The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

Home Explore ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.64

View in Fullscreen

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.64

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

Download PDF

Related Publications

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.

Published by nui_nu_i612, 2022-04-27 04:46:09

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.64

Pages:

1 - 50
51 - 73

ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.64

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จฬุ าภรณเอรากชสวาทิรกยารลสัยอชนลวบชิ รุาีคณติ ศาสตร์ ค30103 0

เอกสารประกอบการสอน

คณติ ศาสตร์

ค30103 | ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ

นายเทพมงคล ตามา

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

A

B
จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 1

คำนำ

เอกสารประกอบการสอนเลม่ นีเ้ ปน็ สว่ นหน่งึ ของรายวชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ รหัส
ค30103 ภาคเรียนท่ี 1 จัดทำขนึ้ เพื่อใชป้ ระกอบการเรียนการสอน ให้ความรู้ความเขา้ ใจแก่
ผเู้ รียน เสรมิ สรา้ งทักษะการคิดวเิ คราะหส์ งั เคราะห์ และเสรมิ สรา้ งเจตคติทด่ี ี โดยเนื้อหาใน
เอกสารประกอบการสอนประกอบดว้ ยเน้อื หาของ ฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ

ดงั นัน้ ขา้ พเจา้ หวงั เป็นอย่างยงิ่ ว่าเอกสารประกอบการสอนเลม่ นี้จะเปน็ ประโยชน์ต่อ
การจัดการเรียนรู้ เพือ่ การพฒั นาการเรยี นรู้ของผูเ้ รียนใหด้ ขี ้นึ ต่อไป

เทพมงคล ตามา

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 2

สารบัญ

เร่อื ง หนา้

ใบความรู้ที่ 1 เรอื่ ง ฟงั กช์ นั ไซน์และโคไซน์ 3

ใบความรู้ที่ 2 เร่ือง ค่าของฟังกช์ ันไซนแ์ ละโคไซน์ 5

ใบความรทู้ ี่ 3 เรือ่ ง ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติอืน่ ๆ 11

ใบความรู้ท่ี 4 เรอ่ื ง กราฟของฟงั ก์ชันตรีโกณมิติ 18
ใบความรู้ที่ 5 เรื่อง ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรอื 26
มมุ 35

ใบความรทู้ ี่ 6 เร่ือง ผลคณู ผลบวก และผลต่างของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

ใบความรู้ที่ 7 เร่อื ง ตัวผกผนั ของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ 43

ใบความรู้ท่ี 8 เรื่อง เอกลักษณข์ องฟงั ก์ชันตรโี กณมิติ 53

ใบความรู้ที่ 9 เร่อื ง สมการตรีโกณมิติ 56

ใบความรู้ที่ 10 เรือ่ ง กฎของโคไซน์และไซน์ 61

ใบความรู้ที่ 11 เรื่อง การหาระยะทางและความสงู 66

บรรณานกุ รม 71

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 3

ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิ

ใบความร้ทู ี่ 1 เรือ่ ง ฟังก์ชันไซนแ์ ละโคไซน์

วงกลมหนึ่งหนว่ ย

วงกลมหนึง่ หน่วย คือ วงกลมท่มี จี ุดศนู ย์กลางอยู่ที่จดุ (0,0) และมีรสั มี เท่ากับ 1 หนว่ ย
ถ้า   0 หมายถึง การวดั ไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา
ถา้   0 หมายถงึ การวัดไปในทิศทางตามเขม็ นาฬิกา
ถ้า  = 0 จดุ ปลายสว่ นโค้งคือจุด (1,0)

บทนิยาม sine function = {(  ,y) y = sin  }
cosine function = {(  ,x) x = cos }

เมอ่ื กำหนด  เป็นความยาวส่วนโค้งของเสน้ รอบวงทีว่ ดั จากจุด(1,0) ไปยังจดุ P(x,y) ใดๆบนเสน้
รอบวงวงกลมหนึ่งหน่วยที่มจี ดุ ศนู ยก์ ลางทจ่ี ดุ เร่มิ ตน้ (0,0) โดยนิยมเขยี นเงือ่ นไขส้นั ๆวา่ sin  = y และ
cos = x แทน sin e = y และ cosine = x ตามลำดบั ซง่ึ ท้ังสองความสมั พันธ์เปน็ ฟังก์ชัน
เพราะ  คา่ หนง่ึ จะสิน้ สดุ ที่จุด P(x,y) เพยี งจุดเดยี วเท่าน้นั แตม่ ใี ช่ 1 – 1 function ทัง้ นเ้ี พราะมี  อีก
หลายค่าท่มี ี
จดุ ส้นิ สุดทีเ่ ดยี วกัน เนื่องจากการวดั  นม้ี ีทัง้ การวดั ในทิศทางตามเข็มนาฬกิ าและทวนเข็มนาฬิกาทั้งยัง
สามารถวัดวนไปได้หลายๆรอบวงกลมจะกี่รอบก็ได้ดว้ ย
ขอ้ สังเกต : วงกลมหนงึ่ หนว่ ยที่มีจุดศนู ย์กลางท่ี (0,0) จะมีสมการเปน็ x2 + y2 =1

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 4

โคออร์ดิเนทของจดุ ปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนง่ึ หนว่ ยที่ยาว 

6

โคออรด์ เิ นทของจุดปลายส่วนโค้งของวงกลมหน่งึ หนว่ ยท่ยี าว 

4

โคออรด์ เิ นทของจดุ ปลายสว่ นโคง้ ของวงกลมหนึ่งหน่วยท่ียาว 

3

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 5

ใบความรทู้ ี่ 2 เรอื่ ง ค่าของฟังก์ชันไซนแ์ ละโคไซน์

ค่าของฟงั ก์ชันไซน์และฟงั ก์ชันโคไซน์สามารถหาคา่ ไดด้ งั ตวั อยา่ งต่อไปนี้

ตวั อย่างที่ 1 จงหาค่าของ sin( −  และ cos(− 
) )
66

วธิ ีทำ sin(− ) = − sin( ) = − 1

6 62

cos(− ) = cos( ) = 3

6 62

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาคา่ ของ sin 25 และ cos(−11)

43

วิธีทำ 25 = 6 + 

44

ดงั นนั้ sin 25 = sin(6 + ) =  = 2
sin 2
4 44

− 11 = − 4 + 

33

ดงั นนั้ cos(−11) = cos(−4 +  =  = 1
) cos( )
3 3 32

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 6

1. จงหาค่าของ แบบฝึกทักษะที่ 1
ขอ้ ท่ี โจทย์
1 sin(0) แสดงวธิ ทำ/วธิ ีคิด
.............................................................................................................
2 cos(0) ............................................................................................................
.............................................................................................................
3 sin −   ............................................................................................................
.............................................................................................................
 2 ............................................................................................................
.............................................................................................................
4 cos − 3  ............................................................................................................
.............................................................................................................
 2 ............................................................................................................
.............................................................................................................
5 cos −   ............................................................................................................
.............................................................................................................
 6 ............................................................................................................
.............................................................................................................
6 sin 2 ............................................................................................................
.............................................................................................................
7 sin −   ............................................................................................................
.............................................................................................................
 3 ............................................................................................................

8 cosec 3 

4

9 sec 3 

4

10 cot 3

4

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 7

ขอ้ ที่ โจทย์ แสดงวิธทำ/วธิ ีคิด

11 .............................................................................................................

cos4

............................................................................................................

12 21) cos 5  .............................................................................................................
 6  ............................................................................................................

13 20) sin 5 .............................................................................................................

6 ............................................................................................................

14 22) tan 5  .............................................................................................................

 6  ............................................................................................................

15 cosec− 4  .............................................................................................................
 3  ............................................................................................................

16 25) cos− 4  .............................................................................................................
 3  ............................................................................................................

17 tan 7  .............................................................................................................

 6  ............................................................................................................

18 cosec− 5  .............................................................................................................
 4  ............................................................................................................

19 sec − 5  .............................................................................................................

 6 ............................................................................................................

20 cos11  .............................................................................................................

 6  ............................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 8

2. กำหนด  เป็นจำนวนจริง และ P(  ) เป็นจดุ ปลายส่วนโคง้ ของวงกลมหนึ่งหน่วยท่ียาว  หนว่ ย

จงบอกพกิ ัดของจดุ ปลายส่วนโคง้ ตอ่ ไปนี้

ข้อท่ี โจทย์ พิกัดของจดุ ปลายสว่ นโค้ง

1 P(5 ) .............................................................................................................
............................................................................................................

2 P( 6) .............................................................................................................
............................................................................................................

3 P(16 ) .............................................................................................................

............................................................................................................

4 P( − 3 ) .............................................................................................................

............................................................................................................

5 P(101 ) .............................................................................................................

............................................................................................................

6 P( − 4 ) .............................................................................................................

3 ............................................................................................................

7 P( 7 ) .............................................................................................................
3 ............................................................................................................

8 P( 11 ) .............................................................................................................

6 ............................................................................................................

9 P( 5 ) .............................................................................................................
2 ............................................................................................................

10 P( 9 ) .............................................................................................................
2 ............................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 9

ขอ้ ที่ โจทย์ พกิ ดั ของจุดปลายสว่ นโค้ง

11 P( 3 ) .............................................................................................................
4 ............................................................................................................

12 P( − 5 ) .............................................................................................................

4 ............................................................................................................

13 P( 2 ) .............................................................................................................
3 ............................................................................................................

14 P(  ) .............................................................................................................
6 ............................................................................................................

15 P( 5 ) .............................................................................................................
6 ............................................................................................................

16 P( − 7 ) .............................................................................................................

6 ............................................................................................................

17 P( 13 ) .............................................................................................................

6 ............................................................................................................

18 P( 21 ) .............................................................................................................

4 ............................................................................................................

19 P( 17 ) .............................................................................................................

3 ............................................................................................................

20 P( 35 ) .............................................................................................................

4 ............................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 10

3. จงบอกว่าจุดปลายสว่ นโค้งของวงกลมหน่ึงหน่วยตอ่ ไปนีอ้ ยใู่ นควอดรนั ตใ์ ด

ขอ้ ท่ี จุดปลายส่วนโคง้ ของวงกลมหนงึ่ อยู่ในควอดรนั ต์
หน่วย

1 P(  ) ...............................................................................................
4 ..............................................................................................

2 P( 3 ) ...............................................................................................
4 ..............................................................................................

3 P( 25 ) ...............................................................................................

3 ..............................................................................................

4 P( −  ) ...............................................................................................

4 ..............................................................................................

5 P( 10 ) ...............................................................................................

3 ..............................................................................................

6 P( − 5 ) ...............................................................................................

4 ..............................................................................................

7 P( 5 ) ...............................................................................................
3 ..............................................................................................

8 P( 7 ) ...............................................................................................
6 ..............................................................................................

9 . P( − 25 ) ...............................................................................................

6 ..............................................................................................

10 P( − 11 ) ...............................................................................................

6 ..............................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 11

ใบความรทู้ ่ี 3 เรอื่ ง ฟังก์ชันตรโี กณมิตอิ ืน่ ๆ

;
;
;
;

ตารางคา่ ของมมุ ในฟังก์ชันตรโี กณมติ ิ

ท่มี า : http://physicstool.blogspot.com/2017/07/blog-post.html

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ sin  cos  + sin  cos 5

63 4 4

วธิ ที ำ sin  cos  + sin  cos 5 =  1  1  +  2  − 2 
63 4 4  2  2  2 2

=  1  +  − 2 

4  4

= −1

4

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 12

ตัวอย่างที่ 2 จงหาค่าของ sin  cos 5 + sin 4 cos 
36 36

วิธีทำ sin  cos 5 + sin 4 cos  = sin  cos( − ) + sin( + ) cos 
36 36 36 36

= sin  (− cos ) + (−sin ) cos 
36 36

=  3  − 3  +  − 3  3 
2 2 2 2

= − 3 +  − 3 

4  4

= −6

4

= −3

2

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 13

แบบฝึกทกั ษะที่ 2

1. จงหาค่าของมุมท่กี ำหนดให้ต่อไปน้ี

มุม 0o 30o 45o 60o 90o

cosec

sec

cot

2. จงหาคา่ ของ
1) sin 0 + cos  − sin 3 = …………………………………………………………..….……………………………………..…….

2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………
2) sin  + cos2 − cos 3 = ……………………………………………………………..……………………………………...…

22

……………………………………………………………….......................................................................................................
.........................................................................…………………………………………………………………………..……………
3) cos 3 + sin 2 − sin 3 = …………………………………………………………………………………………...…………

22

……………………………………………………………….......................................................................................................
...........................................................................……………………………………………………………………………………….
4) cos  + sin 2 − sin  = ……………………………………………………………………………………………..……………

2

……………………………………………………………….......................................................................................................
...........................................................................……………………………………………………………………………………….
5) sin 2  + cos2  − 2sin 2 3 = ………………………..…………………………………………………………..……………

22

……………………………………………………………….......................................................................................................
...........................................................................……………………………………………………………………………………….
6) sin  + cos  − sin  = ………………………..……………………………………………………….…….……..……………

6 34

………………………………………………………………………………………………………………………………………...……………….

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 14

7) sin 2  + cos2  + sin 2  = ………………………..…………………………………………….…………...…………………

4 36

……………………………………………………………….......................................................................................................

...........................................................................……………………………………………………………………………………….

8) 2 sin  cos  sin  = ………………………..……….………..……………………………………………..…………………

4 63

……………………………………………………………….......................................................................................................

...........................................................................……………………………………………………………………………………….

9) 2 cos  sin  cos  = …………………….…..………………..………………………………..…………..…………………

46 3

……………………………………………………………….......................................................................................................

...........................................................................……………………………………………………………………………………….

10) sin 2  + 2 tan2  = ………………………..…………………………………………………………………..…………………

34

……………………………………………………………….......................................................................................................

...........................................................................……………………………………………………………………………………….

11) 2 cos ec2  − 3sec2 

46

…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………

……………………………………………………………….......................................................................................................

...........................................................................……………………………………………………………………………………….

12) cot  tan  + sec2 
36 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………

……………………………………………………………….......................................................................................................

...........................................................................……………………………………………………………………………………….

13) 2sin  cos  cot 

663

…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………

………………………………………………………………………………………………..………………………..………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………

14) tan 2  + 4 cos2  + 3sec2 

3 46

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 15

15) cot 2  + cos  − sin 2  − 3 cot 2 
43 34 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………..…………………….…..………………..………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………

16) 3 tan 2  + 4 cos2  − 1 sec2  − 1 sin 2 

63 62 43 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………..………………………..………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………

…………………………………………………………………….……………………………………………………………………………………

3. จงหาค่าของ

1) sin 5 + cos 2 − tan 5

634

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………….…………………………………………………......................

..............................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................…………………

2) sec 4 + cosec 7 − 3 cot 4
36 3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………..…………………….…..………………..………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………….………………………………………………………….....................................

..............................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................………………………………

3) sin 7 cos 9 tan 11 cot 5

44 66

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………..………………………..………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……

…………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 16

4) 4 sin 4 cos13 tan 25

33 6 4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………..………………………..………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………….……………………………..…………...................................................................
..............................................................................................................................................................................
............................................................................................................…………………………………………………………

5) sin 13 cos 25 cot 37

634

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………..………………………..………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………..………….………………………………….............................................................
..............................................................................................................................................................................
..................................................................................................................……………………………………………………

6) 3 sec11 cosec 25 cot 100 tan 91
46 333

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………..………………………..………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………............................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

....................................................................................................…………………………………………………………………

7) sin 2  − 4  + cos2  − 5  + tan2  − 7 
 3  6  4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………..………………………..………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………...........................................................................................

..............................................................................................................................................................................

.....................................................................................……………………………….....................................................

..............................................................................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 17

4. จงหาคา่ ของ
1) sin 150o cos 240o + 4 tan 225o cot 405o
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
…………………………………………..............................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
................................................……………………………………………………………………………………………….………………
2) sin 120o + cos 210o + tan 780o + cot 330o
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
……………………………………………………………………………………...............................................................................
..............................................................................................................................................................................
................................................................................................……………………………………………………………………
3) cosec330o sec300o + sin 750o cos300o
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
………………………………………………………………………………………….........................................................................
..............................................................................................................................................................................
.......................................................................................................………………………………………………………………

( ) ( )4) tan1125o + 1 sec − 780o − cot − 405o
2

……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………
………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
………………………………………………………………………………………............................................................................
..................................................................................................…………………………………………….……………………

( ) ( ) ( ) ( )5) sin − 390o + cos − 420o − tan − 300o − cot − 390o + sec225o + coesec405o

…………………………………………………………………………………………………………………………………….….…………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………….….…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………

……………………………………………………………………………........................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 18

ใบความรูท้ ่ี 4 เรือ่ ง กราฟของฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ

กราฟของฟงั กช์ นั ไซนแ์ ละโคไซน์

ที่มา : http://thn241292math.blogspot.com/2016/02/author-profile.html
กราฟของฟังกช์ นั y = tan x

ทมี่ า: http://e-learning.triamudom.ac.th/courses/56/unit10/index.html

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 19

กราฟของ y = cot x

ทมี่ า : http://e-learning.triamudom.ac.th/courses/56/unit10/index.html
กราฟของ y = sec x

ที่มา : http://e-learning.triamudom.ac.th/courses/56/unit10/index.html
กราฟของ y = csc x

ท่ีมา : http://e-learning.triamudom.ac.th/courses/56/unit10/index.html

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 20

คาบ

ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิทกุ ๆฟงั ก์ชันเป็นคาบ กลา่ วคอื สามารถแบ่งแกน x ออกเป็นช่วงย่อย โดยที่ความ
ยาวของแตล่ ะชว่ งยอ่ ยเท่ากนั และกราฟในแต่ละชว่ งย่อยมลี กั ษณะเหมอื นกัน ความยาวของชว่ งยอ่ ยท่ีส้ัน
ทส่ี ุดท่ีมีสมบตั ดิ งั กล่าวเรียกวา่ คาบ (period) ดังรปู

ทม่ี า : http://www.kr.ac.th/el/02/manika/05.html

กราฟของ y = sin x และ y = cos x มลี ักษณะเหมอื นกันในช่วง − 2 ถึง 0 , 0 ถึง 2π , 2π ถงึ
4π เป็นตน้ น่ันคอื คาบของฟงั ก์ชัน y = sin x และ y = cos x เท่ากับ 2π

แอมพลจิ ูด

สำหรบั ฟงั กช์ ันทเ่ี ป็นคาบซ่ึงมีคา่ ตำ่ สดุ และสูงสุด เราเรยี กคา่ ทเี่ ทา่ กบั คร่ึงหน่งึ ของคา่ สูงสุดลบดว้ ยค่า
ตำ่ สุดของฟังก์ชนั นัน้ ว่า แอมพลิจูด (amplitude)

นั่นคือ ถ้า a และ b เป็นค่าสูงสดุ และค่าต่ำสุดของฟังก์ชนั ที่เป็นคาบ จะไดแ้ อมพลิจูดของฟงั ก์ชันน้ี
เท่ากับ 1 (a − b)

2

ดังนน้ั ฟงั กช์ นั y = sin x และ y = cos x มแี อมพลิจูดเทา่ กับ 1− (−1) =1

2

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 21

ในกรณที ว่ั ไป f : R → R, f(x) = cos (nx), n > 0

f : R → R, f(x) = sin (nx), n > 0 คาบคอื 2

คาบคอื 2 n

n แอมพลจิ ูดคือ 1
โดเมนคือ จำนวนจรงิ
แอมพลจิ ูดคอื 1 เรนจ์คอื [-1, 1]
โดเมนคือ จำนวนจรงิ f : R → R, f(x) = a cos (nx), n > 0
เรนจ์คือ [-1, 1]
f : R → R, f(x) = a sin (nx), n > 0 คาบคอื 2

คาบคอื 2 n

n แอมพลจิ ูดคือ a

แอมพลิจูดคอื a โดเมนคอื จำนวนจริง
เรนจ์คอื [-a, a] , a >0
โดเมนคือ จำนวนจริง
เรนจ์คอื [-a, a] , a >0

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนกราฟของ y = 3 cos x
วิธีทำ จาก y = 3cos x
จะได้ คาบ คอื 2 = 2

1

และแอมพลิจูดคอื 3 = 3
เรนจ์ คือ [-3, 3]

ตัวอย่างท่ี 2 จงเขยี นกราฟของ y = 2 sin 2x
วธิ ที ำ จาก y = 2 sin 2x
จะได้ คาบ คือ 2 = 

2

และแอมพลิจดู คือ 2 = 2
เรนจ์ คือ [-2, 2]

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงเขยี นกราฟของ y = 2 sin (x+  )

2

วิธีทำ จาก y = 2 sin (x+  )

2

จะได้ คาบ คอื 2 = 2

1

และแอมพลจิ ดู คือ 2 = 2
เรนจ์ คอื [-2, 2]

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 22

แบบฝึกทักษะที่ 3

1. จงเขยี นกราฟฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติอยา่ งนอ้ ยคนละ 3 กราฟ จากโปรแกรม Desmos
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................
2. จงหาคาบและแอมพลิจดู ของฟงั กช์ ันตอ่ ไปนี้
1) y = sin x ………………………………………………………………………………………….………….………………….………

2

……………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………
…………………………………………….…………………………………………………………….……………….……………….….………..
2) y = 2cos x ……………………………………………………………………………………………….……………..………………
……….…………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………….………………………………………………..…..
3) y = 1 sin x ……………………………………………………………………………………………………………..….……………

22

…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
……………………………….…………………………………………………………………….…………………………………..………..……..
4) y = sin 2x
…………………………………………………………………………………………………………..……………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
…………………………………….…………………………………………………………………………………………………...………….…..
5) y = −cos(x − ) ……………………………………………………………………………………..………………………………

2

………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………….………….……..

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 23

6) y = 1 cos(−x) ………………………………………………………………………………………….………………………………

2

………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………..……..………………….

7) y = 4cos3x ……………………………………………………………………………………………….……………………………
……….…………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………….………………………………………………..…..

8) y = − 1 sin 4x ………………………………………………………………………………………………………..….……………

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………….…………………………………………………………………….………………………………….………..……..
9) y = sin(−x) ………………………………………………………………………………………………………..……………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………
…………………………………….……………………………………………………………………………………………..…….………….…..
10) y = 3cosx +1 ………………………………………………………………………………………..………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..…………….……..

11) y = 1 sin  …………………………………………………………………………………….………….………………….………

2

………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………
…………………………………………….…………………………………………………………….……………….………………….………..
12) y = 3sin  ……………………………………………………………………………………………….……………………………

……….…………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………….………………………………………………..…..
13) y = −2cos 1  ……………………………………………………………………………………………….……..….……………

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………….…………………………………………………………………….…………………………………………..……..
14) y = sin(−) −1 ………………………………………………………………………………………………..……………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
15) y = − 1 sin(4) ……………………………………………………………………………………..………………………………

2

………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……..

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 24

3. จงร่างกราฟของฟงั กช์ นั ตอ่ ไปน้ีโดยใช้โปรแกรม desmos
3.1 y = − 1 sin(2)

2

วธิ ีทำ จาก y = ……………………………….
จะได้ คาบ คือ ……………………..
และแอมพลจิ ูดคอื …………………..
เรนจ์ คือ ………………………………..

3.2 y = 1 cos()

2

วธิ ที ำ จาก y = ……………………………….
จะได้ คาบ คือ ……………………..
และแอมพลิจดู คอื …………………..
เรนจ์ คือ ………………………………..

3.3 y = − 1 sin(−2)

2

วิธีทำ จาก y = ……………………………….
จะได้ คาบ คือ ……………………..
และแอมพลจิ ดู คือ …………………..
เรนจ์ คอื ………………………………..

3.4 y = −2sin( ) −1

2

วธิ ีทำ จาก y = ……………………………….
จะได้ คาบ คอื ……………………..
และแอมพลิจดู คือ …………………..
เรนจ์ คือ ………………………………..

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 25

3.5 y = 2sin(2) +1

วธิ ที ำ จาก y = ……………………………….
จะได้ คาบ คอื ……………………..
และแอมพลจิ ูดคือ …………………..
เรนจ์ คอื ………………………………..

3.6 y = 3sin (x -  )

2

วิธที ำ จาก y = ……………………………….
จะได้ คาบ คือ ……………………..
และแอมพลจิ ูดคือ …………………..
เรนจ์ คือ ………………………………..

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 26

ใบความรทู้ ่ี 5 เร่อื ง ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติของผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรอื มุม

ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ขิ องผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจริงหรอื มุม
ฟงั กช์ นั ไซน์และโคซน์ของผลบวกและผลต่างของจำนวนจรงิ หรือมมุ เมอื่ A และ B เปน็ จำนวนจริง

หรอื มมุ ใดๆ

ฟังกช์ ันแทนเจนตแ์ ละโคแทนเจนต์ของผลบวกและผลตา่ งของจำนวนจรงิ หรือมมุ เม่อื A และ B เป็น
จำนวนจริงหรือมุมใดๆ

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของ cos(3 − )

43

วธิ ีทำ จาก cos(A − B) = cos A cos B + sin Asin B

จะได้ cos(3 − ) = cos 3 cos  + sin 3 sin 
43 4 3 43

=  − 2  1  +  2  3 
2 2  2 2

=  − 2  +  6 
4 4

= 6− 2

4

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 27

ตัวอย่างท่ี 2 จงหาคา่ ของ sin   + cos  sin 
cos
9 18 9 18

วิธีทำ จาก sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

จะได้ sin   + cos  sin  = sin(  + 
cos )
9 18 9 18 9 18

= sin( 3)

18

= 
sin( )
6

=1

2

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาคา่ ของ tan 7

12

วธิ ที ำ จาก tan 7 = tan  +  

12  3 4 

จะได้ tan  +   tan  + tan 
3 4
=3 4

1 − tan  tan 
34

= 3 +1

1 − ( 3)(1)

= 3 +1 คำตอบสดุ ท้ายได้
จากการสงั ยุค
1− 3

= −2− 3

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 28

แบบฝึกทกั ษะที่ 4

1. ถา้ sin A = 3 และ cos B = 12 เมือ่ 0o  A  90o , 0o  B  90o จงหาคา่ ของ

5 13

1) sin(A + B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) sin(A − B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) cos(A + B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………

4) cos(A − B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 29

2. จงหาคา่ ของ
1) sin 15o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) sin 75o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
3) cos165o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………..............................................................................................................
...............................................................…………………………………………………………………………………………………
4) sin 105o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………..................................................................................................................................
..........................................…………………………………………………………………………………………………………..………

3. จงหาค่า

1) cos75o cos15o + sin 75o sin15o

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
2) sin 50o cos 20o − cos 50o sin 20o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 30

3) sin 20o cos80o − cos 20o sin 80o

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) cos15o cos30o − sin 15o sin 30o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………

4. ถา้ tan A = 3 และ cot B = 12 เมื่อ180o  A  270o , 180o  B  270o จงหาคา่ ของ

45

1) sin(A + B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) sin(A − B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………….…………………………………………………………..…………………………
3) cos(A + B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………
4) cos(A − B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………….……………………
………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 31

5. ถ้า tan A = 3 และ tan B = 5 เมื่อ 0o  A  90o , 0o  B  90o จงหาคา่ ของ
4 12

1) tan(A + B)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) tan(A − B)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………….……………………………………………………

3) cot(A + B)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) cot(A − B)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………

6. ถ้า sin A = 3 และ cos B = −12 เมอื่   A   ,   B   จงหาค่าของ
5 13 2 2

1) tan(A + B)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) tan(A − B)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 32

3) cot(A + B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) cot(A − B)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7. จงหาคา่ ของ
1) tan15o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………….……………………………………………………………………………………………..……………………
2) tan 75o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………….………………………………………………………………………………………………………………………..………
3) cot15o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) cot 75o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………...............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..................…………………………………………………………………………………………………………………………………………..

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 33

5) tan 40o + tan 20o

1 − tan 40o tan 20o

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6) cot 70o cot 40o +1

cot 40o − cot 70o

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

8. จงหาคา่ ของ
1) tan 75o − tan 30o − tan 75o tan 30o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………
2) tan 30o + tan15o + tan 30o tan15o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) tan 20o + tan 40o + 3 tan 20o tan 40o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 34

4) ถ้า A + B = 45o จงหาค่าของ ( 1 + tanA )( 1 + tan B )
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………..................................................................................
.............................................................................................………………………………………………………………………
5) ถา้ A + B = 225o จงหาค่าของ cot A • cot B

1+ cot A 1 + cot B

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………….………………………….………………………………………………….…………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………....................................................................................................................................
.........................................…………………………………..............................................................................................
................................................................................………………………………………………………………………………….

6) ถา้ x และ y เป็นจำนวนจรงิ ท่ีสอดคล้องกบั สมการ 3sin(x – y) = 2sin(x + y) แลว้ (tan3x)(cot3y)
เทา่ กบั เทา่ ใด (Pat – 1: 57) (ตอบ 125)
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……
………………………………………………………................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
................................................................…………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 35

ใบความรทู้ ี่ 6 เรื่อง ผลคณู ผลบวก และผลต่างของฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

การเปล่ียนฟังก์ชันผลคูณใหเ้ ปน็ ฟังก์ชนั ผลบวกหรือผลตา่ ง
การเปลี่ยนฟังกช์ นั ผลบวกหรือผลตา่ งให้เป็นฟงั ก์ชนั ผลคณู

ฟงั ก์ชันตรีโกณมิตขิ องจำนวนจริงหรอื มมุ

ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติของจำนวนจริงหรือมุม

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 36

ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ sin 75o + sin15o

วิธีทำ จาก sin A + sin B = 2sin A + B cos A − B

22

จะได้ sin 75o + sin 15o = 2 sin 75 + 15 cos 75 − 15

22

= 2 sin 90 cos 60
22

= 2 sin 45o cos 30o

= 2 2  3 
2 2

=  6 
2

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาค่าของ cos17 + cos11

12 12

วิธที ำ จาก cos A + cos B = 2cos A + B cos A − B

22

จะได้ cos 17 + cos 11 17 + 11 17 − 11
= 2 cos 12 12 cos 12 12

12 12 2 2

28 6

= 2 cos 12 cos 12 cos 7 อยู่ในจตุ
22
6
= 2 cos 7 cos 
64 ภาคท่ี 3 ดังน้ันค่าที่

= 2 − 3  2  ได้จึงมีคา่ เป็นลบ
2 2

=  − 6 
2

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 37

แบบฝึกทกั ษะท่ี 5

1. จงหาค่าของ
1) 2sin 35o cos10o − sin 25o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) 2 cos 20o sin 10o + sin 10o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……
3) 2 cos55o cos5o − cos50o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) cos 40o − 2sin 50o sin 10o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………
5) sin 20o sin 40o sin 80o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6) cos 20o cos 40o cos80o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 38

2. จงหาค่าของ
1) sin 50o + sin 10o − cos 20o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………….……………………………………………………………………
2) cos80o + cos 40o − cos 20o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) sin 40o − sin 20o − 3 sin10o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………….…………………………………………………………………..…………………
4) cos50o + cos 40o − 2 cos5o
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) sin 75o − sin15o

cos75o + cos15o

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 39

6) cos10o + sin 40o

sin 70o

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) 2cos  cos 9 + cos 3 + cos 5

13 13 13 13

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………….......................................................................................................................................

........................................………………………………………………………………………………………………………………………

8) 2cos 3 cos 4 + cos 4 + cos10
11 11 11 11

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………..........................................................................................................

......................................................................……………………………………………………………………………………..……

3. ถ้า sin A = 0.6 และ 0o  A  90o จงหาค่าของ
1) sin 2A
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) cos2A
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………...................................................................................................................................................

.............................…………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 40

3) tan 2A
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) cot 2A
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. ถา้ tan A = 5 และ 0o  A  90o จงหา sin 2A และ cos2A

12

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
……………………………………………………………..........................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
.....................................................................………………………………………………………………………………….…………

5. cos = 3 จงหาคา่ cos2

7

……………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
……………………………………………………………..........................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
....................................................................……………………………………………………………………………..………………

6. tan  = 1 จงหาคา่ tan2

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
……………………………………………………………..........................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
....................................................................…………………………………………………………………………………..…………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 41

7. ถา้ sin A = 12 และ 0o  A  90o , จงหาค่าของ

13

1) sin 3A
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………

………………………………………….………..………………………………………………………………………………………..……………
2) cos3A
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
………………............................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................
.....................……………………………………..…………………………………………………………………………………………………
3) tan3A

…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
………………………………………………………………………..............................................................................................
.................................................................................………………………………………………………….………………………

4) cot3A
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
………………………………………………….....................................................................................................................

........................................................………………………………………………………………………………..………………………

8. กำหนดให้ cos = 3 และ sin   0 จงหาคา่

5

1. sin 2 2. cos2

3. tan 2 4. sin 3

…………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………..……………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………..………………………………………

………………………………………………….....................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 42

9. กำหนดให้  เปน็ จำนวนจรงิ ใดๆ จงแสดงวา่ sin 3 = (sin 2 + sin )(2cos −1) (Pat – 1)
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………..........................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
......................................…………………………………………………………………………………………………………………………

10. กำหนดให้ sin  − sin 2 + sin 3 = 0 โดยที่ 0     ถา้ a = tan  − tan 2

2 cos − cos 2

และ b = sin 3 + sin 4 + sin 5 แล้วคา่ ของ a4 + b4 เท่ากับเท่าใด (Pat-1:57) (ตอบ 153)

cos3 + cos 4 + cos5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………..........................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

......................................…………………………………………….....................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................

........................................................................................……………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 43

ใบความรู้ที่ 7 เร่ือง ตวั ผกผนั ของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกฟังก์ชัน (เช่น y = sin x) สามารถหาอินเวอร์สได้โดยสลับที่ระหว่าง
โดเมนและเรนจ์ตามปกติ (กลายเป็น x = sin y) แต่อินเวอร์สที่ได้เหล่านี้จะไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะ
ค่า x แต่ละค่านั้น ให้ค่า y ได้หลายค่าไม่มีท่ีส้ินสุด ดังน้ันหากจะกำหนดอินเวอร์สของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ให้เป็นฟังก์ชันด้วย ก็จำเป็นต้องจำกัดช่วงของเรนจ์ด้วย นั่นหมายถึง ความหมายของ x = sin y และ
ความหมายของ y = arcsin x ไม่เท่ากัน เน่ืองจากเรนจ์ไม่เท่ากัน

เราเรียกฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติโดยใช้คำว่า arc นำหน้า เช่น arcsin ,arccos และ
arctan เป็นต้น

บทนิยาม
ฟงั ก์ชัน arcsine คือ เซตของคอู่ ันดบั (x,y) โดยท่ี x = sin y และ
ฟงั กช์ นั arccosine คือ เซตของคู่อนั ดับ (x,y) โดยที่ x = cos y และ
ฟังก์ชัน arctangent คือ เซตของคอู่ นั ดบั (x,y) โดยท่ี x = tan y และ

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 44

กราฟของ y = arcsin x กราฟของ y = arccos x

กราฟของ y = arctan x

โดยฟังก์ชัน arcsine, arccosine และ arctangent มีโดเมนและเรนจ์ดังนี้

ฟังก์ชัน โดเมน เรนจ์

y = arcsin x x − 1  x  1  −   y  
y = arccos x x − 1  x  1 y 2 
y = arctan x  2 
R
y 0  y  

 −   y  
y 2 
 2 

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 45

ตวั อย่างท่ี 1 จงหาคา่ ของ arcsin1

วธิ ีทำ ให้ arcsin1 =  จะได้ sin  = 1

หาคา่  เมอ่ื −      และ sin  = 1

22

จะพบวา่ ในช่วง [−  , ] จะมี  เพียรคา่ เดยี วท่ี sin  = 1
22 2 2

ดังนั้น arcsin1 = 

2

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาคา่ ของ arccos(− 1)

2

วิธีทำ ให้ arccos(− 1) =  จะได้ cos = − 1

22

หาค่า  เมอ่ื 0     และ cos = − 1

2

จะพบว่า ในชว่ ง [0,] จะมี 2 เพียรค่าเดียวท่ี cos 2 = − 1

3 32

ดงั นัน้ arccos(− 1) = 2

23

ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาคา่ ของ sin(arccos( 3 ))

2

วธิ ที ำ ให้ arccos( 3 ) = 

2

จะได้ cos = 3 และ 0    

2

เนอ่ื งจาก cos  = 3

62

ดังนั้น arccos( 3 ) = 

26

sin(arccos( 3 )) = 
sin
26

=1

2

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 46

แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 6

1. จงหาค่าของ
1) arcsin 1 = ................................................................................................................................................

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) arccos1 = ............................................................................................................................................

2

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3) arctan1 = ..............................................................................................................................................
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4) arcsin 3 = ...........................................................................................................................................

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
5) arccos 3 = ..........................................................................................................................................

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
7) arctan 1 = ...........................................................................................................................................

3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
8) arcsin 1 = ............................................................................................................................................

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
9) arctan 3 = ............................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10) arcsin0 = ..............................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
11) arccos0 = .............................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
12) arctan(−1) = ..........................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
13) arcsin1 = ................................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 47

14) arccos1 = ..............................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
15) arctan0 = ..............................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
16) arcsin(−1) = ..........................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
17) arccos(−1) = .........................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
18) arctan(− 3) = ......................................................................................................................................
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
19) arcsin(− 1) = .........................................................................................................................................

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
20) arccos(− 1) = .......................................................................................................................................

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. จงหาคา่ ของ
1) sin(arccos 4) = …………………………………………………………..………………………………………………….……

5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………..……………………………………………..…………………………………………

2) cos(arcsin 5 ) = ……………………………………………………………………………………………………………….……

13

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………….…………………………………………………………..…………………………………………

3) tan(arccot 2) = ……………………………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 48

4) cot(arctan 1) = ………………………………………………………………………….…………………………………….……

3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) sin(arctan1) = ………………………………………………………………………………..……………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6) cos(arccot 3) = …………………………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

7) tan(arcsin 2 ) = ……………………………………………………….…………………………………………………….……

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………..………….………………………………………………………………………………………………………

8) cot(arccos 1) = …………………………………………………………………………..………………………………….……

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………..……………………………………………………………………………………………………………

9) cosec(arctan 3) = ………………………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 49

10) sec(arccot 1 ) = …………………………………………………..…………………………………………………….……

3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..……………………………………………………………………….………

11) sin(arccos 2 ) = …………………………………………………..……………………………………………………….……

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………..……………………………………………………………………….………

12) cos(arcsin(− 1)) =…………………………………………………..……………………………………………………….……

3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

13) cos(2arccos1) = …………………………………………………..……………………………………………………….……

3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………....................................................
..............................................................................................................................................................................
..........................................................................................................................……………………………………………

14) tan(arcsin(cos )) = ………………………………………………..…………………………………………………….……

6

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………........................................................................................................................
......................................................………………………..……………………………………………………………………….………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

Pages:

1 - 50
51 - 73

Click to View FlipBook Version