MODUL STATISTIKA DASAR BAGI MAHASISWA PENDIDIKAN MATEMATIKA

KATA PENGANTAR i Salam sejahtera untuk kita semua. Puji syukur kita panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas rahmat dan karunia-Nya sehingga modul Statistika Dasar bagi Mahasiswa Pendidikan Matematika dapat terwujud dengan baik dan tepat waktu sesuai dengan yang telah ditentukan. Tidak lupa kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam penyusunan modul ini khususnya kepada Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd., dan Bapak M. Badzlan Darari, M.Pd., selaku dosen pengampu mata kuliah Statistika Dasar yang telah memberikan bimbingan dan arahan selama perkuliahan. Modul ini disusun sebagai bahan ajar bagi mahasiswa yang mengambil mata kuliah Statistika Dasar di program studi Pendidikan Matematika. Statistika merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki peran penting dalam berbagai bidang, termasuk dalam pendidikan matematika. Oleh karena itu, pemahaman yang baik tentang statistika sangatlah penting bagi mahasiswa pendidikan matematika. Modul ini dirancang untuk memberikan pemahaman dasar tentang konsep dan aplikasi statistika dalam matematika. Di dalam modul ini, mahasiswa akan belajar tentang berbagai konsep dasar dalam statistika, seperti pengumpulan data, pengukuran pemusatan data, pengukuran dispersi data, probabilitas, distribusi normal, dan pengujian hipotesis. Modul ini disusun dengan bahasa yang mudah dipahami dan dilengkapi dengan contohcontoh penggunaan statistika dalam konteks matematika. Diharapkan modul ini dapat membantu mahasiswa dalam memahami konsep statistika dan mampu mengaplikasikannya dalam konteks matematika di masa depan. Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian modul ini. Semoga modul ini dapat bermanfaat bagi mahasiswa Pendidikan Matematika dalam memahami statistika dasar dan mengaplikasikannya di masa depan. Selamat belajar! Medan, 01 Mei 2023 PSPM 2021 C

DAFTAR ISI ii KATA PENGANTAR ............................................................................................................i DAFTAR ISI..........................................................................................................................ii BAB I PENDAHULUAN......................................................................................................1 BAB II DATA STATISTIK ..................................................................................................2 A. Data..........................................................................................................................2 B. Pembagian Macam-macam Data .............................................................................2 C. Prosedur dan Teknik pengumpulan Data.................................................................5 BAB III PENYAJIAN DATA ...............................................................................................9 A. Struktur Tabel Statistik............................................................................................9 B. Diagram/ Grafik.....................................................................................................10 C. Data Tunggal .........................................................................................................13 D. Ukuran Letak .........................................................................................................15 E. Penyajian Data Majemuk.......................................................................................18 BAB IV UKURAN PEMUSATAN DATA ........................................................................25 A. Data Tunggal .........................................................................................................25 B. Ukuran Pemusatan Data .......................................................................................28 BAB V UKURAN PENYEBARAN DATA (DISPERSI DATA) ......................................37 A. Jangkauan Data......................................................................................................37 B. Sistem Kuartil ........................................................................................................37 C. Simpangan Rata-Rata ............................................................................................39 D. Ragam (Varians)....................................................................................................42 E. Simpangan Baku....................................................................................................45 BAB VI POPULASI, SAMPEL DAN TEKNIK SAMPLING ...........................................50 A. Populasi..................................................................................................................50 B. Sampel ...................................................................................................................50 C. Teknik Penarikan Sampel......................................................................................50 D. Penetapan Jumlah Sampel .....................................................................................51 E. Ukuran Sampel ......................................................................................................51 BAB VII PROBABILITAS .................................................................................................58 A. Binomial ................................................................................................................58 B. Poisson...................................................................................................................59

DAFTAR ISI iii C. Hipergeometrik ......................................................................................................62 D. Normal ...................................................................................................................65 BAB VIII PENAKSIRAN PARAMETER..........................................................................70 A. Penaksiran Parameter.............................................................................................70 B. Parameter Rata-rata ...............................................................................................71 C. Selisih Rata-rata.....................................................................................................74 D. Simpangan Baku....................................................................................................74 E. Proporsi..................................................................................................................75 F. Selisih Proporsi......................................................................................................77 BAB IX HIPOTESIS PENELITIAN...................................................................................79 A. Pengertian Hipotesis..............................................................................................79 B. Karakteristik Hipotesis ..........................................................................................84 C. Kekeliruan Hipotesis .............................................................................................85 D. Langkah – Langkah Pengujian Hipotesis..............................................................85 E. Contoh Penerapan Hipotesis dalam Penelitian Pendidikan Matematika ...............87 BAB X PENUTUP ..............................................................................................................89 DAFTAR PUSTAKA ..........................................................................................................90

1 BAB I PENDAHULUAN Statistika merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang mempelajari cara pengumpulan, pengolahan, analisis, dan interpretasi data. Statistika memiliki peran yang sangat penting dalam banyak bidang, termasuk dalam pendidikan matematika. Sebagai seorang mahasiswa pendidikan matematika perlu memahami konsep-konsep dasar statistika untuk dapat melakukan penelitian dan analisis data dengan baik. Sayangnya, masih banyak mahasiswa yang kesulitan memahami konsep-konsep dasar statistika, baik karena kurangnya pemahaman tentang matematika secara umum, maupun karena kurangnya pengalaman dalam menganalisis data. Oleh karena itu, diperlukan sebuah modul yang dapat membantu mahasiswa pendidikan matematika memahami konsep-konsep dasar statistika secara sistematis dan mudah dipahami. Modul ini disusun dengan tujuan membantu mahasiswa pendidikan matematika memahami konsep-konsep dasar statistika, seperti ukuran pemusatan dan penyebaran data, distribusi frekuensi, probabilitas, serta teknik-teknik dasar analisis data. Modul ini mencakup materi-materi dasar dalam statistika, seperti pengertian dan jenis-jenis data, tabel frekuensi, pengukuran pemusatan data, dan pengukuran penyebaran data. Modul ini dilengkapi dengan contoh-contoh yang relevan dan dilakukan secara bertahap, sehingga dapat memudahkan mahasiswa dalam memahami konsep-konsep tersebut. Dalam modul ini, mahasiswa akan mempelajari langkah-langkah yang diperlukan dalam mengumpulkan, menyajikan, dan menganalisis data. Mahasiswa juga akan mempelajari teknik-teknik dasar analisis data, seperti uji hipotesis dan regresi linier sederhana. Selain itu, dalam modul ini juga akan disajikan berbagai aplikasi statistika dalam kehidupan sehari-hari, seperti penelitian sederhana, survei, dan pengambilan keputusan. Diharapkan melalui modul ini, mahasiswa pendidikan matematika dapat mengembangkan keterampilan dalam mengumpulkan, mengolah, dan menganalisis data serta memahami pentingnya statistika dalam kehidupan sehari-hari. Terima kasih telah memilih modul ini sebagai sumber belajar Anda. Selamat belajar!

2 BAB II DATA STATISTIK A. Data Data adalah bahan mentah yang perlu diolah sehingga menghasilkan informasi atau keterangan, baik kualitatif maupun kuantitatif yang menunjukkan fakta, atau juga dapat didefenisikan data merupakan kumpulan fakta atau angka atau segala sesuatu yang dapat diperoleh kebenarannya sehingga dapat digunakan sebagai dasar untuk mernarik suatu kesimpulan. Data Statistik merupakan data yang dikumpulkan, diolah, dan disajikan yang bertujuan untuk memperoleh informasi. Dimana data statistik diolah dengan metode tertentu untuk menghasilkan informasi yang berguna. Syarat-syarat data dapat dikatan baik jika memenuhi syarat-syarat sebagai berikut ini : 1. Objektif, artinya data yang didapat harus sesuai dengan keadaan yang sebenarnya 2. Relevan, artinya data yang dihasilkan harus ada hubungannya dengan persoalanyang akan dipecahkan. 3. Kekinian/up to date, artinya data harus masih baru atau tidak kadaluwarsa. 4. Representatif, artinya mewakili (persoalan yang ada) sesuatu yang lebih luas B. Pembagian Macam-macam Data Data adalah kumpulan keterangan atau informasi yang di peroleh dari suatu pengamatan. Data dibagi menjadi beberapa macam, yaitu: 1. Klasifikasi data berdasarkan jenis datanya a. Data Kuantitatif Data kuantitatif adalah jenis data yang nilainya secara nyata bisa diukur dalam bentuk angka atau hitungan, dengan nilai numerik unik yang terkait dengan setiap teknik pengumpulan data. Sehingga data dalam riser ini juga dikenal sebagai data numerik, tipe data ini mendeskripsikan variabel penelitian yang bersifat numerik. Misalnya data tentang berat badan, harga barang-barang, yangdapat diukur dan dinyatakan dalam bentuk angka Contohnya: Fatur beratnya 30 kg, Annisa tingginya 120 cm, sepatu itu harganyaRp. 75.000, Salsa dapat menyelesaikan tugas itu dalam waktu 1 jam. b. Data Kualitatif Data kualitatif adalah jenis data yang menggambarkan informasi melalui tipe data statistik deskriptif sehingga menjadikannya data yang diekspresikan dengan kelompok dan kategori daripada angka. Tipe data

3 ini relevan untuk sebagian besar penelitian dengan penggunaan terbatas dalam statistik karena ketidak cocokannya dengan kebanyakan metode statistik. Misalnya tanggapan para pendidik mengenai kurikulum merdeka saat ini 2. Klasifikasi data berdasarkan sifat data a. Data Diskrit (cacahan) Data diskrit adalah data dalam bentuk bilangan bulat yang diperoleh dengan cara membilang dan merupkan data yang nilainya adalah bilangan asli, bukan berupa pecahan angka. Contohnya Jumlah perguruan tinggi swasta di Jakarta ada 750, kemunculan angka dalam dadu. b. Data Kontiniu (ukuran) Data kontiniu adalah data dalam bentuk bilangan bulat atau pecahan yang diperoleh dengan cara hasil pengukuran, Data ini tergantung dengan jenis skalapengukuran yang digunakan. Seperti data yang diperoleh dari hasil mengukur, seperti berat badan, tinggi badan, hasil belajar, motivasi belajar, kecerdasan inteligensi dan sebagainya. 3. Klasifikasi data berdasarkan sumber data a. Data internal Data internal adalah sebuah jenis data yang didapatkan dari dalam atau pihak internal suatu organisasi, perusahaan atau tempat dilakukannya penelitian. Dataini dihasilkan melalui penelitian sendiri. Contohnya dari data internal adalah data penjualan, data stok gudang, data pegawai, dan sebagainya. b. Data eksternal Data eksternal adalah data yang menguraikan situasi dan kondisi yang berada di luar organisasi, biasanya data ini didapat dari hasil penelitian orang lain. Contohnya adalah data jumlah penggunaan suatu produk pada konsumen, tingkat preferensi pelanggan, persebaran penduduk, dan lain sebagainya 4. Klasifikasi data berdasarkan cara memperolehnya a. Data primer Data primer adalah secara langsung diambil dari objek penelitian oleh peneliti perorangan maupun organisasi.

4 Contohnya sekolah ingin mengetahui tentang peraturan pengelolaan sekolah, maka ia dapat memperoleh langsung dari sumbernya dalam hal ini KementerianPendidikan. b. Data sekunder Data sekunder adalah data yang didapat tidak secara langsung dari objek penelitian. Peneliti mendapatkan data yang sudah jadi yang dikumpulkan oleh pihak lain dengan berbagai cara atau metode baik secara komersial maupun nonkomersial. Misalnya data tentang perkembangan hasil ujian nasional diperoleh dari membaca koran atau melihat televisi. 5. Klasifikasi data berdasarkan skala pengukuran data a. Skala nominal Skala nominal merupakan skala pengukuran yang paling rendah tingkatannya di antara ke empat skala pengukuran yang lain. Seperti namanya, skala ini membedakan satu obyek dengan obyek lainnya berdasarkan lambang yang diberikan Contohnya Data mengenai barang-barang yang dihasilkan oleh sebuah mesin dapat digolongkan dalam kategori cacat atau tidak cacat. Barang yang cacat bisadiberi angka 0 dan yang tidak cacat diberi angka 1. Data 1 tidaklah berarti mempunyai arti lebih besar dari 0. Data satu hanyalah menyatakan lambang untuk barang yang tidak cacat. b. Skala ordinal Skala ordinal merupakan skala pengukuran yang menunjukan jarak interval antar tingkatan tidak harus sama. Dalam skala ini, terdapat sifat skala nominal,yaitu membedakan data dalam berbagai kelompok menurut lambang, ditambah dengan sifat lain yaitu, bahwa satu kelompok yang terbentuk mempunyai pengertian lebih (lebih tinggi, lebih besar, …) dari kelompok lainnya. Contohnya misal dalam variabel nilai huruf mutu pada perkuliahan, yaitu nilai A, B, C, D, dan E. Pada nilai ini menunjukkan tingkatan bahwa nilai A lebih besar dari B, dan seterusnya. c. Skala interval Skala Interval merupakan skala pengukuran yang bisa digunakan untuk menyatakan peringkat untuk antar tingkatan dimana Jarak atau interval antar tingkatan pun sama dan sudah jelas, hanya saja tidak memiliki nilai 0 (nol) mutlak. Dalam skala interval, selain data dapat dibedakan antara yang satu dengan yang lainnya dan dapat dirangking, perbedaan (jarak/interval) antara data yang satu dengan data yang lainnya dapat diukur. Contohnya suatu ruangan memiliki suhu 0C, ini bukan berarti bahwa

5 ruangan tersebut tidak ada suhunya. Angka 0C disini merupakan suhu, hal ini dikarena pada skala interval 0 (nol) bukanlah nilai yang mutlak. Atau contoh lainnya Data tentang suhu empat buah benda A, B, C, dan D yaitumasing-masing 20, 30, 60, dan 70 derajat Celcius, maka data tersebut adalah data dengan skala pengukuran interval karena selain dapat dirangking, penelitijuga akan tahu secara pasti perbedaan antara satu data dengan data lainnya. Perbedaan data suhu benda pertama dengan benda kedua misalnya, dapatdihitung sebesar 10 derajat, dst d. Skala rasio Definisi skala rasio merupakan skala pengukuran data dalam penelitian yang lebih sering digunakan untuk membedakan, mengurutkan dan membandingkandata. Jarak atau interval antar tingkatan sudah jelas, dan memiliki nilai 0 (nol) yang mutlak. Nilai nol mutlak berarti benar-benar menyatakan tidak ada. Contohnya tinggi badan Agung adalah 190 cm sedangkan tinggi badan Vatinsonadalah 95 cm. Pada situasi ini dapat dikatakan bahwa jarak tinggi badanVatinson dengan Agung adalah 95 cm. Bisa juga dikatakan bahwa tinggi badanAgung 2 kali tinggi badan Vatinson. 6. Klasifikasi data berdasarkan waktu pengumpulannya a. Data berkala (time series) Data berkala adalah data yang terkumpul dari waktu ke waktu untuk memberikan gambaran perkembangan suatu kegiatan atau periode secara historis Contohnya data perkembangan nilai tukar dollar amerika terhadap euro eropadari tahun 2004 sampai 2006, dll. b. Data cross section. Data cross section adalah data yang terkumpul pada suatu waktu tertentu untukmemberikan gambaran perkembangan keadaan atau kegiatan pada waktu itu. Contohnya hasil ujian semester 1, data sensus penduduk tahun 2010, dsb C. Prosedur dan Teknik pengumpulan Data Pentingnya Teknik dan prosedur pengumpulan data pengumpulan data merupakan kegiatan mencari data di lapangan yang akan digunakan untuk menjawab permasalahan penelitian. Validitas pengumpulan data serta kualifikasi pengumpulan data sangay diperlukan untuk memperoleh data yang berkualitas. Dalam penelitian ada banyak jenis teknik pengumpulan data. Makanya, proses pengumpulan data penelitian sangat penting dan harus dipahami secara mendalam. Untuk bisa melakukan proses pengumpulan data yang baik, maka kita

6 harus mengikuti beberapa tata cara serta prosedur yang dimilikinya. Dengan mengetahui sebuah prosedur dari pengumpulan data itu sendiri hal tersebut akan membantu untuk mendapatkan data yang lebih valid (data yang dapat dipertanggungjawabkan kebenarannya). 1. Prosedur pengumpulan data Prosedur Teknik pengumpulan data menjadi sangat penting sebab dalam sebuah penelitian dibutuhkan data-data yang valid sehingga dapat menghasilkan sebuah kesimpulan yang valid pula. sebelum mengumpulkan data, biasanya peneliti memiliki sebuah hipotesis. Hipotesis itu sendiri adalah sebuah dugaan kesimpulan sementara tentang suatu hal yang akan diteliti. Sehingga hipotesis inilah yang akan dibuktikan oleh si peneliti sendiri secara empiris dalam penelitian yangdilakukannya. Agar bisa membuktikan benar atau tidaknya hipotesis dari peneliti tersebut, maka sangat pengumpulan data dengan menggunakan cara yang tepat dan benar. Salahsatu proses pengumpulan data yang umum dilakukan menurut Nan Lin ada 8 tahap yangperlu dilalui, diantaranya: a. Tinjau literatur dan konsultasi dengan ahli Pengumpulan data biasanya diawali dengan mengumpulkan informasi yangberhubungan dengan masalah penelitian. Informasi-informasi tersebut dapatdiperoleh melalui peninjau literatur yang relevan dan konsultasi dengan para ahli. Melalui usaha-usaha ini peneliti berusaha memahami benar-benar isu penelitian,konsep, dan variable-variabel yang dipergunakan oleh peneliti lain dalammempelajari hal yang serupa di masa lalu, dan hipotesis-hipotesis yang pernahditeliti pada waktu lalu. Perlu juga dipahami ciri-ciri orang yang menjadi respondenkita dalam penelitian. b. Mempelajari dan melakukan pendekatan terhadap kelompok masyarakat di manadata akan dikumpulkan Maksudnya di sini adalah peneliti yang bersangkutan dapat diterima di dalam kelompok masyarakat itu dan memahami berbagai kebiasaan yang berlaku didalamnya. Untuk itu perlu dikaitkan terhadap tokoh-tokoh yang bersangkutan. c. Membina dan memanfaatkan hubungan yang baik dengan responden dan lingkungannya Maksud di sini adalah peneliti perlu mempelajari kebiasaan-kebiasaan respondennya termasuk bagaimana cara mereka berpikir, cara mereka melakukan sesuatu, Bahasa yang biasa digunakan, waktu luang mereka, dan sebagainya. d. Uji coba atau pilot study Proses pengumpulan data dapat didahului dengan uji coba instrumen penelitian pada kelompok masyarakat yang merupakan bagian dari

7 populasi yang bukan sampel. Maksud dari uji coba ini untuk mengetahui apakah instrumen tersebut cukup handal atau tidak , komunikatif, dapat dipahami, dan sebagainya. e. Merumuskan dan Menyusun pertanyaan Setelah hasil uji coba itu dipelajari, di susunlah instrumen penelitian dalam bentuknya yang terakhir berupa pertanyaan-pertanyaan yang relevan dengan tujuanpenelitian. Pertanyaan itu harus dirumuskan sedemikian rupa sehingga ia mengandung makna yang signifikan dan substantif. f. Mencatat dan memberi kode (recording and coding) Melalui instrumen penelitian yang telah dipersiapkan, dilakukan pencatatan terhadap data yang dibutuhkan dari setiap responden. Informasi-informasi yang diperoleh dari pencatatan ini diberi kode guna memudahkan proses analisis. g. Cross checking, validitas, dan reliabilitas Pada proses pengumpulan data tahap ini terdiri atas cross checking terhadap data yang masih diragukan kebenarannya, serta memeriksa validitas dan reliabilitasnya. h. Pengorganisasian dan kode ulang data yang telah terkumpul supaya dapat dianalisis. Setelah data terkumpul, saatnya mengkoordinasikan data-data yang telah terkumpul. Jika sudah, maka kamu dapat mulai menganalisis data-data tersebut. Pastikan tidak ada data yang kurang valid. 2. Teknik pengumpulan data Teknik pengumpulan data secara statistika dalam Pendidikan hanya menggunakan 2 teknik yaitu tes dan non tes a. Tes Teknik tes adalah Teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan memberikan memberikan serentetan soal atau tugas serta alat lainnya kepada subjek yang diperlukan datanya. Pengumpulan data dengan menggunakan Teknik tes dapat disebutsebagai pengukuran (measurement). Teknik semacam ini banyak digunakandalam penelitian kuantitatif. Bentuk-bentuk Teknik tes Tes kepribadian Tes bakat Tesintelegensi Tes sikap Tes minat Tes prestasi b. Non tes Teknik non tes dapat diartikan sebagai Teknik penilaian yang dilakukan tenpa menggunakan tes. Teknik non tes merupakan salah satu Teknik dalam

8 mengenali dan memahami peserta didik sebagai individu. Teknik non tes berkaitan dengan prosedur pengumpulan data untuk memahami pribadi siswa pada umumnya yang bersifat kualitatif. Teknik nontes merupakan Teknik pengumpulan data yang tidakbaku dan hasil rekayasa dari guru dan sekolah. Nontes adalah cara penilaian hasil belajar peserta didik yang dilakukan tanpa menguji peserta didik tetapi dengan melakukan pengamatan secara sistematis. Teknik penilaian ini umumnya untuk menilai kepribadian anak secara menyeluruh meliputi sikap, tingkah laku, sifat, sikap sosial, dan lainlain. Yang berhubungan dengan kegiatan belajar dalam Pendidikan, baik secara individu maupun kelompok. Bentuk-bentuk Teknik nontes Observasi (pengamatan) Teknik pengamatan atau observasi merupakan salah satu bentuk Teknik nontes yang biasa dipergunakan untuk menilai sesuatu melalui pengamatan terhadap objeknya secara langsung, sekama dan sistematis. Pengamatan memungkinkan untuk melihat dan mengamati sendiri kemudian mencatat perilaku dan kejadian yang terjadi pada keadaan sebenarnya. Menurut moleong pengamatan dapat dibedakan menjadi dua yaitu pengamatan berperan serta dan tidak berperan serta. Dalam pengamatan yang tidak berperan serta, seseorang hanya melakukan satu fungsi yaitu mengamati tetapi padapengamatan berperan serta seseorang disamping mengamati juga menjadi anggota dari objek yang diamati. Interview (wawancara) Wawancara adalah cara menghimpun bahan-bahan keterangan yang dilaksanakan dengan cara melakukan tanya jawab lisan secara sepihak, berhadapan muka, dengan arah serta tujuan yang telah ditentukan . Angket (questionnaire) Angket adalah Teknik pengumpulan data yang dilakukan dengan cara memberi seperangkat pertanyaan tertulis kepada responden untuk dijawab. Studi dokumentasi Studi dokumentasi adalah Teknik pengumpulan data dengan menghimpun dan menganalisis dokumen-dokumen, baik dokumen tertulis, gambar maupun elektronik.

9 BAB III PENYAJIAN DATA A. Struktur Tabel Statistik Sebuah tabel yang formal umumnya terdiri dari beberapa bagian seperti yang terlihat pada skema di bawah ini. Tabel statistik yang baik dan efisien harus bersifat sederhana dan jelas. Nama (titel), nama kolom dan nama kompartemen harus diusahakan agar jelas dan singkat. 1. Nama/titel dan identifikasi Tabel yang baik harus memiliki nama (titel) dan nama tersebut harus diletakkan di atas tabel. Nama tabel harus jelas dan singkat, jika tidak maka yang utamaadalahke sederhanaan sedangkan catatan-catatan tambahan dapat diberikan dalam catatan di bawah tabel. Umumnya susunan redaksi nama harus menggambarkan tentang ciri-ciri data yang terdapat dalam tabel. 2. Catatan pendahuluan (prefatory note) dan catatan di bawah tabel (foot-note) Catatan pendahuluan dan catatan yang terdapat di bawah tabel sebetulnya merupakan bagian yang integral dari sebuah tabel. Catatan pendahuluan biasanya di simpan langsung di bawah nama tabel dalam bentuk yang kurang menonjol di bandingkan dengan nama tabel. 3. Sumber data Sumber data, umumnya di tempatkan langsung di bawah tabel setelah catatan. Sumber data harus di usahakan selengkap mungkin, berisi keterangan penulis, nama buku, jilid dan halaman buku, penerbit, dan lain-lain yang tidakmeragukan. Jika data di ambil dari data sekunder, sumber primer serta sumber sekundernya harus disebutkan secara lengkap. 4. Presentase Bila angka presentase di gunakan dalam tabel, maka pos-pos keterangan dalam kompartemen tabel harus rinci dan jelas. Istilah ‘presentase’ yang meragukan dapat dihindari, misalnya dengan menggunakan istilah ‘presentase dari jumlah’, ‘presentase dari pertambahan atau penurunan’, dan sebagai berikut. 5. Jumlah Jika jumlah angka merupakan hal yang penting, maka jumlah tersebut harus diletakkan pada sisi atas dalam kompartemen tabel atau sisi kiri dalam nama kolom. Cara lain adalah dengan menuliskannya dalam huruf tebal. Jika dianggap tidak penting maka dapat diletakkan di bawah kompartemen atau pada sisi kanan nama kolom.

10 6. Unit Unit pengukuran angka-angka yang terdapat dalam kolom tabel harus jelas dan tidak meragukan. Jika tidak, maka ciri-ciri unit pengukurannya harus di jelaskan dalam nama kompartemen atau nama kolom. 7. Bentuk Tabel Tabel sebaiknya jangan terlalu panjang atau terlalu pendek, tetapi di sesuaikan dengan ruang laporan dimana tabel diletakkan. a. Tabel mendatar Lebarnya kompartemen tabel, yang ditentukan oleh pos-pos keterangan yang terpanjang. Lebarnya tiap kolom, yang ditentukan oleh jumlah angka yang terbesar. Cara mengatur spasi kata-kata. Cara mengatur tepi. b. Tabel vertikal Ruang yang di butuhkan bagi nama, catatan pendahuluan, catatan yang terdapat di bawah tabel dan sumber data. Jumlah baris yang terdapat dalam tubuh tabel. Cara mengatur spasi kata-kata dan mengatur tepi. B. Diagram/ Grafik 1. Fungsi Grafik Statitik Data statistik dapat disajikan dalam bentuk tabel atau grafik. Penyajian data dalam bentuk grafik umumnya lebih menarik perhatian dan mengesankan. Penyajian data statistik secara grafis mempunyai berbagai fungsi. Grafik atau diagram seringkali di gunakan dalam iklan dengan maksud agar konsumen memperoleh kesan yang mendalam terhadap ciri-ciri produk yang di iklankan. 2. Jenis Grafik Statistik a. Diagram Grafis Diagram garis sering disebut juga peta garis (line chart) atau kurva (curve), merupakan bentuk penyajian yang paling banyak dipakai dalam berbagai laporan perusahaan maupun penelitian ilmiah.

11 Poligon Frekuensi Diagram Ogive dibuat dengan menghubungkan antara batas kelas interval dengan frekuensi kumulatif (jumlah frekuensi; lebih dari atau kurang dari batas kelas interval). b. Peta balok/diagram batang (bar chart) Diagram ini digunakan untuk memahami persoalan secara visual. Dalam diagram batang, lebar kelas diambil dari selang kelas distribusi frekuensi, sedangkan frekuensi masing-masing kelas ditunjukkan oleh tinggi batang. Diagram Batang Sementara itu, diagram histogram berbeda dengan diagram batang dalam hal lebar, yaitu batang digunakan batas kelas dan bukan limit kelasnya. Ini untuk menghilangkan jeda antar batang sehingga antar batang memberikan kesan “padat”. Diagram Histogram c. Diagram Lingkar (pie diagram) Diagram lingkaran biasanya digunakan untuk menyatakan perbandingan jika data terdiri atas beberapa kelompok atau kategori. Misal persentase penduduk di Wilayah DI Yogyakarta.

12 Diagram Lingkaran 3. Peraturan Umum Tentang Menggambar Grafik a. Pemilihan jenis grafik Grafik yang baik harus bersifat sederhana dan jelas. Pemilihan jenis grafik yang akan di sajikan oleh pembuat laporan tidak dapat semata-mata di serahkan pada kebijakan penggambar grafik, kecuali bila pembuat laporan yakin bahwa penggambar memiliki pengetahuan yang baik tentang data yang disajikan, tujuan penyajian, dan kemampuan pembaca dalam menarik kesimpulan dari grafik. b. Nama (titel), skala sumbu, sumber dan catatan Kegunaan serta pengaturan nama, sumber dan catatan dalam sebuah tabel berlaku juga untuk grafik statistik. Nama grafik dapat diletakkan di atas atau di bawah gambar grafik. Meski demikian banyak statistisi berpendapat bahwa peletakan nama di atas grafik akan lebih efektif jika dibandingkan dengan di bawah grafik. Skala horizontal dan vertical dalam peta garis, diagram kolom, dan peta balok sebenarnya memiliki kesamaan dalam arti dengan nama kolom dan kompartemen dalam tabel statistik. c. Skala dan garis kisi-kisi Jarak yang sama pada skala grafik sebenarnya menyatakan jarak nilai yang sama pula. Nilai skala bertujuan memberi gambaran yang aproksimatif tentang jumlah kuantitatif, sedangkan jumlah yang eksak dan rinci secara seksama harus di baca dari tabel statistiknya. Garis kisi-kisi harus di gambarkan secara lebih tipis dari pada garis skalanya. Peta garis umumnya memiliki garis kisi-kisi baik yang bersifat mendatar maupun vertikal. Peta kolom hanya membutuhkan garis kisi-kisi yang mendatar. Peta balok mendatar membutuhkan garis kisi-kisi vertikal. Pada beberapa penyajian grafik, garis kisi-kisi demikian dapat juga tidak di gambarkan sama sekali atau hanya di gambarkan secara sebagian saja.

13 d. Pemberian tekanan pada penggambaran grafik Penekanan tentang suatu peristiwa yang tertentu dalam penyajian grafik dapat dilakukan dengan cara memberi warna yang berbeda, tanda silang, atau garis yang berbeda. Garis dalam peta yang sama juga dapat di bedakan dengan menggunakan warna yang berbeda, garis terputus-putus, garis padat (solid line) atau garis tebal. Garis padat lebih member tekanan dari pada garis terputus-putus, sedangkan garis tebal lebih menarik perhatian dari pada garis yang tipis. C. Data Tunggal 1. Pengertian Data Tunggal,yaitu data yang disusun sendiri menurut nilai dan besarnya masing – masing. Disebut data tunggal karena banyaknya data ditaksir tidak akan melebihi 30 data sehingga tidak perlu menggunakan tabel distribusi frekuensi. Tentusaja, perhitungan ukuran pemusatan datanya (mean, median, modus, dan lain – lain) akan jauh lebih simple daripada data yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi. 2. Rerata (Mean) Rerata merupakan konsep secara awam mengenai rata-rata. Merupakan titik berat dari seperangkat data atau observasi sensitif terhadap nilai ekstrim. Digunakan terutama bila teknik statistik lain, seperti pengujian hipotesis akan dilakukan pada data. Untuk data tunggal, maka mean yang digunakan yaitu : ̅ ∑ ∑ Dimana : ̅ ∑ 3. Median Median merupakan nilai tengah dari sekelompok data yang nilai tiap observasi telah disusun dari yang terkecil ke terbesar. Tidak sensitif terhadap nilai ekstrim. Median digunakan untuk mengukur pemusatan kalau distribusi

14 mencong (skewed) secara jelas. Untuk data tunggal, maka mean yang digunakan yaitu : a. Bila jumlah observasi( )ganjil, maka median adalah nilai observasi ke dari urutan nilai observasi kecil ke besar. Contoh : 5, 4, 5, 6, 7, 1, 5, 3, 4, 6, 9. Tentukan median Urutkan data : 1, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7, 9 Median( ) b. Bila banyaknya observasi( ) genap, maka median adalah nilai di antara observasi ke : dan , diambil rata-rata. Contoh : 1,3,4,4,5,5,5,6,6,7 4. Modus (Mode) Modus merupakan nilai yang paling sering muncul (frekuensi terbesar) dari seperangkat data atau observasi. Mencerminkan yang paling tipikal atau kasus yang paling umum. Kalau kita ingin segera mengetahui nilai pemusatan, maka kita menghitung modus. Seperangkat data dapat saja tidak memiliki modus, tetapi sebaliknya dapat pula memiliki beberapa modus. Kalau satu modus saja disebut uni modal, dua modus disebut bimodal dan kalau tanpa modus disebut non modal.Untuk data tunggal, maka mean yang digunakan yaitu: Modus (crude mode) nilai yang paling sering muncul Contoh 5. Contoh Perhitungan Data Tunggal Berikut ini data mengenai lama perawatan sepuluh penderita yang dirawat di bangsal perawatan Psikiatri dari suatu rumah sakit : Pasian ke Lama Perawatan (hari) Pasienke Lama Perawatan (hari) 1 29 6 14 2 14 7 28 3 11 8 14

15 4 24 9 18 5 14 10 22 Hitung : rerata, median, modul lama perawatan dari pasien-pasien ini ! Rata-rata ̅ ∑ ̅ hari Median Urutan nilai observasi adalah sebagai berikut : 11; 14; 14; 14; 18; 22; 24; 28; 29 Karena banyaknya observasi genap, maka median merupakan rata-rata nilai dari observasi ke dan Jadi, median hari Modus Oleh karena 14 hari adalah nilai yang paling sering muncul, maka modus adalah 14 hari. D. Ukuran Letak Agar kita dapat mengetahui lebih jauh mengenai karakteristik data observasi dengan beberapa ukuran sentral, kita sebaiknya mengetahui beberapa ukuran lain, yaitu ukuran letak. Ada tiga macam ukuran letak yang akan di bahas pada bagian ini, yaitu Kuartil, Desil, dan Persentil. 1. Kuartil Kuartil adalah ukuran letak yang membagi data observasi menjadi empat bagian yang sama banyak. Oleh karena itu masing-masing bagian mengandung 25% data observasi. Pada satu set data observasi mempunyai tiga buah kuartil, yaitu Untuk menentukan nilai kuartil data observasi yang tidak berkelompok (ungrouped data) melalui langkah-langkah sebagai berikut ini : a. Urutkan data observasi dari kecil ke besar b. Tentukan letak kuartilnya, menentukan letak dapat digunakan formulasi sebagai berikut : Letak Letak ( ) Letak ( ) Tentukan nilai kuartilnya

16 c. Nilai adalah data observasi yang terletak pada letak Contoh kasus : Berikut ini adalah data mengenai nilai 7 orang peserta ujian Statistik di UMB Yogyakarta : 78, 56, 66, 48, 80, 70, 76 Tentukan Jawab : Untuk menentukan maka langkah-langkah yang digunakan adalah sebagai berikut : a. Urutkan nilai tersebut dari kecil ke besar 48, 56, 66, 79. 76, 78, 78, 80 b. Tentukan letak dengan formula Letak Letak ( ) Letak ( ) Jadi letak pada urutan data ke 2, letak pada urutan data ke 4, dan letak pada urutan data ke 6 c. Tentukan nilai No Urut 1 2 3 4 5 6 7 Nilai 48 56 66 70 76 78 80 Nilai adalah juga merupakan median dari nilai peserta ujian tersebut. Apabila banyaknya data observasi menunjukkan bilangan genap, maka median terletak di antara dua nomor urut. 2. Desil Desil adalah ukuran letak yang membagi data observasi menjadi sepuluh bagian yang sama banyak. Oleh karena itu masing-masing bagian mengandung 10% data observasi. Pada satu set data observasi mempunyai Sembilan buah desil, yaitu , ,…, Untuk data tunggal, jika banyak data n dan Di adalah desil ke-i, maka letak data ke ( ) dengan Contoh : Tentukan dan dari 6,4,6,4,7,5,6,5,8,7,7,7,8,6 Penyelesaian :

17 Data diurutkan menjadi ; 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8 Data 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 7 8 8 Data ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Letak ( ) Letak ( ) Dengan interpolasi diperoleh : ( ) ( ) Letak ( ) Dengan interpolasi di peroleh : ( ) ( ) 3. Persentil Persentil adalah ukuran letak yang membagi data observasi menjadi seratus bagian yang sama besar. Oleh karena itu masing-masing bagian mengandung 1 % data observasi. Pada satu set data observasi mempunyai 99 persentil, yaitu : , ,…, Persentil data tunggal maka : Letak data ke ( ) dengan Contoh : Tentukan dan dari 6,4,6,4,7,5,6,5,9,7,10,7,10,6 Penyelesaian : Data diurutkan menjadi ; 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 10 Data 4 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 9 10 10 Data ke- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Letak ( ) Letak ( )

18 Dengan interpolasi diperoleh : ( ) ( ) Letak ( ) Dengan interpolasi diperoleh : ( ) ( ) E. Penyajian Data Majemuk 1. Pengertian Data berkelompok adalah cara penyajian data yang menggunakan tabel distribusi frekuensi dimana data tersebut di kelompokkan kedalam interval tertentu. Atau dapat dikatakan bahwa data berkelompok adalah data yang disajikan menjadi beberapa kelompok dengan rentang dan Panjang kelas yang tetap. Penyajian data kelompok dapat disajikan dalam berbagai bentuk. Data berkelompok biasanya diberikan dalam tabel data kelompok. Adapun penjelasan dari tiap-tiap bentuk penyajian data kelompok sebagai berikut: a. Tabel Distribusi Frekuensi Distribusi Frekuensi Bergolong Tabel distribusi frekuensi bergolong biasa digunakan untuk menyusun data yang memiliki kuantitas yang besar dengan mengelompokkan kedalam interval-interval kelas yang sama panjang. Menurut Viska (2012), langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi adalah : 1) Urutkan dahulu data, dari data yang terkecil sampai terbesar. Temukan data terkecil dan data terbesarnya. 2) Hitung Jarak atau Rentangan (R) 3) Hitung Jumlah Kelas (K) dengan aturan Sturges 4) Hitung Panjang Kelas Interval (P) 5) Tentukan Batas data terendah atau ujung bawah interval kelas pertama, lalu hitung kelas intervalnya dengan cara: : ℎ ∶ , n = jumlah datanya ∶ () ℎ ( ⬚ ⬚ ⬚ ⬚

19 6) Jika sudah, lalu buat tabelnya dengan cara memasukkan nilai interval kelas yang sudah dihitung pada langkah ke-5, dan cari berapa banyak data atau nilai yang sesuai dengan interval kelas tersebut, lalu banyaknya data atau nilai tersebut dimasukkan ke dalam kolom Frekuensi. Contoh : Hasil Tugas Matematika dari 40 siswa kelas XI ,berikut ini: 66 75 74 72 79 78 75 75 79 71 75 76 74 73 71 72 74 74 71 70 74 77 73 73 70 74 72 72 80 70 73 67 72 72 75 74 74 68 69 80 Dari data hasil tugas siswa kelas XI, dapat disajikan sebagai berikut : Hasil Tugas Titik Tengah Turus Frekuensi 65-67 66 2 68-70 69 |||| 5 71-73 72 |||| |||| ||| 13 74-76 75 |||| |||| |||| 14 77-79 78 |||| 4 80-82 81 || 2 Jumlah 40 Menurut Hernadi (2009), beberapa istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi frekuensi bergolong antara lain: 1) Interval Kelas Interval kelas adalah interval yang diberikan untuk menetapkan kelas-kelas dalam distribusi. Pada tabel hasil tugas siswa di atas, interval kelasnya adalah 65-67, 68-70, 71-73, 74-76, 77-79, 80-82. Interval kelas 65-67 secara matematis merupakan interval tertutup [66, 68], memuat semua bilangan dari 66 sampai dengan 68 sejalan dengan hal itu, interval 65-67 disebut interval kelas pertama, interval 68-70 disebut interval kelas kedua dan seterusnya (Soedyarto dan Maryanto, 2008:13). ( ℎ )

20 2) Batas Kelas Batas kelas adalah bilangan terkecil dan terbesar yang masuk dalam kelas interval tertentu. Berdasarkan tabel distribusi frekuensi di atas, angka 65, 68, 71, 74, 77, dan 80 merupakan batas bawah dari tiaptiap kelas, sedangkan yang merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas ditunjukkan oleh angka 67, 70, 73, 76, 79, 82. 3) Tepi Kelas (Batas Nyata Kelas) Untuk mencari tepi kelas menurut Soedyarto dan Maryanto (2009:13) dapat menggunakan rumus : Dari tabel distribusi frekuensi di atas, maka tepi bawah kelas pertama 64.5 dan tepi atas kelas kedua 67.5, tepi bawah kelas kedua 67.5, dan tepi atasnya 70.5, dan seterusnya. 4) Lebar Interval Kelas Untuk mencari lebar interval kelas menurut dapat menggunakan rumus berikut ini (Soedyarto dan Maryanto, 2008:13) Jadi, lebar interval kelasdari tabel distribusi frekuensi di atas adalah 67.5 – 64.5 = 3 5) Titik Tengah Untuk mencari titik tengah dapat di pakai rumus: Dari tabel diatas : Titik tengah kelas pertama ( ) Titik tengah kelas kedua ( ) , dan seterusnya Distribusi Frekuensi Kumulatif Distribusi Frekuensi Kumulatif ada 2 macam yaitu: distribusi kumulatif kurang dari dan lebih dari. Contoh Soal : Buatlah daftar frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari data hasil ulangan harian siswa kelas XI pada soal distribusi frekuensi bergolong. Jawab : Tepi Bawah = Batas bawah – 0,5 Tepi Atas = Batas atas – 0,5 Lebar Kelas = Tepi Atas – Tepi Bawah Titik Tengah = ( ℎ)

21 Hasil Tugas Frekuensi Tepi Bawah Tepi Atas 65-67 2 64,5 67,5 68-70 5 67,5 70,5 71-73 13 70,5 73,5 74-76 14 73,5 76,5 77-79 4 76,5 79,5 80-82 2 79,5 82,5 Dari tabel diatas, dapat dibuat daftar frekuensi kumulatif kurang dan lebih dari sebagai berikut: Hasil Tugas Frekuensi Kumulatif Kurang Dari 2 7 20 34 38 40 b. Histogram (Diagram Batang) Dalam konteks statistic, histogram merupakan representasi grafik yang menunjukkan impresi visual dari distribusi sekelompok data. Histogram frekuensi data adalah grafik yang berbentuk seperti diagram batang tetapi tidak memiliki jarak antar diagram di sebelahnya (berhimpit) Contoh : Buatlah histogram dari data hasil ulangan harian siswa kelas XI pada soal distribusi frekuensi bergolong. Jawab : Hasil Tugas Frekuensi 65-67 2 Hasil Tugas Frekuensi Kumulatif Kurang Dari 40 38 33 20 6 2

22 68-70 5 71-73 13 74-76 14 77-79 4 80-82 2 Maka Histogram Hasil Tugas Mahasiswa 40 siswa kelas XI adalah : Ada beberapa hal yang harus diperhatikan menurut Ryena(2009), dalam membuat histogram yaitu: Terdapat dua sumbu, yaitu sumbu mendatar dan sumbu tegak. Terdapat dua sumbu, yaitu sumbu mendatar dan sumbu tegak. Sumbu tegak memuat frekuensi masing-masing kelas interval. Sumbu mendatar berisi setiap interval data dari tabel distribusi frekuensi. Untuk setiap interval, pada sumbu mendatar dibatasi oleh tepiatas dan tepi bawah. Pada tepi atas dan tepi bawah ditarik garis keatas sampai menunjukkan bilangan yang sesuai dengan frekuensi pada sumbu tegak. Selanjutnya kedua ujungnya di hubungkan, sehingga akan terbentuk sebuah batang yang berupa persegi panjang. Karena garis tegak lurus ditarik dari tepi atas dan tepi bawah setiap interval, maka diperoleh gambar persegi panjang-persegi panjang yang saling berimpit pada salah satu sisinya. Lebar setiap batang harus sama antar satu dengan yang lain, termasuk warna atau corak arsirannya. Di bagian atas setiap batang diberikan bilangan yang menunjukkan frekuensi. c. Poligon Poligon atau segi banyak adalah bangun datar yang digambarkan dengan jumlah terhingga dari garis lurus yang terhubung, sehingga

23 membentuk sebuah rantai poligonal (atau sirkuit poligonal) yang tertutup. Poligon adalah garis yang menghubungkan titik tengah puncak. Pada poligon terdapat 2 macam poligon, sebagai berikut : Poligon Frekuensi Apabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batang-batangnya dihapus, maka akan diperoleh poligon frekuensi. Contoh : Buatlah poligondari data hasil ulangan harian siswa kelas XI pada soal distribusi frekuensi bergolong. Jawab : Histogram dan Poligon frekuensi Hasil Tugas Matematika 40 Siswa Kelas XI Poligon Frekuensi Kumulatif Dari distribusi frekuensi kumulatif dapat dibuat grafik garis yang disebut poligon frekuensi kumulatif .jika polygon frekuensi kumulatif dihaluskan, diperoleh kurva yang disebut kurva ogive. Soedyarto dan Maryanto (2009:16)

24 Daftar distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari dapat di selesaikan dalam bidang Cartesius. Tepi atas atau tepi bawah diletakkan pada sumbu X sedangkan frekuensi kumulatif kurang dari atau frekuensi kumulatif lebih dari diletakkan pada sumbu Y. Apabila titik-titik yang diperlukan dihubungkan, maka terbentuk kurva yang disebut ogive. Ogive adalah grafik berbentuk kurva mulus yang di peroleh dengan menghubungkan titik-titik tepi kelas dan frekuensi kumulatif. Ogive ada dua yaitu ogive negatif dan ogive positif. Ogive negatif adalah kurva frekuensi kumulatif lebih dari tepi bawah kelas. Sedangkan ogive positif adalah kurva kumulatif kurang dari tepi atas kelas. Macam-macam kurva ogive : 1) Ogive naik Ogive akan naik, apabila grafik di susun berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Ogive naik dari daftar frekuensi kumulatif kurang dari di atas adalah sebagai berikut : 2) Ogive turun Ogive akan turun, apabila grafik di susun berdasarkan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Ogive turun dari daftar frekuensi kumulatif lebih dari di atas adalah sebagai berikut:

25 BAB IV UKURAN PEMUSATAN DATA A. Data Tunggal Statistika data tunggal bisa didefinisikan sebagai sebuah metode atau cara untuk menghitung data ringkasan berbentuk angka menurut nilai dan besarnya masing masing. Pada statistik data tunggal, ada 9 istilah yang harus kalian pahami. Kesembilan istilah tersebut adalah mean (rataan hitung), modus, median, jangkauan, kuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam, dan simpangan baku. 1. Mean (Rata-Rata) Mean atau disebut juga sebagai rata-rata atau rataan hitung merupakan rata-rata nilai hasil hitung. Maksudnya adalah nilai rata-rata yang muncul apabila seluruh data dijumlahkan dan dibagi sama rata sesuai jumlah data yang ada. Contoh: Misalnya kamu memiliki 5 data yang terdiri atas angka-angka sebagai berikut: 6, 9, 3, 5, 2 Maka, mean atau rata-ratanya adalah: Nilai rata-rata ada banyak macamnya, yaitu, rata-rata hitung (aritmatik), ratarata ukur (geometri), rata-rata harmoni, dan lain-lain. a. Rata-rata Hitung (Aritmatika) Rumus Rata-Rata Hitung (Aritmatika)

26 atau jika pakai notasi Sigma menjadi Keterangan: = rata-rata hitung = data x ke-i = jumlah data Penghitungan rata-rata hitung dilakukan dengan menjumlahkan seluruh nilai data suatu kelompok data, kemudian dibagi dengan jumlah data tersebut. Contoh Soal dan Pembahasan Berapa rata-rata hitung dari data ini 83, 77, 93, 67, dan 80? Jadi nilai rata-rata hitung data tersebut adalah 80 b. Rata-rata Ukur (Geometri) Rumus rata-rata ukur (geometri): atau jika pakai notasi Product menjadi Keterangan: = rata-rata ukur = data x ke-i = jumlah data Penghitungan rata-rata ukur (geometri) dengan cara mengalikan semua data dalam suatu kelompok data, kemudian diakarpangkatkan dengan jumlah data tersebut. Contoh Soal dan Pembahasan Berapa nilai ukur dari data ini 8, 11, 13, 6, dan 4? Jadi, rata-rata ukur dari data tersebut adalah 7,72 c. Rata-rata Harmoni Rumus rata-rata harmonik: atau jika pakai notasi sigma adalah Keterangan:

27 = rata-rata hitung = data x ke-i = jumlah data Penghitungan rata-rata harmonik dengan cara mengubah semua data menjadi pecahan, dimana nilai data dijadikan sebagai penyebut dan pembilangnya adalah satu, kemudian semua pecahan tersebut dijumlahkan dan selanjutnya dijadikan sebagai pembagi jumlah data. Rata-rata harmonik sering disebut juga dengan kebalikan dari rata-rata hitung. Contoh Soal dan Pembahasa Tentukan rata-rata harmoni dari data 9, 6, 3, 7, dan 8 Jadi, rata-rata harmoni data tersebut adalah 5,68 2. Modus Modus dalam statistika adalah data yang paling sering muncul atau data yang memiliki frekuensi terbesar di antara data-data lainnya. Contoh: Diberikan data tunggal berikut 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 5 Maka, modusnya adalah 9, karena 9 merupakan data yang paling sering muncul, dengan frekuensi sebesar 5. 3. Median Median itu adalah nilai tengah. Untuk menentukan median, ada 2 kasus yang harus diperhatikan. Kasus pertama adalah median untuk data ganjil dan kasus kedua adalah untuk data genap. Kenapa dibagi 2 kasus? Karena rumus yang dipakai untuk menghitungnya itu berbeda. Contoh: Median dari data tunggal 7, 6, 5, 3, 4, 2, 7, 6, 7 adalah…

28 Karena n data tersebut adalah ganjil, yaitu 9, maka kita menggunakan rumus median untuk n ganjil. Seperti berikut ini: 4. Hubungan Antara Rata-rata, Median, dan Modus a. Jika rata-rata, median dan modus memiliki nilai yang sama, maka nilai ratarata, median dan modus akan terletak pada satu titik dalam kurva distribusi frekuensi. Kurva distribusi frekuensi tersebut akan terbentuk simetris. b. Jika rata-rata lebih besar dari median, dan median lebih besar dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kanan, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kiri. Kurva distribusi frekuensi yang terbentuk adalah menceng kanan atau kemencengan positif. c. Jika rata-rata lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka pada kurva distribusi frekuensi, nilai rata-rata akan terletak di sebelah kiri, sedangkan median terletak di tengahnya dan modus di sebelah kanan. Kurva distribusi frekuensi yang terbentuk adalah menceng kiri atau kemencengan negatif. d. Jika kurva distribusi frekuensi tidak simetris (menceng ke kiri atau ke kanan), maka biasanya akan berlaku hubungan antara rata-rata median dan modus sebagai berikut. Rata-rata – Modus = 3 (Rata-rata – Median) B. Ukuran Pemusatan Data Ukuran pemusatan data adalah suatu ukuran yang menggambarkan pusat dari kumpulan data yang bisa mewakilinya. Mean, Median, Modus samasama merupakan ukuran pemusatan data yang termasuk kedalam analisis statistika deskriptif. Data Berkelompok Data berkelompok adalah data yang telah digolongkan dalam distribusi frekuensi. Data berkelompok disajikan dalam bentuk tabel yang terdiri dari beberapa

29 kelas. Yang dimaksud dengan kelas di sini adalah suatu bagian/elemen dari tabel yang menunjukkan jumlah data yang berada pada suatu rentang tertentu. Nomor Fi 10-14 3 15-19 6 20-24 9 Formula Pemusatan Data Berkelompok 1. Mean Perhitungan rata-rata (mean) di dapat dari jumlah nilai seluruh data di bagi dengan banyaknya data. Ini bisa dilakukan baik untuk data tunggal maupun data berkelompok. Perhitungan rata-rata ( ҧ) untuk data berkelompok menggunakan rumus sebagai berikut : ̅ ∑ ∑ Keterangan = nilai-nilai pengamatan yang diwakili dengan nilai tengah kelas = frekuensi relatif tiap kelas interval ∑ = n = jumlah subjek Contoh Soal Mean Data Berkelompok Hasil ujian mahasiswa Teknik Informatika yang berjumlah 54 orang telah diolah dan disajikan dalam tabel di bawah ini : No. Kategori Nilai 1 48-52 2 2 43-57 3 3 58-62 4 4 63-67 9 5 68-72 10 6 73-77 12 7 78-82 7 8 83-87 2

30 9 88-92 3 10 93-97 1 Berapakah nilai Mean dari data tersebut ? Penyelesaian : a. Kita buat kolom sebagai bantuan, yaitu nilai tengah dari kategori nilai b. Kita buat juga kolom sebagai bantuan, yaitu nilai hasil kali dengan No. Kategori Nilai 1 48-52 50 2 100 2 43-57 55 3 165 3 58-62 60 4 300 4 63-67 65 9 585 5 68-72 70 10 700 6 73-77 75 12 900 7 78-82 80 7 560 8 83-87 85 2 170 9 88-92 90 3 270 10 93-97 95 1 95 ∑ = n =54 ∑ = n =3485 2. Modus Modus dapat dipahami sebagai nilai yang sering muncul atau suatu kelompok nilai yang memiliki frekuensi relatif terbesar. Perhitungan modus ( ) untuk data berkelompok menggunakan rumus sebagai berikut : Mo = Keterangan : = frekuensi relatif kelas modus dikurangi frekueinsi relatif kelas sebelumnya = frekuensi relatif kelas modus dikurangi frekueinsi relatif kelas berikutnya = tepi bawah = ( BB – 0,5 ) = interval/panjang kelas = (BA – BB) + 1 Contoh Soal Modus Data Berkelompok

31 Hasil ujian mahasiswa Teknik Informatika yang berjumlah 54 orang telah diolah dan disajikan dalam tabel di bawah ini : No. Kategori Nilai 1 48-52 2 2 43-57 3 3 58-62 4 4 63-67 9 5 68-72 10 6 73-77 12 7 78-82 7 8 83-87 2 9 88-92 3 10 93-97 1 Berapakah nilai Modus dari data tersebut ? Penyelesaian : a. Kita tentukan kelas Modus dengan memilih kelas yang memiliki frekuensi relatif terbesar b. Kita tentukan tepi bawah dari nilai minimum kelas Modus No. Kategori Nilai 1 48-52 2 2 43-57 3 3 58-62 4 4 63-67 9 5 68-72 10 6 73-77 12 7 78-82 7 8 83-87 2 9 88-92 3 10 93-97 1

32 = kelas modus Tepi bawah = = BB Kelas Modus – 0,5 = 73 – 0,5 = 72,5 Kita tentukan nilai interval Interval = C = ( BA – BB ) +1 = ( 77 – 73 ) + 1 = 5 Kita tentukan nilai dengan menghitung selisih fi kelas Modus dengan nilai kelas sebelumnya = ( Modus ) - ( Modus – 1 ) = 12 – 10 = 2 Kita tentukan nilai dengan menghitung selisih kelas Modus dengan nilai kelas setelahnya 5. Menghitung Modus dengan rumus Modus untuk data berkelompok = ( Modus ) - ( Modus + 1 ) = 12 – 7 = 5 Menghitung Modus dengan rumus Modus untuk data berkelompok Mo = = = ( ) = ( ) = = 73,92 = 74 3. Median Median adalah nilai yang persis berada di tengah jika suatu angkatan data diurutkan dari nilai terkecil / terendah sampai terbesar / tertinggi atau sebaliknya. Perhitungan median juga menggunakan teknik yang berbeda antara data tak berkelompok/tunggal dengan data berkelompok atau bergolong. Untuk data berkelompok menentukan mediannya ( ) diawali dengan menentukan kelas median, kemudian menentukan median kelas tersebut dengan persamaan berikut : Me =

33 Keterangan : n = jumlah individu frekuensi = frekuensi relatif kelas median = frekuensi kumulatif sebelum kelas yang dimaksud = tepi bawah = ( BB – 0,5 ) = interval/panjang kelas = (BA – BB) + 1 Contoh Soal Median Data Berkelompok Hasil ujian mahasiswa Teknik Informatika yang berjumlah 54 orang telah diolah dan disajikan dalam tabel di bawah ini : No. Kategori Nilai 1 48-52 2 2 43-57 3 3 58-62 4 4 63-67 9 5 68-72 10 6 73-77 12 7 78-82 7 8 83-87 2 9 88-92 3 10 93-97 1 Berapakah nilai Median dari data tersebut ? Penyelesaian : a. Kita buat kolom F sebagai bantuan, yaitu nilai frekuensi kumulatif b. Kita tentukan kelas median berdasarkan frekuensi kumulatif dari setengah jumlah data No. Kategori Nilai 1 48-52 2 2 43-57 3

34 3 58-62 4 4 63-67 9 5 68-72 10 6 73-77 12 7 78-82 7 8 83-87 2 9 88-92 3 10 93-97 1 No. Kategori Nilai 1 48-52 2 2 2 43-57 3 5 3 58-62 5 10 4 63-67 9 19 5 68-72 10 29 6 73-77 12 41 7 78-82 7 48 8 83-87 2 50 9 88-92 3 53 10 93-97 1 54 Karena data ke 27 ada di kelas ke 5 ( 29 ), maka kita tentukan kelas median adalah kelas ke 5 a. Kita tentukan nilai tepi bawah dari nilai minimum kelas median b. Kita tentukan nilai interval No. Kategori Nilai 1 48-52 2 2 2 43-57 3 5

35 3 58-62 4 10 4 63-67 9 19 5 68-72 10 29 6 73-77 12 41 7 78-82 7 48 8 83-87 2 50 9 88-92 3 53 10 93-97 1 54 Tepi bawah = = BB Kelas Median – 0,5 = 68 – 0,5 = 67,5 Interval = C = ( BA – BB ) +1 = ( 72 – 68 ) + 1 = 5 a. Kita tentukan nilai frekuensi kumulatif F b. Kita tentukan frekuensi relatif ( ) dari kelas median No. Kategori Nilai 1 48-52 2 2 2 43-57 3 5 3 58-62 4 10 4 63-67 9 19 5 68-72 10 29 6 73-77 12 41 7 78-82 7 48 8 83-87 2 50 9 88-92 3 53 10 93-97 1 54 Karena kelas Median adalah kelas ke 5, maka kita gunakan nilai F dengan nilai frekuensi kumulatif sebelum kelas Median ( nilai F sebelum F kelas Median)

36 Kita hitung median ( Me ) dengan menggunakan rumus Median untuk data berkelompok Me = ( ) ( ) ( )

37 BAB V UKURAN PENYEBARAN DATA (DISPERSI DATA) Pada dasarnya dalam ilmu Statistika, berkaitan dengan hal-hal tentang ukuran penyebaran data. Ukuran penyebaran data (ukuran dispersi data) adalah ukuran yang menjelaskan tentang sebuah penyebaran data sampai seberapa jauhnya, hingga dapat diperoleh rata-rata tertentu. Adapun definisi sederhananya yaitu ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai pada data terhadap nilai-nilai pusatnya. Ukuran penyebaran data (dispersi data) terdiri dari jangkauan data, jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, simpangan rata-rata, ragam (varians), dan simpangan baku. A. Jangkauan Data Jangkauan (range) data adalah selisih antara data nilai yang terbesar dengan data nilai yang terkecil. Jagkauan data atau rentang data digunakan dalam persebaran data. Rumus untuk menentukan jangkauan (range) sebagai berikut. Dimana : J = Jangkauan (range) = Nilai data yang terbesar = Nilai data yang terkecil Persebaran data akan semakin besar jika nilai jangkauan datanya juga semakin besar. Untuk itu, cara menghitung jangkauan (range) sangat diperlukan untuk menentukan persebaran data. Contoh Soal 4.1 Dari data yang diberikan di bawah ini, hitunglah jangkauan datanya! 20, 21, 19, 17, 20, 21, 23, 24, 25, 20, 21, 19, 16, 20, 21, 23, 24, 26 Penyelesaian : Data terbesar ( ) adalah 26 dan data terkecil ( ) adalah 16. Dengan demikian, jangkauan atau rentangnya adalah B. Sistem Kuartil 1. Jangkauan Antarkuartil (Interquartile Range) atau Nilai Jarak Antarkuartil Jangkauan antarkuartil (Interquartile range) adalah ukuran variabilitas data berdasarkan pada membagi kumpulan data menjadi nilai kuartil. Nilai kuartil terdiri dari kuartil bawah ( ), kuartil tengah ( ), dan kuartil atas ( ).

38 Nilai jarak antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil ketiga ( ) dengan kuartil pertama ( ). Formula untuk menentukan jangkauan antarkuartil adalah selisih antara nilai kuartil atas dengan nilai kuartil bawah. Dimana : IQR = Interquartile range = Kuartil ketiga (kuartil atas) = Kuartil pertama (kuartil bawah) Contoh Soal 1 Tentukan jangkauan antarkuartil dari kumpulan data nilai Bahasa Inggris siswa berikut ini: 85, 86, 88, 76, 75, 72, 75, 80, 85, 72, 70, 68, 65, 68, 65 Penyelesaian: Langkah 1 : Mengurutkan nilai dari yang terkecil hingga yang terbesar. 65, 65, 68, 68, 70, 72, 72, 75, 75, 76, 80, 85, 85, 86, 88 Dapat kita ketahui bahwa n = 15. Langkah 2 : Menentukan nilai kuartil pertama dan kuartil ketiga . Langkah 3 : Menentukan nilai jangkauan antarkuartil. 2. Simpangan Kuartil (Quartile Deviation) atau Jangkauan Semi Antarkuartil (Semi-Interquartile Range-SIR) atau Nilai Jarak Semi Interkuartil ( ) ( ) ( ) 6 Sehingga nilai kuartil pertama berada pada nilai ke 4, yaitu 68. ( ) Sehingga nilai kuartil ketiga berada pada nilai ke 12, yaitu 85. Sehingga nilai jangkauan antarkuartil dari kumpulan data adalah 17.

39 Simpangan antarkuartil (Quartile deviation) adalah cara sederhana untuk memperkirakan penyebaran distribusi tentang ukuran pemusatan data (biasanya nilai rata-rata). Nilai jarak semi interkuartil adalah setengah dari selisih antara nilai kuartil ketiga ( ) dengan kuartil pertama ( ). Dimana : QD = Quartile deviation (simpangan kuartil) = Kuartil ketiga (kuartil atas) = Kuartil pertama (kuartil bawah) Contoh Soal 2 Berdasarkan pada contoh soal 1 (Contoh Soal Jangkauan Antarkuartil), tentukanlah simpangan kuartil (quartile deviation) pada kumpulan data tersebut. Penyelesaian : Berdasarkan pada hasil yang diperoleh pada contoh soal sebelumnya, diperoleh nilai kuartil pertama adalah 68 dan nilai kuartil ketiga adalah 85. Maka, simpangan kuartil (quartile deviation) yang sesuai dengan kumpulan data nilai tersebut adalah : 6 Sehingga, simpangan kuartil dari kumpulan data tersebut adalah 8,5. C. Simpangan Rata-Rata Simpangan rata-rata (mean deviation) adalah nilai rata-rata dari harga mutlak simpangan-simpangannya. Simpangan rata-rata dapat dibedakan untuk jenis data tunggal dan data berkelompok. Tujuan tanda mutlak pada simpangan rata-rata adalah untuk menjamin agar nilai simpangan bertanda positif, karena ukuran dispersi data (ukuran penyebaran data) merupakan ukuran yang positif. 1. Simpangan Rata-Rata (Mean Deviation) pada Data Tunggal Dimana : : Simpangan rata-rata (mean deviation)

40 : Banyak data ∑ ̅ : Selisih harga mutlak antara data ke-i dengan nilai rata-rata Contoh Soal 1 Berikut disajikan data nilai reading test pada 8 siswa kelas XI SMA "X“ 35, 45, 40, 30, 25, 48, 28, 25 Tentukan simpangan rata-rata kumpulan nilai di atas! Penyelesaian : Langkah 1 : Mengurutkan nilai dari yang terkecil hingga terbesar. 25, 25, 28, 30, 35, 40, 45, 48 Langkah 2 : Menentukan nilai rata-rata kumpulan nilai di atas. ̅ ∑ ̅ ̅ ̅ Langkah 3 : Menentukan selisih harga mutlak tiap nilai data ke i dengan nilai rata-rata. ∑ ̅ ∑ ̅ ∑ ̅ Langkah 4 : Mensubtitusikan nilai yang diperoleh pada rumus nilai simpangan rata-rata data tunggal. ̅ ( ) Sehingga, diperoleh nilai simpangan rata-rata pada kumpulan nilai tersebut, yaitu 7,5. 2. Simpangan Rata-Rata (Mean Deviation) pada Data Berkelompok Dimana : : Simpangan rata-rata (mean deviation) : Banyak data ∑ ̅ : Selisih harga mutlak antara titik tengah dengan nilai rata-rata

41 ∑ ̅ : Perkalian antara frekuensi tiap data dengan selisih harga mutlak antara titik tengah dengan nilai rata-rata Contoh Soal 2 Berikut disajikan distribusi nilai ujian akhir semester siswa kelas X SMA “Y” pada mata pelajaran Bahasa Inggris. Tabel 4.1 Data Nilai Ujian Akhir Semester Siswa Kelas X SMA “Y” Interval Nilai Frekuensi 8 7 11 6 4 Jumlah 36 Tentukanlah nilai simpangan rata-rata dari distribusi frekuensi pada Tabel 4.1! Penyelesaian : Langkah 1 : Menentukan nilai rata-rata ( ̅) pada distribusi frekuensi. Tabel 4.2 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Siswa Kelas X SMA “Y” Interval Nilai Frekuensi ( ) Titik Tengah ( ) ( ) ( ) 8 67 536 7 72 504 11 77 847 6 82 492 4 87 348 Jumlah 36 2727 Sehingga, nilai rata-rata distribusi frekuensi di atas : ̅ ∑ ̅ ̅ Langkah 2 : Menentukan nilai simpangan rata-rata ( ̅) dengan menggunakan informasi pada tabel di bawah ini.

42 Tabel 4.3 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Siswa Kelas X SMA “Y” Interval Nilai Frekuensi ( ) Titik Tengah ( ) ̅ ̅ 8 67 8,75 70 7 72 3,75 26.25 11 77 1,25 13,75 6 82 6,25 37,5 4 87 11,25 45 Jumlah 36 192,50 Sehingga, nilai simpangan rata-rata pada distribusi frekuensi di samping : ̅ ( ) Sehingga, diperoleh nilai simpangan rata-rata pada distribusi frekuensi di atas adalah 5,347. D. Ragam (Varians) Ragam (varians) adalah ukuran seberapa jauh sekelompok data tersebar dari nilai rata-rata atau nilai tengahnya. Ragam (varians) didefinisikan juga sebagai ratarata dari kuadrat selisih antara setiap nilai data dengan nilai rata-rata. Penggunaan kuadrat pada rumus varians memiliki tujuan yang sama dengan penggunaan nilai mutlak pada rumus simpangan rata-rata, yakni membuat nilai negatif menjadi nilai positif. Penggunaaan ragam (varians) untuk sampel dilambangkan dengan . Penggunaan ragam (varians) untuk populasi dilambangkan dengan . Varians dibedakan penggunaannya untuk data tunggal dan juga data berkelompok, baik untuk populasi ( ) dan untuk sampel ( ). 1. Varians Data Tunggal Untuk Populasi ( ) Dimana : : Varians Populasi : Banyaknya Populasi : Nilai Setiap Data Pengamatan ∑( )

43 : Rata-rata Populasi 2. Varians Data Tunggal Untuk Sampel ( ) Dimana : : Varians Sampel : Banyaknya Sampel : Nilai Setiap Data Pengamatan ̅ : Rata-rata Sampel Contoh Soal 2. Varians pada Data Tunggal Berikut disajikan data nilai reading test pada 8 siswa kelas XI SMA "X“ 35, 45, 40, 30, 25, 48, 28, 25 Tentukan Varians dari kumpulan nilai di atas! Penyelesaian : Langkah 1 : Mengurutkan nilai dari yang terkecil hingga terbesar. 25, 25, 28, 30, 35, 40, 45, 48 Langkah 2 : Menentukan nilai rata-rata kumpulan nilai di atas. ̅ ∑ Langkah 3 : Menentukan jumlah selisih kuadrat antara nilai data dengan nilai rata-rata (mean) data. ∑( ̅) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑( ̅) Langkah 4 : Mensubtitusikan nilai yang diperoleh pada rumus ragam (varians) data tunggal. ∑( ̅) Sehingga, diperoleh nilai varians pada kumpulan nilai tersebut, yaitu . 3. Varians Data Kelompok Untuk Populasi ( ) ∑( ) ∑ ( )

44 Dimana : : Varians Populasi : Rata-rata Populasi : Banyaknya Populasi : frekuensi : Nilai Tengah Data 4. Varians Data Kelompok Untuk Sampel ( ) Dimana : : Varians Sampel : Banyaknya Sampel : frekuensi : Nilai Tengah Data ̅ : Rata-rata Sampel Contoh Soal 4. Varians pada Data Kelompok Berikut disajikan distribusi nilai ujian akhir semester siswa kelas X SMA “Y” pada mata pelajaran Bahasa Inggris. Tabel 4.4 Data Nilai Ujian Akhir Semester Siswa Kelas X SMA “Y” Interval Nilai Frekuensi 8 7 11 6 4 Jumlah 36 Tentukanlah nilai varians dari distribusi frekuensi pada Tabel! Penyelesaian : Langkah 1 : Menentukan nilai varians dengan menggunakan informasi pada table di bawah ini. Tabel 4.5 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Siswa Interval Nilai Frekuensi ( ) Titik Tengah ( ) ( ) ( ) 8 67 536 7 72 504 ∑ ( )

45 11 77 847 6 82 492 4 87 348 Jumlah 36 2727 Sehingga, nilai rata-rata distribusi frekuensi di atas : ̅ ∑ ̅ ̅ Langkah 2 : Menentukan nilai varians dengan menggunakan informasi pada tabel di bawah ini. Tabel 4.6 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Siswa Kelas X SMA “Y” Interval Nilai Frekuensi ( ) Titik Tengah ( ) ( ) ( ) ( ) 8 67 612,48 7 72 98,42 11 77 1,25 17,12 6 82 6,25 234,36 4 87 11,25 506,24 Jumlah 36 1468,66 Sehingga, varians pada distribusi frekuensi di atas : ∑ ( ) Sehingga, diperoleh nilai varians pada distribusi frekuensi di atas adalah 40,80. E. Simpangan Baku Simpangan Baku (Standart Deviation) adalah pilihan tradisional dalam mengukur variabilitas, merangkum selisih antara nilai rata-rata dan nilai pada tiap data. Simpangan Baku (Standart Deviation) dapat diartikan sebagai akar pangkat dua dari ragam (varians).