น า –12y บวกเขา ้ ท ้ งัสองขา ้ งของสมการ 24y – 12y = 12y + 12 – 12y 12y = 12 y = 12 12 y = 1 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ 3y – 1 ≠ 12y + 4 8 คือ จ านวนจริงทุกจ านวนยกเว้น 1 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การหาคา ตอบทเ ี่กย ี่วกบ ั ค ่ าส ั มบ ู รณ ์มีเงื่อนไขดงัน ้ ี 1. |x| = x เมื่อ x ⩾ 0 2. |x| = –x เมื่อ x < 0 3. |x| < a กต ็่ อเม ื่อ–a < x < a กต ็่ อเม ื่อx > –a และ x < a 4. |x| > a กต ็่ อเม ื่อx > a หรือ x < –a ตัวอย่าง 1) |x| = x เมื่อ x ⩾ 0 |2| = 2 จะได้ 2 = 2 |0.1| = 0.1 จะได้ 0.1 = 0.1 3 8 = 3 8 จะได้ 3 8 = 3 8 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
2) |x| = –x เมื่อ x < 0 |–5| = –(–5) จะได้ 5 = 5 |–0.9| = –(–0.9) จะได้ 0.9 = 0.9 6 7 = – 6 7 จะได้ 6 7 = 6 7 – – 3) |x| < a กต ็่ อเม ื่อ –a < x < a กต ็่ อเม ื่อ x > –a และ x < a |x| < 10 กต ็่ อเม ื่อ –10 < x < 10 กต ็่ อเม ื่อ x > –10 และ x < 10 |x| < 1 2 กต ็่ อเม ื่อ – 1 2 < x < 1 2 กต ็่ อเม ื่อ x > – 1 2 และ x < 1 2 |x| < 1.9 กต ็่ อเม ื่อ –1.9 < x < 1.9 กต ็่ อเม ื่อ x > –1.9 และ x < 1.9 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
4) |x| > a กต ็่ อเม ื่อ x > a หรือ x < –a |x| > 4 กต ็่ อเม ื่อ x > 4 หรือ x < –4 |x| > 5 6 กต ็่ อเม ื่อx > 5 6 หรือ x < – 5 6 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
x – 9 + 9 > 4 + 9 หรือ x – 9 + 9 < –4 + 9 ตัวอย่างที่ 14 แกอ ้ สมการ |x – 9| > 4 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า |x – 9| > 4 |x| > a กต ็่ อเม ื่อx > a หรือ x < –a จะได้ x – 9 > 4 หรือ x – 9 < –4 x > 13 หรือ x < 5 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ |x – 9| > 4 คือ จ านวนทุกจ านวนที่มากกวา ่ 13 หร ื อนอ ้ ยกวา ่ 5 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
x + 2 + (–2) > –8 + (–2) และ x + 2 + (–2) < 8 + (–2) ตัวอย่างที่ 15 แกอ ้ สมการ|x + 2| < 8 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า |x + 2| < 8 |x| < a กต ็่ อเม ื่อx > –a และ x < a จะได้ x + 2 > –8 และ x + 2 < 8 x > –10 และ x < 6 ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ |x + 2| < 8 คือ จ านวนทุกจ านวน ท ี่มากกวา ่–10 แต ่ นอ ้ ยกวา ่ 6 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี เขียนได้ –10 < x < 6 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
–9 ⩽ 3x ⩽ 21 ตัวอย่างที่ 16 แกอ ้ สมการ |3x – 6| ⩽ 15 และเขียนกราฟแสดงค าตอบ วิธีท า จาก |3x – 6| ⩽ 15 แสดงวา ่–15 ⩽ 3x – 6 ⩽ 15 –15 + 6 ⩽ 3x – 6 + 6 ⩽ 15 + 6 –9 3 x ⩽ 3x 3 ⩽ 21 3 –3 ⩽ x ⩽ 7 เข ี ยนกราฟแสดงคา ตอบของอสมการได ้ ดงัน ้ ี ดงัน ้ นัคา ตอบของอสมการ |3x – 6| ⩽ 15 คือ จ านวนทุกจ านวนที่มากกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั–3 แต ่ นอ ้ ยกวา ่ หร ื อเท ่ ากบั7 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ลองคด ิ ด ู ช ่ วยหาคา ตอบของอสมการต ่ อไปน ้ ี 1. m – 5 < m – 1 2. 3n + 6 > 7 + 3n 3. 2x – x + 1 > x – 3 4. 9 – 5y < 8 – 5y 5. 2w ⩽ w 4.การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
การแกโ้ จทยป์ ัญหาอสมการเช ิ งเส้ นตวัแปรเด ี ยว ม ี ข ้ นัตอนการแกโ้ จทย์ปัญหา ทา นองเด ี ยวกบัการแกโ้ จทยป์ ัญหาสมการ ดงัน ้ ี 1. วเ ิ คราะห ์โจทยเ ์ พ ื่อหาวา ่ โจทยก ์ า หนดอะไรมาให ้ และใหห ้ าอะไร 2. กา หนดตวัแปรแทนส ิ่งท ี่โจทยต ์ อ ้ งการหาคา ตอบ หร ื อแทนส ิ่งท ี่เก ี่ยวขอ ้ งกบัส ิ่งท ี่ โจทย์ให้หา 3. เข ี ยนอสมการตามเง ื่อนไขท ี่โจทยก ์ า หนดให้ 4. แกอ ้ สมการเพ ื่อหาคา ตอบท ี่โจทยต ์ อ ้ งการ 5. พ ิ จารณาตรวจสอบคา ตอบท ี่สอดคลอ ้ งกบัเง ื่อนไขของโจทย์ 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
จะได้ x + (x + 1) + (x + 2) > 102 ตัวอย่างที่ 1 ผลบวกของจา นวนเตม ็ สามจา นวนท ี่เร ี ยงต ่ อกนัม ี ค ่ ามากกวา ่ 102จงหาจ านวนเต็มที่มี ค ่ านอ ้ ยท ี่ส ุ ด ค ื อจา นวนใด วิธีท า สมมุติให้จ านวนเต็มที่น้อยที่สุดเป็ น x จา นวนเตม ็ อ ี กสองจา นวนท ี่เหล ื อท ี่เร ี ยงต ่ อกนัเป็ น x + 1, x + 2 แต ่ ผลบวกของจา นวนท ี่เร ี ยงต ่ อกนัม ี ค ่ ามากกวา ่ 102 3x + 3 > 102 3x > 102 – 3 3x > 99 x > 99 3 x > 33 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
เนื่องจาก x มากกวา ่ 33จะไดว ้ า ่ จา นวนเตม ็ ท ี่นอ ้ ยท ี่ส ุ ดท ี่มากกวา ่ 33คือ 34 จา นวนเตม ็ อ ี กสองจา นวนท ี่เหล ื อท ี่เร ี ยงต ่ อกนัจะได ้34 + 1 = 35 และ 34 + 2 = 36 จา นวนเตม ็ ท ี่เร ี ยงต ่ อกนัและม ี ผลบวกของท ้ งัสามจา นวนมากกวา ่ 102 คือ34, 35, 36 ดงัน ้ นัจา นวนท ี่ม ี ค ่ านอ ้ ยท ี่ส ุ ดท ี่เร ี ยงต ่ อกนัและม ี ผลบวกของท ้ งัสามจา นวนมากกวา ่ 102 คือ 34 ตรวจค าตอบ ถ้าจ านวนเต็มที่น้อยที่สุดเป็ น 34 จา นวนสามจา นวนท ี่เร ี ยงต ่ อกนัค ื อ34, 35, 36 ผลบวกของจา นวนสามจา นวนท ี่เร ี ยงต ่ อกนั= 34 + 35 +36 = 105 ม ี ค ่ ามากกวา ่ 102 ซึ่งเป็ นจริง ตามเงื่อนไขที่โจทยก ์ า หนด ดงัน ้ นัจา นวนเตม ็ สามจา นวนท ี่เร ี ยงต ่ อกนัค ื อ34, 35 และ 36 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
2x < 8 + 24 ตัวอย่างที่ 2 สองเท่าของจา นวนเตม ็ จา นวนหน่ึ งลบดว ้ ย24 ทา ใหผ ้ ลลพัธ ์ ม ี ค่านอ ้ ยกวา่8จ านวนเต็ม จา นวนน ้ นัม ี ค่าเท่าใด วิธีท า สมมุติให้จ านวนเต็มจ านวนหนึ่งที่ต้องการเป็ น x สองเท่าของจา นวนเตม ็ จา นวนหน่ึ งลบดว ้ ย24 ทา ใหผ ้ ลลพัธ ์ ม ี ค่านอ ้ ยกวา่8 จะไดว ้ า่2x – 24 < 8 2x < 32 x < 32 2 3x > 99 x > 99 3 x < 16 ดงัน ้ นัจา นวนเตม ็ ท ี่ตอ ้ งการค ื อจา นวนเตม ็ ทุกจา นวนท ี่นอ ้ ยกวา ่16 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตรวจค าตอบ จา นวนเตม ็ ท ี่นอ ้ ยกวา่16 เช่น 15, 10,1, –5 สองเท่าของจา นวนเตม ็ จา นวนหน่ึ งลบดว ้ ย24 ทา ใหผ ้ ลลพัธ ์ ม ี ค่านอ ้ ยกวา่8 จะไดว ้ า่2x –24 < 8 ลองแทนค่าท ี่จา นวนเตม ็ ท ี่นอ ้ ยกวา่16 ตามท ี่กา หนด 102 คือ 34 6< 8 เป็ นจริง 2(10) –24 < 8 –4< 8 เป็ นจริง 2(15) –24 < 8 2(1) –24 < 8 –22< 8 เป็ นจริง 2(–5) –24 < 8 –34 < 8 เป็ นจริง ดงัน ้ นัสองเท่าของจา นวนเตม ็ จา นวนหน่ึ งลบดว ้ ย24 ท าให้ผลลัพธ์ ม ี ค่านอ ้ ยกวา่8 ค ื อจา นวนเตม ็ ทุกจา นวนท ี่นอ ้ ยกวา่16 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 3 นายช ่ างตอ ้ งการทา ร ้ัวลอ ้ มรอบสนามร ู ปส ี่เหล ี่ยมผ ื นผา ้ แห ่ งหน่ึ ง ซ่ึ งม ี ดา ้ นยาวยาวกวา ่ ด้านกว้าง 8เมตรความยาวโดยรอบสนามไม ่ เก ิ น 204 เมตร หาความยาวของด้านกว้าง ของสนามแห ่ งน ้ ี วิธีท า ให้สนามมีความยาวของด้านกว้าง m เมตร ดา ้ นยาวยาวกวา ่ ดา ้ นกวา ้ ง 8 เมตร จะมีความยาวของด้านยาว m + 8 เมตร ความยาวของเส้นรอบรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า = 2(กว้าง + ยาว) ดงัน ้ นัร ้ัวลอ ้ มรอบสนามร ู ปส ี่เหล ี่ยมผน ื ผา ้ ยาว = 2{m + (m + 8)} = 2(2m + 8) 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
แต ่ ความยาวโดยรอบสนามไม ่ เก ิ น 204 เมตร จะได้ 2(2m + 8) ⩽ 204 4m + 16 ⩽ 204 4m ⩽ 204 – 16 4m ⩽ 188 m ⩽ 188 4 m ⩽ 47 ดงัน ้ นัความยาวของดา ้ นกวา ้ งของสนามแห ่ งน ้ ี ยาวไม ่ เก ิ น 47 เมตร 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตรวจค าตอบ ถา ้ ความยาวของดา ้ นกวา ้ งของสนามยาวอยา ่ งมาก47เมตร ความยาวของดา ้ นยาวของสนามยาวอยา ่ งมาก47 + 8 = 55 เมตร ความยาวของร ้ัวลอ ้ มรอบสนามร ู ปส ี่เหล ี่ยมผน ื ผา ้ = 2(47 + 55) = 2(102) จะไดร ้้ัวลอ ้ มรอบสนามร ู ปส ี่เหล ี่ยมผน ื ผา ้ ยาวอยา ่ งมาก204 เมตร ดงัน ้ นัความยาวของดา ้ นกวา ้ งของสนามแห ่ งน ้ ี ยาวไม ่ เก ิ น 47 เมตร = 204 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 4 อนุวัฒน์เร ี ยนพลศ ึ กษาม ี การเกบ ็ คะแนนดว ้ ยกนัท ้ งัหมด 4 คร ้ังโดยแต ่ ละคร ้ังคะแนนเตม ็ 20 คะแนน และมีคะแนนสอบปลายภาคอีก 20 คะแนน ซึ่งอนุวัฒน์ม ี คะแนนเกบ ็ ในแต ่ ละคร ้ังค ื อ15, 13, 14 และ 16 ตามล าดับ ถ้าอนุวัฒน์อยากได้เกรด 4 ซึ่งต้องมีคะแนน รวมกนัท ้ งัหมดอยา ่ งนอ ้ ย 80 คะแนนข ้ึ นไป อยากทราบวา ่ อนุวัฒน์มีโอกาสจะได้เกรด 4 หร ื อไม ่ วิธีท า ให้คะแนนสอบปลายภาคได้ x คะแนน อนุวัฒน์สอบเกบ ็ คะแนนในคร ้ังท ี่1 ถ ึ งคร ้ังท ี่4 ได้ 15, 13, 14 และ 16 คะแนน จะไดว ้ า ่ 15 + 13 + 14 + 16 + x > 80 x + 58 > 80 x > 80 – 58 x > 22 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
อนุวัฒน์จะตอ ้ งสอบปลายภาคไดม ้ ากกวา ่ 22คะแนน จึงจะได้เกรด 4 แต ่ คะแนนเตม ็ในแต ่ ละคร ้ังเป็ น 20คะแนน ซึ่ง 22คะแนนมากกวา ่ 20 ที่เป็ นคะแนนเต็ม ดงัน ้ นั โอกาสท ี่อนุวัฒน์จะได้เกรด 4จึงเป็นไปไม ่ได ้ ตรวจค าตอบ ให้คะแนนสอบปลายภาคได้ x คะแนน จะได้ x ⩽ 20 อนุวัฒน์สอบเกบ ็ คะแนน 4 คร ้ังได ้15, 13, 14 และ 16 คะแนน ละคะแนนสอบปลายภาคได้เต็ม 20 คะแนน 15 + 13 + 14 + 16 + 20 ⩽ 78 คะแนนรวมที่อนุวัฒน์สามารถท าได้สูงสุด คือ 78คะแนน ซ่ึ งไม ่ ถ ึ ง 80คะแนน ที่จะได้เกรด 4 จะไดว ้ า ่ 15 + 13 + 14 + 16 + x ⩽ 15 + 13 + 14 + 16 + 20 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 5 รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีความสูงเป็ น 6 เซนต ิ เมตรถา ้ ร ู ปสามเหล ี่ยมร ู ปน ้ ี ม ี พ ้ ื นท ี่อยา ่ ง น้อย 57 ตารางเซนต ิ เมตร จะม ี ฐานยาวอยา ่ งนอ ้ ยเท ่ าไร วิธีท า ใหฐ ้ านของร ู ปสามเหล ี่ยมเท ่ ากบั x เซนติเมตร รูปสามเหลี่ยมมีความสูงเป็ น 6 เซนติเมตร ดงัน ้ นัพ ้ ื นท ี่ของร ู ปสามเหล ี่ยมเท ่ ากบั 1 2 ×x ×6 ตารางเซนติเมตร แต ่ ร ู ปสามเหล ี่ยมร ู ปน ้ ี ม ี พ ้ ื นท ี่อยา ่ งนอ ้ ย 57 ตารางเซนติเมตร จะได้ 1 2 ×x ×6 ⩾ 57 3x ⩾ 57 x ⩾ 57 3 x ⩾ 19 ดงัน ้ นัร ู ปสามเหล ี่ยมจะม ี ฐานยาวอยา ่ งนอ ้ ย 19 เซนติเมตร 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตรวจค าตอบ ถา ้ ฐานของร ู ปสามเหล ี่ยมยาวอยา ่ งนอ ้ ย 19 เซนติเมตร พ ้ ื นท ี่ของร ู ปสามเหล ี่ยม = 1 2 × 19 × 6 = 57 จะไดพ ้ ้ ื นท ี่ของร ู ปสามเหล ี่ยมอยา ่ งนอ ้ ย 57 ตารางเซนติเมตร ดงัน ้ นัฐานของร ู ปสามเหล ี่ยมยาวอยา ่ งนอ ้ ย 19 เซนติเมตร ซึ่งเป็ นจริง ตามเงื่อนไขที่โจทย์กา หนด 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 6 ส ุ พจน ์ เกบ ็ เง ิ นดว ้ ยกนัท ้ งัหมดสามวนั โดยในวนัท ี่สองเกบ ็ เง ิ นเป็ นสองเท ่ าของวนัแรก และวนัท ี่สาม เกบ ็ เง ิ นเป็ นสามเท ่ าของวนัแรกถา ้ส ุ พจน ์ อยากม ี เง ิ นเกบ ็ ในสามวนัรวมกนั ใหไ้ ดม ้ ากกวา ่ 900 บาท ส ุ พจน ์ จะตอ ้ งเกบ ็ เง ิ นในวนัแรกเท ่ าไร วิธีท า ใหเ ้ ง ิ นท ี่ส ุ พจน ์ เกบ ็ ในวนัแรกเป็ น x บาท วนัท ี่สองเกบ ็ เง ิ นเป็ นสองเท ่ าของวนัแรกเป็ น 2x บาท วนัท ี่สามเกบ ็ เง ิ นเป็ นสามเท ่ าของวนัแรก 3x บาท เกบ ็ เง ิ นสามวนัรวมกนัเป็ น x + 2x + 3x แต ่ ส ุ พจน ์ อยากม ี เง ิ นเกบ ็ ในสามวนัรวมกนั ใหไ้ ดม ้ ากกวา ่ 900 บาท 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
จะได้ x + 2x + 3x > 900 6x > 900 x > 900 6 x > 150 ดงัน ้ นัส ุ พจน ์ จะตอ ้ งเกบ ็ เง ิ นในวนัแรกมากกวา ่ 150 บาท ตรวจค าตอบ ใหส้ ุ พจน ์ เกบ ็ เง ิ นในวนัแรก150 บาท จะไดว ้ า ่ = 150 + 2(150) + 3(150) = 150 + 300 + 450 = 900 ดงัน ้ นัถา ้ส ุ พจน ์ อยากม ี เง ิ นเกบ ็ ในสามวนัรวมกนั ใหไ้ ดม ้ ากกวา ่ 900 บาท กจ ็ ะตอ ้ งเกบ ็ เง ิ นในวนัแรกมากกวา ่ 150 บาท 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ตัวอย่างที่ 7 ปกป้ องม ี เหร ี ยญหน่ึ งบาทและเหร ี ยญหา ้ส ิ บสตางคร ์ วมกนัมากกวา ่ 85 เหรียญ คิดเป็ น เง ิ นท ้ งัส ิ ้ น 50 บาท ปกป้ องม ี เหร ี ยญหน่ึ งบาทไดม ้ ากท ี่ส ุ ดก ี่เหร ี ยญ วิธีท า ให้ปกป้องมีเหรียญหนึ่งบาท x เหรียญ คิดเป็ นเงิน x บาท จะมีเหรียญห้าสิบสตางค์คิดเป็ นเงิน 50 – x บาท ปกป้องมีเหรียญห้าสิบสตางค์ 2(50 –x) เหรียญ แต ่ เหร ี ยญท ้ งัหมดม ี มากกวา ่ 85 เหรียญ จะได้ x + 2(50 – x) > 85 x + 100 – 2x > 85 –x + 100 > 85 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
–x > 85 – 100 –x > –15 x < 15 ดงัน ้ นั ปกป้ องม ี เหร ี ยญหน่ึ งบาทไดม ้ ากท ี่ส ุ ด 14 เหรียญ ตรวจค าตอบ ถ้าปกป้องมีเหรียญหนึ่งบาทมากที่สุด 14 เหรียญ ปกป้องมีเหรียญห้าสิบสตางค์น้อยที่สุด = 2(50 –14) = 2(36) = 72 แสดงวา ่ ปกป้ องจะม ี เหร ี ยญหน่ึ งบาทและเหร ี ยญหา ้ส ิ บสตางคร ์ วมกนันอ ้ยที่สุด คือ 14 + 72 = 86 เหร ี ยญ และม ี จา นวนเหร ี ยญรวมกนัมากกวา ่ 85 เหรียญ ซ่ึ งเป็ นจร ิ งตามเง ื่อนไขท ี่โจทยก ์ า หนด ดงัน ้ นั ปกป้ องม ี เหร ี ยญหน่ึ งบาทไดม ้ ากท ี่ส ุ ด 14 เหรียญ 5.โจทย์ปัญหาการแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
นักเรียนได้รับความรู้เกี่ยวกับ “อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว” อย่างครบถ้วนแล้ว หวังว่านักเรียนจะน าความรู้ไปใช้ในชีวิตจริงได้นะคะ
แหล่งเรียนรู้เพิ่มเติม วิดีโอ สอนออนไลน์อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
ผู้จัดท า นางสาวปัทมาภรณ์ สาลีอาจ ต าแหน่ง ครู คศ.1 โรงเรียนอนุบาลบางละมุง ส านักงานเขตพื้นที่การศึกษาประถมศึกษาชลบุรี เขต 3