestos

Las series de las funciones : x 1 1, ex, cos x, sen x, ln(x + 1) y la serie binomial son con-
−
sideradas series de referencias. Es decir, es lo m´ınimo que Ud. debe conocer y pueden ser

usadas cada vez que sea necesario sin deducirlas, adema´s, debe recordar su intervalo de

convergencia.

1. Escriba las siguientes funciones como el polinomio de Taylor de grado 6 centrado en
a mas el respectivo resto:

a) ex, a = 2.

b) sen x, a = π .
4

c) cosh x, a = 0.

2. Obtenga las siguientes series usando la definicio´n de la serie de Taylor. Calcule su
intervalo de convergencia.

a) ex en potencias de (x − 3).
b) ex en potencias de (x + 2).

c) cos x en potencias de (x + π/3).
d) ln x en potencias de (x − 4).
e) √ 1 en potencias de (x − 3).

x+1

3. en los siguientes ejercicios determine las series de las funciones dadas usando susti-
tuciones apropiadas en las series de referencia

768 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

a) e−x2 .

b) cos 2x.

c) cos x2.

d) 1 1 x2 .
+

e) 1 x4 .
√1 +
f ) 1 + sen x2.
√
g) sen x.

h) ln(1 + 4x3).

4. Use la fo´rmula sen2 x = 1 (1 − cos 2x) para obtener la serie de sen2 x . Verifique
2
la identidad fundamental de la trigonometr´ıa usando las series obtenidas en este

ejercicio y el anterior.

5. Use el teorema de producto de series para calcular las series de :

a) x cos x.

b) x x .
sen

c) 1 e3x .
+ 4x

d) ln(1 − x) cos x.

e) cos 3x(2 + x3).

f) 1 + x .
1 − x

6. Calcule la serie de arc sen x usando:

a) El Teorema Fundamental del Ca´lculo para escribir arcoseno como una integral
entre 0 y x.

b) Use la serie binomial para √ 1 .
1 − t2

c) Use el teorema de integracio´n de series para obtener la serie de arcoseno inte-
grando la serie de √ 1 .
1 − t2

d) Determine el intervalo de convergencia de la serie obtenida.

7. Calcule la serie de arctan x usando el mismo procedimiento que el propuesto en el
ejercicio (6).

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 769

8. a) Calcule el intervalo de convergencia de la serie de arctan x obtenida en (7).
b) Analice la convergencia de la serie en los extremos del intervalo.
c) Demuestre por continuidad que la serie obtenida en el ejercicio (7) representa
tambi´en a arctan 1.
d) Calcule un valor aproximado de π usando la serie en x = 1.

9. Calcule un valor aproximado con tres decimales del a´rea bajo al curva e−x2 cuando
x var´ıa entre 0 y 1.

10. Calcule un valor aproximado con tres decimales del a´rea bajo al curva sen x cuando
x
π
x var´ıa entre 0 y 2 .

11. Use la serie binomial para calcular un valor aproximado de la integral el´ıptica de

segunda clase

π 1 − 3 sen2 x dx.
0 4

Nota: Vea la gu´ıa de longitudes de curva para recordar lo que es una integral el´ıptica.
Respuesta : ≈ 1, 22....

π/6 (cos x)5/4 dx. Siga el siguiente

12. Calcule un valor aproximado de la integral I =

camino: 0

π/6 1/2
cos x 1 − sen2)1/4 dx = (1 − u2)1/8 dx, donde u = sen x.
a) Escriba I =

00

b) Use la serie binomial.

Respuesta: ≈ 0, 494........

Las series de Taylor tambi´en sirven para calcular algunos l´ımites. En estos casos
se necesitan so´lo algunos t´erminos de la serie , no es necesario conocer el t´ermino
general.

a) l´ım senh x− sen x . Respuesta: 1 .
x3 3
x→0

b) l´ım cosh x− cos x . Respuesta: 1.
x2
x→0

c) l´ım sen x − ln(1 + x) . Respuesta: 1 .
x2 2
x→0

770 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

13. a) Calcule el polinomio de Taylor de grado n y centrado en x0 = 0 de la funcio´n:
f (x) = cosh x

b) Deduzca de (a) que cosh x, en una vecindad del cero, puede ser aproximado por
una para´bola. Encuentre tal para´bola.

c) Calcule cosh(0,7) usando el polinomio de Taylor de grado 4.

d) Un cable pesado, perfectamente flexible e inextensible, adopta en equilibrio
la forma de una catenaria; haciendo abstraccio´n de la escala, su ecuacio´n es:
y = cosh x. Usando los resultados anteriores, esta curva puede ser sustituida,
en una vecindad del origen , por una para´bola. ¿Hasta qu´e abscisa el error que
con ello se comete es inferior al uno por ciento ?

14. a) Escriba - sin hacer los ca`lculos y diciendo a cua´l serie de referencia corresponde
- la serie de potencias de x de las funciones:

1 1 x , √1 x , √ 1 x2 .
+ 1− 1 −

b) Obtenga la serie de potencias de x de 1−x y su intervalo de convergencia.
1+x

c) Obtenga la serie de potencias en (b) para calcular 1003 con 6 decimales exactos.
997

d) Determine el desarrollo en serie de potencias de x de 1 − x .
1 + x

Indicacio´n: Amplifique la cantidad subradical por (1 − x) para escribir:

1 − x = (1 − x) √ 1 .
1 + x 1− x2

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 771

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