Cálculo Ingeniería Civil Tomo 2

6.2. SERIES NUME´RICAS 709

Como |cn| es mono´tona decreciente, positiva y con l´ımite cero, entonces
|c1| − |c2| + |c3| − |c4| + . . .

o − |c1| + |c2| − |c3| + |c4| − . . .
convergen, esto es cn ∈ R por lo tanto

cn = αβ = (log(2))2

6.2.7. Criterios m´as espec´ıficos

∞

Teorema 6.2.35 Criterio de Kummer: Supongamos que bn > 0 , an > 0 y que bn =

n=0

N

∞ (i.e. ∀A ∈ R+ ∃ N ∈ N tal que bj ≥ A). Sea

n=0

α = l´ım 1 an − 1 .
bn an+1 bn+1
n→∞

∞∞

Si α > 0 entonces an converge y si α < 0 entonces an diverge.

n=0 n=0
Demostracio´n: Supongamos que α > 0. Sea N ∈ N tal que n ≥ N implica que

1 an − 1 > α . Multiplicando por an+1y dividiendo por α , tenemos
bn an+1 bn+1 3 3

an+1 < 3 an − an+1 ,
α bn bn+1

luego N +p+1 aj ≤ 3 j=N +p −aj aj+1 = aN − .aN +p+1 As´ı la suma, N +p+1 aj , es
j=N +1 α j=N bN j=N +1
bj bj+1 bN +p+1

acotada y como es creciente, tienen l´ımite, que es lo que deseabamos probar.

Observacio´n 6.2.36 El criterio de la razo´n es un caso particular del criterio del

Kummer cuando bn = 1, n ∈ N.

La forma general del criterio de Kummer es la siguiente: Sean

α = n l´ım 1 an − 1 y
→∞ bn an+1 bn+1

β = l´ım → ∞ 1 an − 1
bn an+1 bn+1
n

∞∞

Si α > 0 entonces an es convergente y si β < 0 entonces an es divergente.

n=0 n=0

710 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Un caso particular del criterio de Kummer es el siguiente teorema.

Teorema 6.2.37 Criterio de Raabe Supongamos que an > 0 y

an = 1 + σ + F (n); con l´ım n · F (n) = 0.
an+1 n n→∞

∞ 1
n
Entonces an converge si σ >1 y diverge si σ < 1. En efecto; basta considerar bn =

n=0
y aplicar el criterio de Kummer.

Ejemplo 6.2.38 Analizar la convergencia de la serie de t´ermino general

an = 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) 1 .
2 · 4 · · · 2n n

Solucio´n: En este caso:

an = (2n + 2)(n + 1) = 1+ 3 + 4n(n 1 1/2) .
an+1 (2n + 1)n 2n +

De acuerdo al criterio de Raabe (en este caso σ = 3/2)la serie converge. Observe que el
criterio de la razo´n no da ninguna informacio´n.

Observacio´n 6.2.39 El Criterio de Raabe no otorga ninguna informacio´n cuando σ = 1 .
Para avanzar un poco ma´s en estos casos se tiene el Criterio de Gauss.

Teorema 6.2.40 Criterio de Gauss Sea an > 0 y an = 1+ 1 + n tn n .
an+1 n · ln

∞

Si l´ım tn > 1 entonces an es convergente y si ocurre que l´ım tn < 1 entonces la

n→+∞ n=0 n→∞

serie es divergente.

Otra consecuencia del criterio de Raabe y del criterio de Gauss es:

Teorema 6.2.41 Si an = 1+ σ + F (n), donde l´ım n1+δF (n) = 0, para algu´n δ > 0
an+1 n
n→∞

entonces la serie converge si σ > 1 y diverge si σ ≤ 1.

El caso σ = 1 , es consecuencia de Raabe y el caso σ = 1 es consecuencia de Gauss.

6.2. SERIES NUME´RICAS 711

6.2.8. Series de Nu´meros Complejos

Sea U : N → C una sucesio´n√de nu´meros complejos y U (n) = Un. Aqu´ı la expresio´n
||a + bi|| es igual al nu´mero real a2 + b2.

Definicio´n 6.2.42 Diremos que la sucesio´n (Un)n∈N converge a U ∈ C si ∀ε > 0∃n0 ∈
N tal que ||Un − U || < ε si n ≥ n0

Si escribimos Un = an + ibn, U = a + ib se tiene

l´ımn→∞ an = a y

l´ım Un = U = a + ib ⇐⇒

n→∞ l´ımn→∞ bn = b.

La en´esima suma parcial de la serie n

∞

UK,se define como el nu´mero complejo Un = UK

K =1 K =1

Diremos que la serie es convergente si ocurre que la sucesio´n de sumas parciales es

convergente.

Este concepto nos indica que la convergencia de las series de nu´meros complejos de-

pende de la convergencia de las series formados por la parte real e imaginaria de esos

nu´meros. Esto es:

nn nn

Un = Un = (ak + ibk) = ak + i bk.

k=1 k=1 k=1 k=1

∞

l´ımn→∞ Un = Un = U = a + ib si y solo si

k=1

As´ı n .
l´ımn→∞
j=n aj = ay l´ımn→∞ bk = b
j=0

k=1

Ejercicios resueltos

1. Calcule las siguientes sumas, si es que existen. Si no existen justifique por qu´e.

+∞ 5n
9
a)

n=0

712 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Solucio´n: La serie geom´etrica ∞ converge para |r| < 1 y ∞ = 1 1 r.
−
rn rn

n=0 n=0

∞ 5 n 1 9 9
n=0 9 1− 9−5 4
= 5 = = .
9

b) +∞ 5 n
9

n=1

∞ 5 n∞ 5 9 5
9 9 4 4
Solucio´n: = −1 = −1 = .

n=1 n=0

+∞ 5n
9
c)

n=5

Solucio´n:

∞ 5 n ∞ 5 5 5 2 5 3 5 4
n=5 9 n=0 9 9 9 9 9
= − 1 + + + + 5
= 1 = − + 9
1−  5 5 1− 5
9 
 1 − 5 1 1 5
1 9 9
5 − 5 5
9 9 9
− 1 − 1 −

5 5 55 55
· 94
= 9 = 94 = .
4
1 − 5 4
9

d) +∞ 5n
9
(−1)n

n=0

∞ 5 n∞ 5 n 1 9
9 9 14
Solucio´n: (−1)n = − = 5 = .
1− 9
n=0 n=0 −

e) +∞ 5n
9
(−1)n

n=1

6.2. SERIES NUME´RICAS 713

∞ 5 n∞ 5 n 9 5
9 9 14 14
Solucio´n: (−1)n = − − 1 = − 1 = − .

n=1 n=0

f) +∞ 5n
9
(−1)n

n=5

Solucio´n:

∞ 5 n∞ 5 n ∞ 5 n 5 5 2 5 3 5 4
9 9 9 9 9 9 9
(−1)n = − = − − 1 − + 1 − 5 +
= 1 1 1 + − 9
n=5 n=5 n=0 5 + 5 5 1 + 5
 9 9
= 1  1− − 5 5
1− 1− 9 9
− −
5 5
− 9 − 9

55 55
14 · 94
= − 94 = − .
14

2. Verifique que el nu´mero decimal 0, 9999 . . . . . ., con infinitos decimales iguales a 9 es
1.

Solucio´n:

0, 99999 · · · = 0, 9 + 0, 09 + 0009 + · · ·

= 9 · 0, 1 + 9 · 0, 01 + 9 · 0, 001 + 9 · 0, 0001 + · · ·

= 9[0, 1 + 0, 01 + 0, 001 + 0, 0001 + · · · ]

1 1 1 ∞1 n
10 102 103
= 9· + + + ... =9 10

 n=1

=9 ∞ 1 n = 9 ·  1 1 − 1 = 9 10 − 1 = 9 · 1 = 1.
n=0 10 − 10 9 9
−1

1

3. Generalice el ejercicio anterior para demostrar que el nu´mero:

[x], 9999 . . . . . . = [x] + 1.

714 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Solucio´n: Usando el resultado anterior, tenemos: [x], 999 · · · = [x] + 0, 9999 · · · =
[x] + 1.

4. Calcule las sumas parciales de las siguientes series y demuestre que:

a) +∞ − arctan(n − 1)) = π .
2
(arctan n

n=1

Solucio´n: Esta es una serie telesco´pica, as´ı:

k

vk = (arctan − arctan(n − 1))

n=1

= (arctan 1 − arctan 0) + (arctan 2 − arctan 1) + · · ·

+ (arctan k − arctan k − 1)
= arctan k − arctan 0 = arctan k.

Por lo tanto,

∞

(arctan n − arctan(n − 1)) = l´ım vk = l´ım arctan k = π/2.

k=0 k→+∞ k→+∞

+∞

b) ne−nx2 − (n − 1)e−(n−1)x2 =

n=1

0 si x = 0
+∞ si x = 0

Solucio´n:
Si x = 0 :

k

(ne−nx2 − (n − 1)e−(n−1)x2 ) = ke−kx2

n=1

Como k
ekx2
l´ım = 0.

k→+∞

∞

Entonces, (ne−nx2 − (n − 1)e−(n−1)x2 ) = 0

n=1

6.2. SERIES NUME´RICAS 715

Si x = 0, tenemos que:

kk

(n − (n − 1)) = 1 = k.

n=1 n=1

Por lo tanto,

k

l´ım (n − (n − 1)) = +∞.

k→∞ n=1

5. Use el criterio de la integral para demostrar que las siguientes series convergen.

a) +∞ 1
n2 + 1
n=1

Solucio´n: Sea an = 1 1 y f (x) = 1 1 x2 , x ≥ 0 , entonces f (n) = an yf
+ n2 +
∞

es mono´tona decreciente. El criterio de la integral asegura que an converge

∞ n=1

si y so´lo si f (t)dt converge .

1

n n 1 dt = (arctan t)1n = arctan n − arctan 1.
1 + t2
f (t)dt =

1

Como l´ım arctann = π entonces, ∞ f (t)dt = π − 1.
2 1 2
n→∞

Como el criterio de la integral establece que si

nn

sn = ak y In = f (t)dt entonces, 0 ≤ sn − In ≤ a1. Se cumple que

k=1 1

∞∞

0 ≤ sn − f (t)dt ≤ a1.

n=1 1

Esto nos permite obetener una acotacio´n para la suma de la serie:

∞ 1 π 1
+ n2 2 2
0≤ 1 − − 1 ≤ .

n=1

716 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Esto es: ∞
n=1
π −1 ≤ 1 ≤ π + 1 .
2 1 + n2 2 2

b) +∞ 1
n=1 n4 + 1

c) +∞ n2
n=1 n4 + 1

Solucio´n: Sean f (x) = 1 1 , g(x) = 1 1 x2 . Es inmediato que :
+ x4 +
f (x) ≤ g(x), para todo x ≥ 1. Luego,

+∞ +∞

f (x)dx ≤ g(x)dx.

1

∞

Luego, por criterio de comparacion la integral f (x)dx es convergente.

1
De esta forma, aplicando el criterio de la integral, se tiene que

∞1 es convergente.
n=1 1 + n4

∞

d ) ne−n2 .

n=1

Solucio´n: Sea f (x) = xe−x2. para aplicar el criterio de la integral debemos
demostrar que f es monoto´na decreciente y positiva para x ≥ 1. En efecto,

f (x) = e−x2 + xe−x2 (−2x) = e−x2(1 − 2x2).

El signo de f es el signo de (1 − 2x2) . en particular, f es negativa para
x > √1 . Analicemos ahora la convergencia de la integral. Si u = −x2, entonces

2
du = −2xdx , entonces:

n xe−x2 dx = − 1 −n2 eudu = − 1 eu −n2
1 2 −1 2 −1

= − 1 (e−n2 − e−1) = 1 (e−1 − e−n2 ).
2 2

6.2. SERIES NUME´RICAS 717

Por lo tanto, l´ım n xe−x2 dx = 1 e−1 .
1 2
n→+∞

Por lo tanto, la integral converge.

6. Use el criterio de la integral para demostrar que las siguientes series divergen.

a) +∞ n
n2 + 1
n=1

Solucio´n: Sea f (x) = x 1. se deja como ejercicio verificar que esta funcio´n
x2 +
es positiva y mono´tona decreciente para x ≥ 1. Para analizar la convergencia

de la integral, hacemos el cambio de variable:

u = x2 + 1 , du = 2xdx.

n x2 x 1 dx = 1 1+n2 du = 1 ln u 1+n2
1 + 2 2 u 2 2

= 1 [ln(1 + n2) − ln 2].
2

As´ı, l´ım n 1 x x2 dx = +∞.Por lo tanto la serie dada diverge, es decir:
1 +
n→∞

∞ n
r2 +
1 = +∞.

r=1

b) +∞ 1
n=2 n ln n

Solucio´n: Sea f (x) = x 1 x. se deja al estudiante el trabajo de verificar que
ln
f satisface las hipo´tesis del criterio de la integral. Usando el cambio de variable
dx
u = ln x, du = x .

n dx = ln n du = ln u ln n = ln(ln n) − ln(ln 2).
2 x ln x ln 2 u ln 2

Entonces, n dx
2 x ln x
l´ım = +∞.

n→+∞

718 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Lo que implica que la serie diverge, es decir: ∞ n 1 n = +∞.
n=2 ln

c) +∞ (1 +1√n) .
n=1

Solucio´n: Sean f (x) = (1 + √x)−1 , g(x) = (1 + x)−1. Es inmediato que

g(x) ≤ f (x). n n
1 1
dx = ln(1 + x) = ln(1 + n) + ln(2).
1+x

Por lo tanto, n dx
1 1+x
l´ım = +∞.

n→∞

As´ı, ∞ dx√
1 +x
1 = +∞.

Luego, la serie ∞ 1√ diverge.
n=1 1 + n

7. Use el criterio de comparacio´n para demostrar que las siguientes series convergen.

a) +∞ n2 1 1 .
n=1 +

Solucio´n: Como n2 ≤ 1 + n2 entonces, 1 1 ≤ 1 .
+ n2 n2

Como ∞1 es una serie convergente, tiene que ∞ 1 ∈ R.
n=1 n2 n=1 1 + n2

b) +∞ 1
n=1 nn

Solucio´n: Para todo n ≥ 1 ,

1 ≤ 1 . Por lo tanto, ∞1 ∈ R.
nn n2 n=1 nn

+∞ ne−n
n2 + 1
c) .

n=1

6.2. SERIES NUME´RICAS 719

Solucio´n: Como ne−n2 ≤ ne−n2 y, en virtud del ejercicio resuelto 5d sabe-
n2 + 1
∞ ∞ ne−n2
1 + n2
mos que la serie ne−n2 es convergente. Por lo tanto, ∈ R.

n=1 n=1

8. Use el criterio de comparacio´n para demostrar que las siguientes series divergen.

+∞ √
n
a) .
n+1
n=1

√ √
n n +1 √1n.
Solucio´n: Para todo n ≥ 1, ≥ 1. Luego, n+1 ≥ n n+1
tiene que
+∞ 1 ∞
+
Como dis n 1 es divergente, se la serie = +∞.

n=1 n=1

b) +∞ 1 1 .
n=1 3n +

1 1 ∞ 1
3n + 1 + 1/3) 3n + 1
Solucio´n: = 3(n implica =

n=1

∞ 1 1 ∞ 1
3(n + 1/3) 3 + 1/3
= = n .

n=1 n=1

Como n + 1/3 ≤ n+1 se tiene 1 ≤ n 1 .
n+1 + 1/3

Usando que ∞ n 1 1 = +∞, concluimos que ∞1 = +∞.
n=1 + n=1 n + 1/3

9. Use el criterio de comparacio´n al l´ımite para demostrar que las siguientes series
convergen.

a) +∞ n2 exp(−2n)
n=1 n2 + 1

Solucio´n: Sea an = exp(−2n). Entonces la siguiente es una serie geom´etrica

convergente:

+∞ ∞ 1 1
− e−2 −
an = (e−2)n = 1 − 1 = e2 1.

n=1 n=1

720 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Sea bn = 1 n2 an entonces, bn = 1 n2 . l´ım bn = l´ım 1 n2 = 1.
+ n2 an + n2 an + n2
n→∞ n→∞

Luego, por comparacio´n al l´ımite,
∞
, dis n=1 bn converge.

b) +∞ 4
n=1 (n2 + 1)3/2

Solucio´n: Consideremos an = 4 y bn (1 + 1 .
n3 1/n2)2/2

bn = 4 = 4
n3(1 + n−2)3/2 (n2)3/2(1 + n−2)3/2

= 4 = (n2 4 .
(n2(1 + n−2))3/2 + 1)3/2

bn = 1
an (1 + 1/n2)3/2

l´ım bn = 1.
n→∞ an

Como ∞4 ∈ R , entonces ∞
n=1 n3
bn ∈ R.

n=1

c) +∞ 2n + 1 .
n=1 n(n2 − 3)3/2

Solucio´n: Sea an = 1 = 1 = n3(1 − 1 .
(n2 − 3)3/2 (n2)3/2(1 − 3/n2)3/2 3/n2)3/2
∞

La serie an ∈ R.

n=1

Sea bn = an · 2n + 1 . Como l´ım bn = l´ım 2n + 1 = 2 se tiene que ∞ ∈ R.
n an n
n→∞ n→∞ bn

n=1

10. Si λ ≥ 0 y an = 1 , analizar la convergencia de la serie de t´ermino general an.
nλ

Solucio´n: Para esto consideramos la funcio´n f (x) = (x)−λ, definida para x ≥ 1 .

Esta funcio´n es mono´tona decreciente , no negativa y f (n) = an. Tenemos que

∞ = x−λ+1 |1∞,
−λ + 1
f (x)dx

1

6.2. SERIES NUME´RICAS 721

caso λ = 1 y la integral es igual a log |x|1∞, caso λ = 1. De acuerdo con el criterio de
la integral concluimos que la serie es convergente si λ > 1 y divergente en otro caso.

11. Para λ > 0, analizar la convergencia de la serie de t´ermino general

an = n · 1 n)λ .
(log

Solucio´n: Sea f (x) = x−1(log x)−λ. Para λ ≥ 0 y x > 1 se cumple que f es
integrable, mono´tona decreciente y no negativa.

 log(log x)|l∞og 2 ,λ = 1
 ,0 ≤ λ
∞ dx  ,0 ≤ λ < 1
1 x(log x)λ = u−λ+1  ∞
 −λ + 1
|l∞og 2 < 1, λ > 1; =  (log 2)1−λ
λ−1
,λ > 1

De esta forma, la serie de t´ermino general an = 1 diverge para 0 ≤ λ ≤ 1. y
n(log n)λ

converge para λ > 1.

12. Para λ < 0 , demuestre la divergencia de las series de t´erminos generales :

∞ 1 n)λ .
n=2 n(log

∞ n log 1 n))λ .
n=3 n(log(log

∞ n log(n) log(log 1 n)))λ .
n=16 n)(log(log(log

Solucio´n: En efecto; sea an = n log 1 n))λ ; bn = n 1 n . Como an ≥ bn
n(log(log log
∞

por criterio de comparacio´n tenemos que an diverge.

n=3

Sucesivamente se hacen comparaciones para probar la divergencia de estas series.

Es posible probar(ejercicio) que estas series son convergentes para λ > 1 y son

divergentes para λ ≤ 1.

722 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

13. Analizar la convergencia de la serie

∞

log(1 + n−λ).

n=1

Solucio´n: Si λ < 0 entonces l´ımn→∞ an = l´ımn→∞ log(1 + n−λ) = ∞ y la serie es
divergente.

Para λ ≥ 0; l´ımn→∞ log(1 + n−λ) = l´ım log 1 + n−λ 1
n−λ
n→∞ n−λ = 1 .

As´ı, an = log(1 + n−λ) y bn = n−λ son comparable.

∞

Concluimos que log(1 + n−λ) diverge para λ ≤ 1 y converge para λ > 1.

n=1

14. Sean α, β y γ nu´meros reales positivos, analizar la convergencia de la serie.

1 + αβ + α(α + 1)β(β + 1) + · · · .
1·γ 1· 2γ · (γ + 1)

Solucio´n: En este caso se tiene : a0 = 1, a1 = αβ ,
1·γ

a2 = α(α + 1)β(β + 1) , · · · , an = α(α + 1) · · · (α + n − 1)β(β + 1) − (β + n − 1) .
1· 2 · γ(γ + 1) 1 · 1 · · · nγ(γ + 1) · · · (γ + n − 1)

As´ı,

an = α(α + 1) · · · (α + n − 1)β(β + 1) · · · (β + n − 1) · · · 1 · 2 · ·· (n + 1)γ(γ + +1) · · · (γ + n) =
an+1 1 · · · nγ(γ + 1) · · · (α + n − 1) α ··· (α + n)β · · · (β + n)

= (n + 1)(γ + n) = n2 + (γ + 1)n + γ =
(α + n)(β + n) n2 + (α + β)n + αβ

= n2 + (α + β)n + αβ + (γ + 1 − (α + β))n + n2 γ−α·β
n2 + (α + β)n + αβ n2 + (α + β)n + αβ + (α + β)n + αβ

Sea F (n) = n2 + γ−α·β αβ . Es claro que l´ımn→∞ n1+δF (n) = 0 para 0 < δ < 1
(α + β)n +

as´ı que usando el colorario al criterio de Gauss tenemos que si γ − (α + β) ≤ 0

entonces la serie es divergente (i.e. si γ ≤ α + β). Si la relacio´n γ − (α + β) > 0 se

cumple entonces la serie es convergente (i.e. s´ı γ > α + β).

6.2. SERIES NUME´RICAS 723

Ejercicios propuestos

1. Calcule las siguientes sumas, si es que existen. Si no existen justifique por qu´e.

+∞ 9 n
n=0 5
a)

+∞ 9n
5
b)

n=1

+∞ 9 n
n=5 5
c)

d) +∞ 9n
5
(−1)n

n=0

e) +∞ 9n
5
(−1)n

n=1

f) +∞ 9n
5
(−1)n

n=5

2. Calcule las sumas parciales de las siguientes series y demuestre que:

a) +∞ 1 = 1
n=1 n(n + 1)

Indicacio´n: Use fracciones parciales.

b) +∞ n(n + 1 + 3) = 7
n=1 1)(n 36

Indicacio´n: Use fracciones parciales.

3. Use el criterio de la integral para demostrar que las siguientes series convergen.

+∞

a) ne−n2

n=1

b) +∞ 1
(n + 1)(n + 2)
n=1

c) +∞ n
n=1 (n2 + 4)2

724 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

4. Use el criterio de la integral para demostrar que las siguientes series divergen.

a) +∞ ln n
n
n=2

b) +∞ n + 3
(n + 1)(n + 2)
n=1

c) +∞ (1 +1√n) .
n=1

5. Use el criterio de comparacio´n para demostrar que las siguientes series convergen.

a) +∞ 4
n=1 (n2 + 1)3/2

+∞ sen2 n.
n2
b)

n=1

6. Use el criterio de comparacio´n para demostrar que la serie +∞ 1 diverge.

√
n=1 n2 + 1

7. Use el criterio de comparacio´n al l´ımite para demostrar que las siguientes series
convergen.

a) +∞ 1
n=1 (n + 1)(2n + 1)1/2

b) +∞ (8n2 1 1)2/3 .
n=0 +

8. Un corolario u´til del criterio de comparacio´n al l´ımite es el siguiente teorema que se
suele llamar criterio polinomial:
Si P (n) es un polinomio de grado p y Q(n) es un polinomio de grado q, la serie

+∞ P (n)
Q(n))

n=1

Converge si q > p + 1.
Diverge si q ≤ p + 1.

6.2. SERIES NUME´RICAS 725

a) Demuestre el criterio polinomial

b) Use el criterio polinomial para analizar la convergencia de las siguientes series:

+∞ 1
n=1 n3 + 1
+∞ 7n2 − 5n
n=1 n2 + 1
+∞ n2 + n − 1

n3 + 1

n=1

+∞ n3 + 1
(n2 − 1)3

n=1

+∞ (n2 − 1)3
n3 + 1

n=1

9. Demuestre que l´ım n 1 1 + n 1 2 + n 1 3 + . .. n 1 n = ln 2. Para ello:
+ + + +
n→+∞

a) Escriba n 1 1 + n 1 2 + n 1 3 + .. . n 1 n como una suma de Riemann de
+ + + +
1
f (x) = x en [1, 2].

2

b) Justifique porqu´e dicha suma converge a f (x) dx.

1

10. Usando el mismo razonamiento del ejercicio anterior demuestre que:

l´ım n 1 + n2 n 22 + n2 n 32 + ... n2 n n2 = π .
n2 + + + + 4
n→+∞

11. Usando el mismo razonamiento de los ejercicios anteriores demuestre que:

n 1 kπ 2
n n π
l´ım sen = .

n→+∞ k=1

726 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

6.3. Series de potencias

6.3.1. Series de Funciones

+∞

Para x ∈ R consideremos la serie fn(x). Esta serie puede converge para algunos

n=0

valores de x y diverger para otros. En general, la convergencia se da en intervalos. Si la

+∞

serie fn(x) converge para todo x en algu´n intervalo cerrado [a, b], entonces se puede

n=0

definir una funcio´n con dominio [a, b] tal que

+∞

f (x) = fn(x).

n=0

En estos casos podemos deducir propiedades de la funcio´n f a partir de las propiedades
de la serie o viceversa. A veces, al resolver ecuaciones diferenciales lineales usando series
de potencias, surge el problema de estudiar propiedades de la funcio´n definida mediante
una serie. Otras veces, dada una funcio´n f se quiere desarrollarla en serie, este es el caso
de las series de Taylor y de Fourier.
Para el estudio de las propiedades de funciones definidas mediante series, es importante
observar el tipo de convergencia.
En las series num´ericas tenemos dos tipos de convergencia: convergencia absoluta y con-
vergencia condicional o simple.
Para el caso de las series o sucesiones de funciones tenemos convergencia puntual o simple
y convergencia uniforme. La convergencia puntual, es cuando la propiedad de ser conver-
gente depende del “x”considerado.

Definicio´n 6.3.1 Para cada n ∈ N sea fn : [a, b] → R una funcio´n real. Diremos que la
sucesio´n de funciones {fn} converge puntualmente o simplemente a la funcio´n f si
para cada x ∈ [a, b] y cada ε > 0, existe N0 ∈ N, N0 = N0(ε, x), tal que
|fn(x) − f (x)| < ε para n ≥ n0(ε, x).

Lo importante de esta definicio´n es notar que el N0 a partir del cual la definicio´n de
convergencia se realiza depende de ε y de x como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 6.3.2 Consideremos la sucesio´n de funciones {fn}, donde cada fn : [0, 1] → R
esta´ dada por fn(x) = xn. Sea f : [0, 1] → R, la funcio´n definida por f (x) = 0 si 0 ≤ x < 1
y f (1) = 1.

6.3. SERIES DE POTENCIAS 727

Demostraremos que la sucesio´n {fn}, converge puntualmente a la funcio´n f .
Para ello debemos buscar un nu´mero natural N0 tal que |xn| ≤ ε si n ≥ N0, esto es,

n log x ≤ log ε.

Despejando n tenemos que, log ε
log x
n ≥ .

As´ı, si n ≥ log ε = parte entera del nu´mero log ε entonces |xn| < ε.
log x log x

Observemos que, N0(ε, x) = log ε depende claramente de ε y de x . Adema´s, este N0
log x

vale para x = 0 y x = 1 .

Para analizar la convergencia de la sucesio´n en x = 1, observemos que fn(1) = 1n = 1, para

cualquier n.es decir es este caso tenemos la sucesio´n constante 1 , la cual es trivialmente

convergente a 1.Por lo tanto, en este caso, N0(ε, 1) = 1. De manera ana´loga, tenemos que

para x = 0, la sucesio´n es la sucesio´n constante 0, entonces tambi´en podemos escoger

N0(ε, 0) = 1. En s´ıntesis,

l´ım fn(x) = f (x) , donde

n→+∞

f (x) = 0 si 0≤x<1
1 si x = 1.

Definicio´n 6.3.3 Para cada n ∈ N sea fn : [a, b] → R una funcio´n real. Diremos que la
sucesio´n de funciones {fn} converge uniformemente a la funcio´n f : [a, b] → R, si para
cada ε > 0, existe N0 ∈ N, N0 = N0(ε), tal que
|fn(x) − f (x)| < ε para cada n ≥ N0 y x ∈ [a, b].

Para la convergencia uniforme el N0 depende solamente de ε y es el mismo para todo punto
x, de ah´ı el nombre uniforme. De esto, podemos concluir que el concepto de convergencia
uniforme es ma´s fuerte que el de convergencia puntual. As´ı, tenemos que:

convergencia uniforme =⇒ convergencia puntual
convergencia puntual =⇒ convergencia uniforme

Ejemplo 6.3.4 La sucesio´n de funciones del ejemplo 6.3.2 converge puntualmente, pero

no uniformemente. La convergencia no puede ser uniforme ya que si ε < 1/2 entonces
siempre existe n1 ∈ N tal que n ≥ n1 implica xn > ε para algu´n x ∈]0, 1[. En efecto, basta
que se cumpla que xn ≥ 1/2 i.e. n log x ≥ − log 2.

728 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Las definiciones 6.3.1 y 6.3.3 pueden aplicarse a las series de funciones, procediendo
como en el caso de las series num´ericas , a considerar la sucesio´n de las sumas parciales
de la serie.

Sea, Sn : [a, b] → R la sucesio´n de sumas parciales asociada a la serie de funciones de

n

t´ermino general fn. Esta sucesio´n esta´ dada por : Sn(x) = fj(x). Para cada n se tiene

j=1

que Sn es una funcio´n de [a, b] en R.

Definicio´n 6.3.5 Diremos que la serie de funciones t´ermino general fn converge

puntualmente a la funcio´n S(x) si la sucesio´n de sus sumas parciales converge
puntualmente a S(x).

uniformemente a la funcio´n S(x) si la sucesio´n de sus sumas parciales converge
uniformemente a S(x).

∞

En ambos casos escribiremos fn(x) = l´ım Sn(x) = S(x), especificando en palabras

n=1 n→+∞

el tipo de convergencia.

+∞

Teorema 6.3.6 Criterio de Cauchy La serie fn es uniformemente convergente si y

n=1
n+p

solo si para cada ε > 0 existe N (ε) tal que fj(x) < ε para cada n ≥ N (ε), cada

j=n+1

p ∈ N y cada x ∈ [a, b].

Un segundo criterio para la convergencia uniforme es

+∞

Teorema 6.3.7 Criterio de Weierstrass Si existe una serie num´erica Mn conver-

gente, tal que n=1

|fn(x)| ≤ Mn, para todo x ∈ [a, b], n ∈ N,

+∞

entonces la serie de funciones fn es uniformemente y absolutamente convergente.

n=1

Ejemplo 6.3.8 La serie de t´ermino general fn(x) = xn es uniformemente convergente
n3
para |x| ≤ 1. En efecto,

6.3. SERIES DE POTENCIAS 729

|fn(x)| = xn ≤ 1 y ∞ 1 ∈ R.
n3 n3 n=1 n3

Ejemplo 6.3.9 1. +∞ 1 converge absoluta y uniformemente en [a, b].
n=1 n2 + x2

Pues, 1 = n2 1 ≤ 1 , ya que x2 ≥0 +∞ 1 es convergente.
n2 + x2 + x2 n2 n2
y la serie

n=1

2. π2 +∞ (−1)n cos nx converge absoluta y uniformemente en [a, b].
3 n2
+4

n=1

π2 +∞ (−1)n cos nx
3 n2
Como no depende de x, basta aplicar el criterio a compara´ndola

+∞ n=1

con 1 .
n2
n=1

Otros criterios para la convergencia uniforme son los siguientes:

Teorema 6.3.10 Supogamos que :

1. La sucesio´n de funciones bn : [a, b] → R satisface:

Para cada x ∈ [a, b] la sucesio´n {bn(x)} es mono´tona decreciente,
bn(x) ≤ K , para cada n ∈ N y x ∈ [a, b].

∞

2. La serie an(x) es uniformemente convergente en [a, b].

n=1

∞

Entonces, la serie an(x) · bn(x) es uniformemente convergente.

n=1

Ejemplo 6.3.11 Consideremos bn(x) = |x|n, −1 ≤ x ≤ 1 y an(x) = (−1)n . La sucesio´n
n
∞

bn(x) satisface las hopo´tesis del teorema 6.3.10 y la serie an(x) es uniformemente

n=1
+∞
(−1)n
convergente. Por lo tanto, podemos concluir que la serie n xn es uniformemente

convergente para −1 ≤ x ≤ 1. n=1

730 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Teorema 6.3.12 Supongamos que :

1. la sucesio´n de funciones bn : [a, b] → R satisface:

Para cada x ∈ [a, b] la sucesio´n {bn(x)} es mono´tona decreciente,

La sucesio´n {bn(x)} converge uniformemente a la funcio´n nula en [a, b].

∞

2. Para cada n ∈ N y cada x ∈ [a, b] se cumple que | ar(x)| ≤ C, para algu´n C ∈ R

n=1
+∞

entonces la serie an(x)bn(x) converge uniformemente en [a, b].

n=1

∞ 1 x xn
log n + 1 n2
Ejemplo 6.3.13 La serie es uniformemente convergente en [θ, 1].

para cada 0 < θ < 1. n=1

En efecto, x

1 ≤ [log(n + 1)]−θ ,
log n + 1

para cada θ ∈]0, 1[ y x ∈ [θ, 1]. Por lo tanto, es una sucesio´n mono´tona decreciente que
converge a la funcio´n nula y se tiene

N xn | ≤ N 1 ≤ C = ∞ 1 .
n2 n=1 n2 n=1 n2
|

n=1

6.3.2. Propiedades de las series uniformemente convergentes

La convergencia uniforme tiene algunas propiedades que la hacen especialmente u´til
en el ca´lculo diferencial e integral. Estas son:

+∞

Si la serie fn(x) converge uniformemente en [a, b] a la funcio´n f (x), entonces se tiene:

n=1

1. Continuidad de la funcio´n suma
Si para cada n ∈ N, fn es continua en x = x0 entonces. f es continua en x = x0.

2. Integracio´n t´ermino a t´ermino

∞

Si cada fn es continua en [a, b] y fn(x) converge uniformemente a f (x), entonces

+∞ n=1 b

: b f (x)dx.

n=1 fn(x)dx converge uniformemente al nu´mero a

a

6.3. SERIES DE POTENCIAS 731

3. Diferenciacio´n t´ermino a t´ermino ∞

Si cada fn tiene derivada continua en [a, b] , fn(x) converge uniformemente en

n=1
∞

[a, b] , y fn(x) converge uniformemente a f (x) entonces, f es derivable en x y

n=1
+∞

f (x) = fn(x).

n=1

Ejemplo 6.3.14 Para −1 < x < 1 vamos a calcular el valor de la serie.

1 1 x + 1 2x + 4x3 + 8x7 + · · ·
+ + x2 1 + x4 1 + x8

Consideramos la serie

log(1 − x) + log(1 + x) + log(1 + x2) + log(1 + x4) + · · · .

Su suma en´esima es
Sn(x) = log (1 − x) · (1 + x)(1 + x2) · · · (1 + x2n−1 )

= log (1 − x2)(1 + x2) · · · (1 + x2n−1
= log 1 − x2n

Es inmediato que esta suma tiende a cero para |x| < 1.

As´ı, log(1 + x2) + log(1 + x4) + · · · converge uniformemente a − log(1 − x) − log(1 + x).
De acuerdo al resultado anterior la serie de derivadas de esta serie de logaritmos converge
a la derivada de la funcio´n l´ımite, es decir:

1 2x + 4x3 + ··· = 1 1 x − 1 1 x.
+ x2 1 + x4 − +

Concluimos entonces que

1 1 x + 1 2x + + 1 4x3 + ··· = 1 1 x
+ + x2 + x4 −

732 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

6.3.3. Series de potencias

Un caso especial de series de funciones es el que se obtiene al considerar las aplicaciones,

fn(x) = an(x − x0)n, an ∈ R, n ∈ N, x0 ∈ R.
Aqu´ı usaremos la convencio´n (x − x0)0 = 1 y estudiaremos las series

∞

an(x − x0)n,

n=0

en que algunos t´erminos an pueden ser cero.

Con respecto a estas series surgen dos problemas fundamentales:

1. Si la serie converge para todos los x en algu´n intervalo, entonces podemos definir la
funcio´n suma S(x).
En este caso, quisi´eramos conocer las propiedades de esta funcio´n a partir de las
propiedades de la serie.

2. Tambi´en enfrentaremos el problema rec´ıproco. Dada una funcio´n con ciertas propiedades
, quisi´eramos desarrollar la funcio´n en una serie de potencias de modo que ´esta con-
verja para algunos valores de x hacia la funcio´n dada.

Existen algunas funciones no elementales que se definen mediante series, como la funcio´n
hipergeom´etrica y la funcio´n de Bessel.

Convergencia de una serie de potencias Una serie de potencias:

+∞

an(x − x0)n

n=0

tiene tres alternatias en cuanto a su convergencia:

1. Converge so´lo para x = x0.
2. Converge para todo x ∈ R.

3. Converge en algu´n intervalo sim´etrico en torno al punto x = x0.

6.3. SERIES DE POTENCIAS 733

+∞

Teorema 6.3.15 Si la serie de potencias an(x − x0)n converge en x − x0 = b, b = 0 la

n=1

serie es absolutamente convergente para todo x en |x−a| < |x0| y converge uniformemente
en |x − x0| ≤ M |b|, para todo M tal que 0 < M < 1.

+∞

Demostracio´n: Si an(x−x0)n converge en b = x−x0, entonces anbn → 0, cuando

n → +∞. n=1

Como la sucesio´n {anbn} es convergente, ella es acotada. Entonces, existe M > 0 tal
que

|anbn| ≤ M,
para cualquier x en el intervalo,

|x − x0| < |b|.

As´ı, existe un r tal que,

x − x0 ≤r<1
b

Usando criterio de comparacio´n entre,

+∞ +∞

|an(x − x0)n| y M rn que es una serie geom´etrica, tenemos

n=0 n=0

|an(x − x0)n| = |anbu| · x − x0 n
b
≤ Mrn.

Como 0 < r < 1, la serie geom´etrica converge y por criterio de Weierstrass la conver-
gencia de la serie de potencias es uniforme y absolutamente en el intervalo,

|z − x0| ≤ r|b|.

+∞

Observacio´n 6.3.16 Si la serie an(x − x0)n converge al menos para un x = x0,

n=0

entonces para algun b = x − x0 = 0. Por el teorema anterior, existe al menos un intervalo
abierto

|x − x0| < |b|,

en el cual la serie converge absolutamente.
Es obvio, por criterio de comparacio´n, que converge absolutamente para todos los x t.q.

734 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

|x − x0| es menor que |x − c| si se sabe que an(x − c)n es convergente.
Por lo tanto, podemos pensar en el supremo R de los nu´meros r que satisfacen la condicio´n:

|x − x0| < r es absolutamente convergente.
Obviamente, la serie diverge para los x tales que

|x − x0| > R.

A este R, se le llama radio de convergencia de la serie de potencias.

+∞

Definicio´n 6.3.17 Dada la serie an(x − x0)n,

n=0

Se llama radio de convergencia de la serie al nu´mero R tal que

1 = l´ım √
R n an.
n→+∞

Se llama intervalo de convergencia de la serie al intervalo centrado en x0 y de
radio R, es decir, al conjunto:

|x − x0| < R.

Observacio´n 6.3.18 La forma ma´s fa´cil de calcular el radio de convergencia de la serie

∞

an(x − x0)n es usando el criterio de la razo´n. Es decir:

n=0

1 = l´ım | an+1 |.
R an
n→+∞

Alternativamente, se puede calcular el intervalo de convergencia calculando l´ım | an+1(x − x0)n+1 |
an(x − x0)n
n→+∞

e imponiendo a esta expresio´n la condicio´n de convergencia del criterio de la ra´ız. En los

ejercicios resueltos se usara´ este m´etodo.

Teorema 6.3.19 La serie de potencias:

+∞

an(x − x0)n

n=0

cumple una y so´lo una de las siguientes afirmaciones:

1. La serie converge solamente para x = x0

6.3. SERIES DE POTENCIAS 735

2. Converge absolutamente y uniformemente en cualquier intervalo cerrado y acotado.

3. Existe R > 0 tal que la serie es absolutamente convergente para todo x tal que

|x − x0| < R, y divergente para todo |x − x0| > R, y es uniformemente convergente
en cualquier intervalo cerrado contenido en |x − x0| < R, es decir, en intervalos
|x − x0| ≤ M < R.

∞ (−2)n
n+1
Ejemplo 6.3.20 Consideramos la serie (x − 3)n.

n=0
Para obtener el radio de convergencia usamos la expresio´n anterior:

1 = l´ım (−2)n+1 · n+1 = 2.
R n+2 (−2)n
n→∞

As´ı, la serie converge para |x − 3| < 1/2 o lo que es lo mismo converge para

5 < x < 7 .
2 2

Ahora debemos analizar separadamente los extremos del intervalo.

Para x = 5/2 , tenemos

+∞ (−2)n 5 −3 n ∞ 1 = ∞ 1.
n+1
2 = n+1 n
n=0
n=0 n=1

Esta es la serie armo´nica y, consecuentemente, diverge.

Si x = 7/2 tenemos,

+∞ (−2)n 1 n ∞ (−1)n
n=0 n + 1 2 n=0 n+1
= .

Esta es la serie armo´nica alternada y, luego,converge. De esta forma concluimos que la

serie dada converge para 5 7
2 2
< x ≤

y su radio de convergencia es 1 .
2

+∞

Ejemplo 6.3.21 La serie n!(x − x0)n converge solamente para x = x0. en efecto:

Si x = x0, n=0

1 = l´ım (n + 1)!(x − x0)n+ = l´ım (n + 1)(x − x0)
R n!(x − x0)
n→+∞ n→+∞

= |x − x0| l´ım (n + 1) = +∞.

n→+∞

736 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Por lo tanto, el radio de convergencia R vale 0, lo que significa que la serie converge
solamente para x = x0.

Ejemplo 6.3.22 La serie +∞ (x − x0)n tiene radio de convergencia R = +∞.
n=0 n!
En efecto, si x = x0, tenemos:

1 = l´ım (x − x0)n+1 n! = l´ım x − x0 = 0.
R (n + 1)! (x − x0)n n+1
n→+∞ n→+∞

La serie converge absolutamente para todo x ∈ R , es decir R = +∞.En particular,

converge uniformemente en todo intervalo cerrado y acotado.

Ejemplo 6.3.23 +∞ (−1)n2nxn
n=0 3n + 1

Si x = 0 :

1 = l´ım (−1)n+12n+1 · 3n + 1 =
R 3n + 4 (−1)n2n
n→+∞

= l´ım 2 3n + 1 = 2.
3n + 4
n→+∞

Por lo tanto, R = 1 .
2
Ahora debemos analizar que sucede en los ectremos del intervalo centrado en 0 y de radio
1 1
2 . es decir, para |x| = 2 .

Si x = 1 , la serie es +∞ (−1)n la cual converge por criterio de series alternadas.
2 n=0 3n + 1

1 +∞ 1
2 3n +
Si x = − , la serie diverge 1

n=0

Ejemplo 6.3.24 Encuentre el intervalo de convergencia y estudie separadamente lo que
sucede en sus extremos para la serie,

+∞ (−1)nyn
(2n + 1)23n+1
.

n=0

6.3. SERIES DE POTENCIAS 737

1 = l´ım an+1 = l´ım (−1)n+1 · (2n + 1)23n+1
R an + 1) + 1]23n+2 (1)n
n→+∞ n→+∞ [2(n

= l´ım (−1) · (2n + 1)2 = l´ım 1 · 4n2 + 4n + 1
3[2n + 3]2 3 4n2 + 12n + 9
n→+∞ n→+∞

1 4n2 1 + 1 + 1 1
3 4n2 n 4n2 3
= l´ım · = .
3 9
n→+∞ 1 + n + 4n2

La serie converge absolutamente en el intervalo ] − 3, 3[. El estudio en los extremos se
deja de ejercicio.

Ejemplo 6.3.25 Encontrar el intervalo de convergencia sin analizar lo que pasa en los
extremos para la serie:

+∞ nnxn .
n!

n=1

1 = l´ım an + 1 = l´ım (n + 1)n+1 · n!
R an (n + 1)! nn
n→+∞ n→+∞

= l´ım n+1 · (n + 1)n!
n (n + 1)!
n→+∞

1 n
n
= l´ım 1 +

n→+∞

= l´ım 1 + 1 n
n
n→+∞ = e.

As´ı vemos que, la serie converge absolutamente cuando x es tal que

|x| < 1 .
e

∞∞

Ejemplo 6.3.26 Observemos que si R = 1 y an ∈ R entonces f (x) = an(x − x0)n

es una funcio´n bien definida en |x − x0| ≤ 1. n=0 n=0

Consideremos la serie 1 − t2 + t4 − t6 + t8 · · · cuya suma, para |t| < 1, es (1 + t2)−1.

Integrando t´ermino a t´ermino obtenemos:

738 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

x 1 1 t2 dt = ∞ x
0 + n=0
(−1)nt2ndt =

0

∞ x2n+1 x3 x5 x7
2n + 1 3 5 7
= (−1)n = x − + − +

n=0

Por otro lado, como d arctan t = 1 1 t2 , tenemos x d (arctan t)dt = arctan x −
dt + 0 dt
arctan 0 = arctan x. Luego,

arctan x = x − x3 + x5 − x7 + ... ± ....
3 5 7

Como arctan 1 = π , tenemos :
4

π = 1− 1 + 1 − 1 +··· .
4 3 5 7

Despejando π, nos queda,

π = 4 − 4 + 4 − 4 + ·· ·
3 5 7

que puede ser considerada como una definicio´n del nu´mero π y permite calcular valores
aproximados de ´el con el grado de exactitud que uno quiera.

Operaciones con series de potencias

Teorema 6.3.27 Si

+∞

f (x) = an(x − a)n, en |x − a| < R1,

n=0

+∞ en |x − a| < R

g(x) = bn(x − a)n, en |x − a| < R2,

n=0

entonces:

+∞

f (x) + g(x) = (an + bn)(x − a)n,

n=0

+∞ n

f (x) · g(x) = ak bn−k (x − a)n, en |x − a| < R,

n=0 k=0

donde R = m´ın{R1, R2}.

6.3. SERIES DE POTENCIAS 739

Ejercicios Resueltos

1. Para cada una de las siguientes series de potencias, determine su intervalo y radio
de convergencia:

+∞

a) xn

n=0

Solucio´n: Sea an = xn, entonces an+1 = xn+1. Usando el criterio de la razo´n
tenemos que:

l´ım an+1 = l´ım xn+1
an xn
n→+∞ n→+∞

= l´ım |x|

n→+∞

= |x|

Luego, la serie converge si:

|x| < 1 ⇐⇒ −1 < x < 1

Luego, el radio de convergencia es R = 1. En cuanto al intervalo de convergen-
cia, estudiemos que ocurre en los valores extremos de ] − 1, 1[.

Si x = 1, la serie es,

+∞ +∞

1n = 1 = +∞

n=0 n=0

Luego, en x = 1 la serie diverge.

Si x = −1, la serie es,

+∞

(−1)n

n=0

La cual, en en virtud del criterio de divergencia (ver 1f ), es divergente;
luego en x = −1 la serie diverge.

As´ı, el intervalo de convergencia de la serie es ] − 1, 1[

+∞

b) (−1)nxn

n=0

740 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Solucio´n: Sea an = (−1)nxn, entonces an+1 = (−1)n+1xn+1. Usando el cri-
terio de la razo´n tenemos que:

l´ım an+1 = l´ım (−1)n+1xn+1
an (−1)nxn
n→+∞ n→+∞

= l´ım | − x|

n→+∞

= |x|

Luego, la serie converge si:

|x| < 1 ⇐⇒ −1 < x < 1

Luego, el radio de convergencia es R = 1. En cuanto al intervalo de convergen-
cia, estudiemos que ocurre en los valores extremos de ] − 1, 1[.

Si x = 1, la serie es,

+∞ +∞

(−1)n1n = (−1)n

n=0 n=0

La cual, en virtud del criterio de divergencia (ver 1f ), es divergente; luego
en x = 1 la serie diverge.

Si x = −1, la serie es,

+∞ +∞ +∞ +∞

(−1)n = (−1)n(−1)n = (−1)2n = 1 = +∞

n=0 n=0 n=0 n=0

Luego, en x = −1 la serie diverge.

As´ı, el intervalo de convergencia de la serie es ] − 1, 1[

c) +∞ xn
n
n=1

6.3. SERIES DE POTENCIAS 741

Solucio´n: Sea an = xn , entonces an+1 = xn+1 . Usando el criterio de la
n n+1
razo´n tenemos que:

l´ım an+1 = l´ım xn+1
an n+1
n→+∞ n→+∞
xn
n

= l´ım xn+1 · n
n+1 xn
n→+∞

= l´ım n + 1 · x
n
n→+∞

= |x|

Luego, la serie converge si:

|x| < 1 ⇐⇒ −1 < x < 1

Luego, el radio de convergencia es R = 1. En cuanto al intervalo de convergen-
cia, estudiemos que ocurre en los valores extremos de ] − 1, 1[.

Si x = 1, la serie es,

+∞ 1n = +∞ 1
n=1 n n=1 n

La cual, en virtud del ejemplo 6.2.16 es divergente; luego en x = 1 la serie
diverge.

Si x = −1, la serie es,

+∞ (−1)n
n=1 n

La cual, en virtud del criterio de Leibniz es convergente; luego, en x = −1
la serie converge

As´ı, el intervalo de convergencia de la serie es [−1, 1[

d) +∞ √xn
n
n=1

742 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Solucio´n: Sea an = √xn , entonces an+1 = √xn+1 . Usando el criterio de la
n n+1

razo´n tenemos que:

an+1 √xn+1
an n+1
l´ım = l´ım √xn

n→+∞ n→+∞

n

= l´ım √xn+1 · √
n+1 n
n→+∞
xn

= l´ım n + 1 · x
n
n→+∞

= |x|

Luego, la serie converge si:

|x| < 1 ⇐⇒ −1 < x < 1

Luego, el radio de convergencia es R = 1. En cuanto al intervalo de convergen-
cia, estudiemos que ocurre en los valores extremos de ] − 1, 1[.

Si x = 1, la serie es,

+∞ √1n = +∞ 1
n=1 n n=1 n1/2

La cual, en virtud del ejemplo 6.2.16 es divergente; luego en x = 1 la serie
diverge.

Si x = −1, la serie es,
+∞ (−√1)n
n=1 n

La cual, en virtud del criterio de Leibniz es convergente; luego, en x = −1
la serie converge

As´ı, el intervalo de convergencia de la serie es [−1, 1[

e) +∞ (−1)nxn
(2n + 1)2 · 3n+1
n=1

6.3. SERIES DE POTENCIAS 743

Solucio´n: Sea an = (2n (−1)n xn , entonces an+1 = (−1)n+1xn+1 . Us-
+ 1)2 · 3n+1 (2n + 3)2 · 3n+2

ando el criterio de la razo´n tenemos que:

l´ım an+1 = l´ım (−1)n+1xn+1
an
n→+∞ n→+∞ (2n + 3)2 · 3n+2
(−1)nxn

(2n + 1)2 · 3n+1

= l´ım (−1)n+1xn+1 · (2n + 1)2 · 3n+1
(2n + 3)2 · 3n+2 (−1)nxn
n→+∞

= l´ım (−1)x(2n + 1)2
3(2n + 3)2
n→+∞

= x l´ım (2n + 1)2
3 (2n + 3)2
n→+∞

= x
3

Luego, la serie converge si:

x <1 ⇐⇒ −3 < x < 3
3

Luego, el radio de convergencia es R = 3. En cuanto al intervalo de convergen-

cia, estudiemos que ocurre en los valores extremos de ] − 3, 3[.

Si x = 3, la serie es,

+∞ (−1)n · 3n = 1 +∞ (−1)n
n=1 (2n + 1)2 · 3n+1 3 n=1 (2n + 1)2

La cual, en virtud del criterio de Leibniz, es convergente; luego en x = 3 la
serie converge.
Si x = −3, la serie es,

+∞ (−1)n(−3)n = +∞ (−1)n(−1)n · 3n
n=1 (2n + 1)2 · 3n+1 n=1 (2n + 1)2 · 3n+1

= +∞ (2n 1 · 3
n=1 + 1)2

1 +∞ 1
3 (2n + 1)2
=

n=1

744 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

La cual, en virtud de la serie de referencia 6.2.16 es convergente; luego, en
x = −3 la serie converge

As´ı, el intervalo de convergencia de la serie es [−3, 3]

f) +∞ n2(x + 2)n
n+1
n=0

Solucio´n: Sea an = n2(x + 2)n , entonces an+1 = (n + 1)2(x + 2)n+1 .
n+1 n+ 2

Usando el criterio de la razo´n tenemos que:

(n + 1)2(x + 2)n+1

l´ım an+1 = l´ım n+2
an n2(x + 2)n
n→+∞ n→+∞

n+1

= l´ım (n + 1)2(x + 2)n+1 · n+1
n+2 n2(x + 2)n
n→+∞

= l´ım (x + 2) · (n + 1)3
n2(n + 3)
n→+∞

= |x + 2| l´ım (n + 1)3
n2(n + 3)
n→+∞

= |x + 2|

Luego, la serie converge si:

|x + 2| < 1 ⇐⇒ −3 < x < −1

Luego, el radio de convergencia es R = 1. En cuanto al intervalo de convergen-
cia, estudiemos que ocurre en los valores extremos de ] − 3, −1[.

Si x = −1, la serie es,

+∞ n2 · 1n = +∞ n2
n=0 n+1 n=0 n + 1

Notemos que: n2
n+
l´ım 1 = +∞ = 0

n→+∞

Luego, en virtud del criterio de divergencia , esta serie diverge; luego en

x = −1 la serie diverge.

6.3. SERIES DE POTENCIAS 745

Si x = −3, la serie es,

+∞ n2 · (−1)n
n=0 n + 1

La cual, en virtud del criterio de divergencia , es divergente; luego en x = −3
la serie diverge.

As´ı, el intervalo de convergencia de la serie es ] − 3, −1[

+∞

g) n2(x + 1)n

n=0

Solucio´n: Sea an = n2(x + 1)n, entonces an+1 = (n + 1)2(x + 1)n+1.

Usando el criterio de la razo´n tenemos que:

l´ım an+1 = l´ım (n + 1)2(x + 1)n+1
an n2(x + 1)n
n→+∞ n→+∞

= l´ım (x + 1) · (n + 1)2
n2
n→+∞

= |x + 1| l´ım (n + 1)2
n2
n→+∞

= |x + 1|

Luego, la serie converge si:

|x + 1| < 1 ⇐⇒ −2 < x < 0

Luego, el radio de convergencia es R = 1. En cuanto al intervalo de convergen-
cia, estudiemos que ocurre en los valores extremos de ] − 2, 0 [.

Si x = −2, la serie es,

+∞ +∞

n2(−2 + 1)n = n2(−1)n

n=0 n=0

La cual, en virtud del criterio de divergencia (ver 1f ), es divergente; luego
en x = −2 la serie diverge.

746 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Si x = 0, la serie es,

+∞ +∞

n2(0 + 1)n = n2

n=0 n=0

Luego, en virtud del criterio de divergencia (ver 1f ), esta serie diverge;
luego en x = 0 la serie diverge.

As´ı, el intervalo de convergencia de la serie es ] − 2, 0 [

2. Una funcio´n importante definida mediante series es la funcio´n de Bessel de orden n,
donde n es un entero no negativo, definida mediante,

+∞ (−1)k x2k+n
Γ(k + n + 1) ·
Jn(x) = k! · 22k+n

n=0

a) Demuestre que el dominio de Jn es R

b) Derivando la serie xnJn(x) y usando una propiedad apropiada de la funcio´n
Gama, demuestre que:

d (xnJn(x)) = xnJn−1(x)
dx

c) Usando la derivada de un producto y posteriormente dividiendo por xn−1, ver-
ifique que:

xJn(x) = xJn−1(x) − nJn(x)

Solucio´n:

a)

Jn(x) = +∞ k! · (−1)k x2k+n 22k+n
n=0 Γ(k + n + 1) ·

Sea bk = k! · (−1)k x2k+n 22k+n , bk+1 = (k + (−1)k+1x2k+2+n .
Γ(k + n + 1) · 1)! · Γ(k + n + 2) · 22k+2+n

Aplicando el criterio de la razo´n tenemos que:

6.3. SERIES DE POTENCIAS 747

l´ım bk+1 = l´ım (−1)k+1x2k+2+n
bk (k + 1)! · Γ(k + n + 2) · 22k+2+n
k→+∞ k→+∞
(−1)k x2k+n
k! · Γ(k + n + 1) · 22k+n

= l´ım (k (−1)k+1x2k+2+n · k! · Γ(k + n + 1) · 22k+n
+ 1)! · Γ(k + n + 2) · 22k+2+n (−1)k x2k+n
k→+∞

= l´ım (−1)x2
(k + 1)(k + n)
k→+∞

= l´ım x2
(k + 1)(k + n)
k→+∞

= 0 < 1.

Luego, el radio de convergencia es R = +∞, por lo tanto, Dom (Jn(x) = R)
b) Notemos que:

x n +∞ (−1)k x2 k
2 Γ(k + n 22
Jn(x) = · k! · + 1)

k=0

Entonces:

x2n +∞ (−1)k x2 k
2n Γ(k + n 22
xnJn(x) = · k! · + 1)

k=0

748 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Luego:

d (xnJn(x)) = 2nx2n−1 +∞ (−1)k x2 k
dx 2n k! · Γ(k + n + 1) 22
·

k=0

x2n +∞ (−1)k x2 k−1 2x
2n k! · Γ(k + n + 1) 22 22
+ · ·k· ·

k=0

x n−1 +∞ (−1)k x2 k
2 Γ(k + n 22
= xn k! · + 1) · (n + k) ·

k=0

x n−1 +∞ (−1)k x2 k
2 · Γ(k + 22
= xn k! n) ·

k=0

= xn · Jn−1(x).

c) Ya que:

(xnJn(x)) = nxn−1Jn(x) + xnJn(x) = xnJn−1(x)

Se tiene que:

nxn−1Jn(x) + xnJn(x) = xnJn−1(x)

La igualdad vale para n ≥ 1 y x = 0.

Si x = 0 entonces: nJn(x) + xJn(x) = xJn−1(x)
Y as´ı: xJn(x) = xJn−1(x) − nJn(x)

Ejercicios Propuestos

1. a) +∞ xn
n=1 n!

+∞

b) nxn

n=1

c) +∞ xn√n

n=1

6.3. SERIES DE POTENCIAS 749

d) +∞ xn
ln(n + 1)
n=1

e) +∞ (n + 1)x2n
5n
n=1

f) +∞ n!xn
n=1 (2n + 1)!

g) +∞ (−1)n(x − 4)n+1
(n + 1)3
n=1

+∞

h) (n + 1)23nx3n+1

n=1

i) +∞ e2(x − 2)n
n!
n=1

j) − +∞ (1 + 2n)xn
n=1 n

2. En base a la definicio´n de la funcio´n de Bessel del ejercicio resuelto 2, y los resultados
all´ı obtenidos:

a) Verifique, usando la definicio´n de Jn, que:

+∞ (−1)k x2k
Γ(k + n + 1)
x−nJn(x) = k! · · 22k+n

n=0

b) Demuestre, derivando la serie, que:

d +∞ (−1)k x2k−1
dx Γ(k + n + 1)
x−nJn(x) = (k − 1)! · · 22k+n−1

n=0

c) Cambiando el ´ındice de la sumatoria, verifique que:

d +∞ (−1)k+1x2k+1
dx + 1 + n + 1) · 22k+n+1
x−nJn(x) = k! · Γ(k

n=0

+∞ (−1)k x2k+1+n
+ n + 1 + 1) · 22k+n+1
= −x−n k! · Γ(k

n=0

750 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

d) Observando la u´ltima serie con la que define Jn(x), verifique que:

d x−nJn(x) = −x−nJn+1(x)
dx

e) Demuestre que: xJn(x) = −xJn+1(x) + nJn(x)
f ) Demuestre que:

2Jn(x) = Jn−1(x) − Jn+1(x)
2nJn(x) = x [Jn−1(x) + Jn+1(x)]

g) Pruebe que: n
x
Jn−1(x) = Jn(x) + Jn(x)

h) Pruebe que:

xJn−1(x) = −xJn(x) + (n − 1)Jn−1(x)

i) Demuestre que se cumple la siguiente ecuacio´n:

x2Jn(x) + xJn(x) + (x2 − n2)Jn(x) = 0

Esta ecuacio´n demuestra que la funcio´n de Bessel Jn(x), es solucio´n de la
ecuacio´n diferencial:

x2y + xy + (x2 − n2)y = 0

De esto deriva su importancia.

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 751

6.4. Teorema de Taylor

La familia de funciones ma´s simples son los polinomios ya que son muy fa´ciles de
derivar y de integrar. El teorema de Taylor permite, bajo ciertas hipo´tesis, aproximar
funciones mediante polinomios lo que facilita ca´lculos num´ericos directos que pueden ser
muy dif´ıciles y a veces hasta imposibles.

Consideremos una funcio´n f definida en algu´n intervalo de R , tal que la n-´esima
derivada, f (n)(x) , existe en un intervalo que contiene a un punto a fijo y si x es un punto
cualquiera de dicho intervalo, entonces nuestro objetivo es buscar una serie de potencias
que converja hacia f en algu´n intervalo.

Primero buscaremos polinomios usando de forma recursiva integracio´n por partes.

Supongamos que f y f son continuas en [a, b]. Entonces, para cualquier x ∈ [a, b] se
tiene, usando el Teorema Fundamental del Ca´lculo,

x (6.5)

f (y)dy = f (x) − f (a).

a

Entonces, x (6.6)

Suponiendo que f f (x) = f (a) + f (y)dy
6.6,
a

existe, podemos volver a integrar por partes la integral de la ecuacio´n

f (y) ⇒ f (y)dy
dy ⇒ y ⇒ y − x = −(x − y)

Ahora f puede escribirse como:

xx

f (x) = f (a) − (x − y)f (y) (x − y)f (y)dy.

aa

x (6.7)

f (x) = f (a) + (x − a)f (a) + (x − y)f (y)dy

a

Integrando por partes la integral de la ecuacio´n 6.7,

 ⇒ f (y)dy
f (y)
(x − y)dy ⇒ − 1 (x − y)2.
2

Entonces la ecuacio´n 6.7 se transforma en:

752 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

f (x) = f (a) + (x − a)f (a) − 1 [(x − y)2f (y)]ax + 1 x (y)dy.
2 2
(x − y)2f

a

El proceso puede continuar indefinidamente siempre que las derivadas de orden n

de f existan y sean continuas, as´ı todas las integrales existen. Aplicando n veces este

procedimiento obtenemos el siguiente teorema:

Teorema 6.4.1 Teorema de Taylor- Forma 1 Si f (x) y sus primeras (n+1) derivadas
son continuas en [b1, b2] y si b1 < a < b2, entonces para x en el intervalo dado se tiene:

n f (k)(a)(x − a)k
k!
f (x) = f (a) + + Rn(x, a), (6.8)

k=1

donde, 1 x
n!
Rn(x, a) = (x − y)nf (n+1)(y)dy.

a

Definicio´n 6.4.2 El t´ermino Rn(x, a) se llama resto.

n f (k)(a)(x−a)k
n!
f (a) + se llama polinomio de Taylor de grado n y centrado en a de

f. k=1

Si f tiene las derivadas continuas de todos los ordenes entonces los polinomios de
Taylor se pueden transformar en una serie llamada serie formal de Taylor :

f (a) + +∞ f (n)(a)(x − a)x = +∞ f (n)(a)(x − a)n .
n=1 n! n=0 n!

Le decimos formal porque no se sabe a priori si realmente esta serie converge a f (x).

Del enunciado del teorema 6.8 podemos deducir que +∞ f (n)(a)(x − a)x converge a f (x),
n=0 n!
en algu´n intervalo centrado en x = a si y so´lo si Rn(x, a) → 0 cuando n → +∞.

Para demostrar este teorema necesitamos darle una forma distinta al resto Rn(x, a).

Teorema 6.4.3 Teorema de Taylor- Forma 2: Supongamos que f (x) tiene sus primeras
n derivadas continuas y sla derivada f (n + 1)(x) existe en un intervalo [b1, b2]. Sea a tal

que b1 < a < b2 . Entonces para todo x en ]b1, b2[ se tiene:

n f k(a)(x − a)k
k!
f (x) = f (a) + + Rn(x, a), (6.9)

k=1

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 753

donde Rn(x, a) = (x − a)n+1 f n+1(c∗ ) , para algu´n c∗ tal que a < c∗ < x.
(n + 1)!

Demostracio´n: Sea Rn(x, a) definido por:

n f k(a)(x − a)k
k!
f (x) = f (a) + + Rn(x, a)

k=1

Ahora consideraremos la funcio´n ϕ definida por

n f (k)(y)(x − y)k (x − y)n+1rn(x, a)
k! (n + 1)!
ϕ(y) = f (x) − f (y) − − . (6.10)

k=1

Demostraremos que ϕ satisface el Teorema de Rolle, en el intervalo a ≤ y ≤ x con
b1 < a < b2 y b1 < xb2.

Reemplazando y = x en la ecuacio´n 6.10, tenemos que

ϕ(x) = 0 y f (k)(a)(x − a)k − (x − a)n+1rn(x, a)
ϕ(a) = f (x) − f (a) − k! (n + 1)!

ϕ(a) = 0 ⇔ Rn(x, a) = (x − y)n+1rn(x − a) (6.11)
(h + 1)

Por lo tanto, elegimos rn(x − a) de modo que se cumpla la igualdad 6.11).

La funcio´n ϕ satisface las hipo´tesis del teorema de Rolle en el intervalo [a, x], por lo
cual existe un punto c∗ en ]a, x[ donde ϕ (c∗) = 0.

n (y)(x − a)k n (y)(x − y)k−1 (x − y)nrn(x, a)
k! (k − 1)! n!
ϕ (y) = −f (y) − f k+1 + f (k) +

k=1 k=1

Desarrollando las sumatorias, queda finalmente,

f (n+1) (y)(x − y)n (x − y)nrn(x, a)
n! n!
ϕ (y) = − +

Por Teorema de Rolle, existe c∗ ∈]a, x[ tal que

ϕ (c∗ ) ⇔ − f (n+1)(c∗)(x − c∗)n + (x − c∗)nrn(x, a) = 0
n! n!

754 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

⇔ rn(x, a) = −f (n+1)(c∗); a < c∗ < x

Reemplazando este valor de rn(x, a) en (2) obtenemos que Rn(x, a) = (x − a)n+1f (n+1)(c∗) ,
(n + 1)!
para algu´n c∗ entre x y a .

Observacio´n 6.4.4 1. Si Rn(x, a) → 0 cuando x → +∞, entonces f (x) puede ser re-
presentada mediante la serie de Taylor centrada en a en algu´n intervalo que contiene

al punto a.

2. Cuando a = 0, la serie resultante por esta v´ıa se llama serie de Maclaurin y tiene

la forma: +∞

f (x) = f (0) + f (n)(0)xn .
n!
n+1

3. Otra forma equivalente de escribir el resto es

(1 − θ)n−1f (n)(θx) xn, para algu´n θ ∈ (0, 1).
(n − 1)!

6.4.1. C´alculo de polinomios y series de Taylor para funciones elemen-
tales

1. La serie exponencial: es la serie de Taylor centrada en 0 o serie de Maclaurin de
f (x) = ex.

Los polinomios de Taylor de grado k y centrado en a = 0 lo denotamos por Tk(0).

n f (k)(0)xk
k!
Tn(0) = f (0) +

k=1

T0(0) = f (0) = e0 = 1

T1(0) = f (0) + f (0) x = 1 + x
T2(0) = 1! = 1 + 1!
f (0) x+ x2
T1(0) + 2! 2!

Considerando que f (k)(0) = ex = e0 = 1; para todo k ∈ N tenemos que:

x=0

Tn(0) = 1 + x + x2 + x3 + x4 + ··· + xn .
2! 3! 4! n!

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 755

Ahora podemos estudiar la convergencia de la serie de potencias resultante cuando
x = 0. Recordemos que toda serie de potencias converge para x = a.

+∞ xn
n!
1 + .

n=1

un+1(x) = xn+1 · n! = |x| 1) .
un(x) (n + 1)! xn (n +

Por lo tanto, l´ım |x| = 0 < 1; para todo x ∈ R y la serie converge para todo
(n + 1)

x ∈ R.

Para saber si esta serie convergente representa a la funcio´n f (x) = ex, debemos
analizar el resto dado por el Teorema de Taylor:

Rn(x, 0) = xn+1ec∗ ; con c∗ ∈]0, x[.
(n + 1)!

Si dejamos x fijo, Rn(x, 0) → 0 cuando n → +∞ pues xn+1 → 0 por ser el t´ermino
(n + 1)

general de una serie convergente.

Para todo x ∈ R se tiene que,

ex = +∞ xn
n=0 n!

En particular si x = 1

+∞ 1
n!
e = .

n=0

Esta fo´rmula permite calcular valor aproximados de e con el grado de exactitud que

uno quiera. Por ejemplo, calculemos el nu´mero e con 4 decimales exactos.

Esto quiere decir que Rn(1, 0) = ec∗ , con c∗ entre 0 y 1, debe ser menor
(n + 1)!

que 10−4. Para facilitar los ca´lculos podemos usar acotaciones intermedias como

mostraremos a continuacio´n.

756 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

Rn(1, 0) = (n e 1)! < (n e 1)! < (n 3 1)! < 10−4.
+ + +

Para determinar la cantidad m´ınima de t´erminos que debemos sumar para alcanzar
el grado de exactitud que queremos, debemos resolver la inecuacio´n:

(n 3 1)! < 1 ,
+ 10,000

tomando a n como inco´gnita. La inecuacio´n es equivalente a

3 × 104 < (n + 1)!.

Con una calculadora se puede encontrar que:

7! = 5,040
8! = 40,320

Por lo tanto basta tomar n = 8. As´ı, tenemos que:

e ≈ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ≈ 2, 7183.
2 3! 4! 5! 6! 7! 8!

2. La serie de coseno:
Sea la funcio´n f (x) = cos x, a = 0. Tenemos que:

f (x) = − sen x
f (x) = − cos x

f (x) = sen
f (iv)(x) = cos x
f (v) = − sen x
f (vi)(x) = − cos x
f vii(x) = sen x
f (viii)(x) = cos x

En general:

f (4n+1)(x) = sen x
f (4n+2)(x) = − cos x
f (4n+3)(x) = sen x

6.4. TEOREMA DE TAYLOR 757

f (4n)(x) = cos x

Por lo tanto:

f (4n+1)(0) = 0
f (4n+2)(0) = −1
f (4n+3)(0) = 0
f (4n)(0) = 1

As´ı, los coeficientes de Taylor an = f (n)(0) para la serie de cos x son:
n!

a4n+1 = a4n+3 = 0

a4n+2 = −1
(4n + 2)!

a4n = 1
(4n)!

Luego la serie de Taylor de f (x) = cos x es

+∞ (−1)nx2n +∞ (−1)nx2n .
(2n)! (2n)!
f (0) + =1+

n=1 n=1

Esta serie converge para todo x ∈ R. Esto de deja para que el lector lo verifique.

3. sen x = +∞ (−1)nx2n+1 , x ∈ R.
n=0 (2n + 1)!

4. La serie geom´etrica

1 = +∞ |x| < 1.
1−x
xn,

n=0

5. ln(1 + x) = (−1)n+1 xn , −1 < x ≤ 1.
n

6. La serie binomial
+∞
α(α − 1)(α − 2) · · · (α − n + 1)
(1 + x)α = 1 + n! xn, |x| < 1.

n=1

Consideremos la funcio´n f (x) = (1 + x)α, con x > −1, la que puede ser escrita

como:

(1 + x)α = eαLn(1+x).

758 CAP´ITULO 6. INTEGRALES IMPROPIAS Y SERIES

As´ı,

d [(1 + x)α] = eαLn(1+x) · 1 α x = 0α(1 + x)α−1 = α(1 + x)α−1.
dx +

d2 ((1 + x)α) = d α(1 + x)α−1 = α(α − 1)(1 + x)α−2.
dx2 dx

Sucesivamente obtenemos la expresio´n;

dn ((1 + x)α) = α(α − 1) · · · (α − n + 1)(1 + x)α−n
dxn

para x = 0; dn (α(1 + x)α) |x=0 = α(α − 1) · · · (α − n + 1)
dxn

Aplicando el teorema de Taylor podemos escribir:

(1 + x)α = 1 + α x + α(α − 1) x2 + ··· + α(α − 1) · · · (α − n + 2) xn−1 +
1! 2! (n − 1)!

+ (1 − θ)n−1 · α(α − 1) · · · (α − n + 1) · (1 + θ)α−n · xn.
(n − 1)!

Sea Sn la suma parcial de la serie de Taylor:

Sn = 1 + αx + α(α − 1) x2 + ··· + α(α − 1) · · · (α − n + 1) xn
2! n!

|Sn − (1 + x)α)| = (1 − θ)n−1 α(α − 1) · (α − n + 1) − α(α − 1) · · · (α − n + 1) |x|n
(n − 1)! (1 + θx)n−α n!

(n (1 − θ)1−1 − 1 α(α − 1) · · · (α − n + 1) |x|n
− 1)!(1 + θx)n−α n!

1−θ n−1 (1 + θx)n−1 1 α(α − 1) · (α − n + 1)
1 + θx (1 + θx)n−α n (n − 1)!
= · − |x|n

No es dif´ıcil verificar que α(α − 1) · · · (α − n + 1) ≤ K, para alguna constante K
Por otro lado, (n − 1)!

(1 + θx)n−1 = (1 + θx)α−1
(1 + θx)n−α

y