46 Penggunaan Simpangan Baku (Standart Deviation) untuk sampel dilambangkan dengan . Penggunaan Simpangan Baku (Standart Deviation) untuk populasi dilambangkan dengan . Simpangan Baku (Standart Deviation) dibedakan penggunaannya untuk data tunggal dan data berkelompok, untuk populasi ( ) dan untuk sampel ( ) 1. Simpangan Baku Data Tunggal Untuk Populasi ( ) Dimana : : Simpangan Baku Populasi : Banyaknya Populasi : Nilai Setiap Data Pengamatan : Rata-rata Populasi 2. Simpangan Baku Data Tunggal Untuk Sampel ( ) Dimana : : Simpangan Baku Sampel : Banyak Sampel : Nilai Setiap Data Pengamatan ̅ : Rata-rata Sampel Contoh Soal 2. Simpangan Baku Data Tunggal Untuk Sampel Berikut disajikan data nilai reading test pada 8 siswa kelas XI SMA "X“ 35, 45, 40, 30, 25, 48, 28, 25 Tentukan simpangan baku dari kumpulan nilai di atas! Penyelesaian : Langkah 1 : Mengurutkan nilai dari yang terkecil hingga terbesar. 25, 25, 28, 30, 35, 40, 45, 48 Langkah 2 : Menentukan nilai rata-rata kumpulan nilai di atas. ̅ ∑ Langkah 3 : Menentukan jumlah selisih kuadrat antara nilai data dengan nilai rata-rata (mean) data. ∑( ̅) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑( ) ∑( )
47 ∑( ̅) ∑( ̅) Langkah 4 : Mensubtitusikan nilai yang diperoleh pada rumus simpangan baku data tunggal. ∑( ̅) √ Sehingga, diperoleh nilai simpangan baku pada kumpulan nilai tersebut, yaitu 8,99. 3. Simpangan Baku Data Kelompok Untuk Populasi ( ) Dimana : : Simpangan Baku Populasi : Rata-rata Populasi : Banyaknya Populasi : frekuensi : Nilai Tengah Data 4. Simpangan Baku Data Tunggal Untuk Sampel ( ) Dimana : : Simpangan Baku Sampel : Banyak Sampel : frekuensi : Nilai Tengah Data ̅ : Rata-rata Sampel Contoh Soal 4. Simpangan Baku Data Tunggal Untuk Sampel Berikut disajikan distribusi nilai ujian akhir semester siswa kelas X SMA “Y” pada mata pelajaran Bahasa Inggris. Tabel 4.7 Data Nilai Ujian Akhir Semester Siswa Kelas X SMA “Y” Interval Nilai Frekuensi ∑ ( ) ∑ ( )
48 8 7 11 6 4 Jumlah 36 Tentukanlah nilai simpangan baku dari distribusi frekuensi pada Tabel! Penyelesaian : Langkah 1 : Menentukan nilai rata-rata ( ̅) pada distribusi frekuensi. Tabel 4.8 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Siswa Kelas X SMA “Y” Interval Nilai Frekuensi ( ) Titik Tengah ( ) ( ) ( ) 8 67 536 7 72 504 11 77 847 6 82 492 4 87 348 Jumlah 36 2727 Sehingga, nilai rata-rata distribusi frekuensi di samping : ̅ ∑ ̅ ̅ Langkah 2 : Menentukan nilai simpangan baku dengan menggunakan informasi pada tabel di bawah ini: Tabel 4.9 Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Siswa Kelas X SMA “Y” Interval Nilai Frekuensi ( ) Titik Tengah ( ) ( ) ( ) ( ) 8 67 612,48 7 72 98,42
49 11 77 1,25 17,12 6 82 6,25 234,36 4 87 11,25 506,24 Jumlah 36 1468,66 Sehingga, simpangan baku pada distribusi frekuensi di samping : ∑ ( ) √ Sehingga, diperoleh nilai simpangan baku pada distribusi frekuensi di atas adalah 6,39.
50 BAB VI POPULASI, SAMPEL DAN TEKNIK SAMPLING A. Populasi Populasi adalah jumlah keseluruhan dari satuan-satuan atau individu-individu yang karakteristiknya hendak diteliti. Dan satuan-satuan tersebut dinamakan unit analisis, dan dapat berupa orang-orang, institusi-institusi, benda-benda, dll. B. Sampel Sampel adalah sebagian dari populasi yang karakteristiknya hendak diteliti. Sampel yang baik, yang kesimpulannya dapat dikenakan pada populasi, adalah sampel yang bersifat representatif atau yang dapat menggambarkan karakteristik populasi. C. Teknik Penarikan Sampel Teknik penarikan sampel adalah teknik pengambilan sampel dari populasi. Sampel yang merupakan sebagaian dari populasi tsb. kemudian diteliti dan hasil penelitian (kesimpulan) kemudian dikenakan pada populasi (generalisasi). Adapun syarat teknik pengambilan sampel yaitu, teknik sampling boleh dilakukan bila populasi bersifat homogen atau memiliki karakteristik yang sama atau setidak-tidaknya hampir sama. Bila keadaan populasi bersifat heterogen, sampel yang dihasilkannya dapat bersifat tidak representatif atau tidak dapat menggambarkan karakteristik populasi. 1. Manfaat sampling: a. Menghemat biaya penelitian. b. Menghemat waktu untuk penelitian. c. Dapat menghasilkan data yang lebih akurat. d. Memperluas ruang lingkup penelitian. 2. Jenis-jenis Teknik Penarikan Sampel a. Probability Sampling: Teknik pengambilan sampel yang memberikan peluang yang sama bagi setiap anggota populasi penelitian untuk dipilih menjadi anggota sampel penelitian.
51 D. Penetapan Jumlah Sampel Untuk menentukan jumlah sampel ada beberapa pertimbangan yang dapat dilakukan : 1. Sejauh mana homogenitas populasi. Jika populasi 100 persen homogen besar sampel tak jadi persolan (misal menen-tukan golongan darah). Namun jika populasi kurang homogen besar jumlah sampel harus dipertimbangkan. 2. Apakah sampel memenuhi jumlah mini-mum untuk analisis statistik (untuk penelitian kuantitatif analitik) E. Ukuran Sampel 1. Penelitian Kuantitatif Dalam penelitian kuantitatif ukuran sampel dapat ditaksir dengan akurat, berdasarkan analisis yang akan dilakukan, presisi estimasi yang diinginkan, kesalahan random yang masih bisa ditoleransi, kuasa statistik yang diharapkan 2. Penelitian Kualitatif Dalam penelitian kualitatif ukuran sampel dapat ditaksir dengan akuran berdasarkan beberapa hal berikut: a. Ukuran sampel cukup besar jika peneliti telah puas bahwa data yang diperoleh cukup kaya dan cukup meliput dimensi yang diteliti. b. Umumnya sekitar 40 responden, jarang >200 3. Sample Size / Besar Sampel Besar sampel tergantung pada beberapa hal : a. Pertimbangan representative
52 b. Adanya sumber-sumber yang dapat digunakan untuk menentukan batas maksimal dari besarnya sampel. c. Pertimbangan analisis d. Kebutuhan rencana analisis yang menentukan batas minimal besar sampel. 4. Variabel-variabel yang akan menentukan Jumlah Sampel: a. Tingkat kemaknaan statistik (a) b. Kuasa statistik (1-ß) c. Besarnya pengaruh variabel terhadap efek d. Proporsi efek pada populasi tak terpapar (kohort) e. Proporsi paparan pada populasi normal (kasus kontrol) Perbandingan ukuran sampel antar kelompok studi yang dikehendaki 5. Penentuan Besarnya Sampel (Sample Size) Penetapan jumlah sampel tergantung pada: a. Adanya sumber data yang dapat digunakan untuk menetapkan batas maksimal dari besarnya sample Dalam menetapkan jumlah sampel, sumber data yang dapat digunakan sebagai acuan adalah batasan jumlah sampel maksimal yang dapat dipergunakan dalam suatu penelitian. Batasan ini dapat didasarkan pada faktor-faktor seperti waktu, biaya, dan ketersediaan subjek penelitian. Jadi, peneliti perlu mempertimbangkan batasan-batasan tersebut dalam menentukan jumlah sampel. b. Kebutuhan dari rencana analisis yang menentukan batas minimal dari besarnya sampel: Angka perkiraan dari proporsi yang mau diukur (misal: penelitianpenyakit jantung koroner ditetapkan 50%) Jumlah sampel yang dibutuhkan tergantung pada proporsi yang ingin diukur. Semakin besar proporsi yang ingin diukur, semakin banyak sampel yang dibutuhkan untuk mencapai tingkat kepercayaan yang sama. Sebagai contoh, jika penelitian ingin mengetahui prevalensi penyakit jantung koroner pada populasi, maka peneliti harus menentukan proporsi yang ingin diukur (misalnya 50%) dan jumlah sampel yang dibutuhkan untuk mencapai tingkat kepercayaan tertentu. Tetapkan tingkat kepercayaan (misal: 5%, atau 1%) Tingkat kepercayaan menunjukkan seberapa yakinnya peneliti dalam membuat kesimpulan yang benar berdasarkan hasil pengamatan dari
53 sampel. Semakin tinggi tingkat kepercayaan yang dipilih, semakin banyak sampel yang dibutuhkan. Sebagai contoh, jika tingkat kepercayaan yang dipilih adalah 95%, maka penelitian membutuhkan lebih banyak sampel daripada jika tingkat kepercayaan yang dipilih adalah 90%. Tetapkan derajat kepercayaan (Confidence levels) misal: 95%, atau 99%. Derajat kepercayaan (confidence level) menunjukkan seberapa besar kemungkinan bahwa nilai rata-rata populasi berada dalam rentang tertentu. Semakin tinggi derajat kepercayaan yang dipilih, semakin banyak sampel yang dibutuhkan. Sebagai contoh, jika derajat kepercayaan yang dipilih adalah 95%, maka penelitian membutuhkan lebih banyak sampel daripada jika derajat kepercayaan yang dipilih adalah 90%. c. Hitung jumlah/besar sampel Setelah faktor-faktor di atas dipertimbangkan, peneliti dapat menggunakan rumus atau perhitungan statistik yang sesuai untuk menghitung jumlah sampel yang dibutuhkan. Peneliti harus memastikan bahwa jumlah sampel yang diambil dapat merepresentasikan populasi dengan baik dan mencapai tingkat kepercayaan yang diinginkan. Jumlah sampel yang terlalu kecil dapat menyebabkan hasil yang tidak akurat, sedangkan jumlah sampel yang terlalu besar dapat menghasilkan biaya dan waktu yang tidak efisien. Rumus ukuran sampel Cochran: ( ) Dimana: = Jumlah ukuran sampel minimal = Ukuran populasi = Tingkat kepercayaan (digunakan 0,95 sehingga nilai =1,96) = Taraf kekeliruan (digunakan 0,05) = Proporsi dan karakteristik tertentu (golongan) = 1- 1 = Bilangan konstanta
54 Menentukan jumlah sampel agar proporsional (Cochran) Contoh 1: Sekelompok peneliti melakukan penelitian terkati pengaruh gender siswa terhadap kemampuan berkomunikasi bahasa Inggris Siswa Kelompok Bisnis dan Manajemen yang berasal dari SMK Negeri dan SMK Swasta di Kota Bandar Lampung pada tahun ajaran 2008/2009. Data jumlah siswa beserta gender siswa dapat dilihat pada tabel berikut ini: Untuk menentukan sampel dari jumlah populasi 8333 yang didasarkan pada jenis kelamin siswa, maka dapat menggunakan rumus Cochran dan beberapa unit atau besaran yang diperlukan untuk dihitung adalah sebagai berikut: Proporsi untuk siswa dengan jenis kelamin laki-laki Proporsi untuk siswa dengan jenis kelamin perempuan
55 = 1 - = 1 – 0,2495 = 0,7505 ( ) ( ) = 0,0025 ( ) ( ) ( ) ( ) Contoh 2: Selain menggunakan rumus Cochran, peneliti juga dapat menggunakan tabel Krecjie untuk menentukan ukuran sampel minimum pada taraf signifikan ( ) ( ) ( ) Dengan rumus Solvin: Dimana: = Jumlah sampel minimal
56 = Jumlah populasi = Taraf Signifikan Untuk tabel krecjie dapat dilihat pada tabel berikut ini: Jika suatu populasi penelitian memiliki jumlah 1250 orang, maka jumlah ukuran sampel minimum yang harus diambil jika menggunakan taraf signifikan adalah: ( )( )
57 ( )( ) ( )
58 BAB VII PROBABILITAS A. Binomial Probabilitas binomial adalah cabang dari statistik yang mempelajari tentang perhitungan probabilitas pada percobaan yang hanya menghasilkan dua kemungkinan hasil, yaitu sukses atau gagal. Contohnya adalah hasil dari pelemparan koin, di mana hasilnya bisa muncul kepala atau ekor, atau hasil dari suatu tes, di mana seseorang dapat lulus atau tidak lulus. Pada probabilitas binomial, setiap percobaan adalah independen, artinya hasil dari percobaan yang satu tidak mempengaruhi hasil percobaan lainnya. Probabilitas sukses atau gagal pada setiap percobaan harus konstan dan diketahui. Notasi yang umum digunakan pada probabilitas binomial adalah sebagai berikut: n: jumlah total percobaan x: jumlah keberhasilan dalam n percobaan p: probabilitas sukses pada setiap percobaan q: probabilitas gagal pada setiap percobaan, di mana q = 1 - p Dengan notasi tersebut, probabilitas binomial dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut: ( ) ( ) Di mana n C x adalah kombinasi n dan x, yaitu permutasi dari n objek dengan x objek diambil tanpa memperhatikan urutan. Formula ini dapat digunakan untuk menghitung probabilitas sukses pada jumlah keberhasilan tertentu dalam n percobaan. Cara Menghitung Probabilitas Suatu Kejadian: Untuk menghitung probabilitas suatu kejadian, pertama-tama kita harus menentukan nilai n (jumlah percobaan), x (jumlah sukses), dan p (probabilitas sukses dalam satu percobaan). Setelah itu, kita dapat menggunakan rumus probabilitas binomial untuk menghitung probabilitas suatu kejadian. Contoh soal: Sebuah perusahaan menguji produk mereka dengan 5 percobaan. Setiap produk dapat lulus uji dengan probabilitas 0,8. Tentukan probabilitas bahwa 3 produk akan lulus uji. Jawab:
59 ( ) ( ) Sehingga probabilitas bahwa 3 produk akan lulus uji adalah 0,2048. B. Poisson Distribusi poisson diturunkan dari distribusi binomial, yaitu pada kasus khusus dimana banyak perulangan eksperimennya relatif besar (secara matematik dinotasikan ), dan probabilitas kejadian yang menjadi fokus perhatian relatif kecil (secara matematik dinotasikann ). Penurunan fungsi poisson diperoleh dari fungsi peluang binomial, dengan menggunakan pemisalan: sehingga . 1. Definisi Distribusi Poisson Distribusi poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, ditemukan oleh S.D. Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika bangsa Prancis. Distribusi poisson termasuk distribusi teoritis yang memakai variabel random diskrit. Distribusi poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random X(Xdiskrit), yaitu sebanyak hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau suatu daerah tertentu. Distribusi poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut: a. Banyaknya percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau suatu daerah tertentu tidak tergantung pada banyak nya hasil percobaan yang terjadi pada interval waktu atau daerah lain yang terpisah. b. Probabilitas hasil percobaan yang terjadi selama suatu interval waktu yang singkat atau daerah yang kecil, sebanding dengan panjangnya waktu atau besarnya daerah tersebut dan tidak tergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi diluar waktu atau daerah tersebut. c. Probabilitas lebih dari satu hasil percobaan yang terjadi dalam interval waktu yang singkat atau dalam daerah yang kecil dapat diabaikan. Selain memiliki ciri, distribusi poisson juga mempunyai karakteristik yang sama dengan distribusi binomial, namun mempunyai : a. Total seluruh kejadian (percobaan) yang sangat besar (lebih dari 50), serta b. Probabilita hasil kejadian yang sangat kecil (0,1 = 10 persen atau lebih kecil). Distribusi ini secara luas banyak dipakai terutama dalam proses simulasi, seperti proses kedatangan, proses antrian dll. Jumlah X dari keluaran yang terjadi selama satu percobaan Poisson disebut Variabel random Poisson, dan distribusi probabilitasnya disebut distribusi Poisson. Bila x menyatakan banyaknya sukses yang terjadi , adalah rata-rata banyaknya sukses yang terjadi dalam interval waktu atau daerah tertentu, dan e = 2,718 , maka rumus distribusi poisson adalah :
60 ( ) Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses poisson, dirumuskan: P (X = x) = ( ) Keterangan : = tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktu t = banyaknya suatu waktu x = banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu Jika terdapat probabilitas dari poisson yang lebih dari satu, maka probabilitas tersebut dinamakan dengan probabilitas poisson kumulatif. Probabilitas poisson dapat dihitung dengan rumus: PPK = ∑ = ∑ ( ) = P (X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) +...+ P(X = n) Beberapa sifat dari distribusi poisson dapat dilihat pada tabel yang disajikan dibawah ini: Mean => µ = λ = n . p Varian => σ 2 = λ = n . p Deviasi Standar => σ = √ Koefisien Momen Kemiringan => σ3 = √ Koefisien Momen Kurtosis => σ4 = √ 2. Tabel sifat distribusi poisson. Pada kenyataannya, dapat diperlihatkan bahwa distribusi poisson akan mendekati distribusi normal bervariabel standar (X - A) √ seiring dengan semakin besarnya λ. 3. Teorema Teorema: Mean dan varians distribusi poisson keduanya adalah sama dengan . 4. Latihan a. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi poisson, berapa probabilitas untukm penjualan berikut ?
61 0 lampu TL 3 lampu TL Penyelesaian : = 5; e-5 = 0,00674 P (X= 0) = ( 6 ) = 0,00674 P (X= 3) = = ( 6 ) 6 = 0,14 b. Dalam sebuah majalah yang terdiri dari 120 halaman terdapat 80 kata yang salahcetak dan berdistribusi secara acak dalam halaman –halaman majalah tersebut. Hitung probabilitas, seandainya sebuah halaman majalah terseut dibuka: Tidak terdapat salah cetak 4 kata yang salah cetak Penyelesaian : n = 80; p = 1/120 = n . p = 80 x 1/120 = 0,67 P (X= 0) = ( 6 ) = ( ) = 0,512 P (X= 4) = ( 6 ) = ( )( ) = 0,004 c. Ruang gawat darurat sebuah rumah sakit memiliki tingkat kedatangan rata-rata pasien sebanyak 4 orang per hari. Kedatangan pasien mengikuti proses poisson. Berapa probabilitas kedatangan 2 pasien per hari? Berapa probabilitas kedatangan 2 pada siang saja? Penyelesaian : t = 1; = 4; x = 2 P (X= 2) = ( ) = ( )( 6) = 0,1465 t = 12/24 = 1/2; =4; x = 2 P (X= 2) = ( ) = ( )( ) = 0,271
62 d. Sebuah toko alat-alat listrik mencatat rata-rata penjualan lampu TL 40 W setiap hari 5 buah. Jika permintaan akan lampu tersebut mengikuti distribusi poisson. Tentukan probabilitas penjualan paling banyak 2 lampu ! Andaikan persediaan (stok) lampu sisa 3, berapa probabilitas permintaan lebih dari 3 lampu? Penyelesaian : = 5; e-5 = (2,72)-5 = 0,00674 P(X= 0, 1, 2) = ∑ ( ) = P(X = 0) + P(X=1) + P(X= 2) = 0, 125 P(X ≥ 3) = 1- ∑ ( ) = 1- (P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1- 0,265 = 0,735 C. Hipergeometrik 1. Pengertian Probabilitas Hipergeometrik Jika pengambilan sampling tanpa pengambilan digunakan dalam situasi sebaliknya dengan memenuhi syarat Bernoulli, distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit yang tepat. Jika X melambangkan jumlah sukses dalam sample, N melambangkan jumlah kejadian dalam populasi, XT melambangkan jumlah sukses dalam populasi, dan n jumlah sample, formula untuk menentukan probabilitas hipergeometrik adalah Dapat disimpilkan bahwa distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian. 2. Karakteristik Probabilitas Hipergeometrik a. Sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N item (populasi). b. k dari N item dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal. Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu eksperimen hipergeometrik disebut dengan variabel random hipergeometrik dan distribusi probabilitas dari variabel random ini disebut dengan distribusi hipergeometrik.
63 3. Istilah dalam Probabilitas Hipergeometrik Misalkan dalam sebuah populasi berukuran N benda, terdapat 2 jenis sampel yang berbeda, benda yang sukses/berhasil diberi label ” k ” dan benda yang gagal diberi label “ N-k ”, maka sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X, yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n, adalah : Keterangan : N = Total populasi atau sampel. k = jumlah benda yang diberi label “berhasil” yang tersedia n = jumlah percobaan atau jumlah sampel yang dipilih x = jumlah kejadian yang sukses Sedangkan dalam populasi N benda terdapat lebih dari 2 jenis sampel yang berbeda, maka sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X, yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n, adalah : Keterangan : N = k1 + k2 + k3 + … + kn x = x1 + x2 + x3 + … + xn n = jumlah sampel yang dipilih. 4. Rumus-Rumus Probabilitas Hipergeometrik a. Nilai mean distribusi hipergeometrik Rataan atau nilai Mean (μ ) dari suatu distribusi hipergeometrik dapat diperoleh dengan rumus : μ = n.kN Keterangan : μ : mean (rata-rata) b. Nilai harapan distribusi hipergeometrik Nilai harapan distribusi hipergeometrik adalah jumlah dari semua hasil perkalian antara nilai variabel random dengan nilai probabilitas hipergeometrik dari nilai tersebut. Yang dirumuskan sebagai berikut : E(X) = X.P(X)
64 5. Penggunaan Probabilitas Hipergeometrik Distribusi hipergeometrik dapat diaplikasikan pada banyak bidang, misalnya pada penerimaan sampel (acceptance sampling), pengujian elektronik, dan pengendalian kualitas (quality control) dari suatu hasil produksi. Dalam banyak bidang ini, pengujian dilakukan terhadap barang yang diuji yang pada akhirnya barang uji tersebut menjadi rusak, sehingga tidak dapat dikembalikan. Jadi, pengambilan sampel harus dikerjakan tanpa pengembalian. Berikut beberapa aplikasi distribusi hipereometrik dalam kehidupan sehari–hari : a. Kita dapat mengetahui jumlah barang yang rusak dalam sampel acak dari sejumlah kiriman b. Jumlah permen yang di ambil dari dalam kotak dengan rasa tertentu c. Aplikasi dalam pendidikan seperti dalam penyelidikan pendapat umum/survey. Contoh Soal: Sebuah perusahaan elektronik mengirim 6 buah komputer, 2 diantaranya rusak/cacat. Sebuah sekolah membeli 3 buah komputer secara acak dari kiriman tersebut. Jika X menyatakan banyaknya komputer yang rusak maka tentukan : 1. Distribusi probabilitas X; 2. Nilai harapan X; 3. Nilai mean (rata-rata) X! Penyelesaian: Dik : N=6 n=3 k=2 X=0,1,2 Dit : 1). P(X) 2). E(X) 3). μ
65 Penyelesaian : 1). Probabilitas P(X) Untuk x = 0 (tidak ada yang rusak) Untuk x = 1 (1 rusak) Untuk x = 2 (2 rusak) 2). Nilai harapan E(X) = 0 (0,2) + 1 (0,6) + 2 (0,2) = 1 3). Nilai mean (rata-rata) μ = n.kN = 3.26 = 66 = 1 D. Normal 1. Pengertian Distribusi Normal Distribusi normal merupakan fungsi probabilitas yang menunjukkan adanya distribusi atau penyebaran suatu variabel. Sekumpulan nilai data akan terdistribusi secara normal (membentuk kurva yang simetris) apabila rata-rata nilai variabel sama dengan median dan sama dengan modus nilai data tersebut. Distribusi probabilitas normal membentuk suatu kurva normal yang juga sering disebut kurva genta (bell-shaped curve) karena bentuknya yang menyerupai sebuah genta. Ada dua alasan mengapa distribusi normal sering digunakan dalam analisa statistik, yaitu : Distribusi normal memiliki kemampuan yang dapat diterapkan pada banyak situasi, terutama untuk membuat kesimpulan dari sampel yang digunakan. Distribusi normal sangat baik digunakan dalam analisis tentang fenomena yang menggunakan data kontinu, seperti ukuran berat, tinggi rendahnya skor IQ, panjang, jumlah curah hujan, banyaknya botol dalam satu kerat dan lain sebagainya.
66 Distribusi probabilitas normal untuk setiap nilai x yang membentuk kurva normal mempunyai persamaan umum : Rumus: =1/(√2) ^(−1/2) ( − )^2/ Keterangan: µ = rata-rata populasi δ = simpangan baku populasi π = konstanta yang nilainya mendekati 3.14159 e = konstanta yang nilainya mendekati 2,7182 x = setiap nilai variabel acak kontinu yang besarnya -∞ sampai dengan +∞ Distribusi normal f(x) didefinisikan pada internal terbuka -∞ < x < +∞. Distribusi normal dengan parameter µ dan δ2 biasanya ditulis N (µ, ). Dengan memperhatikan persamaan umum dan grafik distribusi normal f(x), tampak bahwa bentuk kurva normal ditentukan oleh dua parameter, yaitu: - rata-rata (µ) dan - simpangan baku (δ). Bila nilai δ mengecil, bentuk kurva akan lebih rapat dan semakin runcing, dan sebagian besar nilai x akan berkumpul atau mendekati nilai rata-rata µ. Sebaliknya, jika nilai δ semakin besar, bentuk kurva akan lebih renggang dan tumpul, dimana sebagian besar nilai x akan menjauhi nilai rata-rata µ. Gambar 8.5 berikut yang menunjukkan uraian tiga distribusi data yang mempunyai simpangan baku serta rata-rata.
67 2. Sifat-sifat Distribusi Normal Ada beberapa sifat penting dari distribusi normal, diantaranya : a. Grafik simetri terhadap garis tegak x = µ b. Grafik selalu berada diatas sumbu x atau f(x) > 0 c. Mempunyai satu nilai modus d. Luas daerah di bawah kurva f(x) dan di atas sumbu x = 1, yaitu P(-∞< x < +∞) = 1 3. Probabilitas P(A < x < B) Probabilitas distribusi normal f(x) pada interval a < x < b ditentukan dengan memakai luas daerah di bawah kurva f(x), sebagaimana ditunjukkan oleh gambar berikut: Pada gambar probabilitas P(a<x<b) ditunjukkan oleh luas daerah yang diarsir, yang dibatasi oleh kurva f(x), sumbu x, garis tegak x=a dan x=b. Oleh karena f(x) merupakan fungsi kontinu, probabilitas P(a<x<b) dihitung dengan menggunakan integral dari fungsi f(x) yang dibatasi oleh x=a dan x=b, yaitu : Rumus: ( ) ∫ ( ) ∫ √ ( ) Rumus integral tersebut sangat berguna untuk menghitung daerah di bawah kurva distribusi normal standar. Akan tetapi, secara matematis bentuk integral dari fungsi f(x) tersebut sulit dipecahkan secara langsung dengan teknik integral. Oleh karena itu, penyelesaiannya dilakukan dengan memakai transformasi nilainilai X menjadi nilai-nilai baku Z, yaitu : Rumus:
68 Dengan transformasi tersebut, kita memperoleh distribusi normal Z yang mempunyai rata-rata µ = 0 dan simpangan baku δ = 1, atau ditulis N(0,1). Distribusi normal Z seperti ini disebut distribusi normal standar. Dengan demikian, fungsi distribusi f(x) berubah menjadi fungsi distribusi f(z). Rumus: ( ) √ Selanjutnya probabilitas P(z1 < Z < z2) dihitung dengan rumus berikut : Rumus: ( ) ∫ √ Berdasarkan integral dari distribusi normal standar tersebut, probabilitas P( < Z < ) dihitung dengan memakai tabel distribusi normal standar. Perhatikan bahwa nilai-nilai yang ada dalam tabel tersebut menunjukkan probabilitas dari nilai-nilai Z mulai dari z = 0 sampai dengan z = Z0 (positif) yaitu P(0 < Z < Z0). Contoh Soal: 1) Bila X adalah variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata µ = 25 dan simpangan baku δ = 10, tentukanlah probabilitas P(20 < X < 38) Penyelesaian: Maka diperoleh:
69 Dengan demikian maka probabilitas yang diperoleh adalah: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
70 BAB VIII PENAKSIRAN PARAMETER A. Penaksiran Parameter Estimasi parameter (penaksiran parameter) adalah pendugaan karakteristik populasi (parameter) dengan menggunakan karakteristik sampel (statistik). Populasi biasanya memiliki ukuran yang sangat banyak, sehingga untuk mengetahui karakteristiknya melalui sensus sangat sulit dilakukan. Sensus sangat tidak ekonomis dari segi waktu, tenaga dan biaya. Oleh karena itu, kita dapat melakukan pendugaan dengan melakukan survei terhadap sampel yang diambil secara acak dari populasi tersebut yang selanjutnya hasil karakteristik sampel dari survei tersebut kita gunakan untuk menduga karakteristik populasi. Sampel yang digunakan dalam survei adalah sampel yang benar-benar mewakili populasi. Parameter populasi disebut juga dengan nilai sebenarnya (true value) dan biasanya dilambangkan dengan (dibaca: theta). Parameter dapat berupa rata-rata populasi ( ), varian populasi ( ) atau proporsi populasi ( ). Sedangkan statistik sampel disebut juga dengan nilai estimasi (estimate value) dan dilambangkan dengan ̂ (dibaca: theta hat atau estimator theta). Statistik ̂ dapat berupa rata-rata sampel ( ̅), varian sampel ( ) atau proporsi sampel ( ̂). Dalam statistika, nilai statistik ̂ digunakan untuk menduga parameter θ, sehingga 1. ̅digunakan untuk menduga μ, 2. digunakan untuk menduga , dan 3. ̂digunakan untuk menduga p. Karena sifatnya adalah estimasi atau penaksiran maka nilai dari estimator ̂ tentu saja tidak akan sama persis dengan nilai parameter θ. Namun kita mengharapkan nilai estimator ̂ mendekati nilai parameter θ. Sifat estimator yang baik adalah tidak bias (unbiased) yang artinya nilai harapan dari estimator sama dengan nilai parameter ( ( ) ) Selain itu estimator yang digunakan sebaiknya adalah estimator yang efisien, maksudnya estimator tersebut memiliki varian yang paling kecil. Estimator yang baik juga harus konsisten, artinya semakin banyak sampel maka estimator akan semakin mendekati parameter. 1. Estimasi titik : Estimasi titik adalah penaksiran karakteristik populasi dengan sebuah nilai karakteristik dari sampel. 2. Estimasi interval : penaksiran populasi dengan nilai-nilai dalam suatu interval tertentu. Dasar adanya estimasi interval adalah karena pada setiap penaksiran pasti mengandung peluang kesalahan.
71 B. Parameter Rata-rata Misalkan kita mempunyai sebuah populasi berukuran N dengan rata-rata dan simpangan baku σ. Dari populasi ini parameter rata-rata μ akan ditaksir. Untuk keperluan ini, ambil sebuah sampel acak berukuran n, lalu hitung statistik yang perlu ialah dan s. Titik taksiran untuk rata-rata μ ialah x. Untuk memperoleh taksiran yang lebih tinggi derajat kepercayaannya, digunakan interval taksiran yang dikehendaki. Berdasarkan tiga hal sebagai berikut: 1. Simpangan baku diketahui dan populasinya berdistribusi normal ( ̅ √ ̅ √ ) Untuk interval kepercayaan ̅ √ ̅ √ Dimana: koefisien kepercayaan ( ) 2. Simpangan baku tidak diketahui dan populasinya berdistribusi normal ( ̅ √ ̅ √ ) Dengan interval kepercayaan yaitu ̅ √ ̅ √ Dimana: koefisien kepercayaan ( ) Jika ukuran sampel n relative besar dibanding dengan ukuran populasi maka:
72 ̅ √ ̅ √ Dan ̅ √ ̅ √ 3. Simpangan baku tidak diketahui dan populasinya tidak berdistribusi normal ( ̅ √ ̅ √ ) Dengan interval kepercayaan yaitu ̅ √ ̅ √ Dimana: koefisien kepercayaan ( ) Contoh soal 1. Dari populasi para pegawai suatu perusahaan diambil sampel sebanyak 100 orang dan dicatat gaji bulanan masing-masing. Rata-rata dan simpangan baku gaji mereka adalah 3.000.000 dan 600.000. Buatlah interval kepercayaan 95% untuk menduga berapa sesungguhnya rata-rata gaji pegawai di perusahaan tersebut. Penyelesaian: Penyelesaian diatas dapat memakai rumus: ̅ √ ̅ √ ̅
73 Maka: maka sehingga: 6 √ 6 √ 2.882.400 <μ< 3.117.600 Jadi interval kepercayaan 95% untuk menduga berapa sesungguhnya rata-rata gaji pegawai di perusahaan tersebut adalah 2.882.400 <μ< 3.117.600 2. Manajer marketing sebuah deler ingin memperkirakan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk menjual suatu jenis mobil. Hasil sampling pada 25 sampel ternyata memiliki rataan waktu 54 hart, standar deviasi sampel 5 hari, berasal dari populasi yang berdistribusi hampiran normal. Tentukan taksiran Interval kepercayaan 90% untuk rata-rata populasinya. Penyelesaian: Penyelesaian diatas memakai rumus ̅ √ ̅ √ ̅ : √ √ Jadi taksiran Interval kepercayaan 90% untuk rata-rata populasinya adalahh
74 C. Selisih Rata-rata Rumus yang digunakan : ( ̅ ̅ ) ( ̅ ̅ ) Dengan : ( ) ( ) ( ) Contoh soal Ada dua cara pengukuran untuk mengukur kelembaban sesuatu zat. Cara I dilakukan 50 kali menghasilkan. ̅ . Cara II dilakukan 60 kali ̅ . Supaya ditentukan interval kepercayaan 95% mengenai perbedaan rata-rata pengukuran dari kedua cara itu! Penyelesaian : ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) Selanjutnya dihitung dulu : D. Simpangan Baku Jika populasi berdistribusi normal dengan variansi maka interval taksiran 100 untuk adalah. ( ) ( ) ( ) ( )
75 Contoh Soal Sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang berdistribusi normal dengan simpangan baku . Dihasilkan harga statistik = 7.8 dengan koefisien kepercayaan 0.95 dan dk = 29 maka diperoleh Dapat disimpulkan 95% percaya bahwa simpangan baku akan berada dalam interval 2.23 dan 3.75 E. Proporsi Secara umum Parameter populasi akan diberi simbol θ (baca:theta). Jadi θ bisa merupakan rata-rata µ , simpangan baku σ , proporsi π dan sebagainya. Jika θ tidak diketahui harganya , ditaksir oleh harga θ , maka θ dinamakan penaksir . Menaksir Proporsi 1. Penaksir titik untuk proporsi p dalam suatu percobaan binomial diberikan oleh ̂ Jadi ̂ akan digunakan sebagai taksiran titik untuk parameter p 2. Proporsi p yang tak diketahui diharapkan tidak akan terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka selang kepercayaan untuk p dapat dicari dengan distribusi sampel p , yang sama saja dengan distribusi p.a. X 3. Distribusi p hampir normal dengan rataan ̂=E[ ̂ = [ ] Dengan Variansi: ̂ ( ) ( ) ( ) ̂ √ [ ( ) P[ ̂ √ [ ( ) ̂ √ [ ( ) ] 4. Selang kepercayaan untuk p,n ≥30 :
76 ̂ [ ( ) ̂ [ ( ) ̂ : proporsi sukses dalam dampel acak berukuan n , dan menyatakan nilai kurva normal baku sehingga luas di sebelah kanannya . 5. Jika ̂ dipakai sebagai taksiran p, maka galatnya akan lebih kecil dari ( ) dengan kepercayaan ( 1- ) 100% ̂( ̂) 6. Akibatnya galat akan lebih kecil dari g jika Contoh: Berapa persen masyarakat indonesia yang memilih Budi sebagai presiden? Budi telah melakukan quick count kepada 1000 responden dan sebanyak 600 orang dipastikan memilih Budi. Penyelesaian: Untuk mengetahui apakah 6 merupakan taksiran proporsi yang reliable, kita harus melakukan survey kepada 1000 responden (berulang kali pada 1000 responden yang berbeda) kemudian mengecek distribusinya. Singkat cerita, menurut teorema limit pusat taksiran 6 adalah taksiran yang reliable. Apakah proporsi yang memilih Budi pada data sampel besarnya “sama atau tidak jauh beda” dengan proporsi yang memilih Budi pada data populasi? Tentu kemungkinan besar tidak sama Faktor- faktor yang mempengaruhi confidence interval adalah : 1. Jumlah sampel. Semakin banyak sampel maka sifat sampel mendekati sifat populasi 2. Teknik sampel. Jika ukuran sampel terbatas maka harus dipastikan sampel merepresentasikan populasi
77 3. Error. Hasil taksiran dari data sampel pasti mempunyai error karena menghitung dari sampel, bukan populasi. 4. Kepercayaan terh adap hasil. Maksud dari gambar diatas adalah 1. p adalah proporsi populasi, pada kasus ini merupakan persentase yang memilih Budi pada data populasi. 2. merupakan penaksir proporsi populasi yang nilainya diperoleh dari menghitung proporsi dari data sampel. 3. Jika kita melakukan perhitungan berulang kali maka kita dapat menggambar distribusi. Menurut teorema limit pusat, maka akan berdistribusi normal. (data yang berdistribusi normal itu kasarnya adalah data yang paling banyak muncul/rata-ratanya dapat dijadikan representasi dari data populasi) 4. Standar deviasi proporsi rumusnya √ ( ) . 5. Standar deviasi bisa kita pandang sebagai error penaksir terhadap p. 6. Perhatikan bahwa rata-rata dari distribusi adalah p. Catatan: Error penaksir adalah standar deviasi dari data . Error penaksir (juga bisa dipandang sebagai) berbanding lurus dengan variasi populasi dan berbanding terbalik dengan jumlah sampel. F. Selisih Proporsi Misalkan dipunyai dua populasi binomial dengan parameter untuk peristiwa yang sama masing-masing Dari populasi ini secara independen masingmasingdiambil sebuah sampel acak berukuran dari populasi kesatu dan dari populasi kedua. Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan pada sampel tersebut adalah dan menyatakan banyaknya peristiwa yang diperhatikan. Akan ditentukan interval taksiran untuk ( ) dengan menggunakan pendekatan oleh distribusi normal asalkan dan cukup besar.
78 Rumus untuk 100 interval kepercayaan selisih ( ) adalah : ( ) ( ) Dengan dan sedangkan diperoleh dari daftar normal baku untuk peluang Contoh soal Diambil dua sampel acak yang masing-masing terdiri atas 500 pemudi dan 700 pemuda yang mengunjungi sebuah pameran. Ternyata diperoleh bahwa 325 pemudi dan 400 menyukai pameran itu. Tentukan interval kepercayaan 95% mengenai perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya. Penyelesaian : Diketahui : persentase pemudi yang menyukai pameran persentase pemuda yang menyukai pameran Jadi, maka interval kepercayaan: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )(( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Jadi, kita merasa yakin (percaya) bahwa perbedaan persentase pemuda dan pemudi yang mengunjungi pameran dan menyukainya akan ada dalam interval yang dibatasi oleh
79 BAB IX HIPOTESIS PENELITIAN A. Pengertian Hipotesis Hipotesis adalah suatu proses dari pendugaan parameter dalam populasi, yang Membawa kita pada perumusan segugus kaidah yang dapat membawa kita pada suatu Keputusan akhir, yaitu menolak atau menerima pernyataan tersebut. Hipotesis Penelitian adalah jawaban sementara terhadap pertanyaanpertanyaan Penelitian. Hipotesis dapat dijelaskan dari berbagai sudut pandang, misalnya secara Etimologis, teknis, statistik, dan lain sebagainya. Secara etimologis, hipotesis berasal dari dua kata hypo yang berarti “kurang Dari” dan thesis yang berarti pendapat. Jadi, hipotesis merupakan suatu pendapat Atau kesimpulan yang belum final, yang harus diuji kebenarannya Hipotesis merupakan suatu pernyataan sementara yang diajukan untuk Memecahkan suatu masalah, atau untuk menerangkan suatu gejala Hipotesis adalah jawaban sementara terhadap masalah penelitian yang Kebenarannya harus diuji secara empiris. Secara teknis, hipotesis merupakan pernyataan mengenai keadaan populasi yang Akan diuji kebenarannya berdasarkan data yang diperoleh dari sampel penelitian Secara statistik, hipotesis merupakan pernyataan mengenai keadaan parameter Yang akan diuji melalui statistik sample Ditinjau dalam hubungannya dengan variabel penelitian, hipotesis merupakan Pernyataan tentang keterkaitan antara variabel-variabel (hubugan atau perbedaan Antara dua variabel atau lebih). Ditinjau dalam hubungannya dengan teori ilmiah, hipotesis merupakan Deduksi dari teori ilmiah (pada penelitian kuantitatif) dan kesimpulan sementara Sebagai hasil observasi untuk menghasilkan teori baru. 1. Hipotesis Penelitian Hipotesa Penelitian atau biasa disebut hipotesis penelitian adalah jawaban sementara Terhadap pertanyaan-pertanyaan penelitian. Jadi para peneliti akan membuat hipotesa dalam penelitiannya yang bertujuan untuk menjadikannya sebagai acuan dalam menentukan langkah selanjutnya agar dapat membuat kesimpulan-kesimpulan terhadap penelitian yang dilakukannya. Penelitian kuantitatif pasti membutuhkan hipotesa penelitian. Sedangkan penelitian kualitatif belum tentu mempunyai hipotesa penelitian. Kalaupun ada, dalam penelitian kualitatif, hipotesa yang dibuat adalah hipotesa tentative atau disebut juga dengan hipotesa kira-kira.
80 Dalam penelitian kuantitatif, keberadaan hipotesis dipandang sebagai komponen penting dalam penelitian. Oleh karena itu sebelum terjun ke lapangan hendaknya peneliti telah merumuskan hipotesis penelitiannya. Pentingnya hipotesis dalam penelitian dapat dijelaskan sebagai berikut. a. Hipotesis yang mempunyai dasar yang kuat menunjukkan bahwa peneliti telah mempunyai cukup pengetahuan untuk melakukan penelitian pada bidang tersebut. b. Hipotesis memberikan arah pada pengumpulan dan penafsiran data. c. Hipotesis merupakan petunjuk tentang prosedur apa saja yang harus diikuti dan jenis data apa saja yang harus dikumpulkan. d. Hipotesis memberikan kerangka untuk melaporkan kesimpulan penelitian. e. Ciri-ciri Rumusan Hipotesis Penelitian f. Ada beberapa hal yang harus diperhatikan peneliti dalam merumuskan hipotesis yaitu: Hipotesis harus menyatakan pertautan antara dua variabel atau lebih (dalam Satu rumusan hipotesis minimal terdapat dua variabel). Hipotesis hendaknya dinyatakan secara deklaratif (kalimat pernyataan). Hipotesis hendaknya dirumuskan dengan jelas. Hipotesis harus dapat diuji kebenarannya. Ada beberapa jenis hipotesis. Untuk mempermudah dalam mempelajari, hipotesis dapat diklasifikasikan berdasarkan rumusannya dan proses pemerolehannya. a. Ditinjau dari rumusannya, hipotesis penelitian dibedakan menjadi : Hipoteis kerja, yaitu hipotesis “yang sebenarnya” yang merupakan sintesis dari hasil kajian teoritis. Hipotesis kerja biasanya disingkat H1 atau Ha. Hipotesis nol atau hipotesis statistik, merupakan lawan dari hipotesis kerjadan sering disingkat Ho. Ada kalanya peneliti merumuskan hipotesis dalam bentuk H1 dan Ho untuk satu permasalahan penelitian. Hal ini didasari atas pertimbangan bahwa Ho “sengaja” dipersiapkan untuk ditolak, sedangkan H1 “dipersiapkan” untuk diterima (Sudarwan Danim dan Darwis, 2003 : 171). b. Ditinjau dari proses pemerolehannya, hipotesis penelitian dibedakan menjadi: Hipotesis induktif, yaitu hipotesis yang dirumuskan berdasarkan pengamatan untuk menghasikan teori baru (pada penelitian kualitatif) Hipotesis deduktif, merupakan hipotesis yang dirumuskan berdasarkan teori ilmiah yang telah ada (pada penelitian kuantitatif).
81 Hubungan antara hipotesis dengan observasi dan teori ilmiah pada hipotesis induktif dan deduktif dapat divisualisasikan sebagai berikut (Trochim, 2005). 2. Hipotesis Statistika Hipotesis statistik adalah adalah pernyataan atau dugaan mengenai keadaan populasi yang sifatnya masih sementara atau lemah tingkat kebenarannya. Pada kesempatan sebelumnya kita telah membahas tentang hipotesis dan hipotesis penelitian. Kini saatnya kita akan mengupas habis perihal hipotesis statistik. Hipotesis statistik bisa berbentuk suatu variabel seperti binomial, poisson, dan normal atau nilai dari suatu parameter, seperti mean, varians, standar devaiasi dan proporsi. Hipotesis statistik haruslah diuji, karena itu harus berbentuk kuantitas agar dapat diterima atau ditolak. Diterima jika hasil pengujian membenarkan pernyataannya dan akan ditolak jika terjadi penyangkalan dari pernyataan tersebut. Bentuk hipotesis ada beberapa jenis, yaitu: a. Hipotesis Deskriptive Hipotesis deskripsif dapat diartkan: sebagai dugaan atau jawaban sementara terhadap masalah deskriptif yang berhubungan dengan variabel tunggal. Contoh: Anda meneliti apakah sebuah merk minuman soda mengandung alkohol. Maka anda membuat rumusan masalah: apakah benar sebuah merk minuman soda mengandung alkohol? Maka hipotesis penelitian anda adalah: Ho: sebuah merk minuman soda mengandung alkohol.
82 H1: sebuah merk minuman soda tidak mengandung alkohol. b. Hipotesis Komparatif Hipotesis komparatif dapat diartikan: sebagai dugaan atau jawaban sementara terhadap rumusan masalah yang mempertanyakan perbandingan (komparasi) antara dua variabel penelitian. Contoh: Anda meneliti apakah ada perbedaan hasil belajar antara metode pembelajaran pedagogi dan metode pembelajaran konvensional pada siswa kelas 6 sekolah B. Maka anda membuat rumusan masalah: adakah perbedaan hasil belajar antara metode pembelajaran pedagogi dan metode pembelajaran konvensional pada siswa kelas 6 sekolah B? Maka hipotesis penelitian anda adalah: Ho: Tidak ada perbedaan hasil belajar antara metode pembelajaran pedagogi dan metode pembelajaran konvensional pada siswa kelas 6 sekolah B. H1: Ada perbedaan hasil belajar antara metode pembelajaran pedagogi dan metode pembelajaran konvensional pada siswa kelas 6 sekolah B. c. Hipotesis Asosiatif Hipotesis asosiatif dapat diartikan sebagai dugaan atau jawaban sementara terhadap rumusan masalah yang mempertanyakan hubungan antara dua variabel penelitian. Contoh: Anda akan meneliti apakah ada hubungan musim panen tembakau di desa A dengan jumlah penjualan toko B. Maka rumusan masalah yang anda buat adalah: Adakah hubungan musim panen tembakau di desa A dengan jumlah penjualan toko B? Maka hipotesis penelitian anda adalah: Ho: Tidak ada hubungan musim panen tembakau di desa A dengan jumlah penjualan Toko B. H1: Ada hubungan musim panen tembakau di desa A dengan jumlah penjualan toko B. d. Hipotesis Kausal Hipotesis kausal dapat diartikan sebagai dugaan atau jawaban sementara terhadap rumusan masalah yang mempertanyakan pengaruh faktor prediktor terhadap variabel respon. Contoh: Anda akan meneliti apakah KB Hormonal ada pengaruh terhadap kejadian Kanker leher rahim. Maka rumusan masalah yang anda
83 buat adalah: adakah pengaruh KB Hormonal terhadap kejadian kanker leher rahim? Maka hipotesis penelitian anda adalah: Ho: Tidak ada pengaruh KB Hormonal terhadap kejadian kanker leher rahim. H1: Ada pengaruh KB Hormonal terhadap kejadian kanker leher rahim. Contoh Hipotesis Statistik Berikut adalah contoh dari hipotesis penelitian: Ada hubungan antara IQ dengan hasil belajar. Sedangkan contoh hipotesis statistik adalah: H0: ρ = 0 dan H1: ρ ≠ 0. Penting Untuk anda pahami baik-baik bahwa: Hipotesis statistik hanya digunakan apabila kita mengambil sampel dari sebuah populasi, diuji menggunakan statistik inferensial, yang mana tujuannya adalah untuk menguji apakah sampel dapat mewakili populasi ataukah tidak. Hipotesis statistik tidak wajib dilakukan jika kita mengambil data dari populasi (cara sensus), atau jika kita tidak ingin melakukan generalisasi untuk membuktikan apakah sampel dapat mewakili populasinya atau tidak. Hipotesis Statistik Asosiatif atau Korelasional Terdapat hubungan positif antara IQ dengan hasil ujian IPA. H0: ρ ≤ 0 H1: ρ > 0 Ada hubungan antara tingkat pendidikan dan tingkat penghasilan: semakin tinggi pendidikan, tingkat penghasilan juga akan semakin tinggi. H0: ρ ≤ 0 H1: ρ > 0 Ada hubungan antara beban kerja dengan kualitas kinerja: semakin tinggi beban kerja, kualitas kinerja akan semakin rendah. H0: ρ ≥ 0 H1: ρ < 0 Hipotesis Statistik Kausalitas (sebab akibat): Ada pengaruh antara laju inflasi dengan pendapatan bruto. Ho: β = 0
84 H1: β ≠ 0 Ada pengaruh antara ukuran perusahaan dengan return saham. Ho: β = 0 H1: β ≠ 0 Ada pengaruh positif antara kepatuhan minum obat anti tuberculosis dengan berat badan pasien tuberculosis. Ho: β ≤ 0 H1: β > 0 Hipotesis statistik komparatif (perbedaan): Ada perbedaan resiko kanker paru antara laki-laki dan perempuan. H0: μl = μp // H0: μl – μp = 0 H1: μl ≠ μp // H1: μl – μp ≠ 0 Ada perbedaan resiko kanker payudara antara laki-laki dan perempuan, dimana perempuan lebih beresiko terkena kanker payudara daripada laki-laki. H0: μl ≥ μp // H0: μl – μp ≥ 0 H1: μl < μp // H1: μl – μp < 0 Ada perbedaan pengaruh terapi komplementer dan tanpa komplementer terhadap percepatan kesembuhan penyakit TBC. Tambahan terapi komplementer lebih Berpengaruh terhadap percepatan kesembuhan pasien TBC dibandingkan dengan tanpa terapi komplementer. H0: βF ≤ βNF // H0: βF – βNF ≤ 0 H1: βF > βNF // H1: βF – βNF > 0. B. Karakteristik Hipotesis 1. Hipotesis satu arah (atau hipotesis satu sisi) Jika hipotesis alternatif menunjukkan tanda > atau <. Hal ini dikarenakan si peneliti atau si perancang hipotesis, menginginkan suatu perubahan satu arah, misalnya apakah meningkat, apakah terjadi penurunan, dan sebagainya.
85 Contoh: sebuah perusahaan rokok menyatakan bahwa kadar nikotin ratarata rokok yang diproduksinya tidak melebihi 2,5 miligram (tidak melebihi berarti kurang dari, berarti satu arah saja, H1 : < 2,5). 2. Hipotesis dua arah (atau hipotesis dua sisi) Jika hipotesis alternatif menunjukkan tanda . Misalkan H0 : = 20, lawan H1 : 20 Ini berarti hipotesis alternatifnya memiliki dua definisi, H1 : > 20 dan/atau H1 : < 20. Hal ini dikarenakan si peneliti menginginkan suatu perbedaan, yaitu apakah berbeda atau tidak (entah berbeda itu meningkat, atau menurun). Contoh: sebuah pabrik sereal ingin mengetes unjuk kerja dari mesin pengisinya. Mesin tersebut dirancang untuk mengisi 12 ons setiap boksnya. (karena hanya ingin menguji apakah rata-rata mesin pengisi tersebut dapat mengisi 12 ons setiap boksnya atau tidak, H0 : = 12, dan H1 : 12) C. Kekeliruan Hipotesis Jika hasil yang didapat dari penelitian terhadap sampel acak, dalam pengertian peluang, jauh berbeda dari hasil yang diharapkan terjadi berdasarkan hipotesis, maka hipotesis ditolak. Jika terjadi sebaliknya, hipotesis diterima. Dalam melakukan pengujian hipotesis, ada dua macam kekeliruan yang dapat terjadi, dikenal dengan nama-nama: Kekeliruan tipe I: ialah menolak hipotesis yang seharusnya diterima Kekeliruan tipe II: ialah menerima hipotesis yang seharusanya ditolak. Agar penelitian dapat dilakukan maka kedua tipe kekeliruan itu kita nyatakan dalam peluang. Peluang membuat kekeliruan tipe I biasa dinyatakan dengan dan peluang kekeliruan tipe II dinyatakan . D. Langkah–Langkah Pengujian Hipotesis Langkah-langkah pengujian hipotesis: 1. Perumusan hipotesis Perumusan hipotesis dilakukan dengan dua macam, yaitu hipotesis awal, 0, dan hipotesis alternatif, 1. Pengujian hipotesis dapat dilakukan dengan uji satu pihak atau uji dua pihak. Pengujian hipotesis uji satu pihak: 0: = 1: <
86 Atau 0: = 1: > Pengujian hipotesis uji dua pihak: 0: = 1: ≠ 2. Menentukan distribusi yang akan digunakan, apakah z, t, 2 , F atau yang lain. 3. Penentuan daerah penolakan hipotesis (daerah kritis) 4. Pilih taraf nyata, , atau yang disebut juga ukuran daerah kritis. Jika uji dua pihak maka luas daerah kritis atau daerah penolakan pada tiap ujung adalah 1/2 . Jika uji satu pihak maka luas daerah kritis atau daerah penolakan adalah .Jika 0: = 1: > Jika 0: = 1: <
87 Harga d didapat dari daftar distribusi yang bersangkutan dengan peluang yang ditentukan oleh , yang menjadi batas antara daerah kritis dan daerah penerimaan 0. 5. Menentukan nilai statistik 6. Menarik sebuah kesimpulan E. Contoh Penerapan Hipotesis dalam Penelitian Pendidikan Matematika 1. Tipe Hipotesis Satu Arah Dalam jurnal penelitian "Hubungan Minat Belajar Dengan Prestasi Belajar Matematika Siswa Kelas V SD Se-Gugus Wonokerto Turi Sleman Tahun Ajaran 2014/2015" Hipotesis penelitian ini adalah : semakin tinggi minat belajar siswa maka semakin tinggi prestasi siswa dan : semakin rendah minat belajar siswa maka semakin turun prestasi siswa. Kemudian dilakukan uji Normalitas yang mendapat hasil signifikansi untuk variable prestasi belajar matematik dan minat belajar masing-masing sebesar 0,091 dan 0,157 yang mana nilai tersebut lebih besar dari 0,05 sehingga dapat disimpulkan bahwa sebaran data kedua variable ini normal. Setelah didapat hasil dari uji normalitas penulis kembali melakukan pengujian Linieritas dengan hasil signifikansi 0,052 lebih besar dari 0,05 yang berarti hubungan variable bebas dan variable terikat pada penelitian linear. Berdasarkan hasil analisis data, diperoleh koefisien korelasi positif, dan signifikan. Nilai korelasi positif (0,565) menunjukkan hubungan antara minat belajar dengan prestasi belajar matematika positif. Artinya meningkatnya minat belajar pada diri siswa akan membawa kenaikan pada prestasi belajar siswa dan sebaliknya ketika minat belajar rendah maka prestasi belajar cenderung rendah. Berdasarkan hasil analisis tersebut, penelitian ini menjawab hipotesis yang diajukan yaitu “ada hubungan yang positif dan signifikan antara minat belajar dengan prestasi belajar matematika siswa kelas V SD se-Gugus Wonokerto, Turi, Sleman tahun ajaran 2014/2015” atau dengan kata lain hipotesis pada penelitian ini diterima atau terbukti. 2. Tipe Hipotesis Dua Arah Untuk hipotesis dua arah dalam jurnal penelitian "Terdapat perbedaan yang signifikan antara prestasi belajar mahasiswa yang menggunakan laboratorium virtual dan yang tidak menggunakan laboratorium virtual pada mata kuliah matematika dasar di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Matematika UNIMED". Adapun hipotesis penelitiannya adalah H0 : penerapan aktivitas laboratorium virtual pada mata kuliah Matematika Dasar
88 efektif dan H1 : penerapan aktivitas laboratorium virtual pada mata kuliah Matematika Dasar tidak efektif. Kemudian peneliti melakukan uji statistik menggunakan hasil penelitian dengan seksama dan memperhatikan apakah data yang diperoleh mendukung atau menolak hipotesis dua arah tersebut. Dan peneliti mendapatkan hasil yang menunjukkan bahwa terdapat perbedaan yang signifikan antara prestasi belajar mahasiswa yang menggunakan laboratorium virtual dan yang tidak menggunakan laboratorium virtual pada mata kuliah matematika dasar. Selanjutnya peneliti melakukan penentuan daerah penolakan hipotesis (daerah kritis) dan menentukan tingkat signifikansinya yang mana untuk hipotesis dua arah maka luas daerah kritisnyaatau daerah penolakannya pada tiap ujung adalah . Setelah mempertimbangkan semua faktor di atas, jelaskan implikasi dari hasil penelitian dan bagaimana hal tersebut dapat mempengaruhi bidang yang diteliti. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa penggunaan laboratorium virtual secara efektif dapat meningkatkan prestasi belajar mahasiswa pada mata kuliah matematika dasar. Implikasinya adalah bahwa penggunaan teknologi informasi dan komunikasi seperti laboratorium virtual harus menjadi pilihan dalam pengajaran mata kuliah matematika dasar di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Matematika UNIMED. Dengan mengikuti langkah-langkah di atas, peneliti dapat mengambil kesimpulan yang akurat dari hipotesis dua arah dalam jurnal penelitian ini dan memahami bahwa hipotesis tersebut terbukti.
89 BAB X PENUTUP Dalam modul ini, kita telah mempelajari dasar-dasar statistika yang sangat penting bagi mahasiswa pendidikan matematika. Statistika dapat membantu kita memahami bagaimana data dapat digunakan untuk membuat kesimpulan yang lebih baik dan membuat keputusan yang lebih tepat. Kita telah mempelajari tentang berbagai konsep dasar dalam statistika, seperti pengumpulan data, pengukuran pemusatan data, pengukuran dispersi data, probabilitas, distribusi normal, dan pengujian hipotesis. Dalam dunia pendidikan, statistika juga penting untuk membantu memahami dan mengembangkan pengajaran dan pembelajaran. Dengan memahami data, kita dapat mengidentifikasi masalah dalam proses pembelajaran dan membuat perubahan yang diperlukan untuk meningkatkan hasil belajar siswa. Semoga modul ini dapat membantu Anda memahami statistika dasar dan memberi Anda dasar yang kuat untuk memahami statistika yang lebih kompleks di masa depan. Ingatlah bahwa statistika adalah alat yang sangat berguna dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam kehidupan profesional maupun pribadi. Teruslah belajar dan mengembangkan keterampilan statistik Anda untuk menjadi seorang yang lebih terampil dan sukses.
DAFTAR PUSTAKA 90 Anaefebriana. 2014. Penyajian Data Berkelompok Dan Pembelajarannya. https://anaedfebriana.wordpress.com/2014/03/26/penyajian-data-berkelompok-danpembelajarannya/. Diambil pada 24 Februari 2023, pukul 08.30. Asra, Abuzar. “Esensi Statistik Bagi Kebijakan Publik.” Jakarta: IN MEDIA (2014). Boediono dan wayan koster. 1999. Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas. Jakarta: Rosda Harinaldi. 2005. Prinsip-prinsip untuk Teknik dan Sains. Jakarta: Erlangga. Hasan, Iqbal. 2012. Pokok-pokok Materi Statistika 2 (Statistika Inferensif). Jakata: PT Bumi Aksara. Iqbal, Hasan M. 2001. Pokok-pokok Materi Statistika 2 (Statistik Inferensif). Jakarta: Bumi Aksara J. Supranto M.A, STASTISTIK TEORI DAN APLIKASI, Jilid 2 Edisi ketiga, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1981. Lind, Douglas A,. Marchal, William G & Wathen, Samuel A. 2007. Teknik-teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Menggunakan Kelompok Data Global. Jakarta: Salemba Empat. Manfaat, Budi. 2016. Pengantar Teori Probabilitas. Cirebon: Eduvision. N, dkk. (2917). Dasar-Dasar Statistik Penelitian. Yogyakarta: SIBUKU MEDIA. Nisyah, F. Q. (2022). Perbedaan data tunggal dan data kelompok (statistika)? Gres.web.id Ramadhani, R., Bina, N. S. (2021). STATISTIKA PENELITIAN PENDIDIKAN (Analisis Perhitungan Matematis dan Aplikasi SPSS) (Edisi 1). Jakarta: Kencana. Ronald E. Walpole, PENGANTAR STATISTIKA, Edisi ke 3, PT.Gramedia Pustaka Utama, Jakarta, 1995. Ross, S. M. (2010). Introduction to probability models. Academic press. Shofiyatun, Siti dan Wiwin Nuraeni. 2020. Penyajian Data Tunggal dan Kelompok. Universitas Muria Kudus. Spiegel, Murray R & Stephens, Larry J. 2004. Schaum’s Outline (Teori dan Soal-soal). Jakarta: Erlangga. Spiegel, Murray R. 2004. Schaum’s Easy Outline Statistik. Jakarta: Erlangga. Subiyakto,Haryono, STATISTIKA 2, Penerbit Gunadharma, 1993. Sudjana. 1996. Metoda Statstika. Bandung: Tarsito
DAFTAR PUSTAKA 91 Trochim, William MK, and James P. Donnelly. Research methods knowledge Base. Vol. 2. Cincinnati, OH: Atomic Dog Publishing, 2001. Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2011). Probability & statistics for engineers & scientists. Pearson. Welch, Susan, and John Comer. Quantitative methods for public administration: Techniques and applications. Houghton Mifflin Harcourt P, 1988.
DAFTAR PUSTAKA 92