รวมแผนฟังชันตรีโกณมิติ ม.5

7. การวัดและประเมินผล

รายการวัด วธิ กี าร เครื่องมอื เกณฑ์การประเมนิ

ประเมินระหวา่ งการจัด - ร้อยละ 60 ผา่ นเกณฑ์
- รอ้ ยละ 60 ผา่ นเกณฑ์
กิจกรรมการเรยี นรู้ - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
- ระดบั คุณภาพ 2
1) การใชต้ ารางค่า - ตรวจแบบฝึกทักษะ 1.5 - แบบฝึกทักษะ 1.5
ผ่านเกณฑ์
ฟังกช์ ันตรโี กณมิติ - ตรวจ Exercise 1.5 - ตรวจ Exercise 1.5

- ตรวจใบงานที่ 1.3 - ใบงานท่ี 1.3

2) การนาเสนอผลงาน - ประเมนิ การนาเสนอ - แบบประเมินการ

ผลงาน นาเสนอผลงาน

3) พฤติกรรมการทางาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต - ระดบั คุณภาพ 2
พฤติกรรมการทางาน ผา่ นเกณฑ์
รายบคุ คล การทางานรายบุคคล รายบุคคล
- แบบสงั เกต - ระดบั คุณภาพ 2
4) พฤตกิ รรมการทางาน - สงั เกตพฤติกรรม พฤติกรรมการทางาน ผ่านเกณฑ์
กลุม่ การทางานกลุ่ม กลุ่ม
- แบบประเมิน - ระดบั คณุ ภาพ 2
5) คุณลักษณะ - สังเกตความมีวินัย คณุ ลักษณะ ผ่านเกณฑ์
อนั พงึ ประสงค์ ใฝเ่ รยี นรู้ และม่งุ ม่ัน อนั พงึ ประสงค์
ในการทางาน

8. สอื่ /แหล่งการเรียนรู้
8.1 สอ่ื การเรยี นรู้
1) หนงั สอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 ฟังกช์ นั ตรโี กณมิติ
2) หนังสอื แบบฝึกหัดรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรียนรทู้ ่ี 1 ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ
3) ใบงานที่ 1.3 เรื่อง การใชต้ ารางคา่ ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ
8.2 แหล่งการเรียนรู้
1) ห้องสมดุ
2) แหล่งชมุ ชน
3) อินเทอรเ์ น็ต

9. บนั ทึกผลหลงั การจดั การเรยี นรู้

ผลการจดั การเรยี นรู้ตามตวั ชว้ี ดั

จานวนนกั เรียนทงั้ หมด...........คน

- ผ่านเกณฑ์การประเมินระดับดี ....... คน คดิ เปน็ ร้อยละ..................

- ผา่ นเกณฑก์ ารประเมนิ ระดับปานกลาง ....... คน คดิ เปน็ รอ้ ยละ..................

- ไมผ่ า่ นเกณฑก์ ารประเมนิ ระดับปรบั ปรงุ ....... คน คดิ เป็นรอ้ ยละ..................

ผลการประเมินพฤติกรรมระหวา่ งเรยี น

............................................................................................................................. .....................................................

......................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

ปัญหาและอุปสรรคระหวา่ งการจดั กิจกรรมการเรียนการสอน

............................................................................................................................. ..........................................................

.......................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

การปรับปรุงแก้ไข

............................................................................................................................. .....................................................

.................................................................................................................................... ...................................................

.......................................................................................................................................................................................

ข้อคิดเห็นและข้อเสนอแนะเพ่ิมเติม
................................................................................................................... ...............................................................
............................................................................................................................. ..........................................................
...................................................................................................................................... ................................................

ลงช่อื ...........................................ผู้สอน
(นางอภุ าพร สุขเกษม)

ตาแหน่ง ครูชานาญการพเิ ศษ
............./............../..............

ความคิดเห็นของหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้
................................................................................................... ....................................................................................
............................................................................................................................. .........................................................
............................................................................................................................. ..........................................................

ลงช่ือ...........................................ผู้ตรวจสอบ
( นางอภุ าพร สุขเกษม)

ตาแหน่งหัวหน้ากลุ่มสาระการเรียนรู้
............/............../..............

ความคิดเห็นของหัวหน้ากลุ่มบรหิ ารวิชาการ
............................................................................................................................. .....................................................

.......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................

ลงชอ่ื ...........................................ผูต้ รวจสอบ
(นางอภิญญา ดิเรกศรี)

ตาแหน่งหวั หน้ากล่มุ บรหิ ารวชิ าการ
............./............../..............

ความคดิ เหน็ ของผู้อานวยการโรงเรยี น
............................................................................................................................. ..........................................................
............................................................................................................................. ..........................................................
.......................................................................................................................................................................................

ลงชื่อ...........................................ผตู้ รวจสอบ
(นางสาวประภสั สร ทามาล)ี

ผอู้ านวยการโรงเรียนไชยวานวิทยา
............./............../..............

ใบงานที่ 1.5

เร่ือง การใช้ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมติ ิ

คาชี้แจง จงหาคา่ ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิในแต่ละข้อต่อไปน้ี โดยใช้ตารางแสดงคา่ ฟังกช์ ันตรโี กณมิติ

1. sin 60° = ……………………………………………………………………………………………………………………………………….
2. sin 89° 50´ = …………………………………………………………………………………………………………………………………
3. cos 11° 10´= …………………………………………………………………………………………………………………………………
4. tan 59° 50´= ………………………………………………………………………………………………………………………………...
5. sec 70° 20´= …………………………………………………………………………………………………………………………………
6. cot 22° 40´= …………………………………………………………………………………………………………………………………
7. cosec 25° 30´= …………………………………………………………………………………………………………………………….
8. sin 62° 18´

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

9. cos 44° 35´

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

10. tan 78° 42´

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ใบงานที่ 1.5 เฉลย

เรอื่ ง การใชต้ ารางค่าฟงั กช์ ันตรีโกณมิติ

คาช้ีแจง จงหาคา่ ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ใิ นแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี โดยใช้ตารางแสดงคา่ ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ

1. sin 60° = 0.8660
2. sin 89° 50´ = 0.0204
3. cos 11° 10´= 0.1937
4. tan 59° 50´= 1.653
5. sec 70° 20´= 2.833
6. cot 22° 40´= 2.394
7. cosec 25° 30´= 2.323
8. sin 62° 18´

จากตารางจะได้ sin 62° 10´ = 0.8760
sin 62° 20´ = 0.8774

จากค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติขา้ งตน้ จะไดว้ า่
ค่าของมุมท่ีเพิม่ ข้ึน 10´ ค่าของฟังกช์ นั ไซนเ์ พ่ิมข้ึน 0.0014
ค่าของมุมที่เพมิ่ ข้ึน 8´ ค่าของฟังกช์ นั ไซนเ์ พม่ิ ข้ึน 0.0014 × 8 ≈ 0.0011

10

ดงั น้นั sin 62° 18´ ≈ 0.8760 + 0.0011 = 0.8771 ∎

9. cos 44° 35´

จากตารางจะได้ cos 44° 30´ = 0.7133
cos 44° 40´ = 0.7112

จากค่าของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติขา้ งตน้ จะไดว้ า่
คา่ ของมุมท่ีเพิ่มข้ึน 10´ ค่าของฟังกช์ นั ไซน์เพ่ิมข้ึน 0.0021
คา่ ของมุมท่ีเพ่ิมข้ึน 5´ คา่ ของฟังกช์ นั ไซนเ์ พม่ิ ข้ึน 0.0021 × 5 ≈ 0.0011

10

ดงั น้นั cos 44° 35´≈ 0.7133 + 0.0011 = 0.7144 ∎

10. tan 78° 42´

จากตารางจะได้ tan 78° 40´ = 4.574
tan 78° 50´ = 4.638

จากคา่ ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติขา้ งตน้ จะไดว้ า่

คา่ ของมุมที่เพม่ิ ข้ึน 10´ ค่าของฟังกช์ นั ไซนเ์ พม่ิ ข้ึน 0.064

คา่ ของมุมที่เพิ่มข้ึน 2´ คา่ ของฟังกช์ นั ไซน์เพิ่มข้ึน 0.064 × 2 ≈ 0.0128
10

ดงั น้นั tan 78° 42´≈ 4.574 + 0.0128 = 4.5868 ∎

แผนการจดั การเรียนรทู้ ี่ 6

วิชาคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค 30203 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที ี่ 5
หน่วยการเรียนรู้ 1 ฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ เวลา 40 ช่วั โมง
เรอ่ื งกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เวลา 3 ชั่วโมง
สอนโดย นางอุภาพร สุขเกษม

1. ผลการเรยี นรู้

1) เขา้ ใจฟังก์ชันตรีโกณมิตแิ ละลักษณะกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิและ นาไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

2) แกส้ มการตรโี กณมิติและนาไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

3) ใช้กฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์ในการแก้ปญั หา

2. จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

1) ระบุพิกัดของวงกลมหนง่ึ หน่วยได้ (K)

2) บอกค่าสงู สดุ และค่าตา่ สุดของกราฟฟงั ก์ชนั ตรโี กณได้ (K)

3) บอกค่าโดเมน และเรนจ์ของกราฟฟังกช์ นั ตรโี กณมิตไิ ด้ (K)

4) หาคาบของกราฟฟงั กช์ ันตรโี กณมิติได้ (P)

5) หาคา่ แอมพลิจูดของกราฟฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิได้ (P)

6) เขยี นกราฟฟงั กช์ ันตรโี กณมิติได้ (P)

7) รบั ผิดชอบต่อหน้าที่ท่ไี ดร้ บั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรยี นรู้

สาระการเรียนรู้เพิ่มเตมิ สาระการเรียนรทู้ อ้ งถ่นิ

ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศกึ ษา

4. สาระสาคญั /ความคิดรวบยอด

: R → R, (x) = asin(nx) เมือ่ a และ n เป็นจานวนจริง ท่ี n > 0 คาบคอื 2π แอมพลจิ ดู คือ |a|
n

เรนจค์ ือ [-a, a], a > 0

: R → R, (x) = acos(nx) เม่อื a และ n เปน็ จานวนจรงิ ท่ี n > 0 คาบคอื 2π แอมพลิจดู คอื |a|
n

เรนจ์คือ [-a, a], a > 0

กราฟของ (x) = asin(nx) และ (x) = acos(nx) เมื่อแอมพลิจูดมากข้ึน จุดสูงสุดและจุดต่าสุดของ

กราฟก็จะย่งิ ตา่ งกันมาก และเมอ่ื คาบมากข้นึ จดุ ตัดแกน X กจ็ ะยิ่งเข้าใกลก้ นั มากข้ึน

5. สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียนและคณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์

สมรรถนะสาคัญของผเู้ รยี น คณุ ลกั ษณะอันพงึ ประสงค์
1. มวี นิ ัย
1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ใฝ่เรียนรู้
2. ความสามารถในการคิด 3. ม่งุ มน่ั ในการทางาน

1) ทักษะการสารวจ คน้ หา
2) ทักษะการประยุกตใ์ ชค้ วามรู้
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

6. กิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคิด/รูปแบบการสอน/วิธีการสอน/เทคนคิ : Concept Based teaching

ชัว่ โมงที่ 1

ขัน้ นา

ขั้นการใช้ความรู้เดิมเชื่อมโยงความรู้ใหม่ (Prior Knowledge)
1. ครูกระตนุ้ ความสนใจของนักเรยี น โดยครแู ละนกั เรียนรว่ มกันเขยี นกราฟของฟังก์ชนั เชงิ เส้น และ

ฟังกช์ นั กาลังสอง ดงั นี้ y = x + 3 และ y = x2 + x – 6 โดยครูใหน้ ักเรียนร่วมกนั สร้างตารางหาค่า x
และ y เพ่อื นาไปเขียนกราฟ

ขั้นสอน

ข้ันรู้ (Knowing)
1. ครูใหน้ กั เรียนแต่ละคนเขียนกราฟของ y = sin x เม่ือ 0 ≤ x ≤ π โดยใหน้ กั เรียนเร่ิมจากการ

สร้างตารางหาค่า x และ y จากน้นั ครูใหน้ กั เรียนนาค่า x และ y ไปเขียนกราฟ
2. เมอื่ นกั เรยี นแต่ละคนเขียนกราฟเสร็จครูยังไม่เฉลยความถูกตอ้ งของกราฟ แต่ครใู หน้ ักเรียนสร้างตาราง

ตอ่ ไปจากเดมิ คือเปล่ียนช่วงของ x จาก 0 ≤ x ≤ π เป็น 0 ≤ x ≤ 2π จากนัน้ ครใู ห้นกั เรียนนาคา่
x และ y ทเ่ี พ่ิมมาไปเขยี นกราฟ เม่ือนกั เรยี นแตล่ ะคนเขียนกราฟเสรจ็ ครูใหน้ ักเรยี นเปลีย่ นกับเพื่อน
ข้าง ๆ ตรวจสอบความถูกต้อง เมอื่ นกั เรียนตรวจสอบความถกู ต้องและเปน็ ข้อสรปุ ความถกู ต้องที่เห็น
ตรงกันแล้ว ครูใหน้ กั เรยี นตรวจสอบความถกู ต้องอีกคร้งั จากหนงั สือเรียน หน้า 48 – 49
ขนั้ เขา้ ใจ (Understanding)
3. ครูให้นักเรยี นจบั คู่ศึกษาทาความเขา้ ใจเนื้อหาในหนงั สือเรียน หนา้ 49 และครูอธิบายเน้นย้านกั เรียน
เพ่ิมวา่ จาก sin (2nπ + α) = sin α เมื่อ n เป็นจานวนเต็ม จะได้กราฟของฟงั กช์ ันไซน์ ดงั กราฟของ
y = sin x เมอ่ื −2π ≤ x ≤ 2π

 จากกราฟของ y = sin x จะเหน็ ว่า กราฟจะแบง่ แกน x ออกเปน็ ช่วงย่อยทส่ี ้ันทีส่ ุด 2 ช่วง โดย
ทีช่ ว่ งยอ่ ยแต่ละชว่ งมีความยาวเทา่ กนั และกราฟในแต่ละช่วงย่อยมลี กั ษณะเหมอื นกนั เรียก
ความยาวของชว่ งย่อยดังกล่าวว่า คาบ (period) และเรยี กฟังกช์ นั ของกราฟวา่ ฟังกช์ นั ทเ่ี ป็น
คาบ (periodic function)

 จากกราฟช่วง −2π ≤ x ≤ 0 คือ 1 คาบ และช่วง 0 ≤ x ≤ 2π คอื 1 คาบ สรุปได้วา่ จาก
กราฟ y = sin x คือ มีชว่ งย่อยทส่ี ั้นที่สุด 4 ช่วง หรอื มคี วามความยาวของช่วงยอ่ ย 2 คาบ

 จากกราฟ เปน็ กราฟที่มีค่าสงู สุดและค่าต่าสดุ ซ่ึงจะเรยี กค่าท่ีเท่ากับครง่ึ หน่ึงของคา่ สงู สุดลบ
ด้วยคา่ ตา่ สุดของฟังกช์ ันท่ีเป็นคาบว่า แอมพลจิ ดู (amplitude) ซึง่ จะได้ บทนยิ าม ดงั ต่อไปนี้

บทนิยาม แอมพลิจดู ของฟังก์ชนั ทเี่ ป็นคาบ เทา่ กบั ค่าสูงสดุ − คา่ ต่าสดุ
2

4. ครอู ธิบายวา่ จากกราฟของ y = sin x จะเห็นว่า −2π ≤ x ≤ 0 และ 0 ≤ x ≤ 2π เป็นช่วงท่ีมี
ความยาว 2π เท่ากนั

5. ครูใหน้ ักเรียนศึกษากราฟของ y = sin x เมอ่ื −2π ≤ x ≤ 2π ในหนังสือเรยี น หน้า 50 หลังจาก
นน้ั ครูถามคาถามเพ่ือตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียน ดงั น้ี
 เมอื่ นกั เรยี นพิจารณากราฟในชว่ ง −2π ≤ x ≤ 0 จะเหน็ วา่ กราฟของฟังก์ชันเปน็ กราฟเส้น
โค้งเปิดลงด้านลา่ งหรอื ทเ่ี ราเขา้ ใจว่า กราฟคว่า ตงั้ แตช่ ว่ ง −2π ถงึ – π มีคา่ ต่าสุด หรอื สงู สุด
เทา่ ใด
(แนวตอบ มีค่าสงู สดุ เท่ากบั 1)
 กราฟเส้นโค้งเปิดขนึ้ ด้านบนหรอื ที่เราเข้าใจว่ากราฟหงาย ตัง้ แต่ช่วง −π ถึง 0 จะมีค่าต่าสดุ
หรอื คา่ สูงสุดเทา่ ใด
(แนวตอบ มีคา่ ตา่ สุด เท่ากับ -1)
 จากฟงั กช์ นั y = sin x มีแอมพลิจดู เทา่ กบั เท่าใด

(แนวตอบ 1−(−1) = 1 )
2

 โดเมนของฟังก์ชนั ไซน์ คืออะไร
(แนวตอบ เซตของจานวนจรงิ )

 เรนจข์ องฟงั กช์ ันไซน์ คืออะไร
(แนวตอบ [-1,1])

 กราฟของฟงั ก์ชนั ไซน์ตดั แกน X ทจ่ี ุด (x,0) เมื่อ x คือเท่าใด
(แนวตอบ ... , −2π, −π, 0, π, 2π, ...)

 กราฟของฟังก์ชันไซนต์ ัดแกน Y ทจ่ี ดุ ใด
(แนวตอบ (0,0))

6. ครใู ห้นักเรียนศึกษา หวั ข้อที่ 2 กราฟของ y = cos x เม่ือ −2π ≤ x ≤ 2π ในหนังสือเรียน หนา้ 50
หลังจากนน้ั ครถู ามคาถามเพอื่ ตรวจสอบความเข้าใจของนักเรียน ดังน้ี
 เม่อื นกั เรียนพจิ ารณากราฟในชว่ ง −2π ≤ x ≤ 0 จะเหน็ ว่ากราฟของฟังก์ชนั เปน็ กราฟเส้น
โค้งเปิดลงดา้ นล่างหรือทีเ่ ราเขา้ ใจว่า กราฟควา่ ตงั้ แต่ช่วง −3π ถึง –π มคี า่ ตา่ สุด หรอื สูงสดุ

22

เทา่ ใด
(แนวตอบ มีคา่ ตา่ สดุ เท่ากบั 1)

 กราฟเส้นโคง้ เปิดข้นึ ดา้ นบนหรอื ทีเ่ ราเข้าใจว่ากราฟหงาย ต้ังแตช่ ว่ ง −π ถึง จะมีคา่ ตา่ สุด
22
หรอื ค่าสูงสดุ เท่าใด
(แนวตอบ มีคา่ ต่าสุด เท่ากบั -1)

 จากฟังก์ชนั y = cos x มแี อมพลจิ ูดเท่ากับเทา่ ใด
(แนวตอบ 1−(−1) = 1 )

2

 โดเมนของฟังก์ชันไซน์ คืออะไร
(แนวตอบ เซตของจานวนจรงิ )

 เรนจข์ องฟังก์ชนั ไซน์ คืออะไร
(แนวตอบ [-1,1])

 กราฟของฟงั ก์ชันไซนต์ ัดแกน X ที่จดุ (0, x) เม่อื x คือเทา่ ใด
(แนวตอบ ... , − 3π, − , , 3π, ...)

2 22 2

 กราฟของฟังก์ชนั ไซนต์ ดั แกน Y ทจี่ ดุ ใด
(แนวตอบ (0,1))

ชั่วโมงที่ 2

ขั้นเข้าใจ (Understanding)
7. ครใู หน้ กั เรยี นศึกษาตัวอย่างท่ี 25 หลังจากนัน้ ครูถามคาถามนกั เรียน ดังน้ี
 เรนจ์ คาบ และแอมพลิจูดของกราฟ y = sin x คอื เทา่ ใด
(แนวตอบ เรนจ์ คือ [-1, 1] คาบคือ 2π และแอมพลจิ ดู คือ 1)
 เรนจ์ คาบ และแอมพลิจูดของกราฟ y = 2 sin x คอื เท่าใด
(แนวตอบ เรนจ์ คือ [-2, 2] คาบคือ 2π และแอมพลจิ ูด คือ 2)
 เรนจ์ คาบ และแอมพลิจดู ของกราฟ y = 3sin x คอื เทา่ ใด
(แนวตอบ เรนจ์ คือ [-3, 3] คาบคือ 2π และแอมพลิจดู คอื 3)
8. หลงั จากน้ันครใู หน้ ักเรียนทา “ลองทาดู” ในหนงั สือเรียน หนา้ 51 เม่อื นักเรียนทาเสรจ็ ครแู ละนักเรียน
เฉลยคาตอบลองทาดู
9. จากตัวอย่างท่ี 25 และลองทาดู ในหนงั สือ เรียน 51 ครแู ละนักเรียนร่วมกันสรุปการหาแอมพลจิ ูด
และเรนจข์ องฟังกช์ นั ในรูปทว่ั ไป ดงั น้ี
กาหนดให้ : → , ( ) = asin
จะได้ว่า แอมพลิจูดของฟังก์ชัน เท่ากบั |a|
เรนจข์ องฟงั ก์ชนั เท่ากับ [-a, a]

10. ครใู หน้ ักเรยี นเขียนกราฟของ y = 4sin 2x และ y = 8sin 6x ซ่งึ เปน็ โจทย์ของตวั อย่างท่ี 27-28 ใน
หนงั สอื เรียน หนา้ 52-53 โดยนักเรียนจะยงั ไมเ่ ปิดหนังสอื เรยี น เมื่อนักเรยี นเขียนกราฟของฟังก์ชันท่ี
กาหนดใหเ้ สร็จครูถามคาถามนักเรยี น ดงั น้ี

 เรนจ์ คาบ และแอมพลจิ ูดของกราฟ y = 4sin 2x คอื เทา่ ใด
(แนวตอบ เรนจ์ คือ [-4, 4] คาบคือ π และแอมพลิจดู คอื 4)

 เรนจ์ คาบ และแอมพลจิ ูดของกราฟ y = 8 sin 6x คอื เท่าใด
(แนวตอบ เรนจ์ คือ [-8, 8] คาบคือ π และแอมพลจิ ูด คอื 8)

3

11. ครูใหน้ กั เรยี นทา “ลองทาดู” ในหนงั สอื เรยี นหน้า 52-53 ท้ายตวั อยา่ งที่ 27-28 โดยครเู ขยี นโจทย์บน
กระดาน เม่ือนักเรยี นทาเสร็จครแู ละนักเรียนรว่ มกันเฉลยคาตอบ

12. ครูใหน้ กั เรยี นหาความสัมพนั ธข์ องคาบจากของฟังก์ท่นี กั เรียนไดเ้ ขยี นกราฟ
โดยครูกาหน : → , ( ) = asin( ) เมือ่ > 0
(แนวตอบ จะได้ว่า คาบของฟังกช์ นั เท่ากับ )2



13. ครูและนักเรยี นร่วมกนั สรุปการหาแอมพลิจูด เรนจ์ และคาบของฟงั กช์ นั ไซนใ์ นรปู ทวั่ ไป ดงั น้ี
กาหนดให้ : → , ( ) = asin( ) เมอ่ื > 0
จะได้วา่ แอมพลจิ ดู ของฟังก์ชัน เท่ากับ |a|
เรนจ์ของฟงั กช์ ัน เทา่ กับ [-a, a]
คาบของฟังก์ชนั เท่ากับ 2



14. ครูกล่าววา่ ในทานองการหาแอมพลิจดู เรนจ์ และคาบของฟงั ก์ชันโคไซน์ในรปู ทัว่ ไป กส็ ามารถหาได้
ดงั นี้
กาหนดให้ : → , ( ) = acos ( ) เมือ่ > 0
จะไดว้ า่ แอมพลจิ ดู ของฟังก์ชัน เท่ากบั |a|
เรนจข์ องฟงั ก์ชัน เทา่ กบั [-a, a]
คาบของฟังกช์ ัน เทา่ กบั 2



15. ครใู ห้นักเรียนแตล่ ะคนศึกษาตัวอยา่ งที่ 28 – 29 ในหนังสือเรียน หน้า 53-54 จากนน้ั ใหน้ ักเรียนทา
“ลองทาดู” ในหนังสือเรียน หน้า 53-54 เมือ่ นักเรียนทาเสร็จแล้วครแู ละนักเรยี นรว่ มกันเฉลยคาตอบ

16. ครูแนะนักเรียนว่าการเขียนกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมติ ิบางฟงั ก์ชนั อาจต้องใชค้ วามรเู้ ร่ืองการเลือ่ น
ขนาน โดยใชก้ ารเลื่อนขนานกราฟรูปมาตรฐานในแนวแกนนอนหรอื แนวแกนตงั้ ดังตวั อยา่ งต่อไปนี้

17. ครูอธิบายการเขยี นกราฟจากตวั อย่างท่ี 30 - 31 บนกระดานหนา้ ชัน้ เรยี นอย่างละเอยี ด หลงั จากนั้นครู
ให้นกั เรียนทา “ลองทาดู” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 55-56 เมอื่ นกั เรยี นทาเสรจ็ แลว้ ครูและนักเรียนรว่ มกัน
เฉลยคาตอบ

18. ครูใหน้ ักเรยี นทาแบบฝึกทกั ษะ 1.6 ขอ้ 1.-3. เป็นการบ้าน

ชั่วโมงที่ 3

ข้นั สอน

ข้นั รู้ (Knowing)

1. ครกู ล่าววา่ ถา้ นกั เรยี นต้องทราบในการเขียนกราฟฟังก์ชันตรโี กณมิตอิ ่ืน ๆ นักเรยี นควรทราบโดเมนของ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดงั น้ี
 โดเมนของฟงั ก์ชันแทนเจนต์ คอื { x | x ∈ R, x ≠ nπ + π , n ∈ I }

2

 โดเมนของฟังกช์ ันเซแคนต์ คือ { x | x ∈ R, x ≠ nπ + π , n ∈ I }
2

 โดเมนของฟงั กช์ ันโคแทนเจนต์ คอื { x | x ∈ R, x ≠ nπ, n ∈ I }
 โดเมนของฟังก์ชันโดเซแคนต์ คือ { x | x ∈ R, x ≠ nπ , n ∈ I }
2. ครใู หน้ กั เรยี นแตล่ ะคนศึกษากราฟของ y = tan x ในหนังสือเรยี น หนา้ 56 หลงั จากนัน้ ครูถามคาถาม
นกั เรียน ดงั น้ี

 จากกราฟ y = tan x ในแต่ละคาบมีคา่ ต่าสุด หรือค่าสูงสดุ และมแี อมพลจิ ูดหรือไม่
(แนวตอบ กราฟของ y = tan x ในแตล่ ะคาบไม่มีคา่ ตา่ สดุ และค่าสูงสุด
ดังนั้น จงึ ทาให้ไม่มีแอมพลจิ ูด)

ข้นั เข้าใจ (Understanding)
1. ครอู ธิบายกราฟ y = tan x เมอ่ื พิจารณาเป็นกราฟย่อย ซง่ึ แตล่ ะชว่ งยอ่ ยมคี วามยาวเทา่ กบั π ดงั นน้ั

ฟังก์ชนั แทนเจนต์เปน็ ฟังก์ชันที่เปน็ คาบ และมคี าบเท่ากับ π
2. ครใู หน้ ักเรยี นศึกษากราฟของฟังกช์ นั โคเซแคนต์ ฟังกช์ ันเซแคนต์ และฟังก์ชนั โคแทนเจนต์ ซ่ึงทัง้ 3

ฟงั ก์ชนั เป็นสว่ นกลับของฟังก์ชันไซน์ ฟังกช์ นั โคไซน์ และฟงั ก์ชนั แทนเจนต์ หนา้ 58-59 เมอื่ นักเรยี น
ศกึ ษาเสรจ็ ครูถามคาถามนกั เรียน ดงั นี้

 จากกราฟของ y = cosec x ค่าของฟงั กช์ ันโคเซแคนตเ์ ปน็ จานวนจรงิ ทุกจานวน ยกเว้นคา่ ใด
(แนวตอบ ค่าระหว่าง -1 กบั 1)

 จากกราฟ y = cosec x เรนจ์ของฟงั ก์ชันโคเซแคนต์คือเทา่ ใด
(แนวตอบ (− ∞, − 1] ∪ [1, ∞))

 ฟังกช์ นั โคเซแคนตเ์ ป็นฟงั กช์ ันทเ่ี ปน็ คาบและมีคาบเท่ากบั เท่าใด
(แนวตอบ 2π)

 จากกราฟฟังกช์ ันโคเซแคนต์มีค่าสงู สดุ หรือค่าต่าสุด และมีแอมพลจิ ูดหรือไม่
(แนวตอบ กราฟของ y = cosec x ไมม่ ีค่าต่าสดุ และค่าสูงสุด ดังนั้น จงึ ทาใหไ้ ม่มแี อมพลิจูด)

 จากกราฟของ y = sec x ค่าของฟังกช์ ันโคเซแคนตเ์ ปน็ จานวนจริงทุกจานวน ยกเวน้ ค่าใด
(แนวตอบ ค่าระหวา่ ง -1 กบั 1)

 จากกราฟ y = sec x เรนจข์ องฟังกช์ นั เซแคนต์คือเท่าใด
(แนวตอบ (− ∞, − 1] ∪ [1, ∞))

 ฟังกช์ นั เซแคนต์เป็นฟงั กช์ นั ที่เปน็ คาบและมคี าบเทา่ กบั เท่าใด
(แนวตอบ 2π)

 จากกราฟฟังกช์ ันเซแคนต์มคี ่าสงู สดุ หรือคา่ ตา่ สุด และมแี อมพลจิ ูดหรือไม่
(แนวตอบ กราฟของ y = sec x ไม่มีคา่ ตา่ สดุ และคา่ สงู สุด ดังนนั้ จึงทาให้ไมม่ แี อมพลจิ ดู )

3. ครใู หน้ ักเรียนสังเกตกราฟ y = cot x ซ่งึ เป็นสว่ นกลบั ของ กราฟ y = tan x ทาใหค้ า่ ของฟงั ก์ชนั ที่
เป็นคาบและมคี าบเทา่ กับ π และกราฟดงั กลา่ วไม่มีคา่ สงู สุดและค่าต่าสุด จงึ ไม่มีแอมพลจิ ูด
“ครถู ามนักเรียนวา่ เพราะเหตุใด กราฟ y = cot x จึงไมแ่ อมพลจิ ดู ”
(แนวตอบ เนื่องจากแอมพลจิ ูดจะหาค่าได้กราฟจะต้องมีคา่ สูงสดุ และค่าตา่ สุด ซ่ึงจะมีแค่กราฟ
y = sin x และกราฟ y = cos x ทีส่ ามารถหาคา่ แอมพลิจูดได้)

ขั้นลงมือทา (Doing)

ครใู หน้ ักเรยี นจดั กล่มุ กลุ่มละ 4 คน คละความสามารถทางคณติ ศาสตร์ แล้วทากจิ กรรม ดังน้ี

 ใหน้ ักเรียนแต่ละกลมุ่ ทาแบบทกั ษะ 1.6 ในหนังสอื เรียน หน้า 60 ข้อ 4.-6.

 เมื่อนักเรยี นทุกกล่มุ ทาเสรจ็ แลว้ ครูสุ่มตัวแทนนกั เรียน 11 คน ออกมาแสดงทาโดยละเอียดหน้าช้นั
เรียน โดยมีครูและเพ่ือน ๆ คอยตรวจสอบความถูกต้อง

ข้นั สรปุ

ครูถามคาถามเพื่อสรุปความรู้รวบยอดของนกั เรียน ดังน้ี

 โดเมนและเรนจ์ของกราฟ y = sin x คืออะไร

(แนวตอบ โดเมน คือ เซตของจานวนจรงิ และเรนจ์ คือ [-1,1])

 โดเมนและเรนจข์ องฟงั กช์ ัน y = cos x คืออะไร

 (แนวตอบ โดเมน คือ เซตของจานวนจรงิ และเรนจ์ คือ [-1,1])

 เราจะหาคา่ แอมพลจิ ูดของกราฟได้ กราฟดังกล่าวต้องมคี ่าอะไรบ้าง และคา่ แอมพลิจดู หาไดจ้ ากสูตร

ใด

 (แนวตอบ ค่าสูงสดุ และค่าต่าสุด และหาค่าแอมพลจิ ดู = คา่ สงู สดุ − คา่ ตา่ สดุ )
2

7. การวัดและประเมินผล วธิ ีการ เครอ่ื งมอื เกณฑ์การประเมนิ
รายการวดั
- ตรวจแบบฝึกทักษะ 1.6 - แบบฝกึ ทกั ษะ 1.6 - รอ้ ยละ 60 ผา่ นเกณฑ์
7.1 ประเมนิ ระหว่างการจัด - ตรวจ Exercise 1.6 - Exercise 1.6 - ร้อยละ 60 ผา่ นเกณฑ์
กจิ กรรมการเรียนรู้ - ประเมินการนาเสนอ - แบบประเมินการ - ระดบั คุณภาพ 2
1) กราฟของฟังกช์ นั ผลงาน นาเสนอผลงาน
ผ่านเกณฑ์
ตรีโกณมติ ิ
2) การนาเสนอผลงาน

3) พฤติกรรมการทางาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดับคณุ ภาพ 2

รายบุคคล การทางานรายบุคคล พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์

การทางานรายบุคคล

4) พฤตกิ รรมการทางาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต - ระดับคุณภาพ 2
กลุ่ม การทางานกลุ่ม
พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์

การทางานกลุ่ม

5) คณุ ลักษณะ - สงั เกตความมีวินยั - แบบประเมนิ - ระดบั คณุ ภาพ 2
อนั พึงประสงค์ ใฝ่เรียนรู้ และมุ่งมนั่
ในการทางาน คณุ ลักษณะ ผ่านเกณฑ์

อันพงึ ประสงค์

8. สอ่ื /แหล่งการเรยี นรู้
8.1 สอ่ื การเรียนรู้
1) หนงั สอื เรียนรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรยี นรู้ท่ี 1 ฟังก์ชันตรโี กณมิติ
2) หนงั สือแบบฝึกหัดรายวิชาเพิ่มเติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรียนร้ทู ี่ 2 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ
8.2 แหลง่ การเรียนรู้
1) หอ้ งสมุด
2) แหลง่ ชุมชน
3) อินเทอรเ์ น็ต

9. บันทกึ ผลหลังการจัดการเรียนรู้

ผลการจดั การเรยี นร้ตู ามตัวชี้วัด

จานวนนกั เรยี นท้งั หมด...........คน

- ผา่ นเกณฑก์ ารประเมินระดับดี ....... คน คิดเปน็ รอ้ ยละ..................

- ผา่ นเกณฑก์ ารประเมนิ ระดับปานกลาง ....... คน คดิ เปน็ ร้อยละ..................

- ไม่ผ่านเกณฑก์ ารประเมินระดับปรับปรุง ....... คน คิดเปน็ ร้อยละ..................

ผลการประเมินพฤติกรรมระหว่างเรียน

............................................................................................................................. .....................................................

................................................................................................................................................... ...................................

............................................................................................... ........................................................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

ปัญหาและอปุ สรรคระหว่างการจดั กิจกรรมการเรียนการสอน

............................................................................................................................. ..........................................................

.................................................................................................................................. .....................................................

.......................................................................................................................................................................................

การปรบั ปรุงแก้ไข

............................................................................................................................. .....................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

..................................................................................................................................................... ..................................

ขอ้ คิดเห็นและข้อเสนอแนะเพิ่มเติม
..................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................
............................................................................................................................. .........................................................

ลงช่ือ...........................................ผู้สอน
(นางอภุ าพร สุขเกษม)

ตาแหนง่ ครชู านาญการพิเศษ
............./............../..............

ความคิดเหน็ ของหัวหน้ากลุ่มสาระการเรยี นรู้
............................................................................................................................. ..........................................................
......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................

ลงชือ่ ...........................................ผตู้ รวจสอบ
( นางอุภาพร สุขเกษม)

ตาแหน่งหัวหนา้ กลุ่มสาระการเรียนรู้
............/............../..............

ความคิดเห็นของหัวหน้ากลุ่มบรหิ ารวชิ าการ
............................................................................................................................. .....................................................

....................................................................................................................................... ................................................
.................................................................................. .....................................................................................................

ลงชื่อ...........................................ผตู้ รวจสอบ
(นางอภิญญา ดเิ รกศรี)

ตาแหนง่ หัวหน้ากลุ่มบรหิ ารวชิ าการ
............./............../..............

ความคดิ เห็นของผู้อานวยการโรงเรียน
.................................................................................................................. .....................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................
................................................................................................................................ .......................................................

ลงชื่อ...........................................ผู้ตรวจสอบ
(นางสาวประภสั สร ทามาลี)

ผู้อานวยการโรงเรียนไชยวานวิทยา
............./............../.......



แผนการจัดการเรยี นรู้ที่ 7 ช้นั มัธยมศกึ ษาปที ่ี 5
เวลา 40 ชว่ั โมง
วชิ าคณติ ศาสตร์เพิม่ เตมิ ค 30203 เวลา 3 ชั่วโมง
หน่วยการเรยี นรู้ 1 ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ
เรอื่ งฟังก์ชนั ตรโี กณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจรงิ หรอื มุม
สอนโดย นางอุภาพร สุขเกษม

1. ผลการเรียนรู้

1) เขา้ ใจฟังก์ชนั ตรโี กณมิติและลักษณะกราฟของฟงั ก์ชันตรีโกณมิตแิ ละ นาไปใชใ้ นการแก้ปัญหา

2) แก้สมการตรโี กณมติ ิและนาไปใช้ในการแก้ปัญหา

3) ใชก้ ฎของโคไซน์และกฎของไซน์ในการแก้ปญั หา

2. จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1) บอกสว่ นประกอบท่ีสาคัญของวงกลมหนึ่งหน่วยได้(K)

2) ระบพุ ิกัดของวงกลมหนึ่งหนว่ ยได้(K)

3) พิสูจนท์ ่มี าของสตู รฟังก์ชันตรโี กณมิติของผลบวกและผลต่างของจานวนจรงิ และมุมได้(P)

4) หาค่าฟงั กช์ ันตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของจานวนจริงและมุมได้(P)

5) รับผดิ ชอบตอ่ หนา้ ท่ีทไ่ี ดร้ ับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรียนรู้

สาระการเรยี นร้เู พ่ิมเติม สาระการเรยี นร้ทู ้องถน่ิ

เขา้ ใจและวเิ คราะห์แบบรปู ความสมั พันธ์ ฟงั กช์ นั พจิ ารณาตามหลกั สตู รของสถานศกึ ษา

ลาดบั และอนุกรม และนาไปใช้

4. สาระสาคญั /ความคิดรวบยอด

cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β

cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β

=tan(α + β) tan +tan
1−tan tan

=tan(α − β) tan −tan
1+tan tan

5. สมรรถนะสาคญั ของผ้เู รยี นและคุณลักษณะอันพึงประสงค์

สมรรถนะสาคัญของผเู้ รียน คณุ ลักษณะอันพงึ ประสงค์

1. ความสามารถในการสื่อสาร 1. มีวนิ ัย
2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รียนรู้
3. มุ่งมัน่ ในการทางาน
1) ทักษะการสารวจ ค้นหา

69

สมรรถนะสาคัญของผู้เรียน คุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์
2) ทกั ษะการประยุกตใ์ ช้ความรู้
3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. กจิ กรรมการเรยี นรู้

 แนวคดิ /รูปแบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนิค : Concept Based Teaching

ชว่ั โมงที่ 1

ขน้ั นา

ขัน้ การใช้ความรเู้ ดมิ เช่ือมโยงความรใู้ หม่ (Prior Knowledge)
1. ครูกระตุ้นความสนใจของนักเรยี น โดยให้นักเรียนดูหนา้ 61 จากนัน้ ครูอธิบายวา่ จากหัวข้อทีผ่ ่านมาได้

ศกึ ษาการหาค่าฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิของจานวนจริงเพียงจานวนเดยี วหรือของมมุ เพยี งมมุ เดยี วมาแลว้ ใน
หวั ข้อนี้ให้นักเรยี นหาค่าของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิของผลบวกและผลตา่ งของจานวนสองจานวนและมมุ สองมมุ
3. ครถู ามคาถามเพ่ือทบทวนความรู้เดิมในหนังสือเรยี น หน้า 61 ดังนี้

 กราฟวงกลมดังกลา่ วเราเรียกวา่ วงกลมอะไร
(แนวตอบ วงกลมหน่ึงหน่วย)

 ถา้ ลากเสน้ ตรงจากจุด P(1, 0) ไปยงั จดุ P3(x3, y3) หรอื จากจุด P1(x1, y1) ไปยังจุด P2(x2, y2)
เราเรยี กเส้นตรงนีว้ ่าอะไร
(แนวตอบ คอร์ด)

 เนอื่ งจากจดุ (x1, y1) เป็นจดุ ท่อี ยู่บนวงกลมหนึ่งหน่วย ดงั น้ัน สมการวงกลมทีผ่ า่ นจุด (x1, y1)
คอื อะไร เพราะเหตใุ ด
(แนวตอบ x12 + y12 = 1 เพราะเปน็ สมการวงกลมที่มจี ุดศูนยก์ ลาง (0, 0) และรศั มี 1 หน่วย )

4. ครใู ห้นักเรยี นศึกษา พจิ ารณาค่าของ cos(α − β) เม่อื α และ β เปน็ จานวนจรงิ หรอื มมุ ใด ๆ ดงั รปู
หนา้ 61

5. ครอู ธบิ ายการพสิ ูจนท์ ีน่ ามาซึ่งทม่ี าของสูตร cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β หรือ
โคไซน์ของผลต่างระหวา่ งจานวนจริงสองจานวนหรือมมุ สองมมุ

ขั้นสอน

ขน้ั รู้ (Knowing)
1. ครูให้นกั เรยี นจับคู่ศกึ ษาการหาค่าของ cos(α − β), sin(α + β) และsin(α − β) โดยจะใช้สูตร
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β ซ่ึงจะทาให้สรุปไดว้ ่า
 cos(α + β) หาได้อย่างไร

70

(แนวตอบ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β)

 sin(α + β) หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β)

 sin(α − β) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β)

2. ครูให้นกั เรยี นหาคา่ ของ tan(α + β) และ tan(α − β) เม่ือเราทราบคา่ ของ sin(α + β) และ

cos(α + β)

(แนวตอบ tan(α + β) = sin(α+ β)
cos(α+ β)

= sin α cos β + cos α sin β
cos α cos β− sin α sin β

= sin α cos β + cos α cos β , เมือ่ cos α ≠ 0 และ cos β ≠ 0
cos α cos β cos α cos β

cos α cos β − sin α cos β
cos α cos β cos α cos β

= tan +tan
1−tan tan

สรุปได้วา่ tan(α + β) = tan +tan
1−tan tan

ในทานองเดียวกัน จะได้ tan(α − β) = tan −tan
1+tan tan

ช่ัวโมงท่ี 2

ขั้นเขา้ ใจ (Understanding)

1. ครใู หน้ ักเรยี นทา “Thinking Time” ในหนังสือเรยี น หนา้ 64
2. ครูและนกั เรยี นรว่ มกันเฉลยคาตอบ “Thinking Time” ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 64 ดงั นี้

(แนวตอบ จาก cot (α + β) = 1
tan(α+ β)

จะได้ cot (α + β) = cos(α+ β)
sin(α+ β)

= cos α cos β − sin α sin β
sin α cos β + cos α sin β

= cos α cos β − sin α sin β , เม่อื sin α ≠ 0 และ sin β ≠ 0
sin α sin β sin α sin β

sin α cos β + cos α sin β
sin α sin β sin α sin β

71

= cot cot − 1
cot + cot

สรุปได้ว่า cot (α + β) = cot cot − 1
cot + cot

ในทานองเดยี วกัน cot (α − β) = cot cot + 1 ∎)
cot − cot

3. ครใู หน้ ักเรียนนาสตู รท่ีไดน้ ามาศกึ ษาตวั อย่างที่ 32–33 และทา “ลองทาดู” ในหนงั สือเรียน หน้า 64-65
เมื่อนักเรยี นทา “ลองทาดู” เสรจ็ ครูและนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลยคาตอบ

4. ครูอธบิ ายตัวอยา่ งที่ 34 และทา “ลองทาดู” พร้อมกนั
5. ครใู ห้นักเรียนทาแบบฝกึ ทกั ษะ 1.7 ระดบั พ้ืนฐาน เปน็ การบ้าน

ชัว่ โมงท่ี 3

ขน้ั สอน

ขัน้ รู้ (Knowing)

1. ครูเพม่ิ เติมใหส้ ิ่งทน่ี ักเรียนต้องทราบ คอื เราสามารถใช้ฟงั กช์ ันตรีโกณมิติของผลบวกและผลตา่ งของมุม
เมือ่ โจทย์หาคา่ ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ อิ ่นื ๆ รวมทงั้ โจทย์ทตี่ ้องแสดงการพิสูจน์

2. ครยู กตวั อย่าง พร้อมถามคาถาม ดงั น้ี

 ถ้าต้องการทราบคา่ x ของวงกลมหน่งึ หน่วย เมอ่ื กาหนด ค่า sin A = 1
√2
(แนวตอบ จากทฤษฎบี ทพีทาโกรัส หรอื สมการวงกลมทมี่ เี สน้ ผ่านศูนยก์ ลาง (0, 0) รศั มี 1 หนว่ ย

จะไดว้ ่า x2 + ( 1 )2 = 12
√2
X2 = 1
2
X =1
√2
ดังนั้น พิกดั คือ ( 1 , 1 ))
√2 √2

 ถ้าตอ้ งการทราบค่า y ของวงกลมหน่ึงหน่วย เมือ่ กาหนด ค่า cos B = 3
5
(แนวตอบ จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส หรือสมการวงกลมทมี่ ีจุดศนู ยก์ ลาง (0,0) และรัศมี 1 หนว่ ย

จะไดว้ ่า (3)2 + y2 = 12
5
y2 = (4)2
5
y =4
5
ดังนน้ั พิกัด คือ (3 , 4))
55
3. ครอู ธบิ ายตัวอยา่ งที่ 35 – 36 ในหนังสือเรียน หน้า 67-68 ตอ้ งใชค้ วามรู้เร่ือง ทฤษฏีบทพีทาโกรัส เข้า

มาช่วยในการคดิ คานวณ

72

4. ครใู ห้นักเรยี นจบั คู่ศึกษาตัวอย่างที่ 35 -36 ในหนงั สอื เรยี น หน้า 67-68 หลังจากทค่ี รูอธิบายแลว้
นักเรียนทา “ลองทาดู” เม่อื นักเรยี นทา “ลองทาดู” เสรจ็ ครูและนักเรียนรว่ มกันเฉลยคาตอบ

ขนั้ เขา้ ใจ (Understanding)

5. ครใู หน้ ักเรยี นศึกษาตัวอยา่ งท่ี 37 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 69 ครูอธิบายเพ่ิมเตมิ และให้นักเรียนทา “ลอง
ทาดู” ในหนังสอื เรยี น หน้า 70 ไปพร้อม ๆ กนั

6. ครูให้นักเรยี นจบั คู่ศกึ ษาตัวอย่างท่ี 38 – 40 ในหนังสือเรยี น หนา้ 70 และทา “ลองทาดู” ในหนังสือ
เรยี น หน้า 70 เมื่อนักเรียนทา “ลองทาดู” เสรจ็ ครแู ละนักเรียนรว่ มกันเฉลยคาตอบ

7. ครใู หน้ กั เรยี นทาแบบฝกึ ทักษะ 1.7 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 72 ข้อ 1.-4. เป็นการบ้าน
ขนั้ ลงมือทา (Doing)

ครูให้นักเรียนจดั กลุม่ กล่มุ ละ 4 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แล้วทากจิ กรรม ดงั น้ี
 ให้นักเรยี นแตล่ ะกลุม่ ทาแบบทกั ษะ 1.7 ในหนงั สอื เรียน หนา้ 60 ข้อ 5.-11.
 เม่ือนักเรียนทกุ กลมุ่ ทาเสร็จแลว้ ครูสมุ่ ตัวแทนนักเรียน 18 คน ออกมาแสดงทาโดยละเอียดหน้าชั้น

เรยี น โดยมคี รูและเพือ่ น ๆ คอยตรวจสอบความถกู ต้อง

ขนั้ สรปุ

ครถู ามคาถามเพื่อประเมนิ ความรู้รวบยอดของนักเรยี น ดังน้ี
 cos(α − β) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β)
 cos(α + β) หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β)
 sin(α + β) หาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β)
 sin(α − β) หาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β)
 tan(α + β) หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ tan(α + β) = )tan +tan

1−tan tan

 tan(α − β) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ tan(α − β) = )tan −tan

1+tan tan

73

7. การวดั และประเมินผล วิธีการ เครื่องมอื เกณฑก์ ารประเมิน
รายการวัด

7.1 ประเมินระหว่างการจัด

กิจกรรมการเรียนรู้

1) ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิของ - ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 1.7 - แบบฝกึ ทกั ษะ 1.7 - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์

ผลบวกและผลตา่ งของ - ตรวจ Exercise 1.7 - Exercise 1.7 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์

จานวนจริงหรือมุม

2) การนาเสนอผลงาน - ประเมนิ การนาเสนอ - แบบประเมนิ การ - ระดับคุณภาพ 2
ผลงาน นาเสนอผลงาน ผ่านเกณฑ์

3) พฤติกรรมการทางาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต - ระดบั คุณภาพ 2

รายบุคคล การทางานรายบุคคล พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

การทางานรายบุคคล

4) พฤตกิ รรมการทางาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต - ระดบั คุณภาพ 2

กลุม่ การทางานกลุ่ม พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์

การทางานกลุ่ม

5) คณุ ลักษณะ - สงั เกตความมวี ินัย - แบบประเมิน - ระดับคณุ ภาพ 2

อันพึงประสงค์ ใฝเ่ รียนรู้ และมุ่งม่นั คณุ ลักษณะ ผา่ นเกณฑ์

ในการทางาน อนั พึงประสงค์

8. สอื่ /แหล่งการเรยี นรู้
8.1 สือ่ การเรยี นรู้
1) หนังสือเรยี นรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรยี นรทู้ ่ี 2 ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติ
2) หนงั สอื แบบฝึกหัดรายวชิ าเพิม่ เติม คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หน่วยการเรยี นรทู้ ี่ 2 ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิ
8.2 แหลง่ การเรียนรู้
1) หอ้ งสมุด
2) แหล่งชุมชน
3) อินเทอร์เน็ต

74

9. บันทกึ ผลหลงั การจัดการเรยี นรู้

ผลการจดั การเรียนรตู้ ามตัวชว้ี ดั

จานวนนกั เรยี นท้งั หมด...........คน

- ผ่านเกณฑก์ ารประเมนิ ระดับดี ....... คน คดิ เป็นร้อยละ..................

- ผ่านเกณฑ์การประเมนิ ระดับปานกลาง ....... คน คิดเปน็ ร้อยละ..................

- ไม่ผ่านเกณฑก์ ารประเมินระดบั ปรับปรุง ....... คน คิดเป็นร้อยละ..................

ผลการประเมนิ พฤติกรรมระหว่างเรียน

...................................................................................................................................................................... ............

....................................................................................................................... ...............................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

..................................................................................................................................... ..................................................

ปัญหาและอุปสรรคระหว่างการจดั กิจกรรมการเรยี นการสอน

............................................................................................................................. ..........................................................

.......................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

การปรับปรงุ แก้ไข

............................................................................................................................. .....................................................

................................................................................................................................................. ......................................

............................................................................................ ...........................................................................................

ข้อคิดเห็นและข้อเสนอแนะเพ่ิมเตมิ
............................................................................................................................. .....................................................
............................................................................................................................. ..........................................................
................................................................................................................................................... ...................................

ลงชือ่ ...........................................ผสู้ อน
(นางอภุ าพร สุขเกษม)

ตาแหน่ง ครูชานาญการพิเศษ
............./............../..............

75

ความคดิ เหน็ ของหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรียนรู้
............................................................................................................................. ..........................................................
......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................

ลงชื่อ...........................................ผตู้ รวจสอบ
( นางอภุ าพร สขุ เกษม)

ตาแหนง่ หวั หนา้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้
............/............../..............

ความคิดเหน็ ของหัวหน้ากลุ่มบริหารวิชาการ
............................................................................................................................. .....................................................

....................................................................................................................................... ................................................
.................................................................................. .....................................................................................................

ลงช่อื ...........................................ผตู้ รวจสอบ
(นางอภิญญา ดเิ รกศรี)

ตาแหน่งหวั หนา้ กลมุ่ บรหิ ารวชิ าการ
............./............../..............

ความคดิ เห็นของผู้อานวยการโรงเรยี น
.......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................
............................................................................................................................. ..........................................................

ลงชอ่ื ...........................................ผูต้ รวจสอบ
(นางสาวประภัสสร ทามาลี)

ผ้อู านวยการโรงเรียนไชยวานวทิ ยา
............./............../..............

76

แผนการจัดการเรยี นรู้ท่ี 8 ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5
เวลา 20 ชั่วโมง
วิชาคณิตศาสตรเ์ พม่ิ เติม ค 30203 เวลา 3 ช่ัวโมง
หน่วยการเรยี นรู้ 1 ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมติ ิ
เรอื่ งฟังก์ชันตรีโกณมิตขิ องสองเทา่ สามเท่า และคร่งึ เท่าของจานวนจริง
สอนโดย นางอุภาพร สุขเกษม

1. ผลการเรยี นรู้

1) เขา้ ใจฟังก์ชนั ตรโี กณมิติและลักษณะกราฟของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติและ นาไปใช้ในการแก้ปัญหา

2) แกส้ มการตรโี กณมิติและนาไปใช้ในการแก้ปัญหา

3) ใช้กฎของโคไซน์และกฎของไซน์ในการแก้ปัญหา

2. จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

1) คานวณคา่ ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติสองเท่า สามเทา่ และครงึ่ เท่าของจานวนจรงิ หรือมุมได้ (K)

2) แกป้ ัญหาค่าของฟังกช์ ันตรโี กณมิตสิ องเท่า สามเท่า และคร่ึงเทา่ ของจานวนจริงหรอื มุมได้ (P)

3) มีความรบั ผดิ ชอบต่องานทไี่ ด้รับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรียนรู้

สาระการเรียนร้เู พ่มิ เติม สาระการเรยี นรู้ท้องถิน่

ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิตขิ องสองเทา่ สามเทา่ และครึ่งเท่า พิจารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

ของจานวนจริงหรือมมุ

4. สาระสาคญั /ความคิดรวบยอด

sin 2 = 2sin α cos α

cos(2α) = cos2 α − sin2 α

= 1 − 2 sin2 α

= 2 cos2 α − 1

tan(2α) = 2tanα
1−tan2 α
sin(3α) = 3 sin α − 4 sin3 α

cos(3α) = 4 cos3 α − 3cos α

tan(3α) = 3tan α+tan3 α
1−3tan2 α

sin (α) = ±√1−cos α

22

cos (α) = ±√cos α+1

22

5. สมรรถนะสาคัญของผเู้ รยี นและคุณลกั ษณะอนั พงึ ประสงค์

สมรรถนะสาคัญของผู้เรียน คณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์
1. มวี ินยั
1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ใฝเ่ รยี นรู้
2. ความสามารถในการคดิ 3. มุ่งมน่ั ในการทางาน

1) ทกั ษะการสารวจคน้ หา
3. ความสามารถในการแก้ปัญหา

6. กิจกรรมการเรียนรู้
 แนวคิด/รปู แบบการสอน/วิธีการสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching

ชว่ั โมงที่ 1

ขั้นนา

ข้นั ทบทวนความรู้เดมิ เช่ืองโยงความรู้ใหม่
1. ครทู บทวนความรเู้ ดิมเรื่อง ฟังก์ชนั ตรีโกณมิติของผลบวกของจานวนจริงหรอื มุม ดว้ ยการถามคาถาม

ดังนี้
 sin(A + B) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ sin(A + B) = sin A cos B + cosA sinB)

ขนั้ สอน

ขัน้ รู้ (Knowing)
1. ครูใหเ้ ขียน sin 2α แลว้ ถามนักเรียนว่าจะหาได้อย่างไร โดยครยู งั ไมใ่ หน้ ักเรียนเปดิ หนงั สือเรยี น

(แนวตอบ ครูต้องการให้นักเรียนตอบโดยอาศัยความรู้ของเรอื่ งท่เี รียนไปก่อนหนา้ น้ี นน่ั คือ ให้นักเรียน
ตอบวา่ แยก 2α เปน็ α + α จะได้วา่ sin 2α = sin(α + α))
เมอื่ นักเรียนตอบไดเ้ ช่นน้คี รถู ามนักเรียนต่อไปวา่ sin(α + α) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ sin(α + α) หาได้จากสูตร sin(A + B) = sin A cosB + cosA sinB
ซงึ่ จะไดว้ า่ sin(α + α) = sin α cos α + cos α sin α

= sin α cos α + sin α cos α

= 2 sin α cos α)
2. ในทานองเดียวกันครูถามนักเรียนวา่ cos 2α จะหาได้อยา่ งไร โดยครูยงั ไม่ให้นกั เรียนเปดิ หนังสอื

เรยี นเช่นเดมิ
(แนวตอบ cos 2α จะหาได้จาก cos(A + B) = cos A cosB − sinA sinB ซง่ึ จะได้วา่

cos(2α) = cos(α + α)
= cos α cosα − sinα sinα

= cos2 α − sin2 α)

3. เม่ือนกั เรียนหา cos 2α = cos2 α − sin2 α ไดแ้ ล้ว cos 2α = cos2 α − sin2 α ครูเขียนลงบน

กระดานและกาหนดให้เปน็ สมการท่ี 1 จากนัน้ ครูบอกกบั นกั เรยี นว่า sin2 θ + cos2 θ = 1 เสมอ

เพราะเป็นเอกลักษณต์ รีโกณมติ ิ หลังจากนนั้ ครูถามคาถามนกั เรยี น ดังนี้

 ถ้านักเรยี นแทนค่า cos2 α = 1 − sin2 α ลงในสมการท่ี 1 จะได้ cos 2α เทา่ กับเท่าไร

(แนวตอบ cos 2α = (1 − sin2 α) − sin2 α

= 1 − 2 sin2 α)

 ถ้านักเรยี นแทนคา่ sin2 α = 1 − cos2α ลงในสมการที่ 1 จะได้ cos 2α เทา่ กบั เท่าไร

(แนวตอบ cos 2α = cos2 α − (1 − cos2α)

= 2 cos2 α − 1)

4. หลังจากนน้ั ครถู ามนกั เรยี นต่อไปอกี ว่า tan 2α จะหาได้อย่างไร โดยครูยงั ไมใ่ หน้ ักเรียนเปิดหนังสอื

เรียนเชน่ เดิม

(แนวตอบ tan 2α จะหาไดจ้ าก tan(A + B) = tan A+tanB ซง่ึ จะได้ว่า
1−tan A tan B

tan(2α) = tan(α + α)

= tan α+tanα
1−tan α tan α
2tanα
1−tan2 α
)=

5. ครใู ห้นกั เรยี นศึกษาตวั อยา่ งที่ 41 ในหนังสือเรยี น หนา้ 75 เม่อื นักเรยี นศกึ ษาเสรจ็ ครถู ามคาถาม

นักเรยี น ดังน้ี

 ในตวั อย่างที่ 41 cos θ เท่ากบั เทา่ ไร

(แนวตอบ cos θ = − 3)
5

 sin 2θ, cos 2θ และ tan 2θ เท่ากบั เทา่ ไร

(แนวตอบ sin 2θ = − 24 , cos 2θ = − 7 และ tan 2θ = 24)
25 25 7
6. ครใู ห้นักเรียนจบั คู่ศกึ ษาตวั อย่างที่ 42 ในหนงั สือเรียน หน้า 76 แล้วแลกเปล่ียนความรกู้ ับคขู่ อง

ตนเอง

ขน้ั เขา้ ใจ (Understanding)

7. ครใู ห้นกั เรียนทา “ลองทาดู” ของตัวอย่างที่ 41 ในหนงั สือเรยี น หนา้ 75 และ “ลองทาดู” ของ

ตัวอยา่ งที่ 42 ในหนังสอื เรียน หน้า 76 เมอ่ื นกั เรียนทกุ คนทาเสรจ็ แลว้ ครูและนกั เรยี นร่วมกันเฉลย

คาตอบ

8. ครูให้นกั เรียนทาแบบฝกึ ทกั ษะ 1.8 ขอ้ 1., ขอ้ 4. และข้อ 5.

ชั่วโมงท่ี 2

ข้นั สอน

ขน้ั รู้ (Knowing)

9. ครูถามนักเรยี นว่า sin 3α จะหาได้อยา่ งไร

(แนวตอบ 3α เป็น 2α + α จะไดว้ ่า sin 3α = sin(2α + α))

เมือ่ นกั เรยี นตอบไดเ้ ชน่ น้คี รูถามนักเรยี นต่อไปวา่ sin(2α + α) หาได้อย่างไร

(แนวตอบ sin(2α + α) = sin 2α cos α + cos 2α sin α

= sin 2α cos α + cos 2α sin α

= 3 sin α − 4 sin3 α)

10. ในทานองเดยี วกนั ครูถามนักเรยี นวา่ cos 3α จะหาได้อย่าง โดยครยู งั ไม่ใหน้ ักเรยี นเปิดหนงั สือเรียน

เชน่ เดมิ

(แนวตอบ cos(3α) = cos(2α + α)

= cos 2α cosα − sin2α sinα

= 4 cos3 α − 3cos α)

11. หลงั จากนั้นครถู ามนกั เรียนต่อไปอีกวา่ tan 3α จะหาได้อย่าง โดยครยู งั ไม่ใหน้ ักเรียนเปิดหนังสอื

เรียน เช่นเดิม

(แนวตอบ tan(3α) = 3tan α+tan3 α)
1−3tan2 α
ข้ันเขา้ ใจ (Understanding)

10. ครใู ห้นกั เรียนจับคู่และรว่ มกันศกึ ษาตัวอย่างท่ี 43 และตวั อยา่ งที่ 44 ในหนังสือเรยี น หน้า 78

หลงั จากน้นั ครูสุ่มถามคาถามนกั เรยี น ดงั น้ี

 ในตวั อยา่ งที่ 43 โจทยใ์ ห้อะไรมา

(แนวตอบ cos17° = 0.9563)

 ในตวั อย่างที่ 43 cos 51° จะหาได้อย่างไร และมีค่าเท่ากับเท่าไร
(แนวตอบ cos 51° จะหาไดจ้ าก cos 3(17°) และ cos 51° ≈ 0.6293)

 ในตวั อยา่ งที่ 44 โจทย์ใหอ้ ะไรมา

(แนวตอบ tan A = 3 เม่ือ 0 < A < π)
42

 ในตัวอย่างที่ 44 tan A จะหาได้อย่างไร และมีค่าเท่ากบั เทา่ ไร

(แนวตอบ tan 3A เมือ่ 0 < A < π จะหาไดจ้ าก tan 3A = 3tan A+tan3 A และ
2 1−3tan2 A
tan 3A = − )117
44
11. ครูให้นักเรยี นทา “ลองทาดู” ของตัวอย่างที่ 43 และ “ลองทาดู” ของตัวอย่างที่ 44 ในหนงั สือเรยี น

หนา้ 78 เมอ่ื นักเรยี นทุกคนทาเสรจ็ แล้ว ครูและนักเรยี นรว่ มกนั เฉลยคาตอบ

12. ครูให้นักเรยี นทาแบบฝึกทักษะ 1.8 ข้อ 2. และข้อ 6.

ช่วั โมงที่ 3

ข้นั สอน

ข้ันรู้ (Knowing)
13. ครถู ามนักเรยี นวา่ cos α จะหาได้อย่างไร

2

(แนวตอบ cos α = cos 2 (α)
2
cos α = 2cos2 (α) − 1
2
2cos2 (α) = cos α + 1
2
cos2 (α) = cos α+1
22

cos (α) = ±√cos α+1 )
22

14. ในทานองเดยี วกนั ครูถามนักเรียนว่า sin α จะหาไดอ้ ยา่ งไร โดยครูยงั ไม่ใหน้ กั เรยี นเปิดหนังสือเรยี น
2
เชน่ เดิม

(แนวตอบ ตอบ cos α = cos 2 (α)
2
cos α = 1−2sin2 (α)
2
2sin2 (α) = 1 − cos α
2
sin2 (α) = 1−cos α
22

sin (α) = ±√1−cos α )
22

ขน้ั เขา้ ใจ (Understanding)
15. ครใู ห้นกั เรียนจับคู่และร่วมกันศึกษาตวั อย่างที่ 45 ในหนังสือเรยี น หน้า 79 หลังจากนัน้ ครสู ุ่มถาม

คาถามนักเรียน ดังน้ี
 sin15° จะหาไดอ้ ยา่ งไร

(แนวตอบ sin15° จะหาได้จาก sin 30° = ±√1−cos 30° )
22

 sin15° เท่ากบั เทา่ ไร

(แนวตอบ sin15° = )√2−√3
2

16. ครใู หน้ กั เรียนทา “ลองทาดู” ในหนังสอื เรียน หน้า 80 เมอ่ื ทาเสร็จแล้วครแู ละนกั เรยี นรว่ มกนั เฉลย

คาตอบ หลังจากนั้นครใู ห้นักเรยี นทาแบบฝึกทักษะ 1.8 ขอ้ 3) เป็นการบ้าน

ข้นั ลงมือทา (Doing)

17. ครูให้นักเรยี นจดั กลมุ่ กลมุ่ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณติ ศาสตร์ แลว้ ให้ทากจิ กรรม

คณติ ศาสตร์ ดงั น้ี

 ใหน้ ักเรียนทาแบบฝกึ ทักษะ 1.8 ขอ้ 7. - ขอ้ 10.

 ใหน้ ักเรยี นในแต่ละกลุม่ ทาความเข้าใจร่วมกนั หลังจากนน้ั ครลู มุ่ นักเรียนในแต่ละกล่มุ ออกมา

เฉลยคาตอบ อยา่ งละเอียด

ข้นั สรุป

ครูถามคาถามเพ่ือสรุปความรู้รอบยอดของนกั เรียน ดังนี้

 sin(2α) หาไดอ้ ย่างไร

(แนวตอบ sin(2α) = 2 sin α cos α)

 cos 2α จะหาได้อยา่ ง

(แนวตอบ cos(2α) = cos2 α − sin2 α

= 1 − 2 sin2 α

= 2 cos2 α − 1)

 tan 2α จะหาได้อย่างไร

(แนวตอบ tan(2α) = )2tanα

 sin(3α) หาไดอ้ ย่างไร 1−tan2 α

(แนวตอบ sin(3α) = 3 sin α − 4 sin3 α)

 cos 3α จะหาได้อย่าง

(แนวตอบ cos(3α) = 4 cos3 α − 3cos α)

 tan 3α จะหาได้อย่างไร

(แนวตอบ tan(3α) = 3tan α+tan3 α )
1−3tan2 α
 sin α จะหาได้อย่างไร
2

(แนวตอบ sin (α) = ±√1−cos α)
22

 cos α จะหาได้อย่างไร
2

(แนวตอบ cos (α) = ±√cos )α+1
22

7. การวัดและประเมินผล

รายการวดั วธิ กี าร เครือ่ งมือ เกณฑ์การประเมิน

7.1 ประเมนิ ระหว่างการจดั - ร้อยละ 60 ผ่านเกณฑ์
- รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
กจิ กรรมการเรยี นรู้
- ระดับคุณภาพ 2
1) ฟงั กช์ นั ตรีโกณมิติของ - ตรวจแบบฝกึ ทกั ษะ 1.8 - แบบฝึกทกั ษะ 1.8 ผ่านเกณฑ์

สองเท่า สามเท่า และคร่งึ - ตรวจ Exercise 1.8 - Exercise 1.8

เทา่ ชองจานวนจรงิ

2) การนาเสนอผลงาน - ประเมินการนาเสนอ - แบบประเมนิ การ

ผลงาน นาเสนอผลงาน

3) พฤติกรรมการทางาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดบั คุณภาพ 2

รายบคุ คล การทางานรายบุคคล พฤติกรรม ผ่านเกณฑ์

การทางานรายบุคคล

4) พฤตกิ รรมการทางาน - สงั เกตพฤติกรรม - แบบสังเกต - ระดบั คุณภาพ 2
กล่มุ การทางานกลุ่ม
พฤติกรรม ผา่ นเกณฑ์

การทางานกลุ่ม

5) คุณลกั ษณะ - สังเกตความมวี นิ ัย - แบบประเมิน - ระดบั คณุ ภาพ 2
อนั พงึ ประสงค์ ใฝเ่ รียนรู้ และมงุ่ มั่น
ในการทางาน คุณลกั ษณะ ผ่านเกณฑ์

อันพึงประสงค์

8. สอ่ื /แหล่งการเรยี นรู้
8.1 ส่อื การเรียนรู้
1) หนงั สือเรยี นรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรียนรทู้ ี่ 1 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติ
2) หนงั สือแบบฝึกหัดรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เลม่ 1 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ่ี 1 ฟงั กข์ ันตรีโกณมติ ิ
8.2 แหลง่ การเรียนรู้
1) ห้องสมุด
2) แหล่งชุมชน
3) อนิ เทอรเ์ น็ต

9. บันทกึ ผลหลงั การจดั การเรียนรู้

ผลการจัดการเรยี นรตู้ ามตวั ช้วี ัด

จานวนนักเรียนทัง้ หมด...........คน

- ผา่ นเกณฑก์ ารประเมนิ ระดับดี ....... คน คิดเปน็ ร้อยละ..................

- ผ่านเกณฑก์ ารประเมินระดับปานกลาง ....... คน คดิ เปน็ รอ้ ยละ..................

- ไม่ผา่ นเกณฑก์ ารประเมนิ ระดับปรับปรุง ....... คน คิดเปน็ ร้อยละ..................

ผลการประเมนิ พฤติกรรมระหว่างเรยี น

..................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. .........................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

.......................................................................................................................................................................... .............

ปญั หาและอุปสรรคระหว่างการจดั กิจกรรมการเรยี นการสอน

.......................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

การปรับปรุงแกไ้ ข

..................................................................................................................................... .............................................

...................................................................................... .................................................................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

ข้อคิดเห็นและข้อเสนอแนะเพิ่มเติม
............................................................................................................................. .....................................................
.......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................................

ลงชอื่ ...........................................ผู้สอน
(นางอุภาพร สุขเกษม)

ตาแหนง่ ครูชานาญการพิเศษ
............./............../..............

ความคดิ เห็นของหวั หนา้ กลุ่มสาระการเรยี นรู้
............................................................................................................................. ..........................................................
......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................

ลงชอ่ื ...........................................ผตู้ รวจสอบ
( นางอุภาพร สุขเกษม)

ตาแหนง่ หวั หนา้ กลมุ่ สาระการเรยี นรู้
............/............../..............

ความคิดเห็นของหวั หนา้ กลุ่มบริหารวิชาการ
............................................................................................................................. .....................................................

............................................................................................................................. ..........................................................
.......................................................................................................................................................................................

ลงช่อื ...........................................ผู้ตรวจสอบ
(นางอภิญญา ดิเรกศรี)

ตาแหนง่ หวั หนา้ กล่มุ บริหารวิชาการ
............./............../..............

ความคิดเหน็ ของผู้อานวยการโรงเรยี น
............................................................................................................................. ..........................................................
.......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................

ลงช่ือ...........................................ผู้ตรวจสอบ
(นางสาวประภัสสร ทามาลี)

ผ้อู านวยการโรงเรยี นไชยวานวทิ ยา
............./............../………



แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี 9 ช้ันมธั ยมศกึ ษาปีที่ 5
เวลา 40 ชวั่ โมง
วชิ าคณติ ศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ค 30203 เวลา 3 ชั่วโมง
หน่วยการเรยี นรู้ 1 ฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิ
เร่อื งความสัมพนั ธ์ระหว่างผลบวก ผลตา่ ง และผลคณู ของฟงั ก์ชันตรีโกณมิติ
สอนโดย นางอุภาพร สุขเกษม

1. ผลการเรยี นรู้

1) เข้าใจฟังก์ชนั ตรโี กณมติ ิและลักษณะกราฟของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิและ นาไปใช้ในการแกป้ ัญหา

2) แกส้ มการตรีโกณมติ ิและนาไปใช้ในการแกป้ ญั หา

3) ใชก้ ฎของโคไซนแ์ ละกฎของไซน์ในการแก้ปัญหา

2. จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1) หาความสมั พนั ธร์ ะหว่างผลบวก ผลตา่ ง และผลคณู ของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิได้ (K)

2) ใช้ความสัมพนั ธ์ระหวา่ งผลบวก ผลต่าง และผลคณู ของฟังก์ชันตรีโกณมิไดแ้ ก้ปัญหาได้ (P)

3) มคี วามรบั ผดิ ชอบต่องานทีไ่ ด้รบั มอบหมาย (A)

3. สาระการเรียนรู้

สาระการเรียนรู้เพ่ิมเติม สาระการเรียนรู้ทอ้ งถิ่น

ฟังก์ชันตรีโกณมติ ขิ องสองเท่า สามเท่า และครึ่งเท่า พจิ ารณาตามหลกั สูตรของสถานศึกษา

ของจานวนจรงิ หรือมุม

4. สาระสาคัญ/ความคิดรวบยอด

ความสมั พนั ธ์ระหว่างผลบวก ผลต่าง และผลคูณของฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิมีอะไรบา้ ง

sin(α + β) + sin(α − β) = 2sin α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = 2cos α sin β

cos (α + β) + cos(α − β) = 2cos α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = − 2cos α sin β

α+β α−β
sin α + sin β = 2sin ( 2 ) cos ( 2 )
α+β α−β
sin α − sin β = 2cos ( 2 ) sin ( 2 )
α+β α−β
cos α + cos β = 2cos ( 2 ) cos ( 2 )
α+β α−β
sin α − sin β = −2sin ( 2 ) sin ( 2 )
5. สมรรถนะสาคญั ของผเู้ รียนและคุณลกั ษณะอันพงึ ประสงค์

สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี น คณุ ลักษณะอนั พึงประสงค์
1. มวี ินยั
1. ความสามารถในการสื่อสาร 2. ใฝ่เรียนรู้
2. ความสามารถในการคดิ 3. มงุ่ มน่ั ในการทางาน

1) ทักษะการสารวจคน้ หา
3. ความสามารถในการแกป้ ญั หา

6. กิจกรรมการเรยี นรู้
 แนวคิด/รูปแบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนคิ : Concept Based Teaching

ช่วั โมงที่ 1

ข้นั นา

ขัน้ ทบทวนความรู้เดมิ เช่ืองโยงความร้ใู หม่
ครูทบทวนความรเู้ ดิมเรื่อง ฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ิของผลบวกของจานวนจรงิ หรอื มุม ด้วยการถามคาถาม
ดงั น้ี

 sin(A + B) หาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ sin(A + B) = sin A cos B + cosA sinB)

 sin(A − B) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ sin(A − B) = sin A cos B − cosA sinB)

 cos(α − β) หาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β)

 cos(α + β) หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β)

ขั้นสอน

ขนั้ รู้ (Knowing)
1. ครูใหน้ กั เรยี นจัดกลมุ่ กลมุ่ ละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แลว้ ทากิจกรรม

คณติ ศาสตร์ ในหนังสอื เรยี น หน้า 81 ดงั น้ี

 ให้นักเรียนแต่กล่มุ รว่ มกันตอบคาถามในกจิ กรรมคณติ ศาสตร์ ในหนงั สือเรียน หน้า 81
 ให้นกั เรียนในกลุ่มแลกเปลยี่ นความร้กู ับเพอ่ื นสมาชกิ ในกลุ่มจนเป็นทเ่ี ข้าในรว่ มกนั
 ครสู ุ่มนกั เรยี นออกมาตอบคาถามของกิจกรรมคณิตศาสตร์ โดยมคี รแู ละเพ่อื น ๆ คอย

ตรวจสอบความถูกต้อง

ขัน้ เข้าใจ (Understanding)
1. จากการทากจิ กรรมคณิตศาสตร์ ในหนังสือเรียน หนา้ 81 ครูถามคาถามนักเรียน ดังน้ี

 sin(α + β) หาไดอ้ ยา่ งไร
(แนวตอบ sin(α + β) = sin α cos β + cosα sinβ)

 sin(α − β) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ sin(α − β) = sin α cos β − cosα sinβ)

 sin(α + β) + sin(α − β) เท่ากบั เทา่ ไร
(แนวตอบ 2sin α cos β = sin(α + β) + sin(α − β))

 sin(α + β) − sin(α − β) เท่ากบั เทา่ ไร
(แนวตอบ 2cos α sin β = sin(α + β) − sin(α − β))

ชัว่ โมงที่ 2

ข้นั สอน

ขน้ั เข้าใจ (Understanding)
2. ครูใหน้ ักเรยี นกลุ่มเดมิ หาคา่ ของ 2cos α cos β และ 2sin α sin β โดยใหน้ ักเรยี นในแต่ละกลุ่ม

รว่ มกันแลกเปลีย่ นความรจู้ นเป็นทเ่ี ข้าใจรว่ มกัน จากน้นั ครูสมุ่ นักเรียนให้มานาเสนอคาตอบ แตใ่ นการ
นาเสนอนี้ครูจะยงั ไม่บอกคาตอบท่ีถูกต้องให้นกั เรียนทราบ แตค่ รูจะถามคาถามกับนักเรียน ดังนี้

 cos(α − β) หาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β)

 cos(α + β) หาได้อย่างไร
(แนวตอบ cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β)

 cos (α + β) + cos (α − β) เทา่ กบั เท่าไร
(แนวตอบ cos (α + β) + cos(α − β) = 2cos α cos β)

 cos (α + β) − cos (α − β) เทา่ กบั เทา่ ไร
(แนวตอบ sin(α + β) − sin(α − β) = − 2cos α sin β)

3. จากนัน้ ครเู ขียนความสมั พันธร์ ะหว่างผลบวก ผลต่าง และผลคณู ของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติอื่น ๆ อีก ดังน้ี
โดยครูกาหนด x + y = α …….(1)
x − y = β …….(2)
และถามคาถามนักเรียน ดังนี้

 คาตอบของระบบสมการขา้ งตน้ เทา่ กับเท่าไร
(แนวตอบ x = α+β และ = )α−β

22

 หาคาตอบของระบบสมการมาได้อย่างไร

(แนวตอบ นกั เรียนสามารถตอบได้หลากหลายข้ึนกับความถนดั ในการแกร้ ะบบสมการของ

นักเรียน โดยนกั เรยี นอาจตอบวา่ ใชส้ มบตั กิ ารเทา่ กนั และแก้สมการหาค่า x แล้วนาค่า x ทไี่ ด้

ไปแทนค่าเพื่อหาค่า y ตอ่ ไป)

เมอื่ นกั เรยี นตอบคาถามได้เช่นน้ี ครูเขยี นความสัมพันธ์ระหวา่ งผลบวก ผลต่าง และผลคณู ของฟงั กช์ ัน

ตรโี กณมติ ิอน่ื ๆ อีก ดังน้ี

sin(x + y) + sin(x − y) = 2sin x cos y

และครถู ามคาถามนักเรียน ดังนี้

 แทนค่า x และ y ในความสัมพันธข์ ้างต้นจะได้ผลลพั ธ์เปน็ อยา่ งไร

(แนวตอบ sin (α+β + α−β) + sin (α+β − α−β) = 2sin (α+β) cos (α−β)
22 22 22

ซึ่งจะไดว้ า่ sin α + sin β = 2sin (α+β) cos (α−β))
22

 ถา้ แทนคา่ x และ y ในความสมั พันธ์ sin(α + β) − sin(α − β) จะไดผ้ ลลัพธเ์ ปน็ อยา่ งไร

(แนวตอบ sin (α+β + α−β) − sin (α+β − α−β) = 2sin (α+β) cos (α−β)
22 22 22

ซึ่งจะได้ว่า sin α − sin β = 2cos (α+β) sin (α−β))
22

 ถา้ แทนค่า x และ y ในความสมั พนั ธ์ cos(α + β) + cos(α − β) จะได้ผลลัพธเ์ ป็นอย่างไร

(แนวตอบ cos (α+β + α−β) + cos (α+β − α−β) = 2cos (α+β) cos (α−β)
22 22 22

ซง่ึ จะได้ว่า cos α + cos β = 2cos (α+β) cos (α−β))
22

 ถ้าแทนคา่ x และ y ในความสัมพันธ์ cos (α + β) − cos (α − β) จะได้ผลลพั ธ์เปน็ อย่างไร

(แนวตอบ cos (α+β + α−β) − cos (α+β − α−β) = 2sin (α+β) cos (α−β)
22 22 22

ซึ่งจะได้ว่า sin α − sin β = −2sin (α+β) sin (α−β))
22

ชั่วโมงที่ 3

ขัน้ สอน

ขนั้ รู้ (Knowing)

4. ครใู ห้นักเรียนจบั คู่และรว่ มกันศกึ ษาตัวอยา่ งท่ี 46-48 ในหนงั สอื เรียน หน้า 83-84 จากน้นั แลกเปล่ยี น
ความรูก้ ับคู่ของตนเองจนเปน็ ทเี่ ข้าใจรว่ มกนั จากน้นั ครูถามคาถามนกั เรยี น ดงั นี้

 2 cos 55° cos 5° หาไดอ้ ย่างไร
(แนวตอบ 2 cos 55° cos 5° = cos(55° + 5°) + cos(55° − 5°)
ซึง่ จะไดว้ ่า 2 cos 55° cos 5° = cos 60° + cos 50°)

 sin (5π − θ) + sin (5π + θ) เทา่ กบั เท่าไร
66

(แนวตอบ sin (5π − θ) + sin (5π + θ) = 2 sin [(56π−θ)+(56π+θ)] cos [(56π−θ)−(56π+θ)]
66 22

ซึง่ จะไดว้ า่ sin (5π − θ) + sin (5π + θ) = 2 sin 5π cos(−θ) = cos θ)
66 6

 sin 40° + cos 10° หาได้อยา่ งไร
(แนวตอบ sin 40° + cos 10° = sin 40° + sin 80° = 2 sin 40°+80° cos 40°−80°

22

ซ่งึ จะไดว้ ่า sin 40° + cos 10° = 2 sin 60° cos(−20°))
5. จากตวั อยา่ งที่ 48 ในหนงั สือเรียน หน้า 84 ครูอธิบายกรอบ “แนะแนวคิด” ใหน้ กั เรียนฟงั ว่า

cos 10° = sin 80° และ sin 70° = cos 20° น้ันเป็น co-function ตรีโกณมิติ
และ cos(−θ) = cos θ น้ันมาจากบทพสิ จู นใ์ นหนงั สือ หน้า 17
ขน้ั เข้าใจ (Understanding)
6. จากน้นั ครูให้นักเรยี นแต่ละคนทา “ลองทาด”ู ทา้ ยตวั อยา่ งที่ 46-48 ในหนังสือเรียน หนา้ 83-84 เมอ่ื
ทาเสรจ็ แล้วครแู ละนกั เรยี นร่วมกนั เฉลยคาตอบ
7. ครูให้นกั เรียนทาแบบฝกึ ทักษะ 1.9 ข้อ 1.-6. ในหนงั สอื เรยี น หนา้ 85 เปน็ การบา้ น
ขนั้ ลงมือทา (Doing)
8. ครใู ห้นักเรียนจดั กลุม่ กลุ่มละ 4-5 คน คละความสามารถทางคณิตศาสตร์ แล้วให้ทากิจกรรม
คณิตศาสตร์ ดงั นี้

 ให้นกั เรยี นทาแบบฝกึ ทักษะ 1.9 ข้อ 7. และข้อ 8. ในหนงั สอื เรียน หน้า 85
 ใหน้ ักเรยี นในแตล่ ะกล่มุ ทาความเข้าใจรว่ มกัน หลังจากน้ันครูลมุ่ นักเรยี นในแต่ละกลุ่มออกมา

เฉลยคาตอบ อย่างละเอียด โดยครแู ละเพือ่ น ๆ คอยตรวจสอบความถูกต้อง

ข้นั สรปุ

ครถู ามคาถามเพ่ือสรุปความรู้รอบยอดของนักเรยี น ดงั น้ี

 ความสมั พนั ธ์ระหว่างผลบวก ผลต่าง และผลคูณของฟงั ก์ชันตรโี กณมิติมีอะไรบา้ ง

(แนวตอบ sin(α + β) + sin(α − β) = 2sin α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = 2cos α sin β

cos (α + β) + cos(α − β) = 2cos α cos β

sin(α + β) − sin(α − β) = − 2cos α sin β

α+β α−β
sin α + sin β = 2sin ( 2 ) cos ( 2 )
sin α − sin β = 2cos (α+β) sin (α−β)

22

cos α + cos β = 2cos (α+β) cos (α−β)

22

sin α − sin β = −2sin (α+β) sin (α−β))
22

7. การวัดและประเมินผล วธิ ีการ เครื่องมอื เกณฑก์ ารประเมิน
รายการวดั
- ตรวจแบบฝึกทกั ษะ 1.9 - แบบฝกึ ทกั ษะ 1.9 - รอ้ ยละ 60 ผ่านเกณฑ์
7.1 ประเมินระหวา่ งการจดั - ตรวจ Exercise 1.9 - Exercise 1.9 - รอ้ ยละ 60 ผา่ นเกณฑ์
กจิ กรรมการเรียนรู้
1) ความสมั พันธ์ระหว่าง - ประเมินการนาเสนอ - แบบประเมินการ - ระดับคุณภาพ 2
ผลงาน นาเสนอผลงาน ผา่ นเกณฑ์
ผลบวก ผลต่าง และผลคณู - สังเกตพฤติกรรม - แบบสงั เกต
ของฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ การทางานรายบุคคล พฤติกรรม - ระดับคณุ ภาพ 2
การทางานรายบุคคล ผ่านเกณฑ์
2) การนาเสนอผลงาน - สังเกตพฤติกรรม - แบบสังเกต
การทางานกลุ่ม พฤติกรรม - ระดับคณุ ภาพ 2
3) พฤติกรรมการทางาน การทางานกลุ่ม ผา่ นเกณฑ์
รายบคุ คล - สงั เกตความมีวินัย - แบบประเมิน
ใฝเ่ รียนรู้ และมุ่งม่ัน คุณลักษณะ - ระดบั คุณภาพ 2
4) พฤตกิ รรมการทางาน ในการทางาน อันพงึ ประสงค์ ผา่ นเกณฑ์
กลุม่

5) คุณลักษณะ
อนั พงึ ประสงค์

8. สอ่ื /แหล่งการเรียนรู้
8.1 ส่อื การเรียนรู้
1) หนงั สือเรียนรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หน่วยการเรยี นรู้ที่ 1 ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติ
2) หนงั สอื แบบฝกึ หดั รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ ม.5 เล่ม 1 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี 1 ฟงั กข์ ันตรโี กณมิติ
8.2 แหล่งการเรยี นรู้
1) หอ้ งสมดุ
2) แหลง่ ชุมชน
3) อินเทอรเ์ น็ต

9. บนั ทกึ ผลหลงั การจัดการเรยี นรู้

ผลการจัดการเรียนรู้ตามตัวช้ีวัด

จานวนนกั เรยี นทัง้ หมด...........คน

- ผ่านเกณฑ์การประเมินระดับดี ....... คน คดิ เป็นรอ้ ยละ..................

- ผา่ นเกณฑ์การประเมินระดับปานกลาง ....... คน คดิ เปน็ ร้อยละ..................

- ไม่ผา่ นเกณฑ์การประเมินระดบั ปรบั ปรุง ....... คน คิดเป็นร้อยละ..................

ผลการประเมนิ พฤติกรรมระหวา่ งเรียน

............................................................................................................................. .....................................................

......................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

ปญั หาและอุปสรรคระหว่างการจดั กิจกรรมการเรยี นการสอน

............................................................................................................................. ..........................................................

.......................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................. ..........................................................

การปรบั ปรงุ แก้ไข

............................................................................................................................. .....................................................

..................................................................................................................................... ..................................................

.......................................................................................................................................................................................

ขอ้ คิดเหน็ และขอ้ เสนอแนะเพ่ิมเติม
............................................................................................................................. .....................................................
.......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. .........................................................

ลงชอื่ ...........................................ผู้สอน
(นางอภุ าพร สขุ เกษม)

ตาแหนง่ ครชู านาญการพิเศษ
............./............../..............

ความคดิ เห็นของหวั หน้ากลุ่มสาระการเรยี นรู้
............................................................................................................................. ..........................................................
......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................

ลงชือ่ ...........................................ผู้ตรวจสอบ
( นางอภุ าพร สขุ เกษม)

ตาแหนง่ หัวหน้ากล่มุ สาระการเรียนรู้
............/............../..............

ความคดิ เหน็ ของหวั หนา้ กลุ่มบริหารวิชาการ
............................................................................................................................. .....................................................

............................................................................................................................. ..........................................................
.......................................................................................................................................................................................

ลงชือ่ ...........................................ผู้ตรวจสอบ
(นางอภิญญา ดเิ รกศรี)

ตาแหน่งหวั หน้ากลุ่มบรหิ ารวิชาการ
............./............../..............

ความคดิ เหน็ ของผู้อานวยการโรงเรยี น
............................................................................................................................. ..........................................................
.......................................................................................................................................................................................
............................................................................................................................. ..........................................................

ลงชอื่ ...........................................ผู้ตรวจสอบ
(นางสาวประภสั สร ทามาล)ี

ผ้อู านวยการโรงเรียนไชยวานวทิ ยา
............./............../..............





แผนการจดั การเรยี นรู้ที่ 10

วชิ าคณิตศาสตร์เพมิ่ เตมิ ค 30203 ชั้นมธั ยมศึกษาปีท่ี 5
หนว่ ยการเรียนรู้ 1 ฟังก์ชันตรโี กณมิติ เวลา 40 ชว่ั โมง
เร่อื งตัวผกผนั ของฟังก์ชันตรโี กณมิติ เวลา 4 ชั่วโมง
สอนโดย นางอุภาพร สุขเกษม

1. ผลการเรียนรู้

1) เข้าใจฟังก์ชันตรโี กณมิตแิ ละลักษณะกราฟของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตแิ ละ นาไปใช้ในการแก้ปัญหา

2) แกส้ มการตรีโกณมิติและนาไปใชใ้ นการแกป้ ัญหา

3) ใช้กฎของโคไซน์และกฎของไซนใ์ นการแก้ปัญหา

2. จุดประสงค์การเรียนรู้

1) คานวณหาตัวผกผันของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กาหนดให้ได้ (K)

2) เขียนขนั้ ตอนแสดงวิธีการหาตัวผกผันของฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิทก่ี าหนดให้ พรอ้ มให้เหตผุ ลประกอบได้อยา่ ง

สมเหตสุ มผล (P)

3) รับผดิ ชอบตอ่ หนา้ ท่ีทไี่ ดร้ ับมอบหมาย (A)

3. สาระการเรียนรู้

สาระการเรียนรู้เพิม่ เตมิ สาระการเรียนรู้ท้องถ่ิน

ฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิผกผนั พิจารณาตามหลักสตู รของสถานศึกษา

4. สาระสาคญั /ความคิดรวบยอด

ฟงั กช์ ัน arcsine คอื เซตของคูอ่ นั ดบั (x, y) โดยท่ี x = sin y และ − ≤ ≤
22

ฟังก์ชนั arccosine คือ เซตของคอู่ ันดับ (x, y) โดยที่ x = cos y และ 0 ≤ ≤

ฟังก์ชนั arctangent คอื เซตของคูอ่ นั ดับ (x, y) โดยที่ x = tan y และ − < <
22

5. สมรรถนะสาคญั ของผู้เรยี นและคณุ ลกั ษณะอันพึงประสงค์

สมรรถนะสาคญั ของผเู้ รียน คุณลกั ษณะอันพึงประสงค์

1. ความสามารถในการส่ือสาร 1. มีวนิ ัย

2. ความสามารถในการคดิ 2. ใฝเ่ รยี นรู้
1) ทักษะการเช่ือมโยง 3. มุ่งม่ันในการทางาน
2) ทักษะการประยกุ ต์ใชค้ วามรู้

3. ความสามารถในการแก้ปญั หา

6. กจิ กรรมการเรียนรู้

 แนวคดิ /รปู แบบการสอน/วธิ กี ารสอน/เทคนิค : นริ นัย (Deductive Method)

ช่ัวโมงที่ 1

ขัน้ นา

ขน้ั กาหนดขอบเขตของปัญหา
1. ครทู บทวนความร้เู ดิมเรื่องฟงั ก์ชนั ผกผนั โดยการถามคาถามนกั เรียน ดังนี้
 ตามความเข้าใจของนักเรียนฟังกช์ นั ผกผันเปน็ อย่างไร
(แนวตอบ นกั เรยี นสามารถตอบหลากหลายขึ้นอย่กู ับความเข้าใจของนกั เรียน)
2. ครถู ามคาถามเพื่อกระตนุ้ ความสนใจของนักเรยี น ดงั น้ี
 ตวั ผกผันของฟังกช์ ันตรโี กณมิติ หาไดห้ รอื ไม่
(แนวตอบ นักเรียนตอบได้หลากหลาย เพราะคาถามนเี้ ปน็ เพยี งคาถามจดุ ประเด็นใหน้ ักเรยี น
สนใจ)

ขั้นสอน

ข้ันแสดงและอธิบายทฤษฏี หลักการ
1. ครูอธิบายกับนักเรียนว่าการหาตวั ผกผันของฟงั กช์ นั ตรีโกณมิตทิ าไดโ้ ดยการสลบั ที่ระหวา่ งสมาชกิ ตวั
หน้าและสมาชิกตัวหลังของแต่ละคู่อนั ดับทเ่ี ปน็ สมาชกิ ชองฟังกช์ ัน แตเ่ นื่องจากฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ทิ ุก
ฟังก์ชนั ไมเ่ ปน็ ฟังก์ชนั หนง่ึ ต่อหนึ่ง และตวั ผกผนั ของฟังก์ชันหนึ่งตอ่ หนึ่งเท่าน้นั ทีเ่ ป็นฟังก์ชัน ดงั นน้ั
ตวั ผกผันของฟังกช์ นั ตรโี กณมิติจึงไม่เป็นฟังก์ชัน จากนนั้ ครูถามคาถามกระตุ้นให้นกั เรียนคดิ ตอ่ ว่าจะ
ทาอยา่ งไรให้ตวั ผกผันของฟังกช์ นั ตรีโกณมติ ิเป็นฟงั ก์ชนั
(แนวตอบ กาหนดโดเมนของฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ)
2. ครูเขียนกราฟของ y = sin x บนกระดานหนา้ ชัน้ เรยี น จากน้ันครูอธิบายบทนยิ ามของ ฟังกช์ ัน
arcsine คือ เซตของคู่อันดบั (x, y) โดยที่ x = sin y และ − ≤ ≤ และครอู ธิบายความร้ใู น

22

กรอบ “คณติ น่ารู้” ใหน้ กั เรียนฟังว่า “y = arcsine x จะเขยี นส้นั ๆ วา่ y = arcsin x”
3. หลังจากนัน้ ครูเขยี นกราฟของ y = arcsin x ใหน้ ักเรียนดอู ยา่ งละเอยี ดบนกระดานหน้าช้ันเรยี นบน

แกนของกราฟ y = sin x และใหน้ ักเรยี นสงั เกตว่า โดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ นั arcsine คอื อะไร
จากนนั้ ครถู ามคาถามนักเรียน ดงั น้ี

 โดเมนของฟงั ก์ชนั arcsine คืออะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟังก์ชัน arcsine คือ [-1, 1])

 เรนจข์ องฟังกช์ ัน arcsine คอื อะไร
(แนวตอบ เรนจ์ของฟงั กช์ นั arcsine คือ [− π , π])

22

ขัน้ ใชัทฤษฏี หลักการ
4. ครใู ห้นักเรยี นศึกษาตวั อยา่ งที่ 49 ในหนงั สอื เรียน หน้า 87-88 หลงั จากนั้นครูถามคาถามนกั เรียน
ดังน้ี

 sin อะไรท่ีมมี มุ อยู่ระหว่าง − π ถงึ π แล้วมคี า่ √2
22 2
(แนวตอบ sin π )
4

 ดังน้ัน arcsin √2 เท่ากบั เท่าไร
2

(แนวตอบ arcsin √2 = π)
24

 sin อะไรที่มมี ุมอย่รู ะหวา่ ง − π ถึง π แล้วมคี า่ − √3
22 2

(แนวตอบ sin (− π) )
3

 ดงั นัน้ arcsin (− √3) เท่ากบั เท่าไร
2

(แนวตอบ arcsin (− √3) = − π)
23
5. ครใู ห้นกั เรยี นทา “ลองทาดู” ในหนังสอื เรยี น หน้า 88 เมื่อนกั เรียนทาเสรจ็ แล้ว ครูและนักเรียน

ร่วมกันเฉลยคาตอบ

ชั่วโมงท่ี 2

ขั้นสอน

ข้นั แสดงและอธบิ ายทฤษฏี หลักการ
6. ครูเขยี นกราฟของ y = cos x บนกระดานหนา้ ชน้ั เรียน จากนั้นครอู ธิบายบทนิยามของฟังก์ชัน

arccosine คือ เซตของคู่อนั ดับ (x, y) โดยท่ี x = cos y และ 0 ≤ ≤ จากนัน้ ครอู ธิบายความรู้
ในกรอบ “คณติ น่ารู้” ใหน้ ักเรยี นฟงั ว่า “y = arccosine x จะเขียนสัน้ ๆ ว่า y = arccos x”
7. หลังจากนั้นครูเขียนกราฟของ y = arccos x ให้นักเรยี นดูอย่างละเอยี ดบนกระดานหน้าชั้นเรียนบน
แกนของกราฟ y = cos x และให้นักเรยี นสังเกตว่า โดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ ัน arccosine คืออะไร
จากน้ันครูถามคาถามนักเรยี น ดังนี้

 โดเมนของฟังกช์ นั arccos คืออะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟังก์ชนั arccos คอื [-1, 1])

 เรนจ์ของฟงั ก์ชนั arccosine คอื อะไร
(แนวตอบ เรนจ์ของฟังกช์ ัน arccosine คือ [0, π])

ข้ันใชัทฤษฏี หลักการ
8. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 50 ในหนงั สือเรยี น หน้า 88-89 หลงั จากนน้ั ครูถามคาถามนักเรยี น
ดังนี้

 cos อะไรทมี่ มี ุมอยรู่ ะหว่าง 0 ถงึ π แล้วมคี ่า 1
(แนวตอบ cos 0 )

 ดงั นน้ั arccos 1 เทา่ กบั เท่าไร
(แนวตอบ arccos 1 = 0)

 cos อะไรท่มี มี ุมอยรู่ ะหวา่ ง 0 ถงึ π แลว้ มคี า่ − 1
2
(แนวตอบ cos (2π) )
3

 ดงั นน้ั arccos (− 1) เท่ากบั เท่าไร
2
(แนวตอบ arccos (− 1) = 2π)
23

9. ครใู หน้ ักเรยี นทา “ลองทาดู” ในหนังสอื เรียน หน้า 90 เมอื่ นักเรยี นทาเสร็จแลว้ ครูและนักเรยี น
รว่ มกนั เฉลยคาตอบ

ชั่วโมงท่ี 3

ข้ันสอน

ข้นั แสดงและอธิบายทฤษฏี หลักการ
10. ครเู ขยี นกราฟของ y = tan x บนกระดานหน้าช้นั เรยี น จากนั้นครูอธิบายบทนยิ ามของฟังก์ชัน

arctangent คือ เซตของคู่อนั ดบั (x, y) โดยที่ x = tan y และ − < < จากนัน้ ครูอธิบาย
22

ความรู้ในกรอบ “คณติ น่ารู้” ใหน้ กั เรยี นฟังว่า “y = arctangent x จะเขียนสน้ั ๆ ว่า y = arctan x”
11. หลังจากนน้ั ครเู ขียนกราฟของฟั y = arctan x ใหน้ กั เรียนดูอยา่ งละเอยี ดบนกระดานหนา้ ชน้ั เรียนบน

แกนของกราฟ y = tan x และใหน้ ักเรียนสังเกตวา่ โดเมนและเรนจข์ องฟังกช์ ัน arctangent คอื อะไร
จากน้นั ครูถามคาถามนักเรยี น ดงั น้ี

 โดเมนของฟังก์ชนั arctangent คืออะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟังก์ชนั arctangent คือ (−∞, ∞))

 เรนจข์ องฟังก์ชัน arctangent คืออะไร
(แนวตอบ เรนจ์ของฟงั กช์ นั arctangent คอื (− π , π))

22

ข้นั ใชทั ฤษฏี หลักการ
12. ครูให้นักเรียนศึกษาตัวอย่างที่ 51 ในหนังสอื เรียน หนา้ 91 หลงั จากน้ันครถู ามคาถามนักเรยี น ดังนี้

 tan มุมเท่าไรมีค่า √3
3
(แนวตอบ tan π )
6

 ดงั นนั้ arctan √3 เทา่ กบั เท่าไร
3

(แนวตอบ arccos √3 = π)
36

 tan มมุ เท่าไรมีคา่ -1
(แนวตอบ tan (− π) )

4

 ดงั นนั้ arctan(−1) เท่ากับเท่าไร
(แนวตอบ arccos(−1) = − π)

4

13. ครูใหน้ ักเรียนทา “ลองทาดู” ในหนงั สือเรียน หน้า 92 เมอ่ื นกั เรียนทาเสร็จแลว้ ครูและนกั เรยี น
รว่ มกนั เฉลยคาตอบ

ชัว่ โมงท่ี 4

ข้นั สอน

ขน้ั แสดงและอธิบายทฤษฏี หลักการ
14. ครใู หน้ กั เรียนศึกษาความสมั พนั ธ์ระหว่างโดเมนและเรนจ์ทีท่ าใหแ้ ต่ละฟังก์ชันมีฟงั กช์ ันผกผันได้ ใน

หนงั สอื เรยี น หน้า 92 และศกึ ษากราฟของฟังกช์ นั sine, cosine, tangent และกราฟของฟังกช์ ัน
arcsine, arccosine และ arctangent ในหนังสือเรียน หนา้ 92-93
ขน้ั ใชทั ฤษฏี หลกั การ
15. ครูใหน้ กั เรยี นจับคู่และร่วมกันศึกษาตวั อย่างท่ี 52-56 ในหนังสอื เรยี น หนา้ 93-95 เมือ่ นกั เรียน
แลกเปลี่ยนความรกู้ ับค่ขู องตนเองจนเปน็ ท่เี ขา้ ใจร่วมกนั แลว้ ครูสุ่มนักเรียน 4 คน ออกมาแสดงทา
อย่างละเอียดพรอ้ มกบั ถามคาถามนักเรยี นในห้องใหร้ ่วมกนั ตรวจสอบพรอ้ มแสดงแนวคิดทต่ี า่ งหรอื
วธิ ีการทห่ี ลากหลาย
16. ครูให้นกั เรียนแตล่ ะคนทา “ลองทาดู” ท้ายตวั อย่างที่ 52-56 ในหนังสือเรียน หน้า 93-96 เมอ่ื
นักเรียนแต่ละคนทาเสร็จ ครูและนักเรียนรว่ มกนั เฉลยคาตอบโดยละเอยี ด

ขน้ั สรปุ

ข้ันตรวจสอบและสรุป
17. ครูถามคาถามเพื่อสรปุ ความรู้รวบยอดของนกั เรยี น ดงั น้ี

 ฟงั ก์ชนั arcsine คอื อะไร
(แนวตอบ เซตของคู่อันดับ (x, y) โดยท่ี x = sin y และ − ≤ ≤ )

22

 โดเมนของฟังกช์ ัน arcsine คืออะไร
(แนวตอบ โดเมนของฟงั ก์ชัน arcsine คือ [-1, 1])

 เรนจ์ของฟังกช์ ัน arcsine คืออะไร
(แนวตอบ เรนจ์ของฟังกช์ ัน arcsine คอื [− π , π])

22

 ฟงั ก์ชนั arccosine คอื อะไร