Calcls

แคลคลู สั 49

มอี ีกวธิ ี ท่ีจะใชบ้ อกไดว้ า่ จดุ วกกลบั เป็นจดุ ต่าสดุ หรอื จดุ สงู สดุ โดยการดู “เครอ่ื งหมาย” ของ ′( ) ดงั นี้

′( ) เป็นลบ ′( ) เป็นบวก จดุ วกกลบั แบบสงู สดุ
ฟังกช์ นั ลด ฟังกช์ นั เพิ่ม
กราฟขาลง กราฟขาขนึ้ ′( ) เป็นบวก ′( ) เป็นลบ
ฟังกช์ นั เพ่ิม ฟังกช์ นั ลด
จดุ วกกลบั แบบตา่ สดุ กราฟขาขนึ้ กราฟขาลง

สรุป ′( ) เปลยี่ นจาก ลบ เป็น บวก → จดุ ต่าสดุ
′( ) เปลย่ี นจาก บวก เป็น ลบ → จดุ สงู สดุ
โดยเราจะใชเ้ สน้ จานวนมาพจิ ารณาเครอื่ งหมายของ ′( ) เหมอื นกบั ตอนท่แี กอ้ สมการ ดงั ตวั อยา่ งตอ่ ไปนี้

ตวั อยา่ ง จงหาจดุ สงู สดุ หรอื จดุ ต่าสดุ ของ ( ) = 3 + 3 2 − 9 + 5

วธิ ีทา จะได้ ′( ) = 3 2 + 6 − 9

( + 3)( − 1)

+− +

−3 1 สงู สดุ ที่ = −3

ขนึ้ ลง ขนึ้ (−3) = (−3)3 + 3(−3)2 − 9(−3) + 5 = 32

ต่าสดุ ที่ = 1

(1) = 13 + 3(1) − 9(1) + 5 = 0

ดงั นนั้ จดุ สงู สดุ คือ (−3 , 32) และจดุ ต่าสดุ คือ (1 , 0) #

นอกจากนี้ เรายงั สามารถใช้ ′′( ) มาชว่ ยไดด้ ว้ ย
จะเห็นวา่ ′( ) เปลยี่ นจาก ลบ เป็น บวก แสดงวา่ ′( ) เพมิ่ ขนึ้ → จะได้ ′′( ) เป็นบวก
แตถ่ า้ ′( ) เปลยี่ นจาก บวก เป็น ลบ แสดงวา่ ′( ) ลดลง → จะได้ ′′( ) เป็นลบ
สรุป ถา้ จดุ วกกลบั ทีไ่ ด้ ทาให้ ′′( ) > 0 แปลวา่ จดุ น่นั เป็นจดุ ต่าสดุ

แตถ่ า้ ทาให้ ′′( ) < 0 แปลวา่ จดุ น่นั เป็นจดุ สงู สดุ
และถา้ ทาให้ ′′( ) = 0 จะยงั ไมร่ ูว้ า่ เป็นจดุ ต่าสดุ หรอื จดุ สงู สดุ ตอ้ งพจิ ารณาเครอื่ งหมายแบบเก่า

ตวั อยา่ ง จากตวั อยา่ งทแ่ี ลว้ จงใช้ ′′( ) ในการพจิ ารณาจดุ วกกลบั (−3 , 32) และ (1 , 0) ของ ( ) วา่ จดุ ใดเป็น

จดุ สงู สดุ และจดุ ใดเป็นจดุ ต่าสดุ

วธิ ีทา จาก ′( ) = 3 2 + 6 − 9 → ดิฟตอ่ ไปอกี ที จะได้ ′′( ) = 6 + 6

ท่ี = −3 จะได้ ′′(−3) = 6(−3) + 6 = −12 เป็นลบ ดงั นนั้ (−3 , 32) เป็นจดุ สงู สดุ

ท่ี = 1 จะได้ ′′(1) = 6(1) + 6 = 12 เป็นบวก ดงั นนั้ (1 , 0) เป็นจดุ ต่าสดุ #

ตวั อยา่ ง จงหาจดุ สงู สดุ หรอื จดุ ต่าสดุ ของ ( ) = 4 − 4 − 2 โดยใช้ ′′( )

วธิ ีทา จะได้ ′( ) = −4 − 2

จดุ สงู สดุ หรอื จดุ ต่าสดุ จะเป็นจดุ ท่ี ′( ) = 0 ดงั นนั้ ตอ้ งแกส้ มการ −4 − 2 = 0

− 2 = 4
= −2

50 แคลคลู สั

หาคา่ ( ) ท่ี = −2 จะได้ (−2) = 4 − 4(−2) − (−2)2 = 8 #
ดงั นนั้ จดุ วกกลบั คือ (−2 , 8) ตอ่ ไปจะหาวา่ จดุ (−2 , 8) เป็นจดุ ต่าสดุ หรอื จดุ สงู สดุ โดยใช้ ′′( ) #
ดิฟ๊ ′( ) ตอ่ ไปอกี ที จะได้ ′′( ) = −2 จะเห็นวา่ ′′( ) เป็นลบ โดยไมข่ นึ้ กบั คา่
ดงั นนั้ (−2 , 8) เป็นจดุ สงู สดุ

โดยโจทยใ์ นเรอ่ื งนี้ จะถามได้ 2 แบบ คือ “จดุ ” กบั “คา่ ”
→ ถา้ โจทยถ์ าม “จดุ ” สงู สดุ (หรอื ต่าสดุ ) ใหต้ อบเป็นคอู่ นั ดบั ( , )
→ ถา้ โจทยถ์ าม “คา่ ” สงู สดุ (หรอื ต่าสดุ ) ใหต้ อบคา่ ( )

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ สงู สดุ หรอื คา่ ต่าสดุ ของ ( ) = 3 4 − 8 3 − 6 2 + 24 + 8

วิธีทา จะได้ ′( ) = 12 3 − 24 2 − 12 + 24 ลง ขนึ้ ลง ขนึ้
−+ −+
= 12( 3 − 2 2 − + 2)
= 12( 2( − 2) − ( − 2))

= 12( − 2)( 2 − 1)

= 12( − 2)( − 1)( + 1)

−1 1 2

ดงั นนั้ จดุ ต่าสดุ เกิดที่ = −1 กบั 2 และจดุ สงู สดุ เกิดที่ = 1

= −1 จะได้ (−1) = 3(−1)4 − 8(−1)3 − 6(−1)2 + 24(−1) + 8 = −11

= 1 จะได้ (1) = 3(1)4 − 8(1)3 − 6(1)2 + 24(1) + 8 = 21

= 2 จะได้ (2) = 3(2)4 − 8(2)3 − 6(2)2 + 24(2) + 8 = 16

ดงั นนั้ “จดุ ” ต่าสดุ คอื (−1, −11) และ (2, 16) “จดุ ” สงู สดุ คอื (1, 21)

จะได้ “คา่ ” ต่าสดุ คอื −11 และ 16 “คา่ ” สงู สดุ คอื 21

จากตวั อยา่ งทแ่ี ลว้ ถา้ ลองวาดกราฟของ ( ) = 3 4 − 8 3 − 6 2 + 24 + 8 ดู จะไดด้ งั รูป

(1, 21)
(2, 16)

(−1, −11)

ดงั นนั้ คาตอบทไี่ ดว้ า่ (1, 21) เป็นจดุ สงู สดุ กบั (2, 16) เป็นจดุ ต่าสดุ นนั้ ไมจ่ รงิ ซะทีเดยี ว

จดุ พวกนี้ แคส่ งู หรอื ต่ากวา่ จดุ ขา้ งๆเทา่ นนั้ แตไ่ มใ่ ช่จดุ สงู ทสี่ ดุ หรอื ต่าท่ีสดุ อยา่ งแทจ้ รงิ

 จดุ ที่สงู (หรอื ต่า) กวา่ จดุ ขา้ งๆ จะเรยี กวา่ จดุ สงู สดุ (หรอื ตา่ สดุ ) สมั พทั ธ์ จดุ สมั บรู ณ์ จะเป็นสมั พทั ธด์ ว้ ย

 จดุ ทส่ี งู (หรอื ตา่ ) ทีส่ ดุ อยา่ งแทจ้ รงิ จะเรยี กวา่ จดุ สงู สดุ (หรอื ต่าสดุ ) สมั บรู ณ์ เพราะถา้ จะเป็นทส่ี ดุ จรงิ ๆได้ ก็

ตอ้ งชนะจดุ ขา้ งๆอยแู่ ลว้

ดงั นนั้ (1, 21) เป็นจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ และ (2, 16) กบั (−1, 11) เป็นจดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์

(−1, 11) เป็นจดุ ต่าสดุ สมั บรู ณ์ และ ( ) ไมม่ จี ดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ (เพราะกราฟพงุ่ ขนึ้ อยา่ งไมม่ ีขอบเขต)

แคลคลู สั 51

ปกตเิ รามกั จะไมค่ อ่ ยชอบจดุ แบบสมั พทั ธเ์ ทา่ ไหร่ เพราะมนั ไมเ่ ป็นที่สดุ จรงิ ๆ
ในกรณีที่โจทยใ์ หห้ าจดุ แบบสมั บรู ณ์ เราจะตอ้ งหาจดุ แบบสมั พทั ธอ์ อกมากอ่ น แลว้ คอ่ ยคดั เลอื กจดุ สมั บรู ณอ์ อกมา โดย

 จดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ จะหาไดจ้ ากจดุ ท่สี งู ทส่ี ดุ ในบรรดาจดุ สงู สดุ สมั พทั ธ์ และจดุ ขอบ
 จดุ ต่าสดุ สมั บรู ณ์ จะหาไดจ้ ากจดุ ทตี่ ่าทีส่ ดุ ในบรรดาจดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ และจดุ ขอบ
ในเรอื่ งนี้ โจทยม์ กั จะกาหนดขอบเขตของคา่ มาให้ (แตถ่ า้ ไมไ่ ดก้ าหนดขอบเขตมา จะใช้ → ∞ กบั → −∞)

ตวั อยา่ ง จงหาจดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ และจดุ ต่าสดุ สมั บรู ณ์ ของ ( ) = 2 3 − 3 2 + 5 เม่อื ∈ [−2, 3]

วิธีทา หาจดุ สงู สดุ ต่าสดุ สมั พทั ธ์ ก่อน

′( ) = 6 2 − 6 = 0 จดุ สมั พทั ธ์ จดุ ขอบ
2 − = 0

( − 1) = 0

= 0 , 1

ดงั นนั้ คา่ ท่ี “ตอ้ งสงสยั ” วา่ จะทาใหเ้ กิดคา่ สงู สดุ หรอื ตา่ สดุ สมั บรู ณ์ คอื 0 , 1 , −2 , 3

แทนคา่ ทตี่ อ้ งสงสยั เพอ่ื หา ( ) มาเทยี บกนั

= 0: จะได้ (0) = 2(0)3 − 3(0)2 + 5 = 5
= 1: จะได้ (1) = 2(1)3 − 3(1)2 + 5 = 4
= −2: จะได้ (−2) = 2(−2)3 − 3(−2)2 + 5 = −23
= 3: จะได้ (3) = 2(3)3 − 3(3)2 + 5 = 32

ดงั นนั้ จดุ สงู สดุ สมั บรู ณ์ คือ (3 , 32) และจดุ ต่าสดุ สมั บรู ณ์ คือ (−2, −23) #

สง่ิ ที่สรา้ งปัญหาใหก้ บั นกั เรยี นสว่ นใหญ่ในเรอื่ งนี้ ก็คอื “โจทยป์ ัญหา”
โดยโจทยจ์ ะสรา้ งเรอื่ งราวและเงื่อนไขตา่ งๆมาให้ แลว้ ใหเ้ ราหาคา่ สงู สดุ หรอื ต่าสดุ ของปรมิ าณทตี่ อ้ งการ
โดยขนั้ ตอนการทาครา่ วๆ จะเป็นดงั นี้

1. ใหป้ รมิ าณทโ่ี จทยต์ อ้ งการหาคา่ สงู สดุ หรอื ต่าสดุ เป็น ( )
2. สมมตุ ใิ หต้ วั แปร แทนปรมิ าณซกั อยา่ ง ท่ีมีผลตอ่ ( )
3. ลยุ อา่ นโจทยใ์ หม่ เขียนปรมิ าณอนื่ ๆทม่ี ีผลตอ่ ( ) ใหอ้ ยใู่ นเทอมของ
4. เขยี นสมการของ ( ) ในเทอมของ
5. ใชค้ วามรูใ้ นเรอ่ื งอนพุ นั ธ์ เพ่ือหาคา่ สงู สดุ หรอื ต่าสดุ “สมั บรู ณ”์ ของ ( )

ขนั้ ตอนที่ยากท่สี ดุ คอื ขนั้ ท่ี 3 เพราะเราตอ้ งทาทกุ อยา่ งใหอ้ ยใู่ นเทอมของ
ซงึ่ ถา้ สมมติตวั แปร ในขนั้ ท่ี 2 ไวไ้ มด่ ี ก็จะลาบากในขนั้ ที่ 3

ตวั อยา่ ง มลี วดยาว 20 เมตร นามาลอ้ มเป็นสเ่ี หลยี่ มมมุ ฉากไดพ้ นื้ ท่ีมากท่ีสดุ เทา่ กบั เทา่ ไร
วิธีทา ขนั้ ที่ 1 โจทยต์ อ้ งการหา “พนื้ ท”่ี มากสดุ ดงั นนั้ เราจะให้ ( ) แทนพนื้ ที่ของสเี่ หลย่ี มมมุ ฉากท่ีลอ้ มได้

ขนั้ ที่ 2 ให้ แทน “ดา้ นยาว” ของสเี่ หลย่ี ม เราตอ้ งเขยี น ( ) ในเทอมของ
ขนั้ ท่ี 3 หา “ดา้ นกวา้ ง” ในเทอมของ

ดา้ นยาวมี 2 ดา้ น ดงั นนั้ เสยี ลวดไปกบั ดา้ นยาว = 2

52 แคลคลู สั #

เหลอื ลวดสาหรบั ดา้ นกวา้ งที่เหลอื = 20 − 2
แตด่ า้ นกวา้ งมี 2 ดา้ น ดงั นนั้ จะไดว้ า่ ดา้ นกวา้ ง = 20−2 = 10 −

2

ขนั้ ท่ี 4 จากสตู ร พนื้ ทส่ี เ่ี หลยี่ มมมุ ฉาก = กวา้ ง × ยาว ดงั นนั้ ( ) = (10 − ) = 10 − 2
ขนั้ ที่ 5 หาคา่ สงู สดุ ต่าสดุ ของ ( )

ให้ ′( ) = 10 − 2 = 0 จะได้ = 5
แทนใน ( ) จะได้ (5) = 5(10 − 5) = 25
และสดุ ทา้ ย ′′( ) = −2 เป็นลบ แปลวา่ ไดค้ า่ สงู สดุ
ดงั นนั้ ตอ้ งลอ้ มใหส้ เ่ี หลยี่ มยาว 5 เมตร จงึ จะไดพ้ นื้ ท่ีมากท่สี ดุ คอื 25 ตารางเมตร

แบบฝึกหดั

1. จงหาจดุ สงู สดุ / ต่าสดุ สมั พทั ธ์ ของฟังกช์ นั ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้

1. ( ) = 3 + 3 2 − 9 + 15 2. ( ) = ( + 1)(3 − )

2. จงหาคา่ สงู สดุ / ต่าสดุ สมั บรู ณ์ ของฟังกช์ นั ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้
1. ( ) = 2 + 4 − 4 เม่อื ∈ [−4, 2]

แคลคลู สั 53

2. ( ) = 10 + 12 + 3 2 − 2 3 เมื่อ ∈ [0, ∞]

3. ถา้ เสน้ โคง้ = ( ) มคี วามชนั ของเสน้ สมั ผสั ท่ีจดุ ( , ) เทา่ กบั − 2 และ ( ) มีคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธเ์ ทา่ กบั
5 แลว้ จงหาคา่ ของ (2)

4. มลี วดยาว 12 เมตร ตอ้ งการลอ้ มทด่ี นิ รมิ แมน่ า้ ใหเ้ ป็นรูปสเ่ี หลย่ี มมมุ ฉาก โดยลอ้ มแค่ 3 ดา้ น เวน้ ดา้ นท่ีตดิ รมิ แมน่ า้
ไมต่ อ้ งลอ้ ม จงหาวา่ จะลอ้ มไดพ้ นื้ ทมี่ ากท่ีสดุ เทา่ ไร

54 แคลคลู สั มลี วดยาว 20 เมตร ตอ้ งการลอ้ มท่ีดินรูปสเ่ี หลยี่ มผืนผา้ โดยแบง่ เป็น 4 ช่องตามรูป จะ
สามารถลอ้ มไดพ้ นื้ ทมี่ ากท่ีสดุ เทา่ ไร
5.

6. โรงงานผลติ ต๊กุ ตาแหง่ หนงึ่ มตี น้ ทนุ ในการผลติ ตกุ๊ ตา ตวั โรงงงานจะตอ้ งเสยี คา่ ใชจ้ า่ ย
3 − 450 2 + 60,200 + 10,000 บาท ถา้ ขายตกุ๊ ตาราคาตวั ละ 200 บาท โรงงานจะตอ้ งผลติ ตกุ๊ ตากีต่ วั
จงึ จะไดก้ าไรมากทสี่ ดุ [PAT 1 (ก.ค. 53)/36]

7. กาหนดให้ ℝ เป็นเซตของจานวนจรงิ ให้ : ℝ → ℝ และ : ℝ → ℝ เป็นฟังกช์ นั ท่มี ีอนพุ นั ธท์ กุ อนั ดบั และ
สอดคลอ้ งกบั ( ) = ( ) และ ′( ) = 4 3 + 9 2 + 2 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ
ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (มี.ค. 59)/28]
1. คา่ สงู สดุ สมั พทั ธข์ อง เทา่ กบั 6
2. คา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธข์ อง เทา่ กบั 2
3. อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ ( + )( ) เทียบกบั ขณะท่ี = 1 เทา่ กบั 12

แคลคลู สั 55

8. ให้ และ เป็นจานวนจรงิ และกาหนดให้ ( ) = + เมือ่ ≠ 0 โดยที่ = ( ) เป็นเสน้ โคง้ ท่สี มั ผสั

กบั เสน้ ตรง = 1 ทจี่ ดุ (1, 1) ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (พ.ย. 57)/7]
1. มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธท์ ี่ = −1
2. lim ( ∘ )( ) = (2 2 + 2 2)
x 1

9. กาหนดให้ ( ) = 4 3 เมอ่ื เป็นจานวนจรงิ บวกใดๆ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ งบา้ ง
6−3 3+64
[PAT 1 (ม.ี ค. 57)/19]

1. เป็นฟังกช์ นั เพิ่มบนชว่ ง (0, 3)

2. คา่ สงู สดุ สมั พทั ธข์ อง เทา่ กบั 4
13

56 แคลคลู สั

ปฏิยานพุ นั ธ์

เรอื่ งนจี้ ะเป็นกระบวนการท่ี ตรงขา้ มกบั การดฟิ๊
“ปฏิยานพุ นั ธข์ อง ( )” เขียนแทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ∫ ( ) หมายถงึ ฟังกช์ นั ท่ีดฟิ๊ แลว้ ได้ ( )
คาวา่ “ปฏยิ านพุ นั ธ”์ บางทเี รยี กวา่ “ปรพิ นั ธ”์ หรอื “อนิ ทกิ รลั ” หรอื “อินทเิ กรต” ก็ได้

ดิฟ๊ ดิฟ๊ ดิฟ๊

∫ ( ) ( ) ′( ) ′′( )

ปฏิยานพุ นั ธ์ อนพุ นั ธ์ อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สอง

อนิ ทิเกรต อนิ ทเิ กรต อินทเิ กรต

หมายเหต:ุ เรานิยมใชส้ ญั ลกั ษณ์ ( ) แทน ปฏิยานพุ นั ธข์ อง ( )

ตวั อยา่ งเชน่ ถา้ เราตอ้ งการหา ∫(2 − 3) เราจะตอ้ งหาวา่ อะไรทีด่ ิฟ๊ แลว้ ได้ 2 − 3
จะไดค้ าตอบคอื 2 − 3 น่นั เอง
อยา่ งไรกต็ าม นอกจาก 2 − 3 แลว้ จะเหน็ วา่ 2 − 3 + 1 ก็ดิฟ๊ แลว้ ได้ 2 − 3 เหมอื นกนั

2 − 3 + 2 ก็ดว้ ย
2 − 3 − 8 ก็ได้
เพราะสว่ นทเี่ ป็นตวั เลข ไมว่ า่ จะเป็นเลขอะไร ดิฟ๊ แลว้ ก็หายไปเหมอื นกนั
ดงั นนั้ จะไดผ้ ลการอินทเิ กรต ∫(2 − 3) เทา่ กบั 2 − 3 + เมอื่ เป็นตวั เลขคงทใี่ ดๆน่นั เอง

สตู รสาหรบั อนิ ทิเกรตทีค่ วรจาไดแ้ ก่ ∫ = +1 +

+1

โดยเรามกั จะทอ่ งวา่ เพิม่ กาลงั เพมิ่ ขนึ้ หนง่ึ แลว้ เอากาลงั ลงมาหาร เช่น

∫ 8 3 = 8 4 + = 2 4 + ∫ 6 = 6 2 + = 3 2 +

4 2

∫ 2 = 2 + ∫ 3 − 3 = 3 − 1 = −6 − 1 +
2 2 2
1
− 2

เราสามารถกระจายอินทเิ กรตในการบวกลบได้ แตห่ า้ มกระจายในการคณู หาร

เช่น ∫( 2 − 4 + 2) = 3 − 2 2 + 2 +

3
( 2 + + ) ( 2 − 3 + )
แต่ ∫( + 1)(2 − 3) ≠
2
ถา้ จะหา ∫( + 1)(2 − 3) ตอ้ งกระจายเป็น ∫(2 2 − − 3) ก่อน

และจะเหน็ วา่ เราตอ้ งติด ในผลลพั ธก์ ารอินทิเกรตเสมอ เพราะไมว่ า่ เป็นตวั เลขอะไร มนั จะหายไปเม่ือถกู ดฟิ๊
แตส่ ว่ นใหญ่ โจทยม์ กั จะบอกขอ้ มลู บางอยา่ งเพมิ่ เติม เพือ่ ใหห้ าคา่ ได้

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ′( ) = 2 + 1 ถา้ (1) = 5 จงหา ( )
วิธีทา วธิ ีทาคอื เราจะอนิ ทเิ กรต ′( ) กลบั ไปใหก้ ลายเป็น ( )

น่นั คือจะได้ ( ) = ∫(2 + 1) = 2 + +

แคลคลู สั 57

แตโ่ จทยบ์ อกวา่ (1) = 5 แปลวา่ 12 + 1 + = 5 #
ดงั นนั้ = 5 − 1 − 1 = 3 น่นั คอื จะได้ ( ) = 2 + + 3

แบบฝึกหดั 2. ∫(2 3 + 6 2 − 3 + 5)
1. จงหาคา่ ของอินทกิ รลั ตอ่ ไปนี้

1. ∫(4 − 3)

3. ∫ √ 4. ∫ 1
5. ∫( + 1)( − 1) √

6. ∫ 2+2


2. กาหนดให้ ′( ) = 6 2 − 1 ถา้ (−1) = 0 แลว้ จงหา (1)

3. กาหนดให้ ′′( ) = 6 + 2 ถา้ ′(0) = 1 และ (1) = 0 แลว้ จงหา (0)

58 แคลคลู สั

4. ให้ เป็นฟังกช์ นั ซงึ่ มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจรงิ โดยท่ีอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ ( ) เทียบกบั
เทา่ กบั 3 + เมือ่ และ เป็นจานวนจรงิ และให้ ( ) = ( 3 + 2 ) ( ) ถา้ ′(1) = 18 ,
′′(0) = 6 และ (2) = (1) + (0) แลว้ คา่ ของ ′(−1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/39]

5. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ : ℝ → ℝ เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ ′′( ) = 3 + 6 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ และ

ความชนั ของเสน้ สมั ผสั โคง้ = ( ) ณ จดุ (2, 22) เทา่ กบั 20 แลว้ คา่ ของ lim ( ) เทา่ กบั เทา่ ใด
x4

[PAT 1 (ม.ี ค. 57)/42]

6. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ : → เป็นฟังกช์ นั โดยท่ี ′( ) = 3√ + 5 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ

และ (1) = 5 แลว้ คา่ ของ lim ( 2)−2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/38]
( )
x4

แคลคลู สั 59

7. กาหนดให้ = ( ) เป็นฟังกช์ นั ซงึ่ มคี า่ สงู สดุ ที่ = 1
ถา้ ′′( ) = −4 ทกุ และ (−1) + (3) = 0 แลว้ มคี า่ สงู สดุ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-19]

8. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ : → เป็นฟังกช์ นั
โดยท่ี ′′( ) = 6 + 4 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ และความชนั ของเสน้ สมั ผสั โคง้ = ( ) ที่จดุ (2, 19)
เทา่ กบั 19 แลว้ คา่ ของ (1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/39]

9. กาหนดให้ เป็นฟังกช์ นั พหนุ ามทมี่ ี ′′( ) = + เมือ่ และ เป็นจานวนจรงิ ถา้ (0) = 2 และกราฟ
ของ มจี ดุ ต่าสดุ สมั พทั ธท์ ี่ (1, −5) แลว้ 2 + 3 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/19]

60 แคลคลู สั

10. กาหนดให้ เป็นฟังกช์ นั ท่ีนิยามบนช่วง (0, ∞) โดยท่ี (2) = 2 (1) และ ′ ( ) = 27 − 1
2
ถา้ L เป็นเสน้ สมั ผสั กราฟของ = ( ) ทจี่ ดุ (1, (1)) แลว้ จดุ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนอี้ ยบู่ น L [A-NET 51/1-19]

1. (2, 64) 2. (2, 66) 3. (3, 94) 4. (3, 96)

11. ให้ R แทนเซตของจานวนจรงิ กาหนดให้ : R → R เป็นฟังกช์ นั ทม่ี อี นพุ นั ธท์ กุ อนั ดบั โดยที่

′′( ) = 2 + 1 และ ′(2) = 2

สมการของเสน้ ตรงทต่ี งั้ ฉากกบั เสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ = ( ) ที่จดุ (1, 3) คือขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

[PAT 1 (มี.ค. 55)/16]

1. = − 1 + 2 2. = 1 + 5
2 22

3. = − 1 + 5 4. = 1 + 2
22 2

แคลคลู สั 61

12. กาหนดให้ เป็นฟังกช์ นั พหนุ ามกาลงั สาม ซง่ึ นยิ ามบนช่วง [−2, 2] โดยที่ (0) = 1, (1) = 0 และ มคี า่
ต่าสดุ ที่ = 1, มีคา่ สงู สดุ ท่ี = −1 ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู บา้ ง [A-NET 51/1-20]
1. (−2) ≤ ( ) ทกุ ∈ [−2, 2]
2. (2) ≥ ( ) ทกุ ∈ [−2, 2]

13. กาหนดให้ ℎ( ) = ( ) ( ) โดยทคี่ วามชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ = ( ) ที่จดุ ( , ) เทา่ กบั 2 − 2
และเสน้ โคง้ = ( ) มีคา่ สงู สดุ สมั พทั ธ์ เทา่ กบั 5 ถา้ เป็นฟังกช์ นั พหนุ าม ซง่ึ มีสมบตั ิ (2) = ′(2) = 5
แลว้ ℎ′(2) มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/38]

62 แคลคลู สั

14. กาหนดให้ ( ) เป็นพหนุ ามโดยท่ี (0) = 1 และสอดคลอ้ งกบั lim 3ℎ +2ℎ = 1
( +ℎ+2)+ (ℎ+2)− ( +2)− (2)
h0

คา่ ของ (12) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/39]

15. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ : R → R เป็นฟังกช์ นั โดยที่
1. ( )( ) = 2 + 3 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ
2. ฟังกช์ นั และ มอี นพุ นั ธท์ กุ อนั ดบั สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ
3. ฟังกช์ นั มคี า่ สงู สดุ สมั พทั ธเ์ ทา่ กบั 2 ที่ = 1
4. ′′( ) = 2 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ

ฟังกช์ นั มคี า่ ต่าสดุ สมั พทั ธเ์ ทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/37]

แคลคลู สั 63

อินทิกรลั จากดั เขต

ในกรณีทม่ี ตี วั เลขปิดหวั ทา้ ยเครอ่ื งหมายอนิ ทกิ รลั เชน่ 3 (3 + 5) (อา่ นวา่ อินทิตเกรต 3 + 5 ตงั้ แต่ 1 ถงึ 3)



1

อนิ ทกิ รลั แบบที่มีตวั เลขปิดหวั ทา้ ยแบบนี้ จะเรยี กวา่ อนิ ทกิ รลั แบบ “จากดั เขต”

(ถา้ ไมม่ ตี วั เลขปิดหวั ทา้ ยแบบหวั ขอ้ กอ่ นหนา้ นี้ จะเรยี กกวา่ อินทิกรลั แบบ “ไมจ่ ากดั เขต”)

3

วิธีหา  (3 + 5) คือ ใหห้ า ∫(3 + 5) ออกมาก่อน หลงั จากนนั้ “แทน = 3” ลบดว้ ย “แทน = 1”

1

ตวั อยา่ ง จงหา 3 4



2

วิธีทา หา ∫ 4 ออกมาก่อน ได้ 2 2 + จากนนั้ “แทน = 3” ลบดว้ ย “แทน = −2”

น่นั คอื 3 4 = [2(3)2 + ] − [2(−2)2 + ]



2

= (18 + ) − (8 + ) = 10 #

ถา้ สงั เกตดีๆ อินทกิ รลั แบบจากดั เขต ตอนทแี่ ทนคา่ หวั ทา้ ยมาลบกนั จะพบวา่ คา่ จะตดั กนั เองหายไปหมดเสมอ
ดงั นนั้ ในการอนิ ทกิ รลั แบบจากดั เขต เราไมต่ อ้ งมี ตอนอนิ ทิเกรตเลยก็ได้

โดยประโยค “แทน = ลบดว้ ย แทน = ” สามารถใชส้ ญั ลกั ษณ์ แทนได้
|



เชน่ 2 ( 1 2 + 2 ) 2 แทน = 2 ลบดว้ ย แทน = −1

 =  ( −2 + 2 )

1 1

2

= (− −1 + 2) |

−1

= [−2−1 + 22] − [−(−1)−1 + (−1)2]

= 7 − 2 =3 #

22

สมบตั ทิ ี่สาคญั ของการอนิ ทกิ ลั แบบจากดั เขต คือ เราสามารถแบง่ ชว่ งอนิ ทเิ กรตเป็นหลายชว่ งไดต้ ามใจชอบ ตราบใดที่
( ) ตอ่ เนื่องตรงจดุ ที่จะแบง่

2 02

เช่น  ( ) จะแบง่ เป็น  ( ) +  ( ) ก็ได้
1 1 0

12

หรอื จะแบง่ เป็น  ( ) +  ( ) ก็ได้
1 1

0 12

หรอื จะแบง่ เป็น  ( ) +  ( ) +  ( ) ก็ได้
1 0 1

หรอื จะไมแ่ บง่ ก็ได้ → ทกุ แบบ จะไดค้ าตอบเทา่ กนั (เมือ่ กาหนดให้ ( ) ตอ่ เนอ่ื ง)

และในกรณีที่ ( ) แบง่ เป็นหลายสตู รตามเง่ือนไขตา่ งๆ จะตอ้ งแบง่ อนิ ทเิ กรตตามชว่ งเงื่อนไขของสตู ร

64 แคลคลู สั

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = {3 42 + 1 , ≥ 1 จงหา 3 ( )
, < 1


2

วธิ ีทา จะเหน็ วา่ lim ( ) = lim ( ) = (1) = 4 → ( ) ตอ่ เนือ่ งที่ = 1
x 1 x 1

ดงั นนั้ ขอ้ นจี้ ะแบง่ อนิ ทเิ กรตตรงจดุ = 1 เพื่อใหเ้ ลอื กใชส้ ตู รได้ ดงั นี้

3 13

 ( ) =  ( ) +  ( )

2 2 1

13

=  4 +  (3 2 + 1)

2 1

= 2 2 | 1 + ( 3 + ) 3
|

−2 1

= 2 − 8 + (27 + 3) − (1 + 1) = 22 #

แบบฝึกหดั 2
1. จงหาคา่ ของอินทิกรลั ตอ่ ไปนี้
2.  ( 2 − 1)
3 1

1.  (2 + 1)

1

3. 4 (2 + 1) 4. 2 2+2
2
 
0 √
1

2. กาหนดให้ ′( ) = 2 + 2 + 1 จงหา 2 ′′( )



1

3

3. กาหนดให้ ′( ) = 2 − 4 ถา้ (0) = 1 จงหา  ( )

0

แคลคลู สั 65

4. ถา้ ′( ) = 3 2 + − 5 และ (0) = 1 แลว้ 1 ( ) มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/32]



1

5. ให้ เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ มโี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของเซตของจานวนจรงิ โดยท่ี (2 − 1) = 4 2 − 10 +

4

เม่อื เป็นจานวนจรงิ และ (0) = 12 คา่ ของ  ( ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (พ.ย. 57)/41]

1

6. ให้ และ เป็นฟังกช์ นั ซงึ่ มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของเซตของจานวนจรงิ โดยท่ี ′( ) = 2 4− เมอ่ื ≠ 0
3

2

( ) = (1 + 2) ( ) และ (1) = 2 คา่ ของ  3 ′′( ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/40]
1

66 แคลคลู สั

3 , < −1

7. กาหนดใหฟ้ ังกช์ นั ( ) = { + , −1 ≤ < 1 เมอื่ และ เป็นจานวนจรงิ

3 2 + 2 , ≥ 1

ถา้ ฟังกช์ นั ตอ่ เน่ือง สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ แลว้ คา่ 2 ( ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/34]



2

8. กาหนดให้ : R → R ′′( ) = 0 ทกุ ๆจานวนจรงิ

ถา้ (0) = 23 และ (1) = 103 แลว้ จงหาคา่ ของ 1 [PAT 1 (ธ.ค. 54)/38]

 ( )

0

9. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจรงิ และ , เป็นจานวนจรงิ และให้ : ℝ → ℝ เป็นฟังกช์ นั ทีน่ ยิ ามโดย
( ) = + + 3 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ ถา้ เสน้ ตรง 5 − + 13 = 0 สมั ผสั กราฟของ ที่ = 1

2

แลว้  ( ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/41]

0

แคลคลู สั 67

10. กาหนดให้ ( ) = 2 + + เมอ่ื และ เป็นจานวนจรงิ

2

ถา้ (1) = 2 และ ( ∘ )(0) = 10 แลว้ คา่ ของ  ( ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/38]
1

2

11. ถา้  | 2 − 7 + 6| = เมอื่ และ เป็นจานวนเต็มที่ ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ และ เทา่ กบั 1
2
แลว้ คา่ ของ + เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/18]

12. คา่ ของ 2 3+ 2+ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ม.ี ค. 59)/34]
| +2|− 2−2


4

68 แคลคลู สั

13. กาหนดให้ ( ) เป็นฟังกช์ นั พหนุ ามกาลงั สอง ถา้ ความชนั ของเสน้ สมั ผสั เสน้ โคง้ = ( ) ทจ่ี ดุ (1, 2) มีคา่

เทา่ กบั 4 และ 2 ( ) = 12 แลว้ (−1) + ′′(−1) มีคา่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/37]



1

14. ถา้ ′( ) = 2 −1 และ 1 ( ) =0 แลว้ | (1)| มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-17]



0

15. กาหนดให้ ( ) = 4 3 + 2 + + เมอื่ , และ เป็นจานวนจรงิ โดยที่ 2 ( ) = − 64
2 3


ถา้ ( ) เป็นพหนุ ามซงึ่ ′( ) = ( ) และ ′(1) = ′(0) = (0) = 0

แลว้ ′′( ) = ′( ) + ( ) ตรงกบั สมการในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/19]

1. 4 − 4 3 + 12 2 − 6 = 0 2. 4 − 8 3 − 12 2 − 6 = 0

3. 3 4 − 16 3 + 48 2 − 24 = 0 4. 3 4 + 8 3 − 48 2 + 24 = 0

แคลคลู สั 69

16. กาหนดให้ ( ) = 3 + + เมอ่ื และ เป็นจานวนจรงิ ถา้ อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของ ( ) เทยี บ

1

กบั เมอ่ื คา่ ของ เปลย่ี นจาก −1 เป็น 1 เทา่ กบั −2 และ  ( ) = 2
1

แลว้ คา่ ของ lim (3+ℎ)− (3−ℎ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 59)/40]
ℎ
h0

b

17. กาหนดให้ > 1 และ  −1 = 4 คา่ ของ 1 + + 2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/18]
1 +√

18. กาหนดให้ R แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ : R → R และ : R → R เป็นฟังกช์ นั โดยท่ี ( ) = 2 + 3
และ ( ∘ )( ) = 8 3 + 44 2 + 80 + 48 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ
แลว้ คา่ ของ ∫06 ( ( )) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/37]

70 แคลคลู สั

19. กาหนดใหเ้ สน้ โคง้ = ( ) สมั ผสั กบั เสน้ ตรง 2 − + 3 = 0 ทจ่ี ดุ (0, 3) และ 2 ′′( ) = −3



0

ถา้ ( ) = √ + 2 ( ) และ ′(2) = 0 แลว้ (2) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/43]

x

20. กาหนดให้ ( ) เป็นพหนุ ามทส่ี อดคลอ้ งกบั ( 2 + 3) = 3 4 + 24 2 + 40 และให้ ( ) =  ( )

0

คา่ ของ lim √ ( ) − ( ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/38]
x2

แคลคลู สั 71

21. กาหนดให้ ( ) เป็นพหนุ ามกาลงั สอง โดยท่ี (0) = 1 และ ( + 1) = ( − 1) + + 1 สาหรบั

1

จานวนจรงิ ใดๆ คา่ ของ  ( ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/20]
2

22. กาหนดให้ ( ) = a ( 2 − 1) สาหรบั ∈ [0, ∞)



a

ประโยคในขอ้ ใดตอ่ ไปนมี้ คี า่ ความจรงิ เป็นจรงิ เมื่อเอกภพสมั พทั ธค์ อื ชว่ ง [0, ∞) [A-NET 51/1-2]

1. ∀ [ ( ) > 0] 2. ∀ [( ( ) = 0) → ( = 0)]

3. ∃ [( > 2) ∧ ( ( ) < 0)] 4. ∃ [( ≠ 0) ∧ ( ( ) = 0)]

72 แคลคลู สั

23. กาหนดให้ ( ) = 3 + + เม่อื และ เป็นจานวนจรงิ ทแ่ี ตกตา่ งกนั และให้ L1 และ L2 เป็นเสน้ สมั ผสั

เสน้ โคง้ ท่ี = และ = ตามลาดบั ถา้ L1 ขนานกบั L2 และ lim 9ℎ = 1
(1+ℎ)− (1)
h0

2

แลว้ คา่ ของ  ( ) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/39]

0

24. กาหนดให้ ( ) = 2 + + เป็นพหนุ ามกาลงั สอง เม่ือ , , เป็นจานวนจรงิ และ ≠ 0

โดยที่ (1) = 0 และ มีคา่ สงู สดุ ที่ = 1 
3 ให้ ( , ) =  ( ) โดยท่ี (0, ) = (1, ) + 1


สาหรบั จานวนจรงิ > 1 ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (เม.ย. 57)/19]

1. (1,2) = (2,3) + 10

2. อนพุ นั ธข์ อง ( ) เทา่ กบั −3 2−2 −2
2 3

แคลคลู สั 73

พนื้ ทที่ ่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้

พนื้ ทท่ี ี่อยรู่ ะหวา่ งกราฟ ( ) กบั แกน X ตงั้ แต่ = ถึง = จะเทา่ กบั b ( )



a

b

พนื้ ท่สี ว่ นทีแ่ รเงา =  ( )

a



b

สง่ิ ทีต่ อ้ งระวงั กค็ ือ ถา้ พนื้ ท่ที ่ีแรเงาอยใู่ ตแ้ กน X เราจะได้  ( ) เป็นคา่ ตดิ ลบ

a

แตพ่ นื้ ที่ เป็นคา่ ติดลบไมไ่ ด้ ดงั นนั้ เราตอ้ งกลบั เครอื่ งหมายใหเ้ ป็นบวกก่อนตอบดว้ ย

ตวั อยา่ ง จงหาพืน้ ทที่ ีป่ ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ = 2 กบั แกน X ตงั้ แต่ = 1 ถงึ = 3

13

3

วิธีทา พนื้ ที่สว่ นท่ีแรเงา จะเทา่ กบั  2

1

จะได้ 3 = 1 3 |31 = [13 (3)3] − [13 (1)3] = 9 − 1 = 26
3 3 3
 2

1

ดงั นนั้ พนื้ ทที่ ่ีแรเงา เทา่ กบั 26 #
3

ตวั อยา่ ง จงหาพืน้ ที่ทีป่ ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ = − 2 − 1 กบั แกน X ตงั้ แต่ = 1 ถึง = 3

13

วิธีทา ทาเหมือนเดิม แตเ่ นื่องจากพนื้ ทอี่ ยใู่ ตแ้ กน X ดงั นนั้ คาตอบจะออกมาเป็นเลขตดิ ลบ

จะได้ 3 (− 2 − 1) = (− 1 3 − ) |13 = [− 1 (3)3 − 3] − [− 1 (1)3 − 1]
3
 33

1

= (−12) − (− 4) = − 32

33

กอ่ นตอบ ใหเ้ ปลย่ี นคา่ ท่ีได้ ใหเ้ ป็นบวกก่อน ดงั นนั้ จะไดพ้ นื้ ทใ่ี ตก้ ราฟเทา่ กบั 32 #
3

74 แคลคลู สั

กรณีทสี่ รา้ งความลาบากใหเ้ รามากท่ีสดุ คือ กรณีทมี่ บี างสว่ นอยเู่ หนือแกน X และบางสว่ นอยใู่ ตแ้ กน X




จากรูป ถา้ โจทยถ์ ามพืน้ ทีส่ ว่ นทแ่ี รเงา เราจะอินทเิ กรต รวดเดยี วตงั้ แต่ ถึง เลย ไมไ่ ด้ เพราะพนื้ ท่ีเหนือแกน (เป็นบวก)
กบั ใตแ้ กน (เป็นลบ) จะหกั ลา้ งกนั ทาใหค้ า่ ท่ไี ดน้ อ้ ยกวา่ คาตอบทโ่ี จทยต์ อ้ งการ

วธิ ีทาโจทยป์ ระเภทนี้ จะตอ้ งแยกอินทเิ กรต โดยอนิ ทเิ กรตจาก ถึง หนง่ึ ครงั้ และอนิ ทิเกรตจาก ถงึ อีกหนงึ่ ครงั้ ถา้
อนั ไหนไดค้ า่ ติดลบ ใหเ้ ปลย่ี นเป็นบวกกอ่ น แลว้ เอาผลการอินทิเกรตที่เปลย่ี นเป็นบวกแลว้ มารวมกนั

ที่ยากก็คือ ปกติโจทยม์ กั จะไมใ่ หร้ ูปกราฟมา ทาใหเ้ ราตอ้ งหาจดุ เอาเอง จะเหน็ วา่ จดุ ก็คือ จดุ ท่กี ราฟตดั แกน X
ซง่ึ วธิ ีหาคอื ใหแ้ กส้ มการ ( ) = 0 โดยอาศยั การแยกตวั ประกอบ หรอื ใชส้ ตู ร = − ±√ 2−4

2

ดงั นนั้ สงิ่ ทีต่ อ้ งทาเป็นอนั ดบั แรกในการทาโจทยเ์ รอื่ งนีค้ อื ตอ้ งแกส้ มการ ( ) = 0 เพ่ือหาจดุ ทก่ี ราฟตดั แกน X ก่อน

ตวั อยา่ ง จงหาพนื้ ท่ที ีป่ ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ ( ) = 2 − 1 กบั แกน X ตงั้ แต่ = 0 ถงึ = 3

วิธีทา ก่อนอืน่ หาวา่ กราฟตดั แกน X ท่ไี หนบา้ ง โดยการแกส้ มการ 2 − 1 = 0

( − 1)( + 1) = 0
= −1 , 1

ดงั นนั้ กราฟตดั แกน X ท่ี = −1 และ = 1
เน่ืองจากเราตอ้ งการหาพนื้ ท่ตี งั้ แต่ = 0 ถึง = 3 จึงตอ้ งแบง่ อนิ ทเิ กรตตรงจดุ = 1

1 ( 2 − 1) = (31 3 − ) |01 = [13 (1)3 − 1] − [31 (0)3 − 0] = − 2 → ทาใหเ้ ป็นบวก ได้ 2
3 3


0

3 ( 2 − 1) = (1 3 − ) |31 = [1 (3)3 − 3] − [1 (1)3 − 1] = 20
3
 3 33

1

ดงั นนั้ จะไดพ้ นื้ ที่ คอื 2 + 20 = 22 #
33 3

อยา่ งไรก็ตาม มีขอ้ สงั เกตจากตวั อยา่ งขอ้ ท่ผี า่ นมาดงั นี้
 ถา้ โจทยต์ อ้ งการหาพนื้ ทต่ี งั้ แต่ = −5 ถงึ = 3 คราวนตี้ อ้ งแบง่ อนิ ทเิ กรตตรง = −1 ดว้ ย

1 1 3
น่นั คือ ตอ้ งอินทเิ กรต 3 เทย่ี ว คอื  ,  และ 
5 1
1

5

 ถา้ โจทยต์ อ้ งการหาพนื้ ทต่ี งั้ แต่ = 2 ถึง = 5 แบบนอี้ นิ ทเิ กรตรวดเดยี ว  ไดเ้ ลย

2

เพราะจาก = 2 ถงึ = 5 ไมม่ ีจดุ ตดั แกน X

 ถา้ โจทยใ์ หห้ า “พนื้ ที่ระหวา่ ง ( ) กบั แกน X” เฉยๆ โดยไมบ่ อกวา่ จะเอาพนื้ ทตี่ งั้ แต่ เป็นเทา่ ไหรถ่ งึ เทา่ ไหร่
แบบนใี้ หห้ าตงั้ แตจ่ ดุ แรกทกี่ ราฟตดั แกน X ไปจนถงึ จดุ สดุ ทา้ ยทกี่ ราฟตดั แกน X
เช่นในตวั อยา่ งขอ้ ที่ผา่ นมา ก็ตอ้ งหาตงั้ แต่ = −1 ถงึ = 1

แคลคลู สั 75

ตวั อยา่ ง จงหาพนื้ ท่ีทีป่ ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ = 2 − + 2 กบั แกน X ตงั้ แต่ = −1 ถงึ = 1
วธิ ีทา หาจดุ ตดั แกน X กอ่ นโดยแกส้ มการ 2 − + 2 = 0

จะเหน็ วา่ สมการนี้ แยกตวั ประกอบไมอ่ อก

ถา้ ลองใชส้ ตู ร = − ±√ 2−4 = −(−1)±√(−1)2−4(1)(2) จะพบวา่ หาคา่ ไมไ่ ด้ เพราะในรูทตดิ ลบ
2 2(1)
น่นั คือ สมการนี้ ไมม่ คี าตอบ → แปลวา่ กราฟนี้ ไมต่ ดั แกน X

ดงั นนั้ อินทเกรตรวดเดียว ตงั้ แต่ −1 ถงึ 1 ไดเ้ ลย

1 = (1 3 − 1 2 + 2 ) |−11
2
ดงั นนั้ พนื้ ที่ =  ( 2 − + 2) 3
1

= [1 (1)3 − 1 (1)2 + 2(1)] − [1 (−1)3 − 1 (−1)2 + 2(−1)] = 14 #
32 32 3

ตวั อยา่ ง จงหาพนื้ ท่ที ีป่ ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ ( ) = 4 3 − 4 และแกน X

วิธีทา หาจดุ ตดั แกน X ก่อน โดยแกส้ มการ 4 3 − 4 = 0

4 ( 2 − 1) = 0
4 ( − 1)( + 1) = 0

= −1 , 0 , 1

ขอ้ นี้ โจทยไ์ มไ่ ดบ้ อกวา่ จะเอาพืน้ ที่ตงั้ แตต่ รงไหนถงึ ตรงไหน
ในกรณีนี้ ใหห้ าตงั้ แต่จดุ แรกท่กี ราฟตดั แกน X ไปจนถึงจดุ สดุ ทา้ ยทก่ี ราฟตดั แกน X
น่นั คือ ตงั้ แต่ = −1 ถงึ = 1 แตร่ ะหวา่ งทาง กราฟตดั แกน X ท่ี = 0 จงึ ตอ้ งแบง่ อินทิเกรตดว้ ย

0 − 4 ) = ( 4 − 2 2) |0−1 = [(0)4 − 2(0)2] − [(−1)4 − 2(−1)2] = 1

 (4 3

1

1 (4 3 − 4 ) = ( 4 − 2 2) |10 = [(1)4 − 2(1)2] − [(0)4 − 2(0)2] = −1 → ทาใหเ้ ป็นบวก ได้ 1



0

ดงั นนั้ พนื้ ที่ = 1 + 1 = 2 #

1

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ  √1 − 2
1

วธิ ีทา ขอ้ นี้ อนิ ทิเกรตตรงๆไมไ่ ด้ เพราะเรากระจาย ∫ เขา้ ไปในรูทไมไ่ ด้

ขอ้ นี้ ตอ้ งทากลบั กนั คอื แทนที่จะใชก้ ารอนิ ทเิ กรตเพ่ือหาพนื้ ท่ี เราตอ้ งใชพ้ นื้ ท่ี มาหาคา่ อนิ ทเิ กรตแทน

จะเห็นวา่ 1 √1 − 2 ก็คือ พนื้ ท่ีทปี่ ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ = √1 − 2 ตงั้ แต่ = −1 ถึง = 1 น่นั เอง



1

วาดกราฟ = √1 − 2 ไดด้ งั รูป

2 = 1 − 2 ; ≥ 0

2 + 2 = 1 ; ≥ 0 −1 1

จะเห็นวา่ 1 √1 − 2 ก็คือพนื้ ที่ครง่ึ วงกลมทีม่ รี ศั มี 1 น่นั เอง



1

ดงั นนั้ 1 = 1 × (1)2 = #

 √1 − 2
1 2 2

76 แคลคลู สั 2. ( ) = 2 − 4 ตงั้ แต่ = 1 ถงึ 3

แบบฝึกหดั
1. จงหาพืน้ ที่ท่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ ตอ่ ไปนี้ กบั แกน X

1. ( ) = + 1 ตงั้ แต่ = 2 ถึง 4

3. ( ) = 6 2 − 6 − 12 ตงั้ แต่ = 0 ถึง 3 4. ( ) = 2 + 1 ตงั้ แต่ = −1 ถงึ 2

5. ( ) = 2 − 1 6. ( ) = 3 3 − 9 2 + 6

แคลคลู สั 77

2. จงหาคา่ ของ 2

 √4 − 2

2

3. พนื้ ทข่ี องบรเิ วณท่ปี ิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ = 3 − 2 2 + 2 และแกน X จาก = 0 ถงึ = 4 เทา่ กบั เทา่ ใด

[A-NET 50/1-22]

4. กาหนดให้ ( ) = { + 3 เม่อื < −1
เมอ่ื ≥ −1
−2 3
พนื้ ทท่ี ่ปี ิดลอ้ มดว้ ยกราฟของ บนชว่ ง [−4, 0] มีคา่ เทา่ ใด [A-NET 51/2-10]

5. กาหนดให้ กราฟของ = ( ) มคี วามชนั ที่จดุ ( , ) ใดๆ เป็น 2 + 2 และ มีคา่ ตา่ สดุ สมั พทั ธเ์ ทา่ กบั −3
พนื้ ทข่ี องอาณาบรเิ วณท่ีปิดลอ้ มดว้ ยกราฟของ = ( ) แกน X เสน้ ตรง = −1 และเสน้ ตรง = 0
เทา่ กบั ก่ีตารางหนว่ ย [A-NET 49/1-19]

78 แคลคลู สั

6. ให้ L เป็นเสน้ ตรงทีผ่ า่ นจดุ (0, 10) และมีความชนั มากกวา่ −1 แตน่ อ้ ยกวา่ 0
ถา้ พนื้ ท่ขี องอาณาบรเิ วณทถี่ กู ปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ ตรง L กบั แกน จาก = 0 ถึง = 6 มีคา่ เทา่ กบั 51 ตารางหนว่ ย
แลว้ จงหาพนื้ ทขี่ องอาณาบรเิ วณท่ถี กู ปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ ตร L กบั แกน จาก = 0 ถงึ = 3
[PAT 1 (ธ.ค. 54)/39]

7. กาหนดให้
แทนพนื้ ท่ขี องอาณาบรเิ วณท่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ = 1 − 2 และแกน X
แทนพนื้ ท่ีของอาณาบรเิ วณทใ่ี ตเ้ สน้ โคง้ = 2 เหนือแกน X จาก = − ถึง =

4

คา่ ของ ท่ที าให้ = เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/32]

8. กาหนดให้ A(0, 0), B(1, 0) และ C( 1 , √3 ) เป็นจดุ ยอดของรูปสามเหลย่ี ม ABC
22
ถา้ กราฟของ ( ) = 2 + + ผา่ นจดุ A(0, 0), B(1, 0)
โดยที่ AC และ BC เป็นเสน้ สมั ผสั กราฟของ ทจ่ี ดุ A(0, 0), B(1, 0) ตามลาดบั
แลว้ พืน่ ท่ีทีป่ ิดลอ้ มดว้ ยกราฟของ และเสน้ ตรง AB มีคา่ เทา่ ใด [PAT 1 (ธ.ค. 54)/18]

แคลคลู สั 79

พนื้ ทีร่ ะหวา่ งเสน้ โคง้ #

ท่ีผา่ นมา เป็นการหาพนื้ ท่รี ะหวา่ งเสน้ โคง้ เสน้ หนง่ึ กบั แกน X
นอกจากนี้ การอินทเิ กรต ยงั สามารถใชห้ าพนื้ ทร่ี ะหวา่ งเสน้ โคง้ สองเสน้ ไดด้ ว้ ย

b

พนื้ ที่ระหวา่ งเสน้ โคง้ ( ) กบั ( ) ตงั้ แต่ = ถึง = จะหาไดจ้ ากสตู ร  ( ( ) − ( ))

a

= ( )

= ( ) b

พนื้ ทส่ี ว่ นท่แี รเงา =  ( ( ) − ( ))

a



ตวั อยา่ ง จงหาพนื้ ท่ีทอี่ ยรู่ ะหวา่ งเสน้ โคง้ = 3 + 1 และ = 2 ตงั้ แต่ = 0 ถึง = 2 ดงั รูป

= 3 + 1

= 2

2

2 = (1 4 + − 1 3) 2
|
วธิ ีทา พนื้ ที่ระหวา่ งโคง้ =  ( 3 + 1 − 2) 43 0

0

= [1 (2)4 + 2 − 1 (2)3] − [1 (0)4 + 0 − 1 (0)3] = 10

4 34 3 3

อยา่ งไรกต็ าม การใชส้ ตู ร b ( ( ) − ( )) มีสงิ่ ท่ีตอ้ งระวงั คือ



a

 บรเิ วณท่ี ( ) อยเู่ หนือ ( ) ผลอินทิเกรตจะเป็นบวก

 บรเิ วณท่ี ( ) อยู่ ใต้ ( ) ผลอนิ ทเิ กรตจะเป็นลบ

เน่อื งจาก พนื้ ท่ีเป็นลบไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ก่อนตอบตอ้ งเปลยี่ นเครอ่ื งหมายเป็นบวกดว้ ย

ปัญหาจะเกิดเมอ่ื บางสว่ น ( ) อยเู่ หนือ ( ) และบางสว่ น ( ) อยใู่ ต้ ( ) ดงั รูปตอ่ ไปนี้

( )


( )

cb

เวลาหาพนื้ ทท่ี แี่ รเงาในรูปขา้ งบน จะตอ้ งแยกอินทเิ กรต  หนงึ่ เท่ยี ว และ  อกี หนงึ่ เท่ียว

ac

โดยถา้ อนั ไหนเป็นลบกเ็ ปลย่ี นใหเ้ ป็นบวกก่อน แลว้ คอ่ ยเอามารวมกนั

อยา่ งไรก็ตาม ปกตโิ จทยก์ ็จะไมใ่ จดีบอกจดุ มาให้ จะเห็นวา่ จดุ ก็คือจดุ ท่ี ( ) ตดั กบั ( ) น่นั เอง
วธิ ีหาจดุ ตดั ของ ( ) กบั ( ) ก็คอื ใหแ้ กส้ มการ ( ) = ( )

80 แคลคลู สั

ดงั นนั้ สงิ่ ทตี่ อ้ งทาเป็นอนั ดบั แรกในการทาโจทยเ์ รอ่ื งนคี้ อื ตอ้ งแกส้ มการ ( ) = ( ) เพือ่ หาจดุ ตดั กราฟก่อน
ถา้ แกส้ มการ ( ) = ( ) แลว้ ไมม่ คี าตอบ แสดงวา่ ( ) กบั ( ) ไมต่ ดั กนั น่นั เอง

และสดุ ทา้ ย ถา้ โจทยไ์ มบ่ อกวา่ ตอ้ งการพนื้ ทตี่ งั้ แต่ เป็นเทา่ ไหรถ่ งึ เทา่ ไหร่
ก็ใหห้ าตงั้ แตจ่ ดุ แรกที่กราฟตดั กนั ไปจนถึงจดุ สดุ ทา้ ยทก่ี ราฟตดั กนั

ตวั อยา่ ง จงหาพนื้ ท่ีระหวา่ ง = 2 และ = ตงั้ แต่ = −1 ถงึ = 1

วธิ ีทา กอ่ นอน่ื หาจดุ ตดั กนั ของสองกราฟนกี้ อ่ น โดยแกส้ มการ 2 =

2 − = 0
( − 1) = 0

= 0 , 1

จะเหน็ วา่ จาก = −1 ถึง = 1 ตอ้ งผา่ นจดุ ตดั กราฟท่ี = 0 ดงั นนั้ ตอ้ งแยกกินทเิ กรตที่ = 0

0 = (1 3 − 1 2) |−0 1
2
 ( 2 − ) 3

1

= [31 (0)3 − 1 (0)2] − [31 (−1)3 − 1 (−1)2] = 5
2 2 6

1 ( 2 − ) = (1 3 − 1 2) |01
2
 3

0

= [31 (1)3 − 1 (1)2] − [31 (0)3 − 1 (0)2] = −1 → เปลย่ี นเป็นบวก ได้ 1
2 2 6
6

ดงั นนั้ พนื้ ที่ทงั้ หมด คอื 5 + 1 = 1 #
66

ตวั อยา่ ง จงหาพนื้ ที่ระหวา่ ง = √ และ = √ =
วธิ ีทา หาจดุ ตดั กนั ของสองกราฟนกี้ อ่ น โดยแกส้ มการ = 2
0 = 2 −
0 = ( − 1) อยา่ ลมื ตรวจ
คาตอบดว้ ย !
= 0 , 1

ขอ้ นโี้ จทยไ์ มไ่ ดบ้ อกวา่ ใหห้ าพนื้ ทต่ี งั้ แตต่ รงไหนถึงตรงไหน
ดงั นนั้ ตอ้ งหาตงั้ แตจ่ ดุ แรกทก่ี ราฟตดั กนั ไปจนถงึ จดุ สดุ ทา้ ยทกี่ ราฟตดั กนั น่นั คือ ตงั้ แต่ = 0 ถงึ = 1

จะได้ พนื้ ท่ี = 1 = (32 3 − 1 2) |01
2
 (√ − ) 2

0

= [2 3 − 1 (1)2] − [2 3 − 1 (0)2] = 1 #

(1)2 (0)2
32 32 6

แบบฝึกหดั
1. จงหาพืน้ ทีร่ ะหวา่ ง = − 2 และ = 2 − ตงั้ แต่ = 0 ถึง = 3

แคลคลู สั 81

2. จงหาพนื้ ทรี่ ะหวา่ ง = 3 2 + 2 และ = 1 − ตงั้ แต่ = 0 ถึง = 2

3. จงหาพืน้ ท่รี ะหวา่ ง = 2 2 − − 4 และ = 2 + − 1 ตงั้ แต่ = 0 ถึง = 3
4. จงหาพืน้ ที่ระหวา่ ง = 2 − 1 และ = 1 − 2

82 แคลคลู สั

5. จงหาคา่ > 0 ที่เป็นไปไดท้ งั้ หมด ทที่ าใหพ้ นื้ ท่ขี องบรเิ วณทป่ี ิดลอ้ มโดยกราฟของพาราโบลา = − 2
และ = 2 มคี า่ มากสดุ



แคลคลู สั 83

ลมิ ติ ของฟังกช์ นั

1. 1. 6 2. −1 3. หาไมไ่ ด้ 4. − 1
5. หาไมไ่ ด้ 6. −5 2

7. 3

2−√ = (√ )4 − √ = √ ((√ )3−1) = √ (√ −1)((√ )2+√ +1) = √ ((√ )2 + √ + 1)
√ −1 √ −1 √ −1 √ −1

ดงั นนั้ lim 2−√ = √1((√1)2 + √1 + 1) = 1(3) = 3
√ −1
x 1

2. 1 3. 6 4. 3 5. 330

ลมิ ติ ทางซา้ ย – ลมิ ติ ทางขวา

1. 3 2. หาไมไ่ ด้ 3. −2 4. หาไมไ่ ด้
5. 32 6. หาไมไ่ ด้ 7. −1 8. 3
9. 0 10. − 1 11. 12 12. 9
13. 2
2

การหาลมิ ติ จากกราฟ

1. 1 , 1 , 1 , 1 2. หาไมไ่ ด้ , 4 , 4 , 4
3. 3 , 1 , 3 , หาไมไ่ ด้ 4. 1 , หาไมไ่ ด้ , หาไมไ่ ด้ , หาไมไ่ ด้

ความตอ่ เน่ืองของฟังกช์ นั

1. ตอ่ เนอื่ ง / ตอ่ เน่อื ง 6. = 2, = −1 2. ตอ่ เนื่อง / ไมต่ อ่ เนอ่ื ง 8. 8
3. ตอ่ เนอ่ื ง / ตอ่ เนอ่ื ง 10. 18 4. ตอ่ เนอื่ ง / ไมต่ อ่ เนือ่ ง 12. −10
5. 1 14. 8 7. 2, 4 16. √7 − 2
9. 24 11. 0.125
13. 53 15. 15

อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี

1. 1. 2 2. 1 3. 8 4. 2 + 1
5

อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ

1. 1. −4 2. −6
2. 1. 4 2. 12

84 แคลคลู สั

อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั

1. 1. 2 + 2 2. 12 3 − 2 + 1 3. −1 + 2 − 3 2 4. 1
5. 3√ − 1 2√

2 6. 3√ − 1 7. − 3
2 √ 2 2√
2. 1. 4 − 3 3. − 2 4. 2
3. 6 2. 6 2 − 6 + 2 ( 2+2)2 ( +1)2

5 4. 3 5. 88 6. 5
9 3
7. 6 8. 4 9. 12 10. 1, 2
11. 1.5
12. 16 13. 3
กฎลกู โซ่ 5

1. 1. 100(2 3 + 1)99(6 2) 2. − 2 +2
( 2+2 −5)2
3. 2 +3
2√ 2+3 4. (2 2 + 4 − 3)(2 + 2)

2. 1. 2 3 2. 2
√ 4+3 4. 2
3. 1 5. 1.5 6. 1
2 3

อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั แฝง

1. 1. 3 2. 8 3. 5
อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สงู 3 4

1. 6 + 2 2. − 6 3. 105 4. 120
5. 1 4

3 6. 35

ระยะทาง ความเรว็ ความเรง่

1. 7, 8 2. 12 3. 4

กฎของโลปิตาล

1. 1. 2 2. −6 3. หาไมไ่ ด้ 4. −3
2. 5 3. 634

ความชนั เสน้ โคง้

1. 1. −2 2. 1
2. = −2 + 2 4
6. 1 15
3. = 4 + 2 4. 8√82 5. 4
8. 3
7. 2

แคลคลู สั 85

ฟังกช์ นั เพ่ิม – ฟังกช์ นั ลด

1. 1. เพ่ิม 2. ลด 3. เพ่ิม 4. เพิ่ม
2. 1. (3, ∞)
3. 3 2. (−∞, 1) ∪ (3, ∞)

4. 1, 3

คา่ สงู สดุ ตา่ สดุ

1. 1. สงู สดุ (−3, 42) / ต่าสดุ (1, 10) 2. สงู สดุ (1, 4)

2. 1. สงู สดุ (2, 8) / ต่าสดุ (−2, −8) 2. สงู สดุ (2, 30) / ไมม่ จี ดุ ต่าสดุ สมั บรู ณ์

3. 5 4. 18 5. 10 6. 0

7. 1, 2 8. 1, 2 9. 2

ปฏยิ านพุ นั ธ์

1. 1. 2 2 − 3 + 2. 4 + 2 3 − 3 2 + 5 + 3. 2 √ +
22 3
4. 2√ + 5. 3 − + 6. 2 + 2 +
2. 2 32 5. 100
6. 6 3. −3 4. 354 9. 42
10. 2 13. 10
14. 157 7. 8 8. 7

11. 2 12. 1, 2

15. 2.25

อินทิกรลั จากดั เขต

1. 1. 10 2. 0 3. 12 4. 2
2. 5 3. −6 4. 7 5. 34.5
6. 132 7. 9.25 9. 38
10. 12 11. 104 3 13. 18
14. 0.25 15. 4 17. 91
18. 990 19. 8 8. 63 21. 3
22. 4 23. 4 12. 3
16. 48
20. 3
24. 1

พนื้ ทีท่ ี่ปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้

1. 1. 8 2. 2 3. 31 4. 6
5. 4 6. 3 5. 8
4. 3
3 2 8. √3 3

2. 2 3. 37.33 6

6. 27.75 7. 2

86 แคลคลู สั

พนื้ ทีร่ ะหวา่ งเสน้ โคง้

1. 5 2. 12 3. 9 4. 8
3
5. 1

หาจดุ ตดั ของทงั้ สองกราฟก่อน โดยการแกส้ มการ − 2 = 2 → − ( + 1) 2 = 0

→ (1 − ( 2+1) ) = 0 ได้ = 0 หรอื 1 − ( 2+1) = 0 →
= 0 ,
2+1
ดงั นนั้ พท ใตก้ ราฟ เอาสองเสน้ มาลบกนั แลว้ อินทิเกรต ตงั้ แต่ ถึง
= 0 2+1

สองเสน้ ลบกนั ได้ − 2 − 2 → อนิ ทิเกรตได้ 2 − 3 − 3 แลว้ แทน = ลบดว้ ยแทน = 0
2 2+1
( 2 + 1)3 3 3 ( 2 + 1)2
( 2 + 1)2 ( 2 + 1)3 ( 2 + 1)2 ( 2 + 1)3
ได้ พท = 1 − − 1 = 1 − 1 ( 2+1) = (12 − 31)
2 3 3 2 3
2

= 1 ( 2 + 1)2 = 1 ( +1 1 ) = 1 → มากสดุ เม่ือ 2 + 1 นอ้ ยสดุ
6 6 6( 2+ 12+2) 2

ดฟิ ได้ 2 − 2 =0 → 4 = 1 → = ±1 → = 1
3

เครดิต
ขอบคณุ คณุ ครูเบริ ด์ จาก กวดวิชาคณิตศาสตรค์ รูเบริ ด์ ยา่ นบางแค 081-8285490
และ คณุ Buz SetthaponView
และ คณุ Kanjana Pednok
และ คณุ Theerat Piyaanangul
และ คณุ Eaksit Buathong-iem ทช่ี ว่ ยตรวจสอบความถกู ตอ้ งของเอกสาร