คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์ (6)

คณิตศาสตร์( Computer Mathematics )
คอมพิวเตอร์

( Computer Mathematics )



รหัสวิชา 20204-2003

หน่วยที่ 1

ระบบจำนวนจริง

จำนวนจริง หมายถึง จำนวนที่เป็นตรรกยะ
และจำนวนที่เป็นอตรรกยะ ซึ่งเป็นจำนวนที่
สามารถหาค่าได้หรือจำนวนที่หาค่าได้โดย
ประมาณ จะใช้ R แทนเซตของจำนวนนั้น
จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียน
ให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้ และแทนเซตของ
จำนวนตรรกยะด้วยสัญลักษณ์ Q
จำนวนตรรกยะประกอบด้วย จำนวนเต็ม
และ เศษส่วน

จำนวนเต็ม

ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก จำนวนเต็มลบ
และจำนวนเต็มศูนย์
แทนเซตของจำนวนเต็มด้วยสัญลักษณ์ I นั่น
คือ
I = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

เซตของจำนวนเต็มบวก แทนด้วย I นั่นคือ
"I" ^+ = {1, 2, 3, ...}

เซตของจำนวนเต็มลบ แทนด้วย I นั่นคือ
"I" ^- = {-1, -2, -3, ...}

เซตของจำนวนเต็มศูนย์ แทนด้วย I นั่นคือ
"I" ^0 = {0}

สมบัติเกี่ยวกับการ
บวกของจำนวนเต็ม

1. สมบัติปิด

∈ ∈ ∈ถ้า a I,B i แล้ว a+b i
∈ ∈2. สมบัติการสลับที่

ถ้า a i,b i แล้ว a + b = b + a

∈3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้

ถ้า a, b และ c i แล้ว
(a + b) + c = a + (b + c)
4. สมบัติการมีเอกลักษณ์ การบวก มี
จำนวนเต็ม

∈ศูนย์ เป็นเอกลักษณ์การบวก

เมื่อ a i แล้ว a + 0 = 0 + a = a

เศษส่วน



≠ซึ่งเขียนในรูป โดยแทน a และ b เป็น

จำนวนเต็มแค่ b 0 และรวมถึงทศนิยมซ้ำ
อันประกอบด้วยทศนิยมศูนย์ซ้ำ และไม่ใช้ศูนย์
ซ้ำ
จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่ใช่
จำนวนตรรกยะ เพราะเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน
ไม่ได้ จะเขียนได้เป็นทศนิยมไม่ซ้ำ และสามารถ
หาค่าได้โดยประมาณแทนเซตของ
จำนวนอตรรกยะ

การบวกจำนวนจริง



สมบัติปิดของการบวก

∈ ∈ ∈ถ้า a R และ
b R แล้ว a+b R เช่น
∈3 + 8 = 11 R




สมบัติการสลับที่การบวก

∈ ∈ ∈ถ้า a R และ b
R แล้ว a+b R เช่น
∈3 + 8 = 11 R

การบวกจำนวนจริง

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ของการบวก

∈


ถ้า a,b และ c R แล้ว(a+b) +c = a +
(b+c) เช่น
(5+1) + 6 = 5 + (1+6)

สมบัติการมีเอกลักษณ์ ของการบวก



∈มีจำนวนจริง 0 เป็นเอกลักษณ์การบวกเมื่อ a

R แล้ว a + 0 = 0 + a เช่น
0 + 3 = 3 + 0 =3

การบวกจำนวนจริง




สมบัติการมีอินเวอร์สของการบวก
เมื่อ a เป็นจำนวนใดๆ จ
ะมี-a เป็นอินเวอร์ส

การบวกของ a โดย a + (-a) = (-a) + a = 0
เช่น 5+ (-5)= (-5) + 5 = 0 เรียก 5 และ -5
เป็น อินเวอร์สการบวกซึ่งกันและกัน

การคูณจำนวนจริง

สมบัติของระบบจำน
วนจริงกับการคูณ

1.สมบัติปิดของการคูณ
R เช่น

∈ ∈ ∈ถ้า a R และ b R แล้ว a ∙ b

5 x 3 = 15 R

สมบัติของระบบจำนวนจริงกับการคูณ




2.สมบัติการสลับที่ของการคูณ

∈ ∈ ∈ถ้า a R และ b R แล้ว a ∙ b = b a

เช่น
2x7=7x2

การคูณจำนวนจริง
สมบัติการเปลื่ ย
นกลุ่มได้ของการคูณ

∈ถ้า a,b และ c R แ
ล้ว (ab) c = a (ab)

เช่น
(5 x 2 ) x 3 = 5 x (2 x 3)

สมบัติการมีเอกลัษณ์ของการคูณ



∈ในระบบจำนวนจริงจะมี 1 เป็นเอกลักษณ์

ของการคูณ เมื่อ a R ดังนั้น a x 1 =
1 x a = a เช่น
3x1=1x3=3

การคูณจำนวนจริง
สมบัติการมีอิน
เวอร์สของการคูณ
∈เมื่อ a R โดยที่ a ≠ 0 จะมีจำนวนจริง

a^(-1) เป็น
อินเวอร์สการคูณของ a ดังนั้น
a ∙ a^(-1) = a^(-1) ∙ a = 1
ซึ่ง a^(-1) = 1/a นั่นเอง
อินเวอร์สการคูณของ 3 คือ 3 เพราะ
3 x 3^(-1) = 3 x 1/3 = 1/3 x 3 = 1

∈สมบัติการแจกแจง

ถ้า a, b และ c R แล้ว a(b + c) = ab + ac
5(3 + 4) = (5 x 3) + (5 x 4)

การเท่ากันใน
ระบบจำนวนจริง

สมบัติการสะท้อน

เมื่อ a เป
็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว a = a



สมบัติการสมมาตร
เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ แล้ว

ถ้า a = b แล้ว b = a

สมบบัติารถ่ายทอด
เมื่อ a, b แ
ละ c เป็นจำนวนจริงใดๆ
ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

การเท่ากันในระบบ
จำนวนจริง


สมบัติการบวกด้วยจำนวนเดียวกัน

เมื่อ a, b, c เป็นจำ
นวนจริงใดๆ
ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

สมบัติการคูณด้วยจำนวนเดียวกัน
เมื่อ a, b, c เป็นจ
ำนวนจริงใดๆ
ถ้า a = b แล้ว ac = bc

การไม่เท่ากันในระบบ

จำนวนจริง


กำหนด A และ B เป็นจำนวนจริงใดๆ

ดังนั้น a < b หมายถึง a - b เป็นจำนวน
ลบ หรือ a - b < 0

a > b หมายถึง a - b เป็นจำนวน
บวก หรือ a - b > 0
ถ้า a และ b เป็นจำนวนจริงใดๆ และเรียก
สมบัตินี้ว่า สมบัติไตรวิภาค แล้ว a = b, a
< b หรือ a > b จะเป็นจริงอย่างใดอย่าง
หนึ่งเท่านั้น

ทฤษฎีบวกเศษเหลือ



เมื่อมี P(x) ซึ่งเป็นพหุนาม a_x x^n+
a_(n-1) ∙ x^(n-1)+ a_(n-2)∙โดยที่ n
เป็นจำนวนเต็มบวก และ a คือ
สัมประสิทธิ์ของพหุนามและ a = 0 ถ้า
หารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x - c
ใดๆ จะเหลือเศษส่วนเท่ากัน

การแยกตัวประกอบ
โดยใช้ทฤษฎีเศษเหลือ

ให้ P(x) = x^3เพราะว่าพจน์ของตัวคงที่

+2 จะมีตัวประกอบ +1 +2 ทดลองแทนค่า
x ด้วยตัวเหล่านี้ เพื่อหาเศษ ถ้าได้เศษ
เท่ากับ 0 แสดงการหารลงตัว

P(x) =x
P(1) =(1)

=1 - 2 - 1 + 2 = 0

การบวกจำนวนจริง
สมบัติการเปลี่ย
นกลุ่มได้ของการบวก

∈


ถ้า a,b และ c R แล้ว(a+b) +c = a +(b+c) เช่น
(5+1) + 6 = 5 + (1+6)

สมบัติการมีเอกลักษณ์ ของการบวก



∈มีจำนวนจริง 0 เป็นเอกลักษณ์การบวกเมื่อ a
R แล้ว a + 0 = 0 + a เช่น
0 + 3 = 3 + 0 =3

การบวกจำนวนจริง

สมบัติของระบบ
จำนวนจริงกับการคูณ




1.สมบัติปิดของการคูณ

∈ ∈ ∈ถ้า a R และ b R แล้ว a ∙ b R เช่น

5 x 3 = 15 R

สมบัติของระบบจำนวนจริงกับการคูณ

2.สมบัติการสลับที่ของก
ารคูณ a

∈ ∈ ∈ถ้า a R และ b R แล้ว a ∙ b = b

เช่น

2x7=7x2

ช่วงและการแก้อสมการ

ช่วงครึ่งเปิด [a, b) หมายถึง เซตของ

จำนวนทุกจำนวนที่น้อยกว่า b แต่มากกว่า
หรือเท่ากับ a หรือ [a, b) =
{x l a < x < b}

ช่วง [a, ) หมายถึง เซตของจำนวนทุก
จำนวนที่
มากกว่า หรือเท่ากับ a หรือ [a, ) = {x l x
> a}

ช่วง (a, ) หมายถึง เซตของจำนวนทุก
จำนวนที่
มากกว่า a หรือ (a, ) = {x l x > a}

ช่วงและการแก้อสมการ

ช่วง (-, a) หมายถึง เซตของจำนวนทุก

จำนวนที่น้อยกว่า หรือเท่ากับ a หรือ (-,
a) = {x l x < a}

ช่วง (-, a) หมายถึง เซตของจำนวนทุก
จำนวนที่น้อยกว่า a หรือ (-, a) = {x l x <
a}

ช่วง (-, ) หมายถึง เซตของจำนวนจริงทุก
จำนวน



หน่วยที่ 2

ระบบตัวเลข

ระบบตัวเลขแต่ละระบบ จะมีตัวเลขที่ใช้
เหมือนกับชื่อของระบบตัวัเลขนั้น และมี
ฐาน ของเลขตามชื่อนั้นด้วย เช่น เลขฐาน
สอง จะประกอบด้วยตัวเลข 2 ตัว คือ 0 กับ
1 จำนวนต่างๆ เกิดจากการนำเลขทั้งสอง
มาเรียงต่อกันหลายๆ หลักและเรียกแต่ละ
หลักว่า บิต

ระบบตัวเลข

เลขฐานสาม จะประกอบด้วยตัวเลข 3 ตัว
คือ 0, 1 และ 2 และจำนวนต่างๆ เกิดจาก
การนำตัวเลขมาเรียงต่อกันเป็นจำนวนใหม่
เลขฐานเจ็ด จะประกอบด้วยตัวเลข 7 ตัว คือ
0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 6

เลขฐานแปด จะประกอบด้วยตัวเลข 8 ตัว คือ
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, และ 7

ระบบตัวเลข

เลขฐานสิบหก จะประกอบด้วยตัวเลข 16 ตัว
คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,
D, E, F โดยใช้ A แทน 10 B แทน 11 C
แทน 12 D แทน 13 E แทน 14 และ F แทน
15

เลขฐานแปด จะประกอบด้วยตัวเลข 8 ตัว คือ
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, และ 7 เลขฐานสิบหก จะ
ประกอบด้วยตัวเลข 16 ตัว คือ 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F โดยใช้ A
แทน 10 B แทน 11 C แทน 12 D แทน 13
E แทน 14 และ F แทน 15

ระบบตัวเลข

การแปลงฐานของระบบตัวเลข การแปลงเลข
ฐานสิบให้เป็นเลขฐานสอง เลขฐานแปด และ
เลขฐานสิบหก ในกรณีที่เป็นจำนวนเต็มของ
เลขฐานสิบนั้นถ้าต้องการแปลงเลขฐานใดๆ
ให้นำตัวเลขฐานนั้นไปหารทีละครึ่ง และต้อง
ระบุเศาเหลือด้วย หารไปเรื่อยๆ จนหารต่อไป
ไม่ได้และคำตอบจะเป็นเศษที่เหลือในครั้ง
สุดท้ายที่เป็นค่ามากที่สุดจนถึงเศาที่เหลือ
จากการหารครั้งแรกที่เป็นค่าน้อยที่สุดเรียง
กันเป็นแถว

การแปลงเลขฐานสอง เลขฐานแปด และเลข
ฐานสิบหกให้เป็นเลขฐานสิบ

การแปลงเลขฐาน

การแปลงเลขระหว่างฐานสองและฐานแปด
การแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานแปด

ทำได้โดยแบ่งเลขฐานสองออกเป็นชุดๆ ละ 3
บิต โดยนับจากทางขวามาทางซ้าย ถ้าชุด
สุดท้ายมีไม่ครบ 3 บิต ให้เติม 0 ลงไป ถ้าเป็น
ทศนิยมให้แบ่งจากซ้ายไปขวา และการแปลง
เลขฐานแปดได้เป็นเลขฐานสองก็ทำเช่น
เดียวกัน หรือจะแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลข
ฐานสิบก่อนแล้วแปลงให้เป็นเลขฐานแปด
ก็ได้

การแปลงเลขฐาน

การแปลงเลขระหว่างเลขฐานสองและเลขฐาน
สิบหก

การแปลงเลขฐานสองให้เป็นเลขฐานสิบหก
ทำเช่นเดียวกันกับการแปลงเลขฐานสองกับ
เลขฐานแปด แต่แบ่งครั้งละ 4 บิต
การแปลงเลขระหว่างเลขฐานแปดและเลขฐาน
สิบหกทำได้โดยแปลงให้เป็นเลขฐานสองก่อน
แล้วจึงแปลงเป็นเลขฐานแปดหรือเลขฐานสิบ
หกตามที่ต้องการ

การแปลงเลขฐาน

การบวกและลบเลขฐาน
การบวกและลบเลขฐานสอง
ในการบวกและลบเลขฐานสอง ดำเนิน

การเช่นเดียวกับการบวก และลบเลขฐานสิบ
โดยที่
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1 + 1 = 0 ทด 1 ( 1 + 1 = 2 ใส่ 0 แล้วทดไว้ 1
ไปยังหลักต่อไป )
1 + 1 + 1 = 1 ทด 1 ( 1 + 1 + 1 = 3 ใส่ 1 ทด
1 ดังนั้น 3 = 11 )

การแปลงเลขฐาน

การบวกและลบเลขฐานแปด
ทำเช่นเดียวกัน แต่ถ้าผลบวกเกิน 7 ให้

หักออกเสีย 8 ซึ่งเป็นค่าฐานได้เท่าไรคือผลลัพธ์
แล้วทด 1 ใส่ในตำแหน่งต่อไป
การบวกและลบเลขฐานสิบหกทำเช่นเดียวกับ
การบวกลบเลขฐานสอง และเลขฐานแปด
การคูณและหารเลขฐานสอง เลขฐานแปด และ
เลขฐานสิบหก
การคูณ ใช้วิธีเดียวกับการคูณเลขฐานสิบ คูณที
ละตัวถ้าผลลัพธ์เกินฐานให้ลบออก แล้วนำ
ผลลัพธ์ของการคูณมาบวกกัน

หน่วยที่ 3

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น

ประพจน์

ประพจน์ คือ ข้อความที่เป็นประโยคบอก
เล่าหรือประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็น
จริงหรือมีค่าความจริงเป็นเท็จ อย่างใดอย่าง
หนึ่ง
ตัวเชื่อมประพจน์

โดยทั่วๆ ไป จะใช้ p, q, r, … แทนประพจน์
ใดๆ และค่าความจริงที่เป็นจริง แทนด้วย T
ส่วนค่าความจริงที่เป็นเท็จ แทนด้วย F

ประพจน์

พิจารณาค่าความจริงที่เป็นไปได้ของ
ประพจน์ p, q, r, … ดังนี้
1. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ P เพียงประพจน์
เดียว โดยที่ไม่ทราบว่าประพจน์ p คือประโยค
อะไร ดังนั้น P อาจเป็นจริงหรือเท็จก็ได้
2. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ 2 ประพจน์ คือ
ประพจน์ p กับ q โดยที่ไม่ทราบว่าประพจน์ p
และ q คือประโยคอะไร ดังนั้นค่าความจริง
ของ p และ q จะมี 4 กรณี

ประพจน์

พิจารณาค่าความจริงที่เป็นไปได้ของ
ประพจน์ p, q, r, … ดังนี้
1. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ P เพียงประพจน์
เดียว โดยที่ไม่ทราบว่าประพจน์ p คือประโยค
อะไร ดังนั้น P อาจเป็นจริงหรือเท็จก็ได้
2. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ 2 ประพจน์ คือ
ประพจน์ p กับ q โดยที่ไม่ทราบว่าประพจน์ p
และ q คือประโยคอะไร ดังนั้นค่าความจริง
ของ p และ q จะมี 4 กรณี

ประพจน์

3. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ 3 ประพจน์ คือ
ประพจน์ p, q, r โดยที่ไม่ทราบว่าประพจน์ p,
q, r คือ ประโยคอะไร ดังนั้น ค่าตวามจริง
ของ p, q, r จะมี 8 กรณี
4. ถ้ากล่าวถึงประพจน์ 4, 5, 6, … ประพจน์
ค่าตวามจริงของประพจน์ทั้งหมดจะเป็น16,
32, 64, … กรณีตามลำดับ

ตัวเชื่อมประพจน์

ตัวเชื่อมประพจน์ที่ใช้เชื่อมประโยคต่างๆ ใน
วิชาตรรกศาสตร์มีอยู่ 5 ตัว คือ
1. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “และ”
2. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “หรือ”
3. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ถ้า …
แล้ว …”
4. การเชื่อมประพจน์ด้วยตัวเชื่อม “ก็ต่อ
เมื่อ”
5. นิเสธของประพจน์ “ไม่”

การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม
เมื่อมีการนำประพจน์ย่อยๆ หลายประพจน์มา
เชื่อมกันด้วยตัวเชื่อมแล้ว ประพจน์ที่นำมาเชื่อม
กันแล้วนี้ สามารถบอกได้ว่ามีค่าความเป็นจริง
หรือเท็จ การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัว
เขื่อมจะมี 2 กรณี
1. การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม
ในกรณีที่ทราบค่าความจริงของประพจน์ย่อย
การหาค่าความจริงจะทำตามลำดับตัวเชื่อมคือ
2. การหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อม
ในกรณีที่ไม่ทราบค่าความจริงที่แน่นอนของ
ประพจน์ย่อย
ในกรณีนี้จะต้องตรวจสอบค่าความจริงของ
ประพจน์ย่อย ทุกกรณีที่เป็นไปได้โดยการสร้าง
ตารางค่าความจริง

รูปแบบของประพจน์ที่สมมูลกัน
รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบ ใดที่มี

ค่าความจริงเหมือนกันกรณีต่อกรณี เรียก
รูปแบบทั้งสองว่า “สมมูลกัน” แทนด้วย
สัญลักษณ์
รุปแบบของประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน

รูปแบบของประพจน์สองรูปแบบใดที่มี
ค่าความจริงตรงกันข้ามกันกรณีต่อกรณี
เรียกรูปแบบทั้งสองว่าเป็นนิเสธกัน
สัจนิรันดร์

รูปแบบของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมรูปแบบ
ใดที่มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี เรียกรูป
แบบนั้นว่า
สัจนิรันดร์

ประโยคเปิด

ประโยคเปิด คือ ประโยคบอกเล่าหรือ

ประโยคปฏิเสธที่มีตัวแปร และไม่ใช่ประพจน์

แต่เมื่อแทนค่าตัวแปรแล้ว สามารถตอบได้ว่า

จริงหรือเท็จ ซึ่งเป็นประพจน์

วลีบอกปริมาณ

วลีบอกปริมาณ คือ วลีที่ทำให้ทราบถึง

ปริมาณของสมาชิกในเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งจะ

ใช้แทนตัวแปรในประโยคเปิด เพื่อทำให้

ประโยคเปิดนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง หรือ

เท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง วลีบอกปริมาณมี 2

ชนิด

1. วลีบอกปริมาณทั้งหมด

2. วลีบอกปริมาณบางอย่าง

ค่าความจริงของประโยคที่มีวลีบ่งปริมาณ
ประโยคที่มีวลีบ่งปริมาณ สามารถบอกได้ว่ามี
ค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จโดยสัมพันธ์กับ
เอกภพสัมพัทธ์ที่กำหนดให้
1. ประโยค
2. ประโยค
3. ประโยค
4. ประโยค
การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล คือ การอ้างเมื่อมี
ข้อความ (ใส่ข้อความหน้า 71)ชุดหนึ่งแล้ว
สามารถสรุปได้ข้อความ C ซึ่งเป็นผล และ
ข้อความ C นี้จะสมเหตุสมผลหรือไม่สมเหตุ
สมผลก็ได้



หน่วยที่ 4

พีชคณิตบูลีน

พีชคณิตบูลีนเป็นคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้อง
กับวิชาตรรกศาสตร์ โดยที่มีตัวแปรเพียง 2
ค่าคือ 0 และ 1 ตามสถานะของสวิตช์ที่มี
เปิดและปิด โดยข้อความที่เป็นข้อมูลที่ส่งเข้า
และส่งออก จะมีสถานะเป็นจริงหรือเท็จ

อย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั
้น

รูปแบบของพีชคณิตบูลีน

พีชคณิตบูลีนมีหลายรูปแบบเพื่อศึกษาได้
เข้าใจยิ่งขึ้น และสามารถที่จะเลือกใช้ตาม
ความเหมาะสม รูปแบบของพีชคณิตบูลีน
ได้แก่

1. รูปแบบสมการ เช่น
C=A B
C=A+B
C=A B

2. รูปแบบที่เป็นกล่องดำ เช่น

3. รูปแบบที่เป็นแผนภาพเวนน์ เช่น
4. รูปแบบประตู เช่น

5. รูปแบบวงจร เช่น
6. รูปแบบตารางค่าความจริง เช่น

ตัวเชื่อมของพีชคณิตบูลีน

ตัวเชื่อมข้อความของพีชคณิตบูลีน ประกอบ
ด้วย AND, OR, NOT, NOT AND
(NAND) และ NOT OR (NOR) และความ
หมายของตัวเชื่อมเหล่านี้ อธิบายตามรูปแบบ
ต่างๆ ดังนี้

1. รูปแบบสมการ
ให้ A และ B คือ ข้อความที่ส่งเข้า และ

C คือ ข้อความที่ส่งออก

2. รูปแบบกล่องดำ
ให้ A แทน และ B แทน

3. รูปแบบแผนภาพเวนน์

2. รูปแบบกล่องดำ
ให้ A แทน และ B แทน

3. รูปแบบแผนภาพเวนน์

4. รูปแบบประตู



5. รูปวงจร
6. รูปแบบตาราง