ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 บทที่ 1 อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ครูผู้สอน คุณครูปัทมาภรณ์ สาลีอาจ ต าแหน่ง ครู คศ.1 โรงเรียนอนุบาลบางละมุง ส านักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษาชลบุรี เขต 3 บทเรียนประกอบการสอนออนไลน์ รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน
แหล่งเรียนรู้เพิ่มเติม ผู้จัดท า เมนูหลัก 1. อสมการ 2.กราฟแสดงจ านวน 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 5.ปัญหาอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวชี้วัด เขา ้ใจและใชส้ มบตัิ ของการไม ่ เท ่ ากนัเพ ื่อวเ ิ คราะห ์ และแกป้ ัญหา โดยใช้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว (ค 1.3 ม.3/1)
มากกวา ่ นอ ้ ยกวา ่ มากกวา ่ หร ื อเท ่ ากบันอ ้ ยกวา ่ หร ื อเท ่ ากบัและไม ่ เท ่ ากบัตามลา ดบั สมการ ประโยคที่แสดงความสัมพันธ์ ของจ านวน โดยใช้เครื่องหมาย “=” อสมการ ประโยคที่แสดงความสัมพันธ์ ของจ านวน โดยใช้เครื่องหมาย >, <,⩾,⩽, ≠ เครื่องหมาย >, <,⩾,⩽, ≠ แทนความสัมพันธ์ของจ านวน 1. อสมการ
อสมการ อ่านว่า 2x – 5 > 3 เช่น สองเอ็กซ์ลบหา ้ มากกวา่สาม เศษหน่ึ งส่วนส ี่ของเอ็กซ์นอ ้ ยกวาลบหนึ่ง ่ ค่าสมับ ู รณ ์ ของสามวายมากกวา่หร ื อเท่ากบศูนย์ ั สี่เอ็กซ์บวกหกนอ ้ ยกวา่หร ื อเท่ากบัสามเอ็กซ์ลบหนึ่ง สามยกกา ลงัสองไม่เท่ากบัหก เอ็กซ์มากกวา่ลบสองแต่นอ ้ ยกวา่หก เอ็กซ์มากกวา่สาม หร ื อเอ็กซ์นอ ้ ยกวา่หร ื อเท่ากบัศ ู นย ์ 1 4 x < – 1 |3y| ⩾ 0 4x + 6 ⩽ 3x –1 3 2 ≠ 6 –2 < x < 6 x > 3 หรือ x ⩽ 0 1. อสมการ
ประโยคดงัต ่ อไปน ้ ี แสดงใหเ ้ ห ็ นวา ่ เป็ นอสมการท ี่เป็ นจร ิ งหร ื อเป็ นเท็จ ประโยค ประโยคสัญลักษณ์ ค่าความจริง ของอสมการ ลบหน่ึ งมากกวา ่ ลบส ิ บ ลบหา ้ นอ ้ ยกวา ่ ศ ู นย ์ สามยกกา ลงัสองนอ ้ ยกวา ่ หก ลบสองไม ่ เท ่ ากบัสอง สองเท ่ าของเจด ็ นอ ้ ยกวา ่ ส ิ บ ลบหา ้ ยกกา ลงัสองไม ่ เท ่ ากบัยสิบห้า ี่ เป็ นจริง เป็ นจริง เป็ นเท็จ เป็ นจริง เป็ นเท็จ เป็ นเท็จ –1 > –10 –5< 0 3 2 < 6 –2 ≠ 2 2(7) < 10 (–5) 2 ≠ 25 1. อสมการ
ประโยคสัญลักษณ์ ค่า x ที่ท าให้อสมการเป็ นจริง นกัเร ี ยนพ ิ จารณาประโยคสัญลกัษณ ์ ต ่ อไปน ้ ี ท ี่ม ี x แทนจ านวนหนึ่งในอสมการ x > –5 2x < 10 x ⩽ 9 25 ⩽ 5x x + 3 < –7 x ≠ 0 2x + 6 ≠ 4 5 – x ⩾ 8 จา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่มากกวา ่–5 จา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่นอ ้ ยกวา ่ 5 จา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่นอ ้ ยกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั9 จา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่มากกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั5 จา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่นอ ้ ยกวา ่–10 จา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่ไม ่ใช ่ 0 จา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่ไม ่ใช ่–1 จา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่นอ ้ ยกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั–3 –3x < 6 จา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่มากกวา ่–2 1. อสมการ
จากตารางขา ้ งตน ้ นกัเร ี ยนลองแทนค ่ า x เพ ื่อตรวจสอบวา ่ ค ่ า x ท ี่แทนค ่าท าให้ อสมการเป็ นจร ิ ง หร ื อไม ่ จะเห ็ นวา ่ ค ่ าของ x ซึ่งท าให้อสมการเป็ นจริงมีหลายค ่ า ดงัน ้ นัเราสามารถแสดงค ่ าของ x ในรูปแบบกราฟแสดงจ านวนได้
จา นวนต ่ าง ๆ สามารถแสดงไดบ ้ นเส้ นจา นวน ซ่ึ งนกัเร ี ยนสามารถท ี่จะเร ี ยนร ู ้การใช้ สัญลกัษณ ์ ต ่ าง ๆ บนเส้ นจา นวน ดงัน ้ ี จากเส้นจ านวนเป็ นการแสดงจ านวน –6, 0, 5โดยใช้จุดทึบลงบนเส้นจ านวนเพื่อบ ่ งบอก จา นวนน ้ นัๆ แสดงจ านวนจริงทุกจ านวนที่มากกวา ่ 0 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ x > 0 2.กราฟแสดงจ านวน
แสดงจ านวนจริงทุกจ านวนที่น้อยกวา ่ 2 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ x < 2 แสดงจ านวนจริงทุกจ านวนที่มากกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั–1 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ x ⩾ –1 แสดงจ านวนจริงทุกจ านวนที่น้อยกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั3 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ x ⩽ 3 แสดงจ านวนจริงทุกจ านวนยกเว้น –2 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ x ≠ –2 2.กราฟแสดงจ านวน
แสดงจ านวนจริงทุกจ านวนที่มากกวา ่–2 แต ่ นอ ้ ยกวา ่ 3 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ –2 < x <3 แสดงจา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนต ้ งัแต ่–3ถึง 2 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ –3 ⩽ x ⩽ 2 แสดงจา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่มากกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั–1แต ่ นอ ้ ยกวา ่ 3 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ –1 ⩽ x < 3 แสดงจา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่มากกวา ่–3 แต ่ นอ ้ ยกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั1 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ –3 < x ⩽ 1 2.กราฟแสดงจ านวน
แสดงจ านวนจริงทุกจ านวนที่ นอ ้ ยกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั1 หรือจ านวน ท ุ กจา นวนท ี่มากกวา ่ 3 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ x ⩽ 1 หรือ x > 3 แสดงจ านวนจริงทุกจ านวนที่ นอ ้ ยกวา ่ 0 หรือจ านวนทุกจ านวน ท ี่มากกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั2 เขียนเป็ นประโยคสัญลักษณ์ x < 0 หรือ x ⩾ 2 จากกราฟแสดงจา นวนขา ้ งตน ้ จะเห ็ นการใชจ ุ้ดท ึ บและจุดโปร่งแสดงค่าท ี่แตกต่างกนั จุดท ึ บหมายความวา่รวมจา นวนบนเส้ นจา นวนน ้ นัจุดโปร่งหมายความวา่ ไม่รวมจา นวนน ้ นัหร ื อ ยกเวน ้ จา นวนน ้ นับนเส้ นจา นวน และเส้ นท ึ บหมายความวา่รวมทุกจา นวนท ี่ลากผา่น 2.กราฟแสดงจ านวน
ในอสมการอาจม ี ตวัแปรหร ื อไม่ม ี ตวัแปรกไ็ ด ้ ถา ้ อสมการท ี่ม ี ตวัแปรและแทนค่าตวั แปรดว ้ ยจา นวนจร ิ งใด ๆ แลว ้ ทา ใหอ ้ สมการเป็ นจร ิ งหร ื อเป็ นเทจ ็ กไ็ ด ้ ถา ้ อสมการท ี่ม ี ตวัแปรเพ ี ยงตวัเด ี ยวและม ี เลขช ้ ี กา ลงัของตวัแปรเท่ากบหนึ่ง จะ ั เร ี ยกวา่ อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว ตัวอย่างอสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว 1. x > 0 เป็ นอสมการเชิงเส้นที่มี x เป็ นตัวแปร 2. 2x + 5 < 3 เป็ นอสมการเชิงเส้นที่มี x เป็ นตัวแปร 3. 8x 3 – 1> 7 เป็ นอสมการเชิงเส้นที่มี x เป็ นตัวแปร 4. 9(x – 3) ⩽ 1 เป็ นอสมการเชิงเส้นที่มี x เป็ นตัวแปร 5. x 5 ⩾ 6 เป็ นอสมการเชิงเส้นที่มี x เป็ นตัวแปร 6. 8 – a ≠ 5 เป็ นอสมการเชิงเส้นที่มี a เป็ นตัวแปร 7. 3y – 4 ⩽ 2y + 1 เป็ นอสมการเชิงเส้นที่มี y เป็ นตัวแปร 8. 3m +2 4 > 5 เป็ นอสมการเชิงเส้นที่มี m เป็ นตัวแปร 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
อสมการท ี่ม ี ตวัแปรอาจเป็ นจร ิ งหร ื อเป็ นเทจ ็ ข ้ึ นอยก ู ่ บัค ่ าของตวัแปรท ี่แทนค ่ าเขา ้ ไปในอสมการค ่ าของตวัแปรท ี่แทนเขา ้ไปในอสมการ แลว ้ ทา ใหอ ้ สมการเป็ นจร ิ ง เร ี ยกวา ่ ค าตอบของอสมการ ค าตอบของอสมการ คือ จ านวนที่แทนค่าของตัวแปรในอสมการ แล้วท าให้อสมการเป็นจริง ตัวอย่างที่ 1 หาคา ตอบของอสมการท ี่แทนค ่ าตวัแปร แลว ้ ทา ใหป้ ระโยคเป็ นจริง 1) x – 1 > –2 2) 2y ⩾ 0 3) x + 3 < 1 4) y 2 ⩽ 1 วิธีท า 1) x – 1 > –2 จะได้ –1 – 1 > –2 ท าให้ –2 > –2 ซึ่งเป็ นเท็จ เป็ นจุดสังเกตในการหาค าตอบของ อสมการ เม ื่อจา นวนท ้ งัสองขาง ้ เป็ นจา นวนเด ี ยวกนัลองแทนค ่ า x ถ้าแทน x = –1 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
และแทนค ่ าx ด้วย 0, 1 2 , 1, 2 จะได้ 0 – 1 > –2 ท าให้ –1 > –2 ซึ่งเป็ นจริง 1 2 – 1 > –2 ท าให้ – 1 2 > –2 ซึ่งเป็ นจริง 1 – 1 > –2 ท าให้ 0 > –2 ซึ่งเป็ นจริง 2 – 1 > –2 ท าให้ 1 > –2 ซึ่งเป็ นจริง จากการลองแทนค ่ า x ดว ้ ยจา นวนอ ื่น ๆ จะพบวา ่ อสมการเป็ นจร ิ งได ้ เม ื่อx> –1 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ x – 1 > –2 คือ x > –1 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
2) 2y ⩾ 0 จะได้ 2(0) ⩾ 0 ท าให้ 0 ⩾ 0 ซึ่งเป็ นจริง เป็ นจุดสังเกตในการหา ค าตอบของ อสมการ เม ื่อจา นวนท ้ งัสองขาง ้ เป็ นจา นวนเด ี ยวกนั ลองแทนค ่ า y ถ้าแทน y = 0 และแทนค ่ าy ด้วย 0.5, 1, 2, 3 จะได้ 2(0.5) ⩾ 0 ท าให้ 1 ⩾ 0 ซึ่งเป็ นจริง 2(1) ⩾ 0 ท าให้ 2 ⩾ 0 ซึ่งเป็ นจริง 2(2) ⩾ 0 ท าให้ 4 ⩾ 0 ซึ่งเป็ นจริง 2(3) ⩾ 0 ท าให้ 6 ⩾ 0 ซึ่งเป็ นจริง จากการลองแทนค ่ า y ดว ้ ยจา นวนอ ื่น ๆ จะพบวา ่ อสมการเป็ นจร ิ งได ้ เม ื่อ y ⩾ 0 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 2y ⩾ 0 คือ y ⩾ 0 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
3) x + 3 < 1 จะได้ –2+ 3< 1 ท าให้ 1< 1 ซึ่งเป็ นเท็จ เป็ นจุดสังเกตในการหา ค าตอบของ อสมการ เม ื่อจา นวนท ้ งัสองขาง ้ เป็ นจา นวนเด ี ยวกนั ลองแทนค ่ า x ถ้าแทน x = –2 และแทนค ่ าx ด้วย –2.8, –3, –4, –5 จะได้ –2.8+ 3< 1 ท าให้ 0.2< 1 ซึ่งเป็ นจริง –3+ 3< 1 ท าให้ 0< 1 ซึ่งเป็ นจริง –4 + 3 < 1 ท าให้ –1 < 1 ซึ่งเป็ นจริง –5 + 3 < 1 ท าให้ –2 < 1 ซึ่งเป็ นจริง จากการลองแทนค ่ า x ดว ้ ยจา นวนอ ื่น ๆ จะพบวา ่ อสมการเป็ นจร ิ งได ้ เม ื่อx < –2 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ x + 3 < 1 คือ x < –2 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
จะได้ 2 2 ⩽ 1 ท าให้ 1 ⩽ 1 ซึ่งเป็ นจริง เป็ นจุดสังเกตในการหา ค าตอบของ อสมการ เม ื่อจา นวนท ้ งัสองขาง ้ เป็ นจา นวนเด ี ยวกนั ลองแทนค ่ า y ถ้าแทน y = 2 และแทนค ่ าy ด้วย 1.6, 1, 0, –1, –2 จะได้ 1.6 2 ⩽ 1 ท าให้ 0.8 ⩽ 1 ซึ่งเป็ นจริง 1 2 ⩽ 1 ท าให้ 0.5 ⩽ 1 ซึ่งเป็ นจริง 0 2 ⩽ 1 ท าให้ 0 ⩽ 1 ซึ่งเป็ นจริง –1 2 ⩽ 1 ท าให้ –0.5 ⩽ 1 ซึ่งเป็ นจริง 4) y 2 ⩽ 1 –2 2 ⩽ 1 ท าให้ –1 ⩽ 1 ซึ่งเป็ นจริง 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
จากการลองแทนค ่ า y ดว ้ ยจา นวนอ ื่น ๆ จะพบวา ่ อสมการเป็ นจร ิ งได ้ เม ื่อy ⩽ 2 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ y 2 ⩽ 1 คือ y ⩽ 2
ตัวอย่างที่ 2 หาคา ตอบของอสมการท ี่แทนค ่ าตวัแปร แลว ้ ทา ใหป้ ระโยคเป็ นจร ิ ง 1) 4x ≠ 12 2) –6 < x ⩽ 4 3) –3x ≠ 15 4) 3 < x – 4 < 8 วิธีท า 1) 4x ≠ 12 ถ้าลองแทน x ด้วย 2 จะได้ 4(2) ≠ 12 ท าให้ 8 ≠ 12 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย 3 จะได้ 4(3) ≠ 12 ท าให้ 12 ≠ 12 ซึ่งเป็ นเท็จ ถ้าลองแทน x ด้วย 1 จะได้ 4(1) ≠ 12 ท าให้ 4 ≠ 12 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย 1 4 จะได้ 4 1 4 ≠ 12 ท าให้ 1 ≠ 12 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย –5 จะได้ 4(–5) ≠ 12 ท าให้ –20 ≠ 12 ซึ่งเป็ นจริง 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ลองแทนค ่ า x ด้วยจ านวนอื่น ๆ อีกมากมายที่ท าให้อสมการเป็ นจริง ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 4x ≠ 12 คือ จ านวนจริงทุกจ านวนยกเว้น 3
2) –6 < x ⩽ 4 ถ้าลองแทน x ด้วย –5 จะได้ –6 <– 5 ⩽ 4 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย –6 จะได้ –6 <–6 ⩽ 4 ซึ่งเป็ นเท็จ ถ้าลองแทน x ด้วย 0.99 จะได้ –6 < 0.99 ⩽ 4 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย 3 จะได้ –6 < 3 ⩽ 4 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย 4 จะได้ –6 < 4 ⩽ 4 ซึ่งเป็ นจริง และเม ื่อลองแทนจา นวนอ ื่น ๆ อ ี กหลายจา นวนท ี่นอ ้ ยกวา ่–6 หรือมากกวา ่ 4 ท าให้อสมการเป็ นเท็จ เขียนกราฟแสดงค าตอบของอสมการ – 6 < x ⩽ 4 ได ้ ดงัน ้ ี 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ถ้าลองแทน x ด้วย –4 จะได้ –3(–4) ≠ 15 ท าให้ 12 ≠ 15 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย –5 จะได้ –3(–5) ≠ 15 ท าให้ 15 ≠ 15 ซึ่งเป็ นเท็จ ถ้าลองแทน x ด้วย 1 จะได้ –3(1) ≠ 15 ท าให้ –3 ≠ 15 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย 0 จะได้ –3(0) ≠ 15 ท าให้ 0 ≠ 15 ซึ่งเป็ นจริง ลองแทนค ่ า x ด้วยจ านวนอื่น ๆ อีกมากมายที่ท าให้อสมการเป็ นจริง ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ –3x ≠ 15 คือ จ านวนจริงทุกจ านวนยกเว้น –5 3) –3x ≠ 15 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ถ้าลองแทน x ด้วย 12 จะได้ 3 < 12 –4< 8 ท าให้ 3< 8< 8 ซึ่งเป็ นเท็จ ถ้าลองแทน x ด้วย 7 จะได้ 3 < 7 –4< 8 ท าให้ 3< 3< 8 ซึ่งเป็ นเท็จ ถ้าลองแทน x ด้วย 11.5 จะได้ 3 < 11.5 –4< 8 ท าให้ 3< 7.5< 8 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย 10 จะได้ 3 < 10 –4< 8 ท าให้ 3< 6< 8 ซึ่งเป็ นจริง ถ้าลองแทน x ด้วย 9 จะได้ 3 < 9 –4< 8 ท าให้ 3< 5< 8 ซึ่งเป็ นจริง ลองแทนค ่ า x ด้วยจ านวนอื่น ๆ อีกหลายจ านวนที่ท าให้อสมการเป็นจริง 4) 3 < x – 4 < 8 เช ่ น 7.5, 8, 9.5, 11 เขียนกราฟแสดงค าตอบของอสมการ 3 < x –4 < 8 ได ้ ดงัน ้ ี 3.อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
หร ื อเข ี ยนเช่นน ้ ี 5x 5 = 15 5 หร ื อเข ี ยนเช่นน ้ ี 5x + 3 –3 = 18 –3 5x 1 5 = 15 1 5 การแกอ ้ สมการเชิงเส้ นตวัแปรเด ี ยวค ื อการหาคา ตอบของอสมการ ซ่ึ งนกัเร ี ยนไดท ้ ดลอง หาคา ตอบดว ้ ยวธิี การแทนค่าตวัแปรในอสมการอาจเกิดปัญหาสา หรับอสมการท ี่ม ี ความซบั ซ้อนในการ หาค าตอบของอสมการ ถ้าเป็ นสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวที่นักเรียนได้เรียนรู้มาแล้ว จะใช้สมบัติของการเท่ากนัของ การบวกและการคูณมาใชใ้ นการหาคา ตอบของสมการ เช่น ตัวอย่าง หาค าตอบของสมการ 5x + 3 = 18 วิธีท า 5x + 3 = 18 5x + 3 + (–3) = 18 + (–3) 5x = 15 จะได้ x = 3 ดงัน ้ นัคา ตอบของสมการ5x + 3 = 18 คือ x = 3 สมบตัิการเท่ากนัของการบวก สมบตัิการเท่ากนัของการคูณ 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
จากตวัอยา ่ งขา ้ งตน ้ เป็ นการหาคา ตอบของสมการเช ิ งเส้ นตวัแปรเด ี ยว ซ่ึ งใช้สมบัติ การเท ่ ากนัของการบวกและการค ู ณ และในการหาคา ตอบอสมการเช ิ งเส้ นตวัแปรเด ี ยวกจ ็ะใช้ สมบัติของการไม่เท่ากัน ในการหาคา ตอบจะม ี สมบตัิ การบวกของการไม ่ เท ่ ากนัและสมบัติ การค ู ณของการไม ่ เท ่ ากนัซ่ึ งม ี ลกัษณะการหาคา ตอบท ี่คลา ้ ยกนักบัสมบตัิ การเท ่ ากนัของการ บวกและการคูณของการหาค าตอบของสมการ สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน ให้ a, b และ c แทนจ านวนจริงใด ๆ 1. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c 2. ถ้า a ⩽ b แล้ว a + c ⩽ b + c 3. ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c 4. ถ้า a ⩾ b แล้ว a + c ⩾ b + c 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่าง 1. ถ้า 5< 12 แล้ว 5+ 3< 12+ 3 หรือ 8< 15 2. ถ้า 6 ⩽ 9 แล้ว 6 + 7 ⩽ 9+ 7 หรือ 13 ⩽ 16 3. ถ้า –5 > –10 แล้ว –5 + 4 > –10+ 4 หรือ –1 > –6 4. ถ้า 14 ⩾ –7 แล้ว 14 + 7 ⩾ –7+ 7 หรือ 21 ⩾ 0 5. ถ้า 9> 4 แล้ว 9 + (–8) > 4 + (–8) หรือ 1 > –4 6. ถ้า –12 < –4 แล้ว –12 + (–5) < –4 + (–5) หรือ –17 < –9 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
x < 21 ตัวอย่างที่ 1 แกอ ้ สมการ x – 12 < 9 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า x – 12 < 9 น า 12 บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ x – 12 + 12 < 9 + 12 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ x – 12 < 9 คือ จ านวนจริงทุกจ านวนที่น้อยกวา ่ 21 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
x ⩾ 8 ตัวอย่างที่ 2 แกอ ้ สมการ x + 15 ⩾ 23 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า x + 15 ⩾ 23 น า –15 บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ x + 15 + (–15) ⩾ 23 + (–15) ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ x + 15 ⩾ 23 คือ จ านวนจริงทุกจ านวนที่มากกวา ่ หร ื อ เท ่ ากบั8 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
x > –24 ตัวอย่างที่ 3 แกอ ้ สมการ 13 + x > –11 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า 13 + x > –11 น า –13 บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ 13 + x + (–13) > –11 + (–13) ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 13 + x > –11 ค ื อจา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่มากกวา ่–24 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
จากตวัอยา ่ งขา ้ งตน ้ ของอสมการ ใชเ ้ พ ี ยงสมบตัิ การบวกของการไม ่ เท ่ ากนักสามารถ ็ หาคา ตอบของอสมการไดแ ้ ลว ้ ถา ้ เป็ นอสมการท ี่ม ี การค ู ณกนัของบางพจน ์ เราจา เป็นต้องใช้ สมบตัิ การค ู ณของการไม ่ เท ่ ากนั สมบ ั ตก ิ ารค ู ณของการไม ่ เท ่ ากน ั ให้ a, b และ c แทนจ านวนจริงใด ๆ 1. ถ้า a < b และ c เป็ นจ านวนจริงบวก แล้ว ac < bc 2. ถ้า a ⩽ b และ c เป็ นจ านวนจริงบวก แล้ว ac ⩽ bc 3. ถ้า a < b และ c เป็ นจ านวนจริงลบ แล้ว ac > bc 4. ถ้า a ⩽ b และ c เป็ นจ านวนจริงลบ แล้ว ac ⩾ bc 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่าง 1. ถ้า 9< 10 แล้ว 9× 3< 10× 3 จะได้ 27< 30 2. ถ้า –1 ⩽ 2 แล้ว (–1) × 5 ⩽ 2× 5 จะได้ –5 ⩽ 10 3. ถ้า 11< 15 แล้ว 11 × (–3) > 15 × (–3) จะได้ –33 > –45 และสมบตัิ การค ู ณของการไม ่ เท ่ ากนัของเคร ื่องหมาย > และ ⩾ ในท านองเดียวกนั 4. ถ้า –3 ⩽ –2 แล้ว (–3) × (–5) ⩾ (–2) × (–5) จะได้ 15 ⩾ 10 ข ้ อควรร ู้ ถ้าน าจ านวนจริงลบมาคูณ ท ้ งัสองขา ้ งจะตอ ้ งเปล ี่ยน เครื่องหมาย < เป็ น > และ ⩽ เป็ น ⩾ จึงจะ ท าให้อสมการเป็ นจริง 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
สมบ ั ตก ิ ารค ู ณของการไม ่ เท ่ ากน ั ให้ a, b และ c แทนจ านวนจริงใด ๆ 1. ถ้า a > b และ c เป็ นจ านวนจริงบวก แล้ว ac > bc 2. ถ้า a ⩾ b และ c เป็ นจ านวนจริงบวก แล้ว ac ⩾ bc 3. ถ้า a > b และ c เป็ นจ านวนจริงลบ แล้ว ac < bc 4. ถ้า a ⩾ b และ c เป็ นจ านวนจริงลบ แล้ว ac ⩽ bc ข้อสังเกต เมื่อน า c ค ู ณท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ ท ี่c อยใ ู ่ นร ู ป 1 c ดงัน ้ นั c ≠ 0 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
6x > 18 ตัวอย่างที่ 4 แกอ ้ สมการ 6x – 5 > 13 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า 6x – 5 > 13 น า 5 บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ 6x – 5 + 5 > 13 + 5 น า 1 6 ค ู ณเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ 6x 1 6 > 18 1 6 x > 3 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 6x – 5 > 13 คือ จ านวนจริงทุกจ านวนที่มากกวา ่ 3 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
–2x ⩽ 12 ตัวอย่างที่ 5 แกอ ้ สมการ 8 – 2x ⩽ 20 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า 8 – 2x ⩽ 20 น า –8 บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ 8 – 2x – 8 ⩽ 20 – 8 น า 1 2 ค ู ณเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ x ⩾ –6 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 8 – 2x ⩽ 20 คือ จ านวนจริงทุกจ านวนที่มากกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั–6 จะได้ –2x – 1 2 ⩾ 12 – 1 2 ข้อสังเกต พิจารณาจ านวนที่น ามาคูณ –2 เท่ากบั1 ซึ่ง – 1 2 เป็ นจ านวนที่น ามาคูณ 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
x < 8 ตัวอย่างที่ 6 แกอ ้ สมการ 3x 4 < 6และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า 3x 4 < 6 น า 4 3 ค ู ณเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ 3x 4 4 3 < 6 4 3 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 3x 4 < 6 ค ื อจา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่นอ ้ ยกวา ่ 8 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
12 – 4x ⩽ 40 ตัวอย่างที่ 7 แกอ ้ สมการ 12 –4x 5 ⩽ 8 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า 12 –4x 5 ⩽ 8 น า 5 ค ู ณเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ 12 –4x 5 × 5 ⩽ 8 × 5 น า –12 บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ 12 – 4x – 12 ⩽ 40 – 12 –4x ⩽ 28 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
x ⩾ –7 น า – 1 4 ค ู ณเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ –4x – 1 4 ⩾ 28 × – 1 4 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 12 –4x 5 ⩽ 8ค ื อจา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่มากกวา ่ หรือ เท ่ ากบั–7 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
3x + 14 – 3x > 4x – 3x ตัวอย่างที่ 8 แกอ ้ สมการ 3x + 9 > 4x – 5 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า จาก 3x + 9 > 4x – 5 จะได้ 3x + 9 + 5 > 4x – 5 + 5 3x + 14 > 4x 14 > x หรือ x < 14 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 3x + 9 > 4x – 5 คือ จ านวนจริงทุกจ านวน ท ี่นอ ้ ยกวา ่ 14 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
3x + 18 + 8 ⩽ 16x – 8 + 8 ตัวอย่างที่ 9 แกอ ้ สมการ 3(x + 6) ⩽ 8(2x – 1) และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า จาก 3(x + 6) ⩽ 8(2x – 1) จะได้ 3(x + 6) ⩽ 8(2x – 1) 3x + 18 ⩽ 16x – 8 3x + 26 ⩽ 16x 3x + 26 – 3x ⩽ 16x – 3x 26 ⩽ 13x 26 13 ⩽ x หรือ x ⩾ 2 เป็ นการ คูณกระจายเข้าไป ทุกพจน์ในวงเล็บ เป็ นการคูณด้วย 1 13 ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 3(x + 6) ⩽ 8(2x – 1) คือ จ านวนจริงทุกจ านวนที่มากกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั2 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
7x – 9 > 18x – 24 ตัวอย่างที่ 10 แกอ ้ สมการ 7x – 9 3 > 2(3x – 4) และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า จาก 7x – 9 3 > 2(3x – 4) จะได้ 7x – 9 > 2(3x – 4) ×3 7x – 9 > 6(3x – 4) 7x – 18x > – 24 + 9 –11x > –15 x < –15 –11 x < 15 11 เป็ นการคูณด้วย– 1 11 ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย > เป็น < จึงจะท าให้อสมการเป็ นจริง 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 7x – 9 3 > 2(3x - 4) ค ื อจา นวนจร ิ งท ุ กจา นวนท ี่นอ ้ ยกวา ่ 15 11 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
4(7x + 2) + 3(2x – 6) ⩽ 24 ตัวอย่างที่ 11 แกอ ้ สมการ 7x + 2 3 + 2x – 6 4 ⩽ 2และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า จาก 7x + 2 3 + 2x – 6 4 ⩽ 2 หา ค.ร.น. ของ 3 และ 4 คือ 12 นา มาค ู ณเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของอสมการ จะได้ 12 7x + 2 3 + 12 2x – 6 4 ⩽ 2(12) 28x + 8 + 6x – 18 ⩽ 24 34x – 10 ⩽ 24 34x ⩽ 24 + 10 x ⩽ 1 34x ⩽ 34 x ⩽ 34 34 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 7x + 2 3 + 2x – 6 4 ⩽ 2 คือ จ านวนจริงทุกจ านวนที่น้อยกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั1 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแกอ ้ สมการท ี่เป็ นเคร ื่องหมาย ≠ ม ี วธ ิี การหาคา ตอบของอสมการ ดงัน ้ ี 1. หาค าตอบของอสมการโดยเปลี่ยน ≠ เป็ น = โดยการแกส ้ มการเพ ื่อหาคา ตอบ ของสมการ 2. คา ตอบของอสมการค ื อจา นวนท ุ กจา นวนท ี่ไม ่ใช ่ คา ตอบของสมการในการหา จากข้อ 1. 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
จะได้ 3x + 8 2 × 6 = 6x – 12 6 × 6 ตัวอย่างที่ 12 แกอ ้ สมการ 3x + 8 2 ≠ 6x – 12 6 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า จาก 3x + 8 2 ≠ 6x – 12 6 พิจารณา 3x + 8 2 = 6x – 12 6 น า 6 ค ู ณเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของสมการ 3(3x + 8) = 6x – 12 น า 12 บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของสมการ 9x + 24 + 12 = 6x – 12 + 12 9x + 36 = 6x 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
9x + 36 – 9x = 6x – 9x น า – 9x บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของสมการ 36 = – 3x x = –12 36 –3 = x ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 3x + 8 2 ≠ 6x – 12 6 6 คือ จ านวนจริงทุกจ านวนยกเว้น –12 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
จะได้ (3y – 1) × 8 = 12y + 4 8 × 8 ตัวอย่างที่ 13 แกอ ้ สมการ 3y – 1 ≠ 12y + 4 8 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า จาก 3y – 1 ≠ 12y + 4 8 พิจารณา 3y – 1 = 12y + 4 8 น า 8 ค ู ณเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของสมการ (3y – 1) ×8 = 12y + 4 24y – 8 = 12y + 4 24y – 8 + 8 = 12y + 4 + 8 น า 8 บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของสมการ 24y = 12y + 12 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว