คณิตศาสตร์-ม.5

คณติ ศาสตร์
5ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

แผนผงั สาระการเรียนรู้
1. พสิ ยั 2. ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ 3. ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย

การวดั การกระจาย
ของข้อมูล

5. การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ 4. ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน

ความแปรปรวน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

ตวั ช้ีวดั
เขา้ ใจและใชค้ วามรู้ทางสถิติในการนาเสนอขอ้ มูล และแปลความหมายของคา่ สถิติ
เพื่อประกอบการตดั สินใจ (ค 3.1 ม.6/1)

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

หน่วยการเรียนรู้ท่ี 5

การวดั การกระจายของข้อมูล

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

การวดั การกระจายของข้อมูล

การทราบคา่ กลางของขอ้ มลู เพียงอยา่ งเดียวยงั ไม่เพียงพอที่จะอธิบายถึงการแจกแจง
ของขอ้ มูลชุดน้นั

ดงั น้นั เพอ่ื ใหเ้ ห็นลกั ษณะของขอ้ มลู ไดช้ ดั เจนยงิ่ ข้ึน จึงควรทราบท้งั คา่ กลางขอ้ มูล
และการกระจายของขอ้ มูลดว้ ย

• ถา้ ขอ้ มลู ชุดน้นั ประกอบดว้ ยคะแนนท่ีมีค่าต่างกนั มาก
เรียกว่า เป็ นข้อมูลทม่ี กี ารกระจายมาก

• ถา้ ขอ้ มูลชุดน้นั ประกอบดว้ ยคะแนนที่มีคา่ ต่างกนั นอ้ ย
เรียกว่า เป็ นข้อมูลทม่ี กี ารกระจายน้อย

• ถา้ ขอ้ มลู ชุดน้นั ประกอบดว้ ยคะแนนท่ีมีค่าเท่ากนั หมด
เรียกว่า เป็ นข้อมูลทไ่ี ม่มกี ารกระจาย

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ตวั อย่าง
ตารางแสดงขอ้ มลู ซ่ึงมีการกระจายต่างกนั

จะเห็นไดว้ า่
การทราบเพียงค่าแนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางเพยี งอยา่ งเดียวกอ็ าจอธิบายลกั ษณะ
ของขอ้ มลู ไดไ้ ม่สมบูรณ์ ถา้ ทราบลกั ษณะการกระจายดว้ ยกจ็ ะช่วยใหเ้ ขา้ ใจเก่ียวกบั
ขอ้ มลู ละเอียดข้ึนและเป็นประโยชน์มาก

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

การวดั การกระจายของข้อมูล

การวดั การกระจายสัมบูรณ์ (absolute variation) การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ (relative variation)

การวดั การกระจายของขอ้ มูลเพียงชุดเดียว การวดั การกระจายของขอ้ มลู ท่ีมากกวา่ 1 ชุด
เพือ่ ดูวา่ ขอ้ มูลชุดน้นั แต่ละคา่ มีความแตกต่างกนั โดยใชอ้ ตั ราส่วนของคา่ ท่ีไดจ้ ากการวดั การ
มากหรือนอ้ ยเพยี งใด กระจายสมั บรู ณ์กบั คา่ กลางของขอ้ มูลน้นั ๆ
เพือ่ ใชใ้ นการเปรียบเทียบการกระจายของ
พิสยั ขอ้ มูลเหล่าน้นั

ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ สมั ประสิทธ์ิของพสิ ยั
ส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย
สมั ประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์
ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน
สมั ประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย

สมั ประสิทธ์ิของความแปรผนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

1. พสิ ัย (range)

เป็นค่าท่ีใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มูล โดยการหาความแตกต่างระหวา่ งคา่ สูงสุดกบั
คา่ ต่าสุดของขอ้ มูลชุดใดชุดหน่ึง ซ่ึงอาจอยใู่ นรูปของคา่ ผลต่างระหวา่ งค่าสูงสุดกบั คา่ ต่าสุด

ใชเ้ พยี งค่าสูงสุดและค่าต่าสุดในการคานวณ

ถ้าพสิ ัยมีค่ามากแสดงว่า มกี ารกระจายมาก

ถ้าพสิ ัยมคี ่าน้อยแสดงว่า มีการกระจายน้อย

การวดั การกระจายดว้ ยคา่ พิสยั มกั ใชค้ วบคกู่ บั การวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลาง
ดว้ ยค่าฐานนิยม (mode) หรือการวดั แนวโนม้ เขา้ สู่ส่วนกลางวธิ ีอื่น ๆ ในกรณีที่มีขอ้ มูล
จานวนนอ้ ยหรือเมื่อตอ้ งการทราบการกระจายอยา่ งคร่าว ๆ โดยรวดเร็ว

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

วธิ ีการหาค่าพสิ ัยในกรณขี องข้อมูลทไี่ ม่ได้แจกแจงความถี่
ใชส้ ูตร พิสยั = ค่าสูงสุด – ค่าต่าสุด
หรือ พิสยั = Xmax – Xmin
โดยที่ Xmax คือ ค่าสูงสุดของขอ้ มลู
Xmin คือ คา่ ต่าสุดของขอ้ มูล

วธิ ีการหาค่าพสิ ัยในกรณีของข้อมูลทแ่ี จกแจงความถี่โดยแบ่งเป็ นอนั ตรภาคช้ัน
ใชส้ ูตร
พสิ ัย = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคช้นั สูงสุด – ขอบเขตลา่ งของอนั ตรภาคช้นั ต่าสุด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

ตวั อย่างที่ 1

จากขอ้ มูล 49 34 57 28 63 42 59 ใหน้ กั เรียนหาพสิ ยั ของขอ้ มลู

วธิ ีทา
จะได้ Xmax = 63
และ Xmin = 28
พสิ ัย = Xmax – Xmin
= 63 – 28

= 35

ดงั น้นั พสิ ัยของขอ้ มลู ชุดน้ี คือ 35

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

ตัวอย่างท่ี 2

กาหนดตารางแจกแจงความถ่ี ดงั น้ี วธิ ีทา จากตาราง

จากขอ้ มูลท่ีกาหนดให้ ขอบเขตบนของอนั ตรภาคช้นั สูงสุด = 30
ใหน้ กั เรียนหาพิสัยของขอ้ มลู ขอบเขตลา่ งของอนั ตรภาคช้นั ต่าสุด = 7

พสิ ัย = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคช้นั สูงสุด
– ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคช้นั ต่าสุด

= 30 – 7
= 23
ดงั น้นั พสิ ยั ของขอ้ มูล คือ 23 คะแนน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

ตัวอย่างที่ 3

กาหนดตารางแจกแจงความถ่ี ดงั น้ี วธิ ีทา จากตาราง

จากขอ้ มูลที่กาหนด ขอบเขตบนของอนั ตรภาคช้นั สูงสุด = 89.5
ใหน้ กั เรียนหาพสิ ยั ของขอ้ มูล ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคช้นั ต่าสุด = 49.5

พสิ ัย = ขอบเขตบนของอนั ตรภาคช้นั สูงสุด
– ขอบเขตล่างของอนั ตรภาคช้นั ต่าสุด

= 89.5 – 49.5
= 40
ดงั น้นั พสิ ัยของขอ้ มลู คือ 40 คะแนน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

2. ส่วนเบยี่ งเบนควอร์ไทล์ (quartile deviation)

เป็นคา่ ที่ใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มลู รอบ ๆ ค่ามธั ยฐาน (median) ซ่ึงมีคา่ เท่ากบั
คร่ึงหน่ึงของผลต่างระหวา่ งควอร์ไทลท์ ่ี 3 กบั ควอร์ไทลท์ ่ี 1

มีคา่ เท่ากบั คร่ึงหน่ึงของผลตา่ งระหวา่ งควอร์ไทลท์ ี่ 3 กบั ควอร์ไทลท์ ่ี 1

ถ้าส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์มีค่ามากแสดงว่ามีการกระจายมาก

ถ้าส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์มคี ่าน้อยแสดงว่ามีการกระจายน้อย
โดยใชส้ ญั ลกั ษณ์ “Q.D.” แทนส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์

วธิ ีการหาค่าส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์

ใชส้ ูตร Q.D. = Q3 – Q1 โดยท่ี Q.D. คือ ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์
2 Q3 คือ ควอร์ไทลท์ ี่ 3
Q1 คือ ควอร์ไทลท์ ี่ 1

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ตวั อย่างท่ี 1

ใหน้ กั เรียนหาคา่ ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลก์ รณีขอ้ มูลไม่ไดแ้ จกแจงความถี่
18 15 19 20 16 12 21 27 28 14 12

วธิ ีทา เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามากได้ ดงั น้ี

12 12 14 15 16 18 19 20 21 27 28
11 + 1
หาตาแหน่งท่ีของ Q1 คือ 4 = 3

Q1 อยใู่ นตาแหน่งท่ี 3 ของขอ้ มูล ตรงกบั ขอ้ มลู คือ 14

ดงั น้นั Q1 เท่ากบั 14 3(11 + 1) = 9
หาตาแหน่งที่ของ Q3 คือ 4

Q3 อยใู่ นตาแหน่งที่ 9 ของขอ้ มลู ตรงกบั ขอ้ มลู คือ 21

ดงั น้นั Q3 เท่ากบั 21

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

จากสูตรการหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ Q.D. = Q3 – Q1
จะได้ 2
21 – 14
ดงั น้นั ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ คือ 3.5 = 2

= 3.5

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ตัวอย่างที่ 2

ใหน้ กั เรียนหาค่าส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลก์ รณีขอ้ มลู ไม่ไดแ้ จกแจงความถี่
58 35 28 80 66 52 39 77 68 64

วธิ ีทา เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหามากได้ ดงั น้ี

28 35 39 52 58 64 66 68 77 80

หาตาแหน่งที่ของ Q1 คือ 10 + 1 = 2.75
4
Q1 อยรู่ ะหวา่ งตาแหน่งที่ 2 กบั 3 และมีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง 35 กบั 39

ซ่ึงหาไดจ้ าก ตาแหน่งที่ต่างกนั 3 – 2 = 1 ขอ้ มูลที่ตา่ งกนั 39 – 35 = 4

ตาแหน่งที่ต่างกนั 2.75 – 2 = 0.75 ดงั น้นั ขอ้ มลู ท่ีตา่ งกนั 4 × 0.75 = 3
จะได้ Q1 = 35 + 3

= 38

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

หาตาแหน่งท่ีของ Q3 คือ 3(10 + 1) = 8.25
4

ดงั น้นั Q3 อยรู่ ะหวา่ งตาแหน่งที่ 8 กบั 9 และมีค่าอยรู่ ะหวา่ ง 68 กบั 77

ซ่ึงหาไดจ้ าก ตาแหน่งที่ต่างกนั 9 – 8 = 1 ขอ้ มลู ท่ีต่างกนั 77 – 68 = 9

ตาแหน่งที่ต่างกนั 8.25 – 8 = 0.25 ดงั น้นั ขอ้ มลู ที่ตา่ งกนั 9 × 0.25 = 2.25

จะได้ Q3 = 68 + 2.25 Q.D. = Q3 – Q1
= 70.25 2
70.25 – 38
จากสูตรการหาส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ = 2

จะได้

= 16.125

ดงั น้นั ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ คือ 16.125

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

ตวั อย่างที่ 3

อตั ราเงินเดือนของขา้ ราชการครูโรงเรียนแห่งหน่ึงจานวน 9 คน ซ่ึงมีเงินเดือนดงั น้ี
15,800 18,270 20,320 23,360 27,500 29,140 30,020 39,370 42,510

ใหน้ กั เรียนหาส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทลอ์ ตั ราเงินเดือนน้ี

วธิ ีทา 9+1 = 2.5
หาตาแหน่งที่ของ Q1 คือ 4

ดงั น้นั Q1 อยรู่ ะหวา่ งตาแหน่งที่ 2 กบั 3 และมีคา่ อยรู่ ะหวา่ ง 18,270 กบั 20,320

ตาแหน่งที่ตา่ งกนั 3 – 2 = 1 ขอ้ มลู ท่ีตา่ งกนั 20,320 – 18,270 = 2,050

ตาแหน่งที่ต่างกนั 2.5 – 2 = 0.5 ดงั น้นั ขอ้ มูลท่ีตา่ งกนั 2,050 × 0.5 = 1,025

จะได้ Q1 = 18,270 + 1,025 = 19,295

หรือ Q1 อยใู่ นตาแหน่งท่ี 2.5 ของขอ้ มลู แสดงวา่ ขอ้ มูลอยตู่ รงกลางระหวา่ งขอ้ มูล
ตาแหน่งที่ 2 กบั 3

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

จะได้ Q1 18270 + 20320 = 19,295
2

หาตาแหน่งที่ของ Q3 คือ 3(9 + 1) = 7.5
4

Q3 อยใู่ นตาแหน่งท่ี 7.5 ของขอ้ มลู แสดงวา่ ขอ้ มลู อยตู่ รงกลางระหวา่ งขอ้ มูล
ตาแหน่งที่ 7 กบั 8

จะได้ Q3 30020 + 39370 = 34,695
2
Q3 – Q1
จากสูตรการหาส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ Q.D. = 2

จะได้ = 34695 – 19295
2
= 7,700

ดงั น้นั ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ คือ 7,700 บาท

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

ตวั อย่างท่ี 4

ผลการทดสอบวชิ าคณิตศาสตร์ของนกั เรียน 80 คน ปรากฏผลดงั ตารางต่อไปน้ี

ใหน้ กั เรียนหาส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทลข์ องคะแนนสอบวิชาคณิตศาสตร์น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

วธิ ีทา สร้างตารางความถี่สะสมของขอ้ มูล

ตาแหน่ง Q1
คือ 20

ตาแหน่งที่ของ Qr คือ rN
4
(1)(80)
หาตาแหน่งท่ีของ Q1 จะได้ ตาแหน่งท่ีของ Q1 = 4 = 20

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ดงั น้นั จะได้ Q1 อยตู่ าแหน่งท่ี 20 ซ่ึงตรงกบั อนั ตรภาคช้นั 40 – 49
หาค่า Q1
Qr = L + I rN – FL
จากสูตร f 4

โดยที่ r = 1, L = 39.5, N = 80, I = 10, f = 11 และ FL = 14
10 (1)(80)
แทนค่าในสูตร Q1 = 39.5 + 11 4 – 14

= 39.5 + 1110(20 – 14)
60
= 39.5 + 11

≈ 39.5 + 5.45

= 44.95
ดงั น้นั Q1 มีคา่ ประมาณ 44.95 คะแนน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

ตาแหน่ง Q3
คือ 60

หาตาแหน่งท่ีของ Q3 จะได้ ตาแหน่งที่ของ Q3 = (3)(80) = 60
4

ดงั น้นั จะได้ Q3 อยตู่ าแหน่งท่ี 60 ซ่ึงตรงกบั อนั ตรภาคช้นั 70 – 79

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

จากสูตร Qr = L + I rN – FL
f 4

โดยที่ r = 3, L = 69.5, N = 80, I = 10, f = 14 และ FL = 58

แทนค่าในสูตร Q3 = 69.5 + 10 (3)(80) – 58
14 4

= 69.5 + 1140(60 – 58)
20
= 69.5 + 14

≈ 69.5 + 1.43

= 70.93

ดงั น้นั Q3 มีคา่ ประมาณ 70.93 คะแนน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

จากสูตรการหาส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ Q.D. = Q3 – Q1
จะได้ 2
70.93 – 44.95
= 2

= 12.99

ดงั น้นั ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ คือ ประมาณ 12.99 คะแนน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

3. ส่วนเบย่ี งเบนเฉลย่ี (mean deviation หรือ average deviation)

เป็นคา่ ท่ีใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มูลรอบ ๆ คา่ เฉลี่ย (mean) ท่ีตอ้ งการทราบวา่
ขอ้ มลู แตล่ ะตวั โดยเฉลี่ยแลว้ มีระยะห่างจากคา่ เฉล่ียมากหรือนอ้ ยเพยี งใด

ใชส้ ญั ลกั ษณ์ “M.D.” แทนส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย
ถ้าส่วนเบี่ยงเบนเฉลยี่ มคี ่ามากแสดงว่ามีการกระจายมาก

ถ้าส่วนเบ่ยี งเบนเฉลยี่ มคี ่าน้อยแสดงว่ามกี ารกระจายน้อย

หาไดจ้ ากสูตร ดงั น้ี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ตวั อย่างที่ 1

ตวั แทนของนกั เรียนกลุ่มหน่ึงมีอายุ (ปี ) ดงั น้ี 16 14 15 18 17

ใหน้ กั เรียนหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยอายขุ องนกั เรียนกลุ่มน้ี

วธิ ีทา หาค่าเฉล่ียเลขคณิต 16 + 14 + 15 + 18 + 17
จาก x =
จะได้ x = 80 5 = 16

จาก M.D. = iΣ5=n1n xi – x

จะได้ M.D. = 16 – 16 + 14 – 16 + 15 – 16 + 18 – 16 + 17 – 16
5
= 0+2+1+2+1
= 65
5 = 1.2

ดงั น้นั ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยอายขุ องตวั แทนนกั เรียนกลุ่มน้ี คือ 1.2 ปี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ตวั อย่างที่ 2

ตารางแจกแจงความถ่ีอายขุ องพนกั งานในบริษทั แห่งหน่ึง จานวน 60 คน โดยมีอายขุ อง
พนกั งานเฉล่ีย 36.75 ปี อยากทราบวา่ มีส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยอายขุ องพนกั งานเป็นเท่าใด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

วธิ ีทา x= iΣ=kn1fixi
จาก

จะได้ x= 2205
60

= 36.75

จาก M.D. = iΣ=n1n xi – x

จะได้ M.D. = 5 21 – 36.75 + 16 28 – 36.75 +...+ 6 49 – 36.75 + 7 56 – 36.75
= 500.5 60
60

≈ 8.34

ดงั น้นั ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยอายขุ องพนกั งานบริษทั แห่งน้ีประมาณ 8.34 ปี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

4. ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน (standard deviation)

เป็นการวดั การกระจายของคะแนนรอบ ๆ คา่ เฉลี่ยเลขคณิต (arithematic mean)
คลา้ ย ๆ กบั ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย แต่แกป้ ัญหาค่าสัมบูรณ์โดยใช้ วธิ ียกกาลงั สอง ค่าผลตา่ ง
ระหวา่ งคะแนนแต่ละตวั กบั ค่าเฉล่ีย ทาใหเ้ คร่ืองหมายลบหมดไปเม่ือหาค่าเฉลี่ยของผลรวม

ใชส้ ัญลกั ษณ์ “S.D.” แทนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นเคร่ืองมือท่ีใชว้ ดั การกระจายของขอ้ มลู ท่ีดีที่สุด
เมื่อเปรียบเทียบกบั การวดั การกระจายแบบพสิ ัย ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์
และส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5)

สาหรับข้อมูลทไี่ ม่ได้แจกแจงความถี่
ค่าส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐานของประชากร แทนด้วย σ

โดยที่ σ คือ ค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร

μ คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
N คือ จานวนขอ้ มลู ท้งั หมดของประชากร
xi คือ ขอ้ มูลแตล่ ะตวั ของประชากร

หมายเหตุ : σ อ่านวา่ ซิกมา (sigma) แทนส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5)

ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกล่มุ ตัวอย่าง แทนด้วย s

โดยท่ี s คือ ค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของกลุ่มตวั อยา่ ง
x คือ ค่าเฉล่ียเลขคณิตของกลุม่ ตวั อยา่ ง
n คือ จานวนขอ้ มลู ท้งั หมดของกลุ่มตวั อยา่ ง
xi คือ ขอ้ มลู แต่ละตวั ของกลุม่ ตวั อยา่ ง

หมายเหตุ : อาจใช้ S.D. เป็นสญั ลกั ษณ์แทนส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุม่ ตวั อยา่ งกไ็ ด้

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

สาหรับข้อมูลทม่ี กี ารแจกแจงความถ่ี
ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร แทนด้วย σ

โดยที่ σ คือ ค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร

μ คือ ค่าเฉล่ียเลขคณิตของประชากร
k คือ จานวนอนั ตรภาคช้นั
N คือ จานวนขอ้ มลู ท้งั หมดของประชากร
fi คือ ความถ่ีของแต่ละอนั ตรภาคช้นั
xi คือ จุดก่ึงกลางของแต่ละอนั ตรภาคช้นั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ค่าส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง แทนด้วย s

โดยที่ s คือ ค่าส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของกลุ่มตวั อยา่ ง
x คือ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของกลุ่มตวั อยา่ ง
k คือ จานวนอนั ตรภาคช้นั
n คือ จานวนขอ้ มูลท้งั หมดของกลุม่ ตวั อยา่ ง
fi คือ ความถี่ของแตล่ ะอนั ตรภาคช้นั
xi คือ จุดก่ึงกลางของแต่ละอนั ตรภาคช้นั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

เทคโนโลยเี พอ่ื การเรียนรู้
การหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานโดยใชโ้ ปรแกรม Microsoft Office Excel
1. กรอกขอ้ มลู ท่ีตอ้ งการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานลงในคอลมั น์ A (A1 ถึง A10)

หรือคอลมั น์ใดกไ็ ด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

2. เลือกช่องวา่ งเซลลท์ ่ีตอ้ งการในการกรอกฟังกช์ นั แลว้ พิมพฟ์ ังกช์ นั
ในการหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน ดงั น้ี

=STDEV.P(A1:A10) ในกรณีที่ขอ้ มลู อยใู่ นช่วง A1 ถึง A10
=STDEV.S(A1:A10) และเป็ นการหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร

ในกรณีท่ีขอ้ มูลอยใู่ นช่วง A1 ถึง A10
และเป็นการหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของกลุม่ ตวั อยา่ ง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

3. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานท่ีไดจ้ ะมีคา่ ที่แตกต่างกนั ข้ึนอยกู่ บั ขอ้ มูลเป็นขอ้ มลู ของประชากร
หรือกลุ่มตวั อยา่ ง

การหาส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

การหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุม่ ตวั อยา่ ง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ความแปรปรวน (variance)

ความแปรปรวน = กาลงั สองของคา่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

ตวั อย่างท่ี 1

ใหน้ กั เรียนหาความแปรปรวนและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลต่อไปน้ี
6 12 5 7 3 15

เม่ือ 1) กาหนดขอ้ มลู เป็นประชากร 2) กาหนดขอ้ มลู เป็นกลุม่ ตวั อยา่ ง

วธิ ีทา
1) หาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของประชากร

จะได้ μ = 6 + 12 + 5 + 7 + 3 + 15
6

=8

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ความแปรปรวน คือ σ2 = iΣN= 1(xi – μ)2

N

= (6 – 8)2 + (12 – 8)2 + (5 – 8)2 + (7 – 8)2 + (3 – 8)2 + (15 – 8)2
6
(–2)2 + (4)2 + (–3)2 + (–1)2 + (–5)2 + (7)2
= 6

= 4 + 16 + 9 + 1 + 25 + 49
6

= 104
6

≈ 17.33

ดงั น้นั ความแปรปรวนประมาณ 17.33 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ = 17.33 ≈ 4.16

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

2) หาค่าเฉล่ียเลขคณิตของกลุ่มตวั อยา่ ง

จะได้ x = 6 + 12 + 5 + 7 + 3 + 15 =8
ความแปรปรวน คือ s2 = 6
iΣ=n1(xi – x )2

n–1
(6 – 8)2 + (12 – 8)2 + (5 – 8)2 + (7 – 8)2 + (3 – 8)2 + (15 – 8)2
= 6 –1

= (–2)2 + (4)2 + (–3)2 + (–1)2 + (–5)2 + (7)2
= 4 + 16 + 9 + 1 + 265–+149
= 104 5
5
= 20.8

ดงั น้นั ความแปรปรวนเท่ากบั 20.8 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน s = 20.8 ≈ 4.56

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ตวั อย่างที่ 2

ตารางแสดงขอ้ มลู ของกลุ่มตวั อยา่ ง ดงั น้ี

ใหน้ กั เรียนหาความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูล a, b, c และ d
พร้อมอธิบายผลของความแปรปรวนและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลท้งั 4 กลุม่

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

วธิ ีทา s2 = iΣ=n1(xi – x )2
หาความแปรปรวนของกลุ่มตวั อยา่ งชุด a คือ
n–1

= (4 – 4)2 + (4 – 4)2 + (4 – 4)2
3–1

= 0+0+0
2

=0

ดงั น้นั ความแปรปรวนของชุด a เท่ากบั 0 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน s = 0 = 0

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

หาความแปรปรวนของกลุม่ ตวั อยา่ งชุด b คือ s2 = iΣ=n1(xi – x )2

n–1

= (3 – 4)2 + (3 – 4)2 + (6 – 4)2
3–1
1 + 1 + 4
= 2

= 6
2

=3

ดงั น้นั ความแปรปรวนของชุด b เท่ากบั 3 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 3 ≈ 1.73

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5)

หาความแปรปรวนของกลุ่มตวั อยา่ งชุด c คือ s2 = iΣ=n1(xi – x )2

n–1

= (2 – 4)2 + (3 – 4)2 + (7 – 4)2
3–1
4 + 1 + 9
= 2

= 14
2

=7

ดงั น้นั ความแปรปรวนของชุด c เท่ากบั 7 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน s = 7 ≈ 2.65

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

หาความแปรปรวนของกลุม่ ตวั อยา่ งชุด d คือ s2 = iΣ=n1(xi – x )2

n–1

= (1 – 4)2 + (2 – 4)2 + (9 – 4)2
3–1

= 9 + 4+ 25
2
38
= 2

= 19

ดงั น้นั ความแปรปรวนของชุด d เท่ากบั 19 และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน s = 19 ≈ 4.36

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

กลุม่ ตวั อยา่ งชุด a ขอ้ มลู ไม่มีการกระจายเป็นขอ้ มลู เดียวกนั ท้งั หมด
ค่าความแปรปรวนและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานมีคา่ เท่ากบั 0
และกลุ่มตวั อยา่ งชุด d ขอ้ มูลมีการกระจายมาก
และขอ้ มูลแต่ละคา่ มีความแตกต่างจากคา่ เฉล่ียเลขคณิตมาก
ทาใหค้ ่าความแปรปรวนและส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานจะมีค่ามากตามไปดว้ ย