e-book Matematika KD 3.1 - Dimensi Tiga

i

Daftar Isi........................................................................................................................ i
Daftar Gambar..............................................................................................................ii
A. Titik, Garis dan Bidang......................................................................................... 5

1. Titik ................................................................................................................... 5
2. Garis .................................................................................................................. 5
3. Bidang ............................................................................................................... 5
B. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang ..................................................................... 7
1. Kedudukan Titik................................................................................................ 7
2. Kedudukan Garis............................................................................................. 10
3. Kedudukan Dua Bidang .................................................................................. 15
C. Proyeksi .............................................................................................................. 19
1. Proyeksi Titik .................................................................................................. 19
2. Proyeksi Garis ................................................................................................. 19
3. Proyeksi Dua Bidang ...................................................................................... 21
D. Jarak .................................................................................................................... 23
1. Titik ................................................................................................................. 23
2. Garis ................................................................................................................ 29
3. Bidang ............................................................................................................. 31
E. Sudut ................................................................................................................... 33
1. Sudut Antar Dua Buah Garis........................................................................... 33
2. Sudut Antara Garis Dan Bidang...................................................................... 37
3. Sudut Antara Dua Bidang ............................................................................... 40
F. Ragam Soal Aplikasi Dimensi Tiga.................................................................. 433
G. Irisan bidang dengan bangun ruang .................................................................. 477
Ringkasan Materi ....................................................................................................... 49
Uji Kompetensi .......................................................................................................... 52
Kunci Jawaban ........................................................................................................... 55
Glosarium.................................................................................................................... iv
Daftar Pustaka ............................................................................................................. vi

ii

Gambar 7. 1 Titik ............................................................................. 5
Gambar 7. 2 Garis ............................................................................ 5
Gambar 7. 3 Bidang ......................................................................... 5
Gambar 7. 4 Bidang α , α , α dan α ............................................. 6
Gambar 7. 5 Dua titik membentuk garis .......................................... 6
Gambar 7. 6 Garis terletak pada bidang ........................................... 7
Gambar 7. 7 Tiga titik membrntuk bidang ....................................... 7
Gambar 7. 8 Burung ......................................................................... 7
Gambar 7. 9 Garis melalui titik ........................................................ 7
Gambar 7. 10 Rel kereta api ............................................................. 8
Gambar 7. 11 Titik di luar garis ....................................................... 8
Gambar 7. 12 Lapangan bola ........................................................... 8
Gambar 7. 13 (a) Titik dalam bidang (b) Titik di luar bidang ......... 9
Gambar 7. 14 Jam dinding ............................................................... 10
Gambar 7. 15 Garis berimpit ............................................................ 10
Gambar 7. 16 Rel kereta api ............................................................. 10
Gambar 7. 17 Garis sejajar ............................................................... 11
Gambar 7. 18 Titik dan garis sejajar ................................................ 11
Gambar 7. 19 Garis berpotongan ..................................................... 11
Gambar 7. 20 Garis bersilangan ....................................................... 12
Gambar 7. 21 Garis dalam bidang .................................................... 13
Gambar 7. 22 Garis sejajar bidang ................................................... 13
Gambar 7. 23 Garis menembus bidang ............................................ 13
Gambar 7. 24 Titik tembus garis menembus bidang ....................... 14
Gambar 7. 25 Bidang saling berimpit .............................................. 15
Gambar 7. 26 Dua bidang saling sejajar .......................................... 16
Gambar 7. 27 Dua bidang berpotongan ........................................... 16
Gambar 7. 28 Tiga bidag berpotongan ............................................. 17
Gambar 7. 29 Proyeksi titik pada garis ............................................ 19
Gambar 7. 30 Ilustrasi proyeksi titik pada bidang ........................... 19
Gambar 7. 31 Proyeksi titik pada bidang ......................................... 19

iii

Gambar 7. 32 Proyeksi garis miring terhadap garis lurus ................ 20
Gambar 7. 33 Proyeksi garis pada bidang ........................................ 20
Gambar 7. 34 Proyeksi garis pada bidang......................................... 21
Gambar 7. 35 Proyeksi dua bidang .................................................. 21
Gambar 7. 36 Jarak dua titik ............................................................ 24
Gambar 7. 37 Jarak titik ke garis ..................................................... 25
Gambar 7. 38 Jarak titik dan bidang ................................................ 27
Gambar 7. 39 Jarak antar dua garis sejajar ...................................... 29
Gambar 7. 40 Jarak dua garis bersilangan ....................................... 30
Gambar 7. 41 Jarak garis dan bidang ............................................... 31
Gambar 7. 42 Jarak dua bidang sejajar ............................................ 31
Gambar 7. 43 Tiang bendera ............................................................ 33
Gambar 7. 44 Sketsa tiang bendera .................................................. 34
Gambar 7. 45 Sudut dua garis berpotongan ..................................... 34
Gambar 7. 46 Sudut dua garis bersilangan ....................................... 34
Gambar 7. 47 Sketsa proyeksi pohon ............................................... 37
Gambar 7. 48 Sudut garis menembus bidang ................................... 38
Gambar 7. 49 Buku .......................................................................... 40
Gambar 7. 50 Sudut bidang berpotongan ......................................... 41
Gambar 7. 51 Bidang irisan ............................................................. 47

1

Kompetensi Dasar:
Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:

Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin,
rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam
memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
Mendeskripsikan konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui
demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.
Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam
menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik,
garis dan bidang.
Pengalaman belajar:
Melalui pembelajaran materi geometri, siswa memperoleh pengalaman belajar dalam:
 Menemukan konsep dan prinsip geometri melalui pemecahan masalah otentik
 Berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur
 Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep dan
 prinsip-prinsip bangun datar dan ruang dalam geometri untuk memecahkan
masalah otentik.
Pada bab ini, kita akan membahas ruang tiga dimensi. Topik yang akan dibahas
meliputi cara menggambar objek ruang dimensi tiga atau bangun ruang. Menggambar
bangun ruang membutuhkan imajinasi dan visualisasi yang cukup tinggi. Bab ini akan
menyajikan kemampuan dasar untuk menggambar bangun ruang seperti kubus, balok
dan limas. Pelajaran menggambar pada bab ini akan berbeda dengan pembelajaran
pada kelas kesenian karena tujuan dari pelajaran menggambar pada bab ini adalah
untuk memahami geometri matematis. Kemampuan menggambar ini akan dibutuhkan
terutama bagi mereka yang bercita-cita pada bidang yang membutuhkan teori dan
materi dalam ruang dimensi tiga seperti arsitektur, liberal arts dan teknik sipil. Bagi
orang-orang yang tidak tertarik dengan bidang yang demikian, dapat
mempertimbangkan pembahasan dalam bab ini sebagai sebuah latihan simulasi untuk
kemampuan imajinasi dan visualisasi mereka.

 Titik  Bidang  Sudut
 Garis  Jarak  Proyeksi



2

3

Bentuk Bumi dapat dianggap sebagai bola, sedangkan kutub Utara dan kutub
Selatan bumi dapat dianggap sebagai ujung-ujung garis tengah dari bola yang disebut
poros. Lingkaran-lingkaran yang melewati kutub Utara dan Selatan disebut garis bujur.
Bidang yang memotong bumi tegak lurus pada poros untuk membentuk lingkaran yang
disebut garis Lintang. Coba bayangkan bumi sebagai sebuah bola karet. Kemudian
potong bola menjadi setengah lingkaran dan regangkan bola untuk membentuk sebuah
lembaran persegi panjang. Lingkaran garis bujur akan menjadi garis vertikal yang
sejajar dan lingkaran garis lintang menjadi garis horizontal yang sama dan sejajar.
Garis-garis ini mempermudah untuk mengetahui posisi dan jarak dari suatu tempat ke
tempat lain. Ini merupakan salah satu aplikasi ilmu ukur ruang (dimensi tiga).

Tahukah Anda?

Ahli Astronomi menggunakan ilmu ukur ruang (dimensi tiga) untuk
menafsirkan ruang angkasa dan menghitung jarak serta kedudukan benda ruang
angkasa. Dengan dimensi tiga, kita dapat mengetahui jarak dari suatu titik ke titik lain
dan juga dapat mengetahui luas permukaan dan volume dari suatu bangun ruang
dengan akurat.

4

Menghitung luas permukaan dan volume bangun ruang sisi datar (kubus, balok,

prisma dan limas)

1. Perbandingan panjang rusuk kubus . dan panjang rusuk kubus

. adalah 3 : 4. Jika jumlah volume kedua kubus = ,

maka hitunglah panjang rusuk masing-masing kubus tersebut.

2. Tentukan luas permukaan dan volume dari limas berikut!

T

DC

OP

A B

3. Rani diminta ibunya untuk mengisi penuh sebuah bak mandi yang berbentuk
balok dengan ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah . ,
dan . Di saat yang bersamaan Rani juga harus pergi ke sebuah tempat untuk
menyelesaikan urusan lainnya dan dia akan kembali lagi setelah 4 jam. Jika
Rani dapat mengisi air sebanyak . liter dalam 5 detik, akankah air meluap
dari bak mandi setelah Rani kembali dari urusannya?

4. Tentukan luas permukaan dan volume dari prisma berikut!

Answer Key

1. dan

2. . dan .

3. Hampir penuh dan belum meluap

4. dan

5

Dalam ilmu Geometri, terdapat beberapa istilah atau sebutan yang tidak
memiliki definisi (undefined terms), antara lain titik dan garis.

1. Titik

Titik tidak memiliki ukuran, biasanya dideskripsikan menggunakan tanda
noktah dan penamaannya menggunakan huruf kapital seperti titik A, titik B atau titik
C seperti gambar 7.1.

2. Garis

Garis merupakan dibentuk dari kumpulan titik-titik dan merupakan kurva lurus
yang tidak memiliki ujung maupun pangkal. Artinya garis dapat diperpanjang kedua
arahnya. Namun, garis lurus yang mempunyai pangkal dan ujung, disebut segmen
garis dan dilambangkan dengan ̅̅̅̅ yang artinya panjang garis AB terbatas (gambar
7.2). Selain menggunakan segmen garis, nama garis juga dapat ditentukan dengan
menyebutkan nama wakil garis tersbut dengan memakai huruf kecil contohnya , ℎ, .

A

Gambar 7. 1 Titik Gambar 7. 1 Garis

3. Bidang

Sebuah bidang datar mempunyai luas tak terbatas. Dalam geometri, sebuah

bidang hanya digambar dengan perwakilannya yang disebut wakil bidang. Wakil

sebuah bidang mempunyai dua ukuran yaitu panjang dan lebar. Wakil bidang dapat

berbentuk persegi panjang, persegi atau jajar genjang.

Gambar 7. 2 Bidang

Bidang-bidang di atas disebut bidang atau dapat juga disebut dengan bidang .

Postulat Garis dan Bidang

Sebuah bidang dapat dibentuk melalui:

6

1. Tiga buah titik yang tidak segaris. Pada gambar 7. 4a titik , dan yang
tidak terletak pada garis yang sama membentuk bidang .

2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut. Contohnya sebuah titik
yang terletak di luar garis dapat membentuk bidang (gambar 7. 4b).

3. Dua buah garis yang saling berpotongan. Pada gambar 7. 4c Garis dan garis
ℎ saling berpotongan dapat membentuk bidang .

4. Dua garis yang sejajar. Pada gambar 7. 4d garis sejajar dengan garis ℎ
mampu membentuk bidang .



(a) (b)

ℎ

ℎ

(c) (d)

Gambar 7. 3 Bidang , , dan

Postulat atau aksioma adalah pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa

ada pembuktian. Dalam geometri terdapat tiga buah postulat yang penting yang
diperkenalkan oleh Euclides (± SM), seorang ahli matematika dari Alexandria.

Berikut ini adalah postulat-postulat Euclides:

Postulat 1

Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.



Gambar 7. 4 Dua titik membentuk garis

7

Postulat 2

Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan,
maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

Gambar 7. 5 Garis terletak pada bidang

Postulat 3
Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapa dibuat sebuah bidang.

Gambar 7. 6 Tiga titik membentuk bidang

1. Kedudukan Titik Gambar 7. 8 Burung

a. Kedudukan Titik Terhadap Garis
Perhatikan gambar 7. 8 misalkan kabel listrik
adalah suatu garis dan burung adalah titik, maka
posisi burung terhadap kabel listrik merupakan
sebuah titik yang terletak pada garis. Sehingga
dapat disimpulkan bahwa

Titik P terdapat pada garis jika titik P dilalui garis

Gambar 7. 9 Garis melalui titik

8

Gambar 7. 10 Rel kereta api Jika dimisalkan rel kereta api merupakan
suatu garis dan dua orang pada gambar
adalah suatu titik maka dapat
disimpulkan bahwa dua orang tersebut
tidak melalui atau berada dalam rel kereta
api. Contoh tersebut merupakan ilustrasi
dari suatu titik yang tidak berada pada
garis. Sehingga dapat disimpulkan bahwa

Titik P berada di luar garis jika titik P tidak di lalui garis

Gambar 7. 11 Titik di luar garis

Contoh G Simak kubus . di samping dengan
̅̅̅̅ sebagai wakil garis ℎ. Sebutkan kedudukan
H
E F
titik-titik sudut kubus . terhadap
D garis ℎ!
A
C Penyelesaian:
i. Titik-titik sudut kubus yang terletak pada

B garis ℎ adalah titik A dan titik B

ii. Titik-titik sudut kubus yang berada di luar
garis ℎ adalah titik-titik C, D, E, F, G dan H.

b. Kedudukan Titik Terhadap Bidang
Gambar di samping merupakan ilustrasi dari
kedudukan titik terhadap bidang dengan bola sebagai
titik dan lapangan bola sebagai bidang.

Sehingga dapat di simpulkan

Gambar 7. 12 Lapangan bola

9

Jika titik A dapat dilalui oleh bidang maka titik A terletak pada
bidang (gambar 7. 13a). Jika titik A tidak dapat dilalui bidang maka
titik A berada di luar bidang (gambar 7. 13b).

(a) (b)

Gambar 7. 13 (a) Titik dalam bidang (b) Titik di luar bidang

Contoh

Pada kubus . , bidang sebagai perwakilan bidang .
. terhada bidang !
Tentukan kedudukan titik-titik sudut kubus

Penyelesiaan: HG

i. Titik-titik sudut kubus yang terletak F
E

pada bidang adalah titik-titik C, D, G

dan H.

ii. Titik-titik sudut kubus yang berada di D C
B
luar bidang adalah titik-titik A, B, F

dan E. A

Latihan 7. 1 mewakili garis dan
T C
1. Diketahui kubus . , rusuk
mewakili garis . Sebutkan titik-titik sudut D
kubus yang:
a. Terletak pada garis
b. Berada di luar garis
c. Terletak pada garis
d. Berada di luar garis

2. Diketahui limas beraturan . seperti O

gambar di samping. Sebutkan: A B

a. Titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusuk alas

10

b. Titik-titik sudut limas yang terletak pada bidang alas

c. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang sisi

d. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang alas

3. Diketahui kubus . , bidang mewakili bidang dan

bidang mewakili bidang . Sebutkan titik-titik sudut kubus yang:

a. terletak pada bidang c. terletak pada bidang

b. berada di luar bidang d. berada di luar bidang

2. Kedudukan Garis

a. Kedudukan garis terhadap garis lain (kedudukan dua buah garis)

Terdapat empat kemungkinan kedudukan dua buah garis dalam sebuah

bangun ruang yaitu dua buah garis yang saling berpotongan, berimpit,

sejajar dan bersilangan.

1) Berimpit (Coinciding)

Gambar jam dinding disamping menunjukkan pukul 12.00

dan jarum panjang berimpit dengan jarum pendek sehingga

membentuk satu garis. Ini merupakan contoh kedudukan garis

yang berhimpit. Dari gambar jam dinding di samping dapat

disimpulkan bahwa dua garis dikatakan saling berimpit ketika

suatu garis terletak pada garis lain atau sebaliknya dan
Gambar 7. 14 Jam dinding membentuk satu garis lurus.

Pada gambar di atas garis k dan l saling berimpit jika setiap titik

Gambar 7. 15 Garis berimpit

yang terdapat pada garis termuat di dalam garis begitu juga

sebaliknya. Dalam sajian geometri garis berimpit direpresentasikan

sebagai garis yang sama (identik).

2) Sejajar (Parallel)

Dua buah garis dikatakan sejajar apabila kedua garis

tersebut terletak pada satu bidang datar yang tidak akan

berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas dan

jarak antar kedua garis tersebut selalu sama. Contoh

garis sejajar dapat ditemukan pada lintasan rel kereta api.

Gambar 7. 16 Rel kereta api Pada lintasan rel kereta api, jarak antara dua rel akan

11

selalu tetap dan tidak pernah saling berpotongan antara satu dengan
lainnya. Apabila dua buah rel kereta api dianggap sebagai dua buah
garis, maka dapat digambarkan seperti:

Garis dan garis di atas dikatakan sejajar, karena kedua garis

Gambar 7. 17 Garis sejajar

terletak pada bidang yang sama dan apabila kedua garis diperpanjang
sampai tak berhingga maka kedua garis tidak akan pernah
berpotongan. Garis sejajar dinotasikan dengan “//”.

Hukum dua garis sejajar

Sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat
sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
Pada gambar 7. 18, tiik A berada di luar garis . Melalui titik A dan

A

Gambar 7. 18 Titik dan garis sejajar

garis dapat dibuat bidang . Kemudian melalui titik A dibuat sebuah

garis yang sejajar dengan garis .

3) Berpotongan (Intersecting)

Garis-garis yang terletak pada bidang datar dikatakan berpotongan

apabila garis-garis tersebut terletak pada bidang
Titik Potong

yang sama dan memiliki sebuah titik

persekutuan yang disebut titik potong.
O

Garis p, q, dan r saling berpotongan karena

memiliki titik potong di titik O dan terletak pada

Gambar 7. 19 Garis berpotongan bidang yang sama yaitu bidang .

12

4) Bersilangan (Skew)
Pada gambar di bawah, garis a dan b adalah garis bersilangan
karena garis a dan b bukanlah garis yang sejajar dan kedua garis
terletak pada sisi atau bidang yang berbeda. Apabila kedua garis
diperpanjang, kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan.
Jadi, dua buah garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak
memiliki titik persekutuan, tidak sejajar, dan tidak terletak pada
bidang yang sama.



Gambar 7. 20 Garis bersilangan

Contoh

H G Pada Kubus . rusuk mewakili
E
garis ℎ. Tentukanlah kedudukan rusuk-rusuk

F kubus . terhadap garis ℎ!

Penyelesaian:

a. Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan
D C garis ℎ adalah , , dan
A B b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan garis ℎ
adalah . , dan
c. Rusuk-rusuk yang berimpit dengan garis ℎ adalah rusuk itu sendiri
d. Rusuk-rusuk yang bersilangan dengan garis ℎ adalah , , dan .

b. Kedudukan garis terhadap bidang
Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah bidang
dalam bangun ruang.
1) Garis terletak pada bidang

13

Jika sebuah garis terletak pada bidang , maka sekurang-kurangnya

terdapat dua titik persekutuan

pada garis tersebut yang terletak

pada bidang . B
A

2) Garis sejajar dengan bidang Gambar 7. 21 Garis dalam bidang
Sebuah garis dikatakan sejajar

dengan sebuah bidang jika memenuhi salah satu syarat berikut:

i. Garis tersebut tidak berada pada sebuah bidang, atau

ii. Garis dan bidang tersebut tidak mempunyai titik persekutuan, atau

iii. Garis tersebut sejajar dengan garis lain yang terletak pada bidang

tersebut.

Pada gambar di samping, garis sejajar dengan
bidang karena garis tidak terletak pada bidang ,

garis tidak mempunyai titik persekutuan dengan

bidang serta garis sejajar dengan garis yang

terletak pada bidang .

Gambar 7. 22 Garis sejajar bidang Hukum garis sejajar dengan bidang

Jika garis sejajar dengan bidang , maka bidang memuat sebuah garis
yang sejajar dengan garis .

3) Garis yang menembus atau memotong bidang
Sebuah garis dikataan memotong
bidang jika garis tidak terletak

pada bidang dan tidak sejajar

dengan bidang . Pada kasus ini, A
garis dan bidang mempunyai

sebuah titik persekutuan yang

disebut titik potong atau titik tembus.

Gambar 7. 23 Garis menembus bidang

14

Contoh

Diketahui kubus . dengan sebagai perwakilan bidang .
Tentukan kedudukan rusuk-rusuk kubus . terhadap bidang .

Penyelesaian: ,
a. Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang adalah rusuk-rusuk ,

dan .
b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar pada bidang adalah rusuk-rusuk , ,

dan . adalah rusuk-rusuk ,
c. Rusuk-rusuk kubus yang menembus pada bidang

, dan .

c. Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan
Jika sebuah garis memotong sebuah bidang maka ada sebuah titik tembus.

Titik tembus antara garis dan bidang (garis menembus bidang ) dapat

dicari dengan cara:

Step 1 Step 2 Step 3

Buatlah Tentukan garis perpotongan bidang dan Titik potong garis
bidang dengan garis
yang melalui bidang , dengan cara menghubungkan dua , adalah titik
garis . tembus yang
buah titik persekutuan antara bidang dan
diminta yaitu titik
bidang Garis potong bidang dan bidang
dilambangkan dengan ,. .


, PB
A

Gambar 7. 24 Titik tembus garis menembus bidang

Latihan 7. 2 . . Sebutkan kedudukan rusuk-rusuk kubus

1. Diketahui kubus
terhadap rusuk !

15

2. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi

kubus terhadap rusuk !

3. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan rusuk-rusuk kubus

terhadap bidang !

4. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi

kubus terhadap bidang !
gambarlah titik tembus antara diagonal ruang
5. Pada kubus .

dengan:

a. Bidang diagonal c. Bidang diagonal .

b. Bidang diagonal

3. Kedudukan Dua Bidang

Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap bidang lain

dalam sebuah bangun ruang, yaitu:

1) Dua bidang saling berimpit

Bidang dan bidang dikatakan berimpit jika bidang

dan bidang memiliki bidang daerah persekutuan

dan setiap titik yang terletak pada bidang juga

terletak pada bidang dan sebaliknya. Gambar 7. 25

Gambar 7. 25 Bidang saling berimpit bidang dan bidang mempunyai bidang daerah

persekutuan yaitu bidang .

2) Dua bidang sejajar
Bidang dan bidang dikatakan sejajar jika bidang dan bidang tidak
memiliki titik persekutuan.
Kasus I: Jika titik dan terletak pada bidang , dan kedua titik tersebut
memiliki jarak yang sama ke bidang maka bidang dan adalah dua
bidang yang sejajar.
Kasus II: Dua bidang dapat disebut sejajar jika dua garis yang saling
berpotongan pada bidang sejajar dengan dua garis yang saling
berpotongan pada bidang . Garis dan terletak pada bidang saling
berpotongan dan garis , sejajar dengan garis , yang juga saling

16

Gambar 7. 26 Dua bidang sejajar

berpotongan yang terletak di bidang . Sehingga dapat disimpulkan bahwa
bidang sejajar dengan bidang .
3) Dua bidang yang saling berpotongan
Bidang dan bidang dikatakan saling berpotongan jika antara bidang
dan bidang tidak sejajar dan kedua bidang tersebut memiliki tepat
sebuah garis persekutuan (garis potong) antara bidang dan bidang
yang simbolkan dengan ( , .

,
,

,

Gambar 7. 27 Dua bidang berpotongan

Hukum dua bidang yang saling berpotongan

Jika bidang dan sejajar dengan bidang dilalui oleh bidang lain
(bidang ), maka bidang juga dilalui oleh bidang lain tersebut (bidang .

4) Perpotongan antara tiga bidang atau lebih

17

Jika perpotongan antara dua bidang selalu membentuk sebuah garis, maka
perpotongan antara tiga bidang atau lebih dapat membentuk sebuah garis atau
sebuah titik. Misalkan bidang , , , saling berpotongan maka terdapat tiga
kemungkinan kedudukan garis persekutuan dari bidang-bidang tersebut yaitu
berpotongan pada sebuah titik, berpotongan pada sebuah garis dan
berpotongan pada tiga buah garis sejajar.

T ,
DC ,

,

,, A B

(a) (b) (c)

Gambar 7. 28 Tiga bidang berpotongan

Gambar 7. 28a menunjukkan bidang , dan saling berpotongan dan
memiliki garis persekutuan yaitu garis , , . Pada gambar 7. 28b bidang

, , dan saling berpotongan dan memiliki sebuah titik persekutuan yaitu
titik . Pada gambar 7. 28c bidang , dan saling berpotongan dan memiliki
tiga buah garis perekutuan yang sejajar yaitu , , , dan , .

Contoh

Diketahui kubus . dengan bidang sisi sebagai perwakilan
HG
bidang . Tentukan kedudukan bidang-bidang sisi
EF
kubus terhadap bidang !

Penyelesaian:

a. Bidang sisi kubus yang berimpit dengan bidang

adalah bidang sisi .

b. Bidang sisi kubus yang sejajar dengan bidang D C
A B
adalah bidang sisi .

18

c. Bidang sisi kubus yang berpotongan dengan bidang adalah bidang sisi
, , dan .

Latihan 7. 3

1. Diketahui kubus . . Tentukanlah T

kedudukan bidang-bidang kubus .

terhadap bidang ! Kemudian tentukanlah garis

persekutuan antara bidang dan bidang

2. Perhatikan limas di samping. Tentukan kedudukan D C
A B
titik T terhadap bidang !
dengan panjang
3. Diketahui balok . dan tinggi = =
.
, lebar =

Tunjukan bahwa bidang sejajar dengan bidang !
4. Pada kubus . dengan titik dan masing-masing terletak pada

pertengahan rusuk dan . Tentukan hubungan antara bidang:

a. dengan F
b. dengan

c. dengan D E
5. Perhatikan prisma di samping. Tentukan: B
C
a. Bidang-bidang yang sejajar A
b. Perpotongan dari bidang , dan !
6. Perhatikan limas segi lima T. ABCD di bawah ini!
Tentukan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang

!

T

D
EC

AB

19

1. Proyeksi Titik

a. Proyeksi titik terhadap garis

Gambar 7. 29 Proyeksi titik pada garis

Proyeksi titik terhadap garis adalah titik ′ sehingga garis ′ ⊥ .

b. Proyeksi titik terhadap bidang

Sebagai gambarannya adalah setiap objek di muka bumi

pada saat tengah hari serta matahari tepat membentuk sudut
° terhadap permukaan bumi akan mempunyai bayangan

sebagaimana ilustrasi berikut ini. Pada bidang datar

sebagaimana ilustrasi di atas proyeksi adalah bayangan yang

Gambar 7. 30 Ilustrasi proyeksi titik pada terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah
bidang bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang
proyeksi terbentuk sudut ° jika dilukiskan.

Cara memproyeksikan titik terhadap bidang adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3
Misalkan titik B Tarik garis lurus (garis ) dari Garis menembus
berada di luar titik yang tegak lurus degan bidang di titik ′.
bidang α akan bidang . Sehingga garis ⊥ .
diproyeksikan ′ adalah proyeksi
titik terhadap
terhadap bidang
bidang .

Gambar 7. 31 Proyeksi titik pada bidang

2. Proyeksi Garis

a. Proyeksi garis terhadap garis lain.

20

Langkah-langkah memproyeksikan garis miring terhadap garis lurus

garis adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3
Proyeksi Garis
Gambar proyeksi garis Gambar proyeksi garis B terhadap garis
adalah garis ′ ′.
terhadap garis sehingga terhadap garis sehingga ′

′ adalah proyeksi ke adalah proyeksi ke garis

garis

θ C


Gambar 7. 32 Proyeksi garis miring terhadap garis lurus

Perhatikan gambar 7. 32 Jika garis dengan panjang membentuk sudut
dengan garis , maka panjang proyeksi yang adalah garis ′ ′ adalah

.

b. Proyeksi garis terhadap bidang
Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang dapat diperoleh dengan

memproyeksikan titik-titik garis tersebut ke bidang seperti gambar 7. 33.
AB

A′ B′

Gambar 7. 33 Proyeksi garis pada bidang

langkah-langkah memproyeksikan garis pada bidang adalah sebagai

berikut: Step 2 Step 3
Step 1 Semua proyeksi titik- Garis ′ ′ adalah

Proyeksikan semua

titik-titik yang terdapat titik akan terletak proyeksi dari garis
terhadap bidang .
dalam garis ke pada garis ′ ′

bidang .

21

Kasus I: Jika garis tegak lurus terhadap bidang , maka proyeksi garis
terhadap bidang hanyalah sebuah titik yang terletak pada bidang

(gambar 7. 34a).

A
A

B B ′

(a) (b)

Gambar 7. 34 (a) Proyeksi garis tegak lurus pada bidang (b) Proyeksi garis menembus bidang

Kasus II. Jika sebuah garis menembus bidang (gambar 7. 34b), maka

langkah-langkah meproyeksikannya adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Proyeksikan titik Proyeksikan titik Garis ′ ′ adalah

terhadap bidang . ′ terhadap bidang proyeksi dari garis

adalah proyeksi titik yaitu titik itu sendiri terhadap bidang .

3. Proyeksi Dua Bidang

Misalkan segitiga diproyeksikan pada bidang maka langkah-langkah
memproyeksikannya adalah:

Step 1 Step 2 Step 3
Proyeksikan Titik ′, ′ dan ′ berturut-turut Segitiga ′ ′ ′
masing-masing merupakan proyeksi titik , dan merupakan hasil
titik sudut proyeksi segitiga
segitiga pada terhadap bidang .
terhadap
bidang bidang .

Gambar 7. 35 Proyeksi dua bidang

22

Contoh H G
E F
Kubus . memilikipanjang rusuk
cm. Tentukan panjang proyeksi

a. Garis ke bidang

b. Garis ke bidang DC

c. Bidang ke bidang

Penyelesaian: ke bidang AB
a. Proyeksi ke bidang adalah garis , panjang = cm
b. Proyeksi adalah titik , panjang = cm

c. Proyeksi bidang pada bidang adalah garis . Luas dari
proyeksi =

1. Gambar segmen garis yang mempunyai panjang 5 cm dan membentuk

sudut sebesar ° dengan garis g. Gambarkan juga proyeksi garis pada

garis , kemudian tentukan panjang proyeksinya!

2. Gambarkan limas persegi panjang . :

a. Tentukan di mana letak proyeksi titik pada bidang ?

b. Gambarkan proyeksi garis terhadap bidang

c. Gambarkan proyeksi bidang terhadap bidang . Jika =

, tentukan luas dari proyeksi tersebut.

Latihan 7.4

1. Diberikan kotak . . Tentukan:

a. Proyeksi garis dan terhadap bidang

b. Proyeksi garis pada bidang
2. Diketahui kubus . . carilah proyeksi dari:

a. Garis pada bidang b. Garis pada bidang

23

c. Garis pada bidang

3. Diberikan sebuah kubus . dengan titik terletak di tengah garis
c. AF terhadap bidang
. Tentukan proyeksi dari:

a. terhadap bidang alas

b. terhadap bidang

4. Pada kubus . dan titik adalah titik tengah dari garis .

Gambarkan proyeksi:

a. Garis dengan bidang alas

b. Garis terhadap bidang
5. Diketahui kubus . dengan rusuk 6 cm. Hitung panjang proyeksi

garis pada bidang !

Pada kajian geometri analitis, konsep jarak yang dipelajari adalah jarak antara

dua titik menggunakan koordinat titik kartesius sehingga dapat dicari dengan

menggunakan rumus

=√ − + −

Selain jarak antar dua titik, dapat dihitung pula jarak antara sebuah titik dengan sebuah

garis jika diketahui persamaan garis tersebut menggunakan rumus

=| + +|
√+

Teknis perhitungan jarak dalam geometri ruang lebih banyak menggunakan Teorema

Phytagoras dan sifat-sifat bangun ruang. Konsep jarak yang pernah dipelajari pada

geometri analitik tersebut selanjutnya diperluas dalam geometri menjadi menghitung

jarak antara

i. Dua titik, titik ke garis dan titik ke bidang

ii. Dua garis dan garis ke bidang

iii. Dua bidang.

1. Titik

a. Jarak antara dua titik

24

Gambar 7. 36 Jarak dua titik

Jarak merupakan garis terpendek yang diperoleh dari menggambarkan dua
buah titik. Oleh karena itu, jarak antara dua titik (titik dan titik ) adalah panjang
dari segmen garis .

Contoh

Sebuah kubus . dengan rusuk 6 cm. Jika titik merupakan titik

perpotongan antara diagonal sisi , hitunglah panjang antara titik dan titik .

Penyelesaian: H G
F
Perhatikan bahwa ∆ merupakan segitiga siku-siku

dengan siku-siku di titik ( ⊥ bidang ). E

=+

=+ DC
AB
= +√
=

= √ cm

Rumah Asri, Benny dan Claudia berada dalam sebuah pedesaan. Rumah Benny
terletak di sebelah Timur dari rumah Asri dan jarak antara rumah Benny dan Asri
adalah 4 km, sedangkan rumah Claudia terletak 3 km di bagian Utara dari rumah
Benny. Tentukan jarak sesungguhnya antara rumah Asri dan Claudia!

b. Jarak antara titik dan garis

Jika suatu titik dilalui oleh garis atau bidang,
apakah titik tersebut memiliki jarak terhadap
garis dan apakah titik memiliki jarak terhadap
bidang?

25

Ambil alat ukur sejenis meteran dan gunakan alat ukur tersebut
untuk mengukur jarak antara titik penalti terhadap titik yang
berada di garis gawang pada lapangan sepak bola yang ada di
sekolahmu. Lakukan hal ini berulang-ulang hingga mendapatkan
jarak minimum antara titik penalti dengan garis gawang tersebut!
Buatlah tabel yang memuat hasil pengukuran tersebut kemudian
buatlah kesimpulan dari hasil yang diperoleh!

Jika sebuah titik terletak di luar garis, maka ada jarak antara titik ke garis

tersebut.
Kasus I: Jika titik dan garis terletak pada bidang dan titik berada di
luar garis (gambar 7. 37a), maka jarak antara titik dan garis dapat

ditentukan dengan langkah-langkah berikut

Step 1 Step 2 Step 3

Buatlah bidang yang Pada bidang , buatlah Segmen garis

melalui titik dan garis tegak lurus merupakan jarak titik
garis . terhadap garis . ke garis .

P

P R


(a) (b)

Gambar 7. 37 Jarak titik ke garis

Kasus II: Jika titik garis terletak pada bidang namun titik berada di luar

bidang (gambar7. 37b) maka jarak antara titik dan garis dapat

ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Buatlah segmen garis Gambar garis Segmen garis

yang tegak lurus tegak lurus terhadap merupakan jarak antara
dengan bidang
garis titik dan garis .

26

Contoh

Sebuah kotak . mempunyai ukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm dan

tinggi 6 cm. Titik merupakan titik perpotongan antara diagonal sisi permukaan

atas kotak tersebut yaitu dan . Titik dan berturut-turut adalah titik

tengah dari garis dan garis . Tentukan jarak antara:

a. Titik dan garis

b. Titik dan garis

Penyelesaian:

a. Titik berada di luar bidang sehingga jarak antara titik dan garis

dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah berikut:

(i) Gambar garis ⊥ H G

(ii) Gambar garis ⊥ E R P
F
(iii) merupakan jarak antara

titik dengan garis .
=+
=+= D C
=√ = √ Q
B
A

b. Garis terletak pada bidang H G

,⊥ dan ⊥ P
F
. Oleh karena itu, jarak antara E

titik dan garis adalah garis

. D C
=+

=+= A B

=√ =

c. Jarak antar titik dan bidang
Jika sebuah titik berada di luar bidang maka ada jarak antara titik ke bidang

itu. Jarak titik A ke bidang (titik A berada di luar bidang ) dapat dicari
dengan langkah-langkah berikut:

27

Step 1 Step 2 Step 3

Buatlah garis Garis menembus bidang pada Segmen garis

yang melalui titik . merupakan jarak

titik A dan tegak titik ke bidang
lurus bidang . A

.

Q



Gambar 7. 38 Jarak titik dan bidang

Contoh

Diberikan sebuah kubus . dengan rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara

titik dan bidang !

Penyelesaian: H G
Perhatikan gambar kubus . di samping! F

Titik terletak pada bidang . Bidang dan

saling berpotongan pada garis . Jika E
merupakan tinggi dari segitiga , maka ⊥ .

menembus bidang dan tegak lurus terhadap K
D
sehingga merupakan jarak antara titik ke C

. Untuk mencari panjang maka perbesar A B
gambar ∆ .

= , = = √=√

= + =+=

=√ = √

= =√= √
= → = √

= √ √ =√ = √

∴ Jarak antara titik tehadap bidang adalah √

28

Latihan 7. 5

1. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 5 cm. Titik pertengahan

rusuk . Hitunglah jarak:

a. Titik ke titik c. Titik ke titik

b. Titik ke titik . d. Titik ke titik
2. Diketahui kubus dengan panjang rusuk 5 cm. Titik pertengahan

rusuk . Hitunglah jarak: c. Titik ke garis
a. Titik A ke garis

b. Titik ke garis d. Titik ke garis

3. Diketahui balok . dengan = ,= dan =
dan .
. Titik adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas

Hitunglah jarak:

a. Titik ke bidang c. Titik ke bidang

b. Titik ke bidang d. Titik ke bidang ,=
4. Bidang alas limas tegak . berbentuk persegi panjang, =
= , . Hitunglah:
, dan = = =

a. Panjang

b. Jarak titik ke bidang alas .

5. . adalah limas dengan tegak lurus terhadap garis dan panjang
!
= = = . Tentukan jarak titik ke bidang

6. Panjang setiap rusuk kubus . ialag √ sedangkan panjang titik

pada dan = . Tentuan jarak titik ke bidang !

7. Pada prisma segi empat beraturan . dengan rusuk 6 cm dan tinggi

prisma 8 cm. titik potong diagonal dan adalah W V
. Tentukan jarak titik ke !

8. Perhatikan gambar di samping! Sebuah kubus T U
. dengan panjang rusuk 4 cm. Titik
R
terletak pada pusat kubus tersebut. Hitunglah jarak antara: S
a. Titik dan

b. Titik dan garis P Q

9. Kubus . memiliki panjang rusuk 8 cm. Titik

merupakan titik tengah . Hitunglah jarak antara:

29

a. Titik dan titik . dengan rusuk . Titik adalah suatu titik pada
b. Titik dan garis
10. Diketahui kubus sehingga = . Jika bidang memotong bidang
perpanjangan garis

atas sepanjang , maka tentukan panjang !

11. Pada kubus . dengan rusuk . Tentukan panjang proyeksi garis

pada bidang !

12. Diketahui kubus . dengan rusuk . adalah titik tengah rusuk

. Tentukan jarak antara titik ke garis !

13. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk . Jika merupakan

proyeksi titik pada bidang , maka tentukanlah jarak titik ke titik !

14. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk . Jika titik P berada pada

perpanjangan garis sehingga = , maka tentukanlah jarak titik ke

garis !

15. Panjang rusuk kubus . adalah 6 cm. Titik dan masing-masing

terletak pada rusuk dan . Panjang = dan = . Hitunglah

jarak antara:

a. Titik dan titik c. Titik dan bidang

b. Titik dan garis

2. Garis

a. Jarak antara dua garis sejajar
Jika dua garis sejajar, garis dan garis ℎ terletak pada bidang yang sama

bidang maka garis memotong garis dan ℎ secara tegak lurus dengan titik
potong berturut-turut dan ′, maka jarak antara titik dan titik ℎ adalah panjang
dari segmen garis ′.



′

Gambar 7. 39 Jarak antar dua garis sejajar

30

b. Jarak antara dua garis bersilangan
Kasus I: Pada gambar 7. 40a, garis dan ℎ saling bersilangan maka untuk

mencari jarak antara garis dan ℎ adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3 Step 4 Step 5

Gambar garis Gambar Gambar bidang Gambar garis yang
′ yang bidang yang tegak lurus melalui titik dan merupakan

sejajar yang memuat dengan bidang dan tegak lurus dengan jarak antara

dengan garis garis ′ dan memuat garis . garis . Asumsikan garis dan ℎ

dan ℎ. Bidang memotong garis ini memotong

memotong ℎ. garis ℎ pada titik . pada

Kasus II: Jika garis dan ℎ saling bersilangan tegak lurus seperti pada

gambar 7. 40b maka jarak antara garis dan ℎ dapat dicari dengan langkah-

ℎ

Q

P

′ ℎ

(a) (b)
langkah berikut:
Gambar 7. 40 Jarak dua garis bersilangan

Step 1 Step 2 Step 3 Step 4

Gambar bidang Asumsikan garis Gambar garis yang melalui merupakan
yang memuat garis ℎ menembus jarak antara garis
bidang pada dan tegak lurus terhadap dan ℎ yang saling
yang tegak lurus titik . garis . Asumsikan garis
terhadap garis ℎ. ini memotong garis pada bersilangan tegak

titik . lurus.

c. Jarak antara garis sejajar dan sebuah bidang
Pada gambar 7. 41 garis berada di luar bidang dan sejajar dengan bidang .
Untuk mencari jarak antara garis dengan bidang adalah sebagai berikut:

31

Step 1 Step 2 Step 3
Pilih sebuah titik Gambar sebuah garis dari titik Segmen garis ′
merupakan jarak
pada garis tegak lurus terhadap bidang garis ke bidang
misalnya titik dan menembus bidang di titik
.
′. (Titik ′ adalah proyeksi
pada bidang )
P

P′

Gambar 7. 41 Jarak garis dan bidang

3. Bidang

Jika bidang sejajar dengan bidang . Maka untuk menentukan jarak

antara dua bidang sejajar tersebut adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Pilih sebuah Dari titik ditarik garis yang Segmen garis

perwakilan titik pada tegak lurus terhadap bidang merupakan jarak

pada bidang dan menembus bidang di titik dari bidang ke

misalnya titik . . (Titik adalah proyeksi titik bidang .

pada bidang )

Gambar 7. 42 Jarak dua bidang sejajar

32

Contoh

Balok . mempunyai panjang 8 cm, lebar 4 cm dan tinggi 6 cm.

tentukan jarak antara: H G
a. Garis dan E F
b. dan bidang

c. Bidang dan

d. Garis dan D C
Penyelesaian:

a. dan terletak dalam bidang A B

. sejajar dengan sehingga jarak antara dan dapat

diwakili oleh panjang garis .

=√ + = √

∴ Jarak antara garis dan adalah √ .

b. Garis sejajar dengan bidang . Garis sejajar dngan pada

bidang . Jarak antara garis dan bidang dapat diwakili
adalah .
dengan jarak = .

∴ Jarak antara garis dan bidang

c. Bidang sejajar dengan . Segmen garis mewakili jarak antara
.
dua bidang ini dikarenakan ⊥ adalah .

∴ Jarak antara bidang dan

d. Garis dan saling bersilangan. Garis sejajar dengan dan

memotong pada titik . garis dan membentuk sebuah bidang

. Garis tegak lurus terhadap bidang dan memotong dengan

tegak lurus garis sehingga dapat mewakili jarak garis dan .
∴ Jarak antara garis dan adalah .

Latihan 7. 6 = ,=

1. Diketahui balok . dengan panjang
dan = . Hitunglah jarak antara:
a. Garis dan

b. Garis dan bidang 33
c. Bidang dan .

2. Pada kubus . dengan rusuk . Tentukan panjang proyeksi

pada bidang !

3. Pada balok . diketahui pajang = = . Jika

panjang = , maka hitunglah panjang !

4. Pada kubus . , diketahui rusuk kubus adalah 8 cm dan titik ,

titik , titik , serta titik beruturut-turut merupakan titik tengah dari garis
, , dan . Hitunglah jarak antara garis:

a. dan c. dan bidang

b. dan . dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak
5. Diketahui kubus

antara:

a. Garis dan c. Bidang dan .

b. Garis dan bidang

6. Pada kubus . dengan panjang rusuk √ cm. Hitunglah jarak
antara bidang dan !

Pada bidang dua dimensi, sudut hanya dapat dibentuk oleh dua garis yang tidak

sejajar. Dalam ruang dimensi tiga, konsep sudut diperbesar menjadi sudut antar

dua garis yang berpotongan, dua garis yang bersilangan, sudut antara garis dengan

bidang dan sudut antara dua buah bidang.

1. Sudut Antar Dua Buah Garis

Pada gambar 7. 43 sebuah tiang bendera disambung dan diikat

menjadi sebuah tiang. Tiang tersebut berdiri tegak dengan bantuan tali

yang diikat pada tongkat dan ditarik dengan kuat ke pasak yang telah

ditancapkan ke tanah ke tiga arah. Melalui gambar 7. 43 dapat

disketsakan menjadi sudut antar dua garis perhatikan gambar 7. 44.

Gambar 7. 43 Tiang bendera

34

adalah tiang bendera dengan dan adalah tali pandu. Dari
gambar 7. 44, jelas dapat dilihat bahwa sudut yang di bentuk oleh dan

adalah dan sudut yang dibentuk oleh dan adalah .

Gambar 7. 44 Sketsa tiang bendera

Kasus I: Jika garis berimpit atau sejajar dengan ℎ, maka sudut yang

terbentuk sama dengan nol.
Kasus II: Apabila garis dan ℎ berada pada bidang yang sama dan

memotong pada titik (gambar 7. 45), maka sudut yang terbentuk oleh
garis dan ℎ ditulis ∠ , ℎ adalah ∠ atau ∠ ′ ′.

′ ℎ



′ ℎ ′

(a) (b)

Gambar 7. 45 Sudut dua garis berpotongan

Cara menentukan sudut antar dua garis berpotongan adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2
Besar sudut ditetapkan
Ambil sembarang titik pada garis sebagai ukuran sudut antara
dan sembarang titik pada garis
garis dan garis ℎ yang
ℎ. Dengan garis dan ℎ berpotongan
berpotongan di titik

′

ℎ′
ℎ

Gambar 7. 46 Sudut dua garis bersilangan

35

Kasus III: Gambar 7. 46 menunjukkan garis dan garis ℎ bersilangan
garis menembus bidang di titik dan garis ℎ terletak pada bidang .
Sudut antar garis yang bersilangan dengan garis ℎ dapat ditentukan
dengan langkah-langkah berikut:

Step 1 Step 2 Step 3
Ambil
sembarang titik Melalui titik , buatlah Sudut yang dibentuk oleh
pada bidang garis ′ sejajar dengan garis ′ dan garis ℎ′

garis dan garis ℎ′ merupakan sudut antar garis
sejajar dengan garis ℎ dan garis ℎ yang
bersilangan

Note: lebih praktis memilih titik dari salah satu garis (garis atau garis ℎ

Contoh

1. Pada limas segi empat beraturan . . Tentukan T

sudut antara garis dan garis !

Penyelesaian:

Garis dan garis merupakan dua garis

bersilangan, maka sudut antara garis dan D C
adalah ∠ , sebab garis sejajar dengan garis .

AB
2. Pada kubus . dengan rusuk tentukan sudut yang terbentuk antara

garis

a. dan HG

b. dan

EF

DC
AB

36

Penyelesaian:

Garis dan garis saling berpotongan pada titik . E

Sudut antara garis dan adalah ∠ .

Perhatikan sama kaki ∆ di samping. ∠ = °.

∴ Garis dan membentuk sudut °.

c. Garis dan saling bersilangan. sejajar

dengan garis yang terdapat pada bidang . A D

∠ , = ∠ . Perhatikan ∆ di berikut!

√ = √ =√
E
= tan− √
CG = , °

Latihan 7. 7

1. Diketahui kubus . , tentukan sudut antara garis

a. dan c. dan

b. dan d. dan
2. Tuliskan rusuk-rusuk pada kubus . yang membentuk sudut °

terhadap rusuk . dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah besar
3. Diketahui kubus

sudut yang terbentuk antara:

a. Garis dan garis c. Garis dan garis

b. Garis dan garis

4. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 12 cm. Hitunglah tangen

sudut yang terbentuk antara garis dan !

5. Pada kubus . dengan adalah sudut antara diagonal dan

rusuk . Tentukan nilai !

6. Pada kubus . panjang rusuk 8 cm. adalah sudut antara garis

dengan garis diagonal ruang . Tentukan nilai dan !

7. Tentukan besar sudut yang dibentuk antar diagonal bidang pada kubus
. dengan panjang rusuk !

37

8. Sebuah prisma segitiga . dengan G
dengan
alas berupa segitiga sama sisi

sisi 6 cm dan panjang rusuk tegak 10 cm.

Tentukan besar sudut yang dibentuk antara: E F

a. Garis dan

b. Garis dan C

9. Pada balok . , titik merupaka

titik . Jika panjang = ,= A B

dan = . Tentukan besar sudut

antara garis dan ! , dan
10. Balok . dengan panjang rusuk = , = dan

= . Tentukan nilai cosinus sudut yang terbentuk antara garis
!

2. Sudut Antara Garis Dan Bidang

Matahari (Pukul 12.00)
Pohon tumbuh miring

Proyeksi

Bayangan Pohon

Gambar 7. 47 Sketsa proyeksi pohon

Gambar 7. 47 menunjukkan sebuah pohon yang tumbuh miring di sebuah

lapangan. Pada pukul 12.00, matahari akan bersinar tepat di atas pohon tersebut

sehingga bayangan pohon tersebut merupakan proyeksi ortogonal pada bidang

(tegak lurus). Misalkan garis adalah pohon tersebut dan merupakan

proyeksi pada bidang, dengan demikian sudut yang dibentuk oleh

dengan bidang adalah sudut yang dibentuk dengan proyeksinya pada
bidang tersebut yaitu ∠ .

Kemungkinan kedudukan antara garis dan bidang adalah:

38

a. Jika sebuah garis terletak pada bidang, maka sudut yang terbentuk
adalah sebesar °

b. Jika sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang, maka sudut yang
terbentuk juga sebesar °

c. Jika sebuah garis memotong atau menembus sebuah bidang maka
terdapat sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang itu. Langkah-
langkah dalam menentukan sudut yang terbentuk oleh garis yang
memotong bidang adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3
Ambil Melalui titik , buatlah garis ℎ tegak Sudut ′
sembarang merupakan besar
titik pada lurus terhadap bidang . Garis ℎ sudut antara garis
garis menembus bidang di titik ′
yang
berpotongan
dengan bidang .
′

ℎ

Gambar 7. 48 Sudut garis menembus bidang

Contoh

1. Kubus . dengan rusuk 6 cm. Hitunglah besar
a. ∠ , ,
b. ∠ , ∠, , dan ∠ ,

Penyelesaian: H G
F
a. ∠ , =∠ , yaitu sudut yang
dan garis , sebab C
dibentuk oleh garis E B

merupakan proyeksi pada bidang .

∆ adalah segitiga siku-siku sama kaki

sehingga ∠ = °. D

∴∠ , =° A

b. ∠ , = ∠ , yaitu sudut yang H 39
G
dibentuk oleh garis dan garis , sebab garis F

adalah proyeksi pada bidang ∆ E C
B
merupakan segitiga siku-siku di dengan =

√ , = √ dan = . Dengan D

mengambil sinus, kosinus dan tangen sudut pada A
∆ maka diperoleh:

(i) sin = = √ = √ = √

(ii) c s = = √ = √ = √
√ √

(iii) tan = = √ = √ = √

Latihan 7. 8

1. Diketahui kubus . dengan rusuk cm. Hitunglah besar

∠, !

2. Diketahui kubus . dengan rusuk 10 cm. Hitunglah:

a. ∠ ,

b. c s ∠ ,

3. Pada kubus . dengan rusuk 2 cm. Tentukan sudut yang terbentuk

antara garis dengan bidang dan hitunglah tan ∠ , !

4. Pada kubus . dengan rusuk 12 cm. Titik dan berturut-turut

terletak di tengah rusuk dan . Hitunglah sin ∠ , !

5. Bidang alas dari limas . berbentuk persegi panjang dengan =

,= , dan = = = = . Hitunglah besar sin

∠, !

6. Pada limas tegak beraturan . dengan rusuk alas 4 cm dan rusuk tegaknya

6 cm. Hitunglah ∠ , !

7. Diketahui limas segi empat beraturan . dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk

tegak √ cm. Hitunglah tan ∠ , !

8. Pada limas segi empat beraturan yang semua rusuknya sama panjang. Tentukan

besar ∠ , !

40

9. Diketahui kubus . dengan rusuk 4 cm. titik adalah titik

perpanjangan sehingga = . Hitunglah tan ∠ , !

10. Balok . dengan panjang = = dan = . Titik

terletak pada sehingga : = : dan titik terletak pada sehingga

: = : . Hitunglah tan ∠ , !

11. adalah persegi panjang pada bidang horizontal dal adalah persegi
panjang pada bidang vertikal. Panjang = , = dan = .

Jika dan berturut-turut sudut antara dengan bidang dan bidang
, tentukan;ah tan . tan !

3. Sudut Antara Dua Bidang

Sebuah buku terbuka seperti gambar 7. 49. Jika sampul depan buku dimisalkan

bidang dan sampul belakang buku adalah bidang berpotongan pada tulang

buku yang dimisalkan garis dan disketsakan seperti gambar (), maka akan ada

sudut yang terbentuk antara sampul depan buku dengan sampul belakang buku.

Pada gambar () garis dan garis tegak lurus degan garis . Dengan demikian,

sudut yang dibentuk oleh bidang dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh

garis dan .

Sampul depan

Sampul belakang

Tulang buku

Gambar 7. 49 Buku

Kemungkinan kedudukan antara dua bidang adalah:
a. Pada dua bidang saling berimpit, sudut yang terbentuk adalah sebesar °
b. Sudut yang terbentuk antara dua bidang yang sejajar sebesar °
c. Jika dua buah bidang saling berpotongan maka terdapat ukuran sudut yang

dibentuk oleh kedua bidang tersebut.

41

Langkah-langkah dalam menentukan sudut yang terbentuk oleh dua bidang, bidang
dan bidang adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3
Ambil sembarang Melalui titik , buatlah garis Sudut
titik pada garis merupakan sudut
perpotongan , pada bidang dan garis yang terbentuk
pada bidang yang antara bidang
dan bidang
masing-masing tegak lurus
terhadap garis potong ,

,

Gambar 7. 50 Sudut bidang berpotongan

Contoh

Kubus . dengan panjang rusuk 4 cm. H G
,! D F
Tentukan besar ∠
C
Penyelesaian: E B
A
Bidang dan saling memotong pada garis

. Pilih titik yang merupakan titik tegah garis

sehingga ⊥ (diagonal persegi ), ⊥

(tinggi atau membagi ∆ menjadi dua bagian

yang sama)

∠, =∠ =

tan = √ = √

= tan− √ = , °

∠, = , °.

42

Latihan 7. 9

1. Kubus . dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah

a. ∠ , c. tan ∠ ,

b. ∠ ,

2. Sebuah balok dengan = , = dan = . Hitunglah:

a. ∠ , c. ∠ ,

b. ∠ ,

3. Diketahui titik dan berturut-turut adalah titik tengah rusuk tegak dan

. Hitunglah sin ∠ , !

4. Pada limas segi empat . , bidang alas berbentuk persegi panjang

dengan = ,= dan = = = = .

Hitung:

a. tan ∠ ,

b. c s ∠ ,

5. Bidang empat beraturan . dengan panjang rusuk-rusuknya 6 cm.

Hitunglah c s ∠ , !

6. Diketahui limas beraturan . dengan titik adalah titik potong

diagonal dan merupakan tinggi limas. Panjang = dan

= √ . Tentukan besar ∠ , !

7. Balok . dengan alas berbentuk persegi. Jika = , =

, dan adalah ∠ , mka hitunglah sin !

8. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 12 cm. Hitung

sin ∠ , )!

9. Pada kubus . dengan dan berturut-turut adalah titik tengah

dan . Hitunglah tan ∠ , !

10. Bidang empat (Tetrahedron) . mempunyai alas segitiga siku-siku

dengan sisi = . = √ tegak lurus pada alas, jika =
maka tentukan ∠ , !

43

Proyeksi dan jarak titik ke garis, antar dua garis, garis terhadap bidang, antar
dua bidang serta sudut antar dua garis, garis dengan bidang dan antar dua bidang dapat
dikombinasikan untuk menyelesaikan berbagai soal penerapan dimensi tiga.

Contoh

1. Sebuah limas dengan alas persegi dan titik puncak limas adalah . Jika

luas alas adalah 196 dan ∆ = E
serta ∆ = , maka volume limas

tersebut adalah . . .

Penyelesaian: D C
Misalkan ℎ adalah tinggi limas dan merupakan
jarak dari ℎ ke garis . Cari tinggi ∆
dengan rumus luas ∆

∆ = . .∆ ( adalah sisi persegi) A B
= . .∆ →∆ = × ÷
=

Sedangkan ∆ :
∆ = . .∆

= . .∆ → ∆ = × ÷ =

Maka dengan teorema Phytagoras diperoleh
ℎ = − − … (i)
ℎ = − …(ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh
−−= −
− − += −

− + = →=

Maka ℎ = √ −

ℎ=√ − =√ =

sehingga, = × ×ℎ

∴ =× × =

2. Diketahui sebuah balok 44

memiliki perbandingan E H G
rusuk-rusuk ∶ ∶ . A F

Panjang diagonal rusuknya C

21 cm. maka volum balok

tersebut adalah . . . D

Penyelesaian: B
Perbandingan ∶
∶= ∶
∶ +
=+ =
=+ =

= √ = √ cm

=+

= √+
=

=√

= →= =× =
Jadi panjang balok:

lebar balok: = × = ×× = ××=
tinggi balok: = × = ,
sehingga volume balok adalah =

Latihan 7. 10

1. Sebuah tiang listrik setinggi 6 m ditopang oleh tiga buah kawat yang ditancapkan

ke tanah. Jika jarak antara tiang dan posisi kawat yang ditancapkan ke tanah

adalah 2,5 m dan posisi tiang tegak lurus dengan posisi kawat yang ditancapkan

di tanah. Tentukan panjang kawat yang diperlukan!

2. Diketahui kubus . dengan titik , , dan masing-masing terletak

pada pepanjangan , , dan . Jika = , = , DAN =

. Tentukan perbandingan volume kubus yang dibagi oleh bidang yang
melalui , , dan !

45

3. Dalam kubus . , titik adalah titik tengah sisi dan adalah titik

tengah diagonal ruang . Tentukan perbandingan antara volume limas
dan volume kubus . !

4. Diketahui prisma tegak segitiga . . jika = , =√ dan
dan
= . Tentukan volume prisma!

5. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 4. Jika titik

masing-masing adalah titik tengah dari garis dn , tentukanlah luas

segitiga !

6. Sebuah piramida tegak . mempunyai alas berbentuk persegi

dengan luas dan panjang rusuk tegaknya 13 cm. jika adalah sudut

antara bidang dan . Tentukan nilai sin !

7. Diketahui kubus . . Titik , , dan berturut-turut adalah titik
. Tentukan perbandingan luas ∆ dengan
tengah , , dan
!
proyeksi ∆ ke bidang . (dalam bentuk variabel ) yang beralaskan

8. Tentukan volume prisma

segitiga sama kaki dengan tinggi limas adalah 4 cm!

9. Pada kubus . dengan rusuk dan titik merupakan titik

tengah bidang . Tentukan luas segitiga !

10. Kubus . panjng sisinya 1 dm. Titik adalah titik tengah

dengan = . Titik adalah proyeksi titik pada garis dan titik

adalah proyeksi pada bidang . Hitunglah luas ∆ !

Perhatikan berbagai objek yang kamu temui di sekelilingmu. Pilihlah minimal tiga
objek dan rancanglah masalah yang pemecahannya menerapkan sifat dan rumus
jarak titik ke garis atau jarak titik ke bidang kemudian buatlah laporan dan sajikan
di depan kelas!