ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.64

โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 50

15) sin(arccos 3 + arcsin(− 3)) = ………………………………………..…………………………………………….……

55

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

16) cot(arccos 2 − arccos1+ 6 ) มคี า่ เท่าใด (Pat-1 57) (ตอบ 3 )

3 23

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. จงแสดงว่า
1) arcsin 3 = arccos 4

55

……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………
…………………………………………..............................................................................................................................
................................................………………………………………………………………………………………………………………

2) arcsin 5 = arctan 5

13 12

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
3) arccos 8 = arctan15

17 8

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 51

4) arctan 3 = arccos 4

45

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

5) arccos12 = arccot 12

13 5

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………….………………………………………….…………………………………..

6) arcsin x = arccos 1 − x 2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. จงหาค่าของ
1) arcsin x = arccosec2
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..….……
……………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) arccosx = arcsec 2

3

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
……………………………………………………………….……................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 52

3) arctanx = arccot 3
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………….....................................................................................................................
.........................................................………………………………………..……………………………………………………….……

4) arcsin x = arccosx
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..……….……
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………

5) arctan2x + arctan3x = − 

4

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….……
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 53

ใบความรทู้ ่ี 8 เร่อื ง เอกลกั ษณ์ของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ

1. 2.
3. 4.
5. 6.

7. เม่อื 8. เมอื่

ตวั อยา่ งที่ 1. จงพสิ ูจน์ว่า 2cos2  − sin 2  +1 = 3cos

cos

วธิ ีทำ 2cos2  − sin 2  +1 = 2cos2  − (1− cos2 ) +1
cos cos 

= 3cos2 

cos

= 3cos

ตัวอย่างที่ 2 จงพสิ ูจนว์ า่ cotsin 2 = 1+ cos2
วธิ ีทำ cot sin 2 = cos   sin 2

sin 

= cos  (2sin cos )

sin 

= 2 cos2 
= 1+ cos2

ตวั อย่างที่ 3 จงพิสจู น์วา่ cos = 1+ sin 

1 − sin  cos 

วิธีทำ cos = cos  1+ sin 

1 − sin  1 − sin  1 + sin 

= (cos )(1 + sin )
1 − sin 2 

= (cos )(1 + sin ) = 1 + sin 
cos2  cos 

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 54

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 7

1. จงแสดงว่า
1) cos tan = sin 
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
2) cotsec = cosec
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………..…………………………………………………………………………………………….………………
3) (1− sin 2 )sec2  = 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………..……………………………………………………………………………………………….………………
4) (1+ cot2 )sin 2  = 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………
5) coseccos = cot
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
6) 1− cos2  = sin 

1 + sin 

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………...................................................................................................................................................
.......................………………………………………………………………………………………………………………………….………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 55

7) sec + sin  = 2 tan 

cos ec cos 

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………...................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

8) cos  + sin  = 1

sec  cos ec

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………...................................................................................................................................................
.............................................................................................................................................................................

9) sec  − sec sin 2  = cos 
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………...................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................................

10) cot  + tan  = 1+ tan  + cot 

1− tan  1− cot 

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………...................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 56

ใบความร้ทู ี่ 9 เรือ่ ง สมการตรีโกณมิติ

สมการตรีโกณมติ ิ คอื สมการทีอ่ ยู่ในรปู ฟังกช์ ันตรโี กณมิติ เชน่ sin x = 3 , cos2 x − 1 = 0

22

เป็นต้น การแกส้ มการตรีโกณมิติคือ การหาจำนวนจรงิ x ท่ีสอดคลอ้ งกับสมการนั่นเอง
ตัวอยา่ งที่ 1 จงแกส้ มการ 2sin 2  + 3cos − 3 = 0 เม่อื 0o    360o

วิธีทำ 2sin 2  + 3cos − 3 = 0

2(1 − cos2 ) + 3cos − 3 = 0

2 − 2 cos2  + 3cos  − 3 = 0 นำ -1 คูณตลอด
2 cos2  − 3cos  + 1 = 0

(2 cos  − 1)(cos  − 1) = 0

ดังนั้น จะได้ 2cos −1 = 0 และ cos −1 = 0

cos  = 1 และ cos =1

2

ดังนน้ั  = 60o ,300o ,360o

ตวั อย่างที่ 2 จงแกส้ มการ 2cos2  + cos = 0 เมือ่ 0o    270o
วิธีทำ 2cos2  + cos = 0

cos(2 cos2  +1) = 0

ดงั นั้น จะได้ 2cos +1= 0 และ cos = 0
cos  = − 1 และ cos = 0

2

ดังนัน้  =120o ,240o ,90o

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 57

ตวั อยา่ งท่ี 3 จงแกส้ มการ sec − 2 tan = 0 เม่อื 0o    360o
วธิ ที ำ sec  − 2 tan  = 0

sec  = 2 tan 
1 = 2 sin 

cos  cos 
sin  = 1

2

ดงั นั้น  = 30o ,150o

ตัวอยา่ งที่ 4 จงแกส้ มการ cot + 2sin  = cosec เมือ่ 0o    360o
วิธีทำ cot + 2sin  = cosec

cos  + 2 sin  = 1
sin  sin 

(sin ) cos  + 2(sin )(sin ) = (sin ) 1 นำsin  คูณตลอด
sin  sin 

cos  + 2 sin 2  = 1
cos + 2(1− cos2 ) = 1

cos  + 2 − 2 cos2  = 1

2 cos2  − cos  − 1 = 0

(2 cos  + 1)(cos − 1) = 0

ดงั นั้น จะได้ 2cos +1= 0 และ cos −1 = 0

cos  = − 1 และ cos =1

2

ดังน้นั  =120o ,240o ,0o

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 58

แบบฝกึ ทกั ษะที่ 8

1. กำหนด 0o  x  360o จงหาคา่ x จากสมการ
1) sin x = 1

2

…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………

2) cos x = 3

2

……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………
3) cos ecx = − 2
…………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………..………………………………
4) 5cos x = 1+ 2sin 2 x
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
……………………………………………………………………………........................................................................................
.......................................................................................……………………………………………………………………………
5) 2sin x sec2 x − sec2 x − 4sin x + 2 = 0
…………………………………………………………………………………………………………………………………..………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………
…………………………………………………………………….................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
...............................................................................……………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 59

6) tan 2 x + sec2 x = 3
………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………….........................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
.......................................................................................................………………………………………………………………

7) 2cos2 x + 2cos 2x = 1
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
…………………………………………..............................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
.................................................………………………………………………………...............................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
................................................................................................................………………………………………………………

8) 4 cos ecx − 4sin x = 2 2 cot x
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………..………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..……
…………………………………………..............................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
.......................................................…………………………………………………..............................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
...............................................................................................................………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 60

2. ให้ A แทนเซตคำตอบของจำนวนจริง x [0,2) ท้งั หมดที่สอดคลอ้ งกับสมการ
2(1+3sin x) − 5  22sin x + 2(2+sin x) = 1 จำนวนสมาชกิ ของเซต A เท่ากับเทา่ ใด (Pat – 1 : 57) (ตอบ 3)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………..………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………..……………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
…………………………….……………………………………………………………………………………………………….……………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………..……………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………
…………………………………………………………………………………………………................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
................................................................................................................………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 61

ใบความรู้ท่ี 10 เรื่อง กฎของโคไซนแ์ ละไซน์

จากรปู กำหนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมใดๆ ซงึ่ มี a, b, c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงขา้ มมุม A, B
และ C ตามลำดับ

พ้นื ทส่ี ามเหล่ยี ม
พืน้ ทสี่ ามเหลยี่ ม ABC =
=
=
กฎของโคไซน์

กฎของไซน์

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 62

แบบฝกึ ทักษะที่ 9

1.กำหนดในรปู สามเหลี่ยม ABC มดี า้ นตรงขา้ มมุม A ยาว a หน่วย ดา้ นตรงขา้ ม B ยาว b หน่วย และ
ด้านตรงขา้ มมุม C ยาว c หน่วย
1) กำหนด a = 3 , c = 5 และ B = 120o จงหา b
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2) กำหนด b = 3 +1 , c = 2 และ A = 30o จงหา a, B, C
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) กำหนด a = 2 6 , c = 6 − 2 3 และ B = 75o จงหา b, A, C
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4) กำหนด a = 7 ,b = 5 และ c = 8 จงหามุม A
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………..……………………….……………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 63

5) กำหนด a = 7 ,b = 3 และ c = 5 จงหามุม A
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6) กำหนด A = 45o , B = 105o และ a = 2 จงหา b , c , C
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………….………………………………………………….……………………

7) กำหนด a = 1 , b = 3 และ A = 30o จงหา c , B , C
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………….………………………..

8) กำหนด a = 3 , b = 3 3 และ B = 60o จงหา c
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………….

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 64

2. จงหาค่า x และหาพืน้ ที่ของรูปสามเหลีย่ ม

1) ………………………………………………………………………………………………
4 60 5 ………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………

x

……………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) จงหาค่า x และหาพ้นื ท่ีของรูปสามเหลย่ี ม

3 120 x ………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………

7 ……………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………..

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..…
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

3) กำหนดรูปสามเหลยี่ ม ABC มี  = 30o และ  = 105o จงหาค่าของ AC

A C BC

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 65

3. กำหนดให้ ABC เปน็ รปู สามเหลี่ยมใดๆ โดยทม่ี คี วามยาวของด้านตรงข้ามมุม A มุม B และมมุ C
เทา่ กบั a หนว่ ย b หน่วย และ c หนว่ ย ตามลำดับ ถา้ มมุ A มีขนาดมากกวา่ 90o มุม B มี ขนาด 45o
และ 2c = ( 3 −1)a แล้ว cos2 (A − B − C) + cos2 B + cos2 C เทา่ กับเท่าใด (Pat1-57) (ตอบ 2)
………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………..……………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………..…………………………
………………….........................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................
.......................………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณติ ศาสตร์ ค30103 66

ใบความรูท้ ี่ 11 เร่ือง การหาระยะทางและความสูง

ดา้ นตรงขา้ มมมุ ฉาก

ดา้ นตรงขา้ มมมุ



ดา้ นชดิ มมุ

ข้ามมมุ θ , cos = ชดิ มมุ θ และ ขา้ มมมุ θ
sin  = ขา้ มมุ ฉาก ข้ามุมฉาก tan  = ชิดมมุ θ

ตัวอย่างที่ 1 เนตรยืนอยูบ่ นสนามแห่งหนึง่ มองเหน็ ยอดเสาธงเปน็ มมุ เงย 30 องศา แตเ่ ม่ือเดนิ ตรงเข้าไปหา
เสาธงอกี 60 เมตร เขามองเหน็ ยอดเสาเป็นมมุ เงย 60 องศา ถา้ เนตรสูง 150 เซนตเิ มตรจงหา
ความสงู ของเสาธง

วธิ ีทำ จาก tan  = ข้ามมุมθ
ชดิ มุมθ

จะได้ tan 30o = h

x + 60

1= h
3 x + 60

h = x + 60 .................(1)

3

จะได้ tan 60o = h

x

3=h
x

h = x 3 .....................(2)

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 67

นำสมการท่ี (1) เท่ากบั (2) จะได้

x + 60 = x 3
3

x + 60 = 3x

x = 30

แทน x = 30 ใน (2)
จะได้ h = 30 3
ดงั นนั้ ความสูงของเสาธงคอื 30 3 −1.5 เมตร

ตัวอย่างที่ 2 เรือ 2 ลำทอดสมออยู่ห่างกนั 120 เมตร คนขับเรือแตล่ ะลำมองเหน็ ยอดประภาคารเปน็ มมุ เงย
45 องศา และ 30 องศา อยากทราบวา่ เรือลำที่ใกล้ประภาคารอย่หู า่ งจากประภาคารเท่าไร

วธิ ีทำ

จาก tan  = ขา้ มมมุ θ
ชิดมมุ θ

จะได้ tan 30o = h

x + 120

1= h
3 x + 120

h = x +120 .................(1)

3

จะได้ tan 45o = h

x

นำสมการที่ (1) เท่ากับ (2) จะได้ 1= h
x
x + 120 = x
3 h = x ...........................(2)

x + 120 = x 3 120 เมตร
x = 120
3 −1 3 −1

ดงั นนั้ เรอื ลำทใ่ี กล้ประภาคารอยหู่ า่ งจากประภาคาร

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 68

แบบฝกึ ทักษะท่ี 10

1. น้ำฟา้ อยูห่ า่ งจากตกึ แห่งหนงึ่ 150 เมตร เมือ่ มองขน้ึ ไปบนยอดตึก เป็นมมุ เงยเทา่ กับ 30 องศา จงหาวา่ ตึก
นส้ี ูงประมาณก่ีเมตร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. ธนายืนอยบู่ นหน้าผาแห่งหนึ่ง ซ่งึ สงู จากระดับน้ำทะเล 48.30 เมตร เมอ่ื เขามองลงไปยงั เรือลำหนง่ึ กลาง
ทะเล โดยมุมที่แนวสายตาทำกับแนวระดับเป็นมมุ ก้มมีขนาด 60o ถา้ ความสูงจากพ้ืนถึงตาของธนาเทา่ กบั
1.70 เมตร เรอื ลำนอี้ ยู่หา่ งจากเชงิ หนา้ ผากเี่ มตร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวทิ ยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 69

3. นกั ทอ่ งเท่ียวคนหนง่ึ ยืนอย่บู นประภาคาสงั เกตเห็นเรือสองลำจอดอยู่ในทะเลทางทิศตะวนั ออกของประภาคา
ในแนวเสน้ ตรงเดียวกนั ทำมมุ กม้ 30o และ 60o กบั แนวระดบั ประภาคาแหง่ นอ้ี ย่สู ูงจากรดบั นำ้ ทะเลประมาณ
เท่าใด ถ้าเรอื ท้ังสองลำอยู่ห่างกนั 200 เมตร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

4. กลา้ ยนื มองยอดเสาธงเปน็ มุมเงย 30o เมอ่ื กล้าเดนิ เข้าใกล้เสาธงไปอีก 10 เมตร เขาจะมองยอดเสาธงเป็นมุม
เงย 60o จงหาว่าเสาธงสูงเทา่ ไร ถ้ากล้าสงู 165 เซนติเมตร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตร์จุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวชิ าคณิตศาสตร์ ค30103 70

5. เรอื สองรำทอดสมออยู่ห่างกัน 50 เมตร และอยแู่ นวเส้นตรงเดียวกบั ประภาคาร ถา้ ผู้โดยสารในเรอื แตล่ ะลำ
เหน็ ยอดประภาคารเปน็ มุมเงย 45o และ 30o จงหาวา่ เรอื ลำทอ่ี ย่หู า่ งจากประภาคารทสี่ ุดน้ันอยู่ห่างจาก
ประภาคารเท่าไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

6. กล้วยยนื อยู่ห่างจากตึกหลงั หนึ่ง 16 เมตร เขามองเห็นยอดตึกและยอดเสาอากาศซ่ึงอยบู่ นยอดตึกเปน็ มุม
เงย 45o และ 60o ตามลำดับ อยากทราบว่าเสาอากาศสงู เท่าไร

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรียนวิทยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลยั ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณิตศาสตร์ ค30103 71

บรรณนานุกรม

ค่าของมุมตา่ งๆ. (2560). สืบค้นเมอ่ื วันที่ 2 พฤศจิกายน 2564 เขา้ ถึงไดจ้ าก
http://physicstool.blogspot.com/2017/07/blog-post.html

ฟงั ก์ชันตรโี กณมิต.ิ (มปป). สบื คน้ เม่อื วนั ที่ 2 พฤศจิกายน 2564 เข้าถงึ ไดจ้ าก
http://e-learning.triamudom.ac.th/courses/56/unit10/index.html

มาณกิ า ชยั เวช .(มปป). กราฟของฟงั ก์ชันตรีโกณมิต.ิ สืบค้นเมอื่ วนั ที่ 2 พฤศจกิ ายน 2564 เข้าถงึ ไดจ้ าก
http://www.kr.ac.th/el/02/manika/05.html

วรกจิ นิวา. (2559). กราฟของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ .ิ สบื ค้นเม่ือวนั ที่ 2 พฤศจิกายน 2564 เข้าถงึ ได้จาก
http://thn241292math.blogspot.com/2016/02/author-profile.html

สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2556). หนงั สือเรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 3.
(พมิ พค์ รง้ั ท่ี 4). กรงุ เทพฯ: สกสค. ลาดพร้าว

สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2562). หนงั สอื เรียนรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เล่ม 1
ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 5 (พิมพค์ รั้งท่ี1). กรงุ เทพฯ: สำนักพมิ พ์จฬุ าลงกรณม์ หาวทิ ยาลยั

สำนักงานคณะกรรมการการศกึ ษาข้นั พ้ืนฐาน กระทรวงศกึ ษาธิการ. (2561). หลักสตู รแกนกลาง การศึกษาข้ัน
พื้นฐาน พุทธศกั ราช 2551 กลุ่มสาระการเรียนรูค้ ณติ ศาสตร์ (ฉบบั ปรับปรุง 2560). สบื คน้ เมื่อวันที่ 2
พฤษภาคม 2563 เข้าถึงไดจ้ าก http://academic.obec.go.th/newsdetail.php?id=75

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร

โรงเรยี นวทิ ยาศาสตรจ์ ุฬาภรณราชวิทยาลัย ชลบุรี
เอกสารการสอนวิชาคณติ ศาสตร์ ค30103 72

จดั ทำโดย นำยเทพมงคล ตำมำ ครูชำนำญกำร