notas met 1 2013

En lo que sigue nos referiremos a un número irracional muy importante que
nombraremos como e
e = 2,7182818.....
Analicemos que ocurre con la siguiente función f : R  R f (x)  e x

Obs 1 f (0)  e0  1 (corte con el eje oy)

Obs 2 f (x)  e x  0 x  R
El Rec ( f ) = {y  R / y > 0} = R = Cod( f ) por lo que f es sobreyectiva
Obs 3 f (2)  e2  e.e y f (3)  e3  e.e.e  f (2).e  f (2) es decir que

f (3)  f (2) . En general se puede ver que si tomamos dos números x2  x1 se cumple
que f (x2 )  ex2  ex1  f (x1) esto significa que f es una función estrictamente
creciente y por lo tanto inyectiva.
Todo esto podemos observarlo en la gráfica

Propiedades
i) f (a  b)  eab  ea .eb  f (a). f (b)

ii) f (.x)  ex  (ex )  ( f (x))

iii) f (a  b)  eab ea  f (a)
 eb f (b)

Función logaritmo

51

De las observaciones y la gráfica de f : R  R f (x)  ex , podemos concluir que se
trata de una función biyectiva y por lo tanto invertible. Es decir que existe la función
f 1 : R  R tal que si f (x)  e x  y entonces se cumplirá que f 1( y)  x

A esta función f 1 le llamaremos función logaritmo. Por lo que L( y)  x  e x  y
Si aprovechamos la observación de la relación entre el gráfico de una función y su
inversa podemos concluir que el gráfico de f 1 : R  R f 1( y)  L( y) es:

Propiedades

Podemos observar que las propiedades de la exponencial, tendrán su traducción en su
inversa: la función logaritmo.

i) f 1(c.d )  L(c.d )  L(c)  L(d )  f 1(c)  f 1(d )

ii) f 1  c   L c   L(c)  L(d )  f 1(c)  f 1(d )
 d   d 

   iii) f 1 y  L y  .L( y)  . f 1( y)

Lista de ejercicios 5

52

1 - Dadas las siguientes funciones, graficarlas y analizar si son inyectivas,

sobreyectivas y / o biyectivas
a) f : R  R f (x)  3x  6

b) f : R  R f (x)  x2  2x

c) f : R  R f (x)  x2 si x  0
 x si x  0

d) f : R  R f ( x)   x2  2 si x0
 4 si x0
 x

e) f : R  R f ( x)   x  2 si x  0
 x si x  0
2

2 – En aquellos casos del ejercicio 1, donde la función resultó no ser biyectiva, cambiar
dominio y / o codominio (manteniéndolos lo más “grande” posible) para que resulten
biyectivas.

3 – Para aquellos casos del ejercicio 1 donde la función es invertible, hallar la inversa y
graficarla.

4 – Sea f : R  R f (x)  x2  4x  3 si x  0
2x  3 si x  0

i) Analizar si f es biyectiva

ii) En caso de ser invertible hallar su inversa y graficarla

5 – A partir del gráfico de f (x)  ex bosquejar los gráficos de las siguientes funciones:

i) g1(x)  ex ii) g2 (x)  ex iii) g3 (x)  ex  2 iv) g4 (x)  ex2

6 – A partir del gráfico de f (x)  Lx bosquejar los gráficos de las siguientes funciones:

i) g1(x)  L x ii) g2 (x)  2  Lx iii) g3 (x)  L(x  3)

iv) g4 (x)  L x 1 v) g5 (x)  1 L(x  2)

7 – Analizar si las siguientes funciones son invertibles y si corresponde hallar su inversa

53

i) f1 : R  R f1 ( x)  e x  1 si x0
 x si x0

ii) f2 : R  R f 2 ( x)  x 2 1  1) si x0
iii) f3 : R  R 1  L(x si x0

f3 ( x)  L x  1 si x0
 x si x0

Problemas propuestos en revisiones y exámenes

1 - Sean f (u)  Lu y g(x)  2x  2 f g(x) ?

a) Hallar f  g(x) b) Estudiar el signo de g(x)

c) ¿Cuál es el dominio de f(u)? ¿Cuál es el dominio de

d) Hallar a para que f  g(a) = 0

2 - Sean las funciones f : R  R f (x)  ex  3 si x  2
 x si x  2

g : R  R g(x)  1 Lx

a) Graficar f y g
b) Analizar si f y/o g son invertibles (justificar)
c) Hallar la inversa cuando corresponda.
d) Graficar la inversa cuando corresponda.

3 - Sea f : R  R f ( x)  1  x2 si x  1
Lx si x  1

1. Graficar.
2. Analizar si es sobreyectiva.
3. Analizar si es inyectiva
4. Restringir dominio y / o codominio (lo más grandes posible y que el 2 esté en el

dominio) para que f sea biyectiva
5. Hallar la inversa en base al dominio y codominio hallados en 4.

4 - Sea f :RR f x  x2  9 si x  0
3x  9 si x  0

1. Graficar.

54

2. Investigar si la función es invertible. En caso de no serlo, restringir el dominio
y / o codominio de modo de transformarla en una función invertible.

3. Para el dominio y codominio de la parte 2 hallar la inversa y graficarla

5 - Sea f : R  R f (x)  (x 1)2  2 x 1
2  Lx x 1

i) Graficar f (x)
ii) Investigar si f es biyectiva ( justificar )
iii) Hallar f 1

iv) Graficar f 1

6 - Sea f : R  R f (x)  x2  x 2 si x  1
2x  si x  1

g:R R g ( x)  x( x  1) si x  0
ex si x  0

a) Graficar dichas funciones.
b) Investigar si cada una de estas funciones es o no inyectiva y si es o no

sobreyectiva. Justificar
c) En caso de no ser invertible , restringir el dominio y / o el codominio para que lo

sean ( dominio y codominio lo más grande posible)
d) Calcular (g ° f )(3) y ( f ° g)(0)

7 - Sea f : R  R tal que f ( x)   Lx  x si 0 x 1
 x2 si x 1


i) Graficar f (x)

ii) Analizar si es inyectiva , sobreyectiva y / o biyectiva.
iii) Analizar si es invertible y si corresponde hallar la inversa y su gráfica

iv) Sea g : R  {1}  R tal que g(x)  x2  2x  1

Hallar ( f ° g)( 12) y ( f ° g)(3)

8 - Sea f ( x)  ex  e  1 si x  1
 x si x  1

a) Graficar la función f e indicar dominio y recorrido de la misma.

b) Investigar si f es inyectiva y/o sobreyectiva . Justificar

55

c) Investigar si f es invertible, en caso de no serlo restringir dominio y/o
codominio para que lo sea de modo que estos sean lo mas “grandes” posibles.

d) Con el dominio y codominio hallados en c) hallar f 1

9 - Sea f : R  R f ( x)  x2  2x  5 si x  0
x2 1 si x  0

a) Graficar f

b) Probar que f no es biyectiva.

c) Restringir el dominio y/o el codominio (manteniéndolos lo mas grandes posible)
de forma que sea biyectiva

d) Hallar la función inversa de f (con el dominio y el codominio obtenido en la

parte c))

10 - Sea f :R R f (x)  (x  1)2 si x  1
 L( x  2) si x  1
i)
Graficar f y analizar si es biyectiva . Si no lo fuera restringir dominio y
ii)
iii) codominio para transformarla en invertible.
iv) Hallar la inversa

Graficar f 1

Sea g(x)  ex  3 calcular (g ° f )(0) , (g ° f 1)(0) y ( f 1 ° g)(0)

11 - La función de oferta de un bien está dada por la función

f (t)   t si t  2
 2
 t 2  3 si t  2

donde t está expresado en cientos de dólares y f(t) en unidades del artículo.

La función de demanda es:

d(t)   5 t  5
2

Un asesor promete que mediante una campaña de propaganda logrará que la nueva

demanda del producto sea la función inversa de la demanda original.

Se pide:

1) Grafique la función de oferta y la de demanda

2) Halle el punto de equilibrio de dicho mercado.

3) Obtenga la nueva función de demanda luego de la campaña de propaganda y el

nuevo punto de equilibrio.

12 - Sea la función f : R ® R f ( x)  x2  3x  1 si x  0 donde a Î R
x  a si x  0

56

i) Bosquejar el gráfico de f para cada uno de los siguientes casos : a) a  1
b) a  1 c) a  1

ii) Discutir según el valor de a si f es inyectiva y/o sobreyectiva. Justificar
iii) Para los valores de a que corresponda hallar la función inversa.

13 - Sea f : R ® R f ( x) = ïìe x -1 si x £1
í si x >1
îï x2 - 2 x + 2

e) Graficar f

f) Probar que f no es biyectiva.

g) Restringir el dominio y/o el codominio (manteniéndolos lo más grandes posible)
de forma que sea biyectiva

h) Hallar la función inversa de f (con el dominio y el codominio obtenido en la

parte c)

i) Graficar f -1

14 - Sea f (x)  ex  e  1 si x  1
 x si x  1

e) Graficar la función f e indicar dominio y recorrido de la misma.

f) Investigar si f es inyectiva y/o sobreyectiva . Justificar

g) Investigar si f es invertible. En caso de no serlo restringir dominio y/o

codominio para que lo sea de modo que estos sean lo más “grandes” posibles.

h) Con el dominio y codominio hallados en c) hallar f 1

15 - Sea f :R®R f ( x) = ìïL x -1 si x<0
îïí-ex +1 si x³0
i)
ii) Graficar y analizar si es inyectiva y/o sobreyectiva. Justificar.

iii) ¿Es f invertible? En caso negativo restringir dominio y/o codominio para

que lo sea

Hallar f -1 y graficarla.

16 – a) Hallar el dominio de f (x) = x2 -1
x2 + x

b) Dada la función g(x) = ìx +1 si x £1
íîa + Lx si x >1

57

i) Hallar el recorrido de g discutiendo según a Î R
ii) Discutir según a Î R si g es sobreyectiva y/o inyectiva
iii) Para el valor de a en que g es biyectiva hallar g -1

c) Hallar ( f ° g )(-3) y ( g ° f )(1)

2.6 Funciones Trigonométricas.

Consideremos la circunferencia de centro (0, 0) y radio 1 ( al que llamaremos círculo
trigonométrico) y en ella al punto A = (1, 0) . Para cada x real positivo consideraremos

una cuerda de longitud x que partiendo del punto A y recorriendo la circunferencia en
sentido anti horario alcanzará un punto B como muestra la figura y para cada x real
negativo una cuerda de longitud -x que partiendo del punto A y recorriendo la

58

circunferencia en sentido horario alcanzará un punto B . Ese punto B , como cualquier
otro punto del plano, tiene sus dos coordenadas a las que, recordemos, llamábamos
abscisa y ordenada. Quedan así definidas dos funciones, una en la que a cada real x le

hace corresponder la abscisa del punto B que llamaremos función coseno y otra en la
que a cada real x le hace corresponder la ordenada del punto B que llamaremos función
seno.

Falta aclarar que la unidad de medida que utilizaremos para medir la cuerda es el radián,
unidad que hace que el perímetro de nuestra circunferencia de radio 1 sea 2p radianes.
Como podemos ver en la figura, cada arco x se corresponde con un ángulo q por lo

que el ángulo de 360° corresponde al arco 2p , 180° corresponde a p y así

sucesivamente.
A partir de estas dos funciones definiremos una tercera función que llamaremos

tangente definida de la siguiente forma tg ( x ) = sen ( x )
cos ( x )

Es así que usando las definiciónes y haciendo algunos cálculos en triángulos
particulares podemos llegar a la siguiente tabla con algunos de los valores más sencillos

x cos x senx tgx
00
01 11
p3 23
62 11
p1
2
42

59

p1 33
2
32 1$

p0 0 ´0
-1 $
2
p -1 00
3p 0

2
2p 1

Observemos que los resultados en x = 2p coinciden con los de x = 0 ya que con
ambos valores de x vamos a parar al mismo punto A del círculo. Lo mismo ocurrirá si a
cualquiera de los valores de la tabla le sumo o le resto 2p .k con k entero ya que al ser
2p el perímetro de la circunferencia iremos a parar al mismo punto de circulo.
Las gráficas de estás funciones son las siguientes:

cos x

1

-1

sen x

1

60

-1

tg x

Propiedades " k Î Z (enteros)

1) -1 £ senx £ 1 y -1 £ cos x £ 1

2) sen ( x + 2kp ) = senx y cos ( x + 2kp ) = cos x
3) cos (-x) = cos x y sen (-x) = -sen ( x)

4) sen2 x + cos2 x = 1

Inversas Trigonométricas

Si observamos las tres gráficas podemos observar que ninguna de las tres funciones es
inyectiva, ya que hay rectas horizontales que cortan en más de un punto (más
precisamente hay rectas horizontales que cortan en infinitos puntos en los tres casos).

En cuanto al recorrido en el caso de las funciones sen x y cos x es el intervalo [-1,1]

mientras que el de la función tg x es todo R . Por lo que si tomamos a las tres
funciones como funciones de R ® R solo tg x es sobreyectiva.
Pero como ya hemos visto con otras funciones restringiendo adecuadamente el dominio
y codominio podemos lograr que sean biyectivas y por lo tanto invertibles.

61

En el caso de cos x la tomaremos como función de [0,p ] ® [-1,1] de esta forma la

función es biyectiva (dibuje la grafica y verifique este resultado) y tiene inversa. A la

función inversa la llamaremos Ar cos x función que irá de [-1,1] ® [0,p ] y cuya

grafica podemos obtener simetrizando la de cos x respecto a la recta y = x
(procedimiento visto para obtener la gráfica de cualquier inversa).

Con sen x lo tomaremos como función de êëé- p , p ù ® [-1,1] y a la función inversa
2 2 ûú

la llamaremos Arsen x función que irá de [-1,1] ® éêë- p , p ù .
2 2 úû

Y finalmente a la función tg x la tomaremos como función de æ - p , p ö ® R y a la
èç 2 2 ø÷

función inversa la llamaremos Artg x función que irá de R ® æ - p , p ö .
çè 2 2 ÷ø

Lista de ejercicios 6

1- Dibujar las funciones cos x , sen x y tg x con las restricciones que las hacen

invertibles.

2- Dibujar Ar cos x , Arsen x y Artg x

3- Calcular utilizando la tabla y el círculo trigonométrico los siguientes valores:

sen æ 3p ö , cos æ 3p ö , sen æ 3p ö , cos æ 3p ö , sen æ - p ö y cos æ - p ö
çè 2 ÷ø çè 2 ÷ø èç 4 ø÷ çè 4 ø÷ çè 4 ø÷ èç 4 ÷ø

4- Calcular utilizando la tabla y el círculo trigonométrico los siguientes valores:

Arsen (0) , Ar cos (0) , Artg (0) , Arsen (1) , Ar cos (1) , Artg (1)

5- Sea f : R ® R f (x) = ì-x2 si x<0
í x si x ³ 0
î Arctg

a) Graficar y analizar si es inyectiva y/o sobreyectiva. Justificar.

b) ¿Es f invertible? En caso negativo restringir dominio y/o codominio para que

lo sea

c) Hallar f -1 y graficarla.

62

3 Límites de funciones

3.1 Introducción a límites

En muchas ocasiones nos interesa analizar que ocurre con el comportamiento de una

función al “acercarnos” a un determinado punto. En algunas oportunidades
observaremos que a medida que los valores de nuestra variable x se “acercan” a un
valor a sus correspondientes f (x) se “acercan” a otro valor L lo que indicaremos

diciendo que lim f (x)  L . Veamos algunos ejemplos:

xa

Ejemplo 3.1.1

Sea la función f (x)  x2  4 , podemos observar que la función no existe en x2 o
x2

lo que es lo mismo 2 no pertenece al dominio de la función. Sin embargo en cualquier

otro punto “cercano” al 2, la función existe por lo que tiene sentido preguntarse : ¿Qué
ocurre con la función a medida que x se “acerca” al 2?. Para esto podemos hacer una
tabla con valores de x cercanos al 2 e ir hallando sus correspondientes f (x)
x f (x)

1,9 -3,9
1,95 -3,95
1,99 -3,99
2,1 -4,1
2,01 -4,01

De la tabla podemos concluir que al x “acercarse” al 2, tanto con valores menores
como mayores a 2 , sus correspondientes f (x) se “acercan” al –4. Este resultado lo

podemos observar en la gráfica de f

Este resultado de que cuando x se “acerca” a 2 sus correspondientes f (x) se

“acercan” a –4 lo notaremos de la siguiente forma lim f (x)  4 . Y diremos que el

x2

límite de f (x) cuando x “tiende” a 2 es –4 .

63

Ejemplo 3.1.2

Sea f (x)  x2  2 si x0
x 1 si x0

Queremos analizar que ocurre con la función cuando nos “acercamos” al 0 o más

precisamente queremos analizar qué ocurre con el lim f (x) . Observemos que en este

x0

caso, a diferencia del ejemplo anterior , la función sí existe en 0 y vale –1. Pero como

ya observamos antes, lo que nos interesa es analizar que ocurre cuando nos

“acercamos” al 0. En este caso nos encontramos con una función que tiene una

expresión para los valores menores que 0 y otra distinta para los mayores que 0, por lo

que estudiemos por separado que ocurre cuando nos acercamos a 0 por valores

menores, y que ocurre con valores mayores.

x0 f (x)  x 1

-0,1 -0,9
-0,01 -0,99
-0,001 -0,999

Como podemos deducir a partir del cuadro, los f (x) se “acercan” al -1 a medida que

nos “acercamos” al 0 por valores menores que 0. En la recta cuando representamos a

los números reales los valores menores que 0 están a la izquierda del 0 por lo que en
lugar de decir que nos “acercamos” al 0 por valores menores que 0 diremos que x

tiende a 0 por la izquierda y lo notaremos x  0 . Resumiendo podemos concluir que

lim f (x)  1.

x0

Analicemos ahora que ocurre cuando nos “acercamos” al 0 por valores mayores a 0

x0 f (x)  x2  2

0,1 2,01

0,01 2,0001

0,001 2,000001

Con un razonamiento análogo al anterior concluimos que lim f (x)  2 y esto se lee

x0

límite de f (x) cuando x tiende a 0 por la derecha es 2.

Como podemos ver, el resultado por derecha e izquierda dieron distintos por lo que si la
pregunta era qué ocurre con el límite de la función cuando x  0 debemos contestar

que el mismo no existe. Lo notaremos lim f (x) = .

x0

Si graficamos esta función es fácil de observar los resultados por izquierda y derecha

obtenidos con los cuadros.

64

Ejemplo 3.1.3

Sea la función f (x)  1 . Es claro que la función no existe en x0 pero sí existe en
x
cualquier otro valor de x por mas próximo que esté del 0. Por lo que tiene sentido

preguntarnos que ocurre con el límite lim f (x) . Veamos un cuadro de valores de esta

x0

función.

x0 f (x)

0,1 10

0,01 100

0,001 1000

0,0001 10.000

Veamos que cuando más nos “acercamos” al 0 por valores mayores que 0, más grandes

son sus correspondientes. Es más, podemos ver que acercándonos lo suficiente al 0 sus

correspondientes superaran cualquier número que nos propongamos por más grande que
este sea. Cuando esto ocurra diremos que la función tiende a más infinito cuando

x  0 y lo notaremos lim f (x)   .

x0

Algo similar ocurre con valores menores que 0

x  0 f (x)

- 0,1 -10

- 0,01 -100

- 0,001 - 1000

- 0,0001 - 10.000

En el caso de “acercarnos” al 0 por valores menores que 0 los correspondientes son cada

vez más “chicos” . Y en este caso por más “chico” que sea el número que nos

propongamos, los f (x) serán aún más chicos si tomamos valores de x  0 lo

suficientemente cerca de 0. Por lo que diremos que lim f (x)   .

x0

Veamos estos resultados en la gráfica de esta función

65

Ejemplo 3.1.4

Sea f (x)  x2  3 . En este caso no queremos analizar qué ocurre cuando x tiende a un

número concreto a sino que queremos ver qué ocurre a medida que x toma valores

cada vez más grandes. Es decir, queremos analizar qué ocurre con el lim f (x) .

x f (x) x

100 9997
1000 999.997
10.000 99.999.997

Con estos valores alcanza para darnos cuenta que lim f (x)   .

x

Observemos por otra parte que si consideramos los valores opuestos de x sus

correspondientes son los mismos, ya que al elevar al cuadrado nos dará positivos por lo

que también concluimos que lim f (x)   . Esto lo podemos ver en su gráfica

x

Ejemplo 3.1.5

Sea f (x)  x2  3x  2 . Queremos analizar qué ocurre con el lim f (x) . Empecemos

x1

por observar que f (1) existe y vale 4 , aunque como ya observamos en el ejemplo 1.1.2

esto no es garantía de que exista el límite. Sin embargo, si observamos su gráfica
podemos concluir que efectivamente a medida que x se “acerque” a 1 su

correspondiente f (x) se “acerca” a 4

66

Observaciones importantes a partir de estos ejemplos:

i) En algunos de estos ejemplos la función existía en el punto en cuestión, sin
embargo, en algunos de ellos el límite terminó existiendo y en otros no. Y
en otros ejemplos la función no existía, sin embargo el límite sí existió.
Debemos concluir que con el cálculo del límite pretendemos analizar qué
ocurre con la función al “acercarnos” a un valor concreto de x sin llegar a él,
y por eso el resultado es independiente de lo que ocurra con la función en el
punto de estudio.

ii) El uso de tablas como las utilizadas en algunos ejemplos, no son un método
riguroso de cálculo de límites. Tengamos en cuenta que el tema de estar
“cerca” de un punto es relativo y podría ocurrir que en valores aun más
cercanos al punto que estemos estudiando el comportamiento de la función
cambie. Estas fueron usadas con el único fin de acercarlos al concepto de
límite , pero deberemos desarrollar técnicas más rigurosas y seguras de
cálculo de límites.

iii) El uso de la gráfica de la función, sin duda que es un procedimiento más
riguroso, pero requiere conocer de antemano dicha gráfica, cosa que no
siempre ocurre. Por otra parte, el cálculo de límites entre otras aplicaciones
lo utilizaremos justamente para obtener las gráficas de funciones.

3.2 Técnicas de cálculo de límites

3.2.1 En el ejemplo 1.1.5 ocurrió algo muy particular: observe que el

lim f (x)  f (1)

x1

Es decir que el límite de la función coincidió con la función en el punto. Esto como ya
observamos, no tiene porqué ocurrir, pero saber de antemano que una función se
comporta de este modo nos facilita mucho el cálculo de un límite. Daremos como cierto
que tanto las funciones polinómicas como la exponencial , logarítmica y trigonométricas
tienen esta característica en todos los puntos de sus respectivos dominios.

Ejemplo 3.2.1

Queremos calcular el siguiente límite lim x2  2x  5 . Primero observemos que nos

x1

encontramos ante una función polinómica por lo que el resultado del límite coincide

con su valor en 1 es decir que lim x2  2x 5  12  2.1 5  2

x1

67

i. Tablas de operaciones con límites

fg f .g

fg A B A.B
A0   (regla de signos)
f   (regla de signos)
g  Indeterminado
0

A B0 A

A0 0 B
 B  (regla de signos)
0 0  (regla de signos)
 Indeterminado

Indeterminado

Si observamos la gráfica de la función exponencial podremos concluir la tabla
correspondiente.

x ex
a ea
 0
 

Lo mismo podríamos hacer con la función logaritmo

x L(x)
L(a)
a0 

0 


Ejemplo 3.2.2

Calcular lim 2x Empecemos por observar que la función es un cociente de
x3
x4

polinomios Por lo que el numerador tiende a –2 y el denominador a 7 por lo que

68

estamos en el primer caso de la tabla del cociente por lo que concluimos que

lim 2  x  2
x  3 7
x4

Ejemplo 3.2.3

Calcular lim 2  x . La función es la misma del ejemplo anterior, pero ahora el
x3 x  3

numerador tiende a 5 y el denominador a 0 por lo que estamos en el segundo caso de la

tabla del cociente por lo que el resultado según la misma es  Pero la misma tabla nos

indica que tenemos que aplicar reglas de signos. Para esto observemos que el numerador

tiende a 5 ,es decir a un número positivo, por lo que solo nos queda analizar el signo del

denominador. 0

Sig (x  3) - - - - - - + + + + +

-3

De aquí podemos observar que cuando nos acerquemos al –3 por valores menores el

signo del denominador es negativo. En cambio si lo hacemos por valores mayores que –

3 el signo es positivo, por lo que tendremos que discutir por separado las dos

situaciones.

Es decir que el lim 2x   ya que a la izquierda del –3 el denominador es negativo
x3
x3

y el numerador positivo por lo que el cociente es negativo. Con un razonamiento

análogo concluimos que lim 2x   Resultados que podemos interpretar en su
x3
x3

gráfica.

Ejemplo 3.2.4

Calcular lim L x2  3x  2 . Observemos que cuando x  2 el polinomio x2  3x  2

x2

tiende a 0 ( 0 por el valor absoluto) por lo que si miramos la tabla correspondiente al

logaritmo concluimos que lim L x2  3x  2  
x2

ii. Indeterminaciones

Como vimos en los ejemplos anteriores, las tablas de límites en muchos casos nos
indican directamente cual es el resultado del límite. Sin embargo, si revisamos estas

69

tablas, en algunos casos indican que el mismo es “indeterminado”. En estos casos
tendremos que afinar el ingenio y aprender algunas técnicas para terminar resolviendo el
límite. Veamos algunos ejemplos y técnicas para “levantar” indeterminaciones.

Ejemplo 3.2.5

Calcular lim x2  3x  2 Observemos que estamos ante un cociente de polinomios y
x2  4
x2

tanto el numerador como el denominador tienden a 0 cuando x  2 . Por lo que si

miramos la tabla del cociente es un caso indeterminado. Observemos que 2 es raíz de

los dos polinomios por lo que si escribimos su descomposición factorial podremos

simplificar y así levantar la indeterminación.

x2  3x  2  0  x  1 o x  2 de donde x2  3x  2  1. x  2. x 1

x2  4  0  x  2 o x  2 de donde x2  4  1. x  2 x  2

sustituyendo en el limite lim x2  3x  2  lim  x 1  x  2   lim  x 1  1
x2  4 x  2  x2 x2 4
x2 x2 x2

Ejemplo 3.2.6

Calcular lim x3 4 x2  2x  1 Al igual que en el caso anterior, estamos ante una
2x2  3x 1
x1

indeterminación 0 sobre 0. En este caso, en lugar de hacer la descomposición factorial

utilizaremos el esquema de Ruffini.

1 4 2 1

1 1 3 1

1 3 1 0

 De donde concluimos que x3  4x2  2x 1   x 1 x2  3x 1 .

2 3 1
1 2 1

2 1 0

De donde concluimos que 2x2  3x 1   x 12x 1

 Por lo que
lim x3  4x2  2x  1  lim  x 1. x2  3x 1  lim x2  3x 1  1
2x2  3x 1  x 1.2x 1 2x 1
x1 x1 x1

70

3.2.4 Equivalentes
Definición – Diremos que dos funciones f (x) y g(x) son equivalentes en x  a 

lim f (x)  1 . Y lo notaremos f (x) : g(x)
g(x) xa
xa

En particular a puede ser  o  es decir que por ejemplo diremos que

f (x) : g(x)  lim f (x) 1.
x g(x)
x

Ejemplo 3.2.7

Sea f (x)  2x2  3x  4 y g(x)  2x2 . Queremos probar que estas dos funciones son

equivalentes en  . Para esto debemos calcular lim f (x) y nos tiene que dar 1
g(x)
x

lim 2x2  3x  4  lim 2x2  3x  4  lim 1  3 + 2 =1
2x2 2x2 2x2 2x2 x 2x x2
x x

00
Se puede probar siguiendo el procedimiento de este ejemplo que cualquier polinomio va
a ser equivalente a su término de mayor grado cuando x   es decir que

an xn  an 1 x n 1  ....  a1x  a0 : an xn

x

Veamos ahora un teorema que nos indicará para que puede ser útil hallar un
equivalente de una función.

Teorema

Sean f (x) : g(x)  lim f (x).h(x)  lim g(x).h(x)
xa xa xa

Esto quiere decir que si nos encontramos ante el límite de un producto y nos resulta
conveniente cambiar uno de los factores por un equivalente, lo podemos hacer y esto no
altera el resultado . Lo mismo ocurre si en lugar de un producto tenemos un cociente.

Ejemplo 3.2.8

Queremos calcular el siguiente límite lim 2x2  3x  3 . Si analizamos a qué tiende el
x x  2

numerador y el denominador veremos que nos encontramos ante una indeterminación

de tipo  sobre  . Para levantar dicha indeterminación observemos que se trata de

polinomios y nuestra variable tiende a  por lo que cada uno de ellos es equivalente a

su término de mayor grado, por lo que si aplicamos el teorema nos queda:

lim 2x2  3x  3  lim 2x2  lim 2x   .
x x  2 x x
x

71

Ejemplo 3.2.9

Calcular lim x2  9 . Al igual que en el ejemplo anterior es una indeterminación de
x3  x
x

tipo  sobre  . En este caso la variable tiende a  , de todas formas que un

polinomio es equivalente a su término de mayor grado es válido tanto para  como

para  . Por lo que :

lim x2  9  lim x2  lim 1 0.
x3  x x3 x x
x x

Veamos otros equivalentes que pueden resultarnos útiles para el cálculo de límites.

eu 1 : u L  z :  z 1
u0 z 1

sen (u) : u 1 - cos ( u ) : u2
u®0 2
u®0

Ejemplo 3.2.10

 Calcular lim 2x  3 e1x 1 . Lo primero es observar que estamos ante una
x

indeterminación de tipo  por 0. Por otro lado veamos que lim 1 0 por lo que el
x x

segundo factor de nuestro límite está en caso planteado en el primer equivalente. A su

vez, el primer factor es un polinomio, de donde aplicando el teorema nos queda:

 lim 2x  3. 1
x
x
e1x 1  lim 2x.  2 .

x

Ejemplo 3.2.11

 Calcular
L x2  x 1 . En este caso estamos ante una indeterminación de tipo 0
lim
x0 3x

sobre 0. Podemos observar que lim x2  x 11 por lo que el numerador es una función

x0

del tipo del segundo equivalente de donde, aplicando el teorema, nos queda:

   L

lim

x0
x2  x 1  lim x2  x 1  1  lim x2  x  lim x. x 1  lim x 1   1
3x x0 3x 3x x0 x0 3 3
x0 3x

72

3.2.5 Órdenes de infinitos.
Si comparamos las graficas de x2 y de x podemos observar que cuando x ® +¥ si

bien ambas funciones tienden a +¥ la “velocidad” de crecimiento es distinta ( x2 es
más “rápida” que x ). Cuando tenemos indeterminaciones que involucran funciones que
tienden a +¥ el saber cual es más “rápida” puede resultar útil para resolver dicho limite.
Empecemos por darle un marco formal a la idea de diferencia de “velocidad” de dos
funciones que tienden a +¥ .

Definición- Dadas dos funciones f y g tales que lim f ( x) = lim g ( x) =+ ¥
x®+¥ x®+¥

Tenemos tres situaciones posibles:

1) Si lim f ( x) = +¥ diremos que ord ( f ) > ord ( g )
g ( x)
x®+¥

2) Si lim f (x) = 0 diremos que ord ( f ) < ord ( g )
g (x)
x®+¥

3) Si lim f ( x) = L ¹0 diremos que ord ( f ) = ord ( g )
g ( x)
x®+¥

De comparar las gráficas podemos llegar a la siguiente tabla de órdenes:

( ) ( )ord L xa < ord xb < ord eg x con a , b y g Î R+

x ® +¥

Ejemplo 3.2.12

( )Calcular
lim L x2 .Primero observemos que se trata de un cociente de dos

x®+¥ x3

funciones que tienden a +¥ por lo que es indeterminado. Pero el cuadro nos dice que

el denominador es de mayor orden que el numerador por lo que estamos en el caso 2) de

( )nuestra definición lo que nos permite concluir que
lim L x2 =0

x®+¥ x3

Ejemplo 3.2.13

Calcular lim xLx . Si bien podemos observar que esta situación también es

x®0+

indeterminada hay diferencias importantes respecto al caso anterior. Primero que no se

trata de un cociente de infinitos cosa que es fácil de arreglar planteando el mismo límite

de la siguiente forma lim Lx . Pero la otra diferencia es que nuestra variable x ® 0+
1
x®0+

x

y no a +¥ , como tiene que ocurrir para poder usar nuestra tabla de ordenes. Para

resolver está segunda diferencia debemos hacer un cambio de variable. Si tomamos

z = 1 podemos observar que si x ® 0+ entonces z ® +¥ . De donde llegamos a que
x

73

Lx L æ 1 ö -Lz
1 çè z ø÷ z
lim = lim = lim y ahora si podemos utilizar la tabla y la definición de
z
x®0+ z®+¥ z®+¥

x

órdenes para concluir que el limite da 0.

Teorema

Sean f y g tales que lim f ( x) = lim g ( x) =+ ¥ y ord ( f ) > ord ( g ) Þ( f ± g) : f
x®+¥ x®+¥ x®+¥

Para demostrar que dos funciones son equivalentes tenemos que probar que el límite de

su cociente es 1 .

lim f (x)± g(x) = lim f ( x) ± g (x) = lim 1± g (x) =1 Observe que para la última
f (x) f ( x) f (x) f (x)
x®+¥ x®+¥ x®+¥

igualdad simplemente usamos que como ord ( f ) > ord ( g ) Þ lim f (x) = 0
g (x)
x®+¥

Ejemplo 3.2.14

lim 3x
x®+¥ x + L x2
( )Calcular . Primero observemos que se trata de un cociente de dos

funciones que tienden a +¥ por lo que es indeterminado. Luego podemos ver que el

denominador está en las hipótesis de nuestro teorema por lo que concluimos que

3x 3x
x + L x2 x
( ) ( )x + L x2 lim lim 3
:x y esto nos permite calcular el limite = =
x®+¥ x®+¥
x®+¥

Lista de ejercicios 7

1 – Calcular, si existen, los siguientes límites e interpretar gráficamente:

a) lim x2  3 b) lim f (x) siendo f ( x)  x2 9 si x  3
x2 x 1 x  3 si x  3
x3

1 x
 x2 
c) lim g(x) siendo g(x)   x 1 si x 1 d) lim 9
si x 1
x1 x2 1 x3

e) lim x 1 f ) lim x2  3x  2 g) lim x2 x 2 2
x2  4 x1 x  2  3x 
x2 x1

74

2 - Calcular, si existen, los siguientes límites e interpretar gráficamente:

1) lim 81  x2 2) lim 12x  8 3) lim  x2  5x  2
x.9 9  x x.  4 x x. x2

4) lim x 2 1 5) lim x  1  1 6) lim x 1 3  6 9
x.0 x  x2 
x.1 x  12 x.3

3 - Resolver los siguientes límites:

1) lim L1  x 2) lim x.L x  1  3) lim x.Lx  2  x.Lx  1
x 
x0 x x  x

4) lim ex  1 5) xlim e 2  1.x
x0 2x x

4 Resolver los siguientes límites:

1) lim 1 2) lim 1 3) lim sen ( x)
( )x x
x®p - sen( x) p + cos x®0 x
2
®

4) lim x2 .sen æ 1 ö 5) lim x2 çèæ1 - cos æ 1 ö ö
çè x ÷ø çè x ø÷ ÷ø
x®+¥ x®+¥

5 - Resolver los siguientes límites:

2x2 - 3x x2 ( )3)
1) lim x2 - Lx 2) lim ex lim e-x.L x2

x®+¥ x®+¥ x®+¥

( )4) lim x2.L x3 5) lim x2
x®0 e-x
x®-¥

75

Capítulo 4 Continuidad

En el ejemplo 3.1.5 del capítulo anterior nos encontramos con una función que tenía la

particularidad de cumplir que lim f (x)  f (1) . Es decir que el límite de la función

x1

cuando x  1 coincide con la función en 1. Cuando esto ocurra diremos que la función

es continua en x  1 .

Definición 4.1

Diremos que una función f es continua en un punto a si y solo si lim f (x)  f (a)

xa

Veamos que esto implica 3 cosas:

i) Debe existir la función el punto f (a)

ii) Debe existir el límite lim f (x)

xa

iii) Por último, deben coincidir lim f (x)  f (a)

xa

Ya vimos en el capítulo anterior que saber de antemano si estamos ante una función
continua nos facilita mucho el cálculo del límite, ya que el resultado del mismo
coincide con el valor de la función en el punto.

Algunos resultados importantes:

i) Las funciones polinómicas, la función exponencial, la función logarítmica y las

funciones trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

(este resultado ya lo utilizamos en el capítulo anterior)
ii) Sean f y g dos funciones continuas en un punto a entonces f  g es
continua en a
iii) Sean f y g dos funciones continuas en un punto a entonces f .g es continua

en a
iv) Sean f y g dos funciones continuas en un punto a con g(a)  0 entonces

f es continua en a
g

v) Sea g continua en a y f continua en g(a) entonces f ° g es continua en a

Ejemplo 4.1

Sea la función f (x)  x2  x . Observemos que se trata de un cociente de polinomios y
x 1

el denominador no se hace 0 en x  2 por lo que podemos aplicar el resultado iv) y

concluir que estamos ante una función continua en x  2 por lo que

lim x2  x  22  2  2 . Es importante observar que otra sería la historia si x 1 ya
x  1 2 1
x2

que el denominador valdría 0 y no podríamos utilizar el resultado iv) . Por otra parte

x  1 no pertenece al dominio de esta función por lo que es claro que no es continua en

1.

76

Ejemplo 4.2

 Sea ahora f (x)  L x2  2x 1 . Esta función la podemos mirar como compuesta de

f (x)  Lx con g(x)  x2  2x 1 ambas funciones continuas en sus dominios por lo

que a partir del resultado v) podemos concluir que la compuesta es continua en su

   dominio. Por lo que
lim L x2  2x 1 L 02  2.0 1  L1  0 . En este caso

x0

podemos observar si x  1 deberíamos resolver el límite de otra forma, ya que g(1)  0

y f (x)  Lx no está definida en 0 por lo que no es continua en 0.

Ejemplo 4.3

Sea ahora 1 . Esta función la podemos mirar como compuesta de f (x)  ex

f (x)  ex

con g(x)  1 por lo que utilizando varios de los resultado anteriores podemos concluir
x

11

que es continua –1 por lo que lim e x  e1  e1 Al igual que en los ejemplos
x1

anteriores veamos que g no es continua en 0 por lo que esta técnica para calcular

límites no serviría .

Como se ve a partir de estos ejemplos, los resultados vistos sobre la continuidad nos
permitirán resolver varias situaciones. Sin embargo, nos encontraremos con otras en las
que tendremos que utilizar la definición para responder a la pregunta de si una función
es o no continua en un punto.

Ejemplo 2.4

x2  x si x 1
 si ¿Es f continua en x  1 ?
Sea f (x)   2
x 1
 x

i) Veamos que existe la función en el punto f (1)  12 1  2

ii) Para calcular el límite tendremos que discutir por derecha e izquierda

lim f (x)  lim x2  x  2 y lim f (x)  lim 2  2
x1 x1 x
x1 x1

de donde concluimos que lim f (x)  2

x1

iii) Como lim f (x)  2  f (1) concluimos que f es continua en x  1

x1

Ejemplo 2.5

L x2 1 si x0
 si x0
Sea f (x)   2x ¿Es f continua en x  0 ?

1

i) La función existe en el punto f (0)  1

ii) Existe el límite lim f (x)  lim L x2 1  lim x2  lim x 0
x0 2x x0 2x x0 2
x0

77

iii) Sin embargo no dieron iguales es decir lim f (x)  0  1  f (0) por lo que

x0

debemos responder que f no es continua en 0

Lista de ejercicios 8

1 – Analizar si las siguientes funciones son continuas en los puntos que se indican:

a) f (x)  x3 en x  2
x2

b) f (x)  L  x 2  en x3
 x 1 

x2  2 si x  0

c) f (x)   e2 x 1 en x  0

 x si x  0

x 3 si x  2

d) f (x)   L x2 3 en x  2

 x  2 si x  2

x2  x  2 si x0 en x  0
e) f (x)  3 si x0
si x0
3x 1

ì sen (3x) si x<0
ï
f) f ( x) = í x Hallar b sabiendo que f es continua en x  0

îï2x + b si x ³ 0

78

Problemas propuestos en revisiones y exámenes

1- a) Calcular los siguientes límites:

i) lim 3x2 4 x  4 ii) lim 3x2  4x  4 iii) lim 2x2  x  2
2x 2 x  6 2x2  2x  4 x 4x  6
x2 x1

 x.ex  x si x  0
 si x  0
b) Sea f (x)   2x2

 x  1
2

Analizar si f es continua en 0

( )2- a) ( x + 5) L x2 +x - 1
Calcular lim + 7x -8
x2
x®1

b) Calcular lim e-x+1 -1
x®1 x -1

ì e-x+1 -1 si x £ 1
ïï si x > 1
Dada f (x) í x -1
ï
x + 5)
( )c) =
( L x2 + x -1

îï x2 + 7x - 8

Analizar si f es continua en x = 1

3- Sea la función f (x) = ïìL (1- x) si x <1
x ³1
íîïe 4 x - x2 si

i) Estudiar continuidad de f en 1

ii) Hallar lim f ( x) y lim f ( x)

x®+¥ x®-¥

4- a) Calcular lim x2 + x - 2
-x2 - 2x
x®-2

b) Calcular lim L x2 + 2x +1
x®-2 x+2

ïìíïï-x-22x+2 x-2 si x < -2
- 2x si x = -2

c) Sea f ( x) = Analizar si f es continua en -2

ï L x2 + 2x +1 si x > -2
ï
îï x + 2

79

5- a) Calcular lim 2 .L x + 2
x®0 x 2 - x

b) Calcular lim 4x2 -11x - 3
2x2 - 5x - 3
x®3

ì x+3 + x+ 1 si x£0
ïï x-2 2
c)Sea f ( x ) = í Analizar si f es continua en 0
2 .L x + 2
ï x 2-x si x>0
ïî

ì 4x2 -11x - 3 si x > 3 Analizar si f es continua en 3
ï x£3
d) Sea g ( x) = í 2x2 - 5x - 3

îïx +1 si

6- i) Calcular los siguientes límites:

a) lim 3x2 - 4x - 4 1 1
x®2 2x - 4
b) lim e x-2 c) lim e x-2
x®2- x®2+

ì e 1 + x + 2 si x<2
ï x-2

ï x -1
ii) Dada la función f ( x) = ïí4
si x = 2

ï 3x 2 - 4 x - 4
ï
ï 2x - 4 si x>2

î

Analizar si es continua en x = 2 .

80

Respuestas de algunos ejercicios de los prácticos

Lista de ejercicios 1

Ej 2 0
a) sg f1 - - - - - - + + + + + +
-2
0
b) sg f2 + + + + + + + - - - - - - - - -
1/3
00
c) sg f3 - - - + + + + + - - - - -
3/2 5

00 0

d) sg f4 + + + - - - - + + + + - - - -

01 3

Ej 3 a) y = 2x b) y  x 1 c) y  2x  5 d) y  3x  4

Ej 4 a) (1,5) b) (2,-1) c) (1,4)

Ej 5 y  3x  4

Ej 6 a) C(x)  22.000  8x I (x)  25x U (x)  17x  22.000

b) U (10.000)  148.000 c) 1294

Ej 7 a) U (x)  10x  5.000 b) 500 c) 45.000 y 5.000

Ej 8 para más de 800 unidades da ganancia y para menos de 800 da pérdida

Ej 9 a) 373 b) Es ventajosa si vende más de 466 unidades

Lista de ejercicios 2

Ej 1 0

Sg f1 + + + + + + + + +
1

00

sg f2 --- +++ ----

13

00

sg f3 + + + + + ---- ++++

3 3

00

sg f4 - - - - + + + + - - - - - -
-2 2

00

sg f5 + + + + + - - - - - - + + + + +

81

sg f6 -3 0
00

---- +++ + + ---- - - -

-6 -1

Ej 2 00 0
Sg f1
---- +++ - -- - ++++
sg f2
01 6
sg f3 00 0

sg f4 -- - ++ + - - - - + + + +

-3 -2 2
0

++++ ++ ---- - - --

2 0
00

-- --- +++ +++ --- - -

-5 -1 1

Ej 3 a) y  x2  2x  3

b) y  x2  3x 1

c) y  x2  4x  3

Ej 4 a) los puntos (1,1) y (2,4)
b) los puntos (-1,1) y (2,7)

Ej 5 a) I ( p)  300 p  3 p2 b) p  50 y I (50)  7.500

Ej 8 i) O( p)  p2 100 p  10 ii) 300

iii) 30 iv) 25 v) p  25

Ej 9 a) p(t)  12.000  200t b) I (t)  12.000t  200t2

c) 6000 , 30 , 180.000

Ej 10 a) I (t)  60  0, 6t .80  t  b) el 11 de diciembre

Lista de ejercicios 3

Ej 1 b) f (1)  5 f (1)  3 f (2)  4

Ej 2 b) -1 y 3/2
Ej 3 a  3 y b  4
Ej 4 a  1 y b  3
Ej 5 a) i) 200 ii) 180 iii) 170

200x si x  6
b) f (x)  180x si 6  x  15

170x si x  15

Lista de ejercicios 4 b) x  R , x  1 x  R , x  5

Ej 1 a) x  R , x  5 / 2

82

c) x  R , 2  x  1 x  R , x  2 d) x  R , x  3

e) x  R , x  2 x  R , x  6 f) x  R , 2  x  1 x  R , x  3

g) x  R ,0  x  1 h) x  R , 1  x  1

Ej 2 a) 5 y –1 b) 1 y 2 c) x   4
e) 1  x  4 3

d) 2y  4 f) x  R , x  3 x  R , x  1
3

g)  x  R , 2  x  1  h) x  R , x  1 x  R , x  1

Ej 3 a) R  1,  2 b) R 3 c) R 3,0
 
3 

Ej 4 a) ,3 b) , 22,  c) ,1  2, 

d) 3, 1  1,1  1,  e) , 2  2, 2 / 3

Lista de ejercicios 5

Ej 1 a) biyectiva b) no es inyectiva ni sobreyectiva c) biyectiva

d) inyectiva pero no sobreyectiva e) sobreyectiva pero no inyectiva

Ej 2 b) f :[1, +¥) ® (-¥,1] d) f : R ® (-¥, 2]È (4, +¥)
e) f : (-¥, -2] È (0, +¥) ® R

Ej 3 a) f -1 : R ® R f -1 ( y ) = - 1 y + 2
c) f -1 : R ® R 3

Ej 4 a) es biyectiva f -1 ( y ) = ïì- y si y³0
í si y<0
ïî- y

ì2 - y +1 si y ³ 3
ï si < 3
b) f -1 : R ® R f -1 ( y) = í-y + 3

ïî 2 y

Ej 7 a) f1-1 : R ® R f1-1 ( y) = ïì-L ( y) si y >1
si y £1
íïî1- y

b) f -1 : R ® R f -1 ( y ) = ïì- 1- y si y <1
2 2 íîïe y -1 -1 si y ³1

ì1 - e y si y>0
íî- y si y³0
c) f3-1 : R ® R f3-1 ( y ) =

83

Lista de ejercicios 6

Ej 3 -1 , 0 , 1 ,- 1 ,- 1 , 1
2 2 2 2

Ej 4 0, p ,0, p ,0, p
2 2 4

Ej 5 a) f es inyectiva pero no sobreyectiva b) no es invertible f : R ® æ -¥, p ö
çè 2 ø÷

p ì- - y si y < 0
æ 2 ö ï
c) f -1 çè -¥, ø÷ ® R f -1 ( y ) = íîïtg p
2
( y ) si 0 £ y <

Lista de ejercicios 7

Ej 2 1) 18 2) -3 3) -¥ 4) ∓¥ 5) -1 6) 1
6

Ej 3 1) 1 2) 1 3) -3 4) 1 5) 2
2

Ej 4 1) -¥ 2) -¥ 3) 1 4) +¥ 5) 1
2

Ej 5 1) 2 2) 0 3) 0 4) 0 5) 0

Lista de ejercicios 8

Ej 1 a) si b) si c) si d) no e) no f) b=3

Respuestas de algunos ejercicios de revisión y examen

Cap 1-2 Funciones Lineales

Ej 1 a) CA ( x) = 3x CB ( x) = 200 + 2x c) op A d) op B e) 200 km
Ej 2 a) C1 ( x) = 100 + 20x C2 ( x) = 40x b) C1 (3) = 160 C2 (3) = 120

c) menos de 4 invitados op 2 más de 4 invitados op 1 d) 8 invitados

Ej 3 i) CA ( x) = 500 + 2x CB ( x) = 1200 + x

iii) si x < 700 conviene A si x = 700 da lo mismo y si x > 700 opción B

Ej 4 i) C1 ( x) = 3500 + 0,5x C2 ( x) = 2800 + x ii) 1400 km iii) opción 2
Ej 5 a) C ( x) = 6000 + 3x I ( x) = 9x U ( x) = 6x - 6000

b) 1000 unidades c) C2 ( x) = 4000 + 3,5x I ( x) = 9x U2 ( x) = 5,5x - 4000

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d) x < 4000 conviene mano de obra a destajo y si x > 4000 conviene con maquina

Cap 1-3 Funciones Cuadráticas

Ej 1 a) f ( p) = 4 p2 -19600 b) p ³ 70 c) PE = (80, 6000)
Ej 2 i) d ( p) = - p2 -10 p + 200 ii) pE = 5000 dólares y CE = 125000
Ej 3 i) O ( p) = p2 + 3 p -10 ii) pE = 10 CE = 120 iv) 84 unidades v) p = 7
Ej 4 i) O ( x) = x2 - x - 6 ii) a = 4

Ej 5 a) O ( x) = x2 - 4 b) O (6) = 32 c) d ( x) = -x +16

Ej 6 a) d ( p) = p2 - 50 p + 625 b) a = 2 , q ( p) = 2 p + 70

Ej 7 i) O ( p) = 1 p2 - 3 p +1 ii) d ( p ) = - 1 p + 5 iii) PE = (3,1)
2 2 2 2

Ej 8 i) O ( p) = p2 - 9 p -10 d ( p) = p2 - 61p + 930 iii) (18,08,154)

Ej 9 a) (25, 450) b) t = 255

Ej 10 a) g ( x) = -x2 + 4x - 3 b) (g ° g)(0) = -24 (g ° g)(1) = -3
c) Dom( f ) = {x Î R,1 < x £ 3}

Ej 11 a) d ( x) = x2 -100x + 2500 b) (30, 400) c) 700 unidades p @ 28

Ej 12 a) p ( x) = -2x2 + 6x - 5 b) - 1 £ x £ 3 c) Dom ( f ) = éêë- 1 , 0 ö È (0, 3]
2 2 ø÷

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Bibliografía
1 – FRANK S. BUDNICK Matemáticas aplicadas para administración, economía y
ciencias sociales.
2 – ERNEST HAEUSSLER Matemáticas para administración, economía, ciencias
sociales y de la vida.
3 – ARYA . LARDNER Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía .

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