E-Book Logika Matematika

i

E-BOOK
LOGIKA MATEMATIKA

SEMESTER 1

Di susun oleh :

Nama : Ahmad Ridho
Kelas : 1O REG BJM
NPM : 2110010443
MATA KULIAH LOGIKA MATEMATIKA
Teknik Informatika Tahun Ajaran 2021/2022

Dosen Pengampu :

ADHI SURYA, ST, MT (NIDN. 1126058001/NIK.06.1104.620)

Universitas Islam Kalimantan Muhammad Arsyad Al Banjari
Banjarmasin

Jl. Adhyaksa, Jl. Kayu Tangi 1 Jalur 2 No.2, Sungai Miai, Kec. Banjarmasin Utara, Kota Banjarmasin,
Kalimantan Selatan 70123

ii

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah Puji syukur kehadirat Allah SWT, atas
segala rahmat dan hidayah-Nya. Shalawat serta' salam
tercurahkan kepada junjungan Nabi Muhammad SAW yang
selalu kita nantikan syafaatnya di akhirat nanti.

Penulis mengucapkan syukur kepada Allah SWT atas
limpahan nikmat sehat-Nya, baik itu sehat fisik maupun akal
pikiran, sehingga penulis mampu menyelesaikan pembuatan
materi Logika Matematika ini.Penulis tentu menyadari bahwa
materi ini masih jauh dari kata sempurna dan masih banyak
terdapat kesalahan serta kekurangan di dalamnya.

Untuk itu, penulis mengharapkan kritik serta saran dari
pembaca untuk materi ini, agar materi ini nantinya dapat
menjadi materi yang lebih baik lagi. Demikian, dan apabila
terdapat banyak kesalahan pada materi ini penulis mohon
maaf yang sebesar-besarnya.

Banjarmasin, 28 Oktober 2021

Penulis

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.................................................................................................................................. iii
DAFTAR ISI.............................................................................................................................................. iv
BAB 1....................................................................................................................................................... 1

1.1. Pengertian Konsep Logika............................................................................................................ 1
1.2. Pengertian Konsep Logika Matematika ....................................................................................... 1
1.3. Perangkai Dasar Logika Matematika............................................................................................ 1
1.4. Dasar Dasar Logika....................................................................................................................... 5
1.5. Logika Sebagai Matematika Murni .............................................................................................. 6
1.6. Contoh Soal Sederhana Bab 1 Materi Disjungsi........................................................................... 6
1.7. Kesimpulan................................................................................................................................... 7
1.8. Referensi ...................................................................................................................................... 7
BAB 2....................................................................................................................................................... 8
2.1. Definisi Himpunan........................................................................................................................ 8
2.2. Cara Menyatakan Himpunan ....................................................................................................... 8
2.3. Operasi Himpunan ....................................................................................................................... 9
2.4. Aljabar Himpunan ......................................................................................................................15
2.5. Transisi dari Himpunan ke Logika ..............................................................................................16
2.6. Prinsip Inklusi dan Eksklusi.........................................................................................................18
2.7. Contoh Soal Sederhana Bab 2....................................................................................................18
2.8. Kesimpulan.................................................................................................................................19
2.9. Referensi ....................................................................................................................................19
BAB 3.....................................................................................................................................................20
3.1. Jenis-jenis Fungsi........................................................................................................................20
3.2. komposisi bentuk fungsi-fungsi injektif,surjektif,dan bijeksi.....................................................23
3.3. Komposisi dari Dua Buah Fungsi ................................................................................................26
3.4. Contoh soal sederhana dari bab 3 .............................................................................................29
3.5. Kesimpulan.................................................................................................................................30
3.6. Referensi ....................................................................................................................................30
BAB 4.....................................................................................................................................................31
4.1. Pengertian Logika Proposisi .......................................................................................................31
4.2. Definisi Proposisi........................................................................................................................31
4.3. Definisi dan Arti Kalimat ............................................................................................................32
4.4. Aturan semantik dan sifat kalimat .............................................................................................33

iv

4.5. Bentuk bentuk Proposisi ............................................................................................................35
4.6. Comtoh soal sederhana bab 4 ...................................................................................................35
4.7. Kesimpulan.................................................................................................................................36
4.8. Referensi ....................................................................................................................................36
BAB 5.....................................................................................................................................................37
5.1. Ekivalensi dan Konsekuensi Logik ..............................................................................................37
5.2. Konjungsi dan Disjungsi Jamak ..................................................................................................39
5.3. Substitusi dan Substitusi Jamak .................................................................................................41
5.4. Contoh soal sederhana bab 5 ....................................................................................................44
5.5. Kesimpulan.................................................................................................................................45
5.6. Referensi ....................................................................................................................................46
BAB 6.....................................................................................................................................................47
6.1. Konsep Logika Predikat ..............................................................................................................47
6.2. Representasi Kalimat .................................................................................................................49
6.3. Variabel Bebas dan Terikat Interpretasi ....................................................................................49
6.4. Arti Kalimat ................................................................................................................................51
6.5. Contoh soal sederhana bab 6 ....................................................................................................52
6.6. Kesimpulan.................................................................................................................................53
6.7. Referensi ....................................................................................................................................53
BAB 7.....................................................................................................................................................54
7.1. Konsep Aljabar Boolean .............................................................................................................54
7.2. Fungsi boolean dan bentuknya..................................................................................................57
7.3.Bentuk fungsi boolean ................................................................................................................58
7.4. Contoh soal sederhana bab 7 ....................................................................................................61
7.5. Kesimpulan.................................................................................................................................61
7.6. Referensi ....................................................................................................................................61
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................................62
DAFTAR GAMBAR..................................................................................................................................65
DAFTAR TABEL ......................................................................................................................................66
PROFIL PENULIS.....................................................................................................................................67

v

BAB 1

1.1. Pengertian Konsep Logika

Logika merupakan sebuah ilmu pengetahuan yang objek materialnya
adalah berpikir dengan penalaran, dan objek formal logika adalah penalaran
yang ditinjau dari segi ketepatannya.

Berikut contoh sederhana dari logika :
“manusia mampu untuk bernapas didalam air dengan menggunakan paru-
paru”,
jelas pernyataan tersebut tidak benar nyatanya Manusia tidak dapat bernafas
di dalam air karena paru-paru kita itu tidak dapat memisahkan serta
menyerap O2 dari dalam Air. Desain paru-paru manusia ini memang
diperuntukan untuk menyerap udara, bukan air.

1.2. Pengertian Konsep Logika Matematika

Logika matematika adalah aturan berpikir atau landasan tentang
bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Petimbangan akal pikiran yang
kita gunakan untuk menarik kesimpulan bukan hanya didasarkan pada logika
alamiah, namun juga logika ilmiah.

1.3. Perangkai Dasar Logika Matematika

Ada 5 perangkai dasar dalam logika matematika, antara lain ingkaran atau negasi,
konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Untuk menarik suatu kesimpulan yang benar
dari suatu logika matematika, kamu harus memahami terlebih dahulu setiap logika
matematika dasarnya. Berikut ini penjelasannya.

1

Ingkaran atau Negasi

Ingkaran atau negasi adalah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang
berlawanan dari pernyataan atau proposisi semula. Dalam logika matematika, ingkaran atau
negasi memiliki simbol (~). Apabila pernyataan awal bernilai benar, maka pernyataan
barunya bernilai salah. Sebaliknya, jika pernyataan semula bernilai salah, maka pernyataan
barunya bernilai benar.

Permisalan ingkaran atau negasi adalah sebagai berikut:

Jika (p) bernilai benar (B), maka ingkarannya (~p) bernilai salah (S).
Jika (p) bernilai salah (S), maka ingkarannya (~p) bernilai benar (B).
Biar lebih jelas, simak contoh di bawah ini!
p = Sehun memiliki seekor anjing.
~p = Sehun tidak memiliki seekor anjing.
p = Semua unggas adalah burung.
~p = Ada unggas yang bukan burung.

Disjungsi

Disjungsi adalah proposisi majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung ‘atau’.
Secara matematika, disjungsi ditulis sebagai p v q, yang berarti p atau q. Suatu disjungsi akan
bernilai benar jika salah satu pernyataan bernilai benar atau kedua pernyataan (p dan q)

bernilai benar. Untuk menentukan kebenaran dari disjungsi, kamu bisa simak tabel berikut:

Tabel 1 Disjungsi

2

Contoh:

p = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Sabtu.
q = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Minggu.
Disjungsi (p v q) = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Sabtu atau Minggu.

Konjungsi

Konjungsi adalah suatu proposisi majemuk yang dihubungkan oleh kata hubung ‘dan’.
Perangkai ini dilambangkan sebagai p ^ q, yang berarti p dan q. Suatu konjungsi akan bernilai
benar jika kedua pernyataan (p dan q) bernilai benar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel
konjungsi berikut:

Tabel 2 Konjungsi

p = Luffy memiliki teman bernama Zoro.
q = Luffy memiliki teman bernama Nami.
Konjungsi (p ^ q) = Luffy memiliki teman bernama Zoro dan Nami.

3

Implikasi

Implikasi adalah proposisi majemuk sebab-akibat yang dihubungkan oleh kata hubung
‘jika…, maka…’. Secara matematika, implikasi memiliki simbol p => q. Dalam hal ini, p
disebut sebagai anteseden atau penyebab, sedangkan q disebut sebagai konsekuen atau akibat.
Perangkai dasar proposisi implikasi akan bernilai benar, jika:

p bernilai benar dan q bernilai benar, maka implikasinya benar;
p bernilai salah dan q bernilai benar, maka implikasinya benar;
p bernilai salah dan q bernilai salah, maka implikasinya benar; dan
p bernilai benar dan q bernilai salah, maka implikasinya bernilai salah.

Adapun jenis-jenis implikasi adalah sebagai berikut:
Konvers dari implikasi p => q yaitu q => p.
Invers dari implikasi p => q yaitu ~p => ~q.
Kontraposisi dari implikasi p => q yaitu ~q => ~p.

Contoh implikasi pada proposisi majemuk:
p = Hari ini cuaca cerah
q = Hari ini ibu menjemur pakaian.
Implikasi (p => q) = Hari ini cuaca cerah, maka ibu menjemur pakaian.

Biimplikasi

Biimplikasi merupakan proposisi majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung ‘jika dan
hanya jika…’. Pada logika matematika, biimplikasi memiliki simbol p ⬄ q. Suatu proposisi
bernilai benar bilamana memiliki nilai kebenaran yang sama. Untuk lebih jelasnya,
perhatikan contoh berikut ini!

p = Rona memberikan hadiah kepada ibunya.
q = Rona memenangkan lomba menyanyi.
Biimplikasi (p ⬄ q) = Rona memberikan hadiah kepada ibunya jika dan hanya jika ia
memenangkan lomba menyanyi.

4

1.4. Dasar Dasar Logika

Konsep bentuk logis adalah inti dari logika. Konsep itu menyatakan bahwa kesahihan
(validitas) sebuah argumen ditentukan oleh bentuk logisnya, bukan oleh isinya. Dalam hal ini
logika menjadi alat untuk menganalisis argumen, yakni hubungan antara kesimpulan dan
bukti atau bukti-bukti yang diberikan (premis). Logika silogistik tradisional Aristoteles dan
logika simbolik modern adalah contoh-contoh dari logika formal.

Dasar penalaran dalam logika ada dua, yakni deduktif dan induktif.

Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif, kadang disebut logika deduktif, adalah penalaran yang membangun atau
mengevaluasi argumen deduktif. Argumen dinyatakan deduktif jika kebenaran dari
kesimpulan ditarik atau merupakan konsekuensi logis dari premis-premisnya. Argumen
deduktif dinyatakan valid atau tidak valid, bukan benar atau salah. Sebuah argumen deduktif
dinyatakan valid jika dan hanya jika kesimpulannya merupakan konsekuensi logis dari
premis-premisnya.
Contoh argumen deduktif:
1. Setiap mamalia punya sebuah jantung
2. Semua kuda adalah mamalia
3. Setiap kuda punya sebuah jantung

Penalaran Induktif

Penalaran induktif, kadang disebut logika induktif, adalah penalaran yang berangkat dari
serangkaian fakta-fakta khusus untuk mencapai kesimpulan umum.

Contoh argumen induktif:
1. Kuda Sumba punya sebuah jantung
2. Kuda Australia punya sebuah jantung
3. Kuda Amerika punya sebuah jantung
4. Kuda Inggris punya sebuah jantung
5. Setiap kuda punya sebuah jantung

5

Tabel di bawah ini menunjukkan beberapa ciri utama yang membedakan
penalaran induktif dan deduktif.

Tabel 3 Perbedaan Induktif dan Deduktif

1.5. Logika Sebagai Matematika Murni

Logika masuk ke dalam kategori matematika murni karena matematika adalah logika
yang tersistematisasi. Matematika adalah pendekatan logika kepada metode ilmu ukur yang
menggunakan tanda-tanda atau simbol-simbol matematik (Logika SimbolikLogika
tersistematisasi dikenalkan oleh dua orang dokter medis, Galenus (130-201 M) dan Sextus
Empiricus (sekitar 200 M) yang mengembangkan logika dengan menerapkan metode geometri.

1.6. Contoh Soal Sederhana Bab 1 Materi Disjungsi

Contoh Soal:
p = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Sabtu.
q = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Minggu.
Jawaban:
Disjungsi (p v q) = NCT 127 menyelenggarakan konser pada hari Sabtu atau
Minggu.

6

1.7. Kesimpulan

Logika merupakan ilmu yang sangat penting untuk dipelajari, karena merupakan ilmu
dasar bagi ilmu-ilmu yang lain. Hal ini dapat dilihat dari beberapa contoh yang dipaparkan di
atas. Selain itu, logika juga merupakan ilmu untuk berpikir secara sistematis, sehingga mudah
dipahami dan dapat dirunut kebenarannya.

Logika juga sangat banyak digunakan pada dunia pemrograman, karena hampir setiap
bahasa pemrograman menggunakan logika dalam pemecahan permasalahan dan setiap
decision-nya. Oleh karena itu, sangat penting kiranya untuk mempelajari logika.

1.8. Referensi

Jan Hendrik Rapar. 1996. Pengantar Logika. Asas-asas penalaran sistematis. Diarsipkan
2017-07-05 di Wayback Machine. Yogyakarta: Penerbit Kanisius. ISBN 979-497-676-8
Parta Ibeng , 2021,Blog pendidikan.Co.Id
Kusniyati, Harni (2012) Modul Logika Matimatika [Online]

7

BAB 2

2.1. Definisi Himpunan

Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek -objek yang berbeda. Objek di dalam
himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Contoh sederhananya sebagai berikut:

- Himpunan mahasiswa (HIMA) program studi Teknik Informatika.
- Sekumpulan hewan bertanduk

Anggota (elemen) himpunan menggunakan huruf kecil
Contoh : p, a, x, y, b, …

Berikutnya adalah symbol “∈” yang berarti elemen dan “∉” yang berarti bukan elemen.
Contoh :
Jika p merupakan elemen (unsur) dari A, maka secara symbol : “p  A”
Jika p bukan merupakan elemen (unsur) dari A, maka secara symbol : “p  A”

2.2. Cara Menyatakan Himpunan

1. Enumerasi
Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.
Contoh 1
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {2, 4, 6, 8, 10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} } - Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, . . . , 100 }

8

- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
2. Keanggotaan
x  A : x merupakan anggota himpunan A;
x  A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan: A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }

K = {{}}
maka

3A
{a, b, c}  R
cR
{}  K
{}  R

2.3. Operasi Himpunan

Jenis operasi yang biasa digunakan terhadap himpunan adalah operasi
irisan (intersection), operasi gabungan (union), komplemen (complement),
selisih (difference), perkalian katersian (cartesian product) dan beda setangkup
(symmetric difference).

A. Operasi Irisan

Irisan dua himpunan A dan B adalah himpunan dari semua anggota himpunan A dan B yang
sama. Dengan kata lain, himpunan yang anggotanya ada di kedua himpunan tersebut. A ∩
B dibaca himpunan A irisan himpunan B

Contoh: A = {a, b, c, d, e} dan B = {a, c, e, g, i}

Pada kedua himpunan tersebut ada tiga anggota yang sama, yaitu a, c, dan e. Oleh karena itu,
dapat dikatakan bahwa irisan himpunan A dan B adalah a, c, dan e atau ditulis dengan:

A ∩ B = {a, c, e}

9

A ∩ B dibaca himpunan A irisan himpunan B.

Jika dalam bentuk diagram venn

gambar 1 operasi irisan

B. operasi gabungan

Gabungan dari 2 himpunan adalah himpunan yang berisi gabungan seluruh elemen dari

2 himpunan. Notasi : “∩”

Contoh :
1. Jika A = {2, 5, 8} dan B = {7, 5, 22}, maka

A ∩ B = {2, 5, 7, 8, 22}
2. A ∩ Ø = A

10

Dalam bentuk diagram venn

gambar 2 operasi gabungan

C. Komplemen
suatu himpunan yang unsur (elemen)nya merupakan unsur U yang bukan unsur di

A. Notasi := {x| x  U dan x  A} atau dalam beberapa literatur, notasi

komplemen : Ac atau A’
Contoh :
Misalkan U = {1, 2, 3, … , 9}
1. Jika A = {1, 3, 7, 9} maka Ac= { 2, 4, 5, 6, 8}

2. Jika A = {x|x/2  U, x < 9}, maka Ac = {1, 3, 5, 7, 9}

Jika dalam bentuk diagram venn

U
A

A

gambar 3 komplemen

11

D.Selisih

Selisih dari 2 himpunan A dan B adalah suatu himpunan yg unsurnya merupakan unsur di A,
tetapi bukan unsur di B. Selisih antara A dan B dapat juga di katakan sebagai komplemen
himpunan B relatif terhadap himpunan A.

Notasi : A-B = {x |x  A dan x B} = A ∩ B’

Contoh :
1. Jika A = {1, 2, 3, … , 10} dan B = {2, 4, 6, 8,
10}, maka :
2. A – B = {1, 3, 5, 7, 9}

3. B – A = Ø

Jika dalam bentuk diagram venn, yg daerah yg
di arsir warna abu-abu, merupakan daerah A – B.

jika dalam bentuk diagram venn

Jika dalam bentuk diagram venn, yg daerah yg
di arsir warna abu-abu, merupakan daerah A –
B.

U

AB

gambar 4 selisih

12

E.Perkalian katersian

Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya merupakan
pasangan terurut (order pair) yang di bentuk dari komponen pertamadari himpunan A dan
komponen kedua dari himpunan B.
Notasi : A x B = {(a, b)| a A dan b B}
Contoh :
Jika C = {1, 2, 3} dan D = {a, b}, maka C x D =
{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}

Catatan :
1. Jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka|AxB| = |A| x |B|
2. (a, b) ≠ (b, a)
3. A x B ≠ B x A
4. Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A = Ø

F.Beda setangkup

Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yg unsurnya ada pada
himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.
Notasi : A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
Beda setangkup memenuhi hukum :
A ⊕ B = B ⊕ A (Komutatif)
(A ⊕ B) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C) (Asosiatif)

Contoh :
Jika A = {2, 4, 6} dan B = {2, 3, 5}, maka A ⊕ B ={3, 4, 5, 6}

13

Jika dalam bentuk diagram venn, daerah yg di
arsir warna merah dan biru merupakan daerah dari A ⊕ B :

gambar 5 beda setangkup

14

2.4. Aljabar Himpunan

Aljabar himpunan mempunyai sifat yang analogi dengan aljabar aritmetika. Operasi pada
aljabar aritmetika adalah penambahan (+) dan perkalian (*).
Sifat-sifat operasi pada aljbar aritmetika, misal a, b, c, adalah sembarang bilangan.

-Tertutup (Closure)
A1 : a + b adalah bilangan
M1 : a * b adalah bilangan

-Assosiatif
A2 : ( a + b ) + c = a + ( b + c )
M2 : (a * b) * c = a * ( b * c )

-Identitas
A3 : Ada sebuah bilangan unik yaitu nol (0) sedemikian sehingga untuk semua bilangan
berlaku bahwa a + 0 =

0+a=a
M3 : Ada sebuah bilangan unik yaitu 1 sedemikian sehingga untuk semua bilangan berlaku
bahwa a * 1 = 1 * a = a
-Invers
A4 : Untuk setiap bilangan a terdapat bilangan unik (-a) sedemikian sehingga berlaku a + (-
a) = (-a) + a = 0
M4 : Untuk setiap bilangan a ≠ 0, terdapat bilangan unik ( a (-1) )
sedemikian sehingga berlaku a * a (-1) = a (-1) * a = 1

-Komutatif
A5 : a + b = b + a
M5 : a * b = b * a

15

-Distributif

A6 : a * ( b + c ) = ( a b ) + ( a c )

Sifat-sifat tersebut berlaku pula pada aljabar himpunan dimana terdapat perubahan.
- Operator penjumlahan (+) diganti dengan operator perbedaan simetris (Δ),

- Operator perkalian (*) diganti dengan operator irisan ( ∩ )

- Sifat ke-3 bilangan unik nol (0) diganti himpunan Ø, bilangan unik 1 diganti
himpunan semesta S,

- A4 Bilangan unik ( -a ) diganti dengan A’, sedemikian sehingga berlaku,

A Δ A’ = S A ∩ A’ = Ø

2.5. Transisi dari Himpunan ke Logika

Pada dasarnya Aljabar Boolean memberikan perantaraan antara Aljabar himpunan dan logika
sebagai berikut :

operasi-operasi dasar dalam aljabar himpunan dengan 2 elemen yaitu Ø dan A,

Tabel 4 transisi dari himpunan ke logika 1

Jika diinterpretasikan sebagai aljabar boolean maka kedua elemen pada aljabar himpunan
berkorespodensi dengan elemen pada aljabar Boolean yaitu 0 dan 1.

16

⚫ operasi-operasi dasar dalam aljabar boolean dengan 2 elemen yaitu, 0 dan 1,

Tabel 5 transisi dari himpunan ke logika 2

⚫ operasi-operasi dasar dalam logika (kalkulus proposisi) melibatkan elemen false dan
true

Tabel 6 transisi dari himpunan ke logika 3

17

2.6. Prinsip Inklusi dan Eksklusi

Ada berapa anggota dalam gabungan dua himpunan hingga?

|A1 ∪ A2| = |A1| + |A2| - |A1 ∩ A2|

Contoh:
Misalkan ada 1467 mahasiswa angkatan 2011 di ITB. 97 orang di antaranya adalah
mahasiswa Prodi Informatika, 68 mahasiswa Prodi Matematika, dan 12 orang mahasiswa
double degree Informatika dan Matematika. Ada berapa orang yang tidak kuliah di
Departemen Matematika atau Informatika?

Solusi.
Misalkan
A:himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika
B:himpunan mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Matematika
Maka |A|=97, |B|=68, dan |A ∩ B|=12.
Banyaknya mahasiswa angkatan 2004 di Departemen Informatika atau Matematika adalah
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|= 97 + 68 – 12 = 153 Jadi, terdapat 1467 – 153 = 1314 mahasiswa
angkatan 2004 yang tidak kuliah di Departemen Matematika atau Informatika.

2.7. Contoh Soal Sederhana Bab 2
Diketahui Himpunan A = {x|x < 7, x bilangan asli}, B = { lima bilangan ganjil
yang pertama }. Tentukan A ∩ B!

Jawab :
A = { 1,2,3,4,5,6 }
B = {1,3,5,7,9}
A ∩ B = {1,2,3,4,5,6} n {1,3,5,7,9}
= {1,3,5}
Jadi, A ∩ B = {1,3,5}

18

2.8. Kesimpulan

Logika merupakan ilmu yang sangat penting untuk dipelajari, karena merupakan ilmu
dasar bagi ilmu-ilmu yang lain. Hal ini dapat dilihat dari beberapa contoh yang dipaparkan di
atas. Selain itu, logika juga merupakan ilmu untuk berpikir secara sistematis, sehingga mudah
dipahami dan dapat dirunut kebenarannya.
Logika juga sangat banyak digunakan pada dunia pemrograman, karena hampir setiap bahasa
pemrograman menggunakan logika dalam pemecahan permasalahan dan setiap decision-nya.
Oleh karena itu, sangat penting kiranya untuk mempelajari logika.

2.9. Referensi
Sri widowati Andrian Rakhmatsyah, urusan Teknik Informatika STT telkom,
Telkom, 2002
Bahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.
Simangungsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)

19

BAB 3

3.1. Jenis-jenis Fungsi

A. Fungsi Injektif (SatuSatu)

Definisi :
Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu (injektif) jika dan hanya jika untuk
sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama
dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).

Contoh 22 :
Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w, x} adalah
fungsi
injektif, tetapi relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v,
w} bukan fungsi injektif, karena f(1) = f(2) = u.

B .Fungsi Surjektif (Pada)

Definisi :
Fungsi f: A → B disebut fungsi pada (surjektif) jika dan hanya jika untuk
sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A
sehingga berlaku f(a) = b.
Contoh :
Relasi f = {(1, u), (2, u), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} bukan fungsi
pada karena w tidak termasuk jelajah dari f. Relasi f = {(1, w), (2, u), (3, v)}dari
A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} merupakan fungsi pada karena semua anggota B
merupakan jelajah dari f.

20

C. Fungsi Bijektif (Korespondensi Satu-Satu)

Definisi :
Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk
sembarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga
f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B. Dengan kata
lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif.
Contoh:
Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah
fungsi yang berkoresponden satu-satu (bijektif), karena f adalah fungsi injektif
maupun fungsi surjektif.

D. Fungsi Invers

Definisi :
Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu sendiri f :
A → B di mana f(a) = b
f –1: B → A di mana f –1(b) = a
Catatan: f dan f –1 harus bijektif.
Fungsi yang bijektif sering dinamakan juga fungsi yang invertible (dapat
dibalikkan), karena kita dapat mendefinisikan fungsi balikannya. Sebuah fungsi
dikatakan not invertible (tidak dapat dibalikkan) jika ia bukan fungsi yang
bijektif, karena fungsi balikannya tidak ada.

Contoh 25 :
Relasi f = {(1, u), (2, w), (3, v)} dari A = {1, 2, 3} ke B = {u, v, w} adalah
fungsi yang bijektif. Balikan fungsi f adalah f -1 = {(u, 1), (w, 2), (v, 3)}.
Jadi, f adalah fungsi invertible.

21

E.Fungsi Konstan
Definisi :
Suatu fungsi f : A B dikatakan fungsi konstan jika dan hanya jika hanya ada 1
elemen himpunan B yang menjadi bayangan dari seluruh elemen himpunan A.
Contoh :
A = Himpunan software aplikasi
B = Himpunan sistem operasi

gambar 6 fungsi konstan

22

3.2. komposisi bentuk fungsi-fungsi injektif,surjektif,dan bijeksi
1). Fungsi Injektif

Fungsi injektif adalah fungsi yang memetakan setiap anggota domain ke
anggota kodomain yang berbeda. Pada fungsi injektif, tidak ada anggota
kodomain yang memiliki dua atau lebih prapeta.
Jika a adalah anggota kodomain maka hanya ada dua kemungkinan, yaitu a
tidak memiliki prapeta atau memiliki tepat satu prapeta.

Berikut adalah contoh fungsi injektif.

gambar 7 fungsi injektif

23

Fungsi di atas adalah fungsi injektif, karena setiap anggota A dipetakan ke anggota B yang berbeda.
Kesimpulan yang sama diperoleh jika kita memperhatikan anggota B. Tidak ada anggota B yang
memiliki lebih dari satu prapeta. Dengan alasan yang sama, fungsi berikut juga injektif,

2.) Fungsi Surjektif
Fungsi surjektif adalah fungsi yang daerah hasilnya sama dengan kodomain
fungsi. Pada fungsi surjektif, setiap anggota kodomain memiliki paling sedikit
satu prapeta.

Berikut adalah contoh fungsi surjektif.

gambar 8 fungsi surjektif

Fungsi di atas adalah fungsi surjektif. Karena setiap
anggota B memiliki prapeta. Dengan alasan yang sama, fungsi berikut
juga surjektif.

24

3.) Fungsi Bijektif
Fungsi bijektif adalah fungsi yang injektif sekaligus surjektif. Pada fungsi
bijektif, setiap anggota kodomain mempunyai tepat satu prapeta pada domain.
Jika f adalah fungsi bijektif antara dua himpunan berhingga X dan Y, maka
kardinalitas himpunan X sama dengan kardinalitas himpunan Y.

25

3.3. Komposisi dari Dua Buah Fungsi

1.) Komposisi dari Fungsi Injektif

SIFAT 1
Jika f : X→Y dan g : Y→Z adalah fungsi injektif maka g ∘ f : X→Z adalah
fungsi injektif.

Bukti. Diambil sebarang a,b ∈ X dengan ( g ∘ f)(a)=(g ∘ f)(b). Akan
ditunjukkan a=b.

Perhatikan bahwa
(g ∘ f) (a) = (g ∘ f) (b)⟹g (f (a) )= g( f (b) )
Diketahui g injektif, sehingga diperoleh f (a) = f (b) , dari persamaan di
atas. Karena f juga injektif, maka diperoleh a=b.
Dengan demikian, g ∘ f adalah fungsi injektif.

SIFAT 2
Misalkan f : X→Y dan g : Y→Z. Jika g ∘ f fungsi injektif maka f adalah
fungsi injektif.
Bukti. Diambil sebarang a,b ∈ X dengan f (a) = f (b). Akan ditunjukkan a = b.
Fungsi f memetakan X ke Y, sehingga f (a) , f (b) ∈ Y. Di pihak lain,
fungsi g memetakan Y ke Z. Akibatnya, g juga memetakan f(a) dan f(b).

26

2.) Komposisi dari Fungsi Surjektif

Berikut adalah beberapa sifat terkait komposisi pada fungsi surjektif.
SIFAT 1

27

SIFAT 2

28

3.4. Contoh soal sederhana dari bab 3
Diketahui fungsi A = {1, 2, 3, 4} dan B = {5, 6, 7} yang dinyatakan dalam
pasangan berurutan berikut ini, manakah yang merupakan pasangan surjektif ?.
1). f = { (1, 6) ; (2, 6) ; (3, 6) ; (4, 6) }
2). f = { (1, 5) ; (2, 6) ; (3, 6) ; (4, 5) }
3). f = { (1,6) ; (2, 7) ; (3, 5) ; (4, 5) }
4). f = { (1, 5) ; (2, 6) ; (3, 7) ; (4, 7) }

Jawaban :

Fungsi A sebagai domain dan fungsi B sebagai kodomain.
1).Bukan fungsi surjektif karena tidak semua anggota B (5 dan 7) mempunyai
pasangan di A.
2). Bukan fungsi surjektif karena tidak semua anggota B (7) mempunyai
pasangan di A.
3). Fungsi surjektif karena semua anggota B mempunyai pasangan di A.
4). Fungsi surjektif karena semua anggota B

29

3.5. Kesimpulan

Logika merupakan ilmu yang sangat penting untuk dipelajari, karena merupakan ilmu dasar
bagi ilmu-ilmu yang lain. Hal ini dapat dilihat dari beberapa contoh yang dipaparkan di atas.
Selain itu, logika juga merupakan ilmu untuk berpikir secara sistematis, sehingga mudah
dipahami dan dapat dirunut kebenarannya.

Logika juga sangat banyak digunakan pada dunia pemrograman, karena hampir setiap bahasa
pemrograman menggunakan logika dalam pemecahan permasalahan dan setiap decision-nya.
Oleh karena itu, sangat penting kiranya untuk mempelajari logika.

Dengan mengenal jenis-jenis fungsi sambil mempelajari bahwa fungsi biasa digunakan dalam
bidang peternakan. Konsep fungsi ini digunakan untuk memberikan gambaran konkrit dari
sebuah analisis dilihat dari segi perhitungan matematika

Sifat-sifat fungsi terbagi menjadi tiga yaitu : fungsi injektif, fungsi subjektif fungsi bijektif.
Selain sfatnya fungsi juga memiliki jenis-jenis yakni fungsi aljabar, fungsi non aljabar, fungsi
tangga, fungsi modulus dan fungsi invers.

3.6. Referensi

Jonhsonbaugh, Ricard.2001.”Mathematics”.New Jersey:Prentice Hall Int.
Munir, Rinaldi.2001.“Matematika”.Bandung:Informatika.
Munir, Rinaldi.2003.“Materi Kuliah Matematika”.Bandung :Informatika-ITB.

30

BAB 4

4.1. Pengertian Logika Proposisi

Logika proposisi adalah logika pernyataan majemuk yang disusun dari
pernyataan-pernyataan sederhana yang dihubungkan dengan penghubung
Boolean.

• Jenis Proposisi

Proposisi Atomik
Proposisi Majemuk

Proposisi Atomik adalah proposition yang tidak dapat dibagi lagi
Kombinasi dari Proposisi Atomik dengan berbagai penghubung
membentuk proposisi majemuk.

4.2. Definisi Proposisi

• Sebuah proposisi (p, q, r, …) adalah suatu kalimat yang memiliki

nilai kebenaran benar , dengan notasi T, atau nilai kebenaran salah
dengan notasi F.

• (Namun demikian, kadang kita tidak tahu nilai kebenarannya karena

kasusnya tergantung situasi, dalam kasus ini kita harus mengggunakan
asumsi)

PERHATIKAN

• “Hari ini hujan.” (Situasinya diberitahukan)

• “Beijing adalah ibu kota China.”

• “1 + 2 = 3”

Berikut ini yang BUKAN proposisi:
• “Siapa itu?” (pertanyaan)
• “La la la la la.” (kata-kata tak bermakna)
• “Lakukan saja!” (perintah)
• “Ya, sepertinya begitu” (tidak jelas)
• “1 + 2” (expresi tanpa nilai benar/salah)

CONTOH SEDERHANA PROPOSISI

31

“Gajah lebih besar daripada kucing.”

Ini suatu pernyataan ? yes

Ini suatu proposisi ? yes

Apa nilai kebenaran dari proposisi ini ? true

4.3. Definisi dan Arti Kalimat

1. Definisi Kalimat

Kalimat-kalimat dalam logika proposisional dibangun dari proposisi- proposisi
(yaitu, simbol-simbol kebenaran dan simbol-simbol proposisional) dengan
menerapkan penghubung-penghubung proposisional (propositional connectives):
not, and, or, if-then, if-and-only-if, if-then-else

secara berulang-ulang sebanyak yang diperlukan.

Penghubung-penghubung proposisional : not, and, or, if-then, if-and-only-if, if-then-else
bisa dianalogikan dengan operator, di mana proposisi-proposisi yang dihubungkan bisa
dianggap sebagai operannya.

Contoh sederhana salah satu penghubung proposional :
• Kamu akan mendapat grade A, Jika total nilai kamu lebih besar dari 85.

If total nilai Kamu lebih besar dari 85, then Kamu akan mendapat grade A.
• Jari tangan saya akan sakit, jika jari tangan Saya dipukul dengan palu.

If jari tangan saya dipukul dengan palu, then jari tangan saya akan sakit.

2. Arti Kalimat

32

Arti Kalimat
▪ Arti kalimat = nilai kebenaran
▪ Setiap kalimat pada logika proposisi memiliki salah satu dari nilai {true, false}
▪ Arti kalimat kompleks yang terdiri atas n variabel merupakan fungsi dari nilai
kebenaran n variabel tersebut
▪ Perlu tahu nilai kebenaran masing-masing variabel

Perlu aturan untuk menghitung fungsi tersebut

4.4. Aturan semantik dan sifat kalimat

Aturan Semantik

- kalimat true bernilai true untuk semua interpretasi
- kalimat false bernilai false untuk semua interpretasi
- kalimat P,Q,R,… bernilai sesuai interpretasinya
- not F bernilai true jika F false dan bernilai false jika F true
- F ∧ G bernilai true jika F dan G keduanya true dan bernilai false jika tidak demikian
- F ∨ G bernilai false jika F dan G keduanya false dan bernilai true jika tidak demikian
- F ⇒ G bernilai false jika F true dan G false dan bernilai true jika tidak demikian

33

Sifat kalimat

• VALID (TAUTOLOGI)
Kalimat A valid jika bernilai true berdasarkan semua interpretasi untuk A

• SATISFIABLE
Kalimat A satisfiable jika bernilai true berdasarkan beberapa interpretasi untuk A

• CONTRADICTORY (UNSATISFIABLE)
Kalimat A contradictory jika bernilai False berdasarkan semua interpretasi untuk A

• IMPLIES
Kalimat A implies kalimat B, jika untuk sebarang interpretasi I untuk A dan B, jika A bernilai
true berdasarkan I maka B juga bernilai true berdasarkan I

• EQUIVALENT
Kalimat A dan B ekivalen jika, untuk setiap interpretasi A dan B, A mempunyai nilai
kebenaran yang sama dengan B

• CONSISTENT
Sekumpulan kalimat A1, A2, … konsisten jika ada interpretasi untuk A1, A2, … sehingga Ai
(I = 1, 2, 3, …) bernilai true
Contoh,

➢ Kalimat w or (not w) adalah kalimat valid
➢ Kalimat x and (not x) adalah kalimat contadictory

34

4.5. Bentuk bentuk Proposisi

Bentuk – Bentuk Proposisi
Proposisi mempunyai sejumlah bentuk, yaitu:

• Proposisi bentuk A: merupakan bentuk proposisi yang menyatakan bahwa setiap
subjek
adalah predikat.
Misalnya: setiap makhluk hidup adalah ciptaan Tuhan.

• Proposisi bentuk E: merupakan bentuk proposisi yang menyatakan bahwa setiap
subjek bukanlah sebuah predikat.
Misal: setiap laki-laki bukan perokok aktif.

• Proposisi bentuk I: merupakan bentuk proposisi yang menyatakan bahwa sebagian
subjek adalah predikat.
Misal: sebagian mahasiswa adalah anak seorang pejabat.

• Proposisi bentuk O: merupakan proposisi yang menyatakan bahwa sebagian subjek
bukanlah predikat.
Misal: sebagian mahasiswa bukanlah anak seorang pejabat.

4.6. Comtoh soal sederhana bab 4

Benar ataukah salah proporsisi berikut ?
Jika 2 < 1 maka Joko Widodo bukan presiden saat ini.
Jawab:
Karena 2 < 1 merupakan proporsi yang salah maka proporsi di atas bernilai benar.

35

4.7. Kesimpulan

Logika merupakan ilmu yang sangat penting untuk dipelajari, karena merupakan ilmu
dasar bagi ilmu-ilmu yang lain.Sama hal nya dengan proposisi dengan proposisi ini kita dapat
menentukan benar dan salah itu dapat kita terapkan di kehidupan sehari hari. Hal ini dapat
dilihat dari beberapa contoh yang dipaparkan di atas. Selain itu, proposisi juga merupakan
ilmu untuk berpikir secara sistematis dalam penalaran sesuatu, sehingga mudah dipahami dan
dapat dirunut kebenarannya.

4.8. Referensi

F. Soesianto & Djoni Dwijono, 2003, “Logika Proposisional”, Andi Offset, Yogyakarta
Bergmann, M., Moor, J., & Nelson, J. (2014). The logic book (6 th edition). New York: McGraw Hill.

36

BAB 5

5.1. Ekivalensi dan Konsekuensi Logik

A. Ekivalensi
Peryataan majemuk yang menggunakan kata hubung “Jika dan hanya jika” disebut
ekuivalensi atau biimplikasi. Kata hubung tersebut disajikan dengan lambanga “ ⇔”
Definisi:
Suatu ekuivalensi bernilai benar bila kedua pernyataan tunggalnya mempunyai nilai
kebenaran yang sama

Tabel 7 ekivalensi

Contoh:
Suatu segitiga disebut sama kaki bila dan bila segitiga itu mempunyai dua sisi
yang sama panjang (maksudnya suatu ekuivalensi:”jika dan hanya jika”)

Teorema:

gambar 9 teorema

37

B. Definisi Konsekuensi
Misalkan A dan B adalah dua formula logika proposisi: Formula A dan B dikatakan

setara atau ekuivalen (logically equivalent) jika formul
↔

Merupakan tautologi. Hal ini dituliskan dengan ≡ atau ⟺ .
Formula B dikatakan sebgai konsekuensi logis (logical consequence) dari A jika formula

⟶
Merupakan tautology. Hal ini dituliskan dengan ⇒ .
Untuk menunjukkan konsekuensi logis manapun setara logika antar dua formula, maka kita
dapat:
• Menggunakan table kebenaran
• Menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika

Contoh Konsekuensi :
Ditunjukkan bahwa (( → ) ∧ ) ⟹
Solusi :
dengan table kebenaran akan ditunjukkan bahwa (( → )∧ )→ adalah tautology, tinjau bahwa:

Tabel 8 konsekuensi

38

5.2. Konjungsi dan Disjungsi Jamak

(Konjungsi Disjungsi Jamak) Misalkan diberikan kalimat yang mengandung operator
konjungsi/disjungsi lebih dari satu. Urutan pengerjaan operasi pada kalimat tersebut dari kiri
ke kanan sesuai aturan.
• Konjungsi Jamak bernilai TRUE jika setiap konjungsi-nya adalah TRUE
• Disjungsi Jamak bernilai TRUE jika setidaknya salah satu dari disjungsinya adalah TRUE

Misal diberikan kalimat yang mengandung operator konjungsi atau konjungsi lebih dari satu,
A : p and q and r
B : p or q or r
Maka urutan perngerjaan operasi pada kalimat tersebut dilakukan dari kiri ke kanan sesuai
aturan sebagai berikut

Konjungsi Jamak
A1 and A2 and A3 and A4 and … and An

Memiliki arti :
((… ((A1 and A2 ) and A3 ) and A4 ) and … ) and An )

Disjungsi Jamak
A1 or A2 or A3 or A4 or … or An

Memiliki arti :
((… ((A1 or A2 ) orA3 ) or A4 ) or … ) or An )

39

Kalimat-kalimat berikut adalah ekivalen karena adanya hukum asosiasi :
A : ((w and x) and y) and z
B : w and (x and (y and z))
C : w and ((x and y) and z)
Aturan semantik untuk hubungan jamak :
Konjungsi jamak
A1 and A2 and A3 and … and An bernilai True jika tiap conjuct A1 , A2 , A3 ,
… An adalah True
Disjungsi Jamak
A1 or A2 or A3 or … or An bernilai True jika jika setidaknya salah satu dari A1
, A2 , A3 , … An adalah True

40

5.3. Substitusi dan Substitusi Jamak
Substitusi adalah operasi penggantian subkalimat dari suatu kalimat dengan
subkalimat yang lain.
• Substitusi Total
Penggantian seluruh kemunculan suatu subkalimat .
Definisi Substitusi Total Jika A, B, C adalah kalimat, maka

Adalah kalimat yang dihasilkan dengan mengganti seluruh kemunculan B di A
dengan C.

41

Substitusi Parsial

Penggantian nol, satu, atau lebih kemunculan suatu subkalimat

Definisi Substitusi Parsial Jika A, B, C, adalah kalimat maka

Akan menghasilkan salah satu kalimat dengan mengganti nol, sebagian, atau
seluruh kemunculan subkalimat B di A dengan subkalimat C

akan menghasilkan salah satu dari kalimat-kalimat berikut :
1. x or x {mengganti nol kemunculan x }
2. y or x {mengganti kemunculan x pertama}
3. x or y {mengganti kemunculan x kedua}
4. y or y {mengganti seluruh kemunculan dari x}

42

Substitusi parsial bersifat invertible (dapat di balik), yaitu salah satu
kalimat yang mungkin dihasilkan adalah kalimat semula.

hasilnya adalah A
Substitusi Jamak
• Substitusi Total

Adalah kalimat yang diperoleh dengan menggantikan secara simultan
(serempak) setiap kemunculan Bi di Ai dengan Ci.

43

• Substitusi Partial

Substitusi partial dituliskan sebagai :

Adalah salah satu kalimat yang diperoleh dengan
menggantikan nol, satu, atau lebih kemunculan Bi di
Ai dengan Ci
Contoh Substitusi jamak :
1. Substitusi jamak dilakukan serentak dalam 1 langkah

Menghasilkan kalimat x

5.4. Contoh soal sederhana bab 5

Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen
Pernyataan ~p → q ekuivalen dengan ….
A. p ∧ q
B. p ∨ q
C. ~p ∨ q
D. p ∨ ~q
E. q → p

44

Pembahasan:
Mencari pernyataan majemuk yang ekuivalen dengan p → q:
p → q ≡ ~[~(~p → q)]
p → q ≡ ~[~p ∧ ~q]
p → q ≡ ~(~p) ∨ ~(~q)
p→q≡p∨q
Jadi, pernyataan ~p → q ekuivalen dengan p ∨ q.
Jawaban: B

5.5. Kesimpulan

- ekuivalensi bernilai benar bila kedua pernyataan tunggalnya
mempunyai nilai kebenaran yang sama.

- Untuk menunjukkan konsekuensi logis manapun setara logika
antar dua formula, maka kita dapat:

• Menggunakan table kebenaran
• Menggunakan hukum-hukum ekuivalensi logika
- Konjungsi dan Disjungsi diberikan kalimat yang mengandung

operator konjungsi/disjungsi lebih dari satu

- Substitusi adalah operasi penggantian subkalimat dari suatu

kalimat dengan subkalimat yang lain.

Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika
(berekivalensi logis) jika memiliki nilai kebenaran yang sama. Jika
pernyataan majemuk X dan Y ekuivalen, ditulis X≡Y, maka nilai kebenaran
pernyataan majemuk X dan Y sama. Dapat kita tulis : p⇒q≡∼p∨q≡∼q⇒∼p.

45