e-book matematika kd 3.1 - Dimensi Tiga

46

Menentukan Luas Bidang Irisan

I. Tujuan: menentukan dan menghitung luas daerah irisan bangun ruang pada

diagram Cartesius.

II. Alat dan bahan:

1. Karton 4. Gunting 7. Lem

2. Penggaris 5. Buku 8. Kertas

3. Spidol 6. Alat tulis

III. Langkah Kerja:

1. Siapkan alat dan bahan yang akan digunakan.

2. Buatlah beberapa bangun kubus, balok, limas segitiga dan limas segi empat

dari karton.

3. Buatlah tiga titik sembarang pada bangun dengan spidol di mana tidak

semua titiknya terletak pada satu bidang.

4. Guntinglah bangun tersebut menurut bidang irisan yang melewati ketiga

titik tersebut. Bidang irisan tersebut merupakan bidang datar. Sebelum

digunting, lukislah bidang irisan tersebut terlebih dahulu pada sisi-sisi

bangun. Jika kesulitan dalam melukis bidang irisan, cobalah untuk

membuat sketsanya di kertas terlebih dahulu.

5. Cetaklah bidang irisan tersebut pada selembar kertas. Jika semua sisi irisan

menempel pada kertas maka Anda telah membuat irisan yang benar.

6. Lakukan langkah 2-5 untuk limas segi lima, limas segi enam, prisma

segitiga, prisma segi lima, prisma segi enam ataupun bangun lainnya.

IV. Pertanyaan

Bentuk bidang irisan seperti apa saja yang diperoleh dari masing-masing

bangun ruang? Hitunglah luas bidang-bidang irisan yang telah diperoleh dari

bangun-bangun ruang tersebut!

V. Kesimpulan

Buatlah kesimpulan dari kegiatan ini!

47
Sebuah bangun ruang jika diiris sebuah bidang maka hasilnya berupa sebuah

(a) (b)

Gambar 7. 51 Bidang irisan

bidang datar. Gambar 7. 51a menunjukkan bahwa suatu kubus diiris vertikal oleh

bidang hasuil irisannya berbentuk bidang dan gambar 7. 51b menunjukkan

limas segitiga yang diiris oleh bidang hasil irisannya berupa bidang

bahwa α .

berbentuk segitiga

Langkah-langkah dalam menggambar bidang hasil irisan adalah sebagai

berikut:

Step 1 Step 2 Step 3

Gambar sumbu afinitas Dengan menggunakan Berdasarkan garis-

yaitu garis potong antara bantuan sumbu afinitas, garis potong tersebut

bidang irisan dengan salah gambarlah garis-garis tentukan bidang

satu bidang pada bangun potong bidang irisan dengan irisnya.

yang diiris bangun yang diiris

CONTOH

Diketahui suatu kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada rusuk EF sedemikian
rupa sehingga EP:PF = 1:3. Titik Q terletak pada garis BC sehingga BQ:BC =
1:3, dan titik R terletak pada garis CG sehingga GR:RC = 1:3. Gambarlah
bidang irisan kubus tersebut dengan bidang yang melalui titik P, Q, dan R!
Penyelesaian:

48

Langkah 1: Gambarkan sumbu afinitasnya dengan menarik garis yang
menghubungkan titik R dan Q
sampai memotong perpanjangan FG
di titik W dan perpanjangan BF di
titik U. Garis WU merupakan sumbu
afinitasnya.
Langkah 2: Tarik garis dari U ke P,
sehingga memotong garis AB di titik
S. Tarik pula garis dari W ke P
sehingga memotong garis HG, di
titik T.
Langkah 3: Hubungkan TR dan QS dengan sebuah garis sehingga terbentuk
bidang irisan PSQRT.

LATIHAN 7. 11

Diketahui kubus dengan rusuk . Gambarlah irisan bidang yang

1. melalui diagonal dan. titik tengah rusuk dan tentukan luas bidang di
dakam kubus tersebut!

Kubus dengan rusuk cm. Titik dan adalah titik-titik
2. tengah dari . datar bidang ?
dan . Tentukan bentuk bangun,

3. Diketahui kubus, Titik adalah titik tengah rusuk . Tentukan

bentuk irisan bidang yang. melalui. titik dan, dan dengan kubus!
memiliki titik yang berturut-turut terletak pada
4. Balok

rusuk ! . Diketahui , , .

. dan dan

Tentukanlah, melalui titik dan pada balok

bentuk iris an bidang yang = ,= =

5. Diketahui. limas segi-empat beraturan dengan dan tinggi
sehingga titik
limas 8 cm. Titik terletak pada perpanjangan.
= merupakan titik
terletak pada perpanjangan sehingga
tengah . Tentukanlah bentuk irisan bidang dan =,

= antara lim as dengan bidang yang

melalui titik , dan !

49

Titik, Garis dan Bidang
Titik dideskripsikan dengan menggunakan tanda noktah.

Garis lurus merupakan kumpulan dari titik-titik dan merupakan kurva lurus
yang tidak memiliki ujung maupun pangkal.

Sebuah bidang datar mempunyai luas daerah tak terbatas.

Kedudukan titik terhadap garis:
1. Titik terletak pada garis jika titik dilalui oleh garis .

2. Titik berada di luar garis jika titik tidak dilalui oleh garis .
bidang:

Kedudukan titik terhadap
1. Sebuah titik terletak pada bidang jika bidang memuat titik .

2. Sebuah titik terletak di luar bidang , , jika bidang tidak memuat titik .
Kedudukan dua buah garis:

1. Berimpit, jika setiap titik pada garis juga terletak pada garis ℎ.
2. Berpotongan, jika terdapat dua buah garis yang memiliki sebuah titik

persekutuan yang sama.

3. Sejajar, jika terdapat dua buah garis yang tidak memiliki titik persekutuan.

4. Bersilangan, jika terdapat dua buah garis yang tidak sejajar dan tidak
berpotongan serta terletak pada dua bidang yang berbeda.

  Kedudukan garis terhadap bidang:
1. Garis terletak pada bidang, jika garis dan bidang tersebut sekurang-

kurangnya mempunyai dua titik persekutuan.

2. Garis sejajar dengan bidang, jika garis dan bidang tersebut tidak
mempunyai titik persekutuan.

50

3. Garis menembus bidang, jika garis dan bidang tersebut mempunyai titik
pesekutuan.

A

 Kedudukan dua buah bidang: kedua bidang tersebut memiliki
1. Berhimpit, jika setiap titik pada
bidangjuga terletak pada bidang
bidang daerah persekutuan.

2. Sejajar, jika terdapat dua buah bidang yang tidak memiliki titik maupun
garis persekutuan.

3. Berpotongan, jika terdapat dua buah bidang yang tidak sejajar dan
memiliki titik tepat sebuah garis persekutuan (garis potong).

Proyeksi

 Proyeksi titik pada bidang
Proyeksi titik pada bidang adalah sebuah titik yang dilalui oleh garis yang

berpangkal di titik yang tegaklurus terhadap bidang .

Proyeksi garis pada bidang dengan garis dan tegak

.

Proyeksi garis pada bidang adalah

lurus terhadap bidang ′′ ′ ′

Jarak dalam bangun ruang

 Jarak antar dua buah titik adalah panjang segmen garis tependek yang

menghubungkan dua buah garis tersebut.
 Jarak titik ke garis adalah jarak titik ke proyeksinya pada garis tersebut.


1. Jarak antar dua garis sejajar adalah jarak salah satu titik di salah satu garis
ke garis lainnya

2. Jarak atara dua garis bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak
lurus terhadap kedua garis tersebut.

 Jarak antar dua buah bidang yang sejajar adalah jarak dari salah satu titik pada

bidang yang satu ke bidang yang lainnya.

Sudut dalam bangun ruang

51

 Sudut antara dua buah garis adalah sudut yang terbentuk akibat perpotongan

dua garis pada satu titik.

ℎ

 Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis dengan poyeksi
bidangnya.

′

ℎ

 Sudut antara dua buah bidang adalah sudut yang terbentuk akibat perpotogan

dua bidang pada satu garis.

,

52

A. Pilihan Berganda
1. Pusat dari permukaan-permukaan prisma yang alasnya berbentuk belahketupat

akan digabung membentuk sebuah oktahedron. Volume dari oktahedron tersebut
adalah . . . (American Mathematics Competition, 2015)

a.

b. 10
c. 12

d. 5
e. 15 √ dengan panjang rusuk 4, titik terletak pada segmen
Pada kubus

2. garis sehingga . Titik adalah titik potong garis dan bidang

a. s udut yangt er bent uk antar a grai s c. √ e. √ maka
√c s
.
dan gar i s

. Jika adalah =

nilai adalah . . . (SBMPTN, 2015) ,

b. √ d. √
3. Segitiga=,= dan persegi = dan
saling tegak lurus pada sebuah bidang jika ,

adalah . . . (American High maka panjang

Examination, 1996) School Mathematics CD

a. √5

b. √

c.

d.

e. 8 √ BP A
4. Sebuah kubus dipotong sama panjang pada setiap

sudutnya seperti pada gambar sehingga membentuk
enam buah oktagon yang beraturan maka volume

oktagon tersebut adalah . . . (American Mathematics

Competition, 2007)

a. √ − d. √ −
b. − √ e.

c. − √ −√

= = 53
. (American

Diberikan sebuah limas dengan alas persegi i

.

5. , jika dan . , maka volume limas adalah . =.

High School = Mathemati cs Examination, 1990) =

∠

a. i c. e. √ c

b. c −i i
B. Essay
d.

1. Sebuah tong berbentuk tabung yang penuh dengan air memiliki jari-jari 4 dm dan

tinggi 10 dm. Sebuah kubus padat dengan rusuk 8 m

dicelupkan ke dalam tong sehingga diagonal ruang kubus

menjadi tegak lurus dan volume air ( yang berada di dalam

tong meluap keluar. Tentukan nilai! (American

Invitational Mathematics Examination, 2015)

jarak × × ,,

2. Sebuah prisma dengan alas berbentuk jajargenjang dengan

ukuran dengan titik bersebelahan dengan titik . Tentukan

garis yang tegak lurus dari titik ke bidang yang memuat

3. 2007) . c s∠ ,

(American High School Mathematics Examination, 1996) ,,!

Perhatikan bidang empat ! nilai adalah . . . (SBMPTN,

T
C

A
B

4. Titik P dan Q berturut-turut adalah titik H 54
tengah rusuk dan pada kubus D
G
jika panjang kubus adalah E F
P
1 satuan,. tentukan. luas segi empat ! Q

(OSN, 2003) C
B
A

5. Titik merupakan titik tengah dari sebuah tetrahedron Titik dan

= +, += + += +

berturut-turut adalah titik tengah dari dan bahwa,

∠ =∠ =∠ . Asumsikan.

Buktikan

.dan,
+

bahwa ! (Internasional Mathematics Olimpiad, 1991)

Challenge Question!

Titik dan merupakan empat titik dalam sebuah bangun ruang dan

meru pak an,, jarak antara titik dan . Tunjukkan bahwa
! (USA Mathematical Olimpiad, 1975)
+ ++

≥

A

D

B
C

55

Latihan 1 c. Diagonal-diagonal sisi yang
bersilangan dengan rusuk
1. a. Titik dan

b. Titik adalah diagonal ,,
c. Titik , dan, , , dan dan

d. Titik d. Tidak ada diagonal-diagonal sisi
2. a. Titik , , ,dan, dan
yang berimpit dengan rusuk .

b. Titik , , dan 3. a. Rusuk-rusuk kubus yang terletak

c. Titik , , pada bidang adalah rusuk

,

d. Titik dan

a. Titik dan b. Rusuk,, -rusuk kubus yang sejajar

,, dan, ,

3. b. Titik dan dengan bidang adalah rusuk

c. Titik , , dan

d. Titik ,, ,, dan c. Rusuk-rusuk kubus yang memotong atau
menembus, bidang,
Latihan 2
adalah rusuk
1. a. Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dan
dengan,, rusuk 4. a. Diagonal-diagonal sisi kubus
yang terletak pada bidang
adalah rusukdan adalah dan
b. Diagonal-diagonal sisi kubus
b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar yang sejajar dengan bidang
adalahdan
dengan rusuk adalah rusuk 5. a.
dan
HG
c. ,Rusuk-rusuk kubus yang
EF
bersilangan dengan rusuk

adalah rusuk dan

d. Rusuk-rusuk, kubus, yang
adalah
berimpit dengan rusuk

rusuk itu sendiri.

2. a. Diagonal-diagonal sisi yang berpotongan D C
dengan, rusuk, A B

adalah diagonaldan

b. Tidak ada diagonal-diagonal sisi
yang sejajar dengan rusuk .

Terima Kasih
Semoga e-book

ini bisa
bermanfaat