e-book matematika kd 3.1 - Dimensi Tiga

i

Daftar Isi................................................................................................................... i
Daftar Gambar ......................................................................................................... ii
A. Titik, Garis dan Bidang ..................................................................................... 5

1. Titik............................................................................................................... 5
2. Garis.............................................................................................................. 5
3. Bidang ........................................................................................................... 5
B. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang................................................................... 7
1. Kedudukan Titik ............................................................................................ 7
2. Kedudukan Garis ......................................................................................... 10
3. Kedudukan Dua Bidang ............................................................................... 15
C. Proyeksi .......................................................................................................... 19
1. Proyeksi Titik .............................................................................................. 19
2. Proyeksi Garis ............................................................................................. 19
3. Proyeksi Dua Bidang ................................................................................... 21
D. Jarak................................................................................................................ 23
1. Titik............................................................................................................. 23
2. Garis............................................................................................................ 29
3. Bidang ......................................................................................................... 31
E. Sudut............................................................................................................... 33
1. Sudut Antar Dua Buah Garis........................................................................ 33
2. Sudut Antara Garis Dan Bidang ................................................................... 37
3. Sudut Antara Dua Bidang ............................................................................ 40
F. Ragam Soal Aplikasi Dimensi Tiga ............................................................... 433
G. Irisan bidang dengan bangun ruang ............................................................... 477
Ringkasan Materi................................................................................................... 49
Uji Kompetensi...................................................................................................... 52
Kunci Jawaban....................................................................................................... 55
Glosarium ............................................................................................................... iv
Daftar Pustaka......................................................................................................... vi

ii

Gambar 7. 1 Titik...........................................................................................5

Gambar 7. 2 Garis..........................................................................................5

Gambar 7. 3 Bidang α.................. , α , α............... α..........................................................5

Gambar 7. 4 Bidang dan ............................................................6

Gambar 7. 5 Dua titik membentuk garis...................................................6

Gambar 7. 6 Garis terletak pada bidang....................................................7

Gambar 7. 7 Tiga titik membrntuk bidang ...............................................7

Gambar 7. 8 Burung......................................................................................7

Gambar 7. 9 Garis melalui titik ..................................................................7

Gambar 7. 10 Rel kereta api........................................................................8

Gambar 7. 11 Titik di luar garis .................................................................8

Gambar 7. 12 Lapangan bola ......................................................................8

Gambar 7. 13 (a) Titik dalam bidang (b) Titik di luar bidang..............9

Gambar 7. 14 Jam dinding..........................................................................10

Gambar 7. 15 Garis berimpit ......................................................................10

Gambar 7. 16 Rel kereta api.......................................................................10

Gambar 7. 17 Garis sejajar .........................................................................11

Gambar 7. 18 Titik dan garis sejajar.........................................................11

Gambar 7. 19 Garis berpotongan ..............................................................11

Gambar 7. 20 Garis bersilangan ................................................................12

Gambar 7. 21 Garis dalam bidang.............................................................13

Gambar 7. 22 Garis sejajar bidang............................................................13

Gambar 7. 23 Garis menembus bidang ....................................................13

Gambar 7. 24 Titik tembus garis menembus bidang.............................14

Gambar 7. 25 Bidang saling berimpit ......................................................15

Gambar 7. 26 Dua bidang saling sejajar ..................................................16

Gambar 7. 27 Dua bidang berpotongan ...................................................16

Gambar 7. 28 Tiga bidag berpotongan.....................................................17

Gambar 7. 29 Proyeksi titik pada garis ....................................................19

Gambar 7. 30 Ilustrasi proyeksi titik pada bidang .................................19

Gambar 7. 31 Proyeksi titik pada bidang.................................................19

iii

Gambar 7. 32 Proyeksi garis miring terhadap garis lurus .....................20
Gambar 7. 33 Proyeksi garis pada bidang ................................................20
Gambar 7. 34 Proyeksi garis pada bidang ................................................21
Gambar 7. 35 Proyeksi dua bidang ............................................................21
Gambar 7. 36 Jarak dua titik .......................................................................24
Gambar 7. 37 Jarak titik ke garis................................................................25
Gambar 7. 38 Jarak titik dan bidang..........................................................27
Gambar 7. 39 Jarak antar dua garis sejajar...............................................29
Gambar 7. 40 Jarak dua garis bersilangan................................................30
Gambar 7. 41 Jarak garis dan bidang ........................................................31
Gambar 7. 42 Jarak dua bidang sejajar .....................................................31
Gambar 7. 43 Tiang bendera .......................................................................33
Gambar 7. 44 Sketsa tiang bendera ...........................................................34
Gambar 7. 45 Sudut dua garis berpotongan .............................................34
Gambar 7. 46 Sudut dua garis bersilangan...............................................34
Gambar 7. 47 Sketsa proyeksi pohon ........................................................37
Gambar 7. 48 Sudut garis menembus bidang ..........................................38
Gambar 7. 49 Buku .......................................................................................40
Gambar 7. 50 Sudut bidang berpotongan .................................................41
Gambar 7. 51 Bidang irisan.........................................................................47

1

Kompetensi Dasar:

Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:
Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap
disiplin, rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi
berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

Mendeskripsikan konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui
demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.
Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam
menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik,
garis dan bidang.
Pengalaman belajar:
Melalui pembelajaran materi geometri, siswa memperoleh pengalaman belajar dalam:

  Menemukan konsep dan prinsip geometri melalui pemecahan masalah otentik
  Berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur
  Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep dan

 prinsip-prinsip bangun datar dan ruang dalam geometri untuk memecahkan
 masalah otentik.

Pada bab ini, kita akan membahas ruang tiga dimensi. Topik yang akan dibahas
meliputi cara menggambar objek ruang dimensi tiga atau bangun ruang.
Menggambar bangun ruang membutuhkan imajinasi dan visualisasi yang cukup
tinggi. Bab ini akan menyajikan kemampuan dasar untuk menggambar bangun ruang
seperti kubus, balok dan limas. Pelajaran menggambar pada bab ini akan berbeda
dengan pembelajaran pada kelas kesenian karena tujuan dari pelajaran menggambar
pada bab ini adalah untuk memahami geometri matematis. Kemampuan menggambar
ini akan dibutuhkan terutama bagi mereka yang bercita-cita pada bidang yang
membutuhkan teori dan materi dalam ruang dimensi tiga seperti arsitektur, liberal
arts dan teknik sipil. Bagi orang-orang yang tidak tertarik dengan bidang yang
demikian, dapat mempertimbangkan pembahasan dalam bab ini sebagai sebuah
latihan simulasi untuk kemampuan imajinasi dan visualisasi mereka.

Bidang Sudut

Titik

Garis



2

3

Bentuk Bumi dapat dianggap sebagai bola, sedangkan kutub Utara dan kutub
Selatan bumi dapat dianggap sebagai ujung-ujung garis tengah dari bola yang disebut
poros. Lingkaran-lingkaran yang melewati kutub Utara dan Selatan disebut garis bujur.
Bidang yang memotong bumi tegak lurus pada poros untuk membentuk lingkaran yang
disebut garis Lintang. Coba bayangkan bumi sebagai sebuah bola karet. Kemudian
potong bola menjadi setengah lingkaran dan regangkan bola untuk membentuk sebuah
lembaran persegi panjang. Lingkaran garis bujur akan menjadi garis vertikal yang sejajar
dan lingkaran garis lintang menjadi garis horizontal yang sama dan sejajar. Garis-garis ini
mempermudah untuk mengetahui posisi dan jarak dari suatu tempat ke tempat lain. Ini
merupakan salah satu aplikasi ilmu ukur ruang (dimensi tiga).

TAHUKAH ANDA?

Ahli Astronomi menggunakan ilmu ukur ruang (dimensi tiga) untuk
menafsirkan ruang angkasa dan menghitung jarak serta kedudukan benda ruang
angkasa. Dengan dimensi tiga, kita dapat mengetahui jarak dari suatu titik ke titik
lain dan juga dapat mengetahui luas permukaan dan volume dari suatu bangun ruang
dengan akurat.

4

Menghitung luas permukaan dan volume bangun ruang sisi datar (kubus, balok,

prisma dan limas) dan panjang rusuk kubus
panjang rusuk kubus

1. Perbandingan adalah 3 : 4. Jika jumlah volume. kedua kubus ,

maka hitunglah. panjang rusuk masing-masing kubus tersebut. =

2. Tentukan luas permukaan dan volume dari limas berikut!

T

DC

P
O
AB

3. Rani diminta ibunya untuk mengisi penuh sebuah bak mandi yang berbentuk., balok dengan ukuran panjang, lebar dan tinggi
berturut-turut adalah

dan . Di saat yang bersamaan Rani juga harus pergi ke sebuah tempat untuk

menyelesaikan urusan lainnya dan .dia akan kembali lagi setelah 4 jam. Jika

Rani dapat mengisi air sebanyak liter dalam 5 detik, akankah air meluap dari
bak mandi setelah Rani kembali dari urusannya?

4. Tentukan luas permukaan dan volume dari prisma berikut!

ANSWER KEY

1. dan

2. . dan.

3. Hampir penuh dan belum meluap

4. dan

5

Dalam ilmu Geometri, terdapat beberapa istilah atau sebutan yang tidak
memiliki definisi (undefined terms), antara lain titik dan garis.

1. Titik

Titik tidak memiliki ukuran, biasanya dideskripsikan menggunakan tanda

noktah dan penamaannya menggunakan huruf kapital seperti titik A, titik B atau titik

C seperti gambar 7.1.

2. Garis

Garis merupakan dibentuk dari kumpulan titik-titik dan merupakan kurva lurus

yang tidak memiliki ujung maupun pangkal. Artinya garis dapat diperpanjang kedua

arahnya. Namun, garis lurus yang mempunyai pangkal dan ujung, disebut segmen

garis dan dilambangkan dengan yang artinya panjang garis AB terbatas (gambar

7.2). Selain menggunakan segmen garis, nama garis juga dapat ditentukan dengan

̅

menyebutkan nama wakil garis tersbut dengan memakai huruf kecil contohnya , ℎ, .

A

Gambar 7. 1 Titik Gambar 7. 1 Garis

3. Bidang

Sebuah bidang datar mempunyai luas tak terbatas. Dalam geometri, sebuah
bidang hanya digambar dengan perwakilannya yang disebut wakil bidang. Wakil
sebuah bidang mempunyai dua ukuran yaitu panjang dan lebar. Wakil bidang dapat
berbentuk persegi panjang, persegi atau jajar genjang.

Gambar 7. 2 Bidang

Bidang-bidang di atas disebut bidang atau dapat juga disebut dengan bidang .

Postulat Garis dan Bidang

Sebuah bidang dapat dibentuk melalui:

6

Tiga buah titik yang tidak segaris. Pada gambar 7. 4a titik dan yang
1. tidak terletak pada garis yang sama membentuk bidang ,

2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut. Contohnya. sebuah titik

yang terletak di luar garis dapat membentuk bidang (gambar 7. 4b).
4. ℎ saling berpotongan. Pada gambar 7. 4c Garis dan garis

3. Dua buah garis yang

saling berpotongan dapat membentuk bidang . sejajar dengan garis
Dua garis yang sejajar. Pada gambar 7. 4d garis

mampu membentuk bidang . ℎ

(a) (b)
ℎ
ℎ

(c) (d)
Gambar 7. 3 Bidang , , dan

Postulat atau aksioma adalah pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa ada pembuktian. Dalam geometri± terdapat tiga buah postulat yang penting yang

diperkenalkan oleh Euclides ( SM), seorang ahli matematika dari Alexandria.

Berikut ini adalah postulat-postulat Euclides:

Postulat 1

Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

Gambar 7. 4 Dua titik membentuk garis

7

Postulat 2

Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan,
maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

Gambar 7. 5 Garis terletak pada bidang

Postulat 3
Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapa dibuat sebuah bidang.

Gambar 7. 6 Tiga titik membentuk bidang

1. Kedudukan Titik

a. Kedudukan Titik Terhadap Garis
Perhatikan gambar 7. 8 misalkan kabel listrik
adalah suatu garis dan burung adalah titik,
maka posisi burung terhadap kabel listrik
merupakan sebuah titik yang terletak pada
garis. Sehingga dapat disimpulkan bahwa

Gambar 7. 8 Burung

Titik P terdapat pada garis jika titik P dilalui garis

Gambar 7. 9 Garis melalui titik

8

Gambar 7. 10 Rel kereta api Jika dimisalkan rel kereta api merupakan
suatu garis dan dua orang pada gambar
adalah suatu titik maka dapat disimpulkan
bahwa dua orang tersebut tidak melalui
atau berada dalam rel kereta api. Contoh
tersebut merupakan ilustrasi dari suatu
titik yang tidak berada pada garis.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
jika titik P tidak di lalui garis

Titik P berada di luar garis

Gambar 7. 11 Titik di luar garis

CONTOH ̅ ℎ
G Simak kubus di samping dengan
H
E sebagai wakil garis. . Sebutkan kedudukan

D F
A ℎ

titik-titik sudut kubus terhadap

garis ! .

C Penyelesaian:
i. Titik-ℎtitik sudut kubus yang terletak pada garis adalah titik A dan
titik B

ii. Titik-ℎtitik sudut kubus yang berada di luar garis adalah titik-titik C,

B D, E, F, G dan H.

b. Kedudukan Titik Terhadap Bidang
Gambar di samping merupakan ilustrasi dari
kedudukan titik terhadap bidang dengan bola
sebagai titik dan lapangan bola sebagai bidang.

Sehingga dapat di simpulkan

Gambar 7. 12 Lapangan bola

9

Jika titik A dapat dilalui oleh bidang maka titik A terletak pada
bidang (gambar 7. 13a). Jika titik A tidak dapat dilalui bidang maka
titik A berada di luar bidang (gambar 7. 13b).

(a) (b)

Gambar 7. 13 (a) Titik dalam bidang (b) Titik di luar bidang

CONTOH

Pada kubus bidang sebagai perwakilan bidang

Tentukan kedudukan titik-titik. sudut, kubus .
terhada bidang !
Penyelesiaan: . HG

i. Titik-titik sudut kubus yang terletak F
E

pada bidang adalah titik-titik C, D, G

dan H.

ii. Titik-titik sudut kubus yang berada di D C
B
luar bidang adalah titik-titik A, B, F

dan E. A

LATIHAN 7. 1

1. Diketahui kubus , rusuk mewakili garis dan

mewakili garis . Sebutkan. titik-titik sudut T

kubus yang: DC
a. Terletak pada garis
b. Berada di luar garis
c. Terletak pada garis

D. Berada di luar garis

Diketahui limas beraturan O

seperti

2. gambar di samping. Sebutkan:. B

A

a. Titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusuk alas

10

b. Titik-titik sudut limas yang terletak pada bidang alas

c. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang sisi

d. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang alas

3. Diketahui kubus , bidang mewakili bidang dan

bidang mewakili bidang. . Sebutkan titik-titik sudut kubus yang:
c. terletak pada bidang
a. terletak pada bidang

b. berada di luar bidang D. berada di luar bidang

2. Kedudukan Garis

a. Kedudukan garis terhadap garis lain (kedudukan dua buah garis)
Terdapat empat kemungkinan kedudukan dua buah garis dalam sebuah

bangun ruang yaitu dua buah garis yang saling berpotongan, berimpit,

sejajar dan bersilangan.

1) Berimpit (Coinciding)

Gambar jam dinding disamping menunjukkan pukul

12.00 dan jarum panjang berimpit dengan jarum pendek

sehingga membentuk satu garis. Ini merupakan contoh

kedudukan garis yang berhimpit. Dari gambar jam dinding di

samping dapat disimpulkan bahwa dua garis dikatakan saling

Gambar 7. 14 Jam dinding berimpit ketika suatu garis terletak pada garis lain atau
sebaliknya dan membentuk satu garis lurus.

Pada gambar di atas garis k dan l saling berimpit jika setiap titik

Gambar 7. 15 Garis berimpit

yang terdapat pada garis termuat di dalam garis begitu juga

sebaliknya. Dalam sajian geometri garis berimpit direpresentasikan

sebagai garis yang sama (identik).

2) Sejajar (Parallel)

Dua buah garis dikatakan sejajar apabila kedua garis

tersebut terletak pada satu bidang datar yang tidak akan

berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas dan jarak

antar kedua garis tersebut selalu sama. Contoh garis

sejajar dapat ditemukan pada lintasan rel kereta api. Pada

Gambar 7. 16 Rel kereta api lintasan rel kereta api, jarak antara dua rel akan

11

selalu tetap dan tidak pernah saling berpotongan antara satu dengan
lainnya. Apabila dua buah rel kereta api dianggap sebagai dua buah
garis, maka dapat digambarkan seperti:

Garis dan garis di atas dikatakan sejajar, karena kedua garis

Gambar 7. 17 Garis sejajar
terletak pada bidang yang sama dan apabila kedua garis diperpanjang
sGaamrpisasietjaakjabrerdhininogtgaasikmaankadeknegduaan “ga”r.is //tidak akan pernah berpotongan.

Hukum dua garis sejajar

Sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat
sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
Pada gambar 7. 18, tiik A berada di luar garis . Melalui titik A dan

A

Gambar 7. 18 Titik dan garis sejajar

garis dapat dibuat bidang . Kemudian melalui titik A dibuat sebuah

garis yang sejajar dengan garis .

3) Berpotongan (Intersecting)

Garis-garis yang terletak pada bidang datar dikatakan berpotongan

apabila garis-garis tersebut terletak pada bidang

yang sama dan memiliki sebuah titik

persekutuan yang disebut titik potong.

Garis p, q, dan r saling berpotongan karena

memiliki titik potong di titik O dan terletak pada

Gambar 7. 19 Garis berpotongan bidang yang sama yaitu bidang .

12

4) Bersilangan (Skew)
Pada gambar di bawah, garis a dan b adalah garis bersilangan
karena garis a dan b bukanlah garis yang sejajar dan kedua garis
terletak pada sisi atau bidang yang berbeda. Apabila kedua garis
diperpanjang, kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan.
Jadi, dua buah garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak
memiliki titik persekutuan, tidak sejajar, dan tidak terletak pada
bidang yang sama.

Gambar 7. 20 Garis bersilangan

Pada Kubus rusuk mewakili
kedudukan rusuk-rusuk
H G Tentukanl ah. terhadap garis !
E garis

D F kubus ℎ.
A
adalah Penyel esaian:. ℎ

c. Rusuk-rusuk. b. ℎ ,,

d. a. Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan
C
garis adalah dan

B Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan garis
ℎ

dan

yang, berimpit dengan garis adalah rusuk itu sendiri
garis adalah dan.

Rusuk-rusuk yang bersilangan dengan ℎ ℎ ,,
b. Kedudukan garis terhadap bidang

Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah bidang

dalam bangun ruang.

1) Garis terletak pada bidang

11) Jika sebuah garis 13
, maka sekurang-kurangnya
terletak pada bidang terdapat dua titik
B
persekutuan pada garis
12) 2) A

tersebut yang terletak pada

bidang .

3) 2) Garis 4) Gambar 7. 21
sejajar dengan bidang Garis dalam bidang

5) Sebuah garis
dikatakan sejajar

6) dengan sebuah bidang jika memenuhi salah satu
syarat berikut:

7) 8) i Garis tersebut tidak berada pada sebuah
. bidang, atau

9) ii. Garis dan bidang tersebut tidak mempunyai titik
persekutuan, atau iii. Garis tersebut sejajar dengan garis lain yang
terletak pada bidang Pada gambar di samping, garis sejajar dengan

10) t

ersebut. bidang karena garis tidak terletak pada bidang

garis tidak mempunyai titik persekutuan dengan,
bidang serta garis
sejajar dengan garisyang
terletak pada bidang .

Gambar 7. 22 Garis sejajar bidang

Hukum garis sejajar dengan bidang

Jika garis sejajar dengan bidang memuat sebuah garis
, maka bidang

dengan garis .

yang sejajar

menembus at au memotong bidang

3) Garis yang
Sebuah garis dikataan memotong

bidang jika garis tidak terletak

dan tidak sejaj ar

pada bidang

dengan bidang . Pada kasus ini, A
garis dan bidang mempunyai Gambar 7. 23 Garis menembus bidang

sebuah titik persekutuan yang

disebut titik potong atau titik tembus.

14

CONTOH dengan sebagai perwakilan bidang .
-rusuk kubus . terhadap bidang . ,
Diketahui kubus
,
Tentukan kedudukan rusuk.

Penyelesaian:

a. Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang adalah rusuk-rusuk ,
dan .

Rusuk-rusuk kubus yang sejajar pada bidang adalah rusuk-rusuk

b. dan . ,,
c. Rusuk-rusuk kubus yang menembus pada bidang adalah rusuk-rusuk

, dan .
c. Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan

Jika sebuah garis memotong sebuah bidang maka ada sebuah titik tembus.

Titik tembus antara garis dan bidang (garis menembus bidang ) dapat dicari
dengan cara:

Step 1 Step 2 Step 3
Buatlah
bidang Tentukan garis perpotongan bidang dan Titik potong garis
yang melalui
bidang , dengan cara menghubungkan dua dengan garis
garis .
buah titik persekutuan antara bidang dan adalah titik
.
,
,tembus yang
bidang Garis potong bidang dan bidang
diminta yaitu titik
dilambangkan dengan .

, P
A
B

Gambar 7. 24 Titik tembus garis menembus bidang

LATIHAN 7. 2

1. Diketahui kubus kedudukan rusuk-rusuk

. . Sebutkan kubus
terhadap rusuk !

15

Diketahui kubus . Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi
2. kubus terhadap rusuk . !

Diketahui kubus . Sebutkan kedudukan rusuk-rusuk kubus

3. terhadap bidang !. . Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi
!
Diketahui kubus
.

4. kubus terhadap bidang

Pada kubus gambarlah titik tembus antara diagonal ruang

5. dengan: .

a. Bidang diagonal c. Bidang diagonal .

b. Bidang diagonal

3. Kedudukan Dua Bidang

Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap bidang lain
dalam sebuah bangun ruang, yaitu:

1) Dua bidang saling berimpit

Bidang dan bidang dikatakan berimpit jika bidang

dan bidang memiliki bidang daerah persekutuan

dan setiap titik yang terletak pada bidang juga

terletak pada bidang dan sebaliknya. Gambar 7. 25

Gambar 7. 25 Bidang saling berimpit bidang dan bidang mempunyai bidang daerah

persekutuan yaitu bidang .

2) Dua bidang sejajar
Bidang dan bidang dikatakan sejajar jika bidang dan bidang tidak
memiliki titik persekutuan .
Kasus I: Jika titik dan terletak pada bidang , dan kedua titik tersebut
memiliki jarak yang sama ke bidang maka bidang dan adalah dua
bidang yang sejajar.

berpotongan pada bidang sejajar dengan dua garis yang saling

berpotongan pada bidang . Garis dan terletak pada bidang saling

berpotongan dan garis , sejajar dengan garis , yang juga saling

16

Gambar 7. 26 Dua bidang sejajar

berpotongan yang terletak di bidang Sehingga dapat disimpulkan bahwa

bidang sejajar dengan bidang . .
3) Dua bidang yang saling berpotongan

Bidang dan bidang dikatakan saling berpotongan jika antara bidang

dan bidang tidak sejajar dan kedua bidang tersebut memiliki tepat

sebuah garis persekutuan , (garis potong) antara bidang dan bidang

yang simbolkan dengan ( .

,

,

,

Gambar 7. 27 Dua bidang berpotongan

Hukum dua bidang yang saling berpotongan

Jika bidang dan sejajar dengan bidang dilalui oleh bidang lain
(bidang ), maka bidang juga dilalui oleh bidang lain tersebut (bidang .

4) Perpotongan antara tiga bidang atau lebih

17

Jika perpotongan antara dua bidang selalu membentuk sebuah garis, maka perpotongan antara tiga
bidang atau,, lebih, dapat membentuk sebuah garis atau

sebuah titik. Misalkan bidang saling berpotongan maka terdapat tiga
kemungkinan kedudukan garis persekutuan dari bidang-bidang tersebut yaitu
berpotongan pada sebuah titik, berpotongan pada sebuah garis dan
berpotongan pada tiga buah garis sejajar.

T
,

DC ,
,,
,
AB

(a) (b) (c)

Gambar 7. 28 Tiga bidang berpotongan

Gambar 7. 28a menunjukkan bidang dan saling berpotongan dan

memiliki garis persekutuan yaitu garis , . Pada gambar 7. 28b bidang

dan saling berpotongan dan memiliki,, sebuah titik persekutuan yaitu

titik, , . Pada gambar 7. 28c bidang dan ,, , ,

saling berpotongan dan memiliki

tiga buah garis perekutuan yang sejajar,

yaitu dan .

Diketahui kubus dengan bidang sisi sebagai perwakilan

bidang . Tentukan kedudukan. bidang-bidang sisi H G
kubus terhadap bidang ! D F

Penyelesaian: E C
A B
a. Bidang sisi kubus yang berimpit dengan bidang

adalah bidang sisi .

b. Bidang sisi kubus yang sejajar dengan bidang

adalah bidang sisi .

c. Bidang sisi kubus yang berpotongan dengan bidang 18
adalah bidang sisi

, , dan .

LATIHAN 7. 3

1. Diketahui kubus . Tentukanlah
kubus
kedudukan bidang-bidang. T

terhadap bidang garis! Kemudian tentukanlah.
persekutuan antara bidang dan bidang

2. Perhatikan limas di samping. Tentukan kedudukan D C
B
titik T terhadap bidang ! A

3. Diketahui balok . dengan panjang =. !

lebar dan tinggi

Tunj ukan bahwa bi dang s ej aj ar denganbi dang

, ==

4. Pada kubus dengan titik dan masing-masing terletak pada

pertengahan rusuk . dan . Tentukan hubungan antara bidang:
F
a. dengan

b. dengan

c. dengan D E
5. Perhatikan prisma di samping. Tentukan:

a. Bidang-bidang yang sejajar

b. Perpotongan dari bidang dan ! C

6. Perhatikan limas segi lima , di bawah ini!

Tentukan sejajar dengan bidang A B
!
bidang-bidang yangT. ABCD

T

D
EC

AB

19

1. Proyeksi Titik

a. Proyeksi titik terhadap garis

Gambar 7. 29 Proyeksi titik pada garis

Proyeksi titik terhadap garis adalah titik sehingga garis .

bidang ′ ′⊥
b. Proyeksi titik terhadap

Sebagai gambarannya adalah setiap objek di muka bumi

°

pada saat tengah hari serta matahari tepat membentuk sudut

terhadap permukaan bumi akan mempunyai bayangan

sebagaimana ilustrasi berikut ini. Pada bidang datar

sebagaimana ilustrasi di atas proyeksi adalah bayangan yang

Gambar 7. 30 Ilustrasi proyeksi titik pada terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah
bidang bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang
proyeksi terbentuk sudut jika dilukiskan.

Cara memproyeksikan titik terhadap bidang °adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Misalkan titik B Tarik garis lurus (garis ) dari Garis menembus
berada di luar
titik yang tegak lurus degan bidang di titik .
bidang akan
diproyeksikan bidang . Sehingga garis ′

α . adalah proyeksi

terhadap bidang terhadap⊥ titik′
bidang .

Gambar 7. 31 Proyeksi titik pada bidang

2. Proyeksi Garis

a. Proyeksi garis terhadap garis lain.

20

Langkah-langkah memproyeksikan garis miring terhadap garis lurus

garis adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Gambar proyeksi garis Gambar proyeksi garis Proyeksi Garis
′ garis
terhadap garis sehinggaB ′′
terhadap garis sehingga adalah proyeksi
′ terhadap garis
adalah proyeksi ke ke garis
adalah garis .

θC

Gambar 7. 32 Proyeksi garis miring terhadap garis lurus

. ′′
Perhatikan gambar 7. 32 Jika garis dengan panjang membentuk sudut

adalah

dengan garis , maka panjang proyeksi yang adalah garis
b. Proyeksi garis terhadap bidang

Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang dapat diperoleh dengan
memproyeksikan titik-titik garis tersebut ke bidang seperti gambar 7. 33.

AB

A′ B′

Gambar 7. 33 Proyeksi garis pada bidang

langkah-langkah memproyeksikan garis pada bidang adalah sebagai

berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Proyeksikan semua Semua proyeksi titik- Garis adalah

titik-titik yang terdapat titik akan terletak proyeksi dari′′ garis

dalam garis ke pada garis ′ ′ terhadap bidang .
bidang .

21

Kasus I: Jika garis tegak lurus terhadap bidang , maka proyeksi garis
terhadap bidang hanyalah sebuah titik yang terletak pada bidang

(gambar 7. 34a).

A A
B
′

B

(a) (b)

Gambar 7. 34 (a) Proyeksi garis tegak lurus pada bidang (b) Proyeksi garis menembus bidang

Kasus II. Jika sebuah garis menembus bidang (gambar 7. 34b), maka

langkah-langkah meproyeksikannya adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Proyeksikan titik Proyeksikan titik Garis adalah

terhadap bidang . terhadap bidang proyeksi dari′′ garis
′ yaitu titik itu sendiri
terhadap bidang .
adalah proyeksi titik

3. Proyeksi Dua Bidang

Misalkan segitiga diproyeksikan pada bidang maka langkah-langkah

memproyeksikannya adalah:

Step 1 Step 2 Step 3
Proyeksikan Titik , dan berturut -turut Segitiga

masing-masing merupakan′ proyeksi′′ titik dan merupakan′ hasil′′
titik sudut
terhadap bidang ., proyeksi segitiga
segitiga pada terhadap
bidang
bidang .

Gambar 7. 35 Proyeksi dua bidang

22

CONTOH memilikipanjang rusuk H G
E F
Kubus
C
cm. Tentukan .panjang proyeksi B

a. Garis ke bidang cm
=
b. Garis ke bidang D
A cm
c. Bidang ke bidang
garis . Luas dari
Penyelesaian:

a. Proyeksi ke bidang adalah garis , panjang

b. Proyeksi ke bidang adalah titik
, panjang
c. Proyeksi bidang pada bidang

= =
proyeksi adalah

1. Gambar segmen garis yang mempunyai panjang 5 cm dan membentuk

2.

sudut sebesar dengan garis g. Gambarkan juga proyeksi garis pada

kemudian tentukan panjang proyeksinya!

garis , °

Gambarkan limas persegi panjang :

a. Tentukan di mana letak proyeksi. titik pada bidang ?
b. Gambarkan proyeksi garis terhadap bidang

Gambarkan proyeksi bidang terhadap bidang . Jika

c. , tentukan luas dari proyeksi tersebut. =

LATIHAN 7.4

Diberikan kotak . Tentukan:

1. a. Proyeksi garis dan.
b. Proyeksi garis
Diketahui kubus terhadap bidang
pada bidang

. carilah proyeksi dari:

pada bidang.

2. a. Garis b. Garis pada bidang

23

C. Garis pada bidang

Diberikan sebuah kubus dengan titik terletak di tengah garis
C. AF terhadap bidang
3. . Tentukan proyeksi dari: .
a. terhadap bidang alas
b. terhadap bidang

Pada kubus dan titik adalah titik tengah dari garis

4. Gambarkan proyeksi:. .
a. Garis dengan bidang alas

b. Garis terhadap bidang

Diketahui kubus dengan rusuk 6 cm. Hitung panjang proyeksi

5. garis pada bidang . !

Pada kajian geometri analitis, konsep jarak yang dipelajari adalah jarak antara
dua titik menggunakan koordinat titik kartesius sehingga dapat dicari dengan
menggunakan rumus

dihitung pula jarak antara sebuah titik dengan sebuah

Selain jarak antar dua t itik, dapat = √ − +−

= | √ ++ +|

garis jika diketahui persamaan garis tersebut menggunakan rumus

Teknis perhitungan jarak dalam geometri ruang lebih banyak menggunakan Teorema
Phytagoras dan sifat-sifat bangun ruang. Konsep jarak yang pernah dipelajari pada
geometri analitik tersebut selanjutnya diperluas dalam geometri menjadi menghitung
jarak antara

i. Dua titik, titik ke garis dan titik ke bidang
ii. Dua garis dan garis ke bidang
iii. Dua bidang.

1. Titik

a. Jarak antara dua titik

24

Gambar 7. 36 Jarak dua titik

Jarak merupakan garis terpendek yang diperoleh dari menggambarkan dua
buah titik. Oleh karena itu, jarak antara dua titik (titik dan titik ) adalah panjang
dari segmen garis .

CONTOH dengan rusuk 6 cm. Jika titik merupakan titik

Sebuah kubus

perpotongan antara diagonal. sisi , hitunglah panjang antara titik dan titik .
G
Penyelesaian: H
F
=+ ⊥

Perhatikan bahwa merupakan segitiga siku-siku
di titik
( bidang ). E
dengan siku-siku
∆

=+ DC
= +√ AB

= = √ cm

Rumah Asri, Benny dan Claudia berada dalam sebuah pedesaan. Rumah Benny
terletak di sebelah Timur dari rumah Asri dan jarak antara rumah Benny dan Asri
adalah 4 km, sedangkan rumah Claudia terletak 3 km di bagian Utara dari rumah
Benny. Tentukan jarak sesungguhnya antara rumah Asri dan Claudia!

b. Jarak antara titik dan garis

Jika suatu titik dilalui oleh garis atau bidang,
apakah titik tersebut memiliki jarak terhadap
garis dan apakah titik memiliki jarak terhadap
bidang?

25

Ambil alat ukur sejenis meteran dan gunakan alat ukur tersebut
untuk mengukur jarak antara titik penalti terhadap titik yang
berada di garis gawang pada lapangan sepak bola yang ada di
sekolahmu. Lakukan hal ini berulang-ulang hingga mendapatkan
jarak minimum antara titik penalti dengan garis gawang tersebut!
Buatlah tabel yang memuat hasil pengukuran tersebut kemudian
buatlah kesimpulan dari hasil yang diperoleh!

Jika sebuah titik terletak di luar garis, maka ada jarak antara titik ke garis

tersebut.

Kasus I: Jika titik dan garis terletak pada bidang dan titik berada di
maka jarak antara titik dan garis dapat

luar garis (gambar 7. 37a), Step 3

dengan langkah-l angkah berikut

ditentukan Step 2
Step 1

Buatlah bidang yang Pada bidang , buatlah Segmen garis
melalui titik dan merupakan jarak titik
gatreigsak lurus
garis . terhadap garis . ke garis .

P

R

P (a) (b)

Gambar 7. 37 Jarak titik ke garis

Kasus II: Jika titik garis terletak pada bidang namun titik berada di luar

bi dang ( gam bar 7. 37b) m aka j ar ak atnar a t i it k dan gar i s dapat

ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Buatlah segmen garis Gambar garis Segmen garis

yang tegak lurus tegak lurus terhadap merupakan jarak antara

dengan bidang garis titik dan garis .

26

TOH mempunyai ukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm dan
Sebuah kotak

tinggi 6 cm. Titik merupakan. titik perpotongan antara diagonal sisi permukaan

atas kotak tersebut yaitu dan . Titik dan berturut-turut adalah titik

tengah dari garis dan garis . Tentukan jarak antara:

a. Titik dan garis

b. Titik dan garis

Penyelesaian:

a. Titik berada di luar bidang sehingga jarak antara titik dan garis

dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah berikut:

(i) Gambar garis H G
(ii) Gambar garis R
⊥ E P

(iii) merupakan jarak antara F

⊥

titik dengan garis.

=+ QD C
G
+

b. Garis == A B
E
terletak pada bidang H
P
=√ = √
F
, dan
. Oleh karena itu, jarak antara

⊥⊥

titik dan garis adalah garis

. D C
=+ AB
+=

=

=√ =
c. Jarak antar titik dan bidang

Jika sebuah titik berada di luar bidang maka ada jarak antara titik ke bidang
itu. Jarak titik A ke bidang (titik A berada di luar bidang ) dapat dicari dengan
langkah-langkah berikut:

27

Step 1 Step 2 Step 3
Buatlah garis
Garis menembus bidang pada Segmen garis

yang melalui titik . merupakan jarak
titik A dan tegak titik ke bidang
A
lurus bidang . .

Q

bidang

Gambar 7. 38 Jarak titik dan

CONTOH

Diberikan sebuah kubus dengan rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara
.
titik dan bidang !

Penyelesaian:

Perhatikan gambar kubus di samping!
Titik terletak pada bidang
. dan H G
. Bidang F

saling berpotongan pada garis . Jika E

merupakan tinggi dari segitiga , maka .

menembus bidang terhadap K
dan tegak lurus D

⊥

sehingga merupakan jarak antara titik ke C

. Untuk mencari panjang = maka perbesar A B

= , == √ √

gambar ∆ .

= += + =

=√ √

=

=√

= =√

= →= √

=√ √= =
√√
∴ √
Jarak antara titik tehadap bidang adalah

28

Diketahui kubus dengan panjang rusuk 5 cm. Titik pertengahan

1. rusuk . Hitunglah jarak:. c. Titik ke titik pertengahan
a. Titik ke titik d. Titik ke titik
dengan panjang rusuk 5 cm. Titik
b. Titik ke titik
Diketahui kubus

2. rusuk . Hitunglah jarak:.

a. Titik ke garis c. Titik ke garis

b. Titik A ke garis d. Titik ke garis

3. Diketahui balok titik. dengan dan
diagonal bidang alas dan
Titik adalah potong diagonal- .
= ,=
=

Hitunglah. jarak:

a. Titik ke bidang c. Titik ke bidang
d. Titik ke bidang
b. Titik ke bidang

Bidang alas limas tegak berbentuk persegi panjang,
Hitunglah:
4. dan . = ,=

a. Panjang, == = =, .

b. Jarak titik ke bidang alas .

dengan tegak lurus terhadap garis dan panjang

5. .
adalah limas . Tentukan jarak titik ke bidang !

Panjang setiap rusuk kubus ialag sedangkan panjang titik
6.
= = = !

pada dan . Tentuan jarak. titik bidang

ke √

7. Pada prisma segi=empat beraturan dengan rusuk 6 cm dan tinggi
.dan adalah
prisma 8 cm. titik potong diagonal
Tentukan jarak titik ke ! WV

8. Perhatikan. gambar di samping! Sebuah kubus T U
dengan panjang rusuk 4 cm. Titik
terletak.
pada pusat kubus tersebut. Hitunglah jarak antara:

a. Titik dan S R
b. Titik dan garis Q
P

Kubus memiliki panjang rusuk 8 cm. Titik

9. merupakan .titik tengah . Hitunglah jarak antara:

29

a. Titik dan titik

b. Titik dan garis dengan rusuk Titik adalah suatu titik pada
Diketahui kubus

10. sehingga. . Jika. bidang memotong bidang

perpanjangan garis , maka tentukan panjang !
atas sepanjang
=

Pada kubus dengan rusuk . Tentukan panjang proyeksi garis

11. pada bidang . ! dengan rusuk . adalah titik tengah rusuk
Diketahui kubus

12. . Tentukan jarak ant ara. titik ke garis

13. Diketahui kubus rusukdengan panjang! Jika merupakan

proyeksi titik pada bidang. ke titik !, maka tentukanlah jarak titik.
dengan panjang rusuk Jika titik P berada pada
Diketahui kubus

14. perpanjangan garis . sehingga maka tentukanlah. jarak titikke

garis ! =, dan masing-masing
Panjang rusuk kubus adalah 6 cm. Titik

15. terletak pada rusuk . dan . Hitunglah
dan . Panjang ==
jarak antara:
a. Titik dan titik C. Titik dan bidang

b. Titik dan garis

2. Garis

a. Jarak antara dua garis sejajar

Jika dua garis sejajar, garis dan garis terletak pada bidang yang sama
memotong garis dan secara tegak lurus dengan titik

bidang maka garis ′ ℎ dan titik adalah panj ang
potong berturut-turut dan , maka
jarak ant ara titik

ℎ

dari segmen garis . ′ ℎ

′

Gambar 7. 39 Jarak antar dua garis sejajar

30

b. Jarak antara dua garis bersilangan

Kasus I: Pada gambar 7. 40a, garis dan saling bersilangan maka untuk
sebagai berikut:

mencari jarak antara garis dan ℎ adalah ℎ

Step 1 Step 2 Step 3 Step 4 Step 5

Gambar garis Gambar Gambar bidang Gambar garis yang merupakan
melalui titik dan
yang bidang yang tegak lurus ℎ
sejajar Bidang tegak lurus dengan
′ garis . Asumsikan jarak antara
′ dengan bidang dan garis dan
yang memuat memuat garis .
dengan garis garis dan

dan . memotong garis ini memotong
memotong .
ℎ garis pada titik . pada
dan
Kas us ℎ tegak lurus seperti pada

gambar 7. ℎ II: Jika garis ℎsaling bersilangan

jarak ant ara garis dan dapat dicari dengan langkah -

40b maka ℎ

′ℎ ℎ

Q

(a) P
langkah berikut: (b)

Gambar 7. 40 Jarak dua garis bersilangan

Step 1 Step 2 Step 3 Step 4
Gambar bidang
Asumsikanℎ garis Gambar garis yang melalui merupakan
yang memuat garis menembus jarakℎantara garis
dan tegak lurus terhadap dan yang saling
yang tegak lurusℎ. bidang pada bersilangan tegak

terhadap garis titik . lurus.

garis . Asumsikan garis

memotong garis pada

ini

titik .

c. Jarak antara garis sejajar dan sebuah bidang

Pada gambar 7. 41 garis berada di luar bidang dan sejajar dengan bidang .

garis dengan bidang adalah sebagai berikut:

Untuk mencari jarak antara

31

Step 1 Step 2 Step 3
Segmen garis
Pilih sebuah titik Gambar sebuah garis dari titik

pada garis tegak lurus terhadap bidang merupakan jarak′
titik
′′ garis ke bidang
misalnya .
dan menembus bidang di titik
. (Titik adalah proyeksi

pada bidang )

P

P′

Gambar 7. 41 Jarak garis dan bidang

3. Bidang

Jika bidang sejajar dengan bidang . Maka untuk menentukan jarak

antara dua bidang sejajar tersebut adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Pilih sebuah Dari titik ditarik garis yang Segmen garis

perwakilan titik pada tegak lurus terhadap bidang merupakan jarak

pada bidang dan menembus bidang di titik dari bidang ke

misalnya titik . . (Titik adalah proyeksi titik bidang .

pada bidang )

Gambar 7. 42 Jarak dua bidang sejajar

32

TOH mempunyai panjang 8 cm, lebar 4 cm dan tinggi 6 cm.
Balok

tentukan jarak. antara: HG
a. Garis dan

b. dan bidang E F

c. Bidang dan

d. Garis dan DC
Penyelesaian:

a. dan terletak dalam bidang A B

. sejajar dengan sehingga jarak antara dan dapat

diwakili oleh panjang garis .= += √

b. ∴ dan √adalah √
Jarak antara garis
.
Garis sejajar dengan bidang . Garis sejajar dngan pada

bidang . Jarak antara garis dan bidang dapat diwakili

∴ . adalah .

dengan jarak dan bidang

garis

Jarak antara =

c. Bidang sejajar dengan . Segmen garis mewakili jarak antara

d. ∴

dua bidang ini dikarenakan .

dan adalah .

Jarak antara bidang ⊥

Garis dan saling bersilangan. Garis sejajar dengan dan

memotong pada titik . garis dan membentuk sebuah bidang

. Garis tegak lurus terhadap bidang dan memotong dengan

tegak lurus garis sehingga dapat mewakili jarak garis dan .

∴ Jarak antara garis adalah .
dan

a. = balok dengan panjang ,

Diketahui

1. dan . Hitunglah. jarak antara: ==
Garis
dan

b. Garis dan bidang c. Bidang dan 33
.

Pada kubus . dengan rusuk . Tentukan panjang proyeksi

2. pada bidang !

Pada balok diketahui pajang . Jika
3. panjang , maka. hitunglah panjang
==
= , diketahui rus uk kubus!
4. Pada kubus adalah 8 cm dan titik
titik
titik , titik , serta. beruturut -turut m erupakan titik tengah dari garis,

garis:

a. , ,dan dan . Hitunglah jarak antara c. dan bidang

b. dan

5. Diketahui kubus dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak

antara: .
a. Garis dan
C. Bidang dan .

b. Garis dan bidang

6. Pada kubus dengan panjang rusuk √ cm. Hitunglah jarak
antara bidang
. dan

!

Pada bidang dua dimensi, sudut hanya dapat dibentuk oleh dua garis yang

tidak sejajar. Dalam ruang dimensi tiga, konsep sudut diperbesar menjadi sudut

antar dua garis yang berpotongan, dua garis yang bersilangan, sudut antara garis

dengan bidang dan sudut antara dua buah bidang.

1. Sudut Antar Dua Buah Garis

Pada gambar 7. 43 sebuah tiang bendera disambung dan diikat

menjadi sebuah tiang. Tiang tersebut berdiri tegak dengan bantuan

tali yang diikat pada tongkat dan ditarik dengan kuat ke pasak yang

telah ditancapkan ke tanah ke tiga arah. Melalui gambar 7. 43 dapat

disketsakan menjadi sudut antar dua garis perhatikan gambar 7. 44.

Gambar 7. 43 Tiang bendera

34

adalah tiang bendera dengan dan adalah tali pandu. Dari
gambar 7. 44, jelas dapat dilihat bahwa sudut yang di bentuk oleh dan

adalah dan sudut yang dibentuk oleh dan adalah .

Gambar 7. 44 Sketsa tiang bendera

Kasus I: Jika garis berimpit atau sejajar dengan , maka sudut yang
dengan nol.

terbentuk sama ℎ

Kasus II: Apabila garis dan ℎ berada pada bidang yang sama dan
memotong pada titik
(gambar 7. 45), maka sudut yang terbentuk oleh

garis dan ℎ ditulis ∠ , ℎ adalah ∠ atau ∠ ′ ′.

ℎ

′

′ (a) ℎ ′ (b)

Gambar 7. 45 Sudut dua garis berpotongan

Cara menentukan sudut antar dua garis berpotongan adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2

Ambil sembarang titik pada garis Besar sudut ditetapkan

dan sembarang titik pada garis ℎ

. Dengan garis dan sebagai ukuran sudut antara
titik garis dan garis yang

ℎ berpotongan

ℎberpotongan di

′

ℎ′

ℎ
Gambar 7. 46 Sudut dua garis bersilangan

35

Kasus III: Gambar 7. 46 menunjukkan garis dan garis bersilangan
pada bidang .

garis menembus bidang di titik dan garis terletak
ℎ

Sudut antar garis yang bersilangan dengan ℎgaris dapat ditentukan
langkah berikut:

dengan langkah- ℎ
Step 1
Step 2 Step 3
Ambil
sembarang titik ′ ′ ℎ′

pada bidang Melalui titik , buatlah Sudut yang dibentuk oleh

garis sejajar dengan garis dan garis

ℎ ℎ

garis dan garis merupakan sudut antar garis

dengan garis dan garis yang

sejajar ℎ′

bersilangan

garis (garis atau garis ℎ
Note: lebih praktis memilih titik dari salah satu

Pada limas segi empat beraturan . Tentukan

1. sudut antara garis dan garis !. T
Penyelesaian:

Garis dan garis merupakan dua garis

bersilangan, maka sudut antara garis dan D C

adalah ∠ , sebab garis sejajar dengan garis .
A
B

Pada kubus .
dengan rusuk tentukan sudut yang terbentuk antara
2. garis HG
a. dan

b. dan

EF

DC
AB

Penyelesaian: saling berpotongan pada titik . E 36
Garis dan garis A D

Sudut antara garis dan adalah .
Perhatikan sama kaki .
di samping. ∠

∴ Garis dan ∆ membentuk sudut∠ °°. =

c. Garis dan saling bersilangan. sejajar

∠ , =∠ yang terdapat pada bidang .

dengan garis

. Perhatikan ∆ di berikut!

E = √ =√
CG
√ = tan− √

=, °

LATIHAN 7. 7

Diketahui kubus , tentukan sudut antara garis

1. a. dan . c. dan
b. dan d. dan

Tuliskan rusuk-rusuk pada kubus yang membentuk sudut

2. terhadap rusuk .°
Diketahui kubus dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah besar

3. sudut yang terbentuk antara:. C. Garis dan garis
a. Garis dan garis
dengan panjang rusuk 12 cm. Hitunglah tangen
b. Garis dan garis
Diketahui kubus garis dan

4. sudut yang terbentuk antara. dengan adal ah! sudut antara diagonal dan

5. Pada kubus

rusuk . Tentukan. nilai !
panjang rusuk 8 cm. adalah sudut antara garis
Pada kubus

6. dengan garis diagonal. ruang . Tentukan nilai dan !

7. Tentukan besar sudut yang dibentuk antar diagonalbidang pada kubus

. dengan panjang rusuk !

37

Sebuah prisma segitiga dengan

8. alas berupa segitiga sama sisi . dengan G

sisi 6 cm dan panjang rusuk tegak 10 cm.

Tentukan besar sudut yang dibentuk antara: E F

a. Garis dan

b. Garis dan C

Pada balok , titik merupaka
9.

titik . Jika panjang. , A B
dan
. = Tentukan besar sudut

=

antara garis != dan

!= dengan panjang rusuk , dan
dan
10. Balok
terbentuk antara garis

. Tentukan. = ,=

nilai cosinus sudut yang

2. Sudut Antara Garis Dan Bidang

Matahari (Pukul 12.00)
Pohon tumbuh miring

Proyeksi

Bayangan Pohon

Gambar 7. 47 Sketsa proyeksi pohon

Gambar 7. 47 menunjukkan sebuah pohon yang tumbuh miring di sebuah

lapangan. Pada pukul 12.00, matahari akan bersinar tepat di atas pohon tersebut

sehingga bayangan pohon tersebut merupakan proyeksi ortogonal pada bidang

(tegak lurus). Misalkan garis adalah pohon tersebut dan merupakan

proyeksi pada bidang, dengan demikian sudut yang dibentuk oleh

dengan bidang adalah sudut yang dibentuk dengan proyeksinya pada

bidang tersebut yaitu .

kedudukan antara garis dan bidang adalah:

∠
Kemungkinan

38

a. Jika sebuah garis° terletak pada bidang, maka sudut yang terbentuk adalah sebesar
b. Jika sebuah garis sejajar° dengan sebuah bidang, maka sudut yang terbentuk juga sebesar

c. Jika sebuah garis memotong atau menembus sebuah bidang maka
terdapat sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang itu. Langkah-
langkah dalam menentukan sudut yang terbentuk oleh garis yang
memotong bidang adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3
Ambil Sudut
Melalui titik , buatlah garis tegak
sembarang merupakan besar
Garis ℎ
titik pada ′
lurus terhadap bidang . ℎ ′
garis menembus bidang di titik sudut antara garis

yang

berpotongan
dengan bidang .

′

ℎ
Gambar 7. 48 Sudut garis menembus bidang

CONTOH

Kubus

1. a. . dengan rusuk 6 cm. Hitunglah besar

∠, ,∠ , dan ,H G
b. ,∠
Penyelesaian: , D F
yaitu sudut yang
∠ C
dan garis , sebab E B
a.

dibentuk oleh garis

∠, =∠ ,

merupakan proyeksi pada bidang .
kaki
adalah segitiga siku-siku sama

sehingga ∠= °.

∆ A

∴∠ , =°

b. , yaitu sudut yang H 39
dibentuk oleh garis dan garis , sebab garis E G
F
∠, =∠ D
C
adalah proyeksi pada bidang B

merupakan segitiga siku-siku di dengan ∆

m engam bli si nus , kos i nus dant angen s udtu , dan Dengan
√
=√ =
pada
=.

(i)∆ maka diperoleh: A

sin = = √ =√ = √

(ii) c s = = √√ = √√ =√

tan = = = = √
(iii) √ √

2. ∠ , kubus dengan Hitunglah

1. Diketahui ! . rusuk cm. besar

a. ∠ , . dengan rusuk 10 cm. Hitunglah:

b.

Diketahui kubus

3. c s ∠ ,

Pada kubus dengan rusuk 2 cm. Tentukan sudut yang terbentuk

antara garis dengan. bidang dan hitunglah !
4. Pada kubus
dengan rusuk 12 cm. Titikdanberturut -turut
tan ∠
,

terletak di tengah rusuk. dan . Hitunglah sin !

5. Bidang alas dari limas berbentuk pers egi panj ang dengan
∠ ,

sin

, = ! , dan .= = = = . Hitunglah besar =

Pada limas t egak beraturan

6. ∠ , dengan rusuk alas 4 cm dan rusuk tegaknya

6 cm. Hitunglah .! , ! dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk

√ ta n ∠
s egi me pat ber at ur an

7. Diketahui limas ∠ ,

tegak cm. Hitunglah .

8. Pada limas∠ ,segi empat beraturan yang semua rusuknya sama panjang. Tentukan

besar !

40

deng an = t an ∠ , !

9.Diketahui kubus dengan rusuk 4 cm. titik adalah titik

. sehingga =

==

perpanjangan sehingga. . Hitunglah
10. Balok
panjang dan . Titik
=:
tan ∠ , ! adalah persegi
:
dan titik terletak pada sehingga
terletak pada

. Hitunglah : =:

11. adalah persegi panjang pada bidang horizontal dal

panjang pada bidang vertikal. Panjang dan .
dengan bidang bidang
3. Sudut tan . tan

J i ka

dan berturut-turut sudut antara = ,= dan =

, tentukan;ah !

Antara Dua Bidang

Sebuah buku terbuka seperti gambar 7. 49. Jika sampul depan buku dimisalkan

bidang dan sampul belakang buku adalah bidang berpotongan pada tulang

buku yang dimisalkan garis dan disketsakan seperti gambar (), maka akan ada

sudut yang terbentuk antara sampul depan buku dengan sampul belakang buku.

Pada gambar () garis dan garis tegak lurus degan garis . Dengan demikian,

sudut yang dibentuk oleh bidang dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh

garis dan .

Sampul depan

Sampul belakang

Tulang buku

Gambar 7. 49 Buku

a. Pada dua bidang saling berimpit, sudut yang terbentuk adalah sebesar° °
b. Sudut yang terbentuk antara dua bidang yang sejajar sebesar

c. Jika dua buah bidang saling berpotongan maka terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh kedua

bidang tersebut.Kemungkinankedudukanantaradua bidang adalah:

41

Langkah-langkah dalam menentukan sudut yang terbentuk oleh dua bidang, bidang
dan bidang adalah sebagai berikut:

Step 1 Step 2 Step 3
Ambil sembarang Melalui titik , buatlah garis Sudut
titik pada garis merupakan sudut
pada bidang dan garis yang terbentuk
perpotongan , pada bidang yang antara bidang
dan bidang
masing-masing tegak lurus

terhadap garis potong ,

CONTOH , H G
D F
Kubus Gambar 7. 50 Sudut bidang berpotongan
C
dengan panjang rusuk 4 cm.
B
Tentukan besar. , ! E
A
Penyelesaian: ∠

Bidang dan saling memotong pada garis

. Pilih titik yang merupakan titik tegah garis

sehingga (diagonal persegi ),

atau membagi menjadi dua bagian

(tinggi ⊥ ⊥

∠ =∠ =

,

yang sama) ∆

tan =√ =√ ,° .

= t an− √=

∠, = ,°

42

LATIHAN 7. 9

b. ∠ , dengan panjang rusuk 10 cmtan.Hitunglah∠ c. ,
Kubus . Hitunglah:
= ,= dan∠ =,
c.

1. a. .
∠ ,

2. b. ,
∠
Sebuah balok dengan ,

a. ∠

3. Diketahui titik dan berturut-turut adalah titik tengah rusuk tegak dan

4. . Hitunglah , , bidang alas berbentuk persegi panjang
empat
!
Pada limas segisin ∠

dengan . dan = = = = .
Hitung: = ,=

a.

b. tan ∠ , dengan panjang rusuk-rusuknya 6 cm.
beraturan dengan titik adalah titik potong
Bi dang
em pat

5. c s ∠ ,

Hitunglah limas beraturan .!

6. Diket ahui c s ∠ ,

diagonal dan merupakan. tinggi limas. Panjang = dan

7. Balok Tentukan besar !
√.
= , dengan al as ber bent ukper s egi . J i ka

∠

8. , dan adalah. mka hitunglah != ,=

Di ket ahui kubus dengan panj ang r us uk 12 cm. Hti ung

∠, sin

Pada kubus .
)! dengan dan berturut-turut adalah titik tengah

9. sin ∠ ,

10. dan . Hitunglah. mempunyai alas segitiga siku-siku
Bi dang em pat ( Tert ahedr on)

tan ∠ ,!

dengan sisi . . tegak lurus pada alas, jika

maka tentukan ∠= =! √ =

,

43

Proyeksi dan jarak titik ke garis, antar dua garis, garis terhadap bidang, antar
dua bidang serta sudut antar dua garis, garis dengan bidang dan antar dua bidang
dapat dikombinasikan untuk menyelesaikan berbagai soal penerapan dimensi tiga.

CONTOH

1. Sebuah limas dengan alas persegi dan titik puncak limas adalah . Jika

∆= dan
volume
luas alas adalah 196

limas E

serta , maka ∆ =

tersebut adalah . . .

Penyelesaian:

Misalkan adalah tinggi limas dan merupakan C
D

jarak dariℎ ke garis . Cari tinggi

dengan . rumus luas

= ∆

∆= ℎ → =× ÷

. =

. .∆ ∆( adalah sisi persegi) A B

. ∆. ∆ ∆

∆=

∆

Sedangkan :

=. . → = ×÷ =

∆ ∆ℎ = − −

Maka dengan teorema Phytagoras diperoleh

ℎ = − … (i)

−− …(ii) −

=

Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh

− −+ = −

= −→ =

− +ℎ=√ =√ =

ℎ =√ −

Maka

∴ = ×=× = ×ℎ

×

sehingga,

2. Diketahui sebuah balok 44
G
memiliki perbandingan∶∶ H
D F
rusuk-rusuk .
C
Panjang diagonal rusuknya E

21 cm. maka volum balok

tersebut adalah . . .

Penyelesaian: =∶
Perbandingan ∶ ∶

∶= += +A B

= +=

=√ = √ cm

=+

=√ +
=
=√

Jadi = →= =

panjang balok: = × ,= ×× = × × =

lebar balok:

tinggi balok: =× =

balok adal ah

sehingga volume= × =

LATIHAN 7. 10

1. Sebuah tiang listrik setinggi 6 m ditopang oleh tiga buah kawat yang ditancapkan

ke tanah. Jika jarak antara tiang dan posisi kawat yang ditancapkan ke tanah

adalah 2,5 m dan posisi tiang tegak lurus dengan posisi kawat yang ditancapkan di tanah. Tentukan panjang. kawat yang diperlukan!,,

2. Diketahui kubus, , dengan titik = dan , masing=-masing, terletak=
pada pepanjangandan. JikaDAN

. Tentukan,, perbandingan volume kubus yang dibagi oleh bidang yang

melalui dan !

45

3. Dalam kubus , titik adalah titik tengah sisi dan adalah titik

tengah diagonal ruang. . Tentukan perbandingan antara volume limas
!
dan volume kubus

4. Diket ahui prism a tegak segitiga. jika dan

Diketahui . Tentukan volume prisma!. . = , =√
5. =

masing-masing adalah titik. tengah dari garis dn , tentukanlah luas
mempunyai alas berbentuk persegi
segitiga

6. Sebuah piramida! tegak

dengan luas dan .panjang rusuk tegaknya 13 cm. jika adalah sudut

7. antara bidang dan . Tentukan nilai ! ber t ur ut- t ur tu adlaaht ti i k
dan
Di ket ahui kubus
. Tti i k

tengah dan. . Tentukan, , sin dengan

proyeksi , ! perbandingan luas
∆
,ke bidang

8. Tentukan∆ volume prism a (dalam bentuk variabel ) yang beralaskan

segitiga sama kaki dengan. tinggi limas adalah 4 cm!
9. Pada kubus
dengan rusuk dan titik merupakan titik

tengah bidang . . Tentukan luas segitiga !
10. Kubus
panjng sisinya 1 dm. Titik adalah titik tengah

dengan . . Titik adalah proyeksi titik pada garis dan titik

adal ah pr oyekis pada bi dang . Hi t unlgahl uas !

=

∆

Perhatikan berbagai objek yang kamu temui di sekelilingmu. Pilihlah minimal tiga
objek dan rancanglah masalah yang pemecahannya menerapkan sifat dan rumus
jarak titik ke garis atau jarak titik ke bidang kemudian buatlah laporan dan sajikan
di depan kelas!