YAYASAN PENDIDIKAN WARGA SURAKARTA
SMA WARGA
Alamat : Jl. Monginsidi No. 17 (0271) 638873 SURAKARTA – 57128
Website : www.smarga.sch.id Email : [email protected]
PANGKAT AKAR DAN LOGARITMA
A. Pangkat Rasional
1) Pangkat negatif dan nol
Misalkan a R dan a 0, maka:
a) a–n = 1 atau an = 1
an a−n
b) a0 = 1
2) Sifat–Sifat Pangkat
Jika a dan b bilangan real serta n, p, q bilangan bulat positif, maka berlaku:
a) ap × aq = ap+q
b) ap : aq = ap–q
( )c)ap q
= apq
d) (a b)n = an×bn
( )e)a n = an
b bn
B. Bentuk Akar
1) Definisi bentuk Akar
Jika a bilangan real serta m, n bilangan bulat positif, maka berlaku:
a) 1 =na
an
b) m = n am
an
2) Operasi Aljabar Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan positif, maka berlaku hubungan:
a) a c + b c = (a + b) c
b) a c – b c = (a – b) c
c) a b = a b
d) a + b = (a + b) + 2 ab
e) a − b = (a + b) − 2 ab
3) Merasionalkan penyebut
Untuk setiap pecahan yang penyebutnya mengandung bilangan irrasional (bilangan yang tidak
dapat di akar), dapat dirasionalkan penyebutnya dengan kaidah–kaidah sebagai berikut:
a) a = a b = a b
b bb b
b) c = c a− b = c(a− b)
a+ b a+ b a− b a2 −b
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 1
c) c= c a− b = c( a− b)
a− a−b
a+ b a+ b b
C. Logaritma
a) Pengertian logaritma
Logaritma merupakan invers (kebalikan) dari perpangkatan. Misalkan a adalah bilangan positif (a
> 0) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (g > 0, g ≠ 1), maka:
glog a = x jika hanya jika gx = a
atau bisa di tulis :
(1) untuk glog a = x a = gx
(2) untuk gx = a x = glog a
b) sifat–sifat logaritma sebagai berikut: (6) glog a = 1
(1) glog g = 1 a log g
(2) glog (a × b) = glog a + glog b (7) glog a × alog b = glog b
(8) g n log a m = m glog a
( )(3) glog a = glog a – glog b
b n
(4) glog an = n × glog a (9) g g log a = a
(5) glog a = p log a
p log g
KUMPULAN SOAL
Menyederhanakan hasil operasi bentuk pangkat, akar, dan logaritma.
1. Bentuk a−1b2 dapat dinyatakan dengan 2a 5b −5 −1
c−3 32a 9 b −1
5. Bentuk sederhana dari adalah
pangkat positif menjadi …
…
a. ab2 c. ab2c3 e. 1
c2 ab2c3 a. (2ab)4 c. 2ab e. (2ab)–4
b. ac3 b. (2ab)2 d. (2ab)–1
b2
d. b2c3 2x5 y −4 −3
a 5x8 y −6
6. Bentuk sederhana dari adalah
2. Bentuk sederhana dari 32 x4 y−2 adalah … …
63 x2 y−3
a. 8x3 d. 125x9
a. 1 x2y c. 1 x6y e. 1 x6y 125y 8y6
2 18 24
b. 1 x2y d. 1 x2y b. 8x9 e. 625x9
18 24 125y 6 125y 6
3. Bentuk sederhana dari (m2 )−2 n5 adalah … 16 y 6
m−5 n4 c.
a. mn c. n e. m2n 625x 9
m
b. m d. m2 ( )7. Bentuk sederhana dari 3 p −3q 2 −2 adalah
n n ( )pq−3 3
4. Bentuk sederhana dari (6−2 a2)3 : (123a3)−2
adalah … …
a. 2 – 1 c. 2a12 e. 2–6a–12 1 p5 q3 d. 9p3 q5
9
b. 2 d. 26a12 a.
b. 9p5 q3 e. 1 p3 q5
9
c. 3p3 q5
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 2
8. Jika a = 32 dan b = 27, maka nilai dari a. 12 3 c. 28 3 e. 31 3
b. 14 3 d. 30 3
11
a 5 + b 3 adalah …
a. 1 c. 5 e. 8
5
19. Hasil dari 50 − 108 + 2 12 + 32 adalah
b. 1 d. 6 …
6
2 1 2 3 23 a. 7 2 – 2 3 d. 9 2 – 2 3
2
9. Nilai dari =… b. 13 2 – 14 3 e. 13 2 – 2 3
12 c. 9 2 – 4 3
a. 1 c. 22 e. 24
b. 2 d. 23 20. Hasil dari 2 − 8 + 27 + 50 − 75 = …
1 a. 3 3 d. 3 – 6
10. Nilai dari 36 2 adalah … b. 3 3 – 2 e. 4 2 – 2 3
( )2 −2
1
27 3 − 2 c. 2 3
a. 6 c. 24 e. 6
13 37 5
b. 13 d. 24 21. Hasil dari 2× 3× 48 : 6 2 = ...
6 35
a. 3 2 c. 3 e. 1
11. Nilai dari (243)52 (64)− 1 = …. b. 2 2 d. 2
2
a. − 27 c. 9 e. 27
8 8 8
b. − 9 d. 18 22. Hasil dari ( 2 + 3 3 ) – ( 5 –2 75 ) adalah
8 8 ….
12. Nilai x yang memenuhi persamaan a.– 7 3 – 3 d. 13 3 – 3
35x−1 = 1 243 adalah … b. – 7 3 + 3 e. 13 3 + 3
27
a. 3 c. 1 e. −3 c. 13 3 – 7
10 10
10
b. 1 d. − 1 23. Hasil dari (2 2 − 6)( 2 + 6) = …
5 10
13. Diketahui a = 25 dan b = 32 , nilai dari a. 2(1− 2) d. 3( 3 −1)
a 1/2 . b –1/5 = ….
a. –2 ½ c. 1 ½ e. 3 ½ b. 2(2 − 2) e. 4(2 3 +1)
b. –1 ½ d. 2 ½ c. 2( 3 −1)
14. Diketahui, a = 27 dan b = 32. 24. Hasil dari (5 3 + 7 2)(6 3 − 4 2) = …
22 a. 22 – 24 3 d. 34 + 22 6
Nilai dari (a 3 – b 5 ) adalah ... . e. 7 b. 34 – 22 3 e. 146 + 22 6
a. 3 c. 5
b. 4 d. 6
c. 22 + 34 6
15. Diketahui a = 64 dan b = 27. Nilai dari
1 −1 25. Hasil dari (3 6 + 4 2)(5 6 − 3 2) = …
a 3 xb 3 = .... a. 66 – 46 3 d. 66 + 46 3
a. 4 c. 6 e. 8 b. 66 – 22 3 e. 114 + 22 3
33 3
b. 5 d. 7 c. 66 + 22 3
33
16. Hasil dari 75 − 12 = … 26. Hasil dari 5 adalah …
23
a. 3 c. 3 3 e. 5 3
b. 2 3 d. 4 3 a. 5 3 c. 5 3 e. 5 3
3 6 12
17. Hasil dari 3 8 − 50 + 2 18 = … b. 3 d. 5 3
9
a. 7 2 c. 14 2 e. 23 2 27. Bentuk sederhana dari 4 adalah …
35
b. 13 2 d. 20 2
a. 1 5 c. 2 5 e. 4 15
5 15 15
18. Hasil dari 3 27 − 2 48 + 6 75 = … b. 1 5 d. 4 5
15 15
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 3
28. Bentuk sederhana dari 7 adalah … a. 8 c. 4 e. 2
3+ 2 b. 6 d. 3
a. 21 + 7 2 d. 3 + 2 37. Nilai dari 9log 25 5log 2 – 3log 54 = …
b. 21 + 2 e. 3 – 2 a. –3 c. 0 e. 3
c. 21 – 7 2 b. –1 d. 2
29. Bentuk sederhana 2 adalah … 38. Nilai dari 5 log 1 + 2log 8 3log 9 adalah
3− 7 25
d. 3 – 7 …
a. 6 + 2 7 a. 2 c. 7 e. 11
b. 6 – 2 7 e. –3 – 7 b. 4 d. 8
c. 3 + 7 39. Nilai dari log8 3 + log9 3 = …
log 6
30. Bentuk sederhana 27 − 45 adalah …
3− 5 a. 1 c. 3 e. 36
a. 1 c. 3 e. 5 b. 2 d. 6
b. 7 d. 14
31. Nilai dari 5log 75 – 5log3 + 1 = … 40. Diketahui 2log 3 = m dan 2log 5 = n. Nilai 2log
a. 3 c. 5log 75 + 1 e. 5log 71 90 adalah …
b. 2 d. 5log 77
a. 2m + 2n d. 2 + 2m + n
e. 2 + m2 + n
b. 1 + 2m + n
32. Nilai dari 2log 32 + 2log 12 – 2log 6 adalah c. 1 + m2 + n
…
41. Nilai a yang memenuhi 8 log a = 1 adalah
3
a. 2 c. 6 e. 16 …
b. 4 d. 8 a. 3 c. 1 e. 1
33. Nilai dari 2log 3 – 2log 9 + 2log 12 = … 3
a. 6 c. 4 e. 1 b. 2 d. 1
2
b. 5 d. 2
34. Nilai dari 5log 50 + 2log 48 – 5log 2 – 2log 3 42. Jika 2log 3 = a, maka 8log 6 = …
=…
a. 2 c. 1+ a e. 2+a
1+ a 2 3
a. 5 c. 7 e. 9 b. 3 d. 1+ a
1+ a 3
b. 6 d. 8
( )35. Nilai 1
dari 2 log 5 5log 4 2 log 1 5 log 25 2 43. Diketahui 3log 2 = m, maka 2log 5 = n
8 Nilai dari 3log 5 = …
=... c. 8 e. –12 a. m + n c. m – n e. n
a. 24 d. –4 m
b. 12
36. Nilai dari 2log 4 + 3 2log3 3log 4 = … b. mn d. m
n
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 4
FUNGSI KUADRAT
A. Persamaan Kuadrat
1. Bentuk umum persamaan kuadrat : ax2 + bx + c = 0, a 0
2. Nilai determinan persamaan kuadrat : D = b2 – 4ac
3. Akar–akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan memfaktorkan ataupun dengan rumus:
x1,2 = −b D
2a
4. Pengaruh determinan terhadap sifat akar:
a. Bila D > 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang berbeda
b. Bila D = 0, maka persamaan kuadrat memiliki 2 akar real yang kembar dan rasional
c. Bila D < 0, maka akar persamaan kuadrat imajiner (tidak memiliki akar–akar)
5. Jumlah, selisih dan hasil kali akar–akar persaman kuadrat
Jika x1, dan x2 adalah akar–akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka:
a. Jumlah akar–akar persamaan kuadrat : x1 + x2 = − b
b. Selisih akar–akar persamaan kuadrat a
: x1 − x2 = D
, x1 > x2
a
c. Hasil kali akar–akar persamaan kuadrat : x1 x2 = c
a
d. Beberapa rumus yang biasa digunakan saat menentukan jumlah dan hasil kali akar–akar
persamaan kuadrat
( ) ( )1) 2 b2 − 2ac
x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2(x1 x2 ) = −b −2 c
a a =
a2
( ) ( )( )2) x13 + x23 = (x1 + x2 )3 − 3(x1 x2 )(x1 + x2 ) =−b3 c −b − b3 + 3abc
a −3 a a
=
a3
3) 1+ 1 = x1 + x2 = −b = −b
a
x1 x2 x1 x2 c c
a
4) 1 + 1 = x12 + x22 = (x1 + x2 )2 − 2x1 x2 = b2 −2ac b2 − 2ac
a2 =
x12 x22 x12 x22 (x1 x2 )2 c2 c2
a2
Catatan:
Jika koefisien a dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, bernilai 1, maka
1. x1 + x2 = – b
2. x1 − x2 = D , x1 > x2
3. x1 x2 = c
KUMPULAN SOAL
Menentukan hasil operasi aljabar akar–akar persamaan kuadrat
1. Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan 2. Akar–akar persamaan kuadrat –x2 – 5x – 4 = 0
kuadrat 2x2 – 3x + 3 = 0, maka nilai adalah x1 dan x2. Jika x1 < x2, maka nilai dari x1 –
x1 · x2= … x2 = ….
a. –5 c. –3 e. 5
a. –2 c. 3 e. 3 b. –4 d. 3
2
b. – 3 d. 2
2
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 5
3. Akar–akar persamaan x2 – 2x – 3 = 0 adalah x1 9. Akar–akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0
dan x2. Jika x1 > x2 maka x1 – x2 = …
a. –4 c. 0 e. 4 adalah dan . nilai 1 + 1 = ….
b. –2 d. 2 a. − 5 c. 3 e. 8
4. Akar–akar persamaan kuadrat 3
5 3
2x2 – 13x –7= 0 adalah x1 dan x2. b. − 3 d. 5
5
Jika x2 > x1, maka nilai 2x1 + 3x2 = …. 3
a. –12,5 c. 12,5 e. 22 10. Jika x1 dan x2 adalah akar–akar persamaan
kuadrat 2x2 + 3x – 6 = 0, maka nilai dari
b. –7,5 d. 20
2x1x22 + 2x12 x2 = …
5. Akar–akar persamaan kuadrat
2x2 + 3x – 5= 0 adalah x1 dan x2. Jika x2 > x1, maka a. – 18 c. –9 e. 18
b. –12 d. 9
nilai 4x1 + 3x2 = ….
a. 7 c. –3 e. –7 11. Akar–akar persamaan kuadrat x2 – 5x + 3 = 0
b. 5 d. –5 adalah x1 dan x2. Nilai 1 + 1 = …
6. Persamaan kuadrat 2x2 – 4x + 1 = 0, akar– x12 x22
akarnya dan . Nilai dari ( + )2 – 2 adalah a. 17 c. 25 e. 19
…
a. 2 c. 5 e. 17 9 9 6
b. 3 d. 9
b. 19 d. 17
7. Akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – 4x + 2 = 0
9 6
12. Akar–akar persamaan kuadrat 3x2 – x + 9 = 0
adalah dan . Nilai dari adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = …
( + )2 – 2 =…. x2 x1
a. 10 c. 4 e. 0 a. − 53 c. 1 e. 54
27
9 9 27 27
b. 1 d. 1 b. − 3 d. 3
27
3 27
8. Jika x1 dan x2 akar–akar persamaan 13. Akar–akar persamaan kuadrat 3x2 + x – 5 = 0
2x2 + 3x – 7 = 0, maka nilai 1 + 1 = …
adalah x1 dan x2. Nilai dari x1 + x2 = …
x1 x2 x2 x1
a. 21 c. 3 e. − 7 a. − 43 c. − 31 e. − 21
3 15 15 15
4 7
b. 7 d. − 3 b. − 33 d. − 26
7 15 15
3
B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Jika diketahu x1 dan x2 adalah akar–akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan
kuadrat baru yang dengan akar–akar dan , dimana = f(x1) dan = f(x2) dapat dicari dengan cara
sebagai berikut:
1. Menggunakan rumus, yaitu:
x2 – ( + )x + = 0
catatan :
Pada saat menggunakan rumus ini harus Anda harus hafal rumus :
a. x1 + x2 = − b
a
b. x1 x2 = c
a
2. Menggunakan metode invers, yaitu jika dan simetri, maka persamaan kuadrat baru adalah:
a( −1)2 + b( −1) + c = 0 , dengan –1 invers dari
catatan:
Pada saat menggunakan metode invers Anda harus hafal rumus: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
C. Fungsi kuadrat Hal. 6
1. Bentuk umum fungsi kuadrat : y = ax2 + bx + c, a 0
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023
2. Pengaruh determinan terhadap bentuk grafik fungsi kuadrat adalah:
D a > 0 (fungsi minimum) a < 0 (fungsi maksimum)
D>0
Grafik memotong sumbu X di dua titik Grafik memotong sumbu X di dua titik
D=0 Grafik menyinggung sumbu X
Grafik menyinggung sumbu X
D<0 Grafik tidak menyinggung sumbu X
Grafik tidak menyinggung sumbu X
3. Bagian–bagian grafik fungsi kuadrat
a) Persamaan sumbu simetri : xe = − b
2a
b) Nilai ekstrim fungsi : ye = − D
4a
c) Koordinat titik balik/ekstrim : ( − b , − D )
2a 4a
KUMPULAN SOAL
Menentukan unsur–unsur grafik fungsi kuadrat.
1. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi a. (–2, –32) c. (–2, 32) e. (2, 32)
kuadrat y = 5x2 – 20x + 1 adalah … b. (–2, 0) d. (2, –32) d
a. x = 4 d. x = –3 5. Koordinat titik balik maksimum grafik
b. x = 2 e. x = –4 y = –2x2 – 4x + 5 adalah …
c. x = –2 a. (1, 5) c. (–1, 5) e. (0, 5)
2. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi b. (1, 7) d. (–1, 7) d
kuadrat y = 3x2 + 12x – 15, adalah … 6. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat
yang persamaannya y = (x – 6)(x + 2) adalah …
a. x = –2 d. x = 5
a. (–2,0) c. (1,–15) e. (3,–24)
b. x = 2 e. x = 1
b. (–1,–7) d. (2,–16) d
c. x = –5
3. Nilai maksimum dari f(x) = –2x2 + 4x + 1 7. Koordinat titik balik grafik fungsi
adalah … y = x2 – 6x + 10 adalah …
a. 3 b. –2 c. 1 d. 2 e. 3 a. (6, – 14) c. (0, 10) e. (3, 1)
4. Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat b. (3, – 3) d. (6, 10) e
dengan persamaan y = 2x2 – 8x – 24 adalah…
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 7
8. Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat b. ( 1 , 0), (2 , 0) dan (0, – 2)
3
y = x2 – 4x + 5 adalah …
a. (–2,1) c. (2,3) e. (–2,–1) c. ( − 1 , 0), (2 , 0) dan (0, 2)
3
b. (2,1) d. (–2,3) b
− 1 (–2
9. Koordinat titik balik fungsi kuadrat d. ( 3 , 0), , 0) dan (0, 2)
4y – 4x2 + 4x – 7 = 0 adalah … e. (3, 0), (–2 , 0) dan (0, –2)
( ) ( ) ( )a.
− 1 , 3 c. 1 ,− 3 e. 1 , 7 13. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat
2 2 2 2 2 4 y = 3x2 – x – 2 dengan sumbu X dan sumbu
( )b. ( )d. Y adalah …
− 1 , 7 1 , 3
2 4 2 2
10. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat a. (–1, 0), ( 2 , 0) dan (0, 2)
f(x) = (x – 1)2 – 4 dengan sumbu X adalah … 3
a. (1, 0) dan (3 , 0) d. (0, –1) dan (0 , 3)
b. (0, 1) dan (0 , 3) e. (–1, 0) dan (–3 , 0) b. ( − 2 , 0), (1 , 0) dan (0, – 2)
c. (–1, 0) dan (3 , 0) 3
c. (− 3 , 0), (1 , 0) dan (0, − 2 )
2 3
11. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat d. ( − 3 , 0), (–1 , 0) dan (0, –1)
y = 3x2 + 7x – 6 dengan sumbu X adalah … 2
a. ( 2 ,0) dan (–3,0) e. ( 3 , 0), (1 , 0) dan (0, 3)
3 2
b. ( 2 ,0) dan (3,0) 14. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat
3 y = 2x2 – 5x – 3 dengan sumbu X dan sumbu
Y berturut–turut adalah …
c. ( 3 ,0) dan (–3,0)
2
d. (–3,0) dan (– 3 ,0) a a. ( − 1 , 0), (–3, 0) dan (0, –3)
2 2
e. (0, 3 ) dan (0,–3) b. ( − 1 , 0), (3 , 0) dan (0, –3)
2 2
12. Koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat c. ( 1 , 0), (–3, 0) dan (0, –3)
f(x) = 3x2 + 5x – 2 dengan sumbu X dan sumbu 2
Y berturut–turut adalah …
d. ( − 3 , 0), (1 , 0) dan (0, –3)
1 (–2 – 2
a. ( 3 , 0), , 0) dan (0, 2)
(–1, 3 , 0) dan (0, –3)
e. 0), ( 2
D. Menenetukan persamaan grafik fungsi kuadrat
1. Grafik fungsi kuadrat yang melalui titik balik (xe, ye) dan sebuah titik tertentu (x, y):
Y
(xe, ye)
(x, y)
0X
y = a(x – xe)2 + ye
2. Grafik fungsi kuadrat yang memotong sumbu X di dua titik (x1, 0), (x2, 0), dan melalui sebuah titik
tertentu (x, y):
Y
(x, y)
(x1, 0) (x2, 0)
X
0
y = a(x – x1) (x – x2)
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 8
KUMPULAN SOAL
Menentukan persamaan grafik fungsi kuadrat
1. Persamaan grafik fungsi kuadrat mempunyai titik
ekstrim (–1, 4) dan melalui titik (0, 3) adalah … 9. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar
adalah …
a. y = –x2 + 2x – 3 d. y = –x2 – 2x – 5 a. y = –2x2 + 4x + 3
b. y = –x2 + 2x + 3 e. y = –x2 – 2x + 5 b. y = –2x2 + 4x + 2
c. y = –x2 – 2x + 3 c c. y = –x2 + 2x + 3
d. y = –2x2 + 4x – 6
2. Grafik fungsi kuadrat melalui titik (0, 3) dan e. y = –x2 + 2x – 5
mempunyai titik balik (2, –1). Persamaannya adalah c
... .
a. y = x 2 – 4x + 3 d. y = – x 2 – 4x + 3
b. y = x 2 + 4x + 3 e. y = – x 2 + 4x + 3
c. y = x 2 – 4x – 3 10. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar
3. Persamaan fungsi kuadrat yang mempunyai titik adalah …
balik (2,–1) dan melalui titik (3,5) adalah…. a. y = 1 x2 – 2x – 2
a. y = 6x2 – 24x + 23 d. y = 6x2 – 24x + 25
b. y = 6x2 – 24x – 23 e. y = 6x2 – 24x – 25 2
c. y = 6x2 + 24x + 23 Y b. y = 1 x2 + 2x – 2
2
4. Grafik fungsi kuadrat memotong simbu X di titik A(– 2 c. y = 1 x2 – 2x + 2
1,0) ; B(4,0) dan memotong sumbu Y dititik C (0,8) . 2
Persamaan grafik fungsi kuadrat adalah …. X d. y = – 1 x2 + 2x + 2
A.y = –2x2 + 10x + 8 D. y = –2x2 – 6x + 8 0 123
2
B. y = –2x2 – 10x + 8 E. y = –2x2 + 6x + 8
e. y = – 1 x2 – 2x + 2
2
C. y = –2x2 + 4x + 8 11. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang grafiknya
5. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik tergambar di bawah ini adalah …
A(–2,8); B(1,10) dan C(3,0) adalah ... .
Y a. y = x2 + 2x + 3
a. y = –x 2 + x – 21 d. y = –x 2 – x + 12 b. y = x2 + 2x – 3
4 c. y = x2 – 2x – 3
b. y = –x 2 + x + 12 e. y = –x 2 – x – 12
d. y = –x2 + 2x – 3
c. y = –x 2 + x – 12 e. y = –x2 – 2x + 3
6. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong –3 –1 1 X
sumbu X di titik (1,0) dan (3,0) serta melalui titik (–1,
–16) adalah …
12. Persamaan grafik fungsi dari gambar berikut adalah
a. y = 2x2 – 8x + 6 d. y = –2x2 + 8x – 6 …
b. y = x2 + 4x – 21 e. y = –2x2 + 4x – 10 Y a. y = x2 – 2x – 8
b. y = –x2 + 2x + 8
c. y = x2 + 4x – 5
7. Persamaan grafik fungsi kuadrat yang memotong
sumbu X di titik (–3,0) dan (2,0) serta melalui titik (1, (0,4) c. y = 1 x2 – x – 4
–8) adalah … 2
a. y = 2x2 + 3x – 12 d. y = –2x2 + 2x – 12 X d. y = – 1 x2 + x + 4
2
e. y = x2 + x – 4
b. y = –2x2 – 3x – 12 e. y = 2x2 + 2x – 12 –2 4
c. y = 2x2 – 2x + 12
8. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar di 13. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar
adalah …
bawah ini adalah … a. y = x2 – 16
Y b. y = 2x2 – 8x
Y a. y = – 1 x2 – 2x + 2 8 c. y = –2x2 + 8x
d. y = –2x2 + 4x
3 e. y = –x2 + 4x
5 b. y = – 1 x2 + 2x + 2
3
2 c. y = – 1 x2 + 2x – 2
03
3
d. y = 1 x2 + 2x + 2
3
X X
e. y = 1 x2 – 2x + 2 02 4
3
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 9
E. Pertidaksamaan Kuadrat
Bentuk BAKU pertidaksamaan kuadrat adalah
ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c < 0, dan ax2 + bx + c > 0
Adapun langkah penyelesaian Pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut:
1. Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk baku (jika bentuknya belum baku)
2. Cari nilai pembentuk nolnya yaitu x1 dan x2 (cari nilai akar–akar persamaan kuadratnya)
3. Simpulkan daerah himpunan penyelesaiannya:
No Pertidaksamaan Daerah HP penyelesaian Keterangan
a> +++ – – – + + + • Daerah HP (tebal) ada di tepi,
b≥ x1 x2 menggunakan kata hubung atau
Hp = {x | x < x1 atau x > x1} • x1, x2 adalah akar–akar persaman
kuadrat ax2 + bx + c = 0
+++ – – – + + +
x1 x2
Hp = {x | x ≤ x1 atau x ≥ x1}
c< +++ – – – + + + • Daerah HP (tebal) ada tengah
d≤
x1 x2 • x1, x2 adalah akar–akar persaman
Hp = {x | x1 < x < x2} kuadrat ax2 + bx + c = 0
+++ – – – + + +
x1 x2
Hp = {x | x1 ≤ x ≤ x2}
KUMPULAN SOAL
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat
1. Penyelesaian pertidaksamaan 2x2 + x −1 0 b. {x | –8 < x < 1 ; x R}
dinyatakan dengan garis bilangan .... c. {x | –8 < x < –1 ; x R}
a.
d. {x | x < –1 atau x > 8 ; x R}
–1 0,5
e. {x | x < –8 atau x > 1; x R}
b. 4. Himpunan penyelesaian dari x2 – 10x + 21 < 0,
–0,5 –1 x R adalah :
a. {x | x < 3 atau x > 7 }
c. b. {x | x < – atau x > 3 }
–1 –0,5 c. {x | –7 < x < 3 }
d. {x | –3 < x < 7}
d. e. {x | 3 < x < 7 } e
–1 0,5
e. 5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
x2 + 3x – 40 < 0 adalah …
–0,5 1 a. {x | –8 < x < –5}
2. Himpunan penyelesaian dari x(2x + 5) 12 adalah b. {x | –8 < x < 5}
… c. {x | –5 < x < 8}
d. {x | x < –5 atau x > 8} b
a. {x | x – 4 atau x 3, x R} e. {x | x < –8 atau x > 5}
2
b. {x | x 3 atau x 3, x R} 6. Penyelesaian pertidaksamaan 3x2 − 2x −1 0
2 dinyatakan dengan bagian garis bilangan ….
c. {x | –4 x – 3 , x R}} a.
2
d. {x | – 3 x 4, x R} –1/3 2
2
b.
e. {x | –4 x 3 , x R}
2
3. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 1/3 2
c.
(x + 2)2 + 3(x – 2) – 6 < 0, adalah …
a. {x | –1 < x < 8 ; x R}
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 10
–1/3 1 a. {x | − 2 < x < 5; x R}
d. 3
–1/3 1 b. {x | –5 < x < − 2 ; x R}
e. 3
1/3 1 c. {x | x< 2 atau x > 5 ; x R}
7. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3
x2 – 7x + 10 0 adalah … d. {x | x < − 2 atau x > 5 ; x R}
a. {x | x –5 atau x –2, x R} 3
b. {x | x 2 atau x 5, x R} e. {x | x < –5 atau x> 2 ; x R}
c. {x | x < 2 atau x > 5, x R} 3
d. {x | –5 x –2, x R}
11. Himpunan penyelesaian x2 + x – 6 > 0 adalah ...
e. {x | 2 x 5, x R} a. {x | x < –3 atau x < 2}
8. Himpunan penyelesaian dari –2x2 + 11x – 5 ≥ 0,
b. {x | x ≤ –3 atau x ≥ 2}
adalah … c. {x | –3 ≤ x ≤ 2}
d. {x | –2 ≤ x ≤ 3}
e. {x | –2 ≤ x ≤ 2}
12. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
a. {x | x ≤ –5 atau x ≥ − 1 ; x R}
2 2x2 + x – 6 > 0 untuk x R adalah …
b. {x | –5 ≤ x ≤ − 1 ; x R} a. {x | –2 < x < 3 }
2
2
c. {x | − 1 ≤ x ≤ 5 ; x R}
2 b. {x | – 3 < x < 2}
2
d. {x | x ≤ 1 atau x ≥ 5 ; x R}
2 c. {x | x ≤ –2 atau x 3}
e. {x | 1 ≤ x ≤ 5 ; x R} 2
2
d. {x | x < – 3 atau x > 2}
9. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2
x2 + 5x 2(2x + 3) adalah … e. {x | x < –2 atau x > 3 }
2
a. {x | x – 3 atau x 2} 13. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
b. {x | x – 2 atau x 3} x2 – 9x + 14 > 0, x R adalah ...
c. {x | x 2 atau x 3} a. (x | x < –2 atau x > 7, x R}
d. {x | –3 x 2} b. (x | x < –7 atau x > 2, x R}
e. {x | –2 x 2} c. {x | x < 2 atau x > 7, x R}
10. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan d. {x | x < 2 atau x > –7, x R}
3x2 – 13x – 10 > 0, untuk x R adalah … e. {x | 2 < x < 7, x R}
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 11
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
1) Bentuk umum : aa12xx + b1y = c1
+ b2y = c2
2) Dapat diselesaikan dengan metode grafik, substitusi, eliminasi, dan determinan.
3) Metode determinan:
D = a1 b1 = a1b2 – a2b1;
a2 b2
Dx = c1 b1 ; Dy = a1 c1 ;
c2 b2 a2 c2
x = Dx ; y = Dy
D D
B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
1) Bentuk umum : aa12xx ++ b1y + c1z = d1 2
b2y + c2z = d
a3x + b3y + c3z = d3
2) Dapat diselesaikan dengan metode eliminasi bertingkat dan determinan.
3) Metode determinan:
a1 b1 c1 = (a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3) –
D = a2 b2 c2 = (a3b2c1 + b3c2a1 + c3a2b1)
a3 b3 c3
d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1
Dx = d 2 b2 c2 ; Dy = a 2 d 2 c2 ; Dz = a 2 b2 d 2 ;
d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3
x = Dx ; y = Dy ; z = Dz
D D D
KUMPULAN SOAL
Menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel
1. Diketahui x1 dan y1 memenuhi sistem persamaan 3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear
4x + 2y = 10 nilai x1 y1 = … 2x – y = 1 dan 4x + 7y = 11 adalah {x0, y0}. Nilai
6x − 4y = −6 dari x0 + y0 = …
a. – 2 c. 0 e. 2
a. 6 c. –2 e. –6 b. – 1 d. 1
b. 3 d. –3
2. Diketahui m dan n merupakan penyelesaian dari 4. Himpunan penyelesaian dari : 3x + 2y = 0
x + 3y = 7
sistem persamaan:
3x + 2y = 17 nilai m + n = … adalah x1 dan y1, nilai 2x1 + y1 = …
2x + 3y = 8 a. – 7 c. –1 e. 4
b. – 5 d. 1
a. 9 c. 7 e. 5
b. 8 d. 6
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 12
5. Diketahui (x, y) merupakan penyelesaian dari setengah kilogram gula maka harga yang dibayar
adalah …
sistem persamaan 6x − 7y = 47 a. Rp 3.000,00 d. Rp 5.500,00
3x + 5y = −19
b. Rp 4.000,00 e. Rp 6.000,00
Nilai x + y = … c. Rp 5.000,00
a. – 7 c. 1 e. 7
b. –3 d. 3
11. Andi membeli 3 buku dan 2 pulpen dengan harga
Rp12.000,00 sedangkan Bedu membeli 1 buku
6. Penyelesaian dari sistem persamaan dan 3 pulpen dengan harga Rp11.000,00. Jika
x + 2y =5 adalah xo dan yo. Caca ingin membeli 1 buku dan 1 pulpen di toko
2x − y =5 yang sama ia harus membayar …
a. Rp4.500,00 d. Rp6.000,00
Nilai 1 + 1 = … b. Rp5.000,00 e. Rp6.500,00
xo yo c. Rp5.500,00
e. 1 2
a. 1 c. 1 12. Ibu Salmah membeli tiga tangkai bunga Anggrek
3
3
b. 2 d. 1 1 dan empat buah pot bunga, ia harus membayar
Rp 42.500,00. Sedangkan ibu Nina membeli dua
33
7. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan tangkai bunga Anggrek dan tiga pot bunga, ia
harus membayar Rp 30.00,00. Ibu Salmah, Ibu
1 + 1 = 10
x − y = 26 Nina, dan Ibu Rossi membeli bunga dan pot
adalah …
5 3 bunga dengan harga satuan yang sama. Jika Ibu
x y Rossi membeli lima tangkai bunga Anggrek dan
a. − 2 c. 1 e. 3 lima buah pot bunga, maka ia harus membayar …
3 a. Rp 52.500,00 d. Rp 67.000,00
7 4
b. 1 d. 1 b. Rp 62.500,00 e. Rp 72.500,00
c. Rp 65.000,00
62
8. Bu Ana membayar Rp 39.000,00 untuk membeli 3 13. Harga 2 mangkok bakso dan 1 mangkok es
kg jeruk dan 2kg apel. Pada tempat yang sama Bu campur Rp14.000,00. Harga 1 mangkok bakso
Ani membayar Rp 59.000,00 untuk membeli 2 kg dan 2 mangkok es campur Rp13.000,00. Ani
jeruk dan 5 kg apel. Harga 1 kg jeruk adalah … Membayar Rp80.000,00 untuk 8 mangkok bakso
dan beberapa mangkok es campur. Es campur
a. Rp6.500,00 d. Rp9.000,00 yang dibayar Ani adalah …
b. Rp7.000,00 e. Rp11.000,00 a. 6 mangkok
c. Rp7.500,00 b. 8 mangkok
c. 9 mangkok
9. Pak temon bekerja dengan perhitungan 4 hari d. 10 mangkok
e. 12 mangkok
lembur dan 2 hari tidak lembur serta mendapat
gaji Rp740.000,00 sedangkan Pak Abdel bekerja
2 hari lembur dan 3 hari tidak lembur dengan gaji
Rp550.000,00. Jika Pak Eko bekerja dengan
perhitungan lembur selama lima hari, maka gaji 14. Irma membeli 2 kg apel dan 3 kg jeruk dengan
harga 57.000,00 sedangkan Ade membeli 3 kg
yang diterima Pak Eko adalah … apel dan 5 kg jeruk dengan harga Rp 90.000,00.
a. Rp450.000,00 d. Rp750.000,00 Jika Surya hanya membeli 1 kg Apel dan 1 kg
b. Rp650.000,00 e. Rp1.000.000,00 Jeruk, kemudian ia membayar dengan uang Rp
c. Rp700.000,00 100.000,00, maka uang kembalian yang diterima
Surya adalah …
10. Harga 3 kg beras dan 2 kg gula di toko A adalah a. RP 24.000,00
Rp 17.000,00, sedangkan di toko B harga 4 kg b. RP 42.000,00
beras dan 5 kg gula adalah Rp 32.000,00. Pada c. RP 67.000,00
saat itu, harga beras dan gula di toko A dan di toko d. RP 76.000,00
B sama. Jika Budi membeli 1 kg beras dan e. RP 80.000,00
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 13
LOGIKA MATEMATIKA
A. Negasi (Ingkaran)
Negasi adalah pengingkaran terhadap nilai kebenaran suatu pernyataan. ~ p : tidak p
p ~p
BS
SB
B. Operasi Logika
1) Konjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “dan”.
p q : p dan q
2) Disjungsi adalah penggabungan dua pernyataan atau lebih dengan operator “atau”.
p q : p atau q
3) Implikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “Jika …, maka …”.
p q : Jika p maka q
4) Biimplikasi adalah penggabungan dua pernyataan dengan operator “… jika dan hanya jika …”
p q : p jika dan hanya jika q
C. Nilai Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, dan Biimplikasi
premis 1 premis 2 konjungsi disjungsi implikasi biimplikasi
P q pq pq pq pq
B B B B
B B S B S S
B S S B B S
S B S S B B
S S
Kesimpulan: perhatikan nilai kebenaran yang tercetak tebal
1) Konjungsi akan bernilai benar (B), jika kedua premis benar,
2) Disjungsi akan bernilai salah (S), jika kedua premis salah
3) Implikasi akan bernilai salah (S), jika premis sebelah kiri benar (B) dan kanan salah (S)
4) Biimimplikasi akan bernilai benar (B), jika premis kiri dan kanan kembar
KUMPULAN SOAL
Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk
1. Nilai kebenaran dari pernyatan majemuk yang P Q ~p q
dinyatakan dengan (~p q) ~q, pada tabel B B .......
berikut adalah … B S .......
p Q (~p q) ~q S B .......
S S .......
BB …
a. BBBB c. BSBB e. SSSB
BS … b. BBBS d. SBBB
SB … 4. Perhatikan tabel berikut!
SS … p q (p q) (p ~q)
a. BBSS c. BBSB e. SBBB B B…
b. BSSS d. BSBB
B S…
2. Nilai kebenaran pernyataan majemuk (~pq)
S B…
~q, pada tabel berikut adalah …
S S…
p Q (~pq) ~q
Nilai kebenaran pernyataan pada kolom ketiga
BB …
tabel tersebut, adalah … .
BS … a. BBBB c. SBSS e. SSSS
SB … b. SSBB d. BSBS
SS … 5. Diketahui p dan q merupakan suatu pernyataan.
a. SBSB c. BSBB e. BBS Nilai kebenaran Pernyataan tersebut B jika benar,
b. BBBS d. BBBB
dan S jika salah. Pada tabel berikut, nilai
3. Perhatikan tabel nilai kebenaran berikut kebenaran dari pernyataan kolom ke -3, adalah ...
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 14
pq p~ q 10. Jika ~p menyatakan negasi dari pernyataan p,
dengan ~p bernilai benar dan q bernilai salah,
BB ... maka pernyataan berikut bernilai benar adalah …
BS ...
SB ... a. (~p ~ q) q d. (p q) p
SS ...
a. BBBB b. (p q) q e. (~p q) p
b. BSBB c. SBBB
d. BSSS e. SBBS c. (~p q) p
11. Diberikan nilai kebenaran dari pernyataan ~p dan
6. Diketahui pernyataan p bernilai benar, q bernilai q berturut-turut benar dan salah. Pernyataan
berikut yang bernilai benar adalah ...
benar, dan r bernilai salah. Dari pernyataan
tersebut dibuat pernyataan majemuk : a. (p q) p d. (p → q) ~p
1). (p ~q) (p r) b. (p q) ~p e. (~p → q) q
2). (p q) (p r) c. (q → ~p) q
3). (~p q) (q ~r) 12. Pernyataan berikut yang bernilai salah adalah
Pernyataan majemuk yang bernilai benar adalah a. Ada bilangan prima yang habis dibagi 3 dan 1
+3<4
…
a. (1) saja d. (1) dan (2) b. Segitiga siku-siku mempunyai sudut yang
b. (2) saja e.(2) dan (3) besarnnya 90 dan 1 bukan bilangan prima
c.(3) saja c. Semua bilangan prima habis dibagi 3 atau 23
dibagi 3 sisanya 2
7. Diketahui pernyataan p , q , yang mempunyai d. Jika 5 bukan bilangan prima maka semua
nilai kebenaran B(benar), dan S(salah). Nilai bilangan genap tidak habis dibagi 3
e. Jika jumlah dua bilangan ganjil merupakan
kebenaran dari pernyataan (p q) ~q adalah bilangan genap maka hasil kali dua bilangan
... . ganjil adalah ganjil
a.BBBB c.BBSS E. SSSB
b.BBBS d. SSBB 13. Diketahui: p pernyataan bernilai benar dan q
8. Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan pernyataan bernilai salah. Implikasi di bawah yang
bernilai salah adalah ...
(p q) ~p, pada tabel berikut adalah …
a. p ~q c. q p e. ~q ~p
p q (p q) ~p
b. ~p q d. q ~p
BB …
14. Jika p dan q pada tiap-tiap pernyataan salah,
BS … maka yang benar dari pernyataan di bawah ini
SB … adalah …
SS … a. ~p q c. p ~q e. p q
a. SBSB c. SSBB e. BBBB b. p q d. p q
b. SSSB d. SBBB
9. Nilai kebenaran yang tepat untuk pernyataan 15. Diketahui p merupakan pernyataan yang benar
dan q merupakan pernyataan yang bernilai salah,
(p~q) q, pada tabel berikut adalah … maka di antara pernyataan di bawah ini yang
p q (p~q) q bernilai salah adalah ...
BB… a. p q c. ~p q e. p ~q
BS… b. p q d. q p
SB… 16. Jika diketahui pernyataan p benar dan q salah,
SS… maka pernyataan di bawah ini yang benar
a. SSSS c. BBSS e. BBBS adalah ...
b. BSSS d. SSBB
a. p q c. ~ p q e. ~ p ~ q
b. ~ p q d. ~ p q
D. Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Bila terdapat bentuk implikasi p q, maka diperoleh tiga pengembangannya sebagai berikut:
Implikasi Invers Konvers Kontraposisi
pq ~p~q qp ~q~p
Kesimpulan yang dapat diambil adalah:
1) invers adalah negasi dari implikasi
2) konvers adalah kebalikan dari implikasi
3) kontraposisi adalah implikasi yang dibalik dan dinegasi
E. Pernyataan-Pernyataan yang Equivalen
1) implikasi kontraposisi :pq~q~p
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 15
2) konvers invers :qp~p~q
3) ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari konjungsi
4) ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari disjungsi
5) ~(p q) p ~ q : ingkaran dari implikasi
6) p q ~ p q
7) ~(p q) (p ~ q) (q ~ p) : ingkaran dari biimplikasi
F. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial
• Kuantor Universal adalah suatu pernyataan yang berlaku untuk umum, notasinya “x” dibaca
“untuk semua nilai x”
• Kuantor Eksistensial adalah suatu pernyataan yang berlaku secara khusus, notasinya “x” dibaca
“ada nilai x” atau “beberapa nilai x”
• Ingkaran dari pernyataan berkuantor
1) ~(x) (~x)
2) ~(x) (~x)
KUMPULAN SOAL
Menentukan ingkaran suatu pernyataan majemuk
1. Ingkaran dari pernyataan “beberapa siswa b. Ani senang bernyanyi juga senang olah raga
memakai kacamata” adalah … c. Ani tidak senang bernyanyi atau tidak senang
a. Beberapa siswa tidak memekai kacamata
b. Semua siswa memakai kacamata olah raga
c. Ada siswa tidak memakai kacamata d. Ani tidak senang bernyanyi atau senang olah
d. Tidak benar semua siswa memakai kacamata
e. Semua siswa tidak memakai kacamata raga
e. Ani senang bernyanyi atau tidak senang olah
2. Ingkaran dari “Semua bunga harum baunya dan
hijau daunnya” adalah.... raga
a. Tidak semua bunga harum baunya dan hijau 6. Negasi dari pernyataan: “Permintaan terhadap
daunnya
b. Semua bunga tidak harum baunya dan tidak sebuah produk tinggi dan harga barang naik”,
hijau daunnya adalah …
c. Beberapa bunga tidak harum baunya atau a. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi
tidak hijau daunnya
d. Beberapa bunga tidak harum dan tidak hijau atau harga barang naik.
daunnya b. Permintaan terhadap sebuah produk tidak
e. Ada bunga yang tidak harum dan tidak hijau
daunnya tinggi atau harga barang naik.
c. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi
3. Ingkaran dari pernyataan: “18 habis dibagi 2 atau
9” adalah … dan harga barang tidak naik.
a. 18 tidak habis dibagi 2 dan tidak habis dibagi 9 d. Permintaan terhadap sebuah produk tidak
b. 18 tidak habis dibagi 2 dan 9
c. 18 tidak habis dibagi 2 dan habis dibagi 9 tinggi dan harga barang tidak naik.
d. 2 dan 9 membagi habis 18 e. Permintaan terhadap sebuah produk tidak
e. 18 tidak habis dibagi
tinggi atau harga barang tidak naik.
4. Negasi dari pernyataan “Hari ini tidak hujan dan 7. Negasi dari pernyataan “Saya bukan pelajar kelas
saya tidak membawa payung” adalah …
a. Hari ini hujan tetapi saya tidak membawa XII IPS atau saya ikut Ujian Nasional” adalah ...
payung a. jika saya pelajar kelas XII IPS maka saya ikut
b. Hari ini tidak hujan tetapi saya membawa
payung Ujian Nasional
c. Hari ini tidak hujan atau saya tidak membawa b. jika saya pelajar kelas XII IPS maka saya tidak
payung
d. Hari ini hujan dan saya membawa payung ikut Ujian Nasional
e. Hari ini hujan atau saya membawa payung c. saya pelajar kelas XII IPS dan saya tidak ikut
5. Negasi dari pernyataan “Ani senang bernyanyi Ujian Nasional
dan tidak senang olah raga”, adalah … d. saya bukan pelajar kelas XII IPS dan saya
a. Ani tidak senang bernyanyi tetapi senang olah
raga tidak ikut Ujian Nasional
e. saya tidak ikut Ujian Nasional jika dan hanya
jika saya bukan pelajar kelas XII IPS
8. Ingkaran dari pernyataan “Harga BBM turun,
tetapi harga sembako tinggi ” adalah … .
a. Harga BBM tinggi, dan harga sembako turun.
b. Jika harga BBM turun, maka harga sembako
rendah
c. Jika harga BBM tinggi maka harga sembako
tinggi
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 16
d. Harga BBM tidak turun dan harga sembako b. Jika Ali mempunyai kartu pelajar, maka ia
tidak tinggi seorang pelajar SMA
e. Harga BBM tidak turun atau harga sembako c. Jika Ali seorang pelajar SMA, maka ia tidak
tidak tinggi. mempunyai kartu pelajar
9. Negasi dari pernyataan “Jika Prabu mendapatkan d. Ali seorang pelajar SMA dan ia tidak
nilai jelek maka ia tidak mendapatkan uang saku”, mempunyai kartu pelajar
adalah …
a. Jika tidak Prabu mendapatkan nilai jelek maka e. Ali seorang pelajar SMA atau ia tidak
ia mendapatkan uang saku mempunyai kartu pelajar
b. Jika Prabu mendapatkan nilai jelek maka ia
tidak mendapatkan uang saku 14. Ingkaran dari pernyataan “Jika harga penawaran
c. Prabu tidak mendapatkan nilai jelek atau ia tinggi maka permintaan rendah ” adalah … .
mendapatkan uang saku a. Jika harga penawaran rendah maka
d. Prabu tidak mendapatkan nilai jelek dan ia permintaan tinggi
mendapatkan uang saku b. Jika permintaan tinggi maka harga
e. Prabu mendapatkan nilai jelek tetapi ia penawaran rendah
mendapatkan uang saku c. Jika harga permintaan tinggi maka
penawaran rendah
10. Negasi dari pernyataan “Jika Tia belajar, maka ia d. Penawaran rendah dan permintaan tinggi
lulus “ adalah … e. Harga penawaran tinggi tetapi permintaan
a. Jika Tia lulus, maka ia belajar. tinggi.
b. Jika Tia tidak lulus, maka ia tidak belajar.
c. Jika Tia tidak belajar, maka ia tidak lulus. 15. Tono menyatakan : "Jika ada guru yang tidak
d. Tia belajar dan ia tidak lulus hadir maka semua siswa sedih dan prihatin"
e. Tia tidak belajar tetapi ia lulus. Ingkaran dari pernyataan Tono tersebut adalah
11. Ingkaran dari pernyataan “Jika saya lulus SMA .
maka saya melanjutkan ke jurusan bahasa” a. Jika semua guru hadir maka ada siswa yang
adalah ....
a. Jika saya tidak lulus SMA maka saya tidak tidak sedih dan prihatin"
melanjutkan ke jurusan bahasa b. Jika semua siswa sedih dan prihatin maka
b. Jika saya lulus SMA maka saya tidak
melanjutkan ke jurusan bahasa ada guru yang tidak hadir"
c. Jika saya melanjutkan ke jurusan bahasa c. Ada guru yang tidak hadir dan semua siswa
maka saya lulus SMA
d. Saya lulus SMA dan saya tidak melanjutkan sedih dan prihatin"
ke jurusan bahasa d. Ada guru yang tidak hadir dan ada siswa
e. Saya tidak lulus SMA dan saya tidak
melanjutkan ke jurusan bahasa yang tidak sedih dan tidak prihatin"
e. Ada guru yang tidak hadir dan ada siswa
12. Ingkaran dari pernyataan “Jika hari hujan maka
Lila tidak berangkat ke sekolah”, adalah … . yang tidak sedih atau tidak prihatin"
a. Jika hari hujan maka Lila berangkat ke 16. Negasi dari pernyataan “Jika ulangan tidak jadi
sekolah.
b. Jika hari tidak hujan maka Lila berangkat ke maka semua murid bersuka ria” adalah …
sekolah a. Ulangan tidak jadi dan semua murid tidak
c. Jika Lila berangkat ke sekolah maka hari
tidak hujan bersuka ria
d. Hari hujan tetapi Lila berangkat ke sekolah b. Ulangan tidak jadi dan semua murid bersuka
e. Hari tidak hujan dan Lila tidak berangkat ke
sekolah ria
c. Ulangan tidak jadi dan ada murid tidak
13. Negasi dari pernyataan “Jika Ali seorang pelajar
SMA, maka ia mempunyai kartu pelajar.” Adalah bersuka ria
… d. Ulangan jadi dan semua murid bersuka ria
a. Jika Ali bukan seorang pelajar SMA, maka ia e. Ulangan jadi dan semua murid tidak bersuka
tidak mempunyai kartu pelajar
ria
17. Negasi dari pernyataan ~ (p q) adalah ... .
a. ( p ~q) ( q ~p)
b. B.( ~p ~q) ( q p)
c. ( ~p ~q) ( q p)
d. ( ~p ~q) ( q p)
e. ( p ~q) ( q ~p)
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 17
G. Penarikan Kesimpulan
Jenis penarikan kesimpulan ada 3 yaitu:
1) Modus Ponens 2) Modus Tollens 3) Silogisme
(MP) (MT)
p q : premis 1 p q : premis 1 p q : premis 1
p : premis 2 ~q : premis 2 q r : premis 2
p r : kesimpulan
q : kesimpulan ~p : kesimpulan
KUMPULAN SOAL
Menentukan kesimpulan dari beberapa premis.
1. Penarikan kesimpulan yang sah dari premis- Premis 1: “Jika nilai tukar dolar Amerika terhadap
mata uang Rupiah naik maka harga
premis yang dinyatakan dalam bentuk lambang emas naik”.
berikut.
Premis 2: “Harga emas tidak naik”
(1) : p q adalah … Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-
(2) : ~ p premis tersebut adalah ...
a. Jika nilai tukar dolar Amerika terhadap mata
a. p c. q e. p q
uang Rupiah tidak naik maka harga emas
b. ~p d. ~q tidak naik.
2. Diberikan pernyataan sebagai berikut: b. Jika harga emas tidak naik maka nilai tukar
1) Jika Ali menguasai bahasa asing maka Ali dolar Amerika terhadap mata uang Rupiah
tidak naik
mengililingi dunia. c. Nilai tukar dolar Amerika terhadap mata uang
2) Ali menguasai bahasa asing Rupiah naik atau harga emas tidak naik
Kesimpulan dari dua pernyataan di atasa adalah d. Nilai tukar dolar Amerika terhadap mata uang
… Rupiah tidak naik
a. Ali menguasai bahasa asing e. Nilai tukar dolar Amerika terhadap mata uang
b. Ali tidak menguasai bahasa asing Rupiah tidak naik dan harga emas tidak naik
6. Diketahui premis-premis berikut:
c. Ali mengelilingi dunia Premis 1 : Jika Rini naik kelas dan ranking satu
d. Ali menguasai bahasa asing dan Ali
mengelilingi dunia maka ia berlibur di Bali
e. Ali tidak menguasai bahasa asing dan Ali Premis 2 : Rini tidak berlibur di bali
mengelilingi dunia Kesimpulan yang sah adalah ….
a. Rini naik kelas dan tidak ranking satu
3. Diketahui premis-premis: b. Rini naik kelas maupun ranking satu
Premis 1 : Jika guru matematika tidak datang c. Rini naik kelas atau tidak ranking satu
maka semua siswa senang d. Rini tidak naik kelas atau tidak ranking satu
Premis 2 : Ada siswa yang tidak senang e. Rini tidak naik kelas tetapi tidak ranking satu
Kesimpulan yang sah dari premis-premis di atas 7. Diketahui :
adalah …. premis 1 : Jika Ruri gemar membaca dan menulis
a. Guru matematika tidak datang puisi, maka Uyo gemar bermain basket
b. Semua siswa senang Premis 2 : Uyo tidak gemar bermain basket
c. Guru matematika senang Kesimpulan yang sah dari argumentasi tersebut
d. Guru matematika datang adalah....
e. Ada siswa yang tidak senang a. Ruri gemar membaca dan menulis
b. Ruri tidak gemar membaca atau menulis
4. Perhatikan premis-premis berikut. c. Ruri tidak gemar membaca dan menulis
Premis 1: Jika Budi taat membayar pajak maka d. Uyo tidak gemar membaca dan menulis
Budi warga yang bijak e. Uyo tidak gemar bermain basket
Premis 2: Budi bukan warga yang bijak 8. Diberikan pernyataan :
Kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut 1. Jika saya peserta Ujian Nasional maka saya
adalah ...
berpakaian seragam putih abu-abu
a. Jika Budi tidak membayar pajak maka Budi 2. saya tidak berpakaian seragam putih abu-
bukan warga yang bijak
b. Jika Budi warga yang bijak maka Budi abu
membayar pajak kesimpulan dari pernyataan tersebut adalah
c. Budi tidak membayar pajak dan Budi bukan ...
a. saya bukan peserta Ujian Nasional
warga yang bijak b. saya tidak berpakaian seragam putih abu
d. Budi tidak taat membayar pajak
e. Budi selalu membayar pajak
5. Diketahui :
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 18
c. saya peserta Ujian Nasional dan berpakaian suhu bumi meningkat.
seragam putih abu 2) Jika suhu bumi meningkat maka
d. saya bukan peserta Ujian Nasional dan tidak keseimbangan alam terganggu.
berpakaian seragam Pernyataan yang merupakan kesimpulan yang
e. saya karyawan sekolah dan ikut ujian nasional logis adalah .
9. Diketahui : a. Jika lapisan ozon di atmosfer tidak menipis
Premis 1: Jika Siti Rajin belajar maka ia lulus maka keseimbangan alam tidak terganggu
ujian. b. Jika lapisan ozon di atmosfer menipis maka
Premis 2: Jika Siti lulus ujian maka ayah keseimbangan alam tidak terganggu
membelikan sepeda. c. Jika keseimbangan alam tidak terganggu
Kesimpulan dari argumentasi di atas adalah … maka lapisan ozon di atmosfer tidak menipis
a. Jika Siti tidak rajin belajar maka ayah tidak d. Jika keseimbangan alam terganggu maka
membelikan sepeda lapisan ozon di atmosfer menipis
b. Jika Siti rajin belajar maka ayah membelikan e. Jika suhu bumi tidak meningkat maka
sepeda keseimbangan alam tidak terganggu
c. Jika Siti rajin belajar maka ayah tidak 12. Diketahui premis-premis:
membelikan sepeda 1). Jika pengendara taat aturan maka lalu lintas
d. Jika Siti tidak rajin belajar maka ayah lancar.
membelikan sepeda 2). Jika lalu lintas lancar maka saya tidak
e. Jika ayah membelikan sepeda , maka Siti terlambat ujian.
rajin belajar Kesimpulan yang sah dari premis-premis tesebut
10. Perhatikan premis-premis berikut ini : adalah ... .
a. Jika lalu lintas tidak lancar maka saya
1) Jika Mariam rajin belajar, maka ia pandai
2) Jika Mariam pandai, maka ia lulus SPMB terlambat ujian.
Kesimpulan yang sah dari premis di atas adalah b. Jika pengendara tidak taat aturan maka saya
…
a. Mariam rajin belajar tetapi tidak pandai terlambat ujian.
b. Mariam rajin belajar dan lulus SPMB c. Jika pengendara taat aturan maka saya tidak
c. Mariam pandai dan lulus SPMB
d. Mariam tidak pandai terlambat ujian.
e. Jika Mariam rajin belajar, maka ia lulus SPMB d. Jika lalu lintas tidak lancar maka pengendara
11. Pernyataan berikut dianggap benar :
1) Jika lapisan ozon di atmosfer menipis maka tidak taat aturan
e. Pengendara taat aturan dan saya terlambat
ujian
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 19
FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS
A. Komposisi dua fungsi
a. Pengertian komposisi fungsi
Misalkan f(x) dan g(x) masing-masing terdefinisi pada daerah asal maka
( f g)(x) = g( f (x)) dibaca “f bundaran g” yang artinya fungsi f(x) melanjutkan fungsi
g(x).
b. Sifat-sifat
1. ( f g)(x) (g f )(x)
2. (( f g) h)(x) = ( f (g h))(x)
3. ( f I )(x) = (I f )(x) = f (x) dimana I(x) = x adalah fungsi identitas
B. Invers Fungsi
a. Pengertian invers fungsi
Fungsi f : A → B memetakan setiap anggota A ke anggota B. Invers dari fungsi f di tulis f
– 1 merupakan balikan dari fungsi f yaitu relasi yang memetakan anggota B ke anggota A.
b. Cara menentukan invers fungsi
▪ Misalkan f(x) = y
▪ Cari x = f -1 (y) dengan cara menyelesaikan y = f(x)
▪ Ganti variabel y pada f -1 (y) dengan x
▪ Diperoleh f -1 (x) sebagai invers dari f(x)
c. f(x) = ax + b , maka f(x) – 1 = − dx + b
cx + d cx − a
d. Invers Komposisi Fungsi
( )▪ ( f g)−1(x) = g −1 f −1 (x)
( )▪ (g f )−1(x) = f −1 g −1 (x)
KUMPULAN SOAL
Menentukan fungsi invers dari fungsi sederhana.
1. Diketahui f(x) = 2x + 5 dan g(x) = 3. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke
x −1 , x −4 , maka (f g)(x) = … R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan
x+4 g(x) = 2x , x −1 . Rumus (g f)(x)
x +1
a. 7x + 2 , x −4 d. 7x + 18 , x −4
adalah …
x+4 x+4
b. 2x + 3 , x −4 e. 7x + 22 , x −4 a. 6x , x −6 d. 6x + 5 , x −2
x+4 x+4 x+6 3x + 6
c. 2x + 2 , x −4 b. 5x + 5 , x −1 e. 5x + 5 , x −2
x+4 x +1 3x + 6
2. Diketahui fungsi-fungsi f : R → R c. 6x + 10 , x −2
didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R
3x + 6
→ R didefinisikan dengan g(x) = 4. Diketahui f : R → R didefinisikan
dengan f(x) = 3x – 5, g : R → R
x −1 , x 2 . Hasil dari fungsi (f g)(x)
didefinisikan dengan g(x) = x −1 , x 2. Hasil
2−x
2−x
adalah …
dari fungsi (g f)(x) adalah ….
a. 2x + 13 , x −8 d. 8x −13 , x 2
a. 3x + 5 , x 7 d. 3x − 6 , x 7
x+8 −x+2
7 − 3x 3 7 − 3x 3
b. 2x + 13 , x −2 e. 8x + 7 , x 2
b. 3x − 5 , x 7 e. 3x − 4 , x 7
x+2 −x+2
7 − 3x 3 7 − 3x 3
c. − 2x −13 , x 2
−x+2
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 20
c. 3x + 6 , x 7 14. Misalkan f : R → R ditentukan oleh
7 − 3x 3 f(x) = 2 , maka ...
3− x
5. Diketahui fungsi f(x) = x + 1 , x 3, dan a. f – 1(6) = 2 d. f – 1(6) = 2 3
5
x−3
b. f – 1(6) = 2 1 e. f – 1(6) = 2 2
g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi fungsi 3 3
(g f)(2) = …
c. f – 1(6) = 2 1
a. 2 c. 4 e. 8 2
b. 3 d. 7 15. Diketahui f(x) = − 2−3x . Jika f–1 adalah
2
invers dari f, maka f–1(x) = …
6. Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)). a. 2 (1 + x) d. − 3 (1 – x)
3 2
Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120,
maka nilai p = … b. 2 (1 – x) e. − 2 (1 + x)
3 3
a. 30 c. 90 e. 150 c. 3 (1 + x)
2
b. 60 d. 120
2 Jika g–1
16. Diketahui fungsi g(x) = 3 x + 4.
7. Diketahui f : R → R, g : R → R adalah invers dari g, maka g–1(x) = …
dirumuskan oleh f(x) = x2 – 4 dan a. 3 x – 8 d. 3 x – 5
2 2
g(x) = 2x – 6. Jika (f g)(x) = –4,
3 – 3 –
nilai x = … b. 2 x 7 e. 2 x 4
a. –6 c. 3 e. 6 atau –6 c. 3 x – 6
2
b. –3 d. 3 atau –3
3x−2 5
17. Fungsi invers dari f(x) = 2x+5 , x − 2 adalah
8. Diketahui f : R → R, g : R → R f–1(x) = …
dirumuskan oleh f(x) = x – 2 dan g(x) = x2 a. 5x+2 , x 3 d. 5x+2 , x 2
2 x −3 2 3x−2 3
+ 4x – 3. Jika (g f)(x) = 2, maka nilai x
5x−2 3 2 x−5 2
yang memenuhi adalah … b. 2 x+3 , x − 2 e. 2−3x , x 3
a. –3 atau 3 d. 1 atau –2 c. 5x+2 , x 3
3−2 x 2
b. –2 atau 2 e. 2 atau –3
c. –1 atau 2 18. Fungsi f : R → R didefinisikan dengan
9. Jika g(x) = x + 3 dan (f g)(x) = x2 – 4, f(x) = 3x + 2 , x 1 . Invers dari f(x) adalah
2x −1 2
maka f(x – 2) = … f – 1 (x) = …
a. x2 – 6x + 5 d. x2 – 10x – 21 a. x − 2 , x − 3 d. x + 2 , x 3
2x + 3 2
b. x2 + 6x + 5 e. x2 + 10x + 21 2x − 3 2
c. x2 – 10x + 21 b. x − 2 , x 3 e. x + 2 , x − 3
2x + 3 2
2x + 3 2
10. Suatu pemetaan f : R → R, g : R → R c. x + 2 , x 3
3 − 2x 2
dengan (g f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan 19. Diketahui fungsi f(x) = 3x+4 , x − 5 . Invers
2 x+5 2
g(x) = 2x + 3, maka f(x) = …
dari f adalah f–1(x) = …
a. x2 + 2x + 1 d. 2x2 + 4x + 2
a. 5x−4 , x − 3 d. 5x−2 , x 3
b. x2 + 2x + 2 e. 2x2 + 4x + 1 2 x+3 2 4 x −3 4
c. 2x2 + x + 2 b. −3x−4 , x 5 e. −5 x + 4 , x 3
2 x −5 2 2 x −3 2
11. Jika f(x) = x +1 dan (f g)(x) = 2 x −1 , c. 4 x −3 , x − 2
5x+2 5
maka fungsi g adalah g(x) = … 20. Diketahui fungsi f(x) = 1−2 x , x − 4 dan f–1
3x+4 3
a. 2x – 1 c. 4x – 5 e. 5x – 4
adalah invers dari f. Maka f–1(x) = …
b. 2x – 3 d. 4x – 3
a. 1+ 4 x , x −2 d. 4 x −1 , x −2
12. Diketahui f(x) = 3x – 5 dan f – 1 (a) = 6, jika 3x+2 3 3x+2 3
f – 1(x) adalah invers dari f(x), maka nilai a
b. 1−4 x , x −2 e. 1−4 x , x 2
adalah ... 3x+2 3 3x−2 3
a. 13 c. 0 e. –8 c. 4 x −1 , x 2
3x−2 3
b. 10 d. –4
21. Dikatahui f(x) = 1 − 5x , x −2 dan f – 1(x)
13. Ditentukan f(x) = 5x + 1 dengan f – 1(x) adalah x+2
invers dari f(x). Nilai dari f – 1(6) adalah ...
adalah invers dari f(x). Nilai f – 1 ( –3 ) = …
a. 30 c. 1 e. 1 a. 4 c. 5 e. 7
3 2 2
b. 31 d. 2
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 21
b. 2 d. 3 c. x + 3 , x 1
22. Diketahui f(x) = x − 3 , x − 1 . Invers dari f(x) − 2x +1 2
2x +1 2
23. Jika f – 1(x) adalah invers dari fungsi
adalah f– 1(x) = … f(x) = 2x − 4 , x 3 . Maka nilai f – 1(4) = …
x−3
a. 2x + 1 , x 3 d. x − 3 , x 1
a. 0 c. 6 e. 10
x−3 2x −1 2
b. 4 d. 8
b. − 2x −1 , x 3 e. − x − 3 , x 0
−x+3 2x
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 22
LIMIT FUNGSI
A. Limit fungsi aljabar
Jika f (a) = 0 , maka lim f (x) diselesaikan dengan cara sebagai berikut:
g(a) 0 x→a g(x)
1. Difaktorkan, jika f(x) dan g(x) bisa difaktorkan
2. Dikalikan dengan sekawan pembilang atau penyebut jika f(x) atau g(x) berbentuk akar
3. Menggunakan dalil L’Hospital jika f(x) dan g(x) bisa di turunkan
▪ lim f (x) = f '(a)
x→a g(x) g'(a)
B. Limit Mendekati Tak Berhingga
1.
lim ax n + bx n −1 + ... p , dimana:
cx m + dx m−1 + ... =
x→
a
a. p = , jika m = n
c
b. p = 0, jika n < m
c. p = , jika n > m
( )2. lim ax + b cx + d = q, dimana:
x→
a. q = , bila a > c
b. q = 0, bila a = c
c. q = –, bila a < c
3. xl→im ax2 + bx + c − ax2 + qx + r = b−q
2a
KUMPULAN SOAL
Menghitung nilai limit fungsi aljabar
1. Nilai dari xl→im−3 x2 − 2x −15 =… 6. Nilai dari Limit 2x2 − 3x − 35 = ...
x + 3 x2 − 5x
x →5
a. –8 c. 0 e. 8 a. 0 c. 3 2 e. 5 2
5 5
b. –2 d. 2
b. 2 2 d. 4 2
2. Nilai lim 2x2 − 8 = … 5 5
x→−2 x + 2 7. Nilai lim 2x2 − 8 = …
x→−2 x + 2
a. –8 c. –2 e. 8
b. –4 d. 4 a. –8 c. –2 e. 8
3. Nilai lim 3x2 − 8x − 3 = .... b. –4 d. 4
x →3 x−3 8. Nilai lim 3x2 −14x + 8 = …
x→4 x2 − 3x − 4
a. 6 c. 10 e. 19
b. 7 d. 17 a. 4 c. 1 e. – 4
2
lim x2 − 9 = …
4. Nilai x→3 x 2 − 5x + 6 b. 2 d. – 2
a. –6 c. 0 e. 6 9. Nilai dari lim 2 − 8 = ….
x→0 −2 x2 −
b. – 3 d. 3 x 4
2 2
a. 1 c. 2 e.
5. Nilai lim x2 − 8x + 12 = … 4
x→2 x2 − 4
b. 1 d. 4
2
a. –4 c. 0 e. 4 lim 1 − 6 = …
x→3 − −
b. –1 d. 1 10. Nilai x 3 x 2 9
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 23
a. − 1 c. 1 e. 1 22. Lim 3x2 − x − 1 = ....
x→ 4x − 5
63
b. 1 d. 1 a. 4 3
2 3
6 c. 1 e. 0
11. Nilai lim (x − 4) = … b. 4 d. 1 3
3 4
x→4 x − 2
a. 0 c. 8 e. 16 23. Nilai Lim 10x − 7 = ... .
b. 4 d. 12 x→ 4x2 − 7x + 6
12. Nilai dari lim x − 2 = …. a. – 5 c. –1 e. 5
x→2 1 − x − 1 b. – 4 d. 4
a. – 4 c. – 2 e. 4x3 − 3x2 + 1
(2x − 1)3
b. – 3 d. 0 24. Nilai dari Limit = ...
13. Nilai lim x + 2 adalah … x→
x→−2 5x + 14 − 2
a. ~ c. 2 e. 1
2
a. 4 c. 1,2 e. 0,4 b. 4 d. 1
b. 2 d. 0,8 25. Nilai lim x(x + 2) − x2 − 2 = …
14. Nilai lim 9 − x 2 = … x→
x→3 4 − x 2 + 7
a. c. 1 e. –1
b. 2 d. 0
a. 8 c. 9 e. 0 26. Nilai xl→im x2 − 2x +1 − x2 + 3x + 2 = …
4
1 1 e. – 2
b. 4 d. 1 dari
15. Nilai dari lim 48 − 3x2 = …. a. 6 2 c. 3 2
x→4 5 − x2 + 9 1 1
b. 4 2 d. – 2 2
a. 10 c. 30 e. 60 27. Nilai
b. 20 d. 40 Limit 6x2 − x + 7 − 6x2 + 5x − 1 = ... .
16. Nilai dari xli→m0 3x 9 − x = …. x→
9+x −
a. − 6 c. 0 e. 1 6
3
a. 3 c. 9 e. 15 b. − 1 6 d. 1 6
2 6
b. 6 d 12
28. Nilai Limit 25x2 − 9x −16 − 5x + 3= ….
17. Nilai lim 4 + 2x − 4 − 2x = … x →~
x→0 x a. − 39 c. 9 e. ~
10 10
a. 4 c. 1 e. –1
b. 21 d. 39
b. 2 d. 0 10 10
18. Nilai lim 4x2 − 2x + 1 = … 29. Nilai dari Lim 3x2 + 5x − 3x2 − 3 =…
x→ 3x 2 + 2
x→
a. 4 c. 3 e. 0
3 5 c. 5 3 e. 5 3
3 6
b. 3 d. 1 a. 5 3
4 2 b. 5 3 d. 5 3
4
19. Nilai lim x2 − 2x −1 = … 2
x→ 3x 2 + 6x − 1
x 2 − 4x + 3 − x + 1 = …
a. –1 c. 0 e. 1 30. Nilai lim
c. 0 e. 6
b. – 1 d. 1 x→ d. 1
3 3
a. – 6
xl→im x3 − 2x2 + 5 b. – 1
4x + 2x3 +10
20. Nilai = 31. Nilai dari lim x2 + 5x − 3 − x +1 = ....
a. − 1 c. 1 e. ~ a. – 3,5 x→
2 4 b. – 1
1 c. 2 e. 4
b. 2 d. 1 d. 3,5
xl→im 4 3 + 2 32. Nilai lim (5 x − 1) − 25x 2 + 5x − 7 = …
x2 x
21. Hasil dari − = ... . x→
a. 2 c. 0 e. –2 a. 3 c. 1 e. – 3
2 2 2
b. 1 d. –1 b. 2 d. – 1
3 2
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 24
TURUNAN FUNGSI
A. Rumus-Rumus Turunan Fungsi
1. f(x) = c, f’(x) = 0
2. f(x) = ax f’(x) = a
3. f(x) = axn f’(x) = a· n·xn – 1
4. Jika “u” adalah suatu fungsi dalam x, maka
f(x) = aun f’(x) = a·u’·n·un – 1, dimana u’ = turunan pertama dari u
KUMPULAN SOAL
Menentukan turunan fungsi aljabar
1. Turunan pertama dari f(x) = 2 – 5x + x3 adalah.... 8. Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 7)4 adalag f’(x)
a. f’(x) = 3x2 – 5 d. f’(x) = 3x - 5 =…
b. f’(x) = 3x2 + 5 e. f’(x) = 3x2 + 2 a. 6x(3x2 – 7)3 d. 36x(3x2 – 7)3
c. f’(x) = 3x + 5 b. 12x(3x2 – 7)3 e. 48x(3x2 – 7)3
2. Turunan pertama dari c. 24x(3x2 – 7)3
f(x) = 1 x4 + 2 x3 − 4x +1 adalah f’(x) = … 9. Diketahui f(x) = (2x − 3)4 dan f1 adalah turunan
2 3
pertama fungsi f. Nilai f1 (3 ) adalah ….
a. x3 + x2 – 2 d. 2x3 + 2x2 – 4x a. 24 c. 72 e. 216
b. 36 d. 108
b. x3 + 2x2 – 4 e. 2x3 + 2x2 – 4x + 1
c. 2x3 + 2x2 – 4
3. Diketahui f(x) = x6 + 12x4 + 2x2 – 6x + 8 dan f’(x)
adalah turunan pertama dari f(x). 10. Jika f(x) = x2 + 2x −1 , maka turunan dari f(x)
Nilai f’(1) = … adalah f '(2) = ... .
a. 64 c. 58 e. 52 a. 6 7 c. 4 7 e. 1 7
b. 60 d. 56
7 7 7
4. Diketahui f(x) = 6x4 – 2x3 + 3x2 – x – 3 dan f’(x) b. 5 7 d. 3 7
adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) = …
7 7
a. 20 c. 23 e. 26 11. Diketahui f (x) = 3x −1 , x −3 . Turunan pertama
b. 21 d. 24
x+3
5. Turunan pertama dari f(x) = 2x3 + 3x2 – x + 2 dari f (x) adalah f1 (x)=…..
adalah f’(x). Nilai f’(1) = … a. 5x − 5 d. 2x −10
a. 4 c. 8 e. 13
b. 6 d. 11 (x + 3) 2 (x + 3)2
6. Turunan dari y = (1− x)2 (2x + 3) adalah…. b. 24 e. 10
a. (1- x )(3x + 2) d. 2(x – 1)(3x + 2) (x + 3)2 (x + 3)2
b. (x -1)(3x + 2) e. 2(1 - x )(3x + 2) c. 9
c. 2(1 + x )(3x + 2)
(x + 3)2
7. Diketahui f(x) = (3x2 – 5)4. Jika f’(x) adalah turunan 12. Turunan pertama dari fungsi f adalah f ' . Jika
pertama dari f(x), maka f’(x) = … f (x) = 4 , maka f ' (3) = ... .
x −1
a. 4x(3x2 – 5)3 d. 24x(3x2 – 5)3
b. 6x(3x2 – 5)3 e. 48x(3x2 – 5)3
c. 12x(3x2 – 5)3 a. – 4 c. –1 e. 2
b. – 2 d. 1
B. Tafsiran Geometris
Turunan suatu fungsi dapat digunakan dalam penafsiran geometris dari suatu fungsi, diantaranya:
1) Gradien garis singgung kurva f(x) di titik x = x1 , yaitu m = f’(x1)
Rumus persamaan garis singgung kurva yang melalui titik (x1, y1) dan bergradien m adalah:
y – y1 = m(x – x1)
2) Fungsi f(x) naik, jika f’(x) > 0, dan turun, jika f’(x) < 0
3) Fungsi f(x) stasioner jika f’(x) = 0
4) Nilai stasioner f(x) maksimum jika f’’(x) < 0, dan minimum jika f’’(x) > 0
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 25
KUMPULAN SOAL
Menentukan aplikasi turunan fungsi aljabar.
1. Persamaan garis singgung pada kurva B(x) = 2x2 – 180x + 2500 dalam ribuan rupiah.
y = x3 + 4x2 + 5x + 8 di titik (–3, 2) adalah … Agar biaya minimum maka harus diproduksi
a. y = –8x – 26 d. y = 8x + 26 barang sabanyak …
b. y = –8x + 26 e. y = 8x – 26 a. 30 c. 60 e. 135
c. y = 8x + 22 b. 45 d. 90
2. Persamaan garis singgung pada kurva 11. Biaya produksi x barang dinyatakan dengan
y = x2 + 4x + 1 di titik (2, 13) adalah … fungsi f(x) = (x2 – 100x + 4500) ribu rupiah. Biaya
a. y = 8x – 3 d. y = 2x + 9 minimum untuk memproduksi barang tersebut
b. y = 8x + 13 e. y = 4x + 5 adalah …
c. y = 8x – 16 a. Rp1.000.000,00 d. Rp4.500.000,00
3. Grafik fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 36x + 20 turun pada b. Rp2.000.000,00 e. Rp5.500.000,00
interval … c. Rp3.500.000,00
a. –2 < x < 6 d. x < –6 atau x > 2 12. Hasil penjualan x unit barang dinyatakan oleh
b. –6 < x < 2 e. x < –2 atau x > 6 fungsi p(x) = 50.000 + 400x – 4x2 (dalam ratusan
c. –6 < x < –2 rupiah). Hasil penjualan maksimum yang
4. Grafik fungsi f(x) = x3 + 6x2 – 15x + 3 naik pada diperoleh adalah …
interval … a. Rp2.000.000,00 d. Rp6.000.000,00
a. –1 < x < 5 d. x < –5 atau x > 1 b. Rp4.000.000,00 e. Rp7.000.000,00
b. –5 < x < 1 e. x < –1 atau x > 5 c. Rp5.000.000,00
c. x < 1 atau x > 5 13. Sebuah home industry memproduksi x unit barang
5. Fungsi permintaan terhadap suatu barang dengan biaya yang dinyatakan
(x2 – 30x + 125) ribu rupiah, dan pendapatan
dinyatakan oleh f(x) = −x3 + 2x2. Interval yang
setelah barang tersebut habis terjual adalah (60x)
menyatakan permintaan naik adalah ... . ribu rupiah. Keuntungan maksimal home industry
a. 0 < x < 2 d. −1 < x < 2 tersebut adalah …
b. 0 < x < 3 e. −1 < x < 3 a. Rp 1.900.000,00 d. Rp 300.000,00
c. 2 < x < 3 b. Rp 1.150.000,00 e. Rp 100.000,00
6. Nilai minimum fungsi f(x) = –x3 + 12x + 3 pada c. Rp 550.000,00
interval –1 ≤ x ≤ 3 adalah …
a. –13 c. 0 e. 12 14. Keuntungan ( k ) per minggu, dalam ribuan
b. –8 d. 9 rupiah, dari suatu perusahaan kecil mebel
7. Pada interval (selang) – 1 ≤ x ≤ 2, fungsi dihubungkan dengan banyak pekerja n ,
y = x3 – 3x2 + 3 mempunyai nilai maksimum … dinyatakan oleh rumus
a. – 6 c. 3 e. 8 k (n) = − 10 n3 + 90 n + 1.000. Keuntungan
b. – 1 d. 6 27
8. Nilai maksimum dari f(x) = –2x2 – 2x + 13 adalah maksimum per minggu adalah … .
… a. Rp1.640.000,00 d. Rp1.500.000,00
b. Rp 1.600.000,00 e. Rp1.450.000,00
a. 6 5 c. 13 1 e. 15 5 c. Rp1.540.000,00
2
8 8 15. Suatu fungsi hubungan antara banyaknya pekerja
b. 8 7 d. 14 1 dengan keuntungan perusahaan dinyatakan oleh
8 2
9. Suatu persegi panjang dengan panjang f(x) = –2x2 + 240x + 900 dengan x banyaknya
(2x + 4) cm dan lebar (4 – x) cm. Agar luas persegi pekerja dan f(x) keuntungan perusahaan dalam
satuan jutaan rupiah. Keuntungan maksimum
panjang maksimum, ukuran panjang adalah … cm perusahaan tercapai ketika banyaknya pekerja …
a. 4 c. 8 e. 12
orang
b. 6 d. 10 a. 120 c. 80 e. 40
10. Untuk memproduksi suatu barang diperlukan
biaya produksi yang dinyatakan dengan fungsi b. 100 d. 60
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 26
INTEGRAL
A. Menentukan integral tak tentu fungsi aljabar.
Sifat – sifat integral tak tentu :
➢ dx = x + C
➢ a dx = ax + C , a adalah konstanta
➢ af (x)dx = a f (x)dx
➢ f (x) g(x)dx = f (x)dx g(x)dx
➢ a f (x) g(x)dx = a f (x)dx a g(x)dx
KUMPULAN SOAL
Menghitung integral tak tentu fungsi aljabar
1. 1 x5 dx = ... B. 1 x3 − 5 x2 + x + c
2 2 3
A. 1 x6 + c D. 3 x6 + c C. 2 x3 − 5 x3 + x2 − 5x + c
10 3 3
B. 1 x6 + c E. 11 x6 + c D. 1 x3 − 5 x3 + 2x2 − 5x + c
12 10 4 3
C. 1 x6 + c E. 1 x4 − 5 x3 + x2 − 5x + c
56
23
( )2. Hasil dari 3x2 − 4x + 5 dx adalah ...
7. (3x −1)7 dx = ...
A. 3x3 – 4x2 + 5x + c
B. x3 – 2x2 + 5x + c A. 1 (3x −1)8 + c D. 1 (3x −1)7 + c
C. x3 – 3x2 + 5x + c 24 24
D. – x3 + 2x2 + 5x + c
B. 1 (3x −1)8 + c E. 1 (3x −1)7 + c
8 8
E. x3 – 4x2 + 5 + c C. 1 (3x −1)8 + c
3
3. 43 x5 dx = ... 8. (4x + 3)(4x2 + 6x – 9)9 dx
A. 13 x + c D. 16 x2 3 x + c A. 1 (4x2 + 6x – 9)10 + C
2 2 10
B. 3 x 3 x + c E. x16 2 x2 + c B. 1 (2x – 3 )10 + C
2 15
2
C. 3 x2 3 x + c C. 1 (2x – 3)10 + C
2 20
4. Hasil x3 −1 dx adalah ... D. 1 (4 x2 + 6x – 9)10 + C
20
x
A. 2 x3 x−2 x+c E. 1 (4 x2 + 6x – 9)10 + C
7 30
B. x3 x− 2 x+c 9. Hasil dari (x – 3)(x2 – 6x + 1)–3 dx = …
7
C. 2 x3 x+ 2 x+c − 6x +1)−4
7
1 2
x2 a. − 8 (x +c
D. 2 x−2 x+c
7 − 6x +1)−4
1 x2
E. 7 x3 x−2 x+c b. − 4 ( +c
2
1 2 − 6x +1)−4
5. (2x + 3)2 dx = ... c. − 2 (x +c
A. 4x3 + 6x2 + 9x + c d. − 1 ( x2 − 6x +1)−2 +c
4
B. 1 x3 + 6x2 + 9x + c e. − 1 (x 2 − 6x +1)−2 +c
3 2
C. 4 x3 + 6x2 + 9x + c 10. Hasil dari (x2 + 1)(x3 5 dx = ...
3
+ 3x + 5) 3
–
D. 4 x3 6x2 + 9x + c 1
3 3
3 (x3 + 3x + 5) 2
E. 4 x3 + 6x2 – 9x + c a. (x3 + 3x + 5) +C
3
6. (x2 +1)(2x − 5)dx = ... b. 1 (x3 + 3x + 5) 3 x3 + 3x + 5 + C
3
A. 2 x3 − 5 x2 + 2x + c c. 1 (x3 + 3x + 5)2 3 (x3 + 3x + 5) 2 +C
3 3 8
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 27
d. 1 (x3 + 3x + 5)2 3 x3 + 3x + 5 + C E. 7 2 (2x3 − 5)7 +C
8 6
e. 1 (x3 + 3x + 5)2 + C 16. Hasil dari (3 − 2x) dx = ....
8 2x2 − 6x + 5
11. Hasil dari 3x 3x2 + 1 dx = … a. − 2 2x2 − 6x + 5 + c
A. − 2 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C b. − 2x2 − 6x + 5 + c
3
c. 1 2x2 − 6x + 5 + c
B. − 1 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C
2 2
C. 1 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C d. 2x2 − 6x + 5 + c
3
e. 3 2x2 − 6x + 5 + c
D. 1 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C
2 2
6x2 + 4 dx = ...
17. Hasil dari ( )5 x3 + 2x −1 3
E. 2 (3x2 + 1) 3x2 + 1 + C ( )a.
3 25 x3 + 2x −1 2
5
12. Hasil dari 3x −1 dx =….. +C
(3x 2 − 2x + 7)7 ( )b.
55 x3 + 2x −1 2 +C
A. 1 + C 2
3(3x2 − 2x + 7)7
( )c. 5 5 x3 + 2x −1 2 + C
B. 1 + C ( )d. 5 5 x3 + 2x −1 3 + C
4(3x2 − 2x + 7)6
( )e. 5 5 x3 + 2x −1 4 + C
C. 1 + C
6(3x2 − 2x + 7)6 9x2 + 6 dx = ...
D. − 1 + C 18. Hasil dari ( )5 x3 + 2x −1 2
12(3x 2 − 2x + 7)6
( )a.
E. − 1 + C 25 x3 + 2x −1 2 +C
12(3x 2 − 2x + 7)7 5
( )b.
3x2 dx = … 55 x3 + 2x −1 2 +C
2x3 + 4 2
13. Hasil
( )c. 5 5 x3 + 2x −1 2 + C
a. 4 2x3 + 4 + C d. 1 2x3 + 4 + C ( )d. 5 5 x3 + 2x −1 3 + C
2
b. 2 2x3 + 4 + C e. 1 2x3 + 4 + C ( )e. 5 5 x3 + 2x −1 4 + C
4
c. 2x3 + 4 + C 2x + 3 dx = …
3x2 + 9x −1
14. Hasil dari 6x2 dx = ... 19. Hasil
x3 + 8
a. 2 3x 2 + 9x − 1 + c
a. x3 + 8 + C d. 3 x3 + 8 + C
1 3x2 + 9x −1 + c
3 x3 + 8 + C e. 4 x3 + 8 + C b. 3
2
b.
c. 2 x3 + 8 + C c. 2 3x2 + 9x −1 + c
3
15. Hasil dari 2x 2 dx = ... d. 1 3x2 + 9x −1 + c
2
7 (2x3 − 5)5 e. 3 3x2 + 9x −1 + c
2
(2x3 5)3
A. 3 7 − +C
7
20. Hasil 6x 3x2 + 5dx = …
B. 6 6 (2x3 − 5) 7 +C
7
C. 6 7 (2x3 − 5)6 +C a. 2 (6x2 + 5) 6x2 + 5 + c
7
3
D. 7 7 (2x3 − 5) 2 +C b. 2 (3x 2 + 5) 3x2 + 5 + c
6 3
c. 2 (x 2 + 5) x2 + 5 + c
3
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 28
d. 3 (x2 + 5) x2 + 5 + c b. 2 (3x 2 + x − 2) x +1+c
2 15
e. 3 (3x 2 + 5) 3x2 + 5 + c c. 2 (3x2 + x + 4) x +1 +c
2 15
d. 2 (3x 2 − x − 2) x +1 +c
15
21. Hasil x x + 1dx = …
e. 2 (x2 + x − 2) x +1+c
5
a. 2 2 1) 2
5 ( x + 1) x + 1 − 3 (x + x +1 +c
B. Integral tertentu
1) Teorema Dasar Kalkulus
Jika f (x) adalah suatu fungsi yang kontinu pada interval tertutup a,b atau a x b dan f (x)
merupakan turunan pertama dari F (x), maka integral tertentu f (x) pada interval tersebut
didefinisikan sebagai :
b
f (x)dx = F(x)ba = F(b) − F(a)
a
dengan a disebut batas bawah integral dan b disebut batas atas integral.
2) Sifat-sifat Integral Tertentu
Jika f (x) dan g(x) adalah fungsi yang kontinu dan terdefinisi pada interval a,b maka f (x)
dan g(x) memenuhi sifat – sifat berikut.
b
➢ f (x)dx = 0
a
bb
➢ k. f (x)dx = k f (x)dx , k adalah konstanta, k R
aa
b cb
➢ f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx , untuk a c b
a ac
b bb
➢ f (x) g(x)dx = f (x)dx g(x)dx
a aa
ba
➢ f (x)dx = − f (x)dx
ab
b
➢ a. Jika f (x) 0 dalam interval a x b maka f (x)dx 0
a
b
b. Jika f (x) 0 dalam interval a x b maka f (x)dx 0
a
KUMPULAN SOAL
Menghitung integral tentu fungsi aljabar
2 a. 27 1 c. 37 1 e. 51 1
3 3 3
1. Nilai dari (4x2 − x + 5)dx = ....
b. 27 1 d. 37 1
1 2 2
a. 33 c. 55 e. 77 4
6 6 6
3. Nilai (x 2 − 2x + 2) dx = ….
44 d. 65 e.20
b. 6 1
6 a.12 c.16
3 b.14 d.18
2. Nilai dari (2x 2 + 4x − 3)dx = ...
1
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 29
2 2
4. Nilai (3x2 − 3x + 7) dx =…. 8. Hasil dari 3(x +1)(x − 6)dx = …
0 0
a. 6 c. 13 e. 22 a. –58 c. –28 e. –14
b. 10 d. 16 b. –56 d. –16
4 1
5. Hasil (−x 2 + 6x − 8)dx = … 9. Hasil dari x 2 (x − 6)dx = …
−1
2 a. –4 c. 0 e. 4 1
2
a. 38 c. 20 e. 4
3 3 3 1 1
b. − 2 d. 2
b. 26 d. 16
3 3 10. Nilai a yang memenuhi persamaan
3 1
6. (x2 + 1 = … 12x(x 2 +1)2 dx = 14 adalah …
Hasil 6 )dx
1 a
a. 9 1 c. 8 e. 3 a. –2 c. 0 e. 1
3
b. –1 d. 1
b. 9 d. 10 2
3
0
7. Hasil dari 2 x 2 − 1 dx = …
x2 11. Hasil dari x 2 (x3 + 2)5 dx = …
−1
1
a. 85 c. 63 e. 31
9 11 19 3 18 18
a. 5 c. 6 e. 6
75 58
9 17 b. 3 d. 18
6 6
b. d.
C. LUAS DAERAH YANG DIBATASI KURVA
Integral tertentu dapat digunakan untuk merumuskan dan menghitung luas daerah arsiran yang
dibatasi oleh beberapa kurva. Berikut ini penerapan integral tertentu untuk menghitung luas daerah.
1) Luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x),garis x = a ,garis x = b dan sumbu x
b
a. L = ydx , untuk f (x) 0
a
y
y = f (x)
ab x
b
b. L = − ydx , untuk f (x) 0
a
y
ab x
y = f (x)
2) Luas daerah yang dibatasi kurva x = f (y),garis y = a ,garis y = b dan sumbu y
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 30
b
a. L = xdy , untuk f (y) 0
a
y x = f (y)
b
a
b
b. L = − xdy , untuk f (y) 0
a
x = f (y) y
b
a
x
3) Luas daerah yang dibatasi dua kurva y1 = f (x) dan y2 = g(x)
b
a. L = (y1 − y2 )dx
a
y
y1 = f (x)
y2 = g(x)
a bx
KUMPULAN SOAL
Menghitung luas daerah dengan menggunakan integral.
1. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva a. 2 5 c. 19 5 e. 21 5
x = y2 dan garis y = x – 2 adalah … satuan 6 6 6
5 5
luas
b. 3 d. 20
a. 0 c. 4 1 e. 16 6 6
2
b. 1 d. 6 4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
2. Luas daerah yang dibatasi parabola y = 8 – x2 y = x2 – 9x + 15 dan y = –x2 + 7x – 15 adalah
… satuan luas
dan garis y = 2x adalah … satuan luas
a. 36 c. 41 2 e. 46 2 a. 2 2 c. 2 1 e. 4 1
3 3 3 3 3
b. 41 1 d. 46 b. 2 2 d. 3 2
5 3
3
3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 5. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = 9 – x2 dan garis y = x + 3 adalah.... satuan y = x2 – 4x + 3 dan y = 3 – x adalah… satuan
luas luas
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 31
41 9 11 b. 51,5 d. 25,5
a. c. e.
11. Luas daerah yang dibatasi parabola
6 2 6 y = x2 – x – 2 dengan garis y = x + 1 pada
interval 0 ≤ x ≤ 3 adalah … satuan luas
19 8
b. d.
3 3
6. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva a. 5 c. 9 e. 10 2
y = x2 – 4x + 3 dan y = x – 1 adalah ... satuan 3
luas b. 7 d. 10 1
3
41 9 11 12. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 4 – x2 ,
a. c. e. y = –x + 2 dan 0 ≤ x ≤ 2 adalah … satuan luas
6 2 6
19 8 a. 8 c. 14 e. 26
b. d. 3 3 3
3 3 b. 10 d. 16
3 3
7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
y = x2 + 3x + 4, dan y = 1 – x adalah…. satuan 13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva
luas y = x +1 , sumbu X dan 0 ≤ x ≤ 8 adalah …
2 7 15 satuan luas
a. c. e.
1 2
34 3 3 3
48 a. 6 c. 17 e. 18
b. d.
b. 6 2 d. 18
33 3
8. Luas daerah yang dibatasi kurva y = x2 , 14. Luas yang dibatasi oleh kurva y = 2x2 – 8,
y = x + 2, sumbu Y dikuadran I adalah … dan sumbu X, pada 0 ≤ x ≤ 3 adalah .... satuan
a. 2 c. 6 e. 10
3 3 3
luas
4 8
b. 3 d. 3 2 c. 15 1 1
a. 10 3 e. 17
9. Luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva
y = x3, y = x, x = 0, dan garis x = 2 adalah … 3 3
satuan luas b. 13 1 d. 16 2
3 3
a. 2 1 c. 3 1 e. 4 1 15. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva
4 4 4 y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x pada interval 0 ≤
x ≤ 5 sama dengan … satuan luas
b. 2 1 d. 3 1
2 2
10. Luas daerah pada kuadran I yang dibatasi a. 30 c. 64 e. 14
3 3
oleh kurva y = x2, sumbu Y, dan garis x + y
= 12 adalah … satuan luas b. 26 d. 50
3
a. 57,5 c. 49,5 e. 22,5
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 32
MATRIKS
A. Kesamaan Dua Buah Matriks
Dua Matriks A dan B dikatakan sama apabila keduanya berordo sama dan semua elemen yang
terkandung di dalamnya sama
B. Transpose Matriks
Jika A = a b , maka transpose matriks A adalah AT = a c
c d b d
C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan
dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak
Jika A = a b , dan B = k l , maka A + B = a b + k l = a +k b + l
c d m n c d m n c +m d + n
D. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n
Jika A = a b , maka nA = n a b = an bn
c d c d cn dn
E. Perkalian Dua Buah Matriks
▪ Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris
matriks B (Am×n × Bp×q, jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.
▪ Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.
Jika A = a b , dan B = k l m , maka
c d n o p
A × B = a b × k l m = ak + bn al + bo am + bp
c d n o p ck + dn cl + do cm + dp
F. Matriks Identitas (I)
▪ I = 1 0
0 1
▪ Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A
G. Determinan Matriks berordo 2×2
Jika A = a b , maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) = a b = ad – bc
c d c d
Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar
1. det (A ± B) = det(A) ± det(B)
2. det(AB) = det(A) det(B)
3. det(AT) = det(A)
4. det (A–1) = 1
det( A)
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 33
H. Invers Matriks
▪ Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah
invers matriks B atau B adalah invers matriks A.
Bila matriks A = a b , maka invers A adalah:
c d
A −1 = 1 Adj(A) = ad 1 bc d −b , ad – bc ≠ 0
Det(A) − −c a
Catatan:
1. Jika Det(A) = 1, maka nilai A–1 = Adj(A)
2. Jika Det(A) = –1 , maka nilai A–1 = –Adj(A)
▪ Sifat–sifat invers matriks
1) (A×B)–1 = B–1 ×A–1
2) (B×A)–1 = A–1 ×B–1
I. Matriks Singular
matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan
nol
J. Persamaan Matriks
Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:
1. A × X = B X = A–1 × B
2. X × A = B X = B × A–1
KUMPULAN SOAL
Menyelesaikan masalah matriks yang berkaitan dengan kesamaan, determinan, atau invers matriks
1. Diketahui matriks B = 2 13 , dan C = 0 14 .
4 5
P = 2 4 a dan Q = 2 4 3
7 b 5 7 2a 5 Hasil dari (A + C) – (A + B) adalah …
3c 9 10 5b 9 10 0 −2 − 2 −01
1 1 − 1
Jika P = Q, maka nilai c adalah … a. d.
a. 5 c. 8 e. 30
b. 6 d. 10
2. Diketahui kesamaan matriks: b. −2 −01 e. −2 10
1 1
7 5a − b 7 1104 .
2a −1 14 = −4 c. − 2 0
− 1 1
Nilai a dan b berturut-turut adalah …
a. 3 dan 17 1 d. – 3 dan –17 1 5. Diketahui matriks A = 4 12 ,
x
22 22
b. – 3 dan 17 1 e. –17 1 dan – 3
2 2
2 2 −x −y1 10 7
3 −9 2
c. 3 dan –17 1 B = , dan C = .
2
2
3. Diketahui kesamaan matriks
Jika 3A – B = C, maka nilai x + y = …
5m + 2 3n + m 3m0+ 2 28 4 5 93 a. –3 c. –1 e. 3
4 5m − 2n + 14 = 1
b. –2 d. 1
Nilai m – n = … e. 8 6. Diketahui 2 3 + 13 y = 3 76
a. –8 c. 2 6 x 5 9
b. –4 d. 4
Nilai x + 2y = …
5 −02 , a. 4 c. 6 e. 9
4. Diketahui matriks A = 6 b. 5 d. 7
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 34
7. Diketahui 2 3x + 13 y = 93 7 . Q= 4 −51 .
6 5 6 2
Nilai x + 2y = … Determinan dari matriks 2P – Q adalah ... .
a. 4 c. 6 e. 9 a. – 10 c. 2 e. 10
b. 5 d. 7
b. – 2 d. 6
8. Jika x 3 −2 = 15 y – −2 2−y1 16. Diketahui matriks A = 2x 13 dan
− 3y 4 3 4 3
Maka nilai x – 2y = … B = 2 13 . Determinan matriks A dan matriks
−1
a. 3 c. 9 e. 12
b. 5 d. 10
9. Diketahui: B berturut-turut dinyatakan dengan |A|, dan |B|.
2x −1 4 2 3 −x1 = 15 32 . Jika berlaku
9 + −2 |A| = 3|B| maka nilai x = ... .
x y +
Nilai y – x = … a. 4 c. 2 e. 2
3
a . –5 c. 7 e. 11
b. –1 d. 9 b. 3 d. 1 2
3
10. Diketahui matriks A = 3 − 2 ,
4 − 1 17. Jika AT adalah transpos matriks A maka
4 −31 4 1102 determinan AT untuk matriks A = 8 7 adalah
−2 9 −4 6
B = , dan C =
... .
Nilai determinan dari matriks (AB – C) adalah … a. – 76 c. 20 e. 76
b. –20 d. 66
a. –7 c. 2 e. 12
b. –5 d. 3
18. Diketahui matriks A = 1p0 - 62 dan
11. Diketahui matriks A = 3 −11 ,
−2
B = 3p -11 Jika det A= det B( det =
− 5 12 2 −72 -2
B = − 4 , dan C = 1
determinan), maka nilai p yang memenuhi
adalah....
maka determinan matriks (AB – C) adalah … a. -6 c. -2 e. 3
a. 145 c. 125 e. 105 b. -3 d. 2
b. 135 d. 115
12. Diketahui matriks P = 2 0 dan 19. Invers dari matriks −1 −01 adalah …
−1 1 1
Q = 3 −42 . Jika R = 3P – 2Q, maka a. 1 11 d. −1 10
−1 −1 1
determinan R = … b. 0 −11 e. −2 −01
a. –4 c. 4 e. 14 −1 1
b. 1 d. 7 c. 10 −11
13. Diketahui matriks A = 1 −1 −31 dan 20. Invers matriks 5 − 2 adalah …
0 2 9 − 4
B = − 1 2 . Nilai determinan dari matriks A.B a. − 4 9 d. 1 − 4 52
2 0 − 2 5 2 − 9
1 −1 1 4 − 52 1 −4 −9
2 9 − 2 2 5
adalah … . b. e. −
a. – 3 c. 0 e. 3
b. – 2 d. 2
c. 1 4 −52
14. Jika diketahui matriks P = 13 12 dan − 2 9
4 50 , determinan matriks PQ adalah … 21. Diketahui matriks A = 4 54 . Invers dari matriks
2 3
Q =
A adalah A–1 = …
a. –190 c. –50 e. 70 a. 5 −−43 d. 4 −45
b. –70 d. 50 −4 −3
15. Diketahui matriks P = 13 2 dan matriks b. 3 −54 e. −4 −54
1 −4 3
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 35
c. 4 −43 c. −2 −7
−5 4 6
22. Jika N–1 = a b adalah invers dari matriks 27. Matriks X yang memenuhi
c d
4 −53 X = 7 1281 adalah …
N = 3 52 , maka nilai c + d = … −1 −6
6
1 −91 d. 11 − 96
a. − 2 1 c. − 1 1 e. –1 a. −6 −
2 2
b. –2 d. 2 b. −1 9 e. −6 19
1 −6 1
23. Diketahui matriks A = 1 2 , dan B = 3 5 .
5 6 6 7
1 9
Jika matriks C = A – B, maka invers matriks C c. −1 6
adalah C–1 = … 28. Matriks X yang memenuhi persamaan
a. 11 −23 d. 1 −23 3 − 4 11 2
−1 7 − 9 0
X = adalah …
b. 1 32 e. 11 32
−1
a. − 5 −1148 d. −4 −145
c. −1 −32 − 4 18
1
−5 −1148 −4 154
24. Diketahui matriks A = 2 −31 dan b. 4 e. − 18
2
B = −1 −32 . Jika matriks C = A – 3B, maka invers c. − 5 − 1148
2 − 4 −
matrisk C adalah C–1 = … 29. Matriks X yang memenuhi persamaan
a. 3 −69 d. 5 6 X 2 4 = 185 1256 adalah …
−6 4 5 −1 3
b. −3 −96 e. −5 −65 a. 6 −23 d. 6 −23
6 4 5 8
c. 5 −56 b. 96 23 e. 6 23
−4 8
25. Sistem persamaan linier 3x − 4 y = 14 c. 6 −23
− x + 2 y = −6 9
bila dinyatakan dalam persamaan matriks adalah 30. Matriks X yang memenuhi persamaan
…
X −4 −54 = −2 −45 adalah …
3 −4 x −146 3 1
a. −1 2 y =
a. 3 −01 d. 23 −2166
2 −3
b. 13 −21 x 14
y = −6 b. − 3 10 e. − 17 −1143
− 2 16
−4
c. 2 3 x = 14 c. 23 −3201
−1 y −6 − 16
d. 3 −21 x = −146 31. Jika A adalah matriks berordo 2 × 2 yang
−4 y
memenuhi A 4 0 = 126 −63 , maka matriks A =
2 3
e. 13 24 x = 14 …
y −6
a. 2 11 d. 13 −21
−3
26. Jika matriks A = 2 −31 , B = −8 285 , dan
1 10 b. 1 −31 e. 13 −1
2 −2
AX = B, maka matriks X = …
c. 1 13
2
−2 7 −2 7
a. 4 6 d. 4 −6 32. Diketahui matriks A = 1 2 dan B = 141 1219
3 5
b. 2 −7 e. −2 64 jika matriks AX = B, maka matriks X adalah …
4 6 7
a. 1 43 d. 4 12
2 3
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 36
b. 2 3 e. 1 4 a. 12 −108 d. 5 −6
1 4 4 3 −10 4 5
c. 3 4 b. 4 −12 e. −6 −45
2 1 −3 5
33. Diketahui matriks A = 13 24 , dan B = 4 13 . c. −6 −55
2 4
Matriks X yang memenuhi AX = B adalah …
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 37
PROGRAM LINEAR
A. Persamaan Garis Lurus Y Y
Y
y1 (x1, y1) y2 (x2, y2) a (0, a)
y1 (x1, y1)
0 x1 X 0 x1 x2 X (b, 0) X
0b
a. Persamaan garis yang b. Persamaan garis yang melalui c. Persamaan garis yang
bergradien m dan melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) memotong sumbu X di (b, 0)
titik (x1, y1) adalah: adalah : dan memotong sumbu Y di
y – y1 = m(x – x1) y− y1 = y2 − y1 (x − x1) (0, a) adalah:
x2 − x1 ax + by = ab
B. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear
Untuk menentukan daerah HP pertidaksamaan liniear ax + by ≤ c dengan metode grafik dan uji titik,
langkah–langkahnya adalah sebagai berikut :
1. Gambarkan garis ax + by = c
Y
titik uji
(0, a)
a
(x, y)
(b, 0) X
Ob
ax + by = c
2. Lakukan uji titik, yaitu mengambil sembarang titik (x, y) yang ada di luar garis ax + by = c,
kemudian substitusikan ke pertidaksamaan ax + by ≤ c
3. Jika pertidaksamaan itu bernilai benar, maka HPnya adalah daerah yang memuat titik tersebut
dengan batas garis ax + by = c
4. Jika pertidaksamaan itu bernilai salah, maka HPnya adalah daerah yang tidak memuat titik tersebut
dengan batas garis ax + by = c
C. Menentukan pertidaksamaan linear dari daerah himpunan penyelesaian
YY Y Y
a
a
a HP a
HP
HP b X X b HP X
0 X 0
0b b 0g
g gg
(1) (2) (3) (4)
• Garis condong ke kiri (m < 0) • Garis condong kanan (m > 0)
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 38
• Garis g utuh dan • Garis utuh dan • Garis utuh dan HP • Garis utuh dan HP
HP di kiri garis HP di kanan garis di kiri garis di kanan garis
ax + by ≤ ab ax + by ≥ ab ax + by ≤ ab ax + by ≥ ab
• Jika garis g • Jika garis g • Jika garis g • Jika garis g putus–
putus–putus dan putus–putus dan putus–putus dan putus dan HP di
HP di kiri garis, HP di kanan HP di kiri garis, kanan garis, maka
maka garis, maka maka
ax + by > ab
ax + by < ab ax + by > ab ax + by < ab
KUMPULAN SOAL
Menentukan nilai optimum fungsi obyektif dari daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear.
1. Nilai maksimum fungsi obyektif f(x,y) = x + 3y 4. Perhatikan gambar :
untuk himpunan penyelesaian seperti pada grafik
berikut adalah … Y
2
a. 50 c. 18 e. 7 1
b. 22 d. 17 X
2. Pada gambar di bawah, daerah yang diarsir
merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem 0 23
pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari
bentuk objektif 5x + y dengan x, y C himpunan Nilai maksimum f(x, y) = 4x + 6y yang memenuhi
penyelesaian itu adalah … daerah yang diarsir pada gambar adalah …
a. 6 c. 9 e. 15
a. 21 b. 8 d. 12
b. 24 5. Perhatikan gambar :
c. 26
d. 27 Y
e. 30
4
3. Perhatikan gambar berikut
2
Y X
8 02 6
Daerah yang diarsir merupakan himpunan
penyelesaian suatu system pertidaksamaan. Nilai
maksimum bentuk obyektif
f(x,y) = 15x + 5y adalah …
a. 10 c. 24 e. 90
b. 20 d. 30
6. Perhatikan gambar!
Y
4 4
4 6X
3
Nilai maksimum dari 3x + 4y pada daerah yang
diarsir adalah .... X
a. 12 c. 16 e. 20
b. 15 d. 17 0 23
Nilai minimum fungsi obyektif f(x,y) = 3x + 2y dari
daerah yang diarsir pada gambar adalah …
a. 4 c. 7 e. 9
b. 6 d. 8
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 39
7. Perhatikan gambar! a. 12 c. 16 e. 27
b. 13 d. 17
Y
10. Nilai maksimum f(x,y) = 5x + 4y yang memenuhi
pertidaksamaan
8 x + y 8, x + 2y 12 , x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…
4 a. 24 c. 36 e. 60
X b. 32 d. 40
11. Nilai maksimum fungsi sasaran Z = 6x + 8y dari
0 8 12
sistem pertidaksamaan 4x + 2y ≤ 60,
Nilai minimum fungsi obyektif f(x,y) = 3x + 4y dari 2x + 4y ≤ 48, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah ….
daerah yang diarsir pada gambar adalah … a. 120 c. 116
a. 36 c. 28 e. 24 b. 118 d. 96 e. 90
b. 32 d. 26 12. Nilai minimum fungsi obyektif
8. Perhatikan gambar!
f(x, y) = 5x + 10y yang memenuhi himpunan
Y penyelesaian system pertidaksamaan
x + 2y 8 , adalah …
0 x2
6 1 y 4
4
a. 3 c. 8 e. 20
b. 5 d. 10
13. Nilai minimum dari (3x + 2y) yang memenuhi
X sistem pertidaksamaan x + y ≥ 2, –2x + 3y ≥ 1, 3x
8
03 + 4y 0, x ≥ 0, adalah ... .
a.18 c. 12 e. 4
b. 17 d. 5
Nilai maksimum f(x,y) = 60x + 30y untuk 14. Nilai maksimum dari (3 x + 2 y ) pada daerah
(x, y) pada daerah yang diarsir adalah …
a. 200 c. 120 e. 80 himpunan penyelesaian system pertidaksamaan :
b. 180 d. 110 x + y – 4 ≤ 0, x + 2y – 7 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0 , x, y
9. Nilai minimum fungsi obyektif f(x,y) = 3x + 2y yang R adalah ... .
memenuhi system pertidaksamaan:
4x + 3y ≥ 24, 2x + 3y ≥ 18, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah … a. 4 c. 8 e. 12
b. 7 d. 9
D. Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum
1) Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)
2) Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kondisi x dan y yang menyebabkan maksimum atau
minimum
3) Pada gambar HP program linear, titik–titik sudut merupakan titik–titik kritis, dimana nilai minimum
atau maksimum berada. Apabila sistem pertidaksamaannya terdiri dari dari dua pertidaksamaan,
maka titik–titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus digambar grafiknya.
Y Titik kritis ada 3: Y Titik kritis ada 3:
(0, a), (q, 0) dan (0,p) (0, p), (b, 0) dan
p
(x, y) p HP (x, y)
a (0,a)
(x,y) X a (x,y)
g
HP (b,0) X
(q,0) 0 qb g
0 qb h
h
Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum
Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut:
1. Pilih titik potong garis dengan sumbu Y atau sumbu X yang terkecil (0, a) dan (q, 0) jika
tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, p), (b, 0) jika tujuannya minimumkan
2. Titik potong antara kedua garis (x, y)
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 40
KUMPULAN SOAL
Merancang atau menyelesaikan model matematika dari masalah program linear
1. Setiap hari nenek diharuskan mengkonsumsi d. x + y 20, 2x + 3y 50, x 0, y 0
minimal 400 gram kalsium dan 250 gram vitamin
A. Setiap tablet mengandung 150 gram kalsium e. x + y 20, 3x + 2y 50, x 0, y 0
dan 50 gram vitamin A dan setiap kampsul
mengandung 200 gram kalsium dan 100 gram 5. Seorang ibu membuat dua macam gaun yang
vitamin A. Jika dimisalkan banyaknya tablet terbuat dari kain sutra dan katun. Jenis I
adalah x dan banyaknya kapsul adalah y, maka memerlukan 2,5 meter sutra dan 1 meter katun,
model matematika dari masalah tersebut adalah
… sedangkan jenis II memerlukan 2 meter sutra dan
1,5 meter katun. Kain sutra tersedia 70 meter dan
a. 3x + 4y 8, x + 2y 5, x 0, y 0 katun 45 meter. Jika dimisalkan banyaknya gaun
jenis I adalah x, dan banyaknya gaun jenis II
b. 3x + 4y 8, x + 2y 5, x 0, y 0 adalah y, maka system pertidaksamaan yang
memenuhi masalah tersebut adalah …
c. 4x + 3y 8 , 2x + y 5, x 0, y 0
a. 5x + 4y 140, 2x + 3y 90, x 0, y 0
d. 4x + 3y 8, 2x + y 5, x 0, y 0
b. 5x + 4y 140, 2x + 3y 90, x 0, y 0
e. x + 2y 8, 3x + 4y 5, x 0, y 0
2. Rudi seorang pedagang roti keliling. Ia akan c. 4x + 5y 140, 2x + 3y 90, x 0, y 0
membeli roti jenis A dan jenis B. Harga sepotong d. 4x + 5y 140, 3x + 2y 90, x 0, y 0
roti jenis A adalah Rp3.000,00 dan harga
sepotong roti B adalah Rp3.500,00. Rudi e. 4x + 5y 140, 3x + 2y 90, x 0, y 0
mempunyai keranjang dengan kapasitas 100
potong roti dan memiliki modal sebesar 6. Seorang pedagang buah mempunyai tempat yang
Rp300.000,00. Jika x menyatakan jumlah roti jenis cukup untuk menyimpan 40kg buah. Jeruk dibeli
A dan y menyatakan jumlah roti jenis B yang dengan harga Rp12.000,00 per kg dan jambu
dibeli, maka sistem pertidaksamaan yang
memenuhi adalah … dibeli dengan harga Rp10.000,00 per kg.
Pedagang tersebut mempunyai modal
a. 6x + 7y 600, x + y 100, x 0 dan y 0 Rp450.000,00 untuk membeli x kg jeruk dan y kg
jambu. Model matematika dari masalah tersebut
b. 7x + 6y 600, x + y 100, x 0 dan y 0 adalah …
c. 9x + 7y 600, x + y 100, x 0 dan y 0 a. x + y 40, 6x + 5y 450, x 0, y 0
d. 6x + 7y 600, x + y 100, x 0 dan y 0 b. x + y 40, 6x + 5y 225, x 0, y 0
e. 7x + 6y 600, x + y 100, x 0 dan y 0 c. x + y 40, 6x + 5y 450, x 0, y 0
3. Perusahaan pengiriman barang mempunyai dua
d. x + y 40, 6x + 5y 225, x 0, y 0
jenis mobil yaitu jenis I dan II. Mobil jenis I daya
muatnya 12 m3, sedangkan mobil jenis II daya e. x + y 40, 6x + 5y 225, x 0, y 0
muatnya 36 m3. Order tiap bulan rata–rata
mencapai lebih dari 7.200 m3, sedangkan biaya 7. Sebuah rombongan wisata yang terdiri dari 240 orang
per pengiriman untuk mobil jenis I Rp400.000,00 akanmenyewakamar–kamar hotel untuk satu malam.
dan mobil jenis II Rp600.000,00. Dari biaya yang Kamar yang tersedia di hotel itu adalah kamar untuk 2
telah ditetapkan tersebut pendapatan rata–rata
sebulan tidak kurang dari Rp200.000.000,00. orang dan untuk 3 orang. Rombongan itu akan
model matematika yang tepat dari masalah menyewa kamar hotel sekurang–kurangnya 100
tersebut adalah … kamar. Besar sewa kamar untuk 2 orang dan kamar
untuk 3 orang per malam berturut–turut adalah Rp
a. x + 3y 600, 2x + 3y 1000, x 0, y 0 200.000,00 dan Rp 250.000,00. Besar sewa kamar
b. x + 3y 600, 2x + 3y 1000, x 0, y 0 minimal per malam untuk seluruh rombongan adalah
....
c. x + 3y 400, 2x + 3y 2000, x 0, y 0 a. Rp 20.000.000,00 d. Rp 24.000.000,00
b. Rp 22.000.000,00 e. Rp 25.000.000,00
d. x + 3y 400, 2x + 3y 2000, x 0, y 0 c. Rp 22.500.000,00
8. Sebuah toko bangunan akan mengirim sekurang–
e. x + 3y 800, 2x + 3y 1000, x 0, y 0
4. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam kurangnya 2.400 batang besi dan 1.200 sak semen.
Sebuah truk kecil dapat mengangkut 150 batang besi
untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap dan 100 sak semen dengan ongkos sekali angkut Rp
kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 80.000. Truk besar dapat mengangkut 300 batang besi
24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. dan 100 sak semen dengan onkos sekali jalan Rp
Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara
tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak berisi ikan 110.000. maka besar biaya minimum yang dikeluarkan
koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi untuk pengiriman tersebut adalah
adalah y, maka model matematika untuk masalah a. Rp 1.000.000,00 d. Rp 1.070.000,00
ini adalah … b. Rp 1.050.000,00 e. Rp 1.080.000,00
c. Rp 1.060.000,00
a. x + y 20, 3x + 2y 50, x 0, y 0
9. Seorang penjahit membuat 2 model pakaian.
b. x + y 20, 2x + 3y 50, x 0, y 0 Model pertama memerlukan 1 m kain polos dan 1,
5 kain corak. Model kedua memerlukan 2 m kain
c. x + y 20, 2x + 3y 50, x 0, y 0 polos dan 0,5 m kain bercorak. Dia hanya
mempunyai 20 m kain polos dan 10 m kain
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 41
bercorak. Jumlah maksimum pakaian yang dapat Keuntungan tiap kilogram kerupuk udang
dibuat adalah … potong Rp5.000,00 dan kerupuk ikan Rp6.000,00 per
a. 10 c. 12 e. 16 kilogram. Keuntungan terbesar yang dapat
b. 11 d. 14 diperoleh ibu tersebut adalah …
10. Suatu perusahaan meubel memerlukan 18 unsur a. Rp 220.000,00 d. Rp 178.000,00
A dan 24 unsur B per hari. Untuk membuat barang b. Rp 200.000,00 e. Rp 170.000,00
jenis I dibutuhkan 1 unsur A dan 2 unsur B, c. Rp 198.000,00
sedangkan untuk membuat barang jenis II 13. Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik
dibutuhkan 3 unsur A dan 2 unsur B. Jika barang pisang, yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap
jenis I dijual seharga Rp 250.000,00 per unit dan kilogram keripik rasa coklat membutuhkan modal
barang jenis II dijual seharga Rp 400.000,00 Rp10.000,00, sedangkan keripik rasa keju
perunit, maka agar penjualannya mencapai membutuhkan modal Rp15.000,00 perkilogram.
maksimum, berapa banyak masing–masing Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00.
barang harus di buat? tiap hari hanya bisa memproduksi paling banyak
a. 6 jenis I d. 3 jenis I dan 9 jenis II 40 kilogram. Keuntungan tiap kilogram keripik
b. 12 jenis II e. 9 jenis I dan 3 jenis II pisang rasa coklat adalah Rp2.500,00 dan keripik
c. 6 jenis I dan jenis II rasa keju Rp3.000,00 perkilogram. Keuntungan
11. Luas daerah parkir 1.760m2 luas rata–rata untuk terbesar yang dapat diperoleh ibu tersebut adalah
mobil kecil 4m2 dan mobil besar 20m2. Daya …
tampung maksimum hanya 200 kendaraan, biaya a. Rp110.000,00 d. Rp89.000,00
parkir mobil kecil Rp1.000,00/jam dan mobil besar b. Rp100.000,00 e. Rp85.000,00
Rp2.000,00/ jam. Jika dalam satu jam terisi penuh c. Rp99.000,00
dan tidak ada kendaran yang pergi dan dating, 14. Seorang pedagang raket badminton ingin
penghasilan maksimum tempat parkir adalah … membeli dua macam raket merek A dan merek B,
a. Rp 176.000,00 d. Rp 300.000,00 paling banyak 20 buah, dengan harga tidak lebih
b. Rp 200.000,00 e. Rp 340.000,00 dari Rp2.000.000,00. Harga merek A
c. Rp 260.000,00 Rp70.000,00/buah dan merk B
12. Seorang ibu memproduksi dua jenis kerupuk, Rp120.000,00/buah. Tiap raket merek A
yaitu kerupuk udang dan kerupuk ikan. Setiap keuntungannya Rp10.000,00, sedangkan raket
kilogram kerupuk udang membutuhkan modal merek B Rp15.000,00. Keuntungan maksimum
Rp10.000,00, dan setiap kerupuk ikan yang dapat diperoleh adalah …
membutuhkan modal Rp15.000,00. Modal yang a. Rp 120.000,00 d. Rp 260.000,00
dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00. Tiap hari b. Rp 200.000,00 e. Rp 270.000,00
hanya bisa memproduksi paling banyak 40 kg. c. Rp 240.000,00
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 42
BARISAN DAN DERET
A. BARISAN ARITMETIKA DAN GEOMETRI
U1, U2, U3, … ,Un adalah barisan suatu bilangan yang memiliki ciri khusus sebagai berikut
Barisan Ciri utama Rumus suku ke–n Suku tengah Sisipan k bilangan
Beda b = Un – Un – 1 Ut = 1 (a + U2k – 1) , k
Aritmetika 2
y−x
Selalu sama Un = a + (n – 1)b letak suku tengah, bbaru = k +1
banyaknya suku 2k–1
Geometri Rasio r = U n Un = arn–1 Ut = a Un , dengan rbaru = k+1 y
U n−1 x
Selalu sama t = ½(n + 1)
Catatan :
1. x dan y adalah dua buah bilangan yang akan di sisipkan k buah bilangan
2. U1 = a = suku pertama suatu barisan
3. Pada barisan aritmetika berlaku Um – Uk = (m – k)b
B. DERET ARITMETIKA DAN GEOMETRI
U1 + U2 + U3 + … + Un adalah penjumlahan berurut (deret) suatu barisan dengan ciri khusus sbb
Deret Jumlah n suku pertama
Sn = 1 n(a + Un) ……………jika a dan Un diketahui
2
Aritmetika 1
2
= n(2a + (n – 1)b) …………..jika a dan b diketahui
Sn = a(r n −1) ………………… jika r > 1
r −1
Geometri
= a(1 − r n ) …………………jika r < 1
1− r
Catatan:
1. Antara suku ke–n dan deret terdapat hubungan yaitu :
• Un = Sn – Sn – 1
• U1 = a = S1
2. Terdapat deret takhingga suatu barisan geometri yaitu:
• S = a r
1−
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 43
KUMPULAN SOAL
Menentukan suku ke-n atau jumlah n suku pertama deret aritmetika.
1. Suku ke-25 dari barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, … a. – 11 c. 2 e. 11
adalah …
a. 50 c. 74 e. 78 2 2
b. 52 d. 77
b. – 2 d. 5
2. Suku ke-4 suatu barisan aritmetika adalah 56, 2
sedangkan suku ke-9 sama dengan 26. beda
barisan tersebut adalah … 9. Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika
a. –6 c. 5 e. 30 adalah Sn = 6n2 – 3n. Suku ketujuh dari deret
b. –5 d. 6 tersebut adalah …
3. Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke–5 a. 39 c. 75 e. 87
adalah 22 dan suku ke–12 adalah 57. Suku ke–15 b. 45 d. 78
barisan ini adalah … 10. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmetika
a. 62 c. 72 e. 76 dinyatakan dengan rumus Sn = 2n2 – n. Suku
b. 68 d. 74 kesepuluh deret tersebut adalah …
a. 35 c. 37 e. 39
4. Diketahui suku ke–3 dan suku ke–8 suatu barisan
aritmetika berturut–turut 7 dan 27. Suku ke–20 b. 36 d. 38
barisan tersebut adalah … 11. Suku ke tujuh dan suku ke dua barisan artimatika
a. 77 c. 75 e. 66 berturut-turut adalah 43 dan 13. Jumlah sepuluh
b. 76 d. 67 suku pertama deret aritmatika itu adalah ....
a. 205 c. 410 e. 900
5. Suku keempat dan suku ketujuh suatu barisan
aritmetika berturut–turut adalah 5 dan 14. Suku b. 340 d. 610
kelima belas barisan tersebut adalah … 12. Suku ke tujuh dan suku ke dua barisan artimatika
a. 35 c. 39 e. 42 berturut-turut adalah 43 dan 13. Jumlah sepuluh
b. 38 d. 40 suku pertama deret aritmatika itu adalah ....
a. 205 c. 410 e. 900
6. Diketahui jumlah suku ke-2 dan ke-4 dari barisan
aritmetika adalah 26. Dan selisih suku -8 dan ke- b. 340 d. 610
5 adalah 9. Suku ke-10 dari barisan aritmetika 13. Diketahui barisan aritmetika dengan suku ke tiga
tersebut adalah ... . 8 dan suku ke lima 12. Jumlah delapan suku
a. 18 c. 28 e. 43 pertama deret tersebut adalah . . .
a. 176 c. 88 e. 18
b. 24 d. 34 b. 128 d. 64
7. Suku ke – n suatu deret aritmetika Un = 3n – 5.
14. Suku ke-5 sebuah deret aritmatika adalah 11 dan
Rumus jumlah n suku pertama deret tersebut jumlah nilai suku ke-8 dengan suku ke-12 sama
adalah …. dengan 52. Jumlah 8 suku yang pertama deret itu
adalah ….
a. 68 c. 76 e. 84
a. Sn = n ( 3n – 7 ) d. Sn = n ( 3n – 3 )
2 2 b. 72 d. 80
15. Suku pertama dan suku kelima suatu barisan
b. Sn = n ( 3n – 5 ) e. Sn = n ( 3n – 2 ) aritmetika berturut–turut adalah 2 dan 10, jumlah
2 2
dua puluh suku pertama barisan tersebut adalah
c. Sn = n ( 3n – 4 ) …
2
8. Jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn a. 382 c. 400 e. 435
= n2 + 5 n. Beda dari deret aritmetika tersebut b. 395 d. 420
2
adalah ….
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 44
KUMPULAN SOAL
Menentukan suku ke-n atau jumlah n suku pertama deret geometri
1. Suatu barisan geometri 8, 4, 2, ... . Suku ke 11. Dari suatu barisan geometri diketahui U2 = 3 dan U5
delapan dari barisan itu adalah .. . = 24. Suku pertama barisan tersebut adalah …
a. 1 c. 1 e. 1 a. 1 c. 3 e. 5
2 16 64 2 22
b. 1 d. 2
b. 1 d. 1 12. Suku kedua dan suku kelima barisan geometri
8 32
berturut-turut adalah 9 dan 243. Rumus suku ke-n
2. Suku yang ke-8 barisan barisan geometri 2, 6, 18, barisan tersebut adalah …
54,… adalah …
a. 30 c. 156 e. 4374 a. Un = 3n c. Un = 3n + 1 e. Un = 3n
b. Un = 3n – 1 d. Un = 3 – n
b. 86 d. 2287 13. Suku ketiga dan keenam suatu deret geometri
3. Suku ke-10 barisan geometri 1 , 1 , 1 , 1, … berturut-turut adalah –12 dan 96. Jumlah tujuh
842
adalah … suku pertama deret tersebut adalah …
a. 8 c. 32 e. 128
b. 16 d. 64 a. –192 c. –127 e. 192
4. Suku ketiga dan keenam barisan geometri b. –129 d. 129
14. Diketahui suku pertama suatu barisan geometri
berturut–turut adalah 18 dan 486. Suku kedelapan adalah 3 dan suku ke-4 adalah 24. Jumlah tujuh
barisan tersebut adalah …
suku pertama deret tersebut adalah …
a. 4.374 c. 2.916 e. 1.384 a. 182 c. 192 e. 384
b. 3.768 d. 1.458
5. Suku ke–4 dan dan ke–6 barisan geometri b. 189 d. 381
15. Suku kedua deret geometri dengan rasio positif
berturut–turut 4 dan 36. Suku ke–8 barisan adalah 10 dan suku keenam adalah 160. Jumlah
tersebut adalah …
10 suku pertama deret tersebut adalah …
a. 81 c. 324 e. 712 a. 5.215 c. 5.205 e. 5.115
b. 243 d. 426
6. Diketahui suku kedua dan suku kelima barisan b. 5.210 d. 5.120
geometri berturut–turut adalah 48 dan 6, suku 16. Diketahui suku ke–2 dan ke–5 deret geometri
berturut–turut 3 dan 24. Jumlah 6 suku pertama
ketujuh barisan tersebut adalah … deret tersebut adalah …
a. 1 c. 2 e. 3
a. 72 c. 88 e. 98
b. 84,5 d. 94,5
b. 3 d. 5
17. Jumlah tak hingga deret geometri :
22
64 +8 + 1+ 1 + … adalah …
7. Suku ketiga dan ketujuh suatu barisan geometri 8
berturut-turut adalah 6 dan 96. Suku ke-5 barisan
tersebut adalah … a. 74 1 c. 74 e. 73 1
a. 18 c. 36 e. 54
b. 24 d. 48 7 8
8. Suku pertama barisan geometri adalah 54 dan b. 74 1 d. 73 1
8 7
suku kelimanya 2 . Suku ketujuh barisan tersebut 18. Jumlah deret geometri tak hingga
3
18 + 6 + 2 + 2 + … adalah …
adalah …
3
a. 6 c. 6 e. 2 a. 26 2 c. 36 e. 54
27
9 27 3
b. 4 d. 4 b. 27 d. 38 7
9 27
6
9. Suku ke tiga dan suku keenam barisan geometri 19. Diketahui deret geometri 4 + 2 + 1 + 1 + … jumlah
berturut-turut adalah 18 dan 486 . Suku ke lima
barisan tersebut adalah…. 2
tak hingga deret tersebut adalah …
a. 243 c. 96 e. 48 a. c. 8 1 e. 7 3
2 4
b. 162 d. 81 b. 9 d. 8
20. Jumlah tak hingga deret geometri :
10. Suku ke-2 dan suku ke-4 suatu barisan geometri
berturut-turut adalah 2 dan 18. Suku ke-5 dari
barisan itu untuk rasio r > 0 adalah … 6 + 3 + 3 + 3 + … adalah …
a. 27 c. 42 e. 60
b. 36 d. 54 24
a. 10 c. 12 e. 14
b. 11 d. 13
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 45
TRIGONOMETRI
1. Rumus Dasar : B sin α = sisi dihadapansudutα = a
a hipotenusa c
c
α cos α = sisi didekat sudutα = b
hipotenusa c
tan α = sisi dihadapansudutα = a
sisi didekat sudutα b
A C
b
Rumus perbandingan :
Rumus kebalikan :
co s ec = 1 sin
sin cos
tan =
sec = 1 atau kebalikannya cot = cos
cos sin
cot = 1
tan
2. Sudut-Sudut Istimewa : 30° 45° 60° 0° 90° 180° 270° 360°
Perbandingan
Trigonometri 1 1 2 1 3 0 1 0 -1 0
2 2 2 1 0 -1 0 1
Sinus (Sin) 0 00
Cosinus (Cos) 1 3 1 2 1
Tangen (Tan) 2 2 2
1 3 1 3
3
3. Untuk sudut-sudut pada kuadran I, II, III dan IV.
Perbandingan Kuadran I () Kuadran II Kuadran III Kuadran IV
Trigonometri
Sinus (sin) Sin (180 – ) (180 + ) (360 – )
Cosinus (cos) Cos
Tangen (tan) Tan Sin – Sin – Sin
– Cos – Cos Cos
– Tan Tan – Tan
4. Sudut-sudut istimewa dari kuadran I → kuadran IV dalam derajat dan radian
Derajat Radian
0 0 Derajat Radian
30 1 210 7
6 6
45 1 225 5
4 4
60 1 240 4
3 3
90 1 270 3
2 2
120 2 300 5
3 3
135 3 315 7
4 4
150 5 330 11
6 360
6
180
2
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 46
5. Koordinat Kartesius (x, y) dan Koordinat Kutub (r, ).
A. Jika diketahui koordinat kartesius diubah dalam koordinat kutub, maka :
r = x2 + y2 Tan = y
x
B. Jika diketahui koordinat kutub diubah dalam koordinat kartesius, maka :
x = r cos y = r sin
6. RUMUS-RUMUS IDENTITAS TRIGONOMETRI.
Cos2 A = 1− Sin2 A
Cos²A + Sin²A = 1 Sin2 A = 1− Cos2 A
Tan2 A = Sec2 A −1
Tan²A + 1 = Sec²A Sec2 A −Tan2 A = 1
Cot 2 A = Co sec2 A − 1
Cot²A + 1 = Cosec²A Co sec2 A − Cot 2 A = 1
7. ATURAN SINUS dan ATURAN COSINUS
A. Aturan Sinus.
a =b=c
Sin A Sin B Sin C
B. Aturan Cosinus.
a² = b² + c² – 2bc Cos A Cos A = b2 + c2 − a 2
2bc
b² = a² + c² – 2ac Cos B atau Cos B = a 2 + c2 − b2
2ac
c² = a² + b² – 2ab Cos C Cos C = a 2 + b2 − c2
2ab
8. LUAS SEGITIGA.
) jika diketahui dua sisi mengapit satu sudut maka
L= 1 bc Sin A
2
L= 1 ac Sin B
2
L= 1 ab Sin C
2
) jika diketahui ketiga sisinya maka
L = s (s − a)(s − b)(s −c)
dimana s = 1 (a + b + c) = setengah keliling Δ ABC
2
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 47
KUMPULAN SOAL
Menentukan penyelesaian trigonometri
1. Diketahui tan A = − 1 (untuk A sudut 5. Jika tan x = 3, maka nilai
2 1 + 1 = ...
tumpul), nilai Sin A. Cos A = ... 1 + sin x 1 − sin x
A. 2 A. 0,1
3 B. 0,2
C. 5
B. 2 D. 10
5 E. 20
C. − 1 6. Diketahui
5
D. − 2 cot = 1 dan 180 270. nilai dari
5 2
E. − 2 2sin + 6 cos = ...
3 sin − 4 cos
A. – 5,5
2. Nilai dari : B. – 5
2sin 480 + 1 cos120 + 2sin 300 + cos(−240) C. – 4
2 D. – 3,5
adalah … E. – 2
A. 0 7. Sin 120°. cos 30° + cos 120°. sin 30° = …
A. 0
B. − 1 B. 1
4 2
C. 1 2
C. − 1 2
2 D. 1 3
2
D. − 3
4
E. – 1
3. Sederhanakanlah : E. 1
sin 1 + x + cos( + x) + cos(2 − x) = ... 8. Nilai dari tan 300 = ...
2 sin120 − cos 210
A. 3 cos x
B. 2 cos x A. – 1
C. cos x
D. sin x B. − 1 3
E. sin x – 2 cos x 2
4. Cos 3 = ... C. − 1
4 2
A. − 1 3 1
2 D.
2
E. 1
B. − 1 2 9. sin 1 + cos 3 − tan 1 = ...
2 4 43
C. 0 A. 2 + 3
D. 1 2 B. 1 + 3
C. 1 − 3
2 D. − 3
E. 1 3
2
E. 3
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 48
10. Nilai dari sin 45.cos 60.tan 0 adalah 14. Sin 3 = ...
sec 30 4
… A. 1 3
A. 3 2
B. 1 3
B. 1 2
2 2
C. 2
D. 1 2 C. 0
D. − 1 2
2
E. 0 2
E. − 1 3
11. Perhatikan gambar segitiga siku-siku di
A bawah ini ! 2
30° 15. Jika y = cos 2x maka nilai y untuk x = 30°
BC adalah ...
1
jika panjang AC = 100 cm, maka panjang AB A.
dan BC berturut-turut adalah ... cm dan ... cm 2
A. 50 dan 50 3 B. 1 2
2
B. 50 dan 50 2 C. 1 3
C. 50 3 dan 50 2
D. 1
D. 50 dan 50 E. 2
E. 50 3 dan 50 2 16. Grafik pada gambar di bawah ini
merupakan grafik dari fungsi ...
12. Jika
tan = 5 dan 180 270, maka A. y = sin x
3 B. y = cos x
nilai sin α = ... C. y = tan x
A. − 5 D. y = sec x
4 E. y = cot x
B. − 4
5 17. Ditentukan cos A = − 2 , 90° < A < 180°.
3 3
C.
4 Nilai tan A = ...
D. − 5 34 A. − 5
34 B. − 1 5
E. 5 34
34 2
C. – 1
13. Bentuk tan + cot identik dengan ... D. 1 5
sec
2
A. cos α E. 5
B. sin α
C. cosec α
D. sec α
E. tan α
Ringkasan Materi dan Kumpulan Soal Matematika Wajib Kls XII.MIPA SMA Warga Surakarta, Th. 2022-2023 Hal. 49
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
RINGKASAN MATERI DAN SOAL-SOAL UJIAN
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search