คณิต

แบบฝกึ ประกอบการเรียน

เร่ือง เรขาคณิตวเิ คราะห์

ช่อื ..............................นามสกุล........................ห้อง........เลขที่.......

จดั ทา เรยี บ เรยี ง อ. พทิ กั ษ์ รักษาชาติ ( ใช้สอน ปี 62 ) V3



1

ตอนท่ี 1 ความรู้เบือ้ งต้นเกยี่ วกบั เรขาคณติ วเิ คราะห์

1.1 ระยะห่างระหว่างจุด 2 จุดใดๆ (x2 , y2)
•
d = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 (x1 , y1) d
•

1. จงหาระยะห่างระหวา่ งจุด 2 จุดต่อไปน้ี 2. P1 (3 , 7) , P2 (6 , 7)
1. P1 (2 , 4 ) , P2 (2 , –5)

12 12
3. P1 (4 , –1) , P2 (7 , –3) 4. P1 (4 , 5) , P2 (1 , 1)

2

2. ถา้ ระยะห่างระหวา่ งจุด (2 , 3) และ ( k , 0 ) เป็น 5 หน่วย จงหาค่า k
วธิ ีทาํ

3. จุด (–4 , 3) อยหู่ ่างจากแกน y เป็นระยะก่ีหน่วย
วธิ ีทาํ

3

1.2 จุดกง่ึ กลางระหว่างจุด 2 จุดใด ๆ •(x2 , y2)

(x1 , y1) • (x , y) = (x1+2x2 , y1+2 y2 )
•

ุกก ร ุ ค นี
1) (3, 6) กั (5, 12)
2) (4, 7) กั (−8, 1)

7. จุด M เป็นจุดก่ึงกลางของส่วนของเสน้ ตรง PQ จงหาพิกดั ของจุด P ถา้
(1) M มีพิกดั เป็น (1 , 2) และ Q มีพกิ ดั เป็น (3 , 4)
(2) M มีพิกดั เป็น (5 , 6) และ Q มีพกิ ดั เป็น (15 ,–4)

วธิ ีทาํ

4

1.3 การหาความชันเส้นตรง
เราสามารถหาความชนั ของเส

เราสามารถหาความชนั ของเสน้ ตรงใด ๆ ไดจ้ าก
yx22 xy11
m = −
−

เมื่อ m คือ ความชนั เสน้ ตรง

หรือ m = tanθ

เม่ือ θ คือ มุมที่เสน้ ตรงเอียงกระทาํ กบั แกน + x ในทิศทวนเขม็ นาฬิกา

ข้อควรทราบ ก น θ เ นมมุ ี ั ก x น ุ เี น ร L น นเ มน ก
ม ร ค มชนั ( m ) เ น ร L กี คี m = tan θ

รปู แบบของเสน้ ตรงกบั ความชนั มี 4 รปู แบบ

1. ค มชนั มีค เ น ก 2. ค มชันมคี เ น

เ น ร เ ยี เ น ร เ ยี ย
3. ค มชันมีค เ น นย 4. ค มชนั ค ม ( มนย ม)

เ น ร น น กน x เ น ร ั กกั กน x

5

14. จงหาความชนั ของเสน้ ตรงที่ผา่ นจุดต่อไปน้ี 2. (3 , 4) , (6 , –5)
1. (0 , 0) , (2 , 6)

3. (3 , 5) , (4 , 5) 4. (4 , 6) , (4 , 7)

16. ให้ P1 (5 , 1) และ P2 (8 , k) เสน้ ตรงท่ีผา่ นจุดท้งั สองมีความชนั 43 จงหาค่า k
วธิ ีทาํ

6

1.4 + 1.5 เส้นขนาน และ เส้นต้ังฉาก

1) เสน้ ตรงท่ีขนานกนั จะมีความชนั เท่ากนั เสมอ

2) หากเสน้ ตรง 2 เสน้ ต้งั ฉากกนั เมื่อนาํ ความชนั ของเสน้ ตรงท้งั สองมาคูณกนั จะได้

ผลคูณเป็น –1 เสมอ QP–58)((–( Q18P15))) = –1
= –1
(– = –1

1. ค มชนั เ น ร ี น ุ 2 ุ นี
1.1) (1, 3) กั (5, 7) 1.2) (3, 4) กั (−5, 12)

1.3) (4, 3) กั (10, 3) 1.4) (−1, 9) กั (−1, 3)

2. ค x ี เ น ร ี น ุ P( 6, -3 ) Q( 9, x ) มคี มชนั เ กั − 2
3

7

17. เสน้ ตรงท่ีต้งั ฉากกบั เสน้ ตรงท่ีมีความชนั ต่อไปน้ี จะมีความชนั เท่าใด
1. 4 2. 43 3. 65 4. 14 5. mk

18. เสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด (K ,7) และ (–3 , –2) ขนานกบั เสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (3 , 2) และ (1 , –4)
จงหาคา่ K

วธิ ีทาํ

19. เสน้ ตรงผา่ นจุด (K ,7) และ (–3 , –2) ต้งั ฉากกบั เสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด (3 , 2) และ (1 , –4)
จงหาค่า K

วธิ ีทาํ

8

1.6 สมการเส้นตรง
สมการเสน้ ตรง คือ สมการที่เมื่อนาํ ไปเขยี นกราฟ แลว้ จะไดก้ ราฟเป็นรูปเสน้ ตรง

สมการเส้นตรง แบบท่ี 1
x=a

เมื่อ a คือ จาํ นวนจริงใด ๆ
สมบตั ิ 1) ตดั แกน x ณ. จุดที่ x เป็น a

2) เสน้ ตรงน้ีจะขนานแกน y

y=b
เม่ือ b คือ จาํ นวนจริงใด ๆ
สมบัติ 1) ตดั แกน y ณ. จุดท่ี y เป็น b

2) เสน้ ตรงน้ีจะขนานแกน x

22. จงเขียนกราฟของความสมั พนั ธ์ต่อไปน้ี

1. x = 8 2. x = –5 3. y = –5

วธิ ีทาํ

23. จงเขียนความสมั พนั ธซ์ ่ึงมีกราฟเป็นเสน้ ตรงตามคุณสมบตั ิที่กาํ หนดใหต้ ่อไปน้ี
1. ขนานกบั แกน y และอยทู่ างซา้ ยแกน y เป็นระยะ 2 หน่วย
2. ขนานกบั แกน y และอยหู่ ่างจากจุด (–2 , 0) เป็นระยะ 5 หน่วย

วธิ ีทาํ

9

สมการเส้นตรง แบบที่ 2 9
y – y1 = m (x – x1)
(x1 , y1) คือ จุดท่ีเสน้ ตรงน้นั ผา่ น
เมื่อ m คือ ความชนั เสน้ ตรง

26. จงหาความชนั และจุดผา่ นอยา่ งนอ้ ย 1 จุด ของเสน้ ตรงต่อไปน้ี

1. (y – 6) = 4 (x –8) 2. (y + 7) = 4 x 3. 4 (y + 5) = 8 (x + 9)

27. จงหาความสมั พนั ธท์ ี่มีกราฟเป็นเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (3 , 1) และมีความชนั 12
วธิ ีทาํ

28. จงหาความสมั พนั ธ์ที่มีกราฟเป็นเสน้ ตรงที่ผา่ นจุด (–1 , 2) และ (3 , 4)
วธิ ีทาํ

10

สมการเส้นตรง แบบท่ี 3
y = mx+C

เมื่อ m คือ ความชนั เสน้ ตรง ; C คือ ระยะตดั แกน y

ตวั อย่าง จงหาความชนั ระยะตดั แกน y

และจุดตดั แกน y ของเสน้ ตรงที่มีสมการเป็น 2 y = 6 x – 16

วธิ ีทาํ จาก 2 y = 6 x – 16
22y = 62x – 126
y = 3x – 8

เทียบกบั y = m x + C
จะไดว้ า่ m = 3 , C = –8

ดงั น้นั ความชนั เสน้ ตรงคือ 3
ระยะตดั แกน y คือ – 8 และจุดตดั แกน y คือ จุด ( 0 , –8 )

32. จากสมการเสน้ ตรงต่อไปน้ี เสน้ ตรงมีความชนั เท่าไร พร้อมท้งั บอกจุดตดั แกน y ดว้ ย
2. y = 23 x – 4
1. y = 4 x + 6 3. 4 y = 8 x – 4

11

35. จงบอกความชนั ของเสน้ ตรงต่อไปน้ีพร้อมท้งั บอกจุดตดั แกน x และ y
1. 2x – 3y = 6

2. x – 4y = 8

3. x = 4
4. 2y + 4 = 0

12

33. จงแสดงวา่ เสน้ ตรง 3y = 2x – 6 ขนานกบั เสน้ ตรง y = 23 x + 1
วธิ ีทาํ

34. จงแสดงวา่ เสน้ ตรง 2x + y = 8 ต้งั ฉากกบั เสน้ ตรง y = 12 x – 5
วธิ ีทาํ

13

สมการเส้นตรง แบบท่ี 4

Ax + By + C = 0

เม่ือ ความชนั (m) =C–=AB–12
A =3 B=4

ตัวอย่าง 3x + 4y – 12 = 0
ความชนั (m) = – AB = – 43

36. จงหาสมการเสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด (7 , 5 ) และขนานกบั เสน้ ตรง x + 2y + 12 = 0
วธิ ีทาํ

14

37. จงหาสมการของเสน้ ตรงท่ีผา่ นจุด (3 , 2) และต้งั ฉากกบั เสน้ ตรง x + 2 y + 12 = 0
วธิ ีทาํ

38. จงหาจุดตดั ของเสน้ ตรง x + y – 2 = 0 และ 2x – 3y + 1 = 0
วธิ ีทาํ

1.7 ระยะห่างระหว่างจุดถงึ เส้นตรง (x1,•y1) 15
สูตรการหาระยะระหว่างจุดถงึ เส้นตรง (d) d
Ax + By + C = 0
Ax1+By1+C
d = A2+B2

40. จงหาระยะระหวา่ งเสน้ ตรง 6x – 8y + 4 = 0 กบั จุด ( 2 ,–3 )
วธิ ีทาํ

41. จงหาสมการเสน้ ตรงที่ขนานกบั เสน้ ตรง 3x – 4y + 7 = 0 และอยหู่ ่างจากจุด (5 ,–2) เป็น
ระยะ 4 หน่วย

วธิ ีทาํ

16

42. จงหาสมการของเสน้ ตรงท่ีขนานกบั เสน้ ตรง 4x – 3y + 26 = 0 และอยหู่ ่างจากจุด
(8 , 8) เป็นระยะ 2 หน่วย

วธิ ีทาํ

43. จงหาสมการของเสน้ ตรงท่ีต้งั ฉากกบั เสน้ ตรง 12 y = 5 x – 7 และอยหู่ ่างจากจุด ( –1 , 2 )
เป็นระยะทาง 3 หน่วย

วธิ ีทาํ

17

สูตรการหาระยะระหว่างเส้นคู่ขนาน ( d )

d= C1− C2
A2 + B2

44. จงหาระยะระหวา่ งเสน้ คู่ขนานต่อไปน้ี 3x + 4y – 7 = 0 , 3x + 4y + 3 = 0
วธิ ีทาํ

45. จงหาระยะระหวา่ งเสน้ คูข่ นานต่อไปน้ี 3x– 4y –7 = 0 , 6x – 8y + 16 = 0
วธิ ีทาํ

18

(Circle)

นิยาม วงกลมคือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบท่ีอยหู่ ่างจากจุดคงท่ีจุดหน่ึง เป็ นระยะทางเท่ากนั
จุดคงท่ีคือจุดศนู ยก์ ลางของวงกลม ใชเ้ ป็นพกิ ดั ( h ,k)
ระยะทางคงท่ีคือรัศมีของวงกลมใชเ้ ป็น r

y6

4

4y

2

2

10 5 5 x 10
10
05 5x 2 (h,k)

15

o

24

46

6 8

สมการของวงกลมเมื่อ จุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ี่จุด (0 , 0) สมการของว1ง0กลมเม่ือ จุดศูนยก์ ลางอยทู่ ี่จุด (h , k)
C(h, k) 8

CP = () ( )
12

10

x2 + y2 = r2 (0, 0) r
(x - h)2 + (y - k)2 = r2 (h, k)
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 -D2, -E2 r

D2 + E2 - 4F
2

1. D2 + E2 - 4F = 0
2. D2 + E2 - 4F 0
3. D2 + E2 - 4F 0

1.
2.

2 + 2 = 9 19

( − 1)2 + ( − 2)2 = 32

3. จงหำรศั มีและจุดศนู ยก์ ลำงของสมกำรวงกลม
3.1 (x 2)2 ( y 3)2 4

3.2 (x 2)2 ( y 3)2 10

3.3 x2 ( y 1)2 16

3.4 (x 1)2 y2 20

20

ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ศนู ย์กลางและรัศมีของวงกลม 2 2 + 2 2 + 4 − 8 + 8 = 0

จงหำรัศมแี ละจุดศนู ยก์ ลำงของสมกำรวงกลม

x2 y2 6x 4y 3 0

x2 y2 10x 24y 69 0

21

จงหารัศมีของวงกลม และจุดศนู ยก์ ลางของวงกลมเมื่อวงกลมมีสมการเป็น
1

2

22

1. จงหาสมการวงกลมท่ีมีจุดศูนยก์ ลางอยทู่ ่ี จุด ( 0,0) มีรัศมีเทา่ กบั 3
.....................................................................................................................

2. จงหาสมการวงกลมท่ีมีจุดศนู ยก์ ลางอยทู่ ่ีจุด ( 4 , -2) รัศมีเทา่ กบั 5
..................................................................................................................

จงหาสมการวงกลม ท่ีมจี ดุ ศนู ย์กลาง (1, −1) และมีรัศมยี าว 3

23

51. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนยก์ ลางท่ีจุด (5 , –1) และเสน้ รอบวงยาว 14π หน่วย
วธิ ีทาํ

4. จงหาสมการวงกลมที่มีจุดปลายของเส้นผา่ นศูนยก์ ลางอยทู่ ี่
4.1 ( -1 , 2 ) และ ( 4 , 5 )

24

(Ellipse)

2

m1 Bp(x, y) m1

V V
F F

m2 m2
B

F, F Focus
V, V Focus
B, B
m1m2, m1m2 Focus

y (0, 0)
B y
V
V Vx
F F F
B Bx
B
F

V

x2 + y2 =1 y2 + x2 =1
a2 b2 a2 b2

(0, 0) Focus (0, 0)
b2 = a2 - c2
V(a, 0), V (-a, 0) V(0, a), V (0, -a)
F(c, 0), F (-c, 0) F(0, c), F (0, -c)
2a 2a

2b 2b

B(0, b), B (0, -b) B(b, 0), B (-b, 0)
2b2 2b2

|a| |a|

25

1. จำกสมกำรวงรีในแต่ละข้อต่อไปน้ี จงหำจุดศูนยก์ ลำง จุดยอด โฟกสั จุดปลำยแกนโท ควำมยำวลำตสั เรก
ตมั (พรอ้ มท้งั วำดกรำฟประกอบ)

1. x2 y2 1

16 9

2. x2 y2 1

9 25

3. 4x2 9y2 36

26

ตวั อย่าง จำกส่ิงที่กำหนดให้ต่อไปน้ี จงหำสมกำรวงรี (วำดรูปประกอบ)
1. โฟกสั อยทู่ ่ีจุด (3,0) และ (-3,0) และผลบวกของระยะจำกจุดใดๆไปยงั โฟกสั ท้งั สอง (ผลบวกค่ำคง
ตวั ) เท่ำกบั 8 หน่วย

2. จุดยอดอยทู่ ่ีจุด (5,0) และ (-5,0) โฟกสั จุดหน่ึงอยทู่ ่ี (2,0)

2. จุดยอดอยทู่ ่ีจุด (0,5) และ (0,-5) โฟกสั จุดหน่ึงอยทู่ ่ี (0,2)

สมการวงรี 27
กรณที ่ี 1 สมการหลกั คือ ( x −a2h )2 + ( y −b2k )2 = 1

แกนโท

A/=( h–a , k ) F/*=( h–c C=( h ,k) h+c*, k ) แกนเอก
,k) F=(
A=( h+a , k )

@ แกนเอกขนานแกน x แกนโทขนานแกน y

@ จุดศูนยก์ ลาง = (h , k)
@ จุดยอด A = (h + a , k) และ A/ = (h – a , k)
@ จุดโฟกสั F = (h + c , k ) และ F/ = (h – c , k)

@ ความยาวของแกนเอก = 2a

@ ความยาวของแกนโท = 2b

@ ผลบวกคงตวั = 2a http://www.pec9.com

Math Online II

กรณที ่ี 2 สมการหลกั คือ ( y −a2k )2 + ( x −b2h )2 =1
แกนเอก A=( h , k+a )

* F=( h , k+c )

C=( h , k )

แกนโท

* F/=( h , k–c )
A/=( h , k–a )

@ แกนเอกขนานแกน y แกนโทขนานแกน x ( x − h )2
@ จุดศนู ยก์ ลาง = ( h , k)
@ จุดยอด A = ( h , k+a) และ A/ = ( h , k–a)
@ จุดโฟกสั F = ( h , k+c) และ F/ = ( h , k–c)
@ ความยาวของแกนเอก = 2 a
@ ความยาวของแกนโท = 2 b
@ ผลบวกคงตวั = 2 a

( y − k )2

28

เกยี่ วกบั วงรีท้งั สองกรณี e = 0.95
1. a2 > b2 e = 0.1
2. c2 = a2 – b2

เม่ือ c = ระยะห่างจากจุดศนู ยก์ ลางถึงโฟกสั
3. ความเย้อื งศนู ยก์ ลาง (e) = ac

3.1 0 < e < 1

3.2 ถา้ e มีคา่ มาก วงรีจะมีความรีมาก

ถา้ e มีคา่ นอ้ ย วงรีจะมีความรีนอ้ ย คือ เกือบกลม

65. จากสมการวงรีต่อไปน้ี จงหาจุดศูนยก์ ลาง จุดโฟกสั จุดยอดความยาวแกนเอก ความยาว
แกนโท ผลบวกคงตวั ของระยะจากจุดใดๆ ไปยงั โฟกสั ท้งั สอง และความเย้อื งศนู ยก์ ลาง
1. (x −823)2 + (y 1−025)2 = 1

้้
2. 2x52 + ( y +167 )2 = 1

29

66. จากสมการวงรีต่อไปน้ี จงหาจุดศนู ยก์ ลาง จุดโฟกสั จุดยอดความยาวแกนเอก ความยาว
แกนโท ผลบวกคงตวั ของระยะจากจุดใดๆ ไปยงั โฟกสั ท้งั สอง และความเย้อื งศนู ยก์ ลาง
1. 9x2 + y2 – 18x – 6y + 9 = 0

2. 4x2 + 9y2 – 48x – 72y + 144 = 0

30

ข้นั ตอนการหาสมการวงรี
วาดรูปคร่าว ๆ แลว้ เลือกใชส้ มการวงรี
ตอ้ งหาจุดศนู ยก์ ลาง ( h , k) และหาคา่ a , b
นาํ ค่า h , k , a , b แทนลงในสมการหลกั ท่ีใช้ แลว้ ทาํ สมการใหอ้ ยใู่ นรูปทว่ั ไป

จงหาสมการวงรีต่อไปน้ี
1. โฟกสั หน่ึง (–8 , 1) แกนโทยาว 4 หน่วย จุดศนู ยก์ ลางคือ (0 , 1)

2. โฟกสั อยทู่ ่ี (0 , 2 ) และ ( 0 , –2 ) ผลบวกคงตวั เท่ากบั 6

31

68. จงหาสมการวงรีที่มีจุดยอดเป็น (–5 , 0) และ (5 , 0) และโฟกสั หน่ึง (2 , 0)
วธิ ีทาํ

69. จงหาสมการวงรีซ่ึงกราฟตดั แกน x ท่ีจุด (–4 , 0) และ (4 , 0) และตดั แกน y ที่จุด (0 , 2)
และ (0 , –2)

วธิ ีทาํ

32

(Parabola)

y
D P(x, y)

Fx
x = -c

(Focus)

(Latus rectum) Focus
Focul Focus Focus

2 Focus
(Latus rectum)

(0, 0)

yy

(-2c, c) F(0, c) (2c, c) (c, 2c)
x V F(0, c)
x
V (0, 0) (c,-2c)
x = -c
x2 = 4cy
(0, 0) y2 = 4cx

y (0, 0)
x

33

x2 = 4cy Focus y2 = 4cx )
)
v(0, 0) c0 V(0, 0)
F(0, c) c0 F(c, 0)
y = -c x = -c
4c 4c

() (
() (
(-2c, c), (2c, c) (c, 2c), (c, -2c)

4. จงหำจุดยอด โฟกสั ไดเรกติกซ์ แกนพำรำโบลำ ควำมยำวของลำตสั เรกตมั พร้อมท้งั เขียนกรำฟ จำก
สมกำรพำรำโบลำแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

4.1 y2 8x 4.2 x2 4y

34

จงหำจุดยอด โฟกสั ไดเรกติกซ์ แกนพำรำโบลำ ควำมยำวของลำตสั เรกตมั พร้อมท้งั เขียนกรำฟ จำกสมกำร
พำรำโบลำแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี

4.1 y2 4x

4.2 x2 16y

35

จงหำสมกำรพำรำโบลำ จำกส่ิงที่กำหนดให้ (พรอ้ มท้งั วำดกรำฟประกอบ)
1. จุดยอดอยทู่ ่ี (0,0) และจุดโฟกสั อยทู่ ่ี (6,0)

2. จุดยอดอยทู่ ี่ (0,0) และเสน้ ไดเรกตริกซค์ ือเสน้ ตรง x=3

3. ไดเรกตริกซค์ ือเสน้ ตรง x=3 และจุดโฟกสั อยทู่ ่ี (-3,0)

4. ไดเรกตริกซ์คือเสน้ ตรง y=4 และจุดโฟกสั อยทู่ ่ี (0,-4)

36

กรณที ี่ 1 (x – h)2 = 4 c (y – k) Y F = ( h , k+c)

@ กรณีน้ีเสน้ โคง้ นอนควา่ํ หรือหงาย แกนพา A = ( h , k)
ราขนานแกน y ไดเรกตริกซ์ขนานแกน x
แกนสมมาตร ไดyเร=กตkร–ิกcซ์
@ ถา้ c เป็นบวกเสน้ โคง้ หงาย
ถา้ c เป็นลบเสน้ โคง้ คว่าํ X

@ จุดยอด (A) = (h , k)
@ จุดโฟกสั (F) = (h , k + c)
@ สมการของเสน้ ไดเรกตริกซค์ ือ

y = k–c
@ ลาตสั เรกตมั ยาว = | 4 c |

สมการพาราโบลา Y
กรณที ่ี 2 (y – k)2 = 4 c (x – h)
แกนสมมาตร
@ กรณีน้ีเสน้ โคง้ นอนตะแคง แกนพารา A = ( h , k) F = ( h+c , k)
ขนานแกน x ไดเรกตริกซ์ขนานแกน y
ไดxเร=กhตร–ิกcซ์
@ ถา้ c เป็นบวกเสน้ โคง้ เปิ ดขวา
ถา้ c เป็นลบเสน้ โคง้ เปิ ดซา้ ย X

@ จุดยอด (A) = ( h , k )
@ จุดโฟกสั (F) = ( h + c , k )
@ สมการของเสน้ ไดเรกตริกซ์คือ

x= h–c
@ ลาตสั เรกตมั ยาว = | 4 c |

2

37

จงหาจุดยอด จุดโฟกสั สมการไดเรกติก และความยาวเลตสั จากสมการของพาราต่อไปน้ี
1. ( x – 7 )2 = 12 ( y – 5 )

ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ยอด จดุ โฟกสั แกนสมมาตร เส้นไดเรกตริกซ์ ความยาวลาตสั เรคตมั พร้อมทงั้ วาดรูปพาราโบลาซง่ึ มี
สมการกราฟ คอื ( − 1)2 = −12( + 2)

#

38
ตวั อยา่ ง จงหาจดุ ยอด จดุ โฟกสั แกนสมมาตร เส้นไดเรกตริกซ์ ความยาวลาตสั เรคตมั พร้อมทงั้ วาดรูปพาราโบลาซง่ึ มี
สมการกราฟ คือ 2 + 2 − 4 − 7 = 0

4.4 y2 2y 6x 19 0

39

4.3 y2 2y 16x 33 0

4.4 x2 6x 8y 1 0

40

ข้นั ตอนการหาสมการพาราโบลา
1) เขียนกราฟดูคร่าวๆ แลว้ เลือกสมการพารา โดย
ถา้ กราฟตะแคงเลือกกรณี 1 ถา้ คว่าํ หงายเลือกกรณี 2
2) ตอ้ งหาจุดยอด (h , k) และคา่ c
ระวงั วา่ ถา้ กราฟคว่าํ หรือ ตะแคงเปิ ดซา้ ย c จะมีค่าเป็นลบ
ถา้ กราฟหงาย หรือ ตะแคงเปิ ดขวา c จะมีค่าเป็นบวก
3) แทนค่า h , k , c ลงไปในสมการหลกั ท่ีใช้ แลว้ ทาํ สมการใหอ้ ยใู่ นรูปทว่ั ไป

60. จากสิ่งท่ีกาํ หนดใหต้ ่อไปน้ี จงหาสมการของพาราโบลา
1. จุดยอด (3, 4) และโฟกสั (1, 4)

2. ไดเรกตริก คือเสน้ ตรง y = –4 และโฟกสั อยทู่ ี่จุด (2 , –2 )

41

3. จงหาสมการพาราโบลา ซง่ึ มีจดุ ยอดอยทู่ ี่ (1, −2) และมจี ดุ โฟกสั อยทู่ ่ี (3, −2)

5. จงหาสมการพาราโบลา ซง่ึ มีจดุ โฟกสั อยทู่ ่ี (−4, −1) และมเี ส้นไดเรคตริกซค์ ือ = 2

42

(Hyperbola)

(0, 0) y
y F(0, c)

B(0, b) B (-b, 0) V(0, a) B(0, b)
V (0, -a)
V (-a, 0) V(a, 0) x x
F (-c, 0) F(c, 0) F (0, -c)

B (0, -b)

(Asymptote)

x2 - y2 =1 y2 - x2 =1
a2 b2 a2 b2

(0, 0) (0, 0)

V(a, 0), V (-a, 0) V(0, a), V (0, -a)

F(c, 0), F (-c, 0) F(0, c), F (0, -c)

B(0, b), B (0, -b) B(b, 0), B (-b, 0)

2a 2a

2b 2b

2b2 2b2

|a| |a|

y= b x (Asymptote) y= a x
a b2 = c2 - a2 b

43

ตวั อย่าง จำกสมกำรไฮเพอร์โบลำในแต่ละขอ้ ต่อไปน้ี จงหำจุดศูนยก์ ลำง จุดยอด โฟกสั จุดปลำยแกนสงั ยคุ
สมกำรเสน้ กำกบั ควำมยำวลำตสั เรกตมั eccentricity หรือ e (พรอ้ มท้งั วำดกรำฟประกอบ)

1. y2 x2 1

16 4

2. x2 y2 1

16 4

3. 4x2 9y2 36

44

2. จำกสิ่งท่ีกำหนดใหต้ ่อไปน้ี จงหำสมกำรไฮเพอร์โบลำ (วำดรูปประกอบ)
2.1 ผลต่ำงของระยะจำกจุดใดๆบนไฮเพอร์โบลำไปยงั จุด (-3,2) และ (3,2) เท่ำกบั 4

2.2 โฟกสั อยทู่ ่ีจุด (-2,-6) และ (-2,4) และผลต่ำงคงตวั เท่ำกบั 4 หน่วย

45

สมการไฮเปอร์ โบลา

กรณที ่ี 1 สมการหลกั คือ ( x −a2h )2 − ( y −b2k )2 = 1

Y
เสน้ กาํ กบั

แกนสังยคุ

F/=( h–c ,hk–*a) , k ) C=( h , k ) A=(*Fh=+(a h+c , kแก)นตามขวาง
A/=( ,k)

เส้นกาํ กบั X

@ แกนตามขวางขนานแกน x แกนสงั ยคุ ขนานแกน y

@ จุดศนู ยก์ ลาง = (h , k)

@ จุดยอด A = ( h + a , k) และ A′ = ( h – a , k)

@ จุดโฟกสั F = ( h + c , k) และ F′ = ( h – c , k)

@ ความยาวของแกนตามขวาง = 2a

@ ความยาวของแกนสงั ยคุ = 2b

@ ผลต่างคงตวั = 2a

@ สมการเสน้ กาํ กบั หาจาก y= ± b x
a

46

กรณที ่ี 2 สมการหลกั คือ ( y −a2k )2 − ( x −b2h )2 = 1

Y แกนตามขวาง

เส้นกาํ กบั เส้นกาํ กบั

* F=( h , k+c )

A=( h , k–a )

แกนสงั ยคุ C=( h , k )

A/=( h , k–a )

* F/=( h , k–c

X

@ แกนตามขวางขนานแกน y แกนสงั ยคุ ขนานแกน x

@ จุดศนู ยก์ ลาง = (h , k)
@ จุดยอด A = (h , k + a) และ A/ = (h , k – a )
@ จุดโฟกสั F = (h , k + c) และ F/ = (h , k – c )

@ ความยาวของแกนตามขวาง = 2a

@ ความยาวของแกนสงั ยคุ = 2b

@ ผลต่างคงตวั = 2a

@ สมการเสน้ กาํ กบั หาจาก y= ± a x
b

เงอื่ นไขของสมการไฮเปอร์โบลาท้งั สองกรณี
c2 = a2 + b2

เม่ือ c = ระยะห่างจากจุดศนู ยก์ ลางถึงโฟกสั

47

72. จากสมการไฮเปอร์โบลาน้ี จงหาจุดศนู ยก์ ลาง จุดโฟกสั จุดยอด ความยาวแกนตามขวาง
ความยาวแกนสงั ยคุ และ ผลต่างคงตวั ของระยะจากจุดใดๆ ไปยงั โฟกสั ท้งั สอง
1. (x −823)2 − (y −1025 )2 = 1

2. y225 − ( x +167 )2 = 1

48

73. จากสมการไฮเปอร์โบลาน้ี จงบอกจุดศนู ยก์ ลาง ความยาวแกนตามขวาง แกนสงั ยคุ จุด
ยอด จุดโฟกสั และ ผลต่างคงตวั
1. y2 – 6x2 + 2y + 36x = 59

2. 2x2 – 3y2 – 20x – 24y – 4 = 0