คณิตศาสตร์-ม.5

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ตัวอย่างที่ 3

สุ่มเลือกไก่มาชงั่ น้าหนกั 5 ตวั ปรากฏวา่ ไดน้ ้าหนกั 1.5 1.8 1.2 2.1 และ
1.7 กิโลกรัม ถา้ ชง่ั น้าหนกั ไก่ 5 ตวั รวมกบั ไก่อีกตวั หน่ึงไดค้ ่าเฉลี่ยเลขคณิตของไก่
ท้งั 6 ตวั เป็น 1.65 กิโลกรัม แลว้ ความแปรปรวนของน้าหนกั ไก่ท้งั 6 ตวั เป็นเท่าใด

วธิ ีทา น้าหนกั ไก่ 5 ตวั เป็นดงั น้ี
1.2 1.5 1.7 1.8 2.1

ให้ x แทนน้าหนกั ของไก่อีกตวั จะได้

1.65 = 1.2 + 1.5 + 1.7 + 1.8 + 2.1 + x
6
9.9 = 8.3 + x

x = 1.6

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ความแปรปรวนของน้าหนกั ไก่ท้งั 6 ตวั จะได้ s2 = iΣ=n1(xi – x )2

n–1

= (1.2 – 1.65)2 + (1.5 – 1.65)2 + (1.7 – 1.65)2 + (1.8 – 1.65)2 + (2.1 – 1.65)2 + (1.6 – 1.65)2
6 –1
(– 0.45)2 + (– 0.15)2 + (0.05)2 + (0.15)2 + (0.45)2 + (– 0.05)2
= 5

= 0.2025 + 0.0225 + 0.0025 + 0.0225 + 0.2025 + 0.0025
5
0.455
= 5

= 0.091 กิโลกรัม2

ดงั น้นั ความแปรปรวนของน้าหนกั ไก่ท้งั 6 ตวั คือ 0.091 กิโลกรัม2

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ตัวอย่างท่ี 4

ตารางแจกแจงความถี่อายขุ องพนกั งานในบริษทั แห่งหน่ึง จานวน 60 คน
อายเุ ฉล่ียของพนกั งาน คือ 36.75 ปี อยากทราบวา่ ความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบน-
มาตรฐานของอายพุ นกั งานเป็นเท่าใด

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

วธิ ีทา ΣiN= 1fi xi2

จาก μ = iΣN= 1N(fi xi) จาก σ2 = N – μ2

2205 = 87269 – (36.75)2
60 60
=
≈ 1,454.48 – 1,350.56
= 36.75 = 103.92 ปี 2

ดงั น้นั ความแปรปรวนของอายพุ นกั งาน
ประมาณ 103.92 ปี 2
และส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานประมาณ

103.92 ≈ 10.19 ปี

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ข้อสังเกตเกย่ี วกบั การวดั การกระจาย

ค่าพสิ ัย

พสิ ัยเป็นการวดั การกระจายโดยใชข้ อ้ มูลเพยี ง 2 ตวั เท่าน้นั
ไม่ไดน้ าคะแนนทุกตวั มาใชใ้ นการคานวณจึงเป็นวธิ ีการกระจายอยา่ งหยาบ ๆ

พิสยั เหมาะกบั ชุดขอ้ มูลขนาดเลก็ มากกวา่ ขนาดใหญ่ ถา้ ขอ้ มลู ขนาดใหญ่
มีแนวโนม้ ค่าพสิ ัยสูง

พิสัยเหมาะสาหรับวดั การกระจายอยา่ งคร่าว ๆ เม่ือตอ้ งการทราบค่าการกระจาย
อยา่ งรวดเร็ว เพราะใชเ้ วลานอ้ ยในการคานวณ

ไม่ควรใชพ้ สิ ัยในการเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มลู ท่ีมีขนาดไม่เท่ากนั
ถา้ เป็นขอ้ มลู กลุม่ ใหญ่มีแนวโนม้ ท่ีคา่ พิสัยจะสูง

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5)

ค่าส่วนเบ่ยี งเบนควอร์ไทล์

ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทลเ์ ป็นการวดั การกระจายที่ดีกวา่ การวดั ดว้ ย
คา่ พสิ ยั แต่กย็ งั ใชเ้ พยี งบางค่า ไม่ไดใ้ ชข้ อ้ มลู ทุกคา่ ในการคานวณ

การแปลความหมายส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์
ใหพ้ จิ ารณาจากค่าที่คานวณได้ ถา้ มีคา่ มาก แสดงวา่ ขอ้ มูลมีการ
กระจายหรือเบ่ียงเบนออกจากมธั ยฐานมาก ถา้ มีคา่ นอ้ ยแสดงวา่
ขอ้ มลู มีการกระจาย หรือเบี่ยงเบนออกจากมธั ยฐานนอ้ ย

ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทลเ์ หมาะสาหรับใชค้ วบคกู่ บั การวดั แนวโนม้
เขา้ สู่ส่วนกลางดว้ ยค่ามธั ยฐาน

ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทลเ์ หมาะสาหรับการวดั การกระจายของขอ้ มลู
ที่มีบางคา่ สูง หรือต่ามาก ๆ ในชุดเดียวกนั

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

ค่าส่ วนเบี่ยงเบนเฉลย่ี

ส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยเป็นการวดั การกระจายท่ีละเอียดกวา่
การวดั ดว้ ยค่าพิสัยและส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์
เพราะไดใ้ ชค้ ะแนนทุก ๆ ตวั ในการคานวณ

การคานวณคา่ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยไม่ค่อยเป็นที่นิยม
ท้งั น้ีเน่ืองจากการใชค้ า่ สัมบูรณ์ซ่ึงไม่นาเครื่องหมายมาคิดคานวณ
จึงไม่เป็ นท่ีนิยมใช้

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

ค่าส่ วนเบี่ยงเบนควอร์ ไทล์

ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานเป็นการวดั การกระจายของขอ้ มูลท่ีใชค้ ะแนน
ทุกตวั ในการคานวณ จึงเป็นการวดั การกระจายที่ละเอียดกวา่ การหา
โดยพิสัย ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย

การแปลความหมาย ถา้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าสูงแสดงวา่ มีการ
กระจายของขอ้ มลู มาก แตถ่ า้ ส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐานมีคา่ ต่าแสดงวา่ มี
การกระจายของขอ้ มูลนอ้ ย

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นการวดั การกระจายของขอ้ มลู ท่ีนิยมใช้
มากที่สุดโดยเฉพาะอยา่ งยงิ่ ในการวจิ ยั

นิยมแปลความหมายของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานควบคกู่ บั คา่ เฉลี่ย
เลขคณิต

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

5. การวัดการกระจายสัมพทั ธ์

ในการเปรียบเทียบใชอ้ ตั ราส่วนระหวา่ งคา่ ของการวดั การกระจายกบั ค่ากลางของ
ขอ้ มูลน้นั ๆ เรียกอตั ราส่วนน้ีวา่ สัมประสิทธ์ิของการกระจาย (coefficient of variation)
ซ่ึงนิยมทาใหอ้ ยใู่ นรูปร้อยละ

ใชส้ ัญลกั ษณ์ “C.V.” แทนสมั ประสิทธ์ิของการกระจาย

ถ้าข้อมูลชุดใดมคี ่าร้อยละออกมามาก แสดงว่ามกี ารกระจายของข้อมูลมาก

ถ้าข้อมูลชุดใดมคี ่าร้อยละออกมาน้อย แสดงว่ามกี ารกระจายของข้อมูลน้อย

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

เน่ืองจากการวดั การกระจายสัมบรู ณ์มี 4 ชนิด ดงั น้นั สัมประสิทธ์ิของการกระจาย
จึงมี 4 ชนิดดว้ ย ดงั น้ี

การเปรียบเทียบการกระจายดว้ ยพิสัย

การเปรียบเทียบการกระจายดว้ ยส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

การเปรียบเทียบการกระจายดว้ ยส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ีย

สมั ประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนเฉล่ีย = M.D. × 100% เมื่อขอ้ มูลเป็นของประชากร
μ

สมั ประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ย = M.D. × 100% เม่ือขอ้ มูลเป็นของกลุม่ ตวั อยา่ ง
x

การเปรียบเทียบการกระจายดว้ ยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สัมประสิทธ์ิของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = σ × 100% เมื่อขอ้ มูลเป็นของประชากร
μ

สัมประสิทธ์ิของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน = s × 100% เมื่อขอ้ มูลเป็นของกลุ่มตวั อยา่ ง
x

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ที่นิยมใชก้ นั มากที่สุด คือ การเปรียบเทียบการกระจาย
ดว้ ยส่วนเบ่ียงเบนมาตรฐาน หรือที่เรียกวา่ สัมประสิทธ์ิของการแปรผนั

ตัวอย่าง
ใหน้ กั เรียนเปรียบเทียบการกระจายของคะแนนสอบของนกั เรียนสองกลุม่ ดงั น้ี

เปรียบเทียบโดยใชส้ มั ประสิทธ์ิของพิสัยและสมั ประสิทธ์ิของการแปรผนั ต่างกนั อยา่ งไร

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5

วธิ ีทา ใชส้ มั ประสิทธ์ิของพิสยั

ดงั น้นั สมั ประสิทธ์ิของพิสยั กลุ่มที่ 2 มากกวา่ สมั ประสิทธ์ิของพิสยั ของกลุ่มท่ี 1
แสดงวา่ คะแนนสอบของกลุ่มท่ี 2 มีการกระจายมากกวา่ คะแนนสอบของกลุ่มท่ี 1

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5)

ใชส้ ัมประสิทธ์ิของการแปรผนั
หาค่าเฉล่ียเลขคณิตของคะแนนแต่ละกลุม่

กลุม่ ที่ 1 x = 8 + 12 + 16 + 9 + 17 = 12.4
5

กลุม่ ท่ี 2 x = 5 + 8 + 11 + 6 + 15 =9
5

หาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน จาก s = iΣ=n1(xi – x )2

n–1

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

กลุ่มท่ี 1 s= (8 – 12.4)2 + (12 – 12.4)2 + (16 – 12.4)2 + (9 – 12.4)2 + (17 – 12.4)2
5–1

= (– 4.4)2 + (– 0.4)2 + (3.6)2 + (– 3.4)2 + (4.6)2
4

= 19.36 + 0.16 + 12.96 + 11.56 + 21.16
4

= 65.2
4

= 16.3

≈ 4.04

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

กลุ่มที่ 2 s= (5 – 9)2 + (8 – 9)2 + (11 – 9)2 + (6 – 9)2 + (15 – 9)2
5–1

= (– 4)2 + (– 1)2 + (2)2 + (– 3)2 + (6)2
4

= 16 + 1 + 4 + 9 + 36
4

= 66
4

= 16.5

≈ 4.06

คณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ท่ี 5

สมั ประสิทธ์ิของการแปรผนั กลุม่ ที่ 1 s × 100% = 4.04 × 100%
x 12.4

≈ 32.58%

สมั ประสิทธ์ิของการแปรผนั กลุ่มที่ 2 s × 100% = 4.06 × 100%
x 9

≈ 45.11%

ดงั น้นั สัมประสิทธ์ิของการแปรผนั กลุม่ ที่ 2 มีคา่ มากกวา่ กลุม่ ที่ 1

แสดงวา่ คะแนนสอบของกลุม่ ท่ี 2 มีการกระจายมากกวา่ คะแนนสอบของกลุม่ ท่ี 1