Índice General
1 Funciones 2
1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Lista de ejercicios 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Lista de ejercicios 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 25
1.4 Otras funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Lista de ejercicios 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Dominio y signo de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6 Composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Lista de ejercicios 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Función inversa 43
2.2 Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Funciones sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Funciones biyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5 Función exponencial y logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Lista de ejercicios 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Lista de ejercicios 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3 Límites de funciones 63
3.2 Técnicas de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Tablas de operaciones con límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.4 Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.5 Ordenes de Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Lista de ejercicios 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4 Continuidad 76
Lista de ejercicios 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Respuestas de ejercicios 81
Capitulo 1 Funciones
1
1.1 Introducción
Definición 1.1.1 – Una función es una relación entre los elementos de un conjunto A
(conjunto de entradas) y los elementos de un conjunto B (conjunto de salidas) en la
cual cada elemento de A tiene uno y solo un correspondiente en B.
Para aclarar esta definición veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 1.1.1 – Cuando depositamos dinero en un banco a una cierta tasa de interés
queda establecida una función que nos indica dado un cierto tiempo t (variable de
entrada) cuantos intereses I (variable de salida) se generaron . Es decir que los intereses
I son una variable que “depende” de otra variable el tiempo t y esta dependencia esta
dada por la función I f (t) .
Supongamos que el capital que depositamos es de $ 2000 a una tasa de interés anual del
35% (interés simple) entonces el interés generado por ese capital pasado un cierto
tiempo t esta dado por la función I f (t) 2000.(0,35).t con t medido en años.
Ejemplo 1.1.2 – Si queremos calcular el área de un círculo sabemos que esta depende
del radio del mismo. Esta relación que queda establecida entre el radio del círculo
(variable de entrada) y sus áreas (variable de salida)es una función cuya expresión es
A f (r) .r2 donde r indica el radio y A el área.
Es importante destacar que en los dos ejemplos es claro que para cada valor concreto de
la variable de entrada se obtiene un y solo un resultado de la variable de salida. Esta
característica es la que hace que estas relaciones sean funciones.
Veamos un ejemplo de una relación que no es función.
Ejemplo 1.1.3 – Sea A n N / 1 n 100 y B el conjunto de estudiantes de la
Facultad . Definimos la relación que a cada número de A (variable de entrada) le
hace corresponder todos los estudiantes de B cuya edad sea ese número (salidas).
Si tenemos en cuenta que en facultad hay mas de 2000 estudiantes, es claro que algunos
números de A como ser (seguramente) el 20 van a tener más de un correspondiente
(todos los estudiantes que tengan 20 años). Alcanza con que un elemento de A tenga
más de un correspondiente para que podamos afirmar que esta relación no es función.
Por otro lado es claro que hay números como ser el 2 que no va a tener correspondiente
en B. Es decir que no todo elementos de A tienen correspondientes lo que es otro
argumento para decir que no es función. En resumen en este ejemplo no se cumple ni
que todos los elementos de A tengan correspondiente ni que el mismo sea único y estas
dos características son las que debe tener una relación para ser función.
Dominio y codominio
Definición 1.1.2 - Al conjunto de entradas A lo llamaremos dominio de la función y al
conjunto de salidas B lo llamaremos codominio de la función y lo notaremos
f :AB
2
En este curso nos limitaremos a estudiar funciones cuyo dominio y codominio sean R
(conjunto de números reales) o subconjuntos de R .
Gráficas de funciones.
Las gráficas se construyen utilizando las llamadas coordenadas cartesianas.
Para entender en que consisten estas recordemos que los números reales se pueden
representar por los puntos de una recta. Por lo que para representar al dominio R
trazaremos una recta horizontal (eje de abscisas Ox) y al codominio R lo
representaremos con otra recta esta vez vertical (eje de ordenadas Oy). Al punto de
corte de estas rectas lo llamaremos el origen y representa al 0 tanto del dominio como
del codominio. Seleccionamos una unidad a lo largo de los dos ejes, (estas unidades
pueden ser iguales o no) con lo que cada punto de los ejes representa un número real .
De esta forma si desde un punto P del plano trazamos la recta vertical y horizontal estas
cortarán a los ejes de abscisas y ordenadas en puntos que corresponden a dos reales x e
y de donde diremos que el punto P representa al par (x,y). Por otro lado siguiendo el
procedimiento en camino inverso de cada par (x,y) obtenemos un punto del plano.
Es así que dada una función f : R R si tomamos un x del dominio este tendrá su
correspondiente f (x) generando así un punto del plano de coordenadas (x, f (x)) . El
conjunto de todos los puntos del plano de coordenadas (x, f (x)) obtenidos al variar x
es lo que llamaremos la gráfica de la función f . (este conjunto será una curva plana)
Raíces y signo de una función.
Definición 1.1.3 - Diremos que un número real es raíz de una función f si y solo si
f ( ) 0 .
En el gráfico las raíces son los puntos donde la curva corta al eje Ox.
Por otro lado si para un valor de x tenemos que f (x) 0 esto genera un punto por
encima del eje Ox y si por el contrario f (x) 0 el punto estará por debajo del eje Ox.
Es claro que para el estudio del signo de una función las raíces son puntos clave.
Ejemplo 1.1.4 - Sea f : R R cuyo gráfico es el de la figura queremos hallar el signo
de f
Empecemos por observar que la curva
corta al eje Ox en tres puntos de abscisas –1
, 0 y 2 . Estos tres números son las raíces de
la función. También podemos observar que
3
la función alcanza valores negativos antes
del –1 y entre el 0 y el 2. Y alcanza valores
positivos entre el –1 y el 0 y para los
mayores que 2 . Estos resultados se pueden
resumir en el siguiente esquema:
00 0
- - - - +++ - - - - - ++++
-1 0 2
1.2 Funciones lineales
Definición 1.2.1– Diremos que una función f es lineal cuando su dominio es R y
existen constantes a y b R tales que f (x) a.x b x R
Es decir , una función lineal es una función polinómica de primer grado.
1.2.1 Gráfica de una función lineal
Sea f : f (x) a.x b una función lineal y P (x1, y1) , Q (x2 , y2 ) dos puntos
distintos de su gráfica. Esto quiere decir que y1 f (x1) a.x1 b e
y2 f (x2 ) a.x2 b con x1 x2 . Observemos que:
y2 y1 f (x2 ) f (x1) (a.x2 b) (a.x1 b) a.(x2 x1) a
x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1
Resulta entonces que la relación entre la diferencia de ordenadas y la diferencia de
abscisas de dos puntos cualesquiera de la gráfica de f es constante (el número a). Esta
observación nos permite afirmar que la gráfica de una función lineal es una recta.
El número a se denomina coeficiente angular o pendiente de la función lineal (o de la
recta) y nos da información sobre la “inclinación” de la misma. Más concretamente, a
es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la recta con el eje Ox:
a y2 y1 tg( )
x2 x1
Por su parte el número b tiene una interpretación muy simple . En efecto, al sustituir la
x por 0 en f (x) a.x b obtenemos que f (0) b , lo cual significa que b es la
ordenada del punto de corte de la recta con el eje Oy.
4
Ejemplo 1.2.1 Queremos graficar la función f : R R dada por f (x) 2x 1.
Sabemos que su gráfica es una recta que corta al eje Oy en el punto de ordenada b 1
lo cual es equivalente a decir que pasa por el punto P (0, 1) . Como una recta queda
determinada por dos puntos distintos, alcanza con encontrar otro punto que pertenezca a
la misma. Esto es inmediato: si le damos a x el valor 1 (por ejemplo) obtenemos
f (1) 1y esto nos permite afirmar que esta recta también pasa por el punto Q (1,1) .
Observamos que yq yp 1 (1) 2 , lo cual confirma que la pendiente es 2.
xq xp 1 0
Observaciones 1.2.1 :
i) Si b 0 nos queda que f (x) a.x lo que lleva a que su grafica sea una
recta que pasa por el origen . Ver Fig 1.2.1
ii) Si a 0 la función lineal es estrictamente creciente (los valores de f (x)
crecen a medida que x crece). Ver Fig 1.2.2. A su vez , cuanto mayor sea la
pendiente a , mayor será el ángulo que forme la recta con el eje Ox y la
función crecerá “mas rápido” ¿qué sucede si a 0 ?
iii) Si a 0 nos queda que f (x) b esto es una función constante lo que lleva a
que su gráfica sea una recta horizontal (paralela al eje Ox). Ver Fig 1.2.4
5
iv) Las rectas paralelas al eje Oy no constituyen la gráfica de ninguna función.
Como todos los puntos de una de tales rectas tienen la misma abscisa, su
ecuación es de la forma x k con k constante. Ver Fig 1.2.5
a0 a0
Fig 1.2.1 Fig 1.2.2 Fig 1.2.3
Fig 1.2.4 Fig 1.2.5
1.2.2 Signo de una función lineal
Consideremos una función lineal f : f (x) a.x b con a 0 . En este caso la función
tiene una sola raíz. En efecto: f (x) 0 a.x b 0 x b
a
Y si observamos las figuras 1.2.2 y 1.2.3 resulta que el signo de f (x) es el siguiente:
0
Si a 0 sig f (x) - - - - - - - - - - - + + + + + +
b
a
0
Si a 0 sig f (x) + + + + + + + ------
b
a
6
1.2.3 Determinación de una función lineal
Hemos visto cómo a partir de la fórmula de una función lineal es posible calcular su
pendiente y obtener su gráfica. En muchas situaciones interesa el problema inverso:
hallar la función lineal conociendo algunos datos sobre su gráfica. Estudiemos un par de
casos sencillos.
Función lineal determinada por un punto y la pendiente
Queremos hallar una función lineal que tenga pendiente a y cuya gráfica pase por el
punto P (x0 , y0 ) (es claro que estos datos determinan una única recta). Como
queremos que la pendiente sea a , la función buscada es de la forma f (x) a.x b .
Para determinar b imponemos la condición de que el punto P esté en la recta, es decir
que y0 f (x0 ) a.x0 b de donde resulta que b y0 a.x0 . La función lineal es
entonces f (x) a.x y0 a.x0 o lo que es lo mismo f (x) y0 a.(x x0 ) .
Resumiendo: la ecuación de una recta que pasa por P (x0, y0 ) y tiene pendiente a es:
y y0 a.(x x0 )
Ejemplo – La ecuación de la recta que pasa por el punto P (3,1) y que tiene pendiente
4 es y 1 4.(x 3) que también puede escribirse como y 4x 11.
Función lineal determinada por dos puntos
Sabemos que dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen. Queremos
ahora encontrar una función lineal cuya gráfica pase por los puntos distintitos
P (x0 , y0 ) y Q (x1, y1) . Tenemos que tener en cuenta una breve discusión. En efecto
si x0 x1 entonces la recta determinada por esos puntos es paralela al eje Oy y, por lo
tanto, no es gráfica de función alguna. En este caso la “ecuación de la recta” es
simplemente x x0 . Supongamos entonces que x0 x1 . El problema se reduce a la
situación recién estudiada ya que la recta en consideración pasa por el punto P y tiene
pendiente a y1 y0 . Deducimos que su ecuación es:
x1 x0
y y0 y1 y0 .( x x0 )
x1 x0
Ejemplo 1.2.2 - La ecuación de la recta que pasa por los puntos P (1,5) y Q (3,1)
es y 5 2.(x 1) que también puede escribirse como y 2x 7 .
Veamos una alternativa para resolver este problema. Hay que hallar el a y el b de una
recta para que los puntos P y Q la verifiquen de donde :
7
P (1,5) pertenece a la recta 5 a.1 b a b 5
Q (3,1) pertenece a la recta 1 a.3 b 3a b 1
Nos queda así un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas . Para resolverlo
podemos observar que si restamos las dos ecuaciones obtenemos otra sin b pasando así
del sistema original a b 5 a otro equivalente a b 5 escalerizado. De la
3a b 1 2a 4
segunda ecuación obtenemos a 2 y sustituyendo en la primera obtenemos que b 7
llegando así a la ecuación de la recta y 2x 7 .
1.2.4 Intersección de dos rectas
Dadas dos rectas de ecuaciones r1) y a1.x b1 y r2 ) y a2.x b2 queremos
averiguar como hallar r1 r2 y la interpretación geométrica de dicho resultado.
Observemos que para que un punto P (x, y) pertenezca a la intersección debe
verificar ambas ecuaciones de donde sus coordenadas deben ser solución del sistema
y a1.x b1 donde las incógnitas son x e y por lo que tenemos un sistema de dos
y a2 .x b2
ecuaciones con dos incógnitas. Pero recuerde que un sistema puede ser de tres tipos:
i) Sistema compatible determinado. Es decir hay una única solución por lo
que la intersección de las dos rectas es un punto cuyas coordenadas son la
solución del sistema. Ver Fig 1.2.6
ii) Sistema compatible indeterminado. Hay infinitas soluciones del sistema,
esto significa que las dos rectas tienen más de un punto en común por lo que
concluimos que coinciden. Ver Fig 1.2.7
iii) Sistema incompatible. No hay parejas (x,y) que verifiquen las dos
ecuaciones simultáneamente por lo que las rectas no tienen puntos en común
y como estamos trabajando en el plano esto significa que las rectas son
paralelas. Ver Fig 1.2.8
Fig 1.2.6 Fig 1.2.7 Fig 1.2.8
1.2.5 Funciones lineales de costo, ingreso y utilidad
Funciones lineales de costo
8
A las empresas les interesan los costos porque reflejan el dinero que gastan. Estos flujos
de dinero suelen destinarse al pago de sueldos, materias primas, suministros, alquiler,
energía, teléfono, calefacción, servicios públicos y otros gastos. El costo total suele
definirse en términos de dos componentes: costo total fijo ( que NO depende del
tamaño de la producción) y el costo total variable ( que depende de la cantidad de
unidades producidas).El siguiente ejemplo intenta aclarar estos conceptos:
Ejemplo 1.2.3 - Una empresa que elabora un solo tipo de producto quiere determinar el
costo total anual en función de la cantidad de unidades producidas. Los
contadores indican que los gastos fijos para cada año son de U$S 45.000.
También han estimado que por cada unidad producida los costos de materias
primas ascienden a U$S 5,50 y que los de mano de obra son de U$S 1,50 en el
departamento de montaje, U$S 0,75 en la planta de acabado y de U$S 1,25 en
el departamento de empaque y embarque. Si designamos con x a la cantidad
de productos fabricados durante el año tenemos:
Costo fijo anual = 45.000 dólares
Costos variable = 5,50.x 1,50.x 0, 75.x 1, 25.x 9.x dólares
El costo total anual (que llamaremos C(x) ) se obtiene sumando los costos totales fijos y
variables obtenidos:
C(x) 45.000 9.x
donde es importante recordar que x indica el número de unidades producidas y C(x) es
el costo total medido en dólares.
Este ejemplo muestra una situación simplificada en donde se supone que los costos
variables son directamente proporcionales al tamaño de la producción (al número de
productos fabricados) y que sólo dependen de ella. Luego veremos algunas funciones de
costo más complicadas.
Funciones lineales de ingreso
Supongamos que la empresa del ejemplo anterior vende sus productos a U$S 12 la
unidad. El dinero que entra por concepto de ventas recibe el nombre de ingreso total.
Si suponemos que se venden todos los artículos que produce, entonces la función de ingreso
viene dada por:
I (x) 12.x
donde x es el número de unidades producidas e I (x) es el ingreso medido en dólares.
Funciones lineales de utilidad
La utilidad es la diferencia entre el ingreso total y el costo total:
Utilidad = Ingreso – costo
Para el ejemplo que venimos manejando resulta que la función de utilidad U (x) es:
U (x) I (x) C(x) 12.x (9.x 45.000) 3.x 45.000
El signo de la función utilidad es muy importante ya que :
9
U (x) 0 PÉRDIDA
U (x) 0 GANANCIA
0
En nuestro ejemplo resulta sig U (x) - - - - - + + + +
15.000
y podemos concluir que si la empresa vende menos de 15.000 unidades tendrá perdidas
y si por el contrario vende más de 15.000 tendrá ganancia. El punto en el que la utilidad
se anula ( costo igual a ingreso ) se denomina punto de equilibrio y, en este caso, se
alcanza cuando x 15.000 unidades. Podemos visualizar la situación de dos maneras :
graficando la función de utilidad (Fig 1.2.9) o graficando las funciones de costos e
ingresos en un mismo sistema de coordenadas.(Fig 1.2.10)
Fig 1.2.9 Fig 1.2.10
Observe que cambiamos la escala. En el eje Ox cada unidad corresponde a 1000
artículos producidos por la empresa de donde el 10 indica 10.000 artículos el 20 ,
20.000 y así sucesivamente. Del mismo modo en el eje Oy cada unidad corresponde a
1000 dólares de donde el 100 corresponde a 100.000 dólares y así sucesivamente.
Completemos la discusión de este ejemplo intentando responder las siguientes
preguntas:
i) ¿Cuál es el nivel de ingresos en el punto de equilibrio?
Si observamos la Fig 1.2.10 el punto de equilibrio es el punto de corte de las
gráficas de las funciones de ingreso y costo respectivamente. Las 15.000 unidades
que obtuvimos antes corresponden a la abscisa de ese punto pero ahora nos
preguntan el nivel de ingresos y esto corresponde a la ordenada del punto en
cuestión.
I (15.000) 180.000 de donde la respuesta es 180.000 dólares.
ii) ¿Cuántos artículos hay que vender para obtener una ganancia de 255.000
dólares?
U (x) 255.000 3.x 45.000 255.000 3.x 300.000 x 100.000
Se deben vender 100.000 artículos.
10
Depreciación lineal
Cuando una empresa compra maquinaria, reporta el valor de ese equipo como uno de
los activos en su balance. En los siguientes años este valor debe disminuir debido al
desgaste del equipo, o bien a que se vuelve obsoleto. Esta reducción gradual del valor
de un activo se denomina depreciación. Un método común de calcular el monto de la
depreciación es reducir el valor cada año en una cantidad constante. Esto se denomina
depreciación lineal . Así tenemos que la tasa de depreciación anual Td se calcula así:
Td Vi Vd
t
Donde Vi = valor inicial , Vd = valor de desecho y t = tiempo de vida en años.
Ejemplo 1.2.4 – Una empresa compra maquinaria por 150.000 dólares. Se espera que el
tiempo de vida útil de la maquinaria sea de 12 años con un valor de desecho de cero. En
primer lugar calculemos la tasa de depreciación anual esto es :
Td 150.000 0 12.500
12
Esto significa que cada año que pase la maquinaria vale 12.500 dólares menos. Esta
interpretación nos permite hallar una función que nos de el valor de la maquinaria en
función del tiempo :
V (t) 150.000 12.500.t
donde t es el tiempo medido en años y V (t) el valor de la maquinaria en dólares.
Es así que por ejemplo pasados 8 años el valor de la maquinaria será:
V (8) 150.000 12.5008 50.000 dólares.
Lista de ejercicios 1
1 – Graficar las siguientes funciones lineales: d) f4 ( x) 1 x
a) f1(x) x b) f2 (x) x c) f3(x) 8x 2
e) f5 (x) x 4 f) f6 (x) 3x 2
2 – Estudiar el signo de las siguientes funciones:
a) f1(x) 2x 4 b) f2 (x) 3x 1 c) f3 (x) (2x 3)(x 5)
d) f4 (x) (x 3)(4x 4)x
3 – Hallar las ecuaciones de las rectas que cumplen :
a) Pasan por los puntos (1,2) y (3,6)
b) Pasan por los puntos (2,-1) y (-2,3) (utilice dos procedimientos
distintos)
c) Pasa por el punto (-2 ,1) y tiene coeficiente angular 2
d) Pasa por el (1,1) y tiene coeficiente angular –3
4 – En cada uno de los siguientes casos hallar r1 r2 . (interpretar gráficamente)
11
a) r1) y 3x 2 y r2 ) y x 6
b) r1) y 2x 3 y r2 ) y 3x 7
c) r1) y 2x 2 y r2 ) y 5x 1
5 – Sea r) de ecuación y 3x 2 . Hallar la ecuación de la recta t) sabiendo que
corta a r) en un punto de abscisa 1 y pasa por el punto (2,2)
6 – Una fábrica vende un solo tipo de producto a $25 cada uno. Los costos variable por
unidad son de $2 por concepto de materiales y de $6 por concepto de mano de obra. Los
costos fijos anuales ascienden a $ 22.000
a) Encuentre las funciones de costo , ingreso y utilidad (graficarlas)
b) ¿Cuál es la ganancia de la empresa si se venden 10.000 unidades?
c) Hallar el punto de equilibrio
7 – Una empresa discográfica está a punto de producir un nuevo disco compacto de su
artista estelar J.R. Los costos fijos (debidos al diseño de la carátula, pagar “músicos de
sesión” , grabación , matrizado digital ,etc) ascienden a 5000 dólares. El costo de
fabricación es de 1 dólar por unidad y a J:R se le pagará 1 dólar por cada disco vendido.
El precio al que la empresa vende sus discos a los distribuidores es de 12 dólares por
unidad.
a) Halla la función de utilidad de la empresa para este emprendimiento
b) ¿Cuál es la cantidad mínima de discos que deben venderse para que este
emprendimiento no de pérdidas?
c) Si esta producción llega a “disco de oro” (5000 discos vendidos) ¿Cuál es la
ganancia de la discográfica? ¿ y la de J:R.?
8 – Una empresa tiene $ 24000 de gastos fijos para producir un artículo cuyo costos
variables de producción por unidad es de $90. El artículo se vende a $120 cada uno.
Discutir en función del número de artículos producidos y vendidos cuando la empresa
dará perdidas y cuando ganancia. (interpretar gráficamente)
9 – Un fabricante produce artículos a un costo variable de 85 centavos de dólar cada uno
y los costos fijos son 280 dólares. El precio de venta es de 1 dólar con 60 centavos.
a) Halle el punto de equilibrio.
b) Al fabricante se le presenta la posibilidad de adquirir nueva maquinaria que le
significaría bajar los costos de producción a 70 centavos de dólar pero se le
incrementa los costos fijos a 350 dólares (por amortización de la maquinaria) ¿es
ventajosa la opción? Discutir
Problemas propuestos en revisiones y exámenes.
12
1 - Una persona tiene el auto roto y debe alquilar otro rápidamente. Le ofrecen dos
posibilidades:
A) Pagar $ 3 por cada km recorrido.
B) Pagar $ 200 por el alquiler (independientemente de los kilómetros recorridos) más
$ 2 por cada km recorrido.
a) Determinar cuánto pagaría en cada opción por recorrer x kilómetros.
b) Representar gráficamente las dos funciones obtenidas en la parte anterior.
c) ¿Cuál opción resulta más barata si tiene que ir a Colonia? (aproximadamente 100
km).
d) ¿Cuál opción resulta más barata si tiene que ir a Artigas? (aproximadamente 600
km)
¿Cuántos kilómetros tendría que recorrer para que cueste lo mismo una opción u otra?
Interpretar gráficamente.
2 - Una familia quiere comer lechón en la cena de fin de año .
Se le plantean dos opciones:
Opción 1- Comprar el lechón en la carnicería y llevarlo a preparar a la panadería en
cuyo caso el kilo de lechón crudo sale $ 20 y la horneada sale $ 100 independientemente
de los kilos de lechón que se lleve a la panadería.
Opción 2 – Comprar el lechón preparado cuyo costo es de $ 40 el kilo.
a) Encontrar las funciones que expresan el costo en función de los kilos de
lechón que se adquieran para cada una de las dos opciones. Graficarlas
b) ¿Cuánto será el costo en cada opción si la familia estima que se comerán 3
kilos de lechón?
c) Si se piensa que se puede recibir invitados y se calcula que cada invitado
comerá medio kilo de lechón .Discutir cual de las 2 opciones es más
conveniente según la cantidad de invitados recibidos.(recordar que la familia
sola comerá 3 kilos de lechón)
d) Si al terminar la fiesta se gastaron $ 240 y se optó por la opción mas barata .
¿Cuántos fueron los invitados?
3 - Una empresa debe adquirir una máquina para producir un nuevo producto. Se le
presentan dos opciones:
A) Comprar una máquina relativamente vieja a un costo de 500 dólares. Con dicha
máquina podrá producir a un costo de 2 dólares por unidad producida.
B) Comprar una maquina última generación a un costo de 1200 dólares. Con esta otra
máquina el costo de producción es de 1 dólar por unidad.
i) Hallar la función de costos que se le generará a la empresa con cada opción.
ii) Representar gráficamente ambas funciones
iii) Si esperan producir 600 unidades ¿Cuál de las dos opciones es la más
conveniente?
Discutir en función de la cantidad de unidades producidas cuál de las dos opciones es
mas conveniente.
4 - Un grupo de amigos está estudiando la posibilidad de alquilar un auto para irse una
semana de vacaciones. Luego de estudiar las ofertas se le plantean 2 alternativas entre
13
las cuales deberían elegir. La primera opción es un auto gasolero cuyo alquiler diario es
de $ 500. La segunda opción es alquilar un auto a nafta por $ 400 diarios.
Se sabe que ambos vehículos tienen un rendimiento de 20 kms por litro de combustible
y que los precios del gasoil y la nafta es de $ 10 y $ 20 por litro respectivamente.
Establecer las funciones que expresan los costos de cada opción en función de la
distancia recorrida. Graficar
¿cuál seria la distancia que deberían recorrer para que ambas alternativas fueran
indiferentes? Interpretar gráficamente.
Si estiman que durante la semana recorrerán 1000 kms. ¿Cuál será la opción más
conveniente?
5 - Un empresario está estudiando la posibilidad de producir productos panificados.
Para ello requiere la compra de una máquina que le significará un costo por concepto de
amortización de la misma de $ 2000 mensuales. Utilizando dicha maquina el costo por
unidad panificada es de $ 3 . Además el fabricante paga $ 4.000 mensuales por el
alquiler del local. Los productos panificados se venden a $ 9 la unidad y todo lo que se
produce se vende.
a) Hallar la funciones de costos , ingresos y utilidades mensuales en función del
número de unidades producidas y vendidas.
b) Calcule la producción mensual de equilibrio. Interpretar gráficamente.
En lugar de adquirir la maquina podría contratar mano de obra a destajo lo que
implicaría un costo adicional por unidad panificada de $ 0,50 .
c) Calcule las funciones de costos , ingresos y utilidades mensuales con este otro
sistema de trabajo.
d) Discuta en función del número de unidades producidas y vendidas por mes cual de
los dos sistemas (con maquina o con mano de obra a destajo) es más conveniente.
6 - Los Caddies son las personas que ayudan a cargar los palos de golf durante los
torneos. Un caddie montevideano piensa viajar a trabajar en un torneo en un club de las
afueras de una ciudad del interior del pais. Tiene dos opciones de locomoción para
llegar al club anfitrión :
a) Tomarse un ómnibus en Tres Cruces de costo $ 200 hasta la terminal de la
ciudad y despues tomar un minibus de la zona que cobra $ 35 más $ 3 por
kilómetro
b) Irse a dedo hasta la terminal de la ciudad y desde allí tomar un taxi que cobra
$ 50 la bajada de bandera más $ 8 por kilómetro.(por razones de tiempo no
puede tomarse el minibus)
i) Determinar las funciones de costos de cada opción y graficarlas.
ii) Discutir según la distancia de la terminal al club que opción es más
conveniente.
iii) Si el caddie solo pudiera reunir $ 400 ¿qué opción le conviene más? (¿con
cuál opción recorre más kilómetros?)
iv) En la situación de la parte iii) si además se sabe que el club queda a 65
kilómetros de la terminal . ¿le sobrará plata? ¿o tendrá que caminar? en este
caso ¿Cuántos kilómetros caminará?
7 - El alquiler mensual de un local, en las afueras de Montevideo, para instalar una
fábrica de tapas para frascos es de $ 47000.
14
Además tendrá otros gastos, por concepto de sueldos y otros gastos administrativos, que
ascenderán a $ 120000 por mes.
Los costos variables (correspondientes básicamente a materia prima) ascenderán a $ 5
por cada tapa fabricada.
La máquina que necesita para la fabricación se la alquilan por mes a $ 4000.
1) Hallar la función de costos
Haciendo cálculos el empresario determinó que quiere que el punto de equilibrio
(costos-ingresos) se le presente cuando fabrique y venda 57000 tapas por mes.
2) ¿Cuál tendrá que ser el precio de venta de cada tapa para ello?
3) Calcular la función de ingresos
4) Realizar las gráficas correspondientes.
Al empresario le dan una segunda alternativa para arrendar la máquina, y es pagar por la
máquina en función de su uso de la siguiente manera: en lugar de pagar $ 4000
mensuales deberá pagar $ 206 por mes más $ 0,05 por cada tapa que fabrique en el mes.
Se considerará que se mantiene el precio de venta anterior y el resto de los gastos
anteriores.
5) En esta nueva situación, discutir cuándo se estará en situación de pérdida y
cuándo en situación de ganancia respecto a la cantidad de tapas fabricadas y
vendidas.
8 - Una señora decide comenzar una pequeña producción de galletas para vender y sabe
que si las hace en su casa tiene un costo total de $ 22 si hace 4 galletas y $ 100 si hace
30 galletas. (se sabe que la función de costo total es lineal)
i) Hallar la función costo total
El panadero de su barrio le ofreció otra opción que consiste en que utilice las
instalaciones de su panadería por lo que le cobraría $ 60 y además como el compra las
materias primas a granel los materiales para hacer una galleta le saldrán $ 0,50.
ii) Hallar el costo total en función del número de galletitas con esta segunda
opción.
iii) ¿Qué cantidad de galletas tendría que hacer para que fuera indiferente
hacerlas en la panadería o en su casa?
iv) Si necesariamente debe hacer 50 galletitas para un pedido ¿Cuál opción le
conviene mas?
v) Si el precio de venta es de $ 8 cada galletita. ¿A partir de que cantidades
tendrá ganancia en cada opción?
9 - La Sra. Ivanna Serguita y su hijo deciden poner un puesto de pasteles en la feria de
su barrio. El primer día llevan 20 pasteles y comprueban que para hacerlos y venderlos
gastaron $ 160 (de los cuales $ 100 corresponden al alquiler del stand de venta en la
feria y el resto al costo de los ingrediente para producir los 20 pasteles ).
i) Deducir la función de costos diarios de la Sra. Ivanna sabiendo que es lineal.
ii) Si desean obtener $ 100 de ganancia haciendo y vendiendo 40 pasteles ¿cuál
debe ser el precio de venta?
iii) Obtener y graficar las funciones de Costo, Ingreso y Utilidad indicando el
punto de equilibrio (y sus coordenadas)
15
1.3 Funciones Cuadráticas
En los ejemplos de la sección anterior siempre asumimos que el precio de cada artículo
era fijo y que la única variable en consideración era el tamaño de la producción. Otro
modelo posible consiste en considerar que la demanda de determinado artículo (esto es,
el número de productos que el mercado está dispuesto a comprar) depende del precio
que se le fije, ya que es razonable pensar que cuanto mayor sea el precio, menos será la
demanda. Si designamos con p al precio de cada unidad, la demanda será una función
que depende de esta variable p y que simbolizaremos D( p) . Ahora bien, ¿cómo
hacemos para calcular el ingreso? El razonamiento es muy simple : si se venden D( p)
unidades y el precio de cada una es p entonces el ingreso total se obtiene
multiplicando ambas cantidades:
I ( p) p.D( p)
Si consideramos el caso más sencillo de una demanda lineal : D( p) a.p b el ingreso
correspondiente resulta ser I ( p) p.D( p) p.(a.p b) a.p2 b.p que claramente no
es una función lineal, sino una función polinómica de segundo grado, que será
precisamente el motivo de estudio de esta sección.
Definición 1.3.1– Diremos que una función f es cuadrática cuando su dominio es R
y existen constantes a , b , c R tales que f (x) ax2 bx c x R . Es decir,
una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado.
1.3.1 Gráfica de una función cuadrática
Como habrás estudiado en cursos anteriores, la gráfica de una función cuadrática
f : f (x) ax2 bx c es una parábola de eje paralelo al eje Oy. Recordemos también
que la abscisa del vértice viene dada por xv b y su ordenada es
2a
yv f ( xv ) 4ac b2 de donde concluimos que el vértice es el punto
4a
V (x¨v , yv ) b , 4ac b2 . Así mismo el eje de la parábola es la recta de ecuación
2a 4a
x b es decir la recta paralela al eje Oy que pasa por el vértice. Por otro lado la
2a
concavidad de esta curva esta determinada por el signo del coeficiente a según las
siguientes figuras:
16
a0 a0
Ejemplo 1.3.1 – Queremos graficar la función f (x) x2 4x . La fórmula que la
define es del tipo f : f (x) ax2 bx c con a 1 , b 4 y c 0 . Se trata entonces
de una parábola de eje paralelo al eje Oy. Como a 0 su concavidad es negativa.
Calculemos las coordenadas de su vértice: xv b 4 2 e yv f (2) 4
2a 2
Para hallar los puntos de corte con el eje Ox calculemos las raíces de la función:
f (x) 0 x2 4x 0 x.(x 4) 0 x 0 o x 4
Con todos estos elementos podemos concluir que su gráfica es la siguiente:
1.3.2 Ceros y signo de una función cuadrática
Raíces de una función cuadrática
En el ejemplo anterior pudimos hallar las raíces de la función de una manera muy
simple porque pudimos expresarla en su descomposición factorial. De todos modos es
importante recordar la fórmula que siempre nos permite hallar las raíces de un
polinomio de segundo grado (en caso de que existan):
ax2 bx c 0 x b b2 4ac
2a
17
Está claro que la existencia de raíces depende del signo del “discriminante” :
b2 4ac . Pueden darse los siguientes casos:
i) Si 0 entonces la función tiene dos raíces reales y distintas. Su gráfico
corta al eje Ox en dos puntos cuyas abscisas son las raíces. Ver Fig 1.3.1
ii) Si 0 entonces la función tiene una sola raíz (diremos que es una raíz
doble). Su gráfico corta al eje Ox en un solo punto cuya abscisa es la raíz
doble. Ver Fig 1.3.2
iii) Si 0 entonces la función no tiene raíces reales. Su gráfica NO corta al
eje Ox . Ver Fig 1.3.3
Fig 1.3.1 Fig 1.3.2 Fig 1.3.3
Observe que en los tres ejemplos de las figuras optamos por casos con a 0 . Se pueden
obtener ejemplos con a 0 en cualquiera de los tres casos. Intente dibujar estos
ejemplos.
Signo de una función cuadrática
Queda claro que el signo de f (x) ax2 bx c depende del discriminante y del
signo del coeficiente a . Podemos resumir los distintos casos de la siguiente manera:
sig a 00
sig a sig a
i) 0
ii) 0 sig a 0 sig a
iii) 0
sig a
Ejemplo 1.3.2- Estudiar el signo de f (x) 2x2 6x 4
18
Empecemos por hallar las raíces: x 6 62 4.(2).(4) 6 4 6 2 de
2.(2) 4 4
donde estamos en el caso de 0 y las raíces son 6 2 1 y 6 2 2
4 4
Si además tenemos en cuenta que a 2 0 concluimos que :
00
Sig f (x) - - - - - + + + - - - -
12
Resultado que también es fácil de observar en su gráfica:
1.3.3 Función cuadrática determinada por tres puntos.
Dados tres puntos P x0, y0 , Q x1, y1 y R x2, y2 queremos averiguar si
existe una función cuadrática cuya gráfica pasa por estos tres puntos. Para esto tomemos
una función cuadrática y ax2 bx c y veamos que tiene que cumplir para que los
tres puntos verifiquen dicha ecuación:
P a la parábola y0 ax02 bx0 c
Q a la parábola y1 ax12 bx1 c
R a la parábola y2 ax22 bx2 c
quedándonos así un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a , b y c
De resolver este sistema podremos responder si hay o no una función cuadrática con
esas características.
19
Ejemplo 1.3.3 – Hallar la función cuadrática cuya gráfica pase por los puntos
P 1,6 , Q 2,3 y R 3,10 . Como dijimos antes consideramos
y ax2 bx c luego:
P 1,6 a la parábola 6 a(1)2 b(1) c a b c 6
Q 2,3 a la parábola 3 a.(2)2 b(2) c 4a 2b c 3
R 3,10 . a la parábola 10 a(3)2 b(3) c 9a 3b c 10
Para resolver este sistema utilizaremos el método de escalerización
a b c 6 (1) a b c 6 (1´) a b c 6 (1´´)
4a 2b c 3 (2) 3a 3b 3 (2´) 3a 3b 3 (2´´)
9a 3b c 10 (3) 12a 24 (3´´)
8a 4b 4 (3´)
Para pasar del primer sistema al segundo sustituimos la ecuación (2) por (2´) = (2) – (1)
y la ecuación (3) por (3´) = (3) – (1). Luego para pasar del segundo sistema al tercero
sustituimos la ecuación (3´) por (3´´) = 3.(3´) – 4.(2´).
Llegamos así al tercer sistema que es “equivalente” al primero (tiene la misma solución)
y es muy fácil de resolver ya que de (3´´) obtenemos que a 2 sustituyendo este valor
en (2´´) y despejando llegamos a que b 3 y por ultimo sustituyendo en (1´´) los
valores de a y b y despejando nos queda que c 1. Por lo que concluimos que la
función cuadrática que pasa por esos tres puntos es:
y f (x) 2x2 3x 1
1.3.4 Demanda e ingreso en función del precio.
Supongamos que en base a una serie de encuestas, una empresa ha estimado que la
demanda de uno de sus artículos depende del precio p del mismo mediante la función:
d ( p) 1500 50 p
En este caso sólo tiene sentido considerar valores de p 0 para los cuales d ( p) 0 es
decir 0 p 30 (al intervalo 0,30 lo llamaremos dominio restringido).
Cuando el precio es p 0 la demanda es 1500 artículos, la misma decrece hasta llegar a
0 cuando el precio es p 30 .
20
Ahora el ingreso también es función de p y viene dado por :
I ( p) p.d ( p) p.(1500 50 p) 50 p2 1500 p
Una pregunta importante que la empresa debe hacerse es ¿cuál debe ser el valor del
precio a fijar para que el ingreso sea máximo?
Para resolver este problema graficamos la función I ( p) , teniendo en cuenta que sólo
nos interesará la región correspondiente a valores de p entre 0 y 30.
Es claro entonces que el mayor valor de I ( p) se obtiene para p 15 y que vale
I (15) 11.250 . Por otro lado es importante observar que el punto (15,11.250) no es
otro que el vértice de la parábola.
1.3.5 Costos y utilidad en función de precio.
En el ejemplo anterior vimos como hallar el precio para que el ingreso sea máximo y
dijimos que esto era algo que sin duda le importaba saber a la empresa. Pero
otra pregunta no menos importante (y no necesariamente coincidente con la
anterior ) es ¿qué precio debemos ponerle al articulo para que las utilidades
sean máximas?
Para esto recordemos que la función de utilidad U ( p) se obtiene de restar la función de
ingreso I ( p) . menos la de costos C( p) . Si volvemos al ejemplo anterior la
función de ingreso ya la tenemos pero nos faltan datos para hallar la de costos
Agreguemos pues a los datos del ejemplo anterior los siguientes datos:
La empresa tiene un costo fijo de $ 3.750 y el costo por unidad producida es de $2
En el capítulo anterior con estos datos concluiríamos que la función de costos es :
C(x) 3750 2x donde x indica el número de unidades producidas. Este resultado esta
muy bien pero observemos que nuestra variable es el número de unidades producidas y
no el precio (como en la función de ingreso que tenemos). Es claro entonces que el
problema que tenemos planteado es el de hallar el costo en función del precio. Para esto
pensemos que dado un precio p es razonable fabricar la cantidad de unidades que se
pueden vender a ese precio y esa cantidad nos las da la función de demanda. Esto
implica tomar a x igual a la demanda es decir que en nuestro ejemplo tomaremos:
x d ( p) 1500 50 p por lo que si sustituimos en la función de costos nos queda que:
C( p) 3750 2(1500 50 p) 6750 100 p
21
Obteniendo así el costo en función del precio.
Ahora si estamos en condiciones de hallar la utilidad en función del precio, esto es:
U ( p) I ( p) C( p) (50 p2 1500 p) (6750 100 p) 50 p2 1600 p 6750
Si graficamos esta función nos queda:
Es claro a partir del gráfico que el máximo de esta función de utilidad se da en el vértice
de la parábola esto es cuando el precio es p 16 y las utilidades a ese precio son de
U (16) 6050 .
1.3.6 Equilibrio entre oferta y demanda
En el capítulo anterior analizamos la importancia del punto de equilibrio entre las
funciones de ingreso y costos. En aquel caso el punto de equilibrio separaba la zona en
que la empresa daba perdida de la que daba ganancia. Veamos otro problema con otras
funciones y donde en consecuencia el punto de equilibrio tendrá otra interpretación.
Sea la función de oferta O( p) que nos da el número de unidades de un producto
ofrecidas en función del precio p del mismo. En principio es razonable esperar que esta
función sea creciente es decir que a mayor precio mayor oferta.
Por otro lado tenemos la función de demanda d ( p) que nos da el número de unidades
que el mercado esta dispuesto a consumir en función del precio p . En este caso lo
razonable seria esperar que a mayor precio menor demanda. Del hecho de que al
aumentar el precio la oferta crece y la demanda decrece podemos esperar que al graficar
ambas funciones estas se corten en un punto como podemos ver en la figura
El punto de corte E de ambas funciones lo llamaremos punto de equilibrio entre la
oferta y la demanda. La abscisa de dicho punto nos indica el precio con el que
22
obtendremos que la cantidad de unidades ofrecidas sea igual a la demandada. Observe
que si tomamos un precio mayor al que corresponde al equilibrio tendremos un mercado
donde la oferta supera la demanda y si tomamos un precio menor al de equilibrio la
oferta no cubrirá las cantidades demandadas.
Ejemplo 1.3.4 - Los resultados de una encuesta de mercado realizada entre los
proveedores de un producto revelaron que el comportamiento de la función de oferta es
cuadrática. Se les preguntó cuantas unidades del producto estaban dispuestos a ofertar a
distintos precios obteniendo los siguientes resultados: si los precios del producto son
$20 , $30 y $40 la cantidad de unidades ofrecidas son 175 , 675 y 1375 respectivamente.
Con estos datos es claro que podemos hallar la función de oferta ya que el problema
equivale al de hallar la parábola que pasa por los puntos ( 20 , 175) , ( 30 , 675) y ( 40 ,
1575) . Tipo de ejercicio que ya hemos resuelto (ver ejemplo ) por lo que lo dejaremos
como ejercicio. El resultado es que la función de oferta es O( p) p2 225 .
A su vez una encuesta entre los consumidores reveló que la demanda también se
comporta como una función cuadrática. A precios de $10 , $30 y $60 las cantidades
demandadas serán de 265 , 105 y 15 respectivamente. Al igual que con la oferta queda
como ejercicio hallar la función de demanda la que dará d( p) 1 p2 12 p 375 .
10
Hallar el punto de equilibrio implica hallar el precio para que la oferta sea igual a la
demanda de donde :
O( p) d ( p) p2 225 1 p2 12 p 375 9 p2 12 p 600 0
10 10
Hallando las raíces de esta ecuación nos queda que p 20 (la otra raíz es negativa por
lo que queda descartada). Gráficamente esto es :
Una observación importante en este ejemplo es respecto a los dominios de estas dos
funciones. Para empezar no parece razonable trabajar con precios negativos.
Pero además en el caso de la oferta recién para los p 15 alcanza valores
positivos (es decir realmente hay oferta) por lo que debemos decir que el
dominio razonable para la función de oferta es D p R , p 15
Por su parte si observamos la demanda parece razonable tomar como dominio
A p R , 0 p 60 ya que si miramos la gráfica a partir del 60 la función
crece y esto no es de esperar en una función de demanda.
1.3.7 Variables distintas del precio
23
En este capítulo hemos insistido en aplicaciones de ingreso , costos , utilidades, oferta ,
demanda , etc y en casi todos los ejemplos hemos tomado como variable el precio. Así
hemos calculado por ejemplo la utilidad generada por un producto en función del precio
del mismo. Sin embargo debemos tener claro que en cada aplicación tendremos que
elegir (salvo que el problema especifique cual tomar) la variable mas adecuada y no
siempre esta será el precio. Por ejemplo en el capítulo anterior hemos resuelto varios
ejercicios donde la variable que utilizamos era el número de unidades producidas y
vendidas. Pero veamos un ejemplo distinto:
Ejemplo 1.3.5 - Un empresario es propietario de un edificio con 30 apartamentos. A
partir de un estudio de mercado el sabe que si cobra $ 1.500 pesos de alquiler por
apartamento los alquilará todos. Por otro lado también sabe que por cada $ 300 pesos
que suba el alquiler de cada apartamento uno le quedara sin arrendar. Es claro que la
pregunta que se hace el empresario es ¿qué precio pedir por cada apartamento para que
sus ingresos sean máximos?.
Veamos algunos casos particulares que nos pueden ayudar a elegir que variable elegir
para resolver este problema:
i) Si no dejamos ningún apartamento sin alquilar es porque el precio de cada
apartamento es de $ 1.500 y el ingreso total es de I 301.500 45.000
ii) Si dejamos un apartamento sin alquilar el precio de cada apartamento es de
$ 1500 300 1800 y el ingreso total es I (30 1) 1.800 52.200 .
iii) Si dejamos 2 apartamentos sin alquilar el precio de cada apartamento es de
$ 1.500 2 300 2.100 y el ingreso es I (30 2) 2.100 58.800
Podríamos seguir con este procedimiento hasta agotar todos los casos para luego elegir
el mas conveniente. Pero estos son muchos casos ( 30 casos en este problema) y además
de los tres casos analizados podemos concluir que si llamamos x al número de
apartamentos sin alquilar el precio de cada apartamento es de $ 1.500 300x y el
ingreso es:
I (x) (30 x)(1.500 300x) 300x2 7.500x 45.000 .
Es decir que nos quedo que el ingreso se comporta como una función cuadrática pero
cuya variable no es el precio sino el número de apartamentos no alquilados.
Veamos la gráfica de dicha función.
24
Es claro en la gráfica que el máximo se da en el vértice de la parábola cuya abscisa es
12,5 pero tengamos en cuenta que no podemos dejar de alquilar 12 apartamentos y
medio por lo que debemos elegir el entero mas próximo (en este caso puede ser 12 o 13)
Pero recordemos que la pregunta que el empresario se hacia era cuál era el precio que
debía pedir por unidad. Si optamos por x 12 el precio por unidad deberá ser
1.500 30012 5100 obteniendo así un ingreso de $91.800. Analice la opción de
x 13 y compare los resultados.
Lista de ejercicios 2
1 – Graficar y estudiar el signo de las siguientes funciones cuadráticas:
a) f1(x) x2 2x 1 b) f2 (x) x2 4x 3 c) f3 (x) x2 3
d) f4 (x) x2 4 e) f5 2x2 6x f) f6 (x) 3x2 3x 6
2 – Estudiar el signo de las siguientes funciones:
a) f1(x) (x2 5x 6).x b) f2 (x) (x2 4).(x 3)
c) f3(x) (x2 2x 2).(x 2) d) f4 (x) (x2 2x 1).(x2 4x 5)
3 – Hallar las ecuaciones de las parábolas que cumplen:
a) pasa por los puntos A (1, 2) , B (1, 6) y C (2,3)
b) pasa por los puntos A (0,1) , B (1,3) y C (3,1)
c) Su vértice es el punto V (2, 7) y pasa por el punto A (0,3)
4 – Hallar la intersección de :
a) La parábola de ecuación y 2x2 3x 2 y la recta y 3x 2 (graficar)
b) Las parábolas de ecuaciones y x2 x 1 e y x2 3x 5 (graficar)
5 – La función de demanda de determinado artículo es d ( p) 300 3 p en donde p es
el precio por unidad.
a) Hallar la función de ingreso y grafícala.
b) ¿Cuál debe ser el precio para que el ingreso sea máximo? Halle dicho ingreso
máximo.
6 – Una encuesta entre los productores de un cierto producto determinó que la función
de oferta del mismo es cuadrática. Tres datos de dicha encuesta indican que a un precio
de 60 , 70 y 80 pesos las cantidades del producto ofrecidas son de 2750 , 6000 y 9750
respectivamente.
a) Determine la función de oferta
b) Graficar. Halle el corte con el eje Ox e interprete dicho resultado.
c) ¿Qué cantidad será ofrecida a un precio de 85 pesos?
7 – Sea d ( p) p2 2 p 9040 la función de demanda del producto del ejercicio 6)
a) Halle el punto de equilibrio de ese producto
b) Grafique, en un mismo dibujo, las funciones de oferta y demanda marcando el
punto de equilibrio.
25
8 – En un mercado se conoce que la función de oferta es una función cuadrática. Se sabe
que el vértice de dicha función esta en el punto (0 , -100) y que una de las raíces de la
función es 10.
i) Hallar la función de oferta y determinar el dominio restringido.
ii) ¿Cuál será la cantidad ofertada a un precio de 20?
iii) ¿Para qué precio la oferta será de 800?
iv) Si sabemos que la función de demanda es q( x) x2 6x 1000
Hallar el punto de equilibrio
v) A partir de que nivel de precios la cantidad ofrecida supera la cantidad
demandada.
9 – Un empresario inmobiliario es propietario de un edificio con 50 apartamentos.
El mismo sabe que a un precio de $ 2.000 por mes y por apartamento los alquilaría
todos. Además sabe que por cada $ 200 pesos que aumente el precio alquilará un
apartamento menos.
a) Halle el precio de cada apartamento en función del número de apartamentos
alquilados.
b) Halle la función de ingreso en función del numero del número de apartamentos
alquilados. Graficar
c) ¿Cuál es el precio por apartamento por el que el empresario logrará un ingreso
máximo? ¿Cuántos apartamentos alquilará a ese precio? ¿Cuál será ese ingreso
máximo?
d) Repita el problema pero tomando como variable el número de apartamentos no
alquilados
10 – Un agricultor puede obtener 60 pesos por bolsa de papas el 1 de diciembre.
Después (por aumento de oferta en el mercado) el preció cae 60 centavos por bolsa por
día. Si el agricultor realiza la cosecha el 1 de diciembre estima que obtendrá 80 bolsas y
si demora la cosecha la misma aumenta a una tasa de 1 bolsa por día.
a) Halle el ingreso del agricultor en función del tiempo. Graficar
b) ¿Qué día es conveniente realizar la cosecha para obtener los ingresos máximos?
11 – Un fabricante puede producir lapiceras a un costo $ 2 por unidad. Vendiéndolas a
$ 5 cada una, los consumidores compran 4.000 unidades al mes. Por otro lado el
fabricante estima que por cada peso que aumente el precio se venderán 400 lapiceras
menos cada mes.
a) Hallar la utilidad mensual en función del precio.
b) ¿Cuál es el precio para que las utilidades sean máximas?
12 – Un comerciante compra un cierto articulo a $ 50 y los vende a $ 80. En estas
condiciones sus ventas son de 40 unidades por mes. En la búsqueda de obtener mejores
ganancias concluye que por cada $ 5 pesos de reducción del precio se venden 10
unidades más por mes. Halle el precio para el cual las utilidades son máximas.
(sugerencia elegir con cuidado la variable)
Problemas propuestos en revisiones y exámenes.
26
1 - Una empresa que comercializa bicicletas realiza un estudio de mercado del cual
surgen los siguientes resultados: i) La oferta se comporta en forma cuadrática con las
cantidades de 0 , 6000 y 12.800 para los precios de 70 , 80 y 90 dólares por unidad
respectivamente. ii) La demanda responde a la ecuación q( p) ( p 100)2 5600
donde p indica el precio por unidad.
Hallar la cantidad ofertada en función del precio.
¿Para que valores de p tiene sentido la función de oferta?
Hallar el punto de equilibrio
Graficar señalando el punto de equilibrio.
2 - Se sabe que la función de oferta en un mercado de automóviles se puede representar
por medio de la función cuadrática qo f p p2 116 p 480 , donde qo es la
cantidad ofrecida medida en miles de automóviles y p es el precio en miles de dólares.
Por otro lado, la función de demanda del mismo mercado se puede representar a través
de una función cuadrática que pasa por los puntos (0,200), (8,56) y (6,104). Los
dominios de ambas funciones se restringen a aquellos valores no negativos de p para los
cuales la cantidad es no negativa.
1. Hallar la función de demanda para este mercado.
2. Encontrar el precio y la cantidad de equilibrio del mercado.
3. Graficar ambas funciones y señalar el punto de equilibrio hallado en la parte
anterior.
3 - En un mercado se conoce que la función de oferta es cuadrática. Además se sabe que
a un precio de 2 pesos la cantidad ofrecida será de 0 unidades, a un precio de 4 de 18
unidades y a un precio de 6 de 44 unidades. Por otro lado, la demanda puede ser
representada a través de una función lineal de ecuación q p 2 p 140 , donde q
expresa la cantidad de unidades demandadas y p expresa el precio medido en pesos.
1. Determinar la función de oferta del mercado
2. Encontrar el precio y la cantidad de equilibrio para este mercado.
3. Graficar ambas funciones y señalar el punto de equilibrio hallado en la parte
anterior.
4. ¿Cuánto será el exceso de oferta (oferta – demanda) a un precio de 13 pesos?
5. ¿Para que precio la demanda superará a la oferta en 66 unidades?
4 - La oferta de un bien esta dada por una función cuadrática , cuya variable es el precio
del articulo, y de la que se sabe que :
27
A un precio de $ 3 la oferta es 0 , a un precio de $ 4 la oferta es 6 y a un precio de $ 5 la
oferta es 14.
Hallar la función de oferta.
Por otro lado se sabe que el comportamiento de la demanda en función del precio esta
dado por la función g(x) x2 ax 6 y que el punto de equilibrio entre la oferta y la
demanda se da a un precio de $ 4
Hallar a
Graficar las funciones de oferta y demanda indicando el punto de equilibrio.
5 - De una encuesta entre productores se obtuvieron los siguientes datos. A un precio de
2 dólares la oferta sería de 0 unidades, a 3 dólares seria de 5 unidades y a 5 dólares seria
21 unidades.
a) Hallar la función de oferta si se sabe que dicha función es cuadratica.
b) ¿Cuál es la oferta a un precio de 6 dólares?
c) De la función de demanda del mismo producto se sabe:
i) es lineal
ii) a un precio de 1 dólar la demanda es de 15 unidades
iii) El punto de equilibrio entre la función de oferta (hallada en la parte a) ) y la
demanda se da a un precio de 4 dólares.
Hallar la función de demanda.
d) Dibujar las funciones de oferta y demanda y marcar el punto de equilibrio.
6 - En cierto mercado de la economía nacional se conoce que la demanda puede
representarse mediante una función cuadrática de la cual se sabe que cuando el precio es
de 5 , 10 y 20 , la cantidad demandada es 400 , 225 y 25 respectivamente . Con relación
a la oferta se sabe que es de la forma qs ( p) a.p 70 con a 0
a) Hallar la función de demanda del mercado, para p 25
b) Hallar a sabiendo que el equilibrio del mercado se logra para un precio de 15
c) Representar gráficamente las funciones halladas.
d) Se realiza un cambio tecnológico en el mercado que modifica la función de
oferta . La nueva función es de la forma qs*( p) b.p 70 con b a , siendo a
el valor hallado en b) ¿El nuevo equilibrio en el mercado se producirá para un
precio mayor o menor que 15? Justificar
7 - La oferta de un bien esta dada por una función cuadrática , cuya variable es el precio
del artículo, y de la que se sabe que :
A un precio de $ 2 la oferta es 0 , a un precio de $ 3 la oferta es 1 y a un precio de $ 4 la
oferta es 3.
Hallar la función de oferta.
Por otro lado se sabe que el comportamiento de la demanda en función del precio es
lineal y el gráfico de dicha función pasa por los puntos (1 , 2 ) y ( 3 , 1 )
Hallar la función de demanda
Hallar el punto de equilibrio
Interpretar gráficamente.
8 - En un determinado mercado se sabe que las funciones de oferta y demanda se
ajustan bien por funciones cuadráticas.
28
i) Hallar dichas funciones sabiendo que la función oferta tiene como coeficiente de
p2 a 1, una raíz en p 10 y para un precio de 25 la cantidad ofertada es 390.
En cuanto a la demanda se estableció que para precios de 12 , 15 y 18 las
cantidades demandadas son 342 , 240 y 156 respectivamente.
ii) Graficar ambas funciones teniendo en cuenta que ambas son válidas para los
precios entre 10 y 30
iii) Hallar el punto de equilibrio del mercado e interpretar gráficamente (cantidad y
precio de equilibrio)
9 - Sea un producto donde la oferta esta representada por la función
f1(q) 2q2 40q 200 donde q 10 y la función de demanda esta representada por la
función g(q) q 475
a) Hallar el punto de equilibrio , representarlo gráficamente
b) Se producen cambios en el sistema impositivo , y la función de oferta pasa a ser
f2 (q) 2q2 40q 200 t con t R .
Hallar el valor de t sabiendo que el nuevo punto de equilibrio se alcanza en
q 20 . (la función de demanda se mantiene igual.)
10 - Un estudio de mercado sobre un producto nos dice que la demanda en función del
precio es una función cuadrática; que 50 es raíz de la misma y que para precios de 10 y
20 las cantidades demandas son 1600 y 900 respectivamente. La función de oferta del
mismo producto es lineal, representada por la función g(x) = 20x – 200, con x>10,
siendo x el precio del producto
a) Hallar la función de demanda . (el dominio restringido es 0 p 50 )
b) Hallar el punto de equilibrio , representarlo gráficamente
c) Para un precio de 20: ¿en cuánto supera la demanda a la oferta?
¿Para qué precio la oferta supera a la demanda en 275 unidades?
11 - En determinado mercado se sabe que la oferta en función del precio esta dado por
la función O( p) 2 p2 2 p 4
i) Graficar la función de oferta y hallar el dominio restringido sabiendo que
tanto la oferta como el precio tienen que ser positivos.
Por otro lado se sabe que la función de demanda también es cuadrática y a precios de 1,
2 y 5 las cantidades demandadas son 65 , 48 y 9 respectivamente.
ii) Hallar la función de demanda, graficarla y hallar el dominio restringido
sabiendo que el precio y la demanda deben ser positivos y que a medida que
el precio aumenta la demanda decrece.
iii) Hallar el punto de equilibrio e interpretar gráficamente.
12 - En determinado mercado se sabe que la demanda en función del precio es una
función cuadrática, donde para precios de 20 , 30 y 40 las cantidades demandadas son
2000 , 1400 y cero respectivamente.
De la función de oferta se sabe que es lineal, que si el precio es 15 la cantidad ofrecida
es cero y si el precio es 40 la cantidad ofrecida es 1000.
29
a) Hallar las funciones de oferta y demanda y sus respectivos dominios restringidos
b) Hallar el punto de equilibrio e interpretar gráficamente.
c) Si el estado interviene en dicho mercado fijando un precio máximo de $ 33 ¿Qué
cantidad se transará en dicho mercado? ¿Y si se fija un precio máximo de $ 37?
13 - Un estudio de mercado sobre un producto nos dice que la demanda en función del
precio es una función cuadrática; que 50 es raíz de la misma y que para precios de 10 y
20 las cantidades demandas son 1600 y 900 respectivamente. La función de oferta del
mismo producto es lineal, representada por la función g(x) = 20x – 200, con x>10,
siendo x el precio del producto
d) Hallar la función de demanda . (el dominio restringido es 0 p 50 )
e) Hallar el punto de equilibrio , representarlo gráficamente
f) Para un precio de 20: ¿en cuánto supera la demanda a la oferta?
g) ¿Para qué precio la oferta supera a la demanda en 275 unidades?
14 - En determinado mercado se sabe que la demanda en función del precio es una
función cuadrática, donde para precios de 3 , 4 y 7 las cantidades demandadas son 96 ,
78 y cero respectivamente. De la función de oferta se sabe que también es cuadrática,
que su grafico pasa por los puntos (0,11) y (1,16) y que el equilibrio entre oferta y
demanda se alcanza a un precio de 5 pesos.
i) Hallar la función de demanda.
ii) Hallar la función de oferta.
iii) Graficar ambas funciones indicando el punto de equilibrio
iv) Hallar el precio para el cual la oferta supera a la demanda en 41 unidades
15 - Un feriante compra en el mercado a $ 4 el kilo de naranjas y lo vende a $ 8. En
estas condiciones sus ventas mensuales alcanzan los 1000 kilos. Por otro lado el feriante
estima que por cada peso que baje el precio del kilo vendera 400 kilos mas por mes.
i) Calcular las utilidades que tendría el feriante a los precios de $ 8 , $ 7 y
$ 6,50 respectivamente
ii) Tomando como variable el precio de venta del kilo de naranjas calcule la
función de utilidades
iii) Bosquejar la función de utilidades e indicar el precio de venta para que las
utilidades sean máximas.
1.4 Otras Funciones.
30
Todavía no tenemos las herramientas suficientes para a partir de la expresión de una
función sea cual sea esta obtener la gráfica de la misma (esto será objetivo del curso de
métodos 2). Pero veamos que a partir de lo que sabemos de las funciones lineales y
cuadráticas podemos construir otras que no lo son.
Ejemplo 1.4.1
Si leemos una factura de UTE, notaremos que los kwh. ( kilowatts horas) no valen todos
igual. En el momento de escribir estas notas, el valor del kwh es de 1,488 para los
primeros 100 kwh; luego la tarifa sube a 2,141 el kwh. Veamos como obtener una
función que nos indique lo que nos costará la luz por concepto de consumo, en función
de la cantidad de kwh que hallamos utilizado. Para esto llamaremos x al número de kwh
consumidos y f (x) al costo en pesos que ese consumo implica. Es claro que si x 100
entonces f (x) 1, 488.x (esto resulta de multiplicar el precio del kwh por el número de
kwh consumidos). Ahora si x 100 , las primeras 100 costarán 1,488 cada una
generando así un costo de 148,8 , mientras que las restantes (x 100) costarán 2,141
generando un costo de 2,141.(x 100) . De donde si x 100 , el costo será de
f (x) 148,8 2,141.(x 100) lo que haciendo cuentas queda f (x) 2,141.x 65,3 .
Por lo que nos encontramos ante lo que llamaremos una función definida por tramos , es
decir, una función que tiene una expresión para algunos valores de la variable y otra
distinta para otros. En nuestro ejemplo podemos resumir todo el análisis hecho diciendo
que f (x) 1, 488.x 65, 3 si x 100
2,141.x si x 100
Es importante destacar que no estamos ante dos funciones, sino que es una sola función
que tiene expresiones distintas según el valor de la variable. Lo que sí podemos
observar es que cada una de esas dos expresiones corresponden a funciones lineales,
por lo que no será difícil graficarla dibujando cada una cuando corresponda.
Ejemplo 1.4.2
El sueldo de un vendedor de libros depende de la cantidad de unidades que venda. Ante
la salida de una nuevo diccionario enciclopédico, una editorial les hace a sus vendedores
la siguiente oferta: Por salir a vender todos los días del mes, de lunes a viernes 6 horas,
un sueldo base de $ 600 y a esto se le suma $ 70 pesos por ejemplar vendido, siempre y
cuando la cantidad vendida no supere los 40 ejemplares. A partir de los 40 ejemplares
recibe una bonificación extra de $ 200 pesos y recibe $ 80 por ejemplar vendido.
31
Lo que queremos es establecer una función que nos de el sueldo de un vendedor en
función de la cantidad de unidades vendidas. Para esto llamaremos x al número de
unidades vendidas y f (x) al sueldo del vendedor correspondiente a ese nivel de venta.
Si x 40 al sueldo fijo de $ 600 hay que sumarle 70x , que es la comisión
correspondiente a x unidades vendidas.
Si x 40 el sueldo fijo pasa a ser $ 800 y el ingreso por las x unidades vendidas 80x .
De donde esta función, al igual que en el ejemplo anterior, nos queda definida por
tramos
f ( x) 600 70x si x 40 cuya gráfica podemos observar en la figura
800 80x si x 40
Supongamos ahora que nosotros somos uno de esos vendedores y hemos vendido en un
mes 48 ejemplares. Queremos averiguar cual es el sueldo que nos corresponde. Es claro
que tenemos que hallar f (48) . Para esto observamos que 48 > 40 por lo que
f (48) 800 80.48 4640 .
Ejemplo 1.4.3
Sea f : R R f ( x) x2 1 si x 1 La idea es analizar como graficar esta
3x 2 si x 1
función. Para eso empecemos por observar que la primera expresión y x2 1
corresponde a una parábola de vértice (0,1) y concavidad positiva. Por lo que podemos
dibujarla y quedarnos sólo con el tramo de la curva que corresponde a valores de x 1.
Del mismo modo podemos dibujar la recta y 3x 2 y en este caso quedarnos con el
tramo que corresponde a valores de x 1 . Si esto lo realizamos en un solo sistema de
ejes nos queda la gráfica de la función f como se ve en la figura
Valor absoluto
32
A partir de los ejemplos anteriores queda claro que las posibilidades de definir
funciones por tramos son infinitas, pero ahora nos detendremos a estudiar una particular
que llamaremos valor absoluto.
Definición 1.4.1 Llamaremos valor absoluto a la función x x si x 0
x si x 0
Como vemos la notación que utilizaremos para esta función es x lo que leeremos valor
absoluto de x .
Siguiendo el procedimiento descrito en los ejemplos anteriores podemos obtener la
siguiente gráfica:
Propiedades 1.4.1
i) x 0 x R ( esta propiedad es muy fácil de verificar observando la gráfica)
ii) a.b a . b cualquiera sean los reales a y b
iii) a a cualquiera sean los reales a y b 0
b b
iv) a b a b cualquiera sean los reales a y b
v) x a si y solo si a x a .
Si superponemos la gráfica de x con la recta horizontal y a podremos observar que
la gráfica de x está por debajo de la recta cuando a x a .
vi) x a si y solo si x a o x a (ver en forma análoga a la anterior)
Lista de ejercicios 3
33
1 – Sea la función f (x) 2x 3 si x 1
x 2 si x 1
a) Graficar
b) Hallar f (1) , f (1) y f (2)
2 – Sea la función f (x) x2 x si x 1
2x 1 si x 1
a) Graficar
b) Resolver la ecuación f (x) 2 e interpretar gráficamente.
3 – Sea la función f (x) ax 2 si x0
2x b si x0
a) Hallar los reales a y b sabiendo que f (1) 1 y f (2) 0
b) Resolver la ecuación f (x) 2 e interpretar gráficamente.
4 – Sea la función f (x) ax2 2x b si x 1
si x 1
x2 2x b
a) Hallar los reales a y b sabiendo que -1 es raíz de la función y f (2) 5
b) Graficar la función y señale las raíces de la misma.
5 – Una agencia de viajes ofrece paquetes turísticos para grupos de adolescentes. El
costo del viaje por persona depende de la cantidad de integrantes del grupo. Para
grupos de menos de 6 integrantes, el costo es de 200 dólares. Si el grupo tiene entre 6 y
15 integrantes, tienen un descuento del 10 % y si son más de 15 integrantes, el
descuento es del 15 % siempre sobre el primer precio .
a) Halle el precio por persona en cada una de las tres categorías.
b) Halle la función de costo total de un grupo en función de su número de
integrantes. Grafique.
1.5 Dominio y signo de funciones.
34
1-5-1 Dominio
Recordemos que al conjunto de entradas de una función lo llamábamos dominio de la
misma. Las funciones que hemos estudiado hasta ahora, es decir las lineales y las
cuadráticas, tienen como dominio matemático todos los reales. Pero esto no siempre
será así, por lo que debemos aprender a resolver los distintos problemas que se nos
pueden presentar a la hora de hallar el dominio de una función. Veamos algunos de
estos:
Cocientes
Queremos hallar el dominio de una función definida como el cociente de otras dos, es
decir, una función de la forma f (x) p(x) , donde en principio las funciones p yq
q(x)
tienen como dominio todos los reales . Debemos recordar que la división entre números
reales no está definida si el denominador es cero. Por lo que para aquellos valores de x
que hagan que q(x) 0 la función f (x) no estará definida.
Resumiendo dada una función de la forma f (x) p(x) su dominio será
q(x)
Dom( f ) x R , q(x) 0
Ejemplo 1.5.1
Queremos hallar el dominio de la función f (x) x2 3x .
x2
Para esto observemos que la función es de la forma que estamos estudiando donde
q(x) x 2 . Por lo que para hallar el dominio de f debemos resolver q(x) 0 es decir
x 2 0 cuya única solución es x 2 . De donde concluimos que el dominio de f es :
Dom( f ) x R , x 2 o lo que es lo mismo Dom( f ) R 2 .
Ejemplo 1.5.2
Hallar el dominio de la función g(x) x 3
x2 3x 2
Al igual que en el ejemplo anterior debemos resolver q(x) 0 que en este caso
significa resolver x2 3x 2 0 (esto es una ecuación de segundo grado ver 3.3.2)
cuyas raíces son x 1 y x 2 . De donde el dominio de g es :
Dom(g) x R , x 1 y x 2 o Dom(g) R 1, 2 .
Ejemplo 1.5.3
35
Hallar el dominio de la función h(x) x 3 4x 2
2x 3
En este caso podemos observar que esta función no está planteada estrictamente como
un caso de la forma p(x) . Sin embargo es la resta de una función lineal (que sabemos
q(x)
que no genera ningún problema de dominio) con otra que sí es de la forma p(x) por lo
q(x)
que lo resolveremos en forma similar a los ejemplos anteriores.
2x 3 0 x 3 de donde Dom(h) R 3
2
2
Raíces cuadradas
Queremos hallar el dominio de una función f (x) g(x) . En este caso debemos
recordar que solo existen la raíces cuadradas de números mayores o iguales a cero. De
donde solo tendrán correspondientes aquellos valores de x para los cuales g(x) 0 .
Es decir que el dominio de f es Dom( f ) x R , g(x) 0 .
Ejemplo 1.5.4
Hallar el dominio de la función f (x) x 3
Como indicamos antes debemos resolver la inecuación g(x) 0 que en este ejemplo es
x 3 0 . Para resolver esta inecuación comencemos por estudiar el signo de x 3
( observe que se trata del signo de una función lineal)
0
sig(x 3) ------- ++++++
3
De este estudio de signo concluimos que x 3 0 para los x mayores o iguales a 3
Por lo que el dominio de f es Dom( f ) x R , x 3 o lo que es lo mismo
Dom( f ) 3,
Ejemplo 1.5.5
Hallar el dominio de la función f (x) x2 5x 6
Debemos resolver la inecuación x2 5x 6 0 lo que hacemos estudiando el signo
sig(x2 5x 6) 00
----- +++++ -- - ---
23
Por lo que concluimos que Dom( f ) x R , 2 x 3 o lo que es lo mismo
Dom( f ) 2,3
Ejemplo 1.5.6
36
Hallar el dominio de la función f (x) x 2
x3
En este ejemplo, debemos observar que tenemos combinados los dos problemas de
dominio que hemos estado analizando, es decir, un cociente y una raíz cuadrada.
Siguiendo el procedimiento de los ejemplos anteriores debemos resolver la inecuación
x 2 0 . Para esto debemos recordar que cuando dividimos dos números reales del
x3
mismo signo el cociente da positivo, mientras que cuando lo hacemos con dos números
de distinto signo, el cociente da negativo. Por lo que de estudiar el signo del numerador
y del denominador siguiendo estas reglas, podremos deducir el signo del cociente.
0
Sig(x 2) + + + - - - - - -
sig(x 3) -2
0
- - - - - - ++
3
sig x 2 0
x3 --- + + ---
-2 3
De donde concluimos que Dom( f ) x R , 2 x 3 o Dom( f ) 2,3
Observe que en el signo del cociente sobre el 3 indicamos que el cociente no existe, ya
que en ese valor el denominador vale cero.
Ejemplo 1.5.7
Hallar el dominio de la función f (x) 1 x 2
Al igual que en los ejemplos anteriores, debemos resolver la inecuación 1 x 2 0
pero en este caso tenemos la dificultad adicional del valor absoluto. Veamos dos formas
distintas de resolver esta nueva situación.
Opción 1 -
Resolver 1 x 2 0 equivale a resolver 1 x 2 o lo que es lo mismo x 2 1
Luego si utilizamos la propiedad 1.4.1 inciso v) del valor absoluto tendremos que:
x 2 1 si y solo si 1 x 2 1 y sumando 2 a los tres términos concluimos que
1 x 3 . De donde el dominio es Dom( f ) x R , 1 x 3
Esta opción es muy conveniente para este caso, pero no siempre podremos utilizarla,
por lo que es importante ver otra forma de encarar estos problemas.
Opción 2 –
37
En esta opción nuestro primer objetivo es eliminar el valor absoluto, para lo que
empezamos por estudiar el signo (x 2)
0
sig(x 2) - - - - + + + de donde deducimos que:
2
x 2 x 2 si x2 de aquí deducimos que trabajando por zonas
x 2 si x2
podemos trabajar sin valor absoluto.
i) Si x 2 resolver 1 x 2 0 es lo mismo que resolver 1 (x 2) 0 es decir
3 x 0 cuya solución es 3 x pero debemos recordar en que zona estábamos
trabajando ( x 2 ) por lo que la solución en esta zona es 2 x 3
ii) Si x 2 resolver 1 x 2 0 es lo mismo que resolver 1 (x 2) 0 es decir
1 x 0 cuya solución es x 1, pero al igual que en la otra zona, debemos recordar
que estamos en la zona x 2 , por lo que la solución en esta zona es 1 x 2
Por último, si juntamos las soluciones de cada zona, concluimos que la solución total es
1 x 3 llegando así a la misma solución que con la otra opción Dom( f ) 1,3
1.6 Composición de funciones
Ejemplo 1.6.1 El sueldo de un vendedor de libros depende del número de libros que
venda y esta dado por la función S(x) 500 50x , donde x es el número de unidades
vendidas y S(x) es el sueldo. Por otro lado, el vendedor sabe que el número de unidades
vendidas depende del precio de cada unidad. Analizando el mercado encuentra la
función x( p) 1300 3 p donde p indica el precio por unidad y x( p) nos da la
cantidad de unidades vendidas a ese precio.
Intentemos ahora obtener una función f ( p) que nos de el sueldo del vendedor en
función del precio de cada unidad. Para esto veamos el siguiente esquema que nos
indica que “entra” y que “sale” al aplicar cada función:
x( p) S(x)
p = precio x = número de unidades vendidas sueldo del vendedor
Por ejemplo si el precio fuera de $300 entonces aplicando la función x( p) nos queda
que el número de unidades vendidas es x(300) 1300 3(300) 400 unidades. Y si
ahora le aplicamos la función S(x) nos queda que el sueldo es
S(400) 500 50(400) 20.500 .
Observe que 20.500 S(400) y que a su vez 400 x(300) de donde podemos resumir
diciendo que : 20.500 S(x(300)) quedando así el sueldo en función del precio por
unidad . Por lo que concluimos que f (300) S(x(300)) 20.500
Del mismo modo si repetimos el proceso pero para un precio p nos queda que :
f ( p) S(x( p)) S(1300 3 p) 500 50(1300 3 p) 65.500 150 p
A esta función f que se obtiene de aplicar la función x( p) y a lo que nos da aplicarle la
S(x) la llamaremos la compuesta de S(x) con x( p) y lo notaremos f ( p) (S ° x)( p)
38
Definición 1.6.1 Dadas dos funciones una g : A B y otra f : B C queda
definida otra función (que llamaremos la compuesta de f con g ) f ° g : A C que
cumple que ( f ° g)(x) f (g(x))
Ejemplo 1.6.2 Sean las funciones f (x) x2 y g(x) x 3
Queremos hallar f ° g . Por definición ( f ° g)(x) f (g(x)) f (x 3) x 32
Veamos ahora que da g ° f . (g ° f ) g( f (x)) g(x2 ) x2 3
Como vemos, obtuvimos resultados distintos, por lo que concluimos que la composición
de funciones no es conmutativa, es decir, que no necesariamente da lo mismo f ° g que
g° f .
Lista de ejercicios 4
1 – Resolver las siguientes inecuaciones:
39
a) 2x 5 0 b) x2 4x 5 0 c) x2 4 0
x 1
d) x3 0 e) x2 1 f) x2 3x 5 1
2x 2x 4 x 2
x2 2
g) x x 1 h) x x 2 x 4x 2
1 x
2x 1
2 – Resolver las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto
a) x 2 3 0 b) x2 3x 3 1 c) x - 4 = 2x + 8
d) x + 3 = 2x + 1 e) 2x 3 5 f) x 1 2
g) x 1 1 x 5 h) x 1 1 x2
3 3
3 – Hallar el dominio y estudiar el signo de las siguientes funciones:
a) f1 ( x) 3x2 x2 2 b) f2 (x) x2 2 c) f3 ( x) x 1 1
5x x3 x2 3x 10
4 – Hallar el dominio de las siguientes funciones:
a) g1(x) x 3 b) g2 (x) x2 4 c) g3 (x) x
x 1 x2 3x 2
d) g4 (x) x 3 1 1 e) g4 (x) 3x 2
x2 x2 4x 4
5 – Dadas las funciones f (x) x2 x , g(x) x 2 y h(x) x 1
2
Hallar f ° g , g ° f , f ° h , h ° f , g ° h , h ° g y (g ° f ) ° h
Problemas propuestos en revisiones y exámenes.
40
1 - a) Hallar una función cuadrática g cuyo vértice se alcance en el punto (2,1)
y 1 es raíz de la misma.
b) Hallar (g ° g)(0) y (g ° g)(1) siendo g la obtenida en la parte a)
c) Hallar el dominio de f (x) x. g(x)
x x2
2 - a) Hallar una función cuadrática p(x) sabiendo que la misma pasa por los puntos
(1, 1) , (2, 1) y (2, 25)
b) Sea q(x) x 8 Hallar para que valores de x se cumple que p(x) q(x)
interpretar gráficamente.
Hallar el dominio de f (x) x. x 1
p(x) q(x)
3 - Sea P(x) 2x2 2x 12
i) Resolver P(x) x2 4
ii) Hallar el dominio de f (x) Lx
P(x) (x2 4)
x 5
iii) Sea ahora la función g(x) x hallar P ° g 0 y g ° P(2)
x 1
4 - i) Resolver x -1 - 2 = 0
ii) Estudiar el dominio de f (x) = 3x2 + 3x - 6
x -1 - 2
iii) Sea h(x) = e2x2-2 hallar ( f ° h) (1) y (h ° f ) (1)
5 - Sean las funciones f (x) x2 4x 5 y g(x) 3x2 1 1
2x
i) Hallar el dominio de las funciones f , g y f g
ii) Hallar (g ° f )(1) y ( f ° g)(0)
6 - Hallar una función cuadratica f (x) sabiendo que su vertice es el punto 2,11 y que
su grafica corta al grafico de g(x) 2x 7 en un punto de ordenada 7 (es decir un
punto de la forma (a, 7) )
a) Estudiar el dominio h(x) x2 5x 4
x2
41
b) Hallar ( f ° h)(1)
7 - Sea P(x) (2x 6)(x 2)
i) Resolver P(x) 0
ii) Resolver P(x) x2 4
x3
iii) Hallar el dominio de f (x) P(x) 1
x 1
Capítulo 2 Función Inversa
Empecemos por recordar la definición de función, ya que este concepto jugará un papel
muy importante para entender la idea de función inversa.
42
Definición 2.1.1 – Una función es una relación entre los elementos de un conjunto A
(conjunto de entradas) y los elementos de un conjunto B (conjunto de salidas), en la
cual cada elemento de A tiene uno y solo un correspondiente en B.
Ejemplo 2.1.1 Sean los conjuntos A 1, 2,3 y B a,b, c, d . Definimos la
relación f : A B tal que f (1) b , f (2) d y f (3) b . Esta relación la
podemos representar de la siguiente forma:
Este esquema nos permite observar que esta relación es función, ya que cada elemento
de A tiene uno y solo un correspondiente en B.
Ahora consideremos la relación inversa, esto es, la relación que resulta de cambiar el
“sentido de las flechas” o más precisamente en nuestro ejemplo, es la relación
g : B A tal que g(b) 1 , g(d ) 2 y g(b) 3 cuya representación es:
En este caso es claro que la relación g no es función, ya que hay elementos del dominio
(a y c) que no tiene correspondiente y además hay un elemento (b) que tiene dos
correspondientes.
De este ejemplo debemos concluir que el hecho de que una relación sea función, no es
garantía de que la relación inversa también lo sea. Por esto nos dedicaremos a estudiar
que condiciones extras hay que exigirle a una función para que la relación inversa sea
función.
2.2 Funciones Inyectivas
Definición 2.2.1 Dada una función f : A B diremos que f es inyectiva si y solo si a
elementos distintos de A corresponden elementos distintos de B .
Es decir si x1 x2 f (x1) f (x2 )
43
Si volvemos al ejemplo 2.1.1 podemos observar que la función f no es inyectiva ya que
hay dos elementos distintos ( 1 y 3 ) que tienen el mismo correspondiente
f (1) b f (3) .
Pero veamos ejemplos de funciones de R R que son las que nos interesa estudiar en
este curso.
Ejemplo 2.2.2
Sea f : R R f (x) x2 Queremos investigar si esta función es o no inyectiva.
Para esto es muy útil observar su gráfica:
Además de la grafica de la función, hemos trazado una recta horizontal correspondiente
a y 1. Podemos observar que esta recta corta a la gráfica de la función en los puntos
(1,1) y (1,1) lo que implica que hay dos valores distintos 1 1, que tienen la misma
imagen f (1) f (1) 1 lo que contradice la definición de función inyectiva, por lo que
concluimos que esta función no lo es.
De alguna manera en este ejemplo estamos dando un procedimiento gráfico para ver si
una función es inyectiva o no.
Si una vez trazada la gráfica de una función encontramos una recta horizontal que
corta a la misma en más de un punto, concluiremos que la función no es inyectiva. Si
por el contrario, toda recta horizontal corta la gráfica en a lo sumo un punto (puede no
cortar) la función es inyectiva.
Ejemplo 2.2.3
Sea g :0, R g(x) x2
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Siguiendo el procedimiento indicado, observamos que las rectas horizontales por debajo
del eje Ox no cortan la gráfica de la función, y las que están por encima, incluido el
propio eje Ox, cortan en un solo punto. Esto nos permite concluir que esta función es
inyectiva. Es importante observar que la única diferencia entre el ejemplo 2.2.2 y este,
es que hemos “achicado” el dominio. Es decir que la función g de este ejemplo es una
restricción de la f del ejemplo 2.2.2. Por lo que podemos concluir que si tenemos una
función no inyectiva (como la f del ejemplo 2.2.2) restringiendo el dominio
adecuadamente, podemos obtener otra función (como la g del ejemplo 2.2.3) que sí sea
inyectiva.
2.3 Funciones sobreyectivas
Definición 2.3.1 Dada una función f : A B llamaremos recorrido o imagen de la
función al conjunto de elementos de B que sean correspondiente de por lo menos un
elemento de A.
Re c( f ) y B para los cuales existe x A tales que f (x) y
Si volvemos a la función del ejemplo 2.1.1 cuya representación era :
Podemos observar que solo los elementos b y d son correspondientes de alguno de A de
donde deducimos que el Re c( f ) b, d
Ejemplo 2.3.1 Sea f : R R f (x) x2 1 queremos hallar su recorrido.
Para esto veamos que es muy útil observar la gráfica
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Recordemos que en un sistema de ejes coordenados el codominio está representado por
el eje oy (eje vertical). Por lo que para hallar el recorrido, debemos encontrar los puntos
del eje oy que son correspondiente de alguien. Para esto podemos proyectar cada punto
de la curva sobre el eje oy obteniendo de esa forma los puntos que son correspondientes
de alguien.
Es decir que el Re c( f ) x R tales que x 1
Definición 2.3.2 Dada un función f : A B diremos que f es sobreyectiva si y solo
si su recorrido coincide con su codominio es decir si Re c( f ) B
Es claro que la función del ejemplo 3.7.4 no es sobreyectiva ya que el Re c( f ) x R
tales que x 1 y el codominio era todo los reales.
Ejemplo 2.3.2 Sea f : R R f ( x) x 2 si x0 queremos estudiar si es
x 2 si x0
sobreyectiva. Para esto empecemos por graficar
Si proyectamos los puntos de la curva sobre el eje oy nos quedan todos los puntos de el
eje, es decir, que el Re c( f ) R = codominio por lo tanto esta es una función
sobreyectiva.
2.4 Funciones Biyectivas
Definición 2.4.1 Diremos que una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y
sobreyectiva a la vez.
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En el último ejemplo 3.7.5, vimos que esa función es sobreyectiva y es fácil de ver
(siguiendo el procedimiento ya señalado) que también es inyectiva luego es biyectiva.
Ejemplo 2.4.1 Sea f :0, 1, f (x) x2 1 cuya gráfica es :
Primero podemos observar que las rectas horizontales cortan en uno o ningún punto a la
gráfica por lo que f es inyectiva. Por otro lado, si proyectamos sobre el eje oy nos
queda que el recorrido es Re c( f ) x R tales que x 1 =1, =codominio
por lo que también es sobreyectiva y por lo tanto biyectiva.
Es interesante observar que la expresión f (x) x2 1 es la misma que la del ejemplo
3.7.4 que podemos ver que, a diferencia de esta, no es ni inyectiva ni sobreyectiva. De
donde debemos concluir que no alcanza con la expresión de f (x) para poder clasificar
una función, sino que es fundamental tener en cuenta el dominio y codominio de la
misma. Por otro lado, vemos que a partir de una función como la del ejemplo 3.7.4 que
no era ni inyectiva ni sobreyectiva , “achicando” adecuadamente el dominio y el
codominio, podemos obtener otra función (la del ejemplo 3.7.5) que sí es biyectiva.
Función Inversa
Recordemos que nuestro objetivo es encontrar condiciones que nos aseguren que la
relación inversa de una función también sea función.
Sea ahora una función f : A B biyectiva se puede observar lo siguiente:
i) Por ser sobreyectiva todo elemento de B es correspondiente de algún elemento
de A
ii) Por ser inyectiva los elementos de B no pueden ser correspondientes de más de
un elemento de A.
Es decir, que si f es biyectiva, cada elemento de B es correspondiente de uno y solo un
elemento de A.
Entonces la relación que a cada elemento de B le asocia su preimagen en f , es una
función de B en A
Es importante insistir en que f tiene que ser biyectiva para que esa preimagen exista y
sea única condición imprescindible para que esta relación sea función.
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Definición 2.4.2 - Dada una f : A B diremos que es invertible si y solo si es
biyectiva y llamaremos función inversa a la función f 1 : B A que cumple que
f 1( y) x si y solo si f (x) y
Ejemplo 2.4.2 Sea la función f : R R f (x) 3x 2 . Queremos investigar si es
invertible y en caso de serlo, hallar la función inversa.
Por definición, estudiar si una función es invertible, equivale a estudiar si es biyectiva,
para lo cual es conveniente graficar.
Siguiendo el procedimiento visto en ejemplos anteriores es fácil ver que esta función es
biyectiva, por lo que es invertible.
Para hallar la inversa, recordemos que la definición nos indica que si f (x) y entonces
f 1( y) x . De donde si igualamos f (x) 3x 2 y y luego despejamos x de esta
igualdad nos queda que x y2 por lo que f 1 : R R f 1( y) y2
3 3
Ejemplo 2.4.3 Sea f :0, 1, f (x) x2 1 en el ejemplo 2.4.1 ya
vimos que esta función es biyectiva, por lo que es invertible. Para hallar la inversa
seguimos el mismo procedimiento que en el ejemplo anterior, es decir, igualamos
f (x) x2 1 y de donde x2 y 1 y por último llegamos a que x y 1 . Pero
debemos tener claro que solo uno de estos dos resultados es el correcto, por lo que
debemos descartar con cuidado. En este ejemplo es fácil de ver que el correcto es
x y 1 ya que si observamos el dominio de f concluimos que x debe ser positivo.
Para otros casos que no nos resulte tan sencillo, podemos adoptar este otro
procedimiento: Elegimos un valor de x que pertenezca al dominio de f , por ejemplo,
x 2 luego aplicando f nos queda que f (2) 3 por lo que al aplicar la inversa nos
debe quedar que f 1(3) 2 y esto solo se da si x y 1
Por lo que concluimos que f 1 :1, 0, f 1( y) y 1
48
Ejemplo 2.4.4 Sea f : , 0 1, f (x) x2 1 si solo miramos esta última
expresión, parece la misma función del ejemplo anterior, pero observemos que hemos
cambiado el dominio, por lo que se trata de otro problema. Es más, tenemos que
empezar de cero, ya que ni siquiera tiene porqué ser invertible, ya que al cambiar el
dominio, se trata de otra función. Por lo que empecemos por ver la gráfica de esta
función.
Como se puede ver se trata de una función inyectiva, cuyo recorrido es el intervalo
1, = codominio, por lo que también es sobreyectiva. Es decir, que la función es
biyectiva y por lo tanto invertible. Para hallar la inversa, repetimos la operación
realizada en el ejemplo anterior. f (x) x2 1 y de donde x2 y 1 y por último
llegamos a que x y 1 . Pero al igual que en el ejemplo anterior, debemos
descartar
Por lo que elijo un punto del dominio x 1 cuya imagen en f es f (1) 0 de donde
concluimos que f 1(0) 1 y esto ocurre si nos quedamos con y 1 . Es decir que
el resultado es que f 1 :1, , 0 f 1( y) y 1
Gráfica de la función inversa
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Queremos ver si hay alguna relación entre la gráfica de una función invertible y la
gráfica de su función inversa.
Para esto observemos que si un punto a,b pertenece al gráfico de una función f es
porque f (a) b y esto implica que en la función inversa (si existe) tendremos que
f 1(b) a por lo que el punto b, a estará en la grafica de f 1 .
Resumiendo: si a,b está en la gráfica de f b, a estará en la gráfica de f 1 .
Como se puede observar en la figura, los puntos a,b y b, a son simétricos respecto
a la recta y x . De donde concluimos que las gráficas de f y f 1 son simétricas
respecto a la recta y x . Por lo que conociendo una de las dos gráficas, podemos
obtener la otra.
Por ejemplo, si volvemos al ejemplo 2.4.2 f (x) 3x 2 y su inversa resultó ser
f 1( y) y2 si graficamos las dos funciones en un mismo sistema de coordenadas
3
podemos observar que son simétricas respecto a la recta y x .
f
f 1
2.5 Función exponencial y función logaritmo
50
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notas met 1 2013
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