Calcls

แคลคูลสั

6 Sep 2019

สารบัญ

ลมิ ติ ของฟังกช์ นั ....................................................................................................................................................................... 1
ลมิ ิตทางซา้ ย – ลมิ ติ ทางขวา ................................................................................................................................................... 6
การหาลมิ ติ จากกราฟ............................................................................................................................................................ 12
ความตอ่ เนือ่ งของฟังกช์ นั ..................................................................................................................................................... 14
อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ .................................................................................................................................................. 21
อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ............................................................................................................................................ 22
อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ............................................................................................................................................................... 24
กฎลกู โซ่................................................................................................................................................................................. 30
อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั แฝง......................................................................................................................................................... 33
อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สงู ................................................................................................................................................................... 35
ระยะทาง ความเรว็ ความเรง่ ................................................................................................................................................ 38
กฎของโลปิตาล ..................................................................................................................................................................... 40
ความชนั เสน้ โคง้ .................................................................................................................................................................... 42
ฟังกช์ นั เพ่มิ – ฟังกช์ นั ลด....................................................................................................................................................... 46
คา่ สงู สดุ ต่าสดุ ...................................................................................................................................................................... 48
ปฏิยานพุ นั ธ.์ .......................................................................................................................................................................... 56
อนิ ทิกรลั จากดั เขต................................................................................................................................................................. 63
พนื้ ทที่ ่ีปิดลอ้ มดว้ ยเสน้ โคง้ .................................................................................................................................................... 73
พนื้ ทรี่ ะหวา่ งเสน้ โคง้ .............................................................................................................................................................. 79

แคลคลู สั 1

ลมิ ิตของฟังกช์ นั

lim ( ) อา่ นวา่ “ลมิ ติ ของ ( ) เม่ือ เขา้ ใกล้ ” หมายถงึ คา่ ประมาณของ ( ) เมื่อ ประมาณ

xa

เช่น ถา้ ( ) = 2 + 5 จะเหน็ วา่ เมอื่ ประมาณ 4 จะได้ ( ) ประมาณ (2 × 4) + 5 = 13
ดงั นนั้ lim 2 + 5 = 13

x4

“ลมิ ิตของฟังกช์ นั ” จะใชส้ ญั ลกั ษณค์ ลา้ ยๆกบั “ลมิ ติ ของลาดบั ” ตา่ งกนั ที่ในเรอ่ื งนจี้ ะใช้ → แทนทจี่ ะเป็น → ∞

และในเรอ่ื งนี้ จะเป็นจานวนจรงิ อะไรก็ได้ ไมต่ อ้ งเป็นจานวนเตม็ บวกเหมือน ในเรอ่ื งลาดบั อนนั ต์

จะเหน็ วา่ วธิ ีหา lim ( ) แบบงา่ ยๆกค็ อื ใหแ้ ทน = ลงไปน่นั เอง คา่ ของ ( ) เม่อื =
xa

เชน่ lim 2 − 7 = (2 × 1) − 7 = −5 แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ( )
x 1

lim 2 − 2 + 3 = (−3)2 − 2(−3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18

x  3

lim 2 + 3 = 2−1 + 3 = 1+3 = 7
2
x  1 2

เวลาทเ่ี ราหา lim ( ) เราจะลองแทน = กอ่ นเป็นอนั ดบั แรกดงั ตวั อยา่ งขา้ งบน
xa

แตก่ ็อาจจะมบี างกรณี ที่เราไมส่ ามารถคานวณ ( ) ได้ ซง่ึ ไดแ้ ก่กรณีท่ีเกิดการหารดว้ ยศนู ยข์ นึ้

ในกรณีนี้ จะมวี ธิ ีตอบคา่ ลมิ ติ ดงั ตอ่ ไปนี้

 ถา้ ตวั ตงั้ ไมเ่ ป็นศนู ย์ แตต่ วั หารเป็นศนู ย์ ตอบไดท้ นั ทีวา่ lim ( ) หาคา่ ไมไ่ ด้
xa

เช่น lim 2 = หาคา่ ไมไ่ ด้ lim = หาคา่ ไมไ่ ด้
1+
x0 x  1

lim +2 = หาคา่ ไมไ่ ด้ lim −1 = หาคา่ ไมไ่ ด้
−1 2− −2
x 1 x2

 ถา้ ตวั ตงั้ เป็นศนู ย์ แตต่ วั หารไมเ่ ป็นศนู ย์ ตอบไดท้ นั ทีวา่ lim ( ) = 0
xa

เชน่ lim −1 = 0 = 0
2+2 +2 5
x 1

 ถา้ ตวั ตงั้ เป็นศนู ย์ แลว้ ตวั หารกเ็ ป็นศนู ยด์ ว้ ย ตอ้ งเปลย่ี นรูป ( ) ใหมก่ อ่ น

เปา้ หมายของการเปลยี่ นรูป ( ) คือ เพอื่ ใหเ้ กิดการตดั กนั ของ − จากนนั้ คอ่ ยลองแทน ลงไปใหม่

การเปลยี่ นรูป ( ) จะใชก้ ารแยกตวั ประกอบ หรอื ไมก่ ็ใชค้ อนจเู กตคณู

คอนจเู กต หรอื สงั ยคุ หมายถึง เทอมที่ตวั หนา้ กบั ตวั หลงั
เหมอื นเดิม แตเ่ ปล่ยี นเครอื่ งหมายตรงกลางเป็นตรงขา้ ม
เชน่ คอนจเู กตของ √ + 2 คอื √ − 2

คอนจเู กตของ √5 − √ คอื √5 + √
เวลาเอาคอนจเู กตเขา้ ไปคณู จะทาใหเ้ ขา้ สตู ร
(น + ล)(น − ล) = น2 − ล2 ไดเ้ สมอ

2 แคลคลู สั

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim 2−3 +2
x2 2 2+ −10

วธิ ีทา ก่อนอน่ื ลองแทน 2 ลงไปดกู อ่ น จะได้ 22−3×2+2 = 4−6+2 = 0
2×22+2−10 8+2−10 0

แปลวา่ ตอ้ งเปลย่ี นรูป 2−3 +2 ใหม่ ใหเ้ กิดการตดั กนั ของ − 2 กอ่ น แลว้ คอ่ ยลองแทน 2 ลงไปใหม่
2 2+ −10
2−3 +2
จะเหน็ วา่ เราสามารถแยกตวั ประกอบ เพอ่ื ให้ − 2 โผลม่ าตดั กนั ได้ 2 2+ −10 = ( −2)( −1) = −1
( −2)(2 +5) 2 +5
พอ − 2 ตดั กนั แลว้ แทน 2 ดใู หม่ จะได้ 2−1 = 1
2×2+5 9
2−3 +2
ดงั นนั้ lim 2 2+ −10 = 1 #
9
x2

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim 3−
x3 3−27

วธิ ีทา ถา้ ลองแทน 3 ลงไป จะได้ 0 ดงั นนั้ ตอ้ งเปลย่ี นรูปใหม่ ใหเ้ กิดการตดั กนั ของ − 3 ก่อน
0
ตวั เศษ จดั รูป 3 − ใหม่ ไดเ้ ป็น – ( − 3)

ตวั สว่ น ใชส้ ตู รแยกตวั ประกอบ 3 − 27 เป็น ( − 3)( 2 + 3 + 9)

ดงั นนั้ 3− = −( −3) = −1 น2 − ล2 = (น + ล)(น − ล)
3−27 ( −3)( 2+3 +9) 2+3 +9 น3 − ล3 = (น − ล)(น2 + นล + ล2)
น3 + ล3 = (น + ล)(น2 − นล + ล2)
แทนคา่ 3 ดใู หม่ จะได้ −1 = − 1
9+9+9 27
3− −1
ดงั นนั้ lim 3−27 = #
27
x3

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim 2−5 +4
√ −1
x 1

วธิ ีทา ถา้ ลองแทน 1 ลงไป จะได้ 0 แปลวา่ ตอ้ งเปลยี่ นรูปใหม่ ใหเ้ กิดการตดั กนั ของ −1 ก่อน
0

ใชว้ ธิ ีแยกตวั ประกอบก็ ตอ้ งคณู ทงั้ เศษและสว่ น ตวั นีไ้ มต่ อ้ งกระจายเขา้ ไป เพราะ
จะมี −1 โผลอ่ อกมา เพื่อใหค้ า่ เหมือนเดมิ เด๋ียวก็เอา 1 ไปแทน แลว้

2−5 +4 = ( −1)( −4) ∙ √ +1 = ( −1)( −4)(√ +1) = ( −1)( −4)(√ +1) = ( − 4)(√ + 1)
√ −1 √ −1 √ +1 (√ )2−12 −1

ตวั นีแ้ ยกตวั ประกอบไมไ่ ด้ เขา้ สตู ร น2 − ล2 − 1 โผลแ่ ลว้
สว่ นใหญ่พวกตดิ รูท มกั
ตอ้ งใชค้ อนจเู กทคณู

หลงั จากตดั − 1 ไดแ้ ลว้ จงึ ลองแทน = 1 ดใู หม่ จะได้ (1 − 4)(√1 + 1) = −3 × 2 = −6 #
ดงั นนั้ lim 2−5 +4 = −6

x  1 √ −1

แคลคลู สั 3

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim √ +2−1
√ +5−2
x  1

วธิ ีทา ถา้ ลองแทน −1 ลงไป จะได้ 0 แปลวา่ ตอ้ งเปลยี่ นรูปใหม่ ใหเ้ กิดการตดั กนั ของ − (−1) หรอื + 1 กอ่ น
0
ขอ้ นี้ ติดรูททงั้ ตวั เศษและตวั สว่ น ตอ้ งเอาคอนจเู กตของทงั้ ตวั เศษและตวั สว่ นมาคณู

√ +2−1 = √ +2−1 ∙ √ +2+1 ∙ √ +5+2 = (√ +22−12)(√ +5+2) = ( +2−1)(√ +5+2) = ( +1)(√ +5+2)
√ +5−2 √ +5−2 √ +2+1 √ +5+2 (√ +52−22)(√ +2+1) ( +5−4)(√ +2+1) ( +1)(√ +2+1)

= √ +5+2

√ +2+1

แทน −1 ดใู หม่ จะได้ √−1+5+2 = 2+2 = 4 = 2
√−1+2+1 1+1 2

ดงั นนั้ lim √ +2−1 = 2 #
√ +5−2
x  1

แบบฝึกหดั 2. lim 2−
1. จงหาคา่ ลมิ ติ ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ x  1 −1

1. lim 2 2 −
x2

3. lim +1 4. lim +1
x0 2− x  1 2−1

5. lim 2−3 +2 6. lim 2+3 −4
x2 2−4 +4 x 1 1−

4 แคลคลู สั

7. lim 2−√
x 1 √ −1

2. lim (1−1 − 2−3 1 + 2) มคี า่ เทา่ ใด [A-NET 50/2-5]

x 1

3. จงหาคา่ ของ lim [PAT 1 (ธ.ค. 54)/40]
3√ +8+3√ −8
x0

แคลคลู สั 5

4. จงหาคา่ ของ lim (cot3 −1) cosec2 [PAT 1 (มี.ค. 55)/40]
x 1+cos 2 −2 sin2

4

5. กาหนดให้ เป็นจานวนจรงิ บวก สอดคลอ้ งกบั lim |5 +1|−|5 −1| = 80
x0 √ + −√
คา่ ของ 2 + + 58 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/17]

6 แคลคลู สั

ลมิ ติ ทางซา้ ย – ลมิ ิตทางขวา

จากหวั ขอ้ ท่แี ลว้ lim ( ) หมายถงึ คา่ ประมาณของ ( ) เม่ือ ประมาณ
xa

คาวา่ “ ประมาณ ” จะเหมารวมทงั้ กรณี “ นอ้ ยกวา่ นดิ ๆ” และกรณี “ มากกวา่ นดิ ๆ”
ทีผ่ า่ นมา เราไมต่ อ้ งกงั วลเรอื่ งนี้ เพราะ ไมว่ า่ นอ้ ยกวา่ นดิ ๆ หรอื มากกวา่ นิดๆ ก็ใช้ ( ) สตู รเดียวกนั

แตเ่ ราจะมีปัญหา ถา้ ( ) เกิดมีหลายสตู ร และกรณี นอ้ ยกวา่ นดิ ๆ ดนั ใชค้ นละสตู รกบั กรณี มากกวา่ นดิ ๆ
ในกรณีนี้ เราตอ้ งหาคา่ ประมาณของ ( ) ออกมา “ทงั้ สองกรณี” แลว้ มาเทยี บกนั ถา้ เทา่ กนั ถงึ จะเอาไปตอบได้

เราจะมสี ญั ลกั ษณใ์ หม่ คือ → − กบั → + ดงั นี้
 lim ( ) อา่ นวา่ “ลมิ ติ ของ ( ) เมอ่ื เขา้ ใกล้ ทางดา้ นซา้ ย”

x  a

หมายถึง คา่ ประมาณของ ( ) เมือ่ นอ้ ยกวา่ นิดๆ

 lim ( ) อา่ นวา่ “ลมิ ิตของ ( ) เมือ่ เขา้ ใกล้ ทางดา้ นขวา”
x  a
หมายถึง คา่ ประมาณของ ( ) เม่อื มากกวา่ นดิ ๆ

ในกรณีท่ี → − กบั → + อยใู่ นโดเมนของ ถา้ ตวั ใดตวั หนง่ึ ในสองตวั นีห้ าคา่ ไมไ่ ด้ หรอื ทงั้ สองตวั หาไดไ้ ม่
เทา่ กนั เราจะกลา่ ววา่ lim ( ) หาคา่ ไมไ่ ด้ แตถ่ า้ สองตวั นหี้ าคา่ ได้ และไดค้ า่ เทา่ กนั จงึ จะนาไปเป็นคาตอบได้

xa

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = { + 2 เมอ่ื ≥ 1 จงหา lim ( )
เมอื่ < 1 x 1
2

วธิ ีทา จะเห็นวา่ ( ) ใชค้ นละสตู รกนั ในกรณี → 1− กบั กรณี → 1+ ดงั นนั้ ตอ้ งแยกหาลมิ ติ ซา้ ยขวา

lim ( ) = lim 2 = 12 = 1
x  1 x  1

lim ( ) = lim + 2 = 1 + 2 = 3
x  1 x  1

จะเห็นวา่ ลมิ ติ ทงั้ สองขา้ งไมเ่ ทา่ กนั ดงั นนั้ lim ( ) หาคา่ ไมไ่ ด้ #
x 1

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = { + 2 เมอื่ ≥ −1 จงหา lim ( )
เม่อื < −1 x  1
2

วธิ ีทา จะเห็นวา่ ( ) ใชค้ นละสตู รกนั ในกรณี → −1− กบั กรณี → −1+ ดงั นนั้ ตอ้ งแยกหาลมิ ติ ซา้ ยขวา

lim ( ) = (−1)2 = 1

x  1

lim ( ) = (−1) + 2 = 1 #

x  1

ลมิ ิตทงั้ สองขา้ งเทา่ กนั ดงั นนั้ lim ( ) = 1
x  1

หมายเหต:ุ เราจะแยกหาลมิ ติ ซา้ ยขวา เฉพาะเมอ่ื ( ) มหี ลายสตู ร และใชค้ นละสตู รกนั เมื่อ นอ้ ยกวา่ นดิ ๆกบั เมือ่
มากกวา่ นดิ ๆ แตถ่ า้ ( ) ไมม่ กี ารแบง่ กรณีเป็นหลายๆสตู ร ก็แทน ลงไปใน เหมอื นหวั ขอ้ ทแี่ ลว้ ไดเ้ ลย

แคลคลู สั 7

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = 2 + 1 เม่ือ ≥ −1 จงหา lim ( )
{ +2 เม่อื < −1 x  1

+1

วิธีทา จะเหน็ วา่ ( ) ใชค้ นละสตู รกนั ในกรณี → −1− กบั กรณี → −1+ ดงั นนั้ ตอ้ งแยกหาลมิ ติ ซา้ ยขวา

lim ( ) = −1+2 = 1 = หาคา่ ไมไ่ ด้
−1+1 0
x  1

ถา้ ลมิ ติ ทางซา้ ยหาคา่ ไมไ่ ด้ ก็ไมต่ อ้ งหาลมิ ติ ทางขวาตอ่ แลว้

ตอบไดท้ นั ทวี า่ lim ( ) หาคา่ ไมไ่ ด้ #
x  1

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = { 2 + 2 เมอื่ ≥ 0 จงหา lim ( )
เมือ่ < 0 x  1
2

วธิ ีทา ขอ้ นจี้ ะเหน็ วา่ ( ) มีสองสตู รก็จรงิ แต่ → −1− กบั → −1+ ใชส้ ตู รเดยี วกนั คอื ( ) = 2

ดงั นนั้ ขอ้ นไี้ มต่ อ้ งแยกหาลมิ ิตซา้ ยขวา แตแ่ ทน = −1 ใน ( ) = 2 ไดเ้ ลย

น่นั คือ lim ( ) = (−1)2 = 1 #
x  1

2+2 เมอ่ื ≥ 0 จงหา lim ( )

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = { 2
2 เมอ่ื < 0 x0

วธิ ีทา จะเหน็ วา่ ( ) ใชค้ นละสตู รกนั ในกรณี → 0− กบั กรณี → 0+ ดงั นนั้ ตอ้ งแยกหาลมิ ิตซา้ ยขวา

lim ( ) = 02 = 0

x  0

lim ( ) = lim ( +2) = lim +2 = 2 = หาคา่ ไมไ่ ด้
2 0
x  0 x  0 x  0

ดงั นนั้ lim ( ) = หาคา่ ไมไ่ ด้ #
x0

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = | | จงหา lim ( )
x0

วิธีทา ขอ้ นี้ ( ) มสี ตู รเดียวก็จรงิ แตถ่ า้ พจิ ารณาดีๆจะพบวา่ จรงิ ๆแลว้ เครอื่ งหมายคา่ สมั บรู ณ์ ประกอบดว้ ยสองสตู ร

คือ | | = { เมื่อ ≥ 0
เมอื่ < 0
−
เม่ือ ≥ 0
เม่ือ < 0
ดงั นนั้ เขยี น ( ) ไดใ้ หมเ่ ป็น ( ) = {−


จะเห็นวา่ ( ) ใชค้ นละสตู รกนั ในกรณี → 0− กบั กรณี → 0+ ดงั นนั้ ตอ้ งแยกหาลมิ ิตซา้ ยขวา

lim ( ) = lim − = lim −1 = −1

x  0 x  0 x  0

lim ( ) = lim = lim 1 = 1

x  0 x  0 x  0

จะเห็นวา่ ลมิ ติ ทงั้ สองขา้ งไมเ่ ทา่ กนั ดงั นนั้ lim ( ) หาคา่ ไมไ่ ด้ #
x0

8 แคลคลู สั

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = | −1| จงหา lim ( )
x 1

วธิ ีทา จากสตู รของคา่ สมั บรู ณ์ จะได้ | − 1| = { − 1 เม่อื − 1 ≥ 0
เม่ือ − 1 < 0
−( − 1)

−1 เมื่อ ≥ 1
เม่อื < 1
ดงั นนั้ ( ) = {−( −1)


จะเห็นวา่ ( ) ใชค้ นละสตู รกนั ในกรณี → 1− กบั กรณี → 1+ ดงั นนั้ ตอ้ งแยกหาลมิ ติ ซา้ ยขวา

lim ( ) = −(1−1) = 0
1
x  1

lim ( ) = 1−1 = 0
1
x  1

ลมิ ิตทงั้ สองขา้ งเทา่ กนั ดงั นนั้ lim ( ) = 0 #
x 1

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = √ 2−1 จงหา lim ( )
2+ x  1

วิธีทา ขอ้ นี้ ( ) มีสตู รเดียวก็จรงิ แตถ่ า้ พิจารณาดๆี จะพบวา่ √ 2 = | |

เม่อื ≥ 0 −1 เมื่อ ≥ 0
เม่ือ < 0 เมือ่ < 0
เนอ่ื งจาก | | = { ดงั นนั้ ( ) = | |−1 = {− 2 +− 1
2+
−
2+
ขอ้ นถี้ าม → −1 แตจ่ ะเหน็ วา่ กรณี → −1− กบั → −1+ ก็เขา้ กรณี < 0 ใชส้ ตู รลา่ ง เหมอื นกนั

ดงั นนั้ ขอ้ นใี้ ช้ ( ) = − −1 มาคิดลมิ ติ → −1 ไดเ้ ลย ไมต่ อ้ งแยกหาลมิ ิตซา้ ยขวา
2+

จะเหน็ วา่ แทนแลว้ ได้ 0 ตอ้ งจดั รูปให้ − (−1) มาตดั กนั ก่อน จะได้ − −1 = −( +1) = −1
0 2+ ( +1)


แทน = −1 จะได้ lim ( ) = −1 = 1 #

x  1 −1

แบบฝึกหดั เม่อื ≥ 1
1. จงหาคา่ lim ( ) เมอื่ ( ) = {2 + 1 เม่อื < 1

x  1 4 − 1

2. จงหาคา่ lim ( ) เม่ือ ( ) = { 2 − เมือ่ ≥ 0
เมอ่ื < 0
x  0 3 + 1

แคลคลู สั 9

3. จงหาคา่ lim ( ) เมือ่ ( ) = { + 2 เมือ่ ≥ 3
x  1 − 1 เมือ่ < 3

4. 2−3 +2 เมอื่ ≥ 2

จงหาคา่ lim ( ) เมือ่ ( ) = { 2−
x  2 2 − 3 เม่อื < 2

2−16 เมือ่ ≥ 4

5. จงหาคา่ lim ( ) เมื่อ ( ) = { √ −2
x  4 7 + 4 เมอ่ื < 4

6. จงหาคา่ lim ( ) เมื่อ ( ) = | −1|
2−1
x 1

7. จงหาคา่ lim ( ) เม่อื ( ) = | −2|
2−3 +2
x  2

10 แคลคลู สั

8. จงหาคา่ lim (1 + ) เมอ่ื ( ) = { 2 เมอื่ ≥ 1
x  0 2 + 1 เม่อื < 1

9. คา่ ของ lim 1 (1 − 22 + 31) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 58)/13]
√1−
x 1

10. คา่ ของ lim √ 3+ 2+ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/18]
2
x0

11. คา่ ของ lim |1+ −2 2| เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 55)/21]
√ +3−2
x 1

แคลคลู สั 11

12. คา่ ของ lim | 2− −2| เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 59)/42]
2−3√ 2+4
x2

2 เมอ่ื < 0
13. กาหนดให้ ( ) = {2 − 1 เมื่อ 0 ≤ < 1

3 เมอ่ื > 1
คา่ ของ lim ( 2) + lim (1 − ) เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/1-17]
x  0 x  0

12 แคลคลู สั

การหาลมิ ติ จากกราฟ

หวั ขอ้ ท่ีผา่ นมา เป็นการหาลมิ ติ จากสมการฟังกช์ นั
ในหวั ขอ้ นี้ เราจะฝึกการอา่ นกราฟ โดยใชห้ ลกั ง่ายๆก็คอื ใหอ้ า่ นคา่ ( ) จากคา่
ปกติ เรามกั ตอ้ งอา่ นกราฟเพอื่ หาคา่ 4 คา่ ดงั ตอ่ ไปนี้

( ) , lim ( ) , lim ( ) , lim ( )
x  a x  a xa

คา่ ตรงที่ คา่ ตรงแถวๆท่ี คา่ ตรงแถวๆท่ี จะมคี า่ เม่อื ลิมิตซา้ ย
นอ้ ยกวา่ นิดๆ มากกวา่ นิดๆ ขวามีคา่ เทา่ กนั
=

เชน่ Y ตรงที่ = 1 จะเห็นวา่ = 4 ดงั นนั้ (1) = 4

4 เมอ่ื < 1 นิดๆ จะเห็นวา่ ก็ประมาณ 4 ดงั นนั้ lim ( ) = 4
1X x  1

เมอ่ื > 1 นดิ ๆ จะเห็นวา่ ก็ประมาณ 4 ดงั นนั้ lim ( ) = 4
x  1

เนือ่ งจากลมิ ติ ซา้ ยขวาเทา่ กนั ดงั นนั้ lim ( ) = 4
x 1

Y ตรงท่ี = 1 จะเหน็ วา่ = 2 ดงั นนั้ (1) = 2
2
เมอ่ื < 1 นดิ ๆ จะเห็นวา่ กราฟพงุ่ ขนึ้ อยา่ งไมม่ ีขอบเขต จงึ หาคา่ ไมไ่ ด้
1 ดงั นนั้ lim ( ) = หาคา่ ไมไ่ ด้

x  1

เมื่อ > 1 นดิ ๆ จะเห็นวา่ ประมาณ 2 ดงั นนั้ lim ( ) = 2

X x  1

เนื่องจากลมิ ติ ทางซา้ ยหาคา่ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ lim ( ) = หาคา่ ไมไ่ ด้
x 1

Y X ตรงท่ี = 2 จะเห็นวา่ มจี ดุ ดาๆอยตู่ รง = 4 ดงั นนั้ (2) = 4

4 เมอื่ < 2 นดิ ๆ จะเหน็ วา่ มีเสน้ กราฟอยทู่ ี่ = 1 ดงั นนั้ lim ( ) = 1
3 x  2
1
เม่อื > 2 นิดๆ จะเห็นวา่ มีเสน้ กราฟอยทู่ ่ี = 3 ดงั นนั้ lim ( ) = 3
2 x  2

เนื่องจากลมิ ติ ซา้ ยขวาไมเ่ ทา่ กนั ดงั นนั้ lim ( ) = หาคา่ ไมไ่ ด้
x2

แคลคลู สั 13

แบบฝึกหดั (2) =
1. จงเตมิ คาในช่องวา่ ง lim ( ) =

1. x  2

Y lim ( ) =
1
x  2
X
2 lim ( ) =

2. Y x2

4 (1) =
lim ( ) =
X
1 x  1

3. lim ( ) =

Y x  1
3
1 lim ( ) =

2X x 1

4. Y (2) =
lim ( ) =
1
X x  2

lim ( ) =

x  2

lim ( ) =

x2

(0) =
lim ( ) =

x  0

lim ( ) =

x  0

lim ( ) =

x0

14 แคลคลู สั

ความตอ่ เนือ่ งของฟังกช์ นั

เราจะกลา่ ววา่ “ฟังกช์ นั ( ) ตอ่ เน่อื งท่ี = ” เมอื่ ( ) = lim ( )
xa

ถา้ แยกคดิ ลมิ ติ ซา้ ยขวา lim ( ) จะมีคา่ เทา่ กบั lim ( ) และ lim ( )
xa x  a x  a

ดงั นนั้ ฟังกช์ นั ( ) ตอ่ เนอ่ื งที่ = เม่อื lim ( ) = ( ) = lim ( )
x  a x  a

คา่ ของ ( ) เมื่อ คา่ ของ ( ) คา่ ของ ( ) เมอ่ื
นอ้ ยกวา่ นิดๆ ตรงจดุ = มากกวา่ นิดๆ

ตวั อยา่ ง กาหนด ( ) = 2 + 5 จงพจิ ารณาวา่ ( ) ตอ่ เน่ืองที่ = 1 หรอื ไม่ #

วธิ ีทา ตอ้ งเช็ควา่ (1) กบั lim ( ) เทา่ กนั หรอื ไม่
x 1
เน่อื งจาก (1) = 2 × 1 + 5 = 7 และ lim ( ) = 2 × 1 + 5 = 7 เทา่ กนั
x 1
ดงั นนั้ ( ) ตอ่ เน่ืองท่ี = 1

ตวั อยา่ ง กาหนด ( ) = 2+ จงพิจารณาวา่ ( ) ตอ่ เนือ่ งท่ี = 0 หรอื ไม่


วธิ ีทา ตอ้ งเช็ควา่ (0) กบั lim ( ) เทา่ กนั หรอื ไม่
x0

จะเห็นวา่ (0) = 02+0 = หาคา่ ไมไ่ ด้ จบเลย ไมต่ อ้ งหา lim ( ) แลว้
0 x0

สรุปไดท้ นั ทวี า่ ( ) ไมต่ อ่ เนอื่ งท่ี = 0 #

2− −2 เม่อื > 2 จงพจิ ารณาวา่ ( ) ตอ่ เนอ่ื งที่ = 2 หรอื ไม่

ตวั อยา่ ง กาหนด ( ) = { −2
2 − 1 เม่ือ ≤ 2

วิธีทา ตอ้ งเช็ควา่ (2) กบั lim ( ) เทา่ กนั หรอื ไม่
x2

จะได้ (2) = 2 × 2 − 1 = 3 แตจ่ ะหา lim ( ) ตอ้ งคดิ ลมิ ิตซา้ ยขวา เพราะ ( ) ใชค้ นละสตู ร
x2

lim ( ) = 2 × 2 − 1 = 3

x  2

lim ( ) = 22−2−2 = 0 ดงั นนั้ ตอ้ งเปลย่ี นรูปให้ − 2 มาตดั กนั กอ่ น
2−2 0
x  2

เนอื่ งจาก 2− −2 = ( −2)( +1) = + 1 ดงั นนั้ lim ( ) = 2+1 = 3
−2 −2
x  2

ลมิ ติ ซา้ ยขวาเทา่ กนั ดงั นนั้ lim ( ) = 3
x2

จะเหน็ วา่ (2) = lim ( ) = 3 ดงั นนั้ ( ) ตอ่ เนอ่ื งที่ = 2 #
x2

แคลคลู สั 15

ในกรณีทโี่ จทยม์ าเป็นรูปกราฟ จะทาแบบเดมิ ก็ได้ คอื เช็ควา่ ( ) = lim ( ) ไหม
xa

เพยี งแตค่ ราวนตี้ อ้ งหา ( ) , lim ( ) , lim ( ) จากกราฟ
x  a x  a

หรอื จะดวู า่ เสน้ กราฟขาด หรอื ไมก่ ็ได้ ถา้ เขียนกราฟแลว้ ตอ้ งยกดนิ สอตรง = แปลวา่ ตรง = ไมต่ อ่ เนอื่ ง

ตวั อยา่ ง กาหนดกราฟของ ( ) ตามรูป จงพจิ ารณาวา่ ( ) ตอ่ เนอ่ื งที่ = 2 หรอื ไม่

4
2

2

วิธีทา ตอ้ งเช็ควา่ (2) กบั lim ( ) เทา่ กนั หรอื ไม่ แตค่ ราวนตี้ อ้ งหาจากรูปกราฟ
x2

จากกราฟ จะได้ (2) = 4 แต่ lim ( ) = lim ( ) = 2 ไมเ่ ทา่ กนั
x  2 x  2

ดงั นนั้ ( ) ไมต่ อ่ เนื่องท่ี = 2 #

ตวั อยา่ ง กาหนดกราฟของ ( ) ตามรูป จงพิจารณาวา่ ( ) ตอ่ เนอ่ื งท่ี = 1 หรอื ไม่

2 #

1

วธิ ีทา จากกราฟ จะได้ (1) = 2
แตจ่ ะเห็นวา่ lim ( ) หาคา่ ไมไ่ ด้ ดงั นนั้ ( ) ไมต่ อ่ เนอื่ งท่ี = 1

x  1

ตวั อยา่ ง กาหนดกราฟของ ( ) ตามรูป จงพจิ ารณาวา่ ( ) ตอ่ เน่ืองท่ีตรงไหนบา้ ง

3

36

วิธีทา ที่ = 0 ตอ่ เนอ่ื ง เพราะ (0) = 3 = lim ( ) = lim ( )
x  0 x  0

ที่ = 3 ไมต่ อ่ เนอื่ ง เพราะ (3) หาคา่ ไมไ่ ด้

ท่ี = 6 ไมต่ อ่ เน่อื ง เพราะ (6) หาคา่ ไมไ่ ด้

ดงั นนั้ ( ) ตอ่ เน่อื งเมอื่ ∈ (−∞, 3) ∪ (3, 6) ∪ (6, ∞) #

16 แคลคลู สั

แบบฝึกหดั

1. กาหนดให้ ( ) = 2 + 1 จงพจิ ารณาวา่ ( ) ตอ่ เน่ืองทคี่ า่ ตอ่ ไปนหี้ รอื ไม่

1. = 0 2. = −1

2. กาหนดให้ ( ) = 2+ −2 จงพจิ ารณาวา่ ( ) ตอ่ เนื่องทค่ี า่ ตอ่ ไปนหี้ รอื ไม่
−1
1. = −1 2. = 1

3. กาหนดให้ ( ) = 2 เม่อื ≥ −1 จงพิจารณาวา่ ( ) ตอ่ เนอ่ื งทค่ี า่ ตอ่ ไปนหี้ รอื ไม่
{ 1− 2 เมอื่ < −1

1. = −1 +1 2. = 0

4. กาหนดให้ ( ) = | | จงพจิ ารณาวา่ ( ) ตอ่ เน่อื งที่คา่ ตอ่ ไปนหี้ รอื ไม่

1. = −1 2. = 0

5. กาหนดให้ ( ) = เม่ือ = 1 จงหาคา่ ที่ทาให้ ( ) ตอ่ เน่ืองท่ี = 1
{ 2− เมอ่ื ≠ 1

−1

แคลคลู สั 17

+ เมอ่ื > 1
6. จงหาคา่ และ ท่ที าให้ ( ) = { 2 − 1 เมือ่ = 1 เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนอ่ื ง

− เมื่อ < 1

7. ฟังกช์ นั ในขอ้ ใดบา้ งทตี่ อ่ เนือ่ งท่ี = 1 2.
1.
1
1
4.
3.
1
1

8. −3 เมือ่ ≠ 3 โดยท่ี เป็นจานวนจรงิ

กาหนดให้ ( ) = {√2 +10−√ +13
เมอ่ื = 3

ถา้ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนอ่ื งทจี่ ดุ = 3 แลว้ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/44]

18 แคลคลู สั

9. 2 −8 , < 4 โดยท่ี เป็นจานวนจรงิ ถา้ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนอ่ื งที่จดุ = 4

กาหนดให้ ( ) = {2 −√4 2 − 3 +12 , ≥ 4

3
แลว้ ( + 1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/38]

− + , ≤ −2

10. กาหนดให้ เป็นฟังกช์ นั นยิ ามโดย ( ) = { − 2 + , −2 < < 3

5

2 − 6 + 11 , > 3
เม่ือ , เป็นจานวนจรงิ ถา้ ฟังกช์ นั มีความตอ่ เนอื่ งท่ี = −2 และ lim ( ) หาคา่ ได้
x3

แลว้ คา่ ของ | + 5 | เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/17]

11. กาหนดให้ , เป็นจานวนจรงิ และ เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ นิยามโดย

( − 1)2 + 1 เม่อื < 0

( ) = { 3 + + เมอ่ื 0 ≤ ≤ 1

− เม่ือ > 1
ถา้ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนช่วง [−2, 2] แลว้ (1) เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-20]
2

แคลคลู สั 19

| 3−1| , −1 < < 1

12. กาหนดให้ และ เป็นจานวนจรงิ และให้ เป็นฟังกช์ นั โดยที่ ( ) = { −+1 , 1 ≤ < 5

5 , ≥ 5

ถา้ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนอ่ื งบนชว่ ง (−1, ∞) แลว้ คา่ ของ เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 53)/19]

3−3 −2 , < 2
, = 2
13. กาหนดให้ และ เป็นจานวนจรงิ และ เป็นฟังกช์ นั ซงึ่ กาหนดโดย ( ) = { −2

−

2 + + 1 , > 2
ถา้ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนเซตของจานวนจรงิ แลว้ คา่ ของ 2 + 2 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/37]

2 + + , < 2

14. ให้ และ เป็นจานวนจรงิ และให้ ( ) = { √ − 1 , 2 ≤ ≤ 5

+ , > 5

ถา้ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่องบนเซตของจานวนจรงิ แลว้ − เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 57)/17]

20 แคลคลู สั

2 + 2 , < 0

15. กาหนดให้ เป็นฟังกช์ นั นยิ ามโดย ( ) = { + , = 0 เม่อื และ เป็นจานวนจรงิ

√1+ +5 2−1 , > 0



ถา้ ฟังกช์ นั มคี วามตอ่ เน่ืองที่ = 0 แลว้ คา่ ของ 15 + 30 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/41]

16. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ : → เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนื่อง ท่ี = 1 และ
ให้ เป็นฟังกช์ นั ทกี่ าหนดโดย

√ +3−2 เมอื่ > 1
เมื่อ ≤ 1
( ) = { √ −1

( )
| |+7

ถา้ ฟังกช์ นั มีความตอ่ เนอ่ื งท่ี = 1 แลว้ คา่ ของ ( ∘ )(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/18]

แคลคลู สั 21

อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่

ในเรอื่ งนี้ เราจะเจอคาวา่ “อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี ของ ( ) เทยี บกบั ในช่วง = ถงึ = ”

ซงึ่ จะเป็นคา่ ที่บอกวา่ ( ) เปลยี่ นไปขนาดไหน เทยี บกบั การเปลย่ี นไปของ

น่นั คอื เราจะหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลยี่ นไี้ ดจ้ ากสตู ร ( )− ( ) (หรอื จากสตู ร ( )− ( ) ก็ได)้
− −

หา่ งกนั − ( ) หา่ งกนั ( ) − ( )
( ) ดงั นนั้ ( ) เปลย่ี นไป ( )− ( )
( )
−

เมือ่ เทยี บกบั

ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของ ( ) = 2 − 2 + 2 เมอ่ื เปลยี่ นจาก 2 เป็น 5 #
วิธีทา อตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี = (5)− (2) = (52−2∙5+2)−(22−2∙2+2) = 17−2 = 5 #

5−2 5−2 3

ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ของพนื้ ทวี่ งกลม เม่อื รศั มเี ปลย่ี นจาก 1 เป็น 4
วิธีทา ขอ้ นตี้ อ้ งรูเ้ องวา่ สตู รพนื้ ทวี่ งกลมที่มรี ศั มี คือ 2

ดงั นนั้ อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี = 42− 12 = 16 − = 5
4−1 3

แบบฝึกหดั 2. ( ) = √ − 5 เม่อื เปลย่ี นจาก 9 เป็น 14
1. จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลย่ี ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้

1. ( ) = 2 − 3 เม่ือ เปลย่ี นจาก 1 เป็น 8

3. พนื้ ทีส่ เี่ หลย่ี มจตั รุ สั เมื่อความยาวดา้ นเปลย่ี น 4. ( ) = 2 เมื่อ เปลย่ี นจาก เป็น + 1
จาก 2 เป็น 6

22 แคลคลู สั

อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ

หวั ขอ้ ทแี่ ลว้ อตั ราการเปลย่ี นแปลงเฉลย่ี จะเป็นการคดิ จากจดุ ตน้ กบั จดุ ปลาย 2 จดุ ซงึ่ คิดงา่ ย แตใ่ ชอ้ ะไรไม่คอ่ ยได้
เพราะปกตเิ รามกั จะอยากรูอ้ ตั ราการเปลย่ี นแปลงตรงจดุ ใดจดุ หนง่ึ แคจ่ ดุ เดียว

ดงั นนั้ ในหวั ขอ้ นี้ เราจะพยายามหา “อตั ราการเปลยี่ นแปลง ขณะท่ี = ” = ( +ℎ)− ( ) = ( +ℎ)− ( )
โดยเราจะหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงเฉลยี่ ในชว่ ง = ถงึ = + ℎ กอ่ น ( +ℎ)−( ) ℎ

แลว้ คอ่ ยบีบให้ ℎ เขา้ ใกลศ้ นู ยโ์ ดยใชค้ วามรูเ้ รอ่ื งลมิ ิตของฟังกช์ นั มาชว่ ย = lim ( +ℎ)− ( )
ℎ
h0

แตป่ กติ เรามกั จะไมแ่ ทน = แตแ่ รก แตจ่ ะหา lim ( +ℎ)− ( ) แบบตดิ ตวั แปร ไวก้ ่อน
ℎ
h0

แลว้ ถา้ อยากไดอ้ ตั ราการเปลย่ี นแปลงที่ เทา่ กบั เทา่ ไหร่ คอ่ ยแทนเอาตอนทา้ ย

สรุป อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ ( ) เทียบกบั ขณะ ใดๆ คือ lim ( +ℎ)− ( )
ℎ
h0

ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ ( ) = 2 2 − + 3 เทียบกบั ขณะที่ = 1

วธิ ีทา อตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะใดๆ = lim ( +ℎ)− ( ) = lim [2( +ℎ)2−( +ℎ)+3]−[2 2− +3]
ℎ ℎ
h0 h0

= lim [2( 2+2 ℎ+ℎ2)−( +ℎ)+3]−[2 2− +3]
ℎ
h0

= lim 2 2+4 ℎ+2ℎ2− −ℎ+3−2 2+ −3
ℎ
h0

= lim 4 ℎ+2ℎ2−ℎ = lim 4 + 2ℎ − 1 = 4 − 1
ℎ
h0 h0

ดงั นนั้ อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะท่ี = 1 คอื (4)(1) − 1 = 3 #

ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ ( ) = 3 − 5 เทยี บกบั ขณะท่ี = 8

วิธีทา อตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะใดๆ = lim [3−5( +ℎ)]−[3−5 ]
ℎ
h0

= lim 3−5 −5ℎ−3+5
ℎ
h0

= lim −5ℎ = lim −5 = −5
ℎ
h0 h0

ดงั นนั้ อตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะท่ี = 8 คือ −5 #

ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงพนื้ ที่รูปสเ่ี หลยี่ มจตั รุ สั เทียบกบั ความยาวดา้ น ขณะทด่ี า้ นของสเ่ี หลยี่ มยาว 4 หนว่ ย

วิธีทา ให้ คอื ความยาวดา้ น จะได้ พนื้ ท่ี = 2

ดงั นนั้ อตั ราการเปลยี่ นแปลงพนื้ ทีข่ ณะใดๆ = lim ( +ℎ)2− 2
ℎ
h0

= lim 2+2 ℎ+ℎ2− 2
ℎ
h0

= lim 2 ℎ+ℎ2 = lim 2 + ℎ = 2
ℎ
h0 h0

ดงั นนั้ อตั ราการเปลย่ี นแปลงพนื้ ที่ขณะทดี่ า้ นของสเ่ี หลยี่ มยาว 4 หนว่ ย = (2)(4) = 8 #

แคลคลู สั 23

แบบฝึกหดั

1. จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของ ( ) = 3 − 2 − 2 เทยี บกบั ขณะท่ี

1. = 1 2. = 2

2. จงหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงของพนื้ ทส่ี เ่ี หลยี่ มจตั รุ สั เทยี บกบั ความยาวดา้ น ขณะที่

1. ดา้ นยาว 2 หนว่ ย 2. ดา้ นยาว 6 หนว่ ย

24 แคลคลู สั

อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั

“อนพุ นั ธข์ อง ( ) เทียบกบั ” หรอื “ดิฟ๊ ( )” แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ′( ) หรอื ( ) หรอื ( )


หมายถึง อตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะใดๆ ทเี่ รยี นในหวั ขอ้ ท่แี ลว้ น่นั เอง
บางทเี ราสามารถใช้ แทน ( ) ได้ เชน่ “อนพุ นั ธข์ อง เทียบกบั ” ซง่ึ แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ′ หรอื หรอื



ตวั อยา่ ง จงหาอนพุ นั ธข์ อง ( ) เมอื่ กาหนดให้ ( ) = 2 2 + 3

วิธีทา ทาแบบเดยี วกบั ตอนหาอตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะใดๆในเรอ่ื งทแ่ี ลว้ เพียงแตใ่ ชส้ ญั ลกั ษณ์ ′( ) ของเรอ่ื งนี้

′ ( ) = lim ( +ℎ)− ( )
ℎ
h0

= lim [2( +ℎ)2+3]−[2 2+3]
ℎ
h0

= lim 2 2+4 ℎ+2ℎ2+3−2 2−3
ℎ
h0

= lim 4 ℎ+2ℎ2 = lim 4 + 2ℎ = 4
ℎ
h0 h0

จะไดค้ าตอบคอื ′( ) = 4 #

หมายเหต:ุ ในตวั อยา่ งขา้ งบน เราสามารถพดู สนั้ ๆไดว้ า่ “ดิฟ๊ 2 2 + 3 ได้ 4 ”

ซง่ึ สามารถเขยี นเป็นสญั ลกั ษณไ์ ดเ้ ป็น 2 2 +3 = 4


อยา่ งไรกต็ าม เวลาทเี่ ราหาอนพุ นั ธ์ ก็จะไมไ่ ดท้ าขนั้ ตอนยงุ่ ยากเหมือนอยา่ งทีท่ าใหด้ ขู า้ งบน

แตเ่ ราจะมสี ตู รหาแบบงา่ ยๆ คือ = −1
และ ดฟิ๊ กระจายในบวกลบได้

เชน่ 2 4 = 8 3 3 2 = 6 1 = 6



3 = 3 2 2 = 2 0 = 0 (ดิฟ๊ คา่ คงที่ ได้ 0 เสมอ)



4 1/3 = 4 31−1 = 4 −32 −2 5 = −10 4

3 3

2 −3 = −6 −4 (4) = 4 −1 = −4 −2 = − 4
2


5 3√ = 1 = 5 −23 (− 6 ) = (−6 −21) = 3 −23

5 3 3 √

(2 2 − 3 + 5) = 2 2 − 3 + 5



= 4 − 3

ตวั อยา่ ง จงหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ ของ ( ) = 3 − 4 ขณะท่ี = 1 #
วธิ ีทา ขอ้ นี้ จะใชส้ ตู รการหาอนพุ นั ธม์ าชว่ ยหาอตั ราการเปลย่ี นแปลงขณะใดๆ จะได้ ′( ) = 3 2 − 4

แทน = 1 ลงไป จะได้ ′(1) = 3(12) − 4 = −1

หมายเหต:ุ สญั ลกั ษณ์ ′(1) หมายถงึ หาอนพุ นั ธข์ อง ( ) ออกมาก่อน แลว้ แทน = 1 ลงไป

แคลคลู สั 25

เราสามารถดงึ “ตวั เลข” ที่ คณู หาร อยู่ ออกมาไวห้ นา้ ดิฟ๊ ได้ เช่น (3)( 2 + 2 + 4) = 3 ∙ ( 2 + 2 + 4)


แต่ ดฟิ๊ กระจายในคณู หาร หรอื ยกกาลงั ไมไ่ ด้ กลา่ วคอื (2 2 )(3 + 2) ≠ (4 )(3)

แตจ่ ะมสี ตู รดิฟ๊ ผลคณู ผลหาร ดงั นี้

หนา้ ∙ หลงั = หนา้ ∙ หลงั + หลงั ∙ หนา้



(ลบา่ นง) = (ลา่ ง∙ บน)−(บน∙ ลา่ ง)
ลา่ ง2

เชน่ (2 2)(3 + 2) = (2 2)(3) + (3 + 2)(4 ) ( 2 2 ) = (3 +2)(4 )−(2 2)(3)
(3 +2)2
3 +2

= 6 2 + 12 2 + 8 = 12 2+8 −6 2
(3 +2)2
= 18 2 + 8
6 2+8
= (3 +2)2

ตวั อยา่ ง จงหา (2 + 5)2


วธิ ีทา เนอ่ื งจากดิฟ๊ กระจายในการยกกาลงั ไมไ่ ด้ ทาใหเ้ ราไมส่ ามารถหา 2 + 5 ก่อน แลว้ คอ่ ยยกกาลงั สองได้

ขอ้ นตี้ อ้ งกระจาย (2 + 5)2 ออกมาในรูปการบวกกอ่ น แลว้ คอ่ ยดิฟ๊ ดงั นี้

(2 + 5)2 = 4 2 + 20 + 25



= 8 + 20

หรอื จะใชส้ ตู รดิฟ๊ ผลคณู ก็ได้ ดงั นี้ (2 + 5)2 = (2 + 5)(2 + 5)

#

= (2 + 5)(2) + (2 + 5)(2)
= 4 + 10 + 4 + 10
= 8 + 20

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ (1) = 2 , ′(1) = 3 ถา้ ( ) = (2 − 1) ( ) แลว้ จงหาคา่ ของ ′(1) #
วิธีทา จะเห็นวา่ ( ) เกิดจากการคณู กนั ระหวา่ ง 2 − 1 กบั ( )

ดงั นนั้ เราสามารถใชส้ ตู รดิฟ๊ ผลคณู กบั ( ) จะได้ ′( ) = (2 − 1) ′( ) + ( )(2)
ดงั นนั้ ′(1) = (2 ∙ 1 − 1) ′(1) + (1)(2)

= ( 1 )( 3 ) + (2)(2) = 7

แบบฝึกหดั 2. ( ) = 3 4 − 2 +
1. จงหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้

1. ( ) = 2 + 2 + 5

3. ( ) = 1 − + 2 − 3 4. ( ) = √ + 2

26 แคลคลู สั 6. ( ) = √ ( − 2)

5. ( ) = √ −

7. ( ) = 1
√

2. จงใชส้ ตู รดิฟ๊ ผลคณู ผลหาร เพอ่ื หาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้

1. ( ) = (2 + 1)( − 2) 2. ( ) = ( 2 + 1)(2 − 3)

3. ( ) = 1 4. ( ) = −1
2+2 +1

3. กาหนดให้ ( ) = 2 − + 1 ถา้ ′(1) = 2 แลว้ จงหาคา่ ของ ′(2)
(2)

4. กาหนดให้ (0) = 1 , ′(0) = 2 ถา้ ( ) = ( 2+ −1) แลว้ จงหาคา่ ของ ′(0)
( )

แคลคลู สั 27

5. กาหนดให้ (1) = 1 , ′(1) = 2 , (1) = 3 , ′(1) = 4 ถา้ ℎ( ) = ( ) ( ) − ( ) แลว้ จงหาคา่
( )
ของ ℎ′(1)

6. ถา้ ( ) เป็นพหนุ ามดกี รสี าม ซงึ่ มี 1, 2, 3 เป็นคาตอบของสมการ ( ) = 0 และ (4) = 5

แลว้ ′(1) มคี า่ เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 49/1-18]

1. − 6 2. − 5 3. 4 4. 5
7 6 5 3

7. ถา้ , และ ℎ สอดคลอ้ งกบั (1) = (1) = ℎ(1) = 1 และ ′(1) = ′(1) = ℎ′(1) = 2
แลว้ คา่ ของ ( + ℎ)′(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ก.ค. 52)/33]

28 แคลคลู สั

8. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ : ℝ → ℝ , : ℝ → ℝ และ : ℝ → ℝ เป็นฟังกช์ นั โดยท่ี

( ) = + 1 สาหรบั ทกุ ∈ ℝ ( ( )) = 2 + 2 − 1 สาหรบั ทกุ ∈ ℝ

และ ( ) = lim ( ( +ℎ))2−( ( ))2 สาหรบั ทกุ ∈ ℝ คา่ ของ ( )(1) เทา่ กบั เทา่ ใด
ℎ
h0

[PAT 1 (พ.ย. 57)/44]

9. กาหนดให้ ( ) = 2 + √ เมอ่ื และ เป็นจานวนจรงิ ท่ี ≠ 0

ถา้ 2 ′(1) = (1) แลว้ (4) มีคา่ เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 52)/2-18]
′(9)

+ − 4 , ≤

10. ให้ เป็นฟังกช์ นั โดยที่ ( ) = { 2 + + , < ≤ เมอื่ และ เป็นจานวนจรงิ

2 − , >

และ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เน่อื งบนเซตของจานวนจรงิ ขอ้ ใดตอ่ ไปนีถ้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (มี.ค. 59)/17]
1. ( ∘ )( − ) = −
2. ( + ) = ( ) + ( )
3. ′( (2)) = ( ′(2))

แคลคลู สั 29

11. กาหนดให้ เป็นฟังกช์ นั ตอ่ เนอื่ ง ทนี่ ยิ ามโดย

( ) = { 2 + เมือ่ ≥ 0
3 + 1 เม่ือ < 0

ถา้ ′(1) = 4 แลว้ ( ∘ ) (− 3√12) มีคา่ เทา่ ใด [A-NET 51/2-9]

12. ถา้ ′ ( ) = 1 (1 + √1 3) แลว้ คา่ ของ lim (1+ℎ)− (1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 52)/34]
2 (4+ℎ)− (4)
√ h0

13. ให้ R แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ : R → R , : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังกช์ นั โดยท่ี

( ) = +1 เมอ่ื เป็นจานวนจรงิ ( ) = ( 2 + 1) ′( ) และ ℎ( ) = { ( ) เมื่อ ≥ 2
2+1 ( ) เม่ือ < 2

ถา้ ฟังกช์ นั ℎ ตอ่ เนือ่ งท่ี = 2 แลว้ คา่ ของ 2ℎ(−2) − ℎ(2) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/17]

30 แคลคลู สั

กฎลกู โซ่

จากตวั อยา่ งขา้ งบน จะเหน็ วา่ การหา (2 + 5)2 คอ่ นขา้ งลาบาก เพราะ ตอ้ งกระจายกาลงั สองออกมาก่อน


ยิ่งถา้ จะหา (2 + 5)10 ยิง่ ลาบาก เพราะคราวนตี้ อ้ งกระจายกาลงั 10


ทาแบบนไี้ ดไ้ หม กอ่ นอนื่ เปลยี่ นตวั แปรกอ่ น โดยให้ = 2 + 5 ก่อน ดงั นนั้ (2 + 5)10 จะกลายเป็น 10
จากนนั้ ดิฟ๊ 10 จะได้ 10 9 แลว้ คอ่ ยเปลย่ี นตวั แปรกลบั เป็น 10(2 + 5)9

คาตอบคือ “ไมไ่ ด”้ เพราะถา้ สงั เกตดีๆ ตอนที่ ดิฟ๊ 10 ได้ 10 9 นนั้ เป็นการดฟิ๊ โดยใช้ เป็นตวั แปร

ดงั นนั้ คาตอบท่ไี ด้ 10(2 + 5)9 เป็นคาตอบของคาถาม (2 + 5)10 ไมใ่ ชค่ าถาม (2 + 5)10


ในหวั ขอ้ นจี้ ะพดู ถงึ กฎลกู โซ่ ที่จะชว่ ยใหเ้ ปลย่ี นตวั แปรในการดิฟ๊ ได้ ดงั นี้

= ∙

ถา้ จะเปล่ียนตวั แปร ตอ้ งดฟิ๊ ตวั
ของเดมิ ดิฟ๊ เทยี บกบั เปลยี่ นตวั แปรเป็นดิฟ๊ แปรใหมเ่ ทยี บกบั คณู ไปดว้ ย
เทยี บกบั แทน

จะเหน็ วา่ ถา้ เราเปลยี่ นตวั แปรในการดฟิ๊ เราจะตอ้ งคณู ดว้ ย “ดิฟ๊ ตวั แปรใหม”่ เพิ่มเขา้ ไปดว้ ย

ดงั นนั้ (2 + 5)10 = (2 + 5)10 ∙ (2 + 5)
(2 +5)


= 10(2 + 5)9 ∙ (2) บางคนเรยี กตวั นวี้ า่ “ดิฟ๊ ไส”้
= 20(2 + 5)9

ตวั อยา่ งการใชก้ ฎลกู โซ่ เช่น

(2 2 − 3 + 5)4 = 4(2 2 − 3 + 5)3 ∙ (4 − 3)



√3 −2 = 1 (3 − 2)−12 ∙ (3) = 3 (3 − 2)−12

2 2

(3√ 12+2) = ( 2 + 2)−13 = − 1 ( 2 + 2)−34 ∙ (2 )

3

(( 2 + 2)3 + 2( 2 + 2)2 − 2) = (3( 2 + 2)2 + 4( 2 + 2))(2 )



(( 5 + 3)2 + 2( 5 + 3) + 1)10 = 10(( 5 + 3)2 + 2( 5 + 3) + 1)9(2( 5 + 3) + 2)(5 4)



อยา่ งไรกต็ าม บางคน เรยี กกฎลกู โซน่ วี้ า่ การหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั คอมโพสทิ (หรอื เรยี กวา่ ฟังกช์ นั ประกอบก็ได)้
เนอื่ งจาก (2 + 5)10 ในตวั อยา่ งก่อนหนา้ สามารถแบง่ เป็น 2 สว่ นได้ คือ สว่ นของ 2 + 5 กบั สว่ นการยกกาลงั 10

กลา่ วคอื ถา้ ให้ ( ) = 2 + 5 และ ( ) = 10
จะได้ ( ∘ )( ) = ( ( )) = (2 + 5) = (2 + 5)10

ถา้ เขยี นกฎลกู โซใ่ นแบบฟังกช์ นั คอมโพสทิ ก็จะได้ ( ∘ )′( ) = ( ( ))


= ( ( )) ∙ ( )
( ( ))

ดิฟ๊ โดยใช้ ( ) เป็นตวั แปร ดิฟ๊ ไส้

แคลคลู สั 31

โดยสตู รทน่ี ยิ มทอ่ งกนั คือ ( ∘ )′( ) = ′( ( )) ∙ ′( )

ดิฟ๊ โดยใช้ ( ) เป็นตวั แปร ดิฟ๊ ไส้

สง่ิ ท่ีตอ้ งระวงั เวลาใชส้ ตู รนี้ คอื เวลาหา ′( ( )) ใหด้ ิฟ๊ หา ′( ) ก่อน แลว้ คอ่ ยแทน ดว้ ย ( )
(เหมือนกบั เวลาหา ′(3) ก็ตอ้ งดฟิ๊ หา ′( ) กอ่ น แลว้ คอ่ ยแทน = 3 → หา้ ม แทน = 3 ก่อน คอ่ ยดิฟ๊ )

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = 2 2 + 1 และ ( ) = 2 + 2 + 5 จงหา ( ∘ )′( ) #
วธิ ีทา ใชส้ ตู ร ( ∘ )′( ) = ′( ( )) ∙ ′( )

หา ′( ( )) ตอ้ งหา ′( ) ก่อน จะได้ 2 + 2
แลว้ คอ่ ยแทน ดว้ ย ( ) จะได้ ′( ( )) = 2 ( ) + 2 = 2(2 2 + 1) + 2 = 4 2 + 4
และ ′( ) = 4 ดงั นนั้ ( ∘ )′( ) = (4 2 + 4)(4 ) = 16 3 + 16

แบบฝึกหดั 2. ( ) = 1
1. จงหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ตอ่ ไปนี้ 2+2 −5

1. ( ) = (2 3 + 1)100

3. ℎ( ) = √ 2 + 3 4. ( ) = ( 2 + 2 )2 − 3( 2 + 2 )

2. กาหนดให้ ( ) = 4 + 3 และ ( ) = √ จงหา

1. ( ∘ )′( ) 2. ( ∘ )′( )

32 แคลคลู สั

3. ให้ ( ) = 2 − 2 − 1 และ ( ∘ )( ) = 3 − 2 ถา้ (1) = 2 จงหา ′(1)

4. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ : → และ : → เป็นฟังกช์ นั โดยที่ 2

( ) = 3 3 ,

(1) = 8 และ ′(1) = 2 คา่ ของ ( ∘ )′(1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 53)/18]
3

5. ให้ R แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ : R → R , : R → R และ ℎ : R → R เป็นฟังกช์ นั ทม่ี ีอนพุ นั ธท์ กุ อนั ดบั
โดยท่ี ℎ( ) = 2 + 4 , ( ) = ℎ( ( ) − 1) และ ′(1) = ′(1) = 1
แลว้ คา่ ของ (1) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 55)/18]

6. กาหนดให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ : → และ : → เป็นฟังกช์ นั ท่ีหาอนพุ นั ธไ์ ดท้ กุ ∈
โดยที่ ( ) = 2 − 2 + 5 , ( ∘ )( ) = 6 + 2 4 − 2 3 + 2 − 2 + 5 และ (0) = 0
คา่ ของ ( ′ ∘ ′)(1) + ( ′ ∘ ′)(0) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 54)/42]

แคลคลู สั 33

อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั แฝง

ทผี่ า่ นมา ( ) จะมาใหเ้ ราดิฟ๊ แบบจะๆ กลา่ วคือ จะมาในรูป ( ) = “กอ้ นทจี่ ะดฟิ๊ ”
แตใ่ นบางกรณี ( ) อาจจะ “แฝง” มาในกอ้ นทจี่ ะดฟิ๊ ไดด้ ว้ ย

เชน่ ( ) = 2 − ( ) − 4 2 ( ) = (2 − 1) ( ) + 2

( ) = √ ( ) + 1 ( ) = 2 + 3( )

ในกรณีแบบนี้ ถา้ จะดิฟ๊ อาจจดั รูปให้ ( ) แยกไปอยเู่ ดยี่ วๆก่อน แลว้ คอ่ ยดิฟ๊ เชน่ ( ) = 2 − ( ) − 4 2

( ) + ( ) = 2 − 4 2

2 ( ) = 2 − 4 2

( ) = 1 − 2 2

′( ) = −4

จะเห็นวา่ วธิ ีนตี้ อ้ งลาบากจดั รูป และอาจใชไ้ มไ่ ดก้ บั บางกรณี

อีกวิธีหนงึ่ ทจ่ี ะดฟิ๊ ( ) ประเภทนไี้ ดโ้ ดยไมต่ อ้ งจดั รูปใหเ้ สยี เวลา คอื ใชว้ ธิ ี “ลยุ ดิฟ๊ ” มนั ทงั้ อยา่ งนนั้
โดยเราจะดฟิ๊ ตลอดทงั้ สมการ และ “ใชก้ ฎลกู โซเ่ มือ่ ตอ้ งดิฟ๊ พจนท์ ม่ี ี ( )”
ตวั อยา่ งการใชก้ ฎลกู โซเ่ พ่ือดฟิ๊ พจนท์ ม่ี ี ( ) เช่น ( ( ))3 = 3( ( ))2 ∙ ′( )



ดิฟ๊ โดยใช้ ( ) เป็นตวั แปร ดิฟ๊ ไส้

อยา่ งไรกต็ าม โจทยป์ ระเภทนี้ มกั นยิ มใช้ แทน ( ) เพราะเขียนงา่ ยกวา่

ตวั อยา่ งการดฟิ๊ พจนท์ ่มี ี เชน่ 3 = 3 2 ∙ ′


√ = 1 ( )−12 ∙ ′ = ′
2 2√

(1) = ( −1) = − −2 ∙ ′



( 2 + + 5)3 = 3( 2 + + 5)2(2 ∙ ′ + ′)



ตวั อยา่ ง จงหา เม่ือกาหนดให้ 2 + 2 = 4 #
#

วิธีทา ดิฟ๊ ทงั้ สองขา้ งของสมการ จะได้ 2 + 2 ∙ ′ = 0
ดงั นนั้ ′ = − 2 = −

2

ตวั อยา่ ง จงหา ที่จดุ (5, 0) เม่อื กาหนดให้ (2 2 + 5)2 = 2 + 2

วิธีทา ดิฟ๊ ทงั้ สองขา้ งของสมการ:
2(2 2 + 5) ∙ (4 ∙ ′) = 2 + 2 ′

แทน = 5 และ = 0: 2(2 ∙ 02 + 5) ∙ (4 ∙ 0 ∙ ′) = 2 ∙ 5 + 2 ′

0 = 10 + 2 ′

′ = −5

34 แคลคลู สั

แบบฝึกหดั 2. + = 3 2 ณ จดุ (2, 4)
1. จงหา ′ ณ จดุ ที่กาหนด ของความสมั พนั ธด์ งั ตอ่ ไปนี้

1. √ + √ = ณ จดุ (4, 4)

3. 2 + = 3 2 − ณ จดุ (1, 1)

แคลคลู สั 35

อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สงู

ถา้ เราเอาผลดิฟ๊ มาดิฟ๊ ตอ่ ไปอีกเที่ยว จะได้ “อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สอง”

เราจะแทนอนพุ นั ธอ์ นั ดบั สองดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ′′( ) หรอื 2 ( ) หรอื 2 ( )
2 2

หรอื ′′ หรอื 2 หรอื 2
2 2

ตวั อยา่ ง จงหาอนพุ นั ธอ์ นั ดบั 2 ของ ( ) = 4 − 2 3 + 3 2 − 2 + 5 #
#
วธิ ีทา ( ) = 4 − 2 3 + 3 2 − 2 + 5

′( ) = 4 3 − 6 2 + 6 − 2
′′( ) = 12 2 − 12 + 6

ทานองเดยี วกนั ถา้ ดิฟ๊ ตอ่ ไปอีก จะเรยี กวา่ อนพุ นั ธอ์ นั ดบั สาม

เราจะแทนอนพุ นั ธอ์ นั ดบั สามดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ′′′( ) หรอื 3 ( ) หรอื 3 ( )
3 3

หรอื ′′′ หรอื 3 หรอื 3
3 3

ทานองเดียวกนั ถา้ ดิฟ๊ ตอ่ ไปอีก จะเรยี กวา่ อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ส่ี
อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี 4 ขนึ้ ไป จะไมน่ ิยมใช้ ′′′′( ) แตจ่ ะใช้ (4)( ) แทน

อนพุ นั ธอ์ นั ดบั ท่ี ก็คอื การดิฟ๊ ไป เทยี่ ว แทนดว้ ยสญั ลกั ษณ์ ( )( ) หรอื ( ) หรอื ( )


หรอื ( ) หรอื หรอื


ตวั อยา่ ง จงหาอนพุ นั ธอ์ นั ดบั 4 ของ ( ) = (2 + 1)100 = 2 ∙ 100 ∙ (2 + 1)99
วิธีทา ′( ) = 100(2 + 1)99 ∙ (2)

′′( ) = 2 ∙ 100 ∙ 99 ∙ (2 + 1)98 ∙ (2) = 22 ∙ 100 ∙ 99 ∙ (2 + 1)98

′′′( ) = 22 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ (2 + 1)97 ∙ (2) = 23 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ (2 + 1)97

(4)( ) = 23 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ 97(2 + 1)96 ∙ (2) = 24 ∙ 100 ∙ 99 ∙ 98 ∙ 97 ∙ (2 + 1)96

แบบฝึกหดั
1. จงหาอนพุ นั ธอ์ นั ดบั 2 ของ ( ) = 3 + 2 + + 1

2. จงหาอนพุ นั ธอ์ นั ดบั 3 ของ ( ) = 1


36 แคลคลู สั

3. กาหนดให้ ( ) = 1 จงหาคา่ ของ (4) (1)
√2 −1

4. ให้ เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของเซตของจานวนจรงิ โดยที่ (2 + 1) = 4 2 + 14
คา่ ของ ( ′( ′′(2553))) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (ต.ค. 53)/47]

5. กาหนดให้ ( ) = 1 + และ ( ) = 2 + ถา้ ( ∘ )(0) = 1 และ ′′(−1) = 2 แลว้ ( )′ ( + )
2
เทา่ กบั เทา่ ใด [A-NET 50/1-21]

แคลคลู สั 37

6. ให้ แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ : → เป็นฟังกช์ นั ท่สี อดคลอ้ งกบั สมการ
( + ) = ( ) + ( ) + 3 2 + 3 2 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ และ และ lim ( ) = 2

x0

คา่ ของ ′(1) + ′′(5) เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 58)/35]

38 แคลคลู สั

ระยะทาง ความเรว็ ความเรง่

หวั ขอ้ หลายๆหวั ขอ้ ตอ่ ไปจะเป็นเรอื่ งของการนาอนพุ นั ธไ์ ปใชป้ ระโยชน์
ถา้ ยงั จาได้ อนพุ นั ธ์ ก็คอื อตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะใดๆ และในชวี ติ คนเรา มกั ตอ้ งพบกบั การเปลย่ี นแปลงหลายๆอยา่ ง
ตวั อยา่ งการเปลย่ี นแปลงอยา่ งหนง่ึ ทเี่ ราคนุ้ กนั ดี ก็คือ ระยะทาง ความเรว็ และความเรง่

“ความเรว็ ” คอื อตั ราการเปลยี่ นแปลงของ “ระยะทาง” เทียบกบั เวลา
เช่น ถา้ “เคลอ่ื นท่ไี ดร้ ะยะทางเพมิ่ ขนึ้ 60 เมตรในทกุ ๆ 1 วินาที” จะเรยี กวา่ “ขบั รถดว้ ยความเรว็ 60 เมตรตอ่ วนิ าที”
ความเรว็ จะเป็น 0 เม่ือวตั ถหุ ยดุ เคลอื่ น (เชน่ เมอ่ื โยนวตั ถขุ นึ้ ฟา้ จดุ ท่ีวตั ถพุ งุ่ ขนึ้ ไปไดส้ งู ทสี่ ดุ จะมคี วามเรว็ = 0)

“ความเรง่ ” คือ อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ “ความเรว็ ” เทียบกบั เวลา เชน่ วินาทีแรก ขบั 5 เมตรตอ่ วนิ าที

เชน่ ถา้ “เคลอื่ นทโ่ี ดยเพ่มิ ความเรว็ 10 เมตรตอ่ วินาที ในทกุ ๆ 1 วนิ าที” วนิ าทตี อ่ มา ขบั 15 เมตรตอ่ วินาที
วินาทตี อ่ มาเป็น 25 เมตรตอ่ วนิ าที

จะเรยี กวา่ “ขบั รถดว้ ยความเรง่ 10 เมตรตอ่ วนิ าที ตอ่ วินาที” หรอื “10 เมตรตอ่ วนิ าทยี กกาลงั สอง”

ความเรง่ จะเป็น 0 เมือ่ วตั ถไุ มเ่ ปลย่ี นความเรว็ (= เมอ่ื เคลอื่ นท่ดี ว้ ยความเรว็ คงท)ี่

สรุป ความเรว็ = ดิฟ๊ ระยะทาง
ความเรง่ = ดิฟ๊ ความเรว็ = ดิฟ๊ ระยะทางสองเทย่ี ว

ในเรอื่ งนี้ จะใชต้ วั แปร แทน และใช้ ( ) แทน ( ) โดยท่ี ( ) หมายถงึ ระยะทาง
( ) หมายถงึ ความเรว็ = ′( )
( ) หมายถงึ ความเรง่ = ′( ) = ′′( )

ตวั อยา่ ง กาหนด ( ) = 2 + 5 − 2 จงหาความเรว็ และความเรง่ ณ เวลา = 2 #
วิธีทา หาความเรว็ โดยการดฟิ๊ ระยะทาง จะได้ ( ) = ′( ) = 2 + 5

ดงั นนั้ ท่ี = 2 จะไดค้ วามเรว็ = 2(2) + 5 = 9
หาความเรง่ โดยการดฟิ๊ ความเรว็ จะได้ ( ) = ′( ) = 2
จะเห็นวา่ ความเรง่ เทา่ กบั 2 โดยไมข่ นึ้ กบั น่นั คือ ท่ี = 2 ก็จะไดค้ วามเรง่ = 2
น่นั คือ ณ เวลา = 2 จะมีความเรว็ 9 และความเรง่ 2

ตวั อยา่ ง กาหนด ( ) = 3 − 6 2 + 3 + 15 จงหาระยะทาง และความเรว็ ขณะทคี่ วามเรง่ เป็นศนู ย์

วิธีทา จะได้ ( ) = 3 2 − 12 + 3

( ) = 6 −12

ขณะทค่ี วามเรง่ เป็นศนู ย์ จะได้ ( ) = 0 → 0 = 6 −12 → = 12 = 2
6
แทน = 2 เพอื่ หา ระยะทางและความเรว็

ระยะทาง: (2) = 23 − 6(22) + 3(2) + 15 = 5

ความเรว็ : (2) = 3(22) − 12(2) + 3 = −9 #

แคลคลู สั 39

แบบฝึกหดั
1. กาหนดให้ ( ) = 3 − 2 2 + 3 + 4 จงหาความเรว็ และความเรง่ เม่ือ = 2

2. กาหนดให้ ( ) = 5 2 + 2 − 3 จงหาความเรง่ ณ เวลา = 1

3. โยนลกู บอลขนึ้ ไปในอากาศ โดยลกู บอลเคลอ่ื นทด่ี ว้ ยสมการ ( ) = 4 − 2 จงหาวา่ ลกู บอลเคลอ่ื นทไ่ี ดส้ งู
เทา่ ไหรก่ อ่ นจะตกลงมา

40 แคลคลู สั

กฎของโลปิตาล

ประโยชนอ์ ีกอยา่ งของอนพุ นั ธ์ คอื สามารถช่วยหา “ลมิ ติ ของฟังกช์ นั “ ได้

โดยเวลาหา lim ( ) เราจะแทน ลงไปใน ( ) ก่อน
xa

กรณีทสี่ รา้ งความลาบากใหเ้ ราทสี่ ดุ คือกรณีทแ่ี ทนแลว้ ได้ 0 ซง่ึ ทาใหเ้ ราจดั รูปใหมเ่ พอื่ ให้ ( − ) โผลม่ าตดั กนั
0

แตด่ ว้ ยกฎของโลปิตาล จะชว่ ยใหเ้ ราหาลมิ ติ ในกรณี 0 ไดง้ ่ายขนึ้
0

กฎของโลปิตาลกลา่ ววา่ ในกรณที ีแ่ ทน ดว้ ย แลว้ ได้ 0 ใหเ้ รา “ดฟิ๊ เศษ 1 ที และ ดฟิ๊ สว่ น 1 ที แลว้ คอ่ ยแทนใหม”่
0

และถา้ แทนใหมแ่ ลว้ ยงั ได้ 0 อีก ก็ใหด้ ิฟ๊ เศษกบั สว่ นตอ่ ไปอีกที แลว้ แทนใหม่ ทาเช่นนไี้ ปเรอื่ ยๆจนกวา่ จะหลดุ จากกรณี 0
00

ตวั อยา่ ง จงหา lim 2−3 +2
x2 2 2+ −10

วิธีทา แทน 2 ลงไปดู จะได้ 0
0
ใชก้ ฎของโลปิตาล ดฟิ๊ บน ได้ 2 − 3 ดิฟ๊ ลา่ ง ได้ 4 + 1

ดงั นนั้ lim 2−3 +2 = lim 2 −3 = 2∙2−3 = 1 #
x2 2 2+ −10 4 +1 4∙2+1 9
x2

ตวั อยา่ ง จงหาคา่ ของ lim √ +2−1
√ +5−2
x  1

วธิ ีทา แทน −1 ลงไปดู จะได้ 0
0
ใชก้ ฎของโลปิตาล ดฟิ๊ บน ได้ 1 ( + 2)−21 ∙ (1) = 1 ( + 2)−12
22
ดิฟ๊ ลา่ ง ได้ 1 ( + 5)−12 ∙ (1) = 1 ( + 5)−21
22
21( +2)−12
ดงั นนั้ lim √ +2−1 = lim 12( +5)−21 = lim √ +5 = √4 = 2 #
x  1 √ +5−2 √ +2 √1
x  1 x  1

หมายเหต:ุ กฎของโลปิตาล เป็นคนละเรอื่ งกบั การ “ดิฟ๊ ผลหาร”

กฎของโลปิตาล จะใชห้ า lim บน ในกรณีที่แทนแลว้ ได้ 0 โดยโลปิตาลบอกวา่ ใหไ้ ปหา lim ดิ๊ฟบน แทน
ลา่ ง 0 ดิ๊ฟลา่ ง
xa xa

แตถ่ า้ เราจะหา √ +2−1 จะยงั ตอ้ งใชส้ ตู ร (ลบา่ นง) = (ลา่ ง∙ บน)−(บน∙ ลา่ ง) จะหาจาก ดิฟ๊ บน ไมไ่ ด้
√ +5−2 ลา่ ง2 ดิฟ๊ ลา่ ง

แบบฝึกหดั

1. จงหาลมิ ติ ของฟังกช์ นั ตอ่ ไปนดี้ ว้ ยกฎของโลปิตาล

1. lim 3 2+2 −1 2. lim 2−5 +4
x  1 2−1 x  1 √ −1

แคลคลู สั 41

3. lim 2−3 +2 4. lim 3−3 +2
x2 2−4 +4 x 1 3−4 2+5 −2

2. กาหนดให้ ℝ แทนเซตของจานวนจรงิ ให้ : ℝ → ℝ เป็นฟังกช์ นั ทสี่ ามารถหาอนพุ นั ธไ์ ด้ และสอดคลอ้ งกบั
lim 2+ −6 = 6 และ 1 + ( ) ≥ 0 สาหรบั ทกุ จานวนจรงิ

x2 √1+ ( )−3

ถา้ เสน้ ตรง 6 − = 4 ตดั กบั กราฟ = ( ) ท่ี = 2 แลว้ คา่ ของ ′(2) เทา่ กบั เทา่ ใด
[PAT 1 (ต.ค. 58)/33]

3. ให้ ℝ แทนเซตของจานวนจรงิ ถา้ : ℝ → ℝ เป็นฟังกช์ นั โดยที่ (3) = 111 และ lim ( )−333 = 2013
x3 −3
แลว้ อตั ราการเปลย่ี นแปลงของ ( ) เทยี บกบั ขณะที่ = 3 เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (เม.ย. 57)/42]

42 แคลคลู สั

ความชนั เสน้ โคง้

“ความชนั เสน้ โคง้ = ( )” หมายถงึ ความชนั ของเสน้ ตรงท่ีลากมาสมั ผสั กราฟ = ( ) ณ จดุ ท่กี าหนด
โดยความชนั ดงั กลา่ ว จะหาไดจ้ ากการแทนคา่ ของจดุ ทตี่ อ้ งการลงไปใน ′( )
สรุปคอื ความชนั = ′( )

ตวั อยา่ ง จงหาความชนั ของเสน้ สมั ผสั โคง้ = 2 ณ จดุ = 1

ความชนั = ?

1 #
#
วธิ ีทา ดิฟ๊ หนงึ่ ที จะไดส้ มการความชนั คือ ′ = 2
ดงั นนั้ ความชนั เสน้ สมั ผสั โคง้ ท่ี = 1 คือ ′ = (2)(1) = 2 #

ตวั อยา่ ง จงหาความชนั ของเสน้ โคง้ = (2 2 − 1)3 ท่ี = −1
วธิ ีทา ดิฟ๊ หนง่ึ ที จะไดส้ มการความชนั คอื ′ = 3(2 2 − 1)2(4 )

ดงั นนั้ ความชนั ท่ี = −1 คอื ′ = 3(2 ∙ (−1)2 − 1)2 ∙ (4 ∙ −1) = −12

ตวั อยา่ ง จงหาจดุ บนเสน้ โคง้ = 3 − 6 2 + 2 − 5 ท่มี คี วามชนั เทา่ กบั 2

วิธีทา ดิฟ๊ หนงึ่ ที จะไดส้ มการความชนั คือ ′ = 3 2 − 12 + 2 ขอ้ นี้ ตอ้ งหาวา่ ตรงไหนทม่ี ี ′ = 2

น่นั คอื ตอ้ งแกส้ มการ 2 = 3 2 − 12 + 2
0 = 3 2 − 12
0 = 3 ( − 4)

= 0 , 4

ถา้ = 0 จะได้ = 03 − 6 ∙ 02 + 2 ∙ 0 − 5 = −5
ถา้ = 4 จะได้ = 43 − 6 ∙ 42 + 2 ∙ 4 − 5 = −29
ดงั นนั้ จดุ บนเสน้ โคง้ ท่มี ีความชนั เทา่ กบั 2 คือ (0, −5) และ (4, −29)

ในเรอื่ งนี้ เรามกั ตอ้ งวาดรูปกราฟเพอ่ื ทาความเขา้ ใจสง่ิ ท่ีโจทยถ์ าม
โดยความชนั แบบตา่ งๆ จะมีความหมายดงั นี้

ชนั = 0 ชนั = +นอ้ ยๆ ชนั = +1 ชนั = +มากๆ หาความชนั ไมไ่ ด้

ชนั = −นอ้ ยๆ ชนั = −1 ชนั = −มากๆ

แคลคลู สั 43

โจทยใ์ นหวั ขอ้ นี้ มกั จะนาไปออกรว่ มกบั ความรูเ้ รอ่ื งกราฟเสน้ ตรง ซง่ึ มสี ตู รทค่ี วรทราบดงั นี้

สมการกราฟเสน้ ตรง ท่ีมคี วามชนั เทา่ กบั และตดั แกน Y ท่ี คือ = +

สมการกราฟเสน้ ตรง ทม่ี คี วามชนั เทา่ กบั และผา่ นจดุ ( , ) คือ − =
−
เสน้ ตรงท่ขี นานกนั จะมคี วามชนั เทา่ กนั เสน้ ตรงที่ตงั้ ฉากกนั จะมีความชนั คณู กนั ได้ −1

ตวั อยา่ ง จงหาสมการกราฟเสน้ ตรงทีส่ มั ผสั โคง้ = 2 ที่ = 1

สมการคือ ?

1

วิธีทา หาความชนั ของเสน้ สมั ผสั กอ่ น โดยแทน = 1 ใน ′ = 2 ได้ ความชนั = 2(1) = 2

จากโจทย์ จดุ สมั ผสั จะมีพิกดั เป็น 1 ดงั นนั้ หาพกิ ดั ไดโ้ ดยแทน = 1 ในสมการโคง้ = 2 ได้ = 1

ดงั นนั้ จะไดพ้ ิกดั ของจดุ สมั ผสั คอื (1, 1)

จากสตู ร จะไดส้ มการกราฟเสน้ ตรงทม่ี คี วามชนั 2 และผา่ นจดุ (1, 1) คือ −1 = 2

−1

− 1 = 2( − 1)

− 1 = 2 − 2

= 2 − 1

น่นั คอื สมการกราฟเสน้ ตรงทต่ี อ้ งการ คือ = 2 − 1 #

ตวั อยา่ ง จงหาสมการเสน้ ตรงทตี่ งั้ ฉากกบั เสน้ สมั ผสั กราฟ = 2 − 2 + 5 ทจี่ ดุ (0, 5)

วธิ ีทา สมการความชนั คือ ′ = 2 − 2 ดงั นนั้ เสน้ สมั ผสั กราฟท่ี (0, 5) จะมคี วามชนั คอื (2)(0) − 2 = −2

เน่ืองจาก เสน้ ตรงท่ตี งั้ ฉากกนั ตอ้ งมีความชนั คณู กนั ได้ −1

ดงั นนั้ เสน้ ตรงทตี่ งั้ ฉากกบั เสน้ สมั ผสั นี้ ตอ้ งมคี วามชนั = 1 เพราะ – 2 × 1 = −1
22
1 −5 1
จากสตู ร จะไดส้ มการเสน้ ตรงทมี่ คี วามชนั 2 และ ผา่ นจดุ (0, 5) คอื −0 = 2 ซงึ่ จดั รูปไดเ้ ป็น = 2 + 5

ดงั นนั้ สมการเสน้ ตรงทต่ี อ้ งการ คอื = +5 #
2

แบบฝึกหดั 2. ( ) = √ + 1 เมอื่ = 3
1. จงหาความชนั ของเสน้ โคง้ ณ จดุ ทกี่ าหนด

1. ( ) = 2 − 2 − 1 เมอ่ื = 0

2. จงหาสมการเสน้ ตรงทส่ี มั ผสั โคง้ = 1 − 2 ท่ี = 1

44 แคลคลู สั

3. จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีตงั้ ฉากกบั สมั ผสั โคง้ = 1 ท่ี = −2


4. กาหนดให้ C เป็นเสน้ โคง้ = 3 4−2 เมอ่ื > 0 และให้ L เป็นเสน้ ตรงที่สมั ผสั กบั เสน้ โคง้ C ทจี่ ดุ (1, 1)
3
ถา้ เสน้ ตรง L ตดั กบั พาราโบลา ( − 1) = − 1 ที่จดุ A และจดุ B

แลว้ ระยะหา่ งระหวา่ งจดุ A และจดุ B เทา่ กบั เทา่ ใด [PAT 1 (มี.ค. 56)/20]

5. เสน้ ตรงซงึ่ ตดั ตงั้ ฉากกบั เสน้ สมั ผสั ของเสน้ โคง้ = 2 3 − 1 ท่จี ดุ = 1 คอื เสน้ ตรงในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้
√
[PAT 1 (ก.ค. 52)/34]

1. 13 − 2 − 11 = 0 2. 13 + 2 − 15 = 0

3. 2 − 13 + 11 = 0 4. 2 + 13 − 15 = 0

แคลคลู สั 45

6. กาหนดให้ เป็นเสน้ โคง้ = 2 + | − 1| เมือ่ เป็นจานวนจรงิ ถา้ เป็นเสน้ ตรงท่สี มั ผสั กบั เสน้ โคง้ ท่ี

จดุ (0, 2) และให้ เป็นเสน้ ตรงที่ตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรง ณ จดุ (0, 2) แลว้ เสน้ ตรง ผา่ นจดุ ในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้

[PAT 1 (ต.ค. 58)/14]

1. (−1, 3) 2. (1, 5) 3. (−2, 5)

4. (3, −2) 5. (−3, 4)

7. กาหนดให้ :R→ R โดยท่ี ( ) = 2

3

ถา้ N เป็นเสน้ ตรงทต่ี งั้ ฉากกบั เสน้ สมั ผสั กราฟของ ( ) ท่จี ดุ ( , ( )) , > 0

และ N มีระยะตดั แกน เทา่ กบั 5 หนว่ ย แลว้ ขอ้ ใดเป็นพกิ ดั ของจดุ บนเสน้ ตรง N [PAT 1 (ธ.ค. 54)/17]
2
1. (−2, 7) 2. (−1, 4) 3. (2, −4) 4. (3, −5)

8. กาหนดให้ และ เป็นฟังกช์ นั ซง่ึ มีโดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจรงิ โดยทงั้ และ เป็นฟังกช์ นั ท่ี

สามารถหาอนพุ นั ธไ์ ด้ และสอดคลอ้ งกบั ( ∘ )( ) = √ 2 + 5 สาหรบั ทกุ ท่อี ยใู่ นโดเมนของ ∘

และ ∫ ( ) = 2 − 4 + เมื่อ เป็นคา่ คงตวั ถา้ เป็นเสน้ ตรงทส่ี มั ผสั เสน้ โคง้ = ( ) ณ = 0

แลว้ เสน้ ตรง ตงั้ ฉากกบั เสน้ ตรงทีม่ สี มการตรงกบั ขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (พ.ย. 57)/16]

1. + − 3 = 0 2. 2 + − 7 = 0

3. 3 + − 5 = 0 4. 5 + − 2 = 0

46 แคลคลู สั

ฟังกช์ นั เพิม่ – ฟังกช์ นั ลด

ถา้ ยงั จาได้ ′( ) ก็คือ อตั ราการเปลยี่ นแปลงขณะใดๆ
 ถา้ ′( ) เป็นบวก แปลวา่ อตั ราการเปลยี่ นแปลงเป็นบวก หมายถึง ( ) เปลย่ี นแบบเพ่ิมขนึ้
หมายความวา่ ( ) เพิม่ ขนึ้ เมือ่ เพมิ่ ขนึ้ และ ( ) ลดลง เมอื่ ลดลง
ในกรณีนี้ เราจะเรยี กวา่ ( ) เป็น “ฟังกช์ นั เพ่ิม”
 ถา้ ′( ) เป็นลบ แปลวา่ อตั ราการเปลยี่ นแปลงเป็นลบ หมายถงึ ( ) เปลย่ี นแบบลดลง
หมายความวา่ ( ) ลดลง เม่ือ เพมิ่ ขนึ้ และ ( ) เพ่มิ ขนึ้ เม่อื ลดลง
ในกรณีนี้ เราจะเรยี กวา่ ( ) เป็น “ฟังกช์ นั ลด”

สรุป: ถา้ คา่ ตรงไหนทท่ี าให้ ′( ) เป็นบวก แปลวา่ ( ) เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ ที่ตรงนนั้
ถา้ คา่ ตรงไหนทท่ี าให้ ′( ) เป็นลบ แปลวา่ ( ) เป็นฟังกช์ นั ลดทต่ี รงนนั้
สว่ นคา่ ทที่ าให้ ′( ) = 0 คอื จดุ เปลย่ี นสถานะของฟังกช์ นั

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = 2 − 2 จงพจิ ารณาวา่ ( ) เป็นฟังกช์ นั เพ่ิม หรอื ลด เมอ่ื = 3 #
วธิ ีทา จะได้ ′( ) = 2 − 2 ดงั นนั้ ′(3) = 2(3) − 2 = 4 เป็นบวก #

ดงั นนั้ ( ) เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ ท่ี = 3

ตวั อยา่ ง กาหนดให้ ( ) = 3 − 3 2 − 9 + 1 จงหาคา่ ทที่ าให้ ( ) เป็นฟังกช์ นั ลด

วิธีทา จะได้ ′( ) = 3 2 − 6 − 9

ดงั นนั้ ( ) จะเป็นฟังกช์ นั ลด เม่ือ 3 2 − 6 − 9 < 0 +−+
−1 3
2 − 2 − 3 < 0
( − 3)( + 1) < 0

จะได้ ( ) เป็นฟังกช์ นั ลด เม่ือ ∈ (−1, 3)

แบบฝึกหดั

1. จงพจิ ารณาวา่ ( ) ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ หรอื ฟังกช์ นั ลด ณ คา่ ท่ีกาหนด

1. ( ) = 2 2 − 3 + 5 เมื่อ = 1 2. ( ) = √ 2 − + 1 เมือ่ = 0

3. ( ) = 1 เมือ่ = −1 4. ( ) = (1 − 2 )100 เมอ่ื = 1
2+ −2

แคลคลู สั 47

2. จงพจิ ารณาวา่ ( ) ในแตล่ ะขอ้ ตอ่ ไปนี้ เป็นฟังกช์ นั เพิ่มเมือ่ มคี า่ อยใู่ นช่วงใด

1. ( ) = 2 − 6 + 5 2. ( ) = 3 − 6 2 + 9 + 6

3. กาหนดให้ ( ) = 4 − 3 2 + 7 เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ บนเซตในขอ้ ใดตอ่ ไปนี้ [PAT 1 (มี.ค. 52)/33]
1. (−3, −2) ∪ (2, 3) 2. (−3, −2) ∪ (1, 2)
3. (−1, 0) ∪ (2, 3) 4. (−1, 0) ∪ (1, 2)

4. ให้ เป็นฟังกช์ นั หนง่ึ ตอ่ หนง่ึ ซงึ่ มโี ดเมนและเรนจเ์ ป็นสบั เซตของจานวนจรงิ โดยท่ี −1( ) = 2 สาหรบั ทกุ
+1
สมาชิก ในเรนจข์ อง ขอ้ ใดตอ่ ไปนถี้ กู ตอ้ งบา้ ง [PAT 1 (ต.ค. 58)/15]
1. 2 ′(4) − (4) = 3
2. ′′( (4)) = ( ′′(4))
3. เป็นฟังกช์ นั เพม่ิ บนชว่ ง (0, 2)

48 แคลคลู สั

คา่ สงู สดุ ตา่ สดุ

ประโยชนข์ องอนพุ นั ธ์ ทีด่ จู ะเป็นประโยชนก์ บั เรามากกวา่ อนั อืน่ คอื การนาอนพุ นั ธไ์ ปใชห้ าคา่ สงู สดุ หรอื คา่ ต่าสดุ ได้
โจทยท์ ี่จะเจอในเรอ่ื งนี้ เชน่ กาหนด ( ) = 2 − 2 + 5 แลว้ ถามวา่ ( ) จะมีคา่ นอ้ ยทสี่ ดุ ไดเ้ ทา่ กบั เทา่ ไหร่
สมมตวิ า่ เราไมเ่ คยเรยี นเรอื่ งอนพุ นั ธม์ ากอ่ น เราอาจจะใชแ้ รง ลยุ แทน ดว้ ยคา่ ตา่ งๆลงไปดู จะไดค้ า่ ( ) ดงั นี้

( )
−2 (−2)2 − 2(−2) + 5 = 13
−1 (−1)2 − 2(−1) + 5 = 8
0 (0)2 − 2( 0 ) + 5 = 5
1 (1)2 − 2( 1 ) + 5 = 4
2 (2)2 − 2( 2 ) + 5 = 5
3 (3)2 − 2( 3 ) + 5 = 8

จากการลยุ แทนคา่ จะพอเดาไดว้ า่ = 1 นา่ จะได้ ( ) มคี า่ ต่าสดุ เทา่ กบั 4

อยา่ งไรก็ตาม เราสามารถนาความรูเ้ รอ่ื งอนพุ นั ธม์ าหาคา่ สงู สดุ หรอื คา่ ต่าสดุ ได้ โดยอาศยั แนวคดิ ตอ่ ไปนี้
 จดุ ต่าสดุ จะเป็นจดุ ที่ ( ) เปลย่ี นสถานะจากขาลง เป็นขาขนึ้
 จดุ สงู สดุ จะเป็นจดุ ท่ี ( ) เปลยี่ นสถานะจากขาขนึ้ เป็นขาลง

จากหวั ขอ้ ทแ่ี ลว้ เรอ่ื งฟังกช์ นั เพมิ่ – ฟังกช์ นั ลด จดุ ที่ ( ) เปลย่ี นสถานะดงั กลา่ ว ก็คือจดุ ท่ี ′( ) = 0 น่นั เอง
โดยเราจะเรยี กจดุ ท่ี ( ) เปลยี่ นจากขาลงเป็นขาขนึ้ หรอื ขาขนึ้ เป็นขาลง วา่ “จดุ วกกลบั ”
และจะเรยี กคา่ ทจ่ี ดุ วกกลบั นี้ วา่ “คา่ วิกฤติ”

ตวั อยา่ ง จงหาจดุ วกกลบั ของ ( ) = 2 − 2 + 5 #
วิธีทา จะได้ ′( ) = 2 − 2

เนื่องจากจดุ วกกลบั คือจดุ ที่ ′( ) = 0 ดงั นนั้ ให้ 2 − 2 = 0 จะได้ = 1 (= คา่ วกิ ฤต)ิ
แทน = 1 ลงไปในสมการ ( ) เพ่อื หาคา่ จะได้ (1) = 12 − 2(1) + 5 = 4
ดงั นนั้ จะไดจ้ ดุ วกกลบั คอื (1 , 4)

จะเหน็ วา่ จดุ วกกลบั อาจจะเป็นไดท้ งั้ แบบทเี่ ปลย่ี นจาก “ขาลงเป็นขาขนึ้ ” และ แบบ “ขาขนึ้ เป็นขาลง”
จดุ วกกลบั จงึ อาจเป็นไดท้ งั้ จดุ ต่าสดุ หรอื จดุ สงู สดุ ก็ได้
เชน่ ในตวั อยา่ งขา้ งบน เราจะไมร่ ูว้ า่ (1 , 4) เป็นจดุ ตา่ สดุ หรอื จดุ สงู สดุ

ถา้ อยากรูว้ า่ (1 , 4) เป็นจดุ ต่าสดุ หรอื จดุ สงู สดุ วิธีงา่ ยๆ คือ ใชแ้ รงลยุ แทนคา่ รอบๆ = 1 ดู
โดยเราจะเอาคา่ ของจดุ รอบๆ มาเทยี บกบั 4
เชน่ แทน = 0 จะได้ ( ) = (0)2 − 2(0) + 5 = 5 → มากกวา่ 4

แทน = 2 จะได้ ( ) = (2)2 − 2(2) + 5 = 5 → มากกวา่ 4
จะเห็นวา่ จดุ ขา้ งๆตา่ งก็มคี า่ สงู กวา่ 4 ดงั นนั้ (1, 4) เป็นจดุ ต่าสดุ