40 + (40 + 40) + (40 + 40 + 40) + (40 + 40 + 40 + 40) + ... + (40 + 40 + 40 + 40 + 40 + ...)
Tangga Tangga Tangga Tangga Tangga Tangga
ke-1 ke-2 ke-3 ke-4 ke-... ke-80
Susunan banyak batu bata membentuk barisan aritmetika:
40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400,….
Cukup jelas, bahwa, u1 = 40 dan b = 40, maka u80 = 3200.
Karena pertanyaan dalam masalah ini adalah banyak batu bata yang diperlukan untuk
membuat 80 anak tangga, bukan banyak batu bata yang diperlukan membuat tangga
ke-80 maka banyak batu bata harus dijumlahkan.
40 + 80 +120 +160 + 200 + 240 + 280 + 320 + 400 + ... + 3160 + 3200
sebanyak 80 suku
sn adalah jumlah n suku pertama pada barisan. Perhatikan pola berikut:
• s2 = 40 + 80 = (40 + 80) × 2 = 120
2
(40 +160) × 4
• s4 = 40 + 80 + 120 + 160 = 2 = 400
• s6 = 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 = (40 + 240) × 6 = 840
2
(40 + 320) × 8 = 1440.
• s8= 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 + 280 + 320 = 2
Jadi, untuk menghitung jumlah 80 suku pertama, dilakukan dengan pola di atas,
s80 = 40 + 80 + 120 + 160 + 200 + 240 + 280 + 320 + 360 + 400 + … + 3160 + 3200
= (40 + 3200) × 80 = 129.000.
2
Jadi, banyak batu bata yang diperlukan untuk membuat 80 anak tangga adalah
129.000 buah batu bata.
• Untuk penjumlahan bilangan di atas, bagaimana cara yang kamu gunakan jika
banyak bilangan yang akan dijumlahkan adalah ganjil?
Susunan jumlah suku-suku barisan aritmetika, dinyatakan sebagai berikut.
Matematika 193
s1 = u1
s2 = u1 + u2
s3 = u1 + u2 + u3
s4 = u1 + u2 + u3 + u4
...
s(n–1) = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + … + u(n–1)
sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + … + u(n–1) + un
n merupakan bilangan asli.
Definisi 6.2
Deret aritmetika adalah barisan jumlah n suku pertama barisan aritmetika,
s1, s2, s3, ..., s(n–1), sn, … dengan sn = u1 + u2 + u3 + ... + u(n–1) + un
Untuk menentukan jumlah n suku pertama, ditentukan rumus berikut:
sn = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (a + (n – 1)b) ……………. (1)
Persamaan 1) diubah menjadi
sn = (a + (n – 1)b) + … + (a + 2b) + (a + b) + a …………….. (2)
Dengan menjumlahkan persamaan (1) dan (2), diperoleh:
2sn = 2a + (n – 1)b + 2a + (n – 1)b + 2a + (n – 1)b + … + 2a + (n – 1)b
2sn = n (2a + (n – 1)b)
1
sn = 2 n (2a + (n − 1)b )
Sifat-2
sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + … + un–1 + un merupakan jumlah n suku pertama
barisan aritmetika,
sn = n (2a + (n – 1)b) = n (u1 + un)
2 2
Contoh 6.7
Carilah jumlah bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 9!
Penyelesaian
Bilangan bulat yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah
9, 18, 27, …, 99
194 Kelas X
Bilangan-bilangan tersebut membentuk barisan aritmetika dengan a = 9, b = 9, dan
un = 99. Selanjutnya akan ditentukan nilai n sebagai berikut:
un = 99 ⇔ a + (n – 1)b = 99
⇔ 9 + (n – 1)9 = 99
⇔ 9 + 9n – 9 = 99
⇔ 9n = 99
⇔ n = 10
Jadi, banyak bilangan yang habis dibagi 9 diantara 1 dan 100 adalah 10. Dengan
menggunakan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika diperoleh:
sn = 1 n(a + un ) atau s10 = 1 (10)(9 + 99) = 540
2 2
Dengan demikian, 9 + 18 + 27 + 36 + 45 + … + 99 = 540.
Contoh 6.8
Diketahui a + (a + 1) + (a + 2) + ... + 50 = 1139. Jika a bilangan bulat positif, maka
nilai a = ...
Penyelesaian
Suku ke-n barisan bilangan di atas adalah 50, sehingga
un = a + (n – 1)b ⇔ 50 = a + (n – 1)1
⇔ a = 51 – n.
Jumlah n suku pertama adalah 1.139 sehingga
nn
sn = 2(2a + (n – 1)b) ⇔ 1139 = 2(2a + (n – 1)1), atau
⇔ 2278 = n((2a + (n −1)).
Dengan mensubtitusikan a = 51– n, diperoleh n2 – 101n + 2278 = 0.
• Ingat kembali cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat yang telah kamu
pelajari SMP.
n2 – 101n + 2278 = 0 ⇔ (n – 67).(n – 34) = 0.
diperoleh, n = 67 atau n = 34.
Jika nilai a bilangan bulat positif maka nilai yang memenuhi adalah n = 34 dengan
nilai a = 17.
Matematika 195
Contoh 6.9
Diketahui deret aritmetika tingkat satu dengan sn adalah jumlah n suku pertama. Jika
sn = (m3 – 1) n2 – (m2 + 2) n + m – 3, maka tentukanlah suku ke-10 pada barisan
tersebut!
Penyelesaian
Dengan mengingat kembali rumus deret aritmetika tingkat satu:
sn = n + (n – 1)b) = b n2 + (a – b)n
2(2a 2
maka
sn = (m3 – 1) n2 – (m2 + 2) n + m – 3 akan menjadi deret aritmetika tingkat satu jika
m – 3 = 0 atau m = 3 sehingga sn = (33 – 1) n2 – (32 + 2) n + (3 – 3) = 26n2 – 11n.
( ) ( )Jadi, u10 = s10 – s9 = 26(102 ) −11(10) − 26(92 ) −11(9) = 2490– 2007 = 483.
Uji Kompetensi 6.1
1. Tentukan jumlah deret aritmetika 3. Tentukan banyak suku dari deret
berikut! berikut!
a. 3 + 6 + 9 + 12 + ... sampai a. 6 + 9 + 12 + 15 + ... = 756
dengan 18 suku. b. 56 + 51 + 46 + 41 + ... = – 36
c. 10 + 14 + 18 + 22 + ... = 640
b. 2 + 8 + 14 + 30 + ... sampai
dengan 10 suku. 4. Diketahui deret aritmetika dengan
suku ke-7 dan suku ke-10 berturut-
c. 1 + 6 + 11 + 16 + ... sampai turut adalah 25 dan 37. Tentukanlah
dengan 14 suku. jumlah 20 suku pertama!
d. 50 + 46 + 42 + 38 + ... sampai 5. Bila a, b, c merupakan suku ber-
dengan 10 suku. urutan yang membentuk barisan
aritmetika, buktikan bahwa ketiga
e. –22 – 16 – 10 – 4 – ... sampai suku berurutan berikut ini juga
dengan 20 suku. membentuk barisan aritmetika
1, 1, 1 .
2. Tentukan banyak suku dan jumlah bc ca ab
deret aritmetika berikut!
a. 4 + 9 + 14 + 19 + ... + 104
b. 72 + 66 + 60 + 54 + ... + 12
c. –12 – 8 – 4 – 0 – ... – 128
d. –3 – 7 – 11 – 15 ... – 107
196 Kelas X
6. Tentukan banyak bilangan asli yang b. 13 + 23 + 33 + .. + n3 = n (n +1) 2
kurang dari 999 yang tidak habis
dibagi 3 atau 5. 2
7. Diketahui barisan yang dibentuk 9. Pola A B B C C C D D D D A B B
oleh semua bilangan asli 1 2 3 4 5 6 CCCDDDDABBCCCDD
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D D ... berulang sampai tak hingga.
20 21 22 23 24 25 26 … Huruf apakah yang menempati
urutan 2634?
Angka berapakah yang terletak pada
bilangan ke 2004 ? (bilangan ke-12 10. Diketahui barisan yang dibentuk
adalah angka 1 dan bilangan ke-15 oleh semua bilangan asli 1 2 3
adalah angka 2). 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 …
8. Gunakan induksi matematika untuk Angka berapakah yang terletak pada
membuktikan persamaan berikut ini bilangan ke 2013? (bilangan ke-12
benar! adalah angka 1 dan bilangan ke-15
adalah angka 2).
a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n (n + 1) =
.3 + 3.4 + ... + n (n +1) = n (n +1)(n + 2)
3
Projek
Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret aritmatika
dalam bidang fisika, teknologi informasi, dan masalah nyata di sekitarmu.
Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret aritmatika di dalam
pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di
depan kelas!
Matematika 197
3. Menemukan Konsep Barisan dan Deret Geometri
a. Barisan Geometri
Perhatikan susunan bilangan 1, 1 , 1 , 1 , ...
2 4 8
Nilai perbandingan u2 = u3 = ... = un = 1 . Jika nilai perbandingan dua suku ber-
u1 u2 un−1 2
urutan dimisalkan r dan nilai suku pertama adalah a, maka susunan bilangan tersebut
Pdaeprhaat tdikinaynagtaakmabnadrebnegraiknu1t1!,,1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , …
2 2 2 4 2 8 2
Sehingga:
• u1 = a = 1
• 1,1u2 1= 1u,11.1212=12,1.,12 11 12, ,1 1812 12, ,1 ⇔12 ,u2 = u1.r = a.r
2 42 4 8
• 1,1u3 1= 1u,121.12,112=1212,1.,12, .141212=1212,1.,14, 12811412212 12,,812, 18⇔312 12,u3,= u2.r = a.r.r = a.r2
2
• 1,1u4 1= u,3. 1 =112,1.,121214,2.121212=12,1221183., 12143, 12 ⇔, 18u4 1= u,3.r = a.r2.r = a.r3
2 2 2
• 1,1u512=u,4.1212=112,21.,121214,3.121212=,122118., 12143, 12 ⇔, 18 u512=,u4.r = a.r3.r = a.r4
Dari pola di atas, tentunya dengan mudah kamu pahami bahwa,
un = un–1.r = a.rn–2 r = a.rn–1
198 Kelas X
Orlando memiliki selembar kertas. Berikut ini disajikan satu bagian kertas.
Gambar 6.12 Selembar Kertas
Ia melipat kertas tersebut menjadi dua bagian yang sama besar.
Kertas terbagi menjadi
2 bagian yang
sama besar.
Gambar 6.13 Selembar Kertas pada Lipatan Pertama
Kertas yang sedang terlipat ini, kemudian dilipat dua kembali olehnya.
Kertas terbagi menjadi
4 bagian yang
sama besar.
Gambar 6.14 Selembar Kertas pada Lipatan Kedua
Orlando terus melipat dua kertas yang sedang terlipat sebelumnya. Setelah melipat,
ia membuka hasil lipatan dan ditemukan kertas tersebut terbagi menjadi 2 bagian.
Perhatikan bagian kertas tersebut membentuk sebuah barisan bilangan yang disajikan
sebagai berikut.
Setiap dua suku berurutan dari barisan bilangan tersebut memiliki perbandingan yang
sama, yaitu u2 = u3 = ... = un = 2. Barisan bilangan ini disebut barisan geometri.
u1 u2 un−1
Matematika 199
Definisi 6.3
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara
dua suku yang berurutan selalu tetap.
Rasio, dinotasikan r merupakan nilai perbandingan dua suku berurutan. Nilai r
u2 u3 u4 = ... un .
dinyatakan: r = u1 = u2 = u3 un−1
Sifat-3
Jika u1, u2 , u3, …, un merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan
u1 = a dan r adalah rasio, maka suku ke-n dinyatakan
un = arn–1, n adalah bilangan asli.
b. Deret Geometri
Analog dengan konsep deret aritmetika, deret geometri juga penjumlahan
bilangan-bilangan berurutan yang memiliki pola geometri. Cermati masalah di bawah
ini!
Masalah-6.8
Sebuah bola jatuh dari gedung setinggi
3 meter ke lantai dan memantul kembali
setinggi 4 kali dari tinggi sebelumnya
5
Tentukanlah panjang lintasan bola
tersebut sampai pada pantulan ke-10! Gambar 6.15 Pantulan Bola
Pandang dan amatilah kembali gambar di atas! Tampak pada Gambar 6.15 bahwa
terdapat 2 kali lintasan bola yang sama tingginya setelah pantulan pertama. Misalkan
a ketinggian awal bola dan misalkan t tinggi pantulan maka tinggi pantulan bola
dapat diberikan pada tabel berikut.
Tabel 6.6 Tinggi Pantulan Bola
Pantulan ke ... 0 1 2 3 ...
Tinggi pantulan (m) 3 12/5 48/25 192/125 ...
Suku ke ... u1 ...
u2 u3 u4
• Coba kamu teruskan mengisi tabel pada pantulan berikutnya.
• Apakah mungkin terjadi ketinggian pantulan bola sama dengan nol?
200 Kelas X
Misalkan panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S.
S = u1 + 2 (u2 + u3 + u4 + ... + u10)
⇔ S = 2 (u1 + u2 + u3 + u4 + ... + u10) – u1
⇔ S = 2s10 – u1
dimana
Tabel 6.7 Deret Pantulan Bola
Deret Jumlah suku-suku Nilai
3
S1 u1
S2 u1 + u2 3 + 12 = 3(9 ) = 3( 25 − 16)
55 5
S3 u1 + u2 + u3 3 + 12 + 48 = 3( 61) = 3(125 − 64 )
5 25 25 25
S4 u1 + u2 + u3 + u4 3 + 12 + 48 + 192 = 3(369) = 3( 625 − 256)
5 25 125 125 125
... ... ...
Sn u1 + u2 + u3 + u4 ... + un ssn n = 3( 5n − 4n )
5n −1
Berdasarkan Tabel 6.7 deret bilangan tersebut adalah sebuah barisan jumlah,
s1 , s2 , s3 , ..., sn , ... yaitu 3( 51 − 41 ), 3( 52 − 42 ), 3( 53 − 43 ), ..., 3( 5n − 4n ) .
50 51 52 5n−1
510 410
Sehingga s10 = 3( − )
59
Jadi, panjang lintasan bola sampai pantulan ke-10 adalah S = 2s10 – u1 atau
510 410
S = 6( − ) − 3
59
• Coba kamu diskusikan bersama temanmu untuk mencari panjang lintasan bola
pantul jika dilemparkan ke atas setinggi 5 meter dan memantul setinggi 4/5 kali
dari tinggi sebelumnya.
Matematika 201
Definisi 6.4
Deret geometri adalah barisan jumlah n suku pertama barisan geometri.
Bentuk umum:
atau sn = u1 + u2 + u3 + … + un
sn = a + ar + ar2 + … + arn – 1
dengan u1 = a dan r adalah rasio.
Sifat-4
Jika suatu deret geometri suku pertama adalah u1 = a, dan rasio = r, maka jumlah
n suku pertama adalah
sn =i. a(1 −s−n r=n )a(11sn−−=rr na)(,rruns−nn−1t=u1)ka(rrr n<−11. )r >r 1<.1. r > 1.
1 r −1
ssnn == aa((11−−irrin.n )) ssnn == aa((rrnn −−11)), urrn<<tu11k.. rr >>11..
11−−rr rr −−11
iii. sn = na, untuk r = 1.
Bukti:
i. sn = a + ar + ar2 + … + arn–1 …………… (1)
Dengan mengalihkan kedua ruas persamaan 1) dengan r, didapatkan Persamaan
berikut.
rsn = ar + ar2 + ar3 + … + arn …………… (2)
Sekarang, selisih persamaan (1) dengan (2), diperoleh
sn – rsn = (a + ar + ar2 + … + arn–1) – (ar + ar2 + ar3 + … + arn)
sn(1 – r) = a – arn
a − arn
sn = sn = 1− r
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri adalah
sn = a(1 − rn ) , r < 1.
1− r
ii. Untuk membuktikan prinsip ini, coba kamu kerjakan sebagai berikut.
202 Kelas X
Contoh 6.10
Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut ini!
4 +1+ 1 + 1 + ...
4 16
Penyelesaian
Pertama harus ditentukan rasio deret bilangan tersebut.
=r u=2 u=3 u=4 1 .
u1 u2 u3 4
Karena r < 1, maka jumlah 10 suku pertama ditentukan melalui rumus,
sn = a(1 − rn )
1− r
4 − 1 10 4 − 1 10 10
1 4 1 4 1
Akibatnya, s10 = = = 16 − 1 .
11 3 3 2
44
Pertanyaan Kritis
Perhatikan pola barisan bilangan berikut!
a) 1, 3, 7, 9, …
b) 1, 4, 9, 16, …
c) 3, 1, 4, 2, 5, …
Apakah barisan tersebut termasuk barisan aritmetika atau barisan geometri?
Tentukanlah suku ke 10 dari pola barisan di atas!
Matematika 203
Uji Kompetensi 6.2
1. Untuk memeriksa sebuah barisan 6. Jika jumlah semua suku deret
merupakan barisan geometri apakah geometri tak hingga adalah 72
cukup hanya dengan menentukan dan jumlah semua sukunya yang
rasio dua suku berturutan? Jelaskan berindeks ganjil adalah 48, tentukan
dengan menggunakan contoh! suku ke-3 deret tersebut!
2. Tiga bilangan membentuk barisan 7. Pertumbuhan penduduk biasanya
aritmetika. Jika suku ketiga ditambah dinyatakan dalam persen. Misalnya,
3 dan suku kedua dikurangi 1, pertumbuhan penduduk adalah 2%
diperoleh barisan geometri. Jika per tahun artinya jumlah penduduk
suku ketiga barisan aritmetika bertambah sebesar 2% dari jumlah
ditambah 8, maka hasilnya menjadi penduduk tahun sebelumnya.
5 kali suku pertama. Tentukan beda Pertambahan penduduk menjadi
dari barisan aritmetika tersebut! dua kali setiap 10 tahun. Jumlah
penduduk desa pada awalnya
3. Tiga bilangan positif membentuk 500 orang, berapakah jumlah
barisan geometri dengan rasio r > 1. penduduknya setelah 70 tahun
Jika suku tengah ditambah 4, maka apabila pertumbuhannya 2.5%?
terbentuk sebuah barisan aritmetika
yang jumlahnya 30. Tentukan Hasil 8. Pertumbuhan ekonomi biasanya
kali dari ketiga bilangan tersebut!
dalam persen. Misalnya,
4. Suku-suku barisan geometri tak
hingga adalah positif, jumlah u1 + pertumbuhan ekonomi suatu negara
u2 = 60, dan u3 + u4 = 15, tentukan
jumlah suku barisan itu! sebesar 5% per tahun artinya terjadi
5. Sebuah bola jatuh dari ketinggian pertambahan Produk Domestik
8m dan memantul kembali de
Bruto (PDB) sebesar 5% dari PDB
ngan ketinggian 3 kali tinggi sebe-
5 tahun sebelumnya. Berdasarkan
lumnya. Pemantulan ini berlangsung analisis, ekonomi Indonesia akan
terus menerus hingga bola
berhenti. Berapakah jarak lintasan mengalami pertumbuhan sebesar
seluruhnya?
6.5% per tahun selama tiga tahun
ke depan. Tentukan PDB pada tahun
ketiga apabila PDB tahun ini PDB-
nya sebesar 125 triliun rupiah.
9. Jika barisan x1, x2 , x3,… memenuhi
204 Kelas X
x1 + x2 + x3 + ... + xn = n3, untuk selama 5 tahun mendatang. Apabila
semua n bilangan asli, maka x100 harga emas sekarang ini adalah
= .... Rp200.000,00 per gram, tentukan
harga sabun tersebut empat tahun
10. Kenaikan harga barang-barang lagi.
disebut inflasi. Berdasarkan analisis,
ekonomi Indonesia akan mengalami
inflasi sebesar 8% per tahun
Projek
Himpunlah minimal tiga buah masalah penerapan barisan dan deret geometri
dalam bidang fisika, teknologi informasi dan masalah nyata di sekitarmu.
Ujilah berbagai konsep dan aturan barisan dan deret geometri di dalam
pemecahan masalah tersebut. Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di
depan kelas.
D. PENUTUP
Beberapa hal penting sebagai kesimpulan dari hasil pembahasan materi barisan
dan deret, disajikan sebagai berikut.
1. Barisan bilangan adalah sebuah fungsi dengan domainnya himpunan bilangan
asli dan daerah hasilnya suatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.
2. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda dua suku
berurutan selalu tetap.
3. Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan aritmetika.
4. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki hasil bagi dua suku
berurutan adalah tetap. Hasil bagi dua suku berurutan disebut rasio.
5. Deret geometri adalah jumlah suku-suku dari barisan geometri.
6. Masih banyak jenis barisan yang akan kamu pelajari pada jenjang yang lebih
tinggi, seperti barisan naik dan turun, barisan harmonik, barisan fibbonaci, dan
lain sebagainya. Kamu dapat menggunakan sumber bacaan lain untuk lebih
mendalami sifat-sifat barisan dan deret.
Selanjutnya kita akan membahas materi persamaan dan fungsi kuadrat. Tentu
kamu wajib mengulangi mempelajari materi persamaan linear, relasi, dan fungsi,
sebab materi tersebut adalah prasyarat utama mempelajari persamaan dan fungsi
kuadrat.
Matematika 205
Bab
Persamaan dan Fungsi
Kuadrat
A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar
Setelah mengikuti pembelajaran persamaan siswa mampu: Melalui pembelajaran materi fungsi kuadrat, siswa
1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab, memperoleh pengalaman belajar:
• menjelaskan karakteristik masalah otentik yang
konsisten dan jujur serta menerapkannya dalam
kehidupan sehari-hari; pemecahannya terkait dengan model matematika
2. memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilih sebagai persamaan kuadrat;
strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan • merancang model matematika dari sebuah
persamaan kuadrat serta memeriksa kebenaran permasalahan otentik yang berkaitan dengan
jawabannya; persamaan dan fungsi kuadrat;
3. menganalisis persamaan kuadrat dalam berbagai • menyelesaikan model matematika untuk mem-
bentuk penyajian masalah kontekstual; peroleh solusi permasalahan yang diberikan;
4. Memahami konsep dan prinsip persamaan dan fungsi • menafsirkan hasil pemecahan masalah;
kuadrat serta menggambarkan grafiknya dalam sistem • menuliskan ciri-ciri persamaan dan fungsi kuadrat.
koordinat; dari beberapa model matematika;
5. memahami berbagai bentuk ekspresi yang dapat diubah • menuliskan konsep persamaan dan fungsi kuadrat.
menjadi persamaan kuadrat dan mengidentifikasi sifat- berdasarkan ciri-ciri yang ditemukan dengan
sifatnya; bahasanya sendiri;
6. menganalisis persamaan kuadrat dari data terkait • menurunkan sifat-sifat dan aturan matematika yang
masalah nyata dan menentukan model matematika berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat
berupa persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat; berdasarkan konsep yang sudah dimiliki;
7. memahami persamaan dan fungsi kuadrat, memilih • menentukan akar-akar persamaan kuadrat dengan
strategi dan menerapkan untuk menyelesaikan masalah pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, dan
nyata serta memeriksa kebenaran jawabannya; rumus abc;
8. menganalisis grafik fungsi dari data terkait masalah • menentukan jumlah dan hasil kali akar-akar
nyata dan menentukan model matematika berupa persamaan kuadrat;
fungsi kuadrat. • menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya
memenuhi kondisi tertentu;
• Persamaan Kuadrat • menggunakan konsep dan prinsip persamaan
• Peubah kuadrat untuk memecahkan masalah otentik;
• Koefisien • menentukan persamaan sumbu simetri dan titik
• Konstanta puncak grafik fungsi kuadrat;
• Akar-akar Persamaan • menggambarkan grafik fungsi kuadrat;
• Fungsi kuadrat • menentukan fungsi kuadrat, jika diberi tiga titik yang
• Parabola tidak segaris;
• Sumbu Simetri • menjelaskan kaitan fungsi kuadrat dan persamaan
• Titik Puncak kuadrat;
• Nilai Maksimum dan • menggunakan konsep dan prinsip fungsi kuadrat
Minimum untuk memecahkan masalah otentik dan soal-soal.
B. PETA KONSEP
Matematika 207
C. MATERI PEMBELAJARAN
I. PERSAMAAN KUADRAT
1. Menemukan Konsep Persamaan Kuadrat Satu Peubah
Banyak permasalahan dalam kehidupan yang pemecahannya terkait dengan
konsep dan aturan-aturan dalam matematika. Secara khusus keterkaitan konsep
dan prinsip-prinsip persamaan kuadrat, sering kita temukan dalam permasalahan
kehidupan nyata yang menyatu/bersumber dari fakta dan lingkungan budaya
kita. Konsep persamaan kuadrat dapat dibangun/ditemukan di dalam pemecahan
permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan dan selesaikan dengan cermat
permasalahan-permasalahan yang diberikan.
Di dalam proses pemecahan masalah-masalah yang diberikan, kamu cermati
objek-objek budaya atau objek lingkungan budaya yang dilibatkan dalam permasalahan
yang diberikan. Objek-objek itu menjadi bahan aspirasi/inspirasi, karena terkadang
ada konsep matematika melekat pada objek itu yang tidak kita sadari dan ternyata
sebagai kata kunci dalam penyelesaian masalah. Demikian juga kamu tidak boleh
mengabaikan atau melupakan konsep-konsep dan aturan-aturan matematika yang
telah dipelajari sebelumnya, baik di tingkat SD, SMP, bahkan pada materi yang baru
saja kamu pelajari.
Dalam menyelesaikan masalah matematika, kamu bisa pada kesepakatan antara
kamu dan teman-teman serta guru, saling terkait materinya, menggunakan variabel-
variabel, bersifat abstrak sebab matematika adalah hasil abstraksi pemikiran manusia.
Matematika menganut kebenaran konsistensi atau tidak boleh ada di dalamnya, unsur-
unsur, simbol-simbol, konsep-konsep, dan rumus-rumus yang saling bertentangan.
Alat ukur kebenarannya, jika konsep yang ditemukan, ukuran kebenarannya apabila
konsep tersebut diterima pada struktur matematika yang sudah ada sebelumnya.
Jika prinsip (rumus-rumus, sifat-sifat) yang ditemukan, ukuran kebenarannya
dapat dibuktikan kebenarannya menggunakan konsep atau aturan yang sudah ada
sebelumnya.
208 Kelas X
Masalah-7.1
Arsitek Ferdinand Silaban merancang sebuah
rumah adat Batak di daerah Tuk-tuk di tepi Danau
Toba. Ia menginginkan luas penampang atap
bagian depan 12 m2. Di dalam penampang dibentuk
sebuah persegi panjang tempat ornamen (ukiran)
Batak dengan ukuran lebar 2 m dan tingginya 3 m.
Bantulah Pak Silaban menentukan panjang alas
penampang atap dan tinggi atap bagian depan!
Gambar 7.1 Rumah Adat
Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui, apa
yang ditanyakan, dan sajikan/dekati masalah dalam gambar. Gunakan variabel untuk
menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja yang
terkait dengan masalah yang dihadapi supaya dapat terpecahkan. Perhatikan konsep
apa yang melekat pada penampang depan atap rumah adat tersebut. Gunakan sebagai
langkah awal untuk menyelesaikan masalah. Ingat kembali apa yang dimaksud
dua bangun dikatakan kongruen dan lakukan perbandingan panjang sisi-sisi kedua
bangun tersebut untuk memperoleh persamaan tinggi penampang atap.
Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP,
bagaimana cara menentukan nilai variabel dengan menggunakan manipulasi aljabar
pada persamaan yang diperoleh? Berdasarkan nilai variabel akan ditentukan tinggi
penampang atap dan panjang alasnya.
Alternatif Penyelesaian
Diketahui:
Luas penampang atap bagian depan 12 m2
Ukuran persegi panjang tempat ornamen adalah 3 m × 2 m
Ditanya:
a. Panjang alas penampang atap
b. Tinggi atap
Matematika 209
Kamu ilustrasikan masalah di atas seperti gambar berikut!
• Memperhatikan konsep apa
yang melekat pada penampang
depan atap rumah adat tersebut.
Gambar 7.2 Penampang Atap Bagian atas
Kamu cermati segitiga sama kaki ABC dan lakukan hal berikut.
Misalkan panjang AE = FB = x m.
Karena penampang atap rumah berbentuk segitiga sama kaki, maka
Luas = 1 × panjang alas × tinggi
2
12( A×Epa+nEjaFng+aFlaBs)××ttinggi
LLu=as1=×
2
1L2==1212×t((xA+E2++ExF) + FB) × t
1122 == t1(1t(+xx+) 2 +..x..)............................................................................ (1)
P1GG2eFTr=ha=t2t(i1TFk+BaBnx⇔)seg3titi=g1a
+CTx B dan segitiga GFB. Kedua segitiga tersebut sebangun.
x
GT 3T+B 3⇔x t 1+ x
⇒GFt == FBx 3 = x
⇒ t = 3 + 3x .t..=.....3....x..3...x............................................................... (b)
x (1)
(2)
SSuebhsitnitgugsaikdanippeerroslaemhaan 2) ke persamaan 1) sehingga diperoleh
12 = ( 3 3x ) (1 + x) 12x = (3 + 3x) (1 + x)
x
12x = 3 + 3x + 3x + 3x2
3x2 + 6x – 12x + 3 = 0
210 Kelas X 3x2 - 6x + 3 = 0
x2 - 2x + 1 = 0
Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana cara
Sehingga diperoleth= x (b)
(1)
12 =Seh(i3ngg3axd)ip(1er+olxe)h 12x = (3 + 3x) (1 + x)
x
3 3x
12 = ( x ) (1 + x) 12x1=2x3 =+ (33x++33xx) +(13+x2x)
3x2 1+26xx=–31+2x3+x +3 3=x0+ 3x2
3x2 3-x62x++63x =– 012x + 3 = 0
x2 - 2x + 1 = 0 3x2 - 6x + 3 = 0
x2 - 2x + 1 = 0 ...................................................................................... (3) (1)
Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana cara
Ingat kembali materi persamaan kuadrat yang telah dipelajari di SMP, bagaimana
cmareanImenngetanuteknkatenumkanbnialanliiil-manii-alnatieilraixi xpdederesnnaggmaannaammneeklaluakakudukrakanatnmyaamnnigapnutielpalusailhaasldjiaipbaealljraapjbaaadrriadppiaerdSsaMampPae,arnbsaamgaaiamnan(1a)c. a
(B3e).rmdBaeesrnaderaknsaaturnkkapanenrpsenarimslaaami-ananailn(a1i()3x)akadkaenanndgdiatietnenntmtuukekalaannknnuiikllaaaini--nnimilalaaiinxx.ipulasi aljabar pada persamaan (
x2 -B2exr+da1sa=rk0anpexr2sa-mxa–anx +(11) a=k0an ditentuka• n nAiplaai-mnaiAlkanpiaaxdmaariknaa ×dabri= a0 b = 0
x2 - 2x + 1 =0 x(xx2–-1x) –– 1x(+x -11=) =0 0 dan 1a)p(daxa–knaA1ia)tppa=anan0mykaaakitdnaeannndgyaaanri deangabn= 0
(x –
(x -1x)((xx––11))–=10(x -1) = 0
(x –(x1)-21=) (0x – 1) = 0 (x –d1a)n(xap–a1k) a=it0annya dengan
x= (1x – 1)2 = 0 (x – 1) (x – 1) = 0
DenDgeanngamnemngenggugnuankaaknanninliaxlia=ixx1aakkaannddiitteennttuukkaannnniillaaiit.t
UntUDuknetnuxgka=nx1=md1einpdgeiprgoeurlnoealhekhatnt==n3i3la−xix33xxxa=k=a6n6. .ditentukan nilai t
6Smeh.6SUSineemnhghti.guinnakgggdgaxiapd=iedp1riepordloeielrpehoehlrpeopahlaennphjjaaannntggj=aaanl3algassxad3adlaxnasnt=idntag6inng. igtgpinei ngpageminppaaemnngpaamatnapgpaarnutgmapaathrauapdmarlauahmh a4adhmaaldadahanl4amh
dan
4m dan
Steelrui(s S6rnbi,mnegargn.ickkySnuaiaegtktkra.uiknSttpieegetlammkubirtuet,eaanimcnttouaeyurrkmaaaiukunop)igrobatrtnauaanggnanygtptayuutakauaa)natygtmeyaaranssennepunggbadgusasgmutuhudtedinalndaahagahnklgkajaluunapnntjneuaujrtkunksuaatiasnahlui,kaksm,muiamalelaak,namtumdmoluprapadtuumoudrmmkpeidueneejnngenmgngaghjnehaaintinnutgguwnwhngpaiagtehkkunahttnuudraggirdcaghuictkaekaualruktungepur.alputre(lsubinragn(kbyaaatnk.y
mSeemmT7bStee.iei2llnrlamuintbnkrayege,irarnaatiwnatkcao.uuamrArtkraa.eigunsorapaegrrnkaktanubadgmamaantertuueyimarmalsikelteeiel)knburigushtewetuatbtaanriuhrdpictusaaaiatknirndaympadaemk,aerrgnnepiuganelneghjraluunukmmnahahaeunlkanrmjhadacnkreuairnadatndaukmnukadgdileakaunjnnuekjmunliammjujtaeolendanrngahjgnakpdanapelengeinnkcdpdgaaaeiahnndnnkidmbkainiaedwlnnaMika.ngkaaTagstnlaeiua.knrlaanT.nhcyeAuarntkgayuamarptakesrameimnkeguarke
menmgeemtahiMluikianisywaa,alrgaiushnana-k7da.an2rijalreiltuahnugrancmarua dmanenpjuecmalhakhaknanmadsaanlamh e7n.2gableikriaknutb. ilangan. Agar kam
mengetahuinya, gunakan jari tanganmu dan pecahkan masalah 7.2 berikut.
Nenek moyang salah satu suku di Indonesia dalam melakukan operasi hitung
penjumlahan dan perkalian mereka menggunakan basis lima dengan fakta
bahwa banyak jari tangan kiri atau kanan adalah lima. Coba bantu temukan
aturan perkalian untuk menentukan hasil kali bilangan x dan y dengan
BUKU PEGANGAN SISWA Matematika 211 227
BUKU PEGANGAN SISWA 227
a. 5 < x, y < 10, dengan x, y ∈ N
b. x = 5 dan y ≥ 5, dengan x, y ∈ N
Gambar 7.3 Jari Tangan
Sebelum menemukan aturan perkalian bilangan-bilangan yang dibatasi pada
bagian a) dan b), coba pilih dua bilangan x dan y, 5 < x, y < 10, dengan x, y ∈ N
(misalnya, 6 × 8). Ingat apa arti basis 5, lakukan pencacahan bilangan 6 di jari tangan
kiri dan bilangan 8 di jari tangan kanan. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut!
1) Setelah kamu mencacah satu kali bilangan x di tangan kiri, ada berapa banyak
jari yang terpakai dan yang tidak terpakai pada pencacahan kedua kali?
2) Setelah kamu mencacah satu kali bilangan y di tangan kanan, ada berapa banyak
jari yang terpakai dan yang tidak terpakai pada pencacahan kedua kali?
3) Berapa jumlah banyak jari yang terpakai pada tangan kiri dan banyak jari yang
terpakai pada tangan kanan pada saat pencacahan kedua kali?
4) Berapa hasil kali jumlah jari yang terpakai di tangan kiri dan jari di tangan kanan
dengan hasil pada langkah 3)?
5) Berapa banyak jari yang tidak terpakai di tangan kiri saat pencacahan kedua
kali ?
6) Berapa banyak jari yang tidak terpakai di tangan kanan saat pencacahan kedua
kali?
7) Berapa hasil kali bilangan pada langkah 5) dan 6)?
8) Berapa hasil jumlah bilangan pada langkah 4) dan 7)
Berdasarkan 8 langkah penentuan hasil perkalian bilangan x dan y, bekerjasama
dengan temanmu satu kelompok untuk menemukan aturan perkalian dua buah
bilangan x dan y, 5 < x, y < 10, dengan x, y ∈ N.
212 Kelas X
Alternatif Penyelesaian
Misalkan: z adalah bilangan basis (dalam contoh = 5)
x = z + a, a < z
y = z + b, b < z
1. hitung (a + b)
2. hitung (z + z ) = 2z
3. kalikan hasil langkah 1) dan 2), yaitu (a + b) 2z
4. hitung (z – a)
5. hitung (z – b)
6. kalikan hasil langkah 4) dan 5), yaitu (z – a) (z – b)
7. jumlahkan hasil langkah 3) dan 6), yaitu (a + b) 2z + (z – a) (z – b)
8. diperoleh x × y = (a + b) 2z + (z – a) (z – b), 5 < x, y < 10, x, y ∈ N
Untuk contoh di atas diperoleh
6 × 8 = (a + b) 2z + (z – a)(z – b)
48 = 8z + (z – 1) (z – 3)
∴ z2 + 4z - 45 = 0 ...................................................................... (1)
Latihan 7.1
Cermati aturan perkalian pada bagian a) dan mencoba menemukan aturan perkalian
bilangan pada bagian b). Awali kerja kamu dengan memilih dua bilangan x = 5 dan
y ≥ 5, dengan x, y ∈ N. Ingat apa arti basis 5, lakukan pencacahan bilangan x di jari
tangan kiri dan bilangan y di jari tangan kanan.
Masalah-7.3
PakAnas memiliki tambak ikan mas di hulu sungai
yang berada di belakang rumahnya. Setiap pagi,
ia pergi ke tambak tersebut naik perahu melalui
sungai yang berada di belakang rumahnya.
Dengan perahu memerlukan waktu 1 jam lebih
lama menuju tambak dari pada pulangnya. Jika
laju air sungai 4 km/jam dan jarak tambak dari
rumah 6 km, berapa laju perahu dalam air yang Gambar 7.4 Sungai
tenang?
Ilustrasi masalah dapat dicermati pada gambar berikut.
Matematika 213
2) Jika diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai ditujuan, apa yang dapat
Seleksaamikuansliamhpmulaksaanladhadrii kaetaasd,aaagnarpepreakheur?jaan kamu lebih efektif renungkan beberapa
pertanyaan berikut.
13)) CBoabgaaitmemaunkaaknecbeepnatutaknppeerraashaumsaaaant kmueandurjaut dhaullaumsulnanggaikdahanpkeemceecpaahtaann pmearsaahluahsataetrsebut?
Pak Anas pulang?
2A) lteJyrianknaagtidfdiaPapseuantmykesaliemksauanisapinmerpauhlukatniddaakripkeernaadhaabneprhereanhtiu?sebelum sampai ditujuan, apa
3M) isaClkoabna Vteamaduaklaanh bkencetupkatpaneraisrasmuanagnaikdueandgrant dVaala=m4 lkamng/jkaamh pemecahan masalah
tersebuVth?u adalah kecepatan perahu kehulu
Alternatif VPhei naydeallaehsakieacnepatan perahu saat pulang
Misalkan VVtaaaddaallaahhkkeecceeppaatatannpaeirashuundgaliadmenagiranteVnaa n=g4 km/jam
ttV12VVtaahhaddui adaaadalldaaalaahhllahawwhhkaakekkkecettceuucepeyypapaaataannttanggannpddpeiipeprgearuerahrnahluhauukudkasaaknanleaamhmmt upeelaunnuiluurajjntuuegnrTuaamnmgabha(kpulang)
St1aaddaalalahhjawraakkttuamyabnagkddiapreirrluumkaanhmPaeknuAjunaTsambak
Baga imanatSk2 aeadcdeaapllaaahhtajwnarapakektruatahymuanbsagaakdt dipgaeurringariukkmaenhauhmlPuenadkuajAnunsrauaasmt amhe(npuujulanhgil)ir (pulang)?
BKaegcaeipmataanna pkeercaehpuatsaanatpemraehnujsuaahtupluersguinkgeahiuAlusadhaannsamaetnmenentaunjgu hkielcirep(pautalnanagi)r?dan saat Pak
KAAenncaaesspapptuuallnaannpgge,,rakkheeucceesppaaaattatanmn pepenreuarjhauhuhusuelsuaeraasrhuanhdgeadniegmnagneannkeencktaeepncagetpakanetacaneipraastiuarnngsauainirgmdaaiennmgsaaelanirtg.aPSlaierk.hingga,
SJiekhaindgimgai,saJlikandiVmaits=alxkaknm/Vjaatm= mx kakma/jam maka
DVVhihuaus==uxmx–s–i4k4addnaanpneVrVahhhiiu==txxid++ak44pernah berhenti sebelum sampai di tujuan, berarti
Diasumsikan perahu tidak pernah berhenti sebelum sampai di tujuan berarti
x ≠ – 4 dan x ≠ 4.
t1 - t2 = S S =1
Vhu Vhi
6 x 6 4=1
x- 4
6 (x + 4) – 6 (x – 4) = (x + 4) (x – 4) (1)
6x + 24 - 6x + 24 = x2 + 4x – 4x - 16
48 = x2 – 16
x2 – 64 = 0 ..................................................................................... (1)
x2 – 64 = 0 (x – 8) (x + 8) = 0
x - 8 = 0 atau x + 8 = 0
214 Kelas Xx = 8 atau x = -8
BUKU PEGANGAN SISWA 231
6 x 6 4=1
x- 4
6 (x + 4) – 6 (x – 4) = (x + 4) (x – 4) (1)
6x + 24 - 6x + 24 = x2 + 4x – 4x - 16
48 = x2 – 16
x2 – 64 = 0
x2 – 64 = 0 (x – 8) (x + 8) = 0
x - 8 = 0 atau x + 8 = 0
x = 8 atau x = -8
Kecepatan perahu di air tenang adalah Vat = x = 8 km/jam.
Nilai x = –8 tidak berlaku sebab kecepatan perahu bergerak maju selalu bernilai
positif. 231
BUKU PEGANGAN SISWA
Kejadian dalam Masalah 7.4 yang akan dibahas, sering dialami oleh penggembala
kerbau di tengah padang rumput yang penuh dengan pepohonan. Tentu kamu mengenal
ketapel yang sering digunakan para petani untuk mengusir burung dikala padi sedang
menguning. Mari kita temukan sebuah model matematika berupa persamaan kuadrat
dari permasalahan berikut.
Masalah-7.4
Ronald anak Pak Sulaiman sedang asyik menunggang kerbau. Tiba-tiba ia
melihat seekor burung yang berada di pohon dengan ketinggian 8m dari tanah.
Ronald mengarahkan ketapelnya dengan sudut 30o, ternyata batu ketapel
mengenai burung saat batu mencapai ketinggian maksimum. Berapa kecepatan
batu bergerak? (gravitasi bumi = 10 m/det2).
Ilustrasi masalah, dapat kamu cermati pada gambar di bawah ini.
Gambar 7.5 Posisi Burung di Pohon
Coba jelaskan pada temanmu pernyataan berikut.
Pada Sumbu-x, batu bergerak lurus beraturan, apa artinya?
Pada Sumbu-y, batu bergerak lurus berubah beraturan, apa artinya?
Renungkan beberapa pertanyaan berikut, agar kamu lebih mudah memecahkan
masalah.
Matematika 215
1) Bagaimana hubungan kecepatan anak ketapel bergerak menuju burung dengan
kecepatan anak ketapel arah vertikal?
2) Saat batu mencapai ketinggian maksimum dan mengenai burung, Bagaimana kecepatan
1) Bagaimana hubungan kecepatan anak ketapel bergerak menuju burung dengan
bkaetuce(pVaytPa)n?anak ketapel arah vertikal?
32)) BSaagaatimbaantua mmeennceanptauikaknetiknegtginiagngiamnakysiamngumdi(champaaksi) adnaank mkeentgapenelai sbetuiraupngd, etiknya?
3) BBBaaagggaaaimiimmaaannnaaapkmeenecgneaeprnautthuankgarbnaavtkuietat(iVsniygPb)gui?mani ydaanlagmdihcaalpianii a?nak ketapel setiap detiknya?
4) TBeangtuakimanankaecpeepnagtaarnuhangarkavkietatasipebludmeindgaalnammehmalainnfia?atkan apa yang diketahui dalam soal!
4) Tentukan kecepatan anak ketapel dengan memanfaatkan apa yang diketahui
dalam soal!
Diketahui: hmax = 8m dan = 300
VAD0litxkee=rtnaVha0utciifo: shPmeank;sy=Vel08ey sm=aVida0annsian = 30o
PVoaxd=a VSoucmosbua-;x,Vboay t=uVboesrigneraak lurus beraturan
PPaaddaa SSuummbbuu--xy,, bbaattuu bbeerrggeerraakklluurruussbbeerrautubraahnberaturan
Pada Sumbu-y, batu bergerak lurus berubah beraturan
Saat batu mencapaaii kkeettiinnggggiiaannmmaakkssiimmuummddaannmmeennggeennaaiibbuururunngg, ,VVyPyP==0 0
VyP = V0y – gt 0 = V0y – gt
toP = V0 y • ApAapayangyadnigmakdsiumdakkseudtinggkieatinnggian
g kmematkaapskiesmilm.uuBmmagyyaaainnmggadndiaciacpakapeiacaienpaaakntaakknetapel.
anBaakgaikmeatnaapekel cespaaatatn amnaeknckaetpaapiel saat
toP = V0 sin α
g kemtienngcgapiaani kmetiankgsgiimanummaksimum
hmax = V0y toP – 1 gto2P
2
= V0 sin V0 sin α – 1 g V0 sin α 2
g 2 g
hmax = 1 V0 sin α2
2g
Untuk hmax = 8 m, = 300, dan g = 10 m/det2 diperoleh
hmax = 2
1 V0 sin α2 1 V0 sin 300
8= 2 10
2g
8 = 1 V1 2
40
2 10
216 Kelas X
BUKU PEGANGAN SISWA 233
8 = 1 V02
80
V02 - 640 = 0 .......................................................................................... (1) (1)
V02 - 640 = 0 (V0 + 640 )(V0 - 640 ) = 0
(V0 + 640 ) = 0 atau (V0 - 640 ) = 0
V0 = - 640 atau V0 = 640
V0 = - 8 10 atau V0 = 8 10
JadJiakdeickeepcaetapnatbaantub(aatnua(ka)nkaekta)pkeeltmapeelulnmcuerluandcaluarhaVd0a=la8h V100=m8/de1t0. m/det.
• =Ba-gB8aaimg1aa0inmamau/nndateutuktniVdtua0 kk= bV-e8r0la=k1u-08semb1a/d0bektm,eac/pedpaekatta,ahanpbaaenkralaakhkkube?tearplaekl bue?rgerak arah ke atas
V0
(poVs0iti=f). - 8 10 m/det tidak berlaku sebab kecepatan anak ketapel bergerak arah ke
• ( pToesmituikf)a.n persamaan kuadrat pada langkah pemecahan Masalah 7.1, 7.2, 7.3,
danT7e.m4ukan persamaan kuadrat pada langkah pemecahan masalah 7.1, 7.2, 7.3, dan 7.
• x2 –x22x- +3 1x =+02 = 0
• z2 +z24z+–44z5-=450 = 0
• 3z23+z22z+–28z5-=850 = 0
T•• ulixvs20k2–a–xVn6206c42–4ir=-06i-6=04c4i0r=0i
0 persamaan kuadrat secara individual dan diskusikan dengan
• d=ar0i
temTaunlissekcaanra kcliaris-ickiarli. dari persamaan kuadrat secara individual dan mendiskusika
Ciri-cidriepnegrasnamteamanaknusaedcraatr.a klasikal.
• Sebuah persamaan
• Pangkat tertinggi peubahnya adalah 2 dan pangkat terendah adalah 0
• CKiroie-fciisrieinpvearrsiaabmealnayna akduaaladhrabitl.angan real
• KoSeefibsiueanhvpareirasbaeml baearnpangkat 2, tidak sama dengan nol
• KoPeafinsigeknavtatreiratbienlgbgeirppaenugbkaahtn1ydaaand0aldaahpa2t dbaenrnpilaani g0.kat terendah adalah 0
Koefisien variabelnya adalah bilangan real 217
Koefisien variabel berpangkat 2, tidak sama dengan nMoaltematika
Koefisien variabel berpangkat 1 dan 0 dapat bernilai 0.
Berdasarkan ciri-ciri persamaan kuadrat di atas, coba kamu tuliskan pengertian
persamaan kuadrat dengan kata-katamu sendiri dan diskusikan hasilnya dengan
temanmu secara klasikal. Dari hasil diskusi siswa secara klasikal ditetapkan didefinisi
berikut.
Definisi 7.1
Persamaan kuadrat dalam x adalah suatu persamaan yang berbentuk
ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, dan c bilangan real dan a ≠ 0.
Keterangan: x adalah variabel atau peubah
a adalah koefisien dari x2
b adalah koefisien dari x
c adalah konstanta persamaan
Contoh 7.1
Persamaan 2x + 5 = 0, bukan persamaan kuadrat sebab persamaan 2x + 5 = 0 dapat
dibentuk menjadi persamaan 0x2 + 2x + 5 = 0, tetapi koefisien x2 adalah nol. Hal ini
menunjukkan bahwa persamaan 2x + 5 = 0 tidak memenuhi syarat Definisi 7.1, sebab
koefisien x2 adalah 0. Persamaan 2x + 5 = 0 adalah persamaan linear satu peubah.
Contoh 7.2
Sebuah bola bergerak dari ketinggian h m. Ketinggian bola dari tanah untuk setiap
detiknya ditentukan fungsi waktu h(t) = 20t – 5t2. Saat bola tiba di atas tanah, apa
yang kamu temukan?
Penyelesaian
Saat bola tiba di atas tanah, h(t) = 0.
h(t) = 0 ⇒ h(t) = 20t – 5t2 = 0.
Persamaan 20t – 5t2 = 0 termasuk persamaan kuadrat sebab persamaan 20t –
5t2 = 0 dapat ditulis menjadi -5t2 + 20t + 0 = 0, dengan koefisien a = -5 ≠ 0, b = 20
dan c = 0. Berdasarkan Definisi 7.1 persamaan 20t – 5t2 = 0 merupakan persamaan
kuadrat dengan satu variabel, yaitu t.
218 Kelas X
Contoh 7.3
Persamaan x2 + y2 – 2x + 5 = 0, bukan persamaan kuadrat satu peubah sebab persamaan
tersebut memuat dua peubah, yaitu x dan y.
Latihan 7.2
Di depan sebuah sekolah akan dibangun lapangan bola basket. Tanah kosong yang
tersedia berukuran 60 m × 30 m. Karena dana terbatas, maka luas lapangan yang
direncanakan adalah 1000 m2. Untuk memperoleh luas yang diinginkan, ukuran
panjang tanah dikurangi x m dan ukuran lebar dikurangi x m. Dapatkah kamu
menemukan sebuah persamaan kuadrat dari masalah ini?
Uji Kompetensi 7.1
1. Apakah persamaan yang diberikan tambah sepanjang 24 cm sama
merupakan persamaan kuadrat? dengan penambahan volume ka-
Berikan alasanmu! rena tingginya bertambah 24 cm.
Jika tinggi semula kerucut 3 cm,
a. x2y = 0, y ∈ R, y ≠ 0. berapakah jari-jari kerucut semula ?
4. Dua buah jenis printer komputer
b. x + 1 = 0, x ≠ 0. akan digunakan untuk mencetak satu
x
set buku. Jenis printer pertama, 1
2. Robert berangkat kesekolah x
mengenderai sepeda. Jarak sekolah
dari rumahnya 12 km. Robert jam lebih cepat dari jenis printer
berangkat dengan kecepatan awal kedua untuk menyelesaikan cetakan
sepeda bergerak 7 km/jam. Karena satu set buku. Jika kedua jenis printer
Robert semakin lelah, kecepatan digunakan sekaligus, maka waktu
sepedanya mengalami perlambatan yang digunakan untuk mencetak satu
2 km/jam. Berapa lama waktu yang set buku adalah 4 jam. Berapa waktu
digunakan Robert sampai di sekolah. yang dibutuhkan printer jenis kedua
untuk mencetak satu set buku.
3. Pada sebuah kerucut lingkaran
tegak diketahui bahwa: penambahan
volume karena jari-jarinya ber-
Matematika 219
untuk mencetak satu set buku adalah 4 jam. Berapa waktu yang dibutuhkan print
kedua untuk mencetak satu set buku.
5. Jika maka nilai terbesar yang mungkin dari
adalah. . . .
5. Jika a2 + a – 3 = 06,. mJaikkaa nilai terbesar 7. Bentuk fakto, rmisaaksai dnialraii :d4arkin(+ 6ak)+ adalah. . . .
yang mungkin 7d.arBi ean3tu+k f4aak2t+or9i9sa8s8i dari : 6an + 9a2 adalah. . . adalah. . .
adalah. . . . 8. Jika 8. Jika a + b + c =, m0adkeangan a, b, c ≠ 0,
6. Jika a3 + b3 = 637 dan a + b = 13, maka nilai
maka nilai dari (a–b)2 adalah. . . .
[ ( ) ( ) ( )]
Projek
Rancanglah minimal dua masalah nyata di lingkungan sekitarmu yang terkait
dengan persamaan kuadrat dan berilah penyelesaian kedua masalah tersebut.
Buatlah laporan hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas.
b. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara (aturan) menentukan akar-akar (penyelesaian) persamaan
kuadrat. Aturan tersebut seluruhnya diturunkan dari konsep (Definisi-7.1) yang telah
kita temukan. Aturan tersebut antara lain, cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat
sempurna, dan rumus ABC. Ketiga aturan ini memiliki kelebihan dan kelemahan
terkait dengan efisiensi waktu yang digunakan untuk menentukan akar-akar sebuah
persamaan kuadrat. Agar lebih terarah pembahasan kita, mari kita coba memecahkan
masalah-masalah yang diberikan.
1) Cara Pemfaktoran
Latihan 7.3 BUKU PEGANGAN SISWA
Temukan pola atau aturan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna,
dan menemukan rumus ABC berdasarkan konsep persamaan kuadrat untuk
menentukan akar-akarnya (harga-harga x yang memenuhi persamaan).
Selesaikanlah masalah di atas, agar pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah
beberapa pertanyaan berikut!
a) Apa yang dimaksud dengan memfaktorkan? Berdasarkan Definisi-7.1, kita
memiliki bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,
c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Nilai x dapat kita tentukan dengan cara
220 Kelas X
Temukan pola atau aturan memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan
menemukan rumus ABC berdasarkan konsep persamaan kuadrat untuk menentukan akar-
akarnya (harga-harga x yang memenuhi persamaan).
Selesaikanlah masalah di atas, agar pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah beberapa
pertanyaan berikut!
a) A pa pyeamngfadkitmoraakns.uCdadraenpgeamnfamketomrfaanktdoarpkaatn?kitBaelradkauskaraknandeDngeafinnimsie-7m.1p,erkhiatatikmanemiliki
bentukkouemfisuiemn pxe2r,sxa,mdaaannkkounasdtaranta ca.x2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real
dabn) aAd≠adp0aa.btNeteriralawpiaaxkkidalasi upssaetlyukarinutgahndteyanapt.autkkaanmduenpgilaanh caagraar ppeemmffaakkttoorraann.pCearsraampeamanfakkutaodrraant dapat
kita lakukan dengan memperhatikan koefisien x2, x, dan konstanta c.
b) Ada Cbeoranpatokhasu7s .y4ang dapat kamu pilah agar pemfaktoran persamaan kuadrat dapat
Tteernwtuakailni saeklaurr-uahknayr ap.ersamaan kuadrat 3z2 + 2z – 85 = 0 dengan cara pemfaktoran.
c) Perhatikan masalah 7.2 bagian b), kita telah peroleh persamaan kuadrat 3z2 + 2z - 85 =
P0.eUnynetuleksmaieannentukan harga z yang memenuhi sebagai berikut.
3z2 + 2z - 85 = 1 ( 9z2 + 6z - 255) = 0 mmn =+=mnm-1n1=+=75=–1n127=5=2b= b
3 m mn×=n-2=5–52=55ac= ac
1 ( 9z2 + 3(17 - 15)z + (17 (-15)) = 0
3
1 ((9z2 + 51z) - (45z + 255)) = 0
3
1 ((3z + 17)3z - 15(3z + 17)) = 0
3
BUKU PEGANG(A3zN+S1I7S)(W3zA– 15) = 0 atau (3z + 17)(z – 5) = 0 238
HHarga-hargaa z yang memeennuuhhiiaaddaallaahhzz== −1177 ata−u31z7 =, 555. aSteahuihnigmgpauhniamnppuennaynelpeesnaiyaen-
33
lpeesrasiaamnapaenrs3azm2 +aa2nz 3- z825+=20z a–d8al5ah=H0pa=d−a31la7h317 −, 5317., 5 .
2) Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
2) Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Untuk menemukan aturan penentuan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara
Untuk menemukan aturan penentuan akar-akar persamaan kuadrat dengan cara
melmenegleknagpkkaanpkkaunadkruaat dseramtpsuermnapucernrma acteirbmebateirabpeabeprearptaanpyaeartnanbeyraiaknutb. erikut.
a) aA) paAypaangyadnimgadkismudakmsuedlenmgeklaepnkgaknakpukaadnraktusaedmraptusrenma ?purna?
b) bA)p aAkaphakkaahmkuammausimh iansgihatipneglaatjaprealnajdairSanMdPibSaMhwPab(aah+wba)(2a=+a2b)+2 2=aab2++b22ab + b2?
cD) apDaadtakapalaahthkkbaahimlauknamgmaenumrmbeeaenlmtdubakennpaetur≠ska0mpedaraasnlaamkmuaaabdnernakttuuaakxd(2raa+t+baxbx)2+2+=cba=x2 + c = 0, dengan a, b, c
c) 0+, d2eanbg+anba2?, b, c adalah
db)i laAngpaankraehal sdealnurauh≠ 0bednaltaumk bpeenrtsuakm(aaa+n bk)u2 a=dara2t+d2aapba+t bd2i.tentukan akarnya dengan
d) Apatkeakhniskekluuraudhrabtesnetmukpuprenrasa?maan kuadrat dapat ditentukan akarnya dengan teknik
kuadrat sempurna ? 221
kuadrat
Matematika
Berdasarkan Definisi-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan
ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0. Untuk a = 1
ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c - c = 0 – c
22
cb)) DAappaaktakhahkakmamu mu amseihmibnegnattupkeplaejrasraamn adainSkMuPadbraaht waxa2(a+ +bxb)+2 =c =a20+, d2eanbg+anb2a, b, c adalah
c) bDialapnagtkaanhrekaalmduanmaem≠ b0ednatulakmpberesnatmukaa(na +kuba)d2r=ataa2x+2 2+abbx++bc2. = 0, dengan a, b, c adalah
d) bAiplaankgaahn sreelaulrduahn bae≠nt0ukdaplaemrsabmenataunk k(aua+drba)t2 =daap2a+t 2daitben+tubk2a.n akarnya dengan teknik
d) Akupaadkraaht sseemlupruurhnab?entuk persamaan kuadrat dapat ditentukan akarnya dengan teknik
BerkduasaadrrkaatnsempDuerfninai?si-7.1, kita memiliki bentuk umum persamaan kuadrat
Baxe2rd+absaxBre+kradcna=sa0rDk, adenefniDngieasfini-n7ai.s,1ib-,7,.c1,kakditiaatalamh mebmielaimlnikigliiakbniernetaublkednuamtnuukam≠p0ue.mrUsaunmmtuaaknapk=euras1darmataan kuadrat
ax2 + bxaaxx+22c++=bbxx0,++dcecn==ga00n,ad,exbn2,g+canbadxaa+,labch, -cbciala=dna0glaa–hncbreialalndgaannar≠ea0l.dUanntauk≠a0=. U1 ntuk a = 1,
ax2 x2
+ bx + c = 0 x2 + bx + c -112cbb= 220==– c 1 2
x2 12 2
+ bx + b – c
+ bx + b – c
2 2
2
(x + 1 b)2 = 1 b 2 – c
(x + 12 b)2 = 12 b – c
2 2
(x + 1 b) = 1 b 2 c , jika 1 b 2 c 0
(x + 12 b) = 12 b 2 c , jika 12 b 2 c 0
2 2 2
2
x = - 1 b 1 b 2 c , jika 1 b 2 c 0
x = - 12 b 12 b 2 c , jika 12 b c 0
2 2 2
3) Menggunakan Rumus ABC
Masih ingatkah kamu rumus abc waktu belajar persamaan kuadrat di SMP?
Darimana rumus itu diturunkan? Bagaimana cara menemukannya?. Untuk itu
BUKU pPeErhGatAikNanGbAeNberSaIpSaWpeArtanyaan berikut. 239
BUKUa) PDEaGpAatNkaGhAkaNmSu ImSeWmAbagi persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan koefisien2a3?9
mengapa?
b) Setelah kamu membagi persamaan dengan koefisien a, dapatkah kamu melakukan
manipulasi aljabar untuk mendapatkan bentuk kuadrat sempurna?
c) Bagaimana memanipulasi dan menyederhanakan persamaan agar diperoleh nilai
x1 dan x2?
d) Akar persamaan kuadrat adalah dua bilangan, dapatkah kamu membedakan jenis
akar-akar itu dari segi jenis bilangannya dan nilainya? Apa yang membedakan
akar-akar tersebut?
e) Temukanlah jenis-jenis akar-akar persamaan kuadrat dilihat dari nilai diskriminan.
Berdasarkan Definisi-7.1, bentuk umum persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan
a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.
222 Kelas X
MMiinnttaa ssiisswwaa mmeenneemmuukkaann rruummuuss aabbcc,, bbaaggaaiimmaannaa ccaarraa mmeenneennttuukkaann nniillaaii--nniillaaii xx yyaanngg
mmeemmeennuuhhii ppeerrssaammaaaann ddeennggaann rruummuuss aabbcc.. DDiihhaarraappkkaann jjaawwaabbaann ssiisswwaa sseebbaaggaaii
bbeerriikkuutt..
BBeerrddaassaarrkkaann DDeeffiinniissii--77..11,, bbeennttuukk uummuumm ppeerrssaammaaaann kkuuaaddrraatt aaxx222 ++ bbxx ++ cc == 00,,
ddeennggaann aa,, bb,, cc aaddaallaahh bbiillaannggaann rreeaall ddaann aa ≠≠00..
aaaxxx222+++bbbxxx+++ccc ===000,,, aaa≠≠≠000 xxx222 +++ bb xxx +++ cc === 000 xxx222 +++ bb xxx +++ cc === 000
aa aa aa aa
MMeennyyuurruuhh ssiisswwaa xxx222 +++ bb xxx +++ bb 222 === --- cc +++ bb 222
mmeellaakkuukkaann aa 22aa aa 22aa
mmaanniippuullaassii
aalljjaabbaarr,, ddeennggaann (((xxx +++ bb )))222 === bb 222--- cc
mmeennggiinnggaatt ssiiffaatt 22aa 22aa aa
ppeerrssaammaaaann..
(((xxx +++ bb ))) === bb22244aa42422aacc
22aa
xxx === --- bb 11 bb222 44aacc
22aa 22aa
xx111,,,222 bb bb222 44aacc
22aa
Sifat-1
PePPresearrsmsaaammanaaaaknnuakkduuraaatddrraaattx2 +aaxxb222x+++ bcbxx=++0,ccd=e=n0g0,a,nddeaen,ngbga,andnaana,,cbbb,,iclcaanadgdaaanllaarhheabbliidllaaannnggaaan≠n r0re,eaall ddaann
maaaka≠≠ak00a,,,r-ammkaaarkkpaaerrrsuuammmuauassnaatebbrccseubuunntttuaukdkalmmaheenneennttuukkaann aakkaarr--aakkaarr ppeerrssaammaaaann tteerrsseebbuutt
x1,2 = −b ±xx1112,,b,222a2−4abbc.
aaddaallaahh bb222 44aacc
22aa
c. Menemukan Rumus Untuk Menentukan Hasil Jumlah dan Hasil Kali
Akar-akar Persamaan Kuadrat
SSuurruuAhhkassrii-ssawwkaaar mmseeenbncuceaerhrmmapatetiirsnnaimillaaaiianddiisskkkurraiimdmriainntaanndaddpaaantn mdmiejeunnmeenlnatthuukkkaaannn sasitifafaautt--ssdiififkaaattliaakkkaanar.r sseebbuuaahh
Bppeaergrsasaaimmmaaanaaannmkkueunaaeddnrrtaauttk..aDDniihhaasrriaalppjkukamannlasshiissdwwaana dhdaasppialattkmamlieenankeeammr-uuakkaanrndhhaaanllkbbaeeirrtiaikknuuntyt..a dengan
SSiiffaabktteoareaikfkkiasuarirte-.-anak-kkaaorrepfpieseriressnaammpaeaarasnnamkkuauaaanddrrakatutadddaarppaatatttdedriisttieinnbjjuaatu?u ddUaanrritiunnkiillaiatiui ddsiisesklkerrsiiammikiinannaalnna,h, yymaaiiattusualah DD
== bb222 –– 44aacc.. SSiiffaatt aakkaarr--aakkaarr tteerrsseebbuutt aaddaallaahh..
11)) jjiikkpTaeeamrDDsua>km>aa0n0a,,nammtkuaaurkkaaandarppa(erte!urrsmsaaummsa)aaamnnekknuueaanddturrakatat naaxxh222a++siblbxxju+m+ lccah== 0d0a,,nddeehnnaggsaailnnkaaa,,libb,a,kccaara-ddaaakllaaarhh bbiillaannggaann
rreeaall ddaann aa ≠≠ 00 mmeemmiilliikkii dduuaa aakkaarr rreeaall yyaanngg bbeerrbbeeddaa.. MMiissaallkkaann kkeedduuaa aakkaarr tteerrsseebbuutt xx111
ddaann xx222,, mmaakkaa xx111≠≠xx222..
Matematika 223
BBBUUUKKKUUU PPPEEETTTUUUNNNJJJUUUKKK GGGUUURRRUUU 222555222
Selesaikanlah masalah di atas, lakukan tugas bersama temanmu satu kelompok.
dBa)aenbDehraaapspialatkkpaaehlritakankaymaaru-aankmyaerannpegenrktsuaakmmaunaahnaakrkauurs-aacdkeraramrt aapnteitrausranamtulaakainmn:eknueamdruaktadnernugmanusahtausrailnjuymanlagh sudah
a) kDamapuatmkailhikkia?muAmtureannenmtuaknaan yaaknagr-akkaamr upeprsilaimh adaanrikutiagdaractadraendgianatatsurtaenrkyaiatngdengan
mdseuendneagmhanukkamamneunruemmmiuluiskkaih?nasAirltuujmuramunslamhhaadnsaialnyjhuaanmsgillakkhaamldi auankpaihrl-aiahskildaarkrpaieltirisgaaakmacaraa-ranakkdauri aapdteraarsst?atemrkaaaint
b) Bkaugaadimraat?na syarat menjumlahkan dan mengalikan dua bentuk akar ?
b) Bagaimana syarat menjumlahkan dan mengalikan dua bentuk akar?
cc)) DDaappataktkahahkkamamuummeneynaytaatkaaknanhahsaisliljujmumlalhahdadnanhahsailsikl aklialaikaakr-aark-aakrapreprsearmsaamanaaknuadrat
dkaulaamdrkatoedfailsaiemn-kkooeeffiissiieenn-kpoeersfiasmieananpetresrasmebauatn? tersebut?
AlteArlntaertnifaPtiefnPyenleysealeiasanian
BBeerrddaassaarrkkaannrruummuussAABBCCddiiaatatass,,aakkaar-ra-akkaarrppeersrasammaaaannkkuuadadrartatadaadlaalhah
x1 b b2 4ac dan x2 b b2 4ac
2a 2a
a. Jumlah Akar-akar Persamaan Kuadrat
x1 + x2 = b b2 4ac + b b2 4ac
2a 2a
x1 + x2 = b
a
b. Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat
x1 x2 = b b2 4ac b b2 4ac
2a 2a
x1 x2 = b2 (b2 4ac)
4a 2
x1 x2 = c
a
Berdasarkan kedua rumus di atas, disimpulkan
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real
dan a ≠ 0 dengan akar-akar x1 dan x2, maka diperoleh
224 xK1e+laxs2X= b dan x1 x2 = c
a a
Berdasarkan kedua rumus di atas, disimpulkan
Sifat-2
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, dengan a, b, c adalah bilangan real dan
a ≠ 0 dengan akar-akar x1 dan x2, maka diperoleh
−b c
x1 + x2 = a dan x1 × x2 = a
d. Persamaan Kuadrat Dengan Akar-akar x1 dan x2
Jika diketahui akar-akar persamaan kuadrat x1 dan x2, maka kita dapat menemukan
persamaan kuadratnya. Sehingga permasalahan kita saat ini adalah sebagai berikut.
Temukan aturan untuk menentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x
dan x2. 1
Selesaikanlah masalah di atas, lakukan bersama temanmu satu kelompok. Agar
pekerjaan kamu lebih efektif pahamilah beberapa pertanyaan berikut
Menag) arBaahgkaainmasniaswkammueankeamn umkeanngkpoenrsstarumkasaenbukauhadprearts,amjikaandkiukaedtarahtudi eankgarn-akarnya
akar-akar yang diberikan?
dengb)a nAmpaemkeatnefrakaatitkaann rruummuusshhaassililjujmumlahlahdadnanrumhaussilhkaasliil akaklai ra-akkara-rakpaerrsyaamngaan yang
diinginkdiabne.riDkaihn?arapkan siswa dapat melakukan hal berikut.
Jika Jdiikkaetdaihkeutiahaukiaark-aakr-aarkaprepresrasmamaaanankkuuaaddrraatt xx11dadnanx2xm2 amkaakkiatakdiatapadt ampeantemmueknaenmukan
persappmeearrssaaanmmkaauaannadkrukaautdanrdyarata.tnaByxea2r.+daBbsxear+rdkacasn=arkd0a,endfienndigseaif-ni1nai,s,ki-bi1,t,ac amkdietaamlahimlibkeimliabnilgeikaninturkbeeaunl mtduakunmau≠mpe0ur.msamaan
kuadrat ax2
++0,cbax=≠+00,ca=≠x002, +⇒⇒de ban xxg22xa–+n+(bcxaac1,x+b=+,x0acc2)xa=d+0axla1 h× bilangan real dan a ≠ 0
ax2 + bx x2 = 0 x1 + x2
ax2 + bx + c = = b
a
x2 –⇒ x(1x–xx21)xx–+x2 x(x1 – xx12)==00
x1 x2 = c
a
(x ⇒ (x – xx12)((xx – xx21)) = 0
– x1) x – – = 0
Sifat-3 (x -– x1)(x – x2) = 0
Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah (x – x1)(x – x2) = 0.
Persamaan kuadrat dengan akar-akar x1 dan x2 adalah 225
(x - x1)(x – x2) = 0
Matematika
a. Berapa jam waktu yang digunakan mesin jenis pert
padi.
Uji Kompetensi 7.2 bbb... BBBeeerrraaapppaaa jjjaamm wwwaaakkktttuuu yyyaaannngggdddigiigguununankaaakknaannmmmeseeinssiinnjenjjeeisnniikssed
nauDaa2ryknycr4aueyr-ppajenaniaaneekakgdgntg2(laaira.pgadarnTdpkgti2+pgiaiecegAlexdudn2i2ur2ninukt)s,nugaaaa-dakmkmrakamp2a214 3-ne23154aannxaa....esna..... d(kinsnqm+niaiibm0JaAPkjbpaUDJnlnmJpPDp2lsapsmkmjAtke+raei...adieauue.jeiaa5kkknunieexaemkeu.seeiktibumkdaelenx rett27658siardariaitadgraanauuppBBmadni+smainasu1esssji=)srr(....diupgiih.unuaaa!raarmi-knag4seeBdbrnauakj-nppamdda5kmymmmrrpygae0b+acduPdbdatadapJuJjnkeeuep.aaii-akmtneeaikue..ai=iikia.nadaaauyaaranppatneynl75698adgnkkaitapihaaaipenaaaarksudanasaa(ritgayn.....ndiiu4aax)0prhaenutpnnBpnndaaansSyFCagpxn2aAaag2ppnltj=mjagjn.kbtgapaua2amaeebdPagile√a+=JHuJpeke7568akK+s(ugaidanjdamdmSn1n2dmmeriias.amrPaarneekue....sejbhiankkmhdaadaist2iamiiukkpaeaabkldebbrdtne.aaaasl,taks4aaiawpeitujms)klmpBxuakaaaiwuCFarnleiu–bPdndm2√i.puwbAiJuJaemalahnaa6esmdksrtralaadakadmgmaii.anre√+meahrnaa--masbataakklnda1hdaadpU-r1apprdjaan4udkaeiemtwjuitke2eaanaaaaitums)cgra4mpinekaaBphk0aeaatha,FCubsrtaa.√nAnslkmxtnaanpdpaunguatmaaadmsnakattaiiaua0ibkn=niieee√t2(ttadtriunh!maasaaetndkcsrcnaxdaur.Duudaqta2inrusrtykfnean,hdak+ermuq0atl2lypcaira1kiki4raagkabujuiwjnaaeyrpt.i-lanak+np.p,eadjpankea+kk0(j,e!ingyanhiiai4aalpnaeimmegtahdanmkadauqaatm0Tgiknigduammmk2tygxdnotlapg2gbl(aiklhpiaaa.aai.in1rnetn)eaa.apsdagemjra–atuxlnedandteeeda+r!mTT1a2s0gjawna,sinTndrptukgaantspunDignnn2kl+gEreamppimeeni1i+0gnggiaakiec,eaugb2kaamanggglalggAlmneex)didudigyjna2taatki2kgkdhdskamamrxagggulcarar2atndinaetudmiktahn)-waaajaiseuutr2tkaaad,mmeniiilnuxgalneraauaaaitn.aik=ilnlla.-DnddrEikkraa=aimu+gkaaan2kiiimdgkpmngkmnibbagrd.annnluaakkhamug2pabaaa0ygdianaagipre-:naaa4.eg–nn60ggadaaanpstdrn--xaamatia75698hna,siedrkruesaxn.alBDsielsEhd(akran.im.....r.iinsrkaianaqmbait+dnnslwri+ggaii.iibyimtaatanaakgi√ln 6 5umkybdPuu+re756J9uH8J.a.a56987hnaddmt7568jrk25apied..auiisaenea75698....n.i.n.B......iidl sxe.kk...am2npaapsingrdpaaianrd.....t√magni.s1gi=saadi)ebe(udagiupBgiiankFCnaPdtikPdJHu√J!√sAiJuHJ.bdPstud=itJuJyaPdsgJuBldnnerktnnuPdlajtiiJuHJiiaa.dieyiiaaaeunm√an.iieia.aBe0enisalkknsaaa3akkaadiiaaajnidakkpkpnnpben-ardpiradtatbkknepetr√aldaanmnsaatdpkgsn+aaiudaiuapturnaaeaaeipbuFCaausFCbans√aapBaikuaaA.ir√k√FCuaAligpa√aasuapkACFanksrmt√4imlagkAitlBilaetabdukitiaa√x)aak√aettlanbupsyehe√anasgsdd√xsd2dsyphadmsapa2dknph2sdnbdeemafderpnreaaaaakaeaai2emiilae1r+ei=aeaieubrbik+iub.iju2essnatl.knk.blriusbn..slenmalbakmP0rpi,mBlnierseiimsahianiie+gapaageiihntgumbhpdynmbagdihehtb0asdeedndhatkfnbehduoafdagaefaaaanaxkua–aaralk1uam2mai91apeat1ra1modutamrenasssntknklnjtjrasnaktnkaoua0nnk,+09ka0w3a,me,aaai0btnlra,apealgaipggnupggbppnydautalu0kginttin0i08mnmnnnhi0gk2nnohaa=uouaoaacag4mnegnahaaaahnhuuim8diiitttdohidmrkmdrhdntnumarllasandjnkgnsdlaaamsign=l1u0rtaaaaeaaeaaaal!iaSttawaadscancaemnugahaaakgntkannknirn,n5uuiaannin,DkeirunESqnk0arhDnanigmuaighmgiakdgkuad0idgibmpdidndhkel.d,nahoaddaDhdagnsa(ajkhaya1gaaraa0aau.:baaaaadaeSmhmataaladmakadamrmuTatahniddl5ummur.taDarkkrrEaBpanakkpDurimulraEDaDnarnEmiimakDn.inimE.baaan0iehknimlikaunbineaieabka–haldnelbeaaB:dgl1mgas2ar.j0.aaktb1naart:tdgaa2y:aanauhingnnSianaurkdaak1h.n.?ehndaBag5rkuuuarhnk.udg..kkmmrkitidkalDna.i)n....nBnd.aigl0juna.lnaa.ankg.imnske.edxardiaarad.i√tldnegi.20h.agkgbtai.in.aid2aaduiiminlidn?lukniindu.a√uat.hdinudnBan.dtBiuildkiut+tm…niigtlaukniakrn.aBdn.aimlBneen√ild.aBaaailiegrbanrigdasrgktp√atriarar√kg√4l2aih√ininpiuigteaaiibbiaamtr?keni√kauk√upaxkle√sasetsthikkkurthBlneetr…inatauanknaeraneauamihtenessweao+nss.inbinnntbektdaartnaaernlgsmaarumaululB.ebaabardahnmuneakbsua2nrrpgskssatk.lBkseihmlBeebeaasBleoheaempiueapaugbpaeyasusarsanlunhsssbenlrdbeeyeaeanaabedeaaiaamaataaiagrlutra=itusbupannykirssnrknunarssuhigaih.iragahaeianaaanmoengagaibpykbpanyybpiyhnnlknhaskgglhhulaaaardaauaaeaaaaemguagggionnkninjnknsnarssknhknhuuskagmesleagamagenuiggaggoegaagnkyruaninkuannhkuhnukllhuhuaauutmrimuagikommonsugnsonannnn1nurjtuhkuaualSlaeaauknalugggag5akuuak1rrtukaknnpDnnnSninnuahkak0hunn5uhntreuieamnDgsdiaga10i.arb0gsg1rd1nrStahnSpakndaSaknd50ia.kkBab5uu50 m50505m0mm
50 m
50 m
50 m
50 m
maka nilai terbesar yangnmakuanng√k9in.mdeHasriainsaidlapjleaenhmi.sf.a.k.ptoerratanmdaari√: 9. Hasil pemfaktoranadarlai h: … adalah. . .
BuksenaHebntruaiadkspmaiamlnepgjseaeintmnmagngfwajaiehlaknikntaiotskguraasnkyaneatdudndiudgapiraerdiitiki:ugapnunatndusaike-.buah
lah. . . . 6. Pba.d 9a. sekolah SD. Bentuk tanah adalah..... tanah
dan ukuran
dapatmdielnihgagtipliandgasgaatmu bpaert.i padi. ukuran tanah
kan didirikan sebuah sCekolah SD. Bentuk tanah dan Berapakah
ukuran bangunan sekolah agar
bar.
luas bangunan 1500 m2?
Berapakah ukuran bangunan sekolah agar
50 m
luas banFgunan 1500 m2? E
E 4.22pe6rsAamKaealansk1Xu0a0dmratnyaD. SehinggBa permasalahanBkiUtaKsUaatPiEniGadAaNlaGh AN SISWA
DB
Sehingga permasalahan kita saat ini adalah
Masalah7.7
Projek
Himpunlah informasi penggunaan sifat-sifat dan aturan yang berlaku pada
persamaan kuadrat di bidang ekonomi, fisika, dan teknik bangunan. Kamu
dapat mencari informasi tersebut dengan menggunakan internet, buku-buku
dan sumber lain yang relevan. Temukan berbagai masalah dan pemecahannya
menggunakan aturan dan sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Buatlah laporan
hasil kerjamu dan sajikan di depan kelas!
2. FUNGSI KUADRAT
a. Menemukan Konsep Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat sering kita temukan dalam permasalahan kehidupan nyata
yang menyatu pada fakta dan lingkungan budaya kita. Konsep fungsi kuadrat dapat
ditemukan di dalam pemecahan permasalahan yang kita hadapi. Untuk itu perhatikan
dengan cermat permasalahan-permasalahan yang diberikan.
Masalah-7.5
Untuk pengadaan air bersih bagi masyarakat desa, anak rantau dari desa
tersebut sepakat membangun tali air dari sebuah sungai di kaki pegunungan ke
rumah-rumah penduduk. Sebuah pipa besi yang panjangnya s dan berdiameter
d ditanam pada kedalaman 1 m di bawah permukaan air sungai sebagai saluran
air. Tentukanlah debit air yang mengalir dari pipa tersebut. (Gravitasi bumi
adalah 10 m/det2).
Gambar 7.6 Sumber Air Bersih
Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui, apa
yang ditanyakan, dan interpretasikan masalah dalam Gambar 7.6. Gunakan variabel
Matematika 227
untuk menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa
saja yang terkait dengan masalah yang dihadapi sehingga masalah tersebut dapat
2d)iseBleasgaiakiamna. na tekanan air pada pangkal pipa dan diujung pipa dan aturan apa yang terkait
m asdaBelanehgbedarneanpkgaeaanpdbeaaratianknatyenartasanerabyulaati?nngsehbaarguasi kamu pahami untuk dapat memecahkan
berikut.
31)) DAappaaytkanagh tkerajmadui jimkaenlueanstupkeramnukkeacanepsautnagnaiajiaruhyalenbgihkleulausadradrialruiams puelrumt upkiapaanmenggunakan
aptiupraa?n pada pertanyaan 2)?
2) Bagaimana tekanan air pada pangkal pipa di ujung pipa serta aturan apa yang
4) Dtearpkaaittkdaehngkaanmkeuadmaaennteenrsteubkuatn? besarnya debit air yang mengalir dari pipa dengan
3) mDeanpagtiknaghat kraummuusmdeenbeitntzuaktacnairk,escaeaptatKanamauirbeylaanjgar kdeilSuaerkodlaahri Dmausalurtkepliapsa V ?
menggunakan aturan pada pertanyaan 2)?
54)) ADpaapaktkeatehrkkaamitaunmlueansenpteunkaanmbpeasnagrnpyiapdaedbeitnagiarnyaknegcempeantagnaliarirdamriepnigpaalidre.ngan
mengingat rumus debit zat cair, saat kamu belajar di SD?
5) Apa keterkaitan luas penampang pipa dengan kecepatan air mengalir?
Alternatif Penyelesaian
Alternatif Penyelesaian
………A…1 ………… h2
h………Su…ng…ai………
A2 Pipa ……………………
V2 h1 ……………………
………………p……1 ……= ……gh…………
Gambar 7.7 Ilustrasi Posisi Pipa di Dalam Sungai
Misalkan: Gambar 7.7: Ilustrasi Posisi Pipa di Dalam Sungai
Mp1iasdalaklaahn:tekanan air pada mulut pipa
pp12 aaddaallaahhtteekkaannaannaiarirpapdaaduajumnuglupitppaipa
h adalah kedalaman pipa di bawah permukaan air sungai = 1 m
ph21 aaddaallaahhkteetkinanggainanaiprippaaddaarui jpuenrmg upkipaaan tanah
hh2aaddaalalahhkkeedtianlgagmiaannppeirpmaudkiaabnawairahsupnegrami ukaan air sungai.
hhAVV12211 aaddaallaahh kkeecteinpgatgainanaipr ispuangdaairmi peenrgmaluirkaan tanah.
adalah kecepatan air mengalir dari ujung pipa
aaddaallaahh pkeentainmgpgainagnppeerrmmuukkaaananaiarisrusnugnagi ai.
VA12 aaddaallaahhpkeencaemppaatanng apierrmsuunkgaaainmujeunnggapliipr a
Vg2aaddaalalhahgrkaevciteapsai tbaunmaii=r m10enmg/adleitr2.dari ujung pipa.
A1 2ad2a8lahKpeelansaXmpang permukaan air sungai
A2 adalah penampang permukaan ujung pipa
Apa yang terjadi jika A1 jauh lebih luas dari A2. Diharapkan jawaban siswa sebagai
Jika A1 >>> A2 maka V1 <<< V2, akibatnya V1 menuju 0 (nol).
DJpaKit1kaeaK+brsaeeiDapKdDgK JJKapAJKpa•ntciit ti11aitag1ae1kkaaeaeaapkaKaKJpaKmKip+h+brsarabrs>e+itrrsta1eeaee1eksAireaaebi>deKAAdntygntocenktd+ADJpKacrsanaaic>paag(eia1b1leaptagiie1aern1aghpee1knaeadaipphAnaKn>>ecipAthr1h2+1dpbrsahetga1iterg>earagt>e>1eea1epe2ygyiirtoa–1keindarp+Ankt>mpygah2>cto>rkag(>eaatolm+katiiea+nagVahaee1aagga(n1>1eplanmtra(nel>rbanAAhn1eihp2ahg121annhhtoihgek>esgnatnra+2n)ears1>h2aaek112eAa(2r11h–2gl1ian>paga==rygmna2tanonhe=rmkam=pd+mmt–ina2ien>ap–VA(higgn1leagh2Vmpka12mrine2rVhlreaaenap1e22ma1raphhanaiduiV1h2se22ggAn1Vh–22ah1mggi)njrna2rp1g1ea2eikmrlkeaaa2tarr21ghhrii==n2Vm2sg1anhh.2–=inaemi=drpn2sa<p+r)drVh2ggme2)arraamoepkagm2VaraagVpe<==i2VdVh2l1nagghhV===aim=ppal1slmn2=aarm=depi12r22a)ar2ie<a2e1kaahh2rig2ia1V12n2sjl1arnggVa2d)ar2==lhriiekannVpV=a12am=psaag(dpd<i11+2<g2hrk2iVa==dad12n2=am=a2kpreg2V2(lka2VaapV12a2a<lp2<adV2agVkiabnVpaa12iranVaVddle12p+2,ra2r2pi<a1+2<<+raridau21n22a21i2pglp2lr2Aa2aaarapVre1222l=1r22dVinaVas<sg(2dahiVasnVp<nke+inrVr1adk<e1a2+rh2(akVe2pi2<2apnniigpaVg22akn2<bama22Vdg<prb2adbj2,r2ai,aps+gk(dararhuaig(2hp<la2haai<aVu22kaiene2aan2(=aargk2kVVuag(2kVtpaVrprp2kaenkpabkgsalg(l=g(2nd1k2hhihVaiaV21a2aaihnki+ien2ka,2(aiairkhuV(+2aykV2aprplpb2pphb2pklbha2pea2kd=raaanaeaalph,=r2aaiaa+22,ima2apriu1ena+ieapdVlparkeVn1p2hVatiplpe12t=rVadgnabeli=npa–=aaranniipea2kana1aaepa122hpkienpbih1=lap2aaydn1y2iaiauhndhaahhanp2bhianiaaaadami2uaapaVdjmahpba12VVphDJaKpdaaVauVt2dagjl=i)ddaVlVgdhl=naad2ieVtuV–ta2p1a1avnu2en21aaglk=V2nhdaaea22ain1=Vth2lK2ay12aahn1oga12huglh+=a2hnnhld2brsayhaang2u2hnm1aaaudshlmm2jeh1ano2hmea2dayi1uhVpjuhmdhVj1iA)hnt1dudVlceVnuua–madidvenVe–)dim2e–ap1agnvae1ei=Vljpnao0ign1=in1u=lVnue1aadhgipuuohnu–hrauh>eleutromjnhm(uuihpji2laj1u=j1hae22rsnu2nu>uuljuu)ghmjygi)ti)oak)uAem+uvuepnoumrvanj>n22am0(2l2nau0enlajo2gno)gpheyngnn)eegg.unnung(auAlil.1ah221(osognnuhppjuahoapagnDnhpjiaun2lmgl–omuiraiunpmlii)ogmm)ip2rori)plmhp0jpyealh)eVahggu0slmae)amya.aiekraa)(a.21ahhpiasnsnan2r0(e)amrmsekiaansagnognri==anbm=aam=ppga(ralogamymsenm)gVkkaaayVllma.rpa12moaaa)di12e2ladnmaaa2r1.i2mnlnleaargbnainV)mndg<+rasmak.epgjpm2gaaaVk<ra2adeamrlaaadrmawr2ie<kakiln2karsgbniaraaabasesrga(ephiVgnkbateken(rkVpeua2bpraa2bdkrbaggrkelaad,e2ni+saiearuaranplabrraaessr=rmanlsdatesappkdeanwi1ua2hiarrrbteniiagasarakudpbsrakwsappadnksaaahaaraaa2mieaanntVarswVtnprudtrglk=ndbaku21saa.i2ahga2aryaaaahkhknarannantmt1muadVudwVgdnag–a.iebain1=alanaugahmkmrmujwha2tuujdb)mbeuavn.ia2ankobgrnrgut
wDaeDkbteiubt.iatiraiyraynagngmmenegnagliarlidradrai rsiesbeubauhahpippiapaadaadlaahlahvovloulmume aeiraiyraynagngmmenegnagliarliprepresarstuataunanwawka
q
. . . . .
q =r(2q=qq14===q=rr14((2=d2(q=14124=14()=d(11442r14d(,22dd2142=d22)d.dg( )d2a)14h(2,.(d2d ),2a)2d2(lg2)(da2da(phh2g2dge,2aah)dnhd2gldia(aa)ghp)mhamlhe(ad(p)dpnepha)aiaep(tleane(pampdnimnprgpheeiapeaanapenmpdnammaitaaiipanempapdmpmragemaaa)patppplnebanieaaiaprgtneghpnenargpargbp)Agpipebipp)pipnippeaiiptappriq=a)uabpaa)kbeba=bnebelrebtir(re2unrbebrb14kg=ebreekbnelnnaien1tnttrunduutagukkt2nkkku,)adllkl(iliri2lnunani,lganngigs2kn(,gdkkdaklggpauaraakeahrardrnadanasaana)r,nnplma,l(,a,eunplhplnaul,ueauasdadnlnamauispiasgsaaapemmppmpsnapeieanepeppenmntganaeteaanearpnmammrgaipadpnppimppapapgailaaipaapnanpnp)hadaggaig)panAplbagpaieihappprdabAiaapelaaaanddhtaauadAlklaaahhll
=
DebiDDD=t aeee=ibbbrriiityt2tDraa=a2neiiirrbg=r14yiytmyaa14aanneinggnrdggy2mmd,aame2leni,dnnrgeggnddamaaagdllareiaairidnrllpdiagadriahlaapardlraihidiarpdiprddaiiiipanmippaaryaimieadppdtieeaaiinpnkrtydeayaaprinadtniatppidaynkiakaaypD)lantaaanetm)dakbdkaaiaflatnualnaamndmidgra4asfluyiflaaunabmmngnegsrgfifskuuibmunnbetgeregsinrskiigikubaubtelteriirrkiudktaurti pipa dinyatakan dalam
q(Dd)eDqq=b(e(id(dbt))ia=t42q=ira0(di(yr)a4y2=n)420adg(n02,gmd)42mde0)2nde,Rg2nd,a,)gdlddia2r2Rl,id,rd0Rdadr,aiRdrp0,iidppia0pd0aidniynaytaaqkta(adkn)and=ad(laamla2m0fufnugn)sdgi2sb,iedbreikrRiukt,udt
(1) (1) (1) (1)
0
KMaiinnaK KMntaageiiniknqnnaau(nqMKbdntKgt(ea)aeidknuayinn=na)uiaaumnbn=n(natggeeuy(trkneuay4b2aumnnpabe0nu42gaenranakr0ugyusabapnme)ynlbadrageaske)2ndurdsar,aguabaan2drplt,esiuaarsbddakuSlehasaRurraanadtmi,lsuRsaidasSald,rhultiuadkeaamrrastdSiaui0raaluySrt0BhakmeiuaraamtasarSriyataaluKeBatdtmrkeiaaaatorariaratnrnaatyBeatduBalritaaaoaeyytrtnrrnaaaaaBuunnttdlgganiayyaorattpaanl4ayaetnneauuabrggllnaiuhyytpgylaaaeeadudnnbrnibilggpkuhgeyeeprlardnaedtelniaabseirpgkhllaibeuhealirdnnhltdeedadakinbhliaapdkgianrehdeiani.rknetkkeanaSdahenlgsinukkaoaa.dmnaenlekynkganeadasaktgkanoleeeana.nntrnyagkgakeasaeBkonntanayg(rsa1akoa(t)enn1tga)kt
mmoottiiMmmmffMKndoooyaKMiianttatiniirinaaffiaiftmmninnnenndkyatgryoogaeannkattrikntyiingeatffauaetnknkbbtsedrnyaaauanoraaaibunnnyrunjyiauagytaeumtsgkamykanroaeatanengamteijnynmrugrMuagejugkbeutspraepiaomeugntabanrmpjaakieaMkuglnaariseagkmkgakianmaneniksalteaiaaamnslsmnMbldiruukgteaasaiiaiidkmblurnttidaauiuaauakibarrlntiitntiSauhkieghbauriakSnadusrhmsaiaseutliabiirntbalmaletsaiuidrtmMibknketsalkdauiaertaloedanikebraarnbntityriuaeyaieanfartrnBaknrnnsiystedileaagtBayalatbibrarrmrkaaiaeaaiauatnarndrarttkdktstbaayaieaaeiedoatnadaorrmbbiaunntianeeaaatnoaanyeradrutyamnsltraaslanaasaatulryeemayyalmatnarhaaendauyydjnrannyaaupsimaaMganggalregnnaainaon.ahkagpgttptdledAeiateeerimfmemapnrrbsldrrleilPeeoaliae.asuubnhsurtthpmeAiiludicfuknudhdimuaiddandriPliktaipiidopiu.udkkpjretieeRciAueiiiprnk2hf.runnatetdiaekaa2bPAasaranhsj-u9htluepRjidaaaiaecalnuhalandnnunidnbkpsagekikkads-una,unajaneaeRrkngnnnnynaaa.n.giagjbnsni,ekak-ul.tnjeanaereskikianknoseadgsika-nsky,ojiyegeoaanbank
mmiostaimmmflmmniooyImmoosttatiattiiiaooiiflffmffkmmnttniiyIdedIffiotyPastmainatiaaaduiraymrkfililailnkataierekyIknkPmitrtaaiigPauenakiimimlurlknynaaiPnlakaneiaaysnkPitsmgtnoaanouamgitsnalnPlajaoaigugabknknP,kjtgkaignaugaehaemmangkttwtPgaoabaemMa,anMktattimgehnakmfMiim,wanninetoKgaabiammit,nnliaanskfilahigoemkguilnwbtktKiiakaoikgaakfaaatagiksbiblrekfauaKPaatabiiabbrtaKbaamktaakmmudgiulabusuaalPoodet,unuiantebaettauakmdiirkarntksffnsaesguaieinaPerad,nnlPIbsbiaatuahiaeduiyilumksraakbaataiitrukkunaiunaudk,,endgtshkiabuylPidaadeadaiaselrunanhbaniainurnaaltniestgsmaannsaarhlnrnoaysrtmalyaaaaghyaanwrnarnanmuiagmannay.gsyaPknsnagalanaaaMeyyalwdhttaanaaitlaoai.rdeaMmdnntisartiainaMgenssfaddlilye,erawnnaaioasjKnrhyaahle.mtiaadkainasnsfmhlMim.goeudkdrjKktioaeiimooaMi.rrkactfkatitiiiiobAil.folsffukPK,taetdAiaePadbjKiPfkacaafkauuduilkapPunlucalcPK,uutukuapueadnaecakkukkrakculsnunjuiRekelRPPa,bnjaakaadeRuibkkbanstauuun-uiPbjsda,aea-unin
misalnya memiliki makna bahwa kita sebagai manusia haruslah mawas diri sejak kecil, d
dengan songket Minangkabau merupakan suatu hasil karya tradional yang perlu
dipertahankan. kekayaan motifnya ternyata juga memiliki arti dan nilai kebersamaan
tersendiri. Adapun jenis-jenis motif dari kain songket Minangkababu tersebut
diantaranya adalah motif Pucuk Rabuang, motif Itiak Pulang Patang, motif Kaluak
Paku, dan yang lainnya. Motif Kaluak Paku misalnya memiliki makna bahwa kita
sebagai manusia haruslah mawas diri sejak kecil dan perlu belajar sejak dini mulai
dari keluarga. Pendidikan dalam keluarga menjadi bekal utama untuk menjalankan
kehidupan di masyarakat. Setelah dewasa kita harus bergaul ke tengah masyarakat,
sehingga bekal hidup dari keluarga bisa menjadikan diri lebih kuat dan tidak mudah
terpengaruh hal negatif. Selain itu juga, motif Kaluak Paku juga memiliki makna
lainnya, yaitu seorang pemimpin harus mampu menjadi teladan bagi masyarakat yang
ada disekitarnya. Ukuran panjang dan lebar kain songket cukup bervariasi. Ukuran
panjang dan lebar kain songket cukup bervariasi. Sekarang mari kita perhatikan
salah satu jenis kain songket yaitu kain sonket motif Kaluak Paku, dalam hal ini kita
jadikan bahan inspirasi mengangkat masalah matematika terkait fungsi kuadrat.
Masalah-7.6
Sebuah kain songket dengan ukuran
panjang 9 m dan lebar 3 m. Di bagian
44
tengah terdapat 5 bagian daerah yang
luas seluruhnya 451 mm. Tentukan ukuran
400
bagian kain songket yang berwarna
merah dan daerah berambu benang.
Gambar 7.8 Kain Songket
• Coba sendiri!
Pahamilah masalah di atas, artinya kamu tuliskan hal apa yang diketahui,
apa yang ditanyakan, dan interpretasikan dalam gambar. Gunakan variabel untuk
menyatakan masalah dalam matematika. Ingat konsep dan aturan-aturan apa saja
yang terkait dengan masalah yang dihadapi sehingga dapat terpecahkan.
Cermatilah beberapa pertanyaan yang mengarahkan kamu bekerja lebih efektif.
1) Berbentuk apakah daerah bagian dalam kain songket. Bagaimana kamu
menentukan luas daerah tersebut?
2) Apakah ada keterkaitan konsep dan prinsip persamaan kuadrat untuk menentukan
230 Kelas X
ukuran daerah bagian dalam kain songket?
Kenyataan hidup terkadang berbeda dengan apa yang kita harapkan. Seperti Pak
Ketut yang memiliki Ijazah Sarjana Pertanian telah lama dan berulangkali melamar
pekerjaan di kota Jakarta. Ternyata, Ia belum beruntung memanfaatkan ijazahnya
sampai saat ini. Akhirnya, Ia kembali ke Pulau Dewata dan berencana membuat
keramba ikan Gurami dan Udang. Tetapi, Ia mendapat masalah sebagai berikut.
Masalah-7.7
Pak Ketut memiliki jaring jala sepanjang
60 m. Ia ingin membuat keramba ikan
gurami dan udang. Kedua keramba ikan
dibuat berdampingan, seperti tampak
pada gambar berikut.
Gambar 7.9 Keramba Ikan Gurami dan
Udang
Misalkan panjang keramba y m dan lebarnya x m, serta kelilingnya keramba k m.
Tentukanlah ukuran keramba agar luasnya maksimum!
Coba amati gambar keramba yang diinginkan dan renungkan beberapa pertanyaan
berikut.
1) Bagaimana bentuk keramba yang direncanakan Pak Ketut?
2) Adakah konsep dan prinsip matematika yang terkait untuk menentukan panjang
keliling permukaan keramba?
3) Adakah konsep dan prinsip matematika untuk menentukan luas daerah permukaan
keramba ?
4) Bagaimana menentukan ukuran panjang dan lebar permukaan keramba agar
luasnya maksimum dengan jaring jala yang tersedia?
Alternatif Penyelesaian
Penampang permukaan keramba dapat digambarkan sebagai berikut.
Matematika 231
Gambar 7.10 Posisi Tambak
Karena panjang jaring jala yang tersedia adalah 60 m maka keliling keseluruhan
permukaan keramba ikan adalah
K = 2y + 3x = 60 ⇒ 2y = 610 –13x1 ⇒1 y1 =2303– 3 x 4
562343423
Luas keseluruhan permukaan keramba ikan adalah
L = panjang × lebar
L=y×x
1 1 1 1 y1 =2303– 3 x 4⇒ L =1y ×1x 1⇒1L 1= (230 3– 3 x)4x
562343423 562343423
⇒ L = 30x – x2
Karena luas permukaan keramba tergantung nilai x maka persamaan fungsi luas
dapat dinyatakan sebagai berikut.
1 1 ∴1 L1(x)1= 230x3 –3 x42, x ∈ R, x ≥ 0
Deng5an6m2en3ga4mb3il b4eb2er3apa harga x, diperoleh beberapa harga L dan disajikan pada tabel
Dengan mengambil beberapa harga x, diperoleh beberapa harga L dan disajikan pada
berikut. tabel berikut
TabelT7a.1b:elN7i.l1aiNLiladieLngdaenngxamn exrmupearkuapnakbailnanbgilaanngbaunlabtugleantagpenpaopsiptiofsitif
Nilai x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Nilai L 0 54 96 126 144 150 144 126 96 54 0
SekarangSdemenkagarraiannkbgiatmnataugraiankmnitbialaagir-kanmailnbaaigrxkrdaanafinkgLrafyfuiaknngfgusiandgLas(ipxLa)(dxa=) t=a3b03e0xlxd–i–atx32a2sx.p2adpaabdiadabnigdaknogordkionoatrdinat
dengan bantuan nilai-nilai x dan L yang ada pada tabel di atas.
232L Kelas X
200 P (10,150)
175
150
L
200
175
P (10, 150)
150
125 x
100
75 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
50 Gambar 7.11 Grafik Fungsi Kuadrat
25
0
Coba cermati harga-harga x dan L di dalam Tabel 7.1 dan grafik fungsi L(x) = 30x
– 3 x2, x ≥ 0 memiliki ciri-ciri sebagai berikut.
2
a) Kurva terbuka ke bawah
b) Grafik memotong sumbu-x pada dua titik yang berbeda yaitu titik (0, 0) dan
titik (20, 0).
c) Grafik fungsi mencapai puncak pada titik (10, 150).
d) Garis x = 10 membagi dua luas (sama besar) daerah di bawah kurva,
sehingga garis x = 10 dapat dikatakan sebagai sumbu simetri grafik fungsi
L(x) = 30x – 3 x2.
2
Berdasarkan grafik fungsi di atas, luas maksimum diperoleh saat lebar dan panjang
permukaan keramba ikan, yaitu x = 10 m dan y = 15 m
x = 10 m dan y = 30 – 3 x ⇒ y = 15 m
2
Luas maksimum permukaan keramba ikan adalah L= 150 m2
Perhatikan kembali setiap langkah pemecahan Masalah 7.5, 7.6, dan Masalah 7.7.
Masih ingatkah kamu contoh fungsi kuadrat ketika belajar di SMP. Coba temukan
model-model matematika dari setiap permasalahan yang merupakan fungsi kuadrat.
Kemudian coba temukan ciri-ciri dari fungsi itu dan tuliskan konsep (pengertian)
fungsi kuadrat berdasarkan ciri-ciri yang kamu ditemukan, serta hasilnya diskusikan
dengan temanmu.
Matematika 233
Definisi 7.2
Fungsi kuadrat dalam x adalah suatu fungsi yang berbentuk
f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0.
Misalkan A, B ⊂ R, didefinisikan fungsi
f : A → B, dengan f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c ∈ R dan a ≠ 0.
Dengan : x adalah variabel bebas atau peubah bebas
a adalah koefisien dari x2
b adalah koefisien dari x
c adalah konstanta persamaan
f(x) adalah nilai fungsi yang tergantung pada nilai variabel x.
Selanjutnya ujilah beberapa fungsi berikut, apakah merupakan fungsi kuadrat?
Latihan 7.4
Apakah fungsi berikut merupakan fungsi kuadrat?
1. Misalkan A, B ⊂ R, didefinisikan fungsi
g : A → B, dengan g(x) = c, ∀x ∈ A, c ∈ B.
2. Didefinisikan h(t) = (t – 2)2, t ∈ R, apakah h merupakan fungsi kuadrat?
3. Misalkan himpunan A = {x | -2 ≤ x < 3, x ∈ R}
B = {y | -8 ≤ y < 20, y ∈ R}
Didefinisikan f : A → B
f : x → x3, ∀x ∈ A
4. Misalkan himpunan A = {x | 0 ≤ x ≤ 3, x ∈ R} dan
B = {y | 8 ≤ y ≤ 26, ∀y ∈ R}
Didefinisikan f : A → B, dengan
f (x) = x2 + 3x + 8, ∀x ∈ A
234 Kelas X
UJI KOMPETENSI-7.3
Didefinisikan f : A B 1. Pekerjaan Pak Suradi adalah pembuat Talang Air. Ia mendapat
f : x x3, x A sebuah Talang Air dari lembaran seng yang lebarnya 30 cm deng
atas tiga bagian seperti terlihat pada Gambar.
4. Misalkan himpunan A = x 0 x 3, x R dan
B = y 8 y 26, y R Bantulah Pak
Didefinisikan f : A B, dengan x x menentukan ukuran x
volume air yang tert
Uji Komf (x)p=ex2t+e3nx +s8i, 7x.3A maksimal.
1. Pekerjaan Pak AiSr.urIaadimUeJnaIddKaaplOaahMt PETENsteeSrhIh3i-an07d-g.32agxpa Sumbu-x dan Sumbu-y
pembuat Talang terbentuk persegi panjang
1.pePseaknearnjaamnemPabkuaStusraedbiuaahdaTlaahlanpegmAbiurat Tal2a.ndgTeitnAikgiAra.(nx,Iay)dmtiearelgentoadknaappaladtaOpgeaArsias.ngaPdneenrmghaenamtpiebkrusaaanmt aan 2 x + y = 10
dcmasreidbleuenamhgbaTanarlmaannegsliepAnaigrt lydeaabrnaigrlnelmeybabaaarrtnaanysatsie3gn0ag leggbaarmirsn-bgyaaarris3b0tegrcaimkkuldutre!unsgtaenrhamdaeplipSaumt bleub-xardnaynaSumbu-y
yang sehingg
panjang dengan diagonal OA. Perhatikan Gambar berikut.
baagtaiasntigsaepbeagrtiiantesrelpiheratti tpearldihaaGt paamdabGarambar. y
di bawah ini. a) Jika L menyatak
xx Bantulah Pak Suradi x daerah persegi
menentukan ukuran x agar yang terbentuk,
30 - 2x volume air yanAg(x,tye)rtampung lah L sebagai fung
maksimal. b) Apakah L sebaga
merupakan fungs
0 dalam x ?
2.BaTnittiuklaAh(x,Pya)kterSleutarkadpiadma egnareins tgukdaengan persaa)m aaJnik2axL+my e=ny10a.taDkaarni tliutiaksAddaiebruaaht
2. tduTtieektirpgitnutkiaaakgrrnmaAiajsnanA-pyngd(ugpaixxnbre,digursesyanamat)tggemagagatnakaearkarrsdliinievsmal-tuog2agarolxkuauln.sr+maiplsteyaeOtrde=hAagaa.1idaPrga0keap.rlryhDuiSaasrtaunuirkmggsiabnuG- xamdBababnU)a)rK SbJUiuekpnAdmPrmaiyaeEkpebrlaGuaarusLttuAemk-a.ypNgakmahiGaxsknp?eAeahnaNlniynanLSahjgatISagnLkaWgfassuAnteeyenbbargbaalnusegggianaasttiiuefkrukbnpfueugenarnsdtsuigerkaxsgit.,i
daerah persegi panjang
yang terbentuk, nyatakan
Projek A (x, y) lah L sebagai fungsi x.
Rancanglah permasalahan terkait gerakan pbe)luArupadkaanh eLkosneobamgiaiyafnunggmsienerap-
kan konsep dan aturan fungsi kuadrat. Buatlamhepruepmakeacnahfaunngmsi aksuaaldarhattersebut
dalam sebuah laporan serta sajikan dxi depan kdealalasm. x ?
0
BUKU PEGANGAN SISWA 253
Matematika 235
p=niep(raByyTTmaddabsddeaeee==eaaas4mmm2bndallffMM0RReaay((arauurhhxx,,alakkaaaad))tnpddaayyahsse2mDad==)nn..aaakbd.fxaBBellaq((iau yb aaa2mDdagg2rptnn(leeia,iGnMd.hhR00.rraredy aarrenaax ga..h4r22),aabarrhing77ffytalsriGrrMt00ReaMMiiaDGaadyy..aia=sttkk2mDadm11snfhsii.yn,aakRrhardai.aiim2Dida11ykgtyyaaBkaraleeasslffad(yr,aads.aiunuuraa))nnfafse.mleddakxaiGMaihh0FRipallgnnaidyrynxxkrBklaakkalxlnaiG.Mdd4eheR2gguaaaeb,aa22ryhpp2n7aasanem,,mrFtr,b20htssh0FeMan,paiardhaaynn.a,0taarsgaliixxx1isu.tfiseattgua.bkeaeadkryt.a7asadpii1im2Dadm∈nrkkauuynfssacBeMddk.nlsalalkre.tdia.aiiyhinuua1sakk)ggiiniaBk∈mlegadlrRReeiaRnnha0FaahalipKaad1uuarsrnnysrcabksleda ,,rneyyniG.M,ddah0FleReupa rrbaiiyaapRe7draiuc2dxxaaaagxnymrrb.rhereMuahnbl,KadK,sarnhaa.7,aatnnttakayim1sr≥atiaeaaMhtanegladettdty.pudntaaasauaimr1nskkabuyfissdcddg.sea0kannrg00h≥aryyaaaini1iidaaikaayiiiscBa.tklsadglat..rdindaannehalmK0iuydaasMrun==mdatkdemmrybr..ah0FaahrleKpdkddppiaraauakaaiaMynliBb.enaeeuabeeufftaaaeansprt7ntausaat((nnimybrttaeeaMlltrrnhaaiatnxx.ndeetaaagmsalayikr1slluiiddt))guerrtaagmmaadrrntaaaamia1kuiyi7asdclahhsralri==nrnaynkppaiutkkiaas.rikmadtdaxxmir8aga7iyniiahrlKuadsdrappi7,,natn((k.y,aayyleanaa8reemda--aaa.pyygnmtauaanaumyn8lb,dtalakhaaaandenntauakga,kamikaareiadtiiheartmgun44dita22pittddmnakuti7atlddkuuerlcg00aeraanaapaagaasik.nii7imaextarmrllm8iinayyenntattugaa.dsrrp,maetde,mbl8yempahhradde==aialdyliu,xanaary))lelitianlaketaaaaipae,nthaagffanxxeahryrtialikxxh((tdmramhyenitalatdgiaxxpk22diaaaudddralmgetaa,,tp))epasaiahri7auapaaitxllrryieianpertd==exxtiaknno.nip,muixebmrr8ripahap=dltstadpoy,l((suee,pulaneybbeaeadeaaeaalhylaifxknbahereerRRtalapbhik(=dahaoeiatdhpgussx44ah22rauiiuaddrlaammietaa)atdfpx00ddsaelapaaua(rrrllhapyeapeh=haapdxssiaenlimdxblreraapddyrriea)ehm=tappo,p(iiamruheblaeerbph=))=dasianlixoyplabbufxpggeeeaphaaaxx(,alhaeqii(aaafshrrrx4mx2aaherb22ttyi(xddraas(hni,,)tdh0xoaedaapffaauradaadaxxpa)f=dsiip4lims2)nliaiipaakkudetlaeadppyearre=0unnaninh(arahr=lbeaerpb)h=affsgyylbaRRo(ybruauueadbahfsxaagnselqa(i,,asfuhx4nnim=e2ee2annts)r(d(qahaxx,nbskhagg40amx2ggdfaxraaddf(arqxugifss)4u(02)dl2aitpaairiiaxd(sadmmpr,n=k0)nnldiad)ie00=aheaedxpkkg)=ny)rbeeRi..(=bhreafuusabrk)fnnaxisqu(i,ibtt=uaaeun2at)ggfxy(nqaxRi,ddnsu4ma2gd2aatkaadg(adxrr(g,,nd42ll0)duniaaasraaii2smxxgrr0rr)attigl,aiia0=sadrd42nyetR.i=hemrk)n0ayR(,ab0yun)kgfaxetqx(i,.uaaguan2tn(dxn,nd4l2agyd)gia2mgxrgd402ra),aia0dsmrrn0let.ia0=i2gnryet,R.
xRdmnn=itg,cau22Byy1155443366smex(nk))))))))))iReBB==raemkbUUnmkkAAffffyyPPDDBBAAB4mu2de((((ig0uurii0aaKKxxxxnaaiie==ppaappkkeagllaadr))))ggkmppaaaaaandpUUiiaddffr2ByyT15436aarra====aamm((gemaapkkrrkkppiig))))))nttxxe)e==naagtmmPPkkeaaaa((aa((eer))43 61fB52?mb•b2ByyT15436ttpgxa--triiuaaannnnrr EE))))))kAfffPyDBABaaaett==e))))))o2meTddabbe kfhh ne(((==uaaaannr,urbrieixGGxx4rln44aimuii=22bpapeegnnskkkga((eltb44exaaa22Ikmkkgg)m))gkAfffyPDBABapdds00eSSaaaea--APBDBAfaanpirhr(((AAduauf00aarrikku2Byy1T5436adur==a=ambraanikkaexxxppufgMMai(=gifapapaairkpaparkkkmmpaniooflr))))))NNtupaax2akByT1y5436lmu)u))eooykgaeaa==apgffirmgpdaaaakaaaRapaa((ai44(ge22gnnnnd)kan))f))))imaiitanPPgtbammtaperauu===eamam-r))==trGGiannn(kkrrs?ar,00kpkssrkkAfffyPDBABfnaag))aptk=iaigmrebte..xdfnbkiha(((aapmffxxuaimeekppeakammatyxanuna((auefs(kAfAAefyPfDBABrissmm4r)xxxxxk4f2euuaii2=aefkgpapt22penppri(((k-ankifu(aiooyimatnn4nliaaa2rkagaiu)22))t=ri,,gbka0dxxxnnnput0rr=Siaieear-aaa=hNNpapedaabakpaiaeehkaknng,,jjaadnaaakl0tfark))aappenk)ka))raxxb==a=mmngamggkaap4rnp4aMt2aaan(ni2mmfeaaspairneexxaakfkg0rmkddf(pkodi(tf4eeaffaafuu2txkxx2ByyT15643gianssroy===amiaagSS0daf0Snimx(a-knnpafkaraakuuubb4.aa((aka(2rrklennnkpii22)iookaa0yi))))))arPktaxmhgakutupe))ian)ek-ma==a--paimaMonankn,,IInknnbeeraaa0f((aocc,(sddeRRmatt)af)yyto=ukkakkrm.SSatngubed=ntpboyRRhxn-aioorrfxaafixxaeaggnngpeemabmrfaunrrn4s2aankakAfyffPDBBAsmann,,uu4xrtoon=4iiurg2seii2P2aeedmsrb2uunp)haaWWnnn)rr(((sssaaffou(aakktk4daaann2kignu02,usgedd,aarpmmxxims)n4ar0dmmxxx4u0e2Siiiaa2-miitt=i.enfgpapaggnjexn,kkjrfaafx(aaet4kpgg.l0par)yaim2k4ddxps2kagoanaa)x))mngaangkasma0dpaxRR0apSiuMaAAg-aaam2aeann2rpexappip0iiemitdoankrro0rrssefarakagrxtisa2,rpoya===nk,amaknnamsnpfMenn(ymaaiikfaaoomabuu4npkee2nrnm,kjinn2aspooidppipea)00iPhtxpaxmuuoaayxum)ga)uatth-afam,nnnkggmiefkmmRgkkba4cra0ex((a)R(2sneoitnne)aayee)kaknniePaa.nxmgasutaRup)nk)ax--orxfxeerrkiddeeffanknnpaamnrcntbx0nSrr,sann),asmiduka2oxito=((ubbdgaar.nh2oedgu2brnnunphxbbmmeddpaafxa-coaekap,mea2nxxxaMRnnco2,diraRmx,ffrtsmmsnuux4ryn4uegk2aki2,ar2aeegnn2eekRnpeeen,aoraja))foxii(ageykt4maggd)ia2mxpmkga2,,uuxgam,ndgasrn,duxR0dokki0eddSia-annrmPnattprexenxxinr,ajaamrrrrksk0eiira)iknxp==xxlsxdmnragampxkn.aakeimaapggMsynmnnaan∈iouagabunrexmff0nmnaaiy2oogpddey0daxhnousaaaaiuoykaaffatuugR-fggnnpg,emgkfRnbt=a.p((4cRni2tbbinne2aaayoiignmrrnnnskakihuPaanmRuuRunn)ne)aaorker-=nxdkkfa,aekeaioRrucn0nn,uugRsean0t),ayduyopfi(kbakapr0a.nttggnaRn,bnbamrxdpkkorat(xfxbmmekenngpxmmabngkxdttn,.adenffframx,xdsmuu44eomxi22nugssmmxum2kkfnuuge2eeeenprmu)uuaaier=eodkefgragyandx)(aru2,uiigdramx,aa00mksnRd(ebanreeddlhhgdntnnxp≥xtennbxmin,dpaaajaareedgrursui=yndrx=d)iblxpasskkxumfmmngaauRguukka)ngamaiuaofnnteggpunrexeefmmai0aat)aiayadrrdspe0g0uux(ahsuaanakfa(aauuafaatkgdnrnrngaisskomgknrllubn(bb.xcxa0i=nb.yiaei2nrnoaapni0in=knhloonnkaaakunkii))atkaaker=-gdnfng)ena,ameggaagkuRn.rcufddRtieyghhnd(abkakaatttamgaknssRabkrmamfn4u2dpoarer=llgxdmrrfxxfae(ooxtrmrr(m,fnrannf=b4,iiudaumeeio2ni(bae0smumaaknufg-nneenee22bnaamiiaradpauk)iuknnkgxanx(nuittdudfrauumnnxa0nu,,ffbbkmeapdegedhnrftttfnguegeeeexnxaaksgg)aiaemruiiggi(uyd=(lstkaugmnntiimfmaar4kauRkxxgda2kkcnrlls)mnanmtkuu-gnt??xpmexfi4aua)2arrrffdsisaau=kggittlssaleianaafau0aggtp((e)ndoahsaiuufuolaibucf(nnhh00ff=buueyaierauaadnxupgi0xxnonasakai)numeafattkhguukkuukkemnksggamgmkg(n.muiidmmo=br4a2a))ike2hnntrunnRRtddgesnmmraaankannk,laker=rxdmfoas(oinltrnbrcupfa0ime4tgb==a2(basamiinmtkfongaubb-xntgge2i)maaikb,,mdpeaulnmget(ccgiaxetaat)usifdunf,fbea40iuh∈2iesmtdkhtmuulkssummf-nseeeeenargruee?ixxl(()ireixnnuoaghke(srnskiuiamiia0simexkukkdeldxhnratrrug?xnmk2xfahiu4aaayyenn2urfaaeeRigitu=lsskt)mmkkmubn2uaa,faukg(n)natsuugumglbe??mcmfhafgnn4gmu0a,2aiaddu44xammnonuu22anaiia)aatafuauuxrgkklexdstgaiilb?c(ggigmdu0i=gb)00abihagfnaaat00xgaaitRonnddnnassmie)ncnrn2aaklkrx(eeeogaukggaarnfuaudshfuddim,e=hrateikkmaxtbgistrg2ra,aiknnlddiuuirnxmmknaaaoc(katruit)irmrrfunmi,fb)me4aay2usamtxsmRmkdu-me2emggaeeimmkmannegxaa(unpngiknt)?nnifiuainbR,fba0=x))keldixhtnntruaggttpbet?gnura,geayieeufeacigit??assnbbkiumkaaam2nxuakkggexx(lxaanutsttunmr?g?mmnhmef4xua(,2nafaxr4gitaaueekfmu2sddaro22i2mmaRakaaugu(iksuirlbgcsim)hfua00krr,,)rr,yapare0aaxxnRgolndnnaaemksmi)nnmauuksseeagage?bbi=mdxxenmdr)in=hkmrfti4xRmmdu2dbeestgmtnnnr,dliuhrxarocaaeiaargur?k0iame=bbi0aauaosnmbttggegge2mnff,aianex(aprrnfnecuegkagunt)uindrRuu,fbluu)kmuntsigmgtarrrggeRRaenergxad(ayniiaggerk?kbnimaarknniattRnsasxgxkgalxrthtrrda??gem??naamrry,,pfeaeffa4egitmua2sdggginmok2ma2a)frfaa(nutgiii?gbnhmexxfr,u0rf,faa4imrss0axum?lukk2nndgbeffuuugsxkaeiktuiergabtiiixm0drii)rnkm0kaaaexnRdeeonm2mnbnnadkkthfiaeaagdrdr?kkr,rga=bkmiiglnafbtgggffemn,adrpisa00kceagbuniruffffxfuusuursa)22unsrmggtkneemRaeeuuuuux..(phngiirak?ngaabnantiR55)gbxarntgrrfagf?nnnnnear,ryddfergae?agbomku255muaugxafatirrgaggggg?Rxnmrrr,rfsgsaie4kmlun2ndoa2nftmafaasirssssskieibgi?xr,ir0r,fkig0aalnnageeiiiittikhsaekaiegbxxkdkrfsbkmskefgffndrhi0aiaififfuruuuiuabkrfgggfemRuuua.krpgaangnauntukku)rnrggtnnnR?er,dd0gfrg?angbanfffuutgaxartirggga?xruruur,.fsfgsaekagaao2fmaaaafssisiininnxri,rfsddskiklniittifksikiegggbixrrikkkekhaa0sssafffuukkbfiittigfuuu.r0
mbu y?
236 Kelas X 255255 2
BUKU PEGANGAN SISWA
BUBKUUKBPUBUEPUGKEKUAGUNPAGPENEAGGGNAAANSNNGISSGAWIANSANWSSAISISWWAA
255
mammaaaanann fuffunungngsgissii .kkukuau.ad.adrdarratatt ddadanann
kppeperesrrassamammaaaanannfuffunungngsgIissniikgkIukanIuatnugadgaadrkdatarteratamkttkebemamlbiba,allibi,,abgbaaagigmaaiiammnaaannaammemneegnngggaggmaammbabbraakrrakknaann gggrarrafaiffkiikk pppeeerrsrssaaammmaaaaaannn fffuuunnngggsssiii kkkuuuaaadddrrraaattt dddaaannn
memmmeaemnmfaaananftfakaaaatntkkaasnnifsasitiffaapttepnpecenencrcmeerrmimniainnnaannunuutnnuttkuukkmmmemeemmpeppreeorroolelleehhhgggrraraaffifikikk pppeeerrrsssaaammmaaaaaannn fffuuunnngggsssiii kkkuuuaaadddrrraaattt
yyayanangnggmmmeenenynyayataattakakakanannybabebnesyegaysasaranabnrnrganygnrybayubaaa.arruu..
nengngagalailrliirrddadarairriippippiipPapaeaPtrePthterPeeaghrerrtgaghriatkhnaaiIsnaatkntinufitgtnaatkiunautnkatnfgpnanufekgngunenfncmfguegubrsnmsnaigilgiiskn,ksiauibnkaakuguduanaritaamuddtkraranmaytate=ymmype=f=en(rgxfofg()l(xaexmh=))gb==(raarfk((iak42np042eg0rrsaafmi)ka)xaf2xun,n22f,gxusnxigskRiukRa,ud,arxadxtradta0yn0a,,nmygyyeabaamnannraggugn.mfmmamaeeteeknnnnayyynyaaaattattaaakkkkaaanannn bbbeeesssaaarrrnnnyyyaaa
arnaanadnaddaddadalaalaalallahlaamahhmmytyya=ttab=a=befb(elfefx(l(bldbx)xbe)eebybp)=ersbeei=iUbdr=a=pirksUdbifeetriakna(udPeekfnbsfnf0r(aute(ebstat(uiynu0txb.e)riat0triuhtraiyk).tr)nrt.)a=kgana=ytyaab=uiaiy=bikraiaed0knrfraae(nb0et.uynyu00buyubeg.aark.)efnanrkianuurta=gngmnnuagrpggarpmab0easaidmnaie.renmninnsUkangeydagiuedminlanaarianlaialnlgndataigeiiumrriyagrmtaaxkladxetleidmeairrdybturrdtaeiieeek=(dirbrdbbxprnuiaefai)ee(g(rpr(rprxxrraixaaiip)ai)ikn.)lkpppi=ipaBppardpiaainepn(iapi.idps,napa,.aaaBadmi.a4dr2.Jlrn.i.0aieiBiepyBpkJisJatpeeeieeiaxakris)drrpoaadenx(albrx2ixey.n,bit)hxaxey=Baprani=deiir0kipRsedly,a0aa,abaenr.,ixmnibn,Jtgymiyidatkam=ak0iaaipa,ekardfienya(rxergaxydonbay)da=elgliiaenedbtrn0mbhgiidast,gieaitanmnmrrajimiyailiayakiaeprertkaiainapnanaknyangaagdagddda=dnatdaaaeelaalmlalirblfiblaiglra(rlearaiehaaxhshtmndandm)dtaraygayundayitrrnayrtriaii==agsali=abiabpprdpefjfefi(ii(alid(plkpxpxlxba)aaba)a)erhnei=tr==ttreieeikrfkrrfgf(ugg((u0at00aat.)n.))nnt=tut==uun0nng00.gg..
Udnatulakbmesbateranbbyeearlaubkpeuarrainnkiuldati.aimxetderib(xe)ripkipaan. ,Jidkiapexr=ol0e,hmnakilaadieybi=t afir(xa)dadlaihsayji=kaf(nx)d=afl(a0m) =t0a.bel berikut.
Untuk beberapa nilai x diberikan, diperoleh nilai y = f(x) disajikan dalam tabel berikut.
xx 00 11 22 33 4
yxy==fX(f(xx))0 000 1313,5,511 221144,,00443 33311,,466 55466,17
y = f(yx=) f(x)0 0 3,35,511 1144,0,044 313,61,656,1756,17
RR,,xxx000ddadapapapatattddidgiigagamammbbabarakrrkakanann ===(f(x2)0 =()(x22, 402x0R), )xxx2,2,0xxdapRaRt,,dxixxgamb000ardddkdaaaaanppppaaaatttt dddiii-ggaammbbaarrkkaann
GGrGarGfariarfkaiffkiikkppeppereesrrrssaasammammaaaaaanananfnufnfufugunsningggkssuisiaikdkkruauutaaadyddrr=raaatft(xyy) f(x)4= 4 digambarkan
Ggraasfmseiebskbebabaagparggaekairaiisbnbbaeemserreirikkiabukauatu.ngtt.a.fiubnegriskiukt.uadrat y =
sebagai berikut. y
R)=R,)==,),(x)(x2x(x,2x2x4,2x,42x042x0000.0R.R.R,),)x,)xxxx2xx,D2x2x,x0,eDx0x0nD0D0egeRtD0naeetnRR,geentrnegn,hra,grhagmhanaanaadxnndedmxamxanmamppepceeG0SnSeennSucncrautGcmeumeGecmmeraGrmrebmmrahibmurabmnmibbama-mnuaykirduibkr62,n173-5426ib173n54aaa-a7y7nm0000k000000a0000ynknpr.0,.yk2610r713a45a,126a713g4572mak00Sg000n72m00n00r:000.y00an0a.y1ru:G0a11fgadg12miGkgr2ikk1frar:par:ifaar2bapeiaGkaG2kf1frude1fdfioir2rfipr-3iikkalsuikakpye3apnef2fh,pem2pigperi4fk3skrmessuera.PUdbeio4eoarfarnr3fee=bea3lsunnsm5lsugsbeur4kaenafatnah5fsa(hImyiumhaaugmmxtighn4r6a4ak)nasnssedg=tsapnaagi6=niie5ymeiaabaiskgaa=bp=rarbf(iytne5nafna5(aeukbubu=bxnfyfnu6rufa(faa4(ko2fe)noauffkxauxhurlh06(fer6andgal=)nxuu)nuanemar)pgspbg.rpgna==hgt(=iyaeatabk)ssagsrmnrry(siyk(iyxa(ais=iaakne2lnuik=ke,4==u2dbbikbif4a,unux2ltk44fioo220(uu.as(0affdgaauxxll00((iaiambddaaraf))xxaRhdxaaalrr=d)),be=bi)rattag)prrd=t=ae(extt))aaeyapx(i2trrxdiytb,yrrx(xi(e2im=42aakxke2,2ny=(=0rb,u,ru4ax2x0cifi4ox24=tx2t.n)(fekR0f..(pl0x(0ara,)axpxfmi)xnR(x)pi)RbRxp2x,=mia,=,)=e)n,a),d.)x0rea(x.i=(xi(xBpnn2kJ2x2x,xeRg,eu(i,4kr2ux4s,2gxt42xo.aan0a00l04r02tm0exnu..0RRh.xRykb,,))ana,)=xmxrixxxx)dkl2x02ax2exea,,x,,imbnx20x0xy0m,ipt=xeagaRkrrRRfioaa(,r,,xlfReiy)dk,haedxxxnxbigpsgirtaeajrmafi0skii
0 terhadap Sumbu-y, maka diperoleh sebuah parabola berikut.
BUKU PEGANGAN SISWA x 0 1 2 3 4255
y = f(x) 0 3,51 14,04 31,6 56,17 237 225566
BBU2U2K52K565U6U6 PPEEGGAANNGGAANN SSIISSWWAA
Matematika
BUKU PEGANGAN SISWA Grafik persamaan fungsi kuadrat y = f(x) = ( 20 )2x526, x
4
sebagai berikut.
y
CiriKKdMMN-caouieeinlCrerammivfni•Cs•••••iifaiir iCedsCulliliKKdMMNiiibt-airnekkiescaiiiarouignkriireein-limrbgiNxKMKMerKsKKdMMacrmmt-s-ixviiifuniaciuacimt2i=iuoufaouiirnkkiieediseeimlnuilllkiarerraiiiieruraimmtimmbn0ekkmvvndeisvifbfifanpgnkiekiiruaa-aaiiiudfafiimsuuddbi6seslrlrnltullsnulxriaiimniiiiuitmaiiisu,taaeimkkt2akgnneshekkGcenkkii-n-tmD-int6kmkiir6uas5gnageiiryiuaaiaaybmmndikrbsnntbtsssmaDxpte=s-=kiix.uaua-=ii=uiukid4yt2mtuuu(-i-6bte2’nll2r5ki5mtbrnkkufikiamnaimaakfis,(aknaaai2(-thDCGiuraaci0ud-yntbDix3mtmdg5apb–kd47y)aa2'pm’aakaa)-ay-auk4ka-g4.-usmurdDn0e=ldu=u-e41n=b=-uu6e6l=Ba=eauil4tsn2gr(3Caabamnr’,narmnt0shtabai’fns(aac:ilahcfiaG-'cm(-hDiimG-cit32ti(-t3-C-rgttGa0mmkyt5aaimx3y=15>aaaya–kayB47ka)e2ea’aAy)4skr2s=skmmDue.samm-26Dn'=0t7031e=045-410b’==-u=-=-(fr4B=t=2m(2004g2000tbi003i’(aatribbmb’t0nrkf’i(ti:alffci0a(yiaAtmfii2i((-tC-rGfy0i(bmk-gtCyr)ix0a=31'>u-ky–ix3yek1-4i7A)42ur’2a)knn1x=47)mu2’a7131525243466a)m2670130.54d0bn’02g4=00000000000001g.mf1b=-n0x=00,000B1bi00A=-isubag2afB003nkag2ixm)3(0aa0al’(pci:0ly0’2i(f:mmgldi()ak-udmGeikx)yB=-iiG1>knx-daRum)e1>A4rm21t=6d132geem1Aam4ri2am0A62=,3710mA45sutd0r’amb26713f045iiC0i’ax0'00t)000Gaia00fki-n(-ba00iy4000hni00k2inb65dt(22gn0ikadOiixBBmi0akDfkmmpigiaDR)4)2-uf5tmgu3-e)a4d(iiuu0=nxbO5u’0trdrir3unxi3Cmdvau2agaC1,amk(6Dd(,42gah--baCA1surmnf00,43)(AOisuxo))a)’7dsxkD’4,pixl44)d2a2xa5).daau(Da0(→d12--0C2mixdB(Be0r=ir3,2dd)3aRvxBa)tir,’atx6’i3ai5Re:(ba)ai5f0t=t3aet(dr--obiGh)iB)=isxCatk21tdrlaeka(xa)4iA2a4Crah6k’sRna6ks2m(aO260=7314ha45Ou,’d-ndfakDr00pa0001Ox00iri42(a,dy5Ak(Duvpa(420nb0a0y526713u0)r45art’a(fle0a,ava4002ax000,urx00prsR6issy0bhav0a2tnaf0,xaa0u6,(a)obar)gr)f01msxx,d(aloAsg)xa))asxybi)aal2mlxa)a=ar,aod2x12bmi(iRh=a2Atxlsi,xxdB(eu,aa)axisxxb(32gdta=aeab=4a2iBrtRsCsr,ea0(42ai04R3yRsssatr0aaad,xDCarsi42a5y4td,)=ul0aaaayx)diD0lgh2at6xa5xu,afihl2(txxr)au,xgihsx6)xafg2r(=,aixRsxr)(iRxs==x42(R0=04200)
x2,
)
x
KitamCKceueerKnrmrvySK •miat eiuanimCKlimnimktcdeukeaaeeirnSrCbamCKNnmnkmrvnymuuyiceeauiegeiei-mslngerrinlnrrnmaxinimkrmavrfgdiybyakafameaagifieiuetadninktkiu-nnnlalk-imisyiniiksxnguikfiddsgfgfknuraeikauiaidragfgrnnnkkstaanafnaiagugfiyigtimgnnkiru-mgsrikssgssiinCnariisiisifbnraffgffgkgfuekiiuaauyafaaukrnglrustintfinitCxnauaKKgk=u-akdg-u-figd,sms,udcfskpnriisnouiri0DirfaiknriDaffgabfkgaiurerf.ugfkdiat-kaiiuvtfnusDsuk=actnsus=tiyfayiugxafinisuggatufgerfkbduimsi=udbt=gpmrsiatnnerurei2iannria2tasakfgngbaarff-fgbd–kgtui(f(dbt–kassiuOsxaxiuxuksnryiiunyikuk4))af24(tixagkkkxaaaiuft0===m=daftasuutudpa,ciyaukprcikdanff0ae(agra(adn(ku=(adakng)ndOd=xrtxrgrdelatagu)sgar)aa0a4(422syadfia0atiayd=ht=i0i0tntrdkk,ytiti=kattagi0aa=(yur(eitfsuatna)kiamGuf))==ktgat(fd4n422Oux(xadxykrdOf0x0gk)2m2ar(e(i,,)=asaxtt0(m=bexin42xt0),=ymaf.)k)0b,y(=0ar(uuxxax0a(n)R7Rk)2al2(n)g,i.,ad412=gtxtnsxe4r>d2e30i.ar42dr(if:0hhtt0a0iGeaRatRytdme-d4)r2asamtaat)ne0uipexpff)rgriku2axhSkhx,Sakt2adua2u,nfdaxpd)m,iuma.tnaxexnxepbp.nb2mguucS,RsS--euuxixRRuxrkmtmma(edadxttbtrbaaneRiea)huunnur.rn-a=h-ahtxddxeanpaa(aardddantpbhaaaraaaaunppp42Shbda0uwoSramalpuaabmbo)dulbxi-au2xa,d-txdaxi saadntaaadRnsaaladhal
bgaaBryiUasnKyggbUaa=akanBnrygbKrgbKenPuiU0aasaagay2aani.EhiKrytaryaytg3dDiaGiaaatUsasr8=biensnnAccafneeyygnPg.ee0tNlgnyaarPar.E=a=dGmamlnnKDneuGyanneAr00iiesmAunnyylbn..=NeadkkbaaNelegDsDeanaaraaSfGlnlXgnnnheu(eassIgixAnSwenaenmgag)lglnbgNWganarareeaanaaal=tlnrntASuanfueflbgCKdNMMniakirIkiamkSwamsenebuiybeeemnlaWgafrefereaapRtKKdNMMemmbrumanuvenbraninreatAuan.lrouinahagiilieeiggadrnnlkhgllatll.Snergiua4mmiiiw2aiaienwsvadkkfnknssiebnmi0sSiaidgaaikiiiiiacgieiadsanrillemflankabarnantikiiankshataihytiiepkkaahuesruttyuiauiimtaal-nna.knptRiinragikimnisnatSmkekbxgdnrieritiies.sdxlSsrefmiinuuag2rbmugeripfiapmath2eremSfa,aafmnkuui4nu2tmgraealuuhkaitabrnaieaainbtktgu0rpbximnadmbnd-nahnsb,lycugpaeksnahukycuiaaialg.uaDfinbshuulmilag.a=fenlypgu-airci=aaamnpkxRibsnaSsa,enets=a=hhsfnScSiirexyDuegtaftf((bimpmfaalbryreanuafx(thba2aufmdseefailkniaxh(iestbi,)inemai2nu=ta=lnyn-0tdny=r)iaibgetwfc(sl-n=a–knakgu)rxiaaguabtesbrusif=ningiaugbfki(urnrghi=n2u4bt(amf0fingysxagiababgau(gaa-at–kk4)is2ad0aahyaapinxRlpnstcuennhpmnn0r=ih42g4binaa=abkyadpwaebn4g=2s0aadnbndietgaa0idanedaylaa0mrlcfiemaagm0rrnraiacba(lyyadkkiaraiatxare=ca>iltbaueurhfaindi)iaih)rbe=amitnaambmf.r0i)wah0rkbiehbx=udmgigkmfarirfee2xabSirnuinisb(anphyn,ar(urO2axiegenyaintndieian,xymm)gnh=krlbsgdir(nu=aaaxdiili0sugas4a=2)huaanni=afaib,tdgfrri0(mgdkRp(mbiadad0uxab(xgipufeokRfhe2a))i)a(baya)antoiatnxsu5ewehikdebad=d)isgd)46tt2rarw=tnriaeienaiaarhaid0kxtnpa=rn(frtihieaadr2fihalietiffOatardeu,2mkl(rarikaaanxtim5aaknxsud42u)h)rgeih6p(aygatafea0r0Onpmxushpkv=nnSb,j2ionRauajeu(0,aSbagysdk0rnm)adsxemvius)iu,dytanniiambi=a0naxmefdud)2fensb=adRu,a-mrgajfuxaea(nmxad-btxnetdftgxaee)(enagiitsxnfrsyaaja.hiy)Rbgaa=nuta=Preadka=,d=msneuiufaayrf(aneu(praxdx,enbi))trSgyjauasa=aauh
BBUUKKUU PPEEGGAANNGGmAANeNnKSySueIIrlSSvidWaWikmAAiesnifyaitn-gsigfuatngrsaufimkbfunxgpsiadkauatidtrikatOyy(a0n,g0d)ite7m0ukan. 252757
Cerminkan grafik fungsi kuadrat y =D7f’(0x) = 2(0 2600 2) x2, x R terDhadafp(
ri bernilai positif menj42a0di nxe2g, axtif.RPbeerruubbaahhadnarit766700e00bresrenbiluait diikuti negatif. Perubahan tersebut diikuti
positif menjadi
(x) = p(ers42a0mapa)enprxpxu42e2ber2f0,u42au,r42bhsx00nxpRaagh∈nem.xars2Sfunxa,iuRxeb2anf2xkc,au,ngmahunsxrxaigaaRfnensudynilRbnnRaefrjeyuanagabdrabntdgudsaeegkdbirriiruisaaauyibkrhyypbniaua==dyhy=bhaaaaf=ddrf(dyfid(xara(faxr)ba(arxinx)ier=t))ibgrbnse(=ayy=eiernrln=(nat=(4i2eiigl-l0falpra(42aifaio54213x45213(000000hf00000ps)pxioi)ko4)2t=sdixsfi0)pi2tis(ti,mcxeieffx2rete,msme42rnxa)lme0jemRaannxdhjiajRma2inaad,)dndekmniixeniangejcn2fanenau,eedgtjgnxriaiaRfamgdt.yti.siiPfifi=R.ySn.ekPrPf=kemu(ueecxabrfar)eau(naudxnb=rhbr)ajaataa(=hneht-dlarae(itnhn-eynyrat42gst=ede=0erk4r2bassfa0efu(pe(bxptbx))uud)Sxtb)tis2=iudea,dkximtyx2iu(iei,k-taklibxuauntuhtigi-42adx0nicaegdrr)maaxlfia2ni,khkxan
rafik
gai berikut Rte.rRthpesS.aereehdrScbuaaeabdprctagaeaShpraluhaaeiSnmanlubedgfbmneuakugrpnab-ikpgxukSas-abupixudnatmaby.dlaabaaynhdul-ag-6a6a-nsahxregni-bs-a55yegandbgr=a-a-ga44lfgrifai(aakbhx-f-i33e)ipkbsr=eiee-k-p2r2br(sueiakatrg-msu-1142ata0mia00banaef)nr1u1ixknf2ugu,22nystxigski33uRkaumd44areadntr55ajatyd66=iyyf=(=xf)(fx(sx)e)tse=eltae(h-ladhic42de0icrmerim)nkxin2a,knxan
y R. Secara lengkap bayangan grafik peyrsyamaan 7fu0ngsi kuadrat y = f(x) setelah dicerminkan
70 1tAerh2aBdap3CSu4mDbu5-xfa(-6d6xa-)-6l---66a65=hD-----55’5s54(DDe-C-b’4-’-4-4-’a43xC462Cg-B-’3a0’--3-33’2i-B5Bb-D-’A2’--e2-262-7312541’r’400)00A000i-A62-k37x1054C162731’451’-00u000-00-2100000100316542’325164y03t,0000000000000 00Bx1-A’211A11A2AB-2631R451’200002B0022B30C333C34CD44D14D54fA(xf5f(5)(625x5Bxf=)f()(6x6=x(=63)6-)C(=(=-44(2D(x420402x4x254f02(00x)f())6xxx)2=2)),),xxx=x2(x22,-,,(xxxRR42x420RR0R))xx22,,65 432 165 4 3 x R
x R
60
50
40 21
C’ 30
B’ 20 0 1- 2- 3- 4- 5- 6- 06 0 1- 2- 3- 4- 5- 6- 07
-2 A-11’ 00 05 06
04 05
03 04
02 03
01 02
01
-3
f(x) = (- 20 ) x2, x R f(x) = (- 20 ) x2, x R
4
ah dari bernilai positif menjGaadGmiabmnarbea7gr.G1a74t.a1:imf44G.:brGaaPfrrieak7fr.ifu1ku4nbfu:gansGhigrfsa(aixfnf)i(kxdt)afendurangsngreasgbfiriakuff(ipxtk)ednpdceiaeninrkcmegurirmntaiafinikafn(pxfe)(nx)cerminan f(x)
g1:(say4xGen))=braaga=ffdgri(aakxa(lfi)-faiukbh=nep42g(reis0kirCtsuf4e2(ayirtCtr0xhCtemCmi)••eKMK)ai-r irrchidrhiuoidaKMKxeriia-nKar-reimcaad2picvuo)da-fCtKKeoin,naieiacrreianmrfsselpxiivrfpiuiuouiifrtgxhiaerk2fieiintfsmsKKrelfssrina-u,ieruuiigtuvuiacfbekdebntfermuonsxixnmiianfuruhaunisgtrre2gibgkibtRpi-ivsbknaxfktsiuxkaxeausitieua2idgdki2ufss-npipR(k-krkuaxuiaaastkdaGxubeeedeuklndmpipdxun(kaanGnu(aramarGbguaua2hcGkebmnaldbcksaladnsaaxaataauurmbaeuuewirhckab2mahddkmaaar-aynmpab=taka(tawxmakakrbdarahbtjadu-ay=i-arl=baerya(ak=7(triaartaiG7htrdun.ae-k=i-lhbd-f1.=-t7t4a21(a-7ibai4rbabx.yxhk4 0.nmaaf1o)y)f1a4aw2(:42(t4bxla(4wal0=xG=bfi0=))Ga=aad()k)ya=ralxah<aai-=rfma h(=dk)lffd-(h=--aim(a07<xaak<hm(axl(.lk-a)-ff10abs4)20a4s2h(uh4ikia 0xsn0=ml42)s)4er2gi0-su0atmp7(=iemd)-feu.la (<1)axmxn()l))-24adh0c,)xdhi)xe422dax2td,a4i2n ,r0timdix0tgxckiartReiiaOlknfra Ri))RdmkOah(a0nxpxdni,d(se22na00aen,,np,nk)cba0xxeaaprr)pamngaabrariaonRaRiblabaonbodldlefahaa(arxaninh)shkiaalpusspiapitlal.rearpnpabecebonenrcolcamelerarimhnmaaihinsnaaialsnnipl epnecenrcmerin- an
a-425nbD0ga-’4lmiCk-e<’3mm0Bab-k’2asgiA-im62371451’d0000000uBu0mA••••UKdMNBa aKuip)UKdMNenlKKdMMNdramaaUdvaKuiniaNMyMKeuuinleenal1riaiikmdrrUAealmmPvln=ivviuimnaiieeetraklisEiaadiiiiKdMMNrilPdaaslmmkllielit0maiv2miiGamtaiikihsrBiEnkkuisiesmeeiiankkiiileukyidiidrAmermGallmmmnrnbsmkviriintsnmipaiiNnOi3iuiiukkyiAmsuayimiimnutCinnbdugmnikillkGliimieaNnkiiiurgmainiluaimnkk(rsnsbntmgnvauAibgGmp40iiaksi,kuuegDaiynunumtgamuuinNlDern,ntuiAmmsmguiafmnsi,iks,und(ynimti0bsinNciDSie0Sn=5imnDbgmimaafaggkap)tf)n(iumiIraw(ukrbSemm0Sn=gfuibe0Smg==pint2()auatIui()ruWynugs6buurxSbh,hnat0bi–nm=iainm=iu2cmnu)2tmDasWiy,nAy4nibg0a–mcbib0a–ksDg=xaamugakfuneAei4n=Sc(4bukplmgtxeas0Sg=(xa(arau=mptca(e)tbpluimcdrpmmitibmer0aik=m2itya=e2x,tndfie42dybbi–tam(mk0bma0–ki0cayaa00ntuubiaegt4nbbat)4kigkaiirtagxaxiataig=smOigtdkmcllikciuppmiiumi)(kiO0kda0O=aa=xdeneuugd,(dumm2(admmm00aa00aa,aan,)a,b)rdextad0kti0iardatkati)sas)eeiigteshikrirtrimiyakiisamktOhRddehiuuOk=ubu(kmurk0aOvuu(amu0,)a0rtdrvd(0?vd,)sa0a)aaai0e,dmestr0s)iaara)tamahtimkihbatakeiOkkbusbaerue(rOsvs0r,aaav,ryr(,aa,0s0yia)yts,amuaai0ittmagu)uabgargieaasbrsr2iyaies5sr2s7=,yya5y07=r=,a0iy0tuaigtuargisaryis= 0
4ac = 0 BUKBUUPKEUGAPNEGGAANNSGISAWNASISWA 257 258
Matematika
u x pada titik O(0, 0) 239
f(x) = (- 20 ) x2, x R
4
WA 258
Kesimpulan
Misalkan g(x) = ax2, x ∈ R, jika dicerminkan terhadap Sumbu-x maka diperoleh
g*(x) = -ax2, x ∈ R dengan sumbu simetri adalah Sumbu-y dan memiliki titik
puncak O (0, 0).
Masalah-7.8
Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real
dan a ≠ 0.
a. Temukan persamaan garis simetri (sumbu simetri) dan titik puncak grafik
fungsi kuadrat tersebut.
b. Temukan grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah
bilangan real dan a ≠ 0 dari grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x ∈ R, a ≠ 0.
c. Temukan titik potong grafik dengan sumbu x dan sumbu y.
d. Temukan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b,
c adalah bilangan real dan a ≠ 0 terkait nilai koefisien a dan titik puncak
parabola.
Untuk memecahkan masalah di atas, cermati beberapa grafik fungsi kuadrat yang
telah digambar sebelumnya dan beberapa pertanyaan berikut:
1) Apa yang dimaksud dengan grafik fungsi kuadrat?
2) Apa yang dimaksud dengan persamaan garis sumbu simetris grafik fungsi
kuadrat?
3) Apa yang dimaksud dengan titik puncak grafik fungsi kuadrat?
4) Bagaimana menemukan aturan penentuan persamaan garis simetris dan titik
puncak grafik fungsi kuadrat?
5) Apa yang dimaksud dengan transformasi geser ?.
6) Apa kaitan transformasi geser dan sifat-sifatnya untuk memperoleh sebarang
grafik fungsi kuadrat dari grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, x ∈ R, dan a ≠ 0?
7) Temukan 7a)rahTepmeurgkeasneraarnahgrpaefirkgefsuenragnsi gkraufaidkraftungg(sxi) k=uaadxr2a,t xg(x∈) =R auxn2t,uxk R untuk me
mendapatkan grafikk ffuunnggssii f (x ) g x 2ab 4aD dadnasnyasryaat-rsayt-asryaatraytang diperlukan!
yang diperlukan!
8) Sifat-sifat apa saja yang kamu simpulkan dari grafik fungsi
240 Kelas X f (x) a x b 2 D , dengan a, b, c adalah bilangan real dan a ≠ 0
2a 4a
dengan nilai koefisien a dan titik puncak grafik fungsi?
9) Dapatkah kamu memberi beberapa kemungkinan gambaran grafik fungsi kuad
nilai koefisien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsi
77)) Teemmuukkaannaraarhahpeprgeersgeersaenragnrafgikraffuikngfsui nkgusaidrkaut agd(xra)t=ga(xx2), =x axR2, uxntukRmeunndtaupkatmkaenndapatkan
ggrraaffiikkfufunngsgisif (fx()x) ggx x 2ab 2ab4aD4daDansydaarnat-ssyyaarraatt-ysaynagradtipyearnlugkdanip! erlukan!
88 8))) dSSbS ffeieiif(nff(raxaakxgt)t t-a)a--snissitifiaanfafana iatltxtadaixepak napoaga2espaafabna2 ijsaabinseaiy2nlj saaaaani2jgkda oa4ykneaDaafnmti4yigs taDa,iuiekndnsegpiknm,auagndmddpaceeaunkuannlkakagmtg,aaisrntbnuaii,mkfdaicakpp,rauusbfibdluni,kg,mancacrlcgaaanpskhafauiid?kdgblakridafllaaalauafanrhnniihkggbasfbiniulgidanklrranaaegurngfasaiilagidk?nadranargtnefrrauaaelnfa≠gidlksa0dinabnaefkru≠auknaa0≠gditrsaa0int kuadrat
berkaitan
99)) DdDeaanppgaatatkknaahnhkiklaaamimukuomemefmeismbieebnreirabi ebdbeaebnreartpiaatpikkaekpmeuumnncugankkginkgairnnaagfniakmgfabumanrbagnasriga?rnafgirkaffuikngfusinkgusiadkruaatdterarkt ait
9) nDteilarakpiaakittokenafihilsaikieankmoa,eunfimisliaeinmdiabs,kernriimilbaieni badnei,sraktiprtiakmkpinoeatmonnu,gntigtteikrkhinapadonatpognsagummtebrauhr-axad,nangpilrasaiuffimuknbgfuus-inxng,ysani.ilkaui adrat terkait
nfuilnagiskinoyeaf.isien a, nilai diskriminan, titik potong terhadap sumbu-x, nilai fungsinya.
BBeerrddaassaarrkkaann DDeeffiinnisisii77.2.2, ,bebnetnutkukumumumumfunfugnsigksiuakduraadt raadtaaladhalfa(xh) f=(xa)x=2 +axb2x++bcx, d+encg, an
Bdae,enbrgd, acansaadara,klbaa,hncbaiDldaeanflgaianhnisbrieila7al.n2dga,anbnearne≠tau0lk.daunmau≠m0f.ungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, dengan
af(,xb),=caaxd2a+labhx b+icla, nag≠an0 reafl(xd)a=naa(x≠2 +0. b x+ c ), a ≠ 0
a a
f(x) = ax2 + bx + c, a ≠0 f(x)f=(xa)(=x2 a+(xb2 x+ b xb 2+ - c b)2, a+≠c0), a ≠ 0
+a a4a 2
a 4a 2 a
f(x)f(=x)a[=(xa+(x22ba+)2ba-x( b+244ab4a22a2c-)]4,baa22≠+0 c ), a ≠0
a
f(x)f=(xa)(x=+a[2(bxa )+2 -b( b2 4-a4(abc 2),a 4≠a0c )], a ≠ 0
4a 2
2a )2
f(x) = a(x - (b) )b2 +( -4aD( b),2 a≠40ac ), a ≠ 0
f(x) = a(x2+a )2
2a 4a
Misalkan g(x) = ax2, x R,a f(0x) = a(x - ( b ) )2 + ( D ), a ≠ 0
2a 4a
f(x) = a(x - ( b) )2 + ( D ), a ≠ 0
2a 4a f(x) = g(x - ( b) ) + ( D )
2a 4a
Mdainsaglk(xa)n=ga(xx2), =x axR2, x R, a 0
f(x) = a(x - ( b) )2 + ( D ), a ≠ 0 )aaddaallaafh(hxg)grar=faifkgik(fxufn-ugn(sgi2skaibu)ka)udra+adt(rgat(4xaDg) (=x))ax=2,axx2,
GraGfrikafifkunfugnsgi2sfia(xf()x)==gg((xx 4–-a( b) ) + ( D Sumbu-x dan digeser sejauh satuan ke arah
2a 4a R
satuan kearah
dx a∈n Rg(yxa)n=g adxig2e, sxerseRjauh
Sumyabnug-yd.igeser sejauh ( b) satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh D satuan ke arah
2a 4a
Sumbu-y.
BUKU PEGANGAN SISWA ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel 260 ≠ 0,
Grafik fungsi kuadrat f(x) = dan a
memiliki Matematika 241
a. Persamaan sumbu simetri x = b dan
2a
BUb.KTUitiPkEpuGnAcaNk GP(A2Nab ,S4IaDSW). A 260
2a 4a
) satuan Grafik fungsi f(x) = g(x - ( b) ) + (4DaD ) adalah grafik fungsi kuadrat g(x) = ax2, xR
kearah Sumbu-x dan digeser 2seajauh satuan ke arah
4a
yang digeser sejauh ( b) satuan kearah Sumbu-x dan digeser sejauh D satuan ke arah
2a 4a
(x) = ax2 + bSxum+bcu,-yd.engan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,
GSriaffaikt-4fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan riel dan a ≠ 0,
metri x = b mGdearmanfiklikfui ngsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan
2a aa. ≠P0e,rmsaemmaialinkisumbu simetri x = b
2−ab dan
D ). a. Persamaan sumbu simetri x = dan
4a TTitiitkikppuunnccaakkPP( (2−abb,, −4DaD)).. 2a
b.
b. 2a 4a
afik persamaan fungsi kuadrat sebelumnya turunkan sifat-sifat
oekfuisaidernatx2d,ansgDniiDtgrlfeaaraamarrafitsiirfkeegidibbknritebaeusybferkptiasebkertjereieriabpmsrkrpkueaaaiarmaptnnsitaatsaaeamranbdskjneeiaadaanbjainaifgtneaunadrnngfnaeungrpnangkisaglfgiroiaaakseiknfkififupikekkusaemuoindreapesurgndfeaaisnrrmtxsaisgi2taedatk,edmnaainrannnxasinal2aefammnn,buinnueedikfgntnilu.saosyynkiinaagrdjjdkiisiimkukisisakaaiinnkdnriaurgmbanbaretideabdnbrsfeaaeiernktbraaednpsplaiaeualnbamkeineknlfmieuuylmamunainugnftgsnuuyikgnartuikgennistranuiksnaertaenubnkrnuoskksten.ioabdfnnauisdtt-i.issiifagt-rsaiffiakt
b )D)D2aari+rifu(fun4nggaDsisi)k,kuudaadednrargatat nf(xa),
= a(x - ( 2a =b,ac(xa-da( labh)b)2ila+ng( anDre),adldedennaggnaanan aa,,bb, ,ccadaadlaalhahbiblailnagnagnanreal dan a
2a 4a
berapa sifat. re≠al0,ddanapaat≠d0it,udraupnaktadnitbuerbuenrkaapnabseifbaetr.apa sifat.
SiSfaifta-1t-5
persamaan funJbJigki,skaidaaakanu>>acd00b,r,iamlmtaanfak(gkxaaa)ngg=rrraeaafafii(lkkxapp-e≠err(ss0a2amamtbea)raaba)n2unkffa+uunnk(ggess4iaiaDtkkauus)aadddtearrarnabtt muff((kxexa)m) ==kileiaak(xix2ti+-ti(kb2xbab+a)lic)k2, d+en(ganDa), terbuka ke
minim4aum
lik minimumaPta(sdabn,meDmi)l.iki titik balik minimum P( b , D ).
2a 4a 2a 4a
Sifat-2
pberaslaikmmaaanksfiumnbJJdiugPakiSaswmk(aniia−2afakacaPbhaut<(,bd<-a−6i4a2ld00Dnaaa,rb,nam)mmg.t,aeaafn4mkk(xaDaari)leggia)k=rr.laiaafaftiiik(tk≠ixkpp0-eberrtas(eslaa2rimkbmabuama)kaa)aann2kkfsfuei+unmnbg(ugassmwi4ikaaDkPuhua()add2datraearbnartbt,mf(uf4xe(k)xaDma)=i)=lk.aikexai2(tx+it-ibkx(b+2aablci),k)d2mena+gka(snim4aaDu, mb), terbuka ke
Sifat-3
Grafik persamaan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c, dengan a, b, c adalah bilangan real dan
k(uDadardaatlaf(hx)di=aasdGk.aS≠arrxniaiJ02mffiaa.ik+kiMta≠n-pb7aDi0exsn.ra>)s+MlaD0mcis,ma=adalabneDk2naf–ug=gna4rbgnaa2sfcai–ik,k(4Dubyaa,c=adcd(rfDaa(axltda)afah(dmxlada)elhia=mshkboariditxlmoia2snn+kigngrabiaSmnxnu)i+mnraecbna,u)ld-dxenapngaadna
a, b, c bilangan real
dua titik berbeda
k y = f(x) mema.o toJnigkaSDum>b0um-xapkaadgaradfiukayti=tifk(xb)emrbeemdoatong Sumbu-x pada dua titik berbeda
b. Jika D = 0 maka grafik y = f(x) menyinggung Sumbu-x pada satu titik
c. Jika D < 0 maka grafik y = f(x) tidak memotong Sumbu-x
2B4U2KUKPelEasGXANGAN SISWA 261
SISWA 261
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Buku_Matematika_Kelas_10
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search