12 - Hình học - Chương 3 Không gian Oxyz

KNOWLEDGE IS POWER

CHỦ ĐỀ Ôn
KHÔNG GIAN
thi

OXYZ TỰ LUẬN ĐẠI
+
TRẮC NGHIỆM HỌC

TÀI LIỆU CỦA ..........................................................

BY PHẠM HOÀNG LONG

Năm học 2021 - 2022

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

1. Hệ tọa độ z

Định nghĩa. Hệ gồm ba trục Ox , Oy , Oz đôi một

vuông góc với nhau được gọi là hệ trục tọa độ

vuông góc (gọi tắt là hệ tọa độ Oxyz ) trong

không gian.

Thuật ngữ và kí hiệu k yby PHL
● O là gốc tọa độ,
Ox là trục hoành, O
Oy là trục tung, ij
Oz là trục cao. x

● (Oxy) , (Oyz) , (Oxz) là các mặt phẳng tọa độ.

● i , j , k lần lượt là ba vectơ đơn vị trên Ox , Oy , Oz .
    
Do đó i . j  j.k  k.i  0 và i 2  j 2  k2  1 .

2. Tọa độ của vectơ   
a.i b. j c.k
Tọa độ của vectơ u(a;b; c)  u     .


Chú ý. i  (1;0;0) , j  (0;1;0) và k  (0;0;1) .
Tính chất. Cho u(a;b; c) , u(a;b; c) và số k tùy ý, ta có
u  u  a  a , b  b , c  c .
a. Hai vectơ bằng nhau u  u  (a  a;b  b; c  c)

b. Tổng hai vectơ u  u  (a  a;b  b; c  c)

c. Hiệu hai vectơ k.u  (k.a; k.b; k.c)

d. Nhân một số với vectơ
e. u , u cùng phương khi và chỉ khi k   : u  k.u .

3. Tích vô hướng của hai vectơ

a. Tích vô hướng của hai vectơ u , u là u.u  a.a  b.b  c.c
b. Độ dài vectơ u(a;b; c) là u  u2  a2  b2  c2 .
Chú ý. Bình phương độ dài bằng bình phương vô hướng u 2  u2 .

c. Công thức tính góc giữa hai vectơ
u.u
cos(u,u)  u . u  a.a  b.b  c.c .

với (u,u) là góc giữa hai vectơ u , u . a2  b2  c2 . (a)2  (b)2  (c)2

Chú ý. 0  (u,u)  180 . (u,u)  90 (u,u)  0 (u,u)  180
(u,u) nhọn (u,u) tù u.u   u . u
u.u  u . u
u.u  0 u.u  0 u.u  0
Đặc biệt. Hai vectơ vuông góc u  u  a.a  b.b  c.c  0

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 1

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

4. Tọa độ của điểm

   
Tọa độ của điểm M(xM ; yM ; zM )  OM  xM .i  yM . j  zM .k với xM , yM , zM lần lượt là

hoành độ, tung độ, cao độ của điểm M .

M  (Oxy)  M(xM ; yM ;0) M  Ox  M(xM ;0;0)

M  (Oyz)  M(0; yM ; zM ) M  Oy  M(0; yM ;0)

M  (Oxz)  M(xM ;0; zM ) M  Oz  M(0;0; zM )

Chú ý.


a. AB  (xB  xA; yB  yA; zB  zA ) .

b. AB  (xB  xA )2  ( yB  yA )2  (zB  zA )2 .

Đặc biệt.

● Nếu I là trung điểm của AB thì

I  xA  xB ; yA  yB ; zA  zB  B
 
 2  2 2  I
 A
hay IA  IB  0 .

● Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì A

 xA  xB  xC ; yA  yB  yC ; zA  zB  zC 
G 
 3  3   3  G

hay GA  GB  GC  0 . B by PHL C

● Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì A

 xA  xB  xC  xD ; yA  yB  yC  yD ; zA  zB  zC  zD  I
G  GD
 4   4   4 
hay GA  GB  GC  GD  0 .
B

J
C

● Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì B C

 xA  xC  xB  xD  
 yA  yC  yB  yD hay AB  DC .


 zA  zC  zB  zD A by PHL D

Page 2 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

5. Tích có hướng của hai vectơ [u , u' ]

Tích có hướng của hai vectơ u , u ký hiệu [u,u] , xác định
bởi công thức

[u, u]   b c ; c a ; a b u'
 b c c a a b  u

với u(a;b; c) , u(a;b; c) .

Chú ý. [u,u] còn được kí hiệu là u  u hay u  u .

Tính chất.
a. [u,v]  u và [u,v]  v . b. [u,v]  u . v .sin(u,v) .
       d. [u,v]  [v,u] và [u,v]  [v,u].
c. [i , j]  k , [j, k]  i và [k, i ]  j . f. u , v , w đồng phẳng  [u,v].w  0 .
e. u , v cùng phương  [u, v] 0 .

Ứng dụng.

● A , B, Cthẳng hàng ● A , B, C, D đồng phẳng

 AB , AC cùng phương  AB , AC , AD đồng phẳng
    AC  
  AB, AC   0 .   AB, . AD  0 .

Đặc biệt. A , B , C tạo thành một tam Đặc biệt. A , B , C , D tạo thành một tứ
    AC  
giác   AB, AC  0 diện   AB, . AD  0 .

● Diện tích hình bình hành ABCD là BC
 

SABCD   AB,AD .

A by PHL D

B

Đặc biệt. Diện tích tam giác ABC là
 
SABC  1  AB, AC  . A by PHL
2
C

● Thể tích hình hộp ABCD.ABCD là Đặc biệt. Thể tích tứ diện ABCD là
  
VABCD 1    .
VABCD. ABCD   AB, AD .AA . 6  AB,AC.AD

A D A
BC

A' by PHL D' BD
B' C' C

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 3

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

6. Phương trình mặt cầu

Phương trình mặt cầu (S) tâm I(xI ; yI ; zI ) có bán kính R là
(x  xI )2  ( y  yI )2  (z  zI )2  R2 .

x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d  0 là phương trình mặt cầu  a2  b2  c2  d  0 .

Khi đó tâm của mặt cầu là I(a;b; c) và có bán kính là R  a2  b2  c2  d .

7. Vị trí tương đối giữa một điểm và một mặt cầu

Cho mặt cầu S(O; R) và ba điểm A, B, C bất kì trong không gian, ta có

by PHL trong
trên
ngoài

O
AB
C

● Nếu OA  R thì A nằm trong mặt cầu S(O; R) .
● Nếu OB  R thì B nằm trên mặt cầu S(O; R) . Kí hiệu B  S(O; R) .
● Nếu OC  R thì C nằm ngoài mặt cầu S(O; R) .

Bài tập tự luận

VẤN ĐỀ 1. Các phép toán về toạ độ của vectơ

BÀI 1. Viết tọađộcủa các vectơ sauđây c. c     .   
BÀI a. a  3i  j  k .  b. b  6i  8k . đây j 4k d. d  3i  5 j  k .
xi  yj  zk mỗi vectơ
2. Viết dưới dạng sau

a. a  (3; 2;1) .  c. c   4 ; 0; 1  . 
b. b  (4; 5;0) .  3  d. d  (0;2;0) .
 3
3dcab...T.. CCCCìmhhhhooootọaaaaađ((ộ((1120;v;;;2e;51c23;;t;)231ơ,)))u,bvvbààtr(bbon(20g;;((471c;;;á513;c)4;1t;)vr02àưv))à.ờ.cnTTcgììmm(hợ(1tt6pọ;ọ;3aa0s;;a4đđu)ộộ1.)uuT. ìTmìaamtọta32ọbbađ.ộđộku.u
BÀI

0đ ộvcớủi aavec(5tơ; x1; 2a   5c .
 3a 3b   c .
 2b

BÀI 4. Tìm tọa biết
a. a  x  3) .
BÀI 5bca...T. aìaam2hx(1xa;i24s;1bốa)t,vvhớbớựiicaa(m2,((;50n3;;;44s;4)a;,1o2)c)c,h.bo(0d;1(2;2;m)5av;3à)n.db(4p;c2;t0r)o.ng trường hợp

Page 4 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

b. a  (1; 2; 3) ,   (1;1;1) , c  (2; 1; 1) và 
b d  (4;1; 1) .

BÀI 6. Tìm m và n để 
 (1; 3; 4) cùng phương b
a. a  (m; 2; 3) cùngphương với b  (2; m; n) .
b. a  với  (1; n;2) .

BÀI 7ba. .T. ìbbmcntùgọnaưgợđcộhhưveướcnớtơnggbvớvbiớiiaếta  a
(1; 2;3) và b 3
 (2; 5;3) và  2 . .
  a
b

VẤN ĐỀ 2. Tích vô hướng
8. Tính u.v biết
BÀI 9aca....CCuhA oa(3a0a.;(.3bb(;31;)0bc,;)21v.),cb(23.;0(;1;1)1.; 2) b. u   3  v   
BÀI i k, j 3  k.
c
và  (2;1; 1) . Tính 
b. B  (a
d. D  (a  2bb).c(b)2. 2c) .


BÀI 10. Tính w   
a. w với 2i 3j 6k
  .
u  2v với u  (1; 2;3) , v
b. Tính cos(a, b) biết  (1; 2; 3) .
11. a  (0;3;1) , b  (3;0; 1) .
BÀI b. a  (1;2;2) ,   (1;0; 1) .
BÀI a. b
a  d. a  (1;1; 
c.  (1;0; 2), b  (3;0;4) .  2), b  (2; 2;0) .
12. Taaính((2g;21ó;;3c;g2i)4ữ,)a,bbha(i0(v;e21c;;t01ơ;)1.a). và b
a. biết a 
c. a (1; 2;1),b  (2;1;1) .
b.  (2;1;2), b  (1;1;0) .
d. 

BÀI 13. Taìmbmvớđiể biết 
a. a  (2;1; b
 1) và  (1;3; m) .

b. a  b với a (1; log 5u3; m(1);1v;à2b)  (3; log3 25; 3) . 45 .
c*. góc giữa hai vectơ , v  (1;0; m) bằng
Taaìuaaam..uu v(((a722e,;;;c235t5;;ơ1,,3;)31u,)),,bb,bub.ubui.ếb(t4(b(1;r1,3;7ằ;;,n123g15;;3,)2,)),,ccucuc..cc(u1((2;31;2;;6201;1;1)4).)..
BÀI 14.
a.
b.
c.

BÀI 15. Tính 3aMabtr2obng nhữnvgớitr|aư|ờn3g,h|ợbp| s5auvà (a, 
a. M và
b. M b)  120 .
với |a|  2  (a, 
M  u  v với u  (2; 3 , |b|  3 b)  30 . |u  v|
v
c. a 1;2) và vectơ đơn vị thỏa  4.
16. 3 b biết
BÀI Taính1g,ócb giữ2a vhàaiavecbtơ và
a. .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 5

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

b. b  u  a , u 2, a 1 và (u, a)  60 .

BÀI 17. Tìm số m để u  v biết u  m.a   , v  a   , a  2 ,  5 và (a,   2 .
b 2.b b b)
3

VẤN ĐỀ 3. Tích có hướng
BÀI 18. Cho hai vectơ u(1; 5;1) và v(1;3;2) . Tính
a. [u, v] . b. [u, v] .
BÀI 19. Cho u  (1;1;2), v  (1; m; m  2) và a  (3; 1; 2) . Tìm m để biết
a. [u,v]  14 . b. [u,v]  a .
a,  c . Tìm
BÀI 20. Ccho[ab,abv] ectơ b, với a  m, n để c
a. (2; 3;1), b
 (5;6; 4),  (m; n; 3) .

b. TXaaacìémt ((([s1amự;32,b;;đ110đ]ồ;;;ể1n3)2g)b,,)a,pbbhvbeẳc(n(0t0(gơ;1;14;vc;1a;ủớ2;,1ia)1,b)a,)b,c,acccv((đ1e4(;ồc1(;ntm;22ơ5g;;;32ap)12),h.).;ẳb,mn,b2gc;5bt)(ir3db.ếomt..na;ag2m; m((ỗ40)i;,; c  (3;1;2) .
BÀI 21. t3r;3ư4;ờ2),n),bgbhợ(2p(1; s; a11u;2;3)đ,)â,cyc(1(1;2; ;12);.2) .
BÀI
a.
c.
22.

a.

b. a  (1; m;2), b  (m  1;2;1), c  (0; m  2;2) .
 
c. a  (m  1; m; m  2), b  (m  1; m  2; m), c  (1;2;2) .
 
d. a  (2m bv]e1c;v1tớơ;2i maavà12)b,, b  (m  1; 2; m  2), c  (2m; m  1; 2) .
23. Cho hai . Tính giá biết
BÀI M  [a, b 5 và (tar,ịbc)ủa M .
a. 60
CCCCBBMhhhhiiểểứứoouunncb[ddggáa3iicaễễmmvnnv,eiiecnnvv5cthheetbơơcc]bbttaơơaaavớvvuui(ee2(cc1;att;1((ơơ3;07;4aa7);;3,,,;91)3bbb,72;,,)b,cc6t(1b)hkk;(ehht3oh1ôô; e4;nnc2o6ágg)v;c,c1đđàáv)cồồ,ce(nncacvggt,(eơb2ppc;)(thha22ơ;,ẳẳ;1nn4ab;15,gg,)..7b.c.),.
BÀI b. .
BÀI 24. c

a. .
b.
25.

a.
b.

Page 6 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

VẤN ĐỀ 4. Tọa độ điểm trong không gian. Diện tích – Thể tích

Chú ý. z

Hình chiếu vuông góc của điểm M(xM ; yM ; zM ) M6 M2
M5 y
lên

● (Oxy) là M1(xM ; yM ;0) . M3 M
● (Oyz) là M2 (0; yM ; zM ) . O
● (Oxz) là M3 (xM ;0; zM ) . by PHL

● trục Ox là M4 (xM ;0;0) . M4 M1
● trục Oy là M5 (0; yM ;0) .
● trục Oz là M6 (0;0; zM ) .

x

BÀI 26. Cho điểm M(3; 1;2) . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M trên

a. các mặt phẳng tọa độ: (Oxy) , (Oyz) , (Oxz) .

b. các trục tọa độ: Ox , Oy , Oz .
BÀI 27. Cho điểm M(4;2; 1) . Tìm tọa độ của điểm M đối xứng với điểm M qua

a. gốc toạ độ.

b. các mặt phẳng tọa độ: (Oxy) , (Oyz) , (Oxz) .

c. các trục tọa độ: Ox , Oy , Oz .
BÀI 28. Xét tính thẳng hàng của ba điểm A , B , C biết

a. A(1;3;1), B(0;1;2), C(0;0;1) . b. A(1;1;1), B(4;3;1), C(9;5;1) .

c. A(10;9;12), B(20;3;4), C(50; 3; 4) . d. A(1;5; 10), B(5; 7;8), C(2;2; 7) .

BÀI 29. Tìm trên ba trục Ox , Oy , Oz lần lượt các điểm M1 , M2 , M3 cách đều hai điểm
BÀI 30. A(3;1;0), B(2;4;1) .
Cho ba điểm A(0; 1;1), B(2;1; 1), C(1;3;2) .

a. Chứng minh ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác.

b. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC .

c. Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

d. Tính chu vi tam giác ABC .

e. Tính diện tích tam giác ABC . Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ABC .
BÀI 31. Cho A(0;1; 4) , B(3; 1;1) , C(2;3;2) .

a. Chứng minh ba điểm A , B , C tạo thành một tam giác.

b. Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

c. Tính diện tích S của hình bình hành ABCD .

BÀI 32. Cho tam giác ABC với A(2;1; 3) và I  11 ; 2;  3  là trung điểm của BC .
 2 2 

a. Tìm tọađ ộ trọng tâm G của tam giác ABC .
b. Tính AB  AC .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 7

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

BÀI 33. Cho tam giác ABC có A(1;0;0) , B(0;0;1) và C(2;1;1) .

a. Tìm tọa độ điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC .

b. Tính diện tích tam giác ABC .

c. Tính độ dài đường cao AH của ABC .
BÀI 34. Cho tam giác ABC có A(0;3; 2) , B(2;1;7) , điểm C có tung độ bằng 5 và trọng

tâm G thuộc trục Oy .

a. Tìm tọa độ điểm C, G .

b. Tính diện tích tam giác ABC .
BÀI 35. Cho tam giác ABC có A(1;1; 1) , B(2;0; 1) và C(3;1; 2) .

a. Tính diện tích tam giác ABC .

b. Tính độ dài đường cao kẻ từ B của tam giác ABC .
BÀI 36. Cho tam giác ABC có A(1;2;3) , B(0; 2;1) và C thuộc trục Ox . Tìm tọa độ điểm

BÀI 37. C biết diện tích tam giác ABC bằng 5 5 .
2

Cho ba điểm A(0;1; 2) , B(3;0;0) và điểm C thuộc trục Oz . Tìm toạ độ điểm C

biết ABC là tam giác cân tại C .

BÀI 38. Tìm tọa độ điểm M biết

a. OM  3 j  2k .

b. AM  (6;3;2) với A(1;2;3) .

c. OM  2AB AC với A(3;2;1) , B(1; 1;2) , C(1;2; 1) .

d. AM  2MB với A(4;2;1) , B(2; 1; 4) .

e. MA  3MB với A(1;3; 1) , B(3; 1;5) .

f. M thuộc đoạn AB sao cho MA  2MB với A(0; 2; 1) , B(1; 1;2) .

g. bađiểmM , A(2;1;5) , B(5; 5;7) thẳng hàng và cao độ điểm M bằng 1.
h. MA  2MB  2MC  0 với A(1; 1;3) , B(2; 3;5) , C(1; 2;6) .

BÀI 39. Tìm m để

a. MNP vuông tại N với M(3;2;8) , N(0;1;3) và P(2; m; 4) .

b. AD  BC với A(3; 4;0) , B(0;2;4) , C(4;2;1) và D(m;0;0) .
BÀI 40. Cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1), D(2;1; 1) .

a. Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b. Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD .

c. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD .

d. Tính diện tích tam giác BCD , từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A .
BÀI 41. Cho tứ diện ABCD có A(2;3;1) , B(4;1; 2) , C(6;3;7) , D(5; 4;8) . Tính độ dài

đường cao kẻ từ D của tứ diện.   

HD. HS nên sử dụng tính tọa độ các vectơ BA, BC, BD để tiện tính toán.

BÀI 42. Cho bốn điểm A(1; 2;0) , B(3;3;2) , C(1;2;2) và D(3;3;1) . Tính độ dài đường cao

của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC) .
BÀI 43. Cho ba điểm A(2;1; 1) , B(3;0;1) , C(2; 1;3) . Tìm tọa độ điểm D thuộc trục Oy

sao cho thể tích khối tứ diện ABCD bằng 5 .

Page 8 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)
BÀI 44.   
Cho A(2; 4; 3) , AB  (1; 3; 4) , AC  (3; 3;3) , AD  (1; 3;2) .

a. Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b. Tính thể tích của khối tứ diện ABCD .

c. Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD .
BÀI 45. Cho ba điểm A(1;2;3), B(1;0;1), C(1;2;0) . Tìm trên mặt phẳng (Oyz) điểm M

cách đều ba điểm A, B, C .

BÀI 46. Cho ba điểm A(1;1;1), B(1;1;0), C(3; 1; 1) . Tìm trên mặt phẳng (Oxy) điểm M

cách đều ba điểm A, B, C .

BÀI 47. Cho S(1;2;3) và các điểm A , B , C thuộc các trục Ox , Oy , Oz sao cho hình chóp

S.ABC có các cạnh SA , SB , SC đôi một vuông góc với nhau.

a. Tìm tọa độ ba điểm A , B , C .

b. Tính thể tích khối chóp S.ABC .
BÀI 48. Cho hình hộp ABCD.ABCD với A(2; 4;0) , B(4;0;0) , C(1;4; 7) và D(6;8;10) .

a. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.ABCD .

b. Tính thể tích khối hộp ABCD.ABCD .
BÀI 49. Cho hình hộp ABCD.ABCD . Biết A(1;0;1) , C(4;5; 5) , B(2;1;2) , D(1; 1;1) .

a. Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD.ABCD .

b. Tính thể tích khối hộp ABCD.ABCD .
BÀI 50. Cho hình hộp ABCD.ABCD có A(1;1; 6) , B(0;0; 2) , C(5;1;2) và D(2;1; 1) .

Tính thể tích khối chóp ABCD , sau đó suy ra thể tích khối hộp ABCD.ABCD .
BÀI 51. Cho hình lăng trụ ABC.ABC có các đỉnh A(2;1;2) , B(1; 1;1) , C(0; 2;0) và

C(4;5; 5) . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 9

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

VẤN ĐỀ 5. Tọa độ trực tâm – Tâm đường tròn ngoại tiếp – Tâm đường tròn nội

tiếp của tam giác (nâng cao)

Cho tam giác ABC có BC  a , CA  b và AB  c .

a. Trọng tâm

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì A

 xA  xB  xC ; yA  yB  yC ; zA  zB  zC 
G 
 3  3   3 
G

hay GA  GB  GC  0 . B by PHL

C

b. Trực tâm

Nếu H là trực tâm tam giác ABC thì
 
BAAHHB..,BAACCC A
0  0 (1) H
(2) .
0 (3)
 AH

Điều kiện (3) có thể hiểu là H  ( ABC) . B by PHL C

c. Tâm đường tròn ngoại tiếp A
Nếu I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC thì I
B Cby PHL
AAIB2,ABCI2.AICI 20 (1)
.

(2)

Điều kiện (2) có thể hiểu là I  ( ABC) .

d. Tâm đường tròn nội tiếp Tính R bằng công thức
R  abc
Với J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 4S

A

ABC , ta có đẳng thức vectơ sau   J
BC  JA  CA  JB  AB  JC  0

 xI  a.xA  b.xB  c.xC
 a b c
 B
 a.yA  b.yB  c.yC C
hay  yI  abc . by PHL

 a.zA  b.zB  c.zC Tính r bằng công thức r  S
 a b c p
 zI 



Page 10 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

BÀI 52. Cho ba điểm A(1;2;  1) , B(2;  1;3) , C(4;7;5) . Tìm tọa độ chân đường phân giác

BÀI 53. trong góc B của tam giác ABC .
BÀI 54. Cho tam giác ABC với A(1;1;1) , B(5;1; 2) , C(7; 9;1) . Tính độ dài đường phân
BÀI 55. giác trong AD của góc A .
BÀI 56. Cho ba điểm A(2;3;1) , B(1;2;0) , C(1;1; 2) . Tìm tọa độ điểm H là trực tâm tam
giác ABC .
Cho ba điểm A(1; 1;1) , B(2;1; 2) , C(0;0;1) . Tìm tọa độ điểm H là trực tâm tam
giác ABC .
Cho tam giác ABC có A(0;1;2) , B(1;1;1) , C(3;0;0) . Tìm tọa độ tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC .
BÀI 57. Cho ba điểm A(2;3;1) , B(1;2;0) , C(1;1; 2) . Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC .

BÀI 58. Cho hai điểm A(2;2;1) , B   8 ; 4 ; 8  .
3 3 3 

a. Chứng minh rằng ABO là tam giác vuông. Từ đó suy ra tâm đường tròn ngoại

tiếp của ABO .

b. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp của tam giác OAB .

c. Tìm tọa độ tâm I đường tròn nội tiếp của tam giác OAB .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 11

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

VẤN ĐỀ 6. Phương trình mặt cầu

BÀI 59. Tìm tâm I và bán kính R của các mặt cầu có phương trình như sau

a. (x  1)2  ( y  4)2  (z  3)2  25 . b. x2  ( y  1)2  z2  7 .

c. x2  y2  z2  4x  2y  2z  3  0 . d. x2  y2  z2  4x  2 y  6z  4  0 .

e. 3x2  3y2  3z2  6x  3 y  15z  2  0 .

BÀI 60. Cho mặt cầu có phương trình (S) : x2  y2  z2  2x  2 y  4z  2  0 .

a. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) .

b. Tính diện tích của mặt cầu (S) .
BÀI 61. Cho mặt cầu có phương trình (S) : x2  y2  z2  6x  8 y  6z  2  0 .

a. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) .

b. Tính thể tích của khối cầu (S) .
BÀI 62. Xác định m để phương trình sau xác định một mặt cầu.

a. x2  y2  z2  2x  2 y  4z  m  0 .
b. x2  y2  z2  2(m  2)x  4my  2mz  5m2  9  0 .
c. x2  y2  z2  2mx  4(2m  1) y  2z  52m  46  0 .
d. x2  y2  z2  2(3  m)x  3(m  1) y  2mz  2m2  7  0 .
BÀI 63. Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau mặt cầu (S)

a. có tâm I(1;2; 3) và bán kính R  2 .

b. có tâm là gốc tọa độ và bán kính R  3 .
c. có tâm I(1;2; 4) và diện tích của mặt cầu bằng 36 .
d. đi qua điểm M(2; 1; 3) và có tâm C(3; 2; 1) .

e. có đường kính AB với A(2;3;5) và B(4; 5;7) .

f. qua A(1; 2;3) có tâm I  Ox và bán kính R  7 .

g. qua A(3; 2;5) có tâm I  Oz và bán kính R  7 .
BÀI 64. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D , sau đó viết

phương trình mặt cầu đó.
a. A(1;0;0) , B(0; 2;0) , C(0;0; 4) , D(0;0;0) .

b. A(2;0;0) , B(0;2;0) , C(0;0;2) , D(2;2;2) .

c. A(1;1;1) , B(1;2;1) , C(1;1;2) , D(2;2;1) .

d. A(2;2;2) , B(4;0;2) , C(4;2;0) , D(4;2;2) .
BÀI 65. Xác định m sao cho

a. Mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  4z  m  0 có bán kính R  5 .
b. Mặt cầu (S) : x2  y2  z2  4x  2 y  2mz  10m  0 có chu vi đường tròn lớn bằng 8 .
c. Mặt cầu (S) : x2  y2  z2  4x  8 y  2mz  6m  0 có đường kính bằng 12.
BÀI 66. Cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2 y  4z  9  0 .

a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S) .
b. Điểm M(2; 4;1) nằm trong, nằm ngoài hay nằm trên (S) ?

c. Xác định m sao cho điểm A(1; m;1) nằm trong mặt cầu (S) .
BÀI 67. Cho mặt cầu (S) có phương trình x2  y2  z2  2(m  2)x  2my  (4m  2)z  5  0 .

Page 12 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Xác định m sao cho bán kính R của (S) có giá trị nhỏ nhất.
BÀI 68. Cho hai điểm A(2; 4;1), B(1;2; 3) . Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua hai

điểm A, B và có tâm I thỏa mãn

a. điểm I nằm trên trục Ox .

b. điểm I nằm trên trục Oy .

c. điểm I nằm trên trục Oz .
BÀI 69. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(1;2;0), B(2; 1;2), C(1;2;1) và

có tâm nằm trong mặt phẳng (Oxz) .
BÀI 70. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(2;0;1), B(1;3;2), C(3;2;0) và có

tâm nằm trong mặt phẳng (Oxy) .

BÀI 71. Cho tứ diện ABCD cóA(1;2;3) ,B(0;0;3) , C(0;2;0) và D(1;0;0) . Tìm tập hợp các
BÀI 72. điểm M thỏa mãn AM  BM  CM  DM  8 .

Cho ba điểm A(1;0;0) , B(0;2;0) và C(0;0;3) . Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) thỏa

mãn MA2  MB2  MC2 .
BÀI 73. Cho hai điểm A(2; 3; 1) và B(4;5; 3) . Tìm tập hợp các điểm M(x; y; z) sao cho

a. AM  BM . b. MA  3. c. AM2  BM2  124 .
MB 2

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 13

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

Bài tập trắc nghiệm

DẠNG 1. Tọa độ vectơvà tọa độ điểm a
Câu 1. Cho a  i  2 j  3k . Tọa độ của
A. a  (2; 1; 3) . vectơ là
B. a  (3;2; 1) .
a a  (1;2; 3) .
C.  (2; 3; 1) .  D. độ của vectơ a
2. Cho a  k Tọa
Câu  i  4 . là
A. a  (1; 4;0) . B. a  (1;0; 4) .
a  (0;1; 4) . D . a  (0;1; 4) .
Câu C. Cho a  (1;2;3) , b  (2;3; 1) . Khi đó a   có toạ độ là
3. b

A. (1;5;2) . B. (3; 1; 4) .

Câu C. (1;5;2) . véctơ D. (1; 5; 2) . , c(1;0;1) . Tọa độ của véctơ n  a    2c  là
4. Cho ba a (1; 2; 3) , b(2; 0;1) b  3i
A. n  (0;2;6) . B. n  (6;2;6) .
C. n  (6;2; 6) . D. n  (6;2;6) .
Câu 5. Cho ba vectơ u  (3;7;0) , v  (2;3;1) , w  (3; 2; 4) . Giả sử a  xu  yv  zw với
a  (4; 12;3) . Giá trị x, y, z nào dưới đây thỏa mãn?

A. x  5 , y  7 , z  1 .

B. x  5 , y  7 , z  1 .

C. x  5 , y  7 , z  1 .

D. x  5 , y  7 , z  1 . u 
với
Câu 6. a Vectơ nào dưới đây cùng phương với vectơ (1;1;0) ?
Câu A. c  (3; 3;0) . B. b  (2;0;2) . a  (5; 2;1)
C.  (2;2;0) . D. d  (0; 2;2) .
7.
Tìm m và n biết b  (10; m; n) cùng phương .

A. m  4 và n  2 . B. m  4 và n  2 .

C. m  4 và n  2 . D. m  4 và n  2 .

Câu 8. Với giá trị nào của x , y thì ba điểm A(2; 4;3) , B(0;2;1) , C(x; y; 4) thẳng hàng?

A. x  3, y  7 . B. x  3, y  7 .

C. x  3, y  7 . D. x  3, y  7 .

Câu 9. Cho ba điểm A(2; 3; 4) , B(1; n; 1) và C(m;4;3) . Để ba điểm A , B , C thẳng
hàng thì tổng giá trị 5m  n là

A. 41 . B. 40 .
C. 42 . D. 36 .

Câu 10. Cho hai điểm A(1;2;3) và B(4; 4;6) . Điểm nào sau đây không thẳng hàng với A

và B ?

A. M(0; 4;2) . B. N(1;6;1) .

C. P(1; 2;3) . D. Q(2;0; 4) .

Page 14 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Câu 11. Vectơ nào dưới đây ngược hướng với vectơ u  (1;2;0) ?
Câu A. a  (3; 6;0) . B. b  (3;0; 6) . 
C. c
12.  (3;6;0) . D. d  (3;6;0) . , b  (1;3; 2n) cùng
Tìm m , n để các vectơ a  (2; m  1;3)
hướng.

A. m  7 và n   3 . B. m  7 và n   4 .
43

C. m 4 và n  3 . D. m 1 và n  0.
  
Câu 13. Cho OI  3i  4 j  5k . Tọa độ điểm I là

A. I(3; 4; 5) . B. I(3;4;5) .

C. I(3; 4;5) . D. I(3; 4;5) . 

Câu 14. Cho điểm A(4;2;1) và điểm B(2;0;5) . Tọa độ vectơ AB là

A. (2;2; 4) . B. (2; 2; 4) .

C. (1; 1;2) . D. (1;1; 2) .  

Câu 15. Cho hai điểm A, B với OA  (2; 1;3) , OB  (5;2; 1) . Tìm tọa độ của vectơ AB .
 

A. AB  (3;3; 4) . B. AB  (2; 1;3) .
 

C. AB  (7;1;2) . D. AB  (3; 3;4) .  

Câu 16. Cho A(1;2;3) , B(1;0;2) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn AB  2.MA ?

A. M  2; 3; 7  . B. M(2;3;7) .
 2 

C. M(4;6;7) . D. M  2; 3; 7  .
 2 
 

Câu 17. Cho hai điểm A(1;2;3) và B(2;1;2) . Tìm tọa độ điểm M thỏa MB  2MA .

A. M   1 ; 3 ; 5  . B. M(4;3;1) .
 2 2 2 

C. M(4;3; 4) . D. M(1;3;5) .

Câu 18. (Đề thi tốt nghiệp năm 2020 – Đợt 2 – Mã đề 104 – Câu 19) Trong không gian

Oxyz , điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của điểm A(3; 4;1) trên mặt

phẳng (Oxy) ?

A. Q(0; 4;1) . B. P(3;0;1) .

C. M(0;0;1) .D. N(3; 4;0) .

Câu 19. (Đề minh họa năm 2020 – Lần 1 – Câu 13) Trong không gian Oxyz, hình chiếu
vuông góc của điểm M(2; 2;1) trên mặt phẳng (Oxy) có tọa độ là

A. (2;0;1) . B. (2; 2;0) .
C. (0; 2;1) . D. (0;0;1) .
Câu 20. (Đề thi THPT QG năm 2019 – Mã đề 102 – Câu 06) Trong không gian Oxyz ,

hình chiếu vuông góc của điểm M(3; 1;1) trên trục Oz có tọa độ là
A. (3;0;0) . B. (3; 1;0) .
C. (0;0;1) . D. (0; 1;0) .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 15

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

Câu 21. (Đề thi THPT QG năm 2019 – Mã đề 104 – Câu 06) Trong không gian Oxyz ,

hình chiếu vuông góc của điểm M(3;1; 1) trên trục Oy có tọa độ là

A. (0;1;0) . B. (3;0;0) .

C. (0;0; 1) . D. (3;0; 1) .

Câu 22. (Đề thi tốt nghiệp năm 2020 – Mã đề 102 – Câu 02) Trong không gian Oxyz ,

hình chiếu vuông góc của điểm M(1;2;5) trên trục Ox có tọa độ là

A. (0;2;0) . B. (0;0;5) .

C. (1;0;0) . D. (0;2;5) .

Câu 23. (Đề minh họa 2017 – Lần 2 – Câu 43) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz , cho hai điểm A(3; 2;3) , B(1;2;5) . Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn

thẳng AB ?

A. I(2;2;1) . B. I(1;0;4) .

C. I(2;0;8) . D. I(2; 2; 1) .

Câu 24. (Đề thi THPT QG 2018 – Mã đề 101 – Câu 12) Trong không gian Oxyz , cho

hai điểm A(2; 4;3) và B(2;2;7) . Trung điểm của đoạn AB có tọa độ là

A. (1;3;2) . B. (2;6;4) .

C. (2; 1;5) . D. (4; 2;10) .

Câu 25. Cho hai điểm M(3; 2;3) và I(1;0;4) . Tìm tọa độ N sao cho I là trung điểm của

MN. B. N(0;1;2) .
A. N(5; 4;2) .

C. N(2; 1; 7) . D. N(1;2;5) .
2

Câu 26. Gọi P là điểm đối xứng với M(1;5;2) qua N(3;7; 4) . Tìm tọa độ điểm P .

A. P(5; 9; 10) B. P(7; 9; 10)

C. P(5; 9; 3) D. P(2;6; 1)

Câu 27. Cho tam giác ABC với A(3; 2;5) , B(2;1; 3) , C(5;1;1) . Tọa độ trọng tâm của

tam giác là

A. G(2;0;1) . B. G(2;0;1) .

C. G(2;1; 1) . D. G(2;0; 1) .

Câu 28. Cho tam giác ABC biết A(2;2; 2) , B(3;5;1) . Tìm tọa độ của điểm C sao cho

trọng tâm của tam giác ABC là điểm G(0;2; 1) .

A. C(1; 1; 2) . B. C(1;1;2) .

C. C(1;1; 2) . D. C(1;0; 2) .

Câu 29. Cho tam giác ABC với A(5; 2;0) và I  1; 5 ; 3  là trung điểm của BC . Tọa độ
 2 2 

trọng tâm G của tam giác là

A. G(2;0; 1) . B. G(1;1;1) .

C. G(1;2;1) . D. G(1;1; 2) .

Page 16 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Câu 30. Cho tam giác ABC có A(1;2;3) , B(3;0;1) và C(1; yC; zC ) . Nếu trọng tâm G

của tam giác ABC thuộc trục Ox thì giá trị của P  yC  zC bằng

A. P  6 . B. P  6 .

C. P  3 . D. P  3 .  

Câu 31. Cho tam giác ABC biết A(2; 4; 3) và AB  (3; 1;1) , AC  (2; 6;6) . Khi đó tọa

độ trọng tâm G của tam giác ABC là

A. G  5 ; 5 ;  2  . B.  5; 5 ; 2  .
 3 3 3  G 3 3 3 
  


C. G   5; 5;2  . D. G  5;5; 2  .
 3 33   33 3 
   

Câu 32. Cho tam giác ABC biết A(2; 1;3) và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là
G(2;1;0) . Khi đó AB  AC có tọa độ là

A. (0;6;9) . B. (0; 9; 9) .

C. (0; 9;9) . D. (0;6; 9) .

Câu 33. Cho bốn điểm A(1;0;2) , B(2;1;3) , C(3;2; 4) , D(6; 9; 5) . Hãy tìm tọa độ trọng

tâm G của tứ diện ABCD ?

A. G(2;3; 1) . B. G(2; 3;1) .

C. G(2;3;1) . D. G(2;3;1) .

Câu 34. Cho hình bình hành ABCD với A(2;3;1) , B(3;0; 1) , C(6;5;0) . Tọa độ đỉnh D là

A. D(1;8; 2) . B. D(11;2;2) .

C. D(1;8;2) . D. D(11;2; 2) .

Câu 35. Cho ba điểm A(1;2; 1) , B(2; 1;3) , C(2;3;3) . Điểm M(a;b; c) là đỉnh thứ tư của

hình bình hành ABCM , khi đó P  a2  b2  c2 có giá trị bằng

A. 43 . B. 44 .

C. 46 . D. 45 .

 
Câu 36. Cho hình bình hành OABD , có OA  (1;1;0) và OB  (1;1;0) với O là gốc tọa độ.

Khi đó tọa độ của D là

A. D(0;1;0) . B. D(2;0;0) .

C. D(1;0;1) . D. D(1;1;0) .

Câu 37. Cho hình hộp ABCD.ABCD có A(1;0;1) , B(2;1;2) , D(1; 1;1) , C(4;5; 5) . Tính
B
tọa độ đỉnh A của hình hộp. A. A(4;6; 5)
AD

C B. A(2;0;2)

C. A(3;5; 6)

A' by PHL D' D. A(3; 4; 6)

B' C'

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 17

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

Câu 38. Cho hình hộp ABCD.ABCD . Biết tọa độ các đỉnh A(3;2;1) , C(4;2;0) ,

B(2;1;1) , D(3;5;4) . Tìm tọa độ điểm A của hình hộp.

A. A(3;3;3) B. A(3; 3; 3)

C. A(3; 3;3) D. A(3;3; 3)

Câu 39. Cho hình hộp ABCD.ABCD có A(0;0;0) , B(3;0;0) , D(0;3;0) , D(0;3; 3) . Toạ độ

trọng tâm G tam giác ABC là

A. G(1;1; 2) B. G(2;1; 2)

C. G(1;2; 1) D. G(2;1; 1)

DẠNG 2. Tích vô hướng
Câu 40. Cho vectơ u  (3;0;1) , v  (2;1;0) . Tính tích vô hướng u.v .
A. u.v  0 . B. u.v  6 .
C. u.v  8 . u.v  6 .
Câu 41. Cho ba D. a  (2; 2;1) ,   (1;5; 3) và c  (5; 4;3) . Tính T  a.(2.b  c) .
vectơ b

A. T  1 . B. T  53 .

C. T  43 . D. T  31 .

Câu 42. (Đề thi minh họa năm 2020 – Lần 1 –vôChâưuớn3g2)aT.(raonbg)kbhằônngg gian Oxyz , cho
các vectơ a  (1;0;3) và b  (2;2;5) . Tích

A. 25 . B. 23 .

C. 27 . D. 29 .

Câu 43. t(ĐọaềđtộhiOTxyHzP, cThoQhGainvăemctơ20a1(27;1–;0M) vãàđbề(110;30; –2C) .âTuín2h6)coTsr(oan, bg)k.hông gian với hệ

A. cos(a,   2. B. cos(a, b )  2 .
b) 25 5

C. cos(a,    2 . D. cos(a,   2 .
b) b)
25 5
Câu 44. Góc giữa hai vectơ u  (1; 2; 2) và v  (1; 1;0) bằng

A. 60 . B. 135 .

C. 45 . D. 120 .

Câu 45. Cho a  (2;1;3) ,   (1;2; m) . Vectơ a vuông góc với  khi
b b

A. m  1 . B. m  1 .

C. m  2 . D. m  0 .

Câu 46. Cho hai vectơ a  (1; log3 5; m) và   (3; log5 3; 4) . Tìm m để a   .
b b

A. m  2 . B. m  1 .

C. m  1 . D. m  2 .

Câu 47. Độ dài vectơ u  (1; 2; 2) bằng

A. 1 . B. 9 .

C. 5 . D. 3 .

Page 18 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Câu 48. Cho hai vectơ a  (4;5; 3) ,   (2; 2;1) . Độ dài của vectơ x  a   bằng
b 2.b
B. x  2 .
A. x  2 . D. x 
C. x  3 .
Câu 49.  Cho a  (0;3;4) và 3 . a 
b  2 , khi đó tọa độ vectơ b có thể là

A. b  (0;3; 4) . B. b  (4;0;3) .
C. b  (2;0;1) . D. b  (8;0; 6) .
Câu 50. Tính u2 biết u  (1;2; 2) .
A. u2  9 . B. u2  1 .
C. u2  3 . D. u2  3 .
 

Câu 51. Cho A(2;1; 4) , B(2;2; 6) và C(5;3;2) . Tích vô hướng AB.AC bằng

A. 10 . B. 10 .

C. 30 . D. 30 .  

Câu 52. Cho ba điểm A(3;2;1) , B(1;3;2) và C(m; m  2; 3) . Tính m biết AB.AC  2 .

A. m  2 . B. m  2 .

C. m  6 . D. m  6 .

Câu 53. Cho A(1;2; 4) , B(1;1; 4) , C(0;0; 4) . Số đo của ABC bằng

A. 45 . B. 60 .

C. 135 . D. 120 .

Câu 54. Cho điểm A(4; 3; 5) và B(2;1; 2) . Với O là gốc tọa độ, thì giá trị số đo của
AOB là

A. 150 . B. 30 .

C. 135 . D. 45 .

Câu 55. Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) và D(2;1; 1) . Tính góc giữa hai

đường thẳng AB và CD .

A. 45 . B. 60 .

C. 90 . D. 135 .

Câu 56. (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 104 – Câu 12) Trong không gian với hệ
tọa độ Oxyz , cho ba điểm M(2;3; 1) , N(1;1;1) và P(1; m  1;2) . Tìm m để tam

giác MNP vuông tại N .
A. m  6 . B. m  0 .
C. m  4 . D. m  2 .

Câu 57. (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 102 – Câu 07) Trong không gian với hệ
tọa độ Oxyz , cho điểm A(2;2;1) . Tính độ dài đoạn thẳng OA.

A. OA  3 . B. OA  9 .

C. OA  5 . D. OA  5 .

Câu 58. Cho hai điểm A(1; 1;2) và B(2;1;1) . Độ dài đoạn AB bằng

A. 2 . B. 6 .

C. 2 . D. 6 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 19

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

Câu 59. Cho hai điểm A(1;2;3) và B(1;0; m) . Tìm m biết AB  3 .

A. m  2 hoặc m  4 .

B. m  2 hoặc m  4 .

C. m  2 hoặc m  4 .

D. m  2 hoặc m  4 .

Câu 60. (Đề minh họa năm 2017 – Lần 3 – Câu 17) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho các điểm A(3; 4;0) , B(1;1;3) và C(3;1;0) . Tìm tọa độ điểm D trên

trục hoành sao cho AD  BC .

A. D(2;0;0) hoặc D(4;0;0) .

B. D(0;0;0) hoặc D(6;0;0) .

C. D(6;0;0) hoặc D(12;0;0) .

D. D(0;0;0) hoặc D(6;0;0) .

Câu 61. Tọa độ điểm N thuộc trục Ox cách đều A(2; 1;1) và B(3; 2; 1) là

A. N(1;0;0) . B. N(2;0;0) .

C. N(4;0;0) . D. N(4;0;0) .

Câu 62. Tọa độ điểm thuộc trục Oz và cách đều hai điểm A(1;2; 4) và B(0;1;2) là

A. M(0;0; 4) . B. M(0;0; 5) .

C. M(0;0;4) . D. M(0; 5;0) .

Câu 63. Cho ba điểm A(0;1;2) , B(1;2;3) , C(1; 2; 5) . Điểm M nằm trong đoạn thẳng BC

sao cho MB  3MC . Độ dài đoạn thẳng AM bằng?

A. 7 2 . B. 11 .

C. 7 3 . D. 30 .  

Câu 64. Cho tam giác ABC với AB  (1; 3;5) và AC  (1; 1; 1) . Độ dài đường trung

tuyến AM của tam giác ABC là

A. 12 . B. 3 .

C. 2 3 . D. 9 .  

Câu 65. Cho tam giác ABC biết AB  (1;1;3) và BC  (4;2; 2) . Độ dài đường trung

tuyến AM của tam giác ABC bằng

A. 6 . B. 2 6  11 .

C. 3 . D. 19 .
Câu 66. Cho hai vectơ u và v tạo với nhau một góc 120 và |u|  2 , |v|  5 . Tính |u  v| .

A. 19 . B. 5 .

C. 7 . D. 39 .

Page 20 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

DẠNG 3. Tích có hướng và ứng dụng
Câu 67. Cho hai véc tơ u(1;0; 3) và v(1; 2;0) . Tìm tọa độ của [u,v] .

A. [u,v]  (6;3; 2) B. [u,v]  (2;6; 3)
C. [u, v]  (1;0;0) D. [u, v]  (6; 3;2)
Câu 68. Cho hai vectơ u  (3; 2;1) , v  (2; 4; 1) . Giá trị của [u, v] bằng

A. 5 5 B. 10 5

C. 5 D. 3 5
Câu 69. Cho hai vectơ u  (4;3;1) , v  (0;0;1) . Gọi w là vectơ cùng hướng với [u,v] . Biết
w  15 , tìm tọa độ vectơ w .
A. w  (9; 12;0) B. w  (45; 60;0)
C. w  (0;9; 12) D. w  (0;45;
Câu 70. Cho hai vectơ a  (1;0; 2) và 60) 2; 1) . Tọa độ vectơ u sao cho u  a , u   và
b  (1; b

u  21 . B. u  (4;1; 2)
A. u  (4; 1;2)
C. u  (2; 1; 4) D. u  (2; 1;4)
a  a  (a,  [a, 
Câu 71. Cho hai vectơ và b . Nếu 3, b  10 và b)  30 thì b] bằng

A. 9 B. 11

C. 15 D. 10 a  2 3,  và (a,   120 . Ta có [5a, 
Câu 72. Cho hai vectơ a và b thỏa mãn b 3 b) 2b]

bằng

A. 3 3 B. 90

C. 30 3 D. 9
Câu 73. Cho u  (4;3;4) , v  (2; 1;2) và w  (1;2;1) . khi đó [u,v].w là

A. 2. B. 3.

C. 0. a  (1; 2; 1) , D . 1. c  (x;3x; x  2) . Nếu ba vectơ a ,  c đồng phẳng
Câu 74. Cho b  (1;1;2) , b,

thì x bằng

A. 2 B. 1

C. 2 D. 1

Câu 75. Cho A(0;2; 2) , B(3;1; 1) , C(4;3;0) và D(1;2; m) . Tìm m để A , B , C , D đồng

phẳng

A. m  5 B. m  1

C. m  1 D. m  5

Câu 76. Cho các điểm A(0;0;4) , B(2;1;0) , C(1;4;0) và D(a;b;0) . Điều kiện cần và đủ của

a, b để hai đường thẳng AD và BC cùng thuộc một mặt phẳng là

A. 3a  b  7 B. 3a  5b  0
C. 4a  3b  2 D. a  2b  1

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 21

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

Câu 77. Cho A(1;2; 1) , B(0; 2;3) . Tính diện tích tam giác OAB .

A. 29 B. 29 C. 78 D. 2
6 2 2

Câu 78. Diện tích tam giác ABC với A(1;2;0) , B(3;  1;1) và C(1;1;1) là

A. S  1 . B. S  1 .
2

C. S  3 . D. S  2 .

Câu 79. Cho ba điểm A(2;0;0) , B(0;3;1) , C(1;4;2) . Độ dài đường cao từ đỉnh A của tam

giác ABC bằng

A. 6 . B. 2 .

C. 3. D. 3 .
2

Câu 80. Tính diện tích hình bình hành ABCD biết A(2;1; 3) , B(0; 2;5) và C(1;1;3) .

A. 2 87 B. 349

C. 87 D. 349
2

Câu 81. Cho hình bình hành ABCD với A(1;0;1) , B(2;1;2) và giao điểm của hai đường

chéo là I  3 ; 0; 3  . Tính diện tích của hình bình hành.
 2 2 

A. 5 . B. 6 .

C. 2 . D. 3 .

Câu 82. Cho hình hộp ABCD.ABCD với A(2; 2;2) , B(1;2;1) , A(1;1;1) và D(0;1;2) . Thể

tích của hình hộp ABCD.ABCD là

A. 8 . B. 3 .
2

C. 2 . D. 4 .

Câu 83. Thể tích tứ diện ABCD có A(2; 1;1) , B(5;5; 4) , C(3;2; 1) , D(4;3;1) là
A. 2 .
B. 1 .
C. 6 .
D. 3 .

Câu 84. Cho bốn điểm A(a; 1;6) , B(3; 1; 4) , C(5; 1;0) và D(1;2;1) thể tích của tứ diện
ABCD bằng 30 . Giá trị của a là

A. 1 hoặc 32 .
B. 1 hoặc 2 .
C. 2 hoặc 32 .
D. 2 hoặc 2 .

Page 22 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Câu 85. Cho tứ diện ABCD , biết A(6; 2;3) , B(0;1;6) , C(2;0; 1) và D(4;1;0) . Độ dài

đường cao AH của tứ diện ABCD là

A. 36 B. 12
77 77

C. 6 D. 4
77 77

Câu 86. (VDC) Cho ba điểm A(1;0;2) , B(2;1;3) và C(3;2; 4) . Tìm tọa độ trực tâm H của

ABC ?

A. H   5 ;  5 ; 11  . B. H  5 ;  5 ; 11  .
 4 8 8   4 8 8 

C. H  5 ;  5 ;  11  . D. H  5 ; 5 ; 11  .
 4 8 8   4 8 8 

Câu 87. (VDC) Cho tam giác ABC với A(1;1;1) , B(2;3;0) . Biết rằng tam giác ABC có

trực tâm H(0;3;2) tìm tọa độ của điểm C .

A. C(3;2;3) . B. C(4;2;4) .

C. C(1;2;1) . D. C(2;2;2) .

Câu 88. (VDC) Cho các điểm A(1;3;5) , B(4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa độ điểm I tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

A. I  8 ; 5 ; 8  . B. I  5 ; 8 ; 8  .
 3 3 3   3 3 3 

C. I   5 ; 8 ; 8  . D. I  8 ; 8 ; 5  .
 3 3 3   3 3 3 

Câu 89. (VDC) Cho hai điểm A(0;2; 2) , B(2;2; 4) . Giả sử I(a;b; c) là tâm đường tròn

ngoại tiếp tam giác OAB . Tính T  a2  b2  c2 .

A. T  8 . B. T  2.

C. T  6 . D. T  14 .

DẠNG 4. Phương trình mặt cầu

Câu 90. (Đề minh họa 2020 – Lần 1 – Câu 14) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu
(S) : (x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  16 . Tâm của (S) có tọa độ là

A. (1; 2; 3) . B. (1;2;3) .

C. (1;2; 3) . D. (1; 2;3) .

Câu 91. (Đề tốt nghiệp 2020 – Lần 1 – Mã đề 101 – Câu 10) Trong không gian Oxyz ,

cho mặt cầu (S) : x2  y2  (z  2)2  9 . Bán kính của (S) bằng

A. 6 . B. 18 .

C. 9 . D. 3 .

Câu 92. (Đề tốt nghiệp 2020 – Lần 1 – Mã đề 102 – Câu 07) Trong không gian Oxyz ,

cho mặt cầu (S) : x2  ( y  2)2  z2  9 . Bán kính của (S) bằng

A. 6 . B. 18 .

C. 3 . D. 9 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 23

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

Câu 93. (Đề thi THPT QG 2019 – Mã đề 101 – Câu 21) Trong không gian Oxyz , cho
mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  2z  7  0 . Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. 7 . B. 9 .

C. 3 . D. 15 .

Câu 94. Tính diện tích mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  6z  5  0 .

A. 42 . B. 36 .

Câu 95. Mặt cầu nào sau đây có tâm nằm trên trục Oz ?

A. (S1) : x2  y2  z2  8x  2  0 . B. (S2) : x2  y2  z2  8z  2  0 .
C. (S3) : x2  y2  z2  2x  4 z  0 . D. (S4 ) : x2  y2  z2  8 y  2  0 .

Câu 96. Mặt cầu nào sau đây có tâm nằm trên mặt phẳng tọa độ (Oxy) ?

A. (S1) : x2  y2  z2  2x  6 y  8  0 . B. (S2) : x2  y2  z2  2 y  8z  8  0 .
C. (S3 ) : x2  y2  z2  2x  4z  8  0 . D. (S4 ) : x2  y2  z2  2x  6 y  4z  8  0 .

Câu 97. (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 102 – Câu 16) Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị m để phương trình

x2  y2  z2  2x  2 y  4z  m  0 là phương trình của một mặt cầu.

A. m  6 . B. m  6 .

C. m  6 . D. m  6 .

Câu 98. Giả sử tồn tại mặt cầu (S) có phương trình x2  y2  z2  4x  8 y  2mz  6m  0 .

Tìm tất cả các giá trị của m để (S) có bán kính R  6 .

A. m  {2;8} . B. m  {2; 8} .

C. m  {2;4} . D. m  {2; 4} .

Câu 99. Cho mặt cầu (S) có phương trình x2  y2  z2  4(m  3)x  2 y  (4m  4)z  1  0 .

Bán kính R của (S) có giá trị nhỏ nhất của bằng

A. Rmin  2 2 .

B. Rmin  4 2 .

C. Rmin  10 .

D. Rmin  34 .
Câu 100. Cho mặt cầu (S) : (x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  9 . Điểm nào sau đây nằm ngoài

mặt cầu (S) ?

A. M(1;2;5) . B. N(0;3;2) .

C. P(1;6; 1) . D. Q(2; 4;5) .

Câu 101. Cho mặt cầu (S) : x2  ( y  1)2  (z  2)2  25 . Điểm nào sau đây nằm trong (S) ?

A. M(3; 2;4) . B. N(0; 2; 2) .

C. P(3;5;2) . D. Q(1;3;0) .

Câu 102. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  6x  4 y  2z  0 .

Điểm nào sau đây nằm trên mặt cầu (S) ?

A. M(0;1; 1) . B. N(0;3;2) .

C. P(1;6; 1) . D. Q(1;2;0) .

Page 24 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Câu 103. Phương trình mặt cầu tâm I(1;2;0) bán kính bằng R  5 là

A. (x  1)2  ( y  2)2  z2  25 . B. (x  1)2  ( y  2)2  z2  5 .

C. (x  1)2  ( y  2)2  z2  5 . D. (x  1)2  ( y  2)2  z2  25 .

Câu 104. (Đề minh họa năm 2019 – Câu 19) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm

I(1;1;1) và A(1;2;3) . Phương trình của mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là

A. (x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2  29 . B. (x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2  5 .

C. (x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2  25 . D. (x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2  5 .

Câu 105. Cho hai điểm A(6;2;  5) , B(4;0;7) . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB .

A. (x  5)2  ( y  1)2  (z  6)2  62 .

B. (x  5)2  ( y  1)2  (z  6)2  62 .

C. (x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2  62 .

D. (x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2  62 .

Câu 106. Cho hai điểm A(2;0; 3) và B(2;2; 1) . Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A. x2  y2  z2  2y – 4z  1  0 .

B. x2  y2  z2  2 y  4z  1  0 .

C. x2  y2  z2  2x  4 z  1  0 .

D. x2  y2  z2  – 2 y  4z  1  0 .

Câu 107. Cho ba điểm A(2;0;0) , B(0; 3;0) và C(0;0;6) . Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

OABC có bán kính bằng

A. 7 . B. 11 .
2

C. 11 . D. 7 .
3

Câu 108. Bán kính mặt cầu đi qua bốn điểm A(1;0;1) , B(1;0;0) , C(2;1;0) và D(1;1;1) bằng

A. 3 . B. 3 .
2

C. 1 . D. 3 .
2

Câu 109. Cho các điểm A(1;2;1) và B(0;1;1) . Mặt cầu đi qua hai điểm A , B và tâm thuộc

trục Ox có bán kính bằng

A. 2 6 . B. 6 .

C. 2 5 . D. 12 .

Câu 110. Cho các điểm A(1;3;1) và B(3;2;2) . Mặt cầu đi qua hai điểm A , B và tâm thuộc

trục Oz có đường kính bằng

A. 14 . B. 2 14 .
C. 2 10 . D. 2 6 .
Câu 111. Mặt cầu (S) đi qua A(1;2; 4) , B(1; 3;1) , C(2;2;3) và có tâm ở trên mặt phẳng

(Oxy) . Mặt cầu (S) có bán kính

A. R  26 . B. R  5 .
C. R  2 6 . D. R  2 5 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 25

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

Câu 112. Mặt cầu (S) đi qua A(0;2;0) , B(2;3;1) , C(0;3;1) và có tâm ở trên mặt phẳng

(Oxz) . Phương trình của mặt cầu (S) là

A. x2  ( y  6)2  (z  4)2  9 B. x2  ( y  3)2  z2  16

C. x2  ( y  7)2  (z  5)2  26 D. (x  1)2  y2  (z  3)2  14

Câu 113. (Đề THPT QG 2017 – Mã đề 104 – Câu 47) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho ba điểm A(2;0;0), B(0; 2;0) và C(0;0; 2) . Gọi D là điểm khác O sao

cho DA, DB, DC đôi một vuông góc với nhau và I(a;b; c) là tâm mặt cầu ngoại

tiếp tứ diện ABCD . Tính S  a  b  c .

A. S  4 .

B. S  1 .

C. S  2 .

D. S  3 .

Page 26 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

1. VeĐncếịuntơhgiápngchủháaĩpan.tVuveuycôếtnơngngcóủc0avớđmiư(ợặPct)gp,ọkhiílẳhànivệguecntơp(Ph)á.p tuyến (VTPT) của mặt phẳng (P)

n

P by PHL

Chú ý.
● Nếu hai vectơ u , v không cùng phương nhau và có giá song song với mặt phẳng
(P) (hoặc nằm trên (P) ) thì (P) có VTPT là n  [u,v] .
Ngoài ra ta còn nói hai vectơ u , v là hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) .
● Mặt phẳng (P) có vô số VTPT là k.n ( k  0 ).

2. Phương trình của mặt phẳng

a. Định nghĩa. Mỗi mặt phẳng (P) đều có phương trình tổng quát dạng

Ax  By  Cz  D  0
với A2  B2  C2  0 . Suy ra n( A; B;C) là VTPT của (P) .
Chú ý. Mặt phẳng (P) đi qua M(x0; y0; z0 ) nhận vectơ n( A; B;C) có phương trình là

A(x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0 .

b. Các trường hợp riêng

Hệ số Phương trình mặt phẳng Đặc điểm

D0 Ax  By  Cz  0 (P) đi qua gốc tọa độ O
(P) // Ox hoặc Ox  (P)
A0 By  Cz  D  0 (P) // Oy hoặc Oy  (P)
(P) // Oz hoặc Oz  (P)
B0 Ax  Cz  D  0 (P) // (Oxy) hoặc (P)  (Oxy)
(P) // (Oxz) hoặc (P)  (Oxz)
C0 Ax  By  D  0 (P) // (Oyz) hoặc (P)  (Oyz)

A  B  0 Cz  D  0

A  C  0 By  D  0

B  C  0 Ax  D  0

Đặc biệt. Phương trình các mặt phẳng tọa độ

PT mặt phẳng (Oxy) (Oxz) (Oyz)
VTPT  z0  y0  x0
k  (0;0;1) j  (0;1;0) i  (1;0;0)

Quy tắc. “Thiếu chữ nào, chữ đó bằng 0”.
c. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
Nếu mặt phẳng (P) không qua gốc tọa độ O và cắt các trục tọa độ tại ba điểm

A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0; c) thì có phương trình x  y  z  1 .
abc

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 27

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

z
c

O by PHL by

a
x

3. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P) : Ax  By  Cz  D  0 và (P) : Ax  By  Cz  D  0 .

● (P)  (P)  A  B  C  D ,
A B C D

● (P) // (P)  A  B  C  D ,
A B C D

● (P) cắt (P)  A : B : C  A : B : C .

4. Góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng (P) : Ax  By  Cz  D  0 và (P) : Ax  By  Cz  D  0 . Giả sử n ,
n lần lượt là hai vectơ pháp tuyến của (P) , (P) .

Góc  giữa (P) và (P) tính theo công thức

cos  n.n  A.A  B.B  C.C ( 0°    90° ).
n . n A2  B2  C2 . ( A)2  (B)2  (C)2

Chú ý. (P)  (P)  n.n  0  A.A  B.B  C.C  0 .

5. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M(xM ; yM ; zM ) đến mặt phẳng (P) : Ax  By  Cz  D  0 là

d(M,(P))  A.xM  B.yM  C.zM  D .
A2  B2  C2

Chú ý. Nếu M  (P) thì d(M, (P))  0 . (Oxz) : y  0 (Oyz) : x  0
(Oxy) : z  0

Khoảng cách từ d(M,(Oxy))  zM d(M,(Oxz))  yM d(M, (Oyz))  xM
M đến các mặt
phẳng tọa độ

Đặc biệt. Cho hai mặt phẳng song song nhau là

(P) : Ax  By  Cz  D  0 và (P) : Ax  By  Cz  D  0

Tính khoảng cách d giữa (P) và (P) bằng cách

Cách 1. Sử dụng công thức d  D  D .

A2  B2  C2

Cách 2. Lấy một điểm bất kì M  (P) . Ta có d  d(M,(P)) .

Page 28 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

6. Chùm mặt phẳng

Trong không gian cho hai mặt phẳng (P) và (P) cắt nhau theo giao tuyến  . Tập

hợp các mặt phẳng (Q) chứa  được gọi là chùm mặt phẳng xác định bởi (P) và

(P) . Kí hiệu là ((P),(P)) .

P'

ΔP

by PHL

Giả sử (P) : Ax  By  Cz  D  0 và (P) : Ax  By  Cz  D  0 . Người ta chứng minh

phương trình của chùm mặt phẳng ((P),(P)) có dạng

m( Ax  By  Cz  D)  n(Ax  By  Cz  D)  0 (1)

với m2  n2  0 .

Phương trình (1) viết tắt thành m(P)  n(P)  0 .

7. Vị trí tương đối giữa một mặt phẳng và một mặt cầu

Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I(xI ; yI ; zI ) , bán kính R . Ta có

● (P) không cắt (S)  d(I, (P))  R

● (P) tiếp xúc (S)  d(I, (P))  R

● (P) cắt (S)  d(I, (P))  R

Chú ý.

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường I
tròn tâm J có bán kính r thỏa R2  r2  d2 với R
d  IJ  d(I, (P)) . A rJ
P

Bài tập tự luận

VẤN ĐỀ 1. Viết phương trình mặt phẳng

BÀI 74. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết
a. (P) qua điểm M(1;2; 3) và có vectơ pháp tuyến n  (3;1; 5) .
b. (P) qua điểm M(0;2; 1) và có vectơ pháp tuyến n  (1;0; 2) .
n 
c. (P) qua điểm M(1;2; 1) và có vectơ pháp tuyến giá (2;0;0) . (1; 2;3) và   (3;0;5) .
d. (P) qua điểm M(2;5; 7) và có giá song song với của a  b

BÀI 75. Cho điểm I(1;2;1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) biết (P) qua I và

a. vuông góc với trục Ox .
b. vuông góc với trục Oz .
c. song song với mặt phẳng (Q) : x  2x  5z  7  0 .

d. song song với mặt phẳng (R) : 3x  2z  10  0 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 29

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

e. song song với mặt phẳng (Oxy) .

f. song song với mặt phẳng (Oyz) .

g. song song với mặt phẳng (Oxz) .
BÀI 76. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C biết

a. A(1;1;4), B(2;7;9), C(0;9;13) .

b. A(1;0;0), B(0; 2;0), C(0;0; 3) .

c. A(2;0; 3), B(1;3; 2), C(0;7;10) .

d. A(1;1; 2), B(0;4; 1), C(2;5; 4) .
BÀI 77. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn MN biết

a. M(1; 1;2), N(3;1; 4) . b. M(1; 1;1), N (3;3; 1) .

c. M(1; 2; 4), N (2; 3; 5) . d. M  1 ; 0; 2  N  3; 1;  1  .
 2  ,  2 

BÀI 78. Cho bốn điểm A(5;1;3) , B(1;2;6) , C(5;0;4) , D(4;0;6) .

Viết phương trình mặt phẳng (P) biết

a. (P) qua A và vuông góc với BC .

b. (P) qua D và song song với mặt phẳng ( ABC) .

c. (P) chứa AB và song song với CD .
BÀI 79. Cho hai điểm A(2; 4;1) , B(1;1;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) biết

a. (P) qua A và vuông góc với AB .

b. (P) chứa hai điểm A , B và vuông góc với mặt phẳng ( ) : x  3y  2z  5  0 .

c. (P) chứa hai điểm A , B và song song với trục Oy .

d. (P) chứa hai điểm A , B và song song với trục Oz .
BÀI 80. Cho điểm M(3; 4;5) .

a. (P) chứa trục Ox và đi qua điểm M .

b. (P) chứa trục Oy và đi qua điểm M .

c. (P) chứa trục Oz và đi qua điểm M .
BÀI 81. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với hai mặt phẳng ( ) ,

( ) biết

a. ( ) : x  2y  3z  1  0 , ( ) : 2x  3y  z  1  0 và M(1; 2;5) .

b. ( ) : 2x  3y  2z  4  0 , ( ) : 2x  y  2z  3  0 và M(1;2;0) .

c. ( ) : x  2 y  3z  4  0 , ( ) : x  z  1  0 và M(1;0; 2) .

d. ( ) : 3x – 2 y  2z  7  0 , ( ) : 5x – 4 y  3z  1  0 và M(3; 1; 5) .

BÀI 82. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và chứa giao tuyến của hai mặt phẳng

( ) , ( ) biết

a. ( ) : 2x  y  3z  4  0 , ( ) : x  3 y  2z  7  0 và M(1;2; 4) .

b. ( ) : 2x  3y  2z  4  0 , ( ) : 2x  y  2z  3  0 và M(1;2;0) .

c. ( ) : x  5 y  z  10  0 , ( ) : 2x  y  z  1  0 và M(3; 2;1) .

d. ( ) : 3x  7 y  z  3  0 , ( ) : x  9 y  2z  5  0 và M(3; 4;6) .

BÀI 83. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) , ( ) và

vuông góc với mặt phẳng (Q) biết

Page 30 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

a. ( ) : x  2z  0 , ( ) : 3x  2y  z  3  0 và (Q) : x  2y  z  5  0 .
b. ( ) : x  y  5z  0 , ( ) : x  3y  z  0 và (Q) : 2x  2y  z  3  0 .
c. ( ) : 2x  y  z  2  0 , ( ) : x  y  z  3  0 và (Q) : x  3y  z  4  0 .
d. ( ) : y  2z  4  0 , ( ) : x  y  z  3  0 và (Q) : x  y  z  2  0 .
BÀI 84. Cho hai mặt phẳng ( ) : x  y  z  5  0 và ( ) : 3x  2y  z  1  0 . Viết phương

trình mặt phẳng (P) chứa giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) , ( ) biết
a. (P) song song với trục Ox .
b. (P) song song với trục Oy .
c. (P) song song với trục Oz .
d. (P) song song với giá của vectơ u  (1;1;1) .

VẤN ĐỀ 2. Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
BÀI 85. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua G cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần

lượt tại A , B , C (khác O ) sao cho G là trọng tâm tam giác ABC biết

a. G(1;2;3) . b. G(2; 2;5) .

BÀI 86. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua H cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần

lượt tại A , B , C (khác O ) sao cho H là trực tâm tam giác ABC .

a. H(1;1; 3) . b. H(2;1;1) .

BÀI 87. Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(2; 4;1) và cắt ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần

lượt tại ba điểm A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0; c) . Viết phương trình tổng quát của

(P) khi a , b , c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.

BÀI 88. Mặt phẳng (P) : x  y  z  1 cắt ba trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C . Tính
BÀI 89. 567

thể tích V của khối tứ diện OABC .

Có bao nhiêu mặt phẳng (P) đi qua M(1;2;5) và cắt các trục Ox , Oy , Oz tại A ,

B , C sao cho OA  OB  OC ( A , B , C không trùng với gốc tọa độ O ).
BÀI 90. Cho hai điểm M(2; 3;4) và N(1; 4;3) . Viết phương trình tổng quát của mặt

phẳng (P) vuông góc với MN , cắt ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B ,

C sao cho thể tích OABC bằng 3 .
14

VẤN ĐỀ 3. Vị trí tương đối và Góc giữa hai mặt phẳng
BÀI 91. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau

a. (P) : 2x  3y  4z  20  0 và (Q) : 4x  13 y  6z  40  0 .

b. (P) : x  2y  2z  14  0 và (Q) : x  2y  2z  16  0 .

c. (P) : 2x  2y  4z  5  0 và (Q) : 5x  5y  10z  25  0.
2

BÀI 92. Xác định tham số m để (P)  (Q) biết

a. (P) : x  y  z  1  0 và (Q) : 2x  y  mz  m  1  0 .

b. (P) : 7x  3y  mz  3  0 và (Q) : x  3y  4z  5  0 .

c. (P) : 2x  m2 y  2z  1  0 và (Q) : m2x  y  (m2  2)z  2  0 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 31

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

d. (P) : (m  3)x  2y  (5m  1)z  10  0 và (P) : 2x  my  3z  m  0 .
BÀI 93. Xác định tham số m, n để (P) // (Q) biết

a. (P) : x  3 y  2z  3  0 và (Q) : 2x  6 y  mz  m  0 .
b. (P) : 2x  2m2 y  4z  m  1  0 và (Q) : 2x  8 y  4z  1  0 .
c. (P) : nx  7 y  6z  4  0 và (Q) : 3x  my  2z  7  0 .
d. (P) : 2x  ny  2z  1  0 và (Q) : 3x  y  mz  2  0 .
BÀI 94. Tính góc giữa hai mặt phẳng
a. (P) : x  y  2z  1  0 và (Q) : x  2y  z  2  0 .
b. (P) : 2x  y  2z  9  0 và (Q) : x  y  6  0 .
c. (P) : 2x  y  z  5  0 và (Q) : x  z  10  0 .
d. (P) : 2x  5y  z  5  0 và (Q) : 5x  3y  5z  0 .
BÀI 95. Cho tứ diện ABCD có A(0;2;0) , B(2;0;0) , C(0;0; 2) và D(0; 2;0) . Số đo góc của

hai mặt phẳng ( ABC) và ( ACD) .
BÀI 96. Xác định m để góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng  biết

a. (P) : mx  y  mz  1  0 , (Q) : x  y  0 và   45 .
b. (P) : (m  1)x  y  mz  1  0 , (Q) : x  2 y  z  0 và   60 .
c. (P) : mx  y  mz  3  0 , (Q) : (2m  1)x  (m  1) y  (m  1)z  6  0 và   30 .
BÀI 97. Cho các điểm A(1;0;0), B(0;2;0), C(0;0; m) . Xác định m sao cho mặt phẳng ( ABC)

hợp với mặt phẳng (Oxy) một góc 60 .
BÀI 98. Viết phương trình mặt phẳng (P) cắt hai trục Oy và Oz tại M(0; 1;0) , N(0;0;1)

và tạo với mặt phẳng (Oyz) một góc 45 .
BÀI 99. Cho điểm M(1;0;0) , N(0;0; 1) và mặt phẳng (Q) : x  y  4  0 . Viết phương trình

của mặt phẳng (P) qua điểm M, N và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 45 .
BÀI 100. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(3,0,4) , B(3,0,4) và hợp với

mặt phẳng (Oxy) một góc 30 .
BÀI 101. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(2;0;1) , B(2;0;5) và hợp với

mặt phẳng (Oxz) một góc 45 .

VẤN ĐỀ 4. Khoảng cách
BÀI 102. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) biết

a. M(1;2; 3) và (P) : x  2y  2z  2  0 .

b. M(1;2; 3) và (P) : 2x  y  2z  8  0 .

c. A(2; 1; 1) và (P) : 16x  12 y  15z  4  0 .

d. A(1; 3;1) và (P) : 2x  3y  4z  5  0 .
BÀI 103. Tính khoảng cách từ A(1;3; 2) đến mặt phẳng

a. (Oxy) . b. (Oyz) . c. (Oxz) .

BÀI 104. Xác định m sao cho khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng d biết

a. M(1;2;3) , (P) : 2x  y  mz  1  0 và d  3 .

b. M(2;4;3) , (P) : mx  3y  6z  19  0 và d  3 .

BÀI 105. Cho mặt phẳng (P) : x  2 y  2z  2  0 . Tìm điểm M biết rằng

Page 32 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

a. M thuộc trục Ox và cách (P) một khoảng bằng 1.
b. M thuộc trục Oy và cách (P) một khoảng bằng 4.

c. M thuộc trục Oz và cách (P) một khoảng bằng 2.
BÀI 106. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng ( ) cho trước và cách

điểm M đã cho một khoảng d biết
a. ( ) : x  2y  2z  10  0 , M(1; 2;3) và d  3 .

b. ( ) : 3x  4 y  1  0 , M  O và d  1 .
BÀI 107. Cho điểm M(1;2; 3) và mặt phẳng (Q) : 2x  4 y  z  4  0 .

a. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và song song với mặt phẳng (Q) .

b. Tính khoảng cách giữa (P) và (Q) .
BÀI 108. Tìm điểm M cách đều điểm A và mặt phẳng (P) biết rằng

a. M nằm trên trục Ox , A(3;0; 3) và (P) : 2x  2y  z  1  0 .

b. M nằm trên trục Oy , A(2;3;2) và (P) : 2x  2y  z  1  0 .
BÀI 109. Tìm điểm M cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q) biết rằng

a. M nằm trên trục Oy , (P) : x  y  z  1  0 và (Q) : x  y  z  5  0 .

b. M nằm trên trục Oy , (P) : x  2y  2z  1  0 và (Q) : 2x  y  2z  1  0 .
BÀI 110. Cho hai mặt phẳng song song nhau

(P) : Ax  By  Cz  D  0 và (P) : Ax  By  Cz  D  0 .
với A2  B2  C2  0 , D  D . Chứng minh rằng khoảng cách giữa (P) và (P) bằng

d((P),(P))  D  D .

A2  B2  C2

BÀI 111. Áp dụng công thức bài trên để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song là ( )

và ( ) biết

a. ( ) : x  2y  2z  4  0 và ( ) : x  2y  2z  7  0 .

b. ( ) : 4x  4 y  2z  7  0 và ( ) : 2x  2y  z  1  0 .
BÀI 112. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách mặt phẳng (Q) cho trước

một khoảng d biết

a. (Q) : x  y  z  2  0 và d  3 .

b. (Q) : 3x  y  2z  5  0 và d  14 .
BÀI 113. Viết phương trình mặt phẳng (P) cách đều hai mặt phẳng song song là ( ) và

( ) biết

a. ( ) : 5x  y  7z  2  0 và ( ) : 5x  y  7z  8  0 .
b. ( ) : x  2y  z  3  0 và ( ) : x  2y  z  6  0 .

VẤN ĐỀ 5. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu Page 33
BÀI 114. Xác định vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) biết

a. (P) : 2x  2y  z  9  0 và (S) : (x  1)2  ( y  3)2  (z  2)2  25 .
b. (P) : x  y  z  4  0 và (S) : (x  1)2  y2  (z  3)2  14 .
c. (P) : 3x  4z  10  0 và (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  2z  2  0 .
BÀI 115. Viết phương trình mặt phẳng (P) biết

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

a. (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x  1)2  ( y  2)2  (z  5)2  9 tại điểm A(2; 4;3) .
b. (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  6 y  4z  5  0 tại điểm A(2;1; 4) .
c. (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  2z  3  0 và song song với mặt
phẳng (Q) : 2x  2 y  z  14  0 .
BÀI 116. Cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình như sau

(S) : x2  y2  z2  6x  4 y  12z  0 và (P) : 2x  y  z  2  0 .

a. Chứng minh rằng (S) cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn lớn (C) .
b. Tính chu vi của đường tròn (C) .
BÀI 117. Viết phương trình mặt cầu (S) biết
a. (S) có tâm I(1; 2;5) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x  y  z  1  0 .
b. (S) có tâm I(2; 1;3) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) .
c. (S) có tâm I ở trên trục Oy và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng song song

(P) : x  2y  2z  6  0 , (Q) : x  2y  2z  10  0 .

d. (S) có tâm I ở trên trục Ox và (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng
(P) : x  2 y  2z  4  0 , (Q) : 2x  2 y  z  14  0 .

e. (S) có tâm I(1;2;  1) và cắt mặt phẳng (P) : x  2y  2z  2  0 theo giao tuyến là

đường tròn có bán kính bằng 5 .
f. (S) có tâm I(1;1;0) và cắt mặt phẳng (P) : x  y  z  1  0 theo giao tuyến là đường

tròn có bán kính bằng 1 .
BÀI 118. Biện luận tham số m vị trí tương đối giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) biết

a. (P) : 4x  3 y  m  0 và (S) : (x  2)2  ( y  1)2  (z  2)2  4 .
b. (P) : 2x  2 y  z  m2  4m  5  0 và (S) : x2  y2  z2  2x  2 y  2z  6  0 .
c. (P)  (Oyz) và (S) : (x  3)2  ( y  2)2  (z  1)2  m2  5 .
BÀI 119. Cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  4x  2 y  6z  1  0 . Xác định m để mặt phẳng

(P) : x  2y  3z  m  0 cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính lớn

nhất.
BÀI 120. Cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  2z  3  0 và hai điểm A(0; 1;0) ,

B(1;1; 1) . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , B và cắt mặt cầu (S)

theo giao tuyến là đường tròn có bán kính lớn nhất.
BÀI 121. Cho hai mặt phẳng ( ) : x  3 y  2z  4  0 , ( ) : 2x  3y  z  5  0 và mặt cầu

(S) : (x  2)2  ( y  1)2  (z  3)2  12 . Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc
với cả hai mặt phẳng ( ) , ( ) và đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) .
BÀI 122. Cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  4  0 và mặt phẳng (P) : x  z  3  0 . Viết

phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1) vuông góc với mặt phẳng

(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) .
BÀI 123. Cho hai điểm M(1;0;4) , N(1;1;2) và mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  2 y  2  0 .

Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M , N và tiếp xúc với (S) .

Page 34 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Bài tập trắc nghiệm

DẠNG 1. Phương trình mặt phẳng

Câu 114. (Đề thi THPT QG năm 2019 – Mã 102 – Câu 02) Trong không gian Oxyz , cho

mặt phẳng (P) : 2x  y  3z  1  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến

nn12của (P) ? nn43

A.  (2; 1; 3) . B.  (2;1;3) .
C.  (2; 1;3) . D.  (2;3;1) .

Câu 115. (Đề tốt nghiệp năm 2020 – Đợt 2 – Mã 104 – Câu 01) Trong không gian Oxyz ,

cho mặt phẳng ( ) : x  2y  4z  1  0 . Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến

nn32của ( ) ? nn14

A.  (1; 2;4) . B.  (1;2; 4) .
C.  (1;2; 4) . D.  (1;2; 4) .

Câu 116. (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 101 – Câu 09) Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) : x  2y  z  5  0 . Điểm nào dưới đây thuộc (P) ?

A. Q(2; 1;5) . B. P(0;0; 5) .

C. N(5;0;0) . D. M(1;1;6) .

Câu 117. (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 103 – Câu 02) Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : x  y  z  6  0 . Điểm nào dưới đây không

thuộc ( ) ?

A. N(2;2;2) . B. Q(3;3;0) .

C. P(1;2;3) . D. M(1; 1;1) .

Câu 118. Cho mặt phẳng (P) : 3x  y  z  1  0 . Trong các véctơ sau, vectơ nào không phải

nn13là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) ?
nn24
A.  (3; 1; 1) . B.  (3; 1;1) .
C.  (3;1; 1) . D.  (6;2; 2) .

Câu 119. Cho mặt phẳng (P) : x  2 y  z  0 có vectơ pháp tuyến n(1; 2;1) . Mệnh đề nào

dưới đây là sai?

A. (P) có vô số vectơ pháp tuyến.
B. (P) có vô số vectơ pháp tuyến dạng k.n với mọi số thực k .
pvh(1á; p2t;uy1ế)nlàkhveácctlơàpnh1á(p1t;u2y; ến1). .
C. (P) có một vectơ
D. (P) không nhận

Câu 120. Phương trình mặt phẳng nào sau đây qua điểm A(1; 3;5) .

A. (P) : 2x  y  3z  20  0 .

B. (Q) : 2x  y  3z  10  0 .

C. (R) : 3x  y  z  5  0 .

D. (T) : 3x  y  z  5  0 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 35

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

Câu 121. (Đề THPT QG 2017 – Mã đề 102 – Câu 10) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng (Oyz) ?

A. y  0 . B. x  0 .

C. y  z  0 . D. z  0 .

Câu 122. (Đề THPT QG 2017 – Mã đề 101 – Câu 10) Trong không gian với hệ tọa độ

 Oxyz , vectơ nào sauđây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) ?
A. i  (1;0;0) . B. k  (0;0;1) .
C. j  (0;1;0) . D. m  (1;1;1) .

Câu 123. Cho điểm M(11;12;3) và mặt phẳng (P) : 5x  y  z  1  0 . Điểm nào cùng phía

(P) với điểm M ?

A. A(2; 3; 4) B. B(1;2;1)

C. C(2; 3; 4) D. D(1; 3;2)

Câu 124. (Đề minh họa 2017 – Lần 1 – Câu 47) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,

cho hai điểm A(0;1;1) và B(1;2;3) . Viết phương trình của mặt phẳng (P) đi qua

A và vuông góc với đường thẳng AB .

A. x  y  2z – 3  0 .

B. x  y  2z – 6  0 .

C. x  3 y  4z – 7  0 .

D. x  3y  4z – 26  0 .

Câu 125. (Đề minh họa 2018 – Câu 24) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;1)

và B(2;1;0) . Mặt phẳng qua A và vuông góc với AB có phương trình là

A. 3x  y  z  6  0 .

B. 3x  y  z  6  0 .

C. x  3y  z  5  0 .

D. x  3y  z  6  0 .

Câu 126. Mặt phẳng qua J(1;2;3) vuông góc với trục Oy có phương trình là

A. x  y  z  6  0 . B. y  2  0 .

C. z  3  0 . D. x  1  0 .

Câu 127. (Đề thi THPT QG năm 2019 – Mã đề 101 – Câu 30) Trong không gian Oxyz ,

cho hai điểm A(1;3;0) và B(5;1; 2) . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có

phuơng trình là

A. 2x  y  z  5  0 .

B. 2x  y  z  5  0 .

C. x  y  2z  3  0 .

D. 3x  2y  z  14  0 .

Câu 128. (Đề THPT QG 2017 – Mã đề 102 – Câu 26) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz , cho hai điểm A(4;0;1) và B(2;2;3) . Phương trình nào dưới đây là phương

trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB ?

A. 3x  y  z  0 .

B. 3x  y  z  6  0 .

Page 36 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

C. 3x  y  z  1  0 .

D. 6x  2y  2z  1  0 .

Câu 129. (Đề THPT QG 2018 – Mã đề 101 – Câu 20) Trong không gian Oxyz , mặt phẳng

đi qua điểm A(2; 1;2) và song song với mặt phẳng (P) : 2x  y  3z  2  0 có

phương trình là

A. 2x  y  3z  9  0 .

B. 2x  y  3z  11  0 .

C. 2x  y  3z  11  0 .

D. 2x  y  3z  11  0 .

Câu 130. Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua M(3; 1; 2) và song

song với ( ) : 3x  y  2z  4  0 ?

A. 3x  y  2z  14  0 .

B. 3x  y  2z  6  0 .

C. 3x  y  2z  6  0 .

D. 3x  y  2z  6  0 .

Câu 131. Mặt phẳng qua A(2;3; 3) và song song với (Oyz) có phương trình là

A. z  3  0 .

B. x  2  0 .

C. y  3  0 .

D. 2x  3 y  3z  0 .

Câu 132. Phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua điểm M(0; 1;4) và nhận
u(3,2,1) , v(3,0,1) làm vectơ chỉ phương là

A. x – 3 y  3z – 15  0 .

B. 3x  3 y – z  0 .

C. x  y  z – 3  0 .

D. x – y – z – 12  0 .

Câu 133. Cho ba điểm A(2; 1;3) , B(4;0;1) và C(10;5;3) . Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp

tuyến của mặt phẳng ( ABC) ?
A. n  (1;8;2) . B. n  (1;2;0) .
C. n  (1;2;2) . D. n  (1; 2;2) .

Câu 134. Cho bốn điểm A(0;1;1) , B(1;0;1) , C(0;0;1) , và I(1;1;1) . Mặt phẳng qua I , song

song với mặt phẳng ( ABC) có phương trình là

A. x  y  z  3  0 .

B. x  1  0 .

C. z  1  0 .

D. y  1  0 .

Câu 135. Cho các điểm A(5;1;3) , B(1;2;6) , C(5;0;4) , D(4;0;6) . Viết phương trình mặt

phẳng chứa AB và song song với CD .

A. 2x  5y  z  18  0 .

B. 2x  y  3z  6  0 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 37

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

C. 2x  y  z  4  0 .
D. x  y  z  9  0 .
Câu 136. Cho hai mặt phẳng (P) : x  y  z  0 , (Q) : x  2y  3z  4 và điểm M(1; 2;5) . Tìm

phương trình mặt phẳng ( ) đi qua M đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng
(P) , (Q) .
A. 5x  2y  z  14  0 .
B. x  4 y  3z  6  0 .
C. x  4 y  3z  6  0 .
D. 5x  2 y  z  4  0 .
Câu 137. Cho hai mặt phẳng (P) : x  2y  3z  1  0 và (Q) : 2x  3 y  z  1  0 . Mặt phẳng
( ) đi qua điểm M(1; 2;5) và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) có
phương trình là ( ) : mx  ny  pz  4  0 . Tính P  m  n  p .
A. P  6 .
B. P  4 .
C. P  4 .
D. P  6 .
Câu 138. Phương trình của mặt phẳng ( ) vuông góc với cả (P) : x  3 y  2z  1  0 và
(Q) : x  z  2  0 đồng thời cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 là
A. x  y  z  3  0 .
B. x  y  z  3  0 .
C. 2x  z  6  0 .
D. 2x  z  6  0 .
Câu 139. Cho mặt phẳng (P) : 2x  y  2z  1  0 và hai điểm A(1; 2;3) , B(3;2; 1) . Phương
trình mặt phẳng (Q) qua A, B và vuông góc với (P) là
A. (Q) : 2x  2y  3z  7  0 .
B. (Q) : 2x  2 y  3z  7  0 .
C. (Q) : 2x  2y  3z  9  0 .
D. (Q) : x  2 y  3z  7  0 .
Câu 140. Phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và đi qua điểm M(1; 1;1) là
A. x  z  0 .
B. x  z  0 .
C. x  y  0 .
D. x  y  0 .
Câu 141. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M(1; 1;2) và chứa trục Ox . Điểm nào trong các
điểm sau đây thuộc mặt phẳng (P) ?
A. M(0; 4; 2) .
B. N(2;2; 4) .
C. P(2;2; 4) .
D. Q(0; 4;2) .

Page 38 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Câu 142. Mặt phẳng (P) chứa hai điểm A(1;0;1) , B(1;2;2) và song song với trục Ox có
phương trình là

A. y  2z  2  0 .
B. x  2z  3  0 .
C. 2 y  z  1  0 .
D. x  y  z  0 .
Câu 143. Phương trình mặt phẳng ( ) qua giao tuyến của hai mặt phẳng

(P) : x  3 y  2z  1  0 và (Q) : 2x  y  3z  1  0 và song song với trục Ox là
A. 7x  y  1  0 .
B. 7 y  7z  3  0 .
C. 7x  7 y  1  0 .
D. 7 y  7z  1  0 .
Câu 144. Phương trình mặt phẳng ( ) qua giao tuyến của hai mặt phẳng

(P) : x  2y  3z  2  0 và (Q) : 2x  y  z  3  0 và song song với trục Oz là
A. 7x  5 y  7  0 .
B. 7x  5y  7  0 .
C. 5x  y  5  0 .
D. 5x  y  11  0 .

DẠNG 2. Viết phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Câu 145. (Đề minh họa 2017 – Lần 2 – Câu 45) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz , cho ba điểm A(1;0;0) , B(0; 2;0) và C(0;0;3) . Phương trình nào dưới đây là

phương trình của mặt phẳng ( ABC) ?

A. x  y  z  1 . B. x  y  z  1 .
3 2 1 2 1 3

C. x  y  z 1. D. x  y  z 1.
1 2 3 3 1 2

Câu 146. (Đề minh họa 2018 – Câu 15) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M(2;0;0) ,

N(0; 1;0) và P(0;0;2) . Mặt phẳng (MNP) có phương trình là

A. x  y z  0. B. x  y z  1 .
2 1 2 2 1 2

C. x y z  1. D. x  y z  1.
2 1 2 2 1 2

Câu 147. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của (P) : x  y  z  1?
A. n  (3;2;1) . B. n  (2;3;6) . 1 2 3

C. n  (1;2;3) . D. n  (6;3;2) .

Câu 148. Mặt phẳng (P) : x  y  z  1 ( a  0 ) cắt ba trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A,
a 2a 3a

B , C . Tính thể tích V của khối tứ diện OABC .

A. V  a3 .

B. V  3a3 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 39

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

C. V  6a3 .

D. V  4a3 .

Câu 149. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua G(1; 3; 4) cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz

lần lượt tại A , B , C (khác O ) sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là

A. x  y  z  1 . B. x  y  z  1.
3 9 12 3 9 12

C. x  y  z 1. D. x y z 1.
1 3 4 1 3 4

Câu 150. Viết phương trình mặt phẳng cắt các trục Ox , Oy , Oz lần lượt tại A , B , C sao

cho G(1;2; 3) là trọng tâm tứ diện OABC .

A. 6x  3y  2z  24  0 .

B. 6x  3y  2z  24  0 .

C. 6x  3y  2z  24  0 .

D. 6x  3 y  2z  24  0 .

Câu 151. Mặt phẳng (P) đi qua M(3;2;1) và cắt các trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần lượt tại

các điểm A , B , C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm của tam

giác ABC . Mặt phẳng (P) có phương trình là

A. 2x  y  z  9  0 .

B. 3x  2y  z  14  0 .

C. 3x  2y  z  14  0 .

D. 2x  y  3z  9  0 .

Câu 152. Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; 3;5) và cắt ba trục tọa độ Ox , Oy , Oz lần

lượt tại ba điểm A(a;0;0) , B(0;b;0) , C(0;0; c) . Viết phương trình tổng quát của

(P) khi a , b , c tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 3.

A. 9x  3y  z  5  0 .

B. 9x  3y  2z  10  0 .

C. 9x  3y  z  5  0 .

D. 9x  3 y  2z  10  0 .

DẠNG 3. Vị trí tương đối và Góc giữa hai mặt phẳng

Câu 153. Cho hai mặt phẳng (P) : 2x  3y  z  4  0 và (Q) : 5x  3y  2z  7  0 . Vị trí tương

đối của (P) và (Q) là

A. Song song. B. Cắt nhưng không vuông góc.

C. Vuông góc. D. Trùng nhau.

Câu 154. Cho hai mặt phẳng (P) : 3x  y  5z  1  0 và (Q) : 6x  2 y  10z  19  0 . Vị trí

tương đối của (P) và (Q) là

A. Song song.

B. Trùng nhau.

C. Cắt nhưng không vuông góc.

D. Vuông góc.

Câu 155. Cặp mặt phẳng nào sau đây song song với nhau?

Page 40 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

A. (P) : 2x  y  z  5  0 và (Q) : 4x  2 y  2z  10  0 .

B. ( A) : x  y  z  3  0 và (B) : 2x  2y  2z  6  0 .

C. (T) : x y z 0 và (U) : x  y z  0.
2 2 2

D. (K ) : 3x  y  2z  3  0 và (L) : 6z  2y  6  0 .

Câu 156. Xác định m để hai mặt phẳng (P) : 2x  2y  z  0 và (Q) : x  y  mz  1  0 cắt

nhau là

A. m  1 . B. m  1 .
2 2

C. m  1 . D. m  1.
2

Câu 157. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng song song với mặt

phẳng (Oyz) ?

A. y  2  0 . B. x  2  0 .

C. y  z  0 . D. x  y  0 .

Câu 158. Cho hai mặt phẳng (P) : x  (m  1) y  2z  m  0 và (Q) : 2x  y  3  0 , với m là

tham số thực. Để (P)  (Q) thì giá trị của m bằng bao nhiêu?

A. m  5 . B. m  1 .

C. m  3 . D. m  1 .

Câu 159. Trong các mặt phẳng sau tìm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

( ) : x  y  z  1  0 ?

A. 2x  y  z  1  0 . B. 2x  2y  2z  1  0 .

C. x  y  z  1  0 . D. 2x  y  z  1  0 .

Câu 160. Cho hai mặt phẳng ( ) : x  y  z  1  0 và ( ) : 2x  my  2z  2  0 . Tìm m để

( ) song song với ( ) .

A. Không tồn tại m .

B. m  2 .

C. m  2 .

D. m  5 .

Câu 161. Cho mặt phẳng (P) : x  2y  2z  3  0 , mặt phẳng (Q) : x  3 y  5z  2  0 . Cosin

của góc giữa hai mặt phẳng (P) , (Q) là

A. 35 . B.  35 .
7 7

C. 5 . D. 5 .
7 7

Câu 162. Số đo góc giữa (P) : x  2y  z  2  0 và (Q) : 2x  y  z  1  0 là

A. 60 . B. 90 .

C. 30 . D. 120 .

Câu 163. Số đo góc giữa (P) : 8x  4 y  8z  11  0 và (Q) : 2x  2 y  7  0 là

A. 45 . B. 60 .

C. 30 . D. 90 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 41

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

DẠNG 4. Khoảng cách

Câu 164. (Đề minh họa năm 2017 – Lần 1 – Câu 45) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho mặt phẳng (P) : 3x  4 y  2z  4  0 và điểm A(1; 2;3) . Tính khoảng

cách d từ A đến (P) .

A. d  5 . B. d  5 .
9 29

C. d  5 . D. d  5.
29 3

Câu 165. Khoảng cách từ A(1;2; 2) đến mặt phẳng (Oxz) là

A. 6 . B. 2 .

C. 1 . D. 3 .

Câu 166. Khoảng cách từ A(3;2; 6) đến mặt phẳng (Oxy) là

A. 6 . B. 2 .

C. 1 . D. 41 .

Câu 167. Tìm trên trục Oz điểm M cách đều điểm A(2;3;4) và mặt phẳng

(P) : 2x  3y  z  17  0 .

A. M(0;0; 3) .

B. M(0;0; 9) .

C. M(0;0;3) .

D. M(0;0;9) .

Câu 168. Tìm tất cả các giá trị của tham số m tính khoảng cách từ M(1;2; 3) đến mặt

phẳng (P) : x  2y  2z  m  0 bằng 3 .

A. m  2 , m  2 .

B. m  2 , m  0 .

C. m  2 .

D. m  2 , m  20 .

Câu 169. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q) : 2x  y  2z  4  0 và cách

điểm A(1;2; 3) một khoảng bằng 2 .

A. (P) : 2x  y  2z  0 .

B. (P) : 2x  y  2z  4  0 .

C. (P) : 2x  y  2z  8  0 .

D. (P) : 2x  y  2z  8  0 .

Câu 170. Cho mặt phẳng (P) song song và cách (Q) : 2x  y  2z  5  0 một khoảng cách

bằng 3 . Tìm phương trình của (P) biết (P) cắt Ox tại điểm có hoành độ âm.

A. 2x  y  2z  4  0 .

B. 2x  y  2z  14  0 .

C. 2x  y  2z  14  0 .

D. 2x  y  2z  4  0 .

Page 42 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Câu 171. Cho điểm M thỏa mãn OM  7 . Biết rằng khoảng cách từ M đến (Oxz) , (Oyz)

lần lượt là 2 và 3 . Tính khoảng cách từ M đến (Oxy) .

A. 12 .

B. 5 .

C. 2 .

D. 6 .

Câu 172. (Đề minh họa 2019 – Câu 22) Trong không gian Oxyz , khoảng cách giữa hai

mặt phẳng (P) : x  2y  2z  10  0 và (Q) : x  2 y  2z  3  0 bằng

A. 8 . B. 7 .
3 3

C. 3 . D. 4 .
3

Câu 173. Cho hai mặt phẳng (P) : x  2 y  3z  3  0 và (Q) : x  2 y  3z  7  0 . Viết phương

trình mặt phẳng (R) cách đều (P) và (Q) .

A. (R) : x  2y  3z  10  0 .

B. (R) : x  2 y  3z  2  0 .

C. (R) : x  2 y  3z  2  0 .

D. (R) : x  2 y  3z  10  0 .

Câu 174. Cho hình chóp S.ABCD có S(1;3; 1) , A(1;0;0) , B(0; 2;0) , C(0;0; 4) . Độ dài

đường cao của hình chóp S.ABCD bằng

A. 1 . B. 21 .
21 7

C. 2 . D. 21 .
13 3

Câu 175. Tìm tất cả các giá trị tham số m biết khoảng cách giữa hai mặt phẳng

(P) : x  2y  2z  4  0 và (Q) : x  2 y  2z  m  1  0 bằng 1 .

A. m  {2; 8} . B. m  {2;8} .

C. m  {2;8} . D. m  {2; 8} .

DẠNG 5. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Câu 176. Mặt cầu tâm I(1;2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x – 2 y – 2z – 8  0 có bán

kính là

A. R  1 . B. R  5 .

C. R  2 . D. R  3 .
Câu 177. Với giá trị nào của m thì (S) : (x  3)2  ( y  1)2  (z  1)2  3 tiếp xúc với

(P) : (m  4)x  3 y  3mz  2m  8  0 .

A. m  1 . B. m  1 .

C. m  2 . D. m  2 .

Câu 178. Viết phương trình mặt cầu tâm I(1;2;3) và tiếp xúc với (Oyz) ?

A. (x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  4 .

B. (x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  1 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 43

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

C. (x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  9 .

D. (x  1)2  ( y  2)2  (z  3)2  25 .

Câu 179. Mặt cầu nào sau đây tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) ?

A. (S1) : (x  1)2  y2  (z  2)2  2 .
B. (S2) : (x  1)2  ( y  3)2  (z  1)2  2 .
C. (S3 ) : (x  1)2  ( y  1)2  z2  1 .
D. (S4 ) : x2  y2  (z  4)2  16 .
Câu 180. Cho mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) : (x  1)2  ( y  1)2  (z  1)2  9 tại

điểm M(0; 1;3) . Viết phương trình mặt phẳng (P) .

A. x  2y  2z  8  0 . B. x  2y  2z  4  0 .

C.  y  3z  8  0 . D.  y  3z  8  0 .

Câu 181. (Đề minh họa 2017 – Lần 3 – Câu 29) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,

cho mặt cầu (S) có tâm I(3;2; 1) và đi qua điểm A(2;1;2) . Mặt phẳng nào tiếp

xúc với (S) tại A ?

A. x  y  3z  8  0 . B. x  y  3z  3  0 .

C. x  y  3z  9  0 . D. x  y  3z  3  0 .

Câu 182. (Đề minh họa 2017 – Lần 2 – Câu 46) Trong không gian với hệ trục tọa độ

Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(1;2; 1) và

tiếp xúc với mặt phẳng (P) : x  2y  2z  8  0 ?

A. (x  1)2  ( y  2)2  (z  1)2  3 .

B. (x  1)2  ( y  2)2  (z  1)2  3 .

C. (x  1)2  ( y  2)2  (z  1)2  9 .

D. (x  1)2  ( y  2)2  (z  1)2  9 .

Câu 183. (Đề thi THPT QG năm 2017 – Mã đề 103 – Câu 33) Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz , cho điểm I(1;2;3) và mặt phẳng (P) : 2x  2y  z  4  0 . Mặt cầu tâm

I tiếp xúc với (P) tại điểm H . Tìm tọa độ H ?

A. H(1;4;4) . B. H(3;0; 2) .

C. H(3;0;2) . D. H(1; 1;0) .

Câu 184. Cho mặt cầu (S) : (x  1)2  ( y  4)2  z2  m2  2m  13 . Tìm tất cả các giá trị của m

để mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxz) .

A. m  {1;1} . B. m  {3;1} .

C. m  {1;3} . D. m  {3;3} .

Câu 185. Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  6z  2  0 và song

song với ( ) : 4x  3 y  12z  10  0 là

A. 4x  3 y  12z  78  0 hoặc 4x  3 y  12z  26  0 .
B. 4x  3 y  12z  78  0 hoặc 4x  3 y  12z  26  0 .
C. 4x  3 y  12z  78  0 hoặc 4x  3 y  12z  26  0 .
D. 4x  3 y  12z  78  0 hoặc 4x  3 y  12z  26  0 .

Page 44 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Câu 186. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng (P) : x  y  z  3  0 cắt mặt cầu
(S) : x2  y2  z2  2(m  1)x  2my  2mz  2m2  9  0 .

A. m  (4;5) .
B. m  (; 4) .
C. m  (5; ) .
D. m  (; 4)  (5; ) .
Câu 187. Một mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  4z  16  0 cắt mặt phẳng

(P) : x  2 y  2z  2  0 cắt theo giao tuyến là 1 đường tròn có bán kính là

A. r  6 .

B. r  2 2 .

C. r  4 .

D. r  2 3 .
Câu 188. Tìm số thực m để mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  4 y  6z  m  3  0 cắt mặt phẳng

( ) : 2x  y  2z  8  0 theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi bằng 8 .

A. m  4 . B. m  2 .

C. m  3 . D. m  1 .

Câu 189. Mặt cầu (S) tâm O cắt mặt phẳng (P) : 2x  y  2z  9  0 theo giao tuyến là

đường tròn có bán kính r  4 . Phương trình của (S) là
A. x2  y2  z2  25 . B. x2  y2  z2  9 .
C. x2  y2  z2  5 . D. x2  y2  z2  16 .

Câu 190. (Đề minh họa 2017 – Lần 1 – Câu 48) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,

cho mặt cầu (S) có tâm I(2;1;1) và mặt phẳng (P) : 2x  y  2z  2  0 . Biết mặt

phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng
1 . Viết phương trình của mặt cầu (S) .
A. (S) : (x  2)2  ( y  1)2  (z  1)2  8 .
B. (S) : (x  2)2  ( y  1)2  (z  1)2  10 .
C. (S) : (x  2)2  ( y  1)2  (z  1)2  8 .
D. (S) : (x  2)2  ( y  1)2  (z  1)2  10 .
Câu 191. Cho hai điểm A(1; 4;2) , B(2; 2;1) và mặt cầu (S) : x2  ( y  4)2  (z  3)2  1 . Mặt

phẳng (P) đi qua A , B và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có bán
kính lớn nhất có phương trình là

A. y  z  3  0 . B. x  z  3  0 .

C. x  y  3  0 . D. x  z  1  0 .

Câu 192. Cho mặt cầu (S) : x2  y2  z2  2x  2 y  4z  1  0 và mặt phẳng

(P) : x  y  z  m  0 . Tìm tất cả m để (P) cắt (S) theo giao tuyến là một đường

tròn có bán kính lớn nhất.

A. m  4 . B. m  0 .

C. m  4 . D. m  7 .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 45

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

1. Phương trình đường thẳng

Định nghĩa. Đường thẳng d qua điểm M(x0; y0; z0 ) và có VTCP u(a;b; c) có phương
trình tham số là

 x  x0  a.t với t là tham số.
 y  y0  b.t


 z  z0  c.t

Chú ý. Nếu a.b.c  0 thì d có phương trình chính tắc là x  x0  y  y0  z  z0 .
abc

Đặc biệt. Phương trình các trục tọa độ

Ox Oy Oz

x  t x  0 x  0
Phương trình   
tham số  y  0  y  t  y  0

VTCP  z  0  z  0   z  t
  
 
i  (1;0;0) j  (0;1;0) k  (0;0;1)

Quy tắc. “Thiếu chữ nào, chữ đó bằng 0”.

2. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng u(a;b; c)
u(a;b; c)
Cho đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0; z0 ) và có VTCP là .
và đường thẳng d đi qua điểm M(x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP là

cchắddétVo/dị/ ddtdrítư[[[uuuơ[[MM,,,uunuuu,,guu]]]..đMM]]ddố0MMi00 Mối quan hệ giữa 2 VTCP

u , u cùng phương hay [u, u]  
0

d  0 u , u không cùng phương hay [u, u ]  
d  0 0

Chú ý.
● d và d đồng phẳng khi d // d , d  d hay d cắt d .
● d và d không đồng phẳng khi d chéo d .

Khi giải bài tập, nếu biết phương trình của hai đường thẳng ta có thể xét vị trí tương
đối giữa chúng bằng cách giải hệ phương trình để tìm giao điểm. Giả sử

x  x0  a.t x  x0  a.t
 y0  b.t  y0  b.t .
d :  y  và d :  y 

 z  z0  c.t z  z0  c.t


Page 46 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

Ta xét hệ  x0  a.t  x0  a.t (*) theo ẩn t và t . Khi đó
 y0  b.t  y0  b.t


 z0  c.t  z0  c.t

● Nếu hệ (*) có nghiệm duy nhất thì d cắt d .

● Nếu hệ (*) có vô số nghiệm thì d  d.

● Nếu hệ (*) có vô nghiệm thì d // d hoặc d chéo d , lúc đó cần xét thêm các

VTCP của chúng.

3. Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng d có VTCP là u(a;b; c) và đường thẳng d có VTCP là u(a;b; c) .

Góc  giữa d và d tính theo công thức

cos  u.u  a.a  b.b  c.c ( 0°    90° ).
u . u a2  b2  c2 . (a)2  (b)2  (c)2

Chú ý. ● d  d  u.u  0  a.a  b.b  c.c  0 .

● Nếu d // d hoặc d  d thì   0 .

4. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

x  x0  a.t
 y0  b.t
Cho đường thẳng d :  y  và mặt phẳng (P) : Ax  By  Cz  D  0 .

 z  z0  c.t


Xét phương trình A.(x0  a.t)  B.( y0  b.t)  C.(z0  c.t)  D  0 (*) theo ẩn t .

● Nếu PT (*) có đúng một nghiệm t  t0 thì d cắt (P) tại một điểm

M(x0  a.t0; y0  b.t0; z0  c.t) .

d

M
P by PHL

● Nếu PT (*) vô số nghiệm thì d  (P) . ● Nếu PT (*) vô nghiệm thì d và (P)

không có điểm chung, hay d // (P) .

d

d

P by PHL by PHL
P

Chú ý. Giả sử (P) có VTPT n và d có VTCP u . Khi đó
● Nếu n  u thì d  (P) (Hình 1) hoặc d // (P) (Hình 2)

u u
d
n n
d

P by PHL P by PHL

Hình 1 Hình 2
● Nếu n không vuông góc với u thì d cắt (P) .
Đặc biệt. n và u cùng phương thì d  (P) .

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 47

ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV) by PHL

du n

M
P by PHL

5. Góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng

Cho đường thẳng d có VTCP là u(a;b; c) và mặt phẳng (P) có VTPT là n( A; B;C) .
Góc  giữa d và (P) tính theo công thức

sin  A.a  B.b  C.c ( 0°    90° ).

A2  B2  C2 . a2  b2  c2

Chú ý.

●   90  d  (P) . ● Nếu d  (P) hoặc d // (P) thì   0 .

6. Khoảng cách
a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d (đi qua M và có VTCP là u ) là

d( A, d)   AM, u  .
u

Đặc biệt. Khoảng cách từ A(xA; yA; zA ) đến các trục tọa độ là

● d( A, Ox)  y2A  z2A ● d( A, Oy)  x2A  z2A ● d( A, Oz)  x2A  y2A

b. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng d và d chéo nhau là
[u, u ].MM
d(d, d)  [u, u]

trong đó d đi qua M , có VTCP là u và d đi qua M , có VTCP là u .

Chú ý.
● Khoảng cách từ đường thẳng d đến mặt phẳng (P) (biết d // (P) ) là

d(d,(P))  d(M,(P)) với M  d .
Md

H
P by PHL
● Khoảng cách từ đường thẳng d đến đường thẳng d (biết d // d ) là

d(d, d)  d(M, d) với M  d .

d
M

d'
H

Page 48 GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106)

by PHL ĐC: 66, Đặng Đức Thuật, P.Tam Hiệp, Biên Hòa (Đối diện KTX chuyên LTV)

7. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt cầu

Cho đường thẳng  và mặt cầu (S) có tâm I(xI ; yI ; zI ) , bán kính R . Ta có

●  không cắt (S)  d(I, )  R

●  tiếp xúc (S)  d(I, )  R

●  cắt (S)  d(I, )  R

Đường thẳng  cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt M , N

thỏa R2   MN 2  d2 với d  d(I, ) . R by PHL
 2 
M I

H N
Δ

Chú ý.

Khi giải bài tập, nếu biết phương trình của đường thẳng  và mặt cầu (S) ta có thể

xét vị trí tương đối giữa chúng bằng cách giải phương trình để tìm giao điểm. Giả sử

x  x0  a.t
 y0  b.t
 :  y  và (S) : (x  xI )2  (y  yI )2  (z  zI )2  R2 .

z  z0  c.t

Khi đó, ta xét phương trình theo ẩn t sau

(x0  a.t  xI )2  ( y0  b.t  yI )2  (z0  c.t  zI )2  R2 (1)

●  không cắt (S) (1) vô nghiệm

●  tiếp xúc (S) (1) có nghiệm kép

●  cắt (S) (1) có 2 nghiệm phân biệt

Bài tập tự luận

VẤN ĐỀ 1. Viết phương trình mặt phẳng
BÀI 124. Viết phương trình tham số đường thẳng  biết

a.  đi qua điểm M(2;0; 1) và có vectơ chỉ phương u  (4; 6;2) .
b.  đi qua điểm M(1;2; 1) và có vectơ chỉ phương u  (3;0;6) .
c.  đi qua gốc tọa độ và có vectơ chỉ phương u  (1; 2;0) .

d.  đi qua hai điểm A(1;2; 3) và B(3; 1;1) .

e.  đi qua hai điểm A(1;1;2) và B(2; 1;3) .

f.  đi qua điểm A(1;2; 3) và song song với với OB với B(2;3;1) .

g.  đi qua điểm A(1;2;2) và song song với trục Oy .

h.  đi qua điểm A(1;0; 3) và song song với trục Oz .
BÀI 125. Viết phương trình tham số đường thẳng  biết

x  1  5t

a.  đi qua điểm A(1;0; 3) và song song với đường thẳng d :  y  4  t .

z  2  2t

b.  đi qua điểm A(0;1; 2) và song song với đường thẳng d: x  y1  z2.
1 2 3

GV Phạm Hoàng Long – fb.com/thayphamhoanglong (0902.408.106) Page 49