46
Menentukan Luas Bidang Irisan
I. Tujuan: menentukan dan menghitung luas daerah irisan bangun ruang pada
diagram Cartesius.
II. Alat dan bahan:
1. Karton 4. Gunting 7. Lem
2. Penggaris 5. Buku 8. Kertas
3. Spidol 6. Alat tulis
III. Langkah Kerja:
1. Siapkan alat dan bahan yang akan digunakan.
2. Buatlah beberapa bangun kubus, balok, limas segitiga dan limas segi empat
dari karton.
3. Buatlah tiga titik sembarang pada bangun dengan spidol di mana tidak semua
titiknya terletak pada satu bidang.
4. Guntinglah bangun tersebut menurut bidang irisan yang melewati ketiga titik
tersebut. Bidang irisan tersebut merupakan bidang datar. Sebelum digunting,
lukislah bidang irisan tersebut terlebih dahulu pada sisi-sisi bangun. Jika
kesulitan dalam melukis bidang irisan, cobalah untuk membuat sketsanya di
kertas terlebih dahulu.
5. Cetaklah bidang irisan tersebut pada selembar kertas. Jika semua sisi irisan
menempel pada kertas maka Anda telah membuat irisan yang benar.
6. Lakukan langkah 2-5 untuk limas segi lima, limas segi enam, prisma segitiga,
prisma segi lima, prisma segi enam ataupun bangun lainnya.
IV. Pertanyaan
Bentuk bidang irisan seperti apa saja yang diperoleh dari masing-masing bangun
ruang? Hitunglah luas bidang-bidang irisan yang telah diperoleh dari bangun-
bangun ruang tersebut!
V. Kesimpulan
Buatlah kesimpulan dari kegiatan ini!
47
Sebuah bangun ruang jika diiris sebuah bidang maka hasilnya berupa sebuah
(a) (b)
Gambar 7. 51 Bidang irisan
bidang datar. Gambar 7. 51a menunjukkan bahwa suatu kubus diiris vertikal oleh
bidang α hasuil irisannya berbentuk bidang dan gambar 7. 51b menunjukkan
bahwa limas segitiga yang diiris oleh bidang hasil irisannya berupa bidang
berbentuk segitiga .
Langkah-langkah dalam menggambar bidang hasil irisan adalah sebagai
berikut:
Step 1 Step 2 Step 3
Gambar sumbu afinitas Dengan menggunakan Berdasarkan garis-
yaitu garis potong antara bantuan sumbu afinitas, garis potong tersebut
bidang irisan dengan salah gambarlah garis-garis tentukan bidang
satu bidang pada bangun potong bidang irisan dengan irisnya.
yang diiris bangun yang diiris
Contoh
Diketahui suatu kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada rusuk EF sedemikian
rupa sehingga EP:PF = 1:3. Titik Q terletak pada garis BC sehingga BQ:BC =
1:3, dan titik R terletak pada garis CG sehingga GR:RC = 1:3. Gambarlah bidang
irisan kubus tersebut dengan bidang yang melalui titik P, Q, dan R!
Penyelesaian:
48
Langkah 1: Gambarkan sumbu afinitasnya dengan menarik garis yang
menghubungkan titik R dan Q
sampai memotong perpanjangan FG
di titik W dan perpanjangan BF di
titik U. Garis WU merupakan sumbu
afinitasnya.
Langkah 2: Tarik garis dari U ke P,
sehingga memotong garis AB di titik
S. Tarik pula garis dari W ke P
sehingga memotong garis HG, di
titik T.
Langkah 3: Hubungkan TR dan QS dengan sebuah garis sehingga terbentuk
bidang irisan PSQRT.
Latihan 7. 11
1. Diketahui kubus . dengan rusuk . Gambarlah irisan bidang yang
melalui diagonal dan titik tengah rusuk dan tentukan luas bidang di
dakam kubus tersebut!
2. Kubus . dengan rusuk cm. Titik , dan adalah titik-titik
tengah dari , dan . Tentukan bentuk bangun datar bidang ?
3. Diketahui kubus . . Titik adalah titik tengah rusuk . Tentukan
bentuk irisan bidang yang melalui titik , dan dengan kubus!
4. Balok . memiliki titik , dan yang berturut-turut terletak pada
rusuk , dan . Diketahui = , = dan = .
Tentukanlah bentuk irisan bidang yang melalui titik , dan pada balok
.!
5. Diketahui limas segi-empat beraturan . dengan = dan tinggi
limas 8 cm. Titik terletak pada perpanjangan sehingga = , titik
terletak pada perpanjangan sehingga = dan merupakan titik
tengah . Tentukanlah bentuk irisan bidang antara limas dengan bidang yang
melalui titik , dan !
49
Titik, Garis dan Bidang
Titik dideskripsikan dengan menggunakan tanda noktah.
Garis lurus merupakan kumpulan dari titik-titik dan merupakan kurva lurus
yang tidak memiliki ujung maupun pangkal.
Sebuah bidang datar mempunyai luas daerah tak terbatas.
Kedudukan titik terhadap garis:
1. Titik terletak pada garis jika titik dilalui oleh garis .
2. Titik berada di luar garis jika titik tidak dilalui oleh garis .
Kedudukan titik terhadap bidang: .
1. Sebuah titik terletak pada bidang , jika bidang memuat titik .
2. Sebuah titik terletak di luar bidang , jika bidang tidak memuat titik
Kedudukan dua buah garis:
1. Berimpit, jika setiap titik pada garis juga terletak pada garis ℎ.
2. Berpotongan, jika terdapat dua buah garis yang memiliki sebuah titik
persekutuan yang sama.
3. Sejajar, jika terdapat dua buah garis yang tidak memiliki titik persekutuan.
4. Bersilangan, jika terdapat dua buah garis yang tidak sejajar dan tidak
berpotongan serta terletak pada dua bidang yang berbeda.
Kedudukan garis terhadap bidang:
1. Garis terletak pada bidang, jika garis dan bidang tersebut sekurang-
kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.
2. Garis sejajar dengan bidang, jika garis dan bidang tersebut tidak mempunyai
titik persekutuan.
50
3. Garis menembus bidang, jika garis dan bidang tersebut mempunyai titik
pesekutuan.
A
Kedudukan dua buah bidang:
1. Berhimpit, jika setiap titik pada
bidang juga terletak pada bidang kedua bidang tersebut memiliki
bidang daerah persekutuan.
2. Sejajar, jika terdapat dua buah bidang yang tidak memiliki titik maupun
garis persekutuan.
3. Berpotongan, jika terdapat dua buah bidang yang tidak sejajar dan memiliki
titik tepat sebuah garis persekutuan (garis potong).
Proyeksi
Proyeksi titik pada bidang
Proyeksi titik pada bidang adalah sebuah titik yang dilalui oleh garis yang
berpangkal di titik yang tegaklurus terhadap bidang .
Proyeksi garis pada bidang adalah ′ ′ dengan garis ′ dan ′ tegak
Proyeksi garis pada bidang
lurus terhadap bidang .
Jarak dalam bangun ruang
Jarak antar dua buah titik adalah panjang segmen garis tependek yang
menghubungkan dua buah garis tersebut.
Jarak titik ke garis adalah jarak titik ke proyeksinya pada garis tersebut.
Jarak antar dua buah garis:
1. Jarak antar dua garis sejajar adalah jarak salah satu titik di salah satu garis
ke garis lainnya
2. Jarak atara dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus
terhadap kedua garis tersebut.
Jarak antar dua buah bidang yang sejajar adalah jarak dari salah satu titik pada
bidang yang satu ke bidang yang lainnya.
Sudut dalam bangun ruang
51
Sudut antara dua buah garis adalah sudut yang terbentuk akibat perpotongan
dua garis pada satu titik.
ℎ
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dengan poyeksi
bidangnya.
′
ℎ
Sudut antara dua buah bidang adalah sudut yang terbentuk akibat perpotogan
dua bidang pada satu garis.
,
52
A. Pilihan Berganda
1. Pusat dari permukaan-permukaan prisma yang alasnya berbentuk belahketupat
akan digabung membentuk sebuah oktahedron. Volume dari oktahedron tersebut
adalah . . . (American Mathematics Competition, 2015)
a.
b. 10
c. 12
d. √
e. 15 5
2. Pada kubus . dengan panjang rusuk 4, titik terletak pada segmen
garis sehingga = . Titik adalah titik potong garis dan bidang
. Jika adalah sudut yang terbentuk antara garis dan garis , maka
nilai c s adalah . . . (SBMPTN, 2015)
a. √ c. √ e. √
b. √ d. √
3. Segitiga dan persegi saling tegak lurus pada sebuah bidang jika
= , = dan = , maka panjang CD
adalah . . . (American High School Mathematics
Examination, 1996)
a. 5 d. √ BA
b. √ e. 8 P
c. √
4. Sebuah kubus dipotong sama panjang pada setiap
sudutnya seperti pada gambar sehingga membentuk
enam buah oktagon yang beraturan maka volume
oktagon tersebut adalah . . . (American Mathematics
Competition, 2007)
a. √ − d. √ −
b. − √ e. − √
c. − √
53
5. Diberikan sebuah limas . dengan alas persegi .===
, jika = dan ∠ = , maka volume limas adalah . . . (American
High School Mathematics Examination, 1990)
a. i c. i e. √c
b. c d. − i i
B. Essay
1. Sebuah tong berbentuk tabung yang penuh dengan air memiliki jari-jari 4 dm dan
tinggi 10 dm. Sebuah kubus padat dengan rusuk 8 m
dicelupkan ke dalam tong sehingga diagonal ruang kubus
menjadi tegak lurus dan volume air ( yang berada di dalam
tong meluap keluar. Tentukan nilai ! (American
Invitational Mathematics Examination, 2015)
2. Sebuah prisma dengan alas berbentuk jajargenjang dengan
ukuran × × dengan titik , , bersebelahan dengan titik . Tentukan
jarak garis yang tegak lurus dari titik ke bidang yang memuat , , !
(American High School Mathematics Examination, 1996)
3. Perhatikan bidang empat . ! nilai c s ∠ , adalah . . . (SBMPTN,
2007)
T
C
A
B
4. Titik P dan Q berturut-turut adalah titik 54
tengah rusuk dan pada kubus E H G
. . jika panjang kubus adalah P D F
1 satuan, tentukan luas segi empat ! Q
(OSN, 2003) C
B
A
5. Titik merupakan titik tengah dari sebuah tetrahedron . Titik , dan
berturut-turut adalah titik tengah dari , dan . Asumsikan bahwa +
= + , + = + dan + = + . Buktikan
bahwa ∠ = ∠ = ∠ ! (Internasional Mathematics Olimpiad, 1991)
Challenge Question!
Titik , , dan merupakan empat titik dalam sebuah bangun ruang dan
merupakan jarak antara titik dan . Tunjukkan bahwa + + +
≥ ! (USA Mathematical Olimpiad, 1975)
A
D
B
C
55
Latihan 1 c. Diagonal-diagonal sisi yang
bersilangan dengan rusuk
1. a. Titik dan adalah diagonal , , dan
b. Titik , , , , dan
c. Titik dan d. Tidak ada diagonal-diagonal sisi
d. Titik , , , , dan
2. a. Titik , , dan yang berimpit dengan rusuk .
b. Titik , , , dan
3. a. Rusuk-rusuk kubus yang terletak
c. Titik pada bidang adalah rusuk
, , dan
d. Titik
dan b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar
3. a. Titik , , dan
b. Titik , , dan dengan bidang adalah rusuk
c. Titik , , dan , , dan
d. Titik , ,
c. Rusuk-rusuk kubus yang
Latihan 2 memotong atau menembus bidang
adalah rusuk , ,
1. a. Rusuk-rusuk kubus yang
berpotongan dengan rusuk dan
adalah rusuk , , dan
4. a. Diagonal-diagonal sisi kubus
b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar yang terletak pada bidang
dengan rusuk adalah rusuk adalah dan
, dan
b. Diagonal-diagonal sisi kubus
c. Rusuk-rusuk kubus yang yang sejajar dengan bidang
bersilangan dengan rusuk adalah dan
adalah rusuk , , dan
5. a.
d. Rusuk-rusuk kubus yang HG
berimpit dengan rusuk adalah EF
rusuk itu sendiri.
2. a. Diagonal-diagonal sisi yang D
A
berpotongan dengan rusuk C
adalah diagonal , , dan B
b. Tidak ada diagonal-diagonal sisi
yang sejajar dengan rusuk .
56
b. H G tersebut memiliki jarak yang sama
EF
ke bidang .
4. a. Sejajar b. Memotong
D C c. Sejajar ∥
A B 5. a. Bidang
b. Garis
6. Tidak ada
c. H G Latihan 4
EF 1. a. Garis dan
b. Garis
2. a. Titik b. Garis
D c. Titik
C
3. a. Garis b. Titik
A B c. Titik
Latihan 3 4. a.
1. a. Bidang-bidang kubus yang
berimpit dengan bidang HG
adalah bidang itu sendiri EF
b. Bidang-bidang kubus yang
sejajar dengan bidang D
adalah bidang A C
b. B
c. Bidang-bidang kubus yang
berpotongan dengan bidang
adalah bidang
,, dan H G
E F
d. Garis persekutuan antara bidang
dan adalah garis
2. Titik menembus bidang D C
B
3. a. Bidang tidak memiliki titik A
5. √ b. √
persekutuan dengan bidang
Latihan 5
b. Jika titik dan berada pada
1. a. √
bidang maka kedua titik
57
c. , d. √ 1. a. ∠ b. ∠
c. ∠ d. ∠
2. a. b. √
2. , , dan
c. d. √ 3. a. ° b. 45°
3. a. b. 8 c. °
c. 4 d. 6 4. °
b. 6
4. a. 5 5. √
5. √
6. √ ; √
6. √ 7. 9 °
8. a. 29,82° b. 60°
7. √ 9. 55,55°
8. a. 2√ b. 2√ 10. √
9. a. 4√ b. 4√
10. √
Latihan 8
11. √ b. √
12. √ 1. °
13. √ 2. a. °
3. ∠ ; √
14. √ 4.
15. a. √ b. √ 5. √
6. °
c. 7. √
8. °
Latihan 6 9. √
1. a. √ b. 8 cm 10. √
c. 4 cm
2. √
3. √ 11. √
4. a. √ b. √ Latihan 9
c. 1. a. °
5. a. √ b. b. °
c. 2√ c. √
6. 2. a. , ° b. 63,43°
Latihan 7 c. 71,57°
58
3. √ b. 7. 3:1
4. a. 3 8. √
9. √
5.
6. 60° 10. √ +
7. √
8. √ Latihan 11
9.
10. 60°
Latihan 10
1. 19.5 1. √
2. 1:1
3. 1:24 2. Segi enam beraturan
4. √ 3. Belah ketupat
5. √ 4. Segi enam beraturan
6. ± 5. Layang-layang
Uji Kompetensi
Pilihan Berganda
1. Jawaban: B
Oktaheron merupakan dua limas yang saling
kongruen satu dengan yang lain yang digabungkan
oleh kedua alas limas tersebut seperti gambar di
samping.
Luas alas limas: = . . = . =
Tinggi oktahedron = tinggi prisma = , sehingga
tinggi salah satu limas (ℎ adalah .
Volume dua limas/oktahedron:
=. . . =.. . =
2. Jawaban: D
59
Garis akan berpotongan dengan G F
H
garis karena kedua garis tersebut
terletak pada bidang . E
CB
D A ⊥
⊥ dan
Perhatikan dua segitiga dan . Karena garis
maka ⊥ dan ⊥ , sehingga
∠ − ∠ . Selain itu, ∠ − ∠
(bertolak belakang). Oleh karena itu, dapat
disimpulkan bahwa ∆ sebangun dengan
∆ . Karena merupakan diagonal sisi kubus
maka,
= √ dan = , maka diperoleh:
=+× √ = √
Dengan menggunakan kesebangunan,
= ↔ = ×=
=√ + =√ √ + = √ , sehingga c s = = =√
√
3. Jawaban: B merupakan segitiga
=√ + =√
Karena dua bidang tersebut saling tegak lurus maka ∆
siku-siku sehingga = √ + = √ +
4. Jawaban: B
Tinjau salah satu sudut pada sisi kubus, merupakan sisi miring dari sebuah
segitiga siku-siku sehingga panjang
=√ +
=√ =√
=√
Jika keliling segitiga adalah 1 satuan maka
+=
60
√+=→ =√ + =√ − (rasionalkan), maka
= √− = −√
√
∆= . . ( =
= . = . −√ = −√
Karena setiap perpotongan sudut kubus membentuk sebuah limas maka volume 8
limas yang ada pada sudut-sudut kubus adalah
= × × ∆ (tinggi limas adalah
= × × − √ × −√ = × − √ = − √
5. Jawaban: E
Luas alas =
=
Untuk mencari tinggi, proyeksikan titik ke garis P
sehingga hasil proyeksi yaitu titik membagi
dua garis seperti gambar. Misalkan ∠ = ,
maka c t = = ↔ = c t . D
Gunakan teorema Phytagoras untuk mencari tinggi C
limas.
= − = c − AB
i
=c − i = ci
i
=√c i = √c
i
= = √c = √c i
i
Essay
1. Sisi-sisi tabung menyentuh kubus pada tiga titik. Karena ruang diagonal kubus
tegak lurus maka terdapat tiga buah titik yang akan membentuk tiga buah segitiga
sama sisi. Dengan aturan kosinus dan jari-jari tabung = di dapat sisi segitiga,
= − c s ° =
61
= √ . Volume air yang meluap adalah volume dari
tetrahedron dengan siku-siku di setiap sisinya sehingga
panjang tetrahedron adalah √ = √ . Sudut dari tiga sisi
√
segitiga yang menyentuh tabung adalah ° − ° − °
sehingga
= ( √ )[ .( √ ) ] = ( √ ) = √
=( √ ) =
2. Volume limas dengan alas ∆
, =∆ ,
=[ ∆ ],
=[ ]=
Jika adalah jarak yang diminta dan
merupakan tinggi limas dengan alas A
∆ maka, F
nilai dapat dicari dengan menghitung volume D
limas dengan alas berupa ∆ : B
,= ∆ C
Alas dari limas adalah ∆ dengan
=√ + =√ + = ,
=√ + =√ + = ,
= √ + = √ + = √ dan
tinggi ∆ = √ − = √
∆ = . .∆ = . √ .√ =√
∴, =,
=√
=√ =√ = .
3. Proyeksi pada bidang segaris dengan ′ . Sudut ∠ , 62
∠ ′= − ′ =√ − = T =
′=√
′=√ − ′ =√ − =
√ C
Pada ∆ berlaku aturan kosinus:
′= ′+ − A
′ . c s ′
B
= + − . c s
c s = → c s =
4. Karena bidang ∥ dan bidang H G
∥ dan ∥ E F
∥ , maka
Q
. Sehingga C
B
= = = =√ + = √
D
∥ =√ P D
Misalkan ∠ = , dengan menggunakan A P
aturan kosinus didapat
=+− . c s
√=√ +√ −
√ . √ c s √ + =√
=+− √
√ c s
= − c s
c s = Q
c s = sehingga
sin = √ = sin
Luas segi empat = √.√ √
F
63
∴ Luas segi empat =√
5. Asumsi yang diberikan + = + , + = + dan +
= + berati = , = dan = . dan .
Jika , dan berturut-turut merupakan titik tengah dari ,
Maka dari persamaan diatas diperoleh
== sehingga ∥∥
== sehingga ∥∥
. dan merupakan titik-titik
Titik , ,
yang terletak pada bidang yang sama dan
membentuk belah ketupat begitu juga dan . Maka
garis , dan mempunyai titik tengah yang sama yaitu dimisalkan titik
dan ⊥
, ⊥ , dan ⊥ . Dapat diambil kesimpulan bahwa
garis ⊥
maka + oleh karena itu garis ⊥ . Karena =
∠ =∠
+ sehingga merupakan titik tengah dan ∠ =
= °.
Challenge Question A
Jika proyeksi dari titik , , dan
terhadap bidang yang sejajar dengan garis
dan , serta sejajar dengan garis
dan adalah tetap sama hanya saja D
panjang garis , , dan menjadi dan
berkurang sehingga membuat adanya suatu
pertidaksamaan. B
Jika = ,
=, =, = C
, = dan = maka untuk
membuktikan +
++ ≥ harus memfokuskan pada ∆
panjang garis .
64
Asumsikan titik berada pada lingkaran yang berpusat di titik dengan jari-jari .
Dengan aturan kosinus diperoleh
+ = + + − c s − c s −
+ −− − = [ c s + c s − +
c s c s − ]
+ merupakan sebuah fungsi dari sehingga untuk mencari nilai minimumnya
maka persamaan diatas di turunkan terhadap sehingga didapat
sin − sin − =
sin + sin − + sin sin − =
+ −− − = A
[ sin + sin − +
sin sin − ]
= + + c s C
= +−
Tetapkan = + dan = + ,
sehingga D
B
−− = −
+−
++ −
=−
++ − +− =−
+ =− +
− +−
− =+− − ≥
+++ ≥ +
∴ Terbukti bahwa + + + ≥
iv
A
Aksioma : Pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa ada pembuktian
B
Bangun Ruang : Bagian ruang yang dibatasi oleh himpunan titik-titik atau
garis-garis yang terdapat pada seluruh permukaan bangun
tersebut
Bidang : permukaan datar dua dimensi yang dibatasi
Bidang Berimpit : Dua buah bidang yang memiliki bidang daerah persekutuan
yang sama
Bidang Sejajar : Dua buah bidang yang tidak memiliki garis perpotongan
Bidang Berpotongan : Dua buah yang tidak sejajar dan tidak memiliki garis
persekutuan (garis perpotongan)
G
Garis : Kurva lurus yang tidak memiliki ujung maupun pangkal
Garis Berhimpit : Suatu garis terletak pada garis lain atau sebaliknya dan
membentuk satu garis lurus
Garis Berpotongan : Dua buah garis yang memiliki satu titik persekutuan
Garis Bersilangan : Dua buah garis tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar
dan tidak terletak pada bidang yang sama
Garis Sejajar : Dua buah garis yang terletak pada satu bidang datar yang tidak
akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas
H
Hipotenusa : Sisi miring pada segitiga siku-siku
I
Irisan Bidang : Bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis potong antara
bidang datar dengan sisi-sisi bangun ruang tersebut
P
Proyeksi : Pemetaan suatu daerah secara tegak lurus terhadap
daerah lainnya
S
Segmen Garis : Kurva lurus yang mempunyai pangkal dan ujung
Sudut v
Sumbu Afinitas
: Daerah yang dibentuk oleh dua buah segmen garis yang titik
pangkalnya sama
: Garis perpotongan antara bidang irisan dengan alas bangun
ruang yang dibangun oleh dirinya sendiri
vi
Andreescu, T., & Enescu, B. (2011). Mathematical olimpiad treasures (2nd ed.).
London: Birkhauser.
Andreescu, T., & Gelca, R. (2009). Mathematical olimpiad challenges (2nd ed.).
Boston: Birkhauser.
Andreescu, T., Kedlaya, K., & Feng, Z. (2003). Mathematical olimpiads: problems
and solutions from around the world. Lincoln: American Mathematical
Competition.
Brown, P., Evans, E., Hunt, D., Mclntosh, J., Pender, B., & Ramagge, J. (2011).
Introduction to plane geometry: Measurement and geometry. Melbourne:
Australian Mathematical Sciences Institute.
Djukic, D., Jankovic, V., Matic, I., & Petrovic, N. (2004). The IMO compedium: A
collection of problems suggested for international mathematical olimpiads.
Belgrade.
Goldie, S. (2012). Pure mathematics 2 and 3. London: Hodder Education.
Haese, R., Haese, S., Haese, M., Bruce, M., Harris, K., & Kappelle, D. (2006).
Mathematics: For year 10 (6th ed.). Adelaide: Raskar Nominees Pty Ltd.
Jiagu, X. (2010). Lecture notes on mathematical olympiad courses. Toh Tuck Link,
Singapore: World Scientific Publishing Co. Ltd.
Kurnianingsih, S., Kuntarti, & Sulistiyono. (2009). Mathematics: For senior high
school grade X. Jakarta: Esis.
Laksana, A. (2012). Metode bimbel perivat kuasai rumus matematika SMA kelas X, XI
dan XII. Yogyakarta: Planet Ilmu.
Noormandiri, B. K. (2007). Matematika: Untuk kelas X. Jakarta: Erlangga.
Sinaga, B., Sinambela, P. J., Sitanggang, A. K., Hutapea, T. A., Manulang, S., Sinaga,
L. P., & Simanjorang, M. (2014). Matematika kurikulum 2013 (Revisi 2014
ed.). Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.
Titu Andreescu, B. E. (2011). Mathematical olimpiad treasures (2nd ed.). London:
Birkhauser.
Wirodikromo, S. (2008). Matematika: untuk SMA kelas X. Jakarta: Erlangga.