2) Metode Eliminasi
Metode eliminasi yang kamu kenal di SMP sudah kita terapkan terhadap SPLDV
x + y = 2 dan 4x + 2y = 7 pada langkah penyelesaian Masalah-3.1.
Nilai x dan y dapat ditentukan sebagai berikut.
x + y = 2 × 4 4x + 4y = 8
4x + 2y = 7 × 1 4x + 2y = 7 –
2y = 1 ⇒1 y1= 1 1 1 2 3 3 4
562343423
x + y = 2 × 2 2x + 2y = 4
4x + 2y = 7 × 1 4x + 2y = 7 –
1 1–2x1=1–31⇒2 x3= 3 4
562343423
Diperoleh himpunan penyelesaian kedua persamaan adalah 3 , 1 .
2 2
Sekarang mari kita pecahkan masalah berikut.
Berdasarkan bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel, bagaimana
cara menentukan variabel sistem persamaan linear penyelesaiannya dengan
metode eliminasi?
Berdasarkan Definisi 3.2, bentuk umum SPLDV dengan variabel x dan y adalah
a1x + b1y = c1 ……………………………………………... (Persamaan-1)
a2x + b2y = c2 …………………………………………….. (Persamaan-2)
dengan a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 bilangan real, dan a1 dan b1 tidak keduanya nol;
a2 dan b2 tidak keduanya nol.
Sebelum kamu menyelesaikan masalah ini, Apakah kamu memahami tujuan
masalah dipecahkan? Bagaimana strategi kamu memanfaatkan pengetahuan yang
telah kamu miliki? Untuk itu perhatikan beberapa pertanyaan berikut.
1. Apa yang dimaksud mengeliminasi variabel x atau y dari Persamaan-1 dan 2 di
atas?
2. Berapa kemungkinan melakukan eliminasi agar nilai x dan y diperoleh?
3. Dapatkah kamu menuliskan himpunan penyelesaian yang kamu peroleh? Dalam
bentuk apa anggota himpunan penyelesaian tersebut?
4. Strategi apa yang kamu gunakan untuk menguji bahwa himpunan penyelesaian
yang kamu peroleh sudah benar?
Matematika 93
3) Metode Substitusi
Himpunan penyelesaian SPLDV 6a1 – 7a2 = 4 dan 2a1 – 3a2 = –4 adalah {(10,8)}.
Sekarang mari kita pecahkan masalah berikut dengan mengikuti langkah metode
substitusi di atas.
Bagaimana menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel dengan metode substitusi?
Alternatif Penyelesaian
Berdasarkan Definisi 3.2, bentuk umum sistem persamaan linear dengan dua variabel
x dan y dinotasikan sebagai berikut.
aa12xx + b1 y = c1.................................................................... (Persamaan-1)
+ b2 y = c2................................................................... (Persamaan-2)
dengan a1, a2, b1, b2, c1, c2 adalah bilangan-bilangan real; a1 dan b1 tidak keduanya
nol; a2 dan b2 tidak keduanya nol.
Dari Persamaan-1 diperoleh
a1x + b1y = c1 dan a1 ≠ 0 ⇒ x = − b1 y + c1
a1 a1
x = − b1 y + c1
a1 a1 subtitusi ke persamaan a2x + b2y = c2 dan diperoleh
⇒ aa22 − −ab11ab11yy++ac11ac11+b+2 yb2=yc=2 c2
⇒ − a2b1 y + a2c1 + a1c2 y = a2c3
a1 a1 a1 a1
⇒ (a1b2 − a2b1) y = (a1c2 − a2c1)
a1 a1
⇒ y = (a2c1 − a1c2 )
(a2b1 − a1b2 )
y= (a2c1 − a1c2 ) substitusi ke persamaan x = − b1 y + c1 dan diperoleh
(a2b1 − a1b2 ) a1 a1
94 Kelas X
y = ( a2 c1 - a1c2 ) substitusi ke persamaan x = − b1 y = c1 dandi perolah
( a2b1 - a1b2 ) a1 a1
xx == −− aba11b1(1((aa(aa222cb2b11c11−−−-aaa11cba1c221b2))2)+) +ac11ac11⇒⇒xx==aba11b1((1(aa(a12acb212b1c1−−2 −aa- 12abca2211c))b12)+) c1 ( (ca1 2ba12−b1a1−b2 a)1b2 )
a+1 ( (aa1 2ba12−b1a1−b2 a)1b2 )
⇒⇒ xx== ((bb11cc22 −- bb22cc11))
((aa22bb11−- aa11bb22))
Dengan demikian himpunan penyelesaian adalah (b1c2 - b2c1 ) , ( a2c1 - a1c2 ) .
( a2b1 - a1b2 ) ( a2b1 - a1b2 )
4) Metode Eliminasi dan Substitusi
Bagaimana menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua
variabel dengan metode campuran eliminasi dan substitusi?
Berdasarkan Definisi 3.2, bentuk umum SPLDV dengan variabel x dan y adalah
aa12xx + b1 y = c1.................................................................... (Persamaan-1)
+ b2 y = c2................................................................... (Persamaan-2)
dengan a1, a2, b1, b2, c1, dan c2 bilangan real; a1 dan b1 tidak keduanya nol; a2 dan b2
tidak keduanya nol.
Diskusi
Berdasarkan kedudukan kedua garis dalam satu sumbu kordinat, tentukan
berapa kemungkinan penyelesaian suatu SPLDV. Diskusikan dengan temanmu.
Beri contoh SPLDV untuk tiga kasus, gambarkan grafiknya dalam sumbu kordinat
dan tentukan penyelesaiannya. Buat laporan hasil kerja kelompokmu dan sajikan
di depan kelas!
b. Menentukan Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga
Variabel
Perbedaan antara sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) dengan sistem
persamaan linear tiga variabel (SPLTV) terletak pada banyak persamaan dan variabel
yang digunakan. Sehingga penentuan himpunan penyelesaian SPLTV dilakukan
dengan cara atau metode yang sama dengan penentuan penyelesaian SPLDV, kecuali
dengan metode grafik. Cara lain yang dapat kamu gunakan selain metode eliminasi,
Matematika 95
substitusi, dan campuran eliminasi substitusi (kamu coba sendiri) untuk menentukan
penyelesaian SPLTV adalah cara determinan, menggunakan invers matriks yang
akan kamu pelajari di kelas XII. Sekarang kita akan temukan penyelesaian sistem
persamaan linear tiga variabel dengan metode Sarrus.
Bagaimana menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear tiga
variabel dengan metode Sarrus?
♦ Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV secara umum berdasarkan konsep
dan bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel yang telah ditemukan
dengan mempedomani langkah penyelesaian metode eliminasi di atas untuk
menemukan metode Sarrus.
Berdasarkan Definisi 3.4, bentuk umum sistem persamaan linear dengan tiga variabel
x, y, dan z adalah
aa12xx + b1 y + c1z = d1....................................................................(Persamaan-1)
+ b2 y + c2 z = d2...................................................................(Persamaan-2)
a3x + b3 y + c3z = d3...................................................................(Persamaan-3)
dengan a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, dan d3 bilangan real, dan a1, b1, dan c1
tidak ketiganya 0; a2, b2, dan c2 tidak ketiganya 0; dan a3, b3, dan c3 tidak ketiganya 0.
Langkah-1: Eliminasi variabel x dari Persamaan-1 dan Persamaan-2
a1x + b1y + c1z = d1 × a2 a1a2x + a2b1y + a2c1z = a2d1
a2x + b2y + c2z = d2 × a1 a1a2x + a1b2y + a1c2z = a1d2 –
(a2b1 – a1b2)y + (a2c1 – a1c2)z = a2d1 – a1d2
(a2b1 – a1b2)y + (a2c1 – a1c2)z = a2d1 – a1d2 …...............………....…… (Persamaan-4)
Langkah-2: Eliminasi variabel x dari Persamaan-1 dan Persamaan-3
a1x + b1y + c1z = d1 × a3 a1a3x + a3b1y + a3c1z = a3d1
a3x + b3y + c3z = d3 × a1 a1a3x + a1b3y + a1c3z = a1d3 –
(a3b1 – a1b3)y + (a3c1 – a1c3)z = a3d1 – a1d3
(a3b1 – a1b3)y + (a3c1 – a1c3)z = a3d1 – a1d3 …...............……....……… (Persamaan-5)
96 Kelas X
Langkah-3: Eliminasi variabel y dari Persamaan-4 dan Persamaan-5
(a2b1 – a1b2)y + (a2c1 – a1c2)z = a2d1 – a1d2 × (a3b1 – a1b3)
(a3b1 – a1b3)y + (a3c1 – a1c3)z = a3d1 – a1d3 × (a2b1 – a1b2)
Dari hasil perkalian koefisien variabel y pada Persamaan-4 terhadap Persamaan-5
dan hasil perkalian koefisien variabel y pada Persamaan-5 terhadap Persamaan-4
maka diperoleh
( ( ) )z =
(a2d1 − a1d2 )(a3b1 − a1b3 ) − (a3d1 − a1d3 )(a2b1 − a1b2 )
(a2c − a1c2 )(a3b1 − a1b3 ) − (a3c1 − a1c3 )(a2b − a1b2 )
(( ) ( ))z = a1a1b3d2 − a1a2b3d1 − a1a3b1d2 − a1a1b2d3 − a1a3b2d1 − a1a2b1d3
(( ) ( ))a1a1b3c1 − a1a2b3c1 − a1a2b1c2 − a1a1b2c3 − a1a3b2c1 − a1a2b1c3
( )( ) ( )z = a1b3d2 − a2b3d1 − a3b1d2 − a1b2d3 − a3b2d1 − a2b1d3
( )( ) ( )a1b3c1 − a2b3c1 − a2b1c2 − a1b2c3 − a3b2c1 − a2b1c3
( )( )z = a3b2d1 + a1b3d2 + a2b1d3 ) − (a1b2d3 + a3b1d2 + a2b3d1 .
( )( ) ( )a3b2c1 + a1b3c2 + a2b1c3 − a1b2c3 + a3b2c2 + a2b3c1
♦ Lakukan kegiatan matematisasi (mengkoordinasi pengetahuan dan keterampilan
yang telah dimiliki siswa sebelumnya untuk menemukan aturan-aturan,
hubungan-hubungan dan struktur-struktur yang belum diketahui).
Nilai variabel z di atas dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian koefisien-koefisien
variabel x, y dan konstanta pada sistem persamaan linear yang diketahui.
a1 b1 d1 a1 b1
a2
b2 d2 a2 b2 Petunjuk:
b3 d3 a3 • Jumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan
z = a3 b1 c1 a1 b3
a1 b2 c2 a2 pada garis penuh dan hasilnya dikurangi dengan
a2 b1 jumlah hasil perkalian bilangan-bilangan pada
garis putus-putus.
b2 • Lakukan pada pembilang dan penyebut.
a3 b3 c3 a3 b3
Dengan menggunakan cara menentukan nilai z, ditentukan nilai x dan y dengan cara
berikut.
Matematika 97
d1 b1 c1 d1 b1 a1 d1 c1 a1 d1
d2 b2 a2 d2
d2 b2 c2 d3 b3 a2 d2 c2 a3 d3
a1 b1 a1 b1
x= d3 b3 c3 a2 b2 y= a3 d3 c3 a2 b2
a1 b1 c1 a3 b3 a1 b1 c1 a3 b3
a2 b2 c2 a2 b2 c2
a3 b3 c3 a3 b3 c3
Diskusi
Perhatikan ciri penyelesaian untuk x, y, dan z di atas. Ketiga ciri-ciri tersebut
mudah diingat. Sehingga memudahkan dalam mencari penyelesaian SPLTV.
Sebelum metode Sarrus digunakan, SPLTV harus dibentuk dalam standar.
Pada langkah penyelesaian Masalah 3.5 diperoleh sebuah sistem persamaan linear
tiga variabel sebagai berikut.
x + y + z = 40 ……………………………………….............. (Persamaan-1)
x = 2y ……………………………………………..…............. (Persamaan-2)
75 + 120y + 150z = 4.020 ……………………….................... (Persamaan-3)
Ingat untuk menggunakan metode Sarrus semua variabel harus pada ruas kiri, dan
semua konstanta berada pada ruas kanan. Untuk itu SPLTV di atas diubah menjadi
x + y + z = 40 ……………………………………….............. (Persamaan-1)
x – 2y = 0 ……………………………………………..….........(Persamaan-2)
75 + 120y + 150z = 4.020 ……………………….................... (Persamaan-3
Dengan menerapkan metode Sarrus pada SPLTV di atas, tentunya kamu dengan
mudah memahami bahwa
a1 = 1 a2 = 1 a3 = 75
b1 = 1 b2 = –2 b3 = 120
c1 = 1 c2 = 0 c3 = 150
d1 = 40 d2 = 0 d3 = 4020.
Oleh karena itu, nilai x, y, dan z ditentukan sebagai berikut.
98 Kelas X
40 1 1 40 1
04400 -112 011 44000 -211
x= 004020 1--220 10050 400020 1--2220 = (−8040 + 0 + 0) − (−12000 + 0 + 0) = 3960 = 22
xx == == (((−−−18850004400+ ++0 00+1++5000)))−−−(((−−−11322000000+00 0++ +001++2000))) == 13318998066000 == 2222
440012200 1112200 1115500 440012200 1112200 ((−−115500 ++ 00 ++115500)) −− ((−−330000 ++ 00 ++112200)) 11880000
11 -211 011 111 -2 11
1175 1--220 10050 7115 --12220
1 7755 41102200 1115500 17755 11224000
11 4400 101 11 40400
y = 1175 402000 15000 7511 400020 = (0 + 0 + 6000) − (0 + 0 + 4020) = 1980 = 11
yy == == ((00 ++ 00 ++ 660000001)) 8−−0((00 ++ 00 ++ 44002200)) == 11199888000 == 1111
77155 440022100 1155100 7755 1 440012200 118800
11 -211 011 111 -2 11 118800
1175 1--220 10050 7115 --12220
1 7755 112200 14150500 17755 1112200
11 -211 04400 111 -211
z = 1175 1--22 0 400020 7115 1--220 = ( −6000 + 0 + 4020) − ( −8040 + 4800) = 1260 =7
zz == == (( −−66000000 ++ 00 ++ 4400221008))0−− (( −−88004400 ++ 44880000)) == 11122866000 == 77
17755 1122100 440012200 77551 1122100 118800
11 -211 011 111 -2 11 118800
1175 1--220 10050 7115 --12220
7755 112200 115500 7755 112200
Berdasarkan hasil perhitungan di atas diperoleh himpunan penyelesaian SPLTV
tersebut adalah Hp = {(22,11,7)}. Ternyata hasilnya sama dengan himpunan
penyelesaian yang diperoleh dengan metode eliminasi dan substitusi sebelumnya.
♦ Dengan memperhatikan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear pada
penyelesaian di atas, coba kamu tuliskan ciri-ciri suatu himpunan penyelesaian
SPL dan hasilnya diskusikan secara klasikal.
Selanjutnya, dari semua penjelasan di atas, dapat kita tuliskan definisi himpunan
penyelesaian sistem persamaan linear berikut ini.
Definisi 3.5
Penyelesaian sistem persamaan linear adalah nilai-nilai variabel yang memenuhi
setiap persamaan linear pada sistem persamaan tersebut.
Matematika 99
Definisi 3.6
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear adalah himpunan semua
penyelesaian sistem persamaan linear.
Sedangkan untuk SPLDV dan SPLTV, himpunan penyelesain sistem persamaan
linear tersebut, berturut-turut didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 3.7
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan dua variabel adalah
himpunan semua pasangan terurut (x, y) yang memenuhi setiap persamaan
linear pada sistem persamaan tersebut.
Definisi 3.8
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah
himpunan semua triple terurut (x, y, z) yang memenuhi setiap persamaan linear
pada sistem persamaan tersebut.
Uji Kompetensi 3.3
1. Tiga tukang cat, Joni, Deni, dan yang dibutuhkan masing-masing
Ari, bekerja secara bersama-sama, tukang, jika bekerja sendirian!
dapat mengecat eksterior (bagian
luar) sebuah rumah dalam waktu 2. Sebuah bilangan terdiri dari atas
10 jam kerja. Pengalaman Deni dan tiga angka yang jumlahnya 9. Angka
Ari pernah bersama-sama mengecat satuannya tiga lebih dari pada angka
rumah yang serupa dalam 15 jam puluhan. Jika angka ratusan dan
kerja. Suatu hari, ketiga tukang ini angka puluhan ditukar letaknya,
bekerja mengecat rumah serupa diperoleh bilangan yang sama.
ini selama 4 jam kerja, setelah Tentukan bilangan tersebut!
itu Ari pergi karena ada suatu
keperluan mendadak. Joni dan Deni 3. Sebuah pabrik memiliki 3 buah
memerlukan tambahan waktu 8 mesin A, B, dan C. Jika ketiganya
jam kerja lagi untuk menyelesaikan bekerja, 5.700 lensa yang dapat
pengecatan rumah. Tentukan waktu dihasilkan dalam satu minggu. Jika
hanya mesin A dan B bekerja, 3.400
lensa yang dihasilkan dalam satu
100 Kelas X
minggu. Jika hanya mesin A dan YY
C yang bekerja, 4.200 lensa yang
dapat dihasilkan dalam satu minggu. O XO X
Berapa banyak lensa yang dihasilkan garis linear 1
oleh tiap-tiap mesin dalam satu garis linear 1
minggu?
4. Tentukanlah himpunan penyelesaian garis linear 2 garis linear 2
setiap sistem persamaan linear
berikut ini tanpa menggunakan cara (i) (ii)
aljabar, melainkan melalui metode
grafik! Gambar (i) dan (ii) merupakan
grafik sistem persamaan linear dua
i. x – y = 3 variabel,
5x +3y = 9
a1x + b1y = c1
ii. 2x – y = 0 a2x + b2y = c2
7x + 2y = 11 a) Tentukan syarat yang dimiliki
iii. 3x – 2y = 2 sistem supaya memiliki grafik
–x + 5y = 21 seperti gambar (i) dan (ii)!
b) Jelaskanlah perbedaan him-
iv. 154x16– 1 y 13= 814 2 3 3 4 punan penyelesaian grafik (i)
2 3 4 2 3 dan (ii)!
12x + 7y = –4 7. Diberikan sistem persamaan linear
tiga variabel,
5. Kembali perhatikan sistem
persamaan linear dua variabel, a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a1x + b1y = c1 a3x + b3y + c3z = d3
a2x + b2y = c2 Tentukan syarat yang dipenuhi
Mungkinkah sistem tersebut tidak sistem supaya memiliki solusi
memiliki himpunan penyelesaian? tunggal, memiliki banyak solusi,
Jika ya, tentukan syaratnya dan dan tidak memiliki solusi!
gambarkan!
8.
6. Perhatikan kedua grafik sistem
persamaan linear di bawah ini!
Matematika 101
Setiap simbol pada gambar di atas ladang mereka. Pekerjaan memanen
mewakili sebuah bilangan. Jumlah tomat itu dapat diselesaikan mereka
bilangan pada setiap baris terdapat dalam waktu 4 jam. Jika Trisna
di kolom kanan dan jumlah bilangan bersama kakeknya bekerja bersama-
setiap kolom terdapat di baris bawah. sama, mereka dapat menyelesaikan
Tentukan bilangan pengganti tanda pekerjaan itu dalam waktu 6 jam.
tanya. Jika Ayah dan kakek menyelesaikan
9. Diketahui xy = a. xz = b dan yz pekerjaan itu, maka akan selesai
x+ y x+z y+z =dalam waktu 8 jam. Berapa waktu
xz yz yang diperlukan Trisna, Ayah,
a. x+z = b d an y+ z == c, dengan a ≠ 0, b ≠ 0, dan dan Kakek untuk menyelesaikan
panenan tersebut, jika mereka
c ≠ 0. Tentukan nilai x = ...!
bekerja sendiri-sendiri?
10. Jika a + b + c = 0 dengan a, b, c ≠ 0, 13. Diberi dua bilangan. Bilangan kedua
sama dengan enam kali bilangan
maka tentukan nilai pertama setelah dikurangi satu.
Bilangan kedua juga sama dengan
a 1 + 1 + b 1 + 1 + c 1 + 1 2 bilangan pertama dikuadratkan dan
b c c a a a ditambah tiga. Temukanlah bilangan
tersebut.
= ...!
14. Dengan menggunakan kertas
11. Nilai-nilai a, b, dan c memenuhi berpetak, tentukanlah himpunan
persamaan-persamaan berikut penyelesaian melalui grafik setiap
sistem persamaan berikut ini!
2255aabb=11 ,121555bab2cbc5a=5b15a–ac11c,5db1ac15nbc5ac5a=c1– 1.
aa++bb 22 bab+++acbc+ab2a++c2bc+3bc3+ ca +ac+ c3 3 i. 3x + 2y = 9
Hitunglah (a – b)c. x + 3y = 10
12. ii. 4x + y = 6
3x +2y = 10
Trisna bersama dengan Ayah dan
Kakek sedang memanen tomat di
102 Kelas X
4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
Masalah-3.11
Pak Rendi berencana membangun 2 tipe rumah; yaitu, tipe A dan tipe B di atas
sebidang tanah seluas 10.000 m2. Setelah dia berkonsultasi dengan arsitek
(perancang bangunan), ternyata untuk membangun rumah tipe A dibutuhkan
tanah seluas 100 m2 dan untuk membangun rumah tipe B dibutuhkan tanah
seluas 75 m2. Karena dana yang dimilikinya terbatas, maka banyak rumah yang
direncanakan akan dibangun paling banyak 125 unit. Jika kamu adalah arsitek
Pak Rendi maka:
1) bantulah Pak Rendi menentukan berapa banyak rumah tipe A dan tipe
B yang dapat dibangun sesuai dengan kondisi luas tanah yang ada dan
jumlah rumah yang akan dibangun; dan
2) gambarkanlah daerah penyelesaian pada bidang kartesius berdasarkan
batasan-batasan yang telah diuraikan.
Alternatif Penyelesaian
Misalkan: x : banyak rumah tipe A yang akan dibangun
y : banyak rumah tipe B yang akan dibangun
1) Banyak rumah tipe A dan tipe B yang dapat dibangun
a) Keterbatasan yang dimiliki Pak Rendi adalah:
Luas tanah yang diperlukan untuk membangun rumah tipe A dan tipe B di
atas tanah seluas 10.000m2 ditentukan oleh pertidaksamaan:
100x + 75y ≤ 10.000, pertidaksamaan ini disederhanakan menjadi:
4x + 3y ≤ 400 ……………………………………………………….(1)
b) Jumlah rumah yang akan dibangun, dibentuk oleh pertidaksamaan:
x + y ≤ 125…………………………………………………………. (2)
Dari kedua keterbatasan di atas (pertidaksamaan 1 dan pertidaksamaan 2), banyak
rumah tipe A dan tipe B yang dapat dibangun, dihitung dengan menggunakan
konsep sistem persamaan linear dua variabel seperti berikut.
4x + 3y = 400 × 1 → 4x + 3y = 400
x + y = 125 × 3 → 3x + 3y = 375 –
x = 25
untuk x = 2, maka y = 125 – x
y = 125 – 25
= 100
Matematika 103
Hal ini berarti: dengan keterbatasan yang ada, Pak Rendi dapat membangun
rumah tipe A sebanyak 25 unit, dan rumah tipe B sebanyak 100 unit.
Diskusi
Diskusikanlah dengan teman-temanmu, bagaimana caranya untuk mencari
banyak rumah tipe A dan tipe B yang dapat dibangun selain yang sudah kita
temukan di atas sesuai dengan keterbatasan yang ada.
2) Grafik daerah penyelesaian pada diagram kartesius
Untuk menggambar daerah penyelesaian pada diagram kartesius dilakukan
langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1
Menggambar garis dengan persamaan 4x + 3y = 400 dan garis x + y = 125.
Agar kita mudah menggambar garis ini, terlebih dahulu kita cari titik potong
dengan sumbu x yang terjadi jika y = 0 dan titik potong dengan sumbu y yang
terjadi jika x = 0.
Untuk garis 4x + 3y = 400, jika y = 0, maka x = 100.
jika x = 0, maka y = 133,3.
Maka garis 4x + 3y = 400 memotong sumbu y di titik (0, 133,3) dan memotong
sumbu y di titik (100, 0).
Untuk garis x + y = 125, jika y = 0 maka x = 125
jika x = 0 maka y = 125
Maka gari x + y = 125 memotong sumbu y di titik (0,125) dan memotong
sumbu x di titik (125, 0).
Langkah 2
Menentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400 dan x + y ≤ 125.
Daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400. Jika garis 4x + 3y = 400
digambar pada diagram kartesius maka garis tersebut akan membagi dua
daerah, yaitu daerah 4x + 3y < 400 dan daerah 4x + 3y > 400. Selanjutnya
menyelidiki daerah mana yang menjadi daerah penyelesaian dari pertidaksamaan
4x + 3y ≤ 400, dengan cara mengambil sebarang titik misal P(x,y) pada salah
satu daerah, kemudian mensubstitusikan titik tersebut ke pertidaksamaan
4x + 3y ≤ 400. Jika pertidaksamaan tersebut bernilai benar maka daerah yang
104 Kelas X
memuat titik P(x,y) merupakan daerah penyelesaiannya, jika bernilai salah
maka daerah tersebut bukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3y ≤ 400.
Dengan cara yang sama maka daerah penyelesaian pertidaksamaan x + y ≤ 125
juga dapat diketahui.
Langkah 3 Apakah kita perlu membatasi nilai
Mengarsir daerah yang merupakan x > 0 dan nilai y > 0? Mengapa?
Berikan penjelasanmu.
daerah penyelesaian masing-masing
pertidaksamaan. Daerah yang diarsir dua
kali merupakan daerah penyelesaian dari
sistem pertidaksamaan linier.
Setelah langkah 1, 2, dan 3 di atas
dilakukan, maka daerah penyelesaian sistem
pertidaksamaan digambarkan sebagai berikut.
Dari Gambar 3.7, daerah yang diarsir merupakan
daerah penyelesaian.
Mempelajari sistem pertidaksamaan linear
dua variabel berguna untuk menentukan nilai Gambar 3.7 Daerah penyelesaian untuk
maksimum suatu fungsi dengan domain suatu sistem pertidaksamaan linier
himpunan tertentu. Perhatikan contoh berikut!
Contoh 3.5
Jika nilai maksimum f(x,y) = x + y pada himpunan
A = {x ≥ 0, y ≥ 0, x + 3y ≤ 6,3 x + y ≤ a} adalah 4, maka nilai a = …?
Penyelesaian
Misalkan f(x,y) = x + y
Pertidaksamaan-1: x + 3y ≤ 6
Pertidaksamaan-2: 3x + y ≤ a, x ≥ 0, dan y ≥ 0.
♦ Coba gambarkan kedua pertidaksamaan di atas untuk menentukan titik potong
grafik persamaan x + 3y = 6 dan 3x + y = a dan daerah fungsi f yang dibatasi
kedua pertidaksamaan yang diketahui pada soal.
Matematika 105
x + 3y = 6
Gambar 3.8 Daerah penyelesaian untuk sistem
pertidaksamaan linear x + 3y ≤ 6, 3x + y ≤ a
Mengingat gradien dari f(x,y) = x + y adalah m = –1, maka f akan mencapai maksimum
di titik P. Titik P adalah perpotongan dari garis x + 3y = 6 dan 3x + y = a. Jadi
diperoleh
xP = 3a − 6 dan yP = 18 − a .
8 8
Karena nilai maksimum f(x,y) = x + y adalah 4, maka
3a − 6 + 18 − a = 4 ⇒ 2a = 20 ⇒ a = 10.
88
Dengan demikian, agar nilai maksimum f(x,y) = x + y adalah 4 maka nilai a = 10.
Berdasarkan masalah dan contoh di atas, mari kita tetapkan konsep sistem
pertidaksamaan linear dua variabel sebagai berikut.
Definisi 3.9
1. Sistem pertidaksamaan linear adalah himpunan pertidaksamaan linear yang
saling terkait dengan koefisien variabelnya bilangan-bilangan real.
2. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem pertidak-
samaan linear yang memuat dua variabel dengan koefisien bilangan real.
106 Kelas X
Definisi 3.10
Penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua peubah adalah himpunan semua
pasangan titik (x,y) yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear tersebut.
Definisi 3.11
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear adalah daerah tempat
kedudukan titik-titik yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear tersebut.
Uji Kompetensi 3.4
1. Diberikan sistem pertidaksamaan 3. Sekelompok tani transmigran
linier: mendapatkan 6 ha tanah yang dapat
ditanami padi, jagung, dan palawija
x–y≥3 lain. Karena keterbatasan sumber
5x + 3y ≥ 9 daya petani harus menentukan berapa
a) Gambarkan grafik pertidak- bagian yang harus ditanami padi dan
berapa bagian yang harus ditanami
samaan pada sistem tersebut! jagung, sedangkan palawija lainnya
b) Tentukanlah himpunan penye- ternyata tidak menguntungkan.
Dalam suatu masa tanam tenaga
lesaian sistem tersebut, dengan yang tersedia hanya 1590 jam-
syarat tambahan x > 0 dan y <0! orang. Pupuk juga terbatas, tak
c) Selanjutnya dapatkah kamu lebih dari 480 kg, sedangkan air
menentukan himpunan penye- dan sumber daya lainnya dianggap
lesaian sistem tersebut untuk cukup tersedia. Diketahui pula
syarat x < 0 dan y > 0? Jelaskan! bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal
padi diperlukan 12 jam-orang tenaga
2. Misalkan padalahjumlahmaksimum dan 4 kg pupuk, dan untuk 1 kuintal
dari himpunan penyelesaian yang jagung diperlukan 9 jam-orang
memenuhi sistem di bawah ini. tenaga dan 2 kg pupuk. Kondisi
tanah memungkinkan menghasilkan
2x + 5y ≤ 600 50 kuintal padi per ha atau 20
4x + 3y ≤ 530 kuintal jagung per ha. Pendapatan
2x + y ≤ 240
a) Gambarkanlah pertidaksamaan
sistem linear tersebut!
b) Tentukanlah nilai p!
Matematika 107
petani dari 1 kuintal padi adalah 4. Suatu pabrik farmasi menghasilkan
Rp32.000,00 sedang dari 1 kuintal dua jenis kapsul obat flu yang
jagung Rp20.000,00 dan dianggap diberi nama Fluin dan Fluon.
bahwa semua hasil tanamnya selalu Masing-masing memuat tiga unsur
habis terjual. (ingredient) utama dengan kadar
Masalah bagi petani ialah kandungannya tertera dalam Tabel
bagaimanakah rencana produksi 3.1. Menurut dokter, seseorang
yang memaksimumkan pendapatan yang sakit flu akan sembuh jika
total? Artinya berapa ha tanah dalam tiga hari (secara diratakan)
ditanami padi dan berapa ha tanah minimum menelan 12 grain aspirin,
ditanami jagung? 74 grain bikarbonat dan 24 grain
kodein. Jika harga Fluin Rp200,00
3. Jika diberikan sistem pertidaksamaan dan Fluon Rp300,00 per kapsul,
linear seperti berikut ini, berapa kapsul Fluin dan berapa
kapsul Fluon harus dibeli supaya
a1x + b1y ≥ c1 dan x ≥ 0 cukup untuk menyembuhkannya dan
a2x + b2y ≥ c2 dan y ≥ 0. meminimumkan ongkos pembelian
a) Syarat apakah yang harus total?
dipenuhi agar sistem memiliki Unsur Perkapsul
solusi tunggal?
b) Syarat apakah yang harus Fluin Fluin
dipenuhi agar sistem tidak
memiliki solusi? Aspirin 21
Bikorbonat 5 8
Kodein 16
Projek
Bersama temanmu amati permasalahan di sekitarmu atau dari sumber lain
(buku, internet, dan lain-lain) yang dapat dinyatakan dalam sistem persamaan
linear atau sistem pertidaksamaan linear. Formulasikan masalah tersebut
dengan mendefinisikan variabel-variabel terkait, mencari persamaan atau
pertidaksamaan yang menyatakan hubungan antar variabel tersebut, selesaikan
sistem yang kamu peroleh, dan interpretasikan hasilnya. Buat laporan atas
kegiatanmu ini dan paparkan hasilnya di depan kelas.
108 Kelas X
D. PENUTUP
Berberapa hal penting yang perlu dirangkum terkait konsep dan sifat-sifat sistem
persamaan linear dan pertidaksamaan linear.
1. Model matematika dari permasalahan sehari-hari seringkali menjadi sebuah
model sistem persamaan linear atau sistem pertidaksamaan linier. Konsep sistem
persamaan linear dan sistem pertidaksamaan ini didasari oleh konsep persamaan
dan pertidaksamaan dalam sistem bilangan real, sehingga sifat-sifat persamaan
linear dan pertidaksamaan linear dalam sistem bilangan real banyak digunakan
sebagai pedoman dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dan sistem
pertidaksamaan linear.
2. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah himpunan semua
nilai variabel yang memenuhi sistem persamaan tersebut.
3. Sistem persamaan linear disebut homogen apabila suku konstantanya adalah nol
dan salah satu dari dua hal berikut dipenuhi.
a. Sistem tersebut hanya mempunyai penyelesaian trivial.
b. Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya anggota himpunan
penyelesaian yang tak trivial sebagai tambahan penyelesaian trivial.
4. Apabila penyelesaian sebuah sistem persamaan linear semuanya nilai variabelnya
adalah nol, maka penyelesaian tersebut dikatakan penyelesaian trivial. Misal
diberikan sistem persamaan linear 3x + 5y + z = 0 dan 2x + 7y + z = 0. Sistem
persamaan linear ini memiliki suku konstanta adalah nol dan mempunyai
penyelesaian yang tunggal, yaitu untuk x = y = z = 0.
5. Apabila sebuah sistem persamaan linear mempunyai anggota himpunan
penyelesaiannya dari nilai variabel yang tidak semuanya nol disebut memiliki
penyelesaian yang tak trivial.
6. Secara tafsiran geometri dari selesaian suatu sistem persamaan linear, diberikan
sistem persamaan dengan 2 persamaan dan 2 variabel, sebagai berikut.
a1x + b1y = c1 dan a2x + b2y = c2, dengan a1, a2, b1, b2, c1, c2 anggota bilangan real,
dengan a1 dan a2 tidak keduanya nol dan b1 dan b2 tidak keduanya nol.
Grafik persamaan-persamaan ini merupakan garis, misal garis g1 dan garis g2.
Karena titik (x,y) terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika bilangan-bilangan
x dan y memenuhi persamaan tersebut, maka penyelesaian sistem persamaan
linear tersebut akan bersesuaian dengan titik perpotongan dari garis g1 dan garis
g2. Berdasarkan hal itu, maka terdapat tiga kemungkinan, yaitu
(a) garis g1 dan garis g2 sejajar dan tidak berpotongan, yaitu jika tidak terdapat
titik perpotongan sehingga sistem tidak mempunyai penyelesaian.
Matematika 109
(b) garis g1 dan garis g2 berpotongan pada satu titik, sehingga sistem hanya
mempunyai tepat satu (tunggal) penyelesaian.
(c) garis g1 dan garis g2 berimpit, artinya terdapat tak terhingga banyak titik
perpotongan. Dalam hal ini sistem mempunyai tak terhingga banyak
penyelesaian.
7. Sistem Persamaan linear (SPL) mempunyai tiga kemungkinan penyelesaian,
yaitu tidak mempunyai selesaian, mempunyai satu selesaian dan mempunyai tak
terhingga banyak selesaian.
Penguasaan kamu tentang sistem persamaan dan pertidaksamaan linear adalah
prasyarat mutlak mempelajari bahasan matriks dan program linear. Matriks adalah
bentuk lain sebuah sistem persamaan linear, artinya setiap sistem persamaan linear
dapat disajikan dalam bentuk matriks. Kita akan menemukan konsep dan sifat-sifat
matriks melalui penyelesaian masalah nyata. Selanjutnya kita lakukan operasi hitung
pada dua atau lebih matriks dan menentukan determinannya. Sifat-sifat matriks
terhadap operasi penjumlahan, pengurangan dan perkalian akan dibahas secara
mendalam dan dimanfaatkan dalam penyelesaian masalah matematika dan masalah
otentik.
110 Kelas X
Bab
Matriks
A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar
Setelah mengikuti pembelajaran matriks, siswa Melalui pembelajaran materi matriks, siswa
mampu: memperoleh pengalaman belajar:
1. menghayati pola hidup disiplin, kritis, • melatih berpikir kritis dan kreatif;
• mengamati keteraturan data;
bertanggungjawab, konsisten dan jujur serta • berkolaborasi, bekerja sama menyelesaikan
menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari.
2. menghayati kesadaran hak dan kewajiban masalah;
serta toleransi terhadap berbagai perbedaan di • berpikir Independen mengajukan ide secara
dalam masyarakat majemuk sebagai gambaran
menerapkan nilai-nilai matematis; bebas dan terbuka;
3. menghayati rasa percaya diri, motivasi internal • mengamati aturan susunan objek.
dan sikap peduli lingkungan melalui kegiatan
kemanusiaan dan bisnis dalam kehidupan
sehari-hari;
4. memahami konsep matriks sebagai representasi
numerik dalam kaitannya dengan konteks nyata;
5. memahami operasi sederhana matriks serta
menerapkannya dalam pemecahan masalah.
• Elemen Matriks
• Ordo Matriks
• Matriks Persegi
• Matriks Identitas
• Transpos Matriks
B. PETA KONSEP
112 Kelas X
C. MATERI PEMBELAJARAN
1. Menemukan Konsep Matriks
Informasi yang terdapat dalam suatu koran atau majalah tidak senantiasa berupa
teks bacaan yang terdiri atas sederetan kalimat yang membentuk paragraf, tetapi ada
kalanya disampaikan dalam bentuk sebuah tabel. Tampilan informasi dalam suatu
tabel lebih tersusun baik dibandingkan dalam bentuk paragraf. Hal seperti ini sering
kita temui, tidak hanya sebatas pada koran atau majalah saja.
Dalam kehidupan sehari-hari, banyak informasi atau data yang ditampilkan
dalam bentuk tabel, seperti data rekening listrik atau telepon, klasemen akhir Liga
Super Indonesia, data perolehan nilai dan absensi siswa, maupun brosur harga jual
sepeda motor.
Sebagai gambaran awal mengenai materi matriks, mari kita cermati uraian
berikut ini. Diketahui data hasil penjualan tiket penerbangan tujuan Medan dan
Surabaya, dari sebuah agen tiket, selama empat hari berturut-turut disajikan dalam
tabel berikut.
Tabel 4.1: Keterangan situasi tiket penerbangan ke Medan dan Surabaya
Tujuan I Hari ke IV
3 II III 5
Medan 7 42 2
Surabaya 13
Pada saat kamu membaca tabel di atas maka hal pertama yang kamu perhatikan
adalah kota tujuan, kemudian banyaknya tiket yang habis terjual untuk tiap-tiap kota
setiap harinya. Data tersebut, dapat kamu sederhanakan dengan cara menghilangkan
semua keterangan (judul baris dan kolom) pada tabel, dan mengganti tabel dengan
kurung siku menjadi bentuk seperti berikut:
3 4 2 5
7
1 3 2
Berdasarkan bentuk tersebut, dapat kamu lihat bahwa data yang terbentuk terdiri
atas bilangan-bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom. Susunan bilangan
seperti inilah yang dinamakan sebagai matriks.
Berikut ini akan kita cermati lebih dalam lagi mengenai matriks dari masalah-
masalah kehidupan kita sehari-hari.
Matematika 113
Masalah-4.1
Masihkah kamu ingat posisi duduk
sewaktu kamu mengikuti Ujian Nasional
SMP? Maksimal siswa dalam satu ruang
ujian hanya 20 peserta, biasanya disusun
dalam lima baris, empat kolom, seperti
yang disajikan pada Gambar 4.1.
Untuk memudahkan pengaturan
peserta ujian dalam suatu ruangan, pihak
sekolah menempatkan siswa dalam ruang Gambar 4.1 Pelaksanaan Ujian Nasional
ujian dengan pola nomor ujian melalui
Nomor Induk Siswa (NIS), yang ditempelkan di tempat duduk siswa. Misalnya,
nomor ujian peserta di ruang A adalah NIS siswa-11, NIS siswa-12, NIS siswa-13,
NIS siswa-14, NIS siswa-21, NIS siswa-22, NIS siswa-23,... , NIS siswa-44, NIS
siswa-51, NIS siswa-52, NIS siswa-53, NIS siswa-54. Jika nomor peserta ujian
adalah NIS siswa-12, itu berarti posisi peserta saat ujian berada pada baris ke-
1 lajur ke-2, dan jika nomor ujian peserta adalah NIS siswa-34, artinya posisi
peserta tersebut saat ujian berada pada baris ke-3 kolom ke-4. Demikian pula,
jika nomor peserta ujian adalah NIS siswa-51, artinya posisi siswa saat ujian
berada pada baris ke-5 kolom ke-1. Tentunya, untuk setiap peserta ujian yang
memiliki nomor ujian NIS siswa-11, NIS siswa-12, NIS siswa-13, NIS siswa-14,
NIS siswa-21, …, NIS siswa-53, dan NIS siswa-54 dengan mudah memahami
posisi mereka dalam ruang ujian tersebut. Tentukan susunan peserta ujian
ditinjau dari pola Nomor Induk Siswa (NIS)!
Alternatif Penyelesaian
Susunan peserta ujian jika dilihat dari NIS, dalam bentuk baris dan kolom, dapat
kita nyatakan sebagai berikut.
Meja Pengawas Ujian
NIS 11 NIS 12 NIS 13 NIS 14
NIS 22 NIS 23 NIS 24
NIS 21 NIS 32 NIS 33 NIS 34
NIS 42 NIS 43 NIS 44
NIS 31 NIS 52 NIS 53 NIS 54
NIS 41
NIS 51
Gambar 4.2. Denah posisi tempat duduk peserta ujian berdasarkan NIS
114 Kelas X
Masalah-4.2
Masalah lain yang terkait dengan susunan dapat kita amati susunan barang-
barang pada suatu supermarket. Tentunya, setiap manager supermarket
memiliki aturan untuk menempatkan setiap koleksi barang yang tersedia. Coba
kita perhatikan gambar berikut ini!
KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI
Mie Instan
Peralatan Roti dan Permen dan
Dapur Biskuit Coklat
KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI
Sabun
Sampho dan Detergen dan Bumbu
Pasta Gigi Pembersih Dapur
KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI KOLEKSI
Susu
Minuman Beras dan Minyak dan
Botol Tepung Gula
Gambar 4.3 Ruang koleksi barang-barang pada suatu supermarket
Tentukanlah posisi koleksi beras dan tepung pada susunan di atas!
Alternatif Penyelesaian
Gambar di atas mendeskripsikan ruangan koleksi barang-barang suatu
supermarket, yang terdiri atas tiga baris, 4 kolom. Koleksi beras dan tepung terdapat
pada baris ke-3, kolom ke-2. Koleksi barang yang terdapat pada baris ke-2, kolom
ke-4 adalah koleksi bumbu dapur.
♦ Coba kamu sebutkan posisi baris dan kolom setiap koleksi barang yang lain!
♦ Seandainya susunan koleksi barang-barang tersebut juga tersusun bertingkat,
bagaimana matriks yang terbentuk?
Masalah-4.3
Seorang wisatawan lokal hendak berlibur ke beberapa tempat wisata yang ada
di pulau Jawa. Untuk memaksimalkan waktu liburan, dia mencatat jarak antar
kota-kota tersebut sebagai berikut.
Bandung–Bogor 126 km Bandung–Semarang 367 km
Bandung–Yogyakarta 428 km
Bandung–Cirebon 130 km Bogor–Cirebon 256 km
Bandung–Surabaya 675 km
Matematika 115
Bogor–Surabaya 801 km Cirebon–Yogyakarta 317 km
Bogor–Semarang 493 km Surabaya–Semarang 308 km
Bogor–Yogyakarta 554 km Surabaya–Yogyakarta 327 km
Cirebon–Surabaya 545 km Semarang–Yogyakarta 115 km
Cirebon–Semarang 237 km
Tentukanlah susunan jarak antar kota tujuan wisata, seandainya wisatawan
tersebut memulai perjalanannya dari Bandung! Kemudian berikan makna setiap
angka dalam susunan tersebut.
Alternatif Penyelesaian
Wisatawan akan memulai perjalanannya dari Bandung ke kota-kota wisata di
Pulau Jawa. Jarak-jarak antar kota tujuan wisata dituliskan sebagai berikut.
Bandung Bandung Cirebon Semarang Yogyakarta Surabaya Bogor
Cirebon 0 130 367 428 675 126
Semarang 0 237 317 545 256
Yogyakarta 130 237 0 115 308 493
Surabaya 367 317 115 0 327 554
Bogor 428 545 308 327 0 801
675 256 493 554 801 0
125
Dari tampilan di atas, dia cukup jelas mengetahui jarak antar kota tujuan wisata.
Jika kita ingin menampilkan susunan jarak-jarak tersebut, dapat dituliskan sebagai
berikut.
0 130 367 428 675 126
130 0 237 317 545 256
367 493
A = 428 237 0 115 308 554 →
317 115 0 327
675 545 308 437 0 801
126 256 493 554 801 0
Susunan jarak antar kota di pulau Jawa ini, terdiri dari 6 baris dan 6 kolom.
116 Kelas X
Masalah-4.4
Pak Margono yang tinggal di kota P memiliki usaha jasa pengiriman barang.
Suatu ketika, perusahaan pak Margono menerima order mengirim barang ke
kota V. Jika setiap dua kota yang terhubungkan diberi bobot 1, sedangkan dua
kota yang tidak terhubungkan diberi bobot 0. Nyatakanlah persoalan pengiriman
barang tersebut dalam bentuk matriks.
Gambar 4.4 Diagram rute pengiriman barang
Alternatif Penyelesaian
Kata kunci pada persoalan ini adalah keterhubungan antar dua kota, secara
matematis, fungsi keterhubungan antar dua kota tersebut, dinyatakan sebagai berikut:
aij = 0, untuk i= j
1, untuk i≠ j
Dari gambar di atas, kota P terhubungan dengan semua kota, kecuali ke kota V.
Keterhubungan antar dua kota ini, dapat kita nyatakan dalam bentuk matriks seperti
berikut.
♦ Coba temukan lintasan mana yang terpendek untuk membawa barang dari kota
P ke kota V!
PRQT V
P 0 1 1 1 0
R 1 0 1 0 0
X = Q 1 1 0 1 1 → Susunan angka-angka berbentuk persegi.
T 1 0 1 0 0
V 0 0 1 0 0
Matriks representasi keterhubungan antar dua kota, disebut matriks X yang
anggota-anggotanya terdiri dari angka 1 dan 0.
Matematika 117
Dari empat masalah di atas, masalah yang dikaji adalah aturan susunan posisi
setiap objek dan benda dinyatakan dalam aturan baris dan kolom. Banyak baris
dan kolom dikondisikan pada kajian objek yang sedang diamati. Objek-objek yang
disusun pada setiap baris dan kolom harus memiliki karakter yang sama.
Secara umum, matriks didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 4.1
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom
dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegipanjang. Susunan bilangan
itu diletakkan di dalam kurung biasa “ ( )” atau kurung siku “ [ ] “.
Biasanya pelabelan suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital, misalnya A,
B, C, D, ..., dan seterusnya. Secara umum, diberikan matriks A,
a11 a12 a13 a1n → baris ke-1
a21 a22 a23 a2n → baris ke-2
Amxn = a31 a32 a33 a3n → baris ke-3
am1 am2 am3 amn → baris ke-m
kolom ke-n
kolom ke-3
kolom ke-2
kolom ke-1
aij bilangan real, menyatakan elemen matriks pada baris ke-i dan kolom ke-j, i = 1, 2,
3, .., m; j = 1, 2, 3, …, n
Am×n : m menyatakan banyak baris matriks A.
n menyatakan banyak kolom matriks A.
Notasi m × n, menyatakan ordo (ukuran) matriks A, yang menyatakan banyak
baris dan kolom matriks A. Ingat, m menyatakan banyak baris dan n menyatakan
banyak kolom matriks A. Jadi, jika diperhatikan ordo suatu matriks, dapat diketahui
banyaknya elemen-elemen pada matriks.
118 Kelas X
Masalah-4.5
Tentukanlah matriks 4 × 4, A = [aij] yang memenuhi kondisi aij = i(j–1)!
Alternatif Penyelesaian
a11 a12 a13 a14
MaMtraitkrsikAs4×A4 = a21 a22 a23 a24 , nilai aij ditentukan dengan aij = i j−1.
a31 a32 a33 a34 nilai aij, ditentukan dengan aij = ij–1.
a41 a42 a43 a44
• a11 = 11–1 = 1 • a31 = 31–1 = 1
• a12 = 12–1 = 1 • a32 = 32–1 = 3
• a13 = 13–1 = 1 • a33 = 33–1 = 9
• a14 = 14–1 = 1 • a34 = 34–1 = 27
• a21 = 21–1 = 1 • a41 = 41–1 = 1
• a22 = 22–1 = 2 • a42 = 42–1 = 4
• a23 = 23–1 = 4 • a43 = 43–1 = 16
• a24 = 24–1 = 8 • a44 = 43–1 = 64
Jadi, matriks A berordo 4 × 4 yang dimaksud adalah:
1 1 1 1
1
A4×A4 == 1 2 4 8 .
3 9 27
1
4 16 64
Contoh 4.1
Teguh, siswa kelas X SMA Panca Budi, akan menyusun anggota keluarganya
berdasarkan umur dalam bentuk matriks. Dia memiliki Ayah, Ibu, berturut-turut
berumur 46 tahun dan 43 tahun. Selain itu dia juga memiliki kakak dan adik, secara
berurut, Ningrum (22 tahun), Sekar (19 tahun), dan Wahyu (12 tahun). Dia sendiri
berumur 14 tahun.
Berbekal dengan materi yang dia pelajari di sekolah dan kesungguhan dia dalam
berlatih, dia mampu mengkreasikan susunan matriks, yang merepresentasikan umur
anggota keluarga Teguh, sebagai berikut (berdasarkan urutan umur dalam keluarga
Teguh).
Matematika 119
i. Alternatif susunan I
46 43
46 43 1d22e2ngaTn3×b2 e=ror12d42o
T2×3 = 19 14 19
12 3.
Matriks T2×3 adalah matriks persegipanjang 2×
ii. Alternatif susunan II
46 43 22 46 43
19 14 T3×2 = 22
T2×3 = 12 14 19
12
Matriks T3×2 adalah matriks berordo 3 × 2.
Dapatkah kamu menciptakan susunan matriks, minimal dua cara dengan cara yang
berbeda? Kamu perlu memikirkan cara lain yang lebih kreatif!
2. Jenis-Jenis Matriks
Contoh 4.1 di atas, menyajikan beberapa variasi ordo matriks yang merepre-
sentasikan umur anggota keluarga Teguh. Secara detail, berikut ini akan disajikan
jenis-jenis matriks.
a. Matriks Baris
Matriks baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris saja. Biasanya, ordo
matriks seperti ini, 1 × n, dengan n banyak kolom pada matriks tersebut.
T1×2 = [46 43], matriks baris berordo 1 × 2 yang merepresentasikan umur
orang tua Teguh.
T1×4 = [22 19 14 12], matriks baris berordo 1 × 4 yang merepresentasikan
umur Teguh dan saudaranya.
b. Matriks Kolom
Matriks kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom saja. Matriks kolom
berordo m × 1, dengan m banyak baris pada kolom matriks tersebut. Perhatikan
matriks kolom berikut ini!
43
T3×1 = 22 , matriks kolom berordo 3 × 1, yang merepresentasikan umur semua
19 wanita pada keluarga Teguh.
120 Kelas X
46
43
43 22 , matriks kolom berordo 5 × 1, yang merepresentasikan umur kedua
T2×1 = 2 2 T5×1 = 19 orang tua Teguh dan ketiga saudaranya.
19
12
c. Matriks Persegipanjang
Matriks persegipanjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan
banyak kolomnya. Matriks seperti ini memiliki ordo m × n.
T2×3 = 46 43 22 , matriks persegipanjang berordo 2 × 3, yang merepresen-
19 14 tasikan umur anggota keluarga Teguh.
12
46 43
T3×2 = 22
14 19 , matriks persegipanjang berordo 3 × 2, yang merepresentasikan
umur semua anggota keluarga Teguh.
12
d. Matriks Persegi
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama.
Matriks ini memiliki ordo n × n.
T2×2 = 46 43 , matriks persegi berordo 2 × 2, yang merepresentasikan umur
22 orang tua Teguh dan kedua kakaknya.
19
Jika kita meninjau matriks persegi berordo 4 × 4 di bawah ini.
a11 a12 a13 a14 Diagonal Samping matriks H
Diagonal Utama matriks H
T2×2 = 46 42 H4H×44×=4 a21 a22 a23 a24
22 a32 a33
19 a31 a42 a43 a34
a41 a44
Diagonal utama suatu matriks, yaitu semua elemen matriks yang terletak pada
garis diagonal dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah. Diagonal samping
matriks, yaitu semua elemen matriks yang terletak pada garis diagonal dari sudut
kiri bawah ke sudut kanan atas.
e. Matriks Segitiga
Mari kita perhatikan matriks F dan G berordo 4 × 4. Jika terdapat pola susunan
pada suatu matriks persegi, misalnya:
Matematika 121
−2 3 7 12 13 0 0 0
F4×F4 == 0 5 −8 4 F = 5 1 0 0
0 0 2 3
6 8 10 0
0 0 0 13 2 −4 2 5
atau jika polanya seperti berikut ini.
−2 3 7 12 13 0 0 0
0 5 −8 4 G 4×F4 == 5 1 0 0
0 0 2 6 3
8 10 0
0 0 0 13 2 −4 2 5
maka matriks persegi yang berpola seperti matriks F dan G disebut matriks
segitiga.
Jadi, matriks segitiga merupakan suatu matriks persegi berordo n × n dengan
elemen-elemen matriks di bawah atau di atas diagonal utama semuanya nol.
f. Matriks Diagonal
Dengan memperhatikan konsep matriks segitiga di atas, jika kita cermati
kombinasi pola tersebut pada suatu matriks persegi, seperti matriks berikut ini.
2 0 0
Y = 0 0 0
0 0 3
12 0 0 0 0
0
0 6 00
B = 0 0 4 0 0
0
0 0 03
0 0 0 0 1
maka matriks persegi dengan pola “semua elemennya bernilai nol, kecuali
elemen diagonal utama tidak semuanya bernilai nol”, disebut matriks diagonal.
g. Matriks Identitas
Mari kita cermati kembali matriks persegi dengan pola seperti matriks berikut
ini.
122 Kelas X
1 0 0 0
0 0
• •I4×I4 4=×4 0 1 0 0
0 1
0 0 0 1
1 0 0
• •I3×I33=×3 0 1 0
0 0 1
• •I2×I2 2=×2 1 0
0 1
Cermati pola susunan angka 1 dan 0 pada ketiga matriks persegi di atas. Jika
suatu matriks persegi unsur diagonal utamanya adalah 1 dan unsur yang lainnya
semua nol disebut matriks identitas. Matriks identitas dinotasikan sebagai I
berordo n × n.
h. Matriks Nol
Jika elemen suatu matriks semuanya bernilai nol, seperti berikut:
• •Q2×O3 2=×3 0 0 0 , atau
0 0 0
0 0
• •Q3×O2 3=×2 0 0 , atau
0
0
[• •Q1×O31=×3 0 0 0], maka disebut matriks nol.
3. Transpos Matriks
Pak Susilo, pensiunan PLN, memiliki banyak koleksi buku, majalah, dan novel
yang pernah dia beli maupun terima selama dia masih aktif sebagai pegawai PLN.
Karena begitu banyak koleksi buku tersebut, ditambah lagi ruang koleksinya tidak
memadai, Pak Susilo berniat akan menghibahkan semua buku-buku tersebut ke
kampung halamannya, yaitu di Tegal. Sebelum ke mobil dibawa Parman, cucunya,
membantu menyusun buku-buku tersebut dalam tumpukan-tumpukan seperti pada
gambar di bawah ini.
Matematika 123
Ruang Baca
P Buku Majalah Majalah Buku Buku Buku
e Komik Sport Teknik
n Motivasi Matematika Fisika
g
a
n Buku Novel Majalah Buku Buku Bahasa
g Kimia Petualang Furniture Rohani Budaya Inggris
k
u
t Koleksi Majalah Buku Buku Buku Majalah
a Kamus Intisari Peta Sejarah Autbio- Fashion
n graphy
Gambar 4.5. Diagram susunan koleksi buku-buku
Jika direpresentasikan semua koleksi tersebut dalam matriks, dengan sudut
pandang dari ruang baca, akan diperoleh matriks persegi panjang berordo 3 × 6. Kita
sebut matriks B,
BKo MS MT BMo BMa BF
B3×B6 3=×6 BKi NP MF BR BB BI
KK MI BP BS BA MF
Selanjutnya, karena halaman rumah Pak Susilo yang tidak cukup untuk ruang
gerak truk sehingga truk harus diparkir di sebelah Barat ruang baca Pak Susilo. Pihak
pengangkutan menyusun semua koleksi tersebut menurut barisan buku yang terdekat
ke truk. Matriks B, berubah menjadi:
BKo BKi KK
NP
MS MF MI
BR
B6×3 = MT BB BP
BI
BMo BS
BMa BA
BF
MF
Dengan memperhatikan kedua matriks B3×6 dan B6×3, dalam kajian yang sama,
ternyata memiliki relasi. Relasi yang dimaksud dalam hal ini adalah “perubahan
posisi elemen matriks”, atau disebut transpos matriks, yang diberi simbol Bt sebagai
124 Kelas X
transpos matriks B. Namun beberapa buku menotasikan transpos matriks B dengan
atau B'.
Perubahan yang dimaksud dalam hal ini adalah, setiap elemen baris ke-1 pada
matriks B menjadi elemen kolom ke-1 pada matriks Bt, setiap elemen baris ke-2 pada
matriks B menjadi elemen kolom ke-2 pada matriks Bt, demikian seterusnya, hingga
semua elemen baris pada matriks matriks B menjadi elemen kolom pada matriks Bt.
Hal inilah yang menjadi aturan menentukan transpos matriks suatu matriks.
Contoh 4.2
2 3 5 7
a. Diberikan matriks S = 5 10 15 20 , maka transpos matriks S, adalah
3 6 9 12
−3
2 5 3 1 0 5 3 1 14 2 2
2 3 5 7 10 4 14 4 9 5 172 .
10 15 20 3 15 6 2 9 8 2 0 4 8
5 6 9 12 St = 5 20 At = 6 C = 5 12 6 , maka Ct = 5 2 6
9 7
3 23 8
7 3 4 3 4
19
−3
4
b. Jika A = [–3 4 6 8 19], maka At = 6 ,
8
19
1 0 5 3 1 14 2 3
14 2 0
c. Jika C = 2 9 4 6 , maka Ct = 5 9 5 7 .
5 8 4 8
3 12
7 12 4
3 2 6 4
Dari pembahasan contoh di atas, dapat kita pahami perubahan ordo matriks. Misalnya,
jika matriks awal berordo m × n, maka transpos matriks berordo n × m.
Coba kamu pikirkan…
• Mungkinkah suatu matriks sama dengan transposnya? Berikan alasanmu!
• Periksa apakah (At + Bt ) = (A + B)t, untuk setiap matriks A dan B berordo m × n?
Matematika 125
4. Kemandirian Dua Matriks
Pada suatu kompleks perumahan ruko di daerah Tangerang memiliki ukuran
yang sama dan bentuk bangun yang sama. Gambar di bawah ini mendeskripsikan
denah pembagian gedung-gedung ruko tersebut.
Gedung Gedung Gedung Gedung
6A 5A
J 5B 6B
Gedung Gedung Gedung Gedung
7A 4A
A 4B 7B
Gedung Gedung
8A 3A Gedung Gedung
L 3B 8B
Gedung Gedung A Gedung Gedung
9A 2A 2B 9B
NGedung
10A
Gedung Gedung Gedung
1A 1B 10B
Blok A Blok B
Gerbang Utama
Gambar 4.6 Denah komplek ruko
Dari denah di atas dapat dicermati bahwa Blok A sama dengan Blok B, karena
banyak Ruko di Blok A sama dengan banyak Ruko di Blok B. Selain itu, penempatan
setiap Ruko di Blok A sama dengan penempatan Ruko di Blok B. Artinya 10 Ruko
di Blok A dan Blok B dibagi dalam dua jajaran.
Dari ilustrasi di atas, kita akan mengkaji dalam konteks matriks. Dua matriks
dikatakan sama jika memenuhi sifat berikut ini.
Definisi 4.2
Matriks A dan matriks B dikatakan sama (A = B), jika dan hanya jika:
i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B.
ii. Setiap elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai
yang sama, aij = bij (untuk semua nilai i dan j).
Contoh 4.3
Tentukanlah nilai a, b, c, dan d yang memenuhi matriks Pt = Q, dengan
2a − 4 3b b−5 3a − c 4
P = d + 2a 3 6 7
2c dan Q = .
4 7
126 Kelas X
Penyelesaian
Karena P merupakan matriks berordo 3 × 2, maka Pt merupakan matriks berordo
2 × 3. Sedangkan matriks Q merupakan matriks berordo 2 × 3. Oleh karena itu
berlaku kesamaan matriks Pt = Q.
Pt 2a2a− −4 4 d d+ +2a2a 44 .=A=kbib−b3at−53n5ya3, ak36ea−s6a−cmcaan74P74t = .Q.
Dengan = 77 dapat dituliskan:
3b3b 2c2c
2a − 4 d + 2a 4 = b − 5 3a − c 4 .
3b 7 3 6 7
2c
Dari kesamaan di atas, kita temukan nilai a, b, c, dan d sebagai berikut:
• 3b = 3 maka b =1, dan 2c = 6 maka c = 3.
• 2a – 4 = –4 maka a = 0.
• Karena a = 0 maka d = –3.
Jadi, a = 0, b = 1, c = 3, dan d = –3.
Uji Kompetensi 4.1
1. Diketahui matriks M = [2 6 12 7 11] d. Selisih elemen baris ke-6 pada
matriks N terhadap elemen
2 kolom ke-2 pada matriks M!
4
6 e. Elemen baris ke-7 pada matriks
dan N = 8 . Dari matriks M dan N, N. Silahkan jelaskan!
7 2. Menurut kamu, apakah ada
0 batasan banyak baris dan kolom
untuk membentuk suatu matriks?
tentukanlah : Jelaskan!
a. Elemen baris ke-1 kolom ke-3 3. Coba berikan contoh yang lain
(selain yang disajikan di atas)
pada matriks M! mengenai matriks yang dapat
dijumpai dalam kehidupan sehari-
b. Elemen kolom ke-1 baris ke-5 hari!
pada matriks N! 4. Menurut kamu, teknologi apakah
yang menggunakan konsep matriks
c. Hasil perkalian elemen baris yang sedang kita pelajari ini? Tolong
deskripsikan!
ke-2 pada matriks N dengan
elemen kolom ke-4 pada
matriks M!
Matematika 127
5. Buatlah matriks yang terdiri dari 5 dan lima pengasuh. Biro tersebut
baris dan 3 kolom, dengan semua mengevaluasi tingkat kecocokan
elemennya adalah 15 bilangan prima antara klien dan pengasuh bayi
yang pertama. Tentukan transpos dalam sebuah tabel dengan skala
matriksnya! nol sampai sepuluh; nilai nol artinya
klien tidak cocok dengan pengasuh
6. Jika elemen suatu matriks merupakan bayi dan nilai sepuluh untuk klien
yang sangat cocok dengan pengasuh.
anggota bilangan kuadrat, buatlah Tabel peringkat tersebut sebagai
berikut!
matriks yang terdiri dari 7 baris
dan 2 kolom! Tentukan transpos
7. Tmdaeeiajnnt=gtruiakkn1s−ana1njytliuaakjrih!akanam:iai−t−rijkj>s≤1b1e!rordo 5 × 5, Nama Pengasuh Bayi
Tarsi Inem Wati Nurlela Marni
KLIEN Ibu 7 4 7 3 10
1 jika i− j >1 Ratna
−1 jika i− j ≤1
aij = ! Ibu 5 9 3 8 7
Santi
Ibu 3 5 6 2 9
Bonita
8. Menurut ilmu kedokteran, Ibu 6 5 0 4 8
dikatakan bahwa terdapat relasi Soimah
antara berat badan dengan tinggi Bagaimanakah biro jasa tersebut
badan seseorang. Bisakah kamu menugaskan pengasuh-pengasuhnya
merepresentasikan persoalan terse- agar dapat memaksimumkan jumlah
but ke dalam matriks? (Silahkan angka kecocokan antara klien
gunakan data berat badan dan tinggi dengan pengasuh?
badan teman sekelasmu)! 11. Untuk matriks-matriks berikut, ten-
tukan pasangan-pasangan matriks
9. Jelaskan nilai kebenaran untuk yang sama.
setiap pernyataan berikut ini!
AA == ddaa bb cc ,,
a. Dua matriks yang berordo sama ee ff
merupakan syarat perlu bagi
dua matriks yang sama. BB == 002233 112244 ,, t
t
b. Dua matriks yang sama CC == 1122 00 33 ,,
merupakan syarat cukup bagi 22 44
dua matriks yang sama.
Petunjuk: Jika kamu belum paham
arti syarat cukup dan syarat perlu,
silahkan tanyakan pada gurumu!
10. Masalah Penugasan Pengasuh Bayi. DD == pp qq rr ..
Sebuah biro jasa penyedia pengasuh ss tt uu
bayi mempunyai empat klien
128 Kelas X
12. Diketahui matriks-matriks 14. Pada tahun ajaran baru, Anas
−3a a − 2b mewakili beberapa temannya untuk
2d + c
T = b+ c e − 3 f dan R = 8 4 −01dmae.nm4bebluia5h buah buku Matematika
2 10 buku Biologi. Dia harus
e − 2d
membayar sebesar Rp410.000,00
−3a a − 2b
b+c 2d + c R = 8 4 0 . Pada saat yang bersamaan, Samad
− 2d e − 3 f dan 2 10 −1
mewakili teman-teman yang lainnya
membeli 10 buah buku Matematika
a) Tentukan transpos dari matriks dan 6 buah buku Biologi. Samad
T! harus membayar Rp740.000,00
b) Jika Rt = T, tentukanlah nilai untuk semuanya.
a, b, c, d, e, dan f! Nyatakanlah persoalan tersebut
dalam bentuk matriks dan
a b c r selvessaiwkt an.lah!
13. Diketahui matriks A = e X = u
d f
A = ddaan bematrcfiks X = r s wt .
u v
Syarat apakah yang harus dipenuhi
supaya matriks A sama dengan
matriks X?. Jelaskan!
Projek
Temukan contoh penerapan matriks dalam ilmu komputer, bidang ilmu fisika,
kimia, dan teknologi informasi. Selanjutnya coba terapkan berbagai konsep dan
aturan matriks dalam menyusun buku teks di sebuah perpustakaan. Pikirkan
bagaimana susunan buku teks, seperti: buku matematika, fisika, biologi, kimia,
dan IPS dari berbagai jenisnya (misalnya jenis buku matematika, tersedia
buku aljabar, geometri, statistika, dan lain-lain) tampak pada susunan baris
dan kolom sebuah matriks. Kamu dapat membuat pengkodean dari buku-
buku tersebut agar para pembaca dan yang mencari buku tertentu mudah
untuk mendapatkannya. Buat laporan hasil kerja kelompokmu dan hasilnya
disajikan di depan kelas.
Matematika 129
5. Memahami Operasi Sederhana Matriks serta Menerapkannya dalam
Pemecahan Masalah
a. Operasi Hitung pada Matriks
1) Penjumlahan Dua Matriks
Untuk memudahkan kita memahami penjumlahan dua matriks, mari kita
cermati contoh masalah berikut ini.
Masalah-4.6
Sebuah perusahaan garmen memiliki dua pabrik yang berlokasi di Jakarta dan
Surabaya. Perusahaan itu memproduksi dua jenis produk, yaitu baju dan jas.
Biaya untuk bahan ditangani oleh sebuah departemen dan upah buruh ditangani
oleh pabrik departemen lainnya. Biaya untuk setiap jenis produk diberikan pada
matriks berikut.
Pabrik di Surabaya Pabrik di Jakarta
(dalam Jutaan) (dalam Jutaan)
Bahan Baju Jas Bahan Baju Jas
Buruh 200 600 Buruh 125 450
20 80 25 90
Alternatif Penyelesaian
Jika kita misalkan matriks biaya di Surabaya, sebagai matriks S dan biaya matriks
di Jakarta sebagai matriks J, maka biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan
untuk kedua pabrik tersebut dapat diperoleh, sebagai berikut.
♦ Total biaya bahan untuk baju = 200 + 125 = 325
♦ Total biaya bahan untuk jas = 600 + 450 = 1050
♦ Total biaya buruh untuk baju = 20 + 25 = 45
♦ Total biaya buruh untuk jas = 80 + 90 = 170
Jika keempat total biaya tersebut dinyatakan dalam matriks, adalah sebagai berikut:
Total Biaya Pabrik
(dalam Jutaan)
Bahan Baju Jas
Buruh 325 1050
45 170
Penjumlahan kedua matriks biaya di atas dapat dioperasikan diakibatkan kedua
matriks biaya memiliki ordo yang sama, yaitu 2 × 2. Seandainya ordo kedua matriks
130 Kelas X
biaya tersebut berbeda, kita tidak dapat melakukan operasi penjumlahan terhadap
kedua matriks.
Nah, melalui pembahasan di atas, tentunya dapat didefinisikan penjumlahan dua
matriks dalam konteks matematis.
Definisi 4.3
Misalkan A dan B adalah matriks berordo m × n dengan elemen-elemen Aaij dan
bij. Jika matriks C adalah jumlah matriks A dengan matriks B, ditulis C = + B,
matriks C juga berordo m × n dengan elemen-elemen ditentukan oleh:
cij = aij + bij (untuk semua i dan j).
Catatan:
Dua matriks dapat dijumlahkan hanya jika memiliki ordo yang sama. Ordo matriks
hasil penjumlahan dua matriks adalah sama dengan memiliki ordo yang sama dengan
matriks yang dijumlahkan.
Contoh 4.4
a) Jika diketahui matriks P = 10 2 4 , Q = 2 2 8 , mP a+kQa = 10 + 2 2+2 4+8
3 5 1 0 1 3+0
1 1+1 5 + 1
, Q = 2 2 18 , P + Q = 10 + 2 2+2 4 + 8 = 12 4 12 .
1 0 3+0 5 + 1 3
1+1 2 6
Jika dimisalkan R = P + Q, maka hasil jumlah matriks P dan Q adalah
R = 12 4 12 .
3
2 6
b) RdD=aink1e2O2ta+huT43i m= a1T6t2.rik.s T = 6 3 1
5 5 0 , maka mari kita tunjukkan bahwa T + O = T
1 3 7
Matriks O dalam hal ini adalah matriks nol berordo 3 × 3, karena matriks tersebut
akan dijumlahkan dengan matriks T berordo 3 × 3 juga.
6 3 1 0 0 0 6 + 0 3 + 0 1+ 0 6 3 1
T + O = 5 5 0 + 0 0 0 = 5 + 0 5 + 0 0 + 0 = 5 5 0 = T
1 3 7 0 0 0 1+ 0 3 + 0 7 + 0 1 3 7
0 0 0 6 3 1 0 + 6 0 + 3 0 +1 6 3 1
O + T = 0 0 0 + 5 5 0 = 0 + 5 0 + 5 0 + 0 =Ma5tem5atik0a = T131
0 0 0 1 3 7 0 +1 0 + 3 0 + 7 1 3 7
6 3 1 0 0 0 6 + 0 3 + 0 1+ 0 6 3 1
T + O = 5 5 0 + 0 0 0 = 5 + 0 5 + 0 0 + 0 = 5 5 0 = T
1 3 7 0 0 0 1+ 0 3 + 0 7 + 0 1 3 7
0 0 0 6 3 1 0 + 6 0 + 3 0 +1 6 3 1
O + T = 0 0 0 + 5 5 0 = 0 + 5 0 + 5 0 + 0 = 5 5 0 = T
0 0 0 1 3 7 0 +1 0 + 3 0 + 7 1 3 7
Dalam kajian selanjutnya, jika dikatakan matriks nol, maka kita harus memikirkan
matriks nol dengan ordo yang sama dengan matriks tidak nol yang sedang dikaji.
Demikian juga halnya untuk matriks identitas, I.
2) Pengurangan Dua Matriks
Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita terapkan untuk memahami
konsep pengurangan matriks A dengan matriks B.
Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n. Pengurangan matriks
A dengan matriks B didefinisikan sebagai jumlah antara matriks A dengan lawan dari
matriks –B, ditulis:
A – B = A + (–B).
Matriks –B dalam merupakan matriks yang elemennya berlawanan dengan setiap
elemen yang bersesuaian matriks B.
Contoh 4.5
Mari kita cermati contoh berikut ini.
−2 9
a) Jika K = −32 dan L = 79 , maka
Jika K = 53 dan L = 75 , maka
5 −−322+5−−−799 −11
K − L = K + (−L) = = −−141 .
K − L = K + (−L) = 53 + −−75 = −04 .
b) DXik=eta115hui m733 at,riYks=-ma6225triks844X−,, 5Yd,adnanZZ0=seb722aga1i331ber1i55k3ut:
X = 95 171 , Y = 160 182 , dan Z = 177 1191 1233
9 11 10 12 17 19 23
Jika ada, tentukan pengurangan-pengurangan matriks berikut ini:
i) Y – X ii) Y – Z iii) X – Z.
132 Kelas X
Penyelesaian
Matriks X dan Y memiliki ordo yang sama, yaitu berordo 3 × 2. Sedangkan matriks
Z berordo 3 × 2. Oleh karena itu, menurut aturan pengurangan dua matriks, hanya
bagian i) saja yang dapat ditentukan, ii) dan iii) tidak dapat dioperasikan, (kenapa)?
2 4 −1 −3 1 1
−5 1 1 .
Jadi, Y − X = 6 8 + −7 =
10 12 −9 −11 1 1
Dari pemahaman contoh di atas, pengurangan dua matriks dapat juga dilakukan
dengan mengurangkan langsung elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks
tersebut, seperti yang berlaku pada penjumlahan dua matriks, yaitu: A – B =
[aij] – [bij].
Diskusi
Operasi penjumlahan dikatakan bersifat komutatif jika a + b = b + a, untuk setiap
a, b bilangan real.
• Dalam kajian matriks, apakah A + B = B + A?
• Bagaimana dengan operasi pengurangan dua matriks? Apakah A – B = B – A?
Silahkan diskusikan!
3) Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks
Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh karena
itu perkalian real terhadap matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan
matriks.
Sebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A – B = A + (–B), (–B) dalam
hal ini sebenarnya hasil kali bilangan –1 dengan semua elemen matriks B. Artinya,
matriks (–B) dapat kita tulis sebagai:
–B = k.B, dengan k = –1.
Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut.
Matematika 133
Definisi 4.4
Misalkan A adalah suatu matriks berordo m × n dengan elemen-elemen ariej daal nk
k adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan
terhadap matriks A, dinotasikan: C = k.A, bila matriks C berordo m × n dengan
elemen-elemennya ditentukan oleh:
cij = k.aij (untuk semua i dan j).
Contoh 4.6
222 333 222×××222 222×××333 444 666
aaa))) JJJiikikkaaa HHH===444 555,,, mmmaaakkkaaa 222..HH.H===222×××444 222×××555===888 111000...
111 222 222×××111 222×××222 222 444
141−2818,3−206410043m131133114.4×a−××65k××4(−a113−262158043,0422).mH,b=ba11 44abb==)m)1k3=))))××1))a×1133a311J 23J33kJJJJi2222××(2i 6JJikia14iik−2kk11××iikk×aakk 11aa85aa612411=aa251266LL55)HMLLL==43342221====43=11==8×××××8811152340312411104031242280033110044221238=ab1313=))×3523×)×331−434361141841162−−3−266030J3−21J842882,××33−−2200J04i×0411×3i043kik00443362mk414aa14404−8a528111a5637−−885564465H560−kL−62114411−−13a11111158113385=3454211,11.4.4=25858×2,=5522,,422××2××m××44(m.mm,3−2,3142H11562a,,=a0301404362aamk04==m2k)mmkk=a16aa5a231aa4aak1144k281kk1144−a14222218a8282,133−20aa11441×××××04311×33m6122313214266112222××(04a6−L−L0044256k11LL4141−a85=1143=222+=21==3344358×,××33)26322266523.m223434H=,13=13=431313131a3×13×====11331133×=mk×=×××1××4××a××11432111044a280311031144114422.k0033×8×2422222..××a14××431××4×113414344−288142220128811××6401313L6211113333113311442×22111313330×4−11=114.44434××××××65×××××(××××4××××3−((23−26252333−−2204343340664223.04004433)004413=××1313))=×3××1144116414131111444401332842211××33××11×33××××11×33111×1×3333314××(33××62××××−((81−266111164−−2201111185851113=2858521133==2211).44×))××××43(43==43433−24343==62××043××××0414)1110444104281100442288114413××34143−111×33843134134438−−001388××100××(11××××6−622116622104−85004465=265−−456564)443434.344343433443=..××××××××
18 2 12 24 36
36 45 54 = 48 60 2 == 132. 6 18 2 = 12 24 36 = .
15 18 36 45 54 48 60 2
134 Kelas X
Diskusi
Diskusikan dengan temanmu satu kelompok masalah berikut.
M suatu matriks b+eqro) r×doMm, m×ankdaemngaatrnikesleCmbeenro-erdleommen×anij,dpednagnaqn
real. Jika C = (p adalah bilangan
elemen-elemen
cij = (p + q)aij untuk setiap i dan j. Sehingga (p + q) M = p × M + q x M.
d) Diketahui matriks P = 2 3 dan Q = 5 6 . Jika c = −1, maka
5 7 8 10
c × (P − Q) = −1× 2 3 − 5 6 = −1× −3 −3 .
5 7 8 10 −3 −3
Diskusi
Diskusikan dengan temanmu satu kelompok bahwa jika matrik P dan Q
merupakan dua matriks berordo sama, dan c adalah bilangan real, maka c × (P –
Q) = c × P – c × Q. Tentunya hasil c × (P – Q) sama dengan c × P – c × Q. Untuk
matriks P dan Q berordo m × n, dan c suatu skalar, c bilangan real. Silahkan
diskusikan bahwa c × (P + Q) = c × P + c × Q.
12 30 10 da1n q1= 1. 1 1 2 3 34
5 6 2 3 4 3 4 23
e) Dengan menggunakan matriks L = 0 24 18 dan p = 2
8
6 16
Kita dapat memahami bahwa:
12 30 10 6 15 5
1×qL1.L= =1 12×13. 10 2243 321168 43 = 9 .
q 56 2 46 3 84 0 12 8
3 4
Jika kita mengalikan hasil p dengan q, maka kita akan peroleh:
6 15 5 12 30 10
p × (q ×p.L()q.=L)2= ×2. 0 12
9 = 0 24 18 .
3 4 8 6 8 16
Matematika 135
Karena p dan q adalah skalar, ternyata dengan mengalikan p dengan q terlebih
dahulu, kemudian mengalikannya dengan matriks L, merupakan langkah lebih
efektif untuk menyelesaikan p × (q × L).
Sekarang, untuk matriks M berordo m × n, p dan q adalah skalar anggota
Himpunan Bilangan Real, tunjukkan bahwa: p × (q × L) = (p × q).L.
4) Perkalian Dua Matriks
Masalah-4.7
Suatu perusahaan yang bergerak pada bidang jasa akan membuka tiga cabang
besar di pulau Sumatera, yaitu cabang 1 di kota Palembang, cabang 2 di kota
Padang, dan cabang 3 di kota Pekanbaru. Untuk itu, diperlukan beberapa
peralatan untuk membantu kelancaran usaha jasa tersebut, yaitu handphone,
komputer, dan sepeda motor. Di sisi lain, pihak perusahaan mempertimbangkan
harga per satuan peralatan tersebut. Lengkapnya, rincian data tersebut disajikan
sebagai berikut.
Cabang 1 Handphone Komputer Sepeda Motor Harga 2
Cabang 2 (unit) (unit) (unit) Handphone 5
Cabang 3 15
7 8 3 (jutaan)
5 6 2 Harga
Komputer
4 5 2 (jutaan)
Harga Sepeda
Motor
(jutaan)
Perusahaan ingin mengetahui total biaya pengadaan peralatan tersebut di
setiap cabang.
Alternatif Penyelesaian
Tidaklah sulit menyelesaikan persoalan di atas. Tentunya kamu dapat menjawabnya.
Sekarang, kita akan menyelesaikan masalah tersebut dengan menggunakan konsep
matriks.
7 8 3 2
Kita misalkan, matriks C3×3 = 5 6 2 , ya5ng. merepresentasikan jumlah unit
4 5 2 15
136 Kelas X
7 8 3 2
ma5trik6s D23×1=,
setiap peralatan yang dibutuhkan di setiap cabang, dan 4 5 2 5 ., yang
merepresentasikan harga per unit setiap peralatan.
15
Untuk menentukan total biaya pengadaan peralatan tersebut di setiap cabang, kita
peroleh sebagai berikut.
• Cabang 1
Total biaya = (7 unit handphone × 2 juta) + (8 unit komputer × 5 juta) + (3 unit
sepeda motor ×15 juta).
= Rp99.000.000,00
• Cabang 2
Total biaya = (5 unit handphone × 2 juta) + (6 unit komputer × 5 juta) + (2 unit
sepeda motor × 15 juta)
= Rp70.000.000,00
• Cabang 3
Total biaya = (4 unit handphone × 2 juta) + (5 unit komputer × 5 juta) + (2 unit
komputer × 5 juta)
= Rp43.000.000,00
Jadi, total biaya pengadaan peralatan di setiap unit dinyatakan dalam matriks berikut:
99.000.000
R3×1 = 70.000.000.
43.000.000
Dapat kita cermati dari perkalian di atas, bahwa setiap elemen baris pada matriks C
berkorespondensi satu-satu dengan setiap elemen kolom pada matriks D. Seandainya
terdapat satu saja elemen baris ke-1 pada matriks C tidak memiliki pasangan dengan
elemen kolom ke-1 pada matriks D, maka operasi perkalian terhadap kedua matriks
itu tidak dapat dilakukan. Jadi, dapat disimpulkan operasi perkalian dua matriks
dapat dilakukan jika banyak baris pada matriks C sama dengan banyak kolom pada
matriks D.
Secara matematis, kita dapat menyatakan perkalian dua matriks sebagai berikut.
Misalkan matriks An×m dan matriks Bp×n, matriks A dapat dikalikan dengan matriks B
jika banyak baris matriks A sama dengan banyak kolom B. Hasil perkalian matriks A
berordo n × m terhadap matriks B berordo p × n adalah suatu matriks berordo m × p.
Proses menentukan elemen-elemen hasil perkalian dua matriks dipaparkan sebagai
berikut.
Matematika 137
a11 a12 a13 a1n b11 b12 b13 b1p
a21 a22 a23 a2n b21 b22 b23 b2 p
Am×n = a31 a32 a33 a3n , dan Bn× p = b31 b32 b33 b3 p
an1 an2 an3 anp
am1 am2 am3 amn
Jika C adalah matriks hasil perkalian matriks Am×n terhadap matriks Bn×p, dinotasikan
C = A × B, maka
• Matriks C berordo m × p.
• Elemen-elemen matriks C pada baris ke-i dan kolom ke-j, dinotasikan cij,
diperoleh dengan cara mengalikan elemen baris ke-i dari matriks A terhadap
elemen kolom ke-j dari matriks B, kemudian dijumlahkan. Dinotasikan
cij = ai1.b1j + ai2.b2j + ai3.b3j + … + ain.bnj
Mari kita pelajari contoh-contoh di bawah ini, untuk memudahkan kita mengerti akan
konsep di atas!
Contoh 4.7
a11 a12 a13 b1111 b1122 b1133
a2b311 , dba12n Bb331××333= b2211
a) Diketahuia1m1 atrai1k2s Aa3×133 = a21 a22 b2222 b2233 ,
A3×3 = a21 a22 a23 , daa31n Ba33×23 = a3b321 b22 b23 , b3311 b3322 b3343
matriks haas3i1l paeaa1r2322k2 alAiaaaBa.1B23n3333×3=m.×=abbaata1r2132b1b1i111k1211sbbAaaa12b123b22222d1222anbbaaa12mb3b3132b33312333a1t.r,ibbbkb132s31112B,bbbb13232224 b13
A ×A.B = b23
a11 b34
a21
a31 a32 a33 b3b1 31 b3b2 32 b3b4 33
a11.b11 + a12.b21 + a13.b31 a11.b12 + a12.b22 + a13.b32 a11.b13 + a12.b23 + a13.b33
a21.b12 + a22.b22 + a23.b32
= a21.b11 + a22 .b21 + a23 .b31 a21.b13 + a22 .b23 + a23 .b33
a21.b11 + a22.b21 + a23.b31 a31.b12 + a32.b22 + a33.b32 a31.b13 + a32.b23 + a33.b33
Sekarang, silahkan tentukan hasil perkalian matriks B terhadap matriks A.
Kemudian, simpulkan apakah berlaku atau tidak sifat komutatif pada perkalian
matriks? Berikan alasanmu!
b) Mari kita tentukan hasil perkalian matriks 11 642642.×.1212 33 0404, , dengan meng-
33 22
55
138 Kelas X
gunakan konsep perkalian dua matriks di atas, diperoleh:
1 2 . 12 3 4 = 1.2 + 2.1 1.3 + 2.2 1.4 + 2.0 4 7 4
3 4 2 0 3.2 + 4.1 3.3 + 4.2 3.4 + 4.0 = 10 17 12 .
5 6 5.2 + 6.1 5.3 + 6.2 5.4 + 6.0 16 27 20
Dengan menggunakan hasil diskusi yang kamu peroleh pada contoh a), silahkan
periksa apakah matriks 2 3 4 1 642dik?alik10an −0d1enga12n m32 atr04iks 1 2 0 −1
1 2 0 dap3at 3 4 ? 1
5 6 0
5
Berikan penjelasanmu!
Contoh 4.8
1 2
D12ike32tahu04i mat3riks4A ?= 0 −1 . Tentukanlah A2013!
1
5 6 0
Penyelesaian
Mari cermati langkah-langkah berikut!
A2 = A× A = 0 −1 × 0 −1 = −1 0 = −1× 1 0 = −1× I = −I
1 1 −1 0 1
0 0 0
JJika A2 = –I, maka A4 = I. Artinya, untuk setiap pangkat matriks A kelipatan 2, akan
ditemukan matriks identitas.
Selanjutnya, 2013 dapat kita tuliskan sebagai berikut:
2013 = 4.(503) + 1.
Akibatnya,
A2013 = A(4.(503)+1) = (A4)503.A1.
Matriks A4 = I, dan In = I, n = 1, 2, 3, …, akibatnya berlaku, (A4)503 = I.
Oleh karena itu,
0 −1 .
A2013 = I × A = A = 1 0
Matematika 139
Pertanyaan Kritis
• Syarat apakah yang harus dipenuhi untuk memenuhi cara seperti di atas?
• Apakah A4 = 1 berlaku untuk sembarang matriks persegi berordo 2 × 2?
Uji Kompetensi 4.2
1. Misalkan A dan B adalah matriks- 3. Apa yang dapat kamu jelaskan de-
matriks berordo 4 × 5 dan misalkan, ngan operasi pembagian matriks?
C, D, dan E berturut-turut adalah Misalnya diketahui persamaan
matriks-matriks berordo 5 × 2, matriks A.X = B, dengan matriks
4 × 2, dan 5 × 4. Tentukanlah yang A dan B matriks yang diketahui.
mana antara pernyataan matriks Bagaimana kita menentukan matriks
di bawah ini yang terdefinisi. Jika X? Tolong paparkan di depan kelas!
ada tentukanlah ukuran matriks 4. Berikan contoh permasalahan
tersebut! dalam kehidupan sehari-hari yang
(a) BA (d) AB + B menerapkan konsep perkalian
(b) AC + D (e) E (A + B) matriks! (Selain konteks persoalan
(c) AE + B (f) E (AC) yang sudah disajikan pada buku ini).
2. Tentukanlah hasil perkalian matriks- 5. Diketahui matriks-matriks
matriks berikut!
2 2
4 , −2 −1 0 5
−2 3 . 14 2 A = [2 3 5], B = 6 C = 3 2 1 , D = 1
−4 7
a) −1 5
0 2 2 3t
b) 62.84 2 −1260A.−=1−02[12 0 3 5] , B= 4 , C = −2 −1 0 , D = 5 4 dan F = [2 4 6]
B= 64−43, 8 2 63t 3 2 1 1 2
c) 32 21 01 0,D 24
A = [2 3 5], C0= 1 .0 1 0 = 5 dan F = [2 4 6]t .
2 1
Dari semua matriks di atas,
pasangan matriks manakah yang
0 1 −2 0 0 1 dapat dijumlahkan dan dikurangkan.
1 0 0 1 2 3 Kemudian selesaikanlah!
d) 0 1 0.3 5 6
0 0 1 1 3 2 6. Jika AA== 3 2 3 , B = 3 5 7 ,
2 4 6 −4 10 9
140 Kelas X
dan X suatu matriks berordo 2 × 3 dan lima matriks yang dapat dipilih
serta memenuhi persamaan A+X=B. untuk dikalikan dengan matriks G,
Tentukan matriks X! yaitu:
7. Berikan beberapa matriks A dan B 1 0 0 2 4
yang memenuhi kesamaan (A + B)t 1], I = 0 0 , 4 4
= At + Bt! H = [1 0 1 1 J = Gt , K =
0 0
8. Tunjukkan bahwa Ar.As = A(r+s), un-
tuk semua matriks A[1kmeba0etnria1kr]sa, pnIe=srseeti10gaip! 0 0 3
Tentukanlah nHila=i 1 0 , 2 4 5 L = 0.
9. 1 J = Gt , K = 4 4 2 dan 1
pernyataan di bawah ini! Unt0uk 0
setiap matriks A dan B adalah
Matriks yang manakah dapat
matriks persegi.
dikalikan terhadap matriks G?
a) Jika elemen pada kolom ke-1
Kemudian tentukan hasilnya!
pada matriks A semuanya
nol, maka elemen kolom ke-1 13. Berikan dua matriks yang memenuhi
matriks AB juga semuanya nol. kesamaan:
b) Jika elemen pada baris ke-1 i. (A + B)2 = A2 + B2
pada matriks A semuanya nol, ii. A 2 – B2 = (A – B).(A + B)
maka elemen baris ke-1 matriks
AB juga semuanya nol. 1 1 3
14. Jika matriks C = 1 3 1 , maka
10. Tentukanlah nilai-nilai p, q, r, dan s
pada persamaan matriks berikut! 3 1 1
5 rp a − 8 −3 = 7 8 . tentukanlah C3 – 4C2 + C – 4I,
q 5 −15 14 dengan matriks I merupakan matriks
6 identitas berordo 3 × 3.
11. Diketahui matriks-matriks: 1845.. Tentukanlah nilai x dan y yang me-
A = 10 1 , B = 1 2 , dan C = 2 menuhi syarat berikut ini!
1 2 3 6
a) G = y 1 dan G2 =I
1 2 d an C = 62 4 0 x
, B = 2 3 , 8 .
Jika F (X, Y, Z) didefinisikan sebagai b) Y = −3 1 dan F2 = xF + y.I
−2 5
F (X, Y, Z) = 4X – 2Y + Z.
Tentukanlah I adalah matriks identitas berordo
F (A, B, C)! 2 × 2.
F (2A, 3B, 2C)!
12. Diketahui matriks G = 1 2 3 ,
2 4 6
Matematika 141
Projek
Himpunlah minimal lima masalah di bidang ekonomi, transportasi, dan teknik
yang melibatkan konsep dan operasi dua buah matriks atau lebih. Ujilah
apakah berlaku berbagai sifat operasi matriks di dalam pemecahan masalah
tersebut. Buat laporan hasil kerjamu dan paparkan di depan kelas.
6. Determinan dan Invers Matriks
Masalah-4.8
Pekan Raya Jakarta, biasanya diselenggarakan sekitar Juli setiap tahunnya.
Acara ini menampilkan berbagai hal menarik tentang ibukota negara Indonesia,
seperti pameran teknologi terbaru, kebudayaan Betawi, hasil industri kreatif, dan
banyak hal lain yang perlu disaksikan.
Tahun 2012, keluarga Pak Tatang akan menghadari kegiatan tersebut dengan
membeli 3 tiket dewasa dan 2 tiket anak-anak seharga Rp 210.000,00. Dengan
niat yang sama, keluarga Pak Asep membeli 2 tiket dewasa dan 3 tiket anak-
anak seharga Rp 190.000,00,-
Berapakah total uang tiket yang akan dibayar oleh Pak Asep, jika dia harus
menambah 3 tiket dewasa dan 2 tiket anak-anak?
Alternatif Penyelesaian
Cara I
Untuk menyederhanakan masalah di atas, kita misalkan
x : harga tiket dewasa
y : harga tiket anak-anak.
Oleh karena itu, persoalan di atas dinyatakan dalam persamaan linear dua peubah
seperti berikut.
Banyak tiket yang dibeli Pak Tatang : 3x + 2y = 210.000
Banyak tiket yang dibeli Pak Asep : 2x + 3y = 190.000
Matriks yang merepresentasikan kedua persamaan tersebut adalah:
3 2 × x = 210.000 ................................... (1)
2 3 y 190.000
Mengingat kembali bentuk umum persamaan linear,
142 Kelas X
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Buku_Matematika_Kelas_10
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search