E-Book Logika Matematika

5.6. Referensi
Nur Insani, M.Sc - [email protected] disadur dari materi Budiharti, S.Si
Jusmawati,S.Pd., M.Pd.Matematika dasar. Makassar : 2014
Andrian Rakhmatsyah Teknik Informatika STT Telkom Lab. Sistem Komputer
dan Jaringan

46

BAB 6

6.1. Konsep Logika Predikat
Logika predikat merupakan pengembangan dari logika proposisional

dengan masalah pengkuantoran dan menambah istilah-istilah baru.

Istilah dalam Logika Predikat
• Term : kata benda atau subjek
• Predikat : properti dari term
• Fungsi proposisional=fungsi
Kuantor
– Universal: yang selalu bernilai benar ( ∀ ).
– Eksistensial: bisa bernilai benar atau salah ( ∃ )
Contoh Logika Predikat

Nani adalah ibu dari Ratna.
• Term=nani , ratna
• Predikat=adalah ibu dari
• Fungsi=ibu(nani,ratna) ; M(n,r)
Bentuk logika predikat M(n,r)→¬M(r,n)
Contoh Kuantor Universal
Semua gajah mempunyai belalai
•G(x) = gajah
•B(x) = belalai
Bentuk logika predikat
(∀x)(G(x)→B(x))
Dibaca: untuk semua x, jika x seekor gajah, maka x mempunyai belalai.

47

Contoh Kuantor Eksistensial

Ada bilangan prima yang bernilai genap.
•P(x) = bilangan prima
•G(x) = bernilai genap
Bentuk logika predikat
(∃x)(P(x)∧G(x))
Dibaca: ada x, yang x adalah bilangan prima dan x bernilai genap.

48

6.2. Representasi Kalimat

Contoh representasi bahasa alami ke dalam Predikat

Ada apel berwarna merah
(FOR SOME x) (Apel(x) AND Merah(x))

Semua apel berwarna merah
(FOR ALL x) ( IF Apel(x) THEN Merah(x))

Setiap orang mencintai seseorang
(FOR ALL x) (FOR SOME y) LOVES(x,y)

Ani dicintai banyak orang
(FOR ALL x) LOVES(x, Ani)

Semua Apel berwarna merah terasa manis
(FOR ALL x) (IF (apel(x) AND merah(x)) THEN manis(x))
(FOR ALL x) (IF apel(x) THEN (IF merah(x) THEN manis(x)))

Tidak semua apel berwarna merah terasa manis
NOT [(FOR ALL x) (IF apel(x) AND merah(x) THEN manis(x)) ]
[NOT (FOR ALL x)] [NOT (IF apel(x) AND merah(x) THEN manis(x))]
(FOR SOME x) (apel(x) AND merah(x) AND NOT manis(x))

6.3. Variabel Bebas dan Terikat Interpretasi

▷ Suatu variabel dikatakan terikat dalam sebuah ekspresi jika sedikitnya
ada satu kemunculan x terikat pada ekspresi tersebut
▷ Sebaliknya dikatakan variabel bebas jika sedikitnya ada satu kemunculan
bebas dalam ekspresi tersebut.

49

Contoh :
(FOR ALL x) [p(x,y) AND (FOR SOME y) q(y,z,x)]
x pada p(x, y) adalah terikat
y pada p(x, y) adalah bebas
y pada q(y, z) adalah terikat
z pada q(y, z) adalah bebas

Kemunculan variabel terikat dipengaruhi oleh kemunculan kuantifier yang
paling dekat.

Contoh :
(FOR ALL x) [p(x) OR (FOR SOME x) (FOR ALL y) r(x, y)]
variabel x pada p(x) dipengaruhi kuantifier FOR ALL x
variabel x pada r(x, y) dipengaruhi kuantifier FOR SOME x

Catatan,
Perbedaan antara variabel Bebas dan Variabel Terikat adalah
Variabel Bebas, Nilainya diberikan oleh interpretasi
Variabel Terikat,Nilainya terbatas dari interpretasi yang diberikan

50

6.4. Arti Kalimat

Arti kalimat ditentukan oleh interpretasi yang diberikan. Tetapi karena dalam
kalkulus predikat mengandung pengertian objek, maka interpretasi dalam
kalimat predikat harus juga mendefinisikan suatu domain yaitu himpunan
objek yang memberi arti pada term.

Suatu interpretasi harus memberi nilai pada setiap simbol bebas pada kalimat
tersebut.

Contoh :
Diberikan interpretasi I dengan Domain D adalah himpunan bilangan integer
positif, dimana :

a=0
p = relasi “lebih besar” yaitu : p(d1, d2) = (d1 > d2)
f = fungsi suksesor yaitu f(d) = d + 1
berdasarkan interpretasi I, kalimat tersebut dapat diartikan sebagai :
IF untuk setiap integer x Ada integer y sedemikian sehingga x > y THEN 0 > 0
+1

51

6.5. Contoh soal sederhana bab 6
Diberikan predikat berikut: "Ada makhluk hidup yang bukan burung tetapi
menderita flu burung." Dengan mengambil himpunan semesta semua
makhluk hidup,

• lambangkan predikat di atas dengan menggunakan suku
pengkuantifikasi khusus,

• tentukan negasi predikat di atas dengan menggunakan suku
pengkuantifikasi umum dan tuliskan dalam kalimat verbal.
Jawab :

52

6.6. Kesimpulan

Logika predikat merupakan pengembangan dari logika proposisional, logika
predikat punya istilah yaitu :
• Term : kata benda atau subjek
• Predikat : properti dari term
• Fungsi proposisional=fungsi

Variabel bebas dan terikat
Suatu variabel dikatakan terikat dalam sebuah ekspresi jika sedikitnya ada satu
kemunculan x terikat pada ekspresi tersebut
Sebaliknya dikatakan variabel bebas jika sedikitnya ada satu kemunculan bebas
dalam ekspresi tersebut.

Arti kalimat ditentukan oleh interpretasi yang diberikan. maka interpretasi
dalam kalimat predikat harus juga mendefinisikan suatu domain yaitu himpunan
objek yang memberi arti pada term.

6.7. Referensi

Chapter 6/7 – Schaum, Theory Logic) konsep logika predikat

53

BAB 7

7.1. Konsep Aljabar Boolean

gambar 10

Berhubung elemen-elemen B tidak didefinisikan nilainya (kita bebas
menentukan anggota-anggota B), maka terdapat banyak sekali aljabar boolean.
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, orang harus memperlihatkan:
1. elemen-elemen himpunan B,
2. kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,
3. himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut, memenuhi
keempat aksioma di atas

54

Aljabar himpunan dan aljabar logika proposisi juga merupakan aljabar Boolean
karena memenuhi empat aksioma di atas.
• Dengan kata lain, aljabar himpunan dan aljabar proposisi adalah himpunan
bagian (subset) dari aljabar Boolean.
• Pada aljabar proposisi misalnya:
- B berisi semua proposisi dengan n peubah.
- dua elemen unik berbeda dari B adalah T dan F,
- operator biner:  dan , operator uner: ~
- semua aksioma pada definisi di atas dipenuhi
Dengan kata lain <B,  ,  , ~, F, T> adalah aljabar Booelan

Aljabar Boolean 2-Nilai

• Merupakan aljabar Boolean yang paling popular, karena aplikasinya luas.

• Pada aljabar 2-nilai:
(i) B = {0, 1},
(ii) operator biner: + dan (.) , operator uner: ’
(iii) Kaidah untuk operator biner dan operator uner:

Tabel 9 aljabar boolean 2 nilai

(iv) Keempat aksioma di atas dipenuhi

55

Ekspresi Boolean

• Ekspresi Boolean dibentuk dari elemen-elemen B dan/atau peubah-peubah yang dapat
dikombinasikan satu sama lain dengan operator +, , dan ’.
Contoh :

0
1
a
b
a+b
ab
a’ (b + c)
a  b’ + a  b  c’ + b’, dan sebagainya

Hukum-hukum Aljabar Boolean

gambar 11 hukum-hukum aljabar boolean

56

7.2. Fungsi boolean dan bentuknya

Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B
melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai

f : Bn → B

yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut
ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

Misalkan x1, x2, x3, … , xn merupakan variabel-variabel aljabar Boolean. Fungsi
Boolean dengan n variabel adalah fungsi yang dapat dibentuk dari aturan-aturan
berikut :

• fungsi konstan

f(x1, x2, x3, … , xn) = a

• fungsi proyeksi

f(x1, x2, x3, … , xn) = xi i = 1, 2, 3, … , n

• fungsi komplemen

g(x1, x2, x3, … , xn) = (f(x1, x2, x3, … , xn))’

• fungsi gabungan

h(x1, x2, x3, … , xn) = f(x1, x2, x3, … , xn) + g(x1, x2, x3, … , xn)

h(x1, x2, x3, … , xn) = f(x1, x2, x3, … , xn) . g(x1, x2, x3, … , xn)

57

7.3.Bentuk fungsi boolean

Suatu fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam bentuk yang berbeda
tetapi memiliki arti yang sama
Contoh :

f1(x,y) = x’ . y’
f2(x,y) = (x + y)’
f1 dan f2 merupakan bentuk fungsi boolean yang sama, yaitu dengan
menggunakan Hukum De Morgan.
A. Nilai fungsi
Fungsi Boolean dinyatakan nilainya pada setiap variabel yaitu pada
setiap kombinasi (0,1).
Contoh : Fungsi Boolean
f(x,y) = x’y + xy’ + y’

Tabel 10 nilai fungsi

58

B. Bentuk Kanonik

Ada dua macam bentuk kanonik:
Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz → SOP

Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z)

→ POS
Setiap suku (term) disebut maxterm

Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
C. Bentuk Baku/STANDAR

• Tidak harus mengandung literal yang lengkap.
• Contohnya,

f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP)
f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS)

59

Bentuk standar kanonik

• Jika f adalah fungsi boolean satu variabel maka untuk semua nilai x
berlaku :

f (x) = f (1) . x + f (0) . x’

• Jika f adalah fungsi boolean dua variabel maka untuk semua nilai x
berlaku :

f(x,y) = f(0,0) . x’y’ + f(0,1) . x’y + f(1,0) . xy’ + f(1,1) . xy

• Jika f adalah fungsi boolean tiga variabel maka untuk semua nilai x
berlaku :

f(x,y,z) = f(0,0,0) . x’y’ z’ + f(0,0,1) . x’y’z + f(0,1,0) . x’yz’ + f(0,1,1) . x’yz +

f(1,0,0) . xy’z’ + f(1,0,1) . xy’z’ + f(1,1,0) . xyz’ + f(1,1,1) . xyz

Tabel 11 bentuk standar 1

Tabel 12 bentuk standar 2

60

7.4. Contoh soal sederhana bab 7

Sederhanakan fungsi Boolean f(x,y) = x + x’y
Jawab :
f(x, y) = x + x’y
= (x + x’)(x + y)
= 1 ⋅ (x + y )
=x+y

7.5. Kesimpulan
Berdasarkan apa yang di bahas di atas si penulis dapat menyimpulkan bahwa
untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan :

1. elemen-elemen himpunan B,
2. kaidah/aturan operasi untuk dua operator biner dan operator uner,
3. himpunan B, bersama-sama dengan dua operator tersebut, memenuhi
keempat aksioma di atas

7.6. Referensi

rinaldi.munir/Matdis/2020-2021/Aljabar-Boolean(2020)

61

DAFTAR PUSTAKA

Bab 1

Jan Hendrik Rapar. 1996. Pengantar Logika. Asas-asas penalaran sistematis. Diarsipkan
2017-07-05 di Wayback Machine. Yogyakarta: Penerbit Kanisius. ISBN 979-497-676-8
Parta Ibeng , 2021,Blog pendidikan.Co.Id
Kusniyati, Harni (2012) Modul Logika Matimatika [Online]

Bab 2

Sri widowati Andrian Rakhmatsyah, urusan Teknik Informatika STT telkom,
Telkom, 2002
Bahri, S., 2006, Logika dan Himpunan, Universitas Mataram, Mataram.
Simangungsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)
(materi operasi himpunan dan aljabar himpunan bisa di akses link berikut) :
http://player.slideplayer.info/download/74/12493305/KbwYQVLsGbgqOpFQu
_75Hw/1632678164/12493305.ppt
CECE_KUSTIAWAN/ALJABAR_HIMPUNAN.( materi aljabar himpuan)
Bisa diakses:
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/19661213
1992031-CECE_KUSTIAWAN/ALJABAR_HIMPUNAN.pdf
January 22, 2018 | Author: Anonymous | Category: Matematika
Bisa di akses:
https://nanopdf.com/download/prinsip-inklusi-eksklusi_pdf#

62

Bab 3

Jonhsonbaugh, Ricard.2001.”Mathematics”.New Jersey:Prentice Hall Int.
Munir, Rinaldi.2001.“Matematika”.Bandung:Informatika.
Munir, Rinaldi.2003.“Materi Kuliah Matematika”.Bandung :Informatika-ITB.
Agung Izzulhaq — 15 April 2020
Bisa di akses :
https://www.kimiamath.com/post/fungsi-bijektif-fungsi-invers

Bab 4
F. Soesianto & Djoni Dwijono, 2003, “Logika Proposisional”, Andi Offset, Yogyakarta

Bergmann, M., Moor, J., & Nelson, J. (2014). The logic book (6 th edition). New York:
McGraw Hill.

sumber bentuk bentuk proposisi

bisa diakses :

https://www.gurupendidikan.co.id/proposisi-pengertian-jenis-bentuk-contoh/

Bab 5
ekivalensi :
Nur Insani, M.Sc - [email protected] disadur dari materi Budiharti, S.Si

konjungsi dan disjungsi jamak susbtitusi:
Andrian Rakhmatsyah Teknik Informatika STT Telkom Lab. Sistem Komputer
dan Jaringan
bisa diakses :
https://docplayer.info/29650682-Logika-matematika-bab-2-kalkulus-proposisi-
andrian-rakhmatsyah-teknik-informatika-stt-telkom-lab-sistem-komputer-dan-
jaringan.html

63

Bab 6

Chapter 6/7 – Schaum, Theory Logic) konsep logika predikat
Bisa diakses :
https://repository.dinus.ac.id/docs/ajar/4-Logika-predikat1.ppt.pdf

Teknik Informatika - UNIKOM
logila predikat
Bisa diakses :
https://repository.unikom.ac.id/60609/1/5%20-%20LOGIKA%20PREDIKAT.pptx

Arti kalimat itu saya dapat dari jurnal
Bisa diakses :
https://repository.unikom.ac.id/61880/1/Pertemuan%206%20-
%20Logika%20Predikat%202.pptx

Bab 7

rinaldi.munir/Matdis/2020-2021/Aljabar-Boolean(2020)

Fungsi boolean dan bentuk nya saya dapat dari jurnal LOGIKA
MATEMATIKA
Teknik Informatika - UNIKOM

Bisa diakses:
https://repository.unikom.ac.id/55803/1/FUNGSI%20BOOLEAN.pptx

64

DAFTAR GAMBAR

gambar 1 operasi irisan.........................................................................................................................10
gambar 2 operasi gabungan .................................................................................................................11
gambar 3 komplemen...........................................................................................................................11
gambar 4 selisih ....................................................................................................................................12
gambar 5 beda setangkup.....................................................................................................................14
gambar 6 fungsi konstan.......................................................................................................................22
gambar 7 fungsi injektif ........................................................................................................................23
gambar 8 fungsi surjektif ......................................................................................................................24
gambar 9 teorema ................................................................................................................................37
gambar 10 .............................................................................................................................................54
gambar 11 hukum-hukum aljabar boolean ..........................................................................................56

65

DAFTAR TABEL

Tabel 1 Disjungsi ..................................................................................................................................... 2
Tabel 2 Konjungsi .................................................................................................................................... 3
Tabel 3 Perbedaan Induktif dan Deduktif ............................................................................................... 6
Tabel 4 transisi dari himpunan ke logika 1 ...........................................................................................16
Tabel 5 transisi dari himpunan ke logika 2 ...........................................................................................17
Tabel 6 transisi dari himpunan ke logika 3 ...........................................................................................17
Tabel 7 ekivalensi..................................................................................................................................37
Tabel 8 konsekuensi..............................................................................................................................38
Tabel 9 aljabar boolean 2 nilai ..............................................................................................................55
Tabel 10 nilai fungsi ..............................................................................................................................58
Tabel 11 bentuk standar 1 ....................................................................................................................60
Tabel 12 bentuk standar 2 ....................................................................................................................60

66

PROFIL PENULIS

Nama Ahmad Ridho Lahir di Banjarmasin , 02
Novermber 2002 kini seorang mahasiswa dari
Universitas Islam Kalimantan Selatan Muhammad
Arsyad Al Banjari (UNISKA MAAB) . jurusan
Teknik Informatika. Saya lulusan SMKN 3
Banjarmasin dengan jurusan Teknik Komputer &
Jaringan.

Dan dengan ini saya menulis sebuah e-book dari mata
kuliah Logika Matematika .Ini adalah E-book pertama
yang saya buat.Semoga pembaca bisa terbantu dengan
E-Book yang saya buat ini.

Kalau ada kesalahan atau kekurangan di E-Book ini saya memohon maaf dan
kalau ada saran atau kritik dari pembaca pasti saya terima selagi itu sifatnya
membangun E-Book ini.Terima kasih sekali lagi saya ucapkan kepada kalian
selaku pembaca E-book ini.

67